. . . . . .

.

......

K4と同じ組み合わせ型を持つ GKM グラフの分類

黒木　慎太郎

kuroki@xmath.ous.ac.jp

https://www.xmath.ous.ac.jp/ kuroki/

2017年 3月 2日第 9 回 STM(Satyric Math.)ワークショップ – in 岡山

５０周年記念館３階会議室・岡山理科大学

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 1 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

群の作用

M2m(= M)：2m次元の多様体T n(= T )：n次元トーラス（T ≃ S1 × · · · × S1︸ ︷︷ ︸

n 個

）

.Definition..

......

T がM に作用する (T ↷ M または (M ,T ))def⇐⇒ T ⊂ Diff(M).

つまり ∀t ∈ T が t : M → M（M 上の変換）を定義する.

x ∈ M に対して、その点を T で動かしたものT (x) = {t(x) | t ∈ T}を x の軌道という.

.Remark..

......

軌道 T (x)は部分多様体になる。つまり, T (x) ∼= {x}, S1,T 2,T 3, ...

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 2 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

群の作用

M2m(= M)：2m次元の多様体T n(= T )：n次元トーラス（T ≃ S1 × · · · × S1︸ ︷︷ ︸

n 個

）

.Definition..

......

T がM に作用する (T ↷ M または (M ,T ))def⇐⇒ T ⊂ Diff(M).

つまり ∀t ∈ T が t : M → M（M 上の変換）を定義する.

x ∈ M に対して、その点を T で動かしたものT (x) = {t(x) | t ∈ T}を x の軌道という..Remark..

......

軌道 T (x)は部分多様体になる。つまり, T (x) ∼= {x}, S1,T 2,T 3, ...

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 2 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

GKM多様体 [Guillemin-Zara, 2000∼]

.Definition (Guillemin-Holm-Zara)..

......

(M ,T )が GKM(Goresky-Kottwictz-MacPherson)多様体 def⇐⇒ 1次元以下の軌道の集合M1 = {x ∈ M | T (x) = {x} or S1} がグラフの構造を持つ.

Α

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 3 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

具体例と GKMグラフ.Example..

......

(1) トーリック多様体.(2) 等質空間 G/H（但し T ⊂ H ⊂ G が極大トーラス）.(e.g. G2/SU(3) ≃ S6, SU(n + 1)/T n ≃ F l(Cn+1)).

GKM多様体 (M2m,T n) =⇒ GKMグラフ (Γ,A).

Figure: (S6,T 2)と (F l(C3),T 2)の GKMグラフ.

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 4 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

GKMグラフを考える利点

...1 高次元の多様体が（大雑把に）目で見えるようになる。

...2 幾何的に大変な証明を、組み合わせ的に証明できる。

...3 不変量（(同変)コホモロジーや (同変)特性類...etc）をグラフの組み合わせ構造から計算できる。

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 5 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

GKMグラフを考える利点

...1 高次元の多様体が（大雑把に）目で見えるようになる。

...2 幾何的に大変な証明を、組み合わせ的に証明できる。

...3 不変量（(同変)コホモロジーや (同変)特性類...etc）をグラフの組み合わせ構造から計算できる。

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 5 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

GKMグラフを考える利点

...1 高次元の多様体が（大雑把に）目で見えるようになる。

...2 幾何的に大変な証明を、組み合わせ的に証明できる。

...3 不変量（(同変)コホモロジーや (同変)特性類...etc）をグラフの組み合わせ構造から計算できる。

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 5 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

GKMグラフを考える利点

...1 高次元の多様体が（大雑把に）目で見えるようになる。

...2 幾何的に大変な証明を、組み合わせ的に証明できる。

...3 不変量（(同変)コホモロジーや (同変)特性類...etc）をグラフの組み合わせ構造から計算できる。

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 5 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

逆の問題 (GKMグラフ =⇒ GKM多様体？)

.Problem........ (Γ,A)に対し、それに対応する（良い）(M ,T )は存在するか？

.Remark..

......

もしもグラフ Γが 2-valent（つまり多角形の辺）の場合は、トーリック幾何を使えば答えは YES.

.今日の目標..

......

...1 GKMグラフを抽象的に定義し (K4上の)それを分類する (組み合わせ論);

...2 それを定義する（同変形式的）GKM多様体を探す (幾何).

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 6 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

逆の問題 (GKMグラフ =⇒ GKM多様体？)

.Problem........ (Γ,A)に対し、それに対応する（良い）(M ,T )は存在するか？

.Remark..

......

もしもグラフ Γが 2-valent（つまり多角形の辺）の場合は、トーリック幾何を使えば答えは YES.

.今日の目標..

......

