Upload
sasas
View
345
Download
14
Embed Size (px)
DESCRIPTION
proracun zapremine tela
Citation preview
Zapremina rotacionog tela
Dr piro Gopevi
Sadraj
Uvod
Zapremina tela proizvoljnog oblika
Zapremina rotacionog tela
Telo dobijeno rotacijom krive oko x ose
Telo dobijeno rotacijom krive oko y ose
Telo dobijeno rotacijom zatvorene oblasti oko ose paralelne sa x ili y osom
Neautorizovani tekst. 2
U nalaenju zapremine tela susreemo se sa istim problemom kao pri nalaenju povrine
Intuitivno znamo ta je zapremina tela
Sada emo da damo, pomou integralnog rauna, preciznu definiciju zapremine tela
Neautorizovani tekst. 3
Uvod
Startujemo sa jednostavnim tipom tela kao to je cilindar
Sa slike se vidi da je cilindar ogranien sa ravnom oblau B1, koja se
zove baza, i podudarnom
oblau B2 koja je
paralelna sa oblasti B1
Neautorizovani tekst. 4
Cilindar
Ako je:
povrina osnove A
visina cilindra (rastojanje od B1 do B2) je h
zapremina cilindra V je
V = Ah
Neautorizovani tekst. 5
Cilindar
Posebno, ako je osnova krug prenika r, tada se cilindar zove valjak i njegova zapremina je
V = r2h = Ah
Neautorizovani tekst. 6
Valjak
Problem: Nai zapreminu tela proizvoljnogoblika
Reenje: Za telo S koje nije cilindar, prvo seemo telo S u komade i aproksimiramo svaki komad sa cilindrom
Zapreminu S dobijamo sabiranjem zapremina cilindara
Neautorizovani tekst. 7
Zapremina tela
Telo S seemo (delimo) sa ravnima Px Ravan Px , je normalna na x-osu i prolazi kroz taku
x, gde je a x b.
Neautorizovani tekst. 8
Zapremina tela
Presek ravni i tela jeravna oblast koja se zove popreni presek tela S
Povrina ravne oblasti je A(x)
Povrina poprenog preseka tela A(x) se menja kako se menja x od a do b.
Neautorizovani tekst. 9
Zapremina tela
Seenjem tela ravnima Px1, Px2, . . . koja su na istim rastojanjima x, telo S delimo na n rebara jednake irine x
Neautorizovani tekst. 10
Zapremina tela
Ako izaberemo take xi* u [xi - 1, xi], moemo da aproksimiramo i to rebro Si (deo tela S
koje lei izmeu ravni i ) sa cilindrom
koji ima povrinu osnove A(xi*) i visinu x.
1ixP
ixP
Neautorizovani tekst. 11
Zapremina tela
Zapremina i tog rebara Si je
Sabiranjem zapremine svih rebara n, dobijamo priblino zapreminu tela
Aproksimacija postaje sve bolja i bolja kako n
Zamislite da rebra postaju sve tanja i tanja
*( ) ( )i iV S A x x
Neautorizovani tekst. 12
1( *)
n
ii
V A x x=
Zapremina tela
Neka je S telo:
koje lei izmeu x = a i x = b
A(x) - povrina poprenog preseka tela S, u ravni Pxkroz x, je normalna na x-osu i neprekidna je funkcija
tada je zapremina od S:
Najvei je problem nai A(x)
1lim ( *) ( )
n b
iax i
V A x x A x dx
=
= =
Neautorizovani tekst. 13
Zapremina tela
Primer: Telo je 75cm dugo i 25cm iroko. Visina tela se ravnomerno menja od 3cm do 10cm. Nai zapreminu tela
75cm
25cm
3cm10cm
0 x 75
d
: 7 : 75d x=
( )775( ) 3 25A x x= +( )A x
( )75 7750 3 25 V x dx= + 3 12,187.5 cm=
Zapremina tela
h
h=d+3
( ) 25A x h=
Primer: Pokaite da je zapremina lopte
Reenje:
343V rpi=
Neautorizovani tekst. 15
Lopta
Neka je centar lopte u koordinatnom poetku
Ravan Px see loptu po krugu iji poluprenik , na osnovu Pitagorine teoreme, je:
Povrina poprenog
preseka je
2 2y r x=
Neautorizovani tekst. 16
Lopta
2 2 2( ) ( )A x y r xpi pi= =
Iz definicije zapremine sa a = -r i b = r, imamo:
(Integrand je parana
funkcija)
( )2 22 2
0
3 32 3
034
3
( )
2 ( )
2 23 3
r r
r r
r
r
V A x dx r x dx
r x dx
x rr x r
r
pi
pi
pi pi
pi
= =
=
= =
=
Neautorizovani tekst. 17
Lopta
Telo dobijeno rotacijom krive oko x ose
a bx
f(x)
( )A x = [ ]2( )f xpi[ ]2( )b
aV f x dxpi=
Popreni presek je krug koji je normalan na osu rotacije
Zapremina rotacionog tela
Primer: Naite zapreminu tela dobijenog rotacijom oblasti ispod oko x-ose od 0 do 1.
