Upload
dohanh
View
330
Download
4
Embed Size (px)
Citation preview
Kaidah-kaidah diferensiASi
Kaidah-kaidah Diferensiasi
1. Diferensiasi Konstanta Jika y = k, dimana k adalah konstanta,
maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 0
Contoh : y = 5, maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 0
atau lebih mudahnya kalau kita mengganti
simbol 𝑑𝑦
𝑑𝑥 menjadi y’, misalnya:
y = 100 y’ = 0 y = ½ y’ = 0
Kaidah-kaidah Diferensiasi
2. Diferensiasi fungsi pangkat Jika y = xⁿ, dan adalah konstanta maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = nXn-1
Contoh : y = x³ y’ = 3 x3-1 = 3 x² y = X–8 y’ = – 8X–9
Kaidah-kaidah Diferensiasi
3. Diferensiasi perkalian konstanta dengan fungsi
Jika y = kv dan v = h (x) maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = k
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Contoh : y = 5 x³, maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 5 ( 3x² ) = 15 x²
Contoh lain: y = 5X–8 y’ = – 40X–9 y = 4X5 y’ = 20X4
Kaidah-kaidah Diferensiasi
4. Diferensiasi pembagian konstanta dengan fungsi
Jika y = 𝑘
𝑣 , dimana v = h (x), maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
k 𝑑𝑣
𝑑𝑥
v²
Contoh : y = 5
x³ ,
𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
5(3x²)(x³)2
= −15x²
x6
Contoh lain:
y = 4/X–8 y’ = – 4. – 8 X–9
(X–8)2 =
32X–9
X–16
y’ = (32 X–9 ). X16 y’ = 32 X7
Kaidah-kaidah Diferensiasi
5. Diferensiasi penjumlahan / pengurangan fungsi Jika y = u ± v, dimana u = g (x) dan v = h(x),
maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑢
𝑑𝑥 ±
𝑑𝑣
𝑑𝑥
Contoh :
y = 4 x² + x³ misalkan u = 4 x² → 𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 8x
v = x³ → 𝑑𝑣
𝑑𝑥 = 3 x² , maka
𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 8x + 3x²
y = – 2X–1 + 4X + 8 , maka y’ = 2X–2 + 4
Kaidah-kaidah Diferensiasi
6. Diferensiasi perkalian fungsi Jika y = uv, dimana u = g(x) dan v = h(x)
maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = u
𝑑𝑣
𝑑𝑥 + v
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh : y = (4x²) (x³)
misalkan u = 4 x² → 𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 8 x
v = x³ → 𝑑𝑣
𝑑𝑥 = 3 x²
maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = u
𝑑𝑣
𝑑𝑥 + v
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = (4x²) (3x²) + (x³)(8x)
= 12 x4 + 8x4 = 20 x4
Kaidah-kaidah Diferensiasi
7. Diferensiasi pembagian fungsi Jika y = U/V , dimana U = g (x) dan V = h (x)
maka y’ = VU’ – UV’
V2
Contoh :
y = UV
y = (4x²)
x³
y’ = x³(8x) – (4x²).3x2
(x³)2 =
8X4 – 12X4
x6
= – 4X4.X–6 = – 4X–2
Kaidah-kaidah Diferensiasi 8. Diferensiasi fungsi komposit
Jika y = f(x) sedangkan u = g(x), dengan
kata lain y = f {g(x)} maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢 *
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh : y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → 𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 12x²
y = u² → 𝑑𝑦
𝑑𝑢 = 2u
maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑦
𝑑𝑢 *
𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 2u * 12x²
= 2 (4x³ + 5) * 12x² = 96 x5 + 120 x²
Kaidah-kaidah Diferensiasi
9. Diferensiasi fungsi berpangkat Jika y = uⁿ , dimana u = g (x) dan n adalah
konstanta, maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = nu n-1 *
𝑑𝑢
𝑑𝑥
Contoh : y = (4x³ + 5)²
misalkan u = 4x³ + 5 → 𝑑𝑢
𝑑𝑥 = 12x² dan
y = u²
Maka 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = nu n-1 *
𝑑𝑢
𝑑𝑥
= 2 (4x³ + 5)(2-1)*12x² = 96 x5 + 120 x²
Kaidah-kaidah Diferensiasi
10. Masih banyak kaidah yang lain, untuk itu dapat dipelajari lebih lanjut
Derivatif dari Derivatif
Setiap fungsi dapat diturunkan lebih dari satu kali. Dengan perkataan lain, turunannya masih bisa diturunkan lagi. Turunan pertama (first derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari fungsi awal atau fungsi aslinya. Turunan kedua (second derivative) sebuah fungsi adalah turunan dari turunan pertama, turunan ketiga (third derivative) adalah turunan dari turunan kedua dan seterusnya.
Derivatif dari Derivatif
Fungsi awal : y = f(x)
Fungsi pertama : y’ = f’ (x) = 𝑑𝑦
𝑑𝑥 =
𝑑𝑓(𝑥)
𝑑𝑥
Turunan kedua : y” = f” (x) = 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2 = 𝑑2𝑓(𝑥)
𝑑𝑥2
Turunan ketiga : y”’ = f’’’(x) = 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3 = 𝑑3𝑓(𝑥)
𝑑𝑥3
Turunan ke-n : yⁿ = fⁿ (x) = 𝑑𝑛𝑦
𝑑𝑥𝑛 = 𝑑𝑛𝑓(𝑥)
𝑑𝑥𝑛
Derivatif dari Derivatif
Contoh : Y = f(x) = x³ - 4x² + 5x – 7
Y’ = 𝑑𝑦
𝑑𝑥 = 3x² - 8x + 5
Y” = 𝑑2𝑦
𝑑𝑥2
= 6x – 8
Y”’ = 𝑑3𝑦
𝑑𝑥3
= 6
Tugas
Tentukan 𝑑𝑦
𝑑𝑥 dari fungsi-fungsi dibawah ini
1. Y = 2X–3/X3 2. Y = (4X2 – 2)4 3. Y = (X3 + 2X).(3X – 1) 4. Y = (2X1/2 – 2)/X2 5. Y = (8X1/4 – 2).(6X2 – X) 6. Y = 2X1/4 – 2X4 + 6X1/3 + 8X2 7. Y = 12X3/4X2 8. Y = (6X3 + 2X2).(2X+3) 9. Y = (10X1/2 – X3)2 10. Y = 7X3 + 2X2 – 2X + 3
Tugas
Tentukan 𝑑𝑦
𝑑𝑥 dari fungsi-fungsi dibawah ini
11. Y = 4X–2/X4 12. Y = (7X2 – 2X)2 13. Y = (2X3 + 2).(4X2 – X) 14. Y = (6X1/2 – 2X)/X3 15. Y = (12X1/4 – 4X).(2X2 – X–1) 16. Y = 8X1/4 – 2X2 + 6X1/3 + 8X2 17. Y = (12X3 – 4X)/X2 18. Y = (2X2 + 7X3).(2X3– 4X) 19. Y = (5X2 – 2X3)4 20. Y = 9X2 + 4X4 – 5X + 19
Penugasan
(6) Diferensiasi perkalian fungsi y = (5x4) (2x³) y’ = (5x4). (6x2) + (2x³).(20X3) y’ = 30 X6 + 40X6