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JOURNÉE DU 20 OCTOBRE 2014

ÉVALUATION DE SCILAB À L’ÉCRIT ET À L’ORAL DES CONCOURS

- Amphi T303 -

9h15-10h : Accueil - café.

10h-10h30 : MATHIEU SAVIN

Corrélation du couple (min, max).Thèmes abordés : couples et vecteurs aléatoires discrets et continus.Type de sujet : oral, avec présentation de deux versions : une courte et une longue.

10h30-11h : MYRIAM DEBOURG

Trois propositions d’énoncés pour l’écrit.Sujet 1 : Tirages avec remise dans une urne contenant 2 couleurs ; longueur des 2 premières séries.Sujet 2 : Recherche du meilleur seuil k dans un jeu où le joueur garde le résultat de son premier tirage s’ilest supérieur à k, ou choisit de faire un second tirage.Sujet 3 : Simulation de la loi de Pareto, évolution de la moyenne empirique, événements exceptionnels.

11h-11h30 : CHRISTINE HEINEMANN

Quelques éléments de réflexion à propos de l’évaluation de Scilab au concours ; trois propositions d’exercices.Exercice 1 : Sommes de Riemann et fonction de répartition de la loi normale centrée réduite.Exercice 2 : Algèbre linéaire et probabilités discrètes (chaînes de Markov).Exercice 3 : Fluctuations des indices boursiers, comparaison avec la loi normale.

11h30-12h : HERVE CHABERT

Deux propositions d’exercices d’algèbre.Sujet 1 : Interpolation et approximation polynomiale.Sujet 2 : Analyse en composantes principales.

12h-12h30 : OLIVIER THÖNITrois sujets autour de l’algèbre linéaire.Thèmes abordés : traitement de l’image (dominante calcul matriciel), voies E et T ; résolution de systèmeslinéaires (algèbre linéaire, matrice de passage).

- PAUSE DEJEUNER -

14h30-15h : CEDRIC BARRET et BENOÎT GRANDPIERRE

Un même sujet pour deux versions (écrit et oral).Sujet : Étude d’un système fraudeur/contrôleur selon divers protocoles de fraude : quelle valeur faut-ildonner à l’amende ?

15h-15h30 : GILLES STOLTZ

Oral de maths à HEC : un exercice long et deux exercices courts.Exercice long : Un modèle d’action (voie E)Exercice court : Une étude de max de variables aléatoires (voie E)Exercice court : Une urne diabolique (voie S)

1

Proposition d’exercice long 1

I — Proposition d’exercice court

Soit a ∈ R∗

+ et (X1, . . . ,Xn) une famille de variables aléatoires indépendantes, identiquement distribuées

suivant une loi uniforme sur [0, a] . On pose U = min(X1, . . . ,Xn) et V = max(X1, . . . ,Xn) ; on s’intéresse à la

corrélation linéaire de U et V , notée ρa,n = ρ(U,V) .

On considère le code informatique suivant, en langage SCILAB :

fun tion rho = al ul_ orr(a, n)

nb_sim = 100000;

R = grand(nb_sim, n, "unf", 0, a);

ouple = [min(R, " ") max(R, " ");

ova = orr( ouple(:,1), ouple(:,2), 1);

rho = ova / (stdev( ouple(:,1)) * stdev( ouple(:,2)));

endfun tion

1. Expliquer comment est défini le tableau ouple, et en quoi cette fonction peut être utile pour le pro-

blème posé.

2. On exécute plusieurs appels de cette fonction pour diverses valeurs de a et n ; les résultats sont réca-

pitulés ci-dessous.

a = 1 a = 5 a = 10

n = 2 0.5027769 0.4971289 0.5000834

n = 3 0.3321576 0.3338231 0.3316065

n = 4 0.2510646 0.2504773 0.2496408

(a) La corrélation ρa,n semble-t-elle dépendre de a ? Expliquer ce résultat.

(b) Quelle semble être, en fonction de n , la valeur de ρa,n ? Démontrer ce résultat pour n = 2.

II — Proposition d’exercice long

1. Soit a ∈ R∗

+ et (X1, . . . ,Xn) une famille de variables aléatoires indépendantes, identiquement distri-

buées suivant une loi uniforme sur [0, a] . On pose U = min(X1, . . . ,Xn) et V = max(X1, . . . ,Xn) ; on

s’intéresse à la corrélation linéaire de U et V , notée ρa,n = ρ(U,V) .

On considère le code informatique suivant, en langage SCILAB :

fun tion rho = al ul_ orr(a, n)

nb_sim = 100000;

R = grand(nb_sim, n, "unf", 0, a);

ouple = [min(R, " ") max(R, " ");

ova = orr( ouple(:,1), ouple(:,2), 1);

rho = ova / (stdev( ouple(:,1)) * stdev( ouple(:,2)));

endfun tion

(a) Expliquer comment est défini le tableau ouple, quelle est sa taille, et en quoi cette fonction peut

être utile pour le problème posé.

2 Mathieu Savin

(b) On exécute plusieurs appels de cette fonction pour diverses valeurs de a et n ; les résultats sont

récapitulés ci-dessous.

a = 1 a = 5 a = 10

n = 2 0.5027769 0.4971289 0.5000834

n = 3 0.3321576 0.3338231 0.3316065

n = 4 0.2510646 0.2504773 0.2496408

La corrélation ρa,n semble-t-elle dépendre de a ? Expliquer ce résultat.

Quelle semble être, en fonction de n , la valeur de ρa,n ?

Si votre hypothèse est correcte, combien de décimales de ρa,n sont correctement affichées par

l’ordinateur ? Pourquoi ?

(c) Développement mathématique 1

2. On s’intéresse maintenant au même problème, mais dans le cas où les variables Xi suivent toutes une

loi uniforme sur [[1,N]] , où N > 2 est un entier.

On note encore U = min(X1, . . . ,Xn) , V = max(X1, . . . ,Xn) , et ρN,n = ρ(U,V) .

(a) Expliquer ce qu’il faudrait modifier, dans la fonction informatique al ul_ orr, pour l’utiliser

afin d’étudier ce nouveau problème.

(b) On exécute plusieurs appels de la fonction modifiée pour diverses valeurs de n et N ; les résultats

sont récapitulés ci-dessous.

N = 5 N = 10 N = 100

n = 2 0.4702817 0.4907519 0.4998598

n = 3 0.3018221 0.3245606 0.3350139

n = 4 0.2145380 0.2429000 0.2481943

Formuler des conjectures, à partir de ces valeurs, concernant les coefficients ρN,n lorsque n et N

varient.

(c) Développement mathématique 2.

3. On considère maintenant l’expérience suivante : dans une urne contenant N boules numérotées de 1

à N , on pioche n boules simultanément, et on note maintenant U (resp. V ) le plus petit (resp. le plus

grand) numéro pioché ; on s’intéresse encore à la corrélation du couple (U,V) .

On modifie la fonction al ul_ orr pour que le résultat affiché corresponde à celui de cette expé-

rience, et on trouve les résultats suivants :

N = 5 N = 10 N = 100

n = 2 0.4977659 0.498879 0.5010350

n = 3 0.3343865 0.3347768 0.3251442

n = 4 0.2503460 0.2547565 0.2573503

Expliquer les résultats observés en les reliant aux deux situations précédentes.

Développement mathématique 3.

Développements mathématiques possibles. 3

III — Développements mathématiques possibles.

3.1. Développement mathématique 1.

• Calcul détaillé du cas n = 2 .

Lorsque n = 2, calculer la loi de V , son espérance et sa variance ; en déduire, sans calculs, la loi,

l’espérance et la variance de U , et à l’aide de V(U + V) , calculer la valeur de ρa,2 .

• Calcul d’un intervalle de confiance pour ρa,n .

Objectif : prouver la remarque sur la précision du résultat obtenu par simulation informatique. À

écrire. . .


• Calcul pas trop guidé quand n = 2 .

Lorsque n = 2, calculer la loi de V , son espérance et sa variance ; en déduire, sans calculs, la loi,

l’espérance et la variance de U , et calculer la valeur de ρN,2 .

• Calcul un peu plus guidé quand n = 3 .

Pour la fin de cette question, on pose n = 3.

(i) Rappeler les valeurs de S1 =

N∑

k=1

k , S2 =

N∑

k=1

k2 , S3 =

N∑

k=1

k3 . Dans la suite, on pourra utiliser

sans démonstration la formule :

S4 =N∑

k=1

k4 =N(N + 1)(2N + 1)(3N2 + 3N − 1)

30.

(ii) Calculer, pour tout couple (i, j) ∈ [[1,N]]2 , la probabilité P(i 6 U 6 V 6 j) , et en déduire la loi du

couple (U,V) .

(iii) En déduire que la loi de V − U est donnée par :

∀k ∈ [[0,N − 1]], P(V − U = k) =

1/N3 si k = 0,

6k(N − k)

N3 si 1 6 k 6 N − 1.

En déduire le calcul de E(V − U) , et prouver que V(V − U) =(N + 1)(N − 1)(N2 + 1)

20N2 .

(iv) Calculer, pour tout k ∈ [[0,N]] , P(U > k) . En déduire E(U) et V(U) , en utilisant les identités

suivantes après les avoir démontrées :

N∑

k=0

P(U > k) = E(U),

N∑

k=0

(N − k)P(U > k) =

(

N +12

)

E(X) −E(X2)

2.

(v) Achever le calcul de ρN,3 , et démontrer si possible quelques-unes des conjectures concernant le

cas où n = 3.

• Démontrer une convergence en loi.

Montrer la convergence en loi de (UN,n/N)N∈N∗ (variables définies dans la deuxième question) vers

la variable U = max(X1, . . . ,Xn) où les Xi U ([0, 1]) sont indépendantes (c’est la variable U qui

est définie dans la première question, avec a = 1). En déduire sans calcul la convergence en loi de

(VN,1/N)N∈N∗ vers V .

4 Mathieu Savin

• Démontrer une convergence en probabilité.

