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3.1Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Didaktik der AlgebraModul 5
Jürgen Roth
3.2Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Inhalt
Didaktik der Algebra
1 Ziele und Inhalte
2 Terme
3 Funktionen
4 Gleichungen
3.3Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Kapitel 3: FunktionenDidaktik der Algebra
3.4Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Inhalt
Kapitel 3: Funktionen3.1 Grundvorstellungen zum / Aspekte des Funktionsbegriffs3.2 Grundlegende Aspekte beim Arbeiten mit Funktionsgraphen3.3 Typische Schülerfehler beim Arbeiten mit Funktionsgraphen3.4 Stufen beim Lernen des Funktionsbegriffs3.5 Grunderfahrungen vermitteln und Aktivitäten gestalten3.6 Parameter und Funktionsgraphen / Problem der Umkehrfunktion3.7 Proportionale Funktionen3.8 Exponentialfunktionen3.9 Extremwertprobleme
3.5Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.1 Grundvorstellungen zum / Aspekte des Funktionsbegriffs
Kapitel 3: Funktionen
3.6Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Der Funktionsbegriff im MU
ZieleDen Funktionsbegriff erfassen.
Wichtige Funktionstypen & ihre Eigenschaften kennen lernen.
Funktionen zum Erkennen, Beschreiben oder Herstellenvon Zusammenhängen nutzen
Malle, G. (2000). Funktionen untersuchen – ein durchgängiges Thema.Mathematik lehren Heft 103, S. 4-7
3.7Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Kernpunkte des Grundvorstellungskonzepts
Grundvorstellungenrepräsentieren abstrakte Begriffe anschaulich,ermöglichen Verbindungen zwischenMathematik und Anwendungssituationen,zu einem mathematischen Begriff sind inhaltliche Deutungen des Begriffs, die diesem Sinn geben.
Zwei Typen von GrundvorstellungenPrimäre Grundvorstellungen Sekundäre Grundvorstellungen
vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7
3.8Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Primäre Grundvorstellungen
Wurzeln in gegenständlichen Handlungserfahrungen
vom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014). Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7
3.9Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Sekundäre Grundvorstellungen
Dargestellt mit mathematischen Repräsentationenvom Hofe, R.; Hattermann, M. (2014): Zugänge zu negativen Zahlen. mathematik lehren 183, S. 2-7
+𝒄𝒄 +𝒄𝒄
+𝒅𝒅
+𝒅𝒅
𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐
= 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑
= 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏=𝑓𝑓 𝑥𝑥
+ �𝑎𝑎 � 𝑐𝑐≔𝑑𝑑
= 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏
𝑓𝑓:ℝ → ℝ, 𝑥𝑥 ↦ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
3.10Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Grundvorstellungenzu Funktionen
Zuordnung Funktionen beschreiben / stiften Zusammenhänge zwischen Größen: Einer Größe wird genau eine zweite zugeordnet.
ExperimentSchüler/innen rennen eine Treppe hinauf. Messen nach dem Lauf in Abständen von 30s ihren Puls.Halten den Zusammenhang paarweise in einer Tabelle fest.Erfahrung: Jedem Zeitpunkt wird (genau) ein Puls zugeordnet.
Roth, J. (2014): Experimentieren mit realen Objekten, Videos & Simulationen – Ein schülerzentrierter Zugang zum Funktionsbegriff. MU 60(6), S. 37-43
Vollrath, Weigand (20073). Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, S. 140
3.11Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Grundvorstellungenzu Funktionen
Änderungsverhalten / KovariationDurch Funktionen wird deutlich, wie sich die Änderung einer Größe auf eine von ihr abhängige Größe auswirkt.
FragestellungWie ändert sich der Puls in gleichen Zeitschritten? Ändert er sich auch gleichmäßig, oder zunächst langsamer und dann schneller oder … ?Hierfür reicht es nicht einzelne Wertepaare zu betrachten. Es müssen jeweils mehrere benachbarte Werte zueinander in Beziehung gesetzt werden.
Roth, J. (2014): Experimentieren mit realen Objekten, Videos & Simulationen – Ein schülerzentrierter Zugang zum Funktionsbegriff. MU 60(6), S. 37-43
Vollrath, Weigand (20073). Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, S. 140
3.12Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Grundvorstellungenzu Funktionen
Sicht als Ganzes Mit Funktionen sieht man einen Zusammenhang als etwas Ganzes. Man betrachtet nicht mehr einzelnen Wertepaare sondern die Menge aller Wertepaare.
Funktionaler Zusammenhang zwischen Zeit und PulsSystematisch Daten aufnehmen → in Tabelle festhalten → Graph zeichnen kann erst am Graph als Ganzes betrachtet und anhand deren Verläufe für verschiedene Läufer verglichen werden → Fitness.
Roth, J. (2014): Experimentieren mit realen Objekten, Videos & Simulationen – Ein schülerzentrierter Zugang zum Funktionsbegriff. MU 60(6), S. 37-43
Vollrath, Weigand (20073). Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, S. 140
3.13Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Fitness der LäuferSicht als Ganzes
0
20
40
60
80
100
120
140
1 2 3 4 5 6 7 8
Schüler 1
Schüler 2
Schüler 3
Puls
Messung (alle 30 Sekunden)
Ruhepuls Schüler 2 und 3
Ruhepuls Schüler 1
3.14Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Fitness der LäuferSicht als Ganzes
0
20
40
60
80
100
120
140
1 2 3 4 5 6 7 8
Schüler 1
Schüler 2
Schüler 3
Puls
Messung (alle 30 Sekunden)
Ruhepuls Schüler 2 und 3
Ruhepuls Schüler 1
Perspektiven zur Sicht als Ganzem bei Funktionsgraphen:(1) Vergleich von Abschnitten
im selben Graph(2) Vergleich verschiedener Graphen
3.15Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Grundvorstellungenzu Funktionen
Zuordnung Funktionen beschreiben / stiften Zusammenhänge zwischen Größen: Einer Größe wird genau eine zweite zugeordnet.
Änderungsverhalten / KovariationDurch Funktionen wird deutlich, wie sich die Änderung einer Größe auf eine von ihr abhängige Größe auswirkt.
Sicht als Ganzes Mit Funktionen sieht man einen Zusammenhang als etwas Ganzes. Man betrachtet nicht einzelne sondern die Menge aller Wertepaare.
Roth, J. (2014): Experimentieren mit realen Objekten, Videos & Simulationen – Ein schülerzentrierter Zugang zum Funktionsbegriff. MU 60(6), S. 37-43
Vollrath, Weigand (20073). Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, S. 140
3.16Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Ziele beim Ausbilden von Grundvorstellungen
• Anknüpfen an bekannte Situationen oder Handlungsvorstellungen
Sinnzusammenhänge herstellen
• Ermöglichen mentales operieren mit ihnen
Aufbau visueller Repräsentationen
• Erkennen der Struktur in Sachzusammenhängen
• Modellieren des Phänomens mit Hilfe der mathematischen Struktur
Fähigkeit zur Anwendung des Inhalts auf die
Wirklichkeit
Roth, J. & Siller S. (2016). Bestand und Änderung – Grundvorstellungen entwickeln und nutzen. Mathematik lehren 199, S. 2-8
3.17Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Aspekte des Funktionsbegriffs
Aspekte desFunktionsbegriffs
Zuordnung
Änderungsverhalten (Kovariation)
Sicht als Ganzes
Vollrath, Weigand (20073). Algebra in der Sekundarstufe. Spektrum Akademischer Verlag, S. 140
Malle (2000). Zwei Aspekte von Funktionen: Zuordnung und Kovariation. Mathematik lehren 103, S. 8-11
Tabelle Graph
𝒙𝒙 𝒇𝒇(𝒙𝒙)1 22 43 64 85 10
Varia
tion
Kova
riatio
n
Zuordnung
Zuor
dnun
g
Variation
Kova
riatio
n
Funktionsterm𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 2 ⋅ 𝑥𝑥
Zuordnung
3.18Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Zuordnung
Zuordnung
Zuordnung
3.19Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Änderungsverhalten(Kovariation)
Varia
tion
Kova
riatio
n
Kova
riatio
n
Variation
3.20Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Zuordnung und Kovariation
Zuordnungsaspekt
Kovariationsaspekt
Wie groß ist Peter mit 15 Jahren?
Welche Aussage über das Wachstum im Alter von 11 Jahren ist richtig?
