Juhuslik suurus

Juhuslik suurusJuhuslikuks nimetatakse suurust, mis sõltub juhuslikest sündmustest ja mille väärtust pole seetõttu võimalik enne sündmuse toimumist kindlalt ennustada.

Näiteid juhuslikest suurustest:

1. Konkreetse Web-serveri poole pöördumiste arv ööpäevas

2. Kümnevõistleja punktisumma võistlustel

3. Laskude arv märklaua tabamiseni

4. Keskpäevane temperatuur ilmavaatluspunktis

5. Vooluvõrgu pinge mõõtmise tulemus

6. Kartuli keskmine hektarisaak Eestis 2000. aastal

7. Mõõtmistulemuse viga auto kiiruse mõõtmisel

Diskreetsed ja pidevad juhuslikud suurused

Diskreetseks nimetatakse juhuslikku suurust, mille võimalike väärtuste hulk on lõplik või loenduv (nummerdatav).

Juhuslikke suurusi tähistatakse ladina suurtähtedega X, Y, ... ja juhuliku suuruse võimalikke väärtusi indeksitega väiketähtede abil: x1, x2, ..., y1, y2, ... .

Juhuslikud suurused jaotuvad kahte klassi: diskreetseteks ja pidevateks.

Diskreetsed juhuslikud suurused on näidetes 1, 2, 3.

Juhuslikku suurust nimetatakse pidevaks, kui tema võimalike väärtuste hulk on arvtelje (lõplik või lõpmatu) vahemik.

Pidevad juhuslikud suurused on näidetes 4, 5, 6, 7 .

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseadus

Tõenäosus, et juhuslik suurus X saavutab ühe oma võimalikest väärtustest xi :

ii pxXP )(

Diskreetse juhusliku suuruse jaotusseaduseks nimetatakse vastavust tema kõikide võimalike väärtuste x1, x2, ... ja nende tõenäosuste p1, p2, ... vahel.

Üheks võimaluseks on esitada jaotusseadus jaotustabelina:

X x1 x2 ... xn

p p1 p2 ... pn

Jaotustabel sisaldab juhusliku suuruse kõik võimalikud väärtused ja seetõttu 1

1

n

jip

Jaotushulknurk e. jaotuspolügoon.

Diskreetset juhuslikku suurust esitatakse sageli ka graafiliselt jaotushulknurgana e. jaotuspolügoonina, kus arvupaaridele (xi , pi) vastavad punktid ristkoordinaadistikus on ühendatud sirglõikudega.

X p

0 0,0016

1 0,0256

2 0,1536

3 0,4096

4 0,4096

NäideJuhuslik suurus on antud jaotustabeliga ja jaotuspolügooniga.

Jaotuspolügoon

0

0,05

0,1

0,15

0,2

0,25

0,3

0,35

0,4

0,45

0 1 2 3 4

Juh. suurus

p

X

Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon.

Juhusliku suuruse jaotusfunktsioon F(x) määrab tõenäosuse selleks, et juhuslik suurus on väiksem tõkkest x , s. t.

kus argument x võib omandada mistahes reaalarvulisi väärtusi.

F(x) = P(X < x),

Jaotusfunktsioon on juhusliku suuruse universaalne iseloomustaja, mis kirjeldab võimalike väärtuste tõenäosuste jaotust.Jaotusfunktsioon on olemas nii pidevatel kui ka diskreetsetel juhuslikel suurustel. Sagedamini kasutatakse seda pideva juhusliku suuruse korral.Diskreetse juhusliku suuruse jaotusfunktsioon võrdub argumendist rangelt väiksemate väärtuste xi tõenäosuste summaga:

.)()( xix

ixXPxF

Näide jaotusfunktsioonist I.

Leiame jaotusfunktsiooni:

X 0 1 2 3 4

p 0,0016 0,0256 0,1536 0,4096 0,4096

Juhuslik suurus on antud jaotustabeliga

x < 0: F(x) = P(X < x) = 0

0 < x < 1: F(x) = P(X < x) = 0,00161 < x < 2: F(x) = P(X < x) = 0,0016+0,0256 = 0,0272

2 < x < 3: F(x) = P(X < x) = 0,0272+0,1536 = 0,18083 < x < 4: F(x) = P(X < x) = 0,1808+0,4096 = 0,5904

4< x : F(x) = P(X < x) = 0,5904+0,4096 = 1,0

Näide jaotusfunktsioonist II.Seega on jaotusfunktsioon:

0,1

5904,0

1808,0

0272,0

0016,0

0

)(xF

, kui x 0,

, kui 0 < x 1,

, kui 1 < x 2,

, kui 2 < x 3,

, kui 3 < x 4,

, kui 4 < x .

Graafiliselt: F(x)

1 2 3 40

0,5

1

x

0,00160,0272

0,1808

0,5904

Jaotusfunktsiooni omadusi I.

1. 0)(lim

xFx

0)( Fehk

2. 1)(lim

xFx

1)( Fehk

3. Jaotusfunktsioon on mittekahanev (monotoonselt kasvav), s.t. kui x2 x1, siis F(x2) F(x1).4. 0 F(x2) 1

Jaotusfunktsiooni graafik asub sirgete y = 0 ja y = 1 vahel ja kulgeb üdiselt tõusvalt:

F(x)

0

1

x

y

Jaotusfunktsiooni omadusi II.5. Pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev.

6. Kui on teada, et juhusliku suuruse X väärtused saavad asuda ainult vahemikus (a; b), siis rahuldab jaotusfunktsioon järgmisi tingimusi:

F(x) 0, kui x a,0 F(x) 1, kui a < x < b, F(x) 1, kui x b

7. Tõenäosus selleks, et juhuslik suurus omandaks väärtusi poollõigust [a; b) on võrdne jaotusfunktsiooni juurekasvuga selles poollõigus:

P(a x < b ) = F(b) - F(a)

Pideva juhusliku suuruse eriomadus.

