Kaposvári István

BevezetésTorzió

Riemann-tenzor és definícióiPéldák kétdimenziós felületekre

Szeminárium

Kaposvári István

Klasszikus Térelmélet Szeminárium

2012. október 01.

Kaposvári István Szeminárium

BevezetésTorzió


Tartalom:JelölésekTorzió bevezetéseKovariáns deriváltak kommutátora és a Riemann-tenzorVektor megváltozása zárt görbe menténRiemann-tenzor és a Stokes-tételGeodetikus elhajlásPéldák kétdimenziós sík és görbe felületekre


BevezetésTorzió


Jelölések:

Riemann-geometria (általános):

Dvk = dvk − δvk = dvk + Γklmv ldxm

∇mvk = ∂mvk + Γklmv l

∇mvk = ∂mvk − Γlkmvl


BevezetésTorzió


Torzió bevezetése:Definíció: Torzió tenzor alatt a T k

lm = Γ̃klm − Γ̃k

ml kifejezést értjük.Torzió fizikai tartalma:Ezzel a torziós konnexióval vezetjük be a kovariáns deriváltat:

∇̃mvk = ∂mvk + Γ̃klmv l

∇̃kΦ = ∂kΦ

∇̃l∇̃kΦ = ∂l∂kΦ− Γ̃mkl∂mΦ és ∇̃k∇̃lΦ = ∂k∂lΦ− Γ̃m

lk∂mΦ

[∇̃k , ∇̃l ]Φ = (Γ̃mkl − Γ̃m

lk)∂mΦ = Tmlk ∂mΦ

,ahol Φ egy skalármező.


BevezetésTorzió


Vizsgálódjunk tovább egy metrikával ellátottRiemann-geometriában.

ds2 = gkldxkdx l

Ez automatikusan definiál egy torziómentes metrikát, ha feltesszüka következőt:

∇mgkl = 0

Amiből következik, hogy:

Γklm =

12gkp(∂mgpl + ∂lgpm − ∂pgml )

Γklm = Γk

ml

Metrikus struktúrával ellátott Riemann-geometriában (ahol ametrikus tenzor tudja azt, ∇mgkl = 0) a torzió tenzor mindenholeltűnik, vagyis torziómentes a geometria.


BevezetésTorzió


Kis érdekesség:Legyen Γ a Levi-Civita konnexió és definiáljunk egy új konnexiót akövetkező módon:

Γ̃klm = Γk

lm + C klm

Ekkor:[∇̃l , ∇̃m]Φ = T k

lm∂kΦ

,ahol Φ egy skalármező és

∇̃mgkl = −Qklm

Tklm = Cklm − Ckml és Qklm = Cklm + Clkm

Most követeljük meg ennek a konnexiónak a torzió mentességét,ekkor C szimmetrikus lesz utolsó két indexében. De ez Q értékétnem befolyásolta, vagyis egy torziómentes konnexióból nemszármazik metrika, csak fordítva.


BevezetésTorzió


Általános relativitáselméletben egy pszeudo-Riemann-geometriáthasználunk, ahol a konnexió a metrikus tenzorból származtatható.Ennek a feltétele:

Tklm = 0 és Qklm = 0

Cklm = −Clkm = −Clmk = Cmlk = Cmkl = −Ckml = −Cklm

Vagyis Cklm = 0, amiből következik, hogy

Γ̃klm = Γk

lm

Tehát a Levi-Civita konnexió az egyetlen ami tudja a ∇mgkl = 0 -t.Mostantól metrikus-, és Levi-Civita konnexiós struktúrával ellátottpszeudo-Riemann-geometriában dolgozunk tovább.


BevezetésTorzió


Riemann-tenzor definíciója:Nézzük meg a kovariáns deriváltak kommutátorát egy adott vk

vektormező esetén.

∇lvk = ∂lvk + Γkmlv

m

∇m∇lvk = ∂m∂lvk + ∂mΓkqlv

q + Γkql∂mvq−

−Γplm∂pvk − Γp

lmΓkqpv

q + Γkqm∂lvq + Γk

pmΓpqlv

q

Most mindenki cserélje ki m és l indexeket.


