pripreme septembar

1

Matematika – prvi razred stručne škole

2

3

Mješovita srednja škola

„Hazim Šabanović“

Visoko

Predmet : Matematika

Predmetni nastavnik : Kolašinac Senad, prof.

Razred : I stručne škole

PRIPREMA za izvođenje časa

Čas: 1.

Nastavna jedinica: Upoznavanje sa Nastavnim planom i programom

Tip časa: Uvodni čas

Nastavne metode: Monološka

Oblici rada: Frontalni

Cilj časa: Upoznati učenike sa planom i programom Matematike i načinom rada na

časovima

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Upoznati učenike sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi fizike

prvog razreda

Odgojni zadatak: Izgraditi kod učenika naučni pogled na svijet

Funkcionalni zadatak: Pripremiti učenike za budući način rada na časovima fizike

Literatura :

„Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje škole“, Meliha Alić, Lejla Krilić,

IP „Svjetlost“ d.d. zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Sarajevo

4

TOK ČASA

Uvodni dio (3 min.)

Predstavljam se učenicima, upoznajem ih ukratko sa predmetom matematike i značajem nastavnog

predmeta u okviru srednjoškolskog obrazovanja, a posebno značajem za struku.

Glavni dio (40 min.)

Ukratko učenike upoznajem sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi matematike u prvom

razredu stručne škole. Učenicima predlažem da sa table prepišu kratki pregled oblasti koje su predviđene

Nastavnim planom i programom za prvi razred stručne škole, kako bi kasnije mogli (pri kupovanju

udžbenika i zbirke) provjeriti da li im udžbenik odgovara.

Prva oblast koja će se raditi je „Skupovi brojeva“. U okviru ove oblasti radićemo sljedeće:

Skup prirodnih brojeva , osobine i operacije u tom skupu – tu ćemo govoriti o Peanovim aksiomama,

operacijama u skupu prirodnih brojeva i osobinama operacija sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja.

Skup cijelih brojeva – Ovdje govoriti i cijelom broju, razlozima za uvođenje cijelih brojeva, operacijama

sa cijelim brojevima i njihovim osobinama.

Skup racionalnih brojeva – Govorićemo razlozima za uvođenje racionalnih brojeva, pojmu rasionalnog

broja i osnovnim računskim operacijama sa racionalnim brojevima.

Skup realnih brojeva – Govorićemo o razlozima za uvođenje realnih brojeva, definisati iracionalne i

realne brojeve i razmotriti operacije sa realnim brojevima i njihove osobine..

Druga oblast koja će se obrađivati u prvom razredu „Algebarski izrazi“. U okviru ove oblasti radićemo

sljedeće:

Stepeni – Govorićemo o pojmu stepena, osobinama stepena i naučićemo kako se izvode osnovne operacije

sa stepenima (sabiranje, oduzimanje, množenje i dijeljenje). Pri tome ćemo provjeriti kada se mogu, a kada

ne mogu, izvoditi pojedine operacije sa stepenima.

Monomi – šta su monomi, koje su njihove osnovne osobine, kad se mogu sabirati i oduzimati i kako se to

radi, kako se monomi množe i dijele..

Polinomi – šta su polinomi, koje su im osnovne osobine i kako se izvode računske operacije sa polinomima.

Treća oblast je „Geometrija u ravni“. U okviru ove oblasti radićemo sljedeće:

Osnovni i izvedeni pojmovi u geometriji – koji su pojmovi osnovni, a koji izvedeni, kako se deduktivnom

metodom izvodi geometrija u ravni, šta je euklidska geometrija. Definisaćemo najvađnije geometrijske

figure u ravni.

Četvrta oblast je „Izometrije u ravni“. Tu ćemo proučiti osnovne izometrije u ravni (translaciju, rotaciju,

centralnu i osno simetriju) i njihove osobine.

Peta oblast je „Pravougli koordinatni sistem u ravni“, gdje ćemo naučiti metodu koordinata, funkcije

direktne i obrnute proporcije i njihove grafike i osobine, kao i linearnu funkciju.

5

Šesta oblast je „Linearne jednačine, nejednačine i sistemi“, gdje ćemo definisati i naučiti rješavati linearne

jednačine sa jednom nepoznatom, linearne nejednačine sa jednom nepoznatom i sistem od dvije linearne

jednačine sa dvije nepoznate.

Završni dio (2 min.)

Zaključićemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program matematike za prvi razred stručne škole,

najbolje odgovara „Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednje škole“, Meliha Alić, Lejla

Krilić, IP „Svjetlost“ d.d. zavod za udžbenike i nastavna sredstva, Sarajevo

Napominjem učenicima da, kada kupuju udžbenik, obavezno pogledaju da li on sadrži sve oblasti koje su

napisane na tabli.

Plan table

MATEMATIKA

SKUPOVI BROJEVA

ALGEBARSKI IZRAZI

GEOMETRIJA U RAVNI

IZOMETRIJA U RAVNI

PRAVUOGLI KOORDINATNI SISTEM U RAVNI

LINEARNE JEDNAČINE, NEJEDNAČINE I SISTEMI

„Matematika sa zbirkom

zadataka za prvi razred

srednje škole“

Meliha Alić, Lejla Krilić,

6

7



Visoko





Čas: 2.

Nastavna jedinica: Osnovni pojmovi u matematici, definicija, aksioma, teorema, dokaz

Tip časa: Obrada novog gradiva

Nastavne metode: Monološka, dijaloška

Oblici rada: Frontalni, individualni

Cilj časa: Upoznati učenike sa deduktivnim načinom zasnivanja matematuičke teorije

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Shvatiti da je matematika deduktivna nauka i razumjeti šta to znači.

Odgojni zadatak: Razvijanje navike promatranja, raspravljanja, zaključivanja, komuniciranja

Funkcionalni zadatak: Poticati primjenu i povezivanje ranije stečenog znanja, razvijati sposobnost

promatranja, opisivanja, uočavanja i bilježenja

Literatura :



8

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Pitam učenike šta odranije znaju o pojmovima u matematici kao što su npr. Tačka, prava, ravan, prostor,

poluprava, trougao, krug itd.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov

„Osnovni i izvedeni pojmovi u matematici“


U zasnivanju neke naučne teorije moguće je primijeniti jedan od dva osnovna pristupa:

- Induktivni pristup – od posebnog ka opštem – na osnovu nekoliko pojedinačnih slučajeva u kojima

je nešto tačno zaključujemo da je to uvijek tačno. Na primjer, mjerenjem temperature tokom

nekoliko dana u mjesecu julu mogli bi zaključiti da se temperatura u nekoj oblasti kreće u rasponu

od 25°C do 35°C. Problem je u tome što bi se mjerenjem temperature u istoj oblasti u decembru

dobile znatno niže temperature. Dakle, problem induktivne metode je u tome što nije pouzdana.

Dobra strana je u tome što je lakše doći do zaključka.

- Deduktivni pristup – od opšteg ka posebnom – prvo se izvodi pravilo/zakon koji treba da vrijedi

uvijek, tj. u opštem slučaju, a zatim se izvedeno pravilo primjenjuje na pojedinačne slučajeve.

Prednost je u tome što je ova metoda pouzdanija, a nedostatak u tome što je mnogo teže doći do

nekog tvrđenja.

Matematika je deduktivna nauka, što znači da se prvo izvode i dokazuju opšti zakoni i principi, koji se

zatim primjenjuju na pojedinačne slučajeve.

Pri uspostavljanju matematičke teorije moramo raditi sa nekim matematičkim pojmovima, kao što su broj,

skup, prava, krug, trougao, tačka, itd. Sve ove pojmove bi u principu trebali da definišemo, da bi znali šta

predstavljaju ti pojmovi, koje su im osobine i kako raditi sa njima.

Definicija bi trebala da sadrži opšte obilježje (koje ukazuje na zajedničke osobine tog pojma sa sličnim

pojmovima u klasi) i specifično obilježje (po kojima se pojam koji definišemo razlikuje od ostalih pojmova

iz klase). Kad npr. definišemo jednakokraki trougao kao trougao čije su dvije susjedne stranice jednake,

onda je opšte obilježje to da jednakokraki trougao pripada skupu (klasi) trouglova, a specifično obilježje je

to da su mu dvije susjedne stranice jednake.

Definicija treba da bude što jednostavnija, da opšte obilježje bude što uže, a da specifično obilježje sadrži

što manje osobina.

Na primjer, ako definišemo kvadrat, nećemo reći da je to četverougao (preširoko opšte obilježje) kome su

sve četiri stranice jednake i međusobno okomite,a dijagonale okomit i polove se (previše osobina u

specifičnom obilježju). Kvadrat ćemo definisati kao pravougaonik kome su susjedne stranice jednake. To

je najuže moguće opšte obilježje sa najmanjim skupom osobina u specifičnom obilježju. Na taj način je

najlakše prepoznati šta je kvadrat, a dodatne osobine kvadrata se lako izvode iz navedenih.

Definicija ne smije da koristi pojmove koji nisu poznati tj. definisani ranije, niti smije biti u suprotnosti sa

nekim od definisanih pojmova. Ovdje se očito javlja problem u tim što je očito da ne možemo baš sve

definisati. Zato neke pojmove uzimamo kao osnovne pojmove.

Osnovni pojmovi su pojmovi koji se ne definišu, već se uzimaju kao unaprijed (intuitivno) poznati. To su

npr. tačka, prava, ravan, broj, skup itd.

Izvedeni pojmovi se definišu pomoću osnovnih, kao i već definisanih pojmova. To su npr. poluprava, ugao,

podskup itd.


9

Ponavljam osnovne i izvedene pojmove u matematici, u čemu se razlikuju osnovni i izvedeni pojmovi, šta

su aksioma i teorema, navodim primjere osnovnih i izvedenih pojmova, aksioma i teorema.

Plan table

Osnovni i izvedeni pojmovi u matematici

- Induktivni pristup

- Deduktivni pristup

- Osnovni pojmovi

- Izvedeni pojmovi

- Aksiome

- Teoreme

10

11



Visoko





Čas: 3.

Nastavna jedinica: Skupovi brojeva, skup i – definicija i operacije u njima




Cilj časa: Upoznati učenike sa skupovima brojeva i osobinama računskih operacija

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Shvatiti kako se uvode skupovi brojeva, kako se ispituju osobine tih skupova,

podsjetiti seosnovnih računskih operacija sa brojevima, kako se izvode i koje

osobine imaju.




Literatura :



12

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam gradivo o kojem smo pričali na pretodnom času. Učenicima postavljam pitanja za ponavljanje:

Pitanje: Šta je induktivni pristup?

Odgovor: Induktivni pristup je pristup od posebnog ka opštem.

Pitanje: Šta je deduktivni pristup?

Odgovor: Deduktivni pristup je pristup od opšteg ka posebnom.

Pitanje: Šta je osnovni pojam?

Odgovor: Osnovni pojam je pojam koji se ne definiše, već se uzima kao unaprijed poznat.

Pitanje: Šta je izvedeni pojam?

Odgovor: Izvedeni pojam je pojam koji se definiše preko osnovnog i već izvedenog pojma.

Pitanje: Šta je aksioma?

Odgovor: Aksioma je tvrđenje koje se ne dokazuje, već se uzima kao unaprijed tačno.

Pitanje: Šta je teorema?

Odgovor: Teorema je tvrđenje koje se dokazuje preko aksioma i več dokazanih teorema.

Pitanje: Šta znači dokazati tvrdnju?

Odgovor: Dokazati tvrdnju znači primjenom matematičke logike tu tvrdnju svesti na aksiome i već

dokazana tvrđenja, ili na očigledno tačno tvrđenje.

Pitanje: Šta je circulus vitiosus?

Odgovor: Circulus vitiosus (kružna logička greška) je greška pri dokazivanju, kada se tvrdnja dokazuje

preko nečega što tek treba dokazati.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov:

„Skupovi brojeva, skup i “

13


Već nam je poznato da je skup prirodnih brojeva skup 1,2,3,4,5,6,7,...

. Međutim, taj način ne

definiše nedvosmisleno skup prirodnih brojeva.

Italijanski matematičar Giuseppe Peano (1858 –1932)je skup prirodnih brojeva definisao preko pet

aksioma, koje su danas poznate kao Peanove aksiome:

(1) Jedinica je prirodan broj 1

(2) Svaki prirodan broj ima neposrednog sljedbenika ' : 'n n n n

(3) Jedinica nije sljedbenik nijednog prirodnog broja ' 1n

(4) Ako dva prirodna broja imaju jednake neposredne sljedbenike, onda su oni jednaki

, ' 'm n m n m n

(5) Ako neki podskup skupa prirodnih brojeva sadrži broj 1 i uz to sadrži sljedbenih svakog svojeg

elementa, onda je taj skup jednak skupu prirodnih brojeva

: 1 'M M n M n M M

U skupun prirodnih brojeva definišu se četiri osnovne računske operacije: sabiranje, oduzimanje,

množenje i dijeljenje. Ove računske operacije mogu imate neke od sljedećih osobina:

1. Zatvorenost ,a b a b

2. Komutativnost a b b a

3. Asocijativnost a b c a b c

4. Lijeva distributivnost a b c a b a c

5. Desna distributivnost a b c a c b c

6. Neutralni element a n a

7. Inverzni element a a n

Osobine sabiranja:

1. Sabiranje je zatvoreno u skupu prirodnih brojeva ,a b a b

2. Sabiranje je komutativno a b b a

3. Sabiranje je asocijativno a b c a b c

4. Sabiranje nema neutralnog elementa u skupu prirodnih brojeva :n a n a

5. Sabiranje nema inverznog elementa u skupu prirodnih brojeva :a a a n

Na primjer:

2 5 7

2 5 5 2

7 7

2 5 3 2 5 3

2 8 7 3

10 10

14

Osobine oduzimanja:

1. Oduzimanje nije zatvoreno ,a b a b (npr. 2 5 )

2. Oduzimanje nije komutativno a b b a

npr. 5 2 2 5 jer 5 2 3 a 2 5 33

3. Oduzimanje nije asocijativno a b c a b c

15 8 3 15 8 3

15 5 7 3

10 4

4. Oduzimanje nema neutralnog elementa u skupu prirodnih brojeva :n a n a

5. Oduzimanje nema inverznog elementa u skupu prirodnih brojeva :a a a n

Osobine množenja:

1. Množenje je zatvoreno u ,a b a b

2. Množenje je komutativno a b b a

3. Množenje je asocijativno a b c a b c

4. Množenje je lijevo distributivno prema sabiranju a b c a b a c

5. Množenje je lijevo distributivno prema oduzimanju a b c a b a c

6. Množenje je desno distributivno prema sabiranju a b c a c b c

7. Množenje je desno distributivno prema oduzimanju a b c a c b c

8. Neutralni element za množenje je broj 1 1a a a

9. Množenje nema inverznog elementa a a a n

Osobine dijeljenja:

1. Dijeljenje nije zatvoreno u , :a b a b

2. Dijeljenje nije komutativno : :a b b a

3. Dijeljenje nije asocijativno : : : :a b c a b c

4. Dijeljenje nije lijevo distributivno prema sabiranju : : :a b c a b a c

5. Dijeljenje nije lijevo distributivno prema oduzimanju : : :a b c a b a c

6. Dijeljenje je desno distributivno prema sabiranju : : :a b c a c b c

7. Dijeljenje je desno distributivno prema oduzimanju : : :a b c a c b c

8. Neutralni element za dijeljenje je broj 1 :1 ali 1:a a a a a

9. Dijeljenje nema inverznog elementa :a a a n

Da bi oduzimanje brojeva bilo zatvoreno, odnosno da bi mogli da oduzimamo bilo koji prirodan broj,

uvodimo skup cijelih brojeva . Negativno cijeli brojevi nanose se na brojnu osu na suprotnu stranu od

pozitivnih cijelih brojeva.

U skupu cijelih brojeva sabiranje ima neutralni element (broj 0) i inverzni element (broj a , suprotan od

broja a ). Neutralni element za oduzimanje je broj 0, dok je inverzni element broja a isti taj broj a.

Napominjem učenike da se podsjete pravila izvršavanja računskih operacija sa cijelim brojevima iz osnovne

škole:

Sabiranje:

15

- Dva broja jednakih predznaka sabiramo tako što prepišemo zajednički predznak i saberemo

apsolutne vrijeednosti brojeva

- Dva broja suprotnih predznaka sabiramo tako što prepišemo predznak broja sa većom apsolutnom

vrijednošću i od veće apsolutne vrijednosti oduzmemo manju.

Oduzimanje:

Broj b oduzimamo od broja a tako što broj a saberemo sa brojem suprotnim od broja b a b a b

Množenje i dijeljenje:

- Dva broja jednakih predznaka množimo/dijelimo tako što im množimo/dijelimo apsolutne

vrijednosti

- Dva broja suprotnih predznaka množimo/dijelimo tako što pišemo predznak „ – “ i množimo

apsolutne vrijednosti.

Primjeri:

5 7 5 7 12

5 7 7 5 2

5 7 7 5 2

5 4 5 4 20

3 8 3 8 24

5 7 5 7 35

24 : 6 24 : 6 4

18 : 3 18 : 3 6


Ponavljam definisanje skupa prirodnih brojeva, operacije sa prirodnim i cijelim brojevima i osobine tih

operacija.

Plan table

Skupovi brojeva, skup i

1. 1

2. ' : '

3. ' 1

4. , ' '

5. : 1 '

n n n n

n

m n m n m n

M M n M n M M

1. ,

2.

3.

4.

5.

6.

7.

a b a b

a b b a

a b c a b c

a b c a b a c

a b c a c b c

a n a

a a n

Osobine sabiranja:

1. ,

2.

3.

4.

a b a b

a b b a

a b c a b c

:

5.

n a n a

:a a a n

2 5 7

2 5 5 2

7 7

2 5 3 2 5 3

2 8 7 3

10 10

Osobine oduzimanja:

1. ,

2.

3.

4.

a b a b

a b b a

a b c a b c

:

5.

n a n a

:

15 8 3 15 8 3

15 5 7 3

10 4

a a a n

16

17



Visoko





Čas: 4.

Nastavna jedinica: Skup – definicija, osobine, prikaz racionalnog broja





Zadaci časa :



osobine imaju.




Literatura :



TOK ČASA

18

Uvodni dio (5 min.)


Pitanje: Koji su to prirodni brojevi?

Odgovor: Prirodni brojevi su 1,2,3,4,5,...

Pitanje: Kako glasi prva Peanova aksioma?

Odgovor: Prva Peanova aksioma glasi: Broj 1 je prirodan broj.

Pitanje: Kako glasi druga Peanova aksioma?

Odgovor: Druga Peanova aksioma glasi: Svaki prirodan broj ima svog neposrednog sljedbenika

Pitanje: Kako glasi treća Peanova aksioma?

Odgovor: Treća Peanova aksioma glasi: Jedinica nije neposredni sljedbenik nijednog prirodnog broja.

Pitanje: Kako glasi četvrta Peanova aksioma?

Odgovor: Četvrta Peanova aksioma glasi: Ako dva prirodna broja imaju jednake neposredne

sljedbenike, onda su oni jednaki.

Pitanje: Kako glasi peta Peanova aksioma?

Odgovor: Peta Peanova aksioma glasi: ako neki podskup skupa prirodnih brojeva sadrži jedinicu i

neposrednog sljedbenika svakog svog elementa, onda je taj skup jednak skupu prirodnih

brojeva.

Pitanje: Da li je sabiranje komutativno u skupu prirodnih brojeva i šta to znači?

Odgovor: Sabiranje u skupu prirodnih brojeva je komutatovno, što znači da vrijedi a b b a , tj. da

redoslijed sabiranja dva prirodna broja možemo zamijeniti.

Pitanje: Koje operacije su asocijativne u skupu prirodnih brojeva?

Odgovor: U skupu prirodnih brojeva su asocijativne operacije sabiranja i množenja.


„Skup “


Skup racionalnih brojeva uvodimo zato što u skupu cijelih brojeva ne možemo uvijek izvršiti dijeljenje,

odnosno dijeljenje nije zatvoreno u skupu cijelih brojeva. Racionaljan broj uvodimo tako što, u slučaju da

se dijeljenje ne može izvršiti, znak dijeljenja zamijenimo razlomačkom linijom.

brojnik:

nazivnik

aa b

b

Racionalan broj je količnik cijelog i prirodnog broja:

,a

q a bb

Skup racionalnih brojeva je skup

| ,a

q a bb

19

Racionalan broj se može definisati i kao količnik dva cijela broja, samo u tom slučaju moramo napomenuti

da broj u nazivniku ne smije biti jednak nuli.

, , 0a

q a b bb

| , , 0a

q a b bb

Na taj način smo riješili zatvorenost sve četiri osnovne računske operacije. Dakle, u skupu racionalnih

brojeva operacije sabiranja, oduzimanja, množenja i dijeljenja su zatvorene.

Možemo definisati recipročne brojeve. To su brojevi čiji je proizvod jednak jedinici.

1 2 1q q

Recipročan broj broja a

b dobijamo zamjenom mjesta brojnuku i nazivniku, čime dobijemo broj

b

a . Dakle,

brojevi a

b i

b

a su recipročni, jer vrijedi

1a b

b a

Ovo ujedno znači da je broj recipročan broju x inverzni element za množenje.

Recipročan broj broja a je broj 1

a , a isto tako je recipročan broj broja

1

a broj a. Kažemo da su brojevi a i

1

a uzajamno (međusobno) recipročni.

Sad i dijeljenje racionalnih brojeva možemo svesti na množenje:

1:p q p

q

Odnosno

:a c a d

b d b c

Operacije sa racionalnim brojevima:

Sabiranje i oduzimanje

a c ad bc

b d bd

(mada u praksi tražimo najmanju zajednički sadržioc za nazivnike, tj. najmanji zajednički nazivnik za

razlomke koji se sabiraju/oduzimaju)

Množenje

a c a c

b d b d

Dijeljenje

20

:a c a d a d

b d b c b c

Primjeri:

5 7 5 4 7 3 20 21 20 21 41

6 8 6 4 8 3 24 24 24 24

11 1 11 2 1 3 22 3 19

9 6 18 18 18

4

15

25

6

2 5 2 5 10

3 3 3 3 9

5 4 5:

6 9 6

9

5 3 5 3 15

4 2 4 2 4 8


Ponavljam definisanje skupa racionalnih brojeva, operacije sa racionalnim brojevima i osobine tih

operacija.

Plan table

Skup

1 2

brojnik:

nazivnik

,

| ,

, , 0

| , , 0

1

aa b

b

aq a b

b

aq a b

b

aq a b b

b

aq a b b

b

q q

1

1:

:

:

a b

b a

p q pq

a c a da

c ad bcb d b c

b d bd

a c a c

b d b d

a c a d a d

b d b c b c

Primjeri:

5 7 5 4 7 3 20 21 20 21 41

6 8 6 4 8 3 24 24 24 24

11 1 11 2 1 3 22 3 19

9 6 18 18 18

4

15

25

6

2 5 2 5 10

3 3 3 3 9

5 4 5:

6 9 6

9

5 3 5 3 15

4 2 4 2 4 8

21



Visoko





Čas: 5.

Nastavna jedinica: Skupovi I i , realna brojana osa





Zadaci časa :



osobine imaju.




Literatura :



22

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)
















brojeva.







„Skup “


Razlog za uvođenje skupa realnih brojeva je zatvaranje operacije korjenovanja.

Kvadrat racionalnog broja je jednak proizvodu tog broja sa samim sobom

2q q q

Kvadratni korijen racionalnog broja q je broj p čiji je kvadrat jednak broju q, odnosno

2p q p q

Problem nastaje zato što kvadratni korijen racionalnog broja ne mora biti racionalan broj. Broj je racionalan

ako se može prikazati kao količnik cijelog i prirodnog broja. Racionalan broj se isto tako može predstaviti

23

decimalnim brojem sa konačni mnogo decimala ili sa beskonačno mnogo decimala od kojih se dio

periodički ponavlja, kao npr. 2,35 ili 14,12568568568568568568...

Pokazalo se da broj 2 nije moguće prikazati ni na jedan od navedenih načina. Postoji i dokaz da 2

nije racionalan, ali ga ovdje nećemo izvoditi. Dakle:

2

Brojeve koji se ne mogu predstaviti kao količnik cijelog i prirodnog broja zazivamo iracionalni brojevi.

Skup iracionalnib brojeva označavamo sa I.

2, 2, 3, 3,... I

Unija skupa racionalnih brojeva i skupa iracionalnih brojeva je skup realnih brojeva:

I

Skup realnih brojeva se može prikazati na realnoj brojnoj osi. Svaka tačka na realnoj brojnoj osi odgovara

nekom realnom broju, i svakom realnom broju odgovara neka tačka na realnoj brojnoj osi. Između realnih

brojeva i realne brojne ose može se uspostaviti obostrano jednoznačno preslikavanje, kojim se svakom

realnom broju prudružuje talka na realnoj brojnoj osi, i obrnuto. To je osnova na kojoj se zasniva metoda

koordinata.

R6543210-1-2-3-4-5-6

Kako iracionalnom broju pridružiti tačku na brojnoj osi? Primjenom Pitagorine teoreme na jednakokraki

pravougli trougao sa stranicama 1 i 1, dobijamo da je dužina hipotenuze jednaka 2 , pa tačku na brojnoj

osi pridruženu broju 2 možemo dobiti na sljedeći način:

R32210-1

1

1

2

Na sličan način se može prikazati tačka koja odgovara bilo kojem iracionalnom broju. Na primjer,

iracionalnom broju 3 možemo na brojnoj osi pridružiti tačku na sljedeći način:

R32310-1

2 1

1

1

3

24

Za vježbu: Na realnoj brojnoj osi prikazati iracionalne brojeve:

1. 5

2. 6

3. 7

Rješenja:

1. Za broj 2 2

5 1 4 1 2 nam treba pravougli trougao sa katetama 1 i 2.

R32 510-1

2

1

5

2. Za broj 2

26 4 2 2 2 treba nam pravougli trougao sa katetama 2 i 2

R32210-1

1

1

2

2

6

6

25

3. Za broj 2

27 4 3 2 3 treba nam pravougli trougao sa katetama 2 i 3 .

R32

7

10-1

2 1

1

1

3

2

7

26


Ponavljam definisanje skupa racionalnih brojeva, operacije sa iracionalnim i realnim brojevima i osobine

tih operacija. Pojašnjavam prikaz iracionalnog broja na realnoj brojnoj osi. Dajem zadatke za domaću

zadaću:

Prikazati na realnoj brojnoj osi iracionalne brojeve:

1. 2 28 4 4 2 2

2. 2 210 9 1 3 1

3. 2

211 9 2 3 2

Plan table

Skupovi I i

2

2

2

2, 2, 3, 3,...

q q q

p q p q

I

I

R6543210-1-2-3-4-5-6

R32210-1

1

1

2

R32310-1

2 1

1

1

3

27



Visoko





Čas: 6.

Nastavna jedinica: Stepen sa cjelobrojnim eksponentom – definicija, operacije




Cilj časa: Upoznati učenike sa pojmom i osnovnim osobinama stepena

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Shvatiti šta je stepen, šta je baza, šta je eksponent i naučiti osnovne osobine

stepena.




Literatura :



28

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)
















brojeva.







„Stepeni“


Proizvod više jednakih brojeva nazivamo stepen. Stepen ćemo definisati sljedećom formulom:

puta

.......

- baza

- eksponent

n

n

a a a a

a

n

Uzećemo da je eksponent cijeli broj n .

Napomena: Eksponent 1 se ne mora pisati, već se podrazumijeva. Dakle, umjesto 1a pišemo samo a .

Gdje god ubuduće vidimo a , podrazumijevamo da to znači 1a

Osobine stepena:

29

Stepen pozitivnog broja je uvijek pozitivan broj

0 0na a

Stepen negativnog broja je pozitivan ako je eksponent paran broj

0, 2 0na n k a

Stepen negativnog broja je negativan ako je eksponent neparan broj

0, 2 1 0na n k a

Stepen čija je baza jednaka nuli je jednak nuli pod uslovom da mu je eksponent različit od nule.

0 0 0n

a a n

Stepenovanje ima viši prioritet od množenja. cb

a znači cb

a , a ne c

ba .

Stepenovanje nije komutativno

3 22 8 3 9

Stepenovanje nije asocijativno

c cb ba a

Primjer 1.

Izračunati 82 .

Rješenje:

82 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256

Odavde vidimo da je moguće stepen izraziti preko tzv. rekurzivne formule, tj. tako što se stepen na izrazi

preko stepena čiji je eksponent za 1 manji od n 1na

11

n na a a n

Tako je:

2

3

4

1

1

2

3 2

4 3

5 4

1....n

a

a

a

n n

a

a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a

Primjer 2.

Izračunati 9

2

Rješenje:

30

Iz primjera 1 vidimo da je 82 256 , tako da je

9 82 2 2 256 2 512


Ponavljam definisanje stepena, pojam baze i eksponenta. Dajem zadatke za vježbanje:

1. Izračunati 53 ako se zna da je 4

3 81 .

2. Izračunati 4n , gdje je 2,3,4,5,6,7n

Plan table

Stepeni

3 2

puta

.......

- baza

- eksponent

0 0

0, 2 0

0, 2 1 0

0

2 8

0 0

3 9

c

n

n

n

n

n

n

cb b

a a a a

a

n

n

a a

a n k a

a n k a

a a n

a a

2

3

1

8

8

1

1

2

3 2

4 3

1

9

Primjer 1. 2 ?

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2

16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256

1

....

Primjer 2. 2

n

n n

a

a

n n

a

a a a n

a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a

8

9 8

?

2 256

2 2 2 256 2 512

31



Visoko





Čas: 7.

Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima jednakih baza




Cilj časa: Upoznati učenike sa osnovnim operacijama sa stepenima

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Shvatiti šta je stepen, šta je baza, šta je eksponent i naučiti kako se vrše osnovne

operacije sa stepenima.




Literatura :



32

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)


Pitanje: Šta je stepen?

Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojeva puta

......n

n

a a a a

Pitanje: Da li je stepenovanje komutativno?

Odgovor: Stepenovanje nije komutativno, tj. b aa b .

Pitanje: Da li je stepenovanje asocijativnio?

Odgovor: Stepenovanje nije asocijativno, tj.

c cb ba a

Pitanje: Kakvog je znaka stepen pozivitnog broja?

Odgovor: Stepen pozitivnog broja je pozitivan.

Pitanje: Kada je stepen negativnog broja pozitivan?

Odgovor: Stepen negativnog broja je pozitivan ako mu je eksponent paran broj.

Pitanje: kada je stepen negativnog broja negativan?

Odgovor: Stepen negativnog broja je negativan ako mu je eksponent neparan broj.

Pitanje: Da li množenje ima viši prioritet od stepenovanja?

Odgovor: Množenje nema viši prioritet od stepenovanja, već upravo suprotno: stepenovanje ima viši

prioritet (prije se radi) od množenja.

Pitanje: Šta je i kako glasi rekurzivnea formula za stepen?

Odgovor: Rekurzivna formula za stepen je formula za računanje n-tog stepena preko (n-1)-vog. Ona

ima oblik: 1n na a a


„Operacije sa stepenima jednakih baza“


Možemo mžnožiti i dijeliti stepene jednakih baza ili stepene jednakih eksponenata. Pogledajmo kako bi

mogli pomnožiti dva stepena jednakih baza:

puta puta puta

...... ..... ......m n m n

m n m n

a a a a a a a a a a a a

Na primjer:

5 3 8 5 3

5 puta 3 puta 8 puta

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Primjer 1.

23 11 23 11 34a a a a

33

Primjer 2.

5 3 3 2 5 3 3 2 8 5a b a b a b a b

Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih baza.

:m

m n

n

a aa a

a

a ..... a

puta

...

m

a a

a

a ..... a puta

puta

..... m n

m n

n

a a a a

Na primjer:

99 4

4:

a aa a

a

a a a

9 puta

a a a a a

a

a a a

5 9 4

5 puta

4 puta

a a a a a a a

Primjer 3.

23 11 23 11 12:a a a a

Primjer 4.

17 17 17 17 0:a a a a

Sa druge strane, ovo možemo izračunati i bez primjene pravila stepenovanja:

1717 17

:a

a a 17

a1

Pošto može biti samo jedan tačan rezultat, a oba postupka su ispravni, zaključujemo da je

01a

Ovo možemo izvesti i u opštem slučaju:

:n

n n aa a

na

0

0

11

:n n n n

a

a a a a

Napomena: Ovo vrijedi uz ograničenje da je 0a , jer se nula ne može stepenovati sa nulom.

Razmotrimo stepen sa negativnim eksponentom:

00 1n n

n n

aa a

a a

Dakle, 1n

na

a

Primjer 5.

5

5

1a

a

Još ćemo razmotriti kako možemo stepenovati stepen:

34

puta puta puta puta puta

puta

..... ..... ..... ..... ..... .....m

n n n n m n

m n n n m n

m

a a a a a a a a a a a a a a a a a

Na primjer:

4

3 3 3 3 3 12 4 3

4 puta 3 puta 3 puta 3 puta 3 puta 12 puta

4 puta

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Primjer 6.

7

5 7 5 35a a a

Možemo ova pravila kombinovati u nova, ako istovremeno iskoristimo više pravila. Na primjer:

rm n m r n r

p p r

a b a b

c c

Primjer 7.

67 5 7 6 5 6 42 30

4 3 4 6 3 6 24 18

a b a b a b

c d c d c d



1. 4 3

5 3 2 4 ?a b a b

2. 2 3

5 4 3 2 2: ?x y z x y z

Plan table

Operacije sa stepenima jednakih baza

puta puta puta

5 3 8 5 3


23 11 23 11 34

...... ..... ......

Primjer 1.

Primjer

m n m n

m n m n



a a a a

5 3 3 2 5 3 3 2 8 5

2.

:m

m n

n

a b a b a b a b

a aa a

a

a ..... a

puta

...

m

a a

a

a ..... a puta

puta

99 4

4

.....

:

m n

m n

n

a a a a

a aa a

a

a a a

9 puta

a a a a a

a

a a a

5 9 4

5 puta

4 puta

a a a a a a a

23 11 23 11 12

17 17 17 17 0

1717 17

Primjer 3.

:

Primjer 4.

:

:

a a a a

a a a a

aa a

17

a

0

1

1

:n

n n

a

aa a

n

a0

0

11

:

0

n n n n

a

a a a a

a

35



Visoko





Čas: 8.

Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima jednakih eksponenata




Cilj časa: Upoznati učenike sa osnovnim operacijama sa stepenima

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Shvatiti šta je stepen, šta je baza, šta je eksponent i naučiti kako se vrše osnovne

operacije sa stepenima.




Literatura :



36

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)



Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojeva puta

......n

n

a a a a





c cb ba a










Pitanje: Šta je i kako glasi rekurzivnea formula za stepen?

Odgovor: Rekurzivna formula za stepen je formula za računanje n-tog stepena preko (n-1)-vog. Ona

ima oblik: 1n na a a


„Operacije sa stepenima jednakih baza“



mogli pomnožiti dva stepena jednakih eksponenata:

puta puta

puta

...... ..... ......nn n

n nn

a b a a a b b b a b a b a b a b

Na primjer:

33 3

3 puta3 puta3 puta

a b a a a b b b a b a b a b a b a b a b a b

Primjer 1.

37

55 5 52 5 2 5 10 100000

Primjer 2.

8 82 5 2

3 2

5

3 2

8 85

3

Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih eksponenata.

puta

puta puta

.....: .....

.....

n

nnn n

n

n n

a a a a a a a aa b

b b b b b b b b

Na primjer:

4 puta

444 4

4

4 puta 4 puta

:a a a a a a a a a a

a bb b b b b b b b b b

Primjer 3.

55 5

5

6 66 : 4

4

4

5 53

2

Sva pravila stepenovanja (u stvari, sve jednakosti) možemo čitati na dva načina; slijeva nadesno (kako su

napisane) i sdesna nalijevo (ako zamijenimo lijevu i desnu stranu). Na ovaj način dobijamo još dva

pravila:

Stepenovanje proizvoda:

n n n

a b a b

Primjer:

3 3

5 3 5 153 3 27a a a

Uočiti da 3

53a nije jednako 153a

35 15

3 3a a , već 1537a

35 15

3 27a a

Stepenovanje količnika (razlomka, racionalnog broja):

0

n n

n

a ab

b b

Primjer:

4 4

4

2 2 16

3 3 81

38



1. 5 3

3 42 3 ?a b ab

2.

4 33 5

2 3

2 6?

3 4

x y

y x

Plan table

Operacije sa stepenima jednakih baza

puta puta puta

33 3

3 puta3 puta3 puta

55 5 5

8

...... ..... ......

2 5 2 5 10 100000

2

3

nn n

n nn



85 2

2

5

3 2

8 8

puta

puta puta

4 puta

444 4

4

4 puta 4 puta

5

3

.....: .....

.....

:

n

nnn n

n

n n

a a a a a a a aa b

b b b b b b b b

a a a a a a a a a aa b

b b b b b b b b b b

55 5

5

6 66 : 4

4

4

5 5

3 35 3 5 15

35 15

35 15

4 4

4

3

2

3 3 27

3 3

3 27

0

2 2 16

3 3 81

n n n

n n

n

a b a b

a a a

a a

a a

a ab

b b

39

Matematika – drugi razred stručne škole

40

41



Visoko



Razred : II stručne škole


Čas: 1.