Principe : si X1 , . . . , Xn sont indépendantes et uniformes sur [0, 1] , en notant U = min(X1, . . . ,Xn) ,

V = max(X1, . . . ,Xn) , et en posant :

UN =1N

min(

⌊NX1⌋, . . . , ⌊NXn⌋)

=⌊N U⌋

Net VN =

1N

max(

⌊NX1⌋, . . . , ⌊NXn⌋)

=⌊N V⌋

N,

on a : (UN)N∈N∗ converge en probabilité vers U (idem pour V ), et ρ(UN ,VN) = ρN,n (passer par la loi

du couple (UN,VN)). Cela justifie (presque) que limN +∞

ρN,n = ρa,n . À écrire. . .


• Vérifier vos observations en faisant les calculs lorsque n = 2.

• À votre avis, quels résultats trouvera-t-on si on remplace les lois uniformes de la première question par

des lois exponentielles de paramètre λ : comment varie la corrélation ρ(U,V) en fonction de λ et de

n ?

Et si on remplace les lois uniformes sur [[1,N]] de la deuxième question par des lois géométriques de

paramètre p ?

Vérification : calculer la corrélation ρλ,2 entre les variables U = min(X1,X2) et V = max(X1,X2) , où

X1 et X2 sont indépendantes et identiquement distribuées suivant une loi exponentielle de paramètre

λ > 0.

Faire aussi ce calcul lorsque X1 et X2 suivent la loi géométrique de paramètre p .

IV — Aide-mémoire : réponses partielles

4.1. Calculs dans le cas continu, n = 2 .

On trouve fV(x) = 2x sur [0, 1] , d’où E(V) = 2/3, E(U) = 1/3, V(U) = V(V) = 1/18, et comme

U + V = X1 + X2 , on trouve facilement cov(U,V) = 1/36 et finalement ρ1,2 = 1/2 comme prévu.

4.2. Calculs dans le cas discret, n = 2 .

On a P(V 6 k) =k2

N2 , d’où P(V = k) =2k − 1

N2 , E(V) =(N + 1)(4N − 1)

6N, E(V2) =

(N + 1)(3N2 + N − 1)6N

,

V(V) = V(U) =(N + 1)(N − 1)(2N2 + 1)

36N2 , puis cov(U,V) =(N2 − 1)2

36N2 et ρN,2 =N2 − 1

2N2 + 1, suite croissante

qui tend bien vers 1/2.

4.3. Calculs dans le cas discret, n = 3 .

On trouve P(U = i,V = j) =1

N3

1 si 1 6 i = j 6 N,

6(j − i) si 1 6 i < j 6 N.

Puis E(V − U) =N2 − 1

2Net E

(

(V − U)2)

=(N + 1)(N − 1)(3N2 − 2)

10 N2 .

Après, E(U) =(N + 1)2

4 N, E(U2) =

(N + 1)(2N + 1)(3N2 + 3N + 4)60 N2 , V(U) =

(N + 1)(N − 1)(9N2 − 1)240 N2 ,

et finalement cov(U,V) =(N + 1)(N − 1)(3N2 − 7)

240 N2 . D’où enfin ρN,3 =3N2 − 79N2 − 1

, qui est bien une suite

croissante tendant vers 1/3.

N.B. Ces calculs sont faits dans le cas général (n quelconque) dans le sujet CCIP 2009, voie scientifique.

Myriam Debourg ECS2 Lycée du Parc

1 Sujet 1

Une urne contient des boules blanches en proportion p et des boules rouges en proportion q, toutes indiscernablesau toucher, avec q = 1− p et 0 < p < 1.On procède à une suite innie de tirages au hasard d'une boule de l'urne, dont on note la couleur avant dela replacer dans l'urne. On constitue ainsi des séries unicolores, au gré des couleurs obtenues dans la suite destirages.Par exemple, en notant B l'obtention d'une boule blanche et R l'obtention d'une boule rouge, si la suite derésultats commence par B,B,R,B,R,R,R,B,B . . . cela fournit 4 séries unicolores : BB, puis R, puis B, puisRRR, et enn une autre série est commencée par BB.On note L1 la longueur de la première série, et L2 celle de la deuxième série.

1. Étude de L1

(a) Quelle est la loi simulée en Scilab avec l'instruction : u=rand()<p

(b) On veut écrire une fonction qui pour un réel p supposé appartenir à ]0, 1[ renvoie une simulation dela variable aléatoire L1.Compléter la fonction suivante : function L=une_simu_L1(p)

u=rand()<pcompteur=1while . . .

. . .end

L=compteurendfunction

(c) On a pour diérentes valeurs du paramètre p, utilisé la fonction précédente pour eectuer 1000simulations de L1, et on ache pour chaque valeur de p la moyenne des 1000 résultats obtenus.

i. Expliquer sous quelles hypothèses la moyenne des simulations donne une valeur approchée deE(L1).

ii. Commenter les variations de la courbe obtenue.

(d) Déterminer la loi de L1 et son espérance.

1

(e) Ce résultat est-il cohérent avec celui obtenu par simulation ?

2. Étude de L2

(a) On suppose que l'on a de la même façon écrit une fonction permettant de simuler L1 et L2.

On a ensuite pour diérentes valeurs du paramètre p, eectué 1000 simulations de L2, et on achepour chaque valeur de p la moyenne des 1000 résultats obtenus.

Formuler une conjecture pour l'espérance de L2.

(b) Donner la loi du couple (L1, L2), c'est à dire, pour tout couple (n, k) d'entiers naturels non nuls,calculer P ([(L1 = n) ∩ (L2 = k)]).

(c) Déterminer la loi de L2, son espérance.

3. Étude de (L1, L2)

(a) Déterminer les valeurs de p pour lesquelles L1 et L2 sont indépendantes.(on pourra examiner le cas [L1 = 1] ∩ [L2 = 1])

(b) Calculer la covariance de L1 et L2. Son signe est-il prévisible ?

2

2 Sujet 2

Dans un jeu où seul le dernier résultat obtenu compte, un joueur a le droit de faire deux tentatives pour réaliserle meilleur score. Il choisit de se xer un seuil k, de garder le résultat de la première tentative s'il est supérieurou égal à k, et de faire une deuxième tentative sinon.Ainsi, en notant X1 et X2 les variables aléatoires égales aux résultats de chaque tentative, le score nal Yk dujoueur est

Yk =

X1, si X1 > k ;X2, sinon.

Dans cet exercice on supposera que n est xé et que X1 et X2 suivent la loi uniforme sur 1, ..., n.1. Vérier que

Yk = X111[X1>k] +X211[X1<k]

2. On souhaite pour un entier k donnant le seuil du joueur, et pour deux vecteurs Scilab de même tailleX1 et X2 donnant des simulations des variables aléatoires X1 et X2, renvoyer le vecteur Y des valeurscorrespondantes de la variable aléatoire Yk.

Compléter la fonction suivante : function Y=sco r e (k ,X1 ,X2)

t e s t=(X1>=k). . . .

endfunction 3. Rappeler comment simuler la loi uniforme sur 1, ..., n.4. On a pour n = 40 et pour chaque valeur de k comprise entre 1 et n, eectué 5000 simulations de Yk et

calculé, pour chaque valeur de k, la moyenne des résultats obtenus.Voilà une représentation graphique des moyennes obtenues :

Commenter les variations de la courbe obtenue.Justier les valeurs obtenues pour k = 1 et k = n+ 1.

5. Calculer à l'aide de la formule de l'espérance totale l'espérance de Yk.

6. Quel seuil choisir pour avoir en moyenne le meilleur score ?

3

3 Sujet 3

Soit a un réel strictement positif, et fa la fonction dénie par :

fa(t) =

0 si t < 1a

ta+1si t > 1

1. Vérier que fa est une densité de probabilité. On dit qu'une variable aléatoire X de densité fa suit la loide Pareto de paramètre a, et on note X → VP(a).

2. Déterminer la fonction de répartition Fa de X.

3. Justier que la fonction suivante renvoie n simulations de la loi de Pareto de paramètre a. function X=Simu_Pareto (n , a )

U=rand (1 , n ) ;X=(1−U).^(−1/a )

endfunction 4. Déterminer les valeurs de a pour lesquelles X admet une espérance et la calculer dans ce cas.

5. Déterminer les valeurs de a pour lesquelles X admet une variance.

6. On eectue les instructions suivantes : n=1000a=3X=Simu_Pareto (n , a )courbe=cumsum(X) . / ( ( 1 : n ) )plot ( 1 : n , courbe )xt i t l e ( ' évo lu t i on de l a moyenne pour a='+string ( a ) )x l ab e l ( ' nombre de s imu la t i on s ' )y l ab e l ( 'moyenne des s imu la t i on s ' ) et on obtient le graphique suivant :

(a) Si le vecteur X contient les valeurs (x1, ..., xn), quel est le contenu du vecteur courbe après l'instruc-tion courbe=cumsum(X)./((1:n)).

(b) Quel résultat mathématique de convergence s'applique ici ?

7. En reprenant les mêmes instructions pour a = 0.8 et n = 1000, puis n = 2000, puis n = 5000, on obtientles graphiques suivants :

Commenter les résultats de ces simulations.

4

8. On considère à présent une suite (Xi)i>1 de variables aléatoires indépendantes suivant la loi VP(a).Soit β un réel strictement supérieur à 1 et n un entier supérieur ou égal à 2.

On dit qu'un évènement β-exceptionnel s'est produit avant l'instant n, si il existe un entier k inférieur ouégal à n tel que, pour tout entier i inférieur ou égal à n et diérent de k, Xk > βXi. Autrement dit, àl'instant n, la variable la plus forte de l'histoire est supérieure à β fois chacune des autres variables. Onappellera En,β un tel évènement. Ainsi,

En,β =

n⋃k=1

( ⋂16i6ni6=k

(Xk > βXi))

(a) On eectue pour a = 0.8 une série de n = 150 simulations de la loi de Pareto VP(a), et on représentepour tout i ∈ 1, ..., n la valeur simulée de la variable Xi.

i. Justier que l'événement E60,11 s'est réalisé.

ii. Déterminer un réel β > 1 tel que E150,β soit réalisé.

(b) Montrer que :

P (En,β) = nP( n⋂i=2

(X1 > βXi))

(c) En déduire que :

∀A > 1, P (En,β) > nP((X1 > βA) ∩

( n⋂i=2

(Xi < A)))

puis que

∀A > 1 P (En,β) >1

βan

Aa

(1− 1

Aa

)n−1(d) En déduire que :

P (En,β) >1

βa

(1− 1

n

)n−1

(e) On note Rβ l'évènement : Rβ =

+∞⋃n=1

En,β

Expliquer, par une phrase en français, la signication de l'évènement Rβ , puis donner un minorantde P (Rβ).