Reenje:
y x=
Neautorizovani tekst. 19
Zapremina rotacionog tela
Oblast koja rotira prikazana je na prvoj slici
Ako rotiramo oko x-ose, dobijamo telo prikazano na desnoj slici.
Kada preseemo telo kroz taku x, dobijamo disk sa poluprenikom
x
Neautorizovani tekst. 20
Zapremina rotacionog tela
Povrina poprenog peseka je:
Zapremina jednog cilindra sa visinom x je:
2( ) ( )A x x xpi pi= =
( )A x x x xpi =
Neautorizovani tekst. 21
Zapremina rotacionog tela
Telo lei izmeu x = 0 i x = 1.
Zapremina tela je:1
01
012
0
( )
2 2
V A x dx
xdx
x
pi
pipi
=
=
= =
Neautorizovani tekst. 22
Zapremina rotacionog tela
Telo dobijeno rotacijom krive oko y ose
( )A y = [ ]2( )x ypi[ ]2( )d
cV x y dypi=
Popreni presek je krug koji je normalan na osu rotacije.
Zapremina rotacionog tela
Primer: Naite zapreminu tela dobijenog rotaciom oblasti ograniene sa y = x3, y =8, i x = 0 oko y-ose
Reenje:
Neautorizovani tekst. 24
Zapremina rotacionog tela
Kada oblast rotira oko y-ose, ima smisla da se delovi tela odsecaju normalno na y-osu i da se zapremina nae intgracijom u odnosu na y
Seenjem na visini y, dobijamo kruni disksa prenikom x, gde je
3x y=
Neautorizovani tekst. 25
Zapremina rotacionog tela
Povrina poprenog preseka kroz y je:
Zapremina cilindra je
2 2 2/33( ) ( )A y x y ypi pi pi= = =
2/3( )A y y y ypi =
Neautorizovani tekst. 26
Zapremina rotacionog tela
Poto telo lei izmeu y = 0 i y = 8, njegova zapremina je:
8
08 2 30
853 35
0
( )
965
V A y dy
y dy
y
pi
pipi
=
=
= =
Neautorizovani tekst. 27
Zapremina rotacionog tela
Zapremina tela dobijena rotacijom zatvorene oblasti oko ose koja je paralelna sa
x-osom
y osom
( )ba
V A x dx=
Neautorizovani tekst. 28
Zapremina rotacionog tela
( )dc
V A y dy=
Popreni presek je prsten
Naemo unutranji poluprenik prstena rin i spoljanji poluprenik prstena rout . Tada je
A = (rout)2 (rin)
2
Neautorizovani tekst. 29
Zapremina rotacionog tela
Primer: Oblast zatvorena krivima y = x i y = x2
rotira oko x-ose. Naite zapreminu dobijenog tela
Reenje:
Neautorizovani tekst. 30
Zapremina rotacionog tela
Krive y = x i y = x2 seku se u takama (0, 0) i (1, 1)
Popreni presek je prsten iji je unutranji prenik rin=x2 i
spoljanji rout= x
Oblast izmeu krivih, telo dobijeno rotacijom, i popreni presek normalan na x-osu vide se na slici
Neautorizovani tekst. 31
Zapremina rotacionog tela
Povrina prstena je
Zapremina tela dobijenog rotacijom
2 2 2 2 4( ) ( ) ( )A x x x x xpi pi pi= =
Neautorizovani tekst. 32
1 1 2 4
0 0
2( ) ( )15
V A x dx x x dx pipi= = =
Zapremina rotacionog tela
Primer: Naite zapreminu tela dobijenog rotacijom oblasti izmeu krivih y = x i y = x2 oko linije y = 2
Reenje:
Neautorizovani tekst. 33
Zapremina rotacionog tela
Popreni presek je prsten
Unutranji poluprenik rin= 2 x,
Spoljanji poluprenik rout= 2 x2
Neautorizovani tekst. 34
Zapremina rotacionog tela
Povrina poprenog preseka prstena je
Zapremina tela dobijena rotacijom je
2 2 2( ) (2 ) (2 )A x x xpi pi=
Neautorizovani tekst. 35
( )1 1 22 20 0
8( ) 2 (2 )5
V A x dx x x dx pipi = = =
Zapremina rotacionog tela
Primer: Naite zapreminu tela dobijenog rotacijom oblasti izmeu krivih y = x i y = x2
oko linije x = -1
Reenje:
Neautorizovani tekst. 36
Zapremina rotacionog tela
Kod horizontalnog prstena
Unutranji poluprenik rin= 1 + y
spoljanji poluprenik je rout=1 y+
Neautorizovani tekst. 37
Zapremina rotacionog tela
Povrina poprenog preseka je:
Zapremina tela dobijenog rotacijom je( ) ( )2 2( ) 1 1A y y ypi pi= + +
Neautorizovani tekst. 38
Zapremina rotacionog tela
( ) ( )21 1 20 0( ) 1 1 2V A y dy y y dy pipi = = + + =
Neautorizovani tekst. 39
Zapremina
Zapremina tela koja nisu dobijena rotacijom
Neautorizovani tekst. 40
In the following examples, we find
the volumes of three solids that are
not solids of revolution.