Cilj časa: Upoznati učenike sa planom i programom matematike i načinom rada na

časovima

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Upoznati učenike sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi

matematike prvog razreda


Funkcionalni zadatak: Pripremiti učenike za budući način rada na časovima matematike

Literatura :

„Matematika sa zbirkom zadataka za prvi razred srednjih škola“,

42

TOK ČASA

Uvodni dio (3 min.)




Ukratko učenike upoznajem sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi matematike u drugom


Nastavnim planom i programom za drugi razred stručne škole, kako bi kasnije mogli (pri kupovanju

udžbenika i zbirke) provjeriti da li im udžbenik.

Stepeni i korijeni – stepen sa cjelobrojnim eksponentom, ponoviti pravila stepenovanja i naučiti nova,

naučiti šta je korijen i kako se izvode operacije sa korijenima, definisati stepen sa racionalnim

eksponentom i dovesti u vezu stepene i korijene.

Skup kompleksnih brojeva – algebarski oblik kompleksnog brojaoperacije sa kompleksnim brojem u

algebarskom obliku, predstavljanje kompleksnog broja u Gaussovoj ravni.

Kvadratna funkcija, jednačina i nejednačina – nepotpuna i potpuna kvadratna funkcija, njen grafik i

osobine, potpuna i nepotpuna kvadratna jednačina i načini rješavanja, Viete-ove formule, kvadratni

trinom, kvadratne nejednačine i rješavanje kvadratnih nejednačina.

Osnovi trigonometrije – trigonometrijske funkcije, njihov grafik i osobine, adicione teoreme, rješavanje

pravouglog i kosouglog trougla, trigonometrijske jednačine.


Zaključićemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program fizike za prvi razred stručne škole, najbolje

odgovara udžbenih „Matematika sa zbirkom zadataka za drugi razred srednjih škola.


napisane na tabli.

Plan table

MATEMATIKA

STEPENI I KORIJENI

SKUP KOMPLEKSNIH BROJEVA

KVADRATNA FUNKCIJA, JEDNAČINA

I NEJEDNAČINA

OSNOVI TRIGONOMETRIJE

„Matematika sa zbirkom

zadataka za drugi razred

srednjih stručnih škola“

43



Visoko





Čas: 2.

Nastavna jedinica: Stepeni sa cjelobrojnim eksponentom, pravila stepenovanja

Tip časa: Ponavljanje



Cilj časa: Ponoviti i podsjetiti se pojma i osnovnih osobina stepena

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Shvatiti šta je stepen i koje su osnovne osobine stepena.




Literatura :

„Matematika za drugi razred srednjih škola“, Abdulah Hodžić

44

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Pitam učenike šta odranije znaju o prostoru i vremenu, o položaju i kretanju tijela, koje vrste kretanja

poznaju, kojih veličina u vezi sa kretanjem se sjećaju.

Najavljujem cilj časa. Na vrh table pišem naslov

„Stepeni“


Proizvod više jednakih brojeva nazivamo stepen. Stepen ćemo definisati sljedećom formulom:

puta

.......

- baza

- eksponent

n

n

a a a a

a

n

Uzećemo da je eksponent cijeli broj n .

Napomena: Eksponent 1 se ne mora pisati, već se podrazumijeva. Dakle, umjesto 1a pišemo samo a .

Gdje god ubuduće vidimo a , podrazumijevamo da to znači 1a

Osobine stepena:

Stepen pozitivnog broja je uvijek pozitivan broj

0 0na a

Stepen negativnog broja je pozitivan ako je eksponent paran broj

0, 2 0na n k a

Stepen negativnog broja je negativan ako je eksponent neparan broj

0, 2 1 0na n k a

Stepen čija je baza jednaka nuli je jednak nuli pod uslovom da mu je eksponent različit od nule.

0 0 0n

a a n

Stepenovanje ima viši prioritet od množenja. cb

a znači cb

a , a ne c

ba .

Stepenovanje nije komutativno

3 22 8 3 9

Stepenovanje nije asocijativno

c cb ba a

Primjer 1.

Izračunati 8

2 .

45

Rješenje:

82 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256

Odavde vidimo da je moguće stepen izraziti preko tzv. rekurzivne formule, tj. tako što se stepen na izrazi

preko stepena čiji je eksponent za 1 manji od n 1na

11

n na a a n

Tako je:

2

3

4

1

1

2

3 2

4 3

5 4

1....n

a

a

a

n n

a

a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a a

a a a a a a a

Primjer 2.

Izračunati 92

Rješenje:

Iz primjera 1 vidimo da je 82 256 , tako da je

9 82 2 2 256 2 512



1. Izračunati 53 ako se zna da je 4

3 81 .

2. Izračunati 4n

, gdje je 2,3,4,5,6,7n

46

Plan table

3 2

puta

.......

- baza

- eksponent

0 0

0, 2 0

0, 2 1 0

0

2 8

0 0

3 9

c

n

n

n

n

n

n

cb b

a a a a

a

n

n

a a

a n k a

a n k a

a a n

a a

Stepeni

2

3

1

8

8

1

1

2

3 2

4 3

1

9

Primjer 1. 2 ?

2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2

16 2 2 2 2 32 2 2 2 64 2 2 128 2 256

1

....

Primjer 2. 2

n

n n

a

a

n n

a

a a a n

a a

a a a

a a a a a a

a a a a a a a

a a a a a a a

8

9 8

?

2 256

2 2 2 256 2 512

47



Visoko





Čas: 3.

Nastavna jedinica: Operacije sa stepenima

Tip časa: Ponavljanje



Cilj časa: Ponoviti osnovna pravila stepenovanja

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Ponoviti kako se izvode računske operacije sa stepenima.




Literatura :


48

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Pitam učenike šta odranije znaju o operacijama sa stepenima. Postavljam pitanja za ponavljanje:


Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojeva.

Pitanje: Kako se računa stepen?

Odgovor: Stepen se računa po formuli puta

.......n

n

a a a a

Pitanje: Šta je baza stepena?

Odgovor: Baza stepena je broj koji se množi.

Pitanje: Šta je eksponent stepena?

Odgovor: Eksponent stepena je broj faktora.

Pitanje: Kako glase rekurzivne formule za računanje stepena?

Odgovor: Rekurzivne formule za računanje stepena su 1

1....

n

n n

a

a a a a a a a

, gdje n može biti

bilo koji broj veći od 1





c cb ba a











„Operacije sa stepenima“

49



mogli pomnožiti dva stepena jednakih baza:

puta puta puta

...... ..... ......m n m n

m n m n


Na primjer:

5 3 8 5 3



Primjer 1.

23 11 23 11 34a a a a

Primjer 2.

5 3 3 2 5 3 3 2 8 5a b a b a b a b

Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih baza.

:m

m n

n

a aa a

a

a ..... a

puta

...

m

a a

a

a ..... a puta

puta

..... m n

m n

n

a a a a

Na primjer:

99 4

4:

a aa a

a

a a a

9 puta

a a a a a

a

a a a

5 9 4

5 puta

4 puta

a a a a a a a

Primjer 3.

23 11 23 11 12:a a a a

Primjer 4.

17 17 17 17 0:a a a a

Sa druge strane, ovo možemo izračunati i bez primjene pravila stepenovanja:

1717 17

:a

a a 17

a1

Pošto može biti samo jedan tačan rezultat, a oba postupka su ispravni, zaključujemo da je

01a

Ovo možemo izvesti i u opštem slučaju:

:n

n n aa a

na

0

0

11

:n n n n

a

a a a a

Napomena: Ovo vrijedi uz ograničenje da je 0a , jer se nula ne može stepenovati sa nulom.

50

Razmotrimo stepen sa negativnim eksponentom:

00 1n n

n n

aa a

a a

Dakle, 1n

na

a

Primjer 5.

5

5

1a

a

Još ćemo razmotriti kako možemo stepenovati stepen:

puta puta puta puta puta

puta

..... ..... ..... ..... ..... .....m

n n n n m n

m n n n m n

m

a a a a a a a a a a a a a a a a a

Na primjer:

4

3 3 3 3 3 12 4 3

4 puta 3 puta 3 puta 3 puta 3 puta 12 puta

4 puta

a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a

Primjer 6.

7

5 7 5 35a a a

Možemo ova pravila kombinovati u nova, ako istovremeno iskoristimo više pravila. Na primjer:

rm n m r n r

p p r

a b a b

c c

Primjer 7.

67 5 7 6 5 6 42 30

4 3 4 6 3 6 24 18

a b a b a b

c d c d c d

Pogledajmo kako bi mogli pomnožiti dva stepena jednakih eksponenata:

puta puta

puta

...... ..... ......nn n

n nn


Na primjer:

33 3

3 puta3 puta3 puta


Primjer 8.

55 5 52 5 2 5 10 100000

Primjer 9.

8 82 5 2

3 2

5

3 2

8 85

3

51

Razmotrimo kako bi mogli dijeliti stepene jednakih eksponenata.

puta

puta puta

.....: .....

.....

n

nnn n

n

n n

a a a a a a a aa b

b b b b b b b b

Na primjer:

4 puta

444 4

4

4 puta 4 puta

:a a a a a a a a a a

a bb b b b b b b b b b

Primjer 10.

55 5

5

6 66 : 4

4

4

5 53

2

Sva pravila stepenovanja (u stvari, sve jednakosti) možemo čitati na dva načina; slijeva nadesno (kako su

napisane) i sdesna nalijevo (ako zamijenimo lijevu i desnu stranu). Na ovaj način dobijamo još dva

pravila:

Stepenovanje proizvoda:

n n n

a b a b

Na primjer:

3 3

5 3 5 153 3 27a a a

Uočiti da 3

53a nije jednako 153a

35 15

3 3a a , već 1537a

35 15

3 27a a

Stepenovanje količnika (razlomka, racionalnog broja):

0

n n

n

a ab

b b

Na primjer:

4 4

4

2 2 16

3 3 81

52



1. 4 3

5 3 2 4 ?a b a b

2. 2 3

5 4 3 2 2: ?x y z x y z

3. 5 3

3 42 3 ?a b ab

4.

4 33 5

2 3

2 6?

3 4

x y

y x

Plan table

puta puta puta

5 3 8 5 3


23 11 23 11 34

...... ..... ......

Primjer 1.

Primjer

m n m n

m n m n



a a a a

5 3 3 2 5 3 3 2 8 5

2.

:m

m n

n

a b a b a b a b

a aa a

a

a ..... a

puta

...

m

a a

a

a ..... a puta

puta

99 4

4

.....

:

m n

m n

n

a a a a

a aa a

a

a a a

9 puta

a a a a a

a

a a a

5 9 4

5 puta

4 puta

a a a a a a a

Operacije sa stepenima

23 11 23 11 12

17 17 17 17 0

1717 17

Primjer 3.

:

Primjer 4.

:

:

a a a a

a a a a

aa a

17

a

0

1

1

:n

n n

a

aa a

n

a0

0

11

:

0

n n n n

a

a a a a

a

53



Visoko





Čas: 4.

Nastavna jedinica: Pojam aritmetičkog korijena. Pravila korjenovanja.




Cilj časa: Naučiti šta je korijen i koje su mu osnovne osobine

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Naučiti kako se izvode računske operacije sa korijenima.




Literatura :


54

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)



Odgovor: Stepen je proizvod jednakih brojeva.

Pitanje: Kako se računa stepen?

Odgovor: Stepen se računa po formuli puta

.......n

n

a a a a

Pitanje: Šta je baza stepena?

Odgovor: Baza stepena je broj koji se množi.

Pitanje: Šta je eksponent stepena?

Odgovor: Eksponent stepena je broj faktora.

Pitanje: Kako glase rekurzivne formule za računanje stepena?

Odgovor: Rekurzivne formule za računanje stepena su 1

1....

n

n n

a

a a a a a a a

, gdje n može biti

bilo koji broj veći od 1





c cb ba a











„Korijeni“

55


Kažemo da je n-ti korijen nekog broja a broj b koji, stepenovan sa n, daje broj a.

nnb a b a

Broj n je eksponent korijena, a a potkorjena veličina.Ako je potkorjena veličina stepen nekog broja, onda

razlikujemo stepen korijena i stepen potkorjene veličine.

- stepen korijena

- stepen potkorjene veličine

- potkorjena veličina

n m

m

a

n

m

a

Na primjer

3

3

2 8

8 2

Neke osobine korijena:

n n

n na a a

Na primjer

77 5 5

ako je 2n n

a a n k

Na primjer

10 10

2424

8 8

5 5 5

ako je 2 1n na a n k

Na primjer

5 55

33 3

32 2 2

8 2 2

Korijen pozitivnog broja uvijek je pozitivan.

0 0na a

Na primjer

4 81 3

Korijen negativnog broja može se izračunati samo za neparne eksonente korijena, i onda je negativan.

0, 2 1 0na n k a

Na primjer

56

3

4

27 3

81 nije definisan

Primjer 1.

Izračunati 36

236 6 6

Primjer 2.

Izračunati 1

9

1 1

9 3

Primjer 3.

Izračunati 81

100

81 9

100 10

Primjer 4.

Izračunati 0,49

0,49 0,7



Izračunati: 223 31, 8, 5 , 5 , 36 2 25

Plan table

Korijeni

3

3

77

- stepen korijena


- stepen korijena

- stepen potkorjene veličine


2 8

8 2

5 5

nn

n m

m

n nn n

b a b a

n

a

a

n

m

a

a a a

10 10

2424

5 55

33 3

4

3

4

ako je 2

8 8

5 5 5

ako je 2 1

32 2 2

8 2 2

0 0

81 3

0, 2 1 0

27 3

81 nije definisan

n n

n n

n

n

a a n k

a a n k

a a

a n k a

2

Primjer 1.

36 6 6

Primjer 2.

1 1

9 3

Primjer 3.

81 9

100 10

Primjer 4.

0, 49 0,7

57



Visoko





Čas: 5.

Nastavna jedinica: Proširivanje i skraćivanje korijena.





Zadaci časa :





Literatura :


58

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)


Pitanje: Šta je korijen?

Odgovor: Kažemo da je n-ti korijen nekog broja a broj b koji, stepenovan sa n, daje broj a..

Pitanje: Kako se matematički zapisuje definicija korijena?

Odgovor: Definicija korijena se matematički zapisuje na sljedeći način: nnb a b a .

Pitanje: Čemu je jednak n-ti stepen n-tog korijena?

Odgovor: N-ti stepen n-tog korijena jednak je potkorjenoj veličini .

Pitanje: Napisati prethodni odgovor matematičkom simbolikom.

Odgovor: n n

n na a a .

Pitanje: Čemu je jednak n-ti korijen n-tog stepena ako je n paran broj?

Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena jednak je apsolutnoj vrijednosti potkorjene veličine ako je n paran

broj.


Odgovor: ako je 2n n

a a n k .


Odgovor: N-ti korijen n-tog stepena je jednak potkorjenoj veličini ako je n neparan broj.


Odgovor: ako je 2 1n na a n k .


„Proširivanje i skraćivanje korijena“


Korijen proširujemo tako što mu množimo eksponent korijena i eksponent potkorjene veličine istim

brojem.

n pn m m pa a

Primjer 1. Proširiti korijen 5 3a sa 4.

5 5 4 203 3 4 12a a a

59

Proširiti možemo bilo kojim cijelim pozitivnim brojem.

Primjer 2. Korijen 34 a b proširiti do eksponenta 12.

Da bi korijenu 34 a b eksponent bio 12, treba ga proširiti sa 12 : 4 3 .

4 33 3 1 3 3 1 3 9 34 4 12a b a b a b a b

Primjer 3. Proširiti korijene 3 26 x y i 5 78 x y do zajednićkog eksponenta.

Zajednički eksponent za ova dva korijena je jednak najmanjem zajedničkom sadržiocu za brojeve 6 i 8.

6,8 2

3, 4 2

3, 2 2

3,1 3

1,1

NZS 6,8 2 2 2 3 24

Korijene treba proširiti tako da im eksponenti budu jednaki 24.

Prvi korijen ima eksponent 6, pa ćemo fga proširiti sa 24 : 6 4 .

3 2 3 4 2 4 12 86 6 4 24x y x y x y

Drugi korijen ima eksponent 8, pa ćemo ga proširiti sa 24 :8 3

. 5 7 5 3 7 3 15 218 8 3 24x y x y x y

Primjer 4. Proširiti korijene 2

2a b i 3 2

3ab do zajedničkog eksponenta

NZS 2,3 6

6 : 2 3

6 : 3 2

2 3 62 3 2 3 3 6 32 2 8a b a b a b

3 3 2 62 2 2 2 2 2 43 3 9ab a b a b

Korijen se skraćuje tako što mu se eksponent korijena i eksponent potkorjene veličine podijele istim

brojem.

: :n pn m m pa a

Korijen se može skratiti sao zajedničkim djeliocem brojeva m i n.

Primjer 5. Skratiti korijen 16 8 12a b

Treba naći najveći zajednički djelioc za brojeve 16, 8 i 12.

16,8,12 2

8, 4, 6 2

4, 2, 3

NZD 16,8,12 2 2 4

60

Dakle, korijen 16 8 12a b možemo skratiti sa 4.

16 16:48 12 8:4 12:4 2 34a b a b a b

Korijen se korjenuje tako što mu se pomnože eksponenti.

m n m np pa a

Primjer 6. Korjenovat7i ko+rijen 3 54 x

3 4 35 5 54 12x x x



1. Proširiti korijene do zajedničkog eksponenta 9 3 2122 , 3a x ab

2. Skratiti korijen 16 3224 x y

3. Korjenovati korijen 7 5 32a b

Plan table

Proširivanje i skraćivanje korijena

5 5 4 203 3 4 12

4 33 3 1 3 3 1 3 9 34 4 12

3 2 5 76 8

Primjer 1.

Primjer 2.

Primjer 3.

,

6,8 2

3, 4 2

3, 2 2

3,1 3

1,1

NZS 6,8 2 2 2 3 24

n pn m m pa a

a a a

a b a b a b a b

x y x y

3 2 3 4 2 4 12 86 6 4 24

5 7 5 3 7 3 15 218 8 3 24

32 2

2 3 62 3 2 3 3 6 3

3 3 2 62 2 2 2 2 2 4

24 : 6 4

24 :8 3

Primjer 4.

2 , 3

NZS 2,3 6

6 : 2 3

6 : 3 2

2 2 8

3 3 9

x y x y x y

x y x y x y

a b ab

a b a b a b

ab a b a b

16 8 12

16 16:48 12 8:4 12:4 2 34

3 4 35 5 54 12

Primjer 5.

16,8,12 2

8, 4, 6 2

4, 2, 3

NZD 16,8,12 2 2 4

Primjer 6.

m n m np p

a b

a b a b a b

a a

x x x

61



Visoko





Čas: 6.

Nastavna jedinica: Proširivanje i skraćivanje korijena.

Tip časa: Utvrđivanje



Cilj časa: Ponoviti pojam i osnovne osobine korijena

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Uvježbati izvođenje računskih operacija sa korijenima.




Literatura :


62

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)







Odgovor: N-ti stepenn-tog korijena jednak je potkorjenoj veličini .


Odgovor: n n

n na a a .



broj.



a a n k .





Pitanje: Kako se korijeni proširuju?

Odgovor: Korijeni se proširuju tako što im se eksponent korijena i eksponent potkorjene veličine

pomnože istim brojem n pn m m pa a

.

Pitanje: Kako se korijeni skraćuju?

Odgovor: Korijeni se skraćuju tako što im se eksponent korijena i eksponent potkorjene veličine

podijele istim brojem : :n pn m m pa a .


„Proširivanje i skraćivanje korijena - vježba“

63


Poslije kratkog ponavljanja ranije naučenog gradiva, zadajem učenicima zadatke za uvježbavanje:

1. Proširiti korijene do zajedničkog eksponenta 9 3 2122 , 3a x ab

9 9 4 363 4 3 4 4 12 4

12 3 362 3 3 2 3 3 612

9,12 2

9, 6 2

9, 3 3

3, 1 3

1, 1

9,12 2 2 3 3 36

36 : 9 4

2 2 16

36 :12 3

3 3 27

NZS

a x a x a x

ab a b a b

2. Skratiti korijen 16 3224 x y

16 32 16:8 32:8 2 424:8 324

24,16,32 2

12, 8,16 2

6, 4, 8 2

3, 2, 4

NZD 24,16,32 2 2 2 8

x y x y x y

3. Korjenovati korijen 7 5 32a b

7 5 7 5 353 3 32 2 2a b a b a b

4. Proširiti korijene do zajedničkog eksponenta 6 3 63 24 2 ,a b ab

6 3 34 24

3 6 182 2

24 3 723 3 3 3 3 9 324

2 2

24,18 2

12, 9 2

6, 9 2

3, 9 3

1, 3 3

1, 1

NZS 12,18 2 2 2 3 3 72

72 : 24 3

2 2 8

a b a b

ab ab

a b a b a b

64

18 18 4 722 4 2 4 4 8

72 :18 4

ab a b a b



1. Proširiti korijene do zajedničkog eksponenta 5 43 53 2 3,a b a b

2. Skratiti korijen 12 366 8 x y

Plan table

Proširivanje i skraćivanje korijena - vježba

9 3 212

9 9 4 363 4 3 4 4 12 4

12 3 362 3 3 2 3 3 612

1. 2 , 3

9,12 2

9, 6 2

9, 3 3

3, 1 3

1, 1

9,12 2 2 3 3 36

36 : 9 4

2 2 16

36 :12 3

3 3 27

a x ab

NZS

a x a x a x

ab a b a b

16 3224

16 32 16:8 32:8 2 424:8 324

7 5 7 5 353 3 3

2.

24,16,32 2

12, 8,16 2

6, 4, 8 2

3, 2, 4

NZD 24,16,32 2 2 2 8

3. 2 2 2

x y

x y x y x y

a b a b a b

6 3 63 24

6 3 34 24

3 6 182 2

24 3 723 3 3 3 3 9 324

18 18 4 722 4 2 4 4 8

3. 2 ,

2 2

24,18 2

12, 9 2

6, 9 2

3, 9 3

1, 3 3

1, 1

NZS 12,18 2 2 2 3 3 72

72 : 24 3

2 2 8

72 :18 4

a b ab

a b a b

ab ab

a b a b a b

ab a b a b

65



Visoko





Čas: 7.

Nastavna jedinica: Množenje i dijeljenje korijena





Zadaci časa :





Literatura :


66

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)







Odgovor: N-ti stepenn-tog korijena jednak je potkorjenoj veličini .


Odgovor: n n

n na a a .



broj.



a a n k .








.






67


Korijeni jednakih eksponenata množe se tako što im se pomnože potkorjene veličine.

n n na b a b

Primjer 1.

3 3 3 35 7 5 7 35

Ako se primijene pravila stepenovanja, može se zaključiti da vrijedi:

n n nm p r s m r p sa b a b a b

Primjer 2.

4:45 7 3 5 5 3 7 5 8 12 8:4 12:4 2 3 2 34 4 4 4 1a b a b a b a b a b a b a b

Primjer 3.

3 4 5 2 3 5 4 2 8 67 7 7 72 3 2 3 6x y x y x y x y

Korijeni jednakih eksponenata se dijele tako što im se odijele potkorjene veličine.

: :n n n na

a b a bb

Primjer 4.

6 6 6 618 : 3 18 : 3 6

Primjernom pravila stepenovanja možemo zaključiti da virjedi

:n n nm p r s m r p sa b a b a b

Primjer 5.

28 8 8 85 4 3 9 5 3 4 9 2 5 8

5:

aa b a b a b a b

b

Ako stepeni nemaju zajednički eksponent, onda se (slično kao u slučaju razlomaka) proširuju do

zajedničkog eksponenta.

m n n m mnn m n mm na b a b a b

Primjer 6.

Pomnožiti korijene 65 2 3 44 a b a b

6 4 3 6 25 2 3 4 5 3 2 3 3 2 4 2 15 6 6 8 15 6 6 8 21 144 12 12 12 12a b a b a b a b a b a b a b a b

Primjer 7.

Podijeliti korijene 3 26 92 : 2x y xy

73 2 3 3 3 3 2 2 2 2 9 3 2 4 9 2 3 4 7 16 9 6 3 9 2 18 18 1818 18

8 22 : 2 2 : 2 8 : 4 2

4

xx y xy x y x y x y x y x y x y

y

68



Pojednostaviti izraz:

1. 8 2 3 3 5123 2a bc ab c

2. 5 7 3 2

18125 3

:6 5

x y z xy z

3. 3 4 52 24 2 2ab a b

Plan table

Množenje i dijeljenje korijena

3 3 3 3

5 7 3 5 5 3 7 54 4 4

4:48 12 8:4 12:4 2 3 2 34 1

3 4 5 2 3 5 4 2 8 67 7 7 7

Primjer 1.

5 7 5 7 35

Primjer 2.

Primjer 3.

2 3 2 3 6

n n n

n n nm p r s m r p s

a b a b

a b a b a b

a b a b a b

a b a b a b a b

x y x y x y x y

6 6 6 6

28 8 8 85 4 3 9 5 3 4 9 2 5 8

5

: :

Primjer 4.

18 : 3 18 : 3 6

:

Primjer 5.

:

n n n n

n n nm p r s m r p s

m n n m mnn m n mm n

aa b a b

b

a b a b a b

aa b a b a b a b

b

a b a b a b

69



Visoko





Čas: 8.

Nastavna jedinica: Množenje i dijeljenje korijena




Cilj časa: Ponoviti pojam i osnovne osobine korijena

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Uvježbati izvođenje računskih operacija sa korijenima.




Literatura :


70

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)





.




Pitanje: Kako se množe korijeni jednakih eksponenata?

Odgovor: Korijeni jednakih eksponenata se množe tako što im pomnožimo potkorjene veličine n n na b a b .

Pitanje: Kako se dijele korijeni jednakih eksponenata?

Odgovor: Korijeni jednakih eksponenata se dijele tako što im se podijele potkorjene veličine

: :n n n na

a b a bb

.

Pitanje: Kako se množe korijeni različitih eksponenata?

Odgovor: Korijeni različitih eksponenata se množe tako što se prvo prvo prošire do najmanjeg

zajedničkog eksponenta, a zatim pomnože po pravilu za množenje korijena jednakih

eksponenata.

Pitanje: Kako se dijele korijeni različitih eksponenata?

Odgovor: Korijeni različitih eksponenata se dijele tako što se prvo prvo prošire do najmanjeg

zajedničkog eksponenta, a zatim podijele po pravilu za dijeljenje korijena jednakih

eksponenata.



71


Poslije kratkog podsjećanja na naučeno gradivo, učenicima zadajem zadatke za uvježbavanje:

1. 8 2 3 3 5123 2a bc ab c

Rješenje:

8 8 32 3 3 5 1 3 2 3 1 3 3 3 1 2 1 3 3 2 5 2 6 3 9 3 6 10 6 3 3 6 9 1012 12 2 24 24 24

9 9 1924

3 2 3 2 27 4 27 4

108

a bc ab c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c

2. 5 7 3 2

18125 3

:6 5

x y z xy z

Rješenje:

3 25 7 3 2 5 3 7 3 3 2 3 2 2 2 15 21 3 2 6 412 3 18 218 36 3612

3 2

13 1515 2 21 6 3 4 13 15 1

3636

5 5 5 5 125 25: : :

6 3 6 3 216 9

125 25 5 5:

216 9 24 24

x y z xy z x y z x y z x y z x y z

x yx y z x y y

z

3. 3 4 52 24 2 2ab a b

Rješenje:

3 4 5 20 12 5 20 3 60 602 2 2 2 5 5 2 5 3 2 3 3 5 10 6 34 12

60 605 6 10 3 11 13

2 2 2 2 2 2 32 8

32 8 256

ab a b ab a b a b a b a b a b

a b a b

4. 4 7

32 2 13 :x x x x

Rješenje:

4 7

3 33 3 3 6 32 2 1 2 2 2 4 7 4 1 8 7 5 8 73

6 6 6 6 6 65 16 21 5 16 21 21 21 0 6

: : : :

: 1 1

x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

5. 12 2 11 12 2 11

Rješenje:

2 2

2 212 2 11 12 2 11 12 2 11 12 2 11 12 2 11 144 2 11

144 4 11 144 44 100 10

72



Izračunati:

4. 3 35 17 5 17

5. 3 32 13 5 2 13 5

6. 2 2 2 2a a b a a b

7. 3 38 8x x x x

8. 3 3 3 312 2 12 2 9 17 9 17

9. m x m x m x m x

Plan table

Množenje i dijeljenje korijena - vježba

8 8 32 3 3 5 1 3 2 3 1 3 3 3 1 2 1 3 3 2 5 2 6 3 9 3 6 10 6 3 3 6 9 1012 12 2 24 24 24

9 9 1924

3 25 7 3 2 5 3 7 3 3 2 3 2 2 2 15 21 312 3 18 218 3612

3 2

1. 3 2 3 2 27 4 27 4

108

5 5 5 5 125 252. : : :

6 3 6 3 216 9

a bc ab c a b c a b c a b c a b c a b c

a b c

x y z xy z x y z x y z x y z

2 6 4

36

13 1515 2 21 6 3 4 13 15 1

3636

3 4 5 20 12 5 20 3 60 602 2 2 2 5 5 2 5 3 2 3 3 5 10 6 34 12

60 605 6 10 3 11 13

125 25 5 5:

216 9 24 24

3. 2 2 2 2 2 2 32 8

32 8 256

x y z

x yx y z x y y

z

ab a b ab a b a b a b a b a b

a b a b

73

Matematika – treći razred stručne škole

74

75



Visoko



Razred : III stručne škole


Čas: 1.

Nastavna jedinica: Upoznavanje sa Nastavnim planom i programom. Površina pravougaonika,

kvadrata i paralelograma.




Cilj časa: Upoznati učenike sa planom i programom matematike i načinom rada na

časovima

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Upoznati učenike sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi

matematike trećeg razreda


Funkcionalni zadatak: Pripremiti učenike za budući način rada na časovima matematike

Literatura :

„Matematika za treći razred srednjih škola“, Sead Softić, IP „Svjetlost“ d.d., zavod za udžbenike i

nastavna sredstva, Sarajevo

„Zbirka zadataka iz matematike za treći razred srednjeih škola“, Adem Huskić,

76

TOK ČASA

Uvodni dio (3 min.)




Ukratko učenike upoznajem sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi matematike u trećem


Nastavnim planom i programom za prvi razred stručne škole, kako bi kasnije mogli (pri kupovanju


Prva oblast koja će se raditi je mehanika. U okviru mehanike radićemo sljedeće oblasti:

Površina geometrijskih figura u ravni – ponovićemo formule za računanje obima i površine osnovnih

geometrijskih figura u ravni i utvrditi ih kroz rješavanje raznih zadataka sa površinom geometrijskih figura

u ravni.

Analitička geometrija u ravni – Ovdje ćemo se baviti primjenom metode koordinata na rješavanje

geometrijskih problema kao što su: dužina duži, obim i površina figure u ravni, nalaženje sredine duži,

presječne tačke linija, težošta trougla itd.

Osnove stereometrije u prostoru – Govorićemo o geometrijskim tijelima u prostoru, pojmu površine i

zapremine geometrijskih tijela, izvoditi formule za računanje površine i zapremine tijela i koristiti ih pri

rješavanju raznih zadataka. Pri svemu tome ćemo koristiti ranije naučeno gradivo (površine figura u ravni,

Pitagorina teorema, osobine figura u ravni itd.). Pri tome ćemo se uvjeriti u značaj i korist od crtanja

pomoćnih slika pri rješavanju zadataka, a posebno onih složenijih.

Podsjećamo se osnovnih formula za površine:

Pravougaonik:

a

b d b

a

Obim: 2O a b

Površina: P a b

Pitagorina teorema: 2 2 2d a b

Dijagonala: 2 2d a b

77

Primjer:

Stranica pravougaonika je 6, a dijagonala 10. naći obim i površinu pravougaonika.

Rješenje:

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

6

10

?

?

10 6 100 36 64

8

2 2 6 8 2 14

28

6 8

48

a

d

O

P

d a b

b d a

b d a

b

O a b

O

P ab

P

Kvadrat:

a

a a

d

a

Obim: 4O a

Površina: 2

2

2

dP a

Dijagonala: 2d a

Primjer:

Dijagonala kvadrata je 5 2 . naći obim i površinu kvadrata.

Rješenje:

2 2

5 2

?

?

2 5 2

5

4 4 5

20

5

25

d

O

P

d a

a

O a

O

P a

P

78

Paralelogram

a

d1

b h b

d2

a

Obim: 2O a b

Površina: a bP a h b h

Primjer

Jedna stranica paralelograma je 12, a visina na tu stranicu je 8. Naći površinu paralelograma. Naći drugu

stranicu ako je njena visina 6.

Rješenje:

12

8

6

?

?

12 8

96

96

6

16

a

b

a

b

b

a

h

h

P

b

P a h

P

P b h

Pb

h

b

Zadaci za vježbanje:

1. Površina kvadrata je 64. naći stranicu, obim i dijagonalu kvadrata.

2. Obim kvadrata je 32. naći stranicu, dijagonalu i površinu kvadrata.

3. Stranica pravougaonika je 6, a obim 18. naći drugu stranicu i površinu pravougaonika.

4. Stranice pravougaonika se odnnose kao 12:5, a njegov obim je 68. naći stranice, površinu i dijagonalu

pravougaonika.

5. Površina paralelograma je 144, a visine su 8 i 12. naći stranice i obim paralelograma.

6. Površina pravugaonika je 18, a jedna stranica 3. naći drugu stranicu, obim i dijagonalu

pravougaonika.

7. Površina pravougaonika je 144, a njegove stranice se odnose kao 4:9. naći stranice, obim i dijagonalu

pravougaonika.

8. Jedna stranica pravougaonika je 9, a druga je za 3 kraća od dijagonale. Izračunato drugu stranicu,

dijagonalu, obim i površinu pravougaonika.

79


Ukratko ponavljam formule za površinu pravougaonika, kvadrata i paralelograma. Napominjem

učenicima da za domaću zadaću urade zadatke koje nismo stigli da riješimo u toku časa.

Plan table

Površina pravougaonika, kvadrata i paralelograma

2 2 2

2 2 2

2 2 2 2

6

10

?

?

10 6 100 36 64

8

2 2 6 8 2 14

28

6 8

48

a

d

O

P

d a b

b d a

b d a

b

O a b

O

P ab

P

80

81



Visoko





Čas: 2.

Nastavna jedinica: Površina trougla, trapeza i četverougla sa normalnim dijagonalama




Cilj časa: Upoznati učenike sa formulama za računanje površine i obima geometrijskih

figura u ravni

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Podsjetiti se svih formula vezanih za obim i površinu geometrijskih figura u

ravni, kao i primjenama Pitagorine teoreme na razne geometrijske figure u ravni.




Literatura :




82

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Pitam učenike da li su znali uraditi zadatke za vježbanje. Ukoliko je potrebno, dajem im dodatne upute i

instrukcije za rješavanje zadataka.


„Površina trougla, trapeza i četverougla sa normalnim dijagonalama“


Podsjećam učenike da je trougao polovina paralelograma, odakle slijede formule za površinu.

ab

c

ha

hbhc

b

c

2 2 2

a b c

O a b c

a h b h c hP

Površina trougla se može još izraziti preko poluprečnika upisane i opisane kružnice.

r

R

83

2 2

4

a b c Oo

P o r

abcP

R

Jednakokraki trougao ima dvije jednake stranice (kraci), dok je treća (osnovica) duža ili kraća.

a

bbh

hb

2

a

2

a

2

2 2

2

2 2

2

b

O a b

b ha hP

ab h

Jednakostranični trougao ima sve tri stranice jednake.

a

aah

2

a

2

a

84

2

3

3

2

3

2

O a

ah

aP

Trapez je četverougao sa jednim parom paralelnih stranica. Paralelne stranice su osnovice, a ostale dvije

kraci trapeza.

a

c

b

ds

h

2

O a b c d

a cP h

Srednja linija trapeza je duž koja spaja sredine krakova.

2

a cs

Jednakokraki trapez je trapez kojem su kraci jednaki.

2

a c

2

a c

a

c

bbd

h

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

O a c b

a cP h

a cb h

a cd h

85

Romb je paralelogram čije su susjedne stranice jednake.

a

a

aa

d1

d2

h

1

2

d

2

2

d

1 2

2 2

2 1 2

4

2 2

2 2

O a

d da hP

d da

Deltoid je četverougao sa dva para jednakih susjednih stranica.

a

b

ab

d1

d2

x

y2

2

d

2

2

d

1 2

1

2

2 2 2

2

2 2 2

2

2

2

2

O a b

d dP

d x y

da x

db y

86


Ponavljam formule za računanje površine i obima geometrijskih figura u prostoru. Pojašnjavam urađene

primjere i dajem upute za zadatke koji nisu urađeni u toku časa, tako da učenici mogu da pokušaju da ih

urade samostalno kod kuće.

