Upload
mas-cipul
View
16.894
Download
3
Embed Size (px)
DESCRIPTION
untuk mendownload versi *.doc, klik link berikut :http://bit.ly/c4wSuj
Citation preview
BAB II
FUNGSI DAN GRAFIK
Pada awalnya fungsi muncul karena adanya ketergantungan suatu kuantitas
(besaran) tertentu pada kuantitas (besaran) lainnya. Fungsi dapat dinyatakan
dalam 4 cara yaitu secara verbal (kata-kata), numerik (tabel nilai), visual (grafik)
dan aljabar (rumus eksplisit).
TIK : Setelah mempelajari pokok bahasan ini, mahasiswa dapat menggambarkan
grafik fungsi yang diberikan
2.1. Pengertian dan Penyajian Fungsi
Sebuah fungsi f adalah aturan yang memasangkan setiap elemen x dalam
satu himpunan, misalkan A, dengan tepat satu elemen f(x) dalam himpunan kedua,
misalkan B. Himpunan B boleh sama dengan himpunan A.
Apabila f merupakan fungsi yang memasangkan setiap anggota A pada tepat
satu anggota B, maka f ditulis sebagai f : A B. Himpunan A disebut domain
(daerah asal, daerah definisi) fungsi f dan himpunan B disebut kodomain (daerah
kawan) dari fungsi f.
Empat situasi berikut menggambarkan cara penyajian fungsi, yaitu :
a. Luas daerah A dari suatu lingkaran tergantung pada jari–jari r lingkaran
tersebut. Aturan yang mengaitkan r dan A diberikan oleh persamaan A = r2.
10
Setiap nilai r berhubungan dengan nilai A, maka dikatakan bahwa A adalah
fungsi dari r. Fungsi tersebut disajikan melalui suatu rumus eksplisit.
b. Populasi manusia P di dunia tergantung pada waktu t. Tabel berikut
memberikan taksiran populasi dunia P(t) pada waktu t, untuk tahun tertentu.
Tabel taksiran populasi penduduk dunia
Tahun (t) Populasi (P)*
1900 1650
1910 1750
1920 1860
1930 2070
1940 2300
1950 2520
*dalam jutaan
Untuk setiap nilai t terdapat nilai
padanannya P, sehingga kita katakan bahwa
P merupakan fungsi dari t. Fungsi tersebut
disajikan dalam bentuk tabel.
c. Biaya pengiriman surat tercatat C tergantung pada beratnya w. Walaupun tidak
terdapat rumus sederhana yang mengaitkan C dan w, kantor pos mempunyai
aturan tertentu (dapat disajikan dengan uraian kata – kata) untuk menentukan
C bila w diketahui. Aturan yang digunakan Perusahaan Pos Amerika Serikat
tahun 1998 sebagai berikut : Biayanya adalah 32 sen untuk berat sampai
dengan satu ons, ditambah 23 sen untuk setiap ons tambahan sampai dengan 11
ons.
Tahun (t) Populasi (P)*
1960 3020
1970 3700
1980 4450
1990 5300
1996 5770
11
d. Kecepatan tegak tanah a yang diukur oleh seismograf selama gempa adalah
fungsi dari waktu terlewat t. Biasanya digunakan grafik yang menyatakan
hubungan antara a dan t.
2.2. Domain dan Kodomain Fungsi
Domain fungsi f yaitu himpunan elemen-elemen di mana fungsi f mendapat
nilai (suatu bilangan real). Himpunan bagian dari B yang anggota-anggotanya
merupakan nilai-nilai yang diperoleh dari fungsi f disebut range (daerah hasil)
dari fungsi f.
Pembicaraan tentang domain dan range memegang peranan penting dalam
fungsi karena hal ini terkait dengan nilai-nilai dimana fungsi mempunyai makna.
f
Domain Range
Keterkaitan antar variabel
12
x
a
f(x)
f(a)
t (detik)
a (cm/det2)
Lambang yang menyatakan suatu bilangan sebarang pada domain f disebut
variabel bebas. Sedangkan lambang yang menyatakan bilangan pada range f
disebut variabel terikat. Misalnya dalam empat penyajian fungsi di atas, apabila
fungsi disajikan dalam bentuk rumus eksplisit berikut A = r2 maka r
merupakan variabel bebas, sedangkan A adalah variabel terikat.