O Peter wächst schneller als Maria
O Maria wächst schneller als Peter
O Maria und Peter wachsen gleich schnell
3.21Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Bestand und Änderung
0
5
10
15
20
25
30
35
40
18. Dez. 25. Dez. 1. Jan. 8. Jan.
Anza
hl A
nkün
fte /
Abre
isen
pro
Tag
Ankünfte und Abreisen im Alpenhotel Ankünfte (Anzahl am Tag) Abreisen (Anzahl am Tag)
Ossimitz (2003): Zeitliche Dynamik verstehen. Mathematik lehren 120, S. 60-63
Wann waren die meisten Gäste im Hotel?
www.menti.com→ 13 94 02
3.22Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Darstellungsformen Grundvorstellungen
grafisch tabellarisch Symbolisch sprachlich
Zuordnung
Tätigkeit: Einem Wert auf der 1. Achse wird ein Wert auf der 2. Achse zugeordnet.Hauptzweck:Markante Punkte erfassen
Tätigkeit: Einem Wert in der 1. Spalte wird ein Wert in der 2. Spalte zugeordnet.Hauptzweck:Ablesen/Eintragen konkreter Zuordnungen
Tätigkeit: Aus einem Wert des Definitionsbe-reichs wird der abhäng-ige Wert berechnet.Hauptzweck:Bestimmen einzelner Werte
Tätigkeit:Dekodieren von Informationen zu Zuordnungen.Hauptzweck:Erfassen einzelner Werte
Kovariation
Tätigkeit: Untertei-lung in Abschnitte mit unterschiedlichem ÄnderungsverhaltenHauptzweck:Änderungsverhalten qualitativ erfassen
Tätigkeit:Paarweiser Vergleich hinsichtlich der Art der Änderung.Hauptzweck:Änderungsverhalten quantifizieren
Tätigkeit:Ablesen bzw. Bestim-men entsprechender Kenngrößen.Hauptzweck:Änderungsverhalten quantifizieren
Tätigkeit: Dekodieren von Informationen zum Änderungsverhalten.Hauptzweck:Änderungsverhalten qualitativ bzw. quantitativ erfassen
Sicht als Ganzes
Tätigkeit: Mit grafi-schen Merkmalen die Funktion als Ganzes oder für Teilbereiche typisieren.Hauptzweck:Charakteristischen Verlauf erfassen
Tätigkeit:Differenzen-, Produkt-, Quotientengleichheito.ä. aus Wertepaaren bestimmen.Hauptzweck:Quantifizierbar. Regel-mäßigkeiten erfassen
Tätigkeit:Mit Kenngrößen die Funktion als Ganzes typisieren.
Hauptzweck:Charakteristika quantitativ erfassen
Tätigkeit:Dekodieren von Informationen zum Änderungsverhalten.Hauptzweck:Charakteristika qualitativ bzw. quantitativ erfassen
Hußmann, Laakmann: Eine Funktion – viele Gesichter. Darstellen und Darstellungen wechseln. PM 53/38, 2011, S. 2-13
Darstellungsformen →
Grundvorstellungen →
3.23Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Beispiel: DreieckssehneRoth, J. (2005). Kurvenerzeugende Sehnen. Mathematik lehren 130, S. 8-10
http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/ • https://www.geogebra.org/m/wjgQ3PQB
Zuordnung
Änderungsverhalten(Kovariation)
Sicht als Ganzes
A B
C
Q
Ps
3.24Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Holzmodell
3.25Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Arbeitsaufträge
Skizzieren Sie den qualitativen Verlauf des Graphen der Zuordnung x ↦ s(x).
Achten Sie dabei insbesondere auch auf das Änderungsverhalten.Diskutieren Sie alle Details des Verlaufs Ihres Graphen in der Gruppe.Interpretieren und erklären Sie Eigenschaften des Graphen anhand von Eigenschaften des gleichseitigen Dreiecks und umgekehrt.
http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/dreiecksehne.html
Gummiband-modell
A B
C
Q
Ps
3.26Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Modellierung der Bewegung von Q eindeutig?
http://www.juergen-roth.de/dynageo/sehne_aenderung/
QZirkel-modell
µ
3.27Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Einsatz von Werkzeugen
BilderDenkprozesse anstoßenErgebnisse zusammenfassen
„Modelle“Verständnisgrundlagen anbieten (vgl. „Gummi-bandmodell“)
ComputerwerkzeugeKontrollinstanz
„Im Kopf“ abgelaufene Denkvorgänge überprüfen und hinterfragen
KommunikationsmittelAufmerksamkeit fokussierenÄnderungsverhalten durch „Vorführen“ von Verände-rungen veranschaulichen
„Denkzeug“Komplexität reduzierenGedächtnis entlastenKonzentration auf Planung, Analyse und Argumentation
Grundsätzlich• Werkzeuge dosiert
einsetzen• Einsatz von Werkzeugen
soll zum Denken anregen
3.28Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Figuren verändern –Funktionen verstehen
Zuordnung Änderungsverhalten(Kovariation)
Eigenschaften einesFunktionsgraphen
Entstehung einesFunktionsgraphen A B
C
Q
Ps
Sicht als Ganzes
3.29Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Was ist eigentlicheine Funktion?
3.30Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Was ist eigentlicheine Funktion?
3.31Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Wertemenge 𝕎𝕎
Was ist eigentlicheine Funktion?
Definitions-menge 𝔻𝔻
Zielmenge
3.32Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Was ist eigentlicheine Funktion?
Definition (1): Eine Funktion ist eine Zuordnung zwischen einer Definitionsmenge 𝔻𝔻 und einer (Ziel-) Menge 𝕄𝕄, die jedem Element aus 𝔻𝔻 genau ein Element aus 𝕄𝕄 zuordnet.
Definition (2):Eine Funktion ist eine linkstotaleund rechtseindeutige Relation.
Was ist eine Relation? Eine Relation ist eine Teilmenge der Produktmenge
𝐴𝐴 × 𝐵𝐵 ∶= 𝑎𝑎, 𝑏𝑏 𝑎𝑎∈𝐴𝐴 ∧ 𝑏𝑏∈𝐵𝐵}zweier Mengen 𝐴𝐴 und 𝐵𝐵.
3.33Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.2 Grundlegende Aspekte beim Arbeiten mit Funktionsgraphen
Kapitel 3: Funktionen
3.34Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Grundlegende Aspekte beim Arbeiten mit Funktionsgraphen
KonstruktionAchsen korrekt beschriften
Welche Zusammenhänge werden dargestellt?
Skalierung geeignet wählenSchüler/innen nehmen häufig fälschlich an, dass die Achsen identisch skaliert sein müssen.
Negative Bereiche beachtenDaten mit negativen Koordi-naten im II., III. oder IV. Quadranten darstellen.
Ziel: SuS befähigen funktionale Zusammenhänge ange-messen darzustellen
InterpretationAchsenbeschriftung beachten
Dargestellten Zusammenhang richtig erfassen
Achsenskalierung beachtenDargestellten Zusammenhang richtig erfassenVerschiedene Zusammen-hänge fehlerfrei vergleichenTäuschungen und Übertreibungen erkennen
Ziel: SuS befähigen Darstellungen funktionaler Zusammenhänge kritisch zu beurteilen
3.35Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Bevölkerungsstand in Deutschland
Daten: Statistisches Bundesamt
80
81
82
83
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
Milli
onen
Jahr
Einw
ohne
r Deu
tsch
land
s in
3.36Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Bevölkerungsstand in Deutschland
Daten: Statistisches Bundesamt
0
10
20
30
40
50
60
70
80
90
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
2011
2012
2013
2014
2015
Milli
onen
Einw
ohne
r Deu
tsch
land
s in
Jahr
3.37Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
„Misstrauensregeln“ für Diagramme
Verstöße gegen Proportionalität?Verstöße gegen perspektivische Verzerrungen?Stauchungen oder Streckungen von Achsen?Klare Achseneinteilung?Achsen vollständig dargestellt?Informationsbeitrag von Farben?Passen die Daten zur Interpretation?Welche Daten hätte ich gerne zum Thema erfahren?Passen die Daten zu meiner Einschätzung?Wie und wann wurden die Daten gewonnen?Interesse des Autors?Inhaltlicher Beitrag der Zahlen und Graphiken zur Botschaft?
