11

Kap 02 KombinatorikkKap 02 KombinatorikkKap 02 KombinatorikkKap 02 Kombinatorikk

22

Multiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøkMultiplikasjonsformel for 2-trinnsforsøk

Av 2 grupper på henholdsvis m1 og m2 enheterkan det dannes m1·m2 forskjellige par av en enhet fra hver gruppe.

m1m2

m1·m2

A B C

m1=4 m2=2

m1·m2 = 4 ·2 = 8

33

Multiplikasjonsformel for n-trinnsforsøkMultiplikasjonsformel for n-trinnsforsøk

Av n grupper på henholdsvis m1, m2, m3, …, mn enheterkan det dannes m1·m2 ·m3 · · · · mn forskjellige kombinasjoner av en enhet fra hver gruppe.

m1 m2

m1·m2 ·m3 · · · mn

A B C

m1=4 m2=2

m1·m2 ·m3 = 4 ·2 ·3 = 24

mn

...

D

m3=3

44

Multiplikasjonsformel for 3-trinnsforsøkMultiplikasjonsformel for 3-trinnsforsøk

A

B

C D

a1

a2

a3

a4

b1

b2

b1

b2

b1

b2

b1

b2

c1

c2

c3

c1

c1

c1

c1

c1

c1

c1

c2

c2

c2

c2

c2

c2

c2

c3

c3

c3

c3

c3

c3

c3

1 a1 b1 c1

2 a1 b1 c2

3 a1 b1 c3

4 a1 b2 c1

5 a1 b2 c2

6 a1 b2 c37 a2 b1 c1

8 a2 b1 c2

9 a2 b1 c3 10 a2 b2 c1

11 a2 b2 c2

12 a2 b2 c313 a3 b1 c1

14 a3 b1 c2

15 a3 b1 c316 a3 b2 c1

17 a3 b2 c2

18 a3 b2 c319 a4 b1 c1

20 a4 b1 c2

21 a4 b1 c3

22 a4 b2 c1

23 a4 b2 c2

24 a4 b2 c3

55

Multiplikasjonsformel - EksempelMultiplikasjonsformel - Eksempel

Nilsen skal reise fra byen A via byen B til byen C.Fra A til B finnes 4 reisemåter: Bil, tog, fly, båt.Fra B til C finnes 2 reisemåter: Bil, tog.Hvor mange ulike reisemåter finnes fra A via B til C?Svar: 4 x 2 = 8 De 8 reisemåtene er: Fra A til B Fra B

til C---------------------------------1 Bil Bil2 Bil Tog3 Tog Bil4 Tog Tog5 Fly Bil6 Fly Tog7 Båt Bil8 Båt Tog ---------------------------------

66

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheterUtvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter

nnnns ..... )1).....(2)(1()( snnnnn s

1

11

n

sn

s

sn

)!(!

!

!

)(

sns

n

s

n

s

ns

Med tilbakelegging Uten tilbakelegging

Ordnet

Ikke-Ordnet

77

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - BevisUtvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Bevis

Med tilbakelegging Uten tilbakelegging

Ordnet

Ikke-Ordnet

Følger av multiplikasjonssetningen.Første element kan velges på n måter,andre element kan velges på n-1 måter, osv.Følger deretter av multiplikasjonssetningen.

Samme som ordnet utvalg uten tilbakelegging,men må nå dele på s! siden de s! ulike måtene s elementer kanordnes på nå skal betraktes som like.

Entydig bestemt ut fra hvor mange ganger(r1, r2, …, rn) hvert element er valgt ut. ri = sResultatet er antall måter de n-1 antall skilleveggene mellom ulike elementerkan velges mellom s+n-1 posisjoner.

88

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - TipsUtvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter - Tips

Med tilbakelegging Uten tilbakelegging

Ordnet

Ikke-Ordnet

- Rekkefølgen har betydning- Et element kan velges flere ganger

- Rekkefølgen har betydning- Et element kan velges høyst en gang

- Rekkefølgen har ingen betydning- Et element kan velges flere ganger

- Rekkefølgen har ingen betydning- Et element kan velges høyst en gang

99

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks I: 2 elementer velges blant 4 elementer a-b-c-dUtvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter. Eks I: 2 elementer velges blant 4 elementer a-b-c-d

Med tilbakelegging Uten tilbakelegging

Ordnet

Ikke-Ordnet

= { aa ab ac adba bb bc bdca cb cc cdda db dc dd }

1642 sn

= { ab ac adba bc bdca cb cdda db dc }

= { aa ab ac adbb bc bd

cc cddd }

= { ab ac adbc bd

cd }

1234)4()( 2 sn

102

5

2

1241

s

sn6

2

4

s

n

1010

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Eks II:Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Eks II:

