Karna Ugh

Ing. Julio Gonzalez PradoIng. Julio Gonzalez Prado

MINIMIZACION DE MINIMIZACION DE FUNCIONESFUNCIONES


METODO DEL MAPA DE METODO DEL MAPA DE KARNAUGHKARNAUGH

El MAPA DE KARNAUGH es una forma El MAPA DE KARNAUGH es una forma grafica de representar la función grafica de representar la función (dada en sus términos mínimos) y (dada en sus términos mínimos) y minimizarla aplicando la propiedad minimizarla aplicando la propiedad de ADYACENCIA:de ADYACENCIA:

ab + ab’ = a (b+b’) = a (1) = a ab + ab’ = a (b+b’) = a (1) = a


Esto quiere decir que si se pueden Esto quiere decir que si se pueden agrupar términos en los cuales agrupar términos en los cuales puedan haber variables negadas y no puedan haber variables negadas y no negadas, estas se pueden eliminar negadas, estas se pueden eliminar para formar funciones con términos para formar funciones con términos de menos variables que la función de menos variables que la función original. original.


Los términos mínimos se representan Los términos mínimos se representan en un grafico (mapa) que tiene la en un grafico (mapa) que tiene la característica de que cualquier par característica de que cualquier par de cuadrados adyacentes solo se de cuadrados adyacentes solo se diferencian en que una de las diferencian en que una de las variables esta complementada o no variables esta complementada o no complementada complementada


UBICACION DE LAS UBICACION DE LAS VARIABLES EN LOS VARIABLES EN LOS

MAPASMAPAS


MAPA DE KARNAUGH PARA MAPA DE KARNAUGH PARA DOS VARIABLESDOS VARIABLES

Una función de dos variables genera 4 Una función de dos variables genera 4 combinaciones:combinaciones:

xx yy mínimosmínimos

00 00 x’x’ y’y’ m m00

00 11 x’x’ yy m m11

11 00 xx y’y’ m m22

11 11 xx yy m m33


XY

0 1

0

1

X’ Y’ X’ Y

X Y’ X Y

MAPA DE KARNAUGH PARA 3 MAPA DE KARNAUGH PARA 3 VARIABLESVARIABLES

Una función de 3 variables genera 8 combinaciones:Una función de 3 variables genera 8 combinaciones:xx y y zz mínimosmínimos

00 0 0 00 x’ y’ z’x’ y’ z’ m m00

0 0 0 0 11 x’ y’ zx’ y’ z m m11

00 1 1 00 x’ y z’x’ y z’ m m22

00 1 1 11 x’ y zx’ y z m m33

11 0 0 00 x y’ z’x y’ z’ m m44

11 0 0 11 x y’ zx y’ z m m55

11 1 1 00 x y z’x y z’ m m66

11 1 1 11 x y zx y z m m77


0 0 0 1 1 1 1 0

0

1

X’Y’ Z’

XY’ Z’

X’Y’ Z

X Y’ Z

X’ Y Z

X Y Z

X’ Y Z’

X Y Z’

X

Y Z

X

Y

Z


La utilidad del mapa en la La utilidad del mapa en la simplificación de funciones es que se simplificación de funciones es que se aplica gráficamente la propiedad de aplica gráficamente la propiedad de adyacencia: cualquier par de adyacencia: cualquier par de cuadrados adyacentes en el mapa cuadrados adyacentes en el mapa difieren por una variable difieren por una variable complementada en un cuadrado y no complementada en un cuadrado y no complementada en el vecino. complementada en el vecino.


LA PROPIEDAD DE ADYACENCIA SOLO LA PROPIEDAD DE ADYACENCIA SOLO SE APLICA EN CUADRADOS VECINOS SE APLICA EN CUADRADOS VECINOS

HORIZONTALES O VERTICALESHORIZONTALES O VERTICALES

Una propiedad del Mapa de Karnaugh Una propiedad del Mapa de Karnaugh de 3 variables es la de ser continuo de 3 variables es la de ser continuo en sus extremos izquierdo y derecho, en sus extremos izquierdo y derecho, es decir, el termino X’ Y’ Z’ (mes decir, el termino X’ Y’ Z’ (m00) es ) es adyacente con el termino X’ Y Z’ (madyacente con el termino X’ Y Z’ (m22) )


MAPA DE KARNAUGH DE 4 MAPA DE KARNAUGH DE 4 VARIABLESVARIABLES

Una función booleana de 4 variables Una función booleana de 4 variables puede generar hasta 16 términos, lo puede generar hasta 16 términos, lo que implica generar un mapa de 16 que implica generar un mapa de 16 posiciones. posiciones.

