KAJIAN DAN STRATEGI PENYAMPAIAN BILANGAN BULAT SERTA

RAGAM PERMASALAHANNYA

1. CARA MENANAMKAN KONSEP BILANGAN BULAT

Sebelum mengajarkan penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat kepada siswa

SD, siswa perlu memahami terlebih dahulu konsep bilangan bulat. Oleh sebab itu sebagai

seorang guru SD kita perlu memahami bagaimana cara mengajarkan konsep bilangan bulat.

Khususnya bilangan negatif.

Pada umumnya sebelum guru mengenalkan konsep bilangan negative kepada siswa

SD, mereka secara tidak sadar telah mengenal konsep tersebut dalam kehidupan mereka

sehari – hari.

Pernyataan berikut adalah contoh-contoh pernyataan yang mengungkapkan konsep

bilangan negatif yang telah dikenal anak :

1. Kapal selam itu berada 100 meter dibawah permukaan laut.

2. Sumur itu dalamnya 10 meter ( dasar sumur itu berada 10 meter di bawah tanah ).

3. Ali mempunyai hutang 500 rupiah.

Pernyataan-pernyataan tersebut dapat kita gunakan untuk mengenal konsep bilangan

negatif kepada siswa. Cara penyajiannya dapat berupa dialog berikut.

Guru : Misalkan kita mempunyai sumur, tinggi katrol 2 m, dalam sumur 5 m.

katrol berada berapa meter di atas permukaan tanah?

Siswa : 2 meter di atas permukaan tanah.

Guru : Benar, sekarang dasar sumur berapa meter dibawah permukaan tanah?

Siswa : 5 meter di bawah permukaan tanah.

Guru : jawabanmu tepat sekali, sekarang kita akan menyatakan kedua jawaban

itu dengan cara lain, yaitu kita akan menggunakan kata ketinggian, kalimat

katrol ada pada 2 m di atas permukaan tanah kita ganti dengan “ katrol

berada pada ketinggian positif dua (2) m. kalimat “ dasar sumur berada 5

m di bawah permukaan tanah “ kita ganti dengan “ dasar sumur berada

pada ketinggian negatif lima(-5) m”.

Kemudian guru menulis kedua kalimat terakhir dipapan tulis kemudian seluruh kelas

membaca kalimat itu. Guru juga menjelaskan cara menulis lambang bilangan negative dan

lambang bilangan positif.

Guru dapat memberi latihan agar siswa lebih mantap lagi, namun sebelumnya guru

dapat memberikan contoh soal:

1. Ali mempunyai uang 100 rupiah dan totok mempunyai hutang 1000 rupiah

Artinya:

Ali mempunyai uang 100(positif seratus) rupiah dan Totok mempunyai uang -1000

(negatif 1000) rupiah.

2. Suhu di Jakarta 33 derajat di atas nol dan suhu di kutub utara 20 derajat di bawah nol

Artinya :

Suhu di Jakarta 33 (positif tiga puluh tiga) derajat dan suhu di kutub utara….(……)

derajat.

3. Baling-baling kapal berada 1 meter dibawah permukaan air dan kemudian kapal berada

2 m diatas permukaan air.

Artinya:

Baling-baling kapal berada 1( positif satu) meter dibawah permukaan air dan kemudian

kapal berada ….(….) m diatas permukaan air.

Kemudian kegiatan tersebut dilanjutkan menyajikan bilangan bulat pada sebuah garis

bilangan.

-5 - 4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4

Titik nol adalah titik yang mewakili bilangan nol. Titik-titik di sebelah kiri titik nol

mewakili bilangan negative dan titik-titik disebelah kanan titik nol mewakili bilangan

positif. Setelah guru menyajikan garis bilangan yang tidak lengkap tersebut di papan tulis, ia

meminta siswa menyalin garis bilangan itu di buku mereka masing-masing dan kemudian

melengkapinya. Kemudian guru meminta seorang anak maju ke depan melengkapi garis

bilangan yang ada di papan.

Kemudian guru menunjukkan bahwa letak titik 2 berlawanan dengan letak titik-titik

(-2) terhadap titik nol, oleh sebab itu -2 disebut lawan dari 2.

Setelah konsep bilangan bulat dipahami siswa, baru kita dapat memberikan operasi

penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat.

