Kako Izvoditi Pripreme Za Takmičenje

7/23/2019 Kako Izvoditi Pripreme Za Takmienje

1/5

195

Postoje razne mogunosti s kojima kreativan na-stavnik matematike moe razvijati stvaralako mi-ljenje i matematike sposobnosti svojih uenika.Posebno su vana matematika natjecanja, jer sena njima uenicima ispunjava prirodna elja daprovjere svoje matematike sposobnosti.

Za svako natjecanje potrebne su odgovarajuepripreme.

U lanku [16] bilo je govora i o pripremama na-stavnika i uenika za matematika natjecanja. Uovom lanku ukazujemo na vanije korake tih pri-prema, nadopunjene kratkom metodikom obra-dom nekoliko matematikih podruja iz kojih seesto zadaju natjecateljski zadaci.

Slabosti, pogreke i mjereRazgovori s nastavnicima-mentorima, raspravena seminarima, u metodikim radionicama i naokruglim stolovima ukazuju na to da ve u fazi pri-prema u naim kolama postoji velika arolikost.Jedni nastavnici redovito pripremaju svoje najbo-lje uenike za natjecanja, drugi ne. esto, kad pri-preme i postoje, ne vre se na najbolji nain, a naj-ee su one pripreme koje se vre nekoliko danapred samo natjecanje. Uenici, koji su tako pripre-

mani, nemaju stabilna matematika znanja, pa ni-je udo da na natjecanjima rade pogreke i ondjegdje se to najmanje oekuje. Evo estih pogrea-ka uenika pri rjeavanju zadataka:

nepotpuna analiza zadatka, nepravilno zakljui-

vanje, zapostavljanje preciznog logikog slijedaizvoenja, brzopletost pri pismenom izraavanju,neurednost i nepreglednost koraka u radu, manj-kavi i netoni crtei, zapostavljanje teksta i obja-njavanja postupka rjeavanja, uenik ne moeprocijeniti teinu zadatka i dr.

to mogu uiniti nastavnici matematike u cilju po-boljanja stanja na podruju priprema uenika zamatematika natjecanja?

Neke mjere mogu poduzeti ve u redovitoj nasta-vitijekom cijele kolske godine. U te mjere ubraja-ju se: dodatni zadaci za naprednije uenike, ana-liza zadataka s natjecanja, smanjivanje velikoga

broja standardnih zadataka i poveanje broja pro-

blemskih zadataka, prilagoavanje zadataka pri-

mjeni i razvijanju nekih matematikih postupaka

koji slue za uvoenje uenika u stvaralaki rad,

posveivanje vee pozornosti metodikoj strani

procesa rjeavanja zadataka, njegovanje kreativ-

nosti uenika i dr.

Priprema nastavnikai uenika za matematika natjecanja

Zdravko Kurnik, Zagreb

Redovita nastava ne moe u potpunosti zadovoljiti potrebe i interese odreenoga broja uenika sposebnim sklonostima i sposobnostima za dublje razumijevanje matematike, koji uz odgovarajuirad mogu kasnije dati natprosjene rezultate. Zato se namee potreba da se razvijaju i njegujuposebne aktivnosti koje omoguuju to ranije otkrivanje takvih uenika i usmjeravanje i praenjenjihova rada.


2/5

196196

iz rjenika metodike

broj 50 / godina 10. / 2009.

Mjere za intenzivnije pripreme uenika za natjeca-nja izvan redovite nastavejesu rad u matemati-

kim grupama, rad u matematikim radionicama,obrada strune literature, razmjena ideja i postu-paka putem e-maila i dr.

Struktura obrade nekogpodrujaNavedene mjere koje se odnose na pobolja-nje priprema uenika za natjecanja putem dubljestrune i metodike obrade nekog podruja ma-tematike mogu se preciznije razraditi u nekolikoodjeljaka:

1) Zadaci s naih natjecanja.Upoznavanje ue-nika sa zadacima koji su iz odreenog podru-ja matematike posljednjih nekoliko godina zada-vani na natjecanjima igra vanu ulogu u pripremi.Kao prvo, uenici uviaju potrebu rjeavanja ta-kve vrste zadataka, jer se slini zadaci mogu po-javiti na iduim natjecanjima. Kao drugo, proua-vajui rjeenja takvih zadataka spoznaju kakva jeteina natjecateljskih zadataka. Kao tree, otkriva-ju kod sebe mogui nedostatak znanja za rjea-vanje takve vrste zadataka. Uzevi sve to zajedno,

ovaj korak moemo nazvati psiholokom pripre-mom uenika.