BevezetésTorzió


Most képezzük a kommutátorát a kovariáns deriváltaknak:

[∇m,∇l ]vk =[ Rk

mql︷︸︸︷∂mΓk

ql − ∂lΓkqm + Γk

pmΓpql − Γk

plΓpqm]vq

Rkmql = ∂mΓk

ql − ∂lΓkqm + Γk

pmΓpql − Γk

plΓpqm

Felső-indexes metrikus tenzor deriváltjaira szükség lesz, mert akonnexiós együtthatók deriváltjaiban az jelenik meg:

gklglm = δkm

Ezt deriválva megkapjuk a keresett mennyiséget:

∂pgkl = −gmlgkq∂pgqm

Ekkor már R is kifejezhető a metrikus tenzorral: R(g , ∂g , ∂∂g)


BevezetésTorzió


Ekkor már R is kifejezhető a metrikus tenzorral: R(g , ∂g , ∂∂g)Írjuk is ki a komponenseket:

Rkmql =12

(∂m∂qgkl+∂k∂lgmq−∂k∂mgql−∂q∂lgkm)+gst(ΓsmqΓt

kl−ΓtmlΓ

skq)


BevezetésTorzió


Riemann-tenzor fizikai jelentése I.

Vegyünk egy infinitezimálisan kis zárt hurkot (xk(τ)), és egy olyanvektormezőt (vk(x(τ))), hogy miközben körbejárjuk a görbét aztminden pontban ugyanannak a vektornak lássuk.Ekkor a vektormezőt egy adott (belső) pont körül sorba fejthetjük:vk(x) = vk + ∂mvkxm +O(x2)A vektormező megváltozását a következő módon kapjuk:

∆vk =

∮dτ

ddτ

vk(x(τ))

=

∮dτ

dxm

dτ∂mvk(x(τ)

)Kaposvári István Szeminárium

BevezetésTorzió


Dvk ≈ 0→ ∂mvk = −Γklmv l

∆vk = −∮

dτ Γklm

dxm

dτv l

Most pedig helyettesítsük be v l és a Γ sorfejtett alakját, majdvegyük figyelembe, hogy infinitezimálisan kis hurok mentén x(τ) iskicsi és O(x2) elhanyagolható.

∆vk = −∮

dτ (Γklm + ∂qΓk

lmxq)dxm

dτ(v l + ∂mv lxm)

Belátható, hogy a következő eredményre jutunk:

∆vk =12

(∮xq dxm

dτdτ)Rk

lmqvl

Itt is azt kapjuk, hogy R antiszimmetrikus a két megfelelőindexében, ugyan is:∮

xq dxm

dτdτ +

∮xm dxq

dτdτ = 0


BevezetésTorzió


Riemann-tenzor fizikai jelentése II.Riemann-tenzor és a Stokes-tétel:Ismét azt szeretnénk kiszámítani, hogy változik meg egy vektor,miközben körbemegyünk egy zárt görbén.

δAk = ΓlkmAldxm és xk(p) −→ x(0) = x(1)

∆Ak =

∮Γl

km(x(p)

)Al(x(p)

)dxm

dpdp

Stokes-tétel több dimenzióban:∮vl dx l =

12

∫dfkl

(∂kvl − ∂lvk

),melyben dfkl =

∣∣∣∣∣dxk

dudxk

dwdx l

dudx l

dw

∣∣∣∣∣ dudw ,ahol a felületet u és w -vel

paramétereztük.Kaposvári István Szeminárium

BevezetésTorzió


Alkalmazzuk a Stokes-tételt a mi esetünkben:

∆Ak =

∮dfkl

[(∂pΓl

kq)Al + Γl

kq∂pAl −(∂qΓl

kp)Al + Γl

kp∂qAl

]Most feltesszük, hogy a görbénk infinitezimálisan kicsi éskihasználjuk az előző levezetésben szereplő összefüggést: DAk ≈ 0vagyis dAk = −δAk = −Γl

kmAldxm tehát

dAk

dxm = ∂mAk = −ΓlkmAl

Ezt behelyettesítve kapjuk az egyenletet, amiben megtalálható agörbületi-tenzor:

∆Ak =12R l

pkqAl∆dfkl


BevezetésTorzió


Riemann-tenzor fizikai jelentése III.Geodetikus elhajlás:Vegyünk egy görbét és ennek egy pontjában egy vektort. Toljuk ezta vektort a görbe mentén w-vel arrébb. Ezt az eltolást a görbeparaméterezése alapján értelmezzük. Indítsunk, minden pontbólolyan geodetikusokat ,amiknek az érintője a megadott vektoreltoltja.

Paraméterezzük ezeket a görbéket például a sajátidővel (s). Ekkoregy xk pont két paraméterrel adható meg (s,w).


BevezetésTorzió


Definiáljuk a következő vektorokat: uk = ∂xk

∂s és vk = ∂xk

∂w . Adott(infinitezimális) dw esetén értelmezzük két geodetikus pontjátösszekötő "vektort": ηk = ∂xk

∂w dw = ηk(s) Vizsgáljuk a ∂2ηk

∂s2mennyiséget, ami azt jellemzi milyen gyorsulássalközelednek/távolodnak a szomszédos geodetikusokon az ugyanolyansajátidőhöz tartozó pontok.Lemma (bizonyítás nélkül): vk∇kul = uk∇kv l


BevezetésTorzió


Most mégsem ∂2ηk

∂s2 mennyiséget számítjuk ki, hanem a vele arányosD2vk

ds2 mennyiséget.

