kalkulus1kalkulus1 vv

7/24/2019 kalkulus1kalkulus1 vv

1/62


2/62

COPYRIGHT: 20112016, Dr. Gyori Istvn, Dr. Pituk Mihly, Pannon Egyetem MuszakiInformatikai Kar Matematika Tanszk

LEKTORLTA: Dr. Molnrka Gyozo, Szchenyi Istvn Egyetem Muszaki Tudomnyi KarMechatronika s Gpszerkezettan Tanszk

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)

A szerzo nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllal szabadon msolhat, terjeszt-heto, megjelentetheto s eloadhat, de nem mdosthat.

TMOGATS:Kszlt a TMOP-4.1.2-08/1/A-2009-0008 szm, Tananyagfejleszts mrnk informati-kus, programtervezo informatikus s gazdasginformatikus kpzsekhez cmu projekt kere-tben.

ISBN 978-963-279-504-1

KSZLT: aTypotex KiadgondozsbanFELELOS VEZETO: Votisky ZsuzsaAZ ELEKTRONIKUS KIADST ELOKSZTETTE: Juhsz Lehel

KULCSSZAVAK:egyvltozs vals fggvny, sorozat, hatrrtk, folytonossg, derivlt, hatrozatlan integrl,Riemann-integrl, improprius integrl, Laplace-transzformlt

SSZEFOGLALS:A jegyzet a Pannon Egyetem Muszaki Informatikai Karn oktatottMatematikai analzis I.kurzus anyagnak sszefoglalsa informatikus s villamosmrnk hallgatk rszre. Azolvas megismerkedhet az egyvltozs vals fggvnyek differencilszmtsval sintegrlszmtsval, ezen bell az analzis olyan kzponti fogalmaival, mint a hatrrtk,folytonossg, derivlt s az integrl. Egy villamossgtani problma kapcsn ismertetsrekerl a Laplace transzformlt fogalma s fontosabb tulajdonsgai.
http://www.typotex.hu/http://www.typotex.hu/


3/62

Tartalomjegyzk

Bevezets 5

1. Halmazok, fggvnyek 61.1. Halmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61.2. Szmhalmazok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.3. A fggvny defincija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Az sszetett fggvny. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.5. Az inverz fggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91.6. Egyvltozs vals fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10

2. Egyvltozs vals fggvnyek hatrrtke s folytonossga 122.1. Konvergens sorozatok. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.2. Vgtelenhez tart sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.3. Monoton sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.4. Specilis sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5. A bovtett szmegyenes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.6. Krnyezetek s pontozott krnyezetek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2.7. A fggvny hatrrtke. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.8. Folytonossg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.9. Az elemi alapfggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

3. Egyvltozs vals fggvnyek differencilszmtsa 293.1. A differencilhatsg fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 293.2. Differencilsi szablyok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 313.3. Az elemi alapfggvnyek derivltjai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

3.4. Magasabb rendu derivltak . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.5. Intervallumon val differencilhatsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 333.6. Kzprtkttelek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.7. Monotonitsi kritriumok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 343.8. A LHospital-szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.9. Abszolt s loklis szlsortkek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 353.10. Konvexsg, konkvsg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem c www.tankonyvtar.hu
http://www.tankonyvtar.hu/http://www.tankonyvtar.hu/


4/62

4 TARTALOMJEGYZK

4. Egyvltozs vals fggvnyek integrlszmtsa 384.1. Primitv fggvny s hatrozatlan integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 384.2. Alapintegrlok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.3. Integrls elemi talaktsokkal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 394.4. Parcilis integrls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404.5. Integrls helyettestssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.6. A Riemann-integrl defincija . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.7. A Riemann-integrl tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.8. A Riemann-integrl kiszmtsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 454.9. Az integrlfggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 464.10. Az improprius integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 474.11. Az integrlszmts nhny alkalmazsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

5. Egy villamossgtani problma 535.1. Soros RLC ramkr . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 535.2. Vals vltozj komplex fggvnyek. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

5.3. A Laplace transzformlt fogalma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 555.4. A Laplace transzformlt tulajdonsgai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 565.5. A soros RLC ramkr vizsglata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

Irodalomjegyzk 62

c www.tankonyvtar.hu c Gy ori I., Pituk M., Pannon Egyetem


5/62

BevezetsEbben a jegyzetben a Pannon Egyetem Muszaki Informatikai Karn az ltalunk tartott Ma-tematikai analzis I. kurzus anyagt foglaltuk ssze. Clunk segteni az informatikus svillamosmrnk hallgatknak, hogy megismerjk az egyvltozs fggvnyek differencil- sintegrlszmtst, s sikeresen felkszljenek a vizsgra. A trgyhoz gyakorlatok vannakelorva, amelyekhez a hallgatk kln feladatgyujtemnyt kapnak, ezrt a jegyzet gyakor-lfeladatokat nem tartalmaz, csak mintapdkat. A ttelek bizonytsait elhagytuk. Arratrekedtnk, hogy az analzis kzponti fogalmait, mint pldul a hatrrtk, folytonossg,

differencils s integrls, s azok legfontosabb tulajdonsgait sszefoglaljuk. Ismertetjktbbek kztt a szakmai trgyakban gyakran hasznlt Laplace transzformlt fogalmt s an-nak alkalmazst a villamossgtanban.

Hangslyozzuk, hogy e jegyzet nem ptolja az eloadsokon val rszvtelt, ahol tovbbipldkon s egyszerubb bizonytsokon keresztl segtjk e nehz anyag megrtst. Azok-nak a hallgatknak, akiket a kihagyott bizonytsok s tovbbi lehetsges alkalmazsok irntrdeklodnek, melegen ajnljuk az irodalomjegyzkben feltntetett tanknyveket.

A jegyzet a TMOP - 4.1.2-08/1/A program keretben kszlt.Ezton fejezzk ki ksznetnket Hartung Ferenc kollgnknak a jegyzet elksztse so-

rn nyjtott rtkes segtsgrt.

Veszprm, 2011. janur 31.

Gyori Istvn s Pituk Mihly



6/62

1. fejezetHalmazok, fggvnyek

1.1. Halmazok

Azegsz szmokhalmaznak jele Z. A nemnegatv egsz szmokattermszetes szmoknak

nevezzk. A termszetes szmok halmazt az N, a pozitv egsz szmok halmazt pedig azN+ szimblummal jelljk. Avals szmokhalmaznak jele R. Az Rhalmaztszmegye-nesnekis szoks nevezni.

Egyxvals szmabszolt rtktaz

|x|=

x, hax0x, hax


7/62

1.2. SZMHALMAZOK 7

LegyenA, B kt halmaz. Arszhalmaza B-nek, jelben A B, ha Aminden elemeB-nek is eleme.AsBegyestst,metszettsklnbsgtaz

A B={x|xAvagyxB},A B={x|xAsxB},A

\B=

{x|

x

Asx /

B}

kpletekkel definiljuk. AsB Descartes-szorzatnak jeleA B. AzA Bhalmaz azon(a, b)rendezett prokbl ll, amelyekreaAsbB . Teht

A B={(a, b)|aAsbB}.Azres halmaz jele . HaA B =, akkor azA,Bhalmazokatdiszjunktaknakmondjuk.

1.2. Szmhalmazok

1.2.1. Definci. R rszhalmazait (vals)szmhalmazoknakmondjuk.

1.2.2. Definci. Legyen A R. A c R szmot az Ahalmaz felso korltjnak (alskorltjnak) mondjuk, ha mindenxAesetnxc(xc).

AzAhalmazfellrol korltos (alulrl korltos), ha ltezik felso korltja (als korltja).AzAhalmazkorltos, ha korltos fellrol s alulrl is.

Knnyu beltni, hogyA Rppen akkor korltos, ha ltezik k > 0gy, hogy mindenxA-ra |x| k.

Azintervallumokspecilis szmhalmazok. Akorltos intervallumoka kvetkezok:

(a, b) =

{x

R

|a < x < b

},

[a, b) ={x R |ax < b},(a, b] ={x R |a < xb},[a, b] ={x R |axb},

ahol a, b R, a < b. Az elso intervallum nylt, a msodik balrl zrt, jobbrl nylt, aharmadikbalrl nylt, jobbrl zrt, a negyedik pedigzrt.A

(c, ) ={x R |x > c },[c, ) ={x R |xc },

(, c) ={x R |x < c },(, c] ={x R |xc },

aholc R, valamint a(, ) = R

nem korltos intervallum.



8/62

8 1. HALMAZOK, FGGVNYEK

1.2.3. Definci. LegyenA R. AzmAszmot azAhalmazlegnagyobb elemnek vagymaximumnak (legkisebb elemnek vagy minimumnak) mondjuk, ha mindenxA esetnxm(xm). Jells:m = max A, illetvem= min A.1.2.4. Plda. Ha A = (0, 1), akkor min As max A sem ltezik. Ha A = [0, 1), akkormin A = 0,max Anem ltezik. HaA = (0, 1], akkormin Anem ltezik, max A = 1. Ha

pedigA= [0, 1], akkormin A= 0smax A= 1.Az elozo plda azt mutatja, hogy korltosAesetn is elofordulhat, hogymin Asmax A

sem ltezik. Ugyanakkor igaz a kvetkezo:

1.2.5. Ttel. Ha =A Rfellrol korltos (alulrl korltos), akkorAfelso korltjai (alskorltjai) kztt mindig van legkisebb (legnagyobb).

1.2.6. Definci. Legyen = A R. Ha Afellrol korltos (alulrl korltos), akkor Alegkisebb felso korltjt (legnagyobb als korltjt) azAhalmazfelso hatrnak vagy szup-rmumnak (als hatrnak vagy infimumnak) nevezzk. Jells: sup A, illetveinfA.