2) Teorijska osnova.Za uspjeno rjeavanje za-

dataka iz nekog podruja matematike potrebna je

prije svega primjerena teorijska osnova i njezina

dobra metodika razrada. Teorijsku osnovu ine

odgovarajue injenice, svojstva, tvrdnje, pouci,

metode iz kolske matematike. Te injenice istie-

mo tek pri rjeavanju konkretnih zadataka.

Za natjecateljske zadatke, koji su u pravilu pro-blemski zadaci, potrebna je bogatija teorijska

osnova i dodatne injenice. To su pouci, postup-ci i metode rjeavanja koji nisu izravno iz kolskematematike, ali je poeljno da ih napredniji ueni-ci znaju. Upoznavanje naprednijih uenika s timinjenicama moemo smatrati primjerenim radomna razvoju njihovih matematikih sposobnosti, aposebno na boljoj pripremljenosti za matematikanatjecanja. Povoljna je okolnost da mnogi natje-catelji imaju vea znanja o zadacima od onih kojadobivaju u redovitoj nastavi. Ta znanja oni su stekli

samostalno iz nekih drugih izvora. Meutim, jouvijek postoji nesklad izmeu redovitih i dodatnih

znanja. S tim je u uskoj vezi nedoumica koju na-kon natjecanja izaziva pitanje famoznih 0 bodo-va nekih uenika na rang-listama natjecanja. Ka-ko je to mogue?

Jedan od moguih odgovora jest: nepoznavanjemetoda rjeavanja. Metode rjeavanja matema-tikih problema su posebna znanja o kojima vr-lo esto ovisi uspjeh ili neuspjeh uenika na na-tjecanjima. Zbog nepoznavanja metoda mnogise natjecateljski zadaci njima ine teima negoto to oni stvarno jesu. Rjeenje toga problema

treba traiti u okviru proirenja teorijske osnove.Kako u svakom podruju matematike postoji nizrazraenih i uinkovitih metoda rjeavanja razno-vrsnih problema, potrebno je samo da nastavniknapravi kratku metodiku razradu pojedine meto-de i upozna svoje uenike-natjecatelje s njezinomprimjenom i djelotvornou. Poznavanje dovoljno-ga broja uinkovitih metoda rjeavanja matemati-kih problema omoguuje lake svladavanje no-vih problema i pozitivno utjee na matematikesposobnosti i trajnost znanja uenika. To pozna-vanje ujedno osnauje psiholoku pripremu ue-

nika za natjecanja.

Poeljno je da u okviru priprema za natjecanja na-stavnik matematike upozna svoje uenike s nekimod sljedeih metoda: metodom analogije, meto-dom supstitucije, metodom neodreenih koefici-

jenata, metodom rekurzije, metodom matematike

indukcije, metodom razlikovanja sluajeva, meto-

dom superpozicije, metodom uzastopnih priblia-

vanja, Descartesovom ili algebarskom metodom i

dr.

U ovom koraku priprema nastavnik matematiketreba jo provjeriti koja dodatna znanja imaju nje-govi natjecatelji, upoznati ih s dodatnim injenica-ma iz obraivanog podruja, poticati ih da pri rje-avanju odabranih zadataka i sami pronau nekinovi nain rjeavanja primjenom nekog novog po-stupka, ukazati im na vrijednosti meusobne ko-munikacije, grupnog rada i rada u matematikojradionici i dr. Ovaj korak moemo nazvati aktivi-

ranjem znanja.


3/5

197

3) Problemi u matematikoj radionici. Za raduenika u matematikoj radionici nastavnik ma-

tematike treba pripremiti primjeren izbor zadata-ka iz odabranoga podruja. Primjerenost u ovomkoraku priprema znai: optimalan broj zadatakakojim se pokriva podruje, raznovrsnost po sadr-aju, raznovrsnost po teini. Ovaj korak moemonazvati upoznavanjem podruja obrade.

4) Analiza, rjeavanje i kreativnost.Ovo je sre-dinji dio priprema. Tu se treba zbiti sve ono to euenicima pomoi u uspjenom sudjelovanju nanatjecanjima: analiza svakog zadatka i ustanov-ljavanje njegove teine, aktiviranje i povezivanje

predznanja, iznoenje osobnog miljenja, razmje-na ideja, otkrivanje i osmiljavanje naina rjea-vanja, odabir teorijske osnove, djelotvorna raspra-va o rezultatima samostalnog i zajednikog rada.Nastavnik matematike posebnu pozornost trebaposvetiti iznoenju novih ideja uenika, otkrivanjunovih metoda rjeavanja, uoavanju originalnihrjeenja. Na temelju toga moe se zakljuiti da jeteite rada u radionici na pristupu, idejama, me-todama rjeavanja i njegovanju kreativnosti ueni-ka. Ovaj korak priprema moemo nazvati ovla-davanjem podruja obrade.

