KARAR AĞAÇLARI

Doç.Dr.Aydın ULUCAN

Karar Ağaçları

Karar problemleri şebeke yapısı altında görsel olarak da ifade edilip çözülebilir. Karar analizinde bu yaklaşım karar ağaçları olarak adlandırılmaktadır. Karar ağacı şebekelerinde iki tipte düğüm bulunmaktadır. Bunlar;

– Karar Düğümleri (kare şeklinde gösterilir),– Olasılık (doğa durumu) düğümleridir. (yuvarlak şekilde gösterilir)

Karar ağacının hazırlanırken başlangıç noktası (kök), vereceğimiz karara karşılık gelir. Ağaç hazırlanırken her karar düğümünden çıkan dallar karar alternatiflerine karşılık gelmektedir. Bu dallar bir maliyet yada getiri değeri taşırlar. Ağaç hazırlanırken olasılık düğümlerinden çıkan dallar da doğa durumlarına karşılık gelmektedir. Bu dallar doğa durumunun gerçekleşme olasılığı değerini taşırlar.

Zeugma A.Ş. gençlere yönelik aksesuar objeleri üretmektedir. Ürettiği ürünlerin ticari başarısı büyük ölçüde gençliğe hakim olan moda akımına ürünün uymasına bağlıdır. Şirket yönetimi yaz sezonu için dört ayrı ürün yelpazesinden birisini seçerek üretim yapmayı planlamaktadır. Pazar araştırması biriminin yaptığı araştırmalar önümüzdeki yaz sezonunda dört moda akımından birisinin popüler olacağını göstermektedir. Bu moda akımları; arabesk, rock, pop ve etnik trendlerdir. Planlama birimi önceki deneyimlerine dayanarak ürettiği ürünlerin, olası moda akımlarına göre getirilerini (milyar TL.) Tablo 9.4’de görüldüğü gibi belirlemiştir. Şirket yönetiminin önümüzdeki dönemde moda akımlarının gerçekleşme olasılıkları hakkında herhangi bir tahmini bulunmamaktadır. Zeugma A.Ş. hangi ürün yelpazesini üreteceğini belirlemek istemektedir. Zeugma A.Ş. planlama birimi, geçmiş dönemlerdeki üretim ve talep verilerini kullanarak, önümüzdeki dönem için moda akımlarının gerçekleşme olasılıklarını sırasıyla 0.15, 0.4, 0.3 ve 0.15 olarak tahmin etmektedir.

Moda Ürün

Trend 1 Trend 2 Trend 3 Trend 4

A -2000 2000 6000 0 B 5000 4000 -2000 -3000 C 10000 5000 -4000 -12000 D 1200 1200 1200 1200

Kare şeklindeki 1 numaralı düğüm bir karar düğümüdür. Problemde verilebilecek dört karar alternatifi bulunduğundan dolayı, bu karar düğümünden dört adet dal çıkarılmıştır. Bu dallar sırasıyla ürün A, B, C, D üretilmesi kararlarına karşılık gelmektedir. Bir önceki paragrafta karar düğümlerinden çıkan dalların maliyet ya da getiri değeri taşıdıklarından bahsedilmişti. Şu anda bu dallar üzerinde bir getiri değeri yoktur. Karar ağacının hazırlanması tamamlandıktan sonra bu değerler hesaplanacaktır. Karar verici karar alternatiflarinden birisini seçtikten sonra doğa durumlarının gerçekleşmesini bekleyecektir. Her karardan sonra dört doğa durumundan herhangi birisi gerçekleşebilir. Şekil 9.1’de görüldüğü gibi karar alternatifleri dallarının ardından yuvarlak olasılık düğümleri çizilmiştir. Yine daha önce değindiğimiz gibi bu düğümlerden sonra doğa durumlarını simgeleyen dallar çizilmelidir. Bu dallar üzerinde olasılık değeri taşırlar. Her bir olasılık düğümünden sonra dört dal çıkarılmıştır. Bu dallar üzerinde, doğa durumlarının gerçekleşme olasılıkları yazılıdır. Son olarak her daldan sonra, karar alternatifi-doğa durumu ikilileri için getiri değerleri yazılmıştır. Örneğin, karar verici A ürününü üretmeyi seçerse ve 1. trend moda olursa, şirketin karı –2000 birim TL olacaktır. Şu anda karar ağacının hazırlanması bitmiştir. Bundan sonraki aşamada ağacın sonundan başına doğru hesaplamalar yapılacak ve seçilecek alternatif belirlenecektir.

