Embed Size (px)
Citation preview
Side 1
Matematikk – Forklaringer, oppgaver og bruksområder Tommy Odland
Innhold Til leseren ............................................................................................................................................................................................ 2
Forklaringer ......................................................................................................................................................................................... 3
Tall og algebra ................................................................................................................................................................................ 3
Måling ............................................................................................................................................................................................. 6
Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk .................................................................................................................................... 7
Funksjoner ...................................................................................................................................................................................... 8
Treningsoppgaver ............................................................................................................................................................................. 10
Tall og algebra .............................................................................................................................................................................. 10
Måling ........................................................................................................................................................................................... 13
Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk .................................................................................................................................. 14
Funksjoner .................................................................................................................................................................................... 15
Blandede oppgaver ........................................................................................................................................................................... 16
Oppgaver basert på tidligere eksamener ..................................................................................................................................... 16
Utfordringer .................................................................................................................................................................................. 21
Bruksområder ................................................................................................................................................................................... 22
Programmering ............................................................................................................................................................................. 22
Energi i tyngdefeltet ..................................................................................................................................................................... 27
Termodynamikk ............................................................................................................................................................................ 28
Beviser og forklaringer ...................................................................................................................................................................... 29
Hva er pi? ...................................................................................................................................................................................... 29
Arealet av en sirkel ....................................................................................................................................................................... 30
Et tall opphøyd i 0 er lik 1 ............................................................................................................................................................. 31
Pytagorassetningen ...................................................................................................................................................................... 31
Kvadratsetningene ........................................................................................................................................................................ 32
Fasit ................................................................................................................................................................................................... 33
Tall og algebra – Fasit ................................................................................................................................................................... 33
Måling – Fasit................................................................................................................................................................................ 34
Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk – Fasit ....................................................................................................................... 35
Funksjoner – Fasit ......................................................................................................................................................................... 35
Oppgaver basert på tidligere eksamener – Fasit .......................................................................................................................... 37
Utfordringer – Fasit ...................................................................................................................................................................... 43
Side 2
Til leseren Formål Målet er at dette heftet skal være (1) en ressurs for mentorer som arbeider med ENT3R prosjektet, og (2) til hjelp for
elever som vil lese og lære selv. Heftet inneholder fem hovedseksjoner, de er:
1. Forklaringer – korte, konsise forklaringer av pensum for 10. klassinger (og noe utenfor pensum)
2. Treningsoppgaver – oppgaver med stigende vanskelighetsgrad, også basert på pensum
3. Blandede oppgaver – blandede oppgaver, basert på tidligere eksamener for 10. klassinger
4. Bruksområder – her vises noen bruksområder for matematikken, det meste er utenfor pensum
5. Beviser og forklaringer – «svake» beviser og forklaringer på konsepter som kan være vanskelige
Heftet er hovedsakelig basert på pensum for 10. klassinger, men inneholder også mye informasjon som ikke er en
del av pensum. Det antas derfor at heftet kan brukes av elever på videregående skole også, alt etter hvilken
matematikk disse elevene tar og ferdighetsnivået til den enkelte eleven.
Hvorfor lære matematikk? Ofte mener elever at matematikk ikke har bruksområder i den virkelige verden. Det er forståelig at elever tror dette,
men det er ikke riktig. Vi bruker tall til å kvantifisere verden rundt oss, det vil si å sette en tallverdi på noe. Vi bruker
blant annet tall for å beskrive tid, lengde, temperatur og hastighet. Kan du se for deg en verden der vi ikke bruker
tall? Noen yrkesgrupper som bruker matematikk er:
Lærere -Lære bort matte, fysikk, planlegge Kjemikere -Regne på kjemiske reaksjoner
Programmerere -Algoritmedesign, grafikk Aksjemeglere -Risikoanalyse, statistikk
Økonomer -Renter, kredit/debit Geologer -Tallfeste egenskaper til bergarter
Designere -Geometri, det gylne snitt Leger -Modeller for bakterievekst, dosering
Investorer -Profittanalyse, risiko Sykepleiere -Dosering av medisiner, nedbrytning
Statistikere -Tallfeste sammenhenger Arkitekter -Geometri, optimalisere varme og plass
Selv om du ikke har lyst til å jobbe med noe av det overnevnte, er det allikevel nyttig å lære litt matte slik at du kan
ivareta din egen personlige økonomi i fremtiden og lære å tenke logisk og løse problemer.
Hvordan bør jeg lære matte? 1. Husk at det tar tid å bli god i matte. Det er en modningsprosess, så ikke fortvil dersom du gjør feil, eller føler
at du ikke får det til. Alt er vanskelig når du ikke kan det, og alt virker lett i etterkant.
2. Prøv å forstå hvorfor formler er slik de er, det vil si – prøv å forstå utledningen til en formel. I andre fag er du
nødt til å pugge en god del, i matematikk er det en fordel hvis du forstår i stedet for å pugge.
3. Gjør oppgaver. Du må gjøre mange oppgaver for å bli flink. Ta deg god tid, les oppgavene flere ganger, skriv
ned hva du vet, og hva du skal finne. Dersom du kan lage en tegning er det en fordel om du gjør det.
4. Bruk internett. Du har tilgang til nesten all informasjon via internett. Bruk de ressursene du har tilgang til –
youtube, wikipedia, dataprogrammer, osv.
𝜕𝑢
𝜕𝑡− 𝛼∇2𝑢 = 0
Side 3
Varmeoverføring i naturen er styrt av differensiallikningen ovenfor. Du lærer ikke om differensiallikninger i dette
heftet, men du lærer litt om varmeoverføring, og litt om funksjoner – som du må kunne når du skal lære om
differensiallikninger.
Forklaringer
Tall og algebra
Regnerekkefølge Regnerekkefølgen er:
1. Parentes 2. Potenser 3. Multiplikasjon og divisjon 4. Addisjon og subtraksjon
Et eksempel: 2(2 + 23) − (25 − 8)
2 ∗ 2 + 2 ∗ 23 − 25 + 8 2 ∗ 2 + 2 ∗ 8 − 25 + 8
4 + 16 − 25 + 8 3
Potenser Dersom du har 10 000 kroner i banken, med en rente på 3%, har du etter 1 år:
10000kr ∗ 1,03 = 10300kr
Etter 10 år har du:
10000kr ∗ 1,03 ∗ 1,03 ∗ 1,03 ∗ 1,03 ∗ 1,03 ∗ 1,03 ∗ 1,03 ∗ 1,03 ∗ 1,03 ∗ 1,03 = 13439kr
Dette blir tungvint å skrive, så vi skriver heller at:
10000kr ∗ 1,0310 = 13439kr
Der 1,0310 betyr at 1,03 ganges med seg selv 10 ganger. Generelt kan vi si:
Noter deg 𝑎𝑛 betyr at vi ganger a med seg selv n ganger. 𝑎𝑛 = 𝑎1 ∗ 𝑎2 ∗ 𝑎2 ∗ … ∗ 𝑎𝑛
Vi kan utlede noen regneregler for potenser:
Regel Eksempel
𝒂𝒎 ∗ 𝒂𝒏 = 𝒂𝒎+𝒂 𝑎2 ∗ 𝑎3 = (𝑎 ∗ 𝑎) ∗ (𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎) = 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎5
𝒂𝒎
𝒂𝒏= 𝒂𝒎−𝒂
𝑎4
𝑎2=
𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎
𝑎 ∗ 𝑎= 𝑎 ∗ 𝑎 = 𝑎2
(𝒂𝒎)𝒏 = 𝒂𝒎∗𝒏 (𝑎2)3 = (𝑎 ∗ 𝑎)3 = (𝑎 ∗ 𝑎) ∗ (𝑎 ∗ 𝑎) ∗ (𝑎 ∗ 𝑎) = 𝑎6
(𝒂 ∗ 𝒃)𝒏 = 𝒂𝒏 ∗ 𝒃𝒏 (2 ∗ 3)2 = (2 ∗ 3) ∗ (2 ∗ 3) = 2 ∗ 2 ∗ 3 ∗ 3 = 22 ∗ 32
𝒂−𝒏 =𝟏
𝒂𝒏
[Se forklaring]
𝒂𝟎 = 𝟏 [Se forklaring]
Side 4
Prosent, brøk og desimaltall Det er en klar sammenheng mellom prosent, brøk og desimaltall. La oss starte med prosent – som betyr
«hundredel». 20 % betyr derfor 20 / 100. La oss ta en kikk på sammenhengen:
20% = 20
100=
2 ∗ 10
10 ∗ 10=
2
10=
1 ∗ 2
5 ∗ 2=
1
5= 0,2
20% kan representeres som 20/100, 2/10 og 1/5. Den «beste» måten å skrive en brøk på er ofte den enkleste måten,
dvs. når brøken ikke kan faktoriseres (reduseres) mer. Husk at 𝑎 1⁄ = 𝑎. Regnereglene for brøk er:
Bokstavregning I matematikk bruker vi ofte bokstaver til å representere tall. Dette er for å utlede generelle løsninger på problemer.
La oss se på et eksempel: Visste du at en sirkel med radius 3,5 har et areal på 38,48? En sirkel med radius 2 har et
areal på 12,57! Men hvem bryr seg egentlig om disse to spesifikke tilfellene? Det som er viktig er jo sammenhengen
mellom radius og areal, denne sammenhengen er gitt ved:
𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑟 ∗ 𝑟 = 𝜋𝑟2
Nå kan vi finne arealet til en hvilken som helst sirkel, så lenge vi vet radiusen. Dette er mer verdifullt enn å vite at en
sirkel med radius 3,5 har et areal på 38,48. Vi bruker bokstaver for å beskrive generelle egenskaper til tall, eller
utlede generelle løsninger på problemer i fysikk og matematikk.
Noter deg Vi bruker bokstaver i matematikken for å representere tall på en generell måte. Regnereglene for bokstavene (som ofte kalles variabler) er helt lik regnereglene som brukes for alle andre tall.
Likninger Når vi løser en likning, løser vi for en ukjent verdi. Ofte er det vanskelig å se hva denne verdien er, så vi prøver å få
den ukjente på en side. Vi kan gjøre hva som helst for å prøve å få til dette, men vi må følge en enkel regel: Vi må
gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet. Formelen for areal av en sirkel er gitt ved 𝐴 = 𝜋𝑟2. Løser for 𝑟:
𝐴 = 𝜋𝑟2 →𝐴
𝜋=
𝜋𝑟2
𝜋→
𝐴
𝜋= 𝑟2 → √
𝐴
𝜋= √𝑟2 → √
𝐴
𝜋= 𝑟 → 𝑟 = √
𝐴
𝜋
Noter deg Når du løser likninger, gjelder det å få den ukjente på en side av likhetstegnet. Du har lov til å gjøre hva som helst, men du må gjøre det samme på begge sider av likhetstegnet.
REGNEREGEL EKSEMPEL
ADDISJON Finn fellesnevner. Pluss sammen tellerne.
3
5+
7
3=
3 ∗ 3
5 ∗ 3+
7 ∗ 5
3 ∗ 5=
9 + 35
15=
44
15
SUBTRAKSJON Finn fellesnevner. Trekk sammen tellerne.
2
3−
4
7=
2 ∗ 7
3 ∗ 7−
4 ∗ 3
7 ∗ 3=
14 − 12
21=
2
21
MULTIPLIKASJON Gang sammen teller og nevner.
2
3∗
3
5=
2 ∗ 3
3 ∗ 5=
2
5
DIVISJON Snu den siste brøken. Deretter gjør som multiplikasjon.
