UNIVERZITET U NIŠU PRIRODNO-MATEMATIČKI FAKULTET

DEPARTMAN ZA FIZIKU

Karakteristike Holovih senzora i njihova primena

MASTER RAD

Student: Mentor: Miloš Mitić, br indeksa 10 dr Zoran Pavlović

Niš, Decembar 2015.

Zahvaljujem se svojoj porodici i svojoj devojci na podršci, ljubavi, strpljenju i razumevanju koje su mi pružili tokom studiranja i izrade ovog rada. Zahvaljujem se mentoru prof dr Zoranu Pavloviću i članovima komisije za odbranu prof dr Ljiljani Kostić i prof dr Biljani Samardžić na pomoći i korisnim sugestijama prilikom izrade ovog rada. Takođe, zahvaljujem se i zaposlenima u laboratoriji firme Sentronis na Elektronkom fakultetu u Nišu koji su mi omogućili i pomogli izradu eksperimentalnog dela ovog rada.

1

Sadržaj: Uvod ................................................................................................................................................. 2 1. Kinetičke pojave u metalima i poluprovodnicima ....................................................................... 3 2. Bolcmanova kinetička jednačina .................................................................................................. 3 3. OdreĎivanje neravnotežne funkcije raspodele ............................................................................. 8 4. Gustina električne struje i protoka energije ................................................................................ 12 5. Električna provodnost ................................................................................................................ 15 6. Toplotna provodnost .................................................................................................................. 18 7. Galvanomagnetni efekti ............................................................................................................. 20 8. Klasični Holov efekat ................................................................................................................. 26

8.1. Holova otpornost ................................................................................................................. 30 9. Kvantni Holov efekat ................................................................................................................. 32

9.1. Landauova stanja ................................................................................................................. 33 9.2. Dvodimenzioni elektronski gas (2DEG) ............................................................................. 35 9.3. Lokalizovana i raširena stanja ............................................................................................. 36 9.4. Kvantizacija Holove otpornosti ........................................................................................... 37 9.5. Necelobrojni kvantni Holov efekat ..................................................................................... 38

10. Primena Holovih senzora ......................................................................................................... 39 10.1. Merenje magnetne indukcije ............................................................................................. 40 10.2. Merenje mehaničkih veličina ............................................................................................ 41 10.3. Merenje struje .................................................................................................................... 42 10.4. Kvantni etalon otpornosti na bazi Holovog efekta ............................................................ 44

11. Tipovi Holovih senzora ............................................................................................................ 45 11.1. Integrisani Holovi senzori ................................................................................................. 46 11.2. Savremeni Holovi senzori i njihova primena .................................................................... 47 11.3. CSA-1V senzor ................................................................................................................. 49 11.4. 1SA-1V senzor .................................................................................................................. 51 11.5. 2SA-10 senzor ................................................................................................................... 52

12. Eksperimentalna merenja ......................................................................................................... 54 12.1. Merenje električnih karakteristika Holovih senzora ......................................................... 54 12.2. Merenje brzine obrtaja ...................................................................................................... 63

Zaključak ........................................................................................................................................ 67 Prilog .............................................................................................................................................. 68 Literatura ........................................................................................................................................ 72

2

Uvod Edvin Herbert Hol - Biografija

Američki fizičar (1855-1938). Rođen je u Goramu u Mejnu, studirao je na Džons Hopkins Univerzitetu u Baltimoru, gde je i doktorirao 1880. godine. 1895. Hol je postavljen za profesora fizike na Harvardu, gde je i ostao do odlaska u penziju 1921., posle čega se vratio u Ameriku, u Kembridž, Masačusets, gde je i umro. Pripremajući svoju doktorsku disertaciju Hol je počeo da radi na problemu koji je ranije postavio Maksvel, a on glasi: da li se eletrična otpornost provodnika u obliku zavojnice menja u prisustvu magnetnog polja? Hol koristi tanke zlatne folije i 1879. otkriva prvi put da električni potencijal deluje vertikalno na struju i magnetno polje. Jednostavna interpretacija je da nosioci naelektrisanja koji se kreću duž provodnika trpe transverzalnu silu i imaju tendenciju da se nanose na jednu stranu folije. Znak Holovog napona daje informaciju o tome da li su nosioci naelektrisanja pozitivni ili negativni. Veličina Holovog otkrića postaje još veća ako se zna koliko se malo znalo o elektricitetu u to vreme.1 Više od veka nakon otkrića

Holovog efekta Klaus von Klicing je otkrio kvantni Holov efekat. On je pokazao da se pod posebnim uslovima, niske temperature i jakog magnetnog polja, u dvodimenzionalnim elektronskim sistemima, napon, odnosno razlika potencijala povećava sa porastom jačine magnetnog polja. Za otkriće kvantnog Holovog efekta dodeljena je Nobelova nagrada 1985. godine. U uvodu svog govora pred švedskom akademijom, von Klicing je istakao:

„Semiconductor research and the Nobel Prize in physics seem to be contradictonary since one may come to the conclusion that such a complicated system like a semiconductor is not useful for very fundamental discoveries. Indeed, most of the experimental data in solid state physics are analyzed on the basis of simplified theories, and very often the properties of a semiconductors devices is described by empirical formulas since the microscopic details are too complicated. Up to 1980 nobody expected that there exists an effect like the Quantized Hall Effect, which depends exclusively on fundamental constants and is not affected by irregularities in the semiconductor like impurities or interface effects.“ 2

1 Naime, elektron je otkriven tek nakon Holovog otkrića; J. J. Tomson 1895. god 2 „Istraživanje u oblasti poluprovodnika i Nobelova nagrada za fiziku čine se protivurečnim, jer bi se moglo zaključiti da tako komplikovan sistem kao što je poluprovodnik nije koristan za jako temeljna otkrića. Zaista, većina eksperimentalnih podataka u fizici čvrstog stanja se analiziraju na osnovu pojednostavljenih teorija, i često se svojstva poluprovodničkih elemenata opisuju empirijskim formulama jer su mikroskopski detalji previše komplikovani. Do 1980. godine niko nije očekivao da postoji efekat kao što je kvantni Holov efekat, koji zavisi isključivo od fundamentalnih konstanti i na kojeg ne utiču nepravilnosti u poluprovodniku, kao što su nečistoće ili površinski efekti.“

3

UreĎaji zasnovani na Holovom efektu po prirodi proizvode odzivni signal koji je malog intenziteta i zahteva pojačanje. Pojačavači na principu vakuumskih cevi, korišćeni u prvoj polovini dvadesetog veka, bili su zbog visoke cene, gabarita, potrošnje energije, i nepouzdanosti u uslovima svakodnevne upotrebe, primenjivani isključivo u laboratorijskim uslovima. Tek sa prodorom tehnologije integrisanih kola i pojavom daleko manjih, jeftinijih i pouzdanijih pretvarača, Holovi senzori ulaze u masovnu primenu. Brojni ureĎaji koji su trenutno dostupni na tržištu, u sebi zapravo sadrže Holov senzor i integrisano kolo koje predstavlja pojačavač sa visokim koeficijentom pojačanja. Ova dva ureĎaja se na nivou današnje tehnologije isporučuju u jedinstvenom zajedničkom kućištu. Kada su pravilno proizvoĎački upakovani i zaštićeni Holovi senzori su otporni na prašinu, nečistoće i vodu. Ova osobina čini Holove senzore kvalitetnijim u odnosu na konkurentske tehnologije, kakve su npr. optičke ili elektromehaničke. Još jedna prednost Holovih senzora ogleda se u teorijskoj linearnoj zavisnosti merene veličine u odnosu na ulazne veličine.

Slika 1 Primer Holovog senzora i njegova veličina

1. Kinetičke pojave u metalima i poluprovodnicima Pojave koje nastaju i koje su uslovljene kretanjem nosilaca naelektrisanja pod uticajem električnog i magnetnog polja, gradijenta temperature, gradijenta koncentracije nosilaca naelektrisanja nazivaju se transportne ili kinetičke pojave. U transportne pojave spadaju električna provodnost, elektronska toplotna provodnost, galvanomagnetni, termoelektrični i termomagnetni efekti. U ovom radu biće izložena osnovna teorija galvanomagnetnih efekata, odnosno Holovog efekta, efekta magnetootpornosti (promeni podužne električne otpornosti u magnetnom polju), Etinghauzenovog efekta (pojavi poprečnog gradijenta temperature) i Nernstovog efekta (pojavi podužnog gradijenta temperature). Posebna pažnja biće posvećena Holovom efeku, koji je i centralna tema ovog rada.

2. Bolcmanova kinetička jednačina Ako posmatramo skup nosilaca naelektrisanja u kristalu kao sistem čestica koji se nalazi u termodinamičkoj ravnoteži, tada je kretanje nosilaca naelektrisanja haotično, a njihovo ponašanje se opisuje ravnotežnom funkcijom raspodele koja u opštem slučaju zavisi od energije:

(2.1)

4

Pored toga, ako se na kristal primeni spoljašnje polje tada nosioci naelektrisanja teže nekom ureĎenom kretanju. Pojave uslovljene kretanjem nosilaca naelektrisanja pod dejstvom električnog i magnetnog polja pedstavljaju gore pobrojane transportne odnosno kinetičke pojave. Pod dejstvom spoljašnje sile nosioci naelektrisanja nalaze se u neravnotežnom stanju (neravnotežnim uslovima). Prirodno je, da se u neravnotežnom stanju sistema nosioci naelektrisanja opisuju neravnotežnom funkcijom raspodele, koja zavisi od energije čestica, odnosno od talasnog vektora k, koordinate položaja r i vremena t, odnosno funkcije raspodele f(k, r, t). Postavlja se pitanje kako odrediti koncentraciju elektrona u neravnotežnom stanju. Postupak je sledeći: U jediničnoj zapremini kristala faznog prostora, tj. prostora koordinata x, y, z i koordinata impulsa px, py, pz uoči se element zapremine dΓ. To je element zapremine u okolini tačke (x, y, z, px, py, pz):

(2.2) gde je:

U elementu zapremine faznog prostora kristala jedinične zapremine postoji dΓ/h3 faznih ćelija. U svakoj od njih mogu se nalaziti po dva elektrona suprotnih spinova. Znači element zapremine dΓ faznog prostora sadrži 2dΓ/h3 kvantnih stanja. Dakle, ako je f(k, r, t) verovatnoća nalaženja elektrona u tim stanjima, tada je broj elektrona u elementu faznog prostora u trenutku t jednak:

(2.3)

Integraljenjem izraza (2.3) po celom faznom prostoru VΓ, dobija se ukupan broj elektrona:

(2.4) Na osnovu ovog, pri razmatranju kinetičkih pojava neophodno je poznavati neravnotežnu funkciju raspodele. Izvešćemo jednačinu koja zadovoljava neravnotežnu funkciju raspodele f(k, r, t). Posmatraćemo elektrone u običnom prostoru i prostoru talasnih vektora. Najpre ćemo posmatrati elektrone u običnom geometrijskom prostoru. Neka je spoljašnje polje takvog smera da se elektroni kreću brzinom vx duž ose x, kao na slici 2.1. Potrebno je odrediti promenu broja elektrona za vreme dt unutar elementarne zapremine dτr.

5

Slika 2.1 Elementarna zapremina u geometrijskom prostoru U elementu zapremine dτr=dxdydz sa leve strane za vreme dt uĎe dNL elektrona brzinom vx:

(2.5) Za isto vreme broj elektrona koji napusti istu zapreminu kroz desnu stranu iznosi:

(2.6) Za vreme dt promena broja elektrona u elementarnoj zapremini je:

(2.7)

U tom slučaju elektroni se kreću u proizvoljnom pravcu brzinom v čije su komponente vx, vy, vz a promena broja elektrona sa talasnim vektorom k u elementu zapremine faznog prostora dΓ za vreme dt je:

(2.8)

To je promena broja elektrona uslovljena procesom transporta, a posledica je difuzije nosilaca naelektrisanja usled postojanja gradijenta njihove koncentracije ili gradijenta temperature. Sada ćemo posmatrati kretanje elektrona u prostoru talasnih vektora. Kao i u običnom prostoru i u prostoru talasnih vektora postoji promena broja elektrona koji su ušli i izašli iz elementarne zapremine dτk. Promena broja elektrona za vreme dt u prostoru talasnih vektora u jediničnoj zapremini faznog prostora dΓ je:

6

(2.9)

gde je:

(2.10)

spoljašnja sila koja deluje na elektron u tački r u trenutku t. Izraz (2.9) izražava promenu broja elektrona pod dejstvom spoljašnje sile usled električnog i magnetnog polja. Pored toga promena broja elektrona u zapremini faznog prostora dΓ može biti uslovljena unutrašnjom silom usled prisustva defekata i toplotnih vibracija kristalne rešetke, odnosno usled prisustva neperiodičnosti kristalne rešetke. Dejstvo unutrašnjih sila može dovesti do promene stanja sistema trenutno. Ovo meĎudejstvo ima lokalni karakter na rastojanju od nekoliko konstanti kristalne rešetke (reda 10-7cm), ali se odvija trenutno (~ 10-14s). Na taj način ovo meĎudejstvo ne može značajno da promeni položaj elektrona, ali zato dolazi do znatne promene brzine kvaziimpulsa. Ovaj proces se naziva sudarom3. Pri sudaru dolazi do promene broja elektrona koji se kreću u datom pravcu, pa se zato ovaj proces sudara naziva rasejanjem. Pretpostavimo da pri rasejanju nosioci naelektrisanja prelaze iz stanja (r, k) u stanje (r', k'). Ukoliko je pri sudaru vreme uzajamnog dejstva trenutno tako da ne dolazi do značajne promene položaja, tada verovatnoća prelaza neće zavisiti od r i r'. Označimo verovatnoću takvog prelaza u jedinici vremena sa W(k, k'). U elementu zapremine dτk broj zauzetih stanja je f(k, r, t)dτk /4π3, a broj slobodnih stanja je [1-f(k, r, t)]dτk /4π3. Svaki sudar dovodi do prelaska elektrona iz stanja k u stanje k'. Da bi došlo do takvog prelaza stanje k' mora biti slobodno. Ako je f(k', r, t)dτk /4π3 broj zauzetih stanja u elementu zapremine dτk', tada je [1-f(k', r, t)]dτk /4π3 broj slobodnih stanja. Zbog toga broj elektrona koji mogu za vreme dt rasejanjem da preĎu iz stanja k u stanje k' dovodi do smanjenja elektrona u elementu zapremine faznog prostora dΓ. U isto vreme verovatnoća prelaska W(k, k') je odreĎena brojem zauzetih početnih stanja i brojem slobodnih konačnih stanja:

(2.11)

Pri sudaru nosilaca naelektrisanja sa defektima kristalne rešetke moguć je i obrnut prelaz elektrona iz stanja k' u stanje k. Neka je verovatnoća takvog prelaza u jedinici vremena W(k', k). Tada je broj elektrona koji za vreme dt učine obrnut prelaz jednak:

3 Analogan je sudaru iz mehanike

7

(2.12)

Zbog toga se količina elektrona u elementu zapremine faznog prostora dΓ u procesu sudara menja direktnim prelazom iz stanja k u stanje k' i obrnuto, prelazom iz k' u k. Ako zbog jednostavnosti pisanja funkciju f predstavimo kao funkciju talasnog vektora f(k) tada je za vreme dt promena količine elektrona jednaka:

(2.13)

Da bi odredili ukupan broj promena stanja zauzetih elektronima u elementu zapremine faznog prostora za vreme dt u procesu rasejanja, neophodno je uzeti sve moguće vrednosti k'. Znači neophodno je izraz (13) integraliti po celoj zapremini Briluenove zone VB:

(2.14)

Sa druge strane promena broja elektrona u elementu zapremine faznog prostora dΓ za vreme dt u procesu sudara je:

(2.15)

Ova promena broja nosilaca nelektrisanja uslovljena je kretanjem elektrona difuzijom, pod dejstvom spoljašnje sile i usled procesa rasejanja. Znači, izraz (2.15) jednak je sumi izraza (2.8), (2.9) i (2.14). Posle skraćivanja sa dτkdτr /4π3 dobija se:

(2.16)

Saglasno mikroskopskom principu da su verovatnoće direktnih i obrnutih prelazaka jednake, važi:

(2.17) Na osnovu ovoga izraz (2.16) se uprošćava i dobija oblik:

(2.18)

Ova jednačina naziva se kinetička Bolcmanova jednačina. Na osnovu izraza (2.18) može se videti i fizički smisao ove jednačine. Leva strana jednačine odnosi se na promenu funkcije raspodele sa vremenom. Prvi i drugi član na desnoj strani ukazuju na promenu funkcije raspodele pod dejstvom spoljašnjeg polja, koje dovodi do kretanja elektrona u običnom prostoru i u prostoru

8

talasnih vektora. Promena funkcije raspodele elektrona po stanjima u procesu rasejanja opisana je poslednjim članom na desnoj strani jednačine. Na taj način, na nosioce naelektrisanja sa jedne strane deluju spoljašnje sile koje teže da urede njihovo kretanje, a na drugoj strani proces rasejanja teži da naruši njihovo ureĎeno kretanje, odnosno njihovu ureĎenost. Na osnovu toga, jednačina (2.18) može se napisati u obliku:

(2.19)

gde je:

(2.20)

član dejstva polja kinetičke Bolcmanove jednačine, a veličina:

(1.21)

predstavlja član koji se naziva integralom sudara, odnosno integralom rasejanja. U stacionarnom stanju, kada opisani procesi ne zavise od vremena važi:

(2.22)

a kinetička Bolcmanova jednačina dobija oblik:

(2.23)

ili:

(2.24)

Na osnovu ovog izraza sledi da se u stacionarnom stanju promena funkcije raspodele izazvana kretanjem nosilaca naelektrisanja usled dejstva sile kompenzuje procesom rasejanja nosilaca naelektrisanja na lokalnim defektima koji narušavaju periodičnost polja kristalne rešetke. Važno je istaći, da je kinetička Bolcmanova jednačina kvaziklasična, jer je funkcija raspodele istovremeno funkcija prostornih koordinata i koordinata talasnih vektora. Ona se može koristiti za opisivanje pojave transporta nosilaca u električnom i magnetnom polju.

3. Određivanje neravnotežne funkcije raspodele OdreĎivanje neravnotežne funkcije raspodele biće uraĎeno za slučaj nedegenerisanog poluprovodnika koji se nalazi u spoljašnjem električnom i magnetnom polju i u kome postoji

9

gradijent temperature. Osnovna pretpostavka je da su izoenergetske površine sferne. U tom slučaju energija elektrona je:

(3.1)

a njihova brzina je:

(3.2)

gde je mn

* efektivna masa elektrona. U prisustvu spoljašnjeg električnog polja K i magnetnog polja B na elektrone deluje sila:

(3.3) Bolcmanova kinetička jednačina za elektrone u stacionarnom stanju postaje:

(3.4)

Smatramo da je neravnotežna funkcija raspodele data izrazom:

(3.5) i da malo odstupa od ravnotežne funkcije f0. Tada je f1 << f0 što znači da se u izrazu (3.4) može zanemariti f1 u odnosu na f0, ali to se ne može učiniti u članu koji sadrži uticaj magnetnog polja zbog toga što bi taj član postao jednak nuli jer je sila magnetnog polja normalna na pravac kretanja elektrona, odnosno na njihovu brzinu i talasni vektor. Tako se umesto izraza (3.4) dobija izraz:

(3.6)

U slučaju degenerisanog poluprovodnika za ravnotežnu funkciju raspodele važi (3.1), pa su njeni gradijenti u običnom i k-prostoru:

(3.7)

(3.8)

Pošto je:

(3.9)

10

jer je:

(3.10) Zatim smenom f1 u (3.9) prema izrazu:

(3.11)

gde je χ(E) neka vektorska funkcija koja zavisi od energije E i koristeći poznate osobine vektorskog proizvoda dobija se:

(3.12)

za elektrone vektorska funkcija χ označena je sa χn. Sada smenom izraza (3.7), (3.8), (3.10), (3.11) u izraz (3.6) dobija se:

(3.13)

gde je τn vreme relaksacije4 elektrona, υ elektrostatički potencijal, a iskorišćene su i relacije mn

*v=hk/2π i K=-∂υ/∂r. Iz prethodnog izraza dobija se:

(3.14)

Rešavanjem ove jednačine po χn, lako se preko (3.13) može odrediti neravnotežni deo funkcije raspodele. Relacija (3.14) je vektorska jednačina oblika:

(3.15)

koja se rešava tako što se skalarno i vektorski pomnoži sa b, pa se dobija:

(3.16)

pa se dobijeni rezultati zamene u samu jednačinu, koja postaje:

4 Srednje vreme trajanja neravnotežne raspodele nosilaca naelektrisanja u sistemu posle prestanka spoljašnjeg dejstva

11

(3.17)

i dobija rešenje u obliku:

(3.18)

Na osnovu prethodnog može se napisati vektorska funkcija χn u obliku:

(3.19)

Na sličan način može se dobiti izraz vektorske funkcije χp za šupljine:

(3.20) pri čemu je uzeto da su šupljine pozitivno naelektrisane, sa efektivnom masom mp

* i vremenom relaksacije τp šupljina, a ravnotežna funkcija raspodele šupljina je:

(3.21)

Neravnotežne funkcije raspodele za elektrone, odnosno šupljine dobijaju se smenom odgovarajućih izraza za χn i χp u izraz (3.11) i odnose se na poluprovodnik sa sfernim izoenegetskim površinama i sa skalarnim efektivnim masama. U slučaju tenzorske efektivne mase izrazi (3.19) i (3.20) su znatno složeniji. Relacije (3.19) i (3.20) su izvedene za opšti slučaj kada je indukcija magnetnog polja B u proizvoljnom pravcu u odnosu na električno polje, gradijente temperature i koncentracije nosilaca (Fermijev nivo). MeĎutim, u posebnim slučajevima, zavisno od pravca indukcije magnetnog polja B, ti izrazi mogu da se donekle uproste. U slučaju poprečnog magnetnog polja je:

12

(3.22)

tako da je zadnji član u izrazima (3.19) i (3.20) jednak nuli. U tom slučaju se za χn dobija:

(3.23)

Ako se posmatraju efekti u pravcu magnetnog polja, tj. kada je:

(3.24)

tada je u izrazima (3.19) i (3.20) drugi član jednak nuli, a treći može da se transformiše5. U tom slučaju se za χn dobija:

(3.25)

Ovaj izraz pokazuje da se u slučaju poluprovodnika sa skalarnom efektivnom masom, u podužnom magnetnom polju, transportni procesi odvijaju kao da tog magnetnog polja nema (B=0). MeĎutim, ako to nije slučaj, tj. ako u podužnom magnetnom polju postoje transportni procesi, zavisni od magnetnog polja, efektivna masa u tom poluprovodniku nije skalarna već tenzorska veličina.

4. Gustina električne struje i protoka energije Usmereno kretanje nosilaca naelektrisanja je posledica narušavanja ravnotežnog stanja, odnosno narušavanja simetrije funkcije raspodele. Usmereno kretanje naelektrisanih čestica stvara električnu struju, koja se opisuje vektorom gustine električne struje, odnosno gustinom struje j. Da bi se odredila gustina struje, posmatra se poluprovodnik jedinične zapremine i u njemu elementarna zapremina dτk u k-prostoru u kojoj postoji dτk /4π3 kvantnih stanja, a u njemu se nalazi elementarni broj nosilaca naelektrisanja:

(4.1)

Ako su ti nosioci naelektrisanja elektroni, njihova brzina je:

(4.2)

5 Koristeći jednakost [B·a]·B = a·B2

13

pa se njihovim usmerenim kretanjem stvara elementarna gustina struje:

(4.3)

Ukupna gustina struje dobija se integraljenjem po prvoj Briluenovoj zoni, tako da je:

(4.4)

Ovde je neravnotežna funkcija raspodele zamenjena prema (3.5) i uzeto je u obzir da je:

(4.5)

jer je f0(r, k) parna funkcija po k, a v· f0(r, k) je neparna funkcija čiji je integral u simetričnim granicama jednak nuli. U stvari, to znači da u poluprovodniku koji se nalazi u termodinamičkoj ravnoteži, nema struje. Smenom neravnotežnog dela funkcije raspodele prema (3.11), gustina struje se može predstaviti u obliku:

(4.6)

Usmereno kretanje naelektrisanja ne samo da stvara električnu struju, već izaziva i prenos energije zbog toga što svaki nosilac ima energiju E. Gustina protoka energije W koja se u jedinici vremena prenese kroz jedinični poprečni presek u pravcu normalno na njega dobija se sličnim postupkom kao gustina struje, tako da je:

(4.7)

U slučaju sfernih izoenergetskih površina integrali u izrazima (4.6) i (4.7) mogu da se transformišu prelazeći na integraciju po sfernim koordinatama6. Na taj način izraz za gustinu struje (4.6) postaje:

6 Uvodeći smene:

kx=ksinθcosυ ky=ksinθsinυ

kz=kcosθ

14

(4.8)

tako da se integracija po talasnim vektorima u Briluenovoj zoni može zameniti integracijom po energiji u provodnoj zoni, tj:

(4.9)

Uvodeći gustinu stanja u provodnoj zoni koja je definisana izrazom N(E), za gustinu struje se dobija:

(4.10)

pri čemu se energija računa od dna provodne zone, a za maksimalnu energiju elektrona u provodnoj zoni uzeto je da teži beskonačnosti. Na isti način, izraz (4.7) koji odreĎuje gustinu protoka energije može se napisati u obliku:

(4.11)

Ako se u izraze (4.10) i (4.11) zameni (3.19) i pri tome uzme u obzir da je:

(4.12)

dobićemo konačne izraze za gustinu struje i gustinu protoka energije u obliku:

(4.13)

(4.14)

gde se veličine definisane relacijom:

(4.15)