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Journée Scilab du 20 octobre 2014 - HEC Paris Christine Heinemann - ECE2 Lycée Henri IV

ÉVALUATION DE SCILAB À L’ÉCRIT ET À L’ORAL DES CONCOURS

I - Quelques éléments de réflexion

• Tout ce qui était auparavant demandé en Turbo-Pascal peut a priori encore être demandé en Scilab(et ce, de manière souvent bien plus courte). En particulier, toutes les questions où il s’agit de 〈〈compléterles lignes 〉〉 : ce type de question est suffisamment directif pour qu’il n’y ait pas vraiment d’ambiguïté ence qui concerne les réponses attendues. En ce qui concerne les lois classiques, il faudra évidemment faireattention à préciser la méthode de simulation attendue (et les commandes autorisées ou non).

EXEMPLE 1 (HEC 2014)Remplacer

Par :On suppose que l’on a défini un entier N supérieur ou égal à 1 et que X est une variable aléatoirediscrète à valeurs dans [[1, N ]] dont la loi a été stockée dans un vecteur loi (de longueur N).Écrire une fonction Scilab d’en-tête function y=mediane(loi) qui renvoie une médiane de X.

EXEMPLE 2 (ESSEC 2014)Remplacer

Par :Écrire une fonction en Scilab d’en-tête function y=expo(lambda) qui simule la loi exponentiellevia la méthode d’inversion, à l’aide de la commande rand().

Puis, pour la loi de Laplace (fonction à compléter) :

function y=Laplacey=expo(1)v=rand()if ...

y=...endendfunction

Et pour la simulation de la loi normale via la méthode du rejet :

function y=Normaleu=1;x=0while ...

x=laplace()u=rand()

endy=...endfunction

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• La variété des réponses étant plus grande avec Scilab qu’avec Turbo-Pascal, il faudra être vigilantà cadrer d’autant plus les questions... À moins que l’on cherche précisément à jouer avec les différentespossibilités (intéressant en particulier à l’oral).

EXEMPLE 3 (qui pourrait constituer une question courte d’oral)

1) Écrire un code Scilab affichant, via un diagramme en bâtons, la distribution théorique de la loi binomiale deparamètres (n, p).

2) Écrire un code Scilab déterminant le(s) mode(s) de cette distribution. Quelle sera la réponse affichée sur la console(en fonction de n et p) ?

• Les questions portant sur l’interprétation ou le commentaire de lignes de codes ne comporteront pas cetype de 〈〈 risque 〉〉, mais il faudra une bonne connaissance des commandes explicitement au programme, etintroduire systématiquement les autres commandes en précisant leur modalités d’application.

• L’interprétation de données graphiques pourra donner lieu à un nouveau type de questions, et ajouterà la richesse et à la variété de l’évaluation des candidats (avec cependant la conséquence de rallonger〈〈physiquement 〉〉 les sujets).

• Les compétences évaluées le seront ainsi sur un spectre plus large qu’avec Turbo-Pascal : rechercheet mise en œuvre de stratégies adéquates et modélisation (écriture d’algorithmes - compétence C2), maiségalement interprétation (regard critique sur des données numériques, des sorties graphiques - compétencesC2, C3, C4), raisonnement et argumentation (confirmation ou infirmation de conjectures), utilisationavec discernement de l’outil informatique (pourquoi préférer tel code à tel autre, ne pas représenter unedonnée qui n’a pas de sens - compétences C5 et C6) et last but not least communication (à l’écrit, encommentant/expliquant un minimum son code ; à l’oral en interagissant de façon adéquate avec le jury).

• Une excellente nouvelle en ce qui concerne l’oral : il est beaucoup plus facile avec Scilab qu’avec Turbo-Pascal de poser des questions d’informatique, les codes étant beaucoup plus courts, et les outils fournispar Scilab beaucoup plus performants. On peut donc espérer que les interrogateurs profiteront de cetteoccasion pour proposer plus de sujets d’oraux comportant des questions d’informatique, d’autant que cesdernières pourront désormais porter sur à peu près toutes les parties du programme...

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II - Trois exercices tentant d’explorer les possibilités offertes par Scilab à l’oral

Il s’agit d’exercices type oral 〈〈avec préparation 〉〉, plutôt pour la voie E. Le premier s’ins-pire d’un sujet d’oral ESCP 1999 voie S et porte sur l’analyse de première année ainsi quequelques notions de base sur la fonction de répartition de la loi normale centrée réduite, avecécriture d’une fonction, et d’un code faisant intervenir une représentation graphique. Le secondest à dominante d’algèbre linéaire, avec une écriture de code et une interprétation de sortieconsole. Le troisième s’inspire de l’article suivant : http://sciencetonnante.wordpress.com/2014/08/18/pourquoi-les-marches-financiers-fluctuent-ils-tous-de-la-meme-maniere-rediffusion/ etévalue la capacité de l’étudiant à comprendre un code et à faire le lien avec des résultats mathématiquesassez classiques de l’oral d’HEC.

EXERCICE 1 (Analyse : sommes de Riemann ; loi normale centrée réduite)

1) Rappeler l’expression de la fonction de répartition Φ de la loi normale centrée réduite, ainsi que le lien entre Φ(x)et Φ(−x) pour tout réel x.

2) Soit x un réel. On pose pour tout n ∈ N∗, Sn(x) =x

n

n∑k=1

1√2π

exp

(−1

2

(kx

n

)2).

a) Écrire une fonction Scilab d’en-tête function y=Sn(x,n) calculant Sn(x) pour x un réel, et n un entier naturelnon nul, donnés.

b) Quelle est la limite de Sn(x) lorsque n tend vers +∞ ?c) On note ϕ la densité usuelle de la loi normale centrée réduite. Rappeler le sens de variation de ϕ sur R∗+.

En déduire que pour tout x > 0 et tout n ∈ N∗, 0 ≤∫ x

0

ϕ(t)dt− Sn(x) ≤ x(ϕ(0)− ϕ(x))

n.

d) Justifier que pour tout réel x,∣∣∣∣Φ(x)− 1

2− Sn(x)

∣∣∣∣ ≤ |x|n . (variante : ≤ |x|n√

2π...)

3) Écrire un programme Scilab, utilisant la function y=Sn(x,n), et traçant une approximation de la courbe de Φ surl’intervalle [−5, 5] telle que l’erreur commise en chaque point soit inférieure ou égale à 10−6.

3/6

http://sciencetonnante.wordpress.com/2014/08/18/pourquoi-les-marches-financiers-fluctuent-ils-tous-de-la-meme-maniere-rediffusion/

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EXERCICE 2 (Algèbre linéaire et probabilités discrètes - chaînes de Markov)On considère deux urnes A et B, ainsi que N boules, numérotées de 1 à N . Initialement, toutes les boules se trouventdans l’urne A. À chaque instant n ∈ N∗, on tire au hasard un numéro i compris entre 1 et N et on change d’urne laboule numéro i. On s’intéresse à l’évolution au cours du temps du nombre de boules dans l’urne A.

On définit pour tout n ∈ N, Xn la variable égale au nombres de boules dans A à l’instant n, et Un le vecteur colonne

Un =

P (Xn = 0)P (Xn = 1)

...P (Xn = N)

.

1) Préciser le vecteur U0.

2) Déterminer la matrice M telle que, pour tout n ∈ N, Un+1 = MUn, puis préciser, pour tout n ∈ N, le vecteur Un

en fonction de n, M et U0.

3)a) Que peut-on dire de la somme des coefficients sur chaque colonne de M ?b) En déduire que si λ est valeur propre de tM (la transposée de M), |λ| ≤ 1.c) Que peut-on en déduire pour les valeurs propres de M ?

4) Écrire un code Scilab affichant le vecteur Un pour tout n ∈ [[0, 100]], N étant entré par l’utilisateur.

5) On prend ici N = 5 et on observe l’affichage suivant pour U2n et U2n+1 pour tout n ≥ 20 :

0. 0.06250.3125 0.0. 0.6250.625 0.0. 0.31250.0625 0.

De plus, la commande [P,D]=spec(M) ; disp(D) donne :

* 0 0 0 0 00 - 0.6 0 0 0 00 0 1. 0 0 00 0 0 - 0.2 0 00 0 0 0 0.2 00 0 0 0 0 0.6

Peut-on deviner le coefficient malencontreusement masqué par une étoile ? Argumenter.

6) On prend ici N = 2.a) Diagonaliser M .b) Donner l’expression de Un pour tout n ∈ N.

7) On se place dans le cas général N ≥ 2. Déterminer l’ensemble des vecteurs U ∈ MN+1,1(R) tels que MU = −U .Même question pour l’ensemble des vecteurs U ∈MN+1,1(R) tels que MU = U .

8) Pour N = 5, la commande [P,D]=spec(M) ; disp(P) donne :

0.0629941 0.1889822 - 0.0629941 0.2886751 0.2886751 - 0.1889822- 0.3149704 - 0.5669467 - 0.3149704 - 0.2886751 0.2886751 - 0.5669467

0.6299408 0.3779645 - 0.6299408 - 0.5773503 - 0.5773503 - 0.3779645- 0.6299408 0.3779645 - 0.6299408 0.5773503 - 0.5773503 0.3779645

0.3149704 - 0.5669467 - 0.3149704 0.2886751 0.2886751 0.5669467- 0.0629941 0.1889822 - 0.0629941 - 0.2886751 0.2886751 0.1889822

Est-ce compatible avec le résultat de la question précédente ?

4/6


EXERCICE 3 (Statistiques, représentations graphiques, loi normale...)

1) Soit (Ω,A, P ) un espace probabilisé et T une variable aléatoire définie sur Ω suivant une loi N (0, 1).a) Rappeler l’expression de l’unique densité ϕ de T qui est continue sur R.

On notera Φ la fonction de répartition de T .b) Montrer que ∀x ∈ R, ϕ′(x) = −xϕ(x).

c) Montrer que ∀x > 0,

(1

x− 1

x3

)ϕ(x) ≤ 1− Φ(x) ≤ ϕ(x)

x.

En déduire un équivalent de P (|T | > x) au voisinage de +∞.