Fungsi bentuk eksplisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel
terikatnya terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka notasi fungsi
bentuk eksplisit ditulis y = f(x).
Contoh :
a. y = 3 sin x + cos x
b. y = x2 - 8 x + 10
Fungsi bentuk implisit adalah fungsi yang variabel bebas dan variabel
terikat letaknya tidak terpisah. Jika x variabel bebas dan y variabel terikat maka
notasi fungsi bentuk implisit ditulis f(x, y) = 0.
Contoh :
a. (x-3) y + 5 x -3 y = 0
b. x2 – x y2 + 6 x y – 7 x = 0
Fungsi parametrik adalah fungsi yang relasi antara variabel bebas dan
variabel terikatnya disajikan dalam persamaan yang menggunakan parameter. Jika
x variabel bebas, y variabel terikat dan, t parameter maka notasi bentuk fungsi
implisit dapat di tulis sebagai berikut : , t sebagai parameter
Contoh :
13
a. , a sebagai parameter
b. , t sebagai parameter
Fungsi y = f(x) merupakan fungsi yang dibentuk dari satu variabel yakni
x, sedangkan fungsi z = f(x, y) adalah fungsi yang dibentuk dari dua varibel yaitu
x dan y.
Contoh :
a. Fungsi satu variabel
y = 3 x – 2
z = sin y + cos y
b. Fungsi dua variabel
z = x3 + 4 x2 y - 8
c = a2 b2 + a b4
Apabila sebuah fungsi domainnya tidak dirinci, maka dapat dianggap
bahwa domainnya adalah himpunan bilangan real yang terbesar sehingga fungsi
tersebut bernilai bilangan real. Domain tersebut disebut daerah asal alamiah.
Contoh :
a. Tentukan domain dan range f(x) =
b. Tentukan domain dan range g(x) =
Penyelesaian :
14
a. Domain fungsi f(x) = adalah nilai-nilai x sehingga f(x) bernilai
bilangan real, yaitu himpunan penyelesaian dari 25 - x2 0. Jadi
D(f) = {x R : 25 - x2 0}
= {x R : x2 25 }
= {x R : -5 x 5}.
Range fungsi f adalah nilai y yang diperoleh apabila x berada dalam D(f). Jadi
R(f) = {y R : y = , -5 x 5} = {y R : 0 y 5}∎
b. Domain fungsi g(x) = adalah nilai-nilai x sehingga g(x) bernilai real.
Fungsi g(x) bernilai real apabila x – 5 0, jadi D(g) = {x R : x 5}.
Range fungsi g(x) adalah R(g) = {y R : y = , x 5}
R(g) = {y R : y 10}∎
2.3. Operasi, Komposisi dan Invers Fungsi
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal A dan B. Maka fungsi
penjumlahan, pengurangan, perkalian, dan pembagian antara kedua fungsi itu
didefinisikan sebagai berikut :
1. (f + g) (x) = f(x) + g(x) ,daerah asal f + g adalah A B
2. (f – g) (x) = f(x) – g(x) daerah asal f – g adalah A B
3. (f g) (x) = f(x) g(x) daerah asal f g adalah A B
4. ( daerah asal adalah { x A B ; g(x) 0 }
15
Contoh :
Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan f + g, f – g, fg, dan daerah
asalnya
Penyelesaian :
Daerah asal f(x) adalah [0, + ) dan daerah asal g(x) adalah [-2, 2] sehingga
irisan daerah asal f(x) dan g(x) adalah [0, + ) [-2, 2] = [0, 2].
Jadi menurut definisi diperoleh
(f + g)(x) = + , dan daerah asal : [0, 2].
(f – g)(x) = - , dan daerah asal : [0, 2].
(f g)(x) = = , dan daerah asal : [0, 2].