∂2ηk

∂s2 ∝D2vk

ds2 =Dds

( Dds

vk)

=∂x l

∂s︸︷︷︸ul

Ddx l︸︷︷︸∇l

(Dvk

ds

)=

= ul∇l (um∇mvk) =↑

lemma

ul∇l (vm∇muk) = (ul∇lvm)(∇muk)+ulvm∇l∇muk

Felhasználjuk, hogy ∇l∇muk = Rklpmup +∇m∇luk és úgy

választjuk, hogy Dds u

k = 0, akkor azt kapjuk, hogy

D2vk

ds2 =(Rk

lpmulup)vm


BevezetésTorzió


Riemann-tenzor fizikai jelentése IV.Rkmql ≡ 0 akkor és csak akkor, ha választható olyan koordinátázás,hogy a metrikus tenzor konstans legyen, vagyis sík geometriánvagyunk!

Riemann-tenzor szimmetriái:

Rkmql = −Rqmkl = −Rklqm

Rkmql = Rmklq

Rkmql + Rklmq + Rkqlm = 0

∂pRkmql + ∂mRklqp + ∂lRkpqm = 0

n dimenzióban a görbületi-tenzornak n2(n2−1)12 független

komponense van a szimmetriái miatt. 4D-ben ez 20 komponenstjelent, 2D-ben pedig 1 szám.


BevezetésTorzió


Vezessünk be néhány később még fontos fogalmat:Ricci-tenzor:

Rlm = Rkklm

Ricci-skalár:R = Rk

k

Két dimenzióban éppen a Ricci-skalár az a szám, ami jellemzi agörbületet, és ez éppen kétszerese a Gauss-görbületnek, ami afelület egy adott pontjában a két főgörbület reciprokának aszorzata.


BevezetésTorzió


Sík (merőleges koordinátázással):

ds2 = dx2 + dy2

gij =

(1 00 1

)⇒ Γ = 0⇒ R = 0


BevezetésTorzió


Sík (polár koordinátázással):

ds2 = dr2 + r2dϕ2

gij =

(1 00 r2

)⇒ g ij =

(1 00 1

r2

)∂rgϕϕ = 2r és ∂rgϕϕ = − 2

r3

Kis számolással megmutatható, hogy:

R ij = 0⇒ R = 0


BevezetésTorzió


Hengerfelület:

ds2 = %2dϕ2 + dz2

gij =

(%2 00 1

)⇒ g ij =

( 1%2

00 1

)Mivel a metrikus tenzor konstans, így minden deriváltja nulla⇒ Γ = 0⇒ R i

j = 0⇒ R = 0, vagyis a henger nem görbült, másszóval kiteríthető síkká. Ugyan ez megmutatható a kúpfelületről is.Kúpfelület (ds2 = dr2 + r2 sin2ϕc dϑ2) metrikus tenzora:

gij =

(1 00 r2 sin2ϕc

)


BevezetésTorzió


Gömb felület:

ds2 = r2c dϑ2 + r2

c sin2 ϑdϕ2

gij = r2c

(1 00 sin2 ϑ

)⇒ g ij =

1r2c

(1 00 1

sin2 ϑ

)Számítsunk ki néhány mennyiséget:

∂ϑgϕϕ = 2r2c sinϑ cosϑ | ∂ϑgϕϕ = − 2 cosϑ

r2c sin3 ϑ

Γϑϕϕ = − sinϑ cosϑ | Γϕϑϕ = Γϕϕϑ =cosϑsinϑ

∂ϑΓϑϕϕ = sin2 ϑ− cos2 ϑ | ∂ϑΓϕϑϕ = ∂ϑΓϕϕϑ −cos2 ϑsin2 ϑ

− 1

Rij =

(1 00 sin2 ϑ

)⇒ R = 2K =

2r2c


BevezetésTorzió


Köszönöm a figyelmet!Felhasznált irodalom:

Reed College - Physics 411 - Classical Mechanics II/Lecture 13academic.reed.edu/physics/courses/Physics411/html/page2/files/Lecture.13.pdf

Sean M. Carrol - Lecture Notes on General Relativity/Lecture 3preposterousuniverse.com/grnotes/grnotes-three.pdf

Gerard ’t Hooft - Introduction to General Relativity

Matthias Blau - Lecture Notes on General Relativitywww.blau.itp.unibe.ch/lecturesGR.pdf

L.D.Landau-E.M.Lifsic - Elméleti fizika II

Valek Béla - Általános Relativitáselmélet


Documents

Kaposvári István