1

Ürün ATrend 2

Trend 1

Trend 3

Trend 4

-2000

2000

6000

0

(0.15)

(0.4)

(0.3)

(0.15)

Ürün BTrend 2

Trend 1

Trend 3

Trend 4

5000

4000

-2000

-3000

(0.15)

(0.4)

(0.3)

(0.15)

Ürün C

Trend 2

Trend 1

Trend 3

Trend 4

10000

5000

-4000

-12000

(0.15)

(0.4)

(0.3)

(0.15)

Ürün DTrend 2

Trend 1

Trend 3

Trend 4

1200

1200

1200

1200

(0.15)

(0.4)

(0.3)

(0.15)

A ürününün beklenen değeri, beklenen değer karar kriterinde olduğu gibi, ancak kazanç-kayıp tablosuna gerek kalmadan, olasılık dalları kullanılarak;

(0.15).(-2000) + (0.4).(2000) + (0.3).(6000) + (0.15).( 0) = 2300

olarak hesaplanmıştır. Bu değer, Ürün A’nın karar alternatifi dalı üzerinde gösterilmiştir. Ürün B, C ve D’nin beklenen değerleri de aynı şekilde hesaplanarak, 1300, 500 ve 1200 olarak karar dalları üzerine yazılmıştır. Bu dört değerden en büyük olan 2300 değeri problemin çözümü olup, 1 nolu karar düğümüne aktarılmıştır.

Zeugma A.Ş. öneğinde verilmesi gereken bir tek karar vardır: hangi ürün grubunun üretileceği. Oysa gerçek hayatta çoğu zaman, karar vericiler birbirini izleyen karar dizileri vermek zorundadırlar. Örneğin Zeugma A.Ş. yönetimi hangi ürünün üretileceği kararını verdikten sonra, hangi medyada tanıtım kampanyasını yapacağı kararını da vermek zorunda kalabilir.

1

Ürün ATrend 2

Trend 1

Trend 3

Trend 4

-2000

2000

6000

0

(0.15)

(0.4)

(0.3)

(0.15)

Ürün BTrend 2

Trend 1

Trend 3

Trend 4

5000

4000

-2000

-3000

(0.15)

(0.4)

(0.3)

(0.15)

Ürün C

Trend 2

Trend 1

Trend 3

Trend 4

10000

5000

-4000

-12000

(0.15)

(0.4)

(0.3)

(0.15)

Ürün DTrend 2

Trend 1

Trend 3

Trend 4

1200

1200

1200

1200

(0.15)

(0.4)

(0.3)

(0.15)

BD = 2300

BD = 500

BD = 1200

BD = 1300

BD = 2300

Çok Aşamalı Karar Verme

Likya inşaat şirketi 2 trilyon TL. bedeli olan bir inşaat ihalesine teklif vermeyi düşünmektedir. Şirket ihaleye girebilmek için bazı iş makinelerine sahip olmak zorundadır. Bu makinaları alması şirkete 120 milyar TL’ye mal olacaktır. Şirket yönetimi, teklif verirse %50 olasılıkla ihaleyi alabileceğini düşünmektedir. Likya inşaat eğer işi alırsa, önünde üç seçenek bulunmaktadır. Şirket işi bir taşerona verebilir, kendisi yapabilir ya da bir ortakla işi yürütebilir. Şirket işi taşerona devrederse 80 milyar TL, kendisi yaparsa 120 milyar TL, ortakla yaparsa da 100 milyar TL sabit hazırlık maliyetine katlanacaktır. Öte yandan şirket geçmiş tecrübelerine dayanarak, inşaat maliyetleri ile ilgili iyimser ve kötümser tahminlerde bulunabilmektedir. Eğer işi taşerona devrederse iş iyimser düşündüğünde %50 olasılıkla 1 trilyon TL’ye, kötümser düşündüğünde ise %50 olasılıkla 2 trilyon TL’ye bitirebilecektir. İşi kendisi yaparsa %75 olasılıkla 750 milyar TL’ye %25 olasılıkla 2.25 trilyon TL’ye bitirecektir. İşi ortakla yürütürse de, %90 olasılıkla 1 trilyon TL’ye, %10 olasılıkla 1.7 trilyon TL’ye bitirecektir. Likya inşaat bu projeye teklif vermelimidir? Eğer verirse kendisi mi, taşeron mu, ortakla mı yapmalıdır?

