PRESENTACIÓN

Este boletín pretende establecer un puente de comunicación entrelos profesores que se han integrado a la Red de Maestros y los queseguramente lo harán en lo sucesivo.

La mayoría de los trabajos que se presentan fueron elaboradoso seleccionados por los integrantes del equipo de matemáticas dela Dirección General de Materiales y Métodos Educativos de laSubsecretaría de Educación Básica y Normal. Se espera que en elpróximo número se publiquen los trabajos que los profesores en-víen, pues se busca promover el intercambio de experiencias einformación que pueda enriquecer el trabajo docente.

El trabajo diario en el salón de clases es una fuente inagotablede aprendizaje tanto para los alumnos como para el maestro, so-bre todo cuando éste plantea situaciones problemáticas y trata deentender los diferentes procedimientos que se utilizan para resol-verlas. Además, el registro breve de cómo funcionan las activida-des y el tipo de recursos que los niños ponen en juego permitenevaluar el proceso de enseñanza y aprendizaje para mejorar lacalidad de la educación. Es deseable que los maestros den a cono-cer algunos de estos registros.

CONTENIDO

ASPECTOS DE LA DIDÁCTICA

Un ejemplo de validación del conocimientomatemáticoHUGO BALBUENA CORRO

Con una hoja rayadaGABRIELA VÁZQUEZ OLIVERA

SITUACIONES DE APRENDIZAJE

Juego con calculadora

RESPUESTAS A PROBLEMAS

Diferentes procedimientos

PROBLEMAS PARA RESOLVER

¿Quién inventa los problemas?

¿DE QUÉ TRATA?Reseña del libro:Didáctica de las matemáticas, aportesy reflexionesDAVID BLOCK SEVILLA

Matemáticas en los libros de texto gratuitosy los materiales de apoyo

JULIO

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AVISOSe invita a los maestros a enviar sus solucio-nes a los problemas presentados en este bo-letín, sus comentarios, datos de su región quejuzguen interesantes para elaborar problemaso los que hayan diseñado.Favor de enviar su correspondencia a:

Hugo Balbuena CorroARGENTINA 28,OFICINA 2080,

COLONIA CENTRO,C.P. 06020, MÉXICO, D.F.

Este boletín es una publicación de la Dirección Gene-ral de Materiales y Métodos Educativos de la Subsecre-taría de Educación Básica y Normal de la Secretaría deEducación Pública

COORDINACIÓN

Hugo Balbuena CorroCOLABORADORES

Martha Dávila Vega, Ma. de los Ángeles Olivera B.,Irma Griselda Pasos Orellana, Higinio Barrón Rodríguez,Hugo Espinosa Pérez y Dolores López RuvalcabaDIRECCIÓN EDITORIAL

Elena Ortiz Hernán PupareliCOORDINACIÓN EDITORIAL

Teresa Mira HatchDISEÑO

Ma. Gabriela Barahona

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En un curso-taller realizado con maestros dequinto y sexto grados de primaria en Hua-muxtitlán, Guerrero, planteé el siguiente pro-blema: los lados de un triángulo miden res-pectivamente 3, 5 y 8 cm. Se quiere construirotro igual, pero más grande, de manera queel lado que mide 3 cm en el triángulo origi-nal, mida 5 cm en el otro.

El propósito inicial era propiciar el uso dela fracción como operador multiplicativo,pero en el momento de dictar el problema seme ocurrió sugerir tres medidas con las cua-les el triángulo no se puede construir. Pre-gunté a los maestros si veían algo raro conlas medidas proporcionadas y alguien comen-tó que el triángulo no se podía hacer. A partirde ahí se expresaron diversas opiniones, perohubo una en el sentido de que un triángulose podía construir con tres medidas cuales-quiera.

La discusión sobre la posibilidad de cons-truir o no el triángulo quedó sin resolver por-que no hubo tiempo de continuar.

Al día siguiente, el maestro que sostuvoque el triángulo siempre se podía construirme comentó que se había quedado con laduda, y quería demostrar que tenía razón.Pasó al pizarrón y dibujó para sorpresa demuchos el triángulo de 3, 5 y 8 cm. Al pare-cer tenía razón.

