Kapittel 4: Nåverdi og internrente

• Hovedmomenter i kapitlet:– Beregning av nåverdi (NPV)– Økonomisk tolkning av nåverdi– Annuitetsmetoden– Beregning av internrente (IRR) og modifisert internrente

(MODIR)– Problemer med internrentemetoden– Sammenligning av NPV og IRR– Økonomisk levetid

Investeringsanalyse – kunst og vitenskap

Pengenes tidsverdi og avkastningskrav

• En krone i fremtiden er mindre verdt enn en krone i dag på grunn av:– Man taper rente.– Inflasjonen spiser opp pengeverdien.– Risiko.

• Pengenes tidsverdi må tas hensyn til i investeringsanalysen ved å diskontere kontantstrømmer med et avkastningskrav som tar hensyn til disse elementene.

• Avkastningskrav består av:– Risikofri rente for å ta hensyn til rentetap og inflasjon i pengenes

tidskostnad.– Risikopremie for å ta hensyn til risiko.

Nåverdi – hvilken kontantstrøm?

• Nåverdi kan beregnes ut fra flere kontantstrømmer– Kontantstrøm til prosjektet (betalinger til kapitalyterne

tas ikke med)– Kontantstrøm til egenkapitalen (eierne) – viser hva som

er igjen til eierne etter at renter og avdrag er betalt

• Hvis vi bruker prosjektets kontantstrøm, skal avkastningskravet reflektere et veid gjennomsnitt av kostnadene for egenkapital og gjeld

• Bruker vi kontantstrøm til egenkapitalen, skal egenkapitalkostnad brukes som avkastningskrav

• Korrekt gjennomført blir nåverdi uansett den samme

Hvordan beregne nåverdi (NPV)?

• Verdien av et prosjekt eller en bedrift er teoretisk lik nåverdien av alle fremtidige kontantstrømmer.

• La oss bruke følgende symboler:

NPV = (netto) nåverdi (Net Present Value)CF0 = investering på tidspunkt 0CFt = prosjektets kontantstrøm på tidspunkt ti = avkastningskrav totalkapitalenn = totalt antall perioder

å= +

+-=n

1tt

t0 i)(1

CFCFNPV

1 20 1 2NPV CF ...(1 ) (1 ) (1 )

nn

CFCF CFi i i

= - + + ++ + +

Nåverdi - beslutningsregel

• Nåverdi viser aksjonærenes formuesendringdersom et prosjekt gjennomføres

• Aksepter alle prosjekter med positiv nåverdi, under forutsetning av at:– Prosjektene er uavhengige– Vi har ubegrenset med kapital

• Hvis prosjektene ikke er uavhengige men gjensidig utelukkende, velger vi prosjektet med høyestnåverdi

• Hvis det er begrenset med kapital, må reglene justeres noe – mer om dette i neste kapittel

Netto nåverdi (NPV) - eksempel

• En bedrift analyserer et prosjekt med levetid på 3 år– Investeringsutgift 10 000 000– Omsetning er 7 000 000, 12 000 000 og 9 000 000 i år 1, 2

og 3– Lønnskostnader er 25 % av omsetningen, og

materialkostnader er 15 % av omsetningen– Betalbare faste kostnader er 1 000 000 årlig– Prosjektet skal finansieres med 50 % egenkapital og 50 %

gjeld– Egenkapitalkostnad er 14 % og gjeldsrente er 6 %

Prosjektets kontantstrøm og NPV

% 10% 65,0% 145,0 =+== ••iWACC

2 3

3 200 000 6 200 000 4 400 00010 000 000 1 338 8431,10 1,10 1,10

NPV = - + + + =

År 0 1 2 3Investeringsutgift -10 000 000Omsetning 7 000 000 12 000 000 9 000 000Lønn -1 750 000 -3 000 000 -2 250 000Materialer -1 050 000 -1 800 000 -1 350 000Faste kostnader -1 000 000 -1 000 000 -1 000 000Kontantstrøm -10 000 000 3 200 000 6 200 000 4 400 000

Nåverdiprofil

-1 000 000

-500 000

0

500 000

1 000 000

1 500 000

2 000 000

2 500 000

3 000 000

3 500 000

2 % 4 % 6 % 8 % 10 % 12 % 14 % 16 % 18 % 20 % 22 %

Nåverdibegrepet

• NPV viser formuestilveksten dersom et prosjekt gjennomføres.

• I eksemplet er NPV 1 338 843. Avkastningskravet var 10 %. Dette er oppnådd, og i tillegg oppnås 1 338 943 i dagens pengeverdi

• Det kan vises at man kunne tatt opp et lån på 10 000 000 (investeringsutgiften) pluss 1 338 843, dvs. totalt 11 338 843. Lånerente 10 %.