1

İyimser

Kötümser

780(0.50)

-220(0.50)

Kendisi

Taşeron

Ortak

-100

-1000

İyimser

Kötümser

1010

-490

(0.75)

(0.25)

İyimser

Kötümser

580

80

(0.90)

(0.10)

2

-100

-120

-2000

-750

-2250

-1200

-1700

-120

0

(0.50)

(0.50)

İşi Aldı

İşi Alamadı

2000

0

Teklif ver

Teklif verme

-120

0

Şekil 9.8. Likya inşaat çok aşamalı karar ağacı hazırlanışı

1

İyimser

Kötümser

780(0.50)

-220(0.50)

Kendisi

Taşeron

Ortak

-100

-1000

İyimser

Kötümser

1010

-490

(0.75)

(0.25)

İyimser

Kötümser

580

80

(0.90)

(0.10)

2

-100

-120

-2000

-750

-2250

-1200

-1700

-120

0

(0.50)

(0.50)

İşi Aldı

İşi Alamadı

2000

0

Teklif ver

Teklif verme

-120

0

BD = 280

BD = 195

BD = 530

BD = 530

BD = 205

BD = 205

14151617181920212223242526272829303132333435363738394041424344454647484950

A B C D E F GFALSE 0

0 0

Bid?

12200

30.0% 0.3

20000 15000

TRUE Any competing bid?

0 12200

80.0% 0.56

20000 15000

70.0% Win bid?

0 11000

20.0% 0.14

0 -5000

TRUE How much to bid

-5000 12200

30.0% 0

25000 20000

FALSE Any competing bid?

0 9500

40.0% 0

25000 20000

70.0% Win bid?

0 5000

60.0% 0

0 -5000

30.0% 0

30000 25000

FALSE Any competing bid?

0 6100

10.0% 0

30000 25000

70.0% Win bid?

0 -2000

90.0% 0

0 -5000

SciTools Bidding

No

Yes

$115K

$120K

$125K

No

Yes

Yes

No

No

Yes

Yes

No

No

Yes

Yes

No

123456789

101112

A BSciTools Bidding Example

InputsCost to prepare a bid $5,000Cost to supply instruments $95,000

Probability of no competing bid 0.3Comp bid distribution (if they

<$115K 0.2 $115K to $120K 0.4 $120K to $125K 0.3 >$125K 0.1

Acme marketing example

Fixed costs ($1000s)Test mkt $3,000National mkt $90,000

Unit margin $18

Possible quantities sold (1000s)Test mkt Natl mkt

Great 200 6000Fair 100 3000Awful 30 900

Probabilities of test outcomesGreat 0.30Fair 0.60Awful 0.10

Probabilities of natl mkt outcomes, given test mkt outcomesNatl great Natl fair Natl awful

Test great 0.80 0.15 0.05Test fair 0.30 0.50 0.20Test awful 0.05 0.25 0.70

Probabilities of natl mkt outcomes without test mkt (calculated from above inputs)Natl great Natl fair Natl awful

0.425 0.370 0.205

Range names:NatlMktCost: B5TestMktCost: B4UnitMargin: B18

TRUE 0

0 0

FALSE Natl Market?

0 0

42.5% 0

108000 18000

FALSE Natl Mkt Results

-90000 -20799

37.0% 0

54000 -36000

20.5% 0

16200 -73800

Test Market?

807

FALSE 0

0 600

30.0% Natl Market?

3600 5910

80.0% 0.24

108000 18600

TRUE Natl Mkt Results

-90000 5910

15.0% 0.045

54000 -35400

5.0% 0.015

16200 -73200

TRUE Test Mkt Results

-3000 807

TRUE 0.6

0 -1200

60.0% Natl Market?

1800 -1200

30.0% 0

108000 16800

FALSE Natl Mkt Results

-90000 -28560

50.0% 0

54000 -37200

20.0% 0

16200 -75000

TRUE 0.1

0 -2460

10.0% Natl Market?