2. CARA MENGAJAR PENJUMLAHAN DAN PENGURANGAN BILANGAN BULAT.

Salah satu cara mengajarkan operasi penjumlahan dan pengurangan bilangan bulat

adalah dengan menggunakan alat peraga yang disebut kertas-kertas warna. ( kertas yang

dipotong dengan ukuran yang sama, ada yang berwarna merah dan ada yang berwarna biru

tapi boleh warna apa saja, asal 2 warna yang berbeda).

Kertas merah kita anggap sebagai bilangan positif dan kertas biru kita anggap

sebagai bilangan negatif

= Positif

= Negatif

Kemudian guru membuat susunan kertas dua warna, dan siswa diminta untuk meniru

dengan menggunakan kertas 2 warna masing-masing

1) 7 kertas warna merah

5 kertas warna biru

Kertas biru dan merah diletakkan berpasangan.

Susunan kertas warna semacam ini menyatakan bilangan 2 karena 2 buah kertas merah yang

bernilai positif tidak memiliki pasangan.

2) 5 buah kertas warna merah

9 buah kertas warna biru

Di letakkan berpasangan

Susunan kertas tersebut menyatakan bilangan – 4 karena 4 kertas biru yang bernilai negatif

tidak memiliki pasangan.

3) 5 buah kertas warna merah

5 buah kertas warna biru

Menyatakan bilangan nol karena semua kertas warna berpasangan.

Selanjutnya kita menggunakan kertas berwarna untuk mengajarkan penjumlahan dan

pengurangan.

Penjumlahan

4) Misalnya kita hendak mencari hasil penjumlahan -2 + 3 = ……

+

= 1( sebab satu

kartu merah tidak

berpasangan)

Jadi -2 + 3 = 1

2) 3 + -6 = ………

+

3 -6

=

-3

Karena tiga kertas berwarna biru tidak memiliki pasangan.

Pengurangan

Untuk pengurangan apabila menggunakan kertas berwarna memiliki syarat tertentu, jadi untuk

bilangan pertama (yang dikurangkan ) harus menyediakan kartu warna berpasangan sebanyak

bilangan pengurangan, ini tidak berpengaruh terhadap nilai bilangan karena kertas berwarna

berpasangan bernilai nol, brtujuan hanya untuk mempermudah perhitungan.

Contoh:

3 – (-5)

0

-

Jadi 3 – (-5) = 8 karena kertas warna merah yang tidak berpasangan ada 8.

(-2) – 3 = ……..

+

-

0 (-2)

-5

Jadi (-2) – 3 = -5

Karena kertas warna biru yang tidak berpasangan 5.

Selain alat peraga manik-manik atau kartu bilangan, terdapat alat peraga lain yang dapat

dijadikan media untuk menjelaskan operasi hitung pada bilangan bulat yaitu: Tangga Garis

Bilangan, Pita Garis Bilangan, dan Balok Garis Bilangan. Ketiga alat ini lebih cebderung

merupakan alat permainan matematika, dan pada umumnya ketiga alat ini digunakan untuk

mengenalkan atau melakukan operasi hitung dasar pada sistem bilangan bulat. Tangga garis

bilangan terbuat dari triplek yang bentuknya memanjang. Pada potongan triplek tersebut dibuat

skala yang berurutan dan jarak antar skalanya sama. Alat ini disebut tangga garis bilangan, sebab

pada saat menggunakannya harus meniti mistar yang bersklala tersebut. Selanjutnya untuk

memperagakan alat tersebut biasanya diperlukan pemeraga (model) yang diperankan oleh siswa

(siswa melakukan loncatan-loncatan maju ataupun mundur di atas mistar dan setiap loncatannya

mengandung makna atau mewakili bilangan-bilangan yang dioperasikan).

--6 -5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6

B. cara mengajar perkalian dan pembagian bilangan bulat

Mengerjakan perkalian bilangan bulat dapat dikerjakamsecara bertahap. Yaitu:

1. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat positif

2. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negative

3. Perkalian bilangan bulat negative dengan bilangan bulat positif

4. Perkalian bilangan bulat negative dengan bilangan bulat negative

Namun dalam makalah ini kami hanya membahas perkalian pada no2,3 dan 4 karena

permasalahan perkalian no 1 sudah dibahas kelompok sebelumnya yaitu pada perkalian bilangan

cacah.

1. Perkalian bilangan bulat positif dengan bilangan bulat negative

Untuk mengajarkannya mula-mula siswa kita ajak melihat kembali pengertian perkalian

yang telah dipelajari yaitu bahwa perkalian adalah penambahan bilangan yang sama

berulang kali. Misalnya 3 x -2 = -2 + -2 + -2 = -6.