1.3. A fggvny defincijaA fggvny defincija a kvetkezo:

1.3.1. Definci. LegyenekAsB adott halmazok. AzA BDescartes-szorzatZrszhal-maztA-blB-be vezeto (AB tpus) fggvnynek (lekpezsnek)mondjuk, ha brmelyx Aesetn legfeljebb egyy Bltezik gy, hogy(x, y) Z. Ha ezt a lekpezstf-fel

jelljk, akkor (x, y)Zesetny-t azxelemfltali kpnekmondjuk, s azt rjuk, hogyy= f(x). Azffggvnyrtelmezsi tartomnyna

D(f) ={xA|ltezikyB gy, hogy(x, y)Z}

halmazt,frtkkszletnpedig azR(f) ={yB|ltezikxAgy, hogy(x, y)Z}

halmazt rtjk.Azt, hogyf A-bl B-be vezeto lekpezs azf : A B szimblummal jelljk. Ms

szval azf :AB szimblum azt jelenti, hogyD(f)AsR(f)B . Hangslyozzuk,hogy ltalbanD(f)=AsR(f)=B .

HaHD(f), akkor aHhalmazfltali kpnazf(H) ={f(x)|xH}

halmazt rtjk.LegyenH D(f). Azf fggvnyHhalmazra val leszuktsn (megszortsn),jele

f|H, azt a fggvnyt rtjk, amelynek rtelmezsi tartomnyaD

f|H

= H, s kpletef|H

(x) =f(x), xH.

Azf :AB fggvnygrafikonjagraph(f) ={(x, f(x))|xD(f)} A B.



9/62

1.4. AZ SSZETETT FGGVNY 9

1.3.2. Plda. Legyen

Z={(x, y) R R |x2 + y2 = 1 } R R.

Zaz x, y-sk azon pontjainak a halmaza, amelyek rajta vannak a(0, 0)kzppont 1 sugarkrvonalon. A Zhalmaz nem lekpezs R-bol R-be, mert (0, 1)

Z s (0,

1)

Z is

teljesl. Viszont a

Z={(x, y) R R |x2 + y2 = 1, y0 } R R

halmaz, a (0, 0)kzppont 1 sugar felso flkrvonal, mr R-bol R-be vezeto lekpezs.Haf-fel jelljk, akkor a definciban hasznlt jellssel D(f) = [1, 1],R(f) = [0, 1]s

y= f(x) =

1 x2, x[1, 1].

1.4. Az sszetett fggvny

1.4.1. Definci. Legyenf :AB s g : B Ckt fggvny. Minden olyanxD(g)esetn, amelyreg(x)D(f), legyen

(f g)(x) =f(g(x)).

Azf g-vel jellt fggvnyt, amelynek rtelmezsi tartomnya

D(f g) ={xD(g)|g(x)D(f)},

fsgkompozcijnaknevezzk.

1.4.2. Plda. Legyen

f(x) = 4x + 2, x[0, 1],g(x) =x 3, x[0, 4].

Ekkor(f g)(x) =f(g(x)) = 4g(x) + 2 = 4(x 3) + 2 = 4x 10.

MivelD(f) = [0, 1], g(x) = x 3 D(f)ppen akkor, ha 3 x 4. Ha figyelembevesszk, hogyD(g) = [0, 4], azt kapjuk, hogy

D(f g) = [3, 4].

1.5. Az inverz fggvny

1.5.1. Definci. Azffggvnytinvertlhatnak (egy-egyrtelmunek) mondjuk, ha brmelyx1,x2D(f),x1=x2esetnf(x1)=f(x2).



10/62

10 1. HALMAZOK, FGGVNYEK

1.5.2. Definci. Haf : A B invertlhat, D(f) = As R(f) = B, akkor azt mond-juk, hogyfklcsnsen egyrtelmu lekpezst ltestAs B kztt. Ms szval fbijektvlekpezs vagy rvidenbijekci.

1.5.3. Definci. Hafinvertlhat, akkorfinverz fggvnye az a fggvny, amelyR(f)-etkpeziD(f)-be, s mindeny

R(f)-hez azt azx

D(f)-et rendeli, amelyrey = f(x). Az

inverz fggvny jele: f1.

A defincibl kvetkezik, hogy D(f1) = R(f)s R(f1) = D(f), tovbb mindenxD(f)-re

f1(f(x)) = x,

s mindenyR(f)esetnf(f1(y)) = y.

1.5.4. Plda. Ag(x) = 1 x2, x[1, 1]

fggvny nem invertlhat, mertg(1) =g(1). Azf(x) = 1 x2, x[1, 0]

fggvny viszont invertlhat, mert ha valamelyx1, x2 D(f) = [1, 0]esetnf(x1) =f(x2), akkor azt kapjuk, hogy x21 = x

22, s innen|x1| =|x2|, majdx1 =x2, s vgl

x1 = x2addik. Knnyu beltni, hogyR(f) = [0, 1]. Az

y= f(x) = 1 x2, xD(f) = [1, 0], yR(f) = [0, 1]felttelekbol kapjuk, hogyx2 = 1 y.Innen |x|=1 y, majd x=1 y, s vgl

x=1 y= f1(y)addik. Tehtfinverz fggvnye:

f1(x) =

1 x, x[0, 1].

1.6. Egyvltozs vals fggvnyek

1.6.1. Definci. Az ffggvnytvals fggvnynekmondjuk, ha R(f) R. Az ffggvnytegyvltozs fggvnynekmondjuk, haD(f)

R.

A tovbbiakban egyvltozs vals fggvnyeket, azaz R-bol R-be vezeto fggvnyeketfogunk vizsglni. Az egyvltozs vals fggvnyek grafikonjait az x, y-skban brzolhatjuk,

graph(f) ={(x, f(x))|xD(f)} R R = R2.Az inverz fggvny defincijbl kapjuk, hogy ha f : R R invertlhat, akkor azf1

inverz fggvny grafikonjtfgrafikonjnak azy = xegyenesre val tkrzsvel kapjuk.



11/62

1.6. EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK 11

1.6.2. Definci. Haf1s f2vals fggvnyek, akkor azf1 f2,f1 f2s f1f2

fggvnyeket

az

(f1 f2)(x) =f1(x) f2(x), xD(f1 f2) =D(f1) D(f2),(f1

f2) =f1(x)

f2(x), x

D(f1

f2) =D(f1)

D(f2),

f1f2

(x) = f

1(x)f2(x)

, xD

f1f2

={xD(f1) D(f2)|f2(x)= 0}

kpletekkel definiljuk.

1.6.3. Definci. Az f : R Rfggvny fellrol korltos (alulrl korltos), ha ltezikc R gy, hogy mindenxD(f)-ref(x)c(f(x)c).

Azf : R R fggvnykorltos , ha korltos fellrol s alulrl is.Knnyu beltni, hogy f : R

Rppen akkor korltos, ha ltezik k > 0gy, hogy

mindenxD(f)-re |f(x)| k.1.6.4. Definci. Azf : R R fggvnymonoton nvekedo (monoton cskkeno), ha br-melyx1,x2 D(f),x1 < x2esetnf(x1) f(x2)(f(x1 f(x2)). Ha az utols egyen-lotlensget-ra) cserljk, akkor aszigoran monoton nvekedo (szigoran monotoncskkeno) fggvny defincijt kapjuk.

Az f : R Rfggvny monoton(szigoran monoton), ha monoton nvekedo vagymonoton cskkeno (szigoran monoton nvekedo vagy szigoran monoton cskkeno).

1.6.5. Definci. Azf : R Rfggvnypros (pratlan), ha brmely x D(f)esetnxD(f), sf(x) =f(x)(f(x) =f(x)).

Minden pros fggvny grafikonja szimmetrikus az y-tengelyre nzve, s minden pratlanfggvny grafikonja szimmetrikus az origra ((0,0) pontra) nzve.

1.6.6. Definci. Azf : R R fggvnyperiodikus apperidussal, ha brmelyxD(f)esetnx +pD(f), sf(x +p) =f(x).1.6.7. Definci. Azf : R Rfggvnylland (konstans),ha ltezikc Rgy, hogymindenxD(f)esetnf(x) =c.1.6.8. Definci. Azf : R R fggvnyzrushelyn olyanaD(f)pontot rtnk, aholf(a) = 0. Haf(a) = 0, azt is mondjuk, hogyfeltunik azahelyen .



12/62

2. fejezetEgyvltozs vals fggvnyekhatrrtke s folytonossga

2.1. Konvergens sorozatok

2.1.1. Definci.Sorozatnakolyan fggvnyt neveznk, amelynek rtelmezsi tartomnyaN.Vals sorozatnak N-en definilt vals fggvnyt neveznk. Haa: N R egy vals sorozat,akkor aza(n)szmotan-nel szoks jellni. Azan-et a sorozatn-edik tagjnakmondjuk. Aza: N R helyett az {an}n=0vagy {an}jells hasznlatos.

A tovbbiakban csak vals sorozatokkal fogunk foglalkozni.

2.1.2. Definci. Aza Rszmot az{an}sorozathatrrtknek (limesznek) mondjuk,ha brmely >0 esetn ltezikn0 N gy, hogy mindennn0-ra |an a| < . Jells:an

avagy lim

n

an = a. A definciban szereplo n0 szmot az hibakorlthoztartoz

kszbszmnaknevezzk.

Azan a Rfelttel geometriailag azt jelenti, hogy brmely > 0esetn az{an}sorozat tagjai vges szm kivtellel benne vannak azx, y- ska < y < a + svjban.2.1.3. Definci. Az{an}sorozatot konvergensnekmondjuk, ha ltezik a R, gy, hogyana. Azokat a sorozatokat, amelyek nem konvergensek,divergensekneknevezzk.2.1.4. Ttel (A hatrrtk egyrtelmusge). Minden konvergens sorozatnak pontosan egyhatrrtke van.

2.1.5. Plda. Legyen an= n

n + 1, n N.

Ha a trtet1

n-nel bovtjk, azt kapjuk, hogy

an= 1

1 + 1n, n N.



13/62

2.1. KONVERGENS SOROZATOK 13

Ebbol knnyu megsejteni, hogy limn

an = 1. Ezt igazolni fogjuk a definci szerint is.