2
3:3
5=
2
3∗
5
3=
10
9
Side 5
Likningssett Likningssett er et sett med likninger og ukjente. I 10. klasse pensum innebærer dette 2 likninger, og 2 ukjente. Et
likningssett kan ikke løses dersom man har flere ukjente enn unike likninger. For å løse et likningssett gjør du slik:
1. Få en ukjent alene i en av likningene, dvs. på en side av likhetstegnet.
2. Sett inn i den andre likningen. Du har nå en likning med en ukjent.
3. Løs denne likningen.
4. Sett verdien du fikk inn i en av de 2 likningene du startet med.
5. Sjekk at det stemmer.
Et eksempel:
Likning A: 2𝑥 − 12 = 𝑦 − 2
Likning B: 2𝑥 + 2𝑦 = −2
Løsning med penn og papir
2𝑥 − 12 + 2 = 𝑦 − 2 + 2 Får y alene i likning A. (1)
𝑦 = 2𝑥 − 10 2𝑥 + 2𝑦 = −2 → 2𝑥 + 2(2𝑥 − 10) = −2 Setter inn i likning B. (2)
2𝑥 + 2(2𝑥 − 10) = −2 2𝑥 + 4𝑥 − 20 = −2
6𝑥 = −2 + 20
𝒙 =𝟏𝟖
𝟔= 𝟑
Vi har nå en ukjent i en likning, løser.
2𝑥 − 12 = 𝑦 − 2 2(3) − 12 = 𝑦 − 2
−6 = 𝑦 − 2 𝒚 = −𝟒
Setter verdien 𝑥 = 3 inn i en av likningene. (4) Vi setter inn i likning A.
2𝑥 − 12 = 𝑦 − 2 2𝑥 + 2𝑦 = −2
2(3) − 12 = (−4) − 2 2(3) + 2(−4) = −2
−6 = −6 −2 = −2
Sjekker at svaret stemmer. (5) 𝑥 = 3 og 𝑦 = −4 stemmer.
Grafisk løsning
Vi uttrykker likningene som funksjoner. Deretter lager vi en graf. Vi ser at x = 3 og y = - 4 er løsninger på figuren.
𝐿𝑖𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐴: 2𝑥 − 12 = 𝑦 − 2 → 𝑦 = 2𝑥 − 10
𝐿𝑖𝑘𝑛𝑖𝑛𝑔 𝐵: 2𝑥 + 2𝑦 = −2 → 𝑦 = −𝑥 − 1
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5y-ak
sen
x-aksen
Side 6
Måling Det å kvantifisere (sette en tallverdi på) forskjellige ting er viktig både for forskere, ingeniører, og andre
yrkesgrupper. Det er også viktig for mennesker i dagliglivet. Det finnes 7 fundamentale enheter, disse kalles SI-
enhetene (SI: Le Système international d'unités). De fundamentale enhetene er:
Ampere (mål på elektrisk strøm)
Kilogram (mål på masse)
Meter (mål på lengde)
Sekund (mål på tid)
Kelvin (mål på temperatur)
Mol (mål på stoffmengde)
Candela (mål på lys)
Alle andre enheter stammer fra disse 7 fundamentale enhetene, det vil si at de er en kombinasjon av de
fundamentale enhetene. F.eks. vet du kanskje at fart måles i kilometer/time, eller meter/sekund. m/s er utledet fra
meter og sekund. Areal måles i m2, som er utledet fra meter ganget med meter.
Noter deg En viktig sammenheng er: 1 liter = 0,001 m3 = 10cm * 10 cm* 10cm. 1 liter med vann = 1kg
Når vi har store eller små tall, bruker vi ofte prefikser foran tallene. Noen vanlige
prefikser finner du i tabellen til venstre, du kan finne flere her. Noen eksempler:
Eks 1.
Hvor mange desiliter er det i 2 m3 ?
Vi vet at 1 𝐿 = 0,001𝑚3, og at 1 𝐿 = 10 𝑑𝐿. Setter disse to sammen og får:
0,001𝑚3 = 10 𝑑𝐿 → 0,001𝑚3 ∗ 2000 = 10 𝑑𝐿 ∗ 2000 → 2𝑚3 = 20000 𝑑𝐿
Eks 2.
En dør måler 194 cm i høyden, og 65 cm in bredden. Hva er dørens areal i m2?
Vi vet at 1𝑚 = 100𝑐𝑚. Vi opphøyer i andre og får (1𝑚)2 = (100𝑐𝑚)2 → 1𝑚2 = 10000𝑐𝑚2
Denne likningen kan vi snu på, på to forskjellige måter:
1 =1𝑚2
10000𝑐𝑚2 1 =
10000𝑐𝑚2
1𝑚2
Døren måler 194𝑐𝑚 ∗ 65𝑐𝑚 = 12610cm2. Vi bruker den første likningen over, fordi vi kan kansellere cm2 over og
under brøkstreken:
12610𝑐𝑚2 ∗ 1 = 12610𝑐𝑚2 ∗1𝑚2
10000𝑐𝑚2=
12610
10000𝑚2
𝑐𝑚2
𝑐𝑚2= 1,261𝑚2
Navn Verdi Med ord Kilo (k) 103 Tusen Hekto (h) 102 Hundre Deka (da) 101 Ti Deci (d) 10-1 Tidel Centi (c) 10-2 Hundredel Milli (m) 10-3 Tusendel
Side 7
Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk
Statistikk Statistikk blir brukt til å beskrive datamengder. I statistikkfaget samler man inn, analyserer og representerer (ofte
ved hjelp av diagrammer) data. Ofte ser man om det er mulig å trekke konklusjoner fra dataene. Vi må være veldig
forsiktige med konklusjonene vi trekker. Hvis man f.eks. ser på sammenhengen mellom drukningsulykker og salg av
iskrem, vil man finne en sammenheng – men det betyr selvsagt ikke at salg av iskrem direkte påvirker drukning, eller
motsatt!
Gjennomsnittet sier noe om hva en typisk verdi i et datasett er. Det er definert som summen av observasjonene,
delt på antall observasjoner. Hvis vi har observasjonene 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑛 , så er gjennomsnittet:
𝐸(𝑥) = 1
𝑛∑ 𝑥𝑖
𝑛
𝑖=1
Medianen finner man ved å først sortere observasjonene i stigende rekkefølge. Deretter finner man observasjonen
som er i midten av den sorterte listen. Dersom antall observasjoner er et partall, tar man gjennomsnitt av de 2
midterste verdiene. Et eksempel:
5, 5, 8, 5, 5, 7, 8, 6, 7, 2 Vi sorterer verdiene og får: 2, 5, 5, 5, 𝟓, 𝟔, 7, 7, 8, 8
Medianen er 5+6
2= 5,5
Typetall (modus) er den observasjonen det er mest av. I eksempelet ovenfor er typetallet 5.
Sannsynlighetsregning Vi starter med å definere en stokastisk variabel: en stokastisk variabel er en variabel som kan ha flere verdier.
Dersom 𝑋 er antall øyne på en terning etter et terningkast, kan 𝑋 være {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vi sier at verdimengden til
𝑋 er {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Vi vet ikke hva 𝑋 er før vi har trillet terningen. Sannsynligheten for et utfall er:
𝑃(𝑋 = 𝑥) = 𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
La oss f.eks. se på sannsynligheten for at antall øyne på en terning er høyere enn, eller lik 5.
𝑃(𝑋 ≥ 5) = 2
6=
1
3
Kombinatorikk Kombinatorikk handler om å telle. La oss definere fakultet til et tall. Fakultet betegnes med «!» , og betyr ganske
enkelt at vi ganger med alle tall nedover til 1. Matematisk sier vi at:
𝑛! = 𝑛 ∗ (𝑛 − 1) ∗ (𝑛 − 2) ∗ (𝑛 − 3) ∗ … ∗ 1
Eksempelvis så er 5! = 5 ∗ 4 ∗ 3 ∗ 2 ∗ 1 = 120. La oss se hva fakultet kan brukes til:
Anta at du har tre ting foran deg, en blyant (B), en penn (P) og et viskelær (H). På hvor mange måter kan du sortere
disse 3 tingene? Det viser seg at du kan sortere 3 ting på 6 forskjellige måter:
PBH PHB BPH BHP HPB HBP
Du kan selv prøve med 4 forskjellige ting. Du vil se at 4 ting kan sorteres på 24 forskjellige måter.
Noter deg n forskjellige ting kan sorteres på n! måter. n! uttales «n fakultet», og betyr at vi ganger n nedover til 1. Eksempelvis så kan 6 ting sorteres på 720 måter, fordi 6! = 6*5*4*3*2*1 = 720.
Side 8
Funksjoner Funksjoner er ekstremt viktige, og har mange bruksområder. Funksjoner er kanskje den viktigste delen av
mattepensum i 10. klasse. Du kan tenke på funksjoner på 2 måter, tenk slik det passer deg: (1) en funksjon beskriver
en sammenheng mellom to variabler (f.eks. pris og antall kjøpte varer), (2) en funksjon er som en maskin, vi sender
noe inn, og får noe ut. La oss se på funksjoner med utgangspunkt i begge måtene å tenke på:
(1) En funksjon er en sammenheng mellom variabler (noe er avhengig av noe annet)
Du skal kjøpe kinobilletter til deg selv og vennegjengen. Prisen er avhengig av antall kinobilletter du kjøper, og prisen
per kinobillett er 120 kr. Funksjonen
𝑃(𝑏) = 120 ∗ 𝑏
Er en funksjon som beskriver pris (P) som funksjon av billetter (b). Hvis du kjøper 3 billetter, blir prisen:
𝑃(3) = 120 ∗ 3 = 360
𝑃(𝑏) betyr at prisen (P) er avhengig av antall billetter (b) (det er jo ganske logisk!).
(2) En funksjon er som en maskin, vi sender noe inn, og får noe ut
La oss se på funksjonen 𝑓(𝑥) = 𝑥2 . Denne funksjonen tar et tall inn (x) og vi får et tall ut (f(x)). La oss sende inn
tallet 2, vi får: 𝑓(2) = 22 = 4. La oss sende inn flere verdier, og lage en tabell.
x f(x)
-4 16
-3 9
-2 4
-1 1
0 0
1 1
2 4
3 9
4 16
Lineære funksjoner
Noter deg Lineære funksjoner er alltid på formen 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵, der A og B er tall. A kalles stigningstallet, og B er skjæringspunktet med y-aksen (den vertikale aksen). En lineær funksjon ser ut som en rett linje, som vist på de tre figurene under.
La oss ta en kikk på noen lineære funksjoner. Legg merke til skjæringspunktet (B) og stigningen (A).
𝑓(𝑥) = 1𝑥 + 0 𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = −1𝑥 − 3
0
5
10
15
20
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
f(x) = x^2
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Side 9
For å tegne en lineær graf gjør du slik:
(1) Tegn inn et punkt på y-aksen for B (skjæringspunktet)
(2) Gå en enhet til høyre, deretter går du opp eller ned (opp dersom A er et positivt tall, ned dersom A er
negativt) en lengde A. Tegn et nytt punkt.
(3) Linja som går gjennom begge punktene er den lineære funksjonen 𝑓(𝑥) = 𝐴𝑥 + 𝐵
Lineære funksjoner – et praktisk eksempel Tenk deg at du har fått jobb som selger. Når du blir ansatt, får du to alternativer for lønn: (1) fast lønn på 180 kroner
per time, eller (2) fastlønn på 120 kroner timen, pluss 30 kroner per salg. Hva bør du velge? Vi kan sette opp to
funksjoner for alternativene, og gjøre en liten analyse. Vi setter opp Lønn (L) som funksjon av antall salg (s), for de 2
alternativene får vi: (1) 𝐿1(𝑠) = 180 og (2) 𝐿2(𝑠) = 30𝑠 + 120 . La oss ta en kikk på funksjonene:
Vi ser at dersom man selger mindre enn 2 varer per time, bør man velge alternativ (1). Dersom man selger mer enn 2
varer per time, bør man velge alternativ (2). Dersom man selger akkurat 2 varer per time, har det ikke noe å si hvilket
alternativ man velger – man får en lønn på 180 kroner per time uansett.