Halbach (2001). Eine Statistik – Viele Interpretationen. Mathematik lehren 109, S. 46-48
http://www.wdr.de/tv/quarks/sendungsbeitraege/2006/1017/flash/kap2_flash.jsp
3.38Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Daten unterschiedlichdarstellen
Halbach (2001). Eine Statistik – Viele Interpretationen. Mathematik lehren 109, S. 46-48
3.39Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Quelle: http://presse.adac.de/meldungen/Geld_Kosten/Autokosten_Index_Herbst_2007.asp?ComponentID=189519&SourcePageID=14990#0 (Abgerufen am 30.10.2007)
3.40Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.3 Typische Schülerfehler beim Arbeiten mit Funktionsgraphen
Kapitel 3: Funktionen
3.41Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Typische Schülerfehler beim Arbeiten mit Funktionsgraphen
Probleme beim Einzeichnen und Ablesen von Punkten
Probleme beim Herstellen eines Bezugs zur Situation
„Graph als Bild“-Fehler
Verwechslung von Bestand und Änderung
Concept image ↔ concept definition
3.42Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Probleme beim Einzeichnen und Ablesen von Punkten
KonstruktionEindeutigkeit missachtet
Vgl. GV ZuordnungTrugschluss: Eindeutigkeit → Injektivität
Ann.: Da jedem 𝑥𝑥 genau ein 𝑦𝑦zugeordnet wird, darf auch je-des 𝑦𝑦 nur einmal vorkommen. (Leinhardt et al. 1990)
Konstruktion & AblesenProbleme
mit negativen Koordinatenbei der Interpolationbeim Ablesen des 𝑥𝑥-Werts zu einem 𝑦𝑦-Wertbeim Bestimmen von Steigungenbeim Vergleich von Stei-gungen in verschiedenen Abschnitten oder Graphen
Annahme: Sichtbarer Graph zeigt die gesamte Funktion(Probleme beim Treffen von Vorhersagen)
Konstruktion & Ablesen𝑥𝑥- und 𝑦𝑦-Koordinate werden vertauscht
Vgl. GV ZuordnungAchsenskalierung missachtet
3.43Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Probleme beim Einzeichnenund Ablesen von Punkten
Negative Koordinaten
A
B
CInterpolation
3.44Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Probleme beim Herstellen eines Bezugs zur Situation
KonstruktionUnsicherheit,
welche für die Situation markanten Punkte sich für die Konstruktion des Graphen nutzen lassenob das Verbinden von Punkten in der Situation erlaubt bzw. sinnvoll istwie Punkte ggf. verbunden werden müssen (Typ des funkt. Zusammenhangs) – oft wird fälschlich linear oder stückweise linear verbunden
Keine Änderung ↔ Funktionswert 0
InterpretationUnsicherheit, wie
Punkte bzgl. der SituationAchsenabschnitteSchnittpunkte von Graphenkonstante Graphen-Abschnitte(Graph parallel zur 𝑥𝑥-Achse)Linie durch Punkte (Funktions-graph; Interpolations- bzw. Ausgleichsgerade; Visualisie-rung von Veränderungen)Steigung des Graphen insge-samt / in versch. Abschnittenversch. Graphen zu einer Situation im Vergleich
zu interpretieren sind
3.45Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Probleme beim Herstellen eines Bezugs zur Situation
3.46Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Probleme beim Herstellen eines Bezugs zur Situation
0
5
10
15
20
25
30
35
40
18. Dez. 25. Dez. 1. Jan. 8. Jan.
Anza
hl A
nkün
fte /
Abre
isen
pro
Tag
Ankünfte und Abreisen im Alpenhotel Ankünfte (Anzahl am Tag) Abreisen (Anzahl am Tag)
Ossimitz (2003): Zeitliche Dynamik verstehen. Mathematik lehren 120, S. 60-63
Wann waren die meisten Gäste im Hotel?
3.47Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
„Graph als Bild“-Fehler
Konstruktion & InterpretationEin Graph wird nicht als Darstellung eines funktionalen Zusammenhangs sondern als Abbild (Foto) der Realität interpretiert bzw. konstruiert.
Tritt häufig auf, wenn die Funktion einen Zusammenhang zwischen zurückgelegtem Weg oder Geschwindigkeit und Zeit darstellt.
Funktionsgraph wird dann oft als zurückgelegte Strecke bzw. Streckenverlauf interpretiert.
Clement (1985). Misconceptions in graphing. Proceedings of the 9th PME, Noordwijkerhout, The Netherlands
Monk, S. (1992). Students' understanding of a function given by a physical model. In E. Dubinsky & G. Harel (Eds.), The concept offunction. Aspects of epistemology and pedagogy (pp. 175–193). Washington, DC: Mathematical Association of America.
3.48Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Jan Feb Mär Apr Mai Jun Jul Aug Sep Okt Nov Dez
100 %
50 %
0 %
- 50 %
- 100 %
„Graph als Bild“-Fehler
Datenanalyse: Fischer/Goldwich. Mobil 8/2016, S. 20
MÜLLERS LUST IM AUGUST
In diesem Monat wird gewandert wie sonst nie – jeden-
falls wenn die Fotocommunity Instagram als
Gipfelindikator gilt: Wir haben ermittelt, in
welchem Monat wie viele Fotos mit dem Schlagwort
#wandern gepostet werden. Die Null-
Prozent-Linie zeigt den
Durchschnittswert.
3.49Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Verwechslung von Bestand und Änderung
Interpretation & gelegentlich KonstruktionDiese Verwechslung findet sich, wenn nach der Steigung (also der Änderung) an einer bestimmten Stelle bzw. in einem bestimmten Bereich gefragt wird.Statt der Änderung wird dann häufig der Bestand (d.h. der 𝑦𝑦-Wert an dieser Stelle bzw. die 𝑦𝑦-Werte in diesem Bereich) fokussiert.Dieser Fehler tritt auf, wenn mehrere Graphen oder verschiedene Teilbereiche eines Graphen miteinander verglichen werden und beispielsweise nach der größeren Änderung gefragt wird.
Clement (1985). Misconceptions in graphing. Proceedings of the 9th PME, Noordwijkerhout, The Netherlands
McDermott et al. (1987). Student difficulties in connecting graphs and physics: Examples from kinematics. Am. J. Phys. 55(6), 503-513
3.50Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
1998: Durchschnittsgrößen von Jugendlichen (Niederlande)
Vergleich innerhalb eines Graphen
Innerhalb welchen Jahres wachsen die Jungen am stärksten?
Vergleich zwischen zwei Graphen
Welche Jugendliche wachsen im Zeitraum zwischen 10 und 11 Jahren stärker – männliche oder weibliche?
Größe in cm
Alter in Jahren
♂
♀
3.51Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
concept image ↔concept definition
Thompson, P. W. (1994). Students, Functions, and the Undergraduate Curriculum. In E. Dubinsky, A. H. Schoenfeld, & J. J. Kaput (Eds.), Research in Collegiate Mathematics Education I (pp. 21–44). Providence, RI: American Mathematical Society.
konventionelle Definition
Eine Funktion isteine Zuordnung zwischen
einer Definitionsmenge 𝔻𝔻und einer (Ziel-) Menge 𝕄𝕄,
die jedem Element aus 𝔻𝔻genau ein Element aus 𝕄𝕄zuordnet.
concept definition↔Definition des Konstrukts, die von
der Person akzeptiert wurde
concept imageDurch Erfahrungen entstandene mentale Bilder
die mit dem Konstrukt verbunden werden.
Vorstellungen
𝑥𝑥 𝑦𝑦?
Tall, D.O.; Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics, with special reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics 12, 151-169
3.52Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
concept image ↔concept definition
Concept image & concept definitionexistieren nebeneinander und sind oft miteinander vereinbar. Allerdings sind sie nicht immer gleichzusetzen und können sich gegenseitig stören.
Graphen, die ungewohnt erscheinen, mit denen man noch keine Erfahrung gesammelt hat, passen z. B. nicht zu den mentalen Bildern und somit nicht ins concept image.
Aus diesem Grund werden sie oft nicht als Funktionen angesehen, obwohl sie definitionsgemäß Funktionen sind und die Definition einer Funktion (conceptdefinition) von den jeweiligen SuSdurchaus verinnerlicht wurde.
Interpretation & KonstruktionHäufige Annahmen von SuS:
Keine „richtigen“ Funktionen sind (wenn noch nicht explizit im Unterricht thematisiert):
Abschnittsweise definierte FunktionenUnstetige und diskrete FunktionenKonstante Funktionen
Tall, D.O.; Vinner, S. (1981). Concept image and concept definition in mathematics, with special reference to limits and continuity. Educational Studies in Mathematics 12, 151-169
KonstruktionHäufige Annahme von SuS:
Graph beginnt immer im Ursprung
3.53Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
concept image ↔concept definition
x
3.54Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.4 Stufen beim Lernendes Funktionsbegriffs
Kapitel 3: Funktionen
3.55Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Stufen beim Lernen des Funktionsbegriffs
Intuitives BegriffsverständnisBegriff als PhänomenBeispiele kennen
Inhaltliches BegriffsverständnisBegriff als Träger von EigenschaftenEigenschaften kennen
Integriertes BegriffsverständnisBegriff als Teil eines BegriffsnetzesBeziehungen von Eigenschaften untereinander und Beziehungen zu anderen Begriffen kennen
Strukturelles (formales) BegriffsverständnisBegriff als Objekt zum operierenBegriffe als Objekte die verknüpft werden können.