2) On observe les fluctuations de différents indices boursiers : CAC 40, NASDAQ, Dow Jones et Nikkei entre lesannées 1990 et 2014, que l’on reporte dans des vecteurs notés respectivement Fluctu_CAC, Fluctu_NAS, Fluctu_DJet Fluctu_Nik, qui ont tous la même longueur L.

a) Expliquer ce que font les lignes de code suivantes :

Code Scilab :G1=(Fluctu_CAC-mean(Fluctu_CAC))/stdev(Fluctu_CAC);G2=(Fluctu_NAS-mean(Fluctu_NAS))/stdev(Fluctu_NAS);G3=(Fluctu_DJ-mean(Fluctu_DJ))/stdev(Fluctu_DJ);G4=(Fluctu_Nik-mean(Fluctu_Nik))/stdev(Fluctu_Nik);

x=1:0.01:5for i=1:length(x)

y(i)=sum(abs(G1)>x(i))/L;z(i)=sum(abs(G2)>x(i))/L;t(i)=sum(abs(G3)>x(i))/L;w(i)=sum(abs(G4)>x(i))/L;

end

plot2d(log(x),log(y),style=2); plot2d(log(x),log(z),style=5)plot2d(log(x),log(t),style=3);plot2d(log(x),log(w),style=4)plot2d(log(x),-3*log(x)-1,style=1)

b) On observe la sortie graphique suivante :

(i) Quelle hypothèse peut-on émettre quant au comportement à x grand des fluctuations des indices boursiersétudiés ?(ii) Quel aurait été l’allure des courbes si les fluctuations avaient suivi une loi normale ?

5/6


c) On observe à présent les fluctuations du cours du Cacao, que l’on reporte dans un vecteur Fluctu_Cacao, toujoursde longueur L. L’implémentation des lignes de code :

Code Scilab :G=(Fluctu_Cacao-mean(Fluctu_Cacao))/stdev(Fluctu_Cacao)Fluctu_Nor=grand(1,L,"nor",0,1)x=1:0.01:3for i=1:length(x)

y(i)=sum(abs(G)>x(i))/L;z(i)=sum(abs(Fluctu_Nor)>x(i))/Lendplot2d(log(x),log(y));plot2d(log(x),log(z),style=5)plot2d(log(x),-x .^2/2,style=2)

aboutit à la sortie graphique suivante :

Commenter.

6/6

1Exercice proposé 1

Thème : interpolation et approximation par une fonction polynomiale

Dans tout l’exercice, n désigne un entier supérieur ou égal à 2, I est un intervalle de R.On considère une fonction f à valeurs réelles définie sur I.a1, a2, . . . , an désignent n réels deux à deux distincts de I et on note : ∀k ∈ 1, . . . , n , f(ak) = bk.

On cherche à effectuer une approximation de la fonction f par une fonction polynomiale.

Pour tout entier i de 1, 2, . . . , n, on note Li le polynôme : Li =∏

k∈1,2,...,nk 6=i

(X − ak).

1. (a) Montrer que la famille (L1, L2, . . . , Ln) est une famille libre de Rn−1[X].(b) En déduire, en raisonnant par analyse-synthèse, qu’il existe un unique polynôme, que l’on note P , de

degré inférieur ou égal à n−1, tel que pour tout entier j de 1, 2, . . . , n, on a l’égalité P (aj) = f(aj),et donner une expression de ce polynôme en fonction de a1, a2, . . . , an, f et L1, L2, . . . , Ln.

2. Soit p ∈ [[1, n]]. Soit P un polynôme de Rp−1 [X] noté P = α0 + α1X + · · ·+ αp−1Xp−1. On pose :

g(α0, α1, · · · , αp−1) =n∑

k=1(bk − (α0 + α1ak + · · ·+ αp−1a

p−1k ))2.

Le but de cette question est de déterminer le minimum éventuel de g sur Rp.

(a) On a tracé ci-dessous le graphe de la fonction f , les points du plan de coordonnées (a1, b1), (a2, b2), . . . , (a6, b6)(on a pris n = 6), et le graphe de la fonction polynomiale P qui à x associe α0 +α1x+ · · ·+αp−1x

p−1.

Comment peut-on interpréter sur le graphique ci-dessus la recherche du minimum éventuel de gsur Rp ? Le résultat obtenu à la question 1 permet-il de répondre à la question posée dans un casparticulier ?

(b) On note x = (α0, α1, · · · , αp−1) et b = (b1, b2, . . . , bn). Montrer que g(α0, α1, · · · , αp−1) peut-s’écriresous la forme : g(α0, α1, · · · , αp−1) = ‖b− u(x)‖2 où ‖ ‖ désigne la norme euclidienne canoniquedans Rn et u est une application linéaire de Rp dans Rn dont on déterminera la matrice A ∈Mn,p(R)dans les bases canoniques respectives de Rp et de Rn.

(c) Montrer que rg(A) = p. En déduire que u est injective.

(d) Montrer que tAA est inversible.

(e) Déterminer Miny∈Im(u)

‖b− y‖2.

(f) En déduire qu’il existe un unique élément x0 de Rp tel que ‖b− u(x0)‖2 = Minx∈Rp

‖b− u(x)‖2.

(g) On note X0 (resp. B) la matrice colonne deMp,1(R) (resp.Mn,1(R)) canoniquement associée à x0(resp. b). Montrer que : tAAX0 = tAB.

23. On donne les lignes de code en Scilab suivantes ainsi que les sorties graphiques correspondantes pour

des valeurs de p égales à 3, 4 et 7 (en Scilab la commande poly(R,′ x′,′ c′) permet de définir une fonctionpolynomiale dont les coefficients sont ceux d’une matrice R et la commande horner permet de calculer lesvaleurs prises par cette fonction) :

x = [1,2,2.5,3.5,4,5,6];y = [5,3,4.5,6,5.5,7,3];

plot2d(x,y, style=-1)

B = y’; T = ones(1,n);

for k=1:(p-1)

T = [T;x.^k];endA = T’;R = inv((A’)*A) * (A’) * B;P = poly(R, ’x’, ’c’);

z = [min(x)-0.5:0.1:max(x)+0.5];plot2d(z,horner(P,z));

Interpréter le script ci-dessus. Quelle courbe correspond au cas p = 3 ? au cas p = 4 ? au cas p = 7 ? Justifierprécisément.

1Exercice proposé 2

Thème : analyse en composantes principales

On observe conjointement deux caractères quantitatifs X et Y sur un échantillon de taille n (n ≥ 2) d’unepopulation.Ces observations sont constituées par un n-uplet ((x1, y1), (x2, y2), . . . , (xn, yn)) d’éléments de R2. A chaque individuk de [[1, n]], on associe le couple (xk, yk) de R2.

1. Question de cours : Dans une série statistique associée à un échantillon, définition de la moyenne empiriqueet de la variance empirique.

2. Dans cette question uniquement (ainsi que dans la question 4), on se place dans le cas où n = 7. On introduitune matrice X dont la première colonne contient les valeurs de x1, x2, . . . , x7, la deuxième les valeurs dey1, y2, . . . , y7.

On rappelle qu’en Scilab, les commandes xset(’window’, 1) et xset(’window’, 2) permettent de créer deuxfenêtres distinctes dans lesquelles on affiche les tracés correspondants.

Interpréter les lignes de code suivantes :

X = [12,8;11,5;9,9;15,13;10,6;11,11;13,11];disp(X);

C1 = X(:,1)C2 = X(:,2)disp(mean(C1))

disp(mean(C2))

C1_c = C1 - mean(C1);C2_c = C2 - mean(C2);xset(’window’, 1)plot2d(C1, C2, style=-1)

xset(’window’, 2)plot2d(C1_c, C2_c, style=-1)

ainsi que l’affichage correspondant sur la console :

12. 8.

11. 5.

9. 9.

15. 13.

10. 6.

11. 11.

13. 11.

11.375

9.625

et les deux sorties graphiques obtenues :

Que peut-on dire intuitivement du signe de la covariance de X et de Y dans ce cas particulier ? Commentévoluerait la covariance de X et de Y si l’on rajoutait le couple (9, 12) à la série statistique précédente (lanouvelle série serait alors constituée de 8 points) ?

2On revient au cas général et on suppose que

n∑i=1

xk = 0,n∑

i=1yk = 0 et que la famille ((x1, x2, . . . , xn), (y1, y2, . . . , yn))

de vecteurs de Rn est libre. On munit l’espace vectoriel R2 du produit scalaire canonique noté 〈 , 〉 et de lanorme euclidienne canonique notée ‖ ‖ .

3. On note A =

x1 y1x2 y2...

...xn yn

. On pose : M = 1n

tAA.

(a) Calculer M et expliciter ses coefficients en fonction de la variance de X notée σ2X , de la variance de Y

notée σ2Y et de la covariance de X et Y notée σX,Y .

(b) Montrer que : (n∑

i=1xiyi)2 < (

n∑i=1

x2i )(

n∑i=1

y2i ).

(c) Montrer que M est diagonalisable et que ses valeurs propres sont strictement positives. On note doré-navant ses deux valeurs propres λ1 et λ2 avec 0 < λ1 ≤ λ2.

(d) Soit u = (a, b) un vecteur de R2 unitaire. On note U =(ab

)et D = V ect(u) la droite vectorielle de

R2 engendrée par u. Soit z un élément quelconque de R2. On note pD la projection orthogonale sur D.

i. Donner l’expression de pD(z) et de pD⊥(z) en fonction de a, b et z.

ii. On note ID = 1n

n∑k=1‖pD((xk, yk))‖2

. Montrer que : ID = tUMU.

iii. Quels sont les vecteurs u de R2 unitaires qui rendent maximale (resp. minimale) ID ?

iv. On pose ID⊥ = 1n

n∑k=1‖pD⊥((xk, yk))‖2

. Calculer ID + ID⊥ en fonction de σ2X et σ2

Y . Quels sont les

vecteurs de R2 unitaires qui rendent minimale ID⊥ ?

4. On reprend le cas particulier de la question 2. Interpréter les lignes de code code ci-dessous et la sortiegraphique correspondante. Que représentent I1 et I2 et les deux droites tracées ?