Krysningspunktet kan også regnes ut uten å bruke grafen. Funksjonene krysser når de har lik verdi.
𝐿1(𝑠) = 𝐿2(𝑠) → 𝑓𝑢𝑛𝑘𝑠𝑗𝑜𝑛𝑒𝑛𝑒 𝑘𝑟𝑦𝑠𝑠𝑒𝑟
𝐿1(𝑠) = 𝐿2(𝑠)
180 = 30𝑠 + 120
180 − 120 = 30𝑠
60
30= 𝑠 = 2
Funksjonen har altså krysningspunkt når 𝑠 = 2 , men hva er da 𝐿1(𝑠) og 𝐿2(𝑠) ? Vi setter inn:
𝐿1(2) = 180
𝐿2(2) = 30(2) + 120 = 60 + 120 = 180
Med andre ord er 𝐿2(𝑠) = 𝐿1(𝑠) , når = 2. Og krysningspunktet er (2, 180).
Noter deg Selv om 𝑓(𝑥) er den vanligste måten å skrive om en funksjon på, er det ingenting spesielt med verken 𝑓 eller 𝑥 - 𝑃(𝑏) eller 𝐿(𝑠) er også tillatt. Du velger bokstaver som beksriver problemet bra. Høyden til et tre, som funksjon av tid kan f.eks skrives ℎ(𝑡) eller 𝑓(𝑥).
0
50
100
150
200
250
300
0 1 2 3 4 5 6
LØN
N
ANTALL SALG
L_1(s) L_2(s)
Side 10
Treningsoppgaver
Tall og algebra [Les om «Tall og algebra» før du gjør oppgavene] [Se fasit]
Regnerekkefølge Regn ut:
1a) 15 − 3 + 5 = b) 36 − 12 − 4 + 2 = c) −7 − 3 + 8 =
2a) (−1) ∗ 5 = b) (−2) ∗ (−3) = c) (−2) ∗ (−2) ∗ (−1) =
3a) 2 ∗ (−2) ∗ 5 = b) 2 ∗ (3 ∗ 5) = c) (−5) ∗ (3 ∗ 4) =
4a) 3 ∗ (2 + 2) = b) (−3) ∗ (3 + 2) = c) (−2) ∗ (5 − 7) =
5a) (−2) ∗ (4 + 6) + 3 ∗ (3 − 6) = b) −2 ∗ (−4 − 3) − 5 ∗ (2 − 4) =
6a) 22 − 2 ∗ (−3 + 5) = b) 32 ∗ (2 − 3) + 23 ∗ 5 =
Brøk, present og desimaltall 1a)
1
2+
1
2=
b) 1
4+
2
16=
c) 2
5+
1
3=
2a) 5
8−
2
4=
b) 3
5−
7
10=
c) 3
4−
7
3=
3a) 1
2∗ 2 =
b) 2
3∗
1
4=
c) 1
𝜋∗ 𝜋 =
4a) 4
7:1
2=
b) 3
4:4
3=
c) 2
3:1
4=
5a) 1
2∗ (
3
4+
3
2) =
b) 2
3∗ (
10
5−
1
2) =
Uttrykk tallene som brøk, present og desimaltall.
6a) 1
2
b) 1
4
c) 1
5
d) 0,3333
e) 90%
f) 1,75
g) 45%
h) 1,1
i) 135%
Forenkling av uttrykk 1 1a) 3𝑎 + 2𝑎 b) −2𝑎 + 3𝑎 c) 3𝑎 − 5𝑎 + 𝑎
2a) 2(2 + 𝑎) b) −3(𝑎 + 1) c) −2(−𝑎 + 2𝑎)
3a) 2𝑎 + 3𝑎 + 𝑎2 + 2𝑎2 b) −3𝑎2 + 2𝑎 + 4𝑎2 − 𝑎 c) 2𝑎2 − 𝑏 − 2𝑎 + 2𝑏 + 𝑎2
4a) 2𝑎 + 2(𝑎 − 2) b) 2𝑎2 − 𝑎(3 − 𝑎) c) 𝑏2 + 3(2 + 𝑏 + 𝑏2) − 6
5a) (𝑎 + 2)(𝑎 + 3) b) (𝑎 + 𝑏)2 c) (𝑎 − 𝑏)(𝑎 + 𝑏) + 𝑏2
6a) (2 − 𝑎)(3 + 𝑏) + 2𝑎𝑏 b) (1 + 𝑎)(𝑏 + 2) − 𝑏(𝑎 + 1) c) (𝑎 + 𝑏)2 − (𝑎 − 𝑏)2 − 2(𝑎𝑏 + 2)
Side 11
Forenkling av uttrykk 2 1a)
5𝑎 − 3𝑎 b)
5𝑎 −7
2𝑎
c) (13𝑎 − 17𝑎)2 + 8𝑎
2a) 2𝑎 + 3𝑏 − 2(𝑎 + 2𝑏)
b) 7𝑏 + 8𝑎 + 2𝑎 − 𝑏
c) (𝑎 + 𝑏)2 − 2𝑎𝑏
3a) 𝑎2
𝑎
b) 𝑎2𝑏3
𝑎2𝑏
c) 𝑎2𝑏3𝑐2
𝑎𝑏2𝑐
4a) 𝑎
𝑎2
b) 𝑎3𝑏2
𝑎𝑏4
c) 𝑧2𝑏2
𝑧3𝑏2∗ 𝑧
5a) 𝑎
3+
𝑎
6
b) 𝑎(2 − 𝑎)
2+
𝑎
4
c) 2(𝑎 − 3)
1+
3(𝑎 − 1)
3
6a) 2
𝑎+
2
𝑏
b) 2𝑎
𝑏−
𝑏
𝑎
c) 3(𝑎 + 𝑎2)
𝑎+
1
𝑏
7a) 𝑏(𝑎 + 𝑏) − 𝑏2
b) −3𝑎 + 2(6 + 2𝑎) − 10
c) 𝑎(2 + 4) − 2(𝑎 + 2𝑎)
8a) 3𝑧 + 2𝑎 − 2(𝑏 − 𝑧 − 𝑎)
b)
𝑏 (𝑏 +1
2𝑏) − 𝑏2 (
6
3−
1
2)
c)
(𝑎 + 𝑏)2 − 𝑎𝑏(𝑎
𝑏+
𝑏
𝑎)
Likninger med en ukjent Løs likningene.
1a) 𝑥 = 13 − 6
b) 15 = 𝑦 − 3
c) 24 = 3 + 𝑥 − 8
2a) 𝑧 = 3 ∗ 7
b) 30 = 6 ∗ 𝑦
c) 56 = 23 ∗ 𝑥
3a) 30 = 2(10 + 𝑥)
b) 20 = (𝑦 ∗ 5) − 5
c) 36 = 6 ∗ (7 − 𝑥)
4a) 8
𝑥= 2
b) 𝑦
4= 7
c) 2
𝑥=
6
2:6
4
5a)
17 = ((−5) ∗ 𝑥) − 3
b) 30 = 𝑥2 + 5
c) 3𝑦 = −24 − 5𝑦
Side 12
Likninger med to ukjente 1. Lag grafer for likningene, løs grafisk og løs deretter med regning.
I: 𝑦 = 𝑥 + 2 II: 𝑦 = 2𝑥 − 1
2. Lag grafer for likningene, løs grafisk og løs deretter med regning.
I: 𝑦 = 2𝑥 − 4 II: 𝑦 = 12 − 2𝑥
3. Lag grafer for likningene, løs grafisk og løs deretter med regning.
I: 𝑦 = 𝑥 − 1 II: 𝑥 = 4 + 2𝑦
4. Løs likningssettet.
I: 4𝑥 − 6 = 5𝑦 II: 2𝑦 = 𝑥
5. Løs likningssettet.
I: 3𝑥 + 6 = 𝑦 II: 2(𝑥 + 𝑦) = −4
6. Løs likningssettet.
I: −2𝑥𝑦 = 6𝑦 II: 3𝑥 = 1 + 5𝑦
7. En kiosk selger pølser og is. En familie kjøper 3 is og 2 pølser, og betaler til sammen 65 kroner. Den en annen
familie kjøper 2 is og 2 pølser, og betaler til sammen 50 kroner. Hva koster en pølse? Hva koster en is?
8. For 5 år siden var Ola dobbelt så gammel som Per. I dag er Ola fem år eldre enn Per. Hvor gammel er Per og
Ola i dag?
9. Du veier 5 epler og 2 appelsiner, og vekta viser 1,6kg. Deretter veier du 2 epler og 4 appelsiner, og vekta
viser det samme. Hva veier eplene og appelsinene?
10. En mattelærer gir deg et matematisk problem, der du har 3 ukjente verdier og 2 likninger. Kan dette
problemet løses slik at hver ukjente har en spesifikk verdi?
11. Kan dette problemet løses? Prøv og forklar hva du kom frem til.
Hint: Still opp som lineære funksjoner og tegn funksjonene.
I: 𝑦 = 2𝑥 + 5 II: 4𝑥 = 2𝑦 − 10
Side 13
Måling [Les om «Måling» før du gjør oppgavene] [Se fasit]
1. Skriv som cm (centimeter)
a) 1 m b) 2,6 m c) 2,375 m
2. Skriv som m (meter)
a) 32 cm b) 7 mm c) 2,5 km
3. Skriv som m2 (meter * meter)
a) 20 000 cm2 b) 7 500 cm2 c) 870 000 mm2
4. Skriv som L (liter)
a) 0,05 m3 b) 750 cm3 c) 0,00034 m3
5. Skriv som km/t (kilometer per time)
a) 15 m/s b) 466,66 m/minutt c) 216 mil/døgn
6. Skriv på standardform
a) 300 b) 0,02 c) 47365
d) 0,00314 e) 0,02 * 0,02 c) 300 * 200
Side 14
Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk [Les om «Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk» før du gjør oppgavene] [Se fasit]
1. Du kaster en terning. Vi definerer 𝐴 som «antall summen av antall øyne etter kastet».
a. Hva er 𝑃(𝐴 > 3)? (Dvs. sannsynligheten for at summen er større enn 3)
b. Hva er 𝑃(𝐴 ≠ 1)? (Dvs sannsynligheten for at summen ikke er lik 1)
c. Hva er 𝑃(𝐴 < 2 ∪ 𝐴 > 5)? (Dvs sannsynligheten for at summen er mindre enn 2, eller større enn 5)
2. En boks inneholder 5 røde og 2 grønne drops. Du trekker 2 drops, uten å se hvilke du trekker. Hva er..
a. Sannsynligheten for at du får 2 røde drops på rad? 𝑃(𝑅𝑅)
b. Sannsynligheten for at du får 2 grønne drops på rad? 𝑃(𝐺𝐺)
c. Sannsynligheten for at du får en grønn drops, og en rød (eller motsatt rekkefølge)?
3. Du kaster 2 terninger samtidig.
a. Hvor mange mulige utfall finnes?
b. Hva er sannsynligheten for å få 2 6ere?
c. Hva er sannsynligheten for å få en sum som er større enn 10?
4. Finn gjennomsnittet og medianen til disse 3 datasettene:
a. 12, 16, 9, 7, 21
b. 5, 4, 1, 16, 15, 11, 4
c. 15, 12, 4, 7, 5, 2, 12, 15
5. Lise måler temperaturen hver eneste dag fra mandag til og med lørdag. Han måler følgende temperaturer:
20, 19, 22, 16, 21, 18
Hva må han måle på søndagen, dersom gjennomsnittet av temperaturene hele uka skal være 20 grader?
6. I en dagligvarebutikk er det 3 typer tannkoster, 4 typer tanntråd og 5 typer tannkrem. Dersom du kjøper en
tannkost, en tanntråd og en tannkrem, hvor mange forskjellige kombinasjoner kan du kjøpe?