EL MAPA DE 4 VARIABLES TIENE LA EL MAPA DE 4 VARIABLES TIENE LA PROPIEDAD DE SER CONTINUO PROPIEDAD DE SER CONTINUO TANTO EN LOS EXTREMOS SUPERIOR TANTO EN LOS EXTREMOS SUPERIOR E INFERIOR COMO A LA DERECHA Y A E INFERIOR COMO A LA DERECHA Y A LA IZQUIERDA.LA IZQUIERDA.


KARNAUGH DE 4 VARIABLESKARNAUGH DE 4 VARIABLES

W X Y ZW X Y Z MINIMOSMINIMOS

0 0 0 00 0 0 0 W’ X’ W’ X’ Y’ Z’Y’ Z’ m m00

0 0 0 10 0 0 1 W’ X’ W’ X’ Y’ ZY’ Z m m11

0 0 1 00 0 1 0 W’ X’ W’ X’ Y Z’Y Z’ m m22

0 0 1 10 0 1 1 W’ X’ W’ X’ Y ZY Z m m33

0 1 0 00 1 0 0 W’ X Y’ Z’ W’ X Y’ Z’ m m44

0 1 0 10 1 0 1 W’ X Y’ Z W’ X Y’ Z m m55

0 1 1 00 1 1 0 W’ X Y Z’ W’ X Y Z’ m m66

0 1 1 10 1 1 1 W’ X Y Z W’ X Y Z m m77


KARNAUGH DE 4 VARIABLESKARNAUGH DE 4 VARIABLES

W X Y Z W X Y Z MINIMOSMINIMOS

1 0 0 01 0 0 0 W X’W X’ Y’ Z’Y’ Z’ m m88

1 0 0 11 0 0 1 W X’W X’ Y’ ZY’ Z m m99

1 0 1 01 0 1 0 W X’W X’ Y Z’Y Z’ m m1010

1 0 1 11 0 1 1 W X’W X’ Y ZY Z m m1111

1 1 0 01 1 0 0 W X Y’ Z’W X Y’ Z’ m m1212

1 1 0 11 1 0 1 W X Y’ ZW X Y’ Z m m1313

1 1 1 01 1 1 0 W X Y Z’W X Y Z’ m m1414

1 1 1 11 1 1 1 W X Y ZW X Y Z m m1515


0 0 0 1 1 1 1 0

0 0

0 1

1 1

1 0

m0 m1 m3 m2

m4 m5 m7 m6

m12 m13

m15 m14

m8 m9

m11

m10

Y Z

W X

W

X

Y

Z


COMBINACION DE COMBINACION DE CUADRADOS ADYACENTESCUADRADOS ADYACENTES

Un cuadrado representa un termino Un cuadrado representa un termino de 4 variables (termino mínimo)de 4 variables (termino mínimo)

2 cuadrados adyacentes representan 2 cuadrados adyacentes representan un termino de 3 variables.un termino de 3 variables.

4 cuadrados adyacentes representan 4 cuadrados adyacentes representan un termino de 2 variables.un termino de 2 variables.

8 cuadrados adyacentes representan 8 cuadrados adyacentes representan un termino de 1 variable.un termino de 1 variable.


TERMINOS IRRELEVANTESTERMINOS IRRELEVANTES

Son aquellos términos que dadas las Son aquellos términos que dadas las condiciones del problema nunca se condiciones del problema nunca se van a presentar en la función.van a presentar en la función.

Los términos irrelevantes se Los términos irrelevantes se representan por X y en el mapa de representan por X y en el mapa de Karnaugh pueden tomar valores de 0 Karnaugh pueden tomar valores de 0 o 1 según sea el caso para poder o 1 según sea el caso para poder generar funciones mas simplificadas.generar funciones mas simplificadas.


Por ejemploPor ejemplo

Si consideramos un sistema con datos Si consideramos un sistema con datos DECIMALES expresados en binario DECIMALES expresados en binario (CODIGO BCD), las combinaciones de (CODIGO BCD), las combinaciones de 4 bits que no son parte de este 4 bits que no son parte de este código (los números 10, código (los números 10, 11,12,13,14,15) se consideran 11,12,13,14,15) se consideran TERMINOS IRRELEVANTES porque TERMINOS IRRELEVANTES porque nunca se van a presentar o no tienen nunca se van a presentar o no tienen significado para el sistema.significado para el sistema.