Selanjutnya kita bisa mengajak siswa menjawab soal-soal seperti yang ada pada table

berikut

Perkalian bilangan cacah Perkalian bilangan bulat

2 x 3 = 6

2 x 4 = 8

3 x 2 = 6

3 x 3 =….

3 x 4 =….

3 x 5 =….

2 x -3 = -3 + -3 = -6

2 x -4 = -4 + -4 = -8

3 x -2 = -2 + -2 +-2 = -6

3 x -3 =….+….+…. = ….

3 x -4 =….+….+…. = ….

3 x….= -5 + -5 + -5 = ….

Kemudian ajak anak untuk memperhatikan hasil perkalian disebelah kanan dan disebelah kiri.

Ajak anak menarik kesimpulan. Hal tersebut dapat dilakukan melalui Tanya jawab

dengan siswa. Setelah siswa mengerti kemudian guru dapat menyatakan hubungan tadi

dengan menggunakan lambang.

+ (- ) = (- x )

Soal-soal semacam di bawah ini dapat digunakan untuk melatih keterampilan mengalikan

bilangan cacah dengan bilangan bulat negatif.

(1a) 4 x 5 = (1b) 4 x-5 =

(2a) 5 x = 35 (2b) 5 x = - 35

Untuk mengajarkan perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan cacah kita dapat

menggunakan pola. Misalnya kita hendak mencari hasil perkalian – 3 x 4 = . kita

gunakan pola berikut:

Perkalian bilangan bulat

3 x 4 = isi kotak adalah 12

3 x 4 = isi kotak adalah 8

3 x 4 = isi kotak adalah 4

3 x 4 = isi kotak adalah 0

3 x 4 = isi kotak adalah -4

3 x 4 = isi kotak adalah -8

3 x 4 = isi kotak adalah -12

Gambar 8.6

Ajak siswa berdiskusi untuk mengisi kotak pada gambar 8.6 dan kemudian membuat

kesimpulan. Minta anak untuk memperlihatkan bahwa pengali 4 turun satu-satu

sedangkan hasil kalinya turun empat-empat. Karena dari nol turun satu menjadi -1 dan

dari 0 turun empat menjadi 4, -1 x 4 = - 4.

Kesimpulan dari diskusi ini adalah

- x = (- x )

Ajak siswa untuk menggabungkan kesimpulan ini dengan kesimpulan untuk gambar 8.5

sehingga diperoleh kesimpulan.

x- =(- x ) = (- x )

untuk mengajarkan perkalian bilangan bulat negatif dengan bilangan bulat negative anda juga

dapat menggunakan pola. Dengan diskusi atau dialog ajak siswa anda untuk melengkapi pola

perkalian berikut:

3 x-5 = isi kotak -15

2 x -5= isi kotak -10

1 x-5 = isi kotak -5

0 x-5 = isi kotak -0

-1 x-5= isi kotak 5-

-2 x-5= isi kotak 10-

-3 x-5= isi kotak 15-

Kemudian bimbing siswa anda untuk sampai pada kesimpulan

- x- = x

Setelah siswa anda diberi latihan yang cukup, akhirnya mereka dapat anda ajak untuk membuat

kesimpulan berikut:

1) Bilangan bulat posotif kali bilangan bulat positif sama dengan bilangan bulat

positif.

2) Bilangan bulat positif kali bilangan bulat negatifsama dengan bilangan bulat

negative

3) Bilangan bulat negative kali dengan bilangan bulat positif sama dengan

bilangan bulat negative

4) Bilangan bulat negative kali bilangan bulat negative sama dengan bilangan

bulat positif.

5) Bilangan nol kali bilangan bulat sama dengan nol, dan bilangan bulat kali

bilangan nol sama dengan bilangan nol.

Misalnya kita hendak mengajarkan 6 : -2 = ….

Anda dapat menggunakan analogi dari pembagian bilangan cacah yaitu:

Dari kalimat “karena 2 x 3 = 6, 6 : 2 = 3” diperoleh analogi

“karena -2 x -3 = 6, 6 : -2 = -3”

Gambar 8.7 di bawah ini dapat anda gunakan untuk menanamkan konsep

pembagian bilangan bulat negative oleh bilangan bulat positif.