7. 10 fotballag deltar i en turnering. Hvor mange kamper må minst spilles for å finne en vinner?
8. I en svømmekonkurranse er det 8 deltakere, der hver deltaker har en «bane» i bassenger. Hvor mange ulike
startposisjoner kan svømmerne innta?
9. Vi har fire «ting». Vi kaller dem A, B, C og D. Disse kan sorteres på 24 forskjellige måter, f.eks ADBC, BCDA og
DBCA. Lag en liste over alle 24 mulighetene.
Side 15
Funksjoner [Les om «Funksjoner» før du gjør oppgavene] [Se fasit]
1. En funksjon er gitt ved 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2 . Forklar med ord hva denne funksjonen gjør, og evaluer funksjonen for
x = 1, x = 5 og x = -3. Dvs. regn ut 𝑓(1), 𝑓(5) og 𝑓(−3).
2. Nedenfor ser du en liste med 6 forskjellige funksjoner. Hvilke funksjoner er lineære? Regn ut 𝑓(2) for alle
funksjonene.
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = 𝑥2 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5
𝑓(𝑥) = 5 𝑓(𝑥) =
1
2𝑥 − 2 𝑓(𝑥) =
𝑥
4− 𝜋
3. Tegn funksjonene. Det kan være veldig nyttig å sette opp en tabell.
𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2 4. Tre av de seks funksjonene nedenfor er avbildet. A) Hvilke av de seks funksjonene er lineære funksjoner?
B) Klarer du å finne hvilken funksjon som passer til hvilken graf? (Tre av funksjonene er ikke avbildet)
𝑓(𝑥) =5
𝑥
𝑔(𝑥) = −3𝑥 + 2 ℎ(𝑥) = −2𝑥 − 1
𝑦(𝑥) = 𝑥2 + 2 𝑧(𝑥) =
1
2𝑥 − 2
𝑢(𝑥) = 𝑥3
5. Tegn funksjonen 𝑓(𝑥) = 𝑥 + 2. Hva er 𝑓(𝑥) når 𝑥 = 5? Løs grafisk og ved regning.
6. Tegn funksjonen 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4. Hva er 𝑓(𝑥) når 𝑥 = 10? Løs grafisk og ved regning.
7. Tegn funksjonen 𝑓(𝑥) =1
2𝑥 − 2. Hva er 𝑓(𝑥) når 𝑥 = 12? Løs grafisk og ved regning.
8. Registrering i en ungdomsklubb koster 200kr, pluss 50kr per måned. Lag en funksjon som viser total kostnad,
som en funksjon av måneder. (Hint: 𝑓(𝑥) er total kostnad, 𝑥 er måneder)
9. En energiavtale koster 50 kroner å tegne, pluss 25 øre per kilowattime (kWh). Hva er total kostnad, som
funksjon av kWh? Hva er total pris om man tegner avtalen, og bruker 200 kWh?
10. Ungdomsklubben i oppgave 4. bestemmer seg for å tilby 2 typer medlemskap:
a. Registrering for 200 kroner, pluss 50 kroner per måned
b. Gratis registrering, men 60 kroner per måned
Du har tenkt å være medlem i 1 år, hva er billigst da? Hva er billigst om du har tenkt å være medlem i 2 år?
11. Tegn en rettvinklet trekant. Tenkt deg at det ene katetet er lik 5cm, og at det andre katetet kan endre
lengde. Da vil også hypotenusen endre lengde. Kall hypotenusen for y, det fastsatte katetet for 5 og det siste
katetet for x. Lag en funksjon som viser endring i y som funksjon av endring i x. Er funksjonen lineær?
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Side 16
Blandede oppgaver
Oppgaver basert på tidligere eksamener [Se fasit]
Disse oppgavene er basert på tidligere eksamensoppgaver for 10. klassinger. De er i hovedsak basert på Del 1, der
tillatte hjelpemidler kun er vanlige skrivesaker. Prøv derfor å løse oppgavene uten kalkulator først. Oppgavene er
basert på tidligere eksamensoppgaver, men er ikke eksakte kopier – det kan derfor hende at du trenger kalkulator til
et par av oppgavene. Du kan finne tidligere eksamenssett her:
http://www.ent3r.no/bergen/hogskolen-i-bergen/elever/
1. En bil kjører med en fart på 70 kilometer pr time. Hvor mange meter pr sekund kjører bilen i?
2. En genser koster opprinnelig 800 kroner. Det er salg, og 30 prosent tilbud. Hva er prisen nå?
3. Det tar 2 timer og 30 minutter å løpe en spesiell type maraton. Hvor mange minutter har du løpt når du har
kommet 1/3 av veien?
4. En hytte koster 1500 kroner, uansett hvor mange mennesker som leier den. Hvilket funksjonsuttrykk
beskriver prisen som funksjon av mennesker P(m)?
a. 𝑃(𝑚) = 1500𝑚
b. 𝑃(𝑚) = 𝑚1500⁄
c. 𝑃(𝑚) = 1500𝑚⁄
5. Du skal finne arealet av en sirkel med radius 0,001 m. Svaret du får er 0,000003141 m. Hvordan skriver du
dette tallet på standardform?
a. 3,141 ∗ 10−6
b. 3,141 ∗ 106
c. 3,141 ∗ 10−5
6. En rettvinklet trekant har to kateter med lenger: A = 7 og B = 4. Hva er lengden til hypotenusen?
7. For å få god gjennomstrømning i et vannrør, må arealet av det sirkulære røret være 28 cm2. Hva må radiusen
være for å få god gjennomstrømning?
8. Du kaster to terninger.
a. Hvor mange forskjellige utfall kan du få?
b. Hva er sjansen for å få sum lik 4?
9. Regn ut uten kalkulator.
a. 34 + 71 =
b. 124 – 52 =
c. 11*14 =
10. Mattekarakterene i en klasse ser slikt ut: 2 2 3 3 3 3 3 3 3 3 4 4 4 4 4 4 5 5 5 5 6 6 6
a. Hva er gjennomsnittskarakteren?
b. Hva er medianen?
Side 17
11. Løs oppgavene uten kalkulator
a. -22 =
b. (-3)2 =
c. (-2) * 2 * (-2) * (-2) =
12. En venn av deg kjøpte en jakke for 1200 kroner. Du vil kjøpe en lik jakke, men når du kommer til butikken
koster jakken 2000 kroner. Hvor mange prosent var jakken på tilbud da vennen din kjøpte den?
13. Løs likningene.
a. x * 3 – 1 = 20
b. ( x * 8 ) / 4 = 10
c. X2 - 6 = 10
14. Du skal ro over en elv. Bredden på elven er 8 meter. For å ikke bli tatt av strømmen må du samtidig ro deg
mot strømmen. Du sikter deg 6 meter mot strømmen. Hvor langt må du ro før du kommer deg over elva?
(Hint: Tegn elva) (Hint: Pytagoras)
15. Løs oppgavene uten kalkulator.
a. 42 – 2( 3 + 5 ) =
b. (3/4) + (2/3) – (1/2) =
c. 25 =
16. En rettvinklet trekant består av katetene A og B, samt hypotenusen C. A = 4, B = 3.
a. Hva er arealet av trekanten?
b. Hva er lengden til C?
17. En terning har like lange sider. Hver side har lengde 2 cm. (Hint: Lag tegning)
a. Hva er volumet?
b. Hva er overflatearealet?
18. En terning har like lange sider. Hver side har lengde a cm. (Hint: Lag tegning)
a. Hva er volumet?
b. Hva er overflatearealet?
19. Løs ligningssettet med regning.
Ligning I: x + y = 3 Ligning II: 2x + 3y = 8
20. Tegn grafen til funksjonsuttrykket
y = 2x + 2
21. En kortstokk har 52 kort. Du trekker et tilfeldig kort.
a. Hva er sjansen for å trekke et rødt kort?
b. Hva er sjansen for å trekke et kort med bilde?
c. Hva er sjansen for å trekke en konge?
d. Hva er sjansen for å trekke kløverkonge?
22. Det har kommet nok en reform i skolesystemet, som har bestemt at en matteeksamen skal vare i
2 timer, 33 minutter og 31 sekunder. Bruk en kalkulator og finn ut hvor mange sekunder du har.
Side 18
23. Du kan velge mellom to typer eksamen, der oppgavene er like vanskelige.
a. 15 oppgaver på en time
b. 40 oppgaver på to timer og 15 minutter
Hvilken type eksamen gir deg mest tid per oppgave?
24. Løs likningen.
2(3 + x) - 4 = 5 + x
25. En dyreglad person eier 5 katter og 3 hunder. Hvor mange prosent av dyrene er hunder?
a. Ca 22 %
b. Ca 38 %
c. Ca 63 %
26. Hvis r er radius, og h er høyden til en sylinder. Hva er da formelen for
a. Volumet?
b. Overflatearealet?
27. Leger og sykepleiere bruker også matematikk. En del stoffer har halveringstid i kroppen, f.eks koffein (fra
kaffe) og medisiner. Halveringstid vil si tiden før halvparten av stoffet et brutt ned av kroppen. Har man f.eks
100mg koffein i kroppen, og halveringstiden er 4 timer, har man etter 4 timer 50mg, etter 8 timer 25mg,
etter 12 timer 12,5mg, og så videre.
a. Tegn en graf som viser koffein i kroppen (y-akse) og tid (x-akse).
b. Er dette en lineær funksjon?
28. Her er to kjente formler fra elektronikken, der I = Strøm, V = Spenning, R = Motstand og P = Effekt.
𝐼 = 𝑉
𝑅 𝑃 = 𝐼 ∗ 𝑉
Vis at om dette er sant, må nødvendigvis også følgende være sant:
𝑃 = 𝑉2
𝑅
29. Fem kilo epler koster 90 kroner. Tre kilo pærer koster 45 kroner. Hva er billigst å kjøpe per kilo?
30. Du betaler 600 kroner for en ipod, og du har fått 20% rabatt. Hva var den originale prisen?
31. Ifølge utdanning.no får dataingeniører gjennomsnittlig en lønn på 575 000 kroner per år. Vi regner med at
skatten er på 40%. Hvor mye kan en dataingeniør forvente å få utbetalt per måned?
32. Etter å ha jobbet med dette oppgaveheftet i en time og 40 minutter, har jeg kommer til oppgave 32. Jeg har
tenkt å lage 50 oppgaver basert på tidligere eksamener. Anslå hvor lang tid vil det ta å lage alle de 50
oppgavene.
33. Du jobber på verksted. Sjefen din vil vite hvor mye en bolt veier, og hvor mye en mutter veier. Problemet er
at alle mutterne og boltene sitter fastlåst. Du veier opp fastlåste bolter og muttere:
En bolt med 3 muttere veier 74 gram
En bolt med 7 muttere veier 106 gram
Hvor mye veier en bolt? Hvor mye veier en mutter?
Side 19
34. I vennegjengen din er høydene på deg og vennene dine følgende
158 cm 166 cm 173 cm 165 cm 178 cm
a. Hva er gjennomsnittshøyden?
b. Hva er medianen?
c. Hva er forskjellen mellom høyeste og laveste person?
35. Gjør uttrykkene så enkle som mulig
a. 6a – (2a + 3a)
b. 3(2a - 5) + 2(-2a + 8)
c. (3a + 2b)2
36. En husvegg måler 2 meter i høyden og 5 meter i lengden. Plankene du skal bruke til å dekke veggen er 20
centimeter i bredden, og koster 8 kroner per meter.
a. Hva er arealet av veggen?
b. Hvor mange meter med planke trenger du får dekke alt?
c. Hvor mye vil det koste deg å dekke veggen?