Plan table

Površina trougla, trapeza i četverougla sa normalnim dijagonalama

a

b

c

ha

hbhc

b

c

2 2 2

a b c

O a b c

a h b h c hP

r

R

2 2

4

a b c Oo

P o r

abcP

R

a

bbh

hb

2

a

2

a

87



Visoko





Čas: 3.

Nastavna jedinica: Površina figura u ravni




Cilj časa: Ponoviti formule za računanje površine i obima geometrijskih figura u ravni

Zadaci časa :






Literatura :




88

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)


instrukcije za rješavanje zadataka. Učenicima postavljam pitanja za ponavljanje:

Pitanje: Kako se računa površina trougla?

Odgovor: Površina trougla se računa po formuli 2 2 2

a b ca h b h c hP

Pitanje: Kako se površina trougla računa preko poluprečnika upisane kružnice?

Odgovor: Površina trougla se može izračunati po formuli P or , gdje je 2

a b co

poluobim

trougla, a r poluprečnik kružnice upisane u trougao.

Pitanje: Kako se površina trougla može izračunati preko poluprečnika opisane kružnice?

Odgovor: Površina trougla se može izračunati po formuli 4

abcP

R , gdje je R poluprečnik

kružnice opisane oko trougla.

Pitanje: Kako se računa površina jednakokrakog trougla?

Odgovor: Površina jednakokrakog trougla se računa po formuli 2 2

bb ha hP .

Pitanje: Kako se računa površina jednakostraničnog trougla?

Odgovor: Površina jednakostraničnog trougla se računa po formuli 2

3

4

aP .

Pitanje: Kako se računa površina pravouglog trougla?

Odgovor: Površina pravouglog trougla se računa po formuli 2 2

cc habP .

Pitanje: Kako se računa površina trapeza?

Odgovor: Površina trapeza se računa po formuli 2

a cP h

.

Pitanje: Kako se računa površina romba?

Odgovor: Površina romba se računa po formuli 1 2

2 2

d d a hP .

Pitanje: Kako se računa površina deltoida?

Odgovor: Površina deltoida se računa po formuli 1 2

2

d dP .


„Površina figura u ravni - vježba“

89


Poslije kratkog podsjećanja na naučeno gradivo, prelazim na uvježbavanje zadataka.

1. Hipotenuza pravouglog trougla je 29, a jedna kateta 20. Naći površinu trougla.

Rješenje:

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

29

20

?

2

29 20

841 400

441

21

c

a

P

a bP

c a b

b c a

b c a

b

b

b

b

2

20

abP

P

21

2

10 21

210

P

P

2. Izračunati površinu jednakokrakog trougla čija je osnovica 13, a krak 10.

Rješenje:

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

13

10

?

2

2

2

2

1013

2

b

a

P

a hP

ab h

ah b

ah b

h

90

2169 5

169 25

144

12

h

h

h

h

2

10 12

a hP

P

210 6

60P

3. Izračunati površinu jednakostraničnog trougla čiji je obim 18.

2 2

18

?

3

18

3 3

6

3 6 3 36 3

4 4 4

9 3

O

P

O a

Oa

a

aP

P





Plan table

/

Površina figura u ravni - vježba

2 2 2

2 2 2

2 2

2 2

1.

29

20

?

2

29 20

841 400

441

21

c

a

P

a bP

c a b

b c a

b c a

b

b

b

b

2

20

abP

P

21

2

10 21

210

2.

13

10

?

2

P

P

b

a

P

a hP

2

2 2

2

2 2

2

2

2

2

2

2

2

2

1013

2

169 5

ab h

ah b

ah b

h

h

169 25

144

12

2

10 12

h

h

h

a hP

P

2

10 6

60

P

P

2

2

3.

18

?

3

18

3 3

6

3

4

6 3 36 3

4 4

9 3

O

P

O a

Oa

a

aP

P

P

91



Visoko





Čas: 4.

Nastavna jedinica: Heronov obrazac




Cilj časa: Naučiti formulu za računanje površine trougla kome su poznate sve tri stranice

Zadaci časa :






Literatura :




92

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)





a b ca h b h c hP



a b co

poluobim




abcP



Pitanje: Kako se računa površina jednakokrakog trougla?

Odgovor: Površina jednakokrakog trougla se računa po formuli 2 2

bb ha hP .

Pitanje: Kako se računa površina jednakostraničnog trougla?

Odgovor: Površina jednakostraničnog trougla se računa po formuli 2

3

4

aP .



cc habP .



a cP h

.



2 2

d d a hP .



2

d dP .


„Heronov obrazac“

93


Heronov obrazac je formula za računanje površine bilo kojeg trougla ako su mu zadane sve tri stranice a,

b i c. Prvo je potrebno izračunati poluobim trougla po formuli:

2

a b co

Zatim se površina trougla računa prema Heronovom obrascu:

P o o a o b o c

Primjer

Izračunati površinu, visine i poluprečnike upisane i opisane kružnice trougla čije su stranice 13, 14 i 15.

Rješenje:

13

14

15

?

?

h ?

?

?

?

a

b

c

a

b

c

P

h

h

r

R

13 14 15 42

2 2 2

21

21 21 13 21 14 21 15

21 8 7 6 3 7 8 7 2 3 9 49 16 3 7 4 21 4

84

/ 22

2 / :

2 2 84

13

168

13

a

a

a

a

a b co

o

P o o a o b o c

P

P

a hP

P a h a

Ph

a

h

2 2b

Ph

b

84

14

84

7

12

2 2 84

b

c

h

Ph

c

15

2 28

5

56

5ch

94

/ :

84

21

4

4

13 14

4

P o r o

Pr

o

r

abcP

R

abcR

P

15

4 84

13 15

4 6

13 5

4 2

65

8r





Plan table

/

Heronov obrazac

2

Primjer

13

14

15

?

?

h ?

?

?

?

a

b

c

a b co

P o o a o b o c

a

b

c

P

h

h

r

R

13 14 15 42

2 2 2

21

21 21 13 21 14 21 15

21 8 7 6 3 7 8 7 2 3 9 49 16 3 7 4 21 4

84

/ 22

2 / :

2 2 84

13

168

13

a

a

a

a

a b co

o

P o o a o b o c

P

P

a hP

P a h a

Ph

a

h

2 2b

Ph

b

84

14

84

7

12

2 2 84

b

c

h

Ph

c

15

2 28

5

56

5ch

95



Visoko





Čas: 5.

Nastavna jedinica: Površina mnogougla




Cilj časa: Naučiti formulu za računanje površine pravilnog mnogougla

Zadaci časa :






Literatura :




96

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)





a b ca h b h c hP



a b co

poluobim




abcP





cc habP .



a cP h

.



2 2

d d a hP .



2

d dP .

Pitanje: Kako glasi Heronov obrazac?

Odgovor: Heronov obrazac glasi P o o a o b o c , gdje je 2

a b co

poluobim

trougla.


„Površina mnogougla“

97


Pravilni mnogougao je mnogougao čije su sve stranice jednake i svi unutrašnji uglovi jednaki.

Obim pravilnog n-tougla je

O na

gdje je n broj stranica pravilnog n-tougla.

2

h

2

a

r

Zbir unutrašnjih uglova bilo kojeg n-tougla računa se po formuli

2 180S n n

Kod pravilnog n-tougla su svi unutrašnji uglovi jednaki, pa je jedan unutrašnji ugao jednak

S n

n

Ugao karakterističnog trougla je jednak 2

. taj trougao je jednakokraki, a visina ga dijeli na dva pravougla

trougla. Prema definiciji trigonometrijskih funkcija na pravouglom trouglu je

tg2

2

h

a

odakle je

tg2 2

ah

Površina karakterističnog trougla je

2

a hP

98

Površina pravilnog mnogougla je

2

n a hP n P

Primjer: Naći obim i površinu pravilnog osmougla čija je stranica 10.

Rješenje:

8

10

?

?

8 10

80

2 180 8 2 180 6 180 1080

1080135

8

10 135tg tg 5 tg 67,5 12,07

2 2 2 2

8

2

n

a

O

P

O n a

O

S n n

S n

n

ah

n a hP

10 12,07

2

40 12,07

482,8P


Ponavljam formule za računanje površine i obima geometrijskih figura u prostoru. Pojašnjavam urađeni

primjer. Dajem domaću zadaću sa uputama za rješavanje:

Izračunati obim i površinu pravilnog desetougla čija je stranica 16.

Plan table

/

Površina mnogougla

2

h

2

a

r

2 180

tg2

2

tg2 2

2

2

S n n

S n

n

h

a

ah

a hP

P n P

n a hP

Primjer

8

10

?

?

8 10

80

2 180 8 2 180 6 180 1080

1080135

8

10 135tg tg 5 tg 67,5 12,07

2 2 2 2

8

2

n

a

O

P

O n a

O

S n n

S n

n

ah

n a hP

10 12,07

2

40 12,07

482,8P

99



Visoko





Čas: 6.

Nastavna jedinica: Heronov obrazac. Površina mnogougla




Cilj časa: Ponoviti Heronov obrazac i formulu za računanje površine pravilnog

mnogougla

Zadaci časa :






Literatura :




100

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)





a b ca h b h c hP



a b co

poluobim




abcP





cc habP .



a cP h

.



2 2

d d a hP .



2

d dP .



a b co

poluobim

trougla.


„Površina mnogougla - vježba“

101


Poslije kratkog podsjećanja na ranije urađeno gradivo, prelazimo na uvježbavanje zadataka. Pitam učenike

da li su uradili zadatak za domaću zadaću i da li bi neko htio da ga uradi na tabli. Po potrebi pomažem pri

rješavanju zadataka.

1. Izračunati obim i površinu pravilnog desetougla čija je stranica 16.

Rješenje:

10

16

?

?

10 16

160

2 180 10 2 180 8 180 1440

1440144

10

16 144tg tg 8 tg 72 24,6

2 2 2 2

10 16

2

n

a

O

P

O n a

O

S n n

S n

n

ah

n a hP

24,6

2

80 24,6

1968P

2. Izračunati obim i površinu pravilnog petnaestougla stranice 8.

Rješenje:

15

8

?

?

15 8

120

2 180 15 2 180 13 180 2340

2340156

15

8 156tg tg 4 tg 78 18,8

2 2 2 2

15 8

2

n

a

O

P

O n a

O

S n n

S n

n

ah

n a hP

18,8

2

60 18,8

1128P

102



zadatke. Dajem domaću zadaću sa uputama za rješavanje:

1. Izračunati obim i površinu pravilnog osamnaestougla čija je stranica 18.

2. Izračunati obim i površinu pravilnog dvadesetougla čija je stranica 20.

Plan table

/

Površina mnogougla - vježba

1.

10

16

?

?

10 16

160

2 180 10 2 180 8 180 1440

1440144

10

16 144tg tg 8 tg 72 24,6

2 2 2 2

10 16

2

n

a

O

P

O n a

O

S n n

S n

n

ah

n a hP

24,6

2

80 24,6

1968P

2.

15

8

?

?

15 8

120

2 180 15 2 180 13 180 2340

2340156

15

8 156tg tg 4 tg 78 18,8

2 2 2 2

15 8

2

n

a

O

P

O n a

O

S n n

S n

n

ah

n a hP

18,8

2

60 18,8

1128P

103



Visoko





Čas: 7.

Nastavna jedinica: Površina kruga i kružnog prstena




Cilj časa: Naučiti formule za računanje površine kruga i kružnog prstena

Zadaci časa :






Literatura :




104

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)





a b ca h b h c hP



a b co

poluobim




abcP





cc habP .



a cP h

.



2 2

d d a hP .



2

d dP .



a b co

poluobim

trougla.


„Površina kruga i kružnog prstena“

105


Kružnica je skup tačaka u ravni jednako udaljenih od centra. Kružnica i njena unutrašnjost zajedno čine

krug.

O

A

r

Obima i površina kruga se računaju po fomulama

2

2O r

P r

Primjer 1.

Izračunati obim i površinu kruga poluprečnika 4.

Rješenje:

2

2

4

?

?

2

2 4 4

8 16

r

O

P

P rO r

O P

O P

Kružnice su koncentrične ako imaju zajednički centar. Dio ravni između dvijeu koncentričnih kružnica

nazivamo kružni prsten.

Or

R

106

R - spoljašnji poluprečnik

r - unutrašnji poluprečnik

Obim i površina kružnog prstena računaju se po formulama

2 2

2O R r

P R r

Primjer 2.

Izračunati obim i površinu kružnog prstena čiji su poluprečnici 18 i 12.

Rješenje:

2 2 2 2

2 2 18 12 2 30 60

18 12 324 144 180

O R r

P R r




3. Izračunati obim i površinu kružnog prstena poluprečnika 20 i 15.

Plan table

/

Površina kruga i kružnog prstena

O

A

r

2

2O r

P r

2 2

Primjer 1.

4

?

?

2 2 4

8

4

16

r

O

P

O r

O

P r

P

Or

R

2 2

R - spoljašnji poluprečnik

r - unutrašnji poluprečnik

2O R r

P R r

107



Visoko





Čas: 8.

Nastavna jedinica: Površina kružnog isječka i odsječka




Cilj časa: Naučiti formule za računanje površine kruga i kružnog prstena

Zadaci časa :






Literatura :




108

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)





a b ca h b h c hP



a b co

poluobim




abcP





cc habP .



a cP h

.



2 2

d d a hP .



2

d dP .



a b co

poluobim

trougla.


„Površina kružnog isječka i odsječka“

109


Kružni isječak je dio kruga koji pripada jednom njegovom centralnom uglu.

O

A

rB

Obim i površina kružnog isječka računaju se po formulama

2

2180

360

rO r

rP

Primjer. Izračunati površinu kružnog isječka poluprečnika 6 i centralnog ugla 150°.

6

150

?

?

62

180

r

O

P

rO r

15 0

18

0

152 6

3

2 2

12

5 12

6 15 0

360

O

rP

36 0

36

15

36

15P

Tetiva kružnice je duž koja spaja njene dvije tačke. Kružni odsječak je dio kruga između tetive i ivice.

O

A

rB

110

Obim i površinu kružnog odsječka računamo po formulama:

2

2 sin360 2

sin2 180

rO r

rP

Primjer. Izračunati površinu kružnog odsječka poluprečnika 10 i centranog ugla 120°.

10

120

?

?

1202 sin 2 10

360 2

r

O

P

O r

360

2 2

120 3 2 3 3sin 20 sin 60 20 20

2 3 3 2 6

10 2 3 3

3

10 120sin

2 180 2

O

rP

180

100 2 3 4 3 3sin120 50

2 3 2 6

25 4 3 3

3P




4. Izračunati obim i površinu kružnog prstena poluprečnika 20 i 15.

Plan table

/

Površina kružnog isječka i odsječka

O

A

rB

2

2180

360

rO r

rP

Primjer

6

150

?

?

2180

6

r

O

P

rO r

O

15 0

18

0

152 6

3

2 2

12

5 12

6 15 0

360

O

rP

36 0

36

15

36

15P

111

Fizika – prvi razred mašinski tehničari

112

113



Visoko

Predmet : Fizika


Razred : I mašinski tehničari


Čas: 1.





Cilj časa: Upoznati učenike sa planom i programom fizike i načinom rada na časovima

Zadaci časa:


prvog razreda



Literatura :

„Fizika za prvi razred srednjih škola“, dr Ahmed Čolić

„Zadaci i ogledi iz fizike za prvi razred srednjih škola“, dr. Ahmed Čolić, Bego Mehurić

114

TOK ČASA

Uvodni dio (3 min.)

Predstavljam se učenicima, upoznajem ih ukratko sa predmetom fizike i značajem nastavnog predmeta u

okviru srednjoškolskog obrazovanja, a posebno značajem za struku.


Ukratko učenike upoznajem sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi fizike u prvom razredu

mašinske struke. Učenicima predlažem da sa table prepišu kratki pregled oblasti koje su predviđene

Nastavnim planom i programom za prvi razred mašinske tehničke škole, kako bi kasnije mogli (pri

kupovanju udžbenika i zbirke) provjeriti da li im udžbenik i zbirka odgovaraju.

Prvo će se obrađivati osnove fizike, odnosno upoznaćemo se sa predmetom fizike (šta ona proučava, tj.

koje sve pojave), na koji se način dolazi do spoznaja u fizici i kako se one provjeravaju. Napominjem da je

fizika, prije svega, eksperimentalna nauka, da polazi od posmatrnja pojava u prirodi, koje mogu biti i

vještački izazvane u nekim slučajevima. Napomenućemo razlike između skalarnih i vektorskih veličina u

fizici, koje su to skalarne, a koje vektorske veličine. Zatim ćemo se baviti načinom na koji se dolazi do

fizičkih veličina, odnosno mjerenjem, problemima koji se javljaju kod mjerenja i rješavanjem tih problema.

Govorićemo, dakle, o analizi mjerenja i greški pri mjerenju. Zatim ćemo malo govoriti o odnosu fizike sa

drugim naukama, kao i sa tehnikom, o međuzavisnosti fizike i tehnike, kao i danas aktuelnim

multidisciplinarnim timovima u institutima, u koje su često uključeni npr. matematičari, fizičari, hemičari,

biolozi, informatičari i drugi.

Zatim prelazimo na prvu oblast – mehaniku. U okviru mehanike radićemo sljedeće oblasti:

Kinematika – tu ćemo govoriti o kretanju kao takvom, pri čemo se nećemo baviti uzrocima oji su doveli do

tog kretanja. Upoznaćemo se sa osnovnim vrstama kretanja i njihovim jednačinama.

Dinamika i statika – Ovdje ćemo se baviti i uzrocima koji dovode do kretanja, odnosno silama. Radićemo

Newtonove zakone, težinu, težište i stabilnost tijela, sile u čvrstim tijelima, tečnostima i gasovima.

Energija i rad – Govorićemo o dva osnovna oblika mehaničke energije : kinetičkoj (energija kretanja) i

potencijalnoj (energija položaja), o radu koji se može vršiti na račun kinetičke ili potencijalne energije, kao

i o održanju energije.

Oscilacije i talasi – Govorićemo o oscilatornom kretanju, njegovim osobimana i veličinama koje ga

karakterišu. Zatim ćemo razmatrati talase, vrste i osobine talasa kao i veličine specifične za talase.

Granice primjenjivosti klasične mehanike – Razmotrićemo probleme sa kojima se susreće

klasičnomehanički opis kratnja velikim brzinama i rješenjem tih problema u obliku Einsteinove

relativističke mehanike.

Druga oblast koja će se obrađivati u prvom razredu jemolekularna fizika. U okviru molekularne fizike

obrađivaćemo sljedeće oblasti:

Molekularno.inetička teorija – Govorićemo o strukturi materije, njenoj unutrašnjoj energiji i procesima

vezanim za nju.

Kondenzirano stanje tvari – Razmatraćemo :kristalne i amorfne tvari, deformacije i elastičnost.

115

Termodinamika – Raznatraćemo termodinamički sistem, rad u njemu, zakone termodinamike i gasne

procese.

U toku školske 2010/11 godine učenici će imati i dvije školske pismene zadaće, koje će se raditi u decembru

i maju, a biće blagovremeno najavljene. Osim toga, učenici će imati nekoliko kontrolnih radova, koji ne

moraju biti najavljeni.


Zaključićemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program fizike za prvi razred mašinske tehničke

škole, najbolje odgovara udžbenih „Fizika za prvi razred srednjih škola“, autor dr. Ahmed Čolić, i

„Zbirka ogleda i zadataka iz fizike za prvi razred srednjih škola“, autori dr. Ahmed Čolić i Bego Mehurić


napisane na tabli.

Plan table

FIZIKA

UVOD

MEHANIKA

Kinematika, dinamika, statika

Energija, rad i snaga

Osclacije i talasi

Granice primjenjivostiklasične mehanike

MOLEKULARNA FIZIKA

Molekularno-kinetička teorija

Kondenzirano stanje tvari

Termodinamika

„Fizika za prvi razred srednjih škola“

dr. Ahmed Čolić

„Zbirka ogleda i zadataka iz fizike za

prvi razred srednjih škola“

dr. Ahmed Čolić, Bego Mehurić

116

117



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 2.

Nastavna jedinica: Predmet fizike, posmatranje, eksperiment, teorija

Tip časa: Obrada

Nastavne metode: Monološka i dijaloška

Oblici rada: Frontalni i idnividualni

Cilj časa: Opisati čime se fizika bavi, objasniti pojam pokusa (eksperiment) s prmjerima

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Razumjeti čime se bavi fizika, shvatiti važnost pokusa

Odgojni zadatak: Uočiti da je fizika prirodna znanost, usvajati pravilno korištenje pribora za

eksperimente

Funkcionalni zadatak: Pregledati udžbenik i radnu bilježnicu, poticati učenike da razvijaju sposobnost

posmatranja, raspravljanja i zaključivanja

Literatura :



118

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

U uvodu napominjem da je fizika, prije svega, eksperimentalna nauka. To znači da se do saznanja u fizici

u prvom redu dolazi opsmatranjem, eksperimentom, zatim se o posmatranim pojavama konstruiše neka

hipoteza. Hipoteza se dalje razrađuje u neki fizikalni model, koji daje objašnjenja i predviđanja, kako

sadašnjosti, tako i prošlosti i budućnosti, i tako hipoteza preraste u teoriju. Teorija se zatim provjerava u

eksperimentima, odnosno porvjerava se da li se predviđanja teorije slažu sa eksperimentalnim podacima.

Tek u slučaju slaganja predviđanja teorije sa eksperimentalnim podacima fizičar može iznijeti svoju teoriju

naučnoj zajednici radi provjere i verifikacije.


Riječ Fizika dolazi od grčke riječi „fizis“ (priroda). U svojempočetnom periodu fizika je bila nauka o

prirodi, po čemu je i dobila naziv. Fizika se postepeno odvajala od opšte filozofije prirode (koja je

proučavala sve pirodne pojave). Tokom vremena dolazilo je do sve veće akumulacije znanja o prirodi, što

je nužno moralo da dovede do dijeljenja nauke o prirodi na posebne nauke: fizika, hemija, matematika,

biologija itd.

Fizika se u svojem današnjem smislu počinje razvijati tek od vremena Galileja (XVII vijek), koji se smata

tvorcem naučne metode u fizici. Značaj radova Galileja je i u tome što je poticao osmatranje i eksperiment,

koji su do tada većinom bili slabo ili nikako korišteni pri formulisanju fizičkih zakona. Prednost se, dakle,

davala misaonim eksperimentima, logičkom zaključivanju (pri čemu su čestompravljene manje ili veće

logičke greške), dok naučnici (koji su uglavnom bili i filozofi) nisu uopšte osjećali potrebu za

provjeravanjem svojih teorija u praksi. Čak su smatrali da je posmatranje prirode i provjeravanje njihovih

teorija ispod njihovog nivoa razmišljanja kao filozofa.

To se uglavnom odnosi na antičku filozofiju i nauku, dok je od početka nove ere i dominacije crkve u

politici i nauci došlo do još većih problema, koji su doveli do milenijskog zastoja u razvoju nauke, a time i

fizike. Crkva je usvojila geocentrički sistem i još neke dogme koje nisu imale nikakav valjani dokaz, ali su

odgovarale interesima crkve. Sa druge strane, iako je za neke tvrdnje bilo dosta dokaza (npr. za

heliocentrički sistem, loptasti oblik Zemlje itd.), oni ne samo da nisu prihvatani, nego su se smatrali

herezom. Posmatranje i eksperiment koji su dokazivali suprotno nisu priznavani, a instrumenti kao npr.

teleskop su smatrani „đavoljom rabotom“. Sve to je dovelo do velikog zastoja u razvoju nauke, a time i

fizike. Tek su kasniji uticaji sa istoka (Kinezi, a pogotovo Arapi, koji nisu bili pod uticajem crkve u to

vrijeme su bili izuzetno napredni) postepeno doveli do ponovnog pokretanja razvoja nauke.

Koristeći teleskop, Galilej je pokazao da se posmatranjem mogu uočiti pojave koje dotada nisu mogle biti

opažene (bez konstruisanja posebnih naprava, kao što je na primjer teleskop), čime je sa jedne strane istakao

značaj posmatranja u nauvi, a sa druge strane se uvidjelo da bi, ako želimo da bolje upoznamo prirodu i

njene zakone, moramo da razvijemo tehnologiju koja će nam omogućiti da vidimo dalje, sitnije i preciznije.

To je, zapravo, bio začetak međuzavisnosti fizike i tehnologije, koje danas praktično ne mogu jedna bez

druge. Fizikalna otkrića omogućuju konstruisanje i razvoj novih mašina, koje sa druge strane omogućuju

nova fizikalna otkrića, itd.

Posmatranje je, dakle, veoma bitan proces u razvoju fizikalnih teorija. Mi fizičku pojavu posmatramo,

uočavamo kako se ona razvija, od čega zavisi tok odvijanjać nekog fizičkog procesa (npr. od čega zavisi

kretanje tijela u nekom polju sila), razvijamo hipoteze i teorije, dajemo predviđanja o tome šta se dešavalo

ranije i šta će se dešavati u budućnosti, a zatim sve to provjeravamo u narednim posmatranjima.

119

Pri tome, postoje opjave koje se ne dešavaju tako često u prirodi (npr. sudari čestica, električne pojave,

statički elektricitet, kretanje niz strmu ravan itd.) ili je njihovo osmatranje u prirodi neprecizno. Iz tih

razloga često je pogodnije neku fizičku pojavu posmatrati u kontrolisanim uslovima, u laboratoriji. Fizičku

pojavu možemo, dakle, vještački izazvati i posmatrati je u jednostavnijem obliku, mijenjati parametre za

koje pretpostavljamo da će uticati na tu pojavu i osmatrati šta će se događati. Uz to možemo vršiti precizna

mjerenja i upoređivati ih sa predviđanjima važećih teorija.

Na primjer, pojave radioaktivnog raspada ne bi bilo moguće osmatrati u prirodi zbog dugog vremenskog

intervala u kome se to događa. Sudare elementarnih čestica ne bi mogli posmatrati u prirodi zbog malih

dimenzija i velikih brzina. Pri tome možemo izvoditi zaključke iz astrofizike o pojavama koje ne možemo

posmatrati jer su se dešavale prije nekoliko milijardi godina i/ili ogromnim udaljenostima. Stvaranjem

vještačke atmosfere možemo ispitati osobine nekih materijala na površini neke druge planete, itd.


Iznosim zanimljive događaje iz historije fizike.Postavljam učenicima zadatak da pokušaju navesti tri zanimanja

u kojima je potrebno znanje fizike? Pitam učenike kojim se načinima dolazi do fizikalnih zakonitosti? Moraju

li rezultati eksperimenta uvijek biti isti? Pokazujem učenicima slike najpoznatijih fizičara na zidnom plakatu i

pitam ih da li prepoznaju neke od njih.

Plan table

PREDMET FIZIKE

Fizis – priroda

Hipoteza Teorija Eksperimentalna provjera

Hipoteza – na osnovu posmatranja

Razrada, predviđanja – teorija

Provjera valjanosti teorije – eksperiment

Posmatranje pojave

Galilej (teleskop)

Eksperiment

Poznati fizičari:

Galileo Galilej

Nikola Kopernik

Đordano Bruno

Isak Njutn

Nikola Tesla

Albert Ajnštajn

Stiven Hoking

120

121



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 3.

Nastavna jedinica: Mjerenje i greške mjerenja


Nastavne metode: Monološka, dijaloška, demonstracija


Cilj časa: Naučiti fizikalnu formu pisanja fizičkih veličina, upoznati mjerne jedinice,

skalarne i vektorske veličine, smisao mjerenja i greški mjerenja

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Shvatiti što je mjerna veličina, šta znači mjeriti, znati ispravno zapisati mjerni

podatak i mjernu jedinicu, uspješno pretvarati mjerne jedinice

Odgojni zadatak: Razvijati samostalnost u analizi rezultata mjerenja

Funkcionalni zadatak: Razvijati uočavanje i točnost, upućivati na pravilnu primjenu mjerila,

usporediti preciznost mjerenja s većim i manjim mjerilom

Literatura :



122

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ispitujem koliko učenici znaju o mjerenju iz osnovne škole, koje su mjerne veličine i jedinice koristili

ranije, da li su već vršili neka mjerenja, da li su to opnavljali više puta pa računali srednju vrijednost, ako

jesu, da li su posmatrali koliko izmjerene vrijednosti odstupaju od srednje vrijednosti. Pitam učenike da li

znaju nabrojati neke osnovne i neke izvedene mjerne veličine i koje njihove mjerne jedinice poznaju.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov: „Mjerenje i greške mjerenja“


Fizičke veličine po svojoj prirodi mogu biti skalarne i vektorske.

Skalarne veličine su potpuno određene svojim mjernim brojem i mjernom jedinicom.Takve veličine su,

na primjer, masa, temperatura, vrijeme itd. Kada, npr. kažemo da je vrijeme kretanja autobusa 15 minuta,

onda je ta velicina odredena.

Za neke veličine je potrebno, pored brojne vrijednosti i jedinice, znati još i pravac i smjer. Na primjer,

podatak da je brzina autobusa 50 km/h ne određuje potpuno brzinu autobusa, jer se ne zna pravac i smjer

njegovog kretanja. Fizičke veličine za čije je potpuno određivanje, pored brojne vrijednosti, potrebno znati

još i pravac i smjer nazivaju se vektorske veličine. Takve veličine su, na primjer, brzina, ubrzanje, sila, itd.

Fizika kao nauka počela se brzo razvijati tek kada su u nju uvedeni eksperimentalni metodi istraživanja.

Ako hoćemo dublje da ispitamo neku pojavu, onda moramo nešto i da mjerimo. Dakle, fizičke veličine se

određuju mjerenjem.

Mjeriti neku fizičku veličinu znači uporoditi je sa veličinom iste vrste koja je uzeta za jedinicu. Na primjer, neka smo

izmjerili dužinu učionice, i neka je ona 12 m. Mi smo uporedili dužinu učionice sa jedinicom za dužinu, tj.

sa metrom. Dužina učionice iznosi 12 jedinica dužine tj. 12 metara.

Iskustvo je pokazalo da rezultat mjerenja fizičkih veličina me može biti apsolutno tačan. Rezultat mjerenja

zavisi, kako od preciznosti instrumenta, tako i od umješnosti onog ko vrši mjerenje. Zato nam uzastopna

mjerenja iste veličine sa istim uređajem daju različite rezultate mjerenja. Kako fizička veličina ima samo

jednu tačnnu vrijednost, mi kažemo da smo pri mjerenju napravili greške, tj. greške mjerenja.

Greške mjereja mogu biti subjektivne i objektivne.

Subjektivne greške se prave zbog nedovoljne pažnje pri mjerenju, neiskustva osobe koja mjeri, nedostataka

naših čula (čula vida, sluha). Na te greške možemo djelimično uticati tako što uvježbavamo i usavršavamo

proces mjerenja i trudimo se da mjerimo što pažljivije. To demonstriram na primjeru voltmetra, na kome

pokazujem da se može napraviti greška pri mjerenju ako položafj kazaljke voltmetra gledamo sa strane, a

ne odozgo (vertikalno). Na taj način ne vidimo pravi položaj kazaljke, već nam očitavanje zavisi od ugla

gledanja. Zbog toga se na skali preciznijih voltmetara postavlja ogledalo na skali, tako da se pri gledanju

vodi računa da se kazaljka poklopi sa njenom slikom u ogledalu. Na taj način uklanjamo subjektivnu grešku

zbog ugla gledanja. Isto tako, grečku možemo napraviti i zato što je na skali malo podioka, pa ne možemo

najbolje da razlučimo koji je položaj kazaljke ako je ona između dva susjedna podioka.

Objektivne greške nastaju zbog nepreciznosti mjernih instrumenata, nesavršenosti mjerne metode itd. Na

te greške u pravilu teže možemo uticati, na primjer ako koristimo precizniji mjerni instrument ili pouzdaniju

mjernu metodu. Na primjeru voltmetra, grešku mjerenja možemo smanjiti ako koristimo precizniji

voltmetar (npr. laboratorijski), sa preciznijom skalom i ogledalom (čime ujedno smanjujemo i subjektivnu

grešku).

Odstupanje mjerene veličine od tačne vrijednosti naziva se apsolutna greška mjerenja

123

∆𝑥𝑘 = |𝑥𝑘 − 𝑥0|

gdje je 𝑥𝑘 mjerena veličina, x0-tačna vrijednost. Dakle:

𝑎𝑝𝑠𝑜𝑙𝑢𝑡𝑛𝑎 𝑔𝑟𝑒š𝑘𝑎 = |𝑖𝑧𝑚𝑗𝑒𝑟𝑒𝑛𝑎 𝑣𝑟𝑖𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 − 𝑡𝑎č𝑛𝑎 𝑣𝑟𝑖𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡|

Kako tačnu vrijednost najčešće i ne možemo znati, umjesto nje uzimamo njenu najvjerovatniju vrijednost,

a to je srednja vrijednost

�̅� =𝑥1 + 𝑥2 + ⋯ + 𝑥𝑘

𝑘

Odnosno

𝑠𝑟𝑒𝑑𝑛𝑗𝑎 𝑣𝑟𝑖𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡 = 𝑧𝑏𝑖𝑟 𝑠𝑣𝑖ℎ 𝑖𝑧𝑚𝑗𝑒𝑟𝑒𝑛𝑖ℎ 𝑣𝑟𝑖𝑗𝑒𝑑𝑛𝑜𝑠𝑡𝑖

𝑏𝑟𝑜𝑗 𝑚𝑗𝑒𝑟𝑒𝑛𝑗𝑎

Zato apsolutnu grešku mjerenja možemo računati preko razlike između izmjerene vrijednosti i srednje

vrijednosti:

∆𝑥𝑘 = |𝑥𝑘 − �̅�|

Znajući apsolutnu grešku mjerenja, još se ne može steći određena predstava o preciznosti izvršenog

mjerenja. Na primjer, nije isto napraviti grešku od 1 cm pri mjerenju dužine olovke i grešku od 1 cm pri

mjerenju dužine stola. Osjetimo da smo u prvom slučaju više pogriješili. Stoga se uvodi pojam relativne

greške.

Relativna greška mjerenja je odnos apsolutne greške i tačne vrijednosti veličine koja se mjeri:

𝛿𝑘 =∆𝑥𝑘

�̅�

Relativna greška se često izražava u procentima. U tom slučaju je nazivamo procentualna greška:

𝛿𝑘% =∆𝑥𝑘

�̅�∙ 100%

Zadatak: Prilikom mjerenja vremena pada nekog tijela sa određene visine h izmjerene su sljedeće

vrijednosti: 2,43 s, 2,52 s i 2,37 s. Izračunati

a) Srednju vrijednost vremena pada

b) Apsolutne greške mjerenja

c) Relativne i procentualne greške

d) Najbolje i najlošije mjerenje

Izračunate podatke prikazati tabelarno.

𝑡1 = 2,43 𝑠

𝑡2 = 2,52 𝑠

𝑡3 = 2,37 𝑠

𝑡̅ =?

∆𝑡1 =?, ∆𝑡2 =?, ∆𝑡3 =?

𝛿1 =?, 𝛿2 =? , 𝛿3 =?

𝛿1% =?, 𝛿2% =? , 𝛿3% =? 𝛿𝑚𝑖𝑛 =?, 𝛿𝑚𝑎𝑥 =?

Rješenje:

𝑡̅ =𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3

3=

2,43𝑠 + 2,52𝑠 + 2,37𝑠

3

𝑡̅ = 2,44𝑠

∆𝑡1 = |𝑡1 − 𝑡̅| = |2,43𝑠 − 2,44𝑠| = |−0,01𝑠| = 0,01𝑠

∆𝑡2 = |𝑡2 − 𝑡̅| = |2,52𝑠 − 2,44𝑠| = |0,08𝑠| = 0,08𝑠

124

∆𝑡3 = |𝑡3 − 𝑡̅| = |2,37𝑠 − 2,44𝑠| = |−0,07𝑠| = 0,07𝑠

𝛿1 =∆𝑡1

𝑡̅=

0,01𝑠

2,44𝑠= 0,004

𝛿2 =∆𝑡2

𝑡̅=

0,08𝑠

2,44𝑠= 0,033

𝛿3 =∆𝑡3

𝑡̅=

0,07𝑠

2,44𝑠= 0,029

𝛿1% =∆𝑡1

𝑡̅∙ 100% =

0,01𝑠

2,44𝑠∙ 100% = 0,4%

𝛿2% =∆𝑡2

𝑡̅∙ 100% =

0,08𝑠

2,44𝑠∙ 100% = 3,3%

𝛿3% =∆𝑡3

𝑡̅∙ 100% =

0,07𝑠

2,44𝑠∙ 100% = 2,9%

Najbolje mjerenje: 𝛿𝑚𝑖𝑛 = 𝛿1 = 0,4% (prvo mjerenje)

Najlošije mjerenje: 𝛿𝑚𝑎𝑥 = 𝛿2 = 3,3% (drugo mjerenje)

Mjerenje 𝑡 [𝑠] ∆𝑡 [𝑠] 𝛿 𝛿%

1. 2,43 0,01 0,004 0,4 %

2. 2,52 0,08 0,033 3,3 %

3. 2,37 0,07 0,029 2,9 %

𝑡̅ 2,44


Ponavljam pojam mjerenja, greški pri mjerenju, srednje vrijednosti, apsolutne, relativne i procentualne

greške i relacije za njihovo izračunavanje. Dajem učenicima zadatak za domaću zadaću:

Pri mjerenju neke dužine izmjerene su sljedeće vrijednosti:

25,64 m, 27,24 m, 22,97 m, 24,32 m i 27,73 m. Naći srednju vrijednost, apsolutne,relativne i procentualne

greške, najbolje i najlošije mjerenje. Izračunate vrijednosti prikazati tabelarno.