15

nazivaju kinetičkim koeficijentima. Izraz (4.15) odreĎuje kinetičke koeficijente samo u slučaju kada su izoenergetske površine sferne. Kada to nije slučaj, umesto izraza (4.15) dobija se složeniji izraz, a i pokazuje se da kinetički koeficijenti nisu skalarne veličine, nego tenzorske. MeĎutim, relacije koje odreĎuju gustinu struje i gustinu protoka energije imaju isti oblik kao izrazi (4.13), odnosno (4.14), osim što treba voditi računa da su kinetički koeficijenti tenzorske veličine. Relacije (4.13) i (4.14) opisuju sve pojave izazvane kretanjem nosilaca naelektrisanja u poluprovodniku. Iz tih relacija vidi se da gustina struje i gustina protoka energije zavise kako od spoljašnjih sila, tj. električnog i magnetnog polja, gradijenta temperature i Fermijevog nivoa (koncentracije nosilaca naelektrisanja), tako i od karakteristika materijala koje su odreĎene efektivnom masom i vremenom relaksacije. Prvi član u izrazu (4.13) odreĎuje omsku struju (izazvanu električnim poljem), drugi i treći član predstavljaju struje izazvane gradijentom Fermijevog nivoa i temperature (difuzione i termoelektrične struje), četvrti član predstavlja transverzalne galvanomagnetne i termomagnetne struje izazvane magnetnim poljem, i peti član pokazuje promenu struje u pravcu magnetnog polja izazvanu tim poljem. Slično, u izrazu (4.14) prvi i drugi član predstavljaju prenos toplote izazvan proticanjem električne struje (uslovljene električnim poljem i difuzijom nosilaca), treći član predstavlja toplotnu provodnost, a uticaj magnetnog polja na prenos toplote pokazuju četvrti (u pravcu normalno na pravac polja) i peti član (u pravcu polja). Pored toga izrazi (4.13) i (4.14) opisuju izotermne efekte, tj. efekte pri konstantnoj temperaturi (gradijent temperature je jednak nuli), a takoĎe i adijabatske efekte, tj. efekte pri kojima nema izmene energije sa okolinom (W=0). Svi ovi efekti deluju istovremeno i nadovezuju se jedan na drugi. Da bi se posmatrao samo jedan efekat treba obezbediti odgovarajuće uslove, u protivnom dolazi do izražaja više efekata. Izrazi (4.13) i (4.14) su izvedeni za slučaj elektrona. Na isti način se dobijaju i odgovarajući izrazi za slučaj šupljina. Kada u poluprovodniku postoje elektroni i šupljine (ili više vrsta nosilaca) tada je ukupna gustina struje, odnosno ukupna gustina protoka energije jednaka zbiru odgovarajućih veličina posebno uzetih za svaku vrstu nosilaca.

5. Električna provodnost Proces prenosa naelektrisanja u poluprovodniku izazvan električnim poljem karaktriše se veličinom elektroprovodnosti. Da bi odredili veličinu elektroprovodnosti traba naći vezu izmeĎu gustine struje j i jačine električnog polja K koje izaziva tu struju, uz uslov da nema magnetnog polja (B=0), da je poluprovodnik homogen ( EF=0) i da su uslovi izotermini ( T=0). U tom slučaju izraz za gustinu struje postaje:

(5.1) gde je:

16

(5.2)

električna provodnost poluprovodnika. Za električnu provodnost se dobija:

(5.3)

Ako se uvede smena tako da se preĎe na bezdimenzionu promenljivu

(5.4)

pri čemu je donja granica integracije dno provodne zone (EC), a gornja maksimalna energija u provodnoj zoni, tj. praktično beskonačna, za električnu provodnost se dobija:

(5.5)

što može da se napiše kao:

(5.6)

gde je

(5.7)

vreme relaksacije elektrona usrednjeno po energiji (važi (5.4)), a veličina:

(5.8)

je pokretljivost elektrona. Na potpuno isti način, može se dobiti izraz za električnu provodnost izazvanu usmerenim kretanjem šupljina pod uticajem spoljašnjeg električnog polja, tako da je:

(5.9)

gde je:

(5.10)

17

usrednjeno vreme relaksacije šupljina, a veličina:

(5.11)

je pokretljivost šupljina. Prema tome, polazeći od Bolcmanove kinetičke jednačine dobijen je Omov zakon, koji pokazuje da je gustina električne struje proporcionalna spoljašnjem električnom polju. MeĎutim, izrazi (5.5) i (5.9) otkrivaju dublji smisao provodnosti (i pokretljivosti) pokazujući da je ona odreĎena vremenom relaksacije usrednjenim po energijama nosilaca naelektrisanja. Relacija (5.1) za gustinu struje elektrona izazvanu električnim poljem može da se, koristeći (5.6) i (5.8), prepiše u obliku:

(5.12)

Ovako odreĎena gustina struje, odnosno struja koja joj odgovara, naziva se drftna struja ili drift, a veličina

(5.13) se naziva driftna brzina nosilaca i predstavlja srednju brzinu nosilaca izmeĎu dva sudara. U slučaju neizotropne sredine, kada izoenergetske površine nisu sferne, efektivna masa je tenzorska veličina. To znači da će provodnost i pokretljivost takoĎe biti tenzorske veličine. Tenzor provodnosti je:

(5.14) Za gustinu struje se dobija:

(5.15)

Znači, gustina struje je tenzorska veličina odreĎena tenzorom drugog reda, kao i provodnost.

18

6. Toplotna provodnost Kao što je poznato, sva tela provode toplotu. U stvari, ako u nekom telu postoji gradijent temperature, onda u njemu nastaje protok energije W u smeru suprotnom smeru gradijenta temperature, tako da je:

(6.1)

Veličina κ se zove koeficijent toplotne provodnosti i numerički je jednaka količini energije koja u jedinici vremena proĎe kroz jedinični poprečni presek u uzorku jedinične dužine na čijim je krajevima temperaturna razlika od jednog stepena. Relacija (6.1) pretpostavlja da u materijalu, osim provoĎenja toplote ne postoje drugi procesi. Zahvaljujući toplotnoj provodnosti dolazi do prenosa toplote od „grejača“ prema „hladnjaku“. Ako u sistemu ne postoji izvor i utok toplote, ali je stvoren gradijent temperature, toplotna provodnost će dovesti do ujednačavanja temperature u sistemu, odnosno do uspostavljanja toplotne ravnoteže. Prenos toplotne energije u čvrstom telu je posledica dva različita mehanizma. Prvi mehanizam je u vezi sa vibracijama kristalne rešetke (fononima). Atomi kristalne rešetke osciluju oko svojih ravnotežnih položaja i pri tome razmenjuju energiju. Kada postoji gradijent temperature, razmena energije se odvija tako da atomi koji imaju veće oscilacije u većoj meri predaju energiju atomima koji imaju manje oscilacije. To znači da se prenos energije odvija prema nižim temperaturama. Ovo se naziva toplotna provodnost kristalne rešetke ili fononska toplotna provodnost i karakteriše se veličinom κL. Drugi mehanizam je uslovljen kretanjem nosilaca naelektrisanja i tada se govori o elektronskoj (ili šupljinskoj) toplotnoj provodnosti koja se karakteriše veličinom κe. Ukupna toplotna provodnost je dakle:

(6.2) Veličina κe zavisi od koncentracije nosilaca naelektrisanja, dok je κL u vezi sa svojstvom elastičnosti materijala. Kod dielektrika je κL > κe, što znači da dominira fononska toplotna provodnost. U metalima je moguće κe > κL, dok za poluprovodnike κe u velikoj meri zavisi od njihovog sastava i temperature, a najčešće su κe i κL istog reda veličine. Što se tiče toplotne provodnosti kristalne rešetke, koja je posledica kretanja fonona od više ka nižoj temperaturi, navešćemo samo da je koeficijent fononske toplotne provodnosti:

(6.3)

gde je C toplotni kapacitet kristalne rešetke, λL srednja dužina slobodnog puta fonona a vzv fononska brzina (brzina zvuka).

19

Da bi odredili koeficijent toplotne provodnosti izazvane kretanjem nosilaca naelektrisanja posmatraćemo relacije za gustinu struje i gustinu protoka energije, pod uslovom da nema magnetnog polja, tj:

(6.4)

odnosno:

(6.5)

Koeficijent toplotne provodnosti κe odreĎen je uslovom:

(6.6) pod pretpostavkom da je:

(6.7) Iz uslova (6.7) i (6.4) je:

(6.8)

tako da se za gustinu protoka energije dobija:

(6.9)

pa je:

(6.10)

Pod uslovom da nema magnetnog polja, smenom kinetičkih koeficijenata dobija se:

(6.11)

U slučaju nedegenerisanog poluprovodnika, kinetički koeficijent A31 može da se predstavi na sledeći način:

(6.12)

20

U tom slučaju, sreĎivanjem, za koeficijent toplotne provodnosti κe se dobija:

(6.13)

Eksperimentalno je utvrĎeno da za mnoge materijale odnos koeficijenta toplotne provodnosti κe i električne provodnosti σ linearno zavisi od temperature:

(6.14)

gde se konstanta proporcionalnosti L naziva Lorencov broj, a sama relacija (6.14) predstavlja Videman-Francov zakon. SreĎivanjem, za Lorencov broj se dobija:

(6.15)

U slučaju degenerisanog poluprovodnika, za koeficijent toplotne provodnosti se dobija:

(6.16)

a za Lorencov broj:

(6.17)

što ne zavisi od temperature, tj. važi Videman-Francov zakon.

7. Galvanomagnetni efekti Fizičke pojave koje se javljaju u materijalu kada se on nalazi u magnetnom polju i kada kroz njega protiče električna struja pod uticajem električnog polja, nazivaju se galvanomagnetne pojave. Radi se o tome da magnetno polje menja električnu i toplotnu provodnost u podužnom pravcu (u pravcu električnog polja), a takoĎe izaziva razliku potencijala i temperature (električno polje i gradijent temperature) u poprečnom pravcu. Od svih galvanomagnetnih pojava najviše se primenjuje, i najbolje je proučen, Holov efekat, odnosno javljanje poprečne razlike potencijala. Pored Holovog efekta u galvanomagnetne efekte spadaju i efekat magnetootpornosti (promena podužne električne otpornosti u magnetnom polju) i pojava poprečnog gradijenta temperature (Etinghauzenov efekat) i podužnog gradijenta temperature (Nernstov efekat). Termini podužni i poprečni odnose se na pravac dodatnog električnog polja ili gradijenta temperature u odnosu na pravac električnog polja. U odnosu na magnetno polje, galvanomagnetni efekti mogu da budu neparni (promena smera B ne menja znak efekta) i parni (promena smera B menja znak efekta). Holov efekat i Etingauzenov efekat su neparni, a magnetootpornost i

21

Nernstov efekat su parni. Galvanomagnetne efekte je moguće posmatrati i u adijabatskim uslovima, kada nema izmene toplote sa okolinom a u materijalu se javlja gradijent temperature, i u izotermnim uslovima, kada dolazi do izmene toplote sa okolinom, ali je temperatura uzorka konstantna. Holov efekat i magnetootpornost se obično analiziraju u izotermnim uslovima, dok Etinghauzenov i Nernstov efekat podrazumevaju adijabatske uslove. Suština galvanomagnetnih pojava može da se objasni razmatranjem kretanja naelektrisane čestice (pozitivne) u ukrštenom električnom i magnetnom polju. Na naelektrisanu česticu koja se kreće u električnom i magnetnom polju deluje sila data izrazom:

(7.1) Ako je K normalno na B, naelektrisana čestica bez početne brzine kreće se po cikloidi ili nekoj sličnoj putanji koja se može dobiti slaganjem dve vrste kretanja, kružnog sa poluprečnikom krivine:

(7.2)

i translatornog driftnom brzinom:

(7.3) To znači da magnetno polje, u uzorku u kome postoji električna struja, menja putanju nosilaca, tako što ih „vrti“ po kružnim putanjama, utoliko intenzivnije ukoliko je magnetno polje jače. U slabom magnetnom polju, poluprečnik krivine (7.2) je znatno veći od srednje dužine slobodnog puta, što znači da je zakrivljenje putanje nosilaca izmeĎu sudara zanemarljivo. Ako je poluprečnik krivine znatno manji od srednje dužine slobodnog puta nosioci naelektrisanja će se, izmeĎu dva sudara, kretati po zakrivljenoj putanji. To je slučaj jakog magnetnog polja koje znatno menja oblik putanje nosilaca, a time i mehanizam rasejanja. Kriterijum za slabo, odnosno jako magnetno polje može se postaviti i poreĎenjem vremena relaksacije sa periodom kretanja nosilaca po kružnoj putanji:

(7.4)

Na taj način se za kriterijum slabog električnog polja dobija:

(7.5) Jasno, ako je leva strana prethodne relacije znatno veća od desne, magnetno polje je jako. Obzirom da je

(7.6)

22

i prema relacijama (7.4) i (7.5) kriterijum za slabo i jako magnetno polje može da se napiše i kao, μ·B<<1 za slabo i μ·B>>1 za jako magnetno polje. U stvari da li je polje jako ili slabo ne zavisi samo od spoljašnjeg faktora, tj. intenziteta B, već i od pokretljivosti nosilaca naelektrisanja tj. karakteristika materijala. Kako pokretljivost ima izraženu zavisnost od temperature to magnetno polje odreĎenog intenziteta za isti materijal na niskim temperaturama može biti slabo a na višim jako. Osnovne galvanomagnetne efekte analiziraćemo koristeći rešenje Bolcmanove kinetičke jednačine, odnosno izraza za gustinu struje:

(7.7)

i gustinu protoka energije:

(7.8)

gde veličine Ars predstavljaju ranije već definisane kinetičke koeficijente. U slučaju slabog magnetnog polja, kada je K, T normalno na B i kada je materijal homogen ( EF=0) izraz za gustinu struje (7.7) postaje:

(7.9)

a izraz za protok energije postaje:

(7.10)

Neka su uslovi izotermni ( T=0), i neka su j, K i B upravljeni kao na slici 7.1 tj. neka je spoljašnje električno polje primenjeno u pravcu x-ose u kojem je moguće proticanje struje, i neka magnetno polje postoji samo u pravcu y-ose. U tom slučaju relacija (7.9) pokazuje da pored komponente struje u pravcu spoljašnjeg električnog polja K:

(7.11) postoji i komponenta struje u pravcu normalnom na K i B:

23

(7.12)

Slika 7.1 Ilustracija uzorka koji se nalazi u ukrštenom električnom i magnetnom polju

Pošto u uzorku na slici 7.1 ne postoji zatvoreno strujno kolo u pravcu z-ose, to ne može da postoji struja u pravcu normalnom na K i B. Zbog toga će se u tom pravcu javiti električno polje Kz koje će kompenzovati usmereno kretanje nosilaca, odnosno struju jz. Na taj način, stavljajući jz + σKz = 0 u izraz (7.12) se dobija:

(7.13)

Nastajanje polja KH = Kz normalnog na K i B naziva se Holov efekat, a polje KH Holovo polje. Konstanta proporcionalnosti u prethodnoj jednačini naziva se Holova pokretljivost7 i jednaka je:

(7.14)

gde su A12 i A11 odgovarajući kinetički koeficijenti. Holovo polje utiče na gustinu struje u pravcu spoljašnjeg polja, ako u izrazu za gustinu struje (7.9) umesto K stavimo K + KH, tada je gustina struje u pravcu spoljašnjeg polja data izrazom:

(7.15) gde je:

(7.16)

7 Napomenimo da je pokretljivost po dimenziji (prirodi) recipročna vrednost indukcije, pa je jedinica pokretljivosti [μ]=m2/(Vs)=s2A/kg=(m/C)(C/N)=[1/B], tj jednaka recipročnoj vrednosti jedinice magnetne indukcije

24

provodnost u prisustvu magnetnog polja (normalnog na električno). U stvari prisustvo magnetnog polja smanjuje provodnost jer se putanja nosilaca zakrivljuje, tj. povećava a time se povećava i verovatnoća sudara sa nesavršenostima kristalne rešetke. Ovo je efekat magnetootpornosti koji je opisan relacijom (7.15). Relativno smanjenje provodnosti je:

(7.17)

U stvari efekat magnetootpornosti je izraženiji kada postoji komponenta gustine struje normalna na K i B. U tom slučaju nosioci naelektrisanja se, izmeĎu sudara, kreću po delu cikloide koja je pod nekim uglom u odnosu na K kao na slici 7.2 pa za odreĎeno vreme preĎu manji put u pravcu K. Na taj način se smanjuje driftna brzina, odnosno pokretljivost, a time i provodnost.

Slika 7.2 Kretanje elektrona u neograničenom uzorku koji se nalazi u ukrštenom električnom i magnetnom polju

U slučaju kada je uzorak ograničen i nema komponente gustine struje u pravcu normalnom na K i B, nosioci naelektrisanja se izmeĎu sudara kreću pravolinijski. Tako posmatrano izgleda kao da ne postoji efekat magnetootpornosti. MeĎutim, to nije tako jer Holovo polje samo u srednjem kompenzuje kretanje nosilaca u pravcu normalnom na K i B. Drugim rečima, na nosioce koji imaju veću brzinu od srednje izraženije je delovanje magnetnog polja nego Holovog, a na sporije nosioce izraženiji je uticaj Holovog polja. To znači da će se smanjiti udeo brzih i sporih nosilaca u provodnosti, pa se sama provodnost smanjuje, odnosno postoji efekat magnetootpornosti. Efekat magnetootpornosti kod mnogih materijala se javlja u slučaju kada je magnetno polje u pravcu K, odnosno j. Šta više, pod odreĎenim uslovima može da doĎe do povećanja provodnosti u prisustvu magnetnog polja (negativna magnetootpornost). MeĎutim, u tim slučajevima se radi o drugim efektima, koji su najčešće posledica složenog oblika izoenergetskih površina. Kao što je već rečeno, kretanje nosilaca naelektrisanja pod uticajem Lorencove sile kompenzuje se Holovim poljem samo za nosioce sa srednjom brzinom. To znači da se nosioci sa brzinom većom od srednje sakupljaju na jednoj strani a oni sa brzinom manjom od srednje na drugoj strani uzorka (slika 7.3). Sudarajući se sa kristalnom rešetkom nosioci razmenjuju energiju sa njom i dolaze u termodinamičku ravnotežu. Nosioci naelektrisanja koji imaju brzinu veću od srednje predavaće deo kinetičke energije kristalnoj rešetki, što znači da će se temperatura na toj strani uzorka povećati. Na strani uzorka gde su nosioci sa brzinom manjom od srednje

25

temperatura će se smanjivati jer kristalna rešetka predaje energiju nosiocima. To znači da će se u uzorku, u pravcu normalnom na K i B, javiti gradijent temperature, koji je direktno proporcionalan intenzitetu magnetne indukcije i gustine struje u pravcu K, tj. prema oznakama na slici 7.3a važi:

(7.18)

Ovo je efekat Etinghauzena. Prema izrazu (7.18) gradijent temperature menja znak sa promenom smera B ili j. Veličina AE se naziva koeficijent Etinghauzena. Efekat Nernsta se sastoji u tome što se u pravcu gustine struje javlja gradijent temperature koji ne zavisi od smera magnetnog polja, a menja znak kada se promeni smer gustine struje, tj. prema slici 7.3b:

(7.19)

gde je AN koeficijent Nernsta. Efekat Nernsta se javlja zbog toga što, delovanjem Lorencove sile (magnetnog polja) i Holovog polja, ne samo da dolazi do razdvajanja nosilaca sa većom brzinom na jednu, a sa manjom brzinom na drugu stranu uzorka, već se smanjuje doprinos nosilaca veće i nosilaca manje brzine gustine struje. To znači da će gustinu struje činiti pretežno oni nosioci čija je brzina približna srednjoj driftnoj brzini.

Slika 7.3 Ilustracija Etinghauzenovog efekta (a) i Nernstovog efekta (b) u uzorku koji se nalazi u ukrštenom električnom i magnetnom polju

Izrazi (7.18) i (7.19), odnosno koeficijenti AE i AN mogu da se dobiju iz opštih izraza za gustinu struje (7.9) i gustinu protoka energije (7.10). Pri tome treba uzeti da su pravci K, j, B i T kao na slici 7.3a, odnosno slici 7.3b. TakoĎe, treba posmatrati adijabatski slučaj, tj. treba uzeti da nema izmene energije sa okolinom. Posle dosta složenog izračunavanja, za koeficijent Etinghauzena se dobija:

(7.20)

26

gde je κ = κL + κe ukupna toplotna provodnost. Slično, za koeficijent Nernsta u izotermnim uslovima se dobija:

(7.21)

8. Klasični Holov efekat Holov efekat je posledica Lorencove sile koja deluje na nosioce naelektrisanja dok se usmereno kreću u magnetnom polju čineći struju j. Kao što je prikazano na slici 8.1a nosioci naelektrisanja se gomilaju na jednoj strani uzorka dok se na suprotnoj strani javlja manjak nosilaca. To znači da će se strane uzorka paralelne ravni u kojoj leže K i B naelektrisati naelektrisanjem suprotnog znaka. To će stvoriti Holovo električno polje KH. Prema tome, ukupno električno polje u uzorku biće, prema slici 8.2 pod uglom u odnosu na spoljašnje električno polje. Koristeći izraz (6.13) dobija se:

(8.1)

Ako je uzorak neograničen, tj. postoje uslovi za proticanje struje i u pravcu normalnom na K i B, pravac ukupne gustine struje biće takoĎe pod uglom υ u odnosu na K, kao na slici 8.1b.

Slika 8.1 Ilustracija Holovog efekta u uzorku koji je ograničen (a) i neograničen (b) u pravcu normalnom na električno i magnetno polje

Slika 8.2 Holovo polje KH, Holov napon UH, Holov ugao υ

27

Holov napon (slika 8.2) je proporcionalan proizvodu gustine struje i magnetne indukcije:

(8.2) to znači da, ukoliko se kroz uzorak propušta konstantna struja Holov napon i magnetno polje će imati linearnu zavisnost, odnosno ukoliko se uzorak nalazi u konstantnom magnetnom polju Holov napon i gustina struje će imati linearnu zavisnost. Holov efekat se često, umesto Holovom pokretljivošću μH karakteriše Holovim koeficijentom RH, koji je definisan relacijom:

(8.3) Koristeći (7.13) i (7.15) dobija se veza izmeĎu RH i μH:

(8.4)

Na taj način, za Holov koeficijent se dobija:

(8.5)

Prethodna relacija je primenljiva kako za slaba tako i za jaka magnetna polja, ako u poluprovodniku postoji jedna vrsta nosilaca naelektrisanja, tj. ako je provodnost primesna. Kada se poluprovodnik nalazi u slabom magnetnom polju, izraz u zagradi u imeniocu relacije (8.5) približno je jednak jedinici. U tom slučaju, zamenom odgovarajućih izraza za kinetičke koeficijente se dobija:

(8.6)

To znači da RH ne zavisi od magnetnog polja već samo od koncentracije primesa i mehanizma rasejanja nosilaca. Pokazuje se da je vreme relaksacije najčešće stepena funkcija energije, tj. τ = τ0 E p. U tom slučaju za nedegenerisani poluprovodnik je:

(8.7)

gde je Γ(x) gama funkcija, a veličina p ima odreĎenu vrednost zavisno od mehanizma rasejanja nosilaca. Holova pokretljivost definisana je relacijom (7.14), pa se na osnovu (8.6) dobija:

28

(8.8)

To znači da su Holova pokretljivost i driftna pokretljivost proporcionalne veličine, pri čemu konstanta proporcionalnosti zavisi samo od mehanizma rasejanja nosilaca naelektrisanja Holov koeficijent se lako odreĎuje eksperimentalnim putem, pri čemu se koristi relacija (8.3). To omogućuje eksperimentalno odreĎivanje driftne pokretljivosti μH prema (8.4) i (8.8), odnosno koncentracije (i znaka) nosilaca naelektrisanja, prema (8.6). Zbog toga su na Holovom efektu zasnovani važni eksperimentalni metodi u fizici i tehnologiji poluprovodnika. U slučaju degenerisanog poluprovodnika je:

(8.9)

tako da je:

(8.10)

To znači da u degenerisanom poluprovodniku Holov koeficijent ne zavisi od mehanizma rasejanja nosilaca, a Holova i driftovska pokretljivost su jednake. Kada je magnetno polje jako, jedinica u imeniocu podintegralne funkcije u relaciji za kinetičke koeficijente može da se zanemari, tako da je:

(8.11)

a Holova pokretljivost je:

(8.12)

To znači da u jakom magnetnom polju Holov koeficijent ne zavisi od mehanizma rasejanja nosilaca (kao u slučaju degenerisanog poluprovodnika). MeĎutim, zavisnost Holove pokretljivosti od mehanizma rasejanja nosilaca u jakim i slabim magnetnim poljima je obično drugačija. Dosadašnja analiza Holovog efekta odnosila se na poluprovodnik u kome je dominirala jedna vrsta nosilaca. MeĎutim, kada u provoĎenju struje ravnopravno učestvuju više vrsta nosilaca (elektroni i šupljine kada je provodnost blizu sopstvene ili lake i teške šupljine u silicijumu), situacija je nešto drugačija. Ukupna gustina struje je jednaka zbiru komponenata struja pojedinih vrsta nosilaca za koje važe relacije (7.11) i (7.13). U slučaju da postoje dve vrste nosilaca (α i β) za Holovo polje se dobija:

29

(8.13)

gde je u naelektrisanje nosilaca pojedine vrste qα i qβ uključen i njihov znak. Prema tome u slabom magnetnom polju Holova pokretljivost je:

(8.14)

a Holov koeficijent je:

(8.15)

Ako u poluprovodniku postoje elektroni i šupljine (-qα = qβ, gde se α odnosi na elektrone, a β na šupljine) moguće je da brojilac u (8.13) bude jednak nuli, tj. da nema Holovog efekta. U stvari, elektroni i šupljine kretaće se u istom smeru ali će njihove struje biti suprotnog smera kao što je to prikazano na slici 8.3. To znači da struje elektrona i šupljina kompenzuju jedna drugu pa se Holovo polje ne javlja. Može da se pokaže da se Holovo polje ne javlja, tj. KH=0 ako je ispunjen uslov:

(8.16)

Obično je R0n≈R0p i μn>μp, pa je za n=p (što je slučaj u sopstvenom poluprovodniku) R<0, tj kao u slučaju elektronske provodnosti. Kako koncentracije elektrona i šupljina (i njihov odnos) zavise od temperature to će temperaturska zavisnost Holovog koeficijenta u donorskom i akceptorskom poluprovodniku biti različita, kako je prikazano na slici 8.4.

