Kap$5$&$beviser$&$matematikB2011$ - Systime · Det er den formel vi kender fra første år! Her kan y og x erstattes med punkterne på funktionen, jf. ovenfor a = ex+Δx - ex Δx

Kap 5 -‐ beviser -‐ matematikB2011

Systime mat B Side 1

Indhold Differentiation af ln(x) Bevis nr. 1 ..................................................................................................................... 2

Differentiation af ln(x) Bevis nr. 2 ..................................................................................................................... 4

Differentiation af ex Bevis nr. 1 ......................................................................................................................... 5

Differentiation af ex Bevis nr. 2 ......................................................................................................................... 6

Differentiation af ! Bevis nr. 1 ......................................................................................................................... 8

Differentiation af ! Bevis nr. 2 ....................................................................................................................... 11

Differentiation af ! Bevis nr. 3 ....................................................................................................................... 13

Logaritmeregneregler ..................................................................................................................................... 14

log(a*b) = loga + logb .................................................................................................................................. 14

log )(ba

=loga-‐logb ....................................................................................................................................... 14

log(ax)=x*loga .............................................................................................................................................. 14

Differentiation af produktfunktion ................................................................................................................. 15

Differentiation af brøk -‐ ej kernestof ............................................................................................................. 17

Differentialkvotient for brøk ....................................................................................................................... 17



Differentiation af ln(x) Bevis nr. 1

At bevise: f(x) = ln(x) så er er f’(x) = x1

Introduktion først! Vi ser på de grafiske billeder af den eksponentielle funktion og den naturlige logaritme funktion, da disse er spejlinger af hinanden i linjen y = x. Det betyder som bekendt også, at de er hinandens omvendte funktioner, Beviset bygger netop også på, at ex og ln(x) er hinandens omvendte funktioner. Vi ved at f’(x) betyder tangentens hældning i punktet (x, f(x)) En tangent er jo en almindelig ret linje, der derfor også har den rette linjes forskrift, hvor f'(x) = a angiver hældningen. Vi ser på en ret linje generelt og på den omvendte funktion til den vilkårlige rette line! Givet y = ax+b Vi bestemmer forskriften for den omvendte funktion, på helt traditionel vis:

f-1 = abx − Oprindelig skulle vi lægge b til. Nu skal vi trække fra. Før skulle vi

gange med a. Nu skal vi dividere med a

f-1= ax -

ab Hvis en flerleddet størrelse har fællesnævner, må vi godt dele op i to led.

953+ =

93 +95

f-1 = a1 x -

ab Det er hældningen for den omvendte funktion, vi er interesseret i at få

noget at vide om. Derfor vil vi gerne have den omvendte funktion til at står som forskriften for en ret linje, så vi kan aflæse hældningen.

Her kan vi altså se, at hældningen er a1

Vi ved altså nu, at hvis en ret linje har hældningen 2, så vil den omvendte funktion have hældningen ½. Vi ved at ex differentieret giver ex.

Vi har altså (ved ex) en funktion, der giver sig selv, når den differentieres.



Hvis ln(x) er den omvendte funktion til ex kan vi jo se på et konkret eksempel. På ex er der givet f.eks. flg. punkt. (1,e), da (1,f(1) = (1, e1) = (1,e) Differentialkvotienten i (1,e) er e, da f ’(ex) = ex og dermed også hvis x er 1 Vi ved, at på den omvendte funktion, bytter koordinaterne plads! Det betyder, (e,1) ∈ ln(x)

Fra før ved vi så, at hældningen her må være e1

Så selve beviset! På ln-funktionen, vælger vi et punkt (x,y), det vil altså også sige (x, ln(x)) Vi ser på punktet på den omvendte funktion, som (y,x)= (y,ey) vi kalder (y, ey). Her ved vi, at tangenthældningen i punktet (y,ey) er ey

Hermed ved vi (jf. y = ax+b) at

tangenthældningen i (x,ln(x)) = ye1

Vi ved da:

ye1 =

)ln(

1xe

= x1 da y = ln(x)

Altså har vi bevist:

f(x) = ln(x) så er f’(x) = x1

Q.E.D.