Karena 2 x 3 = 6 6 : 2 = 3

2 x -3 = -6 -6 : 2 = -3

4 x -2 = -8 -8 : 4 = -2

x = -15 -15 : 3 =

x = -28 -28 : 4 =

x = -35 -35 : 7 =

Gambar 8.7

Ada kasus istemewa yang perlu anda ketahui dan ajarkan kepada siswa anda

yaitu:

0 : 0 tidak punya arti

x : 0 tidak punya arti

C. Cara Mengajar Relasi Urutan Bilangan Bulat

Setelah siswa memahami konsep bilangan beserta operasi penjumlahan dan

pengurangan maka tiba saatnya bagi anda untuk menyajikan konsep hubungan

antar bilangan bulat. Hubungan itu dapat berupa ketidaksamaan yaitu “kurang

dari” dan” lebih dari”. Bilangan bulat x kurang dari bilangan bulat y bila ada

bilangan bulat positif z sehingga x = y – z.

Lambang untuk kurang dari adala < sedangkan lambang untuk lebih dari

adalah >.

Gambar 8.9 dapat anda gunakan untuk membimbing anak kepemahaman

hubungan (relasi) kurang dari ( < )

x < y jika ada bilangan positif z sehingga x = y – z

3 < 4 sebab 3 = 4 -1

-5 < -2 sebab -5 = -2 - 3

-4 < -1 sebab = -

< sebab -10 = 3 - 13

5 < 8 sebab 5 = 8 - 3

-3 < 2sebab -3 = 2 -5

-12 < 1sebab = -

< sebab -7 = -5 - 2

Bimbinglah siswa mengurutkan bilangan bulat dengan menggunakan garis

bilangan. Tetapkan lebih dahulu panjang satuannya dan sebuah titik yang

menyatakan sebuah bilangan tertentu (misalnya 2) pada garis bilangan yang

anda buat di papan tulis. Kemudian tentukan titik-titik yang berjarak 1, 2, 3

dan seterusnya ke kanan dan ke kiri titik 2 tadi. Setelah itu minta siswa secara

bergilir mengisi (melengkapi) garis bilangan tersebut, dengan pedoman

bilangan yang berada lebih lebih ke kiri kurang dari bilangan yang berada

lebih ke kanan. Selain itu sekarang tiba saatnya bagi anda untuk

menyederhanakan lambang yang digunakan yaitu:

LambLambang -x disederhanakan menjadi – x

Lambang x- disederhanakan menjadi x

D

C. Cara Mengajar Notasi Ilmiah

Sebelum anda dapat mengajar notasi ilmiah kepada siswa anda, anda perlu

lebih dahulu memberi mereka konsep bilangan berpangkat negatif. Anda

dapat menyajikan konsepbilangan berpangkat negative tersebut dengan

menggunakan pola sebagai berikut:

2

10000 = 104

104

adalah nama lain dari 10000

1000 = 103

103

adalah nama lain dari 1000

100 = 102

102

adalah nama lain dari 100

10 = 101

101

adalah nama lain dari 10

1= = 100

100

adalah nama lain dari 1

0,1 = = 10-1

10-1

adalah nama lain dari 0,1

0,01 = = 10-2

10-2

adalah nama lain dari 0,01

0,001 = = 103

103

adalah nama lain dari 0,001

Gambar 8.10

Selain gambar gambar 8.10 sampai garis keempat dipapan tulis. Ajak siswa

anda memperhatikan (membaca) baris demi baris. Kemudian minta siswa

untuk memperhatikan pangkat sepuluh dari satu baris ke baris berikutnya.

(pangkat turun satu – satu) setelah itu bersama-sama siswa anda tulis baris ke

5, 6, 7, dan 8. Kegiatan berikutnya member latihan serupa dengan

menggunakan soal pada gambit 8.11 yang mengarahkan siswa untuk

menentukan sendiri cara menulis bilangan dengan cara ilmiah.

1. 0,000001 = 10

2. = 10

3. = 2 x = 2 x 10

4. 0,0005 = 5 x = 5 x 10

5. = 1,3 x = 1,3 x 10

6. = 1,7 x = 1,7 x 10

7. =1,39 x = 1,39 x 10

Akhirnya katakanlah kepada siswa anda bahwa yang baru saja mereka pelajari adalah

menulis notasi ilmiah bagi sebuah bilangan.

Sebagai contoh:

Notasi ilmiah untuk 0,0012 adalah 1,2 x 10-3