Legyen >0 adva. Ekkor az |an 1| < felttel (n N esetn) ekvivalens (egyenrtku)az

n

n + 1 1

< ,

illetven 1

1

egyenlotlensggel. Teht brmely olyann0 N, amelyre n0 > 1 1 az hibakorltnak

megfelelo kszbszm. Mivel >0tetszoleges volt, ezrtan1.2.1.6. Definci. Ha{nk}k=0 termszetes szmok szigoran monoton nvekedo sorozata,akkor az {ank)k=0sorozatot az {an}n=0sorozatrszsorozatnak nevezzk.

Az albbi tulajdonsg nyilvnval.

2.1.7. Ttel. Ha az{an}n=0 sorozat konvergens, akkor{an}n=0 brmely{ank)k=0 rsz-sorozata is konvergens, s lim

kank = limn

an.

A ttelbol kvetkezik, hogy azan= (1)n sorozat divergens, hiszen

a2k = 11, s a2k+1=1 1.

Mivel a sorozatok specilis vals fggvnyek, a korltossgukat (alulrl s fellrol is)mr definiltuk.

2.1.8. Ttel (A konvergencia s korltossg kapcsolata).Minden konvergens sorozat korltos.

Azan = (1)n sorozat pldja mutatja, hogy a fordtott llts nem igaz.Kzvetlenl a defincibl vezetheto le a kvetkezo llts.

2.1.9. Ttel. Haan0s a {bn} sorozat korltos, akkoranbn0.A kvetkezo ttel azt mutatja, hogy konvergens sorozatokbl az alapmuvelek alkalmaz-

sval szintn konvergens sorozatokat kapunk.

2.1.10. Ttel(Muveletek hatrrtkekkel). Haana R,bnb R, akkor(i)an+ bn

a + b,

(ii)anbnab,(iii)bn= 0mindenn N-re sb= 0tovbbi felttelek mellettan

bn a

b.

A egyenlotlensg kt konvergens sorozat tagjai kztt rklodik a hatrrtkekre is.2.1.11. Ttel(Hatrtmenet egyenlotlensgekben). Haanbnvges szm kivtellel,ana R sbnb R, akkorab.



14/62

14 2. HATRRTK, FOLYTONOSSG

Azan= 0sbn= 1

nsorozatok pldja mutatja, hogy az elozo ttelben a egyenlotlen-

sg nem cserlheto ki0esetn ltezikn0 N gy, hogy mindennn0s mn0esetn|an am|< .

2.2. Vgtelenhez tart sorozatok

Most olyan sorozatokat fogunk vizsglni, amelyek minden hatron tl nonek vagy cskken-nek.

2.2.1. Definci. Azt mondjuk, hogy az{an}sorozattart a plusz vgtelenhez (mnusz vg-telenhez), ha brmely c Resetn ltezik n0 Ngy, hogy minden n n0-ra an > c(an< c). Jells:

an (an ), illetve limn

an= ( limn

an=).

Azan (an ) felttel geometriailag azt jelenti, hogy brmelyc R esetn az{an} sorozat tagjai vges szm kivtellel benne vannak az x, y-sk y > c (y < c) flskjban.2.2.2. Plda. Megmutatjuk a definci alapjn, hogy n2 . Legyen c Radott. Hac < 0, akkor az n2 > cegyenlotlensg igaz mindenn

N-re, c

0esetn pedig ppen

akkor teljesl, ha n >c. Teht c < 0esetn brmely n0 N, c 0esetn pedig azn0 N,n0>

cvlaszts felel meg a definciban elort felttelnek.

A kvetkezo tulajdonsg nyilvnval.

2.2.3. Ttel. Haan (an ), akkor{an} alulrl(fellrol)korltos.A -be tart sorozatokra rvnyesek a kvetkezo szablyok.



15/62

2.3. MONOTON SOROZATOK 15

2.2.4. Ttel(Muveletek vgtelen hatrrtkekkel).

(i) Haan , akkoran .(ii) Haan s {bn} alulrl korltos, akkoran+ bn .(iii) Ha an s van olyan c >0(d 0(an< 0)vges szm kivtellel, akkor 1

an 1

an .

Az (i)(iv)-hez hasonl lltsokat meg lehet fogalmazni arra az esetre is, amikor an.

2.2.5. Ttel(Hatrtmenet egyenlotlensgben). Haanbnvges szm kivtellel san (bn ), akkorbn (an ).

2.3. Monoton sorozatok

Az {an} sorozat ppen akkor monoton nvekedo (monoton cskkeno), ha mindenn N-rean an+1(an an+1), ha pedig a() egyenlotlensget-ra) cserljk, akkor aszigoran monoton nvekedo (szigoran monoton cskkeno) sorozat jellemzst kapjuk.

Egy monoton sorozatnak mindig ltezik (vges vagy vgtelen) hatrrtke.

2.3.1. Ttel(Monoton sorozat hatrrtke). Ha az

{an

}sorozat monoton nvekedo (monoton

cskkeno) s fellrol nem korltos (alulrl nem korltos), akkoran (an ).Ha az{an}sorozat monoton nvekedo (monoton cskkeno) s fellrol korltos (alulrl

korltos), akkoransup A(aninfA), aholA={an|n N}.Specilisan, minden monoton s korltos sorozat konvergens.

2.3.2. Plda. Legyena0=

2s

an+1=

2 + an, n N.

Teljes indukcival bizonythat, hogy{an}monoton nvekedo s mindenn N-re

2an 2. Az elozo ttel szerintan avalamelya R-re. Elvgezve a hatrtmenetet azegyenletben s az utbbi egyenlotlensgben, azt kapjuk, hogy

a=

2 + a s

2a2.

Innena2 = 2 + a, tehta =1vagya = 2. Mivel a2 a 2felttelnek csaka = 2felel meg, ezrta= 2.



16/62


2.4. Specilis sorozatok

Ismertetnk nhny fontos sorozatot s azok konvergenciatulajdonsgait.

2.4.1. Ttel(A{qn}geometriai sorozat). Ha q > 1, akkorqn . Ha q = 1, akkorqn = 1

1. Haq

(

1, 1), akkorqn

0. Ha pedigq

1, akkor a

{qn

}n=0sorozatnak

sem vges, sem vgtelen hatrrtke nem ltezik.

2.4.2. Plda.2n + 3n

4n + 5n =

25

n+35

n45

n+ 1

0,

mikzben felhasznltuk a geometriai sorozat konvergenciatulajdonsgait.

2.4.3. Ttel(Az { na} sorozat). Brmelya >0esetn na1.

2.4.4. Ttel(Az

{ n

n

}sorozat). n

n

1.

2.4.5. Plda.limn

n

2n + 1 = 1,

mert mindenn N+-ran

2 n

n= n

2n n2n + 1 n

3n= n

3 n

n,

slimn

( n

2 n

n ) = limn

( n

3 n

n ) = 1.

2.4.6. Ttel(Az

(1 + 1n

)n

sorozat). Az

(1 + 1n

)n

sorozat monoton nvekedo s korltos,ezrt konvergens is.

2.4.7. Definci. Az

e = limn

1 +

1

n

nhatrrtketEuler-fle szmnaknevezzk. Kzelto rtke:

e2, 7.

2.5. A bovtett szmegyenes

2.5.1. Definci. AzR = R {+, }

halmaztbovtett szmegyenesneknevezzk.



17/62

2.6. KRNYEZETEK S PONTOZOTT KRNYEZETEK 17

A vals szmok < rendezsi relcijt kiterjesztjk R-ra a kvetkezokppen: mindena R esetn

< a, s a


18/62


K(a) azon x R pontok halmaza, amelyekre|xa| < , azaz a-tl val tvols-guk kisebb, mint . Hasonlkppen, P(a) azon a-tl klnbzo x Rpontok halmaza,amelyekneka-tl val tvolsga kisebb, mint.

A jobb oldali s bal oldali krnyezeteket hasonlkppen definiljuk.

2.6.2. Definci. Aza

R pont (-sugar)jobb oldali (bal oldali) krnyezetn

K+ (a) = [a, a + ) (K (a) = (a , a])

alak intervallumot rtnk, ahol(0, ).Aza R pont (-sugar)jobb oldali (bal oldali) pontozott krnyezetn

P+ (a) = (a, a + ) (P (a) = (a , a))

alak intervallumot rtnk, ahol(0, ).Most a+ s krnyezeteit s pontozott krnyezeteit definiljuk.

2.6.3. Definci. A+

krnyezetn s egyttal pontozott krnyezetn (c, )

alak inter-vallumot rtnk, aholc R.

Akrnyezetn s egyttal pontozott krnyezetn (, c) alak intervallumot r-tnk, aholc R.

2.7. A fggvny hatrrtke

2.7.1. Definci. Ab R szmot azf : R R fggvnyhatrrtknekmondjuk aza Rpontban, ha frtelmezve van a valamely pontozott krnyezetben s brmely olyan {xn}n=0sorozatra, amelyre xn D(f), xn= amindenn N-re, s xn a, a fggvnyrtkek{f(xn)}n=0sorozatab-hez tart. Jells: f(x)b, haxavagylimxa f(x) =b.

Hasonlan definiljuk a jobb oldali s bal oldali hatrrtkeket is.

2.7.2. Definci. Ab Rszmot az f : R Rfggvnyjobb oldali (bal oldali) hatr-rtknekmondjuk aza[, )(a(, ]) pontban, hafrtelmezve vanavala-mely jobb oldali (bal oldali) pontozott krnyezetben s brmely olyan{xn}n=0sorozatra,amelyre xn D(f), xn > a(xn < a) minden n N-re, sxn a, a fggvnyrtkek{f(xn)}n=0sorozatab-hez tart. Jells:f(x)b, haxa+(f(x)b, haxa) vagylimxa+

f(x) =b( limxa

f(x) =b).