¿Cómo convencerlo de su error? Estabaclaro que para él la opinión del conductordel curso no era válida por el solo hecho deserlo. Esta postura es loable y ojalá la apren-dan los alumnos, y dejen de considerar laopinión del maestro como la última palabra.

Entonces le propuse que dibujara un trián-gulo cuyos lados midieran 9, 15 y 40 cm, conlo que pudo darse cuenta, después de algu-nos intentos, que al trazar un lado de 40 cm

UN EJEMPLO DE VALIDACIÓN DEL CONOCIMIENTO MATEMÁTICOM. EN C. HUGO BALBUENA CORRO

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era imposible cerrar el triángulo con los otrosdos lados. Aceptó, con dificultad, que estabaequivocado.

Es importante resaltar que la opinión delconductor no invalidó su hipótesis, sino unavariante de la misma situación. No obstante,quedó un cabo suelto porque el maestro afir-mó: “en matemáticas todo se puede demos-trar”; ya no quise averiguar si aceptaba la de-mostración empírica o si requería una demos-tración formal.

Más tarde se me ocurrió que una manerade comprobar que con las medidas 3, 5 y 8 cmno se puede construir un triángulo, es la si-guiente:

Para calcular el área de un triángulo, unafórmula muy conocida es:

los tres lados: a, b y c son las medidas de loslados y P el perímetro:

Otra fórmula menos conocida consiste encalcular el área en función de las medidas de

En el caso en que las medidas de los ladosson 3,5 y 8 se tiene:

Si el área es igual a cero, no hay tal triángulo.Ahora bien, la fórmula sabemos

claramente cómo se construye, pero… ¿y laotra? Se invita a los maestros que traten de ave-riguarlo.

Finalmente, ¿qué condición deben cum-plir tres medidas dadas para que con ellas sepueda construir un triángulo?

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CON UNA HOJA RAYADAPROFESORA GABRIELA VÁZQUEZ OLIVERA

En la ficha 9 del Fichero. Actividades didác-ticas. Matemáticas. Quinto grado se proponedividir un segmento en partes iguales utili-zando una hoja rayada; este planteamientome pareció muy interesante, pues con estopueden sustituirse los socorridos pasteles di-vididos en medios, cuartos y octavos parahacer la representación gráfica de fraccionescomunes. Además, este método permite tra-bajar gráficamente o sobre la recta numéricacon fracciones, que por lo general sólo se usanen su representación numérica, como sépti-mos, novenos, etcétera.

El primer paso fue dar a cada niño una hojarayada y después se les pidió a todos que re-marcaran las líneas de tal forma que se pu-dieran ver al poner una hoja encima. Al princi-pio pensaron que era para no “irse chueco”cuando escribieran en la hoja blanca.

Siguiendo el planteamiento de la ficha,trazaron en una hoja blanca un segmento de

11 cm, escribieron al principio del mismo elnúmero 0 y al final el 1; luego se les pidióque dividieran el segmento en seis partes igua-les ayudándose con la hoja rayada.

Al principio los niños trataron de usar lahoja rayada poniendo el segmento en formavertical, pero no resultaban seis partes igua-les. Algunos desecharon la hoja rayada y tra-taron de dividir el segmento usando la regla,incluso plantearon: “¿No podríamos hacer lalínea de 12 cm?, así se puede dividir muy fá-cil en seis partes iguales”. Otros insistentemen-te preguntaban: “¿Tienen que ser iguales?”

Se sugirió a los niños que pensaran cómopodrían usar la hoja rayada y que la acomo-daran de distintas maneras. Ellos siguieronprobando. Dos niñas decidieron que era im-posible hacerlo con la hoja rayada, dividie-ron 11 entre 6 y gritaron: “¡Ya está, cada unode los pedazos debe medir 1.8 cm!, no que-da tan exacto, pero casi...”