Neautorizovani tekst. 41
Zapremina
Primer: The figure shows a solid with a circular base
of radius 1. Parallel cross-sections
perpendicular to the base are equilateral
triangles.
Find the volume of the solid.
Neautorizovani tekst. 42
Zapremina
Lets take the circle to be x2 + y2 = 1.
The solid, its base, and a typical cross-section
at a distance x from the origin are shown.
Neautorizovani tekst. 43
Zapremina
As B lies on the circle, we have
So, the base of the triangle ABC is
|AB| =
21y x=
22 1 x
Neautorizovani tekst. 44
Zapremina
Since the triangle is equilateral, we see
that its height is 23 3 1y x=
Neautorizovani tekst. 45
Zapremina
Thus, the cross-sectional area is :
2 212
2
( ) 2 1 3 13(1 )
A x x x
x
=
=
Neautorizovani tekst. 46
Zapremina
The volume of the solid is:
1
11 12 2
1 013
0
( )
3(1 ) 2 3(1 )
4 32 33 3
V A x dx
x dx x dx
xx
=
= =
= =
Neautorizovani tekst. 47
Zapremina
Primer: Find the volume of a pyramid
whose base is a square with side L
and whose height is h.
Neautorizovani tekst. 48
Zapremina
We place the origin O at the vertex
of the pyramid and the x-axis along its
central axis.
Any plane Px that passes through x and is perpendicular to the x-axis intersects the pyramid in a square with side of length s.
Neautorizovani tekst. 49
Zapremina
We can express s in terms of x by observing
from the similar triangles that
Therefore, s = Lx/h
Another method is to observe that the line OP has slope L/(2h)
So, its equation is y = Lx/(2h)
22
x s s
h L L= =
Neautorizovani tekst. 50
Zapremina
Thus, the cross-sectional area is:
22 2
2( )LA x s xh
= =
Neautorizovani tekst. 51
Zapremina
The pyramid lies between x = 0 and x = h.
So, its volume is:0
22
20
2 3 2
20
( )
3 3
h
h
h
V A x dx
Lx dx
hL x L hh
=
=
= =
Neautorizovani tekst. 52
Zapremina
In the example, we didnt need to place
the vertex of the pyramid at the origin.
We did so merely to make the equations simple.
Neautorizovani tekst. 53
Zapremina
Instead, if we had placed the center of
the base at the origin and the vertex on
the positive y-axis, as in the figure, you can
verify that we would have
obtained the integral:2
220
2
( )
3
h LV h y dyh
L h
=
=
Neautorizovani tekst. 54
Zapremina
Primer: A wedge is cut out of a circular cylinder of
radius 4 by two planes. One plane is
perpendicular to the axis of the cylinder.
The other intersects the first at an angle of 30
along a diameter of the cylinder.
Find the volume of the wedge.Neautorizovani tekst. 55
Zapremina
If we place the x-axis along the diameter
where the planes meet, then the base of
the solid is a semicircle
with equation
-4 x 4216 ,y x=
Neautorizovani tekst. 56
Zapremina
A cross-section perpendicular to the x-axis at
a distance x from the origin is a triangle ABC,
whose base is and whose height
is |BC| = y tan 30 =
216y x= 216 3.x
Neautorizovani tekst. 57
Zapremina
Thus, the cross-sectional area is:
2 212
2
1( ) 16 163
162 3
A x x x
x
=
=
Neautorizovani tekst. 58
Zapremina
The volume is:
( )
4
424 4 2
4 0
43
0
( )16 1 16
2 3 3
1 1281633 3 3
V A x dx
x dx x dx
xx
=
= =
= =
Neautorizovani tekst. 59
Zapremina
Neautorizovani tekst. 60