( = = , dan daerah asal : [0, 2) ∎
Komposisi Fungsi
Diberikan fungsi f dan g, fungsi komposit f g (disebut juga komposisi dari
f dan g), didefinisikan oleh
(f g)(x) = f(g(x))
Daerah asal f g adalah himpunan dari semua x di dalam daerah asal g
sedemikian hingga g(x) berada di dalam daerah asal f. Dengan kata lain, (f g)(x)
akan terdefinisi jika g(x) dan f(g(x)) keduanya terdefinisi. Penjelasan f g dapat
dilakukan dengan gambaran diagram mesin berikut :
x g(x) f(g(x))
16
g f
(masukan) (keluaran)
Variabel x sebagai masukan, akan diproses mesin g dan akan diperoleh hasil g(x),
selanjutnya g(x) akan menjadi masukan bagi mesin f, hasilnya adalah f(g(x))
Contoh :
Jika f(x) = dan g(x) = , tentukan komposisi fungsi berikut daerah
asalnya.
a. f g c. f f
b. g f d. g g
Penyelesaian :
a. (f g)(x) = f(g(x)) = f( ) = = .
Daerah asalnya adalah = = (- , 2]
b. (g f)(x) = g(f(x)) = g( ) = .
Agar terdefinisi, maka x 0 dan agar terdefinisi maka 2 - 0,
yaitu 2 atau x 4, sehingga daerah asalnya adalah [0, 4].
c. (f f)(x) = f(f(x)) = f( ) = = , dan daerah asalny adalah [0 , ).
d. (g g)(x) = g(g(x)) = g(2 - ) = .
Agar terdefinisi maka 2 – x 0, yaitu x 2 dan agar
terdefinisi maka 2 - 0 , yaitu 2 atau x - 2, sehingga daerah
asalnya adalah [-2, 2] ∎
Melakukan komposisi tiga fungsi atau lebih , misalnya f g h, adalah dengan
memproses masukan pada h terlebih dahulu, selanjutnya hasilnya diproses pada g,
dan terakhir hasil dari proses g diproses pada f, rumusannya adalah sebagai
berikut
17
(f g h)(x) = f(g(h(x)))
Contoh :
Carilah f g h jika f(x) = , g(x) = x5 dan h(x) = x + 3
Penyelesaian :
(f g h)(x) = f(g(h(x))) = f(g(x + 3)) = f((x + 3)5) = ∎
Invers Fungsi.
Suatu fungsi f memadankan suatu nilai x dalam daerah asalnya A dengan nilai
tunggal y dalam daerah hasilnya B. Untuk suatu nilai y dalam B diperoleh kembali
nilai x yang oleh f itu dipadankan dengan y. Fungsi yang baru ini, yang
memadankan nilai y dengan x, dilambangkan dengan f -1 dan disebut invers
dari f. Daerah asal f -1 adalah B dan daerah hasilnya adalah A. Lambang f -1 bukan
berarti .
Hal ini dapat dituliskan
y = f(x) x = f -1(y)
Contoh :
Tentukan f -1(x) dari f(x) = 2 x + 6
Penyelesaian :
Variabel x dapat dicari dari y = f(x) = 2 x + 6, yaitu x = = f -1(y)
Sehingga f -1(x) = ∎
18
2.4. Macam-macam Fungsi
Beberapa macam fungsi yang disajikan dalam sub bab ini adalah fungsi
tangga, fungsi gasal, fungsi genap, fungsi aljabar, fungsi logaritma, dan fungsi
eksponensial
Fungsi Tangga
Fungsi tangga adalah fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
Fungsi-fungsi yang sering digunakan adalah dua fungsi yang sangat khusus yaitu
fungsi nilai mutlak , dinotasikan | |, dan fungsi bilangan bulat terbesar,
dinotasikan .
Fungsi nilai mutlak disajikan sebagai | x | =
Grafiknya mempunyai sudut tajam pada titik asal. Perhatikan grafik berikut :
y
-x 0 x
Fungsi bilangan bulat terbesar disajikan sebagai , yaitu bilangan bulat
terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Grafiknya melompat pada tiap
bilangan bulat.