Med tilbakelegging Uten tilbakelegging

Ordnet

Ikke-Ordnet

- Tipperekke- Nummerskilt

- Verv- Permutasjon- Stafettlag

- Måltid- Inndeling i 2 grupper/ Delegasjon- Rekkefølge av 2 typer objekter av innbyrdes identiske objekter- Lottorekke

1111

Ordnet med tilbakelegging - BitOrdnet med tilbakelegging - Bit

Et bit er et tegn som enten er 0 eller 1.Hvor mange 0-1 kombinasjoner kan vi lage av 3 bit? 0

1

n = 2 : Populasjonen består 2 tegn 0 og 1.s = 3 : En 0-1 kombinasjon skal bestå av 3 tegn.

Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tegnene har betydning

(001 er ulik 010).Med tilbakelegging : Et bit kan velges mer enn en gang

(flere av bit’ene kan være like).823 sn 000001010011100101110111

1212

Ordnet med tilbakelegging - TipperekkeOrdnet med tilbakelegging - Tipperekke

Hvor mange enkeltrekker kan lages i tipping?H

U

B

n = 3 : Populasjonen består 3 tegn H,U og B.s = 12 : En tipperekke består av 12 tegn.

Ordnet utvalg : Rekkefølgen av tippe-tegnene i en tipperekke har betydning

(Rekken HUUB… er ulik rekken BUHU…).Med tilbakelegging : Et tippetegn kan velges mer enn en gang,

(flere kamper kan ha samme tippetegn).

531441312 sn

1313

Ordnet med tilbakelegging - IdrettOrdnet med tilbakelegging - Idrett

En friidrettsklubb består av 3 medemmer.1 person skal velges til å delta i hver av øvelsene lengde og høyde. Samme person kan delta i begge øvelsene.På hvor mange måter kan dette gjøres?

a b c

n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer).s = 2 : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde).

Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde).

Med tilbakelegging : En person kan delta i mer enn en øvelse.

932 snaa caab cbac ccbabbbc

1414

Ordnet uten tilbakelegging - IdrettOrdnet uten tilbakelegging - Idrett

En friidrettsklubb består av 3 medemmer.1 person skal velges til å delta i hver av øvelsenelengde og høyde. Samme person skal ikke delta i begge øvelsene.På hvor mange måter kan dette gjøres?

a b c

n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer).s = 2 : 2 deltakere skal velges (til lengde og høyde).

Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av deltakere har betydning (1 til lengde og 1 til høyde).

Uten tilbakelegging : En person skal ikke delta i mer enn en øvelse.

623)3()( 2 snabacbabccacb

1515

Ordnet uten tilbakelegging - VervOrdnet uten tilbakelegging - Verv

En forening består av 10 personer.3 personer skal velges til styrevervene formann, nestformann og sekretær.På hvor mange måter kan dette gjøres?

n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (personer).s = 3 : Et styre på 3 skal velges.

Ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene

har betydning (ulike verv).Uten tilbakelegging : En person kan ikke velges mer enn en gang

til det samme styret.7208910)10()( 3 sn

a b c d ef g h i j

1616

Ordnet uten tilbakelegging - PermutasjonOrdnet uten tilbakelegging - Permutasjon

En gruppe består av 3 personer.På hvor mange måter kan disse stilles etter hverandre i en kø?

a b c

n = 3 : Populasjonen består 3 elementer (personer).s = 3 : Alle personene skal velges for å plasseres i køen.

Ordnet utvalg : Rekkefølgen av personene har betydning.Uten tilbakelegging : En person kan ikke være plassert

mer enn ett sted ad gangen i køen.6123!3)3()( 3 sn

abcacbbacbcacabcba

1717

Ikke-ordnet med tilbakelegging - MatIkke-ordnet med tilbakelegging - Mat

En familie på 3 medlemmer går ut for å spiseog kan velge mellom 2 retter, pølse eller chips.Hvor mange sammensetninger kan vi ha av disse rettene(eks: 3 pølser, 2 pølser og 1 chips, …)?

Pølse p

chips c

n = 2 : Populasjonen består 2 elementer (pølse, chips).s = 3 : 3 retter skal velges (en til hvert familiemedlem).

Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av retter har ingen betydning.

Med tilbakelegging : En rett kan velges av flere personer.

43

4

3

1321

s

sn ppp dvs 3 pølserppc dvs 2 pølser og 1 chipspcc dvs 1 pølse og 2 chipsccc dvs 3 chips

1818

Ikke-ordnet uten tilbakelegging - DelegasjonInndeling i 2 grupperIkke-ordnet uten tilbakelegging - DelegasjonInndeling i 2 grupper

En forening består av 10 personer.En delegasjon på 3 personer skal velges.På hvor mange måter kan dette gjøres?

a b c d ef g h i j

n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (personer).s = 3 : En delegasjon på 3 skal velges.

Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av delegasjonsmedlemmene

har ingen betydning.Uten tilbakelegging : En person kan ikke velges mer enn en gang

til den samme delegasjonen.120

3

10

s

n

1919

Ikke-ordnet uten tilbakeleggingRekkefølge av 2 typer objekterIkke-ordnet uten tilbakeleggingRekkefølge av 2 typer objekter

I en kasse ligger 10 kuler 3 røde og 7 hvite.Røde og hvite kuler er innbyrdes like.På hvor mange måter kan disse kulene plasseres på rekke?

r h h h hh r r h h

n = 10 : Populasjonen består 10 elementer (kuler).s = 3 : En delegasjon på 3 skal velges (eller 7).

Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av innbyrdes like kuler

har ingen betydning.Uten tilbakelegging : En kule kan ikke være plassert på mer enn ett sted

ad gangen i rekken.

1203

10

s

nEks: r-h-h-h-h-h-r-r-h-h

Dette er en av rekkefølge-muligheteneog svarer til en av muligheten for å trekke3 elementer fra en populasjon på 10

elementer (de 3 elementene i posisjon til de 3 r’ene).

2020

Ikke-ordnet uten tilbakelegging - LottorekkeIkke-ordnet uten tilbakelegging - Lottorekke

En lottokupong består av tallene 1,2,3,…,34.En lottorekke utgjøres av 7 av disse tallene.Hvor mange enkeltrekker kan lages i Lotto?

1 2 3 …… 34

n = 34 : Populasjonen består 34 elementer (tall).s = 7 : En lottorekke består av 7 tall.

Ikke-ordnet utvalg : Rekkefølgen av valg av tallene har ingen betydning(2-3-5-7-8-20-29 = 5-3-29-8-7-2-20).

Uten tilbakelegging : Et tall kan kun velges en gang i en enkelt rekke.

53796167

34

s

n

2121

Grupperinger - 2 grupperGrupperinger - 2 grupper

Trekking av et utvalg (ikke-ordnet uten tilbakelegging)på s elementer fra en populasjon på n elementerkan sees på som å dele populasjonen i 2 grupper:

Gruppe nr 1: s1 = s elementerGruppe nr 2: s2 = n-s elementer

Antall måter å sette sammen de 2 gruppene på:

!!

!

)!(!

!

!

)(

21 ss

n

sns

n

s

n

s

ns

2222

Grupperinger - 3 grupperGrupperinger - 3 grupper

En populasjon på n elementer skal deles i 3 grupper:

Gruppe nr 1: s1 elementerGruppe nr 2: s2 elementerGruppe nr 3: s3 = n-s1-s2 elementer

Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på:

!!!

!

)!(!!

!

, 32121212

1

121 sss

n

ssnss

n

s

sn

s

n

ss

n

2323

Grupperinger - r grupperGrupperinger - r grupper

En populasjon på n elementer skal deles i r grupper:

Gruppe nr 1: s1 elementer

Gruppe nr 2: s2 elementer

…..Gruppe nr r:sr = n-s1-s2-….. -sr-1 elementer

Antall måter å sette sammen de r gruppene på:

!!.....!!

!

)!.....(!!.....!!

!

..........

,.....,,,

321

13211321

1

221

3

21

2

1

11321

r

rr

r

r

r

ssss

n

ssssnssss

n

s

sssn

s

ssn

s

sn

s

n

ssss

n

2424

Grupperinger - EksempelGrupperinger - Eksempel

En populasjon på n = 10 elementer skal deles i 3 grupper:

Gruppe nr 1: s1 = 5 elementerGruppe nr 2: s2 = 2 elementerGruppe nr 3: s3 = n-s1-s2 = 3 elementer

Antall måter å sette sammen de 3 gruppene på:

2520!3!2!5

!10

2,5

10

, 21

ss

n

2525

Binomialkoeffisient - DefinisjonBinomialkoeffisient - Definisjon

nBinomialkoeffisienten ( ) er definert som:

k

Antall k-delmengder (uordnet uten tilbakelegging)som vi kan ta ut av en n-mengde.

)!(!

!

!

)1)...(2)(1(

!

)(

knk

n

k

knnnn

k

n

k

nk

k

n

2626

Binomialkoeffisient - EgenskaperBinomialkoeffisient - Egenskaper

nBinomialkoeffisienten ( ) oppfyller følgende betingelser: s

k

n

kn

n

k

n

k

n

k

n

k

n 1

1

1

1

n

n1

0

nn

n

1

2727

Binomialkoeffisient - Pascals trekantBinomialkoeffisient - Pascals trekant

Benytter relasjonen:

k

n

k

n

k

n

k

n 1

1

1

.....