Plan table

MJERENJE I GREŠKE MJERENJA

Apsolutna greška:

∆𝑥𝑘 = |𝑥𝑘 − 𝑥0|

Srednja vrijednost

�̅� =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑘

𝑘

∆𝑥𝑘 = |𝑥𝑘 − �̅�|

Relativna greška:


�̅�

Procentualna greška:


�̅�∙ 100%

Zadatak: 𝑡1 = 2,43 𝑠

𝑡2 = 2,52 𝑠

𝑡3 = 2,37 𝑠

𝑡̅ =?

∆𝑡1 =?, ∆𝑡2 =?, ∆𝑡3 =?

𝛿1 =?, 𝛿2 =? , 𝛿3 =?

𝛿1% =?, 𝛿2% =? , 𝛿3% =? 𝛿𝑚𝑖𝑛 =?, 𝛿𝑚𝑎𝑥 =?

𝑡̅ =𝑡1 + 𝑡2 + 𝑡3

3=

2,43𝑠 + 2,52𝑠 + 2,37𝑠

3

𝑡̅ = 2,44𝑠

∆𝑡1 = |𝑡1 − 𝑡̅| = |2,43𝑠 − 2,44𝑠| = |−0,01𝑠| = 0,01𝑠

∆𝑡2 = |𝑡2 − 𝑡̅| = |2,52𝑠 − 2,44𝑠| = |0,08𝑠| = 0,08𝑠

∆𝑡3 = |𝑡3 − 𝑡̅| = |2,37𝑠 − 2,44𝑠| = |−0,07𝑠| = 0,07𝑠

∆𝑡2 = |𝑡2 − 𝑡̅| = |2,52𝑠 − 2,44𝑠| = |0,08𝑠| = 0,08𝑠

∆𝑡3 = |𝑡3 − 𝑡̅| = |2,37𝑠 − 2,44𝑠| = |−0,07𝑠| = 0,07𝑠

𝛿1 =∆𝑡1

𝑡̅=

0,01𝑠

2,44𝑠= 0,004

𝛿2 =∆𝑡2

𝑡̅=

0,08𝑠

2,44𝑠= 0,033

𝛿3 =∆𝑡3

𝑡̅=

0,07𝑠

2,44𝑠= 0,029

𝛿1% =∆𝑡1

𝑡̅∙ 100% =

0,01𝑠

2,44𝑠∙ 100% = 0,4%

𝛿2% =∆𝑡2

𝑡̅∙ 100% =

0,08𝑠

2,44𝑠∙ 100% = 3,3%

𝛿3% =∆𝑡3

𝑡̅∙ 100% =

0,07𝑠

2,44𝑠∙ 100% = 2,9%

Mjerenje 𝑡 [𝑠] ∆𝑡 [𝑠] 𝛿 𝛿%

1. 2,43 0,01 0,004 0,4 %

2. 2,52 0,08 0,033 3,3 %

3. 2,37 0,07 0,029 2,9 %

𝑡̅ 2,44

125



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 4.

Nastavna jedinica: Mjerenje i greške mjerenja


Nastavne metode: Dijaloška


Cilj časa: Naučiti fizikalnu formu pisanja fizičkih veličina, upoznati mjerne jedinice,

skalarne i vektorske veličine, smisao mjerenja i greški mjerenja

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Shvatiti što je mjerna veličina, šta znači mjeriti, znati ispravno zapisati mjerni

podatak i mjernu jedinicu, uspješno pretvarati mjerne jedinice

Odgojni zadatak: Razvijati samostalnost u analizi rezultata mjerenja

Funkcionalni zadatak: Razvijati uočavanje i točnost, upućivati na pravilnu primjenu mjerila,

usporediti preciznost mjerenja s većim i manjim mjerilom

Literatura :



126

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam gradivo sa prošlog časa:

Pitanje: Šta su to skalarne veličine?

Odgovor: Skalarne veličine su veličine određene mjernim brojem i mjernom jedinicom.

Pitanje: Šta su to vektorske veličine?

Odgovor: Vektorske veličine su veličine određenje pravcem, smjerom, mjernim brojem i mjernom

jedinicom.

Pitanje: kako se određuju fizičke veličine?

Odgovor: Fizičke veličine se određuju mjerenjem.

Pitanje: Koje su vrste greški pri mjerenju?

Odgovor: Greške pri mjerenju mogu biti subjektivne i objektivne.

Pitanje: Kako se računa srednja vrijednost fizičke veličine?

Odgovor: Srednja vrijednost fizičke veličine računa se tako što se zbir izmjerenih vrijednosti podijeli sa

brojem mjerenja, tj. po formuli �̅� =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑘

𝑘, gdje je k broj mjerenja.

Pitanje: Kako se računa apsolutna greška mjerenja?

Odgovor: Apsolutna greška mjerenja se računa kao apsolutna vrijednost razlike između izmjerene

vrijednosti 𝑥𝑘 i tačne vrijednosti 𝑥0, tj. po formuli ∆𝑥𝑘 = |𝑥𝑘 − 𝑥0|. Pitanje: A šta ako ne znamo tačnu vrijednost 𝑥0?

Odgovor: Ako ne znamo tačnu vrijednost 𝑥0, onda umjesto nje uzimamo srednju vrijednost �̅�.

Pitanje: Kako se računa relativna greška?

Odgoror: Relativna greška se računa kao količnik apsolutne greške i tačne (odnosno srednje) vrijednosti,

tj. po formuli 𝛿𝑘 =∆𝑥𝑘

�̅�.

Najavljujem cilj časa. Na vrh table pišem naslov: „Mjerenje i greške mjerenja - vježbanje“


Pitam učenike jesu li uspjeli da urade zadatak za domaću zadaću. Ako jesu (ili ako neko jeste) predlažem

da jedan učenik (ili više učenika uzastopno) uradi zadatak na tablu. Ako nisu uradili, onda predlažem da

neko izađe da uz moju pomoć riješi zadatak.

Zadatak: Pri mjerenju neke dužine izmjerene su sljedeće vrijednosti:

25,64 m, 27,24 m, 22,97 m, 24,32 m i 27,73 m. Naći srednju vrijednost, apsolutne,relativne i procentualne

greške, najbolje i najlošije mjerenje. Izračunate vrijednosti prikazati tabelarno.

a) Srednju vrijednost vremena pada

b) Apsolutne greške mjerenja

c) Relativne i procentualne greške

d) Najbolje i najlošije mjerenje

Izračunate podatke prikazati tabelarno.

𝑑1 = 25,64 𝑚

𝑑2 = 27,24 𝑚

𝑑3 = 22,97 𝑚

𝑑4 = 24,32 𝑚

𝑑5 = 27,73 𝑚

�̅� =?

∆𝑑1 =?, ∆𝑑2 =?, ∆𝑑3 =?,∆𝑑4 =?, ∆𝑑5 =?

𝛿1 =?, 𝛿2 =? , 𝛿3 =?, 𝛿4 =?, 𝛿5 =?

127

𝛿1% =?, 𝛿2% =? , 𝛿3% =?, 𝛿4% =?, 𝛿5% =? 𝛿𝑚𝑖𝑛 =?, 𝛿𝑚𝑎𝑥 =?

Rješenje:

�̅� =𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 + 𝑑4 + 𝑑5

5=

25,64 𝑚 + 27,24 𝑚 + 22,97 𝑚 + 24,32 𝑚 + 27,73 𝑚

5

�̅� = 25,58 𝑚

∆𝑑1 = |𝑑1 − �̅�| = |25,64 𝑚 − 25,58 𝑚 | = |0,06𝑚| = 0,06𝑚

∆𝑑 = |𝑑2 − �̅�| = |27,24 𝑚 − 25,58 𝑚 | = |1,66𝑚| = 1,66𝑚

∆𝑑3 = |𝑑3 − �̅�| = |22,97 𝑚 − 25,58 𝑚 | = |−2,61 𝑚| = 2,61 𝑚

∆𝑑4 = |𝑑4 − �̅�| = |24,32 𝑚 − 25,58 𝑚 | = |−1,26 𝑚| = 1,26 𝑚

∆𝑑5 = |𝑑5 − �̅�| = |27,73 𝑚 − 25,58 𝑚 | = |2,15 𝑚| = 2,15 𝑚

𝛿1 =∆𝑑1

�̅�=

0,06 𝑚

25,58 𝑚= 0,002

𝛿2 =∆𝑑2

�̅�=

1,66 𝑚

25,58 𝑚= 0,065

𝛿3 =∆𝑑3

�̅�=

2,61 𝑚

25,58 𝑚= 0,102

𝛿4 =∆𝑑4

�̅�=

1,26 𝑚

25,58 𝑚= 0,049

𝛿5 =∆𝑑5

�̅�=

2,15 𝑚

25,58 𝑚= 0,084

𝛿1% =∆𝑑1

�̅�∙ 100% =

0,06 𝑚

25,58 𝑚∙ 100% = 0,2%

𝛿2% =∆𝑑2

�̅�∙ 100% =

1,66 𝑚

25,58 𝑚∙ 100% = 6,5%

𝛿3% =∆𝑑3

�̅�∙ 100% =

2,61 𝑚

25,58 𝑚∙ 100% = 10,2%

𝛿4% =∆𝑑4

�̅�∙ 100% =

2,15 𝑚

25,58 𝑚∙ 100% = 4,9%

𝛿5% =∆𝑑5

�̅�∙ 100% =

2,15 𝑚

25,58 𝑚∙ 100% = 8,4%


Najlošije mjerenje: 𝛿𝑚𝑎𝑥 = 𝛿3 = 10,2% (treće mjerenje)

128

Mjerenje 𝑑 [𝑠] ∆𝑑 [𝑠] 𝛿 𝛿%

4. 25,64 0,06𝑚 0,002 0,2%

5. 27,24 1,66 0,065 6,5%

6. 22,97 2,61 0,102 10,2%

7. 24,32 1,26 0,049 4,9%

8. 27,73 2,15 0,084 8,4%

𝑡̅ 25,58


Ponavljam pojam mjerenja, greški pri mjerenju, srednje vrijednosti, apsolutne, relativne i procentualne

greške i relacije za njihovo izračunavanje. Dajem učenicima zadatak za domaću zadaću:

Pri mjerenju temperature izmjerene su sljedeće vrijednosti:

21,5°C, 24°C, 18°C, 20,5°C i 27°C. Naći srednju vrijednost, apsolutne,relativne i procentualne greške,

najbolje i najlošije mjerenje. Izračunate vrijednosti prikazati tabelarno.

Plan table

MJERENJE I GREŠKE MJERENJA Apsolutna greška:

∆𝑥𝑘 = |𝑥𝑘 − 𝑥0|

Srednja vrijednost

�̅� =𝑥1+𝑥2+⋯+𝑥𝑘

𝑘

∆𝑥𝑘 = |𝑥𝑘 − �̅�|

Relativna greška:


�̅�

Procentualna greška:


�̅�∙ 100%

Mj. 𝑑 [𝑠] ∆𝑑 [𝑠] 𝛿 𝛿%

4. 25,64 0,06𝑚 0,002 0,2%

5. 27,24 1,66 0,065 6,5%

6. 22,97 2,61 0,102 10,2%

7. 24,32 1,26 0,049 4,9%

8. 27,73 2,15 0,084 8,4%

𝑡̅ 25,58


Najlošije mjerenje: 𝛿𝑚𝑎𝑥 = 𝛿3 = 10,2% (treće mjerenje)

Zadatak. 𝑑1 = 25,64 𝑚

𝑑2 = 27,24 𝑚

𝑑3 = 22,97 𝑚

𝑑4 = 24,32 𝑚

𝑑5 = 27,73 𝑚

�̅� =?

∆𝑑1 =?, ∆𝑑2 =?, ∆𝑑3 =?,∆𝑑4 =?, ∆𝑑5 =?

𝛿1 =?, 𝛿2 =? , 𝛿3 =?, 𝛿4 =?, 𝛿5 =?

𝛿1% =?, 𝛿2% =? , 𝛿3% =?, 𝛿4% =?, 𝛿5% =? 𝛿𝑚𝑖𝑛 =?, 𝛿𝑚𝑎𝑥 =?

�̅� =𝑑1 + 𝑑2 + 𝑑3 + 𝑑4 + 𝑑5

5

�̅� =25,64 𝑚 + 27,24 𝑚 + 22,97 𝑚 + 24,32 𝑚 + 27,73 𝑚

5

129



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 5.

Nastavna jedinica: Odnos fizike sa drugim naukama, fizika i tehnika




Cilj časa: Opisati međus odnos fizike i drugih, objasniti međuzavisnost fizike i tehnike,

navesti primjere.

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Razumjeti koje prirodne pojave su zajedničke za fiziku i neke druge nauke (na

primjer hemija), međuuslovljenost (fizika atoma kao osnova za hemiju),

shvatiti važnost razvoja tehnike za otkrivanje novih fizikalnih pojava i zakona.

Odgojni zadatak: Uočiti da je fizika prirodna nauka, i kao takva je vezana za ostale prirodne

nauke, prije svega za hemiju, biologiju, astronomiju itd.

Funkcionalni zadatak: Poticati učenike da razvijaju sposobnost promatranja, raspravljanja i

zaključivanja.

Literatura :


130


TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Još jqednom ponavljam osnovne veličine kod analize rezultata mjerenja (apsolutna, relativna i procentualna

greška i srednja vrijednost). Provjeravam da li su učenici znali riješiti zadatak za domaću zadaću, po potrebi

pojašnjavam ono što im bude nedovoljno jasno.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov „Odnos fizike sa drugim

naukama, fizika i tehnika“


Kako smo već ranije govorili, sve prirodne nauke su se izdvojile iz opšte filozofije prirode. Fizika se u

svojem današnjem obliku (tj. kao eksperimentalna nauka) počela razvijati od vremena Galileja Galilea.

Međutim, nije fizika jedina eksperimentalna nauka. Eksperimenti se izvode i u okviru drugih nauka, kao

što je npr. hemija, odnosno u svim prirodnim naukama.Pri tome, fizika nije ni jedina nauka koja se bavi

npr. atomima ili molekulama.

Tim pitanjima bavi se i hemija, odnosno hemija istražuje hemijske veze. To su veze između atoma

u molekulama, vrste tih veza, spojevi koji nastaju pomoću tih veza, njihove osobine i značaj tih osobina za

praktičnu primjenu. Pri tome se hemija bavi rezultatima atomske fizike, zato što se hemijske veze ostvaruju

preko elektrona u vanjskim elektronskim ljuskama atoma koji sudjeluju u hemijskoj vezi.

Od ponašanja elektrona u zadnjoj elektronskoj ljusci, njegove stabilnosti i mogućnosti interakcije

zavisi i vrsta hemijske veze u kojoj navedeni atom može da učestvuje. Nsa primjer, ako je zadnja ljuska

nekog atoma popunjena, taj će atom vrlo teško ili nikako učestvovati u hemijskoj vezi. To je posljedica

fizikalnih zakona za ponašanje i stabilnost elektrona u popunjenoj elektronskoj ljusci, odnosno taj je

elektron mnogo čvršće vezan za ljusku i atom nego kod nepopunjene ljuske. Hemijske veze se, u stvari, i

ostvaruju preko razmjene elektrona u vanjskim ljuskama atoma koji u vezi učestvuju.

Prema tome, ako želimo da detaljno ispitamo kako funkcionišu hemijske veze (što proučava

hemija), moramo dobro poznavati ponašanje elektrona u elektronskim ljuskama (što proučava fizika). Pošto

(svaka na svoj način) proučavaju iste pojave, fizika i hemija se nadopunjuju, jedna drugoj rješavaju

postojeće i pronalaze nove probleme. Tome u prilog ide i jedna grana hemije, koja se naziva fizikalna

hemija, koja je jedna vrsta spoja fizike i hemije (pitati učenike da li im je o tome govorila profesorica

hemije).

Još jedna nauka koja je vezana za fiziku je biologija. Biološki organizmi su materijalna tijela, dakle

to su fizička tijela, i oni se kreću po fizikalnim zakonitostima. Za njih vrijede zakoni kinematike, dinamike

i statike. Živi organizam koristi razne fizikalne mehanizme, kao na primjer sisteme poluga (vilica). Da bi

bolje razumjeli funkcionisanje zglobova potrebno je poznavati osnovne veličine i zakonitosti kod

rotacionog kretanja. Da bi pratili krvotok živog organizma, trebamo poznavati zakone dinamike fluida. Da

bi proučavali nervni sistem moramo poznavati osnovne električne pojave. Dakle, za proučavanje živih

organizama potrebno je poznavati nekoliko grana fizike (ili konsultovati stručnjaka). Pri tome se znaju

pojaviti problemi koji se tek trebaju riješiti u okviru fizike.

Poseban slučaj je fizika u medicini. Otkriće i proučavanje ultrazvuka omogućilo je njegovu

praktičnu primjenu u dijagonostici. Pokazalo se, naime, da se ultrazvuk različito odbija od bolesnih i

zdravih ćelija, što je dovelo do razvoja ultrazvučne dijagnostike. Otkriće rentgenskih zraka je takođe

omogućilo primjenu u dijagnostici. Pokazalo se pogodnim npr. u slučaju povrede ruke propustiti kroz nju

snop rentgenskih zraka, koje različito prodiru kroz različita tkiva (koža, mišići, kosti). Zbog toga na

osjetljivom filmu ostaje otisak na kome se tačno vide položaji kostiju, i lako se može vidjeti da li je neka

kost slomjena, naprsla ili deformisana, i na osnovu toga odrediti terapiju (imobilizacija ili operacija).

131

Još neka otkrića iz fizike su omogućila razvoj tehnologije koja se dosta koristi za dijagnostiku i

liječenje u medicini. Na primjer, laser se efikasno koristi za „operaciju bez noža“, pri čemu se npr. kamen

u bubregu razbija precizno fokusiranom laserskom zrakom.

Prednost ove metode u odnosu na klasičnu je u tome što se pacijent ne „otvara“ radi uklanjanja

kamena iz bubrega, operacija se lakše podnosi, manji su rizici od infekcija i kraći je period oporavka od

operacije. Na sličan način se snopom radioaktivnog zračenja mogu ubijati kancerogene ćelije.

Napravljeni su aparati za snimanje elektrohemijskih impulsa u srcu (EKG – elektrokardiogram) i

mozgu (EEG – elektroencefalogram), aparati za održavanje u životu pacijenata koji su u kritičnom stanju

(kojima je život u velikoj opasnosti ili su u stanju kliničke smrti), CT dijagnostika, itd.

Možda je najveća korelacija između fizike i matematike. Možemo, u stvari, reći da se fizika

najpreciznije objašnjava jezikom matematike. Danas praktično svaki okušaj prezentovanja fizikalnih

zakona pri kojem se izbjegava matematička formulacija dovodi do nepreciznosti, stvaranja pogrešnih

predstava, logičkih greški i proizvoljnog shvatanja, To čak može dovesti i do novih teorija, koji nemaju

dokaza niti utemeljenja niti u logici niti u prirodi oko nas.

Današnja fizika ne bi mogla funkcionisati, a pogotovo se razvijati, bez moćnog i složenog

matematičkog aparata. Pri tome, praktični problemi koji se javljaju u fizici donose najčešće nove izazove

za matematičare (npr. diferencijalni i integralni račun, teorija haosa, fraktalna geometrija,

višedimenzionalni prostori). Matematika i fizika nadopunjuju jedna drugu. Neke fizikalne teorije su

dobijene matematičkim putem i neko (duže ili kraće) vrijeme su postojale samo kao matematički modeli,

dok nisu dokazani ili objašnjeni.

Na primjer, hipoteza kvanta (da se energija može emitovati samo u tačno određenim, a ne bilo

kakvim, iznosima) je uvedena tako da se matematički opis poklopi sa fizikalnim eksperimentom. Tek je

kasnije ta hipoteza obješnjena, tako da se danas razvila u kvantnu teoriju, talnije kvantnu fiziku. Postojanje

tamne materije (materije koja nam nije vidljiva nikakvim današnjim instrumentima, ne samo zbog daljine

nego zboj svoje prirode, koja nije barionska) predviđeno je matematički (Zwicky), u početku odbacivana,

ali je danas opšteprihvaćena. Tamna materija je danas najbolje (ili čak jedino uspješno) bjašnjenje

ponašanja galaksija (u prvom redu njihovo postojanje, jer da nema tamne materije, galaksije bi se razletile

u svim smjerovima, naime one nemaju dovoljno „normalne“ (barionske) mase koja bi ih držala na okupu).

Interesantan je odnos fizike i tehnike. Razvoj fizike kroz historiju omogućio je konstruisanje velikog

broja raznih mašina, koje su čovjeku služile kao pomoć pri radu, transportu, u medicini itd. Osim tih mašina,

razvoj fizike je omogućio i konstruisanje i proizvodnju uređaja za mjerenje (čime se poboljšala preciznost

mjerenja), za posmatranje (teleskop, radio-teleskop, mikroskopi, elektronski mikroskop, sonar, vještački

sateliti, razne sonde itd.). Ovo fizičarima omogućilo da uoče ojave koje ranije nisu mogli da primijete zbog

nesavršenosti posmatranja (udaljeni objekti, mikrokosmos, male razlike u kretanju nebeskih tijela u odnosu

na predviđene putanje, unutrašnjost Zemlje itd.). Kako su otkrivane nove fizičke pojave, to je omogućilo

konstruisanje još boljih i novijih uređaja za mjerenje i posmatranje, što opet dovodi do preciznijeg uvida u

prirodne pojave i novig fizikalnih otkrića.

Otkriča u kvantnoj fizici (ponašanje elektrona) omogućava pojavu sve moćnijih, manjih i jeftinijih

kompjutera, a oni su danas nezamjenjivi za složene proračune potrebne za fiziku (proračune koji bi se ručno

morali raditi godinama, decenijama ili duže, a koji se računarom rade u vremenima reda minuta ili

eventualno sati).


Zaključujemo da fika nije nauka za sebe, nego je vezana sa drugim prirodnim naukama. Osim toga, fizika

je jako vezana za toehnologiju. Dana pravimo veoma moćne mašine (kao što je na primjer LHC – Large

Hadron Collider, veliki hadronski sudarač u CERN-u na Švicarsko-Francuskoj granici) koje su

nezamjenjive u istraživanju strukture prirode, prostora i vremena.

132

Plan table

Odnos fizike i drugih nauka

Fizika i hemija

Atomi i molekule

Hemijske veze

Elektroni, ljuske

Fizikalna hemija

Fizika i biologija

Kretanje živog organizma

Zglobovi

Krvotok

Nervni sistem

Fizika i medicina

Ultrazvuk

Rentgenski zraci

Laser (operacija bez noža)

EKG, EEG

Fizika i matematika

Matematički jezik

Hipoteza kvanta

Tamna materija

Fizika i tehnika

Teleskop

Radio-teleskop

Mikroskop

Sonar

Sateliti

Kompjuteri

LHC

133



Visoko

Predmet : Fizika




Čas : 6.

Nastavna jedinica : Prostor i vrijeme. Mehaničko kretanje.

Tip časa : Obrada novog gradiva

Nastavne metode : Monološka, dijaloška

Oblici rada : Frontalni

Cilj časa :

Razumjeti pojmove prostora i vremena, referenstnog sistema, položaja i kretanja.

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak : Znati pojam referentnog sistema, prostora, vremena, položaja i kretanja

Odgojni zadatak : Razvijati smisao za fizikalni pristup prirodi

Funkcionalni zadatak : Uputiti učenike da razumiju pojam kretanja i relativnosti kretanja

Literatura :



134

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ukratko ponavljam odnos fizike sa drugim naukama, a posebno odnos fizike i tehnike. Pojašnjavam razliku

u pristupu nekoj pojavi u fizici i u tehnici na primjeru mašine (npr. generator/elektromotor, u fizici to u

principu može biti ista mašina, dok se u tehnici razlikuje ubog specifičnosti namjene same mašine,

iskoristivosti, dodatnih detalja koji nisu bitni za samu fizičku pojavu, ali jesu za tehničku izvedbu i uslove

korištenja mašine (npr. zagrijavanje i hlađenje, veličine, namjena itd.)

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa i na vrh table pišem naslov „Prostor i vrijeme. Mehaničko

kretanje.“


Sve fizičke ojave u prirodi posmatramo u nekom prostoru. Prostor je osnovni matematički pojam,

i on se ne može definisati. Međutim, prostor možemo shvatiti kao nešto u čemu posmatramo fizičke pojave.

Da bi ga lakše zamislili, mi ga prikazujemo pravouglim koordinatnim sistemom u prostoru. Kako se dobar

broj kretanja vrši u jednoj ravni (tj. sva kretanja pod uticajem jedne početne sile, kao što su slobodni pad,

vertikalni, horizontalni i kosi hitac, naravno bez silaotpora, vjetra ili drugih uticaja sa strane). Ovaj prostor

ujedno zovemo i Euklidov (ravni) prostor (postoje prostori koji nisu ravni). Euklidov prostor je opisan u

Euklidskoj geometriji (to je standardni prostor koji se uči u osnovnoškolskoj matematici, ništa novo, dakle

ono na šta smo odranije navikli).

Posmatrajući svijet oko sebe zapažamo raznovrsna kretanja. Sunce izlazi i zalazi, ljudi se kreću,

automobil se kreće ulicom. Proučavajući strukturu supstance saznajemo da se i molekuli i atomi kreću, a

takođe i dijelovi atoma. Prema tome, kretanje je jedno od osnovnih svojstava materije.

Pokušajmo odgovoriti na pitanje šta je to kretanje? Ako smo se, na primjer, kretali od kuće do škole

mi smo promijenili svoj položaj u odnosu na zgradu škole. Najjednostavniji odgovor bi bio da je kretanje

promjena položaja tijela u odnosu na neko drugo tijelo. Takvo kretanje se naziva mehaničko kretanje

i predstavlja najprostiji oblik kretanja.

Oblast mehanike koja proučava kretanje, a ne uzima u obzir uzrok kretanja, naziva se kinematika.

U kinematici se tijelo zamjenjuje materijalnom tačkom. Na taj način se pojednostavljuje

proučavanje kretanja. Materijalna tačka je tijelo čije se dimenzije mogu zanemariti u odnosu na dio

prostora u kome se ono kreće. Ako, npr. proučavamo manevrisanje automobila na parkingu, onda

automobil ne možemo smatrati materijalnom tačkom. Ako proučavamo kretanje automobila sa jednog kraja

grada na drugi, onda ga možemo smatrati materijalnom tačkom jer je dužina automobila zanemarljiva u

odnosu na dužinu pređenog puta. I čitava Zemlja se može smatrati materijalnom tačkom, ako se pručava

njeno kretanje oko Sunca.

Prilikom definicije mehaničkog kretanja naglasili smo da je to promjena položaja tijela u odnosu na

druga tijela. Ali koja su to druga tijela? Auto se, npr., kreće u odnosu na zgrade, drveće, itd., tj. u odnosu

na tijela koja miruju na Zemlji. Kada, npr., sjedimo u učionici, kažemo da se ne krećemo. Ali mi znamo da

se čitava zgrada kreće zajedno sa Zemljom oko Sunca. U našem primjeru kažemo da se ne krećemo u

odnosu na zgradu, ali se krećemo u odnosu na Sunce.

Tijelo u odnosu na koje se računa kretanje naziva se poredno tijelo ili tijelo referencije. Neka

na primjer putnik sjedi u autobusu koji se kreće. Ako je tijelo referencije autobus, onda se putnik ne kreće.

Ako je tijelo referencije Zemlja, onda se putnik kreće. U tom smislu kažemo da je kretanje relativno. U

svakodnevnom životu kao tijelo referencije se uzima neka tačka na Zemlji.

135

Položaj nekog tijela u prostoru može biti određen ako se za referentno tijelo veže koordinatni

sistem. Referentno tijelo sa koordinatnim sistemom naziva se referentni sistem.

Tijelu koje se kreće treba odrediti i vrijeme kada je bilo u tom položaju. To su četiri podatka, četiri

koordinate. U tom smislu govorimo o četvorodimenzionalnom prostoru. Pojmove prostor, vrijeme i

supstancu (tvar) ne možemo odvojiti jedne od drugih.

Slika 1. Referentni sistem

Svako kretanje se, dakle, posmatra u nekom referentnom sistemu. Nijedno mirovanje ili kretanje

nije apsolutno. Ako, na primjer, sjedimo u autobusu koji kreće sa stanice, mmi u odnosu na autobus

mirujemo, jer sjedimo na jednom njegovom sjedištu. Ako, na primjer, autobus pređe 100 m, mi smo još

uvijek na istom sjedištu u autobusu, dakle u odnosu na to sjedište nismo prešlli nikakav put.

Slika 1. Na opčetku kretanja Slika 2. Poslije pređenih 100 m

Međutim, ako naš položaj posmatramo u odnosu na autobusku stanicu, mi se (zajedno sa

autobusom) krećemo. Ako autobus pređe 100 m, mi zajedno sa njim pređemo put od 100 m u odnosu na

stanicu, dakle krećemo se.

Isto tako, ako mirujemo na površini Zemlje, mi se (zajedno sa Zemljom) krećemo. Naime, Zemlja

se oko Sunca okreće brzinom od približno 30 km/s, tako da se mi u odnosu na Sunce krećemo brzinom od

oko 30 km/s (iako mirujemo u odnosu na Zemlju). Istovremeno, pošto se Zemlja okreće i oko svoje

zamišljene ose, mi se krećemo i na taj način u odnosu na središte Zemlje. Dakle, čak i dok mirujemo u

odnosu na neku tačku na površini Zemlje (na primjer, dok sjedimo na stolici u učionici), mi u stvari vršimo

složeno kretanje u Sunčevom sistemu. Dodamo li tome da se i Sunce, a sa njim i cijeli Sunčev sistem, kreću

u galaksiji Mliječni Put, zaključujemo da je time naše kretanje još složenije.

Slično tome, ako se na primjer autobus udalji 5 m od stanice, a za isto to vrijeme se mi pomjerimo

5 m prema zadnjem kraju autobusa (tj. u smjeru suprotnom od udaljavanja autobusa od stanice), mi smo u

odnosu na autobus prešli put od 5 m, dok smo u odnosu na autobusku stanicu mirovali.

Sve to ukazuje na sljedeći zaključak:

100 m

136

Ne postoji apsolutno mirovanje niti apsolutno kretanje. Svako mirovanje i svako kretanje je

relativno, i može se posmatrati samo u odnosu na neko tijelo, za koje pretpostavljamo da miruje. To tijelo

nazvaćemo referentno tijelo. Pridružimo li referentnom tijelu neki koordinatni sistem, dobićemo

referentni sistem ili sistem referencije.

Dakle, mi ne možemo tvrditi da bilo šta miruje ili se kreće, već samo da miruje u odnosu na neki

referentni sistem ili se u idnosu na njega kreće. Jedino što možemo sa određenom sigurnošću tvrditi je da

se sve kreće. Na primjeru kretanja po površini Zemje za referentno tijelo ćemo odabrati neku tačku na

površini Zemlje. U slučaju kretanja planeta u Sunčevom sistemu, za referentno tijelo ćemo uzeti Sunce.

Referentno tijelo i referentni sistem biramo tako da nam posmatranje kretanja bude što

jednostavnije. Na primjer, ako osmatramo kretanje Zemlje oko Sunca, jednostavnije nam je da referentno

tijelo bude sunce nego da to bude na primjer središte galaksije Mliječni Put ili da to kretanje posmatramo

u odnosu na planetu Mars. Isto tako, ako posmatramo kretanje Mjeseca oko Zemlje, jednostavnije je to

kretanje posmatrati u odnosu na Zemlju nego u odnosu na Sunce ili u odnosu na Jupiter.


Ponavljam osnovne pojmove u kinematici: pojam prostora i vremena, Euklidov trodimenzionalni prostor,

vrijeme kao parametar, definiciju mehaničkog kretanja, pojam referentnog tijela i referentnog sistema.

Plan table

Prostor i vrijeme. Mehaničko kretanje.

Mehaničko kretanje

Kinematika

Materijalna tačka

Putanja (trajektorija)

Referentno tijelo

Referentni sistem

100 m

137



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 7.

Nastavna jedinica: Putanja, put, pomak, brzina




Cilj časa: Razumjeti pojmove putanje i puta, pomaka i brzine.

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Znati pojam putanje, puta, vremena, brzine i omaka

Odgojni zadatak: Razvijati smisao za fizikalni pristup prirodi

Funkcionalni zadatak: Uputiti učenike da razumiju pojam kretanja i relativnosti kretanja

Literatura :



138

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam sa učenicima osnovne pojmove u kinematici:

Pitanje: Šta je prostor?

Odgovor: Prostor je osnovni pojam i ne definiše se. Pod prostorom podrazumijevamo nešto u čemu

posmatramo sve fizičke pojave, položaj, kretanje ili mirovanje itd.

Pitanje: Na koji način predstavljamo prostor?

Odgovor: Prostor najčešće prikazujemo pravouglim koordinatnim sistemom u prostoru (ili ravni ako su

nam dovoljne dvije koordinatne ose, tj. ako se pojava odigrava u jednoj ravni).

Pitanje: Čemu služi vrijeme?

Odgovor: Vrijeme nam služi da lakše posmatramo promjene (npr. kretanje) i da pri tome odredimo tok te

promjene (u smislu: šta je bilo, šta je sada i šta će biti).

Pitanje: Šta znači da je vrijeme parametar?

Odgovor: Vrijeme je parametar jer položaj, kretanje i uopšte fizičke pojave posmatramo u zavisnosti od

vremena (kažemo da posmatramo npr. kretanje u vremenu, tj. kako se fizičko tijelo kreće tokom vremena)

Pitanje: Šta je materijalna tačka?

Odgovor: Materijalna tačka je svako fizičko tijelo kome su prostorne dimenzije zanemarive u odnosu na

putanju kojom se kreće.

Pitanje: Možete li navesti promjer materijalne tačke?

Odgovor: Na primjer, Zemlja se pri kretanju oko Sunca može smatrati materijalnom tačkom, jer je njena

veličina (poluprečnik oko 6370 km) zanemariva u odnosu na veličinu putanje Zemlje oko Sunca

(prosječna udaljenost Zemlje od Sunca je oko 149 600 000 km)

Najavljuje novu nastavnu jedinicu i cilj časa i na vrh table pišem naslov : „Putanja, put, pomak, brzina“


Kada, npr., vučemo vrh krede po tabli ostaje trag koji pokazuje niz položaja kroz koje je prošla

kreda. Linija koju opisuje tijelo u toku svog kretanja naziva se putanja ili trajektorija. Putanja tijela može

biti prava ili kriva linija. Prema obliku putanje kretanje može biti pravolinijsko i krivolinijsko kretanje.

Najprije ćemo proučavati pravolinijsko kretanje.

Ako želimo opisati neko kretanje potrebno je mjeriti pređeni put i vrijeme kretanja. Prema tome put

i vrijeme su osnovne veličine u kinematici. Dužina puta se obično označava slovom s i mjeri jedinicom za

dužinu (metar – m ). Vrijeme označavamo slovom t i mjerimo jedinicom za vrijeme (sekunda – s, sat – h,

itd.)

SI jedinica za dužinu je metar (m), a za vrijeme sekunda (s) i predstavljaju osnovne SI jedinice. Za

potrebe nauke i tehnike potrebno je precizno definisati osnovne jedinice.

Metar je dužina puta koju svjetlost pređe u vakuumu za vrijeme jednog 299792458-og dijela sekunde.

Sekunda je trajanje 9192631770 perioda zračenja koje odgovaraju prijelazu između dva hiperfina nivoa

osnovnog stanja atoma cezija 133.

Neka se, na primjer, dva učenika kreću od prodavnice P do škole Š.

Jedan je išao putanjom 1 i prešao put s1 a drugi putanjom 2 i prešao put s2. Na slici uočavamo da su ti putevi

različiti po dužini, ali da su se oba učenika jednako "pomakli". Kažemo da je pomak oba učenika jednak.

Prema tome pojmovi put i pomak su različiti fizički pojmovi.

139

Slika 1. Put i pomak

Put se mjeri duž putanje kojom se tijelo kretalo. Prema tome, pređeni put je dužina putanje kojom se tijelo

(o našem slučaju učenik) kretalo od početne do završne tačke (u našem slučaju od prodavnice P do škole

Š). Naša dva učenika su od prodavnice do škole išle različitim putanjama. Te putanje su različite dužine.

Prema tome, jedan učenik je prešao veći, a drugi manji put.

Pomak je vektor koji spaja početnu i krajnju tačku i usmjeren je od početne prema krajnjoj tački.

Iznos pomaka je najkraća udaljenost od početne do krajne tačke, bez obzira kojom se putanjom tijelo

kretalo. U našem slučaju, oba učenika su ostvarili jednake pomake, a to je vazdušno rastojanje između

prodavnice P i škole Š.