Contoh :
19
Biaya pengiriman surat C(w) dengan berat w disajikan sebagai berikut.
C(w) =
Jika berat surat w = 1,5 maka C(1,5) = 0,55. Selanjutnya C(2,1) = 0,78, C(2,7) =
0,78 dan seterusnya
Fungsi Genap dan Fungsi Gasal
Fungsi y = f(x) disebut fungsi genap jika f( - x ) = f( x )
Fungsi y = f(x) disebut fungsi gasal jika f( - x ) = - f( x )
Grafik fungsi genap simetris dengan sumbu y, sedangkan grafik fungsi gasal
simetri terhadap titik asal.
Contoh :
a. Apakah f(x) = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 genap, gasal , atau bukan keduanya ?
b. Apakah f(x) = x3 – 2 x genap, gasal, atau bukan keduanya ?
Penyelesaian :
a. Karena f(-x) = 3 (-x)6 – 2 (-x)4 + 11 (-x)2 – 5 = 3 x6 – 2 x4 + 11 x2 – 5 = f(x)
maka f(x) adalah fungsi genap.
b. Karena f(-x) = (-x)3 – 2 (-x) = -x3 + 2 x = -( x3 – 2 x) = - f(x) maka f(x)
adalah fungsi gasal ∎
Fungsi Aljabar
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika dapat dibuat dengan menggunakan
operasi aljabar (penjumlahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan
akar). Fungsi aljabar dikatakan rasional jika variabel x tidak terdapat di bawah
20
tanda akar dan dikatakan irrasional jika x terdapat di bawah tanda akar. Fungsi
aljabar dikatakan bulat rasional jika x tidak terdapat sebagai penyebut dan
dikatakan pecah rasional jika x terdapat sebagai penyebut.
Contoh :
a. f(x) = x3 – x2 + 4 x + 1 dan g(x) = x2 + 5 x + 7 adalah fungsi aljabar bulat
rasional
b. f(x) = dan g(x) = adalah fungsi aljabar pecah rasional.
c. f(x) = merupakan fungsi aljabar pecah irrasional, dan g(x) =
adalah fungsi aljabar bulat irrasional.
Fungsi Eksponensial
Fungsi f(x) = 2x disebut fungsi eksponensial karena variabel x merupakan
eksponen. Secara umum fungsi eksponensial adalah fungsi yang berbentuk
f(x) = ax
Sifat-sifat fungsi eksponensial dirangkum dalam teorema berikut
Teorema :
Jika a > 0 dan a 1, maka f(x) = ax merupakan fungsi kontinu dengan
daerah asal dan daerah hasil (0, ).
Khususnya, ax > 0 untuk setiap x.
Jika 0 < a < 1, f(x) = ax merupakan fungsi turun
Jika a >1, f(x) merupakan fungsi naik.
Jika a, b > 0 dan x , y , maka
21
1. ax + y = ax + ay
2. a x - y =
3. (ax) y = xx y
4. (a b) x = ax bx
Jika a = e bilangan natural maka diperoleh fungsi eksponensial natural,yaitu
y = ex
Fungsi Logaritma
Fungsi eksponensial f(x) = ax mempunyai invers yang disebut fungsi
logaritma dengan bilangan pokok a, dilambangkan dengan . Jika digunakan
perumusan fungsi invers,
f -1 (x) = y f(y) = x
maka diperoleh
x = y ay = x
sehingga
(ax) = x untuk setiap x
dan
= x untuk setiap x > 0
Sifat fungsi logaritma diberikan dalam teorema berikut.
Teorema :
Jika a > 1, fungsi f(x) = x merupakan fungsi kontinu dan naik dengan
daerah asal (0, ) dan daerah hasil .