X_c = [C1_c, C2_c]M = (1/7) * X_c’ * X_c;[Ve, Va] = spec(M)

disp(Va); disp(Ve)

V2 = Ve(:,2);I2 = (V2’) * M * V2; disp(I2)

x = [-3:0.1:4]y2 = V2(2) / V2(1) * x

plot2d(x, y2)

V1 = Ve(:,1)I1 = (V1’) * M * V1; disp(I1)

y1 = V1(2) / V1(1) * x

plot2d(x, y1)

3.3877551 3.14285713.1428571 7.1428571

1.6043296 0.0. 8.9262826

- 0.8697285 0.49353050.49353050 0.8697285

8.9262826

1.6043296

On souhaite avoir une représentation à une dimension du nuage en projetant chacun de ses points orthogo-nalement sur une droite. Quel est le meilleur choix possible de la droite ?

CPGE-EC 2 TP de MATHÉMATIQUES

SYSTÈMES, MATRICES ET SCILAB

proposition de sujet « autour de l'oral »

« Vision matricielle de la résolution d'un système par la méthode du pivot de Gauss »

. Objectif

Proposer un sujet d'oral de mathématiques accessible aux étudiant issus de ECE et de ECT... « aussi »...

L'idée, sans doute un peu provocatrice (pardon...) est de montrer que l'on peut aussi évaluer des

compétences générales mathématiques, en utilisant Scilab, mais pourtant sans mobiliser aucune des 6

compétences particulières propres aux « TP de mathématiques avec Scilab »...

Modalités imaginées : l'étudiant dispose d'un ordinateur doté de Scilab pendant son temps de

préparation, et pendant son exposé, visible du jury (vidéo-projection ou double-écran)

. Sujet

Suite à un accident cérébral, un étudiant a perdu sa capacité à calculer : il reconnaît parfaitement les

chiffres et les nombres, mais ne peut plus opérer dessus. Par contre, cela n'a en rien altéré sa

compréhension des mécanismes et son raisonnement...

Ainsi, il avait à résoudre un système à 4 équations et 4 inconnues, (x, y, z, t), en s'assistant de Scilab, qui

va effectuer pour lui tout calcul.

Il a tout d'abord écrit le système matriciellement, sous la forme A0 .X=B ( ou même A0 .X=I4 .B ),

où A0∈ M 4(ℝ), X=(xyzt), et B=(

17−5−2−41

) , puis, après avoir effectué les opérations élémentaires

suivantes :

étape 1 : L1L2

étape 2 : L3←L3+3L1 ; L4←L 4−6L1(*)

étape 3 : L3←L3+L2 ; L4←L4−92

L2

étape 4 : L 4←2 .L4

et transformé sa matrice A0 respectivement en A1 , A2, A3, A4 , il obtient la matrice :

A4=(2 −1 −3 10 2 1 −10 0 −4 10 0 27 19

)(*) En fait, il n'a pas tout-à-fait écrit ceci, le 3 et le -6 résultant d'un calcul, mais cela revient au même .

O.THÖNI, professeur de Mathématiques .- Lycée Saint-Charles Sainte Croix LE MANS CPGE-ECE 2 1 / 2

Systèmes, matrices et Scilab

1°) Écrire les matrices P1 , P2 , P3 , P4 telles que

A1=P1. A0 , A2= P2 .A1 , A3= P3. A2 , A4= P4. A3

( A1 , A2 , A3 , A4 étant les matrices obtenues à l'issue des étapes 1, 2, 3 et 4.)

2°) En utilisant Scilab, en console, retrouver le système initial. Expliquer la démarche et commenter

certains résultats que l'on aurait pu aisément deviner.

3°) Écrire, dans l'éditeur Scinotes, les fonctions Scilab suivantes :

- function [A,P] = permuter(A,i,j)

qui permute les lignes L i et L j ( L iL j ) de la matrice A et renvoie la matrice A

modifiée et la matrice de passage P ;

- function [A,P] = dilater(A,i,alpha)

qui remplace la ligne L i de la matrice A par alpha* L i ( L i.L i ) et renvoie la

matrice A et la matrice de passage P ;

- function [A,P] = combiner(A,j,alpha,i)

qui remplace la ligne L j de la matrice A par L j + alpha L i ( L jL j .Li ) ,

où i est le numéro de ligne du pivot, et qui renvoie la matrice A et la matrice de passage P.

4°) Finir, si c'est possible, l'inversion de A0 sur ce principe, pas à pas, en utilisant les fonctions

programmées dans Scilab au 3°). Préciser, s'il y a lieu, la matrice A0−1 .

5°) Finaliser la résolution du système.


CPGE-EC 2 TP de MATHÉMATIQUES

PROPOSITIONS O.THÖNI

ÉLÉMENTS DE CORRIGÉS ET RÉFLEXIONS

proposition de sujet « autour de l'oral »

Licence Creative Commons

"Proposition oraux CPGE EC" de O.THÖNI est mis à disposition selon les termes de la licence Creative

Commons Attribution - Pas d’Utilisation Commerciale - Partage dans les Mêmes Conditions 4.0 International.

idée directrice :

Ouvrir des pistes et des modalités d'évaluation un peu différentes de celles (très riches ! ), conduisant

à mettre en œuvre les compétences du référentiel C5 (Monte Carlo) et C6 (regard critique sur les

méthodes d'estimation et de simulation)

1. Proposition n°1 : « Vision matricielle de la résolution d'un système par la

méthode du pivot de Gauss »

À partir d'un système d'équations linéaires, écrit matriciellement, sous la forme A0 .X=B ( ou même

A0 .X=I4 .B ), où A0∈ M 4(ℝ), X=(xyzt), et B=(

17−5−2−41

) , puis, après avoir effectué les

opérations élémentaires suivantes :

étape 1 : L1L2

étape 2 : L3←L3+3L1 ; L4←L 4−6L1(*)

étape 3 : L3←L3+L2 ; L4←L4−92

L2

étape 4 : L 4←2 .L4

et transformé sa matrice A0 respectivement en A1 , A2, A3 , A4 , il obtient la matrice :

A4=(2 −1 −3 10 2 1 −10 0 −4 10 0 27 19

)Suggestion de modification :

Donner la fonction « combiner » et demander son effet sur A4 :

1°) La fonction Scilab suivante a pour paramètres d'entrée une matrice carrée A, de taille n, deux entiers i et j

entre 0 et n, et un réel « alpha ».


http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

http://creativecommons.org/licenses/by-nc-sa/4.0/

Éléments de corrigés et réflexions

Elle donne pour résultats deux matrices : la matrice A modifiée, et la matrice P, connue dans le programme

principal dont on ne s'occupera pas pour l'instant, dans cette question)

function [A,P] = combiner(A,j,alpha,i)

Q = eye(n,n)

Q(j,i) = alpha

P = Q*P

A = Q*A

endfunction

Supposons que la matrice A soit la matrice A4 de l'énoncé. Que devient cette matrice A si l'on fait appel à la

fonction ainsi : combiner(A,4,27/4,3) ?

Compétences évaluées : les 6 compétences générales, et des compétences particulières relatives au

calcul matriciel (inversion, pivot de Gauss, résolution de système de Cramer, utilisation des fonctionnalités

matricielles de Scilab, et de manière indirecte, changement de base)

O.THÖNI, professeur de Mathématiques .- ECE LE MANS 2 / 20

Classes preparatoires economiques et commerciales APHEC

Journee Scilab du 20 octobre 2014 - HEC Paris

Exemple d’utilisation de Scilab aux concours

Version du : 28 octobre 2014 a 11:39.Auteurs :– Benoıt GRANDPIERRE, ECS1 au lycee Michel de Montaigne, Paris,– Cedric BARRET, ECE2 au lycee Claude Monet, Paris.

L’exercice ci-dessous est redige dans l’optique d’une epreuve ecrite de concours pour les filieres ECSet ECE.Les commandes Scilab non explicitement au programme sont rappelees en preambule.Scilab intervient alors sous differentes formes dans l’exercice : explication de divers codes donnes parl’enonce, interpretation d’une courbe ou d’une sortie numerique...

Une proposition d’adaptation de l’exercice en vue d’une epreuve orale est donnee ensuite, pour unformat 30 minutes de preparation/30 minutes de passage, le candidat ayant acces a un ordinateurpendant toute la duree de l’epreuve.Cette version est moins guidee pour ce qui est des questions mathematiques sous-jacentes et permetd’exploiter davantage les possibilites graphiques de Scilab. Elle laisse aussi plus d’autonomie au can-didat quant a l’ecriture du code, dans la mesure ou il a la possibilite de tester continuellement le codeecrit avec l’ordinateur.

1 Enonce de l’exercice

Rappel de quelques instructions Scilab :

• L’instruction grand(1,1,’bin’,n,p) simule une variable aleatoire suivant la loi binomiale de pa-rametres n et p.• L’instruction grand(r,c,’bin’,n,p) cree une matrice formee de r lignes et c colonnes, les coeffi-

cients simulant des variables aleatoires independantes suivant toutes la loi binomiale de parametresn et p.• Soit T une variable aleatoire suivant la loi normale d’esperance moy et d’ecart-type sigma.

On note FT la fonction de repartition de T .On rappelle que la fonction cdfnor peut s’utiliser des facons suivantes :– cdfnor(’PQ’,x,moy,sigma) calcule FT (x).– cdfnor(’X’,moy,sigma,p,1-p) calcule F−1T (p).

Preliminaire theorique :

Soit p un reel tel que 0 < p < 1.Soit (Xk)k∈N∗ une suite de variables aleatoires independantes suivant toutes la meme loi de Bernoullide parametre p.On note, pour tout entier naturel non nul n :

Sn =

n∑k=1

Xk

1

1. Quelle est la loi de la variable aleatoire Sn ?

Donner sans calcul son esperance et sa variance.

2. On note S?n la variable aleatoire centree reduite associee a Sn.

Expliciter la variable aleatoire S?n et justifier que la suite (S?

n)n∈N∗ converge en loi vers unevariable aleatoire suivant la loi normale centree reduite.

On admet que pour n > 30, on peut approcher la loi de S?n par la loi normale centree reduite.

3. Justifier que pour n > 30, on peut approcher la loi de Sn par une loi normale dont on preciserales parametres.

Description de la situation etudiee :

M. Bidot effectue n trajets par an sur la ligne de bus n4.Le prix du ticket est de b euros par trajet.

On observe que la probabilite que M. Bidot soit controle lors d’un trajet est de p et l’on suppose queles controles sont independants les uns des autres.Le prix de l’amende a payer lorsque l’on est controle sans titre de transport est de a euros.