Differentiation af ln(x) Bevis nr. 2 1. Vi ved, at en funktion sat sammen med sin omvendte funktion giver sig selv: f(f-1(x))= x, altså: ln(ex) = eln(x) = x 2. Vi ved hvordan man differentierer en sammensat funktion: (f(g(x))’ = f’(g(x))*g’(x) Disse to formler anvender vi derefter, hvorefter bevises for differentialkvotienten for ln(x) er enkelt at vise:

f(x) = ln(x) f’(x) = x1

Vi ved: ln(x) =ln(x) Vi sætter ln(x) sammen med den omvendte funktion

nemlig ex

eln(x) = eln(x) = x Højresiden skriver vi nu som x, idet vi fastholder venstre siden

(eln(x) )’ = ( x)’ = 1 Vi differentierer på begge sider, hvor vi ved x differentieret

giver 1 e ln(x)*(ln(x))’ = 1 Vi differentierer venstresiden, der er en sammensat

funktion. Vi ved, (ex)’ = ex. Den ydre funktion er f(x) = ex og den indre funktion g(x) = ln(x). Vi differentierer den ydre, idet vi på x’ets plads indsætter den indre funktion. Derefter ganger vi differentialkvotienten på den indre sammen hermed. Den indre differentieret er (ln(x))’

x*ln(x)’ = 1 da vi ved, eln(x) = x, står der nu på venstresiden: x*ln(x)’

(ln(x))’ =x1 Vi ganger nu med x på venstresiden. Det modsatte af gange

er at dividere. Dermed når vi frem til, at

differentialkvotienten for ln(x) netop er x1

QED



Differentiation af ex Bevis nr. 1 Vi ved, at en funktion sat sammen med sin omvendte funktion giver sig selv: f(f-1(x))= x, altså: ln(ex) = eln(x) = x Vi ved hvordan man differentierer en sammensat funktion: (f(g(x))’ = f’(g(x))*g’(x) Disse to formler anvender vi derefter, hvorefter bevises for differentialkvotienten for ex er enkelt. At vise: f(x) = ex f’(x) = ex

Vi ved: ex = ex Vi sætter funktionen ex sammen med den omvendte funktion

nemlig ln(x)

ln(ex) = ln(ex) = x Højresiden skriver vi nu som x, idet vi fastholder venstre siden (ln(ex))’ = ( x)’ = 1 Vi differentierer på begge sider, hvor vi ved x differentieret

giver 1

)'(*1 xx ee

= 1 Vi differentierer venstresiden, der er en sammensat funktion. Vi

ved, (ln(x))’ = x1

Den ydre funktion er f(x) = ln(x) og den indre

funktion g(x) =ex. Vi differentierer den ydre, idet vi på x’ets plads indsætter den indre funktion. Herefter ganger vi med differentialkvotienten for den indre (altså med (ex)’

(ex)’ =1*ex = ex Vi dividerer med ex på venstresiden. Det modsatte er at gange

hermed. Dermed når vi frem til, differentialkvotienten for ex netop er ex

QED



Differentiation af ex Bevis nr. 2 Det, der skal redegøres for, er: f(x) = ex så er f’(x) = ex. Eksponentialfunktionen ex, giver altså sig selv, når den skal differentieres. Beviset tager udgangspunkt i den almindelige definition på f’(x) – og så ellers en masse regnetektik! Vi ved, at definitionen for differentialkvotienten for alle funktioner er:

f’(x) = lim x

xfxxfΔ

−Δ+ )()(

Δx-> 0

Differenskvotienten (hældningskvotienten for en linje) ser næsten ligesådan ud; men der er da ikke tale om en tangenthældning i punktet (x,f(x)); men i stedet tale om hældningen for en lineær funktion gennem to vilkårlige punkter på grafen. Det er lettest at regne på differenskvotienten, da man så ikke skal huske kravene om Δ x-> 0 og lim. Man kan uden videre regne på hældningen gennem to vilkårlige punkter, og når udtrykket så ser "pænt" ud, kan man vurdere, hvad det betyder, når vi i stedet ser på differentialkvotienten. Differenskvotienten (hældningen a) er da givet ved:

a = x

xfxxfΔ

−Δ+ )()(

Vi vælger nu et vilkårligt punkt på funktionen ex, der kaldes (x,ex). Ved siden af dette vælges et andet punkt, der – som sædvanlig – har førstekoordinaten x +Δ x . Dette punkt hedder derfor (x+Δx, f(x+Δ x) = (x+Δ x, ex+Δ x) Hældningen a – differenskvotienten – kan vi således finde på ganske normal vis, som når vi bestemmer a for en ret linje (y = ax+b) gennem to punkter.

a = xyΔ

Δ

Det er den formel vi kender fra første år! Her kan y og x erstattes med punkterne på funktionen, jf. ovenfor

a = ex+Δ x - ex Δ x Hvis vi nu ser på første led, har vi en potens med eksponenten x +Δ x.

Dette kan vi ændre på, da vi ved, at dette så kan skrives om. Der gælder nemlig følgende: a2+4= a2*a4. Man ganger nemlig to potenser med samme rod med hinanden, ved at beholde roden og lægge eksponenterne sammen.



a= ex * eΔ x - ex Δ x Over brøkstregen står der nu to led med minus imellem. I begge led står

der ex. Vi ved, at ab - ac også kan skrives som a(b-c), idet vi kan sætte a uden for en parentes. Her er det altså ex, der kan sættes uden for parentesen. Vi ved nemlig, at ex * eΔ x - ex = ex(eΔ x-1)

a= ex(eΔ x -1) Δx Hvis der står et led uden for en parentes på en brøkstreg, kan dette led

flyttes helt væk fra brøkstregen. Vi ved nemlig at man kan skrive

52*3 = 3*

52

Her kan vi altså rykke ex væk fra brøkstegen.

a= ex x

e x

Δ

−Δ 1

Som bekendt, er det differenskvotienten der står ovenfor. Det der interesserer os er, hvad der sker, når differenskvotienten bliver til differentialkvotienten. Altså hvad tangentens hældning bliver i punktet (x,ex). Altså, hvad sker der, når Δx -> 0

Vi ser på sidste del i udtrykket for differenskvotienten. Altså størrelsen x

e x

Δ

−Δ 1

Vi kan regne lidt på udtrykket for forskellige værdier af Δ x: Δ x 1 ½ 0,1 0,01 0,001

xe x

Δ

−Δ 1** e-1 ≈ 1,7 x

e½-1 ≈1,3 ½

e0,1-1 ≈ 1,05 0,1

e0,01-1 ≈ 1,005 0,01

e0,001-1 ≈ 1,0005 0,001

Vi ser altså, at hvis Δ x -> 0, så går x

e x

Δ

−Δ 1 mod 1.

Vi kan derfor konkludere:

f’(ex) = lim ex *x

e x

Δ

−Δ 1 = ex * lim x

e x

Δ

−Δ 1 = ex * 1 = ex

Δ x -> 0 Δ x -> 0 QED



Differentiation af ! Bevis nr. 1 Det, der skal bevises, er:

f(x) = x så er er f’(x) =x21

Vi ser på de grafiske billeder af kvadratrodsfunktionen og andengradsfunktionen, da disse er

spejlinger af hinanden i linjen y = x. Det betyder som bekendt også, at x og x2 er hinandens

omvendte funktioner

(y,x)=(y,y2) x2

(x,y)

(x, x ) x

Vi ved at f’(x) betyder tangentens hældning i punktet (x, f(x)). En tangent er jo en almindelig ret

linje, der derfor også har den rette linjes forskrift, hvor f'(x) = a angiver hældningen.

