Matematika SMA Page 1

KATA PENGANTAR

Kehadiran sebuah modul di suatu Lembaga Pendidikan, adalah mutlak

adanya. Baik sebagai referensi atau acuan, maupun sebagai media dalam

proses belajar mengajar di dalam kelas agar berjalan dengan lancar, efektif,

dan mempunyai target kurikulum.

Pembaharuan modul secara periodik juga merupakan program tetap

Lembaga Pendidikan Indonesia. Hal ini dilakukan sebagai upaya untuk

mengantisipasi keadaan yang selalu berkembang sesuai dengan jamannya.

Namun kami tetap mengacu pada kurikulum yang telah ditetapkan oleh

Depdikbud. Terutama dalam standar pengetahuan yang harus dimiliki oleh

calon mahasiswa baru di Perguruan Tinggi Negeri.

Proyek penerbitan modul ini sudah berlangsung 5 kali, sedang modul

yang ada sekarang ini adalah terbitan yang keenam. Tentu saja terdapat tambal

sulam dari modul-modul yang sebelumnya. Ada pepatah mengatakan “Tak ada

gading yang tak retak” yang maksudnya bahwa besar kemungkinan modul

yang sekarang ini masih banyak kekurangannya. Sehingga kamipun akan

dengan senang hati menerima saran dan kritik dari semua pihak dalam rangka

perbaikan modul ini.

Modul ini berisi pokok-pokok materi secara menyeluruh dan dikemas

dalam suatu bentuk yang ringkas dan disertai dengan sedikit contoh-contoh

soal serta penyelesaiannya sehingga mempermudah siswa untuk mempelajari

dan memahami materi-materi yang ada dalam program matematika. Dengan

demikian diharapkan buku ini dapat bermanfaat serta membantu menciptakan

generasi yang lebih berkualitas dan mempunyai semangat belajar yang tinggi.

Terimakasih kami ucapkan kepada seluruh staf Lembaga Pendidikan

Indonesia, yang telah membantu dalam penyusunan modul ini.

Lembaga Pendidikan Indonesia

Tim Penyusun

Matematika SMA Page 2

Daftar Isi

Kata Pengantar.................................................................................. 1

Daftar Isi…………………………………………………………… 2

Kata-Kata Motivasi………………………………………………… 3

Tujuan Pembelajaran………………………………………………. 4

BAB 1 Limit Fungsi……………………………………………….. 5

Pengertian………………………………………………………….. 6

Limit Satu Sisi……………………………………………………… 14

Teorema Limit……………………………………………………… 17

Laju Perubahan……………………………………………………... 20

Kekontinuan…………………………………………………........... 23

Limit Tak Hingga…………………………………………………... 25

Limit Fungsi Trigonometri……………………………………......... 30

Aplikasi Dalam Kehidupan Sehari-hari……………………………. 31

Latihan Soal………………………………………………………… 32

Daftar Pustaka……………………………………………………… 35

Daftar Riwayat Hidup……………………………………………… 36

Deskripsi Kerja Kelompok……………………………………….... 38

Matematika SMA Page 3

Kata-kata Motivasi untuk Siswa SMA

Belajar layaknya mendayu ke hulu. Jika tidak maju, maka akan

hanyut terbawa arus.

Jadilah seorang murid selama kamu masih memiliki sesuatu

yang bisa kamu pelajari. Dan itu berarti seumur hidupmu.

Gunakan waktumu untuk meningkatkan diri dengan tulisan-

tulisan orang lain, agar kamu bisa dengan mudah mendapatkan

apa yang didapatkan orang lain dengan bekerja keras (dalam

hal positif tentunya).

Jika kamu tidak mengejar apa yang kamu inginkan, maka

kamu tidak akan pernah memilikinya. Dan kamu pasti akan

menyesal.

Jika kamu tidak bertanya, maka jawabannya adalah tidak.

Jika kamu tidak mengambil langkah maju, maka kamu akan

berada di tempat yang sama.