Vollrath, H.-J. (1984). Methodik des Begriffslehrens im MU. Ernst Klett Verlag, S. 215-217
-3 -2 -1 1 2 3
1
2
3
4
5
6
7
8
x
y
𝒇𝒇 ⋅ 𝒈𝒈
3.56Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Stufen beim Lernendes Funktionsbegriffs
1. Stufe: Der Begriff als Phänomen2. Stufe: Der Begriff als Träger von Eigenschaften3. Stufe: Der Begriff als Teil eines Begriffsnetzes4. Stufe: Der Begriff als Objekt zum Operieren
Vollrath, Weigand (20073): Algebra in der Sekundarstufe. Heidelberg: Spektrum Akademischer Verlag, S. 158-162
3.57Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
1. Begriff als Phänomen
Das intuitive Verständnis des Funktionsbegriffs ist durch folgende Fähigkeiten gekennzeichnet:
Die Schülerinnen und Schüler
erkennen Zusammenhänge zwischen Größenund können sie beschreiben
kennen wichtige Beispiele für Funktionen
verbinden Vorstellungen wie Kurve, Schaubild, Pfeildiagramm, Tabelle usw. mit dem Funktionsbegriff
können diese Ausdrucksmittel zum Lösen einfacher Probleme einsetzen.
haben die Eindeutigkeit der Zuordnung als kennzeichnende Eigenschaft erkannt
3.58Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2. Begriff als Träger von Eigenschaften
Das inhaltliche Verständnis des Funktionsbegriffs ist durch folgende Fähigkeiten gekennzeichnet:
Die Schülerinnen und Schüler
kennen grundlegende Eigenschaften von Funktionen
verbinden Vorstellungen über die Eigenschaftenmit verschiedenen Darstellungsformen
können Argumente für die erkannten Eigenschaftenangeben und benutzen dazu geeignete Darstellungen
können entdeckte Eigenschaftenzur Lösung von Problemen nutzen
3.59Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3. Begriff als Teil eines Begriffsnetzes
Das integrierte Verständnis des Funktionsbegriffs ist durch folgende Fähigkeiten gekennzeichnet:
Die Schülerinnen und Schüler
kennen Zusammenhänge zwischen Eigenschaften
erkennen mögliche charakterisierende Eigenschaftenund können daraus Definitionen bilden
können Funktionseigenschaften formal ausdrücken und in Beweisen verwenden
kennen für wichtige Funktionstypen unterschiedliche Definitionen und sind sich deren Äquivalenz bewusst
3.60Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
4. Begriff als Objekt zum Operieren
Das formale Verständnis des Funktionsbegriffsist durch folgende Fähigkeiten gekennzeichnet:
Die Schülerinnen und Schüler kennen wichtige Verknüpfungen von Funktionenhaben Vorstellungen von den Verknüpfungen, die an die verschiedenen Darstellungsformen gebunden sindkennen grundlegende Eigenschaften dieser Verknüpfungen und können sie begründenbenutzen beim Operieren mit Funktionen die gefundenen Verknüpfungseigenschaften
3.61Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.5 Grunderfahrungen vermitteln und Aktivitäten gestalten
Kapitel 3: Funktionen
Laborstation„Aktivurlaub“
3.62Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Umfang von Kreisscheiben in Abhängigkeit vom Durchmesser
https://www.geogebra.org/m/VqVxutUB
3.63Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Umfang von Kreisscheiben in Abhängigkeit vom Durchmesser
3.64Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Würfelzahl an einer Kante →Gesamtzahl benötigter Würfel
www.geogebra.org/mathe_labor
3.65Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Würfelzahl an einer Kante →Gesamtzahl benötigter Würfel
3.66Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Spitzbewegungen → Bleistiftlänge
www.geogebra.org/mathe_labor
3.67Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Füllmenge → Füllhöhe
www.geogebra.org/mathe_labor
ml
3.68Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Gefäße füllen
10
8
6
4
2
2 4 6 8 10
h
t
10
8
6
4
2
2 4 6 8 10
h
t
10
8
6
4
2
2 4 6 8 10
h
t
10
8
6
4
2
2 4 6 8 10
h
t
10
8
6
4
2
2 4 6 8 10
h
t
10
8
6
4
2
2 4 6 8 10
h
t
3.69Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Umrechnungstabelle
3.70Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
BadewannengeschichteHerget, Jahnke, Kroll (2001). Produktive Aufgaben für den MU in der Sek. I. Berlin: Cornelsen
3.71Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Zwei Herren in der Badewanne Loriot (1978)
https://www.youtube.com/watch?v=1S19GOb6Jbs
3.72Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Welche Sportart?Herget, Jahnke, Kroll (2001). Produktive Aufgaben für den MU in der Sek. I. Berlin: Cornelsen
Welche Sportart passt am besten zu dem Graphen?
AngelnStabhochsprung100-m-LaufFallschirmspringenGolfSpeerwerfenHochsprungTurmspringenDrag Racing Wasserski
3.73Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Geradensalat
https://www.geogebra.org/m/mxypPV9h
Wie lauten die zugehörigen Funktions-
gleichungen?
3.74Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Punkteintopf
https://www.geogebra.org/m/aB72hJgV
Alle Punkte mit so wenig Geraden wie
möglich treffen.
3.75Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Mit Graphen Bilder malen
https://www.geogebra.org/m/JGdMUD9b
3.76Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Mit Graphen Bilder malen
https://www.geogebra.org/m/VzPvaWWF
3.77Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.78Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
2
3
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.79Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
2
3
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.80Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.81Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.82Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.83Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.84Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.85Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.86Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koordinatenachsen ergänzen
𝑦𝑦 =23𝑥𝑥 + 1
3.87Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Funktionsgraphen laufenBarzel (2009): Mathematik mit allen Sinnen erfahren – auch in der Sekundarstufe! In: Leuders et al. Mathemagische Momente.
Berlin: Cornelsen, S. 6-17
www.vernier.com
3.88Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Goldpreishttp://stiftungrechnen.de/images/stories/downloads/13-05-29_ergebnisbericht_studie%20brgerkompetenz%20rechnen.pdf – Seite 20
http://www.faz.net/aktuell/finanzen/devisen-rohstoffe/edelmetalle-goldpreis-in-der-finanzkrise-verdoppelt-12001908.html
a) In welchem Jahr betrug der Goldpreis 750 Dollar je Feinunze?b) Wie viele Jahre brauchte Gold ungefähr um von 500 Dollar je
Feinunze auf den dreifachen Wert zu steigen?
3.89Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Dynagraph
https://www.geogebra.org/m/wbtNCsUQ
3.90Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.6 Parameter & Funktionsgraphen –Problem der Umkehrfunktion
Didaktik der Algebra – Kapitel 3: Funktionen
Parabelkonstruktion: https://www.geogebra.org/m/YJ8VeA7WParabel – Brennpunkteigenschaft: https://www.geogebra.org/m/kTAZN8MK Parabel – Herleitung der Gleichung: https://www.geogebra.org/m/V2xpdD29
3.91Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Parameter & Funktionsgraph:𝑥𝑥2 + 𝑐𝑐
http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
3.92Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Parameter & Funktionsgraph:(𝑥𝑥 − 𝑏𝑏)²
http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
3.93Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Präsenzübung
http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
3.94Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Parameter & Funktionsgraph:𝑎𝑎⋅𝑥𝑥𝑥
http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
3.95Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Präsenzübung
http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/parabel/
3.96Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Koeffizienten & Funktionsgraph: Scheitel
𝑓𝑓:ℝ → ℝ, 𝑥𝑥 ↦ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏 � 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐
3.97Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Zusammenhang zwischenden Darstellungen
= 𝑦𝑦𝑠𝑠 𝑆𝑆 ist der Scheitel der Parabel!
𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐
= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎𝑥𝑥 + 𝑐𝑐
= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎𝑥𝑥 +
𝑏𝑏2𝑎𝑎
2
−𝑏𝑏
2𝑎𝑎
2
+ 𝑐𝑐
= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥2 +𝑏𝑏𝑎𝑎𝑥𝑥 +
𝑏𝑏2𝑎𝑎
2
+ 𝑐𝑐 −𝑎𝑎 ⋅ 𝑏𝑏2
22𝑎𝑎2
= 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 +𝑏𝑏2𝑎𝑎
2
+ 𝑐𝑐 −𝑏𝑏2
4𝑎𝑎= −𝑥𝑥𝑠𝑠
𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎𝑥𝑥2 + 𝑏𝑏𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥 − 𝑥𝑥𝑠𝑠 2 + 𝑦𝑦𝑠𝑠
𝒂𝒂2 + 2𝒂𝒂𝒃𝒃 + 𝒃𝒃2= 𝒂𝒂 + 𝒃𝒃 2
⇒ 𝑆𝑆 −𝑏𝑏2𝑎𝑎 �
𝑐𝑐 −𝑏𝑏2
4𝑎𝑎
3.98Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
UmkehrfunktionRoth (2017). Zum y-Wert den x-Wert finden − Trigonometrische Funktionen umkehren. mathematik lehren 204, S. 33-35
https://www.geogebra.org/m/zDX4NKR2
3.99Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
UmkehrfunktionRoth (2017). Zum y-Wert den x-Wert finden − Trigonometrische Funktionen umkehren. mathematik lehren 204, S. 33-35
https://www.geogebra.org/m/zDX4NKR2
3.100Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Trigonometrische Funktionenund ihre Umkehrfunktionen
Roth (2017). Zum y-Wert den x-Wert finden − Trigonometrische Funktionen umkehren. mathematik lehren 204, S. 33-35
https://www.geogebra.org/m/zDX4NKR2
3.101Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Auswirkung von Parametern auf Funktionsgraphen
http://www.juergen-roth.de/dynageo/trigonom/sinusfunktion_mit_parametern.html
𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑓𝑓 𝑏𝑏 ⋅ 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 + 𝑑𝑑
3.102Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.7 Proportionale FunktionenKapitel 3: Funktionen
3.103Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Proportionale Funktionen
Wurstaufschnitt einkaufen100 g Wurstaufschnitt kosten 1,20 €Was muss man für 300 g, 150 g, 600 g bzw. 200 g Aufschnitt bezahlen?