Vi ser på en ret linje generelt og på den omvendte funktion til den vilkårlige rette line!

Givet y = ax+b Vi bestemmer forskriften for den omvendte funktion, på helt traditionel vis:

f-1(x) = abx − Oprindelig skulle vi lægge b til. Nu skal trækkes fra. Før skulle vi gange med a.

Nu skal vi dividere med a

f-1= ax -

ab Hvis en flerleddet størrelse har fællesnævner, må vi godt dele op i to led.

953+ =

93 +95



f-1 = a1 x -

ab Det er hældningen for den omvendte funktion, vi er interesseret i at få noget at

vide om. Derfor vil vi gerne have den omvendte funktion til at står som

forskriften for en ret linje, så vi kan aflæse hældningen.

Her kan vi altså se, at hældningen er a1

Vi ved altså nu, at hvis en ret linje har hældningen 2, så vil den omvendte funktion have hældningen

½.

Vi ved også, at x2 differentieret giver 2x

Så selve beviset!

På x -funktionen, vælger vi et punkt (x,y), det vil altså også sige (x, x )

På funktionen f(x) = x2, ligger det omvendte punkt, (y,x) = (y,y2)

Vi ved, at tangentens hældning i dette punkt, kan bestemmes som differentialkoefficienten i

punktet. (y2)’ = 2y

På kvadratrodsfunktionen fandt vi punktet (x,y) = (x, x ). Tangentens hældning i dette punkt må

være (jf. det vi udledte om hældningen for den omvendte funktion til en ret linje)

hældningomvendte_1 =

y21 =

x21 da y = x



(y,x)=(y,y2) Hældning a=2y

Hældning = a1 =

y21 =

x21

(x,y)=(x, x )

Altså har vi bevist:

f(x) = x så er er f’(x) =x21

QED



Differentiation af ! Bevis nr. 2 Vi ønsker at bevise, at differentialkvotienten for

€

x er

€

12 x

:

Der findes en række potensregneregler, som kan være relevante i denne sammenhæng.

Multiplikation med potenser:

€

ax ⋅ ax = ax+x Ganger man samme tal, med en forskellig potens, så vil det være svarende til samme

tal opløftet i potens + potens.

F.eks.:

€

22 ⋅ 23 = 22+3 = 25

Division med potenser:

€

ax

ax= ax−x Dividerer man samme tal, med en forskellig potens, så vil det være svarende til

samme tal opløftet i potens - potens.

F.eks.:

€

25

23= 25−3 = 22

Det kan til dette bevis være relevant at vide, at hvis man har et divisions stykke med en større tæller

end nævner, så gælder: 2

27

5

212

222222222222

22

==⋅⋅⋅⋅⋅⋅

⋅⋅⋅⋅= −

Vi kan nu opstille beviset for differentialkvotienten for

€

x

Funktionen lyder:

€

f (x) = x

Differentialkvotienten hedder:

€

f ʹ′(x) =12 x

Hvorfor?

Vi ved, at vi også kan skrive f(x) således:

€

f (x) = x = x12

Da vi nu ved dette, kan vi differentiere funktionen, som vi differentierer alle andre funktioner:

21

21

21)(

)(

−=ʹ′

==

xxf

xxxf

Vi sætter potensen ned foran, og subtraherer (minusser) potensen med 1!