540 -2460

5.0% 0

108000 15540

FALSE Natl Mkt Results

-90000 -62220

25.0% 0

54000 -38460

70.0% 0

16200 -76260

Acme Marketing

No

Yes

No

Yes

Great

Fair

Awful

No

Yes

No

Yes

No

Yes

Great

Fair

Awful

Great

Fair

Awful

Great

Fair

Awful

Great

Fair

Awful

Örnek

Kemer’de bir tatil köyünün hediyelik eşya dükkanını işleten Aylin hanım önümüzdeki yaz sezonu için üretilmek üzere hediyelik eşya siparişi verecektir. Hediyelik eşyaların istenilen fiyattan ve istenilen miktarda temin edilebilmesi için sezon öncesi sipariş edilmesi gerekmektedir. Önümüzdeki sezon için çok sayıda, normal sayıda veya az sayıda sipariş verebilecek olan hediyelik eşya dükkanının kazancı, sezonun yüksek, normal ya da düşük geçmesine bağlıdır. Aşağıdaki tabloda Aylin hanımın farklı senaryolar için hediyelik eşya satışlarından sezonluk kazanç beklentileri görülmektedir

Sipariş Sezon Miktarı Yüksek Normal Düşük

Çok 32 milyarTL 23 11 Normal 26 27 20 Az 12 13 14

Aylin hanım önümüzdeki sezonun %30 olasılıkla yüksek, %50 olasılıkla normal, %20 olasılıkla da düşük bir sezon olacağını öngörmektedir. Aylin hanım, eğer sezon yüksek geçiyorsa sezon içerisinde 15 milyar maliyetle ek hediyelik eşya ürettirebilir. Bu durumda %50 olasılıkla dönemlik karın 1.5 katına çıkacağı, %50 olasılıkla da değişmeyeceği tahmin edilmektedir. Öte yandan sezonun kötü geçmesi durumunda dükkanı 10 milyar TL’ye başka birisine devredebilir. Bu durumda %90 olasılıkla sezon sonunda bu parayı alacak, %10 olasılıkla da devrettiği kişi parayı ödemeyebilecektir. Karar ağacı çizerek Aylin hanımın hangi kararları vermesi gerektiğini belirleyiniz.

Ek Bilgi Altında Karar Verme (Bayes İstatistikleri)

Gelecekteki doğa durumları hakkında tam bilgiye sahip olmak mümkün olmasa da, doğa durumlarının gerçekleşme olasılıklarını rafine etmek için ek kaynaklardan yararlanabiliriz. Bu ek kaynaklar, pazar araştırmaları, anketler, ürün testleri, uzman görüşleri, örneklemeler, simülasyon çalışmaları olabilir. Örneğin bir şirket yeni ürün geliştirmeden önce potansiyel kullanıcılar üzerinde anket düzenleyebilir ve gelecekteki tüketici eğilimleri hakkında daha detaylı bilgiye sahip olabilir. Böylece doğa durumlarının gerçekleşeme olasılıklarını iyileştirebilir. Bu da vereceği kararı iyileştirececktir. Çoğu zaman bu ek bilginin bir maliyeti vardır. Karar verici de bu maliyete katlanmasının uygun olup olmayacağını bilmek isteyecektir.

Örnek

Patara Turizm A.Ş. sezonluk kiraladığı yatlarla Ege bölgesi kıyılarında mavi yolculuk turları organize etmektedir. Şirket önümüzdeki sezon için bir yat daha kiralamayı düşünmektedir. 10 kamaralı ve 5 kamaralı olmak üzere kiralayabileceği iki yat bulunmaktadır. Bunlardan büyük olanı için sezonluk kira bedeli 100 bin YTL, küçük olanı için ise 60 bin YTL’dir. Şirket önümüzdeki turizm sezonunun %65 olasılıkla iyi, %35 olasılıkla kötü geçeceğini düşünmektedir. Sezon iyi geçerse ve şirket büyük yatı kiralarsa sezonluk geliri 200 bin YTL olacaktır. Öte yandan sezon kötü geçerse ve şirket büyük yatı kiralarsa sezonluk geliri 50 bin YTL’de kalacaktır. Aynı şekilde şirket küçük yatı kiralar ve sezon iyi geçerse 120 bin YTL, sezon kötü geçerse 60 bin YTL gelir elde edecektir.

Öte yandan Patara A.Ş. 10 bin YTL. harcayarak, bu alanda profesyonel bir uzmana sezonla ilgili tahmin raporu hazırlatabilmektedir. Bu uzman geçmişte iyi geçen sezonları %80, kötü geçen sezonları da %70 başarıyla tahmin etmiştir.