5) Dodatni problemi.Da bi znanje uenika bilotrajnije i uenici sigurniji pri rjeavanju zadataka izobraenoga podruja, nastavnik matematike tre-ba pripremiti i izbor dodatnih zadataka. Ti zadaciobino se predviaju za novu matematiku radio-nicu, a uenici ih mogu koristiti za samostalni radna pripremanju za natjecanja. Ovaj korak moe-mo nazvati utvrivanjem.

Izbor podruja

U programima po kojima se uenici natjeu pieda za vie razine natjecanja oni trebaju poznava-ti i sljedea dodatna podruja: kombinatorne za-datke, logike zadatke, diofantske jednadbe, Di-

richletov princip (O), matematiku indukciju,elementarnu teoriju brojeva, osnovne nejednako-

sti o sredinama (S).

Evo kratkih i saetih prikaza obrade nekih podru-ja koja trebaju poznavati natjecatelji iz osnovnih

kola i nekih podruja koja trebaju poznavati na-tjecatelji iz srednjih kola.

DIOFANTSKE JEDNADBE

Diofantske jednadbe su linearne ili nelinearne al-gebarske jednadbe s dvije ili vie nepoznanica scjelobrojnim koeficijentima za koje se trae cjelo-brojna (ili racionalna) rjeenja. Pritom se uzima daje broj nepoznanica vei od broja jednadbi.

Metodika rjeavanja diofantskih jednadbi zasni-va se na sljedeoj strukturi:

Pojam diofantske jednadbe, zadaci s matema-tikih natjecanja, osnovna svojstva brojeva, line-arna diofantska jednadba, Pitagorina jednad-ba i Pitagorini brojevi, metode rjeavanja (metodaumnoka, metoda kvocijenta, metoda parnosti,metoda posljednje znamenke, metoda nejedna-kosti), diofantske jednadbe u matematikoj radi-onici, dodatni zadaci.

Osnovna literatura: [13], [15], [22], [25], [14].

DIRICHLETOVO NAELO

U rjeavanju raznovrsnih problema, posebno pridokazivanju postojanja objekata koji imaju neko

odreeno svojstvo, esto je vrlo uspjena primje-na jednog od najpoznatijih kombinatornih princi-pa, koji je poznat pod raznim popularnim nazi-vima kao to su princip kutija, princip pretinaca,

princip golubinjaka, problem zeeva i kavezai dr.Njemaki matematiar Dirichlet ga je prvi jasnoformulirao i dao mu precizan matematiki smisao.Zato taj princip nosi njegovo ime. Mi emo ga udaljnjemu tekstu u duhu naeg jezika nazivati Di-richletovim naelom.

Dirichletovo naelo moe se formulirati na razlii-te naine. Navodimo najeu, popularnu formu-

laciju:

Ako n+ 1zeeva rasporedimo bilo kako u nkave-

za, onda su u barem jednom kavezu smjetena ba-

rem 2zeca.

Metodika obrade Dirichletova naela zasniva sena sljedeoj strukturi:

Razliite formulacije Dirichletova naela, zadaci s

matematikih natjecanja, odabrani zadaci za ma-


4/5


5/5

199

metoda nego za rjeavanje na samo jedan nain.Time se za samo jedan zadatak aktivira, analizira

i primjenjuje vea koliina steenog znanja ueni-ka, a njihovo miljenje postaje pokretljivije. Osimtoga, znanja uenika se produbljuju i proiruju no-vim znanjima, a najvanije je da zadaci s vie na-ina rjeavanja poveavaju aktivnost uenika i nji-hov interes prema matematici.

Metodika rjeavanja takvih zadataka zasniva sena sljedeoj strukturi:

Matematiki zadatak (sastav zadatka, vrste za-dataka, zadaci s vie naina rjeavanja), meto-de (metoda razlikovanja sluajeva, metoda sup-

stitucije, metoda neodreenih koeficijenata i dr.),pomoni teoremi, pomone jednakosti, pomonenejednakosti, zadaci u matematikoj radionici (izraznih podruja matematike), dodatni zadaci.

Osnovna literatura: [8].