Il peut arriver a M. Bidot de frauder, c’est-a-dire de voyager sans ticket. S’il n’est pas controle, il auraalors gagne b euros sur son trajet ; s’il est controle, il perd a euros.Le but de l’exercice est d’etudier la valeur qu’il faut donner au montant a de l’amende pour queM. Bidot soit en general perdant sur l’annee s’il fraude, selon divers protocoles de fraude.On definit ainsi le gain relatif annuel de M. Bidot par :(

Somme depensee sur l’annee parM. Bidot en ne fraudant jamais

)−(

Somme depensee sur l’anneepar M. Bidot en fraudant

)Cas ou M. Bidot fraude tout le temps :

On suppose dans cette partie que M. Bidot n’achete jamais de ticket.On note X la variable aleatoire egale au nombre de fois ou M. Bidot est controle pendant l’annee.

4. Determiner la loi de X et donner sans calcul son esperance et sa variance.

5. On note G la variable aleatoire donnant le gain relatif de M. Bidot sur l’annee.

(a) Exprimer G en fonction de X, n, b et a.

(b) Quelle valeur minimale a0 faut-il donner a l’amende pour que M. Bidot soit en moyenneperdant sur l’annee s’il fraude a tous les trajets ?

On exprimera d’abord a0 en fonction de b et de p, puis on effectuera l’application numeriquecorrespondant au cas ou b = 2 euros et p = 0,1.

6. Pour cette question, on se place dans le cas ou l’amende est fixee a a0 euros et l’on souhaiteestimer la probabilite que le gain annuel de M. Bidot soit positif ou nul.

(a) Justifier que : P (G > 0) = P (X 6 np)

(b) On note (Xi)i∈N une suite de variables aleatoires independantes suivant toutes la meme loique X.

Pour tout i ∈ N∗, on note Yi la variable aleatoire de Bernoulli qui prend la valeur 1 siXi 6 np, et 0 sinon.

On note enfin, pour tout N ∈ N∗ :

YN =1

N

N∑i=1

Yi

i. Montrer que YN est un estimateur sans biais de P (G > 0) et calculer son risquequadratique.

ii. Verifier que V (Y1) 61

4.

2

iii. Montrer que :

∀ ε > 0, P

(∣∣∣YN − P (G > 0)∣∣∣ > ε

)6

1

4Nε2

iv. En deduire un intervalle de confiance de P (G > 0) de niveau de confiance 95 %.

(c) Justifier que le code Scilab suivant donne une realisation de l’intervalle de confiance determinea la question precedente :

// Les variables N, n et p sont definies au prealable dans le programme.

A=grand(1,N,’bin’,n,p)

Y=(A<=n*p)

Y_barre=sum(Y)/N

e=1/(2*sqrt(0.05*N))

disp(’[’+string(Y_barre-e)+’,’+string(Y_barre+e)+’]’)

(d) Pour N = 10 000, n = 500 et p = 0,1, le code ainsi ecrit donne : [0.5111393,0.5558607]

Commenter ce resultat en deux ou trois phrases.

7. On suppose pour cette question que n > 30.

La compagnie de bus souhaite fixer l’amende de telle sorte que la probabilite que M. Bidot soitgagnant sur l’annee en fraudant tout le temps soit inferieure ou egale a 0,25, autrement dit detelle sorte que : P (G > 0) 6 0,25

(a) On note X? la variable aleatoire centree reduite associee a X.

Par quelle loi simple peut-on approcher la loi de X? ?

(b) On designe par Φ la fonction de repartition de la loi normale centree reduite.

Justifier l’existence et l’unicite d’un reel t0 strictement negatif tel que Φ(t0) = 0,25.

(c) Ecrire une instruction Scilab permettant de calculer t0.

(d) Montrer que pour avoir P (G > 0) 6 0,25, il convient de choisir une amende minimalevalant :

a1 =nb

np+ t0√np(1− p)

(e) Comparer les valeurs theoriques de a0 et a1.

Pouvait-on s’attendre a ce resultat ?

Cas ou M. Bidot fraude independamment d’un jour sur l’autre :

On suppose dans cette partie que chaque jour M. Bidot fraude avec la probabilite q ou achete un ticketavec la probabilite 1− q.On suppose de plus que les comportements de M. Bidot sont independants d’un jour sur l’autre, etne dependent pas non plus des eventuels controles qu’il aurait eu.

On note X la variable aleatoire egale au nombre de fois dans l’annee ou M. Bidot est controle.On note Y la variable aleatoire egale au nombre de fois dans l’annee ou M. Bidot fraude.On note Z la variable aleatoire egale au nombre de fois dans l’annee ou M. Bidot se fait controler alorsqu’il n’a pas de ticket.

8. Justifier que X, Y et Z suivent toutes trois des lois binomiales dont on precisera les parametresrespectifs.

9. Par hypothese les variables aleatoires X et Y sont independantes.

Est-ce aussi le cas des variables aleatoires X et Z ? Justifier.

10. On note H la variable aleatoire donnant le gain relatif de M. Bidot sur l’annee.

(a) Verifier que : H = bY − aZ(b) Verifier que la valeur de a0 trouvee en 5.(b) convient aussi dans cette situation pour que

M. Bidot soit en moyenne perdant sur l’annee.

3

11. On donne le code suivant :

n=500; p=0.1; q=2/3; b=2; N=5000;

a_0=b/p

function t=H(a)

function t=H(a)

vX=grand(1,n,"bin",1,p)

vY=grand(1,n,"bin",1,q)

vZ=vX.*vY

Y=sum(vY)

Z=sum(vZ)

t=b*Y-a*Z

endfunction

function t=probaH(a)

s=0

for i=1:N do

if H(a)>=0 then s=s+1

end

end

t=s/N

endfunction

absc=linspace(a0-5,a0+10,200)

ordo=feval(absc,probaH)

plot2d(absc,ordo)

(a) Justifier que la fonction H simule la variable aleatoire H pour une certaine valeur del’amende a

(b) Justifier que pour N assez grand, la fonction probaH renvoie une valeur approchee deP (H > 0).

On citera un theoreme du cours sans en detailler l’application concrete.

(c) L’execution du code Scilab donne le graphique ci-dessous :

Comment interpreter la courbe obtenue ?

4

2 Corrige

1. Les variables (Xn)n∈N∗ suivent la meme loi de Bernoulli de parametre p et sont supposees

independantes, donc par stabilite de la loi binomiale on a : Sn → B(n, p)

On a alors : E(X) = np et V(X) = np(1− p)

2. On a avec les donnees de la question precedente : S?n =

Sn − np√np(1− p)

D’apres le theoreme limite central S?nL−→ N (0, 1)

3. On a :

S?n =

Sn − np√np(1− p)

L−→ S?∞ → N (0, 1)⇐⇒ Sn

L−→√np(1− p)S?

∞ + np → N (np, np(1− p))

Ainsi SnL≈ N (np, np(1− p))

4. On reconnaıt un schema de Bernoulli :– epreuve : prendre le bus,– succes : etre controle, evenement de probabilite p,– X compte le nombre de succes obtenus lors de n epreuves identiques et independantes.

Ainsi X → B(n, p)

On a E(X) = np et V(X) = np(1− p)

5. (a) M. Bidot depenserait nb euros sur l’annee s’il ne fraudait jamais.

En fraudant tout le temps, M. Bidot perd a euros lors de chacun de ses X controles.

On a donc : G = nb− aX

(b) Etre en moyenne perdant sur l’annee signifie mathematiquement E(G) ≤ 0. On resoutdonc :

E(G) ≤ 0⇐⇒ E(nb− aX) ≤ 0⇐⇒ nb− aE(X) ≤ 0⇐⇒ nb− anp ≤ 0

⇐⇒ a ≥ b

p

La valeur minimale de l’amende est donc a0 =b

p

A.N. : avec p = 0, 1 et b = 2 on a a0 = 20

6. (a) On calcule :

P(G ≥ 0) = P(nb− a0X ≥ 0) = P(X ≤ nb/a0) = P(X ≤ np)

car on a a0 = b/p donc p = b/a0.

On a bien montre que P(G ≥ 0) = P(X ≤ np)

(b) i. E(YN ) = E(Y1) = P (X1 ≤ np) = P (G ≥ 0)

donc YN est un estimateur sans biais de P (G > 0).

Le risque quadratique de YN en P (G ≥ 0) est alors donne par sa variance : r(YN ) =V (Y1)

N

ii. Avec α = P (G ≥ 0) on a V (Y1) = α(1− α) 61

4en etudiant x 7→ x(1− x) sur [0, 1].

5

iii. Par l’inegalite de Bienayme-Tchebychev :

∀ ε > 0, P

(∣∣∣YN − E(YN )∣∣∣ > ε

)6V (YN )

ε2

Or E(YN ) = P (G ≥ 0) et V (YN ) =V (Y1)

N6

1

4Ndonc :

∀ ε > 0, P

(∣∣∣YN − P (G > 0)∣∣∣ > ε

)6

1

4Nε2

iv. On en deduit un intervalle de confiance de P (G > 0) de niveau de confiance 95 % :[YN −

1

2√

0,05N, YN +

1

2√

0,05N

](c) On a :

A=grand(1,N,’bin’,n,p) // Simulation des X_i

Y=(A<=n*p) // Simulation des Y_i

Y_barre=sum(Y)/N // Simulation de la moyenne des Y_i

e=1/(2*sqrt(0.05*N)) // Demi-largeur de l’intervalle de confiance

disp(’[’+string(Y_barre-e)+’,’+string(Y_barre+e)+’]’)

(d) Il y a plus de 95 % de chances que la probabilite que M. Bidot ait un gain positif soit dansl’intervalle [0,51; 0,56]. M. Bidot a donc plus d’une chance sur deux d’avoir un gain positif,bien que son gain moyen soit nul. Cela signifie que la somme perdue lorsqu’il est perdantest en generale plus importante que la somme gagnee lorsqu’il est gagnant.

On pourra se reporter a Ecricome 1998 E pour un autre exemple de ce type.