Pideva juhusliku suuruse korral on suuruse mistahes üksikväärtuse esinemise tõenäosus null.

Leiame piirväärtuse :

P(x1 X < x1 + x) = F(x1 + x) - F(x1)

Tõenäosus selleks, et pidev juhuslik suurus omandaks üksikväärtuse x1 :

,0)]()([lim 110

xFxxFx

kuna pideva juhusliku suuruse jaotusfunktsioon on pidev.

Tulemus :

See tähendab, et kindel, etteantud väärtus realiseerub väga harva. Pideva suuruse korral on mõtet rääkida ainult vahemikku sattumise tõenäosusest.

Näide.Pideva juhusliku suuruse võimalikud väärtused saavad asetseda vahemikus (0; 2). Jaotusfunktsioon on järgmine:

Leida kordaja a väärtus.

Lahendus

Kuna suurus on pidev, siis peab olema pidev ka jaotusfunktsioon F(x). Kirjutame pidevuse tingimuse punktis x = 2:

,

,1

,0

)( 2

axxF

kui x 0,

kui 0 < x 2,

kui x 2.

1)(lim2

xFx

2

22lim)(lim axxFxx

a4=

Saadud võrrandist järeldub, et a = ¼.

Tõenäosuse tihedus e. tihedusfunktsioon I

Jaotusfunktsiooni abil on raske otsustada juhusliku suuruse käitumise üle mingi punkti ümbruses. Seetõttu kasutatakse lisaks jaotusfunktsioonile ka sellest tuletatud tihedusfunktsiooni.

F(x) – juhusliku suuruse jaotusfunktsioon.

Tõenäosus, et juhuslik suurus X satub poollõiku [x; x+x) on siis

F = F(x+x) – F(x)

Pikkusühiku kohta tuleb keskmiseks tõenäosuseks siis

xF

xpk )(

Tihedusfunktsioon II

Tihedusfunktsioon on võrdne jaotusfunktsiooni tuletisega.

Diskreetsel juhuslikul suurusel ei ole tihedusfunktsiooni, kuna vastav piirväärtus on juhusliku suuruse võimalike väärtuste kohal lõpmatu.

Juhusliku suuruse tõenäosuse tiheduseks p(x) e. tihedusfunktsiooniks e. jaotustiheduseks nimetatakse keskmise tõenäosuse tiheduse piirväärtust vahemiku pikkuse x tõkestamatul kahanemisel:

xxF

xpx

)(lim)(

0)(' xF

Näide 1

Leida juhusliku suuruse tihedusfunktsioon, kui jaotusfunktsioon on järgmine :

1

4/

0

)( 2xxF

, kui x 0,, kui 0 < x < 2,

, kui 2 x.

Lahendus

)(')( xFxp

0, kui x 0,

2x / 4 = x / 2 , kui 0 < x < 2,

0, kui 2 x.

Tihedusfunktsiooni omadused

1) 0)( xp

See omadus järeldub asjaolust, et mittekahaneva funktsiooni F(x) tuletis ei saa olla negatiivne.

2) 1)(

dxxp

Päratu integraalTõestus

dxxp )(

t

ttdxxp )(lim

t

ttdxxF )('lim t

ttxF

)(lim

101

Jaotusfunktsiooni omadused

mida oligi vaja näidata.)(lim)(lim tFtFtt

=

Tihedusfunktsiooni graafik

Tihedusfunktsiooniks saab olla ainult nimetatud kaht tingimust rahuldav funktsioon.

Tihedusfunktsiooni graafiku põhjal on lihtne otsustada, kui sageli satuvad juhusliku suuruse X väärtused punkti x ümbrusse.

Tüüpiline tihedusfunktsiooni graafik

S=1

p(x)

x0

Juhusliku suuruse antud poollõiku sattumise tõenäosus

)()()( 1221 xFxFxXxP .)('2

1

x

x

dxxF

Kuna siis),()(' xpxF

.)()(2

121

x

x

dxxpxXxP

Juhusliku suuruse antud poollõiku sattumise tõenäosus on võrdne tihedusfunktsiooni graafiku aluse kõverjoonelise trapetsi pindalaga vahemikus (x1, x2). p(x)

x0 x1 x2

S = P(x1 X < x2)

Jaotusfunktsiooni leidmine tihedusfunktsiooni kaudu

.)()(

x

dxxpxXP

.)()(

x

dxxpxF

Kui x1 = - ja x2 = x, siis

p(x)

x0

Teiselt poolt P( - < X < x) = P(X < x) = F(x) ja seega

Jaotusfunktsiooni väärtus punktis x on arvuliselt võrdne tihedusfunktsiooni graafiku aluse pindalaga abstsissist x vasakul.

x

S = F(x)

Näide 2 - Cauchy jaotus (I)

Lahendus

Tihedusfunktsiooni 2. omaduse kohaselt peab kehtima võrdus

dxx

a

21

1 dxx

a

21

1

xa arctan

)

2(

2

a a

Juhusliku suuruse tihedusfunktsioon on antud kujul

Leida kordaja a väärtus, jaotusfunktsioon ja P(-1 < X < 1).

.1

)( 2xa

xp

Seega a = 1 / . ja

.)1(

1)( 2x

xp

Sellise jaotusfunktsiooniga juhusliku suuruse kohta öeldakse, et ta on Cauchy jaotusega.

Näide 2 (II)Jaotusfunktsioon avaldub kujul

x

xdx

xF)1(

)( 2 )2

(arctan1

x

1

121

1)11(

xdx

xP

Antud vahemikku sattumise tõenäosus

1

1arctan

1x

)

4(

41

.21