CODIGO BCDCODIGO BCD TERMINOTERMINO00000000 0000010001 1100100010 2200110011 3301000100 4401010101 5501100110 6601110111 7710001000 88


10011001 99

10101010 XX

10111011 XX

11001100 XX TérminosTérminos

11011101 XXIrrelevantesIrrelevantes

11101110 XX

11111111 XX


CODIGOS CODIGOS DECIMALESDECIMALES


Codificar es el proceso de asignar a un Codificar es el proceso de asignar a un grupo de dígitos binarios (bits) grupo de dígitos binarios (bits) valores para representar, dar valores para representar, dar seguridad, identificar o relacionar seguridad, identificar o relacionar conjuntos de información.conjuntos de información.

Cuanto mas seguridad se requiera, el Cuanto mas seguridad se requiera, el código se vuelve mas complicado.código se vuelve mas complicado.


CODIGO DECIMAL BINARIOCODIGO DECIMAL BINARIO(CODIGO BCD)(CODIGO BCD)

Es aquel código que se usa para Es aquel código que se usa para representar los dígitos entre 0 y 9 en representar los dígitos entre 0 y 9 en forma de dígitos binarios.forma de dígitos binarios.

DIGITODIGITO 8 4 2 1 8 4 2 1

00 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 0 0 1 0 0 0 1

22 0 0 1 0 0 0 1 0 33 0 0 1 1 0 0 1 1

44 0 1 0 0 0 1 0 0 55 0 1 0 1 0 1 0 1

66 0 1 1 0 0 1 1 0 77 0 1 1 1 0 1 1 1 88

1 0 0 0 1 0 0 099 1 0 0 1 1 0 0 1

DIGITODIGITO EXCESO 3 EXCESO 3

00 0 0 1 1 0 0 1 111 0 1 0 0 0 1 0 022 0 1 0 1 0 1 0 133 0 1 1 0 0 1 1 044 0 1 1 1 0 1 1 155 1 0 0 0 1 0 0 066 1 0 0 1 1 0 0 177 1 0 1 0 1 0 1 088 1 0 1 1 1 0 1 199 1 1 0 0 1 1 0 0

DIGITODIGITO 8 4 2 18 4 2 1 EXCESO 3EXCESO 3

00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 1 1 0 0 1 111 0 0 0 10 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 022 0 0 1 00 0 1 0 0 1 0 1 0 1 0 133 0 0 1 10 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1 044 0 1 0 00 1 0 0 0 1 1 1 0 1 1 155 0 1 0 10 1 0 1 1 0 0 0 1 0 0 066 0 1 1 00 1 1 0 1 0 0 1 1 0 0 177 0 1 1 10 1 1 1 1 0 1 0 1 0 1 088 1 0 0 01 0 0 0 1 0 1 1 1 0 1 199 1 0 0 11 0 0 1 1 1 0 0 1 1 0 0

DIGITODIGITO 8 4 –2 –1 8 4 –2 –1

00 0 0 0 0 0 0 0 0 11 0 1 1 1 0 1 1 1 22 0 1 1 0 0 1 1 0 33 0 1 0 1 0 1 0 1 44 0 1 0 0 0 1 0 0 55 1 0 1 1 1 0 1 166 1 0 1 0 1 0 1 0 77 1 0 0 1 1 0 0 1 88 1 0 0 0 1 0 0 0 99 1 1 1 1 1 1 1 1

DIGITODIGITO 2 4 2 1(AIKEN) 2 4 2 1(AIKEN)

00 0 0 0 00 0 0 011 0 0 0 10 0 0 122 0 0 1 00 0 1 033 0 0 1 10 0 1 144 0 1 0 0 0 1 0 055 1 0 1 1 1 0 1 166 1 1 0 0 1 1 0 077 1 1 0 1 1 1 0 188 1 1 1 0 1 1 1 099 1 1 1 1 1 1 1 1

DIGITODIGITO 8 4 –2 –18 4 –2 –1 2 4 2 1(AIKEN) 2 4 2 1(AIKEN)

00 0 0 0 00 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 011 0 1 1 1 0 0 0 10 1 1 1 0 0 0 122 0 1 1 00 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 033 0 1 0 10 1 0 1 0 0 1 1 0 0 1 144 0 1 0 00 1 0 0 0 1 0 0 0 1 0 055 1 0 1 11 0 1 1 1 0 1 1 1 0 1 166 1 0 1 01 0 1 0 1 1 0 0 1 1 0 077 1 0 0 11 0 0 1 1 1 0 1 1 1 0 188 1 0 0 01 0 0 0 1 1 1 0 1 1 1 099 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1


CODIGO GRAYCODIGO GRAY

Es un CODIGO REFLEJADO, en el cual Es un CODIGO REFLEJADO, en el cual la representación de un numero la representación de un numero cambia solamente en un bit con cambia solamente en un bit con respecto al numero siguiente.respecto al numero siguiente.