Slika 8.3 Ilustracija Holovog efekta u uzorku koji sadrži elektrone i šupljine

30

Slika 8.4 Zavisnost Holovog koeficijenta od recipročne vrednosti temperature u poluprovodniku n-tipa (a) i p-tipa (b). Tip provodnosti je određen

na niskim temperaturama Kada u poluprovodniku postoje dve vrste nosilaca istog tipa (lake i teške šupljine), u slučaju slabih magnetnih polja, izraz za Holov koeficijent (8.15) postaje:

(8.17)

Detaljnom analizom prethodne relacije pokazuje se da nosioci naelektrisanja sa većom pokretljivošću (lake šupljine) imaju veću ulogu u Holovom efektu.

8.1. Holova otpornost Holovu otpornost definišemo kao odnos Holovog polja KH i gustine struje drifta jdrift:

(8.1.1)

Pokazuje se takoĎe, da je Holova otpornost proporcionalna magnetnom polju, i da je koeficijent proporcionalnosti upravo Holova konstanta:

(8.1.2) Ovo je klasični rezultat za koji ćemo kasnije videti da u slučaju kvantnog Holovog efekta ne važi. Smisao Holove otpornosti, postaće jasniji ukoliko se uoči da sistem u magnetnom polju više ne poseduje izotropiju, tako da u relacijama:

(8.1.3)

provodnost σ i otpornost ρ više nisu skalari, nego tenzori8: 8 Razmatranja su ovde ograničena na dve dimenzije u kojima se nalazi uzorak (dakle normalno na smer magnetnog polja). Osa x je orijentisana u smeru proticanja struje, a osa y u smeru Holovog polja

31

(8.1.4)

Sada vidimo da otpornost ρxy odgovara Holovoj otpornosti (jer je KH=Ky, a jdrift=jx), dok se otpornost ρxx naziva dijagonalna ili longitudinalna otpornost9. Sa ova dva člana tenzor otpornosti je potpuno odreĎen, jer važi:

(8.1.5)

Tenzori otpornosti i provodnosti su meĎusobno inverzni, pa su povezani relacijama:

(8.1.6)

Pri čemu, za σxy ≠ 0, važi: ρxx=0 samo i samo ako je σxx=0.

9 Značenje dijagonalne otpornosti jeste odnos napona koji pokreće struju drifta i same struje drifta, dakle to je otpor uzorka kao elementa u strujnom kolu

32

9. Kvantni Holov efekat Kvantni Holov efekat uočen ja na niskim temperaturama (≤ 4K) u visoko pokretnom dvodimenzionalnom elektronskom gasu (2DEG) smeštenom u jako normalno magnetno polje (B~1-30T). 1980. godine von Klicing, Dorda i Peper su uočili da je Holova otpornost takvog sistema celobrojni umnožak kvanta provodnosti e2/h (slika 9.1). Dve godine kasnije Tsui, Stromer i Gosard su otkrili da na nižim temperaturama i u čistijim uzorcima Holova otpornost može uzimati i razlomljene (necelobrojne) vrednosti e2/h. Dakle, za razliku od klasičnog Holovog efekta gde je zavisnost Holove otpornosti od magnetnog polja linearna, ovde to nije slučaj već se javljaju Holovi platoi10, na kojima su vrednosti Holove otpornosti odreĎene preko e2/h (slika 9.1).

Slika 9.1 Kvantna Holova otpornost u funkciji magnetne indukcije, Holovi platoi

Slika 9.2 Originalni radni papir von Klicinga, 4. februar 1980. god 10 Javljaju se na tačno odreĎenim mestima, jedino njihova širina varira od uzorka do uzorka

33

Sledi pregled pojmova nužnih za objašnjenje kvantnog Holovog efekta.

9.1. Landauova stanja Frekvencija kretanja naelektrisane čestice kada se ona naĎe u magnetnom polju je dobro poznata ciklotronska frekvencija:

(9.1.1)

Energija nosilaca u ovakvom sistemu ne može biti proizvoljna, već kvantovana:

(9.1.2)

Ova kvantna stanja se nazivaju Landauova stanja, a odgovarajući energetski nivoi Landauovi nivoi. Energija Landauovih nivoa (9.1.2) predstavlja samo jedan član u ukupnoj energiji naelektrisane čestice u magnetnom polju, koja iznosi:

(9.1.3)

gde je E0 energija bez magnetnog polja, s = ±1/2 spinski kvantni broj, g Landov faktor i μB Borov magneton. Jasno je sada zbog čega je potrebno elektronski gas ograničiti u ravni normalnoj na smer magnetnog polja da bi Landauovi nivoi došli do izražaja. U 3 dimenzije član E0 može sadržati kontinualan (odnosno, u slučaju uzorka konačne z-dimenzije, kvazikontinualan) spektar translacijske energije u pravcu z-ose, koji bi prekrio diskretnost Landauovih nivoa. Osim toga, jako magnetno polje daje visoke ciklotronske frekvencije (vidi se iz 9.1.1), što u (9.1.2) vodi do širih Landauovih nivoa. Kvantizacija energije elektrona u magnetnom polju znači, da će njihova putanja biti i dalje kružna sa ciklotronskom frekvencijom, kao i u klasičnom slučaju, ali će biti dozvoljene samo putanje odreĎenih radijusa.

34

Slika 9.1.1 Kvantizacija Landauovih nivoa u prostoru talasnih vektora. Isprekidana kružnica

odgovara Fermijevom nivou, a pune kružnice dozvoljenim Landauovim stanjima, pri čemu kružnice unutar Fermijeve odgovaraju stanjima ispod Fermijevog nivoa

Ako za naelektrisane čestice uzmemo elektrone u materijalu, tada Landauovi nivoi neće biti savršeno oštri, već se šire. Razlog tome su poremećaji potencijala zbog nesavršenosti kristalne rešetke. Ovaj uticaj se može modelirati nasumičnim potencijalom Vrandom. U granici kada je potencijal blago promenljiv i gladak, dobijaju se oštri nivoi. Što se Vrandom brže menja, Landauovi nivoi su širi.

Slika 9.1.2 Širenje Landauovih nivoa zbog neuređenosti u sistemu. Nivoi (n+1/2)hωc/2π, koji su vrlo degenerisani, prvo se šire bez popunjavanja procepa između nivoa. Stanja

u repovima su lokalizovana, tako da nema bitnih promena u sistemu kada Fermijev nivo prolazi kroz njih. I kada se repovi spoje, stanja u njima su i dalje lokalizovana

35

9.2. Dvodimenzioni elektronski gas (2DEG) Kao što je već rečeno, da bi se pojavili diskretni Landauovi nivoi, potrebno je da se kretanje elektrona ograniči na dve dimenzije, odnosno da se elektronima onemogući da kretanjem duž smera magnetnog polja dobijaju dodatnu translatornu energiju. Ovo je preduslov bez kojeg se kvantni Holov efekat ne može manifestovati. Kvazidvodimenzioni elektronski gas se može ostvariti u površinskom stanju na poluprovodniku kao npr silicijumu ili galijum-arsenidu, gde je površina obično u kontaktu sa izolatorom (slika 9.2.1).

Slika 9.2.1 Dvodimenzionalni elektronski gas (2DEG) se može formirati na površini poluprovodnika ako su elektroni fiksirani uz površinu spoljašnjim električnim poljem.

Si MOSFET (a) i GaAs/AlxGa1-xAs heterostrukture (b) su tipične strukture koje se koriste za ostvarivanje 2DEG-a

U takvom sistemu, moguće je ostvariti potencijalnu jamu uz površinu poluprovodnika koja je male širine u poreĎenju sa de Broljevom talasnom dužinom elektrona. Energija nosilaca se tada grupiše u tzv. električne podzone koje odgovaraju kvantovanom kretanju u z-smeru (slika 9.2.2). Pri niskim temperaturama (T < 4K) i niskim koncentracijama nosilaca (Fermijeva energija u odnosu na najniži podnivo E0 mala u poreĎenju sa razmakom izmeĎu podnivoa E1 i E0), samo najniži podnivo je popunjen elektronima, što vodi strogo dvodimenzionalnom elektronskom gasu sa spektrima energija:

(9.2.1)

gde je kII talasni vektor u dvodimenzionalnoj ravni.

36

Slika 9.2.2 Električne podzone i elektronske distribucije u površinskom sloju Si MOSFET-a (a) i GaAs/AlxGa1-xAs heterostrukture

Osim površine poluprovodnika, 2DEG je moguće ostvariti i na površini tečnog helijuma i u tzv. heterospojevima.

9.3. Lokalizovana i raširena stanja Fizička situacija bitno zavisi od položaja Fermijevog nivoa u odnosu na Landauove nivoe na grafiku gustine stanja (slika 9.3). Pretpostavićemo nadalje da je temperatura vrlo niska, odnosno da elektroni nemaju energiju da se bitnije izdignu iznad Fermijevog nivoa. Ako se Fermijev nivo nalazi u procepu izmrĎu Landauovih stanja otpornost pada na nulu. Naime, ne može doći do elastičnog rasejanja elektrona jer su sva stanja sa istom energijom već popunjena, a za neelastična rasejanja u kojima bi elektron primio energiju od kristalne rešetke i prešao u više stanje nema dovoljno energije. U najjednostavnijoj slici, elektroni tada opisuju zatvorene kružne putanje, tako da nema prenosa elektrona sa jednog kraja uzorka na drugi, dakle ovi elektroni ne doprinose Holovom naponu. Ova stanja se nazivaju lokalizovana.

Slika 9.3.1 Lokalizovana stanja na grafiku gustine stanja

37

Stvarna situacija je, naravno, mnogo kompleksnija, i lokalizovanost se zasniva na nasumičnom potencijalu nesavršene kristalne rešetke, koji je već spomenut u odeljku 9.1. Ovaj potencijal se slikovito može objasniti ako se uporedi sa nasumično brežuljkastim terenom, a Fermijev nivo sa nivoom vode. Dok bi voda na savršeno ravnom terenu pokrivala čitavu površinu, na neravnom se stvaraju bare, odnosno voda je lokalizovana. Centri lokalizacije elektrona u kristalnoj rešetki su atomi primese sa svojim kulonovskim silama, kao i defekti rešetke. Maksimalna energija lokalizovanih elektrona zavisi od naelektrisanja nečistoća koje prouzrukuju lokalizovana stanja. Delovi spektra koji odgovaraju lokalizovanim stanjima se nazivaju i procepi pokretljivosti. Kada se Fermijev nivo nalazi u blizini Landauovog nivoa, putanja elektrona se prostire preko čitave širine uzorka, te na taj način elektroni prenose struju s jednog kraja na drugi. Ova stanja se nazivaju raširena. U slikovitoj slici sa terenom i nivoom vode, raširena stanja odgovaraju situaciju kada se nivo vode toliko podigne da umesto kopna i bare ostaju okružene vodom. Treba istaći da, nasuprot onome što bi se na prvi pogled moglo očekivati, nečistoće su bitne za jasno uočavanje kvantnog Holovog efekta, bez njih Holovi platoi bi bili mnogo uži. Naime, nečistoće su presudne za lokalizaciju elektrona, dakle više nečistoća daje širi procep pokretljivosti, pa i širi Holov plato.

9.4. Kvantizacija Holove otpornosti Slika 9.2 predstavlja originalan, rukom iscrtan grafik von Klicinga, na kome su Holovi platoi prvi put jasno uočeni. Tu je apcisa napon Vg, koji je proporcionalan Fermijevom nivou. Umesto korišćenja magnetnog polja kao parametra pri stalnom Fermijevom nivou, von Klicing je naime radio obrnuto, držao je magnetno polje konstantnim, a pomerao je Fermijev nivo. Efekat je isti, ono što je bitno jeste da se Fermijev nivo kreće u odnosu na Landauove nivoe (slika 9.4.1).

Slika 9.4.1 Distribucija stanja sa povećanjem magnetnog polja. Sa povećanjem magnetnog polja, povećava se i ciklotronska energija hωc/2π,koja je

jednaka razmaku između Landauovih nivoa

38

Na slici 9.1 su prikazani Holovi platoi na grafiku zavisnosti Holove otpornosti ρxy, i uporedo longitudalne otpornosti ρxx od magnetnog polja B. Jasno se vidi da se područja Holovih platoa podudaraju sa područjima gde ρxx pada na nulu. Holov plato se javlja dok Fermijev nivo prolazi kroz procep pokretljivosti. Kao što je već rečeno u toj zoni izmeĎu Landauovih nivoa, elektroni ne mogu menjati svoja energetska stanja, te se kreću bez rasejanja, dakle otpornost pada na nulu. Objašnjenje kvantovanja Holove otpornosti u izvornom članku von Klicinga, Dordea i Pepera je bilo vrlo sažeto, i glasilo je otprilike ovako: Broj stanja po Landauovom nivou je:

(9.4.1)

Holova provodnost σxy, koja je inače složena funkcija procesa rasejanja, ovde, u odsustvu rasejanja, poprima jednostavnan oblik:

(9.4.2)

gde je n - koncentracija nosilaca. Kada se Landauov nivo u potpunosti napuni, i n = nLi, σxy se dobija direktno iz (9.4.1) i (9.4.2):

(9.4.3)

Holova otpornost je sada, prema (8.1.6), i uz σxx=0, ρxy= σxy

-1:

(9.4.4)

Dakle, jasno je da je Holova otpornost jednaka celobrojnom umnošku kvanta provodnosti e2/h.