37. Epler koster 50 kroner per kilo. Pærer koster 70 kroner per kilo.
Et eple veier omlag 200 gram. En pære veier omlag 150 gram.
a. Hvor mye koster 4 epler og 7 pærer?
38. En kalkulator koster vanligvis 800 kroner. Men du får 30% rabatt av butikken. Hvor mye får du i rabatt, og
hva må du betale? Denne oppgaven regnes selvsagt uten kalkulator, da du ikke har kjøpt kalkulatoren enda.
39. Du kaster en terning. Hva er sjansen for å få en sekser?
Du har to terninger, som du kaster på likt. Hva er sjansen for å få to seksere?
40. En bil kjører med farten 72 kilometer per time. Hvor langt kommer bilen på fem timer?
41. Du løper 60 meteren på 8 sekunder. Hva er farten din i meter per sekund og kilometer per time?
42. Du begynner på sprint. Første gang du løper 300 meter klarte du det på et minutt. Hva var farten din i meter
per sekund? Treneren sier at etter et halvt år med hard trening er det vanlig å redusere tiden med 20
prosent. Hva er tiden din da? Hva blir farten din da?
43. Du får oppgitt følgende tabell.
x Y
0 -2
1 -1
2 2
3 7
Hvilken funksjon representerer denne tabellen?
a) Y = 2x – 2 b) Y = x2 – 2 c) Y = x2 + 2
Side 20
44. I en 30° − 60° − 90° trekant er det korteste katetet lik 3.
a. Hva er lengden til hypotenusen?
b. er lengden til det lengste katetet?
45. To kaster to terninger. Hva er sjansen for at summen av øynene er større en, eller lik, 8?
(Hint: Tegn opp tabell som viser alle utfall)
46. Sorter tallene i stigende rekkefølge:
5 𝜋 √27 9
2
7
2
47. En sirkel har et areal på 𝜋 ∗ 2,5 ∗ 2,5. Hva er diameteren til sirkelen?
48. Du har 2 grønne drops og 4 røde drops i en bolle.
a. Du tar en tilfeldig drops. Hva er sjansen for å ta en grønn?
b. Du har 2 drops. Hva er sjansen for å ta begge de grønne?
49. Skriv de neste to tallene i Fibonacci-tallfølgen
1 1 2 3 5 8 13 21 __ __
50. En pizza har en diameter på 40 centimeter, og en høyde på 2 centimeter. Et pizzastykke er 1/6 av pizzaen.
Hva er volumet til et pizzastykke?
Side 21
Utfordringer Nedenfor er noen utfordrende oppgaver. [Se fasit]
1. Summen av de 10 første positive heltallene er lik 55:
1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 = 55
Hva er summen av de 100 første positive heltallene?
1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 = ?
2. En bensinstasjon har tre forskjellige tilbud for kaffe:
a. Kunden betaler 10 kroner for hver kaffekopp.
b. Kunden betaler 150 kroner for et kaffekort, og 5 kr per kaffekopp.
c. Kunden betaler 1 krone for første kaffe, 2 kroner for neste, deretter 3 kroner, osv..
Hva er billigst dersom man kjøper 10 kaffekopper?
Hva er billigst dersom man kjøper 25 kaffekopper?
Hva er billigst dersom man kjøper 50 kaffekopper?
3. 10 ukjente personer møtes på en fest. Hvor mange håndtrykk må til for at alle skal hilse på alle?
4. I en fotballturnering er det 37 påmeldte lag. Hvor mange kamper må minst spilles for å finne en vinner?
5. Tallrekka 1 +1
2+
1
4+
1
8+
1
16+
1
32+
1
64+ ⋯ kan skrives på denne måten:
∑1
2𝑛
∞
𝑛=0
=1
20+
1
21+
1
22+
1
23+
1
24+ ⋯
1
2𝑛
Hva blir summen av rekka dersom vi lar 𝑛 gå mot evig? Med andre ord: hva blir summen dersom vi tar med
evig mange ledd?
6. Vi har fem bokstaver: A, B, C, D og E i en boks. Vi trekker ut alle fem i en tilfeldig rekkefølge. På hvor mange
forskjellige måter kan vi trekke ut A, B, C, D og E?
7. Dersom man kaster tre terninger, er den laveste summen 1 + 1 + 1 = 3 og den høyeste er 6 + 6 + 6 = 18.
Noen summer kan man få på flere måter, f.eks. gir både 4 + 5 + 5 og 5 + 5 + 4 summen 14. Du har tre
terninger, og kaster dem på likt. Hvor mange utfall gir en sum som er over 15?
8. Gitt at 𝐴 → 𝐷, 𝐷 → 𝐺, 𝐸 → 𝐻. Hvilken melding skuler seg i teksten:
𝐺𝑦 ℎ𝑢 𝑖𝑜𝑙𝑞𝑛 𝑙 𝑝𝑑𝑥𝑥ℎ
9. Løs ligningssystemet nedenfor, som inneholder 3 ukjente verdier, og 3 likninger.
I: 2𝑥 + 4𝑦 − 2𝑧 = −8
II: −3𝑥 − 2𝑦 + 2𝑧 = 12
III: 𝑥 + 3𝑦 + 𝑧 = 5
Side 22
Bruksområder
Programmering Datamaskiner har utallige bruksområder i dagens samfunn, og det kan være veldig nyttig å kunne litt
programmering. I tillegg er programmering veldig gøy når du forstår hvordan det fungerer. I denne seksjonen vil vise
litt programmering med programmeringsspråket Python (oppkalt etter Monty Python). Python er ganske lett å lese
og forstå, og brukes i stor grad til vitenskapelige utregninger. For å følge denne seksjonen anbefales det at du kjører
eksempelkoden min, og prøver å skrive litt kode selv.
Installer Python Gå til http://winpython.sourceforge.net/ og installer WinPython 2.x.x til din datamaskin, enten 32 bit eller 64 bit. I mappen du har installert åpner du programmet Spyder. Dersom du ikke ønsker å installere Python, kan du kjøre programmer på nettet her:
http://www.compileonline.com/execute_python_online.php
http://repl.it/languages/Python
For å kjøre et program i Spyder, trykker du F5 tasten, eller klikker på den grønne pilen oppe til venstre. La oss ta en
kikk på et enkelt program! Kopier gjerne programmet inn i Spyder og kjør det.
Et enkelt program # -*- coding: utf-8 -*-
#En linje som starter med # er en kommentar, og tolkes ikke
#når vi kjører programmet.
#Slik printer vi ut tekst
print 'Mitt første program!'
#a, b og c er variabler med tallverdier
a = 2
b = 3
c = a + b
print c
#Hva tror du c er lik?
Side 23
Areal av sirkel i Python # -*- coding: utf-8 -*-
#Vi skal definere en funksjon som gir oss arealet av en sirkel,
#når vi sender inn en radius til funksjonen. Husk A(r) = pi * r * r
def areal_av_sirkel(radius):
#Alle linjene i funksjonen må ha en 'tab' i starten
pi = 3.14159265359
areal = radius * radius * pi
#Vi sender arealet tilbake
return areal
#Vi bruker ikke 'tab' lengre, fordi vi er ute av funksjonen
#La oss teste funksjonen med tallene 1, 5, og 10
print areal_av_sirkel(1)
print areal_av_sirkel(5)
print areal_av_sirkel(10)
Klarer du å lage en funksjon som ganger et tall med seg selv?
Gjennomsnitt i Python # -*- coding: utf-8 -*-
#Det er mulig at vi skal dele med heltall, da er det alltid lurt å
#importere divisjon i starten av programmet. Vi gjør det slik:
from __future__ import division
#Vi skal definere en funksjon som tar en liste med verdier, og
#returnerer gjennomsnittet av verdiene. Husk at gjennomsnittet
#er summen av verdiene, delt på antall verdier
def gjennomsnitt(liste):
summen = sum(liste) #sum() er en innebygget funksjon, som finner summen
antall = len(liste) #len() er en innebygget funksjon, som finner lengden
gjennomsnitt = summen / antall
return gjennomsnitt
#Slik definerer du en liste i python
enListeMedTall = [1,2,3,5,3,8,9,2,3]
#La oss printe resultatet av funksjonen, når vi sender inn lista
print gjennomsnitt(enListeMedTall)
Listen kan selvfølgelig være mye lengre. Min datamaskin brukte 0,36 sekunder på å finne gjennomsnittet av en
million tall. Resultatene fra en nasjonal matteprøve ved en skole var:
[3 , 4 , 6 , 5 , 4 , 4 , 4 , 6 , 4 , 5 , 3 , 4 , 4 , 4 , 6 , 4 , 4 , 3 , 3 , 3 , 2 , 4 , 4 , 4 , 3 , 4 , 3 , 3 , 4 , 3 , 5 , 2 , 4 , 5 , 4 , 4 , 3 , 5 , 3 ,
5 , 4 , 5 , 4 , 3 , 4 , 2 , 3 , 6 , 2 , 5 , 4 , 3 , 6 , 3 , 3 , 3 , 2 , 4 , 3 , 3 , 4 , 3 , 2 , 4 , 5 , 4 , 3 , 2 , 5 , 2 , 5 , 4 , 1 , 4 , 3]
Klarer du å bruke Python til å finne ut hvor mange elever som tok prøven, og hva gjennomsnittskarakteren var?
Side 24
Mer om lister i python # -*- coding: utf-8 -*-
#Vi kan lag en tom liste slik
tomListe = []
#Deretter kan vi legge til et tall
tomListe.append(1)
print tomListe # Print gir: [1]
#Vi kan legge til en ny liste i listen vår
nyListe = [2, 3, 4, 4]
tomListe.extend(nyListe)
print tomListe # Print gir: [1, 2, 3, 4, 4]
#Vi kan telle antall av et element slik
print tomListe.count(4) # Print gir: 2
'''Dette er kommentar som kan gå over
flere linjer! Nå skal vi lage noen lister dynamisk'''
#Denne listen inneholder
helTall = [i for i in range(1, 10)]
print helTall # Print gir: [1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9]
tallIAndre = [i*i for i in range(1,10)]
print tallIAndre # Print gir: [1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81]
Legg merke til at range(1, n) går opp til det siste tallet, men inkluderer det ikke. Klarer du ved hjelp av Python å
bevise at summen av 12 + 22 + 32 + ⋯ + 1002 = 338350 ?
Dersom du klarte utfordringen ovenfor, er det enda et utfordring til deg. Her er en liste over de 100 første
desimaltallene i pi:
[1, 4, 1, 5, 9, 2, 6, 5, 3, 5, 8, 9, 7, 9, 3, 2, 3, 8, 4, 6, 2, 6, 4, 3, 3, 8, 3, 2, 7, 9, 5, 0, 2, 8, 8, 4, 1, 9, 7, 1, 6, 9, 3, 9, 9, 3, 7, 5,
1, 0, 5, 8, 2, 0, 9, 7, 4, 9, 4, 4, 5, 9, 2, 3, 0, 7, 8, 1, 6, 4, 0, 6, 2, 8, 6, 2, 0, 8, 9, 9, 8, 6, 2, 8, 0, 3, 4, 8, 2, 5, 3, 4, 2, 1, 1, 7,
0, 6, 7, 9]
Klarer du få finne ut hvilket tall som dukker opp flest ganger?
Side 25
Numeriske metoder i Python
Noter deg En analytisk løsning kan gjøres med penn og papir. En numerisk løsning krever en datamaskin. I virkeligheten må vi ofte bruke numeriske metoder for å løse en likning.