ZakljuakUspjeh uenika na matematikim natjecanjimaovisi u velikoj mjeri o kvaliteti priprema. Iako je bilo

kakav oblik priprema koristan i dobrodoao, ipaktreba iz godine u godinu poboljavati i usavrava-

ti rad s naprednijim uenicima, a pripreme za na-tjecanja uiniti jo djelotvornijima. Materijala za tajrad ima dovoljno, samo ga treba razvrstati, meto-diki srediti i oblikovati za primjerene pripreme.

U ovom lanku opisana je u saetom obliku me-todika obrada nekoliko podruja matematike zakoja postoje prilino dobro metodiki oblikovanimaterijali po kojima se moe neposredno raditi.Poeljno je da se i za druga podruja matematike,iz kojih na natjecanja esto stiu sve noviji i novi-ji zadaci, takoer izrade takvi materijali. Tu jo ima

posla za sve nas!Dobre pripreme ine znanja uenika stabilnijim, auenici postaju i struno i psiholoki spremniji nanove izazove.

Kada trebaju poeti pripreme za novi ciklus na-tjecanja? Odgovor je jasan: pripreme nastavni-ka i uenika za matematika natjecanja trebaju,u ovom ili onom obliku, poeti kad i nova kolskagodina!

LITERATURA

[1] A. Dujella, M. Bombardelli, S. Slijepevi, Matematika natjecanjauenika srednjih kola, HMD i Element, Zagreb, 1996.

[2] Elezovi N., Odabrani zadaci elementarne matematike, Element,Zagreb, 1992.

[3] Hanj ., Meunarodne matematike olimpijade, Element, Zagreb,2006.

[4] M. Krni, Dirichletovo pravilo, HMD, Matkina biblioteka, Zagreb,2001.

[5] Z. Kurnik, Dirichletov princip, Bilten seminara iz matematike zanastavnike-mentore 2 (1993.), 9-16.

[6] Z. Kurnik, Geometrijske konstrukcije, Pouak 9 (2002), 34-41.

[7] Z. Kurnik, P. Mladini, R. Svedrec, Osnovne konstrukcije, Biltenseminara iz matematike za nastavnike-mentore 13 (2004), 65-86.

[8] Z. Kurnik,Zadatci s v ie na ina rjeavanja , HMD, Matkina biblio-teka, Zagreb, 2004.

[9] Z. Kurnik, Nejednakosti, HMD, Matkina biblioteka, Zagreb, 2004.

[10] Z. Kurnik, Osnovne konstrukcije i osnovna primjena, Matematika ikola 29 (2005), 148-152.

[11] Z . Kurnik, Konstruktivne metode, Matematika i kola 30 (2005),195-201.

[12] Z. Kurnik, Dirichlet i njegov princip, Matematika i kola 28 (2005.),107-111.

[13] Z . Kurnik, Diofantske jednadbe, HMD, Matkina biblioteka,Zagreb, 2007.

[14] Z. Kurnik, Diofantske jednadbe, Bilten seminara iz matematikeza nastavnike-mentore 16 (2007.), 56-70.

[15] Z . Kurnik, 13 matodikih radionica, HMD, Matkina biblioteka,Zagreb, 2007.

[16] Z. Kurnik, Metodika strana matematikih natjecanja, Matematika ikola 44 (2008.), 148-151.

[17] N. Luka, P. Mladini, R. Svedrec, S. Varoanec, Z. Varoanec,Matematiko natjecanjeKlokan bez granica 1999.2004., HMD,Zagreb, 2005.

[18] Matematika natjecanja (knjiice za godinje cikluse natjecanja),Element i HMD, Zagreb.

[19] Matematika natjecanja u Republici Hrvatskoj za 7. i 8. razredosnovne i 1. razred srednje kole 1992.-2006., HMD, Matkinabiblioteka, Zagreb, 20 07.

[20] Matematiko-fiziki list, HMD i HFD, Zagreb.

[21] Matka, asopis za mlade matematiare, HMD, Zagreb.

[22] B. Pavkovi, B. Daki, P. Mladini , Elementarna teorija brojeva,HMD i Element, Zagreb, 1994.

[23] B. Pavkovi, B. Daki, P. Mladini, . Hanj, Male teme iz mate-matike, HMD i Element, Zagreb, 1994.

[24] G. Polya, Kako u rijeiti matematiki zadatak(prijevod s engle-skog), kolska knjiga, Zagreb, 1956.

[25] V. Stoi, Natjecanja uenika osnovnih kola, HMD, Zagreb, 2000.

Documents

Kako Izvoditi Pripreme Za Takmičenje