Upload
elbrigita-yohana
View
777
Download
79
Embed Size (px)
Citation preview
Karena kesimetrian, integral kita peroleh dengan batas antara 0 dan dan
kemudian mengalikannya dengan 2. Jadi,
Contoh 2 Tentukan luas satu daun dari mawar berdaun-empat = 4 sin 2 .
Penyelesaian Mawar lengkap telah digambar pada contoh 3, pasal sebelumnya.
Disini kita perlihatkan yang ada dalam kuadran pertama (Gambar 5).
Gambar 5
Contoh 3 Tentukan luas daerah yang ada diluar kardioid = 1 + cos dan
didalam = sin .
Penyelesaian Grafik kurva yang diketahui digambarkan pada Gambar 6. Kita
perlukan koordinat titik-titik potong; nilai kita tentukan dengan mencoba
menyelesaikan kedua persamaan secara serentak.
Gambar 6
GARIS SINGGUNG DALAM KOORDINAT KUTUB Dengan koordinat
Cartesius, kemiringan * m dari garis singgung pada sebuah kurva adalah m =
dy/dx. Dengan koordinat kutub kemiringan ini bukanlah dr/d . Apabila r = f ( )
menentukan persamaan kurva, kita tulis
Jadi,
Karena itulah,
Rumujs diatas menjadi sederhana apabila grafik r = f ( ) melalui kutub.
Andaika, sebagai contoh, untuk suatu sudut α, r = f (α) = 0 dan f’(α) 0. Maka
dikutub tersebut kita peroleh
Oleh karena garis = memiliki kemiringan tan juga, maka kita dapat
mengatakan bahwa garis tersebut menyinggung kurva dikutub. Jadi dapat ditarik
kesimpulan bahwa garis singgung kurva dikutub dapat ditemukan dengan
menyelesaikan persamaan f ( ) = 0.
Kita beri contoh sebagai berikut.
Contoh 4 Perhatikan persamaan kutub r = 4 sin 3 .
a. Tentukan kemiringan garis singgung di = π/6 dan = π/4.
b. Tentukan garis singgung dikutub.
c. Gambar grafik.
d. Tentukan luas satu daun kurva.
Penyelesaian :
b. Kita misalkan f( ) = 4 sin = 0. Setelah diselesaikan diperoleh = 0, =
= 2 = 4 dan = 5
c. Berhubung
Maka dapat ditarik kesimpulan bahwa grafik simetri terhadap sumbu y, kita
susun daftar nilai fungsi dan kemudian kita gambar grafik fungsi. Grafik ini
diperlihatkan pada Gambar 7.
r
0
/12
/6
/4
/3
5 /12
/2
0
2,8
4
2,8
0
-2,8
-4
GAMBAR 7 r = 4 sin
SOAL-SOAL 12.8
Dalam. Soal 1-10, gambarlah grafik fungsi yang diketahui dan ditentukan luas
daerah yang dibatasi oleh kurva tersebut.
11. Gambar grafik limason r = 2 – 4 cos , dan tentukan luas daerah yang ada
dalam simpai yang kecil.
12. Gambar limason r = 3 – 6 sin , dan tentukan luas daerah didalam simpai
yang kecil.
13. Gambar limason r = 2 – 4 sin , dan tentukan luas daerah didalam simpai
yang besar.
14. Gambar satu daun dari mawar berdaun empat dengan persamaan r = 3 cos
dan tentukan lus daun tersebut.
15. Gambar grafik mawar berdaun tiga r = 4 cos dan tentukan luas daerah
keseluruhan yang dibatasi oleh mawar itu.
16. Gambar grafik mawar berdaun tiga r = 2 sin dan tentukan luas daerah
keseluruhan yang dibatasi oleh mawar itu.
17. Tentukan luas daerah yang terletak diantara lingkaran-lingkaran sepusat r =
7 dan r = 10.
18. Gambar daerah yang ada didalam lingkaran r = 3 sin dan diluar kardioid r
= 1 + sin . Tentukan luas daerah itu.
19. Gambar daerah diluar lingkaran r = 2 dan didalam lemniskat = 8 cos .
Tentukan luas daerah itu.
20. Gambar limason r = 3 – 6 sin dan tentukan luas daerah didalam simpai
yang besar dan diluar simpai yang kecil.
21. Gambar daerah yang ada pada kuadran pertama yang terletak didalam
kardoid r = 3 + 3 cos dan diluar kardioid r = 3 + 3 sin . Tentukan luas
daerah tersebut.
22. Tentukan luas daerah pada kuadran kedua yang ada didalam kardioid r = 2 +
2 sin dan diluar kardioid r = 2 + 2 cos .
23. Tentukan kemiringan garis singgung pada kurva-kurva berikut, dititik =
.
a. r = 2 cos
b. r = 1 + sin
c. r = sin
d. r = 4 – 3 cos
24. Tentukan semua titik pada kardioid yang garis singgungnya
adalah (a) mendatar, (b) tegak.