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Otros siguieron intentando con la hoja; eraun reto atractivo para ellos. En uno de losequipos descubrieron cómo hacerlo y loanunciaron alegremente; de otros equipos seacercaron para que les explicaran cómo usarla hoja rayada. Se oían comentarios como:

• ”Lo importante es que el cero quede enun renglón y de ahí vas moviendo.“

• ”A ver, ¿cómo?”• ”Las líneas quedan chuecas.”• “No, sólo marca el punto donde se cruzan.”Cuando todos pudieron dividir su segmen-

to, la mayoría de los niños tenía su hoja muymaltratada, llena de tachones y borrones,habían estado probando. Se les dio una nue-va hoja blanca para continuar con las activi-dades planteadas en la ficha: trazar 4 segmen-tos de 11 cm y dividirlos en 6 (otra vez), 7, 9y 10 partes iguales, respectivamente. Fue másfácil hacerlo.

Después escribí en el pizarrón: 1/6,3/7, 9/9, 7/10, 1/10 y se les pidió a los niñosque ordenaran esas fracciones de mayor amenor. La mayoría recurrió espontáneamen-te a los segmentos que tenía divididos paraordenar las fracciones. Ellos marcaron condiferentes colores las fracciones sobre los seg-

mentos divididos y las ordenaron de mayor amenor.

La hoja rayada es de gran utilidad parapoder hacer la comparación de fracciones enforma objetiva (gráficamente).

Días después, cuando los niños tuvieronque resolver un ejercicio de comparación defracciones, uno propuso: “Con la hoja raya-da es más fácil”. Varios sacaron su hoja pararesolver el ejercicio.

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Elija un número de cuatro o más cifras y es-críbalo en la calculadora.

Se trata de obtener 0 (cero) a partir de esenúmero con la menor cantidad de jugadas po-sibles. En cada jugada debe efectuarse unade las cuatro operaciones básicas (+, –, x, ÷),luego escribir un número entero de dos cifrasy finalmente la tecla =.

Continúe el juego en la siguiente tabla has-ta obtener cero.

NÚM. DE PARTIDA OPERACIÓN RESULTADO• ¿Cuántas operaciones tuvo que hacer?• Si hizo más de tres, inténtelo nuevamente.• ¿Cuál puede ser el interés pedagógico de

este juego?• ¿Qué conocimientos matemáticos son

útiles para realizarlo?• ¿A qué nivel de primaria tiene interés este

juego?• ¿Por qué se justifica el uso de la calculadora?

JUEGO CON CALCULADORALABORATORIO DE PSICOMATEMÁTICA DEL DIE-CINVESTAV

MARKUP

%

ONCE/C .

M+MM

RC .

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En esta sección se muestran algunos procedi-mientos utilizados para resolver los problemasque propusimos en la invitación enviada.

PROBLEMA

De una lámina metálica de 12 por 24 cmse han recortado 8 discos iguales, como losde la figura.

a) Calcular la cantidad de lámina emplea-da por los 8 discos.

b) Hallar el porcentaje de lámina empleadopor los 8 discos.

DIFERENTES PROCEDIMIENTOS

El profesor JESÚS J. VALENZUELA IBARRA, DE SO-NORA, envió la siguiente solución:

Considerando que 8 radios es igual a labase o cuatro radios es igual a la altura,entonces π x r2 x 8 = 226.1946.

Aplicando la proporción 288100

226.1946x

se obtiene el porcentaje de la láminautilizada: 78.539816 %.

La maestra GRISELDA URENDA, DE ZACATECAS,propuso esta otra:

La imagen permite deducir el diámetrode cada círculo en cm (24 ÷ 4 = 6) y(12 ÷ 2 = 6), entonces si el área delcírculo = π x r2 y el radio = 3 cm, en-tonces, A = 3.1416 x 9, A = 28.274 cm2.Área del rectángulo: 24 x 12 = 288 cm2.El área de los 8 círculos es igual a:

28.274 x 8 = 226.19 cm2.