Los contadores en Código GRAY se Los contadores en Código GRAY se utilizan para proporcionar secuencias utilizan para proporcionar secuencias de tiempo que controlan las de tiempo que controlan las operaciones en un sistema digital. operaciones en un sistema digital.



El Código GRAY se genera reflejando el El Código GRAY se genera reflejando el código anterior al llegar a una potencia de código anterior al llegar a una potencia de dos, y cada vez que se refleja se añade dos, y cada vez que se refleja se añade una columna a la izquierda donde la mitad una columna a la izquierda donde la mitad de los términos son ceros y la otra mitad de los términos son ceros y la otra mitad son unos.son unos.

El Código GRAY se indica por el numero de El Código GRAY se indica por el numero de bits: Código de 3bits, 4 bits, 5 bits, etc.bits: Código de 3bits, 4 bits, 5 bits, etc.



00 00



00 00

11 11



00

11

11



00

11

11

00



0000

0101

1111

1010



00 0000

11 0101

22 1111

33 1010



00000101111110101010



000001011111101010101111



0000010111111010101011110101



00000101111110101010111101010000



000000001001011011010010110110111111101101100100



00 00000011 00100122 01101133 01001044 11011055 11111166 10110177 100100


El Código Gray para 4 bits es:El Código Gray para 4 bits es:

NUMERONUMERO CODIGOCODIGO00 0 0 0 0 0 0 0 011 0 0 0 1 0 0 0 122 0 0 1 1 0 0 1 133 0 0 1 0 0 0 1 044 0 1 1 0 0 1 1 055 0 1 1 1 0 1 1 166 0 1 0 1 0 1 0 177 0 1 0 0 0 1 0 0


NUMERONUMERO CODIGOCODIGO88 1 1 0 0 1 1 0 0 99 1 1 0 1 1 1 0 1

1010 1 1 1 1 1 1 1 1 1111 1 1 1 0 1 1 1 0

1212 1 0 1 0 1 0 1 0 1313 1 0 1 1 1 0 1 1 1414 1 0 0 1 1 0 0 1 1515 1 0 0 0 1 0 0 0

CONVERSION BINARIO A CONVERSION BINARIO A GRAYGRAY

Sea gSea gn-1n-1 … g … gii … g … g00 dato en GRAY dato en GRAY

Sea bSea bn-1n-1 … b … bii … b … b00 dato en binario dato en binario

ggn-1n-1 = b = bn-1n-1

Bit mas significativo Gray = Bit mas Bit mas significativo Gray = Bit mas significativo en binariosignificativo en binario



ggii = b = bii ⊕ ⊕ bbi+1i+1 para todo i para todo i tal que tal que 0 0 ≤ i ≤ n-2≤ i ≤ n-2

De izquierda a derecha, comparamos De izquierda a derecha, comparamos con el siguiente digito: con el siguiente digito:

Si son iguales ubicamos 0Si son iguales ubicamos 0 Si son diferentes ubicamos 1Si son diferentes ubicamos 1



EjemplosEjemplos 82 = 1 0 1 0 0 1 082 = 1 0 1 0 0 1 022

11 1 1 0 1 111 1 1 0 1 1 GrayGray

45 = 1 0 1 1 0 145 = 1 0 1 1 0 122

11 1 0 1 111 1 0 1 1 GrayGray


CONVERSION GRAY A CONVERSION GRAY A BINARIOBINARIO

Sea gSea gn-1n-1 … g … gii … g … g00 dato en GRAY dato en GRAY

Sea bSea bn-1n-1 … b … bii … b … b00 dato en binario dato en binario

bbn-1n-1 = g = gn-1n-1

Bit mas significativo binario = bit mas Bit mas significativo binario = bit mas significativo Graysignificativo Gray



bbi i = g= gii si bsi bn+1n+1 = 0 (binario i = = 0 (binario i = gray i, si binario anterior es cero)gray i, si binario anterior es cero)

bbi i = g= gii ‘ ‘ si bsi bn+1n+1 = 1 (binario i = = 1 (binario i = gray i complemento, si binario gray i complemento, si binario anterior es uno)anterior es uno)



Ejemplos: Ejemplos: 1 0 0 0 1 0 1 11 0 0 0 1 0 1 1 GrayGray

1 1 1 1 0 0 1 01 1 1 1 0 0 1 022

0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Gray0 1 1 1 0 0 0 1 1 1 Gray

0 1 0 1 1 1 1 0 1 00 1 0 1 1 1 1 0 1 022


Documents

Karna Ugh