25. Tentukan semua titik pada limason r = 1 – 2 sin yang garis singgungnya
adalah mendatar.
26. Andaikan r = f( ), dengan f kontinu pada selang tertutup [α, β]. Apabila L
panjang subur kurva dari = hingga = , buktikan
27. Gunakan rumus dalam soal 26 untuk menetukan panjang busur kardioid
28. Tentukan panjang spiral logaritma dari = 0 hingga = .
29. Hitung luas total mawar , dimana n adalah bilangan bulat positif
30. Gambarlah grafik strofoid r = sec - 2 cos dan hitung luas simpainya.
31. Perhatikan dua buah lingkaran r = sin dan r = 2 b cos dengan dan
b positif.
a. Hitung luas daerah yang ada didalam kedua lingkaran tersebut .
b. Tunjukkan bahwa kedua lingkaran tersebut saling berpotongan tegak
lurus.
32. Diasumsikan bahwa sebuah planet yang massanya m berputar mengelilingi
matahari (yang terletak pada kutubnya) dengan momentum sudut konstan
sebesar . Turunkan Hukum Kedua dari Kepler : Garis dari
matahari ke planet menyapu suatu daerah yang luasnya sama dalam waktu
yang sama.
33. (Soal “Kambing Tua” Pertama) Seekor kambing diikat ke tepi sebuah kolom
bundar yang jari-jarinya dengan seutas tali yang panjangnya (0 <
2). Gunakan metode yang diberikan dalam pasal ini untuk menghitung luas
daerah yang dapat dijangkau oleh kambing (daerah diraster pada Gambar 8).
Catatan: Soal ini telah pernah dijawab (Soal 49 Pasal 7.6); saudara harus
mampu memberikan jawaban yang sama.
Gambar 8 Gambar 9
34. (Soal “Kambing Tua” Kedua) Ulangi lagi soal 33 tetapi dengan asumsi
bahwa sekeliling kolam dipagari sedemikian rupa hingga dalam membentuk
irisan , tali melilit sekeliling pagar (lihat Gambar 9). Petunjuk(: Jika
saudara berminat, cobalah metode yang diberikan dalam pasal ini.
Sebaiknya saudara perhatikan bahwa pada lilitan (1/2)
yang memberikan jumlah Riemann untuk suatu integral. Jawaban akhirnya
adalah , yang merupakan hasil yang diperlukan dalam soal
35.
35. (Soal “Kambing Tua” Ketiga) Seekor kambing yang terikat memakan
rerumputan didalam suatu kebun yang dibatasi oleh pagar melingkar yang
jari-jarinya ; seekor kambing lain, yang terikat seperti pada soal 34,
memakan rumput-rumputan diluar pagar. Hitung panjang tali jika kedua
ekor kambing tersebut mampu menjangkau daerah yang luasnya sama.
12.9 Soal-soal Ulangan Bab
KUIS BENAR-SALAH
Katakan benar atau salah ungkapan dibawah ini. Pertahankanlah pendirian anda.
1. Grafik adalah parabol untuk semua
2. Puncak parabol letaknya ditengah antara focus dan garis arah.
3. Puncak elips lebih dekat dengan garis arah daripada dengan focus.
4. Titik parabol yang terdekat dengan focus adalah puncaknya.
5. Hiperbol dan memiliki asimtot yang sama.
6. Keliling C elips dengan memenuhi .
7. Semakin berkurang keeksentrikan e sebuah elips semakin elips tersebut
menyerupai lingkaran.
8. Fokus elips terletak pada sumbu x.
9. Persamaan adalah persamaan hiperbol.
10. Persamaan adalah persamaan parabol.
11. Apabila adalah persamaan hiperbol.
12. Apabila adalah persamaan elips.
13. Jarak antara fokus-fokus kurva adalah
14. Grafik persamaan tidak memotong sumbu .
15. Cahaya yang dipancarkan dari sebuah titik yang terletak diantara focus dan
puncak terdekat sebuah cermin yang berbentuk elips, akan dipantulkan diluar
focus yang lain.
16. Himpunan titik-titik yang sama jauhnya dari lingkaran dan garis x =
3 adalah parabol.
17. Dari hukum Kepler tentang luas daerah yang dilintasi oleh garis hubung
antara matahari dan planet dapat ditarik kesimpulan bahwa laju gerak planet
terbesar dicapai pada saat planet itu berada pada puncak kurva lintasannya
yang terlekat dengan matahari.
18. Sebuah elips digambar dengan menggunakan seutas tali sepanjang 8 satuan
yang diikatkan pada dua focus berjarak 2 satuan; maka panjang garis tengah
yang pendek adalah satuan.
19. Grafik persamaan lingkaran, titik atau himpunan
kosong.
20. Grafik persamaan tak mungkin berupa satu titik.
21. Grafik persamaan adalah perpotongan antara
sebuah bidang dengan sebuah kerucut bercabang dua untuk segala pilihan
dan .