Nyilvnval, hogya =

(a = +

) esetn a hatrrtk s a jobb oldali (bal oldali)hatrrtk fogalma megegyezik.

A hatrrtk s a floldali hatrrtkek kztt a kvetkezo a kapcsolat.

2.7.3. Ttel. Legyena R. A limxa

f(x)hatrrtk pontosan akkor ltezik, ha limxa+

f(x)s

limxa

f(x)ltezik, s

limxa

f(x) = limxa+

f(x).



19/62

2.7. A FGGVNY HATRRTKE 19

A hatrrtket definilhattuk volna a krnyezetek s pontozott krnyezetek segtsgvelis. Ugyanis igaz a kvetkezo llts.

2.7.4. Ttel. Az f : R Rfggvny hatrrtke az a Rpontban egyenlo a b R szmmalpontosan akkor, ha bbrmelyKkrnyezethez ltezik azaszmnak olyan Ppontozott kr-nyezete, amelyref(P)

K.

Hasonlkppen fogalmazhatjuk t a jobb oldali s bal oldali hatrrtk defincijt is.A defincibl s a sorozatokra vontakoz eredmnyekbol kvetkezik:

2.7.5. Ttel(A hatrrtkszmts szablyai). Legyena R.(i) Ekkor

limxa

(f(x) + g(x)) = limxa

f(x) + limxa

g(x),

limxa

(f(x) g(x)) = limxa

f(x) limxa

g(x),

limxa

f(x)

g(x)

=limxa

f(x)

limxa g(x)

,

feltve, hogylimxa

f(x)s limxa

g(x)ltezik, s a jobb oldalon szereplo m uvelet rtelmezve van

R-ban.(ii) Halim

xaf(x) = 0 sgkorltosavalamely pontozott krnyezetben, akkorlim

xa(f(x)

g(x)) = 0.

(iii) Ha limxa

f(x) = 0s f > 0a valamely pontozott krnyezetben, akkor limxa

1

f(x) =

+.(iv) Ha limxa f(x) = 0s f < 0a valamely pontozott krnyezetben, akkor limxa 1f(x) =

.(v) Ha lim

xaf(x), limxa

g(x)ltezik s f g a valamely pontozott krnyezetben, akkorlimxa

f(x) limxa

g(x).

(vi) (rendorelv) Ha limxa

f(x) = limxa

h(x) = b Rs f g haz a pont valamelypontozott krnyezetben, akkorlim

xag(x) =b.

Hasonl lltsokat lehet megfogalmazni jobb oldali s bal oldali hatrrtkekre is.Most kvetkezzen kt tovbbi fontos llts.

2.7.6. Ttel(Az sszetett fggvny hatrrtke). Legyena R. Halimxa

g(x) =b R, limxb

f(x) =c R,

sg(x)=bmindenx-re azapont valamely pontozott krnyezetbol, akkorlimxa

f(g(x)) =c.



20/62


2.7.7. Ttel(Monoton fggvny hatrrtke). Legyen a < b+. Hafmonoton(a, b)-ben, akkor lim

xa+f(x)s lim

xbf(x)ltezik. Hafmonoton nvekedo(a, b)-ben, akkor

limxa+

f(x) = inff((a, b)), limxb

f(x) = sup f((a, b)),

ha pedigfmonoton cskkeno(a, b)-ben, akkor

limxa+

f(x) = sup f((a, b)), limxb

f(x) = inff((a, b)),

aholf((a, b)) ={f(x)|x(a, b)}.

2.8. Folytonossg

2.8.1. Definci. Azf : R R fggvnytfolytonosnakmondjuk azaD(f)helyen, halimxa

f(x) =f(a).

Azf : R R fggvnyjobbrl (balrl) folytonos azaD(f)helyen, halimxa+

f(x) =f(a)

limxa

f(x) =f(a)

.

Nyilvnval, hogy azf : R R fggvny pontosan akkor folytonos azahelyen, ha ittjobbrl s balrl is folytonos.

Ha figyelembe vesszk, hogy a hatrrtk defincja tfogalmazhat krnyezetek segts-gvel, akkor a folytonossg kvetkezo ekvivalens megfogalmazst kapjuk.

2.8.2. Ttel. Azf : R Rfggvny pontosan akkor folytonos az a D(f)helyen, ha frtelmezve vana valamely krnyezetben s brmely > 0esetn ltezik > 0gy, hogy

mindenxD(f), |x a|< esetn |f(x) f(a)|< .Hafnem folytonos azahelyen, azt is mondjuk, hogyf-nek ittszakadsa van.A defincibl s a hatrrtkszmts szablyaibl kvetkeznek az albbi tulajdonsgok.

2.8.3. Ttel(Muveletek folytonos fggvnyekkel). Hafsgfolytonosak azahelyen, akkor(i) ugyanilyenf+ gis,(ii) ugyanilyenf gis,

(iii)g(a)= 0tovbbi felttel mellett ugyanilyen fg

is.

Hagfolytonos azahelyen sffolytonos ag(a)helyen, akkorf gfolytonos azahelyen.Most egy fggvny intervallumon val folytonossgt definiljuk.

2.8.4. Definci. LegyenI R intervallumasbvgpontokkal, ahol a < b+.

Azffggvnytfolytonosnaknevezzk azIintervallumon, haffolytonos mindenc(a, b)pontban, tovbb a I esetn a-ban jobbrl folytonos, b Iesetn pedig b-ben balrlfolytonos.



21/62

2.8. FOLYTONOSSG 21

2.8.5. Ttel(M uveletek intervallumon folytonos fggvnyekkel). Haf sg folytonosak azI R intervallumon, akkor

(i) ugyanilyenf+ gis,(ii) ugyanilyenf gis,

(iii) hagsehol sem tunik elI-ben, akkor ugyanilyenf

g is.

Most a korltos, zrt intervallumon folytonos fggvnyek fontosabb tulajdonsgait ismer-tetjk.

2.8.6. Ttel(Weierstrass ttele). Ha az ffggvny folytonos az [a, b] Rintervallumon,akkor az[a, b]-hez tartoz fggvnyrtkek kztt mindig van legnagyobb s legkisebb is.

A felttelek fontossgt illusztrlja a kvetkezo kt plda.

2.8.7. Plda. Az

f(x) = 1

x, x(0, 1]

fggvny folytonos a(0, 1]intervallumon. Ugyanakkor

limx0+

f(x) =,

ezrt a(0, 1]intervallumhoz tartoz fggvnyrtkek kztt nincs legnagyobb. Teht Weier-strass ttelben lnyeges, hogy zrt intervallumrl van sz.

2.8.8. Plda. Legyen

f(x) =

1

x, hax(0, 1]

0, hax = 0.

Annak ellenre, hogyfcsak0-ban nem folytonos (jobbrl), a fggvnyrtkek kztt nincs

legnagyobb.2.8.9. Ttel(Bolzano-fle kzblsortk-ttel). Haffolytonos az[a, b]R intervallumon,akkor brmelyf(a)sf(b)kz esodszm esetn van olyanc[a, b], amelyref(c) =d.

Bolzano ttelnek kt fontos kvetkezmnye:

2.8.10. Ttel. Ha ffolytonos az [a, b] R intervallumon s f(a)f(b) < 0, akkor ltezikc(a, b)gy, hogyf(c) = 0.2.8.11. Ttel. Ha az ffggvny folytonos s nem lland az I R intervallumon, akkorf(I)intervallum.

A kvetkezo kt llts az sszetett s inverz fggvny folytonossgrl szl.

2.8.12. Ttel(Az sszetett fggvny folytonossga). Ha gfolytonos s nem lland az I Rintervallumon sffolytonos aJ= g(I)intervallumon, akkorf gfolytonos azIinterval-lumon.

2.8.13. Ttel(Az inverz fggvny folytonossga). Hafszigoran monoton s folytonos azI R intervallumon, akkorfinvertlhat azIintervallumon sf1folytonos aJ = f(I)intervallumon.



22/62


2.9. Az elemi alapfggvnyek

Az albbiakban felsorolunk nhny elemi alapfggvnyt s azok fontosabb tulajdonsgait.

Identikus fggvny (id). Az

id(x) =x, x R,kplettel definilt identikus fggvny folytonos s szigoran monoton nvekedoa(, )-n.

Pozitv kitevoj u hatvnyfggvnyek (idn,n N+). Brmelyn N+ esetn azidn(x) =xn, x R,

kplettel definilt n-edik hatvnyfggvny folytonos a (, )-n; pratlan n esetna (, )-n szigoran monoton nvekedo, ha pedig n pros, akkor a (, 0]-n szigo-ran monoton cskkeno s a[0,

)-n szigoran monoton nvekedo. Han pros (pratlan),

akkor azidn fggvny is pros (pratlan).Negatv kitevoj u hatvnyfggvnyek ((idn,n N+). Brmelyn N+ esetn az

idn(x) =xn = 1

xn, x R \ {0}

kplettel definilt idn : R\ {0} : R hatvnyfggvny folytonos a (, 0)s (0, )intervallumon; a (0, )-n szigoran monoton cskkeno, tovbb pros vagy pratlan attlfggoen, hogynpros vagy pratlan.

Gykfggvnyek (id1

n ,n N+). Brmelyn N+ esetn azn-edik gykfggvnyt, jeleid

1

n , az

id1

n =

idn1 hanpratlan

idn|[0,)

1

hanpros

kplettel definiljuk. Jells:

id1

n (x) = n

x, x

(, ) hanpratlan[0, ) hanpros

Azid1

n fggvny folytonos s szigoran monoton nvekedo a[0,

)-n, illetve a(

,

)-n

attl fggoen, hogynpros vagy pratlan.

Polinomok. Legyenn N sa0, a1, . . . , an R adottak. Ap(x) =a0x

n + a1xn1 + + an, x R,

kplettel definilt p : R Rfggvnyt n-edfok polinomnaknevezzk; az a0 szm a ppolinomf oegytthatja . Appolinom folytonos a(, )-n.