Şirket yönetimi iki kararla karşı karşıyadır. Kiralayacağı yatın hangisi olacağı ve tahmin raporunu satın alıp almayacağı. Bu kararlardan tahmin raporu satın alınması daha öncve verilecektir. Çünkü şirket hangi yatı kiralayacağına karar verdikten sonra, tahmin raporu satın alıp almamasının önemi kalmamaktadır.

Bayes İstatistikleri

Ön Olasılıklar P(Dj): Ek bilgi olmaması durumunda Dj doğa durumunun gerçekleşme olasılığı. Bizim örneğimizde Patara A.Ş.’nin sezonla ilgili tahminleri ön olasılıklardır.– D1: sezonun iyi geçmesi,– D2: sezonun kötü geçmesi,– P(D1) = 0.65– P(D2) = 0.35

Şartlı Olasılıklar P(Bi | Dj): Dj doğa durumu gerçekleştikten sonra, Bi bilgisinin verilmesi olasılığı. Bizim örneğimizde araştırma şirketinin geçmişteki tahminleri şartlı olasılıklardır. İyi geçen sezonlarda şirketin tahminleri %80 olasılıkla sezonun iyi geçeceği olmuştur. Dolayısıyla iyi geçen sezonlarda şirket %20 olasılıkla sezonun kötü geçeceğini tahmin etmiştir. Kötü geçen sezonlarda şirketin tahminleri %70 olasılıkla sezonun kötü geçeceği olmuştur. Dolayısıyla kötü geçen sezonlarda da şirket %30 olasılıkla sezonun iyi geçeceğini tahmin etmiştir.

– B1: sezon tahmininin iyi olması– B2: sezon tahminin kötü olması– P(B1 | D1) = 0.80– P(B1 | D2) = 0.30– P(B2 | D1) = 0.20– P(B2 | D2) = 0.70

Birleşik Olasılıklar P(Bi & Dj): Bi bilgisinin ve Dj doğa durumunun birlikte gerçekleşme olasılığı.

– P(Bi & Dj) = P(Bi | Dj)* P(Dj)– P(B1 & D1) = P(B1 | D1) * P(D1) = 0.80 * 0.65 = 0.520– P(B1 & D2) = P(B1 | D2) * P(D2) = 0.30 * 0.35 = 0.105– P(B2 & D1) = P(B2 | D1) * P(D1) = 0.20 * 0.65 = .0130– P(B2 & D2) = P(B2 | D2) * P(D2) = 0.70 * 0.35 = 0.245

Marjinal Olasılıklar P(Bi): Bi bilgisine ait birleşik olasılıklar toplamı.

Sezonu iyi tahmin etmenin marjinal olasılığı,– P(B1) = P(B1 & D1) + P(B1 & D2) = 0.520 + 0.105 = 0.625

Sezonu kötü tahmin etmenin marjinal olasılığı,– P(B2) = P(B2 & D1) + P(B2 & D2) = 0.130 + 0.245 = 0.375

Marjinal olasılıklar toplamı 1’dir.– P(B1) + P(B2) = 0.625 + 0.375 =1

Posterior olasılıklar P(Dj | Bi): Ek bilgi Bi tahminini gösterdiğinde, Dj doğa durumunda bulunma olasılığı.

İyi sezon tahmininde posterior olasılıklar,

Kötü sezon tahmininde posterior olasılıklar,

832.0625.0

)B|D(P 11 0.520

168.0625.0

)B|D(P 12 0.105

347.0375.0

)B|D(P 21 0.130

653.0375.0

)B|D(P 22 0.245

Doğa Durumları

Ön Olasılıklar

Şartlı Olasılıklar

Birleşik Olasılıklar

Posterior Olasılıklar

İyi Sezon 0.65 0.80 0.520 0.832 Kötü Sezon 0.35 0.30 0.105 0.168 Marjinal Olasılık 0.625 Tablo 9.11. İyi sezon tahmininde olasılık hesapları. Doğa Durumları

Ön Olasılıklar

Şartlı Olasılıklar

Birleşik Olasılıklar

Posterior Olasılıklar

İyi Sezon 0.65 0.20 0.130 0.347 Kötü Sezon 0.35 0.70 0.245 0.653 Marjinal Olasılık 0.375 Tablo 9.12. Kötü sezon tahmininde olasılık hesapları.