Aufschnitt/g Preis/€
100 1,20
300 3,60
150 1,80
600 7,20
200 2,40
·3 ·3
:2 :2
·4 ·4
:3 :3
LösungZur doppelten (dreifachen,vierfachen, …) Menge gehört der doppelte (dreifache, vierfache, …) Preis.Kauft man nur die Hälfte (ein Drittel, ein Viertel, …) dann bezahlt man nur die Hälfte (ein Drittel, ein Viertel, …).
3.104Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Proportionale Funktionen
𝒙𝒙 = 𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 / 𝒈𝒈 𝒇𝒇 𝒙𝒙 = 𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐏𝐀𝐀𝐀𝐀 / €𝒇𝒇 𝒙𝒙𝒙𝒙
=𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷𝑷 / €
𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀𝐀 / 𝒈𝒈
100 1,20
300 3,60
150 1,80
600 7,20
200 2,402,4200 =
3250
7,2600 =
3250
1,8150 =
3250
3,6300
=3
250
1,2100
=3
250
𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑥𝑥
= 𝑎𝑎 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
∃𝑎𝑎∈ℝ ∀𝑥𝑥∈ℝ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥
3.105Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Proportionale Funktionen
Der Graph ist eine Ursprungsgerade.
3.106Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Proportionale Funktionen
DefinitionEine lineare Funktion 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏 mit 𝑏𝑏 = 0, also eine Funktion 𝑓𝑓:ℝ → ℝ, 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥 mit 𝑎𝑎 ∈ ℝ\{0} heißt proportionale Funktion.Der Koeffizient 𝑎𝑎 wird Proportionalitätsfaktoroder Proportionalitätskonstante genannt.
3.107Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Proportionale Funktionen
Charakteristische Eigenschaften:Die Funktionsgleichung einer proportionalen Funktion hat die Form 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎 ⋅ 𝑥𝑥.
Der Graph einer proportionalen Funktion ist eine Ursprungs-gerade durch den Punkt (1|𝑎𝑎).
Eine Addition (Subtraktion) von Argumenten bewirkt eine Addition (Subtraktion) von Funktionswerten.∀𝑥𝑥1,𝑥𝑥2∈ℝ 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 ± 𝑥𝑥2
= 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥1 ± 𝑥𝑥2= 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥1 ± 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥2= 𝑓𝑓(𝑥𝑥1) ± 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)
Wird das Argument ver-𝑷𝑷-facht(verdoppelt, verdreifacht, halbiert, …), dann wird auch der Funktionswert ver-𝑷𝑷-facht (ver-doppelt, verdreifacht, halbiert, …).∀𝑟𝑟∈ℝ 𝑓𝑓 𝑟𝑟 � 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 � 𝑟𝑟 � 𝑥𝑥
= 𝑟𝑟 � 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑟𝑟 � 𝑓𝑓 𝑥𝑥
Quotientengleichheit: Der Quotient aus Funktionswert 𝑓𝑓(𝑥𝑥)und zugehörigem Argument 𝑥𝑥 ist für alle 𝑥𝑥 ∈ ℝ\{0} konstant gleich der Proportionalitätskonstanten 𝑎𝑎.
∀𝑥𝑥∈ℝ\{0}𝑓𝑓 𝑥𝑥𝑥𝑥 =
𝑎𝑎𝑥𝑥𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
3.108Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Antiproportionale (umgekehrt proportionale) Funktionen
Charakteristische Eigenschaften:Die Funktionsgleichung einer antiproportionalen Funktion hat die Form 𝑦𝑦 = 𝑎𝑎
𝑥𝑥.
Der Graph einer antiproportionalen Funktion ist eine Hyperbel durch den Punkt (1|𝑎𝑎).
Wird das Argument ver-𝑷𝑷-facht(verdoppelt, verdreifacht, halbiert, …), dann wird der Funktionswert ver- 𝟏𝟏
𝑷𝑷-facht (halbiert, gedrittelt,
verdoppelt, …).∀𝑟𝑟∈ℝ 𝑓𝑓 𝑟𝑟 � 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
𝑟𝑟�𝑥𝑥
= 1𝑟𝑟� 𝑎𝑎𝑥𝑥
= 1𝑟𝑟� 𝑓𝑓 𝑥𝑥
Produktgleichheit: Das Produkt aus Funktionswert 𝑓𝑓(𝑥𝑥) und zugehörigem Argument 𝑥𝑥 ist für alle 𝑥𝑥 ∈ ℝ\{0} konstant gleich der Antiproportionalitätskonstanten 𝑎𝑎.∀𝑥𝑥∈ℝ\{0} 𝑓𝑓 𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 =
𝑎𝑎𝑥𝑥 ⋅ 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎
https://www.geogebra.org/m/nhKKDv7G
3.109Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.8 ExponentialfunktionenKapitel 3: Funktionen
3.110Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Papier falten
3.111Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Papier falten
ProblemEin DIN A0 Blatt wird 20 Mal gefaltet. Wie dick ist das gefaltete Papier?
ExperimentMessen
50 Blatt Papier sind 5,25 mm hoch.Dicke eines Blatts: 𝑑𝑑0 = 0,105 mm
1-mal falten:𝒅𝒅 𝟏𝟏 = 𝑑𝑑0 ⋅ 2
2-mal falten:𝒅𝒅 𝟐𝟐 = 𝑑𝑑 1 ⋅ 2
= 𝑑𝑑0 ⋅ 2 ⋅ 23-mal falten:
𝒅𝒅 𝟑𝟑 = 𝑑𝑑 2 ⋅ 2= 𝑑𝑑0 ⋅ 2 ⋅ 2 ⋅ 2= 𝒅𝒅𝟎𝟎 ⋅ 𝟐𝟐𝟑𝟑
𝑐𝑐-mal falten:𝒅𝒅 𝒏𝒏 = 𝒅𝒅𝟎𝟎 ⋅ 𝟐𝟐𝒏𝒏
Dicke des gefalteten Papiers𝑑𝑑 20 = 𝑑𝑑0 ⋅ 220
= 0,105 mm ⋅ 220
= 110.100,48 mm≈ 110 m
= 𝒅𝒅𝟎𝟎 ⋅ 𝟐𝟐𝟏𝟏
= 𝒅𝒅𝟎𝟎 ⋅ 𝟐𝟐𝟐𝟐
Vgl. Zell-teilung!