22. Dalam sebuah sistem koordinat yang sesuai, persamaan perpotongan antara
sebuah bidang dengan sebuah kerucut bercabang dua dapat ditulis sebagai
.
23. Grafik sebuah hiperbol terletak dalam ke empat kuadran sistem koordinat
Cartesius.
24. Apabila penampang konik melalui (1, 0), (-1, 0), (0, 1), dan (0, -1) maka
penampang konik tersebut adalah lingkaran.
25. Grafik persamaan kutub adalah lingkaran.
26. Tiap titik pada bidang memiliki koordinat kutub yang tak hingga banyaknya.
27. Semua titik potong dua kurva dengan persamaan kutub masing-masing
dan dapat ditemukan dengan jalan menyelesaikan kedua
persamaan itu sekaligus.
28. Apabila f sebuah fungsi ganjil, maka grafik dari simetrik terhadap
sumbu y (yaitu garis .
29. Apabila f sebuah fungsi genap, maka grafik dari simetrik terhadap
sumbu x (garis ).
30. Grafik adalah mawar berdaun tiga yang luasnya kurang dari
setengah luas lingkaran dengan jari-jari 4.
SOAL-SOAL ANEKA RAGAM
1. Padankanlah kurva yang tersedia dengan persamaan yang cocok.
1) Tidak ada grafik.
2) Satu titik.
3) Satu garis.
4) Dua garis sejajar.
5) Dua garis berpotongan.
6) Sebuah lingkaran.
7) Sebuah parabol.
8) Sebuah elips.
9) Sebuah hiperbol.
10) Bukan salah satu diatas.
(a)
(b)
(c)
(d)
(e)
(f)
(g)
(h)
(i)
(j)
Dalam soal 2-10, sebutlah konik yang persamaannya diketahui dibawah ini.
Tentukan puncak, fokus dan kemudian gambarlah grafiknya.
Dalam soal 11-18, tentukan persamaan Cartesius konik yang diketahui sifatnya
sebagai berikut.
11. Puncak di ( 4, 0) dan keksentrikan
12. Keksentrikan 1, fokus (0, -3), dan puncak (0, 0).
13. Keksentrikan 1, puncak (0, 0), simetrik terhadap sumbu x, dan melalui titik (-
1, 3).
14. Keksentrikan dan puncak (0, 3).
15. Puncak di ( 2, 0) dan asimtot .
16. Parabol dengan fokus (3, 2) dan puncak (3, 3).
17. Elips dengan pusat (1, 2), satu fokus di (4, 2), dan garis tengah panjang sama
dengan 10.
18. Hiperbol dengan puncak (2, 0) dan (2, 6) dan keksentrikan .
Dalam soal 19-22, gunakan proses melengkapkan kuadrat untuk
menyederhanakan persamaan dibawah ini menjadi bentuk baku. Sebutlah
kemudian jenis kurva yang bersangkutan dab gambarlah grafiknya.
23. Pemutaran sumbu koordinat dengan sudut = 45o mengubah persamaan
menjadi bentuk . Tentukan r dan s, sebutlah
jenis konik, dan tentukan jarak antara focus-fokusnya.
24. Tentukan sudut putar yang diperlukan untuk menghilangkan suku
campuran dalam persamaan . Susunlah kemudian
persamaan uv yang sesuai dan tentukan jenis konik yang bersangkutan.
Dalam soal 25-36, selidikilah persamaan kutub yang diketahui dan kemudian
gambarlah grafiknya.
37. Tentukan persamaan Cartesius grafik yang diketahui persamaan kutubnya
Gambarlah grafiknya.
38. Tentukan persamaan Cartesius grafik dengan persamaan kutub
Gambarlah grafiknya.
39. Tentukan kemiringan garis singgung grafik dengan persamaan
Pada titik grafik dengan
40. Gambarlah grafik persamaan
dan
Tentukan titik potongnya.
41. Tentukan luas daerah yang dibatasi oleh grafik
(lihat soal 30).
42. Tentukan luas daerah yang ada diluar limason dan didalam
lingkaran (lihat soal 40).
43. Sebuah mobil balap yang sedang melaju pada suatu lintasan yang berbentuk
elips dengan persamaan pada suatu titik (16, 6) tidak
dapat dikendalikan lagi dan terus bergerak sepanjang garis singgungnya
sehingga menabrak pohon dititik (14, ). Tentukan .
13. GEOMETRI PADA BIDANG, VEKTOR
13.1 Kurva Bidang : Penyajian Secara Parameter
13.2 Vektor pada Bidang : Pendekatan Secara Geometri
13.3 Vektor pada Bidang : Pendekatan secara Aljabar
13.4 Fungsi Bernilai Vektor dan Gerak Sepanjang Kurva
13.5 Kelengkungan dan Percepatan
13.6 Soal-soal Ulangan Bab