Vi kan løse likninger på 2 måter: (1) analytisk eller (2) numerisk. Likningen 2𝑥 − 4 = 0 kan løses analytisk. Når vi
løser en likning analytisk samler vi den ukjente på en side. La oss ta en kikk på en vanskeligere likning:
2𝑥 − 4𝑥 = 0
Det er umulig å få x på en side – men vi kan allikevel gjette. Dersom vi prøver med x = 4 ser vi at dette er en løsning
på likningen, men det finnes 2 løsninger. Ta en kikk på grafen til funksjonen 𝑓(𝑥) = 2𝑥 − 4 :
Grafen har like mange nullpunkter som 2𝑥 − 4𝑥 = 0 har løsninger. Vi kan lage et program i Python som løser denne
likningen. Logikken er slik:
1. Vi starter på x = 1, og hopper en distanse D til venstre (f.eks D = 1)
a. Dersom funksjonen er positiv, har vi gått for langt – vi hopper D/2 til høyre.
b. Dersom funksjonen er negativ, hopper vi D/2 videre til venstre.
-6.00
-4.00
-2.00
0.00
2.00
4.00
6.00
8.00
10.00
12.00
14.00
0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00 6.00
Side 26
# -*- coding: utf-8 -*-
#Vi henter inn divisjon
from __future__ import division
#Vi definerer startverdiene våre
x = 1
f = 2**x - 4*x
D = 1
while f < -0.0001 or f > 0.0001:
#Koden fra nå av vil kjøre helt til f(x) er nær null
if f < 0: #Dersom funksjonen er lavere enn null
x = x - D #Trekker vi fra verdien D i x
if f > 0: #Dersom funksjonen er høyere enn null
x = x + D #Legger vi til verdien D i x
f = 2**x - 4*x #Vi regner ut f(x) på nytt med ny x-verdi
D = D/2 #Vi halverer verdien D
print 'f(x) = {} når x = {}'.format(f, x) #Vi printer ut info
Vi får x = 0.3099 som svar, noe som stemmer bra.
Dersom du forsto dette eksempelet, er du veldig flink. (Dersom du ikke forsto det kan du trøste deg med at det er
langt over ungdomsskolenivå.) Prøve å finn løsningene til likningen 3𝑥 − 8𝑥 − 1 = 0 .
Dersom du liker programmering, kan du lese mer om Python her https://docs.python.org/2/tutorial/. Om du leser
fra kap 1 til og med kap 5 kan du allerede veldig mye.
Side 27
Energi i tyngdefeltet Termodynamikkens første lov sier at energi ikke kan forsvinne eller bli
skapt, den kan bare endre form. Basert på dette kan vi utlede en formel,
som vi kan bruke til å regne på energi i tyngdefeltet. Når vi bruker denne
formelen, ser vi bort ifra all friksjon, luftmotstand, etc.
Kinetisk energi er «fartsenergi», og er gitt ved:
𝐾𝐸 = 1
2𝑚𝑣2
Potensiell energi er potensialet som et legeme har ved en viss høyde, gitt ved:
𝑃𝐸 = 𝑚𝑔ℎ
Energien i tyngdefeltet består av kinetisk energi (farten) og potensiell energi (høyden), og er alltid lik:
𝐸1 = 𝐸2
𝐾𝐸1 + 𝑃𝐸1 = 𝐾𝐸2 + 𝑃𝐸2
1
2𝑚𝑣1
2 + 𝑚𝑔ℎ1 =1
2𝑚𝑣2
2 + 𝑚𝑔ℎ2
Høyden (h) kan være målt fra hvor som helst, men vi må bruke samme utgangspunkt for høyden på begge sider av
likhetstegnet. Massen (m) finnes i alle ledd, vi kan derfor dele på massen i alle ledd og kvitte oss med m, dersom
massen ikke endrer seg. Gravitasjonen (g) er konstant lik 9,81 m/s2 på jordkloden. Farten (v) betegnes med v på
grunn av det engelske ordet velocity (fart).
Eks 1.
En stuper hopper fra 5 meteren, hva er farten til stuperen når han treffer vannet?
Løsning: Vi setter basen for høyden vår på vannflaten. I starten har vi ingen fart (kinetisk energi), men vi har
potensiell energi. Når stuperen treffer vannet har han ingen potensiell energi (vi valgte h = 0 på vannet), men han
har kinetisk energi.
1
2𝑚𝑣1
2 + 𝑚𝑔ℎ1 =1
2𝑚𝑣2
2 + 𝑚𝑔ℎ2
𝑚𝑔ℎ1 =1
2𝑚𝑣2
2
Massen er lik før og etter, så vi kan dele på m. Deretter snur vi likningen for løser for v.
𝑣2 = √2𝑔ℎ1 = √2 ∗ 9,81 ∗ 5 = 9,9 𝑚/𝑠
Eks 2.
En syklist har en startfart på 12 m/s (43,2 kilometer / time). Han sykler til starten av en bakke (se bildet på toppen av
denne siden) og slutter å gi fart når han når bakken, hvor langt opp kan han komme før han triller bakover?
Løsning: Vi setter basen for høyden før bakken. Syklisten har da kinetisk energi før han når bakken, men ingen
potensiell energi. Rett før han triller bakover har han ingen kinetisk energi, men han har potensiell energi.
1
2𝑚𝑣1
2 + 0 = 0 + 𝑚𝑔ℎ2
ℎ2 =𝑣1
2
2𝑔=
122
2 ∗ 9,81= 7,34𝑚
Side 28
Termodynamikk Termodynamikkens første lov sier at energi verken kan forsvinne, eller bli skapt. Energi er med andre ord bevart,
men endrer form (f.eks. fra elektrisk energi til varmeenergi i en varmeovn). Alle stoffer har en tallverdi som kalles
spesifikk varmekapasitet. Et stoffs spesifikke varmekapasitet er hvor mye energi man trenger for å varme 1 kg opp
med 1 grad celcius. Grunnen til at det føles kaldere å sitte på en steinbenk kontra en trebenk, selv om begge har
samme temperatur, er fordi stein har høyere spesifikk varmekapasitet. Det kreves med andre ord en del energi for å
varme steinbenken opp til kroppstemperatur, og denne energien kommer fra kroppen til personen som sitter på
benken. Energi måles i Joule, der en Joule er energimengden man brukes hvis man utøver en kraft på 1 Newton langs
en distanse på 1 meter.
Eks 1. Se for deg at vi har en bøtte med vann, som inneholder 30 L vann, med en temperatur på 90 grader celsius.
Bøtta står i et varmeisolert rom som måler 5m x 5m x 2m. Romtemperaturen er 18 grader celsius. Når systemet
(rommet og bøtta) oppnår samme temperatur, hva vil temperaturen til rommet og vannet være? Luft har en
massetetthet på 1,24kg/m3, og en spesifikk varmekapasitet på 1005 J/(kg*C). Vann har en spesifikk varmekapasitet
på 4180 J/(kg*C).
𝐸𝑓ø𝑟 = 𝐸𝑒𝑡𝑡𝑒𝑟
𝐸𝑣𝑎𝑛𝑛 + 𝐸𝑙𝑢𝑓𝑡 = 𝐸𝑣𝑎𝑛𝑛 + 𝐸𝑙𝑢𝑓𝑡
𝑚𝑣𝑐𝑣𝑇𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙𝑇𝑙 = 𝑚𝑣𝑐𝑣𝑇 + 𝑚𝑙𝑐𝑙𝑇
𝑚𝑣𝑐𝑣𝑇𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙𝑇𝑙 = 𝑇 ( 𝑚𝑣𝑐𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙)
𝑇 =𝑚𝑣𝑐𝑣𝑇𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙𝑇𝑙
( 𝑚𝑣𝑐𝑣 + 𝑚𝑙𝑐𝑙)
Vi må finne massen til vannet, og massen til luften. Siden 1L vann har en masse på 1kg, er massen til vannet lik 30kg.
Massen til luften regner vi ut slik:
𝑚𝑙 = (5𝑚 ∗ 5𝑚 ∗ 2𝑚) ∗ 1,24𝑘𝑔
𝑚3= 62𝑘𝑔
Vi kan nå sette inn verdier og løse for T:
𝑇 =30 ∗ 4180 ∗ 90 + 62 ∗ 1005 ∗ 18
(30 ∗ 4180 + 62 ∗ 1005)= 66,1°𝐶
Merk deg at dersom du utfører et slikt eksperiment, vil temperaturen neppe nå 66,1°𝐶 , fordi energi vil også forlate
rommet. Gjenta mine utregninger, men gjør to endringer:
Bruk et overslag på rommet du befinner deg i, i stedet for 5m * 5m * 2m.
Tenk deg at i stedet for en stor bøtte, så har du en kaffekopp med 0,2 liter vann.
Virker svaret realistisk? Alt etter hvor stort rommet er, får du nok et svar på mellom 0,5 og 2 grader.
Side 29
Beviser og forklaringer
Hva er pi? Pi er rett og slett forholdet mellom diameteren (d) og omkretsen (O) til en
sirkel. Dette er definisjonen av pi:
𝜋 ≡𝑂
𝑑
Legg merke til at vi bruker «≡» tegnet i stedet for «=». Det nye tegnet betyr
at det er en definisjon, og ikke et resultat fra som stammer fra andre
utregninger. Skolebøkene liker å gange denne definisjonen med 𝑑 på begge
sider, vi får da:
𝑂 = 𝑑𝜋 = 2𝑟𝜋
Dette fordi 𝑑 = 2𝑟 (diameteren er alltid det dobbelte av radiusen). Den
kjente formelen 𝑂 = 2𝑟𝜋 er altså bare et resultat av å snu rundt på en definisjon.
La oss gå tilbake til tallet pi. Det rare med pi er at det er et irrasjonelt tall, det vil si at det ikke kan uttrykkes som en
brøk. Videre er det et transcendentalt tall, noe som betyr at det ikke kan uttrykkes med hjelp av f.eks en kvadratrot.
Hvordan regner vi ut desimaltallene i pi? Den enkleste måten er å tegne et stor, pen sirkel på et ark. Mål omkretsen til sirkelen, mål deretter diameteren. Du
får nok noe som ligner på 3,14. For de aller fleste praktiske bruksområder er 3,14 nøyaktig nok. Dersom du ønsker å
finne ut flere desimaler, kan man bruke en datamaskin. F.eks kan det være interessant å vite at:
𝜋 = 4(1 −1
3+
1
5−
1
7+
1
9−
1
11+
1
13− ⋯ )
Dersom vi forsetter med evig mange ledd, ender vi opp med pi!
Det viktigste å huske er at pi ikke er et magisk tall, det er kun forholdet mellom omkretsen og diameteren til en
sirkel. For de aller fleste praktiske formål holder det med et par desimalverdier av pi, det kan allikevel være
interessant å vita at det finnes matematiske metoder for å regne ut millioner av desimaltall.
Side 30
Arealet av en sirkel Ta en kikk på bildet til venstre. Vi deler en sirkel opp i «kakestykker», dersom vi
har 8 kakestykker (slik som på bildet) ligner det litt på en sirkel. Desto flere
kakestykker, desto mer ligner det på en sirkel. Arealet av et kakestykke er
𝐴𝑘 =𝑠 ∗ ℎ
2
Hvor mange kakestykker har vi? Vi vet at lengden 𝑠, ganget antallet, er lik 2𝜋𝑟
dersom vi har veldig mange kakestykker. Vi skriver dette som en formel:
𝑠 ∗ 𝑎 = 2𝜋𝑟
For ryddighetens skyld snur vi på formelen over, og løser for antall:
𝑎 = 2𝜋𝑟
𝑠
Hva er arealet av en sirkel? Arealet til et kakestykke, ganget med antall kakestykker(nå kakestykkene er veldig små)!
𝐴𝑠𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙 = 𝐴𝑘 ∗ 𝑎 = (𝑠 ∗ ℎ
2) ∗ (
2𝜋𝑟
𝑠) = 𝜋𝑟ℎ = 𝜋𝑟𝑟 = 𝜋𝑟2
Den ant siste likheten kommer av at 𝑟 = ℎ.