Pojam brzine objasnit ćemo na primjeru pravolinijskog kretanja. Neka na primjer atletičar pretrči

stazu dugu 100 m za vrijeme od 10 s. Brzinu atletičara ćemo izračunati ako podijelimo pređeni put sa

vremenom kretanja. Dobijemo podatak da je brzina atletičara 100 m:10 s=10 m/s.

Šta nam znači taj odnos? Sasvim je sigurno da se atletičar u početku kretao sporije, a kasnije brže.

Mi smo u stvari dobili srednju brzinu.

srednja brzina = pređeni put

vrijeme

�̅� =𝑠

𝑡 [

m

s]

Srednja brzina je odnos pređenog puta i vremena trajanja kretanja.

U našem primjeru 𝑣 =𝑠

𝑡=

100 m

10 s= 10

m

s.

SI jedinica za brzinu je m

s (metar u sekundi). U praksi se koristi i jedinica

km

h (kilometar na sat).

U našem primjeru atletičar je u prosjeku svake sekunde prelazio 10 m puta. Da bismo kretanje atletičara

bolje upoznali trebali bi izmjeriti pređeni put u manjim vremenskim intervalima, na primjer svake 2 sekunde

ili svake sekunde. Manje dijelove puta odnosno vremena označavamo velikim grčkim slovom delta ∆, te je

u tom slučaju srednja brzina

�̅� =∆𝑠

∆𝑡

140

Ako je vremenski interval ∆t beskonačno mali, onda pređeni put u tako kratkom vremenskom intervalu

predstavlja trenutnu brzinu v. Trenutna brzina je vektorska veličina te se mora znati njen pravac i smjer.

U praksi se mnogo češće koristi termin trenutna brzina nego srednja brzina. Izostavlja se termin "trenutna"

pa se jednostavno kaže samo brzina. Saobraćajna sredstva imaju ugrađene instrumente (brzinomjere) koji

mjere trenutnu brzinu.

Primjer: Autobus pređe put od Tuzle do Sarajeva, dužine 126 km, za 2,5 sati. Kolika je bila srednja brzina

kretanja autobusa?

Rješenje:

s=126 km

t=2,5 h

v = ?

𝑣 =𝑠

𝑡=

126 km

2,5 h

𝑣 = 50,4 km

h

Da bi izračunali brzinu u metrima u sekundi potrebno je znati da je 1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s.

𝑣 = 50,4 ∙1000 m

3600 s

𝑣 = 14m

s

Primjer 2. Autobus se kreće stalnom brzinom 54 km/h. Za koje vrijeme će preći rastojanje između dva

telefonska stuba koje iznosi 150 m?

Rješenje:

𝑣 = 54km

h

𝑠 = 150 m

𝑡 =?

𝑣 =𝑠

𝑡

𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡

𝑡 =𝑠

𝑣

𝑣 = 54 ∙1000 m

3600 s= 15

𝑚

𝑠

𝑡 =𝑠

𝑣=

150 m

15ms

𝑡 = 10 s

141


Ponavljam osnovne pojmove i veličine kod kretanja, pojam putanje i puta, šta je to pomak i iznos pomaka,

šta je brzina, srednja i trenutna brzina i kako se računaju. Dajem zadatke za dopmaću zadaću:

1. Svjetski rekord u trci na 100 m je 9,83 s, a u trci na 1500 m 3 min i 12 s. Kolika je srednja brzina

trkača u m/s i km/h?

2. Automobil se kreće srednjom brzinom 50 km/h, a biciklista 13 m/s. Koje vozilo ima veću brzinu?

3. Sportski automobil se kreće brzinom 180 km/h, a avion 540 km/h. Kolike su im brzine u m/s?

Plan table

Putanja, put, pomak, brzina

Putanja (trajektorija)

Put (dužina putanje)

s [m] (metar)

Vrijeme

t [s] (sekunda)

Pomak 𝑑 = 𝑃Š⃗⃗ ⃗⃗⃗

Iznos pomaka 𝑑 = 𝑃Š̅̅̅̅ [m]

srednja brzina = pređeni put

vrijeme

�̅� =𝑠

𝑡 [

m

s]

𝑣 =𝑠

𝑡=

100 m

10 s= 10

m

s

�̅� =∆𝑠

∆𝑡

Primjer 1.

s=126 km

t=2,5 h v = ?

𝑣 =𝑠

𝑡=

126 km

2,5 h

𝑣 = 50,4 km

h

𝑣 = 50,4 ∙1000 m

3600 s

𝑣 = 14m

s

Primjer 2.

𝑣 = 54km

h

𝑠 = 150 m

𝑡 =?

𝑣 =𝑠

𝑡 𝑠 = 𝑣 ∙ 𝑡 𝑡 =

𝑠

𝑣

𝑣 = 54 ∙1000 m

3600 s= 15

𝑚

𝑠

𝑡 =𝑠

𝑣=

150 m

15ms

𝑡 = 10 s

142

143



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 8.

Nastavna jedinica: Mehaničko kretanje, putanja, put, pomak, brzina




Cilj časa: Ponoviti pojmove putanje i puta, pomaka i brzine.

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Utvrditi pojam putanje, puta, vremena, brzine i pomaka, produbiti znanje


Funkcionalni zadatak: Uvježbati razne zadatke sa brzinom, putem i pomakom

Literatura :



144

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)


Pitanje: Šta je putanja?

Odgovor: Putanja (trajektorija) je zamišljena linija koja spaja sve položaje tijela pri kretanju.

Ili:

Odgovor: Ako tijelo pri kretanju (npr. kreda na tabli) ostavlja neki trag, taj trag nazivamo putanja

(trajektorija).

Pitanje: Šta je put?

Odgovor: Ukupna dužina putanje od njene početne do završne tačke naziva se put.

Pitanje: Šta je pomak?

Odgovor: Pomak je vektor koji spaja početnu i krajnju tačku i usmjeren je od početne prema krajnjoj

tački.

Pitanje: Šta je izn.os pomaka?

Odgovor: Iznos pomaka je najkraća udaljenost od početne do krajne tačke, bez obzira kojom se putanjom

tijelo kretalo.

Pitanje: Šta je srednja brzina kretanja?

Odgovor: Srednja brzina je odnos pređenog puta i vremena trajanja kretanja.

Pitanje: kako se računa srednja vrijednost brzine?

Odgovor: Srednja brzina se računa po formuli srednja brzina = pređeni put

vrijeme, odnosno �̅� =

𝑠

𝑡.

Pitanje: kako dobijamo trenutnu brzinu?

Odgovor: Za male iznose puta ∆𝑠 i vremena ∆𝑡 srednja brzina se računa po formuli �̅� =∆𝑠

∆𝑡. Ako je

vremenski interval ∆𝑡 beskonačno mali, onda pređeni put u tako kratkom vremenskom intervalu

predstavlja trenutnu brzinu v.

Najavljuje cilj časa i na vrh table pišem naslov : „Putanja, put, pomak, brzina - vježba“


Zadatak 1: Svjetski rekord u trci na 100 m je 9,83 s, a u trci na 1500 m 3 min i 12 s. Kolika je srednja

brzina trkača u m/s i km/h?

Rješenje:

𝑠1 = 100 m 𝑡1 = 9,83 s 𝑠2 = 1500 m 𝑡2 = 3 min 12 s 𝑣1̅̅ ̅ = ?

𝑣2̅̅ ̅ = ?

𝑣1̅̅ ̅ =𝑠1

𝑡1=

100 m

9,83 s

𝑣1̅̅ ̅ = 10,17m

s

𝑣1̅̅ ̅ = 10,17

1∙ 1000 km

13600 h

= 10,17 ∙3600

1000

km

h= 10,17 ∙ 3,6

km

h

145

𝑣1̅̅ ̅ = 36,61km

h

Da bi izračunali brzinu u metrima u sekundi potrebno je znati da je 1 km = 1000 m, 1 h = 3600 s.

𝑣 = 50,4 ∙1000 m

3600 s

𝑣 = 14m

s

Primjer 2. Automobil se kreće srednjom brzinom 50 km/h, a biciklista 13 m/s. Koje vozilo ima veću

brzinu?

Rješenje:

1

2

1

1

km50

h

m13

s

m ?

s

10 0050

v

v

v

v

m

36 00

1

1

1 2

s

500 m

36s

m13,89

s

v

v

v v




1. ?


Plan table

Mehaničko kretanje, putanja, put, pomak, brzina

Zadatak 1.

𝑠1 = 100 m 𝑡1 = 9,83 s 𝑠2 = 1500 m 𝑡2 = 3 min 12 s 𝑣1̅̅̅ = ?

𝑣2̅̅ ̅ = ?

𝑣1̅̅̅ =𝑠1

𝑡1

=100 m

9,83 s

𝑣1̅̅̅ = 10,17m

s

𝑣1̅̅̅ = 10,17

1∙ 1000

km

13600

h

v = 10,17 ∙3600

1000

km

h

v = 10,17 ∙ 3,6km

h

𝑣1̅̅̅ = 36,61km

h

𝑣 = 50,4 ∙1000 m

3600 s

𝑣 = 14m

s

Zadatak 2.

1

2

1

1

km50

h

m13

s

m ?

s

10 0050

v

v

v

v

m

36 00

1

1

1 2

s

500 m

36s

m13,89

s

v

v

v v

146

147



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 9.

Nastavna jedinica: Ubrzanje

Tip časa: Obrada



Cilj časa: Upoznati pojam ubrzanja i ubrzanog kretanja

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Znati pojam ubrzanja, šta znači pozitivno i negativno ubrzanje


Funkcionalni zadatak: Uputiti učenike da razumiju pojam kretanja i relativnosti kretanja

Literatura :



TOK ČASA

148

Uvodni dio (5 min.)


Pitanje: Šta je putanja?

Odgovor: Putanja (trajektorija) je zamišljena linija koja spaja sve položaje tijela pri kretanju.

Ili:

Odgovor: Ako tijelo pri kretanju (npr. kreda na tabli) ostavlja neki trag, taj trag nazivamo putanja

(trajektorija).

Pitanje: Šta je put?

Odgovor: Ukupna dužina putanje od njene početne do završne tačke naziva se put.

Pitanje: Šta je pomak?

Odgovor: Pomak je vektor koji spaja početnu i krajnju tačku i usmjeren je od početne prema krajnjoj

tački.

Pitanje: Šta je izn.os pomaka?

Odgovor: Iznos pomaka je najkraća udaljenost od početne do krajne tačke, bez obzira kojom se putanjom

tijelo kretalo.

Pitanje: Šta je srednja brzina kretanja?

Odgovor: Srednja brzina je odnos pređenog puta i vremena trajanja kretanja.

Pitanje: kako se računa srednja vrijednost brzine?

Odgovor: Srednja brzina se računa po formuli srednja brzina = pređeni put

vrijeme, odnosno �̅� =

𝑠

𝑡.

Pitanje: kako dobijamo trenutnu brzinu?

Odgovor: Za male iznose puta ∆𝑠 i vremena ∆𝑡 srednja brzina se računa po formuli �̅� =∆𝑠

∆𝑡. Ako je

vremenski interval ∆𝑡 beskonačno mali, onda pređeni put u tako kratkom vremenskom intervalu

predstavlja trenutnu brzinu v.

Najavljuje cilj časa i na vrh table pišem naslov : „Putanja, put, pomak, brzina - vježba“


Vidjeli smo da je kod ravnomjernog pravolinijskog kretanja brzina stalna. Međutim u praksi se rijetko

susrećemo sa takvim kretanjem. Na primjer, automobil se kreće nekom stalnom brzinom. Ispred semafora,

na kojem je upaljeno "crveno" svjetlo, počne smanjivati brzinu i na kraju se zaustavi. Kada se upali "zeleno"

počne povećavati brzinu, itd. Kretanje kod kojeg se brzina mijenja tokom vremena naziva se promjenljivo

kretanje.

Za opisivanje promjenljivog kretanja uvodimo veličinu koja se zove ubrzanje ili akceleracija. Označava se

sa a. Ona karakteriše svaku promjenu brzine u datom vremenskom intervalu.

Brzina je vektorska veličina i ona se mijenja bilo promjenom iznosa, bilo promjenom pravca. (J ovom

poglavlju govorićemo o promjeni intenziteta (iznosa) brzine kod pravolinijskog kretanja. Ubrzanje koje

potiče od promjene iznosa brzine naziva se tangencijalno ubrzanje.

Na primjer, pri kupovini automobila na prospektu čitamo podatke o ubrzanju koji može postići automobil.

Kada automobil pođe iz stanja mirovanja on može postići brzinu od 30 m/s, za 12 s. Ubrzanje ćemo

izračunati ako podijelimo promjenu brzine automobila sa vremenom za koje se dogodila ta promjena:

promjena brzine

ubrzanjevrijeme

v

at

Mjerna jedinica za unrzanje je

149

2

m

m ms

s s s s

Ubrzanje je odnos promjene brzine i vremena, u toku kojeg je brzina promijenjena.

Gornja relacija predstavlja srednje ubrzanje. Ako bi vremenski interval, u toku kojeg se promjenila brzina,

bio beskonačno mali, onda bi imali trenutno ubrzanje . U našem primjeru srednje ubrzanje je

2

m m30 0

s s

12s

m2,5

s

a

a

t

v

Slika 1.

Ukoliko bi se intervali vremena ∆t smanjivali, razlika između srednjeg i trrenutnog ubrzanja bi bila sve

manja. Za dovoljno malo ∆t srednje ubrzanje prelazi u trenutno ubrzanje. Prema tome, relacija

v

at

predstavlja formulu za računanje trenutnog ubrzanja ako je ∆t veoma malo (kažemo, beskonalno malo).

Promjenjivo kretanje biće:

1. Ubrzano u intervalima vremena u kojima je 0a

2. Usporeno u intervalima vremena u kojima je 0a

3. Ravnomjerno u intervalima vremena u kojima je 0a

Najjednostavnije promjenjivo kretanje je jednakopromjenjivo kretanje. Kod takvog kretanja ubrzanje je

konstantno, odnosno brzina se u svakom intervalu vremena mijenja za isti iznos. U tom slučaju,

ravnomjerno promjenjivo kretanje biće:

1. Jednakoubzano ako je 0a

2. Jednakousporeno ako je 0a

3. Ravnomjerno ako je 0a

Primjer:

Automobil se kreće brzinom 18 km/h. Vozač "doda gas" i automobil za 5 s dobije brzinu 54 km/h. Koliko

je ubrzanje automobila? Smatrati da se automobil ravnomjerno ubrzava.

Rješenje:

150

1

2

2 1

2

km 1000 m m18 18 5

h 3600s s

km 1000 m m54 54 15

h 3600s s

5s

?

m m15 5

s s

5s

m2

s

v

v

t

a

v vva

t t

a

a




4. Automobil se kreće srednjom brzinom 72 km/h, i onda počne da ravnomjerno koči. Koliko mu je

usporenje ako se zaustavi poslije 6 s kočenja?

Plan table

Ubrzanje

1. 0a - ubrzano

2. 0a - usporeno

3. 0a - ravnomjerno

promjena brzineubrzanje

vrijeme

va

t

2

m

m ms

s s s s

2

m m30 0

s s

12s

m2,5

s

a

a

t

v

1

2

2 1

2

Primjer:

km 1000 m m18 18 5

h 3600s s

km 1000 m m54 54 15

h 3600s s

5s

?

m m15 5

s s

5s

m2

s

v

v

t

a

v vva

t t

a

a

151



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 10.

Nastavna jedinica: Pravolinijsko kretanje




Cilj časa: Upoznati učenike sa osnovnim pojmovima u kinematici i osnovnim oblicima

kretanja

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Shvatiti da su tijela izgrađena od tvari u različitim agregacijskim stanjima, da

imaju oblik i da zauzimaju prostor.




Literatura :



152

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)




„Prostor i vrijeme. Pravolinijsko kretanje“


Mehaničko kretanje predstavlja promjenu položaja tijela u odnosu na neko drugo tijelo. Tijelo u odnosu

na koje posmatramo kretanje, naziva se referentno tijelo. Za određivanje trenutnog položaja tijela

primjenjuje se i metod koordinata. U tu svrhu za referentno tijelo se "vezuju" tri međusobno okomite ose

(x, y, z). Ovakav sistem se naziva referentni sistem. Za proučavanje kretanja na Zemlji obično se koristi

referentni sistem vezan za neku tačku na Zemlji, za proučavanje kretanja planeta kao referentno tijelo se

uzima Sunce, itd.

Materijalna tačka je tijelo čije su dimenzije zanemarljivo male u odnosu na dio prostora u kojem se ono

kreće.

Veličine koje karakterišu fizičke pojave ili određuju svojstvo supstance nazivaju se fizičke veličine. Svaka

fizička veličina ima brojnu vrijednost i odgovarajuću jedinicu. Na II Generalnoj konferenciji za mjere i

tegove, održanoj 1960. godine u Parizu, prihvaćen je Međunarodni sistem jedinica, skraćeno SI. On se

sastoji od sedam osnovnih jedinica za sedam osnovnih fizičkih veličina. Te jedinice su međusobno

povezane i obuhvaćaju sva područja nauke i tehnike.

U fizici se susrećemo sa dva tipa fizičkih veličina: skalame i vektorske. Skalame veličine su potpuno

određene brojnom vrijednošću i mjernom jedinicom. Takve veličine su naprimjer. temperatura, masa,

vrijeme, itd. Vektorske veličine, pored brojne vrijednosti, određene su pravcem i smjerom. Takve veličine

su naprimjer: brzina, ubrzanje, sila, itd. Vektorske veličine se grafički predstavljaju pomoću orijentiranih

duži ili vektora. Smjer vektora (označen strelicom) pokazuje smjer fizičke veličine, a njegova dužina je

mjera intenziteta te veličine.

Posmatrajući svijet oko sebe zapažamo raznovrsna kretanja. Sunce izlazi i zalazi, automobil se kreće

ulicom, ljudi se kreću, površina jezera se talasa. Proučavajući supstancu od koje je građen svijet oko nas,

saznajemo da se molekuli supstance kreću. I dijelovi molekula - atomi se kreću, a također i dijelovi atoma.

Pokušaj odgovora na pitanje što je kretanje, dovest će nas do objašnjenja daje to promjena položaja u odnosu

na druga tijela za koja pretpostavljamo da su nepokretna. Ali, koja su to nepokretna tijela? Nalazimo se u

učionici i smatramo zidove nepokretnim. Ali mi znamo da se čitava zgrada kreće zajedno sa Zemljom koja

je u stalnom kretanju oko svoje ose i oko Sunca. Međutim, u običnom životu kao tijelo u odnosu na koje se

računa kretanje, odnosno tijelo referencije, uzima se neka tačka na Zemlji. U tom smislu govorimo o relativnosti

kretanja.

Kretaje se može podijeliti na sljedeće načine:

1. Pravolinijsko translatorno) i kružno (rotaciono, obrtno)

2. Ravnomjerno i promjenjivo

Opišimo kretanje autobusa, na primjer, od Tuzle do Gradačca. Prije svega interesira nas kolika je dužina

puta. Na brojaču smo pročitali da je autobus prešao 60 km. Zatim nas interesira vrijeme za koje je autobus

prešao taj put. Izmjerili smo vrijeme koje je iznosilo 1,5 sat. Kako ćemo izračunati brzinu kojom se kretao

autobus? Podijelit ćemo pređeni put sa proteklim vremenom,

153

brzina = pređeni put

vrijeme=

60 km

1,5 h= 40

km

h

Dobili smo srednju brzinu. To ne znači da se autobus čitavo vrijeme kretao istom brzinom. Negdje se kretao

brže, negdje sporije. Da smo mjerili puteve u kraćim vremenskim intervalima dobili bismo preciznije

podatke o kretanju. U fizici se male veličine, odnosno male razlike, označavaju sa grčkim slovom delta A,

pa je u takvom slučaju srednja brzina

s

vt

Ako vremenski interval učinimo neizmjerno malim, onda svakom vremenskom intervalu odgovara trenutna

brzina koju označavamo sa v. Kada je trenutna brzina stalna i kada je kretanje pravolinijsko, onda takvo

kretanje zovemo jednako pravolinijsko. Tada tijelo u jednakim vremenskim intervalima prelazi iste dužine puta,

tj.

s

vt

Kretanje je jednako pravolinijsko ako je vektor brzine

s .v con t

SI jedinica za mjerenje brzine je m/s. Koristi se u praksi i jedinica km/h. Evo nekoliko primjera za brzine:

pješak 1,4 m/s (5 km/h), automobil 20 m/s (72 km/h), avion 222 m/s (800 km/h), zvuk u zraku 340 m/s

(1225 km/h), vještački Zemljin satelit 8 km/s (28000 km/h).

Zamislimo da se nalazimo u automobilu koji se kreće po pravom putu i svake minute čitamo na brojaču put

u kilometrima (slika 1.).

Kada se brzina tijela u toku vremena mijenja, onda je to promjenljivo kretanje. Neka se naš automobil kreće

tako da stalno povećava brzinu (slika 2.). Zapažamo da svake naredne sekunde automobil prelazi sve veći

put, što znači da mu se povećava brzina.

Slika 2.

Ako promjenu intenziteta brzine Av podijelimo sa odgovarajućim vremenskim, intervalom ∆t, dobićemo

srednje ubrzanje ili akceleraciju.

v

at

Ako je za svo vrijeme kretanja promjena brzine bila stalna, onda se takvo kretanje zove jednakoubrzano. U

našem primjeru je za vrijeme od 3 s priraštaj brzine 6 m/s, te je ubrzanje

2

m6

ms 23s s

va

t

To znači da se svake sekunde brzina povećava za 2 m/s. Poslije prve sekunde brzina je bila 2 m/s, poslije

druge sekunde 4 m/s i poslije treće sekunde 6 m/s. U našem primjeru početna brzina jednaka je nuli, pa je

brzina poslije vremena t,

154

v a t Prema brzini kretanje može biti ravnomjerno i promjenljivo. Kod ravnomjernog kretanja brzina se ne mijenja u

toku vremena, a kod promjenljivog mijenja.

Najprostiji slučaj kretanja imamo kada se tijelo kreće po pravoj liniji stalnom brzinom. Takvo kretanje se zove

ravnomjerno pravolinijsko kretanje.

Slika 1.

Na slici 1. automobil svake sekunde pređe istu dužinu puta, 15 m. Kažemo da za iste vremenske intervale prelazi

iste dužine puta. Nije teško izračunati da je brzina kretanja stalna i iznosi 15 m/s. Brzina kod ravnomjernog

pravolinijskog kretanja, jednaka je pređenom putu u jedinici vremena,

s

vt

Pređeni put kod ravnomjernog pravolinijskog kretanja jednak je proizvodu brzine i vremena kretanja,

s v t

Kod ravnomjernog pravolinijskog kretanja trenutna brzina jednaka je srednjoj brzini i ne mijenja se u toku

vremena, v = const. Bilo koji interval dužine puta kada podijelimo sa vremenom za koje je taj put preden

dobit ćemo uvijek isti iznos

Pređeni put kod ravnomjernog pravolinijskog kretanja može se naći i grafički. Na slici 2. predstavljena je

zavisnost brzine od vremena kretanja automobila sa slike 1. Na horizontalnu osu pravouglog koordinatnog

sistema nanosimo vrijeme kretanja t, a na vertikalnu brzinu v. U našem primjeru brzina je ista u svakom

trenutku i iznosi v=15 m/s. Dijagram je prava linija paralelna sa t-osom.

Slika 2.

Sa grafika brzine je moguće očitati pređeni put s u toku nekog vremenskog intervala. On je brojno jednak

površini pravougaonika (šrafirana površina) čije su stranice date vremenskim intervalom t i brzinom v. U

našem primjeru iznos šrafirane površine je

ms 15 4s 60m

sv t

Koristeći podatke, sa slike 1. možemo nacrtati i grafik puta kod ravnomjernog pravolinijskog kretanja. Na

horizontalnu osu nanosimo vrijeme kretanja automobila t, a na vertikalnu osu pređeni put s (slika 3.).

Pređeni put ravnomjerno raste sa vremenom. Grafik puta je prava linija čiji nagib je veći što je brzina

kretanja veća.

155

Slika 3.

Vidjeli smo da je kod ravnomjernog pravolinijskog kretanja brzina stalna. Međutim u praksi se rijetko

susrećemo sa takvim kretanjem. Na primjer, automobil se kreće nekom stalnom brzinom. Ispred semafora,

na kojem je upaljeno "crveno" svjetlo, počne smanjivati brzinu i na kraju se zaustavi. Kada se upali "zeleno"

počne povećavati brzinu, itd. Kretanje kod kojeg se brzina mijenja tokom vremena naziva se promjenljivo

kretanje.

Za opisivanje promjenljivog kretanja uvodimo veličinu koja se zove ubrzanje ili akceleracija. Označava se

sa a. Ona karakteriše svaku promjenu brzine u datom vremenskom intervalu.

Brzina je vektorska veličina i ona se mijenja bilo promjenom iznosa, bilo promjenom pravca. (J ovom

poglavlju govorićemo o promjeni intenziteta (iznosa) brzine kod pravolinijskog kretanja. Ubrzanje koje

potiče od promjene iznosa brzine naziva se tangencijalno ubrzanje.

v

at

Na primjer, pri kupovini automobila na prospektu čitamo podatke o ubrzanju koji može postići automobil.

Kada automobil pođe iz stanja mirovanja on može postići brzinu od 30 m/s, za 12 s. Ubrzanje ćemo

izračunati ako podijelimo promjenu brzine automobila sa vremenom za koje se dogodila ta promjena:

Dobijarije jednačina za brzinu i pređeni put kod promjenljivog kretanja nije jednostavno. Zbog toga ćemo

se u daljem izlaganju zadržati samo na analizi pravolinijskih kretanja kod kojih se iznos brzine ravnomjerno

mijenja. Takvo kretanje se zove ravnomjerno promjenljivo pravolinijsko kretanje i kod takvog kretanja je

ubrzanje stalno, a=const.

Takvo kretanje može biti ravnomjerno ubrzano i ravnomjerno usporeno. Kad se brzina ravnomjerno povećava,

onda je kretanje ravnomjerno ubrzano. Kad se brzina ravnomjerno smanjuje, onda je kretanje ravnomjerno

usporeno.

Kod ravnomjerno promjenljivog kretanja izraz za ubrzanje možemo pisati u obliku

0v va

t

gdje je: v0 početna brzina, v brzina poslije vremenskog intervala t.

Izračunavanje brzine i pređenog puta kod ravnomjerno promjenljivog kretanja počet ćemo od ravnomjerno

ubrzanog kretanja bez početne brzine. Pogledajte sliku 4. Automobil počinje da se kreće ravnomjerno ubrzano iz

stanja mirovanja. Kažemo da mu je početna brzina bila jednaka nuli. Uočavamo da se svake sekunde brzina

automobila poveća za 2 m/s. Takođe uočavamo da svake naredne sekunde automobil prelazi sve veći i veći

put.

Slika 4.

Pošto je početna brzina automobila bila jednaka nuli (v0=0), onda izraz za ubrzanje možemo pisati u obliku

0v v

at t

odakle je, v at

odnosno brzina kretanja automobila ravnomjerno raste sa vremenom.

Put kod ravnomjerno ubrzanog kretanja, bez početne brzine, može se jednostavno izračunati grafički.

Konstruisat ćemo grafik brzine kretanja automobila na slici 1.4. Nanosimo podatke za brzinu automobila

u toku prve tri sekunde kretanja. Grafikon brzine je prava linija čiji je nagib veći što je ubrzanje veće

(slika 5.).

156

Slika 5.

Na slici 3., u poglavlju o ravnomjernom pravolinijskom kretanju, saznali smo da površina ispod grafikona

brzine predstavlja pređeni put. Isto tako i površina ispod grafikona, na slici 5. predstavlja pređeni put. To je površina

pravouglog trougla čije su stranice v i t

s2

v t

Ako uvrstimo izraz za brzinu v=at , onda je pređeni put kod ravnomjerno ubrzanog kretanja, bez početne

brzine

s2

a t t

2

s2

a t

Pređeni put kod ravnomjerno ubrzanog kretanja raste sa kvadratom proteklog vremena.


Ponavljam pojam pravolinijskog kretanja, ravnomjernog i promjenjivog pravolinijskog kretanja i

jednačine kretanja. Dajem zadatke za domaću zadaću (zbirka, str. 16., zad. 2.1.,2.2. i 2.2.a)

Plan table

Pravolinijsko kretanje

Domaća zadaća

Strana 17.

Zadaci 1.,2.,3.

sv

t

s .v con t

va

t

2

m6

ms 23s s

va

t

v a t

157



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 11.

Nastavna jedinica: Pravolinijsko kretanje




Cilj časa: Ponoviti osnovne pojmove u kinematici i osnovne oblike kretanja

Zadaci časa:






Literatura :



158

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)




„Pravolinijsko kretanje - vježba“


Poslije kratkog ponavljanja gradiva naučenog na prošloom času, učenicima zadajem zadatke za

uvježbavanje:

1. Svjetski rekord u trci na 100 m je 9,83 s, a u trci na 1500 m 3 min i 12 s. Kolika je srednja brzina

trkača u m/s i km/h?


3. Sportski automobil se kreće brzinom 180 km/h, a avion 540 km/h. Kolike su im brzine u m/s?

4. Od trenutka kada vozač primijeti opasnost pa do reagovanja prođe u prosjeku 0,5 s. Koliki put pređe

automobil za to vrijeme ako se kreće brzinom 60 km/h?

5. Od trenutka kada se vidi munja do trenutka kada se čuje udar groma protekne 6 s. Koliko je udaljeno

mjesto udara groma od posmatrača? Za brzinu zvuka u vazduhu uzeti 340 m/s.

6. Automobil se kreće brzinom 18 km/h. Vozač "doda" gas i brzina se ravnomjerno poveća na 54 km/h

u toku 5 s. Odredi:

a) ubrzanje automobila;

b) put koji je prešao za to vrijeme,

c) Ako je vozač, umjesto pedale za gas, u trenutku kada je automobil imao brzinu 18 km/h,

pritisnuo kočnicu i pri tome se ravnomjerno zaustavljao 5 s, koliki je put prešao do

zaustavljanja?

Rješenja zadataka:

1.

1

1

2

2

1

2

11

1

1

1

1

1

s 100 m

9,83s

s 1500 m

3min12s 192s

?

?

s

100 m

9,83s

m10,17

s

1km

100010,171

s3600

km10,17 3,6

h

t

t

v

v

vt

v

v

v

v

159

1

22

2

2

2

2

2

km36,61

h

s

1500 m

192s

m7,81

s

km7,81 3,6

h

km28,12

h

v

vt

v

v

v

v

2.

1

2

m1

s

1

1

1 2

km50

h

m13

s

?

1000 m50

3600s

m13,89

s

Brže se kreće autobus.

v

v

v

v

v

v v

3.

1

2

m1

s

m2

s

1

1

2

2

km180

h

km540

h

?

?

1 m180

3,6 s

m50

s

1 m540

3,6 s

m150

s

v

v

v

v

v

v

v

v

160

4.

0,5s

km m60 16,67

h s

s ?

s

ms 16,67 0,5s

s

s 8,33m

t

v

v t

5.

6s

m340

s

s ?

s

ms 340 6s

s

s 2040 m

t

v

v t

6.

0

1

0

2

2

2

2

0 01

km m18 5

h s

km m54 15

h s

5s

) ?

) s ?

) s ?

)

m m15 5

s s

5s

m2

s

) s2

m2 5s

ss2

s 25m

0)

v

v

t

a a

b

c

v vva a

t t

a

a

a tb

v vc a

t t

161

1

1 2

2

11

2

2

1

1

m5

s

5s

m1

s

s2

m1 5s

ss2

s 12,5m

a

a

a t


Ponavljam pojam pravolinijskog kretanja, ravnomjernog i promjenjivog pravolinijskog kretanja i

jednačine kretanja. Dajem zadatke za domaću zadaću (zbirka, str. 16., zad. 2.3.,2.4. i 2.5.)

Plan table

Pravolinijsko kretanje

Domaća zadaća

Strana 16.

Zadaci 2.1.,2.2.,2.2.a.

1

1

2

2

1

2

11

1

1

1

1.

s 100 m

9,83s

s 1500 m

3min12s 192s

?

?

s

100 m

9,83s

m10,17

s

t

t

v

v

vt

v

v

1

1

1

22

2

2

2

1km

100010,171

s3600

km10,17 3,6

h

km36,61

h

s

1500 m

192s

m7,81

s

v

v

v

vt

v

v

2

2

1

2

m1

s

1

km7,81 3,6

h

km28,12

h

2.

km50

h

m13

s

?

1000 m50

3600s

v

v

v

v

v

v

1

1 2

1

2

m1

s

m2

s

m13,89

s

Brže se kreće autobus

3.

km180

h

km540

h

?

?

v

v v

v

v

v

v

1

1

2

2

1 m180

3,6 s

m50

s

1 m540

3,6 s

m150

s

v

v

v

v

162

163



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 12.

Nastavna jedinica: Ravnomjerno kretanje po kružnici Tip časa: Obrada novog gradiva



Cilj časa: Upoznati učenike sa osnovnim veličinama kod kružnog kretanja

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Upoznati učenike sa pojmom kruđnog kretanja, linijskom i ugaonom brzinom


Funkcionalni zadatak: Naučiti izračunavati linijsku i ugaonu brzinu kod kružnog kretanja, izračunati

brzine kretanja nekih tijela (npr. zemlje okom Sunca)

Literatura :



164

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam pojam prostora i vremena, pojam mehaničkog kretanja, relativnost kretanja, pravolinijsko

kretanje, ravnomjerno i jednakopromjenjivo pravolinijsko kretaje.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cpilj časa. Na vrh table pišem naslov „Ravnomjerno kretanje o

kružnici“


Kretanje kod kojeg je putanja tijela kružnica i kod kojeg se ne mijenja iznos brzine naziva se

ravnomjerno kretanje po kružnici. To je jedno od najvažnijih krivolinijskih kretanja. Tako se npr.

približno kreću planete oko Sunca, elektroni oko jezgra atoma, dijelovi rototra mašine, itd.

Na slici 1. prikazano je kretanje materijalne tačke po kružnici. Pravac brzine u svakoj tački ima pravac

tagente na kružnicu u toj tački. Iznos (intenzitet) brzine je stalan: 1 2v v . Brzina v se naziva

tangencijalna ili linijska brzina.

Ravnomjerno kretanje po kružnici spada u periodična kretanja koja se ponavljaju poslije određenog

vremena. Vrijeme trajanja jednog obrtaja je period T. Za vrijeme od jednog obrtaja tijelo pređe put

jednak obimu kruga 2r , te je linijska brzina

2r

vT

Period možemo izračunati ako izmjerimo vrijeme (t) za koje tijelo napravi N punih krugova:

t

TN

Broj obrtaja u jednoj sekundi naziva se frekvencija obrtanja

N

ft

Odavde je jasno da je

1 1

;f TT f

Ugaonu brzinu dobijemo ako ugao koji pri kretanju prebriše poluprečnik podijelimo sa vremenom

t

Ugaona brzina može se još naći i iz relacija

2

T

165

i

2 f

Dok linijska brzina zavisi od udaljenosti od centra rotacije (tj. od poluprečnika r), ugaona brzina ne zavisi

od te udaljenosti.

Zadatak. 1. Izračunati brzinu kretanja Zemlje oko sunca. Prosječna udaljenost Zemlje od Sunca je

150 000 000 km, a period rotacije je 1 god.

Rješenje:

8 11150000000 km 1,5 10 km 1,5 10 m

1god 365 24 3600s

?

r

T

v

11

2

2 1,5 10 m

365 24 3600

m29885

s

km30

s

rv

T

v

v

v

Zadatak 2. Dva tijela okreću se oko istog centra rotacije, sa periodom od 25 s. Jendo tijelo je udaljeno 8

m, a drugo 6 m od centra rotacije. Naći im linijske i ugaone brzine.

Rješenje:

1

2

1

2

1

2

25s

8m

6 m

?

?

?

?

T

r

r

v

v

11

2 2 8m m2,01

25s s

rv

T

22

2 2 6m m1,51

25s s

rv

T

1

2 2 rad0,25

25s sT

2

2 2 rad0,25

25s sT

1 2v v

1 2

166


Ponavljam osnovne veličine kod rotacionog kretanja, linijsku i ugaonu brzinu, formule za njihovo

računanje, zavisnost od udaljenosti od centra rotacije. Dajem zadatak za domaću zadaću:

Tri tijela se okreću oko zajedničkog centra rotacije na udaljenostima 15 m, 20 m i 25 m. Kolike su im

linijske i ugaone brzine ako je period rotacije 6 s?

Plan table

Naslov

2rv

T

tT

N

Nf

t

1

1

fT

Tf

t

2 f

11

1.

150000000 km 1,5 10 m

1god 365 24 3600s

?

r

T

v

11

2

2 1,5 10 m

365 24 3600

m29885

s

km30

s

rv

T

v

v

v

1

2

1

2

1

2

2.

25s

8m

6 m

?

?

?

?