3.112Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Erbschaft
Netter VorfahreEin Mann legt 1 € festverzinslich zu einem jährlichen Zinssatz von 5 %für 300 Jahre an.Wie viel Geld erhält ein Erbe nach 300 Jahren?1 € ⋅ 1,05300 ≈ 2.273.996,13 €
Jahr 0 50 100 150 200 250 300
Einlage 1,00 € 11,47 € 131,50 € 1.507,98 € 17.292,58 € 198.300,94 € 2.273.996,13 €
+50 +50 +50 +50 +50 +50
⋅1,0550 ⋅1,0550 ⋅1,0550 ⋅1,0550 ⋅1,0550 ⋅1,0550
3.113Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Zellsterben
Problem:In einer Schale befinden sich 80.000 Zellen. Es wirkt ein Zellgift, durch das (idealisiert) pro Zeiteinheit 15 %der Zellen sterben.Gesucht: Anzahl der Zellen in Abhängigkeit von der Zeit
Zeitpunkt 𝒕𝒕𝟎𝟎 = 𝟎𝟎:𝑁𝑁0 = 𝑁𝑁(𝑐𝑐0) = 𝑁𝑁(0) = 80.000
Zeitpunkt 𝒕𝒕𝟏𝟏 = 𝟏𝟏:𝑁𝑁 𝑐𝑐1 = 𝑁𝑁0 ⋅ 0,85
Zeitpunkt 𝒕𝒕𝟐𝟐 = 𝟐𝟐:𝑁𝑁 𝑐𝑐2 = 𝑁𝑁 𝑐𝑐1 ⋅ 0,85
= 𝑁𝑁0 ⋅ 0,85 ⋅ 0,85= 𝑁𝑁0 ⋅ 0,852
Zeitpunkt 𝒕𝒕𝟑𝟑 = 𝟑𝟑:𝑁𝑁 𝑐𝑐3 = 𝑁𝑁 𝑐𝑐2 ⋅ 0,85
= 𝑁𝑁0 ⋅ 0,852 ⋅ 0,85= 𝑁𝑁0 ⋅ 0,853
Zeitpunkt 𝒕𝒕𝒏𝒏 = 𝒏𝒏:𝑁𝑁 𝑐𝑐𝑐𝑐 = 𝑁𝑁0 ⋅ 0,85𝑛𝑛
Allgemein𝑁𝑁 𝑐𝑐 = 𝑁𝑁0 ⋅ 0,85𝑡𝑡
3.114Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Zellsterben
https://www.geogebra.org/m/dsdB4YuG
3.115Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Exponentialfunktionen
DefinitionFunktionen der Bauart 𝑓𝑓:ℝ → ℝ+, 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎𝑥𝑥 mit 𝑎𝑎 ∈ ℝ+\{1}heißen Exponentialfunktionen.Häufig werden Exponentialfunktionen zur Basis 𝑎𝑎 auch als exp𝑎𝑎:ℝ → ℝ+, 𝑥𝑥 ↦ exp𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥 geschrieben.
SatzExponentialfunktionen genügen folgender Funktionalgleichung:
∀𝑥𝑥1,𝑥𝑥2∈ℝ 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 � 𝑓𝑓(𝑥𝑥2)
Beweisidee
𝑓𝑓 𝑥𝑥1 + 𝑥𝑥2 = 𝑎𝑎𝑥𝑥1+𝑥𝑥2 ⏞=Potenzgesetze
𝑎𝑎𝑥𝑥1 � 𝑎𝑎𝑥𝑥2 = 𝑓𝑓 𝑥𝑥1 � 𝑓𝑓 𝑥𝑥2
3.116Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Exponentialfunktionen
Charakteristische Eigenschaft von Exponentialfunktionen:Zu gleichen (additiven) Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor.Wird also bei einer Exponentialfunktion das Argument um den gleichen Wert +𝑐𝑐 vergrößert, dann nimmt der Funktionswert um den gleichen Faktor � 𝑑𝑑 zu. ∀𝑥𝑥∈ℝ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)
Charakteristische Eigenschaft von linearen Funktionen (vgl. 3.5):Zu gleichen (additiven) Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wachstumssummand.Wird also bei einer linearen Funktion das Argument um den gleichen Wert +𝑐𝑐 vergrößert, dann nimmt der Funktionswert um den gleichen Summand +𝑑𝑑 zu.
= 𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑐𝑐 = �𝑎𝑎𝑥𝑥=𝑓𝑓(𝑥𝑥)
� �𝑎𝑎𝑐𝑐≔𝑑𝑑
= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) � 𝑑𝑑
3.117Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Exponentialfunktionen
� 𝒅𝒅
+𝒄𝒄
� 𝒅𝒅
+𝒄𝒄
∀𝑥𝑥∈ℝ 𝑓𝑓(𝑥𝑥 + 𝑐𝑐)
= 𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑐𝑐
= �𝑎𝑎𝑥𝑥=𝑓𝑓(𝑥𝑥)
� �𝑎𝑎𝑐𝑐≔𝑑𝑑
= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) � 𝑑𝑑
𝑓𝑓:ℝ → ℝ+,𝑥𝑥 ↦ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥
3.118Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lineare Funktionen
+𝒄𝒄 +𝒄𝒄
+𝒅𝒅
+𝒅𝒅
∀𝑥𝑥∈ℝ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐
𝑓𝑓:ℝ → ℝ, 𝑥𝑥 ↦ 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏
= 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑑𝑑= 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥 + 𝑏𝑏=𝑓𝑓 𝑥𝑥
+ �𝑎𝑎 � 𝑐𝑐≔𝑑𝑑
= 𝑎𝑎 � 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 + 𝑏𝑏
3.119Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Präsenzübung
ÄnderungsverhaltenBetrachten Sie die
Exponentialfunktion 𝑓𝑓:ℝ → ℝ+, 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎𝑥𝑥
mit 𝑎𝑎 ∈ ℝ+\{1} und die
proportionale Funktion 𝑔𝑔:ℝ → ℝ, 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎𝑥𝑥
mit 𝑎𝑎 ∈ ℝ
unter dem Kovariationsaspekt.
Wie ändert sich jeweils der Funktionswert, wenn man
𝑥𝑥 um 1 vergrößert,𝑥𝑥 um 2 verkleinert,𝑥𝑥 verdoppelt,𝑥𝑥 halbiert,𝑥𝑥 mit 3 multipliziert,𝑥𝑥 durch 3 dividiert,𝑥𝑥 quadriert?
3.120Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Graphen von Exponentialfunktionen
https://www.geogebra.org/m/X5DyaUSA
3.121Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Graphen von Exponentialfunktionen
https://www.geogebra.org/m/X5DyaUSA
3.122Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Graphen von Exponentialfunktionen
Die Graphen der Funktionen 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎𝑥𝑥 und 𝑥𝑥 ↦ 1𝑎𝑎
𝑥𝑥 = 𝑎𝑎−𝑥𝑥
sind zueinander achsensymmerisch bzgl. der y-Achse.
3.123Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Präsenzübung
https://www.geogebra.org/m/GCpw6RDq
Es gilt: 𝑎𝑎 ∈ ℝ+ und 𝑏𝑏, 𝑐𝑐,𝑑𝑑 ∈ ℝ𝑓𝑓:ℝ → ℝ+, 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎𝑥𝑥𝑔𝑔:ℝ → ℝ+, 𝑥𝑥 ↦ 𝑏𝑏 � 𝑎𝑎𝑥𝑥ℎ:ℝ → ℝ+, 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎 𝑥𝑥+𝑐𝑐
𝑘𝑘:ℝ → ℝ+, 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎𝑑𝑑�𝑥𝑥
Wie wirkt sich eine Veränderung der Parameter 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐und 𝑑𝑑 auf die Graphen der jeweiligen Funktionen aus?Vergleichen Sie die Graphen der vier Funktionen für verschiedene Werte von 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 und 𝑑𝑑. Gibt es Werte, so dass jeweils zwei Funktionsgraphen übereinstimmen?
3.124Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Eigenschaften von 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎𝑥𝑥
Eigenschaft 𝑎𝑎 > 1 0 < 𝑎𝑎 < 1Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallendDefinitionsmenge 𝔻𝔻 ℝ ℝWertemenge 𝕎𝕎 ℝ+ ℝ+
Asymptote negative 𝑥𝑥-Achse positive 𝑥𝑥-AchsePunkt des Graphen 0 1 0 1Exponentielle(s) Wachstum Abnahme
Eigenschaft 𝑎𝑎 > 1 0 < 𝑎𝑎 < 1Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallendDefinitionsmenge 𝔻𝔻 ℝ ℝWertemenge 𝕎𝕎 ℝ+ ℝ+
Asymptote negative 𝑥𝑥-Achse positive 𝑥𝑥-AchsePunkt des Graphen 0 1 0 1Exponentielle(s)
Eigenschaft 𝑎𝑎 > 1 0 < 𝑎𝑎 < 1Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallendDefinitionsmenge 𝔻𝔻 ℝ ℝWertemenge 𝕎𝕎 ℝ+ ℝ+
Asymptote negative 𝑥𝑥-Achse positive 𝑥𝑥-AchsePunkt des GraphenExponentielle(s)
Eigenschaft 𝑎𝑎 > 1 0 < 𝑎𝑎 < 1Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallendDefinitionsmenge 𝔻𝔻 ℝ ℝWertemenge 𝕎𝕎 ℝ+ ℝ+
AsymptotePunkt des GraphenExponentielle(s)
Eigenschaft 𝑎𝑎 > 1 0 < 𝑎𝑎 < 1Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallendDefinitionsmenge 𝔻𝔻 ℝ ℝWertemenge 𝕎𝕎AsymptotePunkt des GraphenExponentielle(s)
Eigenschaft 𝑎𝑎 > 1 0 < 𝑎𝑎 < 1Monotonie streng monoton steigend streng monoton fallendDefinitionsmenge 𝔻𝔻Wertemenge 𝕎𝕎AsymptotePunkt des GraphenExponentielle(s)
Eigenschaft 𝑎𝑎 > 1 0 < 𝑎𝑎 < 1MonotonieDefinitionsmenge 𝔻𝔻Wertemenge 𝕎𝕎AsymptotePunkt des GraphenExponentielle(s)
3.125Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
prozentuale Zunahme/Abnahme
pro Einheit
Wachstums-faktor
Anfangs-bestand Funktionsterm
– 8 % 0,92 6 6 ⋅ 0,92x
40 % 1,4 40 40 ⋅ 1,4x
120 % 2,2 6,3 6,3 ⋅ 2,2x
– 42 % 0,58 32 32 ⋅ 0,58x
prozentuale Zunahme/Abnahme
pro Einheit
Wachstums-faktor
Anfangs-bestand Funktionsterm
– 8 % 0,92 6 6 ⋅ 0,92x
1,4 40120 % 6,3 ⋅ Sx
32 ⋅ 0,58x
Präsenzaufgabe
Prozentuale Zunahme/Abnahme ↔ WachstumsfaktorErgänzen Sie die Tabelle.