Jika x, y > 0 dan r bilangan real sebarang, maka
22
1. (x y) = x + y
2. (xr) = r x
3. ( ) = x – y
Fungsi logaritma dengan bilangan pokok e disebut logaritma natural dan
mempunyai lambang khusus
x = ln x
Dari sifat fungsi logaritma diperoleh
ln x = y e y = x
ln(e x) = x untuk setiap x
e ln x = x untuk setiap x > 0
Untuk x = 1, diperoleh
ln e = 1
Sifat-sifat logaritma Natural
Jika x dan y bilangan positip dan r bilangan rasional, maka
1. ln (x y) = ln x + ln y
2. ln ( ) = ln x – ln y
3. ln (xr) = r ln x
2.5. Grafik Fungsi
23
Jika daerah asal dan daerah hasil suatu fungsi merupakan bilangan real,
maka fungsi itu dapat digambarkan grafiknya pada suatu bidang koordinat. grafik
fungsi f adalah grafik dari persamaan y = f(x).
Dalam hal menggambar grafik, ada dua bentuk grafik yang digunakan,
yaitu sketsa kasar dan sketsa halus. Untuk menentukan sketsa mana yang akan
digunakan, apakah sketsa halus atau kasar, tentu tergantung dari kebutuhan. Jika
yang dibutuhkan hanya pola hubungan antar variabel, cukup digunakan sketsa
kasar, tetapi jika akan digunakan untuk memprediksi nilai data pada titik tertentu,
tentu saja sketsa halus yang dibutuhkan.
Jika bentuk fungsi belum diketahui dan yang diketahui hanya sekumpulan
datanya, maka untuk menentukan bentuk fungsinya, terlebih dahulu diprediksi
bentuk fungsi tersebut. Selanjutnya dengan menggunakan data-data yang tersedia,
kemudian dicari konstanta-konstanta yang belum diketahui. Untuk menentukan
konstanta-konstanta tersebut sering digunakan metode kuadrat terkecil dan hal ini
akan dibahas pada saat pembahasan turunan, sedangkan pada pembahasan ini
akan digunakan pendekatan kasar.
Contoh :
a. Sketsa grafik y = x
b. Sketsa grafik y = x2 – 3 x + 2
Penyelesaian :
a. Jika diambil beberapa nilai x akan diperoleh pula beberapa nilai y berikut
x y = x
-2
-1
2
1
24
0
1
2
0
1
2
Sehingga grafiknya adalah
b. Grafik untuk fungsi kuadrat di atas berupa parabola yang terbuka ke atas.
Untuk menggambarkan grafik y = x2 – 3 x +2, maka dilakukan langkah-
langkah sebagai berikut :
Titik potong dengan sumbu x, y = 0
x2 – 3 x +2 = 0
(x – 1) (x – 2) = 0
x = 1 atau x = 2
Titik potong dengan sumbu x adalah (2, 0) dan (1, 0).
Titik potong dengan sumbu y, x = 0
y = 02 – 3.0 + 2 = 2
Titik potong dengan sumbu y adalah (0, 2)
Sumbu simetri y =
Karena a = 1 > 0, maka grafik terbuka ke atas .
25
Transformasi fungsi.
Dengan menerapkan transformasi tertentu pada grafik fungsi yang diketahui
akan dapat diperoleh grafik baru yang berkaitan. Ada dua transformasi fungsi
yang dapat digunakan untuk mendapatkan grafik baru , yaitu
1. Pergeseran (translasi) tegak dan mendatar.
Misalkan c > 0. untuk memperoleh grafik
y = f(x) + c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke atas
y = f(x) – c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah
y = f(x + c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
y = f(x – c), geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
2. Peregangan dan pencerminan tegak dan mendatar.
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik
y = c f(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c
y = (1/c) f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak dengan faktor c
y = f(c x), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c
26
y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara mendatar dengan faktor c
y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu x
y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu y
Terapan Fungsi (Model Matematika)
Model matematika adalah uraian secara matematika (seringkali
menggunakan fungsi atau persamaan) dari fenomena dunia nyata. Beberapa
contoh penerapan model matematika adalah pemodelan pertumbuhan populasi,
permintaan untuk suatu barang, kecepatan benda jatuh, konsentrasi zat hasil pada
reaksi kimia, harapan hidup seseorang pada waktu lahir, atau biaya reduksi emisi.
