Matematika Dasar

Pokok BahasanLogikaSistem Bilangan Real Pertaksamaan dan Nilai MutlakFungsi RealLimit FungsiKekontinuan FungsiLimit Tak HinggaBentuk tak tentu Limit FungsiTurunanAplikasi Turunan (Masalah maksimum, minimum, laju, nilai ekstrim, kemonotonan, kecekungan, asimtotik, menggambar grafik)

Daftar Referensi Martono, K.1999. Kalkulus. Erlangga.Jakarta Purcell, Edwin J. 2004. Kalkulus edisi 8. Erlangga. Jakarta Leithod,L. 1996. The Calculus with Analytic Geometry.Harper and Row Publisher. New York.

Sistem Penilaian UTS = 35% UAS = 35% Tugas = 20% Absensi= 10%

PendahuluanUntuk mempelajari kalkulus diperlukan berbagai sifat bilangan real dan fungsi. Konsep utama kalkulus tentang limit, kekontinuan, turunan, differensial dan integral dikaitkan dengan fungsi real sebagai obyeknya. Dalam kalkulus bilangan real diperlukan untuk dapat memberi ruang gerak pada berbagai operasinyaPada perrtemuan 1, dipelajari sistem bilangan real, pertaksamaan, nilai mutlak dan fungsi yang merupakan pengetahuan dasar untuk mempelajari konsep limit fungsi.

Sistem Bilangan RealSistem Bilangan : himpunan dari bilangan bilangan beserta sifat2nya.Himpunan Bilangan Asli (N) = {1, 2, 3, }Himpunan Bilangan Cacah = {0, 1, 2, 3, } Himpunan Bilangan Bulat (Z) = { ,-3,-2,-1,0,1,2,3, }Himpunan Bilangan Rasional (Q) : Suatu bilangan yang dinyatakan p/q dengan p dan q bilangan bulat dan q 0 Himpunan Bilangan Irrasional : bilangan yang tidak dapat dinyatakan ke bentuk rasionalHimpunan Bilangan Real : Gabungan himpunan bilangan rasional dengan himpunan bilangan irrasional.

Sistem BilanganBil RealBil RasionalBil BulatBil Asli

SelangSuatu himpunan bagian dari himpunan bilangan real.ababababbbaa

Penulisan HimpunanSelangGrafik{x| a < x < b}(a,b){x| a x < b }[a, b){x | a < x b }(a, b]{x| a x b }[a, b]{x | x b }(-, b]{x | x < b }(-, b){x | a x } [a, +){x | a < x }(a, +)

PertaksamaanBentuk Umum Pertaksamaan :

Himpunan semua bilangan real x yang memenuhi pertaksamaan (yaitu bila digantikan ke pertaksamaan menghasilkan pernyataan yang benar)

Prosedure Baku menyelesaikan pertaksamaan adalah :Ubahlah bentuk menjadi : dengan P dan Q adalah suku banyakUraikan P dan Q atas faktor linear dan/atau kuadrat definit positifTentukkan tanda pertaksamaan pada garis bilanganTentukan himpunan jawabnya dan tampilkan dalam bentuk selang

Nilai MutlakNilai mutlak dari bilangan real x, ditulis |x|, didefinisikan sebagai berikut :

Sifat-sifat Nilai MutlakUntuk setiap bilangan real x berlaku|x| 0|x| = |- x|- |x| x |x||x|2 = |x2| = x2Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku :|x| = |y| x = y x2 = y2|x y | = |y x |

Sifat-sifat Nilai MutlakJika a 0, maka|x| a -a x a x2 a|x| a x a atau x - a x2 a2

Ketaksamaan segitiga. Untuk setiap bilangan real x dan y berlaku : |x + y| |x| + |y| |x y| |x| + |y|

|x| - |y| |x y | | |x| - |y| | |x y |

Sifat sifat nilai mutlakUntuk setiap bilangan real x dan y berlaku:|xy| = |x| |y||x/y| = |x| / |y|; y 0

FUNGSIDefinisiFungsi f adalah suatu aturan korespodensi yang menghubungkan tiap obyek x dalam suatu himpunan (daerah asal) dengan sebuah nilai unik (tunggal) f(x) dari himpunan kedua yaitu himpunan nilai yang disebut daerah hasil fungsi tersebut.

Jenis jenis Fungsi Fungsi linierFungsi kuadratFungsi trigonometriFungsi eksponentialFungsi logaritma

Fungsi linierFungsi linear memiliki gambar grafik sebagai garis lurus. Notasinya adalah sbb:y = f(x) = a1x + a0; a1 0contoh : y = 4x + 3 a1 disebut gradien atau koefisien kemiringan

Fungsi kuadratGrafik bentuk kuadrat berupa parabola, dimana bentuk rumusnya adalh:y = f(x) = a2x2 + a1x +a0; a2 0Contoh : y = x2 4x + 3

Fungsi EksponentialPersamaan umum fungsi eksponen :y = f(x) = ax; a > 0, a 1

Fungsi LogaritmaFungsi ligaritma didefinisikan dengan persamaan :y = f(x) = logax , a > 0 , a 1

Fungsi ini terdefiniskan untuk x > 0, dan merupakan invers dari fungsi eksponen.

Operasi FungsiJumlah dan SelisihMisalkan f dan g adalah sebuah fungsi, maka :(f + g) (x) = f(x) + g(x)(f g) (x) = f(x) g(x) catatan :Daerah asal (f + g) dan (f - g) adalah irisan dari daerah asal f dan g

Operasi FungsiHasil kali, Hasil Bagi dan PangkatDengan anggapan bahwa f dan g mempunyai daerah asal, maka(f g) (x) = f(x) g(x)(f/g) (x) = f(x) / g(x) ; g(x) 0Operasi perpangkatan pada dasarnya adalah perkalian berulang. fn artinya f kali f sebanyak n kali.

Komposisi FungsiKomposisi fungsi bisa diibaratkan sebagai dua fungsi yang berurutan artinya fungsi yang kedua dioperasikan setelah setelah fungsi yang pertama bekerja.Komposit g dengan f, dinyatakan oleh (gf)Jadi (gf) (x) = g (f(x)) dan(f g) (x) = f(g(x))