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a) Lámina empleada: 226.19 cm2

Para obtener el porcentaje:288 — 100

226.19 — xb) Porcentaje empleado: 78.53%

PROBLEMA

Puede escribirse cualquier número entero,usando los dígitos del 0 al 9. Por ejemplo:

• 59 tiene dos dígitos, el 5 y el 9.• 708 tiene tres dígitos, el 7, el 0 y el 8.• 4 633 tiene cuatro dígitos, éstos son el

4, el 6 y el 3, que se repite.Al numerar las páginas de un libro, fueron

usados 777 dígitos, ¿cuántas páginas tiene ellibro?

Solución enviada por el profesor FAUSTO A.SÁNCHEZ, DE YUCATÁN:

los números 299, 298, 297 y 296, portanto el libro tiene 295 páginas nume-radas.Esto sin contar las que se marcan connúmeros romanos.

Solución enviada por el profesor MARCO

ANTONIO GASCA CORTÉS, DE CAMPECHE:

Si tabulamos los valores de las sumasde dígitos usados en las páginas se tie-ne algo como esto:

Como se utilizaron 777 dígitos, sobran12 y, dado que son necesariamentenúmeros de tres dígitos entonces sobran12/3 = 4 números, que corresponden a

DE LA P. A LA P. HAY ( ) NÚM. DE DÍGITOS

1 9 9 910 99 90 180

100 199 100 300200 299 100 300

NÚM. DE PP. DÍGITOS USADOS

5 59 9

10 1112 1524 3962 11599 189

Observemos que a partir del 10, lacantidad de dígitos utilizados está dadopor la fórmula: 2n – 9. Si continuamosla tabla se obtiene:

NÚM. DE PP. DÍGITOS USADOS

100 192156 360264 684273 711

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En esta situación, la cantidad de dígitosutilizados se puede obtener a partir dela expresión: 3(n – 99) + 189. De ma-nera que si la suma de dígitos usadoses de 777 se puede plantear la siguien-te ecuación:3(n –99) + 189 = 777, que al resolversese obtiene: 3n – 297 = 588; y en conse-cuencia n = 295

Si en su trabajo docente ha puesto enpráctica algunos de los ejercicios pro-puestos en los ficheros de actividadesdidácticas, lo invitamos a enviarnos suopinión.

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??La mayoría de los autores que han planteado problemas matemáticos permanece en el anoni-mato. Una excepción es Henry Ernest Dudeney (1847-1930), quien forma parte de la lista deautores que, sin ser matemáticos profesionales, han contribuido a la popularización de lasmatemáticas. El siguiente problema forma parte de su producción.

LA CAJA

Tengo una caja de cartón cuyas caras tienen respectivamente 80, 96

y 120 cm2. ¿Podría decir la altura, anchura y profundidad de la caja?

¿QUIÉN INVENTA LOS PROBLEMAS?

SUCESOS

En un pueblo pequeño se tienen los siguien-tes sucesos:

a) Andrés se encuentra frecuentementeal profesor y a Carlos.b) El doctor cura a Carlos y Andrés.c) Cada viernes el doctor y el farma-céutico juegan a la pelota con Bernardoy Carlos.

¿Cuál es la profesión de Dionisio y cómose llama el carnicero?Enviado por el profesor MOISÉS LEDEZMA RUIZ

y su equipo, de Colima.

CUIDADO PARA NO QUEMARSE

Aquí, el trabajo es mover los fósforos. Como seve, forman siete triángulos equiláteros iguales.

Con sólo mover dos fósforos deben quedar

cinco triángulosequiláteros iguales.

Enviado por el profesor

DAVID NEPOMUCENO L.,

de Ciudad Mendoza, Veracruz.

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DIDÁCTICA DE LAS MATEMÁTICAS,APORTES Y REFLEXIONES*

M. EN C. DAVID BLOCK SEVILLA

Los artículos presentados en esta compilaciónse inscriben en una línea de investigación endidáctica de las matemáticas, que asume unenfoque constructivista sobre los procesos deaprendizaje. Constituyen muy buenos ejem-plos del tipo de trabajos realizados en estecampo, de sus relaciones con otras áreas delconocimiento, especialmente con la psicolo-gía genética, con la epistemología y con lasmatemáticas. El lector encontrará además delos resultados obtenidos en las investigacio-nes que se reportan, acercamientos metodoló-gicos distintos que se han ido elaborando pararealizar estudios específicamente didácticos.