9.5. Necelobrojni kvantni Holov efekat Iako je dobio Nobelovu nagradu za necelobrojni kvantni Holov efekat, Robert Lauflin je dao veliki doprinos teorijskom objašnjenju celobrojnog efekta. Njegov članak iz 1981. godine se zasniva na misaonom eksperimentu i koristi svojstva simetrije sistema, tačnije kalibracione (gejdž, lokalne) transformacije.

39

Slika 9.5 Uzorak na kome je otkriven necelibrojni kvantni Holov efekat

Eksperimentišući sa još jačim poljima i još nižim temperaturama od onih korišćenih prilikom otkrića celobrojnog kvantnog Holovog efekta, Tsui i Stromer su naišli na nešto što uopste nisu očekivali, Holove platoe na vrednostima otpornosti koje su tačno jednake racionalnim brojevima u jedinicama h/e2. Koristeći teorijsko objašnjenje Lauflina, nametao se zaključak da se izmeĎu rubova uzorka prenosi naelektrisanje koje nije jednako celobrojnoj vrednosti elementarnog naelektrisanja e. Kako bi objasnio ovaj rezultat, Lauflin je razvio teoriju prema kojoj elektroni tako jako meĎudeluju da zapravo materijal prelazi u jednu „potpuno novu fazu“, čija je manifestacija i necelobrojno naelektrisanje. To naelektrisanje je, naravno, svojstvo čitavog sistema, i ono se ne može lokalizovati samo u jednoj čestici. Na taj način je nedeljivost elementarnog naelektrisanja ostala nepovreĎena. Teorijsko objašnjenje necelobrojnog kvantnog Holovog efekta je dosta složeno, pa se stoga njime ovde nećemo baviti.

10. Primena Holovih senzora Senzori na bazi klasičnog Holovog efekta imaju široku primenu. Koriste se za merenje magnetne indukcije, merenje nekih mehaničkih veličina (kao što su pomeraj, ugaoni pomeraj, broj obrtaja, sila, pritisak, ubrzanje), merenje struje itd. Mogu se naći u računarima, CD romovima (slika 10.1), mobilnim telefonima, automobilima i nizu drugih ureĎaja. Pored toga, kvantni Holov efekat je našao vrlo važnu primenu u metrologiji. On omogućava odreĎivanje Holove otpornosti h/e2 sa izvanrednom preciznošću (~2·10-8), pri čemu nečistoće uzorka ne utiču na rezultate merenja. Na osnovu ovih svojstava, Holova otpornost za i = 1 (25.812807kΩ) od 1990. godine važi za standard za merenje otpora. Po von Klicingu, ova jedinica se naziva Klicing (1Klicing = h/e2). Osim toga, Holov efekat trenutno predstavlja najprecizniji metod za odreĎivanje konstante fine strukture α = e2/2hcε0 ≈ 1/137.036.

40

Slika 10.1 Holovi senzori u CD romu Holovi senzori u CD romovima služe za merenje i regulaciju brzine obrtaja, a takoĎe i odreĎivanje smera rotacije, upravo to je i razlog zbog koga se ugraĎuju po tri senzora (slika 10.1).

10.1. Merenje magnetne indukcije Najvažnija primena Holovih senzora je merenje magnetne indukcije. Zasniva se na linearnoj zavisnosti Holovog napona od magnetnog polja (slika 10.1.1).

Slika 10.1.1 Zavisnost Holovog napona od magnetnog polja Holovi senzori za merenje magnetne indukcije (Holovi teslametri) imaju niz dobrih osobina, kao što su: - široki merni opseg, od nekoliko μT do oko 2T, - primena od kriogenih temperatura (nekoliko K) pa do oko 120°C, - velika brzina odziva, - primenljivost u jednosmernim, naizmeničnim i impulsnim magnetnim poljima, - male dimenzije senzora reda veličine 1mm2.

41

Senzori Holovih teslametara imaju tangencijalnu i aksijalnu konstrukciju (slika 10.1.2). Tangencijalna sonda se nalazi na tankoj pločici i služi za merenje indukcije u uskim procepima. Aksijalna sonda se koristi za merenje indukcije duž ose solenoida. Držač sonde je izolator cilindričnog oblika na čijem bazisu je postavljena Holova pločica.

Slika 10.1.2 a) Tangencijalna sonda, b) aksijalna sonda Nedostaci Holovih teslametara su sledeći: - izlazni napon Holovog elementa ima odreĎenu nelinearnost karakteristike, - Holova konstanta i otpornost su temperaturski zavisne veličine, pa se kod preciznih merenja vrši termostatiranje ili naknadna korekcija rezultata, - karakteristike stare, posebno pri većim temperaturskim promenama, pa je potrebna periodična kalibracija pomoću stalnih magneta ili etalonskih instrumenata.

10.2. Merenje mehaničkih veličina Holovi senzori se koriste u merenjima pomeranja kojima se utiče na promenu jačine ili pravca magnetne indukcije. Holovim senzorima mere se i druge veličine koje se elastičnim elementima pretvaraju u proporcionalno pomeranje (sila, pritisak, ubrzanje itd.). Na slici 10.2.1 prikazana je primena Holovih senzora za merenje, odnosno detekciju pomeranja.

Slika 10.2.1 Merenje pomeranja Holovim senzorima: a) magnet se pomera upravno na pločicu,

b) i c) magnet se kreće paralelno sa pločicom

42

Pretvarači se sastoje od stalnog magneta pričvršćenog na pokretni objekt i nepokretnog Holovog senzora. Na slici 10.2.1a objekt sa stalnim magnetom se pomera upravno na površinu senzora. Na slici 10.2.1b i 10.2.1c stalni magnet se pomera paralelno Holovoj pločici. Pri merenju ugaone brzine ili ugaonog pomeranja feromagnetskih zupčanika postoji problem odreĎivanja smera rotacije. Pomoću jednog Holovog senzora se ne može odrediti smer pomeranja. Za odreĎivanje smera portrebna su dva Holova senzora, postavljenja na rastojanju od četvrtine koraka zupčanika, slika 10.2.2. Time se dobijaju izlazni impulsi, nakon uobličavanja signala, koji su fazno pomereni za oko 90°C. Ovi signali se vode na logička kola koja detektuju fazni stav. Pri jednom smeru kretanja fazno prednjači jedna, a pri promeni smera druga povorka impulsa što omogućuje detekciju smera.

Slika 10.2.2 Princip merenja ugaonog pomeranja i ugaone brzine zupčanika pomoću dva Holova senzora sa mogućnošću određivanja smera rotacije

10.3. Merenje struje U elektromotornim pogonima koriste se merila struje bazirana na Holovim pretvaračima. Holov senzor se nalazi u vazdušnom procepu feritnog magnetnog kola kroz koje prolazi provodnik kojim se napaja motor. Šema senzora prikazana je na slici 10.3.1. Magnetna indukcija u vazdušnom procepu data je izrazom

(10.3.1)

gde je lm srednja dužina feromagnetnog materijala, μr relativna permeabilnost ferita, l0 dužina vazdušnog procepa. Pri velikim vrednostima permeabilnosti jezgra (μr ≈ 103) prethodni izraz se aproksimira sa

43

(10.3.2)

tj. indukcija je obrnuto srazmerna dužini vazdušnog procepa l0. Iz poslednje dve jednačine se vidi da su indukcija B i izlazni Holov napon linearno srazmerni struji

(10.3.3)

Slika 10.3.1 Holov senzor struje; direktno merenje,kada su indukcija i Holov napon UH srazmerni struji potrošača

Senzor struje na slici 10.3.2 radi na principu jake negativne povratne sprege. Na magnetno kolo kroz koje prolazi provodnik za napajanje potrošača nalazi se kompenzacioni namot sa velikim brojem navojaka N2. U procepu magnetnog kola je Holova pločica. Izlazni Holov napon UH priključen je na ulazne krajeve operacionog pojačavača čija izlazna struja I2 teče kroz kompenzacioni namot. Kompenzacioni namot stvara indukciju suprotnog smera od indukcije koju stvara struja potrošača. Potencijalna razlika na ulaznim krajevima operacionog pojačavača, a time i izlazni Holov napon UH, moraju biti bliski nuli. To znači da rezultantna indukcija B ima nultu vrednost. To se postiže jakom negativnom povratnom spregom, pri čemu se magnetomotorne sile meĎusobno poništavaju

(10.3.4)

Pad napona na otporniku R je

(10.3.5)

Izlazni napon, kao i u prethodnom slučaju, srazmeran je struji potrošača Ip. MeĎutim, senzor struje na slici 10.3.2 ima prednost nad senzorom na slici 10.3.1 zbog bolje linearnosti.

44

Magnetomotorne sile dva namota se poništavaju, što znači da je indukcija bliska nuli, pa ne dolazi do izražaja nelinearnost usled zasićenja jezgra i histerezisa, kao ni usled nelinearnosti Holovog pretvarača.

Slika 10.3.2 Holov senzor struje; senzor na principu jake povratne sprege

10.4. Kvantni etalon otpornosti na bazi Holovog efekta Otkriće kvantnog Holovog efekta omogućilo je uspostavljanje etalona otpornosti koji zavisi samo od fizičkih konstanti. Ovaj efekat javlja se u uslovima jakog magnetnog polja od oko 10T i veoma niskoj temperaturi od oko 4.2K, tanke pločice heterospoja GaAs/AlGaAs kroz koji protiče struja I.

Slika 10.4.1 Ilustracija kvntnog Holovog elementa Holova otpornost takve dvodimenzionalne elektronske struje na krajevima pločice data je u obliku:

(10.4.1)

45

gde je n – broj platoa konstantnog Holovog napona, h – Plankova konstanta i e – naelektrisanje elektrona. RK je von Klicingova konstanta i iznosi:

(10.4.2)

a kvantna Holova otpornost je jednaka:

(10.4.3)

U praktičnim uslovima najčešće se koristi drugi i treći plato kojima odgovara Holova otpornost od 129 006.404Ω i 6 453.2018Ω.

Slika 10.4.2 Kvantna Holova otpornost u funkciji magnetne indukcije

Kalibracioni postupak odreĎivanja otpornosti etalona od 1Ω odvija se u više koraka uz pomoć automatskih ureĎaja, a delom i manuelno. Ukupna relativna merna nesigurnost odreĎivanja otpornosti etalona od 1Ω na ovaj način iznosi ± 10-7. Reproduktivnost i stabilnost ovog etalona na bazi Holovog efekta za godinu dana je reda 10-8, tako da je veoma pogodan za stalnu kontrolu.

11. Tipovi Holovih senzora Na slici 11.1 prikazani su neki od oblika Holovih senzora. Analiza pokazuje da različita geometrija ne utiče bitno na karakteristike senzora. MeĎutim, neki od oblika imaju prednost u jednostavnijoj tehnologiji proizvodnje. Pri proizvodnji Holovih senzora fotolitografskim postupkom, jednostavnije se postavljaju elektrode kod pločica oblika krsta (slika 11.1b) nego kod standardnih pravougaonih pločica (slika 11.1a).

46

Slika 11.1 Tipovi Holovih pločica: a) pravougaona pločica, b) pločica u obliku krsta, c) leptirasta pločica, d) senzor sa feritnim magnetnim kolom

11.1. Integrisani Holovi senzori Integrisani Holovi senzori sadrže Holovu pločicu i elektronska kola za pojačavanje i prilagoĎenje izlaznog signala. Koriste se dve vrste tehnologija integracije:

- hibridna tehnologija i - tehnologija monolitnih integrisanih kola.

Hibridna tehnologija ima kao nedostatak dugotrajan proces završne obrade pojedinačnih uzoraka. Tehnologija monolitnih integrisanih kola omogućuje brži i jeftiniji postupak proizvodnje celokupnog senzora. Za proizvodnju monolitnih integrisanih kola sa Holovim senzorom, najpogodniji materijali su silicijum i galijum-arsenid. Oni omogućavaju konstrukciju integrisanog kola sa malom disipacijom i potrošnjom struje. Ovi materijali su dobri i u pogledu temperaturske stabilnosti, šuma i kompatibilnsoti sa aktivnim elementima kola. Postoje dva tipa integrisanih Holovih senzora:

- linearni i - impulsni.

Na slici 11.1.1 prikazana je blok šema linearnog senzora. Oni daju izlazni signal koji je linearno srazmeran magnetnoj indukciji. Senzor ima tri priključka, od kojih dva služe za napajanje, dok se

47

na trećem dobija izlazni signal. Pored Holove pločice, linearni senzori sadrže i stabilizator za napajanje, i pojačavač izlaznog napona.

Slika 11.1.1 Blok šema integrisanog linearnog Holovog senzora

Impulsni integrisani Holov senzor (slika 11.1.2) ima strukturu kao i linerani Holov senzor, s tim što je izlazni stepen Šmitovo okidno kolo. Izlazni signal ima dva naponska stanja, visoko i nisko. Pri indukciji manjoj od donjeg praga komparacije (obično nekoliko mT), izlazni nivo je nizak. Kada normalna komponenta indukcije postane veća od gornjg praga komparacije, izlazni signal skokovito prelazi na visok nivo. Ovo važi kada je Šmitovo kolo neinvertujući komparator sa histerezisom.