• 10 000 000 plasseres i prosjektet, 1 338 843 beholder man selv - gevinst

• Prosjektets kontantstrøm kan nedbetale hele lånet

Nåverdi av egenkapitalen

• Vi kan også beregne NPV av kontantstrømmen til egenkapitalen og bruke egenkapitalens avkastnings-krav på 14 %

• For å få konsistente verdier, må egenkapitalandelen i dette prosjektet hele tiden utgjøre 50 % av prosjektets markedsverdi, og det er litt arbeidskrevende å tilpasse et lån slik at kravet om konstant egenkapitalandel blir oppfylt

• Dersom egenkapitalandelen i markedsverdi ikke er konstant, får man ulik NPV om man regner egenkapital eller totalkapital, og det gir ingen mening

Kontantstrøm til egenkapital og gjeld

År 0 1 2 3Kontantstrøm prosjekt -10 000 000 3 200 000 6 200 000 4 400 000PV gjenværende kontantstrøm 11 338 843 9 272 727 4 000 000 0Lån (50 % av NV gjenværende kontantstrøm) 5 669 421 4 636 364 2 000 000 0Lån (+), avdrag (-) 5 669 421 -1 033 058 -2 636 364 -2 000 000Gjeldsrenter (6 %) -340 165 -278 182 -120 000

År 0 1 2 3Kontantstrøm prosjekt -10 000 000 3 200 000 6 200 000 4 400 000Lån og avdrag 5 669 421 -1 033 058 -2 636 364 -2 000 000Renter -340 165 -278 182 -120 000Kontantstrøm til egenkapitalen -4 330 579 1 826 777 3 285 455 2 280 000

År 0 1 2 3Lån og avdrag -5 669 421 1 033 058 2 636 364 2 000 000Gjeldsrenter 340 165 278 182 120 000Kontantstrøm til gjeldseiere -5 669 421 1 373 223 2 914 545 2 120 000

2 3

1 373 223 2 914 545 2 120 000Gjeldsverdi 5 669 4211,06 1,06 1,06

= + + =

2 3

1 826 777 3 285 455 2 280 000 4 330 579 1 338 8431,14 1,14 1,14EKNPV = - + + + =

Annuitetsmetoden

• Nåverdi (NPV) er nåverdien i løpet av hele prosjektets levetid

• Nåverdi pr. år i levetiden betegnes årlig nåverdiannuitet• Et prosjekt er lønnsomt hvis den årlige kontantstrømmen

overskrider årlig kapitalforbruk + renter, og differansen kalles nåverdiannuitet

• Kun aktuell dersom kontantstrømmen er en annuitet• Årlig kapitalforbruk + renter kan vi finne ut fra rentetabell

4, med kalkulator (PMT) eller med Excel (=AVDRAG)-1in,0 ACF •

Lønnsomt hvis -1in,0 ACFCF •>

Eksempel - annuitetsmetoden

År 0 1 2 3Kontantstrøm -1 000 000 450 000 450 000 450 000

Er prosjektet lønnsomt hvis avkastningskravet er 15 %?

Hva er prosjektets nåverdi og den årlige nåverdiannuiteten?

Annuitetsmetoden

• Vi kan først beregne prosjektets nåverdi (NPV): – NPV = – 1 000 000 + (450 000 • A3,15) =

– 1 000 000 + (450 000 • 2,2832) = 27 440• Hvis vi skal bruke annuitetsmetoden, må vi finne årlig årlig

kapitalforbruk + renter for anleggsmidlene • Annuitetsfaktor for 3 år og 15 % er 0,4380. Årlig

kapitalforbruk + renter blir 1 000 000 • 0,4380 = 438 000• Årlig nåverdiannuitet = 450 000 – 438 000 = 12 000• Sammenheng mellom årlig nåverdiannuitet og nåverdi:

– NPV = 12 000 • A3,15 = 12 000 • 2,2832 = 27 440

Økonomisk levetid

• Vi har så langt mer eller mindre forutsatt at levetiden til et prosjekt var gitt, eller at bedriften eventuelt hadde bestemt hva den optimale levetiden faktisk var. Her er begrepene teknisk levetid og økonomisk levetid sentrale

• Nå skal vi se på hvordan vi kan bestemme optimal økonomisk levetid for et prosjekt. Det skal vi gjøre under to ulike forutsetninger med hensyn til hva som skjer etter at et prosjekt er fullført. 1. Det første alternativet er at prosjektet er en engangsinvestering,

det vil si at det ikke vil bli gjentatt etter at det er fullført. 2. Det andre alternativet er en såkalt investeringskjede. Det vil si at

et anleggsmiddel i regulær bruk blir skiftet ut med et nytt og mer eller mindre identisk anleggsmiddel kontinuerlig.