3.126Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Präsenzaufgabe
Parameter und FunktionsgraphenDie beiden abgebildeten Graphen sind Graphen von Funktionen folgenden Typs:Bestimmen Sie jeweils die Parameter 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑐𝑐 und 𝑑𝑑.
https://www.geogebra.org/m/ecJJXVuN
𝑓𝑓:ℝ → ℝ, 𝑥𝑥 ↦ 𝑎𝑎 �12
𝑏𝑏�𝑥𝑥+𝑐𝑐
+ 𝑑𝑑
3.127Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lineares und exponentielles Wachstum
BaggerseeEin See mit einer Oberfläche von zunächst 500 m² wird in einer Flussniederung ausgebaggert. Die Oberfläche vergrößert sich dadurch in jeder Woche um 200 m².Der See wird von einer Seerosenartbesiedelt, die zu Beginn der Bagger-arbeiten 10 m² der Oberfläche des Sees bedecken. Die Seerosen ver-mehren sich derart, dass sich die von ihnen bedeckte Fläche in jeder Woche verdoppelt.Nach wie vielen Wochen ist der ganze See mit Seerosen bedeckt?
3.128Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lineares und exponentielles Wachstum
Anzahl der Wochen
Seeflächein m²
0 500
1 700
2 900
3 1100
4 1300
5 1500
6 1700
7 1900
8 2100
𝑥𝑥 500 + 200 ⋅ 𝑥𝑥
Anzahl der Wochen
Seerosen-fläche in m²
0 10
1 20
2 40
3 80
4 160
5 320
6 640
7 1280
8 2560
𝑥𝑥 10 ⋅ 2𝑥𝑥
+200
+200
+200
+200
+200
+200
+200
+200
+1 ⋅2
⋅2
⋅2
⋅2
⋅2
⋅2
⋅2
⋅2
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
+1
3.129Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lineares und exponentielles Wachstum
https://www.geogebra.org/m/rdQTuA7s
3.130Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Lineares und exponentielles Wachstum
Lineares Wachstum𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑚𝑚 � 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 � (𝑥𝑥 + 𝑐𝑐) + 𝑐𝑐
= 𝑚𝑚 � 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 + 𝑚𝑚 � 𝑐𝑐= 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑚𝑚 � 𝑐𝑐= 𝑓𝑓(𝑥𝑥) + 𝑑𝑑
∀𝑥𝑥∈𝔻𝔻𝑓𝑓 𝑓𝑓 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 − 𝑓𝑓 𝑥𝑥 = 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
Bei gleichem Zuwachs im Argument ist der absolute Zuwachs konstant. Zu gleichen Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wachstumssummand.
Exponentielles Wachstum𝑔𝑔 𝑥𝑥 = 𝑏𝑏 � 𝑎𝑎𝑥𝑥
𝑔𝑔 𝑥𝑥 + 𝑐𝑐 = 𝑏𝑏 � 𝑎𝑎𝑥𝑥+𝑐𝑐= 𝑏𝑏 � 𝑎𝑎𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝑐𝑐= 𝑔𝑔 𝑥𝑥 � 𝑎𝑎𝑐𝑐= 𝑔𝑔 𝑥𝑥 � 𝑑𝑑
∀𝑥𝑥∈𝔻𝔻𝑔𝑔𝑔𝑔 𝑥𝑥+𝑐𝑐𝑔𝑔 𝑥𝑥
= 𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐𝑐.
Bei gleichem Zuwachs im Argument ist der relative Zuwachs konstant.Zu gleichen Zuwächsen im Argument gehört immer der gleiche Wachstumsfaktor.
3.131Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Logarithmusfunktion
Exponentialfunktionenalso Funktionen der Bauart exp𝑎𝑎:ℝ → ℝ+, 𝑎𝑎 > 0,𝑎𝑎 ≠ 1
𝑥𝑥 ↦ exp𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥
sind bijektiv und damit umkehrbar.
UmkehrfunktionBei der Umkehrfunktion einer Exponentialfunktion wird für eine Potenz
𝑝𝑝 = 𝑎𝑎𝑟𝑟danach gefragt, mit welcher Zahl 𝑟𝑟 man 𝑎𝑎 potenzieren muss, um 𝑝𝑝 zu erhalten.
Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion exp𝑎𝑎:ℝ → ℝ+ ,
𝑥𝑥 ↦ exp𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑎𝑎𝑥𝑥
ist die Logarithmusfunktionlog𝑎𝑎:ℝ+ → ℝ, 𝑥𝑥 ↦ log𝑎𝑎(𝑥𝑥)zur Basis 𝒂𝒂.Da für Funktionen und ihre Umkehrfunktionen gilt
𝑓𝑓 ∘ 𝑓𝑓−1 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥und
𝑓𝑓−1 ∘ 𝑓𝑓(𝑥𝑥) = 𝑥𝑥folgt:𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 und log𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑥𝑥
C. Weber (2013). Grundvorstellungen zum Logarithmus – Bausteine für einen verständlichen Unterricht.
In Allmendinger et al. (Hrsg.). Mathematik verständlich unterrichten (S. 79-98), Wiesbaden: Springer
3.132Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Eigenschaften der Logarithmusfunktion
Exponentialfunktion 𝐏𝐏𝐞𝐞𝐞𝐞𝒂𝒂𝔻𝔻 = ℝ und 𝕎𝕎 = ℝ+
exp𝑎𝑎 0 = 𝑎𝑎0 = 1
Der Punkt (0|1) ist Element des Graphen jeder Exponentialfunktion exp𝑎𝑎.Die 𝑥𝑥-Achse ist waage-rechte Asymptote des Graphen von exp𝑎𝑎.
Logarithmusfunktion 𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝐥𝒂𝒂𝔻𝔻 = ℝ+ und 𝕎𝕎 = ℝlog𝑎𝑎 1 = log𝑎𝑎 𝑎𝑎0 = 0Der Punkt (1|0) ist Element des Graphen jeder Logarithmusfunktion log𝑎𝑎.Die 𝑦𝑦-Achse ist senkrechte Asymptote des Graphen von log𝑎𝑎.
https://www.geogebra.org/m/JueAn8Xq
3.133Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Eigenschaften der Logarithmusfunktion
https://www.geogebra.org/m/FMMagDpG
log2 𝑥𝑥
log3 𝑥𝑥log4 𝑥𝑥
log ⁄1 2 𝑥𝑥
log ⁄1 3 𝑥𝑥log ⁄1 4 𝑥𝑥
3.134Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Rechenregeln für Logarithmen
Satz: Für 𝑎𝑎, 𝑟𝑟, 𝑐𝑐 ∈ ℝ+ gilt:log𝑎𝑎 𝑟𝑟 � 𝑐𝑐 = log𝑎𝑎 𝑟𝑟 + log𝑎𝑎 𝑐𝑐log𝑎𝑎 𝑟𝑟 ∶ 𝑐𝑐 = log𝑎𝑎 𝑟𝑟 − log𝑎𝑎 𝑐𝑐log𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑠𝑠 = 𝑐𝑐 � log𝑎𝑎 𝑟𝑟
BeweisUnter Verwendung von 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 und log𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑥𝑥 = 𝑥𝑥 ergibt sich:
log𝑎𝑎 𝑟𝑟 � 𝑐𝑐
= log𝑎𝑎 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑟𝑟 +log𝑎𝑎 𝑠𝑠
log𝑎𝑎 𝑟𝑟 ∶ 𝑐𝑐
= log𝑎𝑎 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑟𝑟 −log𝑎𝑎 𝑠𝑠
log𝑎𝑎 𝑟𝑟𝑠𝑠∎
= log𝑎𝑎 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑟𝑟 � 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑠𝑠
= log𝑎𝑎 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑟𝑟 ∶ 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑠𝑠
= 𝑐𝑐 � log𝑎𝑎 𝑟𝑟= log𝑎𝑎 𝑎𝑎𝑠𝑠�log𝑎𝑎 𝑟𝑟= log𝑎𝑎 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑟𝑟 𝑠𝑠
= log𝑎𝑎 𝑟𝑟 + log𝑎𝑎(𝑐𝑐)
= log𝑎𝑎 𝑟𝑟 − log𝑎𝑎(𝑐𝑐)
3.135Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Eigenschaften der Logarithmusfunktion
SatzDie Logarithmusfunktion log𝑎𝑎:ℝ+ → ℝ, 𝑥𝑥 ↦ log𝑎𝑎 𝑥𝑥 zur Basis 𝑎𝑎mit 𝑎𝑎 ∈ ℝ+\{1} ist
streng monoton steigend für 𝑎𝑎 > 1,streng monoton fallend für 0 < 𝑎𝑎 < 1.