23/62

2.9. AZ ELEMI ALAPFGGVNYEK 23

Termszetes logaritmusfggvny (ln). Meg lehet mutatni, hogy ltezik egy vals fgg-vny, jeleln, a kvetkezo tulajdonsgokkal:

D(ln) = (0, ),ln(xy) = ln x + ln y, hax,y(0, ),

limx0ln(1 + x)

x = 1.

Ezek a tulajdonsgok azlnfggvnyt egyrtelmuen meghatrozzk. Azlnfggvnytterm-szetes logaritmusfggvnynek nevezzk. Azln fggvny szigoran monoton nvekedo sfolytonos a(0, )-n, tovbb

ln1 = 0, ln e= 1,

ln xn =n ln x, hax(0, )sn N,limx0+

ln x=, limx

ln x=.

Exponenclis fggvny (exp). Azexponencilis fggvnyt, jeleexp, az

exp = (ln)1

kplettel definiljuk. Azexp : (, ) (0, )fggvny pozitv, szigoran monotonnvekedo s folytonos a(, )-n. Tovbbi fontosabb tulajdonsgai:

exp 0 = 1, exp 1 =e,

exp(x + y) = exp x exp y, hax,y R,limx

exp x= 0, limx

exp x=,

limn

1 + xn

n= exp x,

limx0

exp x 1x

= 1.

Azexps lnfggvnyek segtsgvel definilhatjuk egy pozitv szm tetszoleges hatv-nyt.

2.9.1. Definci. Brmelya(0, )sb R esetnab = exp(b ln a).

Mivelln e= 1, ezrt a definci szerint

ex = exp x, x R.

ltalnos alap exponencilis fggvny (expa,a > 0,a= 1). Brmelya (0, 1) (1, )esetn az

expa x= ax = exp(x ln a), x R,



24/62


kplettel definiltexpa : (, )(0, )fggvnytaalap exponencilis fggvnyneknevezzk. Azexpafggvny pozitv, folytonos, a(0, 1)esetn szigoran monoton cskke-no,a(1, )esetn pedig szigoran monoton nvekedo. Tovbbi fontosabb tulajdonsgai:

a0 = 1,

ax+y =axay, hax,y

R,axy

=axy, hax,y R,haa(0, 1), akkor lim

xax = s lim

xax = 0.

haa(1, ), akkor limx

ax = 0s limx

ax =.

ltalnos alap logaritmusfggvny (loga,a >0,a= 1). Brmelya(0, 1) (1, )esetn aloga-val jelltaalap logaritmusfggvny defincija:

loga= expa1.Aloga : (0, ) Rfggvny folytonos, a (0, 1)esetn szigoran monoton cskkeno,a(1, )esetn pedig szigoran monoton nvekedo. Fontosabb tulajdonsgai:

loga1 = 0,

loga(ax) =x, hax R,

alogax =x, hax(0, ),

loga(xy) = loga x + loga y, hax,y(0, ),loga(xy) =y loga x, hax

(0,

)sy

R;

loga x=ln xln a

, hax(0, ),

haa(0, 1), akkor limx0+

loga x= s limx

loga x=,haa(1, ), akkor lim

x0+loga x= s lim

xloga x=.

ltalnos kitevoj u hatvnyfggvny (idb,b R). Brmelyb R esetn az

idb(x) =xb = exp(b ln x), x(0, ),

kplettel definiltidb : (0, )fggvny folytonos a(0, )-n. Hab(0, ), akkor szigor-an monoton nvekedo, ha pedigb(, 0), akkor szigoran monoton cskkeno. Tovbbitulajdonsgok:

xb = 1

xb, hax(0, )sb R,

xb+c =xbxc, hax(0, )sb,c R,(xb)c =xbc, hax(0, )sb,c R,



25/62


hab(0, ), akkor limx0+

xb = 0 s limx

xb =.hab(, 0), akkor lim

x0+xb = s lim

xxb = 0.

A harmadik tulajdonsg szerint hax(0, )sn N+, akkor

x 1nn =x.Teht

x1

n = n

x, hax(0, )sn N+.

Trigonometrikus fggvnyek (sin, cos, tg, ctg). Az x, y-sk 1 sugar krvonalnakmindenP pontja azonosthat azzal a radinban mrt x [0, 2)szggel, amelyet az OPszakasz (O = (0, 0)) bezr azx-tengely pozitv irnyval. A[0, 2)-n gy definiljuk asinscos(szinusz s koszinusz ) fggvnyeket, hogy azx [0, 2)szggel azonostott Ppontkoordinti:P= (cos x, sin x). Ezutn mindkt fggvnyt kiterjesztjk a(, )-re a

sin(x + 2k) = sin x, cos(x + 2k) = cos x, x

[0, 2), k

Z,

kplettel. EkkorD(sin) = D(cos) = (, ), R(sin) = R(cos) = [1, 1]. Mindktfggvny periodikus2peridussal s folytonos a(, )-n. Asin fggvny szigoranmonoton nvekedo a [/2, /2]-n s szigoran monoton cskkeno a [/2, 3/2]-n. Acosfggvny szigoran monoton cskkeno a[0, ]-n s szigoran monoton nvekedo a[, 2]-n.Tovbbi fontosabb tulajdonsgok:

sin 0 = 0, sin

6 =

1

2, sin

4 =

2

2 , sin

3 =

3

2 , sin

2 = 1, sin = 0,

cos 0 = 1, cos

6 =

3

2 , cos

4 =

2

2 , cos

3 =

1

2, cos

2 = 0, cos =1,

sin(x) = sin x, cos(x) = cos x, x R,sin2 x + cos2 x= 1, x R,

sin(x + y) = sin x cos y+ cos x sin y, x, y R,cos(x + y) = cos x cos y sin x sin y, x, y R,

sin(2x) = 2 sin x cos x, cos(2x) = cos2 x sin2 x, x R,sin2 x=

1 cos(2x)2

, cos2 x=1 + cos(2x)

2 , x R,

sin x sin y= 2 sinx y2

cosx + y

2 , x, y R,

cos x cos y=2sinx + y2

sinx y2

, x, y R,

limx0

sin x

x = 1.

Atg(tangens ) sctg(kotangens ) fggvnyeket a

tg x= sin x

cos x, hax R \ {/2 + k|k Z},



26/62


illetvectg x=

cos x

sin x, hax R \ {k|k Z},

kpletekkel rtelmezzk. Teht

D(tg) = R \ {/2 + k|k Z}, D(ctg) = R \ {k|k Z}.

Megjegyezzk, hogy az angol nyelvu irodalomban atanscotjells hasznlatostgsctghelyett. Mindkt fggvny periodikusperidussal, tovbb mindkt fggvny folytonos azrtelmezsi tartomnynak rszintervallumain. Atgfggvny szigoran monoton nvekedoa(/2, /2)intervallumon,tg 0 = 0, s

limx

2+

tg x=, limx

2

tg x= +.

Actgfggvny szigoran monoton cskkeno a(0, )-n,ctg 2 = 0, s

limx0+

ctg x= +, limx

ctg x=.

Arkuszfggvnyek (arcsin,arccos,arctg,arcctg). Az arkusz sz latin eredetu, jelent-se: v. Azarkuszszinusz-, arkuszkoszinusz-, arkusztangens-, s arkuszkotangens-fggvnye-keta kvetkezokppen definiljuk:

arcsin =

sin |[/2,/2]1

arccos =

cos |[0,]1

arctg =

tg |(/2,/2)1

arcctg =

ctg |(0,)

1

Az arcsin : [1, 1] [/2, /2] pratlan, folytonos s szigoran monoton nvekedoa[1, 1]-n, tovbb

arcsin(1) =2

, arcsin 0 = 0, arcsin 1 =

2.

Azarccos : [1, 1][0, ]folytonos s szigoran monoton cskkeno a[1, 1]-n, tovbb

arccos(1) =, arccos 0 = 2

, arccos 1 = 0.

Azarctg : (, ) (/2, /2)pratlan, folytonos s szigoran monoton nvekedoa(, )-n,arctg 0 = 0, valamint

limx

arctg x=2

, limx

arctg x= 2

.

Az arcctg : (, ) (0, ) folytonos s szigoran monoton cskkeno a (, )intervallumon,arcctg 0 =/2, tovbb

limx

arcctg x= , limx

arcctg x= 0.



27/62


Az arkuszfggvnyek grafikonjai:

2.1. bra.

2.2. bra.



28/62


2.3. bra.

2.4. bra.



29/62

3. fejezetEgyvltozs vals fggvnyekdifferencilszmtsa

3.1. A differencilhatsg fogalma

3.1.1. Definci. Legyenf : RR rtelmezve azaD(f)pont valamely krnyezetben,s legyenxD(f) \ {a}. Az

f(x) f(a)x a

hnyadost azffggvnyasxhelyekhez tartozklnbsgi hnyadosnaknevezzk.

Az a s x helyekhez tartoz klnbsgi hnyados az fgrafikonjnak (a, f(a)) s (x, f(x))pontjait sszekto egyenes (szelo ) meredeksge (az brn lthatszg tangense).

3.1. bra.

3.1.2. Definci. Ha a

limxa

f(x) f(a)x a

hatrrtk ltezik s vges, akkor az ffggvnytdifferencilhatnakmondjuk azahelyen,a hatrrtket pedig azffggvnyapontbelidifferencilhnyadosnaknevezzk.



30/62

30 3. DIFFERENCILSZMTS

3.1.3. Definci. Azf : R R fggvnyderivltfggvnye rvidenderivltja,jelefvagydf

dx, az a fggvny, amelynek rtelmezsi tartomnya D(f)azon x pontjaibl ll, amelyekben

fdifferencilhat, s minden ilyen x-hez azf fggvnyx pontbeli differencilhnyadostrendeli hozz.

Teht D(f) ={aD(f)|fdifferencilhat azahelyen }s

f(a) = limxa

f(x) f(a)x a , haaD(f

).