Eksempel: Økonomisk levetid

• Et anleggsmiddel med en kostpris på kr 1 000 000 har teknisk levetid 5 år

• Kontantstrøm og anleggsmidlets restverdi er slik:

• Hvor lenge bør anleggsmidlet beholdes dersom investeringen ikke skal gjentas, og hvor ofte bør anleggsmidlet skiftes ut dersom det er en investeringskjede? Avkastningskravet er 15 %.

År 1 2 3 4 5Kontantstrøm 600 000 600 000 600 000 400 000 400 000Restverdi 800 000 650 000 550 000 300 000 0

Prosjektets nåverdi ved alternative levetider

• Vi budsjetterer først kontantstrømmene og finner nåverdi• I avslutningsåret er kontantstrømmen lik summen av

kontantstrømmen fra driften og salgssummen for anleggsmidlet

• Hvis prosjektet er en engangsinvestering (det vil si det ikke skal gjentas) er beslutningsregelen meget enkel –anleggsmidlet beholdes det antall år som gir høyest nåverdi, her er det 5 år

Utskiftingsfrekvens investeringskjede

• Vi kan ikke direkte sammenligne nåverdier for ulike levetider dersom anleggsmidlet skiftes ut regelmessig. For å kunne sammenligne alternativene må man beregne årlig nåverdiannuitet

• Nåverdiannuiteten finnes ved å multiplisere nåverdien med den inverse annuitetsfaktoren fra rentetabell 4, bruke PMT funksjonen på kalkulator eller =AVDRAG med Excel

• Det er optimalt å skifte ut anleggsmidlet hvert 3. år

Nåverdiannuitet – årlige kostnader

• En bedrift vurderer to maskiner, A og B, som skiftes ut regelmessig– Maskin A koster kr 270 000 å anskaffe og levetiden er 4

år. Driftskostnadene (betalbare) pr. år er beregnet å beløpe seg til kr 100 000, og man regner med at utrangeringsverdien ved levetidens slutt er kr 70 000

– Maskin B er dyrere i innkjøp med en anskaffelseskostnad på kr 420 000, men levetiden er 7 år. Driftskostnadene er dessuten lavere og beregnet til å bli kr 90 000 pr. år, og man regner ikke med at maskinen har noen salgsverdi ved levetidens slutt

– Avkastningskravet er 10 %. Hvilken maskin bør velges?

Nåverdi av kostnader

-14 år, 10 %Maskin A: 539 176 A 539 176 0,315471 170 094- • = - • = -

-17 år, 10 %Maskin B: 858 158 A 858 158 0,205405 176 270- • = - • = -

Internrentemetoden (IRR)

• Internrenten (IRR) er et relativt avkastningsmål og viser hvilken avkastning (%) som oppnås på kapitalen som er investert i prosjektet

• Prosjekt er lønnsomt hvis IRR > avkastningskrav• IRR er definert som det avkastningskravet som gir nåverdi

lik 0:1 2

0 1 2 ...(1 ) (1 ) (1 )

nn

CFCF CFCFIRR IRR IRR

= + ++ + +

Intuitivt er det kanskje enklere å forholde seg til et relativt avkastningsmål (%) enn et absolutt lønnsomhets-mål som NPV, men det kan være enkelte problemer medIRR metoden (som vi skal komme tilbake til om litt)

å= +

=n

tt

t

IRRCFCF

10 )1(

Internrente eksempel

År 0 1 2 3Investeringsutgift -10 000 000Omsetning 7 000 000 12 000 000 9 000 000Lønn -1 750 000 -3 000 000 -2 250 000Materialer -1 050 000 -1 800 000 -1 350 000Faste kostnader -1 000 000 -1 000 000 -1 000 000Kontantstrøm -10 000 000 3 200 000 6 200 000 4 400 000

NPV (10 %) 1 338 843

2 3

3 200 000 6 200 000 4 400 00010 000 000(1 ) (1 ) (1 )IRR IRR IRR

= + ++ + +

IRR kan finnes med kalkulator (ofte IRR) eller med Excel (=IR).