7. (a) D’apres le preliminaire, on peut approcher la loi de X? par la loi normale centree reduite.

(b) Φ est une fonction continue et strictement croissante sur R (car Φ est de classe C1 sur R de

derivee ϕ : x 7→ 1√2πe−x

2/2 > 0), c’est donc une bijection de R vers ]0, 1[.

Or 0, 25 ∈ ]0, 1[, il existe donc un unique t0 ∈ R tel que Φ(t0) = 0, 25.

Par ailleurs Φ(0) = 1/2 > 0.25 donc t0 < 0.

On a montre l’existence d’un unique t0 ∈ R∗− tel que Φ(t0) = 0, 25

(c) Une instruction possible : t_0=cdfnor(’X’,0,1,0.25,0.75)

(d) On resout :

P(G ≥ 0) = P(nb− aX ≥ 0) = P

(X − np√np(1− p)

≤ nb/a− np√np(1− p)

)= P

(X? ≤ nb/a− np√

np(1− p)

)

D’apres la question 8.(a) on peut remplacer X? par une variable suivant la loi normalecentree reduite. Pour avoir P(G ≥ 0) ≤ 0, 25 il suffit donc de resoudre :

nb/a− np√np(1− p)

≤ t0 ⇐⇒ nb/a ≤√np(1− p)t0 + np⇐⇒ a ≥ nb

np+ t0√np(1− p)

Il convient de choisir une amende minimale de a1 =nb

np+ t0√np(1− p)

(e) Comme t0 < 0 on a a1 =nb

np+ t0√np(1− p)

≥ nb

np=b

p= a0

ce qui etait attendu puisqu’il faut augmenter la valeur de l’amende pour diminuer la pro-babilite que M. Bidot ait un gain relatif annuel qui soit positif.

6

8. On note A l’evenement ”M. Bidot est controle”, B l’evenement ”M. Bidot fraude” et C = A∩Bl’evenement ”M. Bidot se fait controler alors qu’il n’a pas de ticket”.

Par hypothese, A et B sont independants et donc P(C) = P(A)P(B) = pq.

On peut alors determiner les lois des variables X, Y et Z.

On reconnaıt pour chacune un schema de Bernoulli :– epreuve : prendre le bus,– succes : etre controle (avec probabilite p), respectivement frauder (avec probabilite q, respec-

tivement etre controler et ne pas avoir de ticket (de probabilite pq),– X, respectivement Y , respectivement Z, compte le nombre de succes obtenus lors de n epreuves

identiques et independantes.Ainsi :

X → B(n, p), Y → B(n, q), Z → B(n, pq)

9. On calcule :

P([X = 0] ∩ [Z = 1]) = P(∅) = 0 et P([X = 0])P([Z = 1]) = (1− p)n × npq(1− pq)n−1 6= 0

donc X et Z ne sont pas independantes

10. (a) M. Bidot depenserait nb euros sur l’annee s’il ne fraudait jamais.

Avec la methode de fraude suivie ici, M. Bidot perd a euros lors de chacun de ses Z controleset perd b euros lors de chacun des (n− Y ) trajets lors desquels il ne fraude pas.

On a donc :H = nb− aZ − b(n− Y ) d’ou : H = bY − aZ

(b) On calcule :E(H) = E(bY − aZ) = bE(Y )− aE(Z) = bnq − anpq

D’ou :

E(H) ≤ 0⇐⇒ bnq − anpq ≤ 0⇐⇒ b− ap ≤ 0⇐⇒ a ≥ b

p

Ainsi la valeur de a0 trouvee en 5.(b) convient encore

11. (a) vX est une matrice colonne qui contient n simulations independantes d’une variable deBernoulli de parametre p. Ainsi vX permet de simuler les controles.

vY est une matrice colonne qui contient n simulations independantes d’une variable deBernoulli de parametre q. Ainsi vY permet de simuler les trajets sans ticket.

vZ est une matrice colonne dont les coefficients valent 0 si le coefficient de meme ligne de vXou de vY est nul et 1 sinon. Autrement dit vZ contient n simulations independantes d’unevariable indicatrice de l’evenement ”M. Bidot est controle alors qu’il n’a pas de ticket”.

Ainsi, Y etant la somme des coefficients de vY, il s’agit bien d’une simulation de la variableY et Z etant la somme des coefficients de Z, il s’agit bien d’une simulation de la variable Z.

Enfin, t=b*Y-a*Z est une simulation de H pour une certaine valeur de a.

(b) La fonction probaH renvoie, pour une valeur de l’amende a donnee en entree, la frequencede l’evenement [H ≥ 0] sur N experiences.

D’apres la loi faible des grands nombres, on sait que cette frequence est proche de P (H ≥ 0).

On peut aussi invoquer un estimateur, de la meme maniere qu’en 6.(b).i...

(c) La courbe represente la probabilite d’avoir un gain positif en fonction du prix de l’amende.

Les irregularites viennent du fait que pour chaque valeur de a dans absc, la probabilite quele gain soit positif pour cette valeur de a est calculee a l’aide d’une simulation.

La courbe est naturellement decroissante : plus l’amende est importante, plus la probabiliteque le gain soit positif est faible.

On observe que pour une amende de a0 = 20 euros, la probabilite que le gain soit positifest environ de 0,5. Par ailleurs pour que la probabilite de gain positif soit ≤ 0,25, il fautfixer l’amende a a1 ≈ 22,5 euros.

7

3 Adaptation possible de l’enonce pour une epreuve orale

Rappel de quelques instructions Scilab :

• L’instruction grand(1,1,’bin’,n,p) simule une variable aleatoire suivant la loi binomiale de pa-rametres n et p.

• L’instruction grand(r,c,’bin’,n,p) cree une matrice formee de r lignes et c colonnes, les coeffi-cients simulant des variables aleatoires independantes suivant toutes la loi binomiale de parametresn et p.

• L’instruction P_X=binomial(p,n) cree une matrice ligne P_X constituee de n+ 1 elements tels quepour tout k ∈ J1, n+ 1K, l’element P_X(k) contient la valeur P (X = k − 1) :

P_X =[P (X = 0) , P (X = 1) , P (X = 2) , . . . , P (X = n)

]ou X est une variable aleatoire suivant la loi binomiale de parametres n et p.

• Soit T une variable aleatoire suivant la loi normale d’esperance moy et d’ecart-type sigma.On note FT la fonction de repartition de T .On rappelle que la fonction cdfnor peut s’utiliser des facons suivantes :– cdfnor(’PQ’,x,moy,sigma) calcule FT (x).– cdfnor(’X’,moy,sigma,p,1-p) calcule F−1T (p).

Description de la situation etudiee :

M. Bidot effectue n trajets par an sur la ligne de bus n4.Le prix du ticket est de b euros par trajet.

On observe que la probabilite que M. Bidot soit controle lors d’un trajet est de p et l’on suppose queles controles sont independants les uns des autres.Le prix de l’amende a payer lorsque l’on est controle sans titre de transport est de a euros.

Il peut arriver a M. Bidot de frauder, c’est-a-dire de voyager sans ticket. S’il n’est pas controle, il auraalors gagne b euros sur son trajet ; s’il est controle, il perd a euros.Le but de l’exercice est d’etudier la valeur qu’il faut donner au montant a de l’amende pour queM. Bidot soit en general perdant sur l’annee s’il fraude, selon divers protocoles de fraude.On definit ainsi le gain relatif annuel de M. Bidot par :(

Somme depensee sur l’annee parM. Bidot en ne fraudant jamais

)−(

Somme depensee sur l’anneepar M. Bidot en fraudant

)

Cas ou M. Bidot fraude tout le temps :

On suppose dans cette partie que M. Bidot n’achete jamais de ticket.On note X la variable aleatoire egale au nombre de fois ou M. Bidot est controle pendant l’annee.

1. On note G la variable aleatoire donnant le gain relatif de M. Bidot sur l’annee.

Quelle valeur minimale a0 faut-il donner a l’amende pour que M. Bidot soit en moyenne perdantsur l’annee s’il fraude a tous les trajets ?

On exprimera d’abord a0 en fonction de b et de p, puis on effectuera l’application numeriquecorrespondant au cas ou b = 2 euros et p = 0,1.

2. Ecrire un code Scilab qui permet l’affichage d’un diagramme en batons avec les valeurs prisespar X en abscisses et les probabilites correspondantes en ordonnees.

Justifier que pour n assez grand, on peut approcher la loi de X par une loi normale dont onprecisera les parametres.

Completer le code precedent afin de superposer au diagramme en batons la courbe representativede la densite de la loi normale approchant la loi de X.

3. La compagnie de bus souhaite fixer l’amende de telle sorte que la probabilite que M. Bidot soitgagnant sur l’annee en fraudant tout le temps soit inferieure ou egale a 0,25, autrement dit detelle sorte que : P (G > 0) 6 0,25

8

On suppose dans cette question que n > 30, ce qui permet d’approcher la loi de X par la loinormale dont les parametres ont ete choisis a la question precedente ; on note ΦX la fonction derepartition de cette variable aleatoire.

Determiner a l’aide d’une instruction Scilab un reel t0 tel que ΦX(t0) = 0,25.

Calculer avec Scilab la valeur minimale a1 de l’amende telle que P (G > 0) 6 0,25.

Commenter.

Cas ou M. Bidot fraude independamment d’un jour sur l’autre :

On suppose dans cette partie que chaque jour M. Bidot fraude avec la probabilite q ou achete un ticketavec la probabilite 1− q.On suppose de plus que les comportements de M. Bidot sont independants d’un jour sur l’autre, etne dependent pas non plus des eventuels controles qu’il aurait eu.

On note X la variable aleatoire egale au nombre de fois dans l’annee ou M. Bidot est controle.On note Y la variable aleatoire egale au nombre de fois dans l’annee ou M. Bidot fraude.On note Z la variable aleatoire egale au nombre de fois dans l’annee ou M. Bidot se fait controler alorsqu’il n’a pas de ticket.

4. On note H la variable aleatoire donnant le gain relatif de M. Bidot sur l’annee.

Verifier que H = bY − aZ puis que la valeur de a0 trouvee en 1. convient aussi dans cettesituation pour que M. Bidot soit en moyenne perdant sur l’annee.