3.1.4. Definci. Haf : R R differencilhat azahelyen, akkor az

y= f(a)(x a) + f(a)

egyenest azffggvnyahelyhez tartozrintojneknevezzk.

Teht azf(a)differencilhnyados azffggvnyahelyhez tartoz rintojnek a mere-deksge (az brn lthatszg tangense).

3.2. bra.

Az f : R R fggvny a pontbelijobb oldali(bal oldali)differencilhnyadosnak(de-rivltjnak) defincijt gy kapjuk, hogy az a ponbeli differencilhnyados defincijbanszereplo hatrrtket jobb oldali (bal oldali) hatrrtkkel helyettestjk. Jele:f+(a)(f

(a)).

Teht

f+(a) = limxa+

f(x) f(a)x a

s

f(a) = limxa

f(x) f(a)x a ,

feltve, hogy a jobb oldali, illetve bal oldali hatrrtk ltezik s vges. A kvetkezo ssze-fggs nyilvnval.



31/62

3.2. DIFFERENCILSI SZABLYOK 31

3.1.5. Ttel. f(a)ppen akkor ltezik, haf+(a)sf(a)is ltezik, s

f+(a) =f(a).

3.1.6. Plda. Azf(x) =|x|,x R, fggvny nem differencilhat0-ban, mert

f+(0) = limx0+

|x| 0x 0 = limx0+

xx

= 1,

s

f(0) = limx0

|x| 0x 0 = limx0+

xx

=1.

A kvetkezo ttel a differencilhatsg s folytonossg kztti kapcsolatrl szl.

3.1.7. Ttel. Haf : R R differencilhat azahelyen, akkor itt folytonos is.

A ttel megfordtsa nem igaz, mert pldul az f(x) =|

x|,x

R, fggvny folytonos

0-ban, de itt nem differencilhat.

3.2. Differencilsi szablyok

A kvetkezo ttelek a fontosabb differencilsi szablyokat rjk le.

3.2.1. Ttel(Differencilsi szablyok). Haf : R Rs g : R Rdifferencilhat azahelyen, akkor ugyanilyen azf g,f g, s ag(a)= 0felttel mellett az f

g fggvny is,

mgpedig

(f g)(a) =f(a) g(a),(f g)(a) =f(a)g(a) + f(a)g(a),

f

g

(a) =

f(a)g(a) f(a)g(a)g2(a)

.

3.2.2. Ttel (Az sszetett fggvny differencilsa). Hag : R Rdifferencilhat az ahelyen s f : R Rdifferencilhat a g(a)helyen, akkorf g is differencilhat az ahelyen, mgpedig

(f

g)(a) =f(g(a))

g(a).

3.2.3. Ttel (Az inverz fggvny differencilsa). Ha f : R Rfolytonos s szigoranmonoton azapont valamely krnyezetben, differencilhat azahelyen sf(a)= 0, akkorf1is differencilhat ab= f(a)helyen, mgpedig

f1

(b) =

1

f(a)=

1

f(f1(b)).



32/62


3.3. Az elemi alapfggvnyek derivltjai

Az elemi alapfggvnyek derivltfggvnyeit tblzatban foglaltuk ssze.

f(x) f(x)

c 0

xb bxb1

ex ex

ax ax ln a

ln x 1

x

loga x 1

x ln a

sin x cos xcos x sin x

tg x 1

cos2 x

ctg x 1sin2 x

arcsin x 1

1 x2arccos x

1

1 x2

arctg x 1

1 + x2

arcctg x 11 + x2

(c R, b R, a(0, ) \ {1})A tblzat gy rtendo, hogyfdifferencilhat minden olyanx helyen, ahol frtelmezvevan s azf(x)kifejezs rtelmes.

Elofordul, hogy egy fggvny az rtelmezsi tartomnynak feltntetse nlkl, csak a

kpletvel van megadva. Ilyenkor a fggvny rtelmezsi tartomnyn minden olyanxRszmnak a halmazt rtjk, amelyekre a kifejezs rtelmes. Kivtelt csak a

h(x) =f(x)g(x)

alak fggvnyek kpeznek, amelyek rtelmezsi tartomnyn a

D(h) ={ xD(f) D(g)|f(x)> 0 }



33/62

3.4. MAGASABB RENDU DERIVLTAK 33

halmazt rtjk. Az ilyen esetekben a derivltfggvny jellsref(x)helyett a knyelme-sebb(f(x))szimblum hasznlatos. Eszerint azln(x 2)fggvny rtelmezsi tartom-nya a(2, )intervallum, s itt

ln(x 2)

=

1

x 2 .

3.3.1. Plda. Azxx fggvny rtelmezsi tartomnya a(0, )intervallum, s itt(xx)=

ex ln x

= ex lnx(x ln x)= ex lnx

1 ln x + x

1

x

= xx(ln x + 1).

3.4. Magasabb rendu derivltak

3.4.1. Definci. Azf : R Rfggvnyelso derivltjn az f derivltfggvnyt rtjk.Brmelyn N+ esetnf (n+ 1)-edik derivltjnakaz n-edik derivlt derivltfggvnytmondjuk. Az f n-edik derivltjt f(n)-nel jelljk. Ha a D(f(n)), akkor f-et n-szerdifferencilhatnakmondjuk azahelyen.

Magtf-etfnulladik derivltjnakis szoktk nevezni, s f(0)-val jellik. Azn = 2, 3esetben inkbb az

f(2) =f, f(3) =f

jells hasznlatos. Tallkozhatunk azn-edik derivlt

f(n) =dnf

dxn

trt alak jellsvel is.

3.5. Intervallumon val differencilhatsg3.5.1. Definci. LegyenI R intervallumasbvgpontokkal, ahol

a < b .Azt mondjuk, hogy azf :I R fggvnydifferencilhat azIintervallumon , ha fdiffe-rencilhat mindenx(a, b)helyen, tovbb haaI, akkorf a-ban jobbrl differencil-hat, ha pedigbI, akkorf b-ben balrl differencilhat. Ekkor az

fI(x) =

=f(x), hax(a, b)=f+(a), hax= asaI=f(b), hax= bsbI

kplettel definiltfI :I R fggvnyt azffggvnyIintervallumon vett derivltfggv-nyneknevezzk.

A tovbbiakban szksgnk lesz a kvetkezo fogalomra is.

3.5.2. Definci. Azffggvnytfolytonosan differencilhatnaknevezzk azI R inter-vallumon, hafdifferencilhatI-n s azfIderivltfggvny folytonosI-n.



34/62


3.6. Kzprtkttelek

Ismertetjk a differencilszmts hrom fontos kzprtkttelt.

3.6.1. Ttel(Rolle ttele). Legyen[a, b]R. Haf : RRfolytonos[a, b]-n, differencil-hat(a, b)-n sf(a) =f(b), akkor ltezikc(a, b)gy, hogy

f(c) = 0.

A ttel felttelei mellett az ffggvnynek van olyan rintoje, amelyik prhuzamos azx-tengellyel.

3.6.2. Ttel (Lagrange ttele). Legyen [a, b] R. Ha f : R R folytonos [a, b]-n sdifferencilhat(a, b)-n, akkor ltezikc(a, b)gy, hogy

f(c) =f(b) f(a)

b a .

A ttel felttelei mellett az ffggvnynek van olyan rintoje, amelyik prhuzamos aza

sbhelyekhez tartoz szelovel.Azf(b) =f(a)esetben Lagrange ttele Rolle ttelbe megy t.

3.6.3. Ttel(Cauchy ttele). Legyen[a, b] R. Haf : R Rs g : R Rfolytonosak[a, b]-n, differencilhatk(a, b)-n s gsehol sem tunik el(a, b)-n, akkor ltezikc(a, b)gy,hogy

f(c)

g(c) =

f(b) f(a)g(b) g(a) .

Ag(x) =xesetben Cauchy ttele Lagrange ttelbe megy t.

3.7. Monotonitsi kritriumok3.7.1. Definci. LegyenI R intervallumasbvgpontokkal, ahol

a < b .AzIintervallum belsejn az(a, b)intervallumot rtjk. Jele: int I

A kvetkezo fontos ttel Lagrange ttelnek kvetkezmnye.

3.7.2. Ttel (Monotonitsi kritriumok). Legyen I R intervallum. Ha az f : R Rfggvny folytonos I-n, differencilhat Ibelsejben, s f

0 (f

0) I belsejben,

akkorf az Iintervallumon monoton nvekedo (monoton cskkeno), ha pedig az f 0(f0) felttelt az f> 0(f< 0) felttelre cserljk, akkorfszigoran monoton nvekedo(szigoran monoton cskkeno)I-n.

Az elozo ttel specilis esete a kvetkezo:

3.7.3. Ttel. LegyenI R intervallum. Haf : R RfolytonosI-n sf= 0Ibelsejben,akkorflland.



35/62

3.8. A LHOSPITAL-SZABLY 35

3.8. A LHospital-szably

A Cauchy-fle kzprtkttel segtsgvel lehet bizonytani a kvetkezo lltst.

3.8.1. Ttel(LHospital-szably). Legyena R. Tegyk fel, hogy vagy

limxa f(x) = limxa g(x) = 0,

vagy pediglimxa

|g(x)|=.

Ha valamelyb R esetnlimxa

f(x)

g(x) =b,

akkor

limx

a

f(x)

g(x) =b.

Hasonl lltsok igazak jobb oldali s bal oldali hatrrtkek esetn is.

3.8.2. Plda. A LHospital-szably ismtelt alkalmazsval kapjuk, hogy

limx0

ex sin x 1x2

= limx0

ex cos x2x

= limx0

ex + sin x

2 =

1

2.

3.8.3. Plda. A LHospital-szably szerint

limx

ln(1 + 3x)7

ln(2 + 5x)4 = limx

7 ln(1 + 3x)

4 ln(1 + 5x)

=7

4

limx

3

1 + 3x

52 + 5x

=21

20

limx

2 + 5x

1 + 3x

=7

4

.