Enda et bevis Vi arrangerer kakestykkene slik som bildet til venstre viser. Dersom du tar
store kakestykker, stemmer det ikke veldig godt. Desto mindre
kakestykker du velger, desto lettere er det å forstå og se at arealet blir lik
𝜋𝑟2. Høyden i parallellogrammet lik 𝑟, omkretsen er lik 2𝜋𝑟 – men siden
bunnen av parallellogrammet er halvparten av omkretsen, er bunnen av
parallellogrammet lik 𝜋𝑟.
𝐴𝑠𝑖𝑟𝑘𝑒𝑙 = 𝐴𝑝𝑎𝑟𝑎𝑙𝑙𝑒𝑙𝑙𝑜𝑔𝑟𝑎𝑚 = 𝑙𝑒𝑛𝑔𝑑𝑒 ∗ ℎø𝑦𝑑𝑒 = 𝜋𝑟 ∗ 𝑟 = 𝜋𝑟2
Side 31
Et tall opphøyd i 0 er lik 1 Når vi introduserer potenser, introduserer vi det ofte som «et tall 𝑎 oppnøyd i 𝑛 er lik 𝑎 ganget med seg selv 𝑛
ganger». La oss sette opp en tabell, og lete etter et mønster. Målet et å prøve å finne ut hva 𝑎0 er.
𝒂𝟑 𝒂 ∗ 𝒂 ∗ 𝒂
𝒂𝟐 𝑎 ∗ 𝑎
𝒂𝟏 𝑎
𝒂𝟎 ?
𝒂−𝟏 ?
𝒂−𝟐 ?
Det ser ut som om vi deler med 𝑎 nedover. For å gå fra øverste kolonne og nedover deler vi med 𝑎. F.eks:
𝑎 ∗ 𝑎 ∗ 𝑎
𝑎= 𝑎 ∗ 𝑎
Vi fortsetter med denne tankegangen. Og vi vet at 𝑎
𝑎= 1, da kan vi fylle ut hele tabellen slik:
𝒂𝟑 𝒂 ∗ 𝒂 ∗ 𝒂
𝒂𝟐 𝑎 ∗ 𝑎
𝒂𝟏 𝑎
𝒂𝟎 1
𝒂−𝟏 1
𝑎
𝒂−𝟐 1
𝑎 ∗ 𝑎
Pytagorassetningen Det beste beviset er nok å studere denne figuren. Husk at vi prøver å bevise at 𝑎2 + 𝑏2 = 𝑐2
Dersom du ikke ble overbevist, kan du gå på Youtube og se disse videoene:
Visual Proof of the Pythagorean Theorem
Pythagoras in 60 Seconds
Side 32
Kvadratsetningene Kvadratsetningene er 3 nyttige regler, de er:
Navn Formel
Første kvadratsetning (𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Andre kvadratsetning (𝑎 − 𝑏)2 = 𝑎2 − 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Tredje kvadratsetning eller konjugatsetningen
(𝑎 + 𝑏)(𝑎 − 𝑏) = 𝑎2 − 𝑏2
La oss første se på et eksempel. Det blir din oppgave å vise at andre kvadratsetning og tredje kvadratsetning også
stemmer - vi ser på den første kvadratsetningen her:
La oss begynne med regnestykket 5 ∗ 5 = 25 . Husk at 𝑎 og 𝑏 bare er tall. Vi skriver om regnestykket, er du enig i at
5 = 4 + 1 ? La oss sette inn: 5 ∗ 5 = (4 + 1) ∗ (4 + 1) . Nå ligner regnestykket på første kvadratsetning, der 𝑎 = 4
og 𝑏 = 1. La oss se om regelen stemmer:
(𝑎 + 𝑏)2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2 = (4 + 1)2 = 42 + 2 ∗ 4 ∗ 1 + 11 = 16 + 8 + 1 = 25
Prøve selv med noen andre tall, og se om dette stemmer. Du vet f.eks at 6 ∗ 6 = 36. Skriv om slik at 6 = 4 + 2, og
følg regelen – se om du får 36.
Her er et grafisk bevis for første kvadratsetning, hentet fra Wikipedias artikkel om kvadratsetningene:
I et kvadrat vil 𝑠𝑖𝑑𝑒 ∗ 𝑠𝑖𝑑𝑒 = 𝑎𝑟𝑒𝑎𝑙. Her er sidene lik (𝑎 + 𝑏).
𝑠𝑖𝑑𝑒 ∗ 𝑠𝑖𝑑𝑒 = (𝑎 + 𝑏) ∗ (𝑎 + 𝑏) = 𝑎2 + 𝑎𝑏 + 𝑎𝑏 + 𝑏2 = 𝑎2 + 2𝑎𝑏 + 𝑏2
Matematikken stemmer, og du kan se at det stemmer med tegningen også.
Side 33
Fasit
Tall og algebra – Fasit [Gå til oppgavene]
Regnerekkefølge
1a) 17 b) 22 c) -2
2a) -5 b) 6 c) -4
3a) -20 b) 30 c) -60
4a) 12 b) -15 c) 4
5a) -29 b) 24
6a) 0 b) 31
Brøk, prosent og desimaltall
1a) 1 b) 3/8 c) 11/15
2a) 1/8 b) –(1/10) c) –(19/12)
3a) 1 b) 1/6 c) 1
4a) 8/7 b) 9/16 c) 8/3
5a) 9/8 b) 1
6a) 0,5 = 50% b) 0,25 = 25% c) 0,2 = 20%
d) 33% = 1/3 e) 9/10 = 0,9 f) 175% = 7/4
g) 0,45 = 9/20 h) 110% = 11/10 i) 1,35 = 27/20
Forenkling av uttrykk 1
1a) 5a b) a c) -a
2a) 4 + 2a b) -3a - 3 c) -2a
3a) 3a2 + 5a b) a2 + a c) 3a2 – 2a + b
4a) 4a - 4 b) 3a2 – 3a c) 4b2 + 3b
5a) a2 + 5a + 6 b) a2 +2ab + b2 c) a2
6a) ab + 2b – 3a + 6 b) 2a + 2 c) 2ab - 4
Forenkling av uttrykk 2
1a) 2a b) (3/2)a c) 0
2a) -b b) 10a + 6b c) a2 + b2
3a) a b) b2 c) abc
4a) 1 / a b) a2 / b2 c) 1
5a) a / 2 b) (5a – 2a2) / 4 c) 3a - 7
6a) (2a + 2b) / (ab) b) (2a2 – b2)/(ab) c) (3b+3ab+1)/b ELLER 3+3a+(1/b)
7a) ab b) a+2 c) 0
8a) 4a – 2b + 5z b) 0 c) 2ab
Likninger med en ukjent
1a) 7 b) 18 c) 29
2a) 21 b) 5 c) 7
3a) 5 b) 5 c) 1
4a) 4 b) 28 c) 1
5a) -4 b) 5 eller -5 c) -3
Side 34
Likninger med to ukjente 1. y = 5 og x = 3
2. y = 4 og x = 4
3. y = -3 og x = -2
4. y = 2 og x = 4
5. y = 0 og x = -2
6. y = -2 og x = -3
7. Is koster 15kr, og pølser koster 10kr.
8. Ola er 15 år, Per er 10 år.
9. Epler veier 200 gram (0,2 kg), appelsiner veier 300 gram (0,3 kg)
10. Problemet kan ikke løses. For at problemet skal være løselig, trenger vi minst like mange unike likninger som
ukjente.
11. Problemet kan ikke løses. Vi har 2 likninger og 2 ukjente, men likningene er ikke unike – de inneholder
samme informasjon. Alle x og y verdier som tilfredsstiller y = 2x + 5 er løsninger. Det finnes evig mange
løsninger.
Måling – Fasit [Gå til oppgavene]
1. Skriv som cm (centimeter)
a) 1 m = 100 cm b) 2,6 m = 260 cm c) 2,375 m = 237,5 cm
2. Skriv som m (meter)
a) 32 cm = 0,32 m b) 7 mm = 0,007 m c) 2,5 km = 2500 m
3. Skriv som m2 (meter * meter)
a) 20 000 cm2 = 2m2 b) 7 500 cm2 = 0,75 m2 c) 870 000 mm2 = 0,87 m2
4. Skriv som L (liter)
a) 0,05 m3 = 50 L b) 750 cm3 = 0,75 L c) 0,00034 m3 = 0,34 L
5. Skriv som km/t (kilometer per time)
a) 15 m/s = 54 km/t b) 466,66 m/minutt = 28 km/t c) 216 mil/døgn = 90 km/t
6. Skriv på standardform
a) 300 = 3 *102 b) 0,02 = 2 * 10-2 c) 47365 = 4,7365 * 104
d) 0,00314 = 3,14 *10-3 e) 0,02 * 0,02 = 4 * 10-4 c) 300 * 200 = 6 * 104
Side 35
Statistikk, sannsynlighet og kombinatorikk – Fasit [Gå til oppgavene]
1. Du kaster en terning. Vi definerer 𝐴 som «antall summen av antall øyne etter kastet».
a. 3/6 = 1/2
b. 5/6
c. 2/6 = 1/3
2. En boks inneholder 5 røde og 2 grønne drops. Du trekker 2 drops, uten å se hvilke du trekker. Hva er..
a. (5/7) * (4/6) = (20/42) = 10/21
b. (2/7) * (1/6) = (2/42) = 1/21
c. (2/7) * (5/6) + (5/7) * (2/6) = (10/42) + (10/42) = (5/21) + (5/21) = 10/21
3. Du kaster 2 terninger samtidig.
a. 36 utfall. 6 * 6
b. 1/6 * 1/6 = 1/36
c. Dette kan skje på 3 måter: (6,6) (5,6) (6,5). Sannsynligheten er 3/36 = 1/12
4. Finn gjennomsnittet og medianen til disse 3 datasettene:
a. 12, 16, 9, 7, 21 Gjennomsnitt: 13 Median: 12
b. 5, 4, 1, 16, 15, 11, 4 Gjennomsnitt: 8 Median: 5
c. 15, 12, 4, 7, 5, 2, 12, 15 Gjennomsnitt: 9 Median: 9,5
5. 24 grader.
6. 3 * 4 * 5 = 60 forskjellige kombinasjoner
7. 9 kamper må spilles.
8. Antall måter å sortere 8 elementer på = 8 ! = 8 * 7 * 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 40320
9. ABCD, ABDC, ACBD, ACDB, ADBC, ADCB, BACD, BADC, BCAD, BCDA, BDAC, BDCA, CABD, CADB, CBAD, CBDA,
CDAB, CDBA, DABC, DACB, DBAC, DBCA, DCAB, DCBA
Funksjoner – Fasit [Gå til oppgavene]
1. Funksjonen tar inn et tall x, og plusser på 2. f(1) = 3, f(5) = 7 og f(-3) = -1
2. Alle funksjonene er lineære, unntatt 𝑓(𝑥) = 𝑥2
𝑓(𝑥) = 2𝑥 + 2 | A = 2, B = 2 𝑓(𝑥) = 𝑥2, ikke lineær 𝑓(𝑥) = −𝑥 + 5 | A = -1, B = 5
𝑓(𝑥) = 5 | A = 0, B = 5 𝑓(𝑥) =1
2𝑥 − 2 | A = (1/2), B = -2 𝑓(𝑥) =
𝑥
4− 𝜋 | A = (1/4) , B = -pi
𝑓(2) = 2𝑥 + 2 = 2(2) + 2 = 6 𝑓(2) = 𝑥2 = 22 = 4 𝑓(2) = −𝑥 + 5 = −2 + 5 = 3
𝑓(2) = 5 = 5
𝑓(2) =1
2𝑥 − 2 =
1
22 − 2 = −1
𝑓(2) =𝑥
4− 𝜋 =
2
4− 𝜋 ≈ −2,64
Side 36
3. Tegn funksjonene. Det kan være veldig nyttig å sette opp en tabell.
𝑓(𝑥) = 2𝑥 𝑔(𝑥) = −𝑥 + 2 𝑓(𝑥) = 𝑥2 − 2
x f(x)
-3 -6
-2 -4
-1 -2
0 0
1 2
2 4
3 6
x f(x)
-3 5
-2 4
-1 3
0 2
1 1
2 0
3 -1
x f(x)
-3 7
-2 2
-1 -1
0 -2
1 -1
2 2
3 7
4. De lineære funksjonene er: g(x), h(x) og z(x). Avbildet er u(x), g(x) og f(x).
5. f(x) = 7
6. f(x) = 16
7. f(x) = 4
8. f(x) = 200 + 50x
9. f(x) = 50 + 0,25x. Løser for 200: f(200) = 50 + 0,25(200) = 50 + 50 = 100
10. Funksjonen for a. er: f(x) = 200 + 50x
Funksjonen for b. er: g(x) = 60x
Etter 1 år gjelder:
a. f(12) = 200 + 50(12) = 800
b. g(12) = 60(12) = 720
Det vil si at det er billigst med scenario b.