-3 000 000

-2 000 000

-1 000 000

0

1 000 000

2 000 000

3 000 000

4 000 000

2 % 4 % 6 % 8 % 10 % 12 % 14 % 16 % 18 % 20 % 22 % 24 % 26 % 28 % 30 %

Internrente og nåverdiprofil - eksempel

IRR er 17,07 %. Siden avkastningskravet er 10 %, er prosjektet lønnsomt

Problemer med internrentemetoden

• Internrente metoden gir som regel korrekte signaler om lønnsomhet, men problemer kan oppstå bl.a. i forbindelse med– Gjensidig utelukkende prosjekter, særlig hvis

prosjektene er av ulik størrelse– Kontantstrømmen skifter fortegn mer enn en

gang. Det kan (men må ikke) bli like mange internrenter som fortegnskift

– Ulik levetid. Internrentemetoden kan favorisere prosjekter hvor kontantstrømmen kommer tidlig

Gjensidig utelukkende prosjekter

• Gjensidig utelukkende prosjekter er prosjekter hvor man bare kan gjennomføre ett av flere mulige prosjekter.

• I eksemplet under gir NPV (10 %) og IRR metoden ulik rangering av to ettårige prosjekter A og B:

• Den ulike rangeringen skyldes spesielt at prosjektene er av så ulik størrelse

• Nåverdimetoden er entydig, det mest lønnsomme prosjektet er B siden nåverdien er høyest.

Prosjekt Investeringsutgift Kontantstrøm Nåverdi InternrenteProsjekt A -200 000 260 000 36 364 30 %Prosjekt B -400 000 500 000 54 545 25 %

Differanseinvestering

• Finn prosjektet som gir størst ”netto” kontantstrøm– A: - 200 000 + 260 000 = 60 000– B: - 400 000 + 500 000 = 100 000

• Ta kontantstrømmen til prosjektet med størst positiv kontantstrøm (B) og trekk fra kontantstrømmen fra det andre prosjektet (A)

• Denne kontantstrømmen (B - A) kaller vi differanseinvesteringen

Differanseinvestering

• Vi beregner først differanseinvesteringens internrente• Hvis differanseinvesteringens internrente er større enn

avkastningskravet, velges det største prosjektet. Hvis ikke, det minste

• Vi velger prosjekt B, siden differanseinvesteringens internrente er høyere enn avkastningskravet

• Nåverdiene er additive. NPV for B – A + NPV for A, gir NPV for B

Prosjekt Investeringsutgift Kontantstrøm Nåverdi InternrenteProsjekt B -400 000 500 000 54 545 25 %Prosjekt A -200 000 260 000 36 364 30 %Prosjekt B - A -200 000 240 000 18 181 20 %

Nåverdi ved ulike avkastningskrav

-40 000

-20 000

0

20 000

40 000

60 000

80 000

100 000

2 % 6 % 10 % 14 % 18 % 22 % 26 % 30 % 34 %

Nåverdi ANåverdi BB-A

Prosjekter med ulik levetid

• Prosjekt C og D har ulik levetid, og ulik rangering mellom NPV og IRR metoden. Prosjekt D er mest lønnsomt, siden NPV er høyest

Fortegnskifte i kontantstrøm

• Et prosjekt har en kontantstrøm med 2 fortegnskift, fra – til + fra år 0 til år 1 og fra + til – fra år 1 til år 2

Flere internrenter

-200 000

-150 000

-100 000

-50 000

0

50 000

100 000

150 000

-25 % 0 % 50 % 100 % 150 % 200 % 250 % 300 % 350 % 400 % 450 %

IRR1 = -5,8%

IRR2 = 431%

Modifisert internrente (MODIR)

• Et problem med internrentemetoden er forutsetningen om at frigjort kapital kan plasseres på nytt til en avkastning til internrenten

• Nåverdimetoden forutsetter at frigjort kapital kan plasseres på nytt til en avkastning lik avkastningskravet

• Et alternativ til IRR er modifisert internrente (MODIR), hvor man selv kan spesifisere avkastning på frigjort kapital– Beregn prosjektets terminalverdi eller sluttverdi (FV) ved å finne

sluttverdien til alle kontantstrømmene etter år 0. Vi bruker en rentesats lik avkastningskravet når sluttverdiene skal beregnes.

– Deretter finner vi hvilken rente den totale sluttverdien må diskonteres med, for at den skal bli lik investeringsutgiften. Denne rentesatsen er den modifiserte internrenten.

– Beregnes automatisk i Excel med =MODIR funksjonen

Modifisert internrente (MODIR)Anta at avkastningskravet er 12 % og at frigjort kapital plasseres til 12 % avkastning

000 60)1(

883 1084 =+MODIR

16,07% MODIR ;16065,11,8147MODIR11,8147 000 883/60 108MODIR)(1

1/4

4

===+

==+