3.9. Abszolt s loklis szlsortkek

3.9.1. Definci. Legyen adva egyf : R Rfggvny. Aza D(f)szmotfabszoltmaximumhelynek (abszolt minimumhelynek) mondjuk, ha mindenx D(f)-ref(x)f(a)(f(x)f(a)).

Az abszolt maximumhely s abszolt minimumhely kzs neve abszolt szlsortk-hely.Az abszolt szlsortkhely helyett agloblis szlsortkhely elnevezs is hasznlatos.

3.9.2. Definci. Az a D(f)szmf loklis maximumhelye (loklis minimumhelye) , hafdefinilva van avalamely -sugar krnyezetben ( > 0), tovbb minden x (a, a) (a, a + )esetnf(x)f(a)(f(x)f(a)). Ha () egyenlotlensget-ra)cserljk, akkor aszigor loklis maximumhely (szigor loklis minimumhely) defincijtkapjuk.

A (szigor) loklis maximumhelyek s loklis minimuhelyek kzs neve(szigor) loklisszlsortkhely.



36/62


A kvetkezo ttelben loklis szlsortkhely ltezsnek szksges felttelt adjuk meg.

3.9.3. Ttel. Haaazf : R Rfggvny loklis szls ortkhelye sfdifferencilhat azahelyen, akkorf(a) = 0.

3.9.4. Definci. Azokat az a pontokat, amelyekre f(a) = 0az f : R R fggvnykritikus(stacionrius) pontjainak nevezzk.

3.9.5. Plda. Knnyu ellenorizni, hogy 0 az f(x) = x3, x R, fggvny kritikus pontja,ugyanakkorfszigoran monoton nvekedo a(, )-n. Teht egy kritikus pont ltalbannem loklis szlsortkhely.

A monotonitsi kritriumokbl kvetkezik, hogy ha a az f : R Rfggvny kritikuspontja, s azfderivltfggvny elojelet vlt az a pontban, akkora f-nek loklis szlsor-tkhelye.

Weierstrass ttelbol tudjuk, hogy brmely korltos zrt intervallumon folytonos fgg-vnynek van abszolt maximumhelye s abszolt minimumhelye. Ezeket a kvetkezokppenhatrozhatjuk meg:

3.9.6. Ttel. Legyen[a, b] R. Haffolytonos[a, b]-n, akkor legnagyobb (legkisebb) rtktvagy az intervallum valamelyik vgpontjban, vagy pedig olyanc(a, b)pontban veszi fel,aholf(c) = 0vagyf(c)nem ltezik.

3.9.7. Plda. Keressk meg az

f(x) = 3x4 20x3 + 48x2 48x + 1, x[0, 3],fggvny (abszolt) maximumt s minimumt. Mivelffolytonos s

f(x) = 12(x3 5x2 + 8x 4) = 12(x 1)(x 2)2, x(0, 3),ezrt az elozo ttel szerintfmaximumhelye s minimuhelye az

x1 = 0, x2 = 1, x3 = 2, x4 = 3

pontok valamelyike. sszehasonltva az

f(0) = 1, f(1) =16, f(2) =15, f(3) =8fggvnyrtkeket azt kapjuk, hogy a legnagyobb fggvnyrtk1, a legkisebb pedig 16.

3.10. Konvexsg, konkvsg

Emlkeztetol: egyf : R

R fggvny x1, x2

D(f), x1 < x2, helyekhez tartozszelojnek meredeksge

f(x2) f(x1)x2 x1 ,

a szelo egyenlete pedig

y=f(x2) f(x1)

x2 x1 (x x1) + f(x1).



37/62

3.10. KONVEXSG, KONKVSG 37

3.10.1. Definci. Legyen I R intervallum s f :I R. Az ffggvnyt az I-nkonvexnek(konkvnak) mondjuk, ha brmelyx1,x,x2I,x1 < x < x2, esetn

f(x) f(x2) f(x1)x2 x1 (x x1) + f(x1),

f(x) f(x2) f(x1)

x2 x1 (x x1) + f(x1)

.

Ha () egyenlotlensget-ra) cserljk, akkor azI-nszigoran konvex (szigorankonkv) fggvny defincijt kapjuk.

Azffggvny akkor konvex (konkv) azIintervallumon, ha brmelyx1,x2I,x1 -re ( 0a(, 13

),( 13

, )intervallumokon,ezrt a( 1

3, 1

3)-nfszigoran konkv, a(, 1

3)-n s az( 1

3, )-n pedig szigoran

konvex.



38/62

4. fejezetEgyvltozs vals fggvnyekintegrlszmtsa

4.1. Primitv fggvny s hatrozatlan integrl

4.1.1. Definci. Legyen I R intervallum s f egy I-n definilt vals fggvny. AzF : I Rfggvnyt fprimitv fggvnynekmondjuk az I intervallumon, ha Fdiffe-rencilhatI-n s ittFI=f.

Emlkeztetol:FIaz FfggvnyI-n vett derivltjt jelli (lsd3.5.1Definci).A kvetkezo tulajdonsg Lagrange ttelnek kvetkezmnye.

4.1.2. Ttel.Ha Faz ffggvny primitv fggvnye az Iintervallumon, akkor minden c Resetn F+c is primitv fggvnye f-nekI-n, s fbrmely primitv fggvnye I-n F+c alak,aholc R.

4.1.3. Definci. Egyfvals fggvnyhatrozatlan integrljn azI R intervallumonfI-n vett primitv fggvnyeinek halmazt rtjk (ha nem res). Jells:

fvagy

f(x) dx.

Azffggvnytintegrandusnaknevezzk.

HaFprimitv fggvnyef-nekI-n, akkor f={ F+ c|c R } I-n.

Ezt a kvetkezo pontatlan, de rvidsge miatt knyelmes s ezrt ltalnosan hasznlt alakbanszoks rni:

f=F+ c, (azIintervallumon),vagy

f(x) dx= F(x) + c, (xI).Mivel

x2

2

=x, x(, ),



39/62

4.2. ALAPINTEGRLOK 39

ezrt x dx=

x2

2 + c, x(, ).

4.2. Alapintegrlok

A differencilsi szablyok megfordtsval kapjuk a kvetkezo integrlokat.

f(x) dx F(x) + c

xb dx xb+1

b + 1+ c

1

xdx ln |x| + c

ex dx ex + c ax dx

ax

ln a+ c

sin x dx cos x + c cos x dx sin x + c 1

cos2 xdx tg x + c

1sin2 xdx ctg x + c

11 x2 dx arcsin x + c

1

1 + x2dx arctg x + c

(b R \ {1}, a(0, ) \ {1})

A tblzatban szereplo integrlformulk rvnyesek minden olyan nylt intervallumon, ahol

fs a jobb oldalon szereplo fggvny rtelmezve van.

4.3. Integrls elemi talaktsokkal

4.3.1. Ttel(Linearits). Haf-nek sg-nek primitv fggvnye az (a, b)R intervallumonF, illetveG, tovbbk R, akkor(kf)-nek primitv fggvnye (a, b)-n kF, (f+g)-nek



40/62

40 4. INTEGRLSZMTS

pedigF+ G. Eszerint (kf) =k

f,

(f+ g) = f+ g.Az elso kpletet gy kell rteni, hogy az

(kf)fggvnyhalmaz elemei az

ffggvny-

halmaz elemeinekk-szorosai, a msodik kpletet pedig gy, hogy az

(f+ g)fggvnyhal-maz elemei az

fs

gfggvnyhalmaz elemeinek sszeadsval llnak elo. Hasonlkp-

pen rtendok a tovbbi hatrozatlan integrlokkal kapcsolatos kpletek is.

4.3.2. Ttel (Lineris helyettests). Legyen f-nek az (, ) R intervallumon primitvfggvnyeF, tovbbg(x) = ax+ b lineris fggvny, a, b R, a= 0, s (, )olyanintervallum, hogyg((, ))(, ). Ekkor azf gfggvnynek(, )-n primitv fggvnye1

a(F g), azaz

f(ax + b) dx=

1

aF(ax + b) + c, x(, ).

4.3.3. Plda.3x + 5 dx=

(3x + 5)

1

2 dx=1

3

(3x + 5)3

2

32

+ c=2

9

(3x + 5)3 + c,

aholx(53

, ).4.3.4. Plda.

cos2 x dx=

1 + cos 2x

2 dx=

1

2+

cos 2x

2

dx

=1

2

1 dx +

1

2

cos2x dx=

1

2x +

1

2

sin2x

2 + c=

x

2+

sin 2x

4 + c,

aholx(, ).

4.4. Parcilis integrls

A szorzat derivltjbl knnyen levezetheto a kvetkezo ttel.4.4.1. Ttel(Parcilis integrls). Legyen(a, b) R. Hafsgdifferencilhatk(a, b)-n sazf gfggvnynek van primitv fggvnye(a, b)-n, akkor azfgfggvnynek is van primitvfggvnye(a, b)-n, s

f(x)g(x) dx= f(x)g(x)

f(x)g(x) dx, x(a, b).



41/62

4.5. INTEGRLS HELYETTESTSSEL 41

4.4.2. Plda. (cos x)x dx=

(sin x)x dx= (sin x)x

(sin x)1 dx= (sin x)x + cos x + c,

aholx

(

,

).

4.5. Integrls helyettestssel

Az albbi ttel az sszetett fggvny differencilsi szablybl kvetkezik.

4.5.1. Ttel(1. tpus helyettests). Legyengdifferencilhat s nem lland az(a, b) Rintervallumon. Ha Fprimitv fggvnye f-nek a g((a, b))intervallumon, akkorFgprimitvfggvnyef-nek(a, b)-n, azaz

(f(g(x))g(x) dx= F(g(x)) + c, x(a, b),

avagy (f(g(x))g(x) dx=

f(u) du

u=g(x)

.

Ez utbbi kplethez formlisan gy is eljuthatunk, hogy a bal oldali integrlban bevezet-

jk azu = g(x)helyettestst, majd a du

dx = g(x)kpletbol ag (x) dx = dusszefggst

szrmaztatjuk, s gy jutunk a jobb oldalon lthat integrlhoz.