Dette kan vi også skrive således:

21

21

21

121)(

21)(

)(

xxf

xxf

xxxf

⋅=ʹ′

=ʹ′

==

− Vi omskriver x:

€

x−12 =

1

x12

Vi kan nu regne videre på udtrykket:

Da vi fra tidligere ved, at kan skrives som

€

x = x12 , kan vi nu regne videre:

xxf

xxf

121)(

121)(

21

⋅=ʹ′

⋅=ʹ′

Vi har nu omdannet udtrykket, og kan igen regne videre på det:

xxf

xxf

xxf

xxf

xxf

xxxf

21)(

211)(

121)(

121)(

21)(

)(

21

21

21

=ʹ′⇔⋅

=ʹ′

⋅=ʹ′

⋅=ʹ′

=ʹ′

==

−

QED



Differentiation af ! Bevis nr. 3 Vi ved, at en funktion sat sammen med sin omvendte funktion giver sig selv: f(f-1(x))= x, altså: ( x )2 = 2x = x Vi ved hvordan man differentierer en sammensat funktion: (f(g(x))’ = f’(g(x))*g’(x) Disse to formler anvender vi derefter, hvorefter bevises for differentialkvotienten for ex, ln(x) og x er enkelt.

At vise: f(x) = x f’(x) = x21

Vi ved:

x = x Vi sætter kvadratrodsfunktionen sammen med den omvendte funktion nemlig x2

( x )2 = ( x )2 = x Højresiden skriver vi nu som x, idet vi fastholder venstresiden

(( x )2)’ = ( x)’ = 1 Vi differentierer på begge sider, hvor vi ved x differentieret giver 1

2 x *( x )’ = 1 Vi differentierer venstresiden, der er en sammensat funktion. Vi ved, (x2)’ = 2x. Den ydre funktion er f(x) = x2 og den indre funktion g(x) = x . Vi differentierer den ydre, idet vi på x’ets plads indsætter den indre funktion. Herefter ganger vi med den indre differentieret – altså med ( x )’

( x )’ = x21 Vi ganger med 2 x på venstresiden. Det modsatte er at

dividere hermed. Dermed når vi frem til, at

differentialkvotienten for x netop er x21

QED



Logaritmeregneregler For alle logaritmefunktionerne gælder der følgende: Logaritmen (1) = 0 Logaritmen til grundtallet (g) = 1 Samtidig ved vi også, at de omvendte funktioner til logaritmefunktionerne er eksponentielle Funktioner, hvor grundtallet g opløftes i x’te. Vi arbejder normalt med to logaritmefunktioner – den naturlige og 10-talslogaritmen For disse gælder altså: log ln Grundtallet 10 e Logaritmen (1) = 0 log(1) = 0 ln(1) = 0 Logaritmen til grundtallet = 1 log(10) = 1 ln(e) = 1 Omvendt funktion log(10x) = 10log(x) = x ln(ex) = eln(x) = x For funktionerne gælder følgende regneregler

log ln 1. Produkt log(a*b) = loga + logb ln(a*b) = lna + lnb 2. Brøk log )(

ba =loga-logb ln )(

ba = lna-lnb

3. Potens log(ax)=x*loga ln(ax) = x*lna Regnereglerne kan udledes ud fra de tre sætninger, der gælder for logaritmefunktionerne. Beviserne kan udledes på flere forskellige måder, men her er et!

log(a*b) = loga + logb log(a*b) = Vi benytter at a = 10loga og b = 10logb

log(10loga *10logb)= Vi benytter potensreglen: ap*an = an+p log(10loga+logb)= Vi anvender at log(10x) = x, hvor vi sætter x = loga+logb log a + log b QED

log )(ba =loga-‐logb

Dette kan bevises på præcis samme måde som ovenfor, hvor det blot er reglen for divison af potenser, der anvendes! log(a:b) = Vi benytter at a = 10loga og b = 10logb

log(10loga :10logb)= Vi benytter potensreglen: ap:an = an-p log(10loga- logb)= Vi anvender at log(10x) = x, hvor vi sætter x = loga-logb log a - log b QED log(ax)=x*loga log(ax)= Vi benytter a = 10loga log(10loga)x Vi benytter potensreglen: (10n)p = 10np

log(10xloga) Vi benytter; log10p = p x·loga QED



Differentiation af produktfunktion At bevise: h(x)= f(x) ·g(x) h'(x)= f(x) · g'(x)+ f'(x) · g(x) Vi ved, at differenskvotienten (hældningen igennem 2 vilkårlige punkter på grafen) A (x, f(x)) og