4

4

3

4

2

4

1

4

0

4

3

3

2

3

1

3

0

3

2

2

1

2

0

2

1

1

0

1

0

0

.....

1 4 6 4 1

1 3 3 1

1 2 1

1 1

1

=

2828

BinomialformelBinomialformel

n

k

knkn bak

nba

0

)(

16881611421611

42

24

1

24

0

2

42

)4(

:Eksempel

222

021120

2

0

22

xxxxxx

xxx

xk

xk

kk

2929

Binomialformel - BevisBinomialformel - Bevis

n

k

knkn bak

nba

0

)(

1

0

1

1

01101

1

01101

01101

11

11

0

1

1

1

1

00

11

0

1

0

1

1

0

11

0

0000

0

00

1

1

1

0

11

0]

1[

011

][)())(()(

1)(at viseskal dvs 1,r n for sann er formelen at viseSkal

)( dvs r, n for sann er formelen at Anta

0 n for sann er Formelen 11110

00 1)(

r

k

krk

r

k

rrkrkr

k

rrkrk

rrkrkr

k

r

k

krkkrkr

k

r

k

krk

krkr

k

r

k

krkkrkr

k

krkr

k

krkrr

r

k

krkr

r

k

krkr

k

kk

bak

r

bar

rba

rba

k

rba

r

rba

rba

k

r

k

r

bar

rba

rba

k

rba

k

rba

k

rba

k

r

bak

rba

k

rbaba

k

rba

k

rbabababa

bak

rba

bak

rba

babak

ba

3030

ENDENDENDEND

3131

Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Bevis for ikke-ordnet med tilbakelegging.Utvalg på s enheter fra en populasjon på n enheter.Bevis for ikke-ordnet med tilbakelegging.

1

1

n

sn

Vi har n elementer.Mellom disse kan vi sette opp n-1 skillevegger.

…..

r1

r2

rn

Når vi trekker ut s elementer (uordnet) er resultatet entydig gitt ved antall forekomster (r1, r2, …, rn) av hvert av de n elementene. Her må vi selvfølgelig ha: ri = s .Nye måter å trekke ut s elementer er nå å varierer disse n-1 skilleveggene, men hele tiden under forutsetning av at ri = s .Disse n-1 skilleveggene kan plasseres i (n-1) + (r1+ r2 + … + rn) = n-1+s = n+s-1antall posisjoner. Det endelige svaret får vi derfor ved å beregne antall måter vi kan plassere n-1 skillevegger uordnet uten tilbakelegging i n+s-1 antall posisjoner.

Svaret på dette er:

Med egenskapene til binomialkoeffisienterkan det vises at dette også er lik:

s

sn 1

3232

Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IBinomialkoeffisient - EgenskaperBevis I

k

n

1!

!

!0!

!

)!(!

!

n

n

n

n

nnn

n

n

n

1!

!

!1

!

)!0(!0

!

0

n

n

n

n

n

nn

nn

nn

n

n

n

n

n

nn

)!1(

)!1(

)!1(

!

)!1(1

!

)!1(!1

!

1

3333

Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IIBinomialkoeffisient - EgenskaperBevis II

k

n

kn

n

knnkn

n

kkn

n

knk

n

k

n

)]!([)!(

!

!)!(

!

)!(!

!

3434

Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IIIBinomialkoeffisient - EgenskaperBevis III

k

n

k

n

knk

n

knknkk

nn

knk

n

knk

n

kknknk

n

knk

n

knk

n

knk

n

knk

n

k

n

k

n

)!(!

!

)!1)(()!1(

)!1(

)()!1()!1(

)!1(

11

)!1()!1(

)!1(

)!1(!

)!1(

)!()!1(

)!1(

]!)1[(!

)!1(

)]!1()1[()!1(

)!1(1

1

1

3535

1

1

)1(

11

:får og

egenskapenbenytter Vi

n

kn

kkn

kn

k

kn

kn

n

k

n

Binomialkoeffisient - EgenskaperBevis IVBinomialkoeffisient - EgenskaperBevis IV

k

n

1

11

n

kn

k

kn

3636

Binomialkoeffisient - FormelutledningBinomialkoeffisient - Formelutledning

)!(!

!

]12)...1)([(!

]12)...1)([()]1)...(2)(1([

!

)1)...(2)(1(

!

)(

knk

n

knknk

knknknnnn

k

knnnn

k

n

k

nk

k

n