Slika 11.1.2 Blok šema integrisanog impulsnog Holovog senzora

11.2. Savremeni Holovi senzori i njihova primena Novi tipovi integrisanih Holovih senzora Švajcarske firme Sentron kombinacija su Holovih senzora CMOS ASIC i Integrated Magnetic Concentrator (IMC-Hall). Ovi senzori su osetljivi na magnetno polje paralelno sa površinom čipa, za razliku od konvencionalnih Holovih senzora, koji mere samo komponentu magnetnog polja normalnu na površinu senzora. Kao i kod konvencionalnih primena magnetnih senzora, IMC senzor se koristi kao pasivni magnetski pojačavač. Struktura IMC senzora je planarna i može se integrisati direktno na CMOS vejfer. To omogućuje integraciju čitavog senzorskog sistema na jednom čipu, pri čemu se značajno poboljšavaju performanse senzora i otvaraju nove mogućnosti merenja. Na slici 11.2.1 prikazan je jedan deo od nekoliko hiljada IMC-ova, koji se nalaze na CMOS silicijumskom vejferu koji sadrži čipove sa Holovim elementima i elktronskim kolima. Nanošenje feromagnetskog sloja je obavljeno jeftinim postprocesom pogodnim za masovnu proizvodnju.

48

Zahvaljujući razvoju IMC-a, novi senzori imaju veću magnetnu osetljivost, manji ekvivalentni magnetni ofset i manji ekvivalentni magnetni šum nego konvencionalni Holovi senzori. Zato, sa stanovišta primene, ovi novi integrisani Holovi senzori su slični sa hipotetičkom nisko ofsetnim i veoma linearnim magnetorezistetivnim senzorima. IMC Holovi senzori su negde izmeĎu magnetorezistetivnih i tradicionalnih ASIC Holovih senzora.

Slika 11.2.1 IMC struktura Bolja osetljivost postiže se ugradnjom koncentratora magnetnog polja. Na slici 11.2.2 prikazan je izgled peleta IMC Holovog senzora sa koncentratorima magnetnog polja. Koncentratori magnetnog polja su napravljeni od specijalne legure kobalta i samarijuma, njihova uloga je zgušnjavanje linija magnetnog polja, odnosno povećanje fluksa magnetnog polja kroz Holov senzor, čime se postize znatno bolja osetljivost. Holovi senzori sa ugraĎenim koncentratorima imaju bolju osetljivost (slika 11.2.3) i manju relativnu i apsolutnu grešku merenja (slika 11.2.4) u poreĎenju sa drugim modelima Holovih senzora.

Slika 11.2.2 Izgled peleta IMC Holovog senzora sa koncentratorima magnetnog polja firme Sentron. Realizovanog CMOS tehnologijom

49

Slika 12.2.3 Osetljivost Holovog senzora sa koncentratorima magnetnog polja firme Sentron

Slika 12.2.4 Apsolutna i relativna greška Holovog senezora sa koncentratorima magnetnog polja firme Sentron

Novi Sentronovi IMC Holovi senzori su:

- CSA-1V – strujni senzor sa jednom osom osetljivosti magnetnog polja, - 1SA-1V – senzor pomeraja sa jednom osom osetljivosti magnetnog polja i - 2SA-10 – ugaoni senzor i senzor pomeraja sa dve ose osetljivosti magnetnog polja.

Svi ovi senzori su integrisani CMOS senzori koji u sebi imaju Holove elemente, izvor napajanja, pojačavač i mogućnost programiranja (odreĎivanja) pojačanja, ofseta i temperaturnog koeficijenta.

11.3. CSA-1V senzor CSA-1V senzor se koristi za merenje struje kroz spoljašnji provodnik (slika 11.3.1) ili kroz trakasti provodnik na PCB-u koji se nalazi ispod senzora (slika 11.3.2).

50

Slika 11.3.1 Merenje struje kroz spoljašni Slika 11.3.2 Merenje struje kroz provodnik provodnik na PCB-u CSA-1V senzor na izlazu daje diferencijalni analogni napon proporcionalan jačini magnetnog polja (magnetne indukcije), nastalog prolaskom struje kroz provodnik u blizini senzora:

(11.3.1)

(11.3.2)

Apsolutna tačnost merenja struje zavisi od nekoliko faktora. Jedan od faktora su promene u magnetnoj osetljivosti senzora CSA-1V koje iznose ±3%. Drugi faktor je naponski ofset koji prema specifikaciji ima maksimalnu vrednost od 10mV. Generalno govoreći, što je veća struja u provodniku i što je on bliži samom senzoru, to je i tačnost samog očitavanja veća. MeĎutim, treba poštovati i granice električnog i magnetnog zasićenja. Pri malim strujama kada je izlazni napon mali i ofset od 10mV može izazvati značajnu grešku prilikom merenja. Na primer, ako je maksimalni izlazni napon jednak 200mV, tada ofset od 10mV izaziva grešku od 5% prilikom merenja. Sa promenom osetljivosti od 3% i greškom ofseta od 5% maksimalna greška pri merenju malih struja je dakle prilično velikih 8%. CSA-1V senzor ima odličnu linearnost u opsegu od 0 - 5mT i dostiže električno zasićenje na oko 8.3mT. Senzor neće biti uništen ni pri magnetnim poljima od 1T, pa prema tome velike struje neće uništiti senzor i vreme oporavka senzora od ovakvih uslova meri se u mikrosekundama. CSA-1V ima propusni opseg od 100kHz i vreme odziva od 6μs. Vreme odziva sastoji se od dve komponente. Prva je vreme skeniranja od strane samog Holovog elementa unutar čipa i iznosi 3μs, a druga je vreme porasta signala na izlaznim drajverima čipa i iznosi takoĎe 3μs.

51

Slika 11.3.3 Odziv na impulsnu strujnu pobudu

11.4. 1SA-1V senzor 1SA-1V je senzor sa jednom osom osetljivosti magnetnog polja i ima sledeće karakteristike:

- osetljiv je na magnetno polje paralelno površini čipa senzora, - veliku osetljivost, - daje analogni i digitalni izlazni napon, - veoma mali ofset i ofset drifta, - veoma mali šum, - SOIC – 8 kućište za površinsko lemljenje na ploču.

Primena 1SA-1V senzora:

- merenje slabog magnetnog polja, - bezkontaktno merenje rastojanja i pomeraja, - merenje struje DC i AC (frekvencije do 10kHz), - prekidač u funkciji jačine magnetne indukcije (npr. rastojanja magneta od senzora).

Slika 11.4.1 Izgled 1SA-1V senzora i njegov blok dijagram

52

11.5. 2SA-10 senzor 2SA-10 je senzor sa dve ose osetljivosti magnetnog polja i ima sledeće karakteristike:

- osetljiv je na magnetno polje paralelno površini čipa senzora, - veliku osetljivost, - meri dve komponente magnetnog polja u isto vreme, - veliku tačnost; maksimalna greška pri merenju ugla je manja od 1°, u širokom

temperaturnom opsegu (-40°C,+150°C), - veoma mali histerezis, - veoma mali šum, - SOIC – 8 kućište za površinsko lemljenje na ploču.

Primena 2SA-10 senzora:

- merenje položaja u 2D ravni, - bezkontaktno merenje rastojanja i pomeraja, - merenje uglova kod mikro motora, - pravljenje minijaturnih bezkontaktnih enkodera, - bezkontaktni rotirajući prekidač, - kod izrade džojstika.

Slika 11.5.1 Izgled 2SA-10 senzora i njegov blok dijagram Senzor 2SA-10 detektuje apsolutnu ugaonu poziciju malih magneta, koji se nalaze iznad površine senzora. Ovaj senzor je integrisana kombinacija CMOS Holovog senzora i tankog feromagnetnog

53

diska. CMOS kolo sadrži dva para Holovih elemenata, za svaki od dva pravca x i y, koja su paralelna sa površinom čipa. Feromagnetni disk pojačava spoljašnje magnetno polje i koncentriše ga na Holove elemente. Senzor 2SA-10 je pogodan za primene kod odreĎivanja pozicija rotirajućih elemenata u industrijskim uslovima. On na izlazu daje dva linearna naponska signala, koji su proporcionalni sinusnoj i kosinusnoj funkciji ugla magnetnog polja, paralelnog sa površinom čipa. Senzor se proizvodi korišćenjem standardnog CMOS procesa, a feromagnetni disk se dodaje u jednostavnom postprocesnom koraku. U senzoru su integrisani: Holovi elementi, kolo za eliminaciju ofseta, strujni izvor i omogućeno je programiranje pojedinih parametara. Kao rezultat toga, ureĎaj ima jako stabilan izlazni signal i otporan je na mehaničke potrese i temperaturne promene. Pored do sada opisanih Holovih senzora, u prilogu je dat opis i tehničke karakteristike Holovog senzora CY-P15A firme ChangYang Technologies GmbH & Co. KG.

54

12. Eksperimentalna merenja

12.1. Merenje električnih karakteristika Holovih senzora Merenja su izvršena u laboratoriji firme Sentronis na Elektronskom fakultetu u Nišu. Aparatura se sastoji od elektromagneta Bruker B-E 15, izmeĎu čijih se polova stavlja uzorak, odnosno Holov senzor čije se karakteristike ispituju (slika 12.1.1a) i pomoću koga se vrši promena magnetnog polja, zatim od izvora napajanja, Keithley 2400 Source Mater firme Tektronix, pomoću koga se održava stalna jačina struje (slika 12.1.1b), Agilent 34401A 61/2 Digit multimera, pomoću koga očitavamo vrednosti Holovog napona u uzorku (slika 12.1.1c) i Metrolab NMR PT 2025 ureĎaja pomoću koga očitavamo vrednost magnetnog polja izmeĎu polova elektromagneta (slika 12.1.1d).

Slika 12.1.1 Aparatura elektromagnet Bruker B-E 15, uvećano (a) polovi elektromagneta, između

kojih se stavlja uzorak, (b) izvor napajanja Keithley 2400 Source Mater firme Tektronix, (c) Agilent 34401A 61/2 Digit multimer, (d) Metrolab NMR PT 2025

55

Izvršena su meranja za dva uzorka (dva tipa Holovih senzora11), prikazanih na slici 12.2.2. Za svaki uzorak uraĎena su tri seta merenja, prvo sa konstantnom strujom kroz Holov senzor od 0.5mA, a onda od 1 i 1.5mA. Ulazni pinovi Holovih senzora se povezuju na izvor napajanja, pomoću koga se održava konstantna struja kroz uzorak (Ih), dok se izlazni povezuju na digitalni multimer, sa koga očitavamo vrednosti za Uh (Holovog napona). Uzorak se zatim pričvršćuje izmeĎu polova elektromagneta, izmeĎu kojih se uspostavlja magnetno polje. Merenja se vrše za različite vrednosti magnetne indukcije. Prilikom merenja karakteristika prvog uzorka korišćene su odgovarajuće sonde za različite opsege magnetne indukcije, radi tačnosti očitavanja magnetne indukcije. U drugom slučaju to nije bilo potrebno, jer su vrednosti magnetne indukcije očitavane pomoću digitalnog teslametra.

Slika 12.1.2 Holovi senzori čije su karakteristike merene

11 Nije tačno poznato o kojoj se vrsti Holovih senzora radi, na slici 12.1.2 su oni jednostavno obeleženi sa M1 i M2

56

Za drugi set merenja (snimanje karakteristika uzorka M2), za očitavanje vrednosti indukcije magnetnog polja korišćen je digitalni teslametar 3MH3 firme Senic (Slika 12.1.3).

Slika 12.1.3 Digitalni teslametar 3MH3 Na kraju je izvršeno merenje početne (nulte) osetljivosti, odnosno početnog offseta uzoraka pomoću ureĎeja Magnet-Physik NK-4060, prikazanog na slici 12.1.4, unutar koga se obezbeĎuje nulto magnetno polje, a u cilju otklanjanja uticaja magnetnog polja Zemlje, okolnih ureĎaja i sličnog na rezultate merenja. Zatim su od dobijenih vrednosti za magnetnu indukciju oduzete vrednosti početne osetljivosti.