Etter 2 år gjelder:
a. f(24) = 200 + 50(24) = 1400
b. g(24) = 60(24) = 1440
Det vil si at det er billigst med scenario a.
11. 𝑓(𝑥) = √52 + 𝑥2 , dette er ikke en lineær funksjon.
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
-5-4-3-2-1012345
-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5
Side 37
Oppgaver basert på tidligere eksamener – Fasit [Gå til oppgavene]
1. 1km = 1000m 1t = 3600s
70𝑘𝑚
𝑡∗ 1000
𝑚
𝑘𝑚∗
1
3600
𝑡
𝑠=
70
3,6
𝑚
𝑠≈ 19,44 𝑚/𝑠
2. 30 % tilbud -> 0,7 av original pris
800kr * 0,7 = 560kr
3. 2 t = 2*60 min = 120 min
120 min + 30 min = 150 min
150 min1
3= 50 𝑚𝑖𝑛
4. 𝑃(𝑚) = 1500𝑚⁄
5. 3,141 ∗ 10−6
6. 𝐴2 + 𝐵2 = 𝐶2 → √𝐴2 + 𝐵2 = 𝐶 → 𝐶 = √72 + 42 = 8,06
7. 𝐴 = 𝜋𝑟2 →𝐴
𝜋= 𝑟2 → √
𝐴
𝜋= 𝑟
𝑟 = √𝐴
𝜋= √
28
𝜋≈ 3 𝑐𝑚
8. Det er totalt 36 utfall. Vi kan få summen 4 på tre måter (1+3, 2+2 og 3+1). Sannsynligheten er da:
𝑃(𝑠𝑢𝑚 𝑙𝑖𝑘 4) =𝑔𝑢𝑛𝑠𝑡𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙
𝑚𝑢𝑙𝑖𝑔𝑒 𝑢𝑡𝑓𝑎𝑙𝑙=
3
36=
1
12
9. a) 105 b) 72 c) 11*14 = (10 + 1)*14 = 140 + 14 = 154
10.
a. Summen er lik 90, antall observasjoner er lik 23. Gjennsomnittet blir da 3,9.
b. Tallet i midten av den sorterte listen er medianen. Dvs medianen er lik 4.
11. a) -4 b) 9 c) -16
12. 1200
2000=
12
20=
6
10= 0,6
0,6 av original pris gir en rabatt på 0,4. Dvs rabatt på 40 %.
13. a) x = 7 b) x = 5 c) x = 4 eller x = -4
14.
𝑙2 = 82 + 62 → 𝑙 = √82 + 62 → 𝑙 = 10 𝑚
15. a) 0 b) 11
12 c) 32
Side 38
16. a) 𝐴 = 3∗4
2= 6 b) 𝐶2 = 42 + 32 → 𝐶 = √42 + 32 → 𝐶 = 5
17. a) V = 2 cm * 2 cm * 2 cm = 23 cm3 = 8 cm3 b) O = (2cm * 2cm) * 6 sider = 24 cm2
18. V = a3 cm3 b) O = 6a2 cm2
19. y = 2, x = 1
20.
21.
a. 1 / 2
b. 3 / 13
c. 1 / 13
d. 1 / 52
22. 2* 3600 + 33 * 60 + 31 = 9211 s
23. a) gir 60 / 15 = 4 min / oppgave, b) gir (120 + 15) / 40 = 3,4 min / oppgave. Man bør velge type a).
24.
2(3 + 𝑥) − 4 = 5 + 𝑥
6 + 2𝑥 − 4 = 5 + 𝑥
2𝑥 + 2 = 5 + 𝑥
𝑥 = 5 − 2 = 3
Side 39
25. 3 / 8 = 0,375 = ca 38 %
26.
𝑉 = 𝜋𝑟2ℎ
𝑂 = 2(𝜋𝑟2) + ℎ(2𝜋𝑟) = 2𝜋𝑟(𝑟 + ℎ)
27. Grafen ser slik ut:
For interesserte elever: koffein som funksjon av tid er gitt ved:
𝐾(𝑡) = 1001
2(14
∗ 𝑡)
Dette er ikke en lineær graf, fordi den ikke er på formen y = Ax + B. Den er ikke en rett linje.
28. Vi setter den ene likningen inn i den andre:
𝑃 = 𝐼𝑉, 𝐼 =𝑉
𝑅 → 𝑃 = (
𝑉
𝑅 ) 𝑉 =
𝑉2
𝑅
29. Epler = 90 / 5 = 18 kr / kg
Pærer = 45 / 3 = 15 kr / kg
Pærer er billigst.
30. 20 % rabatt gir 0,8 av original pris. Vi kaller den originale prisen for P.
𝑃 ∗ 0,8 = 600𝑘𝑟 → 𝑃 =600𝑘𝑟
0,8= 750𝑘𝑟
0.00
20.00
40.00
60.00
80.00
100.00
120.00
0 2 4 6 8 10 12 14 16 18
Dose [mg]
Side 40
31. 40% skatt betyr at 60% av lønna blir utbetalt. Dvs 0,6.
575 000 * 0,6 = 345 000 kr per år
345 000 * (1/12) = 28 750 kr per måned
32. 1t og 40 min = 100 min 100𝑚𝑖𝑛
𝑋 𝑚𝑖𝑛=
32
50
Vi løser for X, og får X = 156,25 min, som er lik 2 timer og 36 minutter
33. Likningene blir da:
1b + 3m = 74 1b + 7m = 106
Løser likningene og får b = 50g, m = 8g
34. For å finne medianen sorterer vi listen:
158 165 166 173 178 Medianen er 166cm.
Gjennomsnittet = sum / antall = 168cm
Forskjell = 178 cm – 158 cm = 20cm
35.
a. 𝑎
b. 2𝑎 + 1
c. 9𝑎2 + 12𝑎𝑏 + 4𝑏2
36.
a. Arealet er lik 2m * 5m = 10m2
b. Vi skal dekke 10m2. En meter med planke har areal 0,2m2. Vi trenger 50meter med planke.
c. Kostnaden blir 50m * 8(kr/m) = 400kr
37. Epler: 0,2 kg * 50 kr/kg * 4 = 40kr
Pærer: 0,15 kg * 70 kr/kg * 7 = 73,5kr
Totalt: 40kr + 73,5kr = 113,5kr
38. 30% rabatt er 70% av original pris
0,7 * 800kr = 560kr
39.
a. P(en sekser) = 1/6
b. P(to seksere) = 1/6 * 1/6 = 1/36
40. fart = distanse / tid -> distanse = fart * tid
Distanse = 72 km / t * 5 t = 72 km / t * (10/2) t = (720/2) km = 360 km = 36 mil
41. fart = distanse / tid
Fart = 60m / 8s = 7,5 m/s
7,5 m / s * 3600 s / t * (1/1000) km / m = 7,5 * 3,6 km/t = 27 km / t
42. Fart = distanse / tid = 300m / 60s = 5 m/s
20% reduksjon gir 0,8 av original tid
Ny tid = 0,8 * 60s = 48s
Ny fart = 300m / 48s = 6,25 m/s
Side 41
43. b) er riktig svar, dvs y = x2 – 2. Sett inn noen av x-ene og prøv. Du vil se at det stemmer.
44. Hypotenusen er dobbelt så lang som det korteste katetet i en 30-60-90 trekant. Dvs hyp = 6
Vi kan så bruke pytagorassetningen for å finne lengden til det lengste katetet:
𝑘2 + 32 = 62
𝑘2 = 62 − 32
𝑘 = √62 − 32 = √27 ≈ 5,2
45. Vi tegner en tabell:
Terning 1
1 2 3 4 5 6
Terning 2
1 2 3 4 5 6 7
2 3 4 5 6 7 8
3 4 5 6 7 8 9
4 5 6 7 8 9 10
5 6 7 8 9 10 11
6 7 8 9 10 11 12 Vi ser at 15/36 muligheten gir en sum som er lik 8 eller høyere. P(større enn, eller lik 8) = 15 / 36 = 5 / 12
46. Sortert i stigende rekkefølge:
pi 7/2 9/5 5 √27
47. Formelen for areal av en sirkel er: 𝐴 = 𝜋 ∗ 𝑟 ∗ 𝑟
Vi ser at r = 2,5. Videre vet vi at d = 2 * r. Derfor er diameteren lik 2 * 2,5 = 5
48.
a. P(grønn drops) = 2 / 6 = 1/3
b. P(2 grønne drops) = (2/6) * (1/5) = 2/30 = 1/15
49. Fibonacci-tallfølgen : neste tall er summen av de 2 forrige tallene.
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55
50. Diameteren er 40cm. Radiusen er da 20 cm.
Arealet av hele pizzaen er da: pi * 20cm * 20cm
Arealet til et pizzastykke er 1/6 av hele arealet: (1/6) * pi * 20cm * 20cm
Volumet er høyden ganger arealet: (1/6) * pi * 20cm * 20cm * 2cm = 418,9cm3
Side 42
Side 43
Utfordringer – Fasit [Gå til oppgavene]
1. Summen 1 + 2 + 3 + ⋯ + 100 = 5050. Generelt er summen lik 1 + 2 + 3 + ⋯ + 𝑛 =𝑛(𝑛+1)
2
2. Dersom man kjøper 10 kopper er (c) billigst (Pris = 55 kroner).
Dersom man kjøper 25 kopper er (a) billigst (Pris = 250 kroner).
Dersom man kjøper 50 kopper er (b) billigst (Pris = 400 kroner).
3. Første person hilser på 9 andre. Andre person har allerede hilst på første, så han hilser på 8. Tredje person
hilser på 7, osv. 9 + 8 + 7 + 6 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 45
4. Med 2 lag må man spille 1 kamp. Med 3 lag må man spille 2 kamper. Med 4 lag må man spille 3 kamper, osv.
Med 37 lag må man spille 36 kamper.
5. Desto flere ledd vi tar med, desto nærmere kommer vi 2. Dersom vi tar med evig mange ledd, blir summen
av rekka lik 2. Dvs:
∑1
2𝑛
∞
𝑛=0
=1
20+
1
21+
1
22+
1
23+
1
24+ ⋯
1
2∞= 2
6. Vi kan trekke ut A, B og C på 6 forskjellige måter, de er:
ABC , ACB , BAC , BCA , CAB , CBA
7. 10 utfall gir en sum som er over 15. Disse er:
466 , 556 , 565 , 566 , 646 , 655 , 656 , 664 , 665 , 666
8. Vi «flytter» hver bokstav i alfabetet. Meldingen er «Du er flink i matte»
9. Denne oppgaven er tidskrevende. Du kan bruke innsetting, eller Gauss-eliminasjon (regne med likninger).
Løsningen er y = 1, x = -2 og z = 4