Tujuan model adalah memahami suatu fenomena dan membuat prakiraan tentang
perilaku fenomena tersebut pada masa depan.
Tahapan – tahapan permodelan matematika adalah :
1. Bila diberikan suatu persoalan dunia nyata, pahami persoalan tersebut dengan
seksama.
2. Rumuskan model matematika dengan cara mengenali dan menentukan variabel
bebas dan variabel terikat, membuat asumsi yang menyederhanakan
permasalahan. Selanjutnya, dengan bekal pengetahuan tentang situasi fisik
dan ketrampilan matematika, dapat dibentuk persamaan yang mengaitkan
variabel – variabel tersebut.
3. Dengan penerapan pengetahuan matematika pada model matematika dapat
dirumuskan kesimpulan secara matematis. Selanjutnya, kesimpulan matematis
27
tersebut ditafsirkan sebagai informasi tentang fenomena dunia nyata semula
dengan cara menyodorkan penjelasan atau membuat perkiraan.
4. Langkah terakhir adalah validasi model, yaitu membandingkan hasil prakiraan
model dengan fenomena mula – mula. Bila hasil prakiraan model mendekati
fenomena mula – mula, maka model dapat dikatakan valid. Jika tidak, model
tersebut perlu diperbaiki.
Model matematika tidak pernah merupakan pernyataan akurat secara
lengkap dari situasi fisik, melainkan merupakan pengidealan (yaitu dengan
memberlakukan asumsi – asumsi tertentu). Model yang baik menyederhanakan
kenyataan (fenomena) sekedar untuk memungkinkan kalkulasi matematika, tetapi
cukup akurat untuk memberikan kesimpulan yang berharga.
Model Linier
Bila hasil ploting grafik antara variabel terikat dan variabel bebas
menunjukkan pola garis lurus, maka cukup masuk akal untuk mengatakan bahwa
y merupakan fungsi linier dari x. Secara matematis, hal ini dapat dinyatakan
dengan y = f(x) = m x + b.
Contoh :
a. Ketika udara kering bergerak ke atas, ia memuai dan mendingin. Jika suhu
permukaan tanah adalah 20 o C dan suhu pada ketinggian 1 km adalah 10 oC.
Nyatakan suhu T ( dalam o C ) sebagai fungsi tinggi h (dalam km) dengan
anggapan bahwa suatu model linier sudah memadai. Dan gambarkan grafik
fungsi di atas.
Penyelesaian :
28
Karena dianggap bahwa T merupakan fungsi linier h, maka dapat ditulis
T = m h + b
Pada waktu h = 0 diperoleh T = 20, sehingga
20 = m . 0 + b = b
Pada waktu h = 1, T = 10, sehingga
10 = m . 1 + 20
kemiringan garis adalah m = -10 dan fungsi yang diperoleh
T = -10 h + 20
Grafiknya berupa sketsa kasar
b. Tabel di bawah ini berasal dari percobaan laktonisasi asam hidroksivaleri
pada suhu 250 C. Tabel menunjukkan konsentrasi C(t) dari asam ini (dalam
mol perliter) setelah t menit.
T 0 2 4 6 8
C(t) 0,0800 0,0570 0,0408 0,0295 0,0210
Sketsa grafiknya dan perkirakan nilai C(3), C(5), dan C(7)
Penyelesaian :
29
Diasumsikan fungsinya berbentuk garis lurus dan melalui titik ((4, 0.0408)
dan (8, 0.0210), maka persamaan fungsinya adalah
30
C(t) = - 0,0198 t + 0,2424
Sehingga dengan memasukkan nilai t pada persamaan ini akan diperoleh nilai
C(t) yang diinginkan.
C(3) = 0,183 ; C(5) = 0,1434 ; C(7) = 0,1038 ∎
Latihan 2.
Bagian Soal yang berkaitan
2.1
2.3
2.4
2.4
2.5
1 sampai 10
11 sampai 38
39 sampai 48
49 sampai 63
59 sampai 61
Untuk soal nomor 1 sampai dengan 10, carilah domain dan range dari fungsi f
1. f(x) = 6. f(x) =
2. f(x) = 7. f(x) =
3. f(x) = 8. f(x) = |x| + x
4. f(x) = 9. f(x) = |2 x + 3|
5. f(x) = 10. f(x) =
Untuk soal nomor 11 sampai dengan 15, tentukan f + g, f – g , f g , dan
daerah asalnya.