B((x+∆x),f(x+∆x)) er bestemt som a= xyΔ

Δ = x

xfxxfΔ

−Δ+ )()(

Differenskvotienten bliver til tangenthældningen (dvs. differentialkvotienten) når Δx -> 0. Tangenthældning i punktet (x,f(x)) f’(x) = lim f'(x) = f(x+Δx)-f(x) Δx→0 Δx Dette skal benyttes, når vi udleder formlen for, hvordan man differentierer produktfunktioner! Vi ser på h(x): f(x) ·g(x)

Man bestemmer differenskvotienten ud fra den kendte formel:

a= h(x+Δx) - h(x) Δx

Det er dette udtryk, vi tager fat på og regner videre på.

h(x) er givet som f(x)·g(x) = (f·g)(x) Det betyder, vi kan erstatte h(x) med( f·g)(x)

(f·g)(x+Δx) - (f*g)(x) = Δx Vi kan nu gange ind i parenteserne f(x+Δx)·g(x+Δx)-f(x)·g(x) = Δx

Nu kommer tricket, det man skal huske, det ulogiske osv. PAS PÅ !! Tricket er at sætte noget ind (det med rødt) og bagefter fjerne det igen (det med grønt), for så giver det jo 0. Vi trækker f(x+Δx)·g(x) fra og lægger det samme til!

f(x+Δx)·g(x+Δx)-f(x+Δx)·g(x)+f(x+Δx)·g(x) -f(x)·g(x) Δx

Vi opdeler brøken i 2. Hvis vi beholder samme nævner, er

det ok. 1353+ =

133 +135

f(x+Δx)·g(x+Δx)-f(x+Δx)·g(x) + f(x+Δx)·g(x)-f(x)·g(x) Δx Δx



Så sætter vi det, der er fælles i de to led, uden for en parentes (fremhævet Rød) I første led er det f(x+Δx). I andet led er det g(x)

f(x+Δx)·g(x+Δx)-f(x+Δx)·g(x) + f(x+Δx)·g(x)-f(x)·g(x) Δx Δx f(x+Δx) · (g(x+Δx)-g(x)) + (f(x+Δx)-f(x)) · g(x) Δx Δx

Nu har vi flyttet disse led uden for brøkstregen Alt i alt er vi nu nået frem til: Hældningen a, altså differenskvotienten

a = f(x+Δx) · (g(x+Δx)-g(x)) + (f(x+Δx)-f(x)) · g(x) ∆x ∆x

Når de to punkter falder næsten sammen, bliver differenskvotienten til tangentens hældning – og dermed differentialkvotienten Hvis vi lader dette ske i ovennævnte udtryk når vi frem til:

h'(x)=lim f(x+Δx)· lim g(x+Δx)-g(x)+ lim f(x+Δx)-f(x)·g(x) Δx→0 Δx→0 Δx Δx→0 Δx

Når Δx→0 har vi jo: f(x+ Δx)-> f(x), da (x + Δx), dermed går mod (x + 0) dvs. x. Det betyder, vi kan erstatte første led f(x+Δx) med f(x). Vi har derfor:

h’(x) = f(x)·g’(x) + f’(x)·g(x) QED



Differentiation af brøk -‐ ej kernestof

Differentialkvotient for brøk Beviset for differentialkvotienten for en brøkfunktion kræver, man husker udenad, hvordan man kommer fra et udtryk til andet. Til eksamen, kan man evt. skrive stikord op, så man hurtigt kan komme i tanke om, hvad man skal. (F.eks.: 1. Fællesnævner. 2. Fælles brøkstreg. 3. Dividere brøk med tal – flyt op 4. ”Kanin trækkes ind: -g(x)h(x) + g(x)h(x) =0…etc.) Vi skal bevise følgende:

h x = !(!)!(!)

så er h! x = !"(!∙!(!!!(!)∙!"(!)!(!)!