4.5.2. Plda. Az

(sin2 x)cos x dx

integrlbl azu= sin xhelyettestssel, amikordu

dx= cos x, s gycos x dx= du, az

u2 du

u=sinx

integrlt kapjuk. Mivel u2 du=

u3

3 + c,

ezrt

(sin2 x)cos x dx= sin3 x

3 + c, x

(

,

).

4.5.3. Ttel (2. tpus helyettests). Tegyk fel, hogy g differencilhat az (, ) Rintervallumon s g sehol sem tunik el (, )-n. Ha H primitv fggvnye (f g)g-nek(, )-n, akkorH g1primitv fggvnyef-nek ag((, ))intervallumon, azaz

f(x) dx=

(f(g(u)))g(u) du

u=g

1(x)

, xg((, )).



42/62

42 4. INTEGRLSZMTS

A kplethez formlisan gy juthatunk el, hogy a bal oldali integrlban elvgezzk az

x = g(u) helyettestst, majd a dx

du = g(u) sszefggsbol a dx = g(u) du kifejezst

szrmaztatjuk, vgl megkapjuk a jobb oldali integrlt. Ennek kiszmtsa utn u helybeg1(x)-et kell runk.

4.5.4. Plda. Az x 3x 1 dx

integrlbl azx= u3 + 1helyettestssel adx

du= 3u2 sdx= 3u2dukifejezseket hasznlva

az (u3 + 1)u 3u2 du= 3

(u6 + u3) du

integrlt kapjuk. Ezt mr ki tudjuk szmtani:

3

(u6 + u3) du= 3

u7

7 +

u4

4

+ c=

3

7u7 +

3

4u4 + c.

Vgl azx= u3

+ 1sszefggsbol nyertu= 3

x 1felhaszlsval kapjuk, hogy x 3

x 1 dx= 3

7

3

x 17 +34

3

x 14 + c, x(, ).4.6. A Riemann-integrl defincija

Adott egy nemnegatv folytonosfaz[a, b]R intervallumon. Kiszmtand annak a gr-bevonal trapznak aTterlete, amelyet fellrol azy = f(x)grbe, oldalrl azx = asx = begyenesek, alulrl pedig az x-tengely hatrol. Az albbiakban definilt fogalmak se-gtsgvel als s felso becslst adhatunkT-re. A konstrukci abban az ltalnosabb esetben

is hasznlhat, amikorfcsupn korltos[a, b]-n.4.6.1. Definci. Az[a, b] Rintervallumfelosztsn olyan vges{x0, . . . , xk}sorozatotrtnk, amelyre

a= x0 < x1


43/62

4.6. A RIEMANN-INTEGRL DEFINCIJA 43

4.1. bra.

Hafkorltos[a, b]-n, akkor[a, b]brmelyfelosztsra

inff([a, b])

(b

a)

s

S

sup f(([a, b])

(b

a).

4.6.3. Definci. Brmely[a, b]-n korltosfesetn legyen

IA= sup{ s|az[a, b]felosztsa },s

IF= inf{ S|az[a, b]felosztsa }.AzIAszmot azffggvny(Darboux-fle) als integrljnak, azIFszmot pedigf(Dar-boux-fle) felso integrljnaknevezzk.

Nyilvnval, hogy ha fnemnegatv s folytonos[a, b]-n, akkor az[a, b]brmely felosz-

tsra sT S,s ezrt

IATIFis teljesl, aholTa kiszmtand terlet.

4.6.4. Definci. Azf fggvnytintegrlhatnakmondjuk az[a, b] Rintervallumon, hafkorltos[a, b]-n sIA = IF. Ekkor azI = IA = IFkzs rtket az f fggvny[a, b]-nvettRiemann-fle hatrozott integrljnak, vagy rvidenRiemann-integrljnaknevezzk.Jele:

ba f vagy

ba f(x) dx.

Szksgnk lesz a kvetkezo fogalomra.

4.6.5. Definci. Azt mondjuk, hogy azffggvnyszakaszosan folytonos (szakaszosan mo-noton) az[a, b] Rintervallumon, ha[a, b]-nek ltezik{x0, . . . , xk}felosztsa (a = x0 0.

Ekkorx,x, . . . , x(n) .

5.5. A soros RLC ramkr vizsglata

Most trjnk vissza a bevezetoben trgyalt soros RLC ramkr kapcsn felmerlt

LQ(t) + RQ(t) + 1

CQ(t) =E(t),

Q(0) =Q0, Q(0) =I(0) =I0

kezdetirtk-feladat vizsglathoz.Az elso egyenlet mindkt oldalnak Laplace transzformltjt vve kapjuk

Ls2L{Q}(s) LsQ(0) LQ(0) + RsL{Q}(s) RQ(0) + 1C

L{Q}(s) =L{E}(s).

InnenL{Q}(s) = (s) + (s),

ahol

(s) =(Ls + R)Q0+ LI0Ls2 + Rs + 1

C

, (s) = L{E}(s)Ls2 + Rs + 1

C

.

Vegyk szre, hogy ha az

Ly(t) + Ry(t) + 1

Cy(t) = 0, y(0) =Q0, y

(0) =I0

feladat megoldsa,pedig az

Ly(t) + Ry(t) + 1

Cy(t) =E(t), y(0) = 0, y(0) = 0

feladat megoldsa, akkor

L{(t)}(s) = (s) s L{(t)}(s) = (s),

azazQ= + .

Most tekintsk a kezdetirtk-feladat 4 specilis esett.



59/62

5.5. A SOROS RLC RAMKR VIZSGLATA 59

L

C

5.2. bra.

1. eset:Tegyk fel, hogy ramkrben levo elemek ellenllsa 0 (n. LC kr), azazR= 0, snincs klso feszltsg a rendszeren (E(t) = 0), azaz feltltjk egy teleppel a kondenztort,majd a telepet lekapcsoljuk az ramkrrol:

Ekkor a differencilegyenlet alakja:

LQ(t) +

1

CQ(t) = 0.

Amint azt mr belttuk,

L{Q}(s) = (s) = L(sQ0+ I0)Ls2 + 1C

.

Vezessk be az

0= 1

LC

jellst. Ekkor

L{Q}(s) =Q0 ss2 + 20

+ I00

0s2 + 20

,

s ezrt

Q(t) =(t) =Q0cos 0t +I00

sin 0t.

Teht a rendszer egy 0frekvencij szabadrezgst vgez. (Az0szmot a rendszersajt-frekvencijnaknevezzk.)

2. eset:Tegyk fel, hogyR = 0,Q0 = 0,I0 = 0, sE(t) =E0cos tklso feszltsg hat arendszerre, ahol=0,E0 R. Ekkor

L{Q}(s) = (s) = E0L0

0s2 + 20

s

s2 + 2,



60/62

60 5. VILLAMOSSGTANI PROBLMA

s ezrt a konvolcis s unicits ttel szerint

Q(t) = (t)

= E0

L0

t0

sin(0(t u))cos udu

= E02L0

t0

sin(0(t u) + u) + sin(0(t u) u)

du

= E02L0

cos t cos 0t

0 +cos t cos 0t

0+

= E0

L(20 2)(cos t cos 0t)

= 2E0

L(20 2)sin

(0 )t2

sin(0+ )t

2 .

Ha|0 | kicsi, akkor 0 + > |0 |, s gy a megolds utbbi kplett gy istekinthetjk, hogy az egy gyorsan oszcilll fggvny,sin

(0+)t2 , amelynek az amplitdja,

2E0L(20 2)

sin(0 )t

2

lassan oszcilll. Ezt a jelensgetlebegsnekhvjk, amely teht akkor figyelheto meg, ha aklso ero frekvencija kzel megegyezik a rendszer sajtfrekvencijval. Egy ilyen megoldsgrafikonja lthat a kvetkezo brn:

L= 2,C= 1/8,E0= 1,0= 2, = 2.1.

5.3. bra.

3. eset: Tegyk fel, hogy R = 0, Q0 = 0, I0 = 0, sE(t) = E0cos 0t, azaz a rendszersajtfrekvencijval megegyezo frekvencij klso ero hat a rezgokrre. Ekkor

L{Q}(s) = (s) = E0L0

0s2 + 20

s

s2 + 20,



61/62

5.5. A SOROS RLC RAMKR VIZSGLATA 61

s ezrt a konvolcis ttel szerint

Q(t) = (t)

= E0

L0

t0

sin(0(t u))cos 0u du

= E02L0

t0

sin(0(t u) + 0u) + sin(0(t u) 0u)du

= E02L0

t sin 0t.

Egy olyan oszcilll megoldst kaptunk, amelynek amplitdja tart vgtelenbe, hat .Ezt a jelensgetrezonancinakhvjk.

L= 1,C= 1/25,E0= 1,0 = 5.

5.4. bra.

4. eset:Tegyk fel, hogy R = 0,Q0 R,I0 R, s E(t) =E0cos tklso feszltsg hata rendszerre, ahol = 0, E0 R. Ekkor a megolds az 1. s 2. esetben kiszmtott ktfggvny sszege lesz:

Q(t) =Q0cos 0t + I00

sin 0t + E0

L(20 2)(cos t cos 0t).



62/62

Irodalomjegyzk[1] Borrelli, R. L.Coleman, C. S.: Differential Equations. A Modeling Perspective. John

Wiley & Sons, New York, 1996

[2] Csszr kos:Vals analzis I.Tanknyvkiad, Budapest, 1988

[3] Hatvani Lszl:Kalkulus kzgazdszoknak.Polygon, Szeged, 2006

[4] Koltay Lszl s Szalkai Istvn:Analzis I. feladatgyujtemny.Pannon Egyetemi Kiad,

2009

[5] Laczkovich MiklsT. Ss Vera: Analzis I.Nemzeti Tanknykiad, Budapest, 2005

Documents

kalkulus1kalkulus1 vv