11. f(x) = x3 + 2 x2, g(x) = 3 x2 – 1
31
12. f(x) = , g(x) =
13. f(x) = , g(x) =
14. f(x) = x2 + x , g(x) =
15. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1
16. Jika f(x) = x2 + x , g(x) = , carilah (f – g)(2), ( )(1), g2(3)
17. Jika f(x) = , g(x) = , carilah f 4(x) + g 4(x)
18. f(x) = x – , g(x) = x2 + 1 , carilah f 3(-1), f 2(2) + g 2(2)
Untuk soal nomor 19 sampai dengan 22, tentukan (a). f g , (b). g f, (c). f f,
(d). g g dan daerah asalnya
19. f(x) = , g(x) = x2
20. f(x) = , g(x) = x3 + 2 x
21. f(x) = , g(x) =
22. f(x) = , g(x) =
Untuk soal nomor 23 dan 24, tentukan f g h jika
23. f(x) = x – 1, g(x) = , h(x) = x – 1
24. f(x) = , g(x) = x3, h(x) = x2 + 2
25. Tentukan f dan g sedemikian hingga g f =
26. Tentukan f dan g sedemikian hingga f g =
32
Untuk nomor 27 dan 28, tentukan f, g dan h sedemikian hingga
27. f g h = 1 -
28. f g h =
Untuk soal nomor 29 sampai dengan 38, tentukan f -1(x) dari
29. f(x) = - + 5 30. f(x) = -
31. f(x) = 5 – 4 x3 35. f(x) =
32. f(x) = (x – 4)3 36. f(x) =
33. f(x) = x3/2 37. f(x) =
34. f(x) = 38. f(x) =
Untuk soal nomor 39 sampai dengan 48, nyatakan apakah fungsi yang diberikan
genap, gasal, atau bukan keduanya
39. f(x) = 3 x2 + 2 x -1 44. f(x) =
40. f(x) = 45. f(x) =
41. f(x) = 46. f(x) =
42. f(x) = 47. f(x) = | 2 x2 + 2|
43. f(x) = 2 x5 – 3 x3 + x 48. f(x) = - | x + 3 |
Untuk soal nomor 49 sampai dengan 58, gambarkan grafiknya
49. f(x) = 3 x + 6 52.
33
50. f(x) = 2 x2 – 4 x + 2 53. f(x) = e x + 1
51. y = log x 54. f(x) =
55. 57.
56. y = ln (x + 1) 58. f(x) = e x + 1
59. Perusahaan F harus mengeluarkan biaya 20.000 + 1000 x untuk membuat x
tempat obat yang dijual dengan harga Rp 2 000,00 per buah.
a. Carilah rumus untuk P(x), yaitu keuntungan total dalam membuat x buah
tempat obat.
b. Hitung P(200) dan P(2000).
c. Berapa tempat obat yang harus dibuat agar mencapai titik impas.
60. Kotak tanpa tutup dibuat dari selembar seng berebentu persegi panjang
berukuran 12 cm x 20 cm, dengan cara membuang persegi dengan panjang
sisi x cm pada setiap pojoknya dan melipat sisi-sisinya ke atas. Nyatakan isi
kotak sebagai fungsi dari x.
61. Tabel di bawah memuat rata-rata tingkat karbon dioksida di atmosfir, diukur dalam “ppm-
parts per million” di Mauna Loa Observatory sejak th 1972 sampai th. 1990.
Tahun 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990
Tk.CO2 327,3 330,0 332,0 335,3 338,5 341,0 343,3 347,0 351,3 354,0
a. Plot grafik tingkat CO2 sebagai fungsi waktu
b. Taksir bentuk fungsinya
c. Dengan menggunakan hasil b carilah tingkat CO2 pada th. 1985 dan th.
2003
34
@@@
35