T

r

r

v

v

11

2 2 8m m2,01

25s s

rv

T

22

2 2 6m m1,51

25s s

rv

T

1

2 2 rad0,25

25s sT

2

2 2 rad0,25

25s sT

1 2v v

1 2

167

Fizika – drugi razred mašinski tehničari

168

169



Visoko

Predmet : Fizika


Razred : II mašinski tehničari


Čas: 1.






Zadaci časa:


drugog razreda



Literatura :

„Fizika za drugi razred srednjih škola“, dr Ahmed Čolić

„Zadaci i ogledi iz fizike za drugi razred srednjih škola“, dr. Ahmed Čolić, Bego Mehurić

170

TOK ČASA

Uvodni dio (3 min.)




Ukratko učenike upoznajem sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi fizike u drugom

razredu mašinske struke. Učenicima predlažem da sa table prepišu kratki pregled oblasti koje su predviđene

Nastavnim planom i programom za prvi razred mašinske tehničke škole, kako bi kasnije mogli (pri

kupovanju udžbenika i zbirke) provjeriti da li im udžbenik i zbirka odgovaraju.

Prva oblast sa kojom će se susresti u drugom razredu je akustika, tj. nauka o zvuku. Tu će se upoznati

sa zvukom kao mehaničkim talasom, njegovim osobinama i primjenama.

Zatim prelazimo na nauku o elektricitetu, i to najprije na elektrostatiku. Elektrostatika je dio fizike

koji proučava naelektrisanja u mirovanju. U okviru ove oblasti upoznaćemo osnovne veličine i zakone

vezane ua električne pojave. To će ujedno i biti uvod u elektrodinamiku.

Elektrodinamika je dio fizike koji proučava naelektrisanja u pokretu, odnosno električnu struju.

Proučavaćemo istosmjernu i naizmjeničnu struju, osobine i primjenu istosmjerne i naizmjenične struje,

osnovne zakone i pravila za kolo istosmjerne i naizmjenične struje, međuzavisnost električnih i magnetnih

pojava, elektromagnetnu indukciju, električne mašine i njihovu primjenu.

Sljedeća oblast je optika. Tu ćemo proučavati osnove talasne optike, isterferenciju, difrakciju,

polarizaciju i disperziju svjetlosti. Zati ćemo ukratko govoriti o čestičnim pojavama kod svjetlosti, kao što

je fotoelektrični efekat.

Zatim prelazimo na fiziku atoma, modele atoma, energetske nivoe i kvantne brojeve,

supravodljivost, spektre i spektroskopiju. Poslije toga proučavamo građu atomske jezgre, radioaktivnost,

nuklearne reakcije i njihovu primjenu.

Poslije toga ćemo se malo osvrnuti na dualnu prirodu materije, talase materije, princip

neodređenosti. Poslije toga čemo još malo govoriti o svemiru, njegovom sastavu, svemirskim tijelima,

postanku i razviju svemira, teoriji velikog praska tamnoj i degenerisanoj materiji.

U toku školske 2010/11 godine učenici će imati i dvije školske pismene zadaće, koje će se raditi u

decembru i maju, a biće blagovremeno najavljene. Osim toga, učenici će imati nekoliko kontrolnih radova,

koji ne moraju biti najavljeni.


Zaključićemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program fizike za drugi razred mašinske tehničke škole,

najbolje odgovara udžbenih „Fizika za drugi razred srednjih škola“, autor dr. Ahmed Čolić, i „Zbirka ogleda

i zadataka iz fizike za drugi razred srednjih škola“, autori dr. Ahmed Čolić i Bego Mehurić


napisane na tabli.

171

Plan table

FIZIKA

AKUSTIKA

Zvuk

ELEKTRICITET I MAGNETIZAM

Elektrostatika

Električna struja

Elektromagnetizam

Elektrodinamika

OPTIKA

Svjetlost

Geometrijska optika

Talasna optika

KVANTNA FIZIKA

Potreba uvođenja novih fizikalnih predodžbi

Fizika atoma

Fizika jezgre atoma

Talasi i čestice

Elementarne čestice

SVEMIR

FIZIKA KAO OSNOVA VISOKIH TEHNOLOGIJA

„Fizika za drugi razred srednjih škola“, dr. Ahmed Čolić

„Zbirka ogleda i zadataka iz fizike za drugi razred srednjih

škola“, dr. Ahmed Čolić, Bego Mehurić

172

173



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 2.

Nastavna jedinica: Zvučni talasi, zvuk, svojstva i brzina prostiranja zvuka



Oblici rada: Frontalni i individualni

Cilj časa: Da učenici prepoznaju periodično i oscilatorno kretanje, talase, zvučne talase

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Objasniti da je zvuk longitudinalni talas u sredstvu, a kroz vakuum se ne prenosi; znati da se zvučni talasi iz izvora zvuka šire u svim smjerovima, objasniti razliku između tona i šuma, znati brzinu zvuka u zraku

Odgojni zadatak: Razvijati naviku preciznosti i urednosti Funkcionalni zadatak: Navesti vrste zvukova, njegovati vještinu izvođenja pokusa s zvučnom

viljuškom

Literatura :



174

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam šta su učenici odranije naučili o talasima i o zvuku.

Pitanje: Šta je to oscilatorno kretanje?

Odgovor: Oscilatorno kretanje je takvo kretanje pri kojem fizičko tijelo osciluje (kreće se u dva suprotna

smjera) oko nekog ravnotežnog položaja.

Pitanje: Šta je to periodičko kretanje?

Odgovor: Periodičko kretanje je kretanje koje se ponavlja poslije tačno određenog vremena (period).

Pitanje: Šta j8e to talasno kretanje?

Odgovor: Talasno kretanje je prenošenje oscilatornog kretanja kroz elastičnu sredinu.

Pitanje: Šta je to izvor talasa?

Odgovor: izvor talasa je čestica (ili tijelo) sa koje se oscilovanje prenosi na ostale čestice.

Pitanje: Koje vrste talasa poznajemo?

Odgovor: Talasi mogu biti transverzalni ili longitudinalni.

Pitanje: Kakvi su to transverzalni talasi?

Odgovor: Transverzalni talasi su talasi kod kojih djelići osciluju normalno (okomito) na pravac širenja

talasa.

Pitanje: Kakvi su to longitudinalni talasi?

Odgovor: Longitudinalni talasi su talasi kod kojih djelići osciluju u pravcu širenja talasa.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov: „Zvučni talasi, zvuk, svojstva i brzina prostiranja zvuka“


Zvučni talasi su mehanički talasi koje opažamo čulom sluha. Naše uho može da registruje zvučne

oscilacije čije frekvencije leže u granicama od 16 Hz do 20 000 Hz. Oscilacije ispod 16 Hz ne osjećamo

čulom sluha i one se zovu infrazvuk. Oscilacije čija je frekvencija preko 20 000 Hz takođe ne možemo čuti

i one se zovu ultrazvuk.

Zvučni talasi do nas obično dospijevaju vazduhom. Međutim, zvuk se može kretati kroz sve

supstancijalne sredine: čvrste, tečne i gasovite. Zvuk se u vazduhu obrazuje tako što se čestice vazduha

naizmjenično zgušnjavaju ili razrjeđuju u pravcu kretanja. Kažemo da su zvučni talasi u vazduhu

longitudinalni talasi.

U bezvazdušnom prostoru (vakuumu), zvuk se ne može prostirati. To se može ustanoviti pomoću

električnog zvonceta, stavljenog ispod staklene posude. Kada se iz posude izvuče vazduh pomoću vakuum

pumpe, zvuk se više ne čuje.

Prema tome, da bi čuli zvuk mora postojati izvor zvuka koji osciluje frekvencijom od 16 Hz do 20 000 Hz

i sredina kroz koju se zvuk prostire do našeg uha.

Kod zvuka razlikujemo ton i šum. Šum ima neprekidni akustični spektar (zastupljene sve frekvencije). Ton

ima određenu frekvenciju. Pored osnovne frekvencije, ton često sadrži i tzv. više harmonike. Osnovnu

frekvenciju uho osjeća kao visinu tona. Ukoliko je osnovna frekvencija viša ton je viši.

Pored visine tona, čulom sluha razlikujemo i boju tona. Npr. dva muzička instrumenta proizvode tonove

iste visine, ali se oni razlikuju po boji tona. Tonovi iste frekvencije razlikuju se po boji kada se viši tonovi

različito kombinuju sa osnovnim tonom.

Zvuk ima i jačinu. Jačina tona zavisi od amplitude i frekvencije i tretira se kao fizička jačina tona.

Pošto uho ima različitu osjetljivost na razne frekvencije onda se uvodi i tzv. subjektivna ili fiziološka jačina

tona.

175

Brzina zvuka zavisi od sredine kroz koju zvuk prolazi. Brzina zvuka u vazduhu je eksperimentalno

određena još u 16. stoljeću, kada je izračunato da iznosi oko 330 m/s.

Brzina zvuka u vazduhu (i drugim gasovima) može se izračunati prema relaciji

𝑐 = √𝑘𝑝

𝜌

gdje je: p - pritisak gasa, 𝜌 - gustina gasa, 𝑘 = 1,4 za vazduh.

S obzirom da gustina gasa opada sa temperaturom to i brzina zvuka zavisi od temperature, prema relaciji

𝑐 = 𝑐0√𝑇

𝑇0

gdje je: T0 = 273K, T – termodinamička temperatura gasa, c0- brzina zvuka na 0°C (ili 273 K).

Brzina zvuka u čvrstim tijelima (i tečnostima) može se izračunati iz obrasca za brzinu prostiranja

longitudinalnih talasa,

𝑐 = √𝐸

𝜌

gdje je: E - modul elastičnosti (za tečnosti modul stišljivosti), 𝜌 - gustina sredine.

Brzina zvuka u nekim sredinama:

Sredina c

Vazduh 330 m/s

Voda 1450 m/s

Morska voda 1550 m/s

Bakar 3500 m/s

Aluminij 5000 m/s

Staklo 5500 m/s

Zadatak 1. Brzina zvuka u vazduhu na temperaturi 0°C (273 K) je co= 331 m/s. Izračunaj brzinu zvuka na

temperaturi 37°C.

Rješenje:

𝑐0 = 331m

s

𝑡0 = 0°𝐶

𝑡 = 37°𝐶

𝑐 =?

176

𝑇0 = (𝑡0 + 273)K = (0 + 273)K = 273 ≪ K

𝑇 = (𝑡 + 273)K = (37 + 273)K = 310 K

𝑐 = 𝑐0√𝑇

𝑇0= 331

m

s∙ √

310 K

273 K

𝑐 = 352,7 m

s


Ponavljam pojam zvuka, prostiranje zvuka, izvor i sredinu, brzinu zvuka.

Dajem zadatak za domaću zadaću:

Ako je brzina zvuka na 0°C 331 m/s, kolika će biti brzina zvuka na 63°C?

Plan table

Zvučni talasi, zvuk, svojstva i brzina prostiranja zvuka

f od 16 Hz do 20 000 Hz

𝑓 < 16 Hz - infrazvuk

𝑓 > 20 000 Hz – ultrazvuk Brzina zvuka u gasu:

𝑐 = √𝑘𝑝

𝜌

p - pritisak gasa,

𝜌 - gustina gasa,

𝑘 = 1,4 za vazduh.

Brzina zvuka na temperaturi T:

𝑐 = 𝑐0√𝑇

𝑇0

Brzina zvuka u čvrstim tijelima i tečnostima

𝑐 = √𝐸

𝜌

E - modul elastičnosti (stišljivosti),

𝜌 - gustina sredine.

Zadatak:

𝑐0 = 331m

s

𝑡0 = 0°𝐶

𝑡 = 37°𝐶

𝑐 =?

𝑇0 = (𝑡0 + 273)K = (0 + 273)K = 273 K

𝑇 = (𝑡 + 273)K = (37 + 273)K = 310 K

𝑐 = 𝑐0√𝑇

𝑇0

= 331 m

s∙ √

310 K

273 K

𝑐 = 352,7 m

s D.Z. 𝑡 = 63°C, c =?

177



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 3.

Nastavna jedinica: Zvučni talasi, zvuk, svojstva i brzina prostiranja zvuka



Oblici rada: Individualni

Cilj časa: Da učenici prepoznaju periodično i oscilatorno kretanje, talase, zvučne talase

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Ponoviti pojam svuka (zvuk longitudinalni talas u sredstvu), osobine (ne

prenosi se kroz vakuum, zvučni talasi se iz izvora zvuka šire u svim

smjerovima), ponoviti razliku između tona i šuma, podsjetiti se brzine zvuka u

zraku

Odgojni zadatak: Razvijati naviku preciznosti i urednosti

Funkcionalni zadatak: Ponoviti vrste zvukova, njegovati vještinu izvođenja pokusa s akustičnom

viljuškom.

Literatura :



178

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam pojam i osobine zvuka.

Pitanje: Šta su zvučni talasi?

Odgovor: zvučni talasi su mehanički talasi koje opažamo čulom sluha.

Pitanje: Koje zvukove čujemo?

Odgovor: Možemo da čujemo zvukove frekvencije od 16 do 20 000 Hz.

Pitanje: Kako zovemo zvuk frekvencije manje od 16 Hz?

Odgovor: Zvuk fekvencije manje od 16 Hz zovemo infrazvuk.

Pitanje: Kako zovemo zvuk frekvencije veće od 20 000 Hz?

Odgovor: Zvuk frekvencije veće od 20 000 Hz zovemo ultrazvuk.

Pitanje: Da li se zvuk prenosi u svim sredinama?

Odgovor: Zvuk se ne prenosi u vakuumu.

Pitanje: Kako 2se računa brzina zvuka u gasovima?

Odgovor: Brzina zvuka u gasovima se računa prema formuli p

c k

, gdje je p pritisak gasa, gustina

gasa, a k konstanta (koja za vazduh iznosi 1,4).

Pitanje: Kako brzina zvuka zavisi od temperature?

Odgovor: Brzina zvuka od temperature zavisi po relaciji 0

0

Tc c

T .

Pitanje: Kako se računa brzina zvuka u čvrstim tijelima i tečnostima?

Odgovor: Brzina zvuka u čvrstim tijelima i tečnostima se računa po formuli E

c

, gdje je E modul

elstičnosti (za čvrsta tijela) ili modul stišljivosti (za tečnosti), a gustina.

Najavljujem cilj časa i na tablu pišem naslov „Zvučni talasi, zvuk“


Poslije još jednog osvrta na prethodni čas, napominjem da, osim navedenih, postoje još neke osobine zvuka.

Jedna od najvažnijih karakteristika zvuka je njegova jačina.

Pod jačinom zvuka podrazumijeva se odnos srednje snage P koja se prenosi zvučnim talasom i površine S

koja je okomita na pravac prostiranja talasa.

P

IS

Gornja definicija se odnosi na fizičku ili objektivnu jačinu zvuka. Ipak objektivnoj jačini ne odgovara

subjektivna ocjena jačine zvuka, jer čovječije uho nije podjednako osjetljivo na sve frekvencije. Čovjek

frekvencije ispod 16 Hz i preko 20 000 Hz uopšte ne osjeća kao zvuk. Najosjetljiviji je na frekvenciji od

700 Hz do 5 000 Hz.

179

Da bi zvučni talas izazvao osjećaj zvuka, mora da ima neku minimalnu jačinu koja se zove prag čujnosti.

Standardni prag čujnosti se uzima za frekvenciju 1 kHz i iznosi

12

0 210

m

WI

Kada jačina zvuka raste mi ga čujemo sve jače dok ne dostigne tzv. granicu bola. Ona iznosi

max 2

10m

WI

Kada jačina zvuka pređe tu granicu osjećamo bol.

Čovjek osjeća promjenu jačine zvuka u logaritamskoj skali. Zbog toga se uvodi termin subjektivna jačina

zvuka (nivo jačine zvuka) L

0

10logI

LI

Jedinica za riivo jačine zvuka je decibel (dB). Tako npr. prag čujnosti ima 0 dB, granica bola 130 dB, šapat

20 dB, govor 60 dB, a gradski saobraćaj 70 dB.

Prag čujnosti 0 dB

Šapat 20 dB

Govor 60 dB

Gradski saobraćaj 70 dB

Granice bola 130 dB

Trajna buka loše utiče na zdravlje čovjeka. Veoma jaki zvukovi mogu oštetiti čovjekove organe sluha, a

takođe negativno utiču na koncentraciju. Stoga se preduzimaju mjere za akustičnu izolaciju prostorija,

upotrebom specijalnih materijala. Takođe i rad u potpunoj tišini može negativno uticati na čovjeka, jer

izaziva pospanost i tromost. Najbolje je boraviti u prostorijama sa umjerenom količinom zvukova.

Zadatak: Zvučna snaga koja dolazi kroz otvor površine 2 m2 iznosi 0,4 mW. Odredi:

a) jačinu zvuka kod otvora,

b) zvučnu energiju koja prođe kroz otvor za jednu minutu,

c) nivo jačine zvuka.

Rješenje:

2

4

2 m

0, 4 m 4 10

1min 60s

) ?

) ?

) ?

S

P W W

t

a I

b E

c L

180

a)

4

2

4

2

4 10

2 m

2 10m

PI

S

WI

WI

b)

4

3

4 10 60s

24 10 s

24 m

E P t

E W

E W

E J

c)

0

4

2

10log

2 10m

10log

IL

I

W

L

12

210

m

W

83dBL


Ponavljam pojam i osobine zvuka i pojašnjam urađeni primjer. Dajem zadatak za domaću zadaću:

Snaga tačkastog izotropnog izvora zvuka je 10'4 W. Odredi:

a) jačinu zvuka na rastojanju R=10 m od izvora zvuka (prigušenje se zanemaruje),

b) nivo jačine zvuka na toj udaljenosti

Upute: kako se zvuk rasprostire na sve strane, površina S (koja ulazi u formulu za jačinu zvuka) je

površina sfere, tj. 24S R

Rezultati: a) 8

27,96 10

m

WI

b) 49dBL

Plan table

Zvučni talasi, zvuk

PI

S

12

0 210

m

WI

max 2

10m

WI

0

10logI

LI

Prag čujnosti 0 dB

Šapat 20 dB

Govor 60 dB

Gradski saobraćaj 70 dB

Granice bola 130 dB

2

4

Zadatak :

2 m

0, 4 m 4 10

1min 60s

) ?

) ?

) ?

S

P W W

t

a I

b E

c L

4

2

4

2

4 10

2 m

2 10m

PI

S

WI

WI

4

3

4 10 60s

24 10 s

24 m

E P t

E W

E W

E J

0

4

2

10log

2 10m

10log

IL

I

W

L

12

210

m

W

83dBL

Domaća zadaća:

Zadaci i ogledi iz fizike,

strana 2., Primjer 1.

181



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 4.

Nastavna jedinica: Zvučna rezonancija. Akustika prostorije.


Nastavne metode : Monološka i dijaloška

Oblici rada : Frontalni individualni

Cilj časa: Da učenici prepoznaju rezonanciju i shvate njen uticaj na akustiku

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Objasniti pojam zvučne rezonancije, povezati sa pojavom rezonancije kod bilo

kojih talasa, objasniti potrebu za akustikom prostorije


Funkcionalni zadatak: Navesti neke efekte i primjenu zvučne rezonancije i kako oblik prostorije utiče

na njenu akustičnost

Literatura :



182

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Pregledam domaće zadaće učenika, pojašnjavam zadatak. Ukoliko ga učenici nisu znali riješiti, dajem im

dodatne upute. Ukoliko se za tim ukaže potreba, uradiću zadatak na tabli ili (po mogućnosti) dati jednom

učeniku (koji se dobrovoljno javi) da ga uradi za ocjenu.

Ponavljam pojam i osonvne osobine zvuka. Pitam učenike da li su već ranije čuli za pojamm rezonancije

kod talasa i šta su od toga zapamtili odranije.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov „Zvučna rezonancija“


Zategnuta metalna žica ili tzv. zvučna viljuška daju slabe tonove. Ali ako se zvučna viljuška udari i

stavi na sto tako da njena drška dodiruje površinu stola, njen ton postaje znatno jači. Zašto? Da bi ovu

pojavu objasnili sjetimo se pojma rezonancije o kojem ste učili u prvom razredu. Tijelo koje osciluje zove se

oscilator. Sa jednog oscilatora na drugi može se prenositi energija oscilovanja. Prenos energije je najveći kada su frekvencije

oscilovanja oba oscilatora međusobno jednake.

Ta pojava se naziva rezonancija. Ona se koristi u akustici za pojačavanje zvuka. Prenos energije

oscilovanja sa jednog oscilatora na drugi oscilator iste frekvencije naziva se rezonancija.

Kao izvor zvučnih oscilacija, za izvođenje ogleda često se koristi zvučna viljuška. Kada se jedan njen kraj

udari gumenim čekićem ona počne da osciluje stalnom frekvencijom. Zvuk se čuje veoma slabo ili nikako.

Ako se stavi na posebno sanduče, otvoreno sa jedne strane, ton se pojača. Dužina sandučeta se podesi tako

da je frekvencija oscilovanja vazdušnog stuba jednaka frekvenciji zvučne viljuške. U tom slučaju energija

oscilovanja zvučne viljuške maksimalno se prenosi na vazdušni stub. Kažemo da su tada viljuška i vazdušni

stub u rezonanciji i ton se pojačao. Sanduče ispod zvučne viljuške zove se rezonator.

Pored zvučne viljuške na sandučetu postavimo još jednu takvu viljušku sa rezonatorom. Kada jednu od njih

udarimo počne i drugo da osciluje. Kada prvu viljušku uklonimo druga i dalje osciluje! I u ovom slučaju

energija oscilovanja sa jednog oscilatora prenešena je na drugi oscilator koji ima istu frekvenciju.

I naše čulo sluha funkcioniše na principu rezonancije. U našem uhu ima oko 10 000 sićušnih niti i

svaka od njih ima svoju sopstvenu frekvenciju oscilovanja. Sopstvene frekvencije siušnih niti su u intervalu

od 16 Hz do 20000 Hz.

183

Šireći se vazduhom zvučni talasi dopiru do našeg uha i pobuđuju na oscilovanje sistem siušnih niti

koje su uronjene u limfnu tečnost. Svaka slušna nit je rezonator koju pokreće na oscilovanje samo njegova

frekvencija. Prema tome, granice našeg čula sluha određene su time što nema siušnih niti koje bi oscilovale

izvan tog intervala frekvencija. Naše uho je najfiniji slušni aparat. Ono ima sto puta više "žica" od klavira.

Ako se izvor zvuka nalazi u nekoj zatvorenoj prostoriji, onda slušalac neće čuti samo zvukove koji dolaze

direktno iz izvora. On će čuti i sve one zvukove koji su došli u uho nakon refleksije od zidova prostorije.

Zvuk se od zidova prostorije obično odbija više puta. Taj odbijeni zvuk produžava vrijeme trajanja

prvobitno proizvedenog zvuka. Sve to može nekad povoljno, a nekad nepovoljno da djeluje na kvalitet

zvuka u prostoriji.

Akustično djelovanje neke prostorije naziva se akustičnost prostorije.

Poznato je da čovječije uho može odvojeno da čuje dva zvučna signala ako oni dođu do uha u intervalu

većem od 0,1 s. Tu činjenicu treba uzeti u obzir pri projektovanju slušaonica, koncertnih dvorana itd. Kolika

će biti jačina reflektovanog zvuka zavisi od veličine i oblika prostorija, a isto tako i od materijala od kojeg

su načinjeni zidovi. U današnje vrijeme razvila se posebna grana tehnike koja se zove arhitektonska akustika.

U prostoriji srednjih dimenzija zvučni talas pretrpi nekoliko stotina uzastopnih odbijanja o zidove dok

njegova jačina ne opadne ispod praga čujnosti. U velikim prostorijama, usljed refleksije, zvuk se može

čuti i nekoliko sekundi poslije isključenja izvora. Suviše velika refleksija pogoršava akustične osobine

prostorije i izaziva jako odjekivanje (eho). Takođe i suviše mala refleksija (veliko prigušenje) može

nepovoljno da djeluje na akustičnost prostorija. Kažemo da je tada soba gluha. Zbog toga se uzimaju

neke optimalne vrijednosti prigušenja.

Materijali koji dobro reflektuju zvuk su npr., beton, malter, staklo, itd. Materijali koji dobro apsorbuju

zvuk su, npr. tepih, zavjese, čovječije tijelo, itd.

Zakoni akustike prostorija bili su poznati još starim Egipćanima, pa su ih primjenjivali pri gradnji

svojih pozorišta. Da bi akustičnost bila što bolja, u koncertnim dvoranama je orkestar smješten u naročitoj

školjki koja ima oblik paraboličnog ogledala (slika). Svod dvorane je zaobljen zato da bi reflektovani zvuk

došao do posljednjeg mjesta u dvorani, gdje su sjedišta smještena amfiteatralno.

184


Ponavljam pojam zvučne rezonancije i njenu primjenu, akustičnost prostorije, razloge zašto se mora

voditi računa o zvučnoj rezonanciji i zašto je bitna akustičnost prostorije.

Plan table

Zvučna rezonancija

185



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 5.

Nastavna jedinica: Dopplerov efekat, zvučna barijera




Cilj časa: Da učenici prepoznaju Dopplerov efekat i efekte probijanja zvučne barijere

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Objasniti pojavu Dopplerovog efekta, njegovu manifestaciju i


Funkcionalni zadatak: Navesti neke posljedice Dopplerovog efekta

Literatura :



186

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam pojam zvuka, kakvi su to talasi, šta tu osciluje i na koji način, kako se to oscilovanje prenosi.

Ispitujem učenike koliko znaju o načinu na koji avion može da leti, šta se može čuti kad se automobil

kreće velikom brzinom i da li imaju ideju zbog čega se to čuje.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov „Dopplerov efekat“


Kada se izvor zvuka približava posmatraču on registruje veću frekvenciju nego kada izvor zvuka miruje.

Isto tako kada se izvor zvuka udaljava od posmatrača on registruje manju frekvenciju nego kada izvor zvuka

miruje. Ta pojava se javlja kod svakog talasnog kretanja i naziva se Dopplerov efekat.

Na primjer, kada nam se približava automobil sa uključenom sirenom ton sirene će biti viši nego kada se

automobil udaljava.

a

a) b)

Posmatrajmo slučaj kada posmatrač miruje, a izvor zvuka se kreće brzinom v. Na slici a) izvor zvuka miruje

i proizvodi talase frekvencije f0. Do posmatrača u tački A i tački B dolazi zvuk frekvencije f0. Na slici b)

izvor zvuka se kreće udesno. Za posmatrača u tački A će talasna dužina zvučnog talasa biti smanjena, a za

posmatrača u tački B povećana. To znači da će do posmatrača u tački A, prema kojem se izvor kreće,

dolaziti zvučni talas veće frekvencije (manje talasne dužine).

Kada postoji relativno kretanje između izvora talasa i posmatrača, onda posmatrač registruje promjenu

frekvencije talasa. Ta pojava se naziva Dopplerov efekat.

Frekvencija koju registruje posmatrač je

0

cf f

c v

gdje je: 0f - frekvencija izvora zvuka, c - brzina zvuka, v - brzina izvora zvuka. U nazivniku je predznak

minus ako se izvor zvuka približava, a predznak plus ako se izvor zvuka udaljava.

Do istog efekta će doći i kada izvor zvuka miruje, a posmatrač se kreće. Takođe Dopplerov efekat se javlja

i kod elektromagnetnih talasa (vidljiva svjetlost, radio talasi, itd.)

Kada je poznata frekvencija izvora talasa fo, onda se može odrediti brzina kretanja objekta - izvora talasa.

Pošto slične relacije, za promjenu frekvencije, važe i za elektromagnetne talase, onda se može odrediti

brzina rakete, kosmičkog broda, itd.

187

Ova činjenica je iskorištena i u astronomiji. Poznato je da boja svjetlosti zavisi od njene frekvencije.

Iz promjene boje svjetlosti, koju emituje zvijezda, može se odrediti da li se ona udaljava ili približava

zemlji. Tako je ustanovljeno da se sve zvijezde udaljavaju od Zemlje, odnosno da se Svemir širi.

Posmatranjem spektra zvijezda i galaksija koje su veoma udaljene (npr. nekoliko miliona svjetlosnih

godina), astronomi su primijetili da nešto nije u redu sa spektrima. Naime, spektri su pokazivali čudne

frekvencije, odnosno one frekvencije koje astronomi nisu očekivali.U početku su mislili da je u pitanju

drugačiji sastav zvijezda ili neka neobična i dotad nepoznata pojava.

Analizom spektara se ustanovilo da bi se sve nedoumice uklonile ako bi se svaka frekvencija malo

povećala. Tada bi se dobio spektar obične, nama poznate, zvijezde. Dakle, najlogičnije objašnjenje je da je

zračenje zvijezde pomjereno ka nižim frekvencijama, što je nazvano crevni pomak. Na osnovu toga je

zaključeno da se zvijezde udaljavaju od nas. Dakle, zaključak je da se zvijezde, koje pokazuju crveni

pomak, udaljavaju od nas. Analogno tome, zvijezde koje nam se približavaju pokazuju plavi pomak (pomak

ka višim frekvencijama). Kako svjetlost iz dalekih galakcija pokazuje crveni pmak, zaključujemo da se one

od nas udaljavaju.

Isto tako, što je crveni pomak manji, zvijezda se udaljava većom brzinom, a što je crveni pomak

manji, zvijezda se udaljava manjom brzinom. Isto tako, što je plavi pomak veći, zvijezda se približava

većom brzinom, a što je plavi manji, zvijezda se približava manjom brzinom (ne udaljavaju se od nas sve

zvijezde, već samo one iz drugih galaksija, neke od zvijezda iz naše galaksije se približavaju a neke

udaljavaju od nas).

Takođe je uočeno da neke zvijezde neko vrijeme pokazuju crveni, a neko vrijeme plavi pomak, dok

druge zvijezde jedno vrisjeme pokazuju manji, a zatim vieći crveni pomak. To su pokazatelji da navedene

zvijezde rotiraju oko nekog tijela (zvijezde), pri čenu lgedamo sa strane u ravni rotacije zvijezde.

Na osnovu toga je postavljena kosmološka hipoteza "velikog praska" (big bang), koja tvrdi da je

Svemir nastao eksplozijom jedne jedine tačke u prostoru.

Kada avion dostigne brzinu zvuka javlja se pojava tzv. zvučnog udara. Kada avion leti, potiskuje pred

sobom vazduh u talasima. Sa povećanjem brzine nastaje i potiskivanje vazdušnih talasa dok se ne stvori zid

ili barijera komprimovanog vazduha pred njim (slika).

Sa otprilike 1200 km/h avion dostiže brzinu zvuka i probija tu barijeru (zid). U tom trenutku snažni pritisak

vazdušnog talasa je poremećen i pretvara se u zvučni talas. Prilikom probijanja vazdušnog zida javlja se

jak akustični efekat, sličan udaru groma. To se naziva zvučni udar.

Iz tih razloga se brzina aviona izražava tzv. Machovim brojem. Machov broj M je odnos brzine aviona i brzine zvuka. Na primjer, kada avion ima M=1, onda se kreće brzinom zvuka. Kada ima M=2, onda se

kreće dva puta brže od zvuka, itd. Gornja slika prikazuje nagomilavanje zvučnih tasala koje avion emituje,

za različite vrijednosti M.

188


Ukratko sa učenicima ponavljam pojave Dopplerovog efekta i zvučne barijere, primjere u prirodi i

primjene. Ukratko ponavljam primjenu Dopplerovog efekta na objašnjenje postanka i razvoja svemira.

Plan table

Dopplerov efekat

0

cf f

c v

189



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 6.

Nastavna jedinica: Rezonancija, Dopplerov efekat, zvučna barijera



Oblici rada: Individualni

Cilj časa: Ponoviti gradivo obrađeno na prethodnim časovima, utvrditi u produbiti znanja

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Još jednom ponoviti pojave rezonancije, Dopplerovog efekta i zvučne barijere


Funkcionalni zadatak: Navesti još neke primjene navedenih fizičkih pojava, navesti učenike da

pokušaju da naučeno gradivo povezuju sa onim što uočavaju u svakodnevnom

životu

Literatura :



190

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ukratko ponavljam gradivo obrađeno na prethodnom času, šta je to Dopplerov efekat, kada se javlja, šta

je zvučna barijera. Najavljujem cilj časa i na tablu pišem naslov: „Rezonancija, Dopplerov efekat –

ponavljanje“


Postavljam učenicima pitanja za utvrđivanje ranije naučenog gradiva:

1. Šta je to zvučna rezonancija?

Zvučna rezonancija je prenos energije zvučnog talasa sa jednog oscilatora (tijela koje osciluje) na

drugi oscilator iste frekvencije oscilovanja.

2. Gdje se koristi zvučna rezonancija?

Zvučna rezonancija se koristi u akustici za pojačavanje zvuka.

3. Koje zvukove čuje slušaoc koji se nalazi u zatvorenoj prostoriji?

Slušaoc koji se nalazi u zatvorenoj prostoriji, osim zvuka koji proizvodi izvor, čuje i zvukove koji

se odbijaju od zidova prostorije.

4. Šta je akustičnost prostorije?

Akustično djelovanje neke prostorije naziva se akustičnost prostorije.

5. Šta uočavamo kada se izvor zvuka približava posmatraču.

Kada se izvor zvuka približava posmatraču on registruje veću frekvenciju nego kada izvor zvuka

miruje.

6. Navesti jedan primjer efekta koji zapažamo kada nam se približava i udaljava izvor zvuka.

Kada nam se približava automobil sa uključenom sirenom ton sirene će biti viši nego kada se

automobil udaljava.

7. Kolika je frekvencija zvuka kojeg čuje opsmatrač kome se izvor zvuka približava ili udaljava?

Frekvencija zvuka kojeg čuje opsmatrač kome se izvor zvuka približava ili udaljava jednaka je

0

cf f

c v

8. Gdje je iskorištena pojava Dopplerovog efekta za svjetlost?

Pojava Dopplerovog efekta za svjetlost je iskorištena u astronomiji.

9. Kada se javlja zvučna barijera?

Zvučna barijera se javlja kada se avion kreće velikom brzinom, pri čemu se na prednjem dijelu

avion stvara barijera od komprimovanog zraka.

Učenici objašnjavaju pojave rezonancije, Dopplerovog efekta i zvučne barijere, po potrebi crtaju na tablu

slike koje će im pomoći da pojave bolje objasne.

Zadatak: Kolika je frekvencija zvuka koji registruje posmatrač prema kome se izvor zvuka frekvencije

2000 Hz kreće brzinom 30 m/s? Brzina zvuka u vazduhu je m

330s

c

Rješenje:

02000 Hz

m30

s

?

f

v

f

191

0

cf f

c v

m

331s2000 Hz

m m331 30

s s

f

m331

s2000 Hzm

361s

f

1833,8Hzf


Plan table

Rezonancija, Dopplerov efekat – ponavljanje

0

cf f

c v

192

193



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 7.

Nastavna jedinica: Ultrazvuk, svojstva i primjena




Cilj časa: Da se učenici upoznaju sa osnovnim osobinama i primjenom ultrazvuka

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Objasniti osobine ultrazvuka i na koji način te osobine omogućavaju primjenu

ultrazvuka


Funkcionalni zadatak: Navesti neke primjene ultrazvuka, npr. u tehnici i medicini

Literatura :



194

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam pojam i vrste zvuka, infrazvuk i ultrazvuk.

Pitanje: Šta su zvučni talasi?

Odgovor: zvučni talasi su mehanički talasi koje opažamo čulom sluha.

Pitanje: Koje zvukove čujemo?

Odgovor: Možemo da čujemo zvukove frekvencije od 16 do 20 000 Hz.

Pitanje: Kako zovemo zvuk frekvencije manje od 16 Hz?

Odgovor: Zvuk fekvencije manje od 16 Hz zovemo infrazvuk.

Pitanje: Kako zovemo zvuk frekvencije veće od 20 000 Hz?

Odgovor: Zvuk frekvencije veće od 20 000 Hz zovemo ultrazvuk.

Pitanje: Da li se zvuk prenosi u svim sredinama?

Odgovor: Zvuk se ne prenosi u vakuumu.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov „Ultrazvuk“.


Ultrazvučni talasi imaju frekvenciju preko 20 000 Hz. Danas se ultrazvuk mnogo primjenjuje u praksi.

Kakve su osobine ultrazvuka?

Ultrazvuk ne čujemo. Zbog velike frekvencije ima veliku jačinu. Zbog male talasne dužine ultrazvuk se

može mnogo lakše usmjeriti u određenom pravcu u vidu uskih snopova. Tečnosti, a naročito voda, slabo

ga apsorbuju. Međutim, gasovi, a naročito vazduh, vrlo ga intenzivno apsorbuju.

Kako se dobija ultrazvuk?

Ultrazvuk niskih frekvencija (do 80 KHz) emituju neke životinje (delfin, slijepi miš). Slijepi miš ispred

sebe ispušta ultrazvuk, i na osnovu odbijenog zvuka procjenjuje položaj i daljinu plijena, kao i svoj položaj

(u mraku) i najpovoljniji pravac kretanja. Pomoću ultrazvuka delfin može bezbjedno da se kreće čak i u

mutnoj vodi, a to mu je i nalin komunikacije.