Vi ved: f ! x = lim∆→!

! !!∆! !!(!)∆!

samt g! x = lim∆→!! !!∆! !!(!)

∆! og h! x = lim∆→!

! !!∆! !!(!)∆!

Vi skal altså bevise:

Hvis h x = !(!)!(!)

så er h! x =!"#∆→!

! !!∆! !!(!)∆! ∙! ! !!(!)∙!"#∆→!

! !!∆! !!(!)∆! ∙

!(!)!

Vi ser først på differenskvotienten (hældningen) gennem 2 vilkårlige punkter A(x, h(x)) og B ((x + ∆x),h(x+∆x)) på funktionen h. Hældningen a kan som bekendt bestemmes som a = !!

!! .

a = ! !!∆! !!(!)∆!

=! !!∆!! !!∆! !

!(!)!(!)

∆! = Vi erstatter h(x) med brøkudtrykket

Vi skaffer nu fællesnævner

. ! !!∆! ∙!(!)! !!∆! ∙! ! !

!(!)∙! !!∆!!(!)∙! !!∆!

∆! FN = g(x)·g(x+Δx)

1. led ganges med g(x) i tæller og nævner 2. led ganges med g(x+Δx) i tæller og

nævner Når vi har fællesnævner kan vi sætte det . ! !!∆! ∙! ! !!(!)∙! !!∆!

! !!∆! ∙! !

∆! på fælles brøkstreg

En brøk divideres med et tal således:

!!: c =

!!!= !

!∙!

derfor kan Δx flyttes op til g(x+Δx)⋅g(x) ! !!∆! ∙! ! !!(!)∙! !!∆!

! !!∆! ∙! ! ∙∆!

I forhold til det, vi skal nå frem til, så mangler der ” - f(x)” i 1. led

Vi lægger også ganget med g(x) til for at kunne flytte g(x) udenfor en parentes



Når vi lægger noget til, skal vi trække det samme fra på den anden side (2. leddet) Vi trækker altså f(x)·g(x) fra og lægger det også til Vi har derfor nu:

! !!∆! ∙! ! !! ! ∙! ! !! ! ∙! !!∆! !! ! ∙! !! !!∆! ∙! ! ∙∆!

Vi flytter derefter g(x) udenfor en parentes i

1.led og vi flytter f(x) udenfor i 2.led. Der ændres fortegn i sidste led (-g(x), da vi har en minusparentes

(! !!∆! !!(!))! ! !! ! (! !!∆! !! ! )! !!∆! ∙! ! ∙∆!

Δx flyttes op i begge led, idet der divideres i begge led. Vi splitter brøken op i to.

(! !!∆! !!(!))! !∆! ! ! ! (! !!∆! !! ! )

∆!! !!∆! ∙! !

Vi ser nu ikke længere på differenskvotienten men differentialkvotienten (tangentens hældning), idet vi lader Δx → 0 (punkterne falder sammen)

!"!∆!→!(! !!∆! !!(!))! !

∆! ! !"!∆!→!! ! (! !!∆! !! ! )

∆!! !!∆! ∙! !

Δx falder væk, da det jo gå mod nul. g(x)·g(x) = (g(x))2

!"!∆!→!(! !!∆! !!(!))! !

∆! ! !"!∆!→!! ! (! !!∆! !! ! )

∆!! !!! ∙! !

Så alt i alt har vi nu: h x = !(!)

!(!) så er h! x = !"(!∙!(!!!(!)∙!"(!)

!(!)!

QED

Documents

Kap$5$&$beviser$&$matematikB2011$ - Systime · Det er den formel vi kender fra første år! Her kan y og x erstattes med punkterne på funktionen, jf. ovenfor a = ex+Δx - ex Δx