Los primeros cuatro artículos tratan aspec-tos generales de los procesos de aprendizajey de enseñanza de las matemáticas, así comocuestiones teóricas de la didáctica, especial-

mente de aquellas que han sido desarrolla-das por la escuela francesa. Los otros cuatroartículos reportan investigaciones relativasa temas específicos del currículo del nivelbásico.

Luis A. Santaló en “La matemática para nomatemáticos” reflexiona acerca de las exigen-cias que los avances del mundo científico ytecnológico imponen a la enseñanza de lasmatemáticas. Opone a la idea de formar alum-nos en las matemáticas puras la necesidad de“una mezcla coordinada y bien equilibradade matemática pura y aplicada o de matemá-tica como filosofía y de matemática comoinstrumento de cálculo”. Después sugiere al-gunas directrices para la enseñanza de cier-tos temas e incluye una bibliografía sobre lasaplicaciones de las matemáticas en otras áreas.

Grecia Gálvez en “La didáctica de lasmatemáticas” presenta una introducción aeste campo cuyo propósito es “la investiga-

* CECILIA PARRA E IRMA SAÍZ (COMPILADORAS), ARGENTINA,PAIDÓS EDUCADOR, 1994.

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iniciativo y el apropiativo; asimismo destacalas relaciones alumno-maestro-saber y, enparticular, el papel de la resolución de pro-blemas. En el modelo apropiativo se ubica-rían las secuencias didácticas experimenta-les que se desarrollan en la corriente a la quehemos hecho referencia.

Guy Brousseau, pionero de esta corriente,en su artículo “Los diferentes roles del maes-tro” diserta sobre los diversos papeles asumi-dos por el maestro en los distintos momentosdel desarrollo de una secuencia didáctica, ex-pone algunos conceptos recientes de la teo-ría de las situaciones didácticas como los de“situación a-didáctica”, “devolución” y “me-moria didáctica” (este último no lo desarro-lla). Aborda varios problemas apasionantescomo la gestión del sentido de los conoci-mientos de los alumnos y la dificultad, no re-suelta, de encontrar formas de nombrarlo, deexplicitarlo, sin caer en “seudoconoci-mientos”; o el problema, muy poco atendi-do, de cómo tratar los errores de mediciónen las prácticas frecuentes en las que se partede situaciones que exigen manipular, medir,para construir nociones matemáticas.

Los demás artículos exponen investigacio-nes específicas.

ción científica de los procesos que tienen lu-gar en el dominio de la enseñanza escolar delas matemáticas”, el cual se opone a la tradi-ción didáctica de elaboración de propuestas.Caracteriza el tipo de investigación que serealiza, destacando el hecho de que, en estacorriente, el estudio de los fenómenos detransposición de conocimientos pasa por suproducción (estudios experimentales), a par-tir de los elementos teóricos que se han desa-rrollado. Explica la concepción constructivistaasumida en estos trabajos sobre la adquisi-ción de conocimientos y expone algunos delos conceptos básicos de la teoría de las si-tuaciones didácticas, desarrollada por GuyBrousseau, en particular las nociones de si-tuación didáctica, de problema y de variabledidáctica de comando. Posteriormente, ilus-tra estos conceptos con un ejemplo de situa-ción didáctica. Al final presenta unareflexión sobre la utilización de los aportesde estas investigaciones para la formación demaestros.

En el artículo “Aprender por medio de laresolución de problemas”, Rolando Charnayplantea, de manera un poco esquemática perotambién muy clara, tres modelos de enseñan-za de las matemáticas: el normativo, el

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En “El sistema de numeración: un proble-ma didáctico”, Delia Lerner y Patricia Sadov-sky demuestran que los pequeños de cinco yseis años, antes de recibir instrucción formalsobre este tema, han desarrollado ciertos cri-terios e hipótesis propios, a partir de la rela-ción cotidiana que tienen con números es-critos y orales. Basados en estos resultados,las autoras cuestionan ciertas tendencias enla enseñanza de la escritura de los números,por ejemplo, “si… aprender el concepto dedecena ayuda realmente a conocer los nú-meros o, más bien, es el conocimiento de losnúmeros y de su escritura lo que ayuda a com-prender el concepto de decena”. Más aún,las autoras argumentan que en el caso de lanumeración escrita los sujetos conocen pri-mero el resultado de la construcción, las re-gularidades de la serie numérica, y despuéslas causas, los principios de base y posición.