Slika 12.1.4 Merenje offseta; Magnet-Physik NK-4060

57

Dobijeni rezultati prikazani su u tabelama 12.1.1 – 12.1.8 i odgovarajućim graficima datim na slikama 12.1.5 – 12.1.14: Uzorak M1

Tabela 12.1.1 Izmerene vrednosti za B i Uh pri konstantnoj struji od Ih = 0.5mA

B [mT] Uh [mV] Uh-offset [mV]

50.46 27.86 5.06

99.44 29.76 6.96

156 32.05 9.25

202.7 33.05 10.25

248 34.08 11.28

352.6 36.64 13.84

401.3 38.02 15.22

457.2 39.65 16.85

502.1 40.95 18.15

Početna osetljivost (offset) senzora i ureĎaja: 22.8mV

Tabela 12.1.2 Izmerene vrednosti za B i Uh pri konstantnoj struji od Ih = 1mA

B [mT] Uh [mV] Uh-offset [mV]

50.95 57.3 11.6

106.5 62.4 16.7

151.65 64.3 18.6

208.1 66.4 20.7

251.9 68.3 22.6

342.6 72.93 27.23

402.76 76.1 30.4

447.6 78.6 32.9

499.1 81.5 35.8

Početna osetljivost (offset) senzora i ureĎaja: 45.7mV

Tabela 12.1.3 Izmerene vrednosti za B i Uh pri konstantnoj struji od Ih = 1.5mA

B [mT] Uh [mV] Uh-offset [mV]

50.95 85.6 15.6

96.5 92.4 22.4

155.7 96.1 26.1

200.4 98.8 28.8

260 102.7 32.7

352.4 109.4 39.4

395 112.95 42.95

465.8 119.1 49.1

502.8 122.4 52.4

Početna osetljivost (offset) senzora i ureĎaja: 70mV

58

Slika 12.1.5 Zavisnost Holovog napona Uh od magnetne indukcije B pri Ih=0.5mA

Slika 12.1.6 Zavisnost Holovog napona Uh od magnetne indukcije B pri Ih=1mA

Slika 12.1.7 Zavisnost Holovog napona Uh od magnetne indukcije B pri Ih=1.5mA

59

Slika 12.1.8 Zavisnost Holovog napona Uh od magnetne indukcije B pri Ih=0.5mA, Ih=1mA i Ih=1.5mA, kao i zavisnost Holovog napona Uh od struje Ih pri B=250±5mT

Tabela 12.1.4 Izmerene vrednosti za Ih i Uh pri konstantnom magnetnom polju od B = 250 ± 5mT

Ih [mA] Uh [mV]

0.5 11.28

1 22.6

1.5 32.7

Slika 12.1.9 Zavisnost Holovog napona Uh od struje Ih pri B=250±5mT

60

Uzorak M2

Tabela 12.1.5 Izmerene vrednosti za B i Uh pri konstantnoj struji od Ih = 0.5mA

B [mT] Uh [mV] Uh-offset [mV]

42 7.8 8.18

102.2 19.54 19.92

142 27.6 27.98

212 42 42.38

251 49.4 49.78

300 57.7 58.08

350 65.7 66.08

409 75.1 75.48

447 80.8 81.18

537 93.8 94.18

Početna osetljivost (offset) senzora i ureĎaja: -0.38mV

Tabela 12.1.6 Izmerene vrednosti za B i Uh pri konstantnoj struji od Ih = 1mA

B [mT] Uh [mV] Uh-offset [mV]

43 16.37 17.14

107.5 42.92 43.69

160 64.85 65.62

211.5 86.15 86.92

250 101 101.77

289 114.4 115.17

353 134.8 135.57

404 150 150.77

443 160.9 161.67

515 181.4 182.17

Početna osetljivost (offset) senzora i ureĎaja: -0.77mV

Tabela 12.1.7 Izmerene vrednosti za B i Uh pri konstantnoj struji od Ih = 1.5mA

B [mT] Uh [mV] Uh-offset [mV]

41.8 24.22 25.42

90 53.7 54.9

153 92.75 93.95

195 118.87 120.07

246.6 148.6 149.8

298 175.25 176.45

349 199.5 200.7

410 226.5 227.7

460 248 249.2

510 269.2 270.4

Početna osetljivost (offset) senzora i ureĎaja: -1.2mV

61

Slika 12.1.10 Zavisnost Holovog napona Uh od magnetne indukcije B pri Ih=0.5mA

Slika 12.1.11 Zavisnost Holovog napona Uh od magnetne indukcije B pri Ih=1mA

Slika 12.1.12 Zavisnost Holovog napona Uh od magnetne indukcije B pri Ih=1.5mA

62

Slika 12.1.13 Zavisnost Holovog napona Uh od magnetne indukcije B pri Ih=0.5mA, Ih=1mA i Ih=1.5mA, kao i zavisnost Holovog napona Uh od struje Ih pri B=250±5mT

Tabela 12.1.8 Izmerene vrednosti za Ih i Uh pri konstantnom magnetnom polju od B = 250 ± 5mT

Ih [mA] Uh [mV]

0.5 49.78

1 101.77

1.5 149.8

Slika 12.1.14 Zavisnost Holovog napona Uh od struje Ih pri B=250±5mT

Dakle, kao što vidimo sa dobijenih grafika, dobili smo približno linearne zavisnosti izmeĎu veličina Uh i B pri konstantnoj struji Ih i veličina Uh i Ih pri konstantnom B. Dobijeni rezultati su približno u saglasnosti sa teorijom koja predviĎa linearnu zavisnost izmeĎu ovih veličina.

63

12.2. Merenje brzine obrtaja Merenja su izvršena u laboratoriji za Fizičko-tehnička merenja i senzore na Prirodno-matematičkom fakultetu u Nišu. Aparatura se sastoji od elektromotora čiji se broj obrtaja meri (u ovom slučaju floppy disk predstavlja elektromotor), izvora napajanja kojim se napaja elektromotor, osciloskopa, Holovog senzora, AD kartice za akviziciju podataka i računara na kome se uz pomoć odgovarajućeg softvera prikazuju rezultati merenja. Aparatura je prikazana na slici 12.2.1, a blok šema aparature na slici 12.2.2.

Slika 12.2.1 Aparatura: a) Osciloskop Tektronix TDS 2012, b) Izvor napajanja elektromotora, c) Elektromotor (Floppy disk), d) Holov senzor, e) AD kartica PCI-20428W-1

Slika 12.2.2 Blok šema aparature

64

Pomoću izvora napajanja pokrećemo elektromotor, koji počinje da se okreće, naravno, različitom ugaonom brzinom za različite vrednosti napona. U magnetnom polju elektromotora postavljamo Holov senzor, koji napajamo pomoću baterije od 4V. Izlazni pinovi Holovog senzora povezani su sa AD karticom PCI-20428W-1, koja konvertuje dolazni signal u digitalni, a isti se zatim pomoću programa Visual Designer 3.0 firme Intelligent Instrumentation prikazuje na računaru (blok dijagram softvera prikazan je na slici 12.2.3). TakoĎe, izlazni signal se prikazuje i direktno na osciloskopu Tektronix TDS 2012.

Slika 12.2.3 Blok šema softvera

Dobijeni rezultati za vrednosti napona napajanja od U = 4.8V, U = 5V, U = 5.2V i U = 6V dati su respektivno na slikama 12.2.4 – 12.2.7.

Slika 12.2.4 Snimak za ulazni napon od 4.8V

65

Slika 12.2.5 Snimak za ulazni napon od 5V

Slika 12.2.6 Snimak za ulazni napon od 5.2V

Slika 12.2.7 Snimak za ulazni napon od 6.2V

66

Na kraju, uraĎeni su snimci izlaznih signala i pomoću digitalnog osciloskopa Tektronix TBS 1152B-EDU koji su dati na slici 12.2.8.

Slika 12.2.8 Snimci za različite vrednosti napona napajanja dobijeni direktno na digitalnom osciloskopu Tektronix TBS 1152B-EDU

Broj obrtaja, odnosno brzina obrtaja se na kraju lako dobijaju iz:

(12.1.1)

gde je T period jedne oscilacije (od maksimuma do maksimuma sinusoide) i direktno se odreĎuje sa dobijenih snimaka.

67

Zaključak U ovom radu je izvršena teorijska i eksperimentalna analiza Holovog efekta na osnovu klasičnog i kvantnog modela. TakoĎe, izvršena je i analiza karakteristika Holovih senzora i njihova primena za merenje fizičkih veličina: magnetne indukcije, struje, linearnog i ugaonog pomeraja i brzine. Dat je i pregled karakteristika pojedinih Holovih senzora. Na kraju, u poglavlju 12, prikazani su eksperimentalni rezultati snimanja električnih karakteristika Holovih senzora, koji su potvrdili napred iznete teorijske pretpostavke. TakoĎe, u poglavlju 12, dat je i eksperimentalni primer primene Holovih senzora za merenje ugaone brzine. Na osnovu svega izloženog vidi se da će Holovi senzori imati sve veću i veću primenu u različitim oblastima nauke i tehnike. Zbog svega, Holovi senzori biće i nadalje predmet intenzivnog naučnog i tehnološkog proučavanja i usavršavanja u cilju nalaženja novih struktura kako bi se postigla što veća osetljivost, smanjile dimenzije i proširile oblasti njihove primene.

68

Prilog

CY-P15A Holov senzor (Chen Yang Tehnologies GmbH & Co. KG) CY-P15A Holov senzor je poznat po veoma visokoj osetljivosti i malom temperaturnom koeficijentu. Ovaj senzor je napravljen tehnikom površinskog molekularnog zračenja, koja obezbeĎuje odličnu uniformnost i produktivnost. Karakteristike:

Veoma velika osetljivost (1000 V/AT) Veoma mala potrošnja energije Mala odstupanja od linearnosti Holovog napona Mali plastični paket SOT-143 za površinsku montažu

Primena:

Merenje magnetnog polja Primena na niskim temperaturama Merenje struje i snage Mikroprekidači Pozicioni senzori

1. Model CY-P15A Holov senzor je proizveden od AlGaAs/InGaAs/GaAs-2DEG (dvodimenzionalni elektronski gas) heterospoja poluprovodnika. 2. Maksimalne nominalne vrednosti

Parametar oznaka nominalna vrednost

jedinica

Kontrolni napon Vc 6 V Kontrolna struja Ic 1.5 mA Disipacija snage PD 9 mW Operativna temperatura Top -100 ~ +180 °C Temperatura skladištenja Ts -100 ~ +180 °C Temperatura lemljenja* Tsol 260 °C

* Vreme lemljenja: 10 s

69

3. Električne karakteristike

Parametri oznaka uslovi testiranja MIN TYP MAX jedinica Izlazni Holov napon VH IC=1mA, B=100mT - 100 - mV

Zaostali odnos*1 VH0/VH IC=1mA -10 - +10 % Zaostali odnos*1 VH0/VH IC=0.5mA -4 - +4 % Ulazna otpornost RIN IC=0.1mA, B=0mT 3.9 4 4.4 kΩ Izlazna otpornost ROUT IC=0.1mA, B=0mT 3.9 4 4.4 kΩ

Temperaturni koeficijent Holovog napona*2

α IC=1mA, B=100mT (T1=-100°C, T2=180°C)

-0.05 -0.1 -0.13 %/°C

Temperaturni koeficijent ulazne otpornosti*3

β IC=1mA, B=0mT (T1=-100°C, T2=180°C)

- 0.3 0.4 %/°C

Linearnost Holovog napona*4

γ IC=1mA, B1=60mT, B2=500mT

- 1 1.5 %

*1 Zaostali odnos *2

*3

*4

VHO: Offset napona B: Gustina magnetnog fluksa T1, T2: Temperatura ambijenta KH: Strujna osetljivost

70

4. Tipične karakteristike Hall Voltage vs. Magnetic Flux Density Hall Voltage vs. Magnetic Flux Density Vc = 6V Ic = 1mA

Hall Voltage vs. Control Current Hall Voltage vs. Control Voltage B = 100mT B = 100mT

71

5. Šema senzora [mm]

Dimenzije paketa SOT 143 Pinovi za konekciju

Min (mm) Max (mm) A 2.8 3.04 B 1.2 1.39 C 0.89 1.14

Pin br. Polaritet D 0.39 0.5 1 Ulaz + F 0.79 0.93 2 Izlaz - G 1.78 2.03 3 Izlaz + H 0.013 0.1 4 Ulaz - J 0.08 0.15

K 0.46 0.6 L 0.445 0.6 R 0.72 0.83 S 2.11 2.48

72

Literatura [1] R.S. Popović, Hall Effect Devices, IOP Publishing Ltd., 2ed, Bristol, UK, 2004. [2] G. Burns, Solid State Physics, Academic Press Inc., London, 1985. [3] C. Kittel, Uvod u fiziku čvrstog stanja, Savr. Administr., Beograd 1970. [4] D. Stanković, Osnovi Fizičko-tehničkih merenja – Senzori, Univerzitet u Beogradu, Beograd, 1977. [5] S. M. Sze, Semiconduductor Sensors, J. Wiley, New York, 1994. [6] J. Fraden, Handbook of Modern Sensors, Springer, 4ed, New York, 2010. [7] E. Ramsden, Hall-Effect Sensors – Theory and Application, Elsevier Inc., London, 2006. [8] P. S. Kireev, Fizika poluprovodnikov, Višaja škola, Moskva, 1975. [9] K. V. Šalimova, Fizika poluprovodnikov, Energia, Moskva, 1975. [10] D. A. Tjapkin, Fizička elektronika i elektronska fizika čvrstog tela, Elektrotehnički fakultet i Naučna knjiga, Beograd, 1988. [11] S. Ristić, Diskretne poluprovodničke komponente, Univerzitet u Nišu, Niš, 1990. [12] R. S. Popovic et al., „Magnetfeldsensor“, Swiss patent CH 659 896 A5, application date: 22.11.1982. [13] R. S. Popovic, P. M. Drljaca, C. Schott, R. Racz, „Integrated Hall Sensors / Flux Concentrator Microsystems“, Invited Lecture, 37th International Conference On Microelectronics, Devices And Materials, MIDEM 01, Bohinj, Slovenia, October 2001. [14] Z. Pavlović, Fizika čvrstog stanja, predavanja, PMF, Niš, 2012/13. [15] Z. Pavlović, Fizička i tehnička merenja, predavanja, PMF, Niš, 2012/13. [16] http://www.automatika.rs/baza-znanja/senzori/holov-senzor.html [18] http://www.sentron.nl/ [17] http://sentronis.rs/