5. Justifier que la fonction Scilab suivante simule la variable aleatoire H pour une certaine valeurde l’amende a :

// Les variables b, n, p et q sont definies au prealable dans le programme.

function t=H(a)



vZ=vX.*vY

Y=sum(vY)

Z=sum(vZ)

t=b*Y-a*Z

endfunction

puis ecrire une fonction d’intitule function t=probaH(a) qui calcule une valeur approchee dela probabilite P (H > 0) pour une certaine valeur de a.

6. Ecrire un code Scilab renvoyant une representation graphique de P(H > 0) en fonction dumontant a donne a l’amende.

Completer ce code afin de pouvoir comparer les deux situations etudiees dans l’exercice.

9

4 Corrige

1. Voir le corrige de la version ”Ecrit”.

2. Voir le corrige de la version ”Ecrit” pour la justification de l’approximation de la loi de X parla loi normale de parametres np et np(1− p).Un programme complete possible :

// Donnees de l’enonce

n=input(’proposez une valeur de n : ’)

p=input(’proposez une valeur de p : ’)

b=input(’proposez une valeur de b : ’)

// Initialisations

rand(’seed’,getdate(’s’)) // Generateur aleatoire

clf // Fenetre graphique

// Trace du diagramme en batons

P_X=binomial(p,n)

scf(0)

bar(0:n,P_X,’green’)

// Trace de la densite

esp=n*p

var=n*p*(1-p)

function y=phi(x)

y=exp(-(x-esp)^2/(2*var))/sqrt(2*%pi*var)

endfunction

absc=linspace(0,n,200)

ordo=feval(absc,phi)

plot2d(absc,ordo,style=2)

// Trace du diagramme en batons de telle sorte que l’on y voit quelques choses

// lorsque n est grand

scf(1)

xmin=floor(esp)-10

xmax=floor(esp)+10

bar(xmin:xmax,Y(xmin:xmax),’red’)

absc=linspace(xmin,xmax,200)

ordo=feval(absc,phi)

plot2d(absc,ordo,style=2)

3. On resout :

P(G ≥ 0) = P(nb− aX ≥ 0) = P

(X ≤ nb

a

)= ΦX

(nb

a

)puisque d’apres la question 2. on peut remplacer X par une variable suivant la loi normale deparametres np et np(1− p).Pour avoir P(G ≥ 0) ≤ 0, 25 il suffit donc de resoudre :

nb

a≤ t0 ⇐⇒ a ≥ nb

t0

10

Il convient de choisir une amende minimale de a1 =nb

t0ou t0 est tel que ΦX(t0) = 0,25.

Code Scilab :

t_0=cdfnor(’X’ , n*p , sqrt(n*p*(1-p)) , 0.25 , 0.75)

disp(t_0,’valeur de t_0 : ’)

disp(n*b/t_0, ’valeur minimale a donner a l’’amende : ’)

Ce qui renvoie :

valeur de t_0 :

45.475385

valeur minimale a donner a l’amende :

21.989918

La valeur de l’amende est superieure a celle de a0.



6. Un programme complet possible est :

// Donnees de l’enonce

n=input(’proposez une valeur de n : ’)

p=input(’proposez une valeur de p : ’)

q=input(’proposez une valeur de q : ’)

b=input(’proposez une valeur de b : ’)

// Initialisations

rand(’seed’,getdate(’s’)) // Gererateur aleatoire

clf // Fenetre graphique

N=5000

// Simulation du gain pour une certaine valeur de l’amende

function t=H(a)



vZ=vX.*vY

Y=sum(vY)

Z=sum(vZ)

t=b*Y-a*Z

endfunction

// Probabilite que le gain H soit positif

function t=probaH(a)

t=0

for i=1:N do

if H(a)>=0 then t=t+1

end

end

t=t/N

endfunction

// Representation graphique demandee

absc=linspace(a0-5,a0+10,200)

ordo=feval(absc,probaH)

plot2d(absc,ordo,rect=[15,0,25,1],style=2)

11

// COMPARAISON AVEC LE CAS OU IL FRAUDE TOUT LE TEMPS

// Vecteur ligne donnant la loi de X

P_X=binomial(p,n)

// Probabilite que le gain soit positif en fonction de a

// c’est-a-dire probabilite que X soit inferieure a nb/a

function y=f(a)

y=0

i=0

while i<=n*b/a do

y=y+P_X(i+1)

i=i+1

end

endfunction

// Representation graphique correspondant au cas 1

ordo2=feval(absc,f)

plot2d(absc,ordo2,rect=[15,0,25,1],style=4)

// Representation graphique dans le cas ou l’on approche la loi de X

// par une loi normale dans le cas 1

esp=n*p

var=n*p*(1-p)

function y=g(a)

y=cdfnor(’PQ’,n*b/a,esp,sqrt(var))

endfunction

ordo3=feval(absc,g)

plot2d(absc,ordo3,style=5)

legend(’Cas 2’,’Cas 1 (loi binomiale pour X)’,’Cas 1 (loi normale pour X)’)

cste=0.25*ones(1,200)

plot2d(absc,cste)

xtitle(’Probabilite que le gain soit positif selon la valeur de l’’amende’)

12

Suggestions de planches d’oral

1. Exercice long – Voie E

Une action vaut initialement X0 = 1 euro. À chaque instant n > 1, sa valeur est multipliée parune quantité aléatoire Zn. On suppose que les variables Zn sont indépendantes et de même loi, avec

P(Zn = 1+ a) = P(Zn = 1− a) = 1/2

pour une certaine valeur de a 2 ]0, 1[. On note Xn la valeur de l’action à l’instant n : ainsi, pour toutentier n strictement positif,

Xn =n∏k=1

Zk.

On pose Yk = ln(Zk), où ln désigne la fonction logarithme népérien, et on définit pour tout entiernaturel n > 1 la variable

Yn =Y1 + + Yn

n.

1. Montrer que pour tout entier naturel n on a E[Xn] = 1.

2. Exprimer EYn

, puis Var

Yn

en fonction de a et n.

3. Montrer qu’il existe δ > 0 tel que

PY1 + + Yn > −nδ

−−−−→n→+∞ 0 .

4. En déduire que pour tout ε > 0 on a

P(Xn > ε) −−−−→n→+∞ 0 .

5. Mettre en regard les résultats des questions 1 et 4. A-t-on Var(Xn) → 0 quand n→ +∞ ?

6. Expliquer comment les résultats des questions précédentes sont illustrés par les sorties graphiqueset numériques fournies.

a = 0.4; n = 50; N = 10000;

// Simulation de N trajectoires de longueur nX = zeros(N,n);for k = 1:N

Z = 1 + a * (2*(rand(1,n) > 1/2)-1);X(k,:) = cumprod(Z);

end

// Trace de 5 trajectoiresT = X(1:5,:); plot(T’);

// Sorties numeriquesm = mean(X,’r’); disp(’Vecteur m’); disp(m);s = stdev(X,’r’); disp(’Vecteur s’); disp(s);epsilon = 0.1;p = sum(X(:,n)>epsilon)/N; disp(’Nombre p’); disp(p);

Gilles Stoltz 1

Suggestionsde

planchesd’oral

2Gilles

Stoltz


2. Exercice court – Voie E

Voici l’exercice dont je m’inspire :

Exercice principal E 49

1. Question de cours : Definition de deux matrices semblables.

Soit f un endomorphisme de R3 dont la matrice A dans la base canonique de R3 est donnee par :

A =

3 2 −2−1 0 11 1 0

.

On note id l’endomorphisme identite de R3 et on pose : f2 = f f .

2.a) Montrer que 2f − f2 = id.

b) Montrer que l’endomorphisme f est un automorphisme. Quel est l’automorphisme reciproque de f ?

c) Montrer que f admet l’unique valeur propre λ = 1. L’endomorphisme f est-il diagonalisable ?

d) Determiner le sous-espace propre associe a la valeur propre 1. Quelle est sa dimension ?

3.a) Calculer pour tout n ∈ N, An en fonction de n.

b) Le resultat precedent s’etend-t-il au cas ou n ∈ Z ?

4. Determiner une base (u, v, w) de R3 dans laquelle la matrice de f est la matrice C =

1 0 00 1 10 0 1

.

Exercice sans preparation E 49

Soit (Xn)n∈N∗ une suite de variables aleatoires reelles independantes definies sur le meme espace probabilise(Ω, A, P

)et suivant toutes la loi uniforme sur l’intervalle [0, 1].

1. Pour tout entier k > 1, determiner une densite de la variable aleatoire Yk = max(X1, X2, . . . , Xk).

2. Determiner une densite de la variable aleatoire Zk = −Yk.

22

On pourrait conserver la première question et remplacer la seconde par ceci :

2. Expliquer comment le résultat trouvé se traduit sur les représentations graphiques suivantes.

n = [1 10 20 40];N = 1000;X = rand(max(n),N);for j = 1:4

M = max(X(1:n(j),:), ’r’);subplot(2,2,j);histplot(20,M);

end;

Gilles Stoltz 3


3. Exercice court – Voie S

On considère l’urne diabolique suivante : au départ, elle contient deux boules rouges et deux boulesnoires. L’objectif du joueur est de tirer une boule rouge. Les tirages s’effectuent avec remise et à chaquetentative ratée, une boule noire supplémentaire apparaît. On s’intéresse au nombre moyen de tiragesà effectuer pour obtenir une boule rouge.

1. Déterminer ce nombre moyen par le calcul.

2. Le code ci-dessous, lancé trois fois de suite, produit les trois sorties numériques suivants :

!Moyenne : 3.413 !!Ecart-type : 12.684058 !



Quel est le principe du code, trouvez-vous qu’il soit efficace ? Avez-vous une explication ?

Code la simulation :

N = 1000;Res = [];for j = 1:N

r = 2; b = 2; t = 0; s = %T;while s

s = (rand(1,1) > r/(b+r));t = t + 1;b = b + 1;

end;Res = [Res t];

end;disp([’Moyenne :’ string(mean(Res))]);disp([’Ecart-type :’ string(stdev(Res))]);

4 Gilles Stoltz

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JOURNÉE DU 20 OCTOBRE 2014 - webhost.hec.frwebhost.hec.fr/stoltz/Seances/Stage/Exercices-Stage-20-octobre... · ÉVALUATION DE SCILAB À L’ÉCRIT ET À L’ORAL DES CONCOURS