Posteriormente desarrollan algunas orien-taciones didácticas.

En “Dividir con dificultad o la dificultadde dividir”, Irma Saíz presenta primero un bre-ve análisis sobre los significados de la nociónde división desde el punto de vista de su uti-lización en distintos contextos y de sus rela-ciones internas con otros conceptos. Poste-

riormente reporta los resultados de un estu-dio acerca de las dificultades que tienen losniños de cuarto y quinto grados de la escuelaprimaria en Argentina al efectuar esta opera-ción. Se plantearon cinco problemas a unamuestra de 300 alumnos, considerando lassiguientes variables: tipo de números, tama-ño del divisor, existencia o no de residuo ytipo de cantidades (discretas o continuas).

En “Cálculo mental en la escuela prima-ria”, Cecilia Parra aborda la discusión sobreel significado y el lugar del cálculo mental enla escuela primaria. Destaca el valor de estetipo de cálculo en la capacidad de los alum-nos para resolver problemas, en su conoci-miento del campo numérico y, en general,en una mejor relación del alumno con las ma-temáticas. Posteriormente presenta un plan-teamiento curricular, documentado con ejem-plos y categorías muy claras sobre el cálculomental para la escuela primaria.

Finalmente, Grecia Gálvez, en “La geome-tría, la psicogénesis de las nociones espacia-les y la enseñanza de la geometría en la es-cuela elemental” desarrolla los tres aspectosanunciados en el título. El texto constituye unanálisis preliminar al diseño de situacionesexperimentales que la autora realizó sobre un

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aspecto del amplio campo de la geometría(la orientación en el espacio urbano. No seaborda en el artículo el diseño de las situa-ciones).

La autora realiza primero un bosquejo his-tórico de la geometría, cuyo origen está ligadoal problema práctico de reconstituir los límitesdel terreno por las crecidas del río Nilo, hastasu adopción por la teoría de las estructuras denaturaleza algebraica. Posteriormente da cuen-

ta de algunos estudios realizados por Jean Piagetsobre las nociones espaciales, y por último haceuna revisión de los programas y propuestas ofi-ciales para la enseñanza de la geometría enMéxico en los años setenta y ochenta. Terminacon la identificación de una serie de proble-mas que sugiere considerar.

Se recomienda ampliamente el libro, tan-to a los maestros como a los investigadoresen didáctica de las matemáticas.

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¿Ha visto este problema en el taller paramaestros La enseñanza de las Matemáticasen la escuela primaria?En una papelería empacaron 1020 lápicesen cajas con 4 lápices y cajas con 6 lápi-ces. En total obtuvieron 210 cajas. ¿Cuán-tas cajas de cada tipo llenaron? ¿Encontróalgún procedimiento eficaz para resolverel problema de las cajas de colores?¡Envíenoslo!, para compartirlo con otroscompañeros.

MATEMÁTICAS EN LOS LIBROS DE TEXTO GRATUITO

Y LOS MATERIALES DE APOYO

¿Ha visto este problema en el Libro para elmaestro. Matemáticas. Educación secundaria?¿A qué distancia se encuentra la isla de laorilla?¿Para qué tema y grado se recomienda?

Un libro de texto de matemáticas presentauna actividad en la que los niños inventanun problema que se pueda resolver con laoperación:

¿De qué grado es el libro y en qué páginaestá la actividad?

235+

123

En uno de los ficheros de actividadesdidácticas hay una actividad en la que losniños estiman, en centímetros, la longitudde varios segmentos.¿A qué grado corresponde el ficheroy qué número tiene la ficha?

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