Beweis𝑥𝑥1, 𝑥𝑥2 ∈ ℝ+ ∧ 𝑥𝑥1 < 𝑥𝑥2 ∗
log𝑎𝑎 𝑥𝑥2 − log𝑎𝑎(𝑥𝑥1)
∎
� > 0 für 𝑎𝑎 > 1< 0 für 0 < 𝑎𝑎 < 1
= log𝑎𝑎𝑥𝑥2𝑥𝑥1>1
𝑑𝑑𝑎𝑎 (∗)
3.136Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Rechenschieber
Rechenschieber: Der Vorläufer des Taschenrechners!Die Regeln
log𝑎𝑎 𝑟𝑟 � 𝑐𝑐 = log𝑎𝑎 𝑟𝑟 + log𝑎𝑎 𝑐𝑐und
log𝑎𝑎 𝑟𝑟 ∶ 𝑐𝑐 = log𝑎𝑎 𝑟𝑟 − log𝑎𝑎 𝑐𝑐spielten beim Rechenschieber eine wichtige Rolle, weil man mit ihrer Hilfe die Multiplikation auf die Addition und die Division auf die Subtraktion zurückführen kann.
3.137Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Rechenschieber
Beispiele:2 � 3 = ?
log10 2 � 3 = log10 2 + log10 3 = log10 6
1,7 � 2,5 = ?log10 1,7 � 2,5 = log10 1,7 + log10 2,5 = log10 4,25
http://www.didaktik.mathematik.uni-wuerzburg.de/history/ausstell/rechenschieber/interaktiv.html
3.138Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Rechenregel für Logarithmen
Satz („Taschenrechnergleichung“)Für 𝑎𝑎, 𝑏𝑏, 𝑟𝑟 ∈ ℝ+ mit 𝑎𝑎 ≠ 0 gilt: log𝑎𝑎 𝑟𝑟 = log𝑏𝑏 𝑟𝑟
log𝑏𝑏 𝑎𝑎
AnmerkungenMit diesem Satz kann der Logarithmus von 𝑟𝑟 zur Basis 𝑎𝑎 als Quotient zweier Logarithmen zu einer beliebigen Basis ausge-drückt werden.Taschenrechner beherrschten früher nur lg 𝑥𝑥 ≔ log10(𝑥𝑥), den Logarithmus zur Basis 10, und ln 𝑥𝑥 ≔ log𝑒𝑒 𝑥𝑥 , den Logarithmus zur Basis 𝑒𝑒, der auch natürlicher Logarithmus genannt wird.
BeweisAus 𝑟𝑟 = 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑟𝑟 folgt:log𝑏𝑏 𝑟𝑟 = log𝑏𝑏 𝑎𝑎log𝑎𝑎 𝑟𝑟
∎= log𝑎𝑎 𝑟𝑟 � log𝑏𝑏 𝑎𝑎 ⇒ log𝑎𝑎 𝑟𝑟 =
log𝑏𝑏 𝑟𝑟log𝑏𝑏 𝑎𝑎
3.139Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Präsenzaufgabe
ZinseszinsEin Kapital 𝐾𝐾0 wird zu einem Zinssatz 𝑝𝑝𝑝 pro Jahr angelegt. Die anfallenden Zinsen werden am Ende des Jahres dem Sparkonto gutgeschrieben.Wie viele Jahre muss man sparen, bis sich das Kapital ver-𝑚𝑚-facht hat?
Mögliche Lösung:
𝐾𝐾 𝑐𝑐 = 𝐾𝐾0 � 1 + 𝑝𝑝100
𝑛𝑛∧ 𝐾𝐾 𝑐𝑐 = 𝑚𝑚 � 𝐾𝐾0
𝑚𝑚 � 𝐾𝐾0 = 𝐾𝐾0 � 1 + 𝑝𝑝100
𝑛𝑛
𝑚𝑚 = 1 + 𝑝𝑝100
𝑛𝑛
ln 𝑚𝑚 = 𝑐𝑐 � ln 1 + 𝑝𝑝100
⇒ 𝑐𝑐 = ln 𝑚𝑚ln 1+ 𝑝𝑝
100
� ∶ 𝐾𝐾0
| ln (zulässig, da ln streng monoton steigend)
� ∶ ln 1 + 𝑝𝑝100
3.140Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Präsenzaufgabe
BevölkerungswachstumIm Jahre 1798 veröffentlichte der englische Philosoph Thomas R. Malthus sein "Essay of the Principles of Population". Er vermutete, dass die Nahrungsmittel-erzeugung dem rasanten Bevölkerungs-wachstum im Zuge der industriellen Revolution nicht würde folgen können, und prognostizierte permanente Hungersnöte.
Zur Begründung seiner Thesen entwickelte er einfache Modelle für das Wachstum von Populationen: Er nahm an, die Bevölkerung wachse exponentiell, die zur Verfügung stehenden Nahrungsmittel jedoch nur linear.
Bearbeiten Sie die Aufgaben unter der unten angegebenen URL.
http://www.juergen-roth.de/dynama/AKGeoGebra/lernzirkel_funktionen/5a-f.html
3.141Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
3.9 ExtremwertproblemeKapitel 3: Funktionen
3.142Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Extremwertprobleme
Oben offeneSchachtel
http://www.juergen-roth.de/dynageo/extremwertaufgaben/schachtel.html
3.143Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Extremwertprobleme
Oben offene SchachtelDas Volumen 𝑉𝑉 eines Quaders berechnet sich aus dem Produkt aus Länge 𝑙𝑙, Breite 𝑏𝑏 und Höhe ℎ. Es gilt offensichtlich:𝑙𝑙 = 𝐿𝐿 − 2𝑥𝑥𝑏𝑏 = 𝐵𝐵 − 2𝑥𝑥ℎ = 𝑥𝑥
Damit ergibt sich:𝑉𝑉 = 𝑙𝑙 � 𝑏𝑏 � ℎ
= 𝐿𝐿 − 2𝑥𝑥 � 𝐵𝐵 − 2𝑥𝑥 � 𝑥𝑥= 𝐿𝐿𝐵𝐵𝑥𝑥 − 2𝐿𝐿𝑥𝑥2 − 2𝐵𝐵𝑥𝑥2 + 4𝑥𝑥3
= 4𝑥𝑥3 − 2 𝐿𝐿 + 𝐵𝐵 𝑥𝑥2 + 𝐿𝐿𝐵𝐵𝑥𝑥
Mit 𝐿𝐿 = 30 cm und 𝐵𝐵 = 18 cm folgt:𝑉𝑉(𝑥𝑥) = 4𝑥𝑥3 − 96𝑥𝑥2 + 540𝑥𝑥
xx
xx
xx
xx
𝐿𝐿
𝐵𝐵
𝑙𝑙
𝑏𝑏
3.144Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Extremwertprobleme
Oben offene Schachtel
GraphischeLösung mit Hilfe desSpur-Modusund desZoom-Modus𝑉𝑉𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥≈ 𝑉𝑉(3,6411 cm)≈ 886,5526 cm³
3.145Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Extremwertprobleme
Oben offene Schachtel
NumerischeLösung mit Hilfe von Excel
𝑉𝑉𝑚𝑚𝑎𝑎𝑥𝑥
≈ 𝑉𝑉(3,6411 cm)≈ 886,5526 cm³
3.146Jürgen Roth • Didaktik der Algebra
Extremwertprobleme
Die numerische und die graphische Methode sind (abgesehen von Standardfunktionen wie etwa quadratische Funktionen)die einzigen Methoden, die Schülern der Mittelstufe zur Verfügung stehen, um Extremwerte zu bestimmen.
Diese Methoden sind für alle praktischen Zwecke ausreichend genau!
Diese und alle anderen Näherungsverfahren sind auch bei sehr komplizierten Funktionen anwendbar und deshalb in aller Regel die Methoden der Wahl für Problemlösungen in der Wirtschaft und in der Technik.