Ultrazvuk visokih frekvencija dobija se vještački. Osnovni dio uređaja za dobijanje ultrazvuka je generator

električnih oscilacija odgovarajuće frekvencije. Pretvaranje tih oscilacija u ultrazvučne talase vrši se na dva

načina.

Magnetostrikcija je efekat koji se zasniva na činjenici da se feromagnetni materijali skraćuju i produžuju u

promjenljivom magnetnom polju i tako proizvode mehaničke oscilacije.

Recipročni piezoelektrični efekat se zasniva na tome da kvarc, pod djelovanjem naizmjenične struje,

proizvodi oscilacije iste frekvencije. Inače, piezoelektrični efekat je pojava da neki materijali, ako na njih

vršimo pritisak, proizvode elektricitet. Suprotna pojava, odnosno da elektricitet kod nekih materijala , npr.

kvarc, stvara deformacije naziva se recipročni piezoelektrični efekat.

Kakva je primjena ultrazvuka?

S obzirom da posjeduje veliku energiju, koristi se u tehnici za dobivanje fine emulzije usitnjavanjem, npr.

zrnca za fotografske ploče, za sterilizaciju životnih namirnica, itd. Koristi se za tzv. ultrazvučnu

defektoskopiju, tj. otkrivanje nedostataka u metalnim odlivcima.

195

Posebno je važna primjena ultrazvuka u medicini. U posljednje vrijeme se sve više koristi za snimanje

unutrašnjih organa, jer ne uništava zdrave ćelije. Te metode se zasnivaju na različitoj refleksiji ultrazvuka

na zdravom i oboljelom tkivu. U hirurgiji ultrazvuk velikog intenziteta koristi se za spajanje ili siječenje

kostiju.

Jedna od prvih primjena ultrazvuka, još za vrijeme Prvog svjetskog rata, bila je mjerenje dubine mora ili

okeana. To je bila mnogo efikasnija metoda od (dotadašnjeg) mjerenja dubine vode pomoću užeta. Pomoću

ultrazvuka mogu se snimiti jata riba ispod morske površine i odrediti njihov položaj.

Slijepi miševi se orijentišu u prostoru i love plijen na bazi ultrazvučnih efekata. Te efekte koriste i delfini

te mogu sasvim dobro da se orijentišu i u mutnoj vodi, pa čak i da međusobno komuniciraju.

Infrazvuk ima frekvenciju manju od 16 Hz i takođe se ne čuje. Najčešći izvor infrazvuka su mašine sa

niskim brojem obrtaja, vozila i potresi. Ako, npr. zgrada u kojoj su postavljene takve mašine ima istu

sopstvenu frekvenciju može doći do opasne rezonancije. Infrazvuk proizvodi, npr. i otvaranje i zatvaranje

vrata.

Izlaganje infrazvuka izaziva mučninu kod čovjeka. Razlog tome je što unutrašnji organi imaju sopstvenu

frekvenciju oscilovanja ispod 10 Hz. Sva sredstva za zaštitu od infrazvuka su neefikasna,'jer se vrlo malo

apsorbuje. Ribe, naprimjer, registruju infrazvuk, uzrokovan morskim talasima, na hiljade kilometara

udaljenosti.

Infrazvuk se primjenjuje kod vojnog izviđanja objekata koji se ne mogu otkriti vizuelnim osmatranjem.


Ponavljam pojam ultrazvuka, način dobijanja i primjene. Posebnu pažnju obraćamo na primjene

ultrazvuka u mašinstvu.

Plan table

Ultrazvuk

f > 20 000 Hz

Osobine:

- Ne čujemo ga

- Velika jačina

- Lakše ga je usmjeriti

- Tečnosti ga slabo apsorbuju

- Gasovi ga intenzivno apsorbuju

Proizvodnja:

- do 80 kHz životinje

(delfin, slijepi miš)

- generator električnih

oscilacija frekvencije f

- Magnetostrikcija

- Recipročni

piezoelektrični efekat

Primjena:

- Dobijanje fine emulzije

- Sterilizacija životnih namirnica

- Ultrazvučna defektoskopija

- Snimanje unutrašnjih organa

- U hirurgiji – spajanje kostiju

- Mjerenje dubine okeana

- Snimanje jata riba

196

197



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 8.

Nastavna jedinica: Osnovne elektrostatičke pojave




Cilj časa: Na primjerima učiti i objasniti postojanje električnih naboja, navesti vrste

naboja i njihovo međudjelovanje.

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Ekeperimentom znati pokazati međudjelovanje naelektrisanih tijela, imenovati

naboj na plastičnom i na staklenom štapu; razumjeti da se tijelo i tarivo

elektriziraju suprotnim nabojem; spoznati da se elektriziranjem tijela trljenjem

ili dodirom s drugim tijelom razdvaja naboj u tom tijelu na pozitivan i negativan

Odgojni zadatak: Usvojiti oznake i mjerne jedinice

Funkcionalni zadatak: Prepoznati međudjelovanje električnog naboja u životu

Literatura :



198

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ispitati učenike šta odranije znaju o električnim pojavama, šta su radili u osmom razredu osnovne škole,

šta su zaključili na osnovu eksperimenta sa lenjirom i papirićima. Najavljujem novu temu (nauka o

elektricitetu), novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov „Elektrostatika“


Dio nauke o elektricitetu koji proučava naelektrisanja (naboje) u mirovanju zove se elektrostatika.

Još prije 2500 godina, u staroj Grčkoj je bilo poznato da ćilibar, kada se protrlja krznom, dobija osobinu da

privlači sitne predmete. Od grčkog naziva za ćilibar - elektron nastala je riječ elektricitet. Ovaj naziv - elektricitet,

ušao je u savremenu nauku tek krajem 16. stoljeća kada je ustanovljeno da svojstvo slično ćilibaru ima još

čitav niz materijala kada se protrljaju svilenom ili vunenom tkaninom.

Za sva tijela, koja poslije trljanja privlače druge predmete kaže se da su naelektrisana. U 18. stoljeću

ustanovljeno je da se trenjem dobijaju dvije vrste elektriciteta. Vrsta elektriciteta koja se dobije kada se staklo

protrlja krznom nazvana je pozitivnom. Vrsta elektriciteta koja se dobije kada se ebonit protrlja vunenom

tkaninom nazvana je negativnom. Ogledom se moglo ustanoviti da se tijela naelektrisana Istom vrstom elektriciteta

međusobno odbijaju, a raznoimenim privlače. Ovaj način utvrđivanja vrste elektriciteta uveo je naučnik Franklin i

očigledno je da je to učinio proizvoljno.

Na malom stativu okači o svileni konac laganu lopticu od zovine ili suncokretove srži. Kada loptici

prinesemo naelektrisanu šipku ona se približi a zatim odbije od šipke (slika 1.a). Kada je loptica dodirnula

naelektrisanu šipku ona se naelektrisala istom vrstom elektriciteta i zato se odbila od šipke.

Ako se dvije loptice naelektrišu suprotnom vrstom elektriciteta onda se međusobno privlače (slika1.b). Pri

tome se jedna kuglica naelektriše staklenom šipkom, a druga ebonitom.

Slika 1.

Elektroskop je uređaj kojim se utvrđuje da li je neko tijelo naelektrisano, kojom vrstom elektriciteta i kolikom

količinom elektriciteta. Sastoji se od metalnog kućišta u obliku valjka u kojem se nalazi metalni štap sa dva

tanka listića (od aluminija ili staniola). Na drugom kraju štapa je metalna ploča ili kugla

(slika 2.).

199

Kada naelektrisano tijelo dodirne kuglicu elektroskopa naelektrisanje se djelimično prenese na njegove

listiće. Istoimeni elektricitet na listićima izaziva njihovo odbijanje. Razmak između raširenih listića

proporcionalan je njihovom naelektrisanju.

Ako se otklon listića ili igle može očitavati na nekoj skali onda se takav elektroskop naziva elektrometar

(slika 3.)

Kada se naelektrisani elektroskop dodirne naelektrisanim tijelom istog znaka, onda će se listići još više

raširiti. Ako se dodirnu suprotnom vrstom elektriciteta, onda ce se razmak smanjiti. Listići će se potpuno

sklopiti ako je prenijeti naboj jednak naboju elektroskopa


Ponavljam osnovne elektrostatičke pojave, navodin primjere iz svakodnevnog života.Naglašavam značaj

navedenih pojava i elektrostatike za proučavanje ponašanja naelektrisanja u narednim nastavnim

jedinicama.

200

Plan table

Elektrostatika

Grčka, prije 2500 god.

„elektron“ – ćilibar

XVI vijek – naziv „električno“

201



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 9.

Nastavna jedinica: Električni naboj, zakon održanja ukupnog električnog naboja




Cilj časa: Upoznati se sa osnovnim električnim veličinama

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Upoznati pojam naelektrisanja i koje količine elektriciteta naelektrisano tijelo

može imati


Funkcionalni zadatak: Naučiti koristiti zakon održanja naelektrisanja pri rješavanju šraktičnih

zadataka

Literatura :



202

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam gradivo ranije naučeno, posebno ono gradivo koje je neophodno za razumijevanje nove

nastavne jedinice. Najavljujem novu nastavnu jedinicu i ciolj časa. Na vrh table pišem naslov „Električni

naboj, zakon održanja ukupnog električnog naboja“


Danas znamo objasniti gore navedne pojave. Teorija koja objašnjava električna svojstva tijela zove se

elektronska teorija. Tijelo se sastoji od atoma. Atom se sastoji od pozitivno naelektrisanog jezgra i

negativno naelektrisanih elektrona koji kruže oko tog jezgra.

Atom je kao cjelina elektroneutralan jer ima istu količinu pozitivnog i negativnog naboja. Pod djelovanjem

spoljašnjih uticaja (zagrijavanje, zračenje...) atom može da izgubi ili primi jedan ili više elektrona iz

posljednje ljuske (slika 1.) - atom postaje naelektrisan. Ovako naelektrisani atomi zovu se joni. Pozitivni

joni imaju manjak elektrona, a negativni joni imaju višak elektrona.

Slika 1.

Tijelo je naelektrisano negativno ako ima višak elektrona, a pozitivno ako ima manjak elektrona.

Naelektrisanje tijela (količina elektriciteta) q zavisi od toga koliki je broj elektrona u višku ili manjku u

odnosu na neutralno stanje. Svaka količina elektriciteta jednaka je cjelobrojnom umnošku naelektrisanja

jednog elektrona

q ne

gdje je: n - cio broj, e - naelektrisanje jednog elektrona

Jedinica za količinu elektriciteta je kulon (C). Naelektrisanje jednog elektrona se naziva još i elementarno

naelektrisanje i ono iznosi

191,6 10e C

Količina elektriciteta (naboj) od jednog kulona sadrži 186, 2 10 elektrona, tj.

181 6, 2 10C e

Kada kuglicu naelektrisanog elektroskopa dodimemo nekim metalnim predmetom listići elektroskopa će

se brzo skupiti. Kažemo da metali dobro provode elektricitet. Kada kuglicu elektroskopa dodirnemo

staklenim ili porculanskim štapićem listići elektroskopa se neće pomjeriti. Kažemo da su ti materijali

električni izolatori, jer ne provode elektricitet.

Zemlju možemo smatrati jednim velikim provodnikom. Kada se, npr. negativno naelektrisani provodnik

spoji sa Zemljom višak elektrona sa provodnika će preći na Zemlji i on će se brzo razelektrisati. Pri tome

se naelektrisanje Zemlje praktično nije promijenilo, jer su količine elektriciteta na pojedinim provodnicima

zanemarljive u odnosu na Zemlju. Ta se činjenica koristi u tehnici za tzv. uzemljenje.

203

U dosad navedenim primjerima naelektrisanja tijela može se zapaziti da u procesu naelektrisanja trenjem

ili dodirom uvijek učestvuju dva tijela. Mnogim ogledima je pokazano da se oba tijela pri tome naelektrišu

jednakom količinom elektriciteta suprotnog znaka. Ovo pokazuje da se prilikom naelektrisavanja tijela ne

stvara naelektrisanje već samo razdvaja.

U nenaelektrisanom stanju tijela sadrže Jednake količine pozitivnog i negativnog elektriciteta. Ova

naelektrisanja se međusobno neutrališu.

Prema tome, naelektrisanje tijela je proces preraspodjele pozitivnog i negativnog elektriciteta. Zbir ukupne

količine pozitivnog i negativnog elektriciteta oba tijela jednak je nuli. Iz ovoga možemo izvesti opšti

zaključak da je u prirodi zbir pozitivnog i negativnog elektriciteta stalan.

Algebarski zbir naelektrisanja u izolovanom sistemu je konstantan.

Ova se tvrdnja zove zakon održanja količine elektriciteta i jedan je od osnovnih zakona prirode.

Primjer:

Izračunati naelektrisanje koje ima 65000 elektrona.

Rješenje:

19

19

14

65000

1,6 10

?

65000 1,6 10

1,04 10

n

e C

q

q n e

q C

q C


Ponavljam pojam naelektrisanja i zakon održanja naelektrisanja. Dajem učenic7ima zadatak za domaću

zadaću:

Izračunati naelektrisanje tijela koje ima 2,5 miliona viška elektrona.

Plan table

Električni naboj, zakon održanja ukupnog električnog naboja

19

19

19

18

1,6 10

1,6 10

1,6 10

1 6, 2 10

e

p

q ne

e C

q C

q C

C e

19

19

14

Primjer

65000

1,6 10

?

65000 1,6 10

1,04 10

n

e C

q

q n e

q C

q C

204

205



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 10.

Nastavna jedinica: Zakon održanja ukupnog električnog naboja




Cilj časa: Ponoviti i utvrdit osnovne električne veličine

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Utvrditi pojam naelektrisanja i koje količine elektriciteta naelektrisano tijelo

može imati



zadataka

Literatura :



206

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam gradivo pojam naelektrisanja, elektronsku teoriju, kako ona objašnjava elektrostatičke pojave,

zakon održanja naelektrisanja.. Najavljujem cilj časa. Na vrh table pišem naslov „Zakon održanja ukupnog

električnog naboja – vježba“


Poslije kratkog podsjećanja na teorijekse osnove, učenicima zadajem zadatke za vježbanje:

1. Izračunati koliko elektrona ima naelektrisanje 0,02mC.

Rješenje:

5

19

5

19

14

0,02 m 2 10

1,6 10

?

2 10

1,6 10

1, 25 10

e

q C

q e C

n

q n e

qn

e

Cn

C

n

2. Ako u nekom tijelu 2 milijarde elektrona pređe sa jedne na drugu stranu, kolika će biti naelektrisanja

na jednoi i na drugoj strani tog tijela?

Rješenje:

9

19

1

2

1

9 19

1

10

1

1

2

9 19

2

10

2

2

2 10

1,6 10

?

?

2 10 1,6 10

3, 2 10

0,32

2 10 1,6 10

3, 2 10

0,32

n

e C

q

q

q ne

q C

q C

q nC

q ne

q C

q C

q nC

207

3. Koliko je ukupno naelektrisanje 32 miliona pozitivnih i 24 miliona negativnih jona ako pozitivni

joni imaju po dva elektrona manje, a negativni joni imaju po tri elektrona više u zadnjim

elektronskim ljuskama*

Rješenje:

6

1

6

2

1

2

1 2

1 1

1 1 1

6

1

6

1

6 19

1

11

1

' 32 10

' 24 10

2

3

?

'

2 32 10

64 10

64 10 1,6 10

1,024 10

n

n

k

k

q

q q q

q n e

n k n

n

n

q C

q C

2 2

2 2 2

6

2

6

2

6 19

2

11

2

1 2

11 11

11

12

'

3 24 10

72 10

72 10 1,6 10

1,152 10

1,024 10 1,152 10

0,128 10

1, 28 10

1, 28

q n e

n k n

n

n

q C

q C

q q q

q C C

q C

q

q pC


Ponavljam pojam naelektrisanja i zakon održanja naelektrisanja. Dajem učenicima zadatak za domaću

zadaću:

Izračunati naelektrisanje tijela koje ima 4,5 milijarde viška elektrona.

208

Plan table

5

19

5

19

14

1.

0,02 m 2 10

1,6 10

?

2 10

1,6 10

1, 25 10

e

q C

q e C

n

q n e

qn

e

Cn

C

n

Zakon održanja ukupnog električnog naboja – vježba

9

19

1

2

1

9 19

1

10

1

1

2

2.

2 10

1,6 10

?

?

2 10 1,6 10

3, 2 10

0,32

n

e C

q

q

q ne

q C

q C

q nC

q ne

9 19

2

10

2

2

6

1

6

2

1

2

1 2

1 1

2 10 1,6 10

3, 2 10

0,32

3.

' 32 10

' 24 10

2

3

?

q C

q C

q nC

n

n

k

k

q

q q q

q n e

1 1 1

6

1

6

1

6 19

1

11

1

2 2

2 2 2

6

2

'

2 32 10

64 10

64 10 1,6 10

1,024 10

'

3 24 10

n k n

n

n

q C

q C

q n e

n k n

n

6

2

6 19

2

11

2

1 2

11 11

11

12

72 10

72 10 1,6 10

1,152 10

1,024 10 1,152 10

0,128 10

1, 28 10

1, 28

n

q C

q C

q q q

q C C

q C

q

q pC

209



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 11. Nastavna jedinica: Coulombov zakon. Električni naboj u atmosferi.




Cilj časa: Naučiti osnovne električne veličine

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Naučiti zavisnost električne sile od količine elektriciteta i od rastojanja



zadataka

Literatura :



210

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam gradivo pojam naelektrisanja, elektronsku teoriju, kako ona objašnjava elektrostatičke pojave, zakon održanja naelektrisanja.. Najavljujem cilj časa. Na vrh table pišem naslov „Coulombov zakon. Električni naboj u atmosferi.“


Već odavna je poznata eksperimentalna činjenica da se istoimena naelektrisanja odbijaju, a raznoimena privlače.

Francuski fizičar Coulomb (Kulon) je 1785. godine prvi izmjerio silu između dvije naelektrisane kuglice i ustanovio zavisnost te sile od naelektrisanja kuglica i od njihovog rastojanja.

Silu između dva naboja Coulomb je izmjerio pomoću tzv. torzione vage (slika 1.). Na laganoj šipci od izolatora nalazi se naelektrisana kuglica q1. Ta šipka visi na žici tako da se može okretati. Pored nje se nalazi nepokretna kuglica sa naelektrisanjem q2. Kuglica je naelektrisana istoimenim elektricitetom pri čemu se one odbijaju. Mjereći ugao uvrtanja žice izračunao je silu kojom se međusobno odbijaju naelektrisanja q1 i q2.

Slika 1.

Na osnovu tih mjerenja Coulomb je izveo zaključak.

Sila uzajamnog djelovanja dvije tačkaste količine elektriciteta upravo je proporcionalna tim količinama elektriciteta, a obrnuto proporcionalna kvadratu njihove udaljenosti.

1 2

2

q qF k

r

Ova relacija je poznata kao Coulombov zakon. Sila međudjelovanja između naelektrisanja koja miruju se zove

elektrostatička sila. Konstanta proporcionalnosti k zavisi od sredine u kojoj se nalaze naelektrisanja. Za vakuum iznosi

2

9

2

N m9 10k

C

Često konstanta k za vakuum piše u obliku

0

1

4k

gdje je: 0 - permitivnost vakuuma i ima vrijednost

2

12

0 28,85 10

N m

C

211

Zato se Coulombov zakon može napisati i u obliku

1 2

2

0

1

4

q qF

r

Dva naelektrisanja međusobno djeluju najvećom silom baš u vakuumu. Ako se naelektrisanja nalaze u nekoj drugoj (neprovodnoj) sredini onda je sila međudjelovanja manja. Razlog tome je što je permitivnost bilo koje

druge sredine (izolatora) veća od permitivnosti vakuuma 0

0 r

gdje je r relativna permitivnost te sredine. Električna sila u sredini je

1 2

2

0

1

4 r

q qF

r

Na primjer relativna permitivnost vode je 81 što znači da će u vodi sila uzajamnog djelovanja naelektrisanja biti 81 puta manja nego u vakuumu. Stoga se relativna permitivnost neke sredine može definisati na sljedeći način: Ako je sila uzajamnog djelovanja dva naelektrisanja u vakuumu F0 a u nekoj sredini F, onda je

0

r

FF

Relativna permitivnost neke sredine pokazuje koliko je puta sila uzajamnog djelovanja dva naelektrisanja manja u toj sredini nego u vakuumu. Relativna permitivnost vazduha je približno jednaka jedinici!

Pitanje 1. Uporediti elektrostatičku silu sa gravitacionom silom. U čemu je sličnost a u čemu razlika? Formalno, Coulombov zakon podsjeća na Nevvtonov zakon opće gravitacije.

1 2

2

1 2g 2

m m

e

q qF k

r

Fr

Obje sile opadaju sa kvadratom rastojanja. Takođe, obje sile su proporcionalne količinama (kvantitetu): Coulombova sila količinama elektriciteta, a Newtonova sila masama tijela. Sa tim se analogija između ove dvije sile iscrpljuje. Naime, elektrostatička sila može biti i odbojna i privlačna, a gravitaciona sila je samo privlačna. Takođe, gravitaciona konstanta je univerzalna, tj. ne zavisi od sredine. Konstanta k kod elektrostatičke sile zavisi od sredine u kojoj se nalaze naelektrisanja. Razlika je i u "izvoru" sile. "Izvor" elektrostatičke sile je naelektrisanje, a izvor gravitacione sile masa.

Primjer 1: Kako se odnose elektrostatička sila I gravitaciona sila između dva tačkasta naelektrisanja u vakuumu čije su mase m1= m2 = m = 1g i naelektrisanja q1= q2= q = 1nC. Rastojanje između tijela je r. Rješenje:

3

9

9

2

211

2

g

m 1g 10 kg

1 10

N m9 10

N m6,67 10

kg

?e

q nC C

kC

F

F

212

1 2

2

g

e

q qk

F r

F

1 2

2

m m

r

1 2

g 1 2

9

g

m m

N9 10

e

e

F k q q

F

F

F

2m2C

910 C 910 C

11 N6,67 10

2m2kg

310 kg 310 kg

8

g

1,34 10eF

F

U Zemljinoj atmosferi postoji veliki broj naelektrisanih čestica. Razlog tome je što se stalno vrši proces jonizacije čestica atmosfere, usljed kosmičkog zračenja, ultraljubičastog zračenja koje dolazi sa Sunca, radioaktivnog zračenja, itd.

Tako, na primjer, sloj Zemljine atmosfere, koji se nalazi na visini preko 80 km, naziva se jonosfera, jer sadrži veliku količinu jona i slobodnih elektrona. Uzrok jonizacije su ultraljubičasti zraci sa Sunca i kosmički zraci. Jonosfera djeluje na kratke radiotalase kao ogledalo pa se pomoću kratkih radiotalasa vrši prijenos na velike daljine.

Zemlja ima svoje električno polje koje se prostire sve do jonosfere. Jačina električnog polja Zemlje opada sa nadmorskom visinom. Na nivou mora je 120 V/m, a na visini 50 m je 56 V/m.

Usljed jonizacije vazduha i električnog polja Zemlje nastaju naelektrisani oblaci. Pražnjenje između oblaka i Zemlje se često naziva grom, a pražnjenje između dva oblaka munja. Atmosfersko pražnjenje prati jak zvučni potres koji se naziva grmljavina. Električni napon pri pražnjenju dostiže i do 100 miliona volti, dužina munje i do 3 km, a njeno trajanje milioniti dio sekunde.

Munja na svom putu ka Zemlji traži tijelo koje najbolje provodi elektricitet. To su usamljena visoka drveća, zgrade, životinje na otvorenom prostoru, itd.

Za zaštitu zgrada od groma koristi se gromobran. Princip izrade gromobrana postavio je još 1758. godine američki fizičar Franklin. Djelovanje gromobrana se zasniva na jonizaciji vazduha koja nastaje usljed šiljka na vertikalno postavljenom štapu. Šipka je vezana za Zemlju preko bakarne ili cinčane ploče do dubine 3 m.

U gornjim slojevima atmosfere, između 100 i 700 km visine, nastaje tzv. polarna svjetlost. Tu svjetlost izazivaju elektroni koji dolaze do Sunca. Naziv je dobila po tome što se javlja u polarnim krajevima.


Ponavljam Coulombov zakon, formulu za računanje električne sile i pojavu električnog naboja u

atmosferi. Dajem učenicima zadatak za domaću zadaću:

Izračunati silu kojom se privlače naelektrisanje q1 = 120 nC i q2 = 210 nC na rastojanju r = 2 cm

213

Plan table

Coulombov zakon. Električni naboj u atmosferi.

1 2

2

q qF k

r

29

2

N m9 10k

C

0

212

0 2

1 2

2

0

0

1 2

2

0

1

4

8,85 10N m

1

4

1

4

r

r

k

C

q qF

r

q qF

r

0

r

FF

1 2

2

1 2g 2

m m

e

q qF k

r

Fr

3

9

9

2

211

2

g

Primjer:

m 1g 10 kg

1 10

N m9 10

N m6,67 10

kg

?e

q nC C

kC

F

F

1 2

2

g

e

q qk

F r

F

1 2

2

m m

r

1 2

g 1 2

9

g

m m

N9 10

e

e

F k q q

F

F

F

2m2C

910 C 910 C

11 N6,67 10

2m2kg

310 kg 310 kg

8

g

1,34 10eF

F

214

215



Visoko

Predmet : Fizika




/Čas: 12. Nastavna jedinica: Električno polje.




Cilj časa: Naučiti osnovne električne veličine

Zadaci časa:

Obrazovni zadatak: Naučiti pojam električnog polja i definiciju jačine električnog polja


Funkcionalni zadatak: Naučiti koristiti definiciju i formulu za električnu silu i jačinu elekričnog polja

pri rješavanju praktičnih zadataka

Literatura :



216

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam gradivo pojam naelektrisanja, elektronsku teoriju, kako ona objašnjava elektrostatičke pojave, zakon održanja naelektrisanja.. Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na vrh table pišem naslov „Električno polje“


Svako naelektrisano tijelo, prema Coulombovom zakonu, djeluje izvjesnom silom na druga naelektrisana tijela koja se nalaze u njegovoj okolini. To djelovanje se vrši bez bilo kakve vidljive materijalne veze.

Međusobno djelovanje naelektrisanih tijela tumači se na taj način što se uvodi pretpostavka da svako naelektrisanje mijenja prostor u svojoj okolini.

Prostor oko naelektrisanog tijela u kojem se očituje (manifestuje) djelovanje na druga naelektrisana tijela zove se

električno polje.

Slika 1.

Polje koje stvara naelektrisanje q u nekoj tački A ispituje se tako što se u tu tačku postavi tačkasto naelektrisanje qp koje nazivamo probno naelektrisanje (slika 1.). Ako na posmatrano probno naelektrisanje djeluje elektrostatička sila, onda u toj tački postoji električno polje.

Ako se probno naelektrisanje poveća dva puta, sila će se takođe povećati dva puta, itd. Pri tome odnos sile i probnog naelektrisanja ostaje nepromijenjen. Količnik Coulombove sile i probnog naelektrisanja zove se jačina električnog polja E

p

FE

q

Jačina električnog polja u nekoj tački brojno je jednaka sili kojom to polje djeluje na jediničnu količinu elektriciteta u toj tački.

Iz gornje relacije vidimo da je sila F kojom električno polje djeluje na probno naelektrisanje proporcionalna veličini tog naelektrisanja i jačini električnog polja

pF q E

SI jedinica za jačinu električnog polja je N/C.

Jačina električnog polja je vektorska veličina i ima pravac i smjer vektora sile.

F qE

Bez obzira da li se u polju nalazi neko probno naelektrisanje ili ne, to polje ima svoje karakteristike koje su

predstavljene vektorom E (slika 2.)

217

Slika 2.

Primjer 1.

Korištenjem matematičkog izraza za Coulombov zakon izračunaj jačinu električnog polja u nekoj tački na rastojanju r od naelektrisanja q.

Rješenje:

Prema coulombovom zakonu, sila kojom naelektrisanje q djeluje na probno naelektrisanje qp jednaka je

2

pq q

F kr

Ako ovo uvrstimo u formulu za jačinu električnog polja

p

FE

q

dobićemo

pqk

E 2

p

q

r

q

2

qE k

r

Jačina električnog polja oko naelektrisanja q opada sa kvadratom rastojanja.

Linije sile električnog polja. Električno polje se može slikovito prikazati pomoću tzv. Unija sile električnog

polja. Uveo ih je Faraday. To su linije koje se poklapaju sa pravcem vektora jačine električnog polja. Ako bi naprimjer posmatrali putanju probnog pozitivnog naelektrisanja u električnom polju ono bi se kretalo u smjeru linija sile električnog polja

Linije sile pozitivnog naelektrisanja imaju smjer od naelektrisanja, a linije sile negativnog naelektrisanja imaju

smjer ka naelektrisanju (slika 3., a) i b)). U oba slučaja linije sile su radijalne. Na slici 2.1.8.c su prikazane linije sile između dva istoimena naelektrisanja, odnosno između dva raznoimena naelektrisanja.

Slika 3.

Prema tome, pozitivno naelektrisanje se može smatrati kao "izvor" linija sile, a negativno kao "ponor". Linije sile

počinju na pozitivnom naelektrisanju, a završavaju na negativnom. Međusobno se nikada ne sijeku.

Slika 4.

218

Za električno polje kažemo da je homogeno ako su linije sile međusobno paralelne i jednako udaljene. Na slici 4. je prikazano električno polje između dvije ravne ploče naelektrisane jednakom količinom elektriciteta suprotnog

znaka. Polje ima svugdje istu jačinu (E = const) i kažemo da je homogeno.

Primjer 2.

Odredi jačinu električnog polja na rastojanju 30 cm od tačkastog naboja +8 nC.

Rješenje:

9

2

2 99

22

30cm 0,3m

8 8 10

?

N m 8 109 10

0,3m

N800

r

q nC C

E

qE k

r

CE

C

EC

Primjer 3.

Na kojem rastojanju od naboja -2 nC je jačina električnog polja 9 N/C?

Rješenje:

9

2

2

2

2

2 2 10

N9

?

/

/ :

/

q nC C

EC

r

qE k r

r

Er kq E

kqr

E

kqr

E


Ponavljam Coulombov zakon, formulu za računanje električne sile i pojavu električnog naboja u

atmosferi. Dajem učenicima zadatak za domaću zadaću:

Izračunati jačinu polja naelektrisanja q = 120 nC na rastojanju r = 2 cm

219

Plan table

Električno polje

N

p

FE

q C

pF q E

F qE

2

Primjer 1.

p

p

p

q qF k

r

FE

q

qk

E

2

p

q

r

q

2

qE k

r

9

2

2 99

22

Primjer 2.

30cm 0,3m

8 8 10

?

N m 8 109 10

0,3m

N800

r

q nC C

E

qE k

r

CE

C

EC

220

221

Fizika – prvi razred stručne škole

222

223



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 1.






Zadaci časa :


prvog razreda



Literatura :

„Fizika za prvi razred srednjih škola“, dr Ahmed Čolić, dr. Hrustem Smailhodžić, Kasim Imamović

224

TOK ČASA

Uvodni dio (3 min.)




Ukratko učenike upoznajem sa nastavnim sadržajima koji će se obrađivati u nastavi fizike u prvom razredu

stručne škole. Učenicima predlažem da sa table prepišu kratki pregled oblasti koje su predviđene Nastavnim

planom i programom za prvi razred mašinske tehničke škole, kako bi kasnije mogli (pri kupovanju


Prva oblast koja će se raditi je mehanika. U okviru mehanike radićemo sljedeće oblasti:

Kinematika – tu ćemo govoriti o kretanju kao takvom, pri čemo se nećemo baviti uzrocima oji su doveli do

tog kretanja. Upoznaćemo se sa osnovnim vrstama kretanja i njihovim jednačinama. Upoznaćemo pojam

prostora i vremena, putanje i pređenog puta, opmaka i iznosa pomaka, pravoinijskog i kružnog kretanja.

Dinamika i statika – Ovdje ćemo se baviti i uzrocima koji dovode do kretanja, odnosno silama. Radićemo

Newtonov zakon opšte gravitacije, težinu, težište i stabilnost tijela, sile u čvrstim tijelima, tečnostima i

gasovima.

Energija i rad – Govorićemo o dva osnovna oblika mehaničke energije : kinetičkoj (energija kretanja) i

potencijalnoj (energija položaja), o radu koji se može vršiti na račun kinetičke ili potencijalne energije, kao

i o održanju energije.

Oscilacije i talasi – Govorićemo o oscilatornom kretanju, njegovim osobimana i veličinama koje ga

karakterišu. Zatim ćemo razmatrati talase, vrste i osobine talasa kao i veličine specifične za talase.

Druga oblast koja će se obrađivati u prvom razredu je molekularna fizika. U okviru molekularne fizike

obrađivaćemo sljedeće oblasti:

Molekularna fizika – Govorićemo o strukturi materije, njenoj unutrašnjoj energiji i procesima vezanim za

nju, kristalne i amorfne tvari, deformacije i elastičnost, termodinamički sistem, rad u njemu, zakone

termodinamike i gasne procese.

Zatim prelazimo na elektrodinamiku, u okviru koje ćemo govoriti o električnoj struji, istosmjernoj i

naizmjeničnoj struji, veličinama u elektrodinamici, zakonim akoji povezuju te veličine, elektrilnim

mašinama i elektromagnetnim oscilacijama i talasima.

Zatim proučavamo pojave talasne optike, interferenciju, difrakciju, polarizaciju i disperziju svjetlosti.

Poslije toga radimo fiziku atoma i jezgre atoma, uvodimo nove fizikalne predodžbe, govorimo nešto više o

zračenju, pominjemo fotoelektrični efekat, izučavamo modele atoma i njihovo vezivanje u molekule.

Proučavamo atomsku jezgru, radioaktivnost i nuklearne reakcije, njihovu primjenu i elementarne čestice.

Potom malo govorimo o svemiru, njegovoj strukturi, tijelima u svemiru (planete, zvijezde, sateliti, asteroidi,

komete, galaksije, galaktička jata i superjata), kako je svemir postao i kako se razvija.

I, na kraju, pominjemo vezu fizike i tehnologije, njihovu međusobnu uslovljenost i povezanost.

225

U okviru školske godine učenici će imati nekoliko kontrolnih radova, koji ne moraju biti najavljeni.


Zaključićemo da nam, s obzirom na Nastavni plan i program fizike za prvi razred stručne škole, najbolje

odgovara udžbenih „Fizika za prvi razred srednjih stručnih škola“, autora dr. Ahmed Čolić,, dr. Hrustema

Smailhodžića i Kasima.


napisane na tabli.

Plan table

FIZIKA

MEHANIKA

MOLEKULARNA FIZIKA

ELEKTRODINAMIKA

OPTIKA

FIZIKA ATOMA I JEZGRE ATOMA

ELEMENTARNE ČESTICE

SVEMIR

FIZIKA KAO OSNOVA VISOKIH

TEHNOLOGIJA

„Fizika za prvi razred

srednjih stručnih škola“

Ahmed Čolić

Hrustem Smailhodžić

Kasim Imamović

226

227



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 2.

Nastavna jedinica: Prostor i vrijeme. Pravolinijsko kretanje




Cilj časa: Upoznati učenike sa osnovnim pojmovima u fizici i pripremiti ih za aktivno

praćenje nastave fizike

Zadaci časa :






Literatura :


228

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)




„Prostor i vrijeme. Pravolinijsko kretanje“


Mehaničko kretanje predstavlja promjenu položaja tijela u odnosu na neko drugo tijelo. Tijelo u odnosu

na koje posmatramo kretanje, naziva se referentno tijelo. Za određivanje trenutnog položaja tijela

primjenjuje se i metod koordinata. U tu svrhu za referentno tijelo se "vezuju" tri međusobno okomite ose

(x, y, z). Ovakav sistem se naziva referentni sistem. Za proučavanje kretanja na Zemlji obično se koristi

referentni sistem vezan za neku tačku na Zemlji, za proučavanje kretanja planeta kao referentno tijelo se

uzima Sunce, itd.

Materijalna tačka je tijelo čije su dimenzije zanemarljivo male u odnosu na dio prostora u kojem se ono

kreće.

Veličine koje karakterišu fizičke pojave ili određuju svojstvo supstance nazivaju se fizičke veličine. Svaka

fizička veličina ima brojnu vrijednost i odgovarajuću jedinicu. Na II Generalnoj konferenciji za mjere i

tegove, održanoj 1960. godine u Parizu, prihvaćen je Međunarodni sistem jedinica, skraćeno SI. On se

sastoji od sedam osnovnih jedinica za sedam osnovnih fizičkih veličina. Te jedinice su međusobno

povezane i obuhvaćaju sva područja nauke i tehnike.

U fizici se susrećemo sa dva tipa fizičkih veličina: skalame i vektorske. Skalame veličine su potpuno

određene brojnom vrijednošću i mjernom jedinicom. Takve veličine su naprimjer. temperatura, masa,

vrijeme, itd. Vektorske veličine, pored brojne vrijednosti, određene su pravcem i smjerom. Takve veličine

su naprimjer: brzina, ubrzanje, sila, itd. Vektorske veličine se grafički predstavljaju pomoću orijentiranih

duži ili vektora. Smjer vektora (označen strelicom) pokazuje smjer fizičke veličine, a njegova dužina je

mjera intenziteta te veličine.