...1 GKMグラフを抽象的に定義し (K4上の)それを分類する (組み合わせ論);

...2 それを定義する（同変形式的）GKM多様体を探す (幾何).

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 6 / 15

. . . . . .

Introduction (GKM多様体と GKMグラフ)

逆の問題 (GKMグラフ =⇒ GKM多様体？)

.Problem........ (Γ,A)に対し、それに対応する（良い）(M ,T )は存在するか？

.Remark..

......

もしもグラフ Γが 2-valent（つまり多角形の辺）の場合は、トーリック幾何を使えば答えは YES.

.今日の目標..

......

...1 GKMグラフを抽象的に定義し (K4上の)それを分類する (組み合わせ論);

...2 それを定義する（同変形式的）GKM多様体を探す (幾何).

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 6 / 15

. . . . . .

抽象 GKMグラフ

抽象 GKMグラフ [Guillemin-Zara, 2000～]

Γ = (V (Γ),E (Γ))を m-valentグラフとする.

Figure: K4 と 3-valentグラフと 4-valentグラフ.

.Definition..

......

(抽象)GKMグラフとは、ラベル付きグラフ (Γ,A)のことを言う。ここで、ラベル A : E (Γ) → Zn (for 1 ≤ n ≤ m)は次の 3つの条件を満たす:

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 7 / 15

. . . . . .

抽象 GKMグラフ

軸流関数 (axial function) A (I)

ラベル A : E (Γ) → Zn が次の 3つの条件を満たすとき軸流関数(axial function)という。(1) A(pq) = −A(qp)

(2) m個のベクトル {A(e) | e ∈ Ep(Γ)}が Zn を張りかつ、対毎に線型独立 (pairwise linearly independent).

ここで H2(BT 3) = ⟨α, β, γ⟩.黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 8 / 15

. . . . . .

抽象 GKMグラフ

軸流関数A (II)

(3) ∀pq ∈ E (Γ), ∃ 全単射∇pq : Ep(Γ) → Eq(Γ) s.t.

∀e ∈ Ep(Γ), ∃cpq(e) ∈ Z s.t. A(∇pq(e))−A(e) = cpq(e)A(pq).

(∇ = {∇e | e ∈ E (Γ)}は接続と呼ばれる).Example..

......

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 9 / 15

. . . . . .

主定理

主定理

Γ = K4（4頂点完全グラフ）とすると、次の定理が成り立つ。.Theorem..

......

(Γ,A)は次のいずれか 7つのうちの一つと同型になる：

Gst , G0(1, 1), G0(−1,−1), G0(k ,±1), G1(m), G2, G3,

k と mは |k | ≥ 2, m ≥ 1を満たす整数.

.Corollary..

......

GKMグラフが K4 になるような (同変形式的な)GKM多様体は次の二つのうちのいずれかに微分同相になる：

CP3 = (C4 \ {0})/C∗,

Q3 = {z ∈ CP4 | ⟨z , z⟩R = 0} ∼= SO(5)/SO(2)× SO(3).

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 10 / 15

. . . . . .

主定理

K4上の軸流関数A

Gst , G0(1, 1), G0(−1,−1), G0(k ,±1), G1(m), G2, G3,

はそれぞれ次のグラフになる。

Figure: Gst .

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 11 / 15

. . . . . .

主定理

Figure: G0(1, 1) Figure: G0(−1,−1)

Figure: G0(k,±1)

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 12 / 15

. . . . . .

主定理

Figure: G1(m) Figure: G2

Figure: G3

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 13 / 15

. . . . . .

主定理

証明の概略

１．K4上の接続∇を全て分類する（7種類ある）

２．(K4,∇)を固定して軸流関数 Aが定義できるかどうかを考える（実際、軸流関数が上手く定義できるのは 4種類のみ）

３．考えうる軸流関数をすべて数え上げる。

４．同型であるものとないものを分類して証明終了。

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 14 / 15

. . . . . .

主定理

CP3と Q3に対応する GKMグラフ

Figure: (CP3,T ℓ)のGKMグラフ (ℓ = 2, 3)

Figure: (Q3,T2)の

GKMグラフ G3

.Remark..

......

(Q3,T2)はトーリック多様体ではないので、トーリック幾何（トー

リックトポロジー）でよく知られた方法からは構成できない！

黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 15 / 15

. . . . . .

主定理

CP3と Q3に対応する GKMグラフ

Figure: (CP3,T ℓ)のGKMグラフ (ℓ = 2, 3)

Figure: (Q3,T2)の

GKMグラフ G3

.Remark..

......

(Q3,T2)はトーリック多様体ではないので、トーリック幾何（トー

リックトポロジー）でよく知られた方法からは構成できない！黒木　慎太郎 (岡理大) GKM graph which is K4 2017年 3月 2日 (岡理大) 15 / 15