Posmatrajući svijet oko sebe zapažamo raznovrsna kretanja. Sunce izlazi i zalazi, automobil se kreće

ulicom, ljudi se kreću, površina jezera se talasa. Proučavajući supstancu od koje je građen svijet oko nas,

saznajemo da se molekuli supstance kreću. I dijelovi molekula - atomi se kreću, a također i dijelovi atoma.

Pokušaj odgovora na pitanje što je kretanje, dovest će nas do objašnjenja daje to promjena položaja u odnosu

na druga tijela za koja pretpostavljamo da su nepokretna. Ali, koja su to nepokretna tijela? Nalazimo se u

učionici i smatramo zidove nepokretnim. Ali mi znamo da se čitava zgrada kreće zajedno sa Zemljom koja

je u stalnom kretanju oko svoje ose i oko Sunca. Međutim, u običnom životu kao tijelo u odnosu na koje se

računa kretanje, odnosno tijelo referencije, uzima se neka tačka na Zemlji. U tom smislu govorimo o relativnosti

kretanja.

229

Položaj nekog tijela u prostoru možemo odrediti i zabilježiti. Za to su nam potrebna tri podatka, tri

koordinate. Ali to je dovoljno za tijelo koje miruje. Tijelu koje se kreće treba odrediti i vrijeme kada je bilo

u tom položaju. To su četiri podatka, četiri koordinate. U tom smislu govorimo o četvorodimenzionalnom

prostoru.

Promjene same za sebe ne postoje. Vidimo ih na predmetima koji mijenjaju svoj položaj, oblik itd.

Promjene nas vode dubljem pojmu: vremenu. Zatim, predmeti na kojima se promjene događaju napravljeni

su od nečega a to nešto zovemo supstanca. Želimo li pojmove prostor, vrijeme, supstanca, objasniti jedne

bez drugih, naići ćemo na nepremostive teškoće. Kada u djetinjstvu usvajamo pojam prostora, onda je to

uvijek iznad nečeg, lijevo ili desno itd. U potpuno praznom prostoru nećemo moći odrediti ni udaljenost ni

smjerove. Uočavamo, dakle, nemogućnost odvajanja pojmova prostor i tijelo.

A kako je sa vremenom? Na prvi pogled reći ćemo da vrijeme teče mjerili ga mi ili ne. Međutim, u ljudima

je duboko usađena spoznaja o vezi između promjena na predmetima i vremena. Prisjetimo se kako

karikaturisti prikazuju dugo čekanje: nahvata se paučina, uvehne cvijeće, čovjeku naraste brada... Dakle,

prostor, vrijeme i supstancu ne možemo zamisliti jedne bez drugih. U čemu je njihovo srodstvo? Jedna je

priroda. Sve u prirodi je od nečeg napravljeno, svi predmeti imaju neki međusobni odnos. Sve što je

pojavama u prirodi svojstveno, sve to izražavamo u obliku pravila i zakona

Brzina. Ako vrh krede vučemo po tabli, ostaje trag koji pokazuje niz položaja kroz koje prolazi vrh krede.

Dobili smo putanju krede u odnosu na tablu. Prema obliku putanje kretanje može biti pravolinijsko i krivolinijsko.

Proučavat ćemo pravolinijsko kretanje materijalne tačke.

Opišimo kretanje autobusa, naprimjer, od Tuzle do Gradačca. Prije svega interesira nas kolika je dužina

puta. Na brojaču smo pročitali da je autobus prešao 60 km. Zatim nas interesira vrijeme za koje je autobus

prešao taj put. Izmjerili smo vrijeme koje je iznosilo 1,5 sat. Kako ćemo izračunati brzinu kojom se kretao

autobus? Podijelit ćemo pređeni put sa proteklim vremenom,

𝑏𝑟𝑧𝑖𝑛𝑎 = 𝑝𝑟𝑒đ𝑒𝑛𝑖 𝑝𝑢𝑡

𝑣𝑟𝑖𝑗𝑒𝑚𝑒=

60 𝑘𝑚

1,5 ℎ= 40

𝑘𝑚

ℎ

Dobili smo srednju brzinu. To ne znači da se autobus čitavo vrijeme kretao istom brzinom. Negdje se kretao

brže, negdje sporije. Da smo mjerili puteve u kraćim vremenskim intervalima dobili bismo preciznije

podatke o kretanju. U fizici se male veličine, odnosno male razlike, označavaju sa grčkim slovom delta A,

pa je u takvom slučaju srednja brzina

s

vt

230

Ako vremenski interval učinimo neizmjerno malim, onda svakom vremenskom intervalu odgovara trenutna

brzina koju označavamo sa v. Kada je trenutna brzina stalna i kada je kretanje pravolinijsko, onda takvo

kretanje zovemo jednako pravolinijsko. Tada tijelo u jednakim vremenskim intervalima prelazi iste dužine puta,

tj.

s

vt

Kretanje je ravnomjerno pravolinijsko ako je vektor brzine

s .v con t

SI jedinica za mjerenje brzine je m/s. Koristi se u praksi i jedinica km/h. Evo nekoliko primjera za brzine:

pješak 1,4 m/s (5 km/h), automobil 20 m/s (72 km/h), avion 222 m/s (800 km/h), zvuk u zraku 340 m/s

(1225 km/h), vještački Zemljin satelit 8 km/s (28000 km/h).

Primjer 1.

Tijelo se kreće ravnomjerno pravolinijski, tako da za 2 min pređe 540 m. Izračunati brzinu kretanja tijela.

Rješenje:

2 min 120s

s 540 m

?

s

540 m

120s

m4,5

s

t

v

vt

v

v

Primjer 2.

Automobil se kreće brzinom 72 km/h. Izraziti tu brzinu u m/s.

Rješenje:

m

s

km72

h

?

km 1 0 0072 72

h

v

v

v

m

3 6 00 s

m20

sv

Zamislimo da se nalazimo u automobilu koji se kreće po pravom putu i svake minute čitamo na brojaču put

u kilometrima (slika 1.).

231

Kada se brzina tijela u toku vremena mijenja, onda je to promjenljivo kretanje. Neka se naš automobil kreće

tako da stalno povećava brzinu (slika 2.). Zapažamo da svake naredne sekunde automobil prelazi sve veći

put, što znači da mu se povećava brzina.

Slika 2.

Ako promjenu intenziteta brzine Av podijelimo sa odgovarajućim vremenskim, intervalom ∆t, dobićemo

srednje ubrzanje ili akceleraciju.

v

at

Ako je za svo vrijeme kretanja promjena brzine bila stalna, onda se takvo kretanje zove jednakoubrzano. U

našem primjeru je za vrijeme od 3 s priraštaj brzine 6 m/s, te je ubrzanje

2

m6

ms 23s s

va

t

To znači da se svake sekunde brzina povećava za 2 m/s. Poslije prve sekunde brzina je bila 2 m/s, poslije

druge sekunde 4 m/s i poslije treće sekunde 6 m/s. U našem primjeru početna brzina jednaka je nuli, pa je

brzina poslije vremena t,

v a t


Ponavljam osnovne pojmove u kinematici, prostor i vrijeme, referentni sistem. Ponavljam osnovne

veličine kod kretanja, pravolinijsko kretanje, brzinu i ubrzanje.

Plan table

Naslov

sv

t

s .v con t va

t

2

m6

ms 23s s

va

t

v a t

232

233



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 3.

Nastavna jedinica: Ravnomjerno kretanje po kružnici




Cilj časa: Upoznati učenike sa osnovnim veličinama kod kružnog kretanja

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Upoznati učenike sa pojmom kruđnog kretanja, linijskom i ugaonom brzinom


Funkcionalni zadatak: Naučiti izračunavati linijsku i ugaonu brzinu kod kružnog kretanja, izračunati

brzine kretanja nekih tijela (npr. zemlje okom Sunca)

Literatura :


234

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam pojam prostora i vremena, pojam mehaničkog kretanja, relativnost kretanja, pravolinijsko

kretanje, ravnomjerno i jednakopromjenjivo pravolinijsko kretaje.

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cpilj časa. Na vrh table pišem naslov „Ravnomjerno kretanje o

kružnici“


Kretanje kod kojeg je putanja tijela kružnica i kod kojeg se ne mijenja iznos brzine naziva se

ravnomjerno kretanje po kružnici. To je jedno od najvažnijih krivolinijskih kretanja. Tako se npr.

približno kreću planete oko Sunca, elektroni oko jezgra atoma, dijelovi rototra mašine, itd.

Na slici 1. prikazano je kretanje materijalne tačke po kružnici. Pravac brzine u svakoj tački ima pravac

tagente na kružnicu u toj tački. Iznos (intenzitet) brzine je stalan: 1 2v v . Brzina v se naziva

tangencijalna ili linijska brzina.

Ravnomjerno kretanje po kružnici spada u periodična kretanja koja se ponavljaju poslije određenog

vremena. Vrijeme trajanja jednog obrtaja je period T. Za vrijeme od jednog obrtaja tijelo pređe put

jednak obimu kruga 2r , te je linijska brzina

2r

vT

Period možemo izračunati ako izmjerimo vrijeme (t) za koje tijelo napravi N punih krugova:

t

TN

Broj obrtaja u jednoj sekundi naziva se frekvencija obrtanja

N

ft

Odavde je jasno da je

1 1

;f TT f

Ugaonu brzinu dobijemo ako ugao koji pri kretanju prebriše poluprečnik podijelimo sa vremenom

t

Ugaona brzina može se još naći i iz relacija

2

T

235

i

2 f

Dok linijska brzina zavisi od udaljenosti od centra rotacije (tj. od poluprečnika r), ugaona brzina ne zavisi

od te udaljenosti.

Zadatak. 1. Izračunati brzinu kretanja Zemlje oko sunca. Prosječna udaljenost Zemlje od Sunca je

150 000 000 km, a period rotacije je 1 god.

Rješenje:

8 11150000000 km 1,5 10 km 1,5 10 m

1god 365 24 3600s

?

r

T

v

11

2

2 1,5 10 m

365 24 3600

m29885

s

km30

s

rv

T

v

v

v

Zadatak 2. Dva tijela okreću se oko istog centra rotacije, sa periodom od 25 s. Jendo tijelo je udaljeno 8

m, a drugo 6 m od centra rotacije. Naći im linijske i ugaone brzine.

Rješenje:

1

2

1

2

1

2

25s

8m

6 m

?

?

?

?

T

r

r

v

v

11

2 2 8m m2,01

25s s

rv

T

22

2 2 6m m1,51

25s s

rv

T

1

2 2 rad0,25

25s sT

2

2 2 rad0,25

25s sT

1 2v v

1 2

236


Ponavljam osnovne veličine kod rotacionog kretanja, linijsku i ugaonu brzinu, formule za njihovo

računanje, zavisnost od udaljenosti od centra rotacije. Dajem zadatak za domaću zadaću:

Tri tijela se okreću oko zajedničkog centra rotacije na udaljenostima 15 m, 20 m i 25 m. Kolike su im

linijske i ugaone brzine ako je period rotacije 6 s?

Plan table

Naslov

2rv

T

tT

N

Nf

t

1

1

fT

Tf

t

2 f

11

1.

150000000 km 1,5 10 m

1god 365 24 3600s

?

r

T

v

11

2

2 1,5 10 m

365 24 3600

m29885

s

km30

s

rv

T

v

v

v

1

2

1

2

1

2

2.

25s

8m

6 m

?

?

?

?

T

r

r

v

v

11

2 2 8m m2,01

25s s

rv

T

22

2 2 6m m1,51

25s s

rv

T

1

2 2 rad0,25

25s sT

2

2 2 rad0,25

25s sT

1 2v v

1 2

237



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 4.

Nastavna jedinica: Pravolinijsko kretanje. Ravnomjerno kretanje po kružnici



Oblici rada: Individualno

Cilj časa: Ponoviti i utvrditi osnovne zakone kretanja, uvježbati zadatke

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Utvrditi veličine i zakone kod pravolinijskog kretajna


Funkcionalni zadatak: Uvježbati primjenu stečenih znanja na rješavanje zadataka

Literatura :


238

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam sa , osnovne veličine kod kretanja, brzinu, pređeni put, ubrzanje, linijsku i ugaonu brzinu.

Provjeravam da li su učenici znali da urade zadatak za domaću zadaću. Najalvjujem cilj časa.


Učenici (uz moju pomoć po potrebi) rješavaju razne zadatke.

Zadatak 1. Tri tijela se okreću oko zajedničkog centra rotacije na udaljenostima 15 m, 20 m i 25 m.

Kolike su im linijske i ugaone brzine ako je period rotacije 6 s?

Rješenje:

1

2

3

1

2

3

15 m

20 m

25 m

6s

?

?

?

?

r

r

r

T

v

v

v

11

2 2 15m m15,71

6s s

rv

T

22

2 2 20m m20,94

6s s

rv

T

33

2 2 25m m26,18

6s s

rv

T

2 2 rad1,05

6s sT

Zadatak 2. Automobil se kreće brzinom 18 km/h. Poslije 5 s ravnomjernog ubrzavanja dostiže brzinu od

54 km/h. Izračunati ubrzanje automobila.

Rješenje:

1

2

km18

h

5s

km54

h

?

v

t

v

a

239

1

km18 18

hv

10 00

m

36 00

m5

ss

2

km54 54

hv

10 00

m

36 00

m15

ss

2 1

2

m m15 5

s s

5s

m2

s

v va

t

a

Zadatak 3. Autobus se kreće ravnomjerno brzinom 72 km/h. Za koje vrijeme će preći rastojanje između

dva telefonska stuba ako ono iznosi 100 m?

Rješenje:

km72

h

s 100 m

?

v

t

s

s

s

vt

v t

tv

72v 10 00

m

36 00

m20

ss

100 mt

m20

s

5st


Ukratko ponavljamo gradivo koje smo koristili da riješimo zadatke na času. Pojašnjavam još jednom

riješene zadatke. Dajem zadatke za domaću zadaću:

Zadatak 1. Automobil, koji se kreće brzinom km

72h

v počinje da koči i zaustavi se (km

0h

v ) poslije

3st . Koliko je bilo usporenje automobila?

Zadatak 2. Tijelo se kreće ugaonom brzinom od 18,85 rad/s. Koliki su period i frekvencija kružeja? Kolike

su liniijske brzine tijela koja su udaljena 20cm, 50 cm i 80 cm od centra rotacije?

240

Plan table

Pravolinijsko kretanje. Ravnomjerno kretanje po kružnici – vježbanje

1

2

3

1

2

3

1.

15 m

20 m

25 m

6s

?

?

?

?

r

r

r

T

v

v

v

11

2 2 15m m15,71

6s s

rv

T

22

2 2 20m m20,94

6s s

rv

T

33

2 2 25m m26,18

6s s

rv

T

2 2 rad1,05

6s sT

1

2

2.

km18

h

5s

km54

h

?

v

t

v

a

1

km18 18

hv

10 00

m

36 00

m5

ss

2

km54 54

hv

10 00

m

36 00

m15

ss

2 1

2

m m15 5

s s

5s

m2

s

v va

t

a

241



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 5.

Nastavna jedinica: Međudjelovanje tijela, sile, efekti djelovanja sila




Cilj časa: Upoznati osnove dinamike

Zadaci časa :

Obrazovni zadatak: Naučiti pojam i osnovne zakone dinamike


Funkcionalni zadatak: Shvatiti kako se međudjelovanje ostvarujue i povezati sa primjerima iz

svakodnevnog života

Literatura :


242

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam sa učenicima pravolinijsko i krivolinijsko kretanje, put, pomak, brzinu i ubrzanje, relativnost

kretanja. Postavljam pitanje, šta misle, zašto se tijela kreću? Šta jedno tijelo, koje miruje, natjera da se

pokrene? Ili šta tijelo koje se krće natjera da se zaustavi ili promijeni pravac ili brzinu kretanja?

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na tablu pišem naslov „Međudjelovanje i sile“


U osnovnoj školi ste saznali da se svojstvo tijela da zadrži stanje mirovanja ili jednako

pravolinijskog kretanja naziva inercija. Tijelo se ne može pokrenuti ni zaustaviti niti promijeniti pravac

kretanja bez dejstva drugih tijela. Jednako pravolinijsko kretanje bez utjecaja drugih tijela naziva se

inerciono kretanje. Inerciju karakteriše posebna veličina koja se zove masa tijela. Kaže se da je masa tijela

mjera njegove inertnosti. Tijelo koje ispoljava veću inertnost ima veću masu.

Kada bacimo kuglicu po zastrtom podu ili travi, ona će se brzo zaustaviti jer je na nju djelovalo

trenje. Ako je bacimo po glatkom stolu ili asfaltu, ona će se kretati duže jer je manje trenje. Knjiga koja

leži na stolu pomjerit će se tek ako na nju djeluje neko drugo tijelo. Uočavamo međudjelovanje tijela.

Veličina kojom opisujemo jačinu međudjelovanja tijela zove se sila i obilježava sa F.

Knjigom ili letvicom udarimo istovremeno dvije kuglice različitih masa (slika). Sto ih jače gurnemo

kuglice će dobiti veću brzinu. Priraštaj brzine u jedinici vremena predstavlja ubrzanje, što znači da je

ubrzanje proporcionalno sili. Takođe uočavamo da kuglica manje mase dobije veće ubrzanje, odakle

zaključujemo da je ubrzanje obrnuto proporcionalno masi.

Na osnovu mjerenja možemo zaključiti da je ubrzanje koje dobije tijelo pod utjecajem sile upravo

proporcionalno sili a obrnuto masi tijela,

m

Fa

To je osnovni zakon kretanja. Njega je prvi izveo Njutn (1643-1727) pa se naziva i drugi Njutnov zakon

mehanike.

Matematički taj izraz možemo napisati:

mF a

jedinica za silu njutn (N) je

2

kg m1N 1

s

243

Sila je vektorska veličina, što znači da nju kao vektor karakteriše intenzitet i smjer (slika 13). U vektorskom

obliku drugi Njutnov zakon možemo pisati:

mF a

Svaka sila u prirodi proizlazi iz jedne od četiri fundamentalne sile:

1) Jaka nuklearna sila, odgovorna za stabilnost jezgra atoma (domet 10-15 m),

2) Slaba nuklearna sila (odgovorna za raspad elementarnih čestica),

3) Elektromagnetna sila koja opisuje međudjelovanje naelektrisanja u kretanju i mirovanju,

4) Gravitaciona sila između tijela zbog njihove mase

Ogled: Da bismo preciznije našli vezu između sile, mase i ubrzanja, možemo izvesti sljedeći ogled. Stavimo

kolica na dasku dužine oko 1 m i vučemo ih dinamometrom koji pokazuje stalnu silu. Da bismo bili sigurni

da je to jedina sila koja djeluje na kolica, podižemo podlogu dok se ona ne počnu kretati jednoliko. Tada je

trenje "poništeno". Vučemo kolica, čija je masa stalna, različitim silama. Podaci su dati u tabeli.

masa u kg sila u N ubrzanje u m/s2

0,1 0,1 1

0,1 0,2 2

0,1 0,3 3

Ubrzanje izračunavamo tako što mjerimo pređeni put kolica od jednog do drugog kraja stola, a vrijeme

štopericom i koristimo izraz 2

s2

at . Uočavamo da je pri stalnoj masi kolica ubrzanje proporcionalno sili,

𝑎 ~𝐹. Sada mijenjamo masu, a silu održavamo konstantnom. Neka sila iznosi 0,1 N. Uočavamo da porastom

mase opada ubrzanje ako je stalna sila.

Primjer: Kolica mase 500 g vučemo silom od 2 N. Koliko je ubrzanje kolica?

Rješenje:

m 500 0,5kg

2 N

?

g

F

a

2

m

2 N

0,5 kg

m4

s

Fa

a

a


Ponavljam osnove međudjelovanja i sile, inerciju i drugi Newtonov zakon. Dajem učenicima zadatak za

domaću zadaću:

Na kolica mase 800 g djeluje sila od 5 N. Koliko je ubrzanje kolica?

244

Plan table

Međudjelovanje i sile

masa u kg sila u N ubrzanje u m/s2

0,1 0,1 1

0,1 0,2 2

0,1 0,3 3

m

Fa

mF a

2

kg m1N 1

s

mF a

Zadatak :

m 500 0,5kg

2 N

?

g

F

a

2

m

2 N

0,5 kg

m4

s

Fa

a

a

Domaća zadaća

𝑚 = 800 𝑔

𝐹 = 5 𝑁

𝑎 =?

245



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 6. Nastavna jedinica: Osnovni zakon kretanja, količina kretanja (impuls) tijela Tip časa: Obrada novog gradiva




Zadaci časa :





Literatura :


246

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam sa učenicima Newtonove zakone dinamike i kako oni objašnjavaju međudjelovanja i kretanja.

Postavljam pitanje, šta misle, zašto se tijela kreću? Šta jedno tijelo, koje miruje, natjera da se pokrene? Ili

šta tijelo koje se krće natjera da se zaustavi ili promijeni pravac ili brzinu kretanja?

Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na tablu pišem naslov „Impuls, održanje impulsa“

Glavni dio (35 min.) Impuls tijela (količina kretanja) je fizička veličina koja nam je poznata iz svakodnevnog iskustva. Ako, naprimjer, u fudbalskoj igri na nas natrči protivnički igrač sudar će biti snažniji što je veća masa i brzina protivničkog igrača. Impuls tijela je proizvod mase tijela i njegove brzine,

mp v

ili u vektorskom obliku

mp v

Mjerna jedinica za impuls je m kg m

1km 1 1s s

.

Drugi Newtonov zakon se može izraziti i preko impulsa tijela. Ako u matematički izraz za 2. Newtonov zakon,

mF a

uvrstimo izraz za ubrzanje

va

t

dobićemo

m

m

m

vF

t

vF

t

vF

t

pF

t

Promjena impulsa tijela u vremenu proporcionalna je sili i vrši se u pravcu sile. Gornju relaciju možemo pisati u obliku

F t p

Ako je sistem izolovan, tj ne djeluju vanjske sile, onda je lijeva strana jednačine jednaka nuli, te je

0p

odnosno

const.p

To je matematički izraz zakona održanja impulsa:

U izolovanom sistemu ukupan impuls tijela je konstantan.

Taj iskaz važi ne samo za jedno tijelo već i za proizvoljan broj tijela izolovanog sistema.

247

Ovaj izraz se može napisati i u vektorsko obliku

s .p con t

odnosno

m const.v Ogled: Zakon održanja impulsa jednostavno se može demonstrirati pomoću dječijeg balona. Napuši balon, a zatim ga pusti. Balon se počne kretati u smjeru suprotnom od smjera izlaska zraka iz balona.

Kretanje balona može se objasniti na sljedeći način. Ukupan impuls sistema balon-zrak, prije izlaska zraka, bio je jednak nuli. Kada počne izlaziti zrak, ukupan impuls sistema ostaje nepromjenjen, tj. i dalje je jednak nuli:

1 1 2 2

1 1 2 2

0 m m

m m

v v

v v

Impuls koji dobije balon (m2v2), Jednak je po intenzitetu impulsu koji ima zrak i suprotnog je smjera.

I kretanje rakete se temelji na zakonu održanja impulsa. U raketi sagorijeva gorivo (najčešće smjesa kerozina i oksigena). Nastali gasovi izlaze iz rakete velikom brzinom, a raketa se kreće u suprotnom smjeru. Kao i kod balona, u našem primjeru, raketa dobiva isti impuls kao što ga imaju i gasovi koji izlaze u suprotnom smjeru.

Primjer:

Iz puške čija je masa 800 g, izleti tane mase 1 g brzinom 200 m/s. Kolika će biti brzina trzaja puške?

Rješenje:

Puška i tane čine zatvoreni fizički sistem, pa vrijedi zakon održanja impulsa. Na početku (prije hica) ukupna količina kretanja je nula, te je

800g 0,8kg

m 1g 0,001kg

m200

s

?

0 m

m

m

0,001kg m200

0,8kg s

m0, 25

s

M

v

V

v MV

MV v

V vM

V

V


248

Ponavljam osnove međudjelovanja i sile, inerciju i drugi Newtonov zakon. Dajem učenicima zadatak za domaću zadaću: Koliki impuls ima loptica mase 50 g koja se kreće brzinom 54 km/h?

Plan table

Impuls, održanje impulsa

mp v

mp v

m kg m1km 1 1

s s

mF a

va

t

m

m

m

vF

t

vF

t

vF

t

pF

t

F t p

const.p

s .p con t

m const.v

Primjer:

800g 0,8kg

m 1g 0,001kg

m200

s

?

0 m

m

M

v

V

v MV

MV v

m

0,001kg m200

0,8kg s

m0, 25

s

V vM

V

V

Domaća zadaća

m 50g

km54

h

?

v

p

249



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 7. Nastavna jedinica: Princip nezavisnosti djelovaja sila. Slaganje i razlaganje sila





Zadaci časa:





Literatura :


250

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam sa učenicima Newtonove zakone dinamike, pojam međudjelovanja i sila, impuls i održanje

impulsa. Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na tablu pišem naslov „Princip nezavisnosti

djelovaja sila. Slaganje i razlaganje sila“


Govoreći o 2. Nevvtonovom zakonu utvrdili smo da je sila vektorska veličina. To znači da je osim

intenziteta (jačine) važno svojstvo sile i njen pravac i smjer djelovanja. Dužina vektora je srazmjerna iznosu

sile, a strelica označava smjer sile. Silu kao vektor označavamo slovom F sa strelicom: F . Početna tačka A

u kojoj djeluje sila (slika 1.) vektor sile naziva se napadna tačka sile ili hvatište.

A

F

Slika 1.

Šta će se dogoditi ako na tijelo istovremeno djeluje dvije ili više sila? Tijelo će se kretati kao da na njega

djeluje samo jedna sila koja je jednaka zbiru sila koje djeluju na tijelo. Pri tome važi princip o nezavisnosti

djelovanja sila: ako na neko tijelo djeluje više sila, onda one djeluju neovisno jedna od druge. Pošto je sila

vektorska veličina, onda za sabiranje sila važi pravilo sabiranja vektora. Sile koje sabiramo zovemo

komponentama, a rezultujuću silu rezultantom. O sabiranju vektora već smo govorili u uvodu.

Kada, na primjer, jedan učenik vuče stolicu onda će se ona kretati u smjeru djelovanja sile. Ako istovremeno

dva učenika vuku stolicu, onda će se ona kretati u smjeru rezultante sila. Smjer rezultante i njen iznos zavisi

od ugla pod kojim djeluju komponente sile. (Stolica ćemo smatrati materijalnom tačkom). Ako učenici

vuku stolicu pod nekim uglom onda će se ona kretati po dijagonali paralelograma čije su stranice sile F1 i

F2. Dijagonala paralelograma F je vektorski zbir tih sila (slika 2.).

F1

F

F2

Slika 2.

Iznos (jačina) rezultujuće sile, u opštem slučaju, izračunava se korištenjem trigonometrije. U slučaju da sile

zaklapaju pravi ugao, kao na slici 2., onda ćemo iznos rezultante naći primjenom Pitagorine teoreme,

2 2 2

1 2F F F

odakle je

2 2

1 2F F F

251

Ako na tijelo djeluju dvije sile istog smjera (slika 3.) onda i rezultanta ima taj smjer, a po jačini je jednaka

zbiru jačina komponenata, 1 2F F F . Intenzitet (jačinu) sile obilježavamo običnim slovom, bez strelice

iznad njega.

F1

F2

F

Slika 3.

Ako na tijelo djeluju dvije sile suprotnog smjera (slika 4.), onda je intenzitet rezultante jednak razlici

intenziteta komponenata,

1 2F F F

F1

F2F

Slika 4.

Ukoliko sile imaju isti intenzitet (jačinu, iznos), onda će intenzitet razultante biti jednaka nuli, 0F .

Učinak sila je kao da ne djeluje nikakva vanjska sila! U našem primjeru, kada bi učenici vukli stolicu

jednakim silama po iznosu, ali u suprotnom smjeru, stolica bi mirovala kao da na nju ne djeluje vanjska

sila.

Primjer:

Jednu stolicu vuku dva učenika silama F1=4 N i F2=3 N. Kolika će biti rezultujuća sila koja djeluje na

stolicu, ako vuku stolicu:

a) u istom smjeru,

b) u suprotnom smjeru,

c) pod pravim uglom? Stolicu smatrati materijalnom tačkom.

Rješenje:

1

2

1 2

1 2

2 2

1 2

2 2

4 N

3 N

?

)

4 N 3 N

7 N

)

4 N 3 N

1N

)

4 N 3 N

5 N

F

F

F

a F F F

F

F

b F F F

F

F

c F F F

F

F

252

Razlaganje sila. Kao što se dvije sile mogu zamijeniti jednom rezultantnom silom, tako se i svaka sila može

zamijeniti sa dvije komponentne sile. Razlaganje jedne sile u fizici i tehnici ima praktični značaj i najčešće

se vrši razlaganjem na dvije normalne komponente. Navest ćemo nekoliko primjera.

Neka na tijelo na slici 2., djeluje sila F pod nekim uglom prema horizontu, a tijelo se kreće po horizontalnoj

ravni. Interesuje nas koji dio sile djeluje u smjeru kretanja tijela. Razložit ćemo silu F na dvije normalne

komponente: horizontalnu komponentu F1 i vertikalnu komponentu F2. Pri tome veza između komponenata

i rezultante F je data Pitagorinom teoremom. Komponenta F1 pokreće tijelo po horizontalnoj podlozi,

komponenta F2 može podići tijelo.

Obično se sila razlaže na koordinatne ose ili na pravac kretanja. Razlaganje sile F na koordinatne ose (na

komponente Fx u pravcu x –ose i Fy u pravcu y-ose) dato je na slici 5.

F

y

O xx

F

Fy

Slika 5.

Na slici 6. tijelo se nalazi na strmoj ravni. Sila teže G djeluje na tijelo vertikalno nadole, ali se tijelo zbog

čvrste podloge može kretati samo niz strmu ravan. Silu teže možemo razložiti na dvije normalne

komponente. Jedna komponenta FN pritiskuje podlogu, a druga komponenta F pokreće tijelo niz strmu

ravan.

NG F F

2 2 2

NG F F

Slika 6.

Ovdje je:

l – dužina strme ravni

h – visina strme ravni

b – osnovica strme ravni

Komponente sile teže na strmoj ravni možemo izračunati iz sličnosti trouglova . Na slici 6.. vidimo da je

: h :F G l

N : :F G b l

253

odakle je

hF G

l

N

bF G

l

Odnos h

l je nagib strme ravni.

Primjer 2.

Na strmoj ravni, čija je visina 30 cm i dužina 60 cm, nalazi se tijelo mase 1 kg. Odredi:

a) nagib strme ravni,

b) komponentu sile teže koja pokreće tijelo niz strmu ravan,

c) najmanju silu kojom treba djelovati na tijelo uz strmu ravan da bi ono mirovalo.

Rješenje:

a) Nagib strme ravni je

h 30cm

60cm

h0,5

l

l

b) Komponenta sile teže koja pokreće tijelo niz strmu ravan je F

2

h

hm g

m1kg 9,81 0,5

s

4,905 N

F Gl

Fl

F

F

c) Sila potrebna da bi tijelo mirovalo mora poništiti komponentu težine G koja pokreće tijelo niz strmu

ravan, a to je sila F = 4,905 N.



domaću zadaću:

1. Jednu stolicu vuku dva učenika silama F1=5 N i F2=12 N. Kolika će biti rezultujuća sila koja djeluje

na stolicu, ako vuku stolicu:

a) u istom smjeru,

b) u suprotnom smjeru,

c) pod pravim uglom? Stolicu smatrati materijalnom tačkom.

2. Na strmoj ravni, čija je visina 30 cm i dužina 60 cm, nalazi se tijelo mase 1 kg. Odredi:

a) nagib strme ravni,

b) komponentu sile teže koja pokreće tijelo niz strmu ravan,

c) najmanju silu kojom treba djelovati na tijelo uz strmu ravan da bi ono mirovalo.

254

Plan table

Princip nezavisnosti djelovaja sila. Slaganje i razlaganje sila

A

F

F1

F

F2

2 2 2

1 2F F F

2 2

1 2F F F

F1

F2

F

1 2F F F

F1

F2F

1 2F F F

1

2

1 2

1 2

Primjer 1.

4 N

3 N

?

)

4 N 3 N

7 N

)

F

F

F

a F F F

F

F

b F F F

2 2

1 2

2 2

4 N 3 N

1N

)

4 N 3 N

5 N

F

F

c F F F

F

F

NG F F 2 2 2

NG F F

F

y

O xx

F

Fy

: h :F G l N : :F G b l

hF G

l

N

bF G

l

255



Visoko

Predmet : Fizika




Čas: 8. Nastavna jedinica: Međudjelovanje, sile, impuls, slaganje i razlaganje sila





Zadaci časa :





Literatura :


256

TOK ČASA

Uvodni dio (5 min.)

Ponavljam sa učenicima princip nezavisnosti djelovanja sila. Napominjem da su sile vektorske veličine, pa se, kao vektori, mogu slagati (sabirati) ili razlagati. Ponavljamo postupak slaganja (sabiranja) sila kao vektorskih veličina. Podsjećamo se karakterističnih slučajeva: kada dvije sile koje se slažu imamju isti pravac i smjer, kada one imaju isti pravac i suprtone smjerove i kada su sile međusobno normalne. Ponavljamo kako se izračunava rezultantna sila (rezultanta) u navedenim slučajevima. Ponavljamo postupak razlaganja sila na dvije međusobno normalne (okomite) komponente. Najavljujem novu nastavnu jedinicu i cilj časa. Na tablu pišem naslov „Međudjelovanje, sile, slaganje i razlaganje sila – vježba“


Poslije kratkog ponavljanja gradiva naučenog na prethodnom času, učenicima zadajem zadatke za

uvježbavanje primjene teorijskih znaja na rješavanje zadataka:

3. Jednu stolicu vuku dva učenika silama F1=5 N i F2=12 N. Kolika će biti rezultujuća sila koja djeluje na stolicu, ako vuku stolicu:

a) u istom smjeru,

b) u suprotnom smjeru, c) pod pravim uglom? Stolicu smatrati materijalnom tačkom.

Rješenje:

1

2

1 2

2 1

2 2

1 2

2 2

5 N

12 N

?

)

5 N 12 N

17 N

)

12 N 5 N

7 N

)

5 N 12 N

13 N

F

F

F

a F F F

F

F

b F F F

F

F

c F F F

F

F

4. Na tijelo mase m = 5 kg djeluju normalne sile F1=24 N i F2=7 N. Kolika će biti rezultujuća sila koja djeluje na tijelo i koliko će ubrzanje tijelo dobiti?

Rješenje:

1

2

m 5kg

24 N

7 N

?

?

F

F

F

a

257

2 2

1 2

2 2

2

24 N 7 N

25 N

m

25 N

5kg

m5

s

F F F

F

F

Fa

a

a

5. Na strmoj ravni, čija je visina 14 cm i dužina 50 cm, nalazi se tijelo mase 12 kg. Odredi:

a) nagib strme ravni, b) komponentu sile teže koja pokreće tijelo niz strmu ravan, c) komponentu sile normalnu na strmu ravan.

Rješenje:

N

2

h 14cm

50cm

m 12 kg

?

?

h 14cm

50cm

h0, 28

hm g

m12 kg 9,81 0, 28

s

32,96 N

l

F

F

l

l

Fl

F

F

2 2 2

2 2

2 2

N

N 2

N

h

h

50cm 14cm

48cm

m g

m 48cm12 kg 9,81

s 50cm

113 N

b l

b l

b

b

bF

l

F

F


258


domaću zadaću:

Na strmoj ravni, čija je visina 72 cm i dužina 75 cm, nalazi se tijelo mase 5 kg. Odredi:

a) nagib strme ravni, b) komponentu sile teže koja pokreće tijelo niz strmu ravan, c) komponentu sile normalnu na strmu ravan.

Plan table

Međudjelovanje, sile, slaganje i razlaganje sila – vježba

1

2

1 2

2 1

2 2

1 2

2 2

1.

5 N

12 N

?

)

5 N 12 N

17 N

)

12 N 5 N

7 N

)

5 N 12 N

F

F

F

a F F F

F

F

b F F F

F

F

c F F F

F

1

2

2 2

1 2

2 2

13 N

2.

m 5kg

24 N

7 N

?

?

24 N 7 N

F

F

F

F

a

F F F

F

2

25 N

m

25 N

5kg

m5

s

F

Fa

a

a

N

3.

h 14cm

50cm

m 12 kg

?

?

h 14cm

50cm

h0, 28

hm g

l

F

F

l

l

Fl

2

2 2 2

2 2

2 2

N

N 2

N

m12 kg 9,81 0, 28

s

32,96 N

h

h

50cm 14cm

48cm

m g

m 48cm12 kg 9,81

s 50cm

113 N

F

F

b l

b l

b

b

bF

l

F

F

Documents

pripreme septembar