Belajarlah selagi yang lain sedang tidur. Bekerjalah selagi

yang lain sedang bermalas-malasan. Bersiap-siaplah selagi

yang lain sedang bermain. Dan bermimpilah selagi yang lain

sedang berharap.

Biasakanlah untuk mencatat dari pada mengingat. karena

ingatan tidak akan abadi, tetapi catatan akan abadi.

Kesuksesan seseorang tak terlepas dari kesungguhan

belajar di masa kini untuk bekal masa depan.

Matematika SMA Page 4

Tujuan Pembelajaran

Setelah mengikuti pembelajaran limit fungsi, siswa diharapkan

mampu :

1. Memahami konsep limit fungsi dengan meenggunakan

konteks nyata dan menerapkannya.

2. Merumuskan aturan dan sifat limit fungsi melalui

pengamatan contoh-contoh.

3. Memilih strategi yang efektif dan menyajikan model

matematika dalam memecahkan masalah nyata tentang limit

fungsi.

4. Mampu berfikir kreatif.

5. Mampu berfikir kritis dalam mengamati permasalahan.

6. Mengajak kerja sama tim dalam memecahkan setiap

masalah limit fungsi.

7. Siswa mampu memodelkan permasalahan

8. Siswa mampu menerapkan konsep limit fungsi dalam

kehidupan sehari-hari.

Matematika SMA Page 5

LIMIT FUNGSI

BAB 1

Matematika SMA Page 6

Pengertian

Dalam matematika, konsep limit digunakan untuk menjelaskan

sifat dari suatu fungsi saat argumen mendekati ke suatu titik, atau tak

hingga; atau sifat dari suatu barisan saat indeks mendekati tak hingga.

Limit dipakai dalam kalkulus (dan cabang lainnya dari analisis

matematika) untuk mencari turunan dan kekontinyuan.

Suatu limit dikatakan mendekati A 𝑓 𝑥 = 𝐴 sebagai suatu limit,

bila 𝑥 mendekati 𝑎 {𝑥→𝑎} dinotasikan lim𝑓 𝑥 = 𝐴

Limit menggambarkan seberapa jauh sebuah fungsi akan

berkembang apabila variabel di dalam fungsi yang bersangkutan terus

menerus berkembang mendekati suatu nilai tertentu. Jika fungsi 𝑓(𝑥)

mendekati L manakala variabel x mendekati A (A dan L keduanya

konstanta), maka L disebut limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati A.

Hubungan ini dilambangkan dengan notasi sebagai berikut :

Notasi tersebut dibaca “limit fungsi 𝑓(𝑥) untuk 𝑥 mendekati 𝑎

adalah L”. Artinya jika variabel 𝑥 berkembang secara terus menerus

hinggga mendekati bilangan tertentu A, maka nilai fungsi 𝑓(𝑥) pun

akan berkembang pula hingga mendekati L. Atau sebaliknya, fungsi

𝑓(𝑥) dapat dibuat mendewkati nilai tertentu yang diinginkan L dengan

mengembangkan variabel 𝑥 sedemikian rupa hingga mendekati A.

Ada dua hal yang perlu diperhatikan dalam notasi atau pernyataan

limit diatas, diantaranya adalah :

1. 𝑥→𝑎 harus dibaca dan ditafsirkan sebagai 𝑥 mendekati 𝑎, dan

bukan berarti 𝑥= 𝑎.

lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐿

Matematika SMA Page 7

2. lim𝑓 𝑥 = 𝐿 harus dibaca serta ditafsirkan bahwa L adalah

limit fungsi 𝑓(𝑥) , dan bukan berarti L adalah nilai fungsi dari

𝑓(𝑥) .

lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐿

Atau bukan berarti

𝑓 𝑎 −𝐿

Sifat-Sifat Limit

Jika lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝐴 dan lim𝑥→𝑎𝑔 𝑥 = 𝐵, maka berlaku :

lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 + lim𝑥→𝑎𝑔 𝑥 = 𝐴+ 𝐵

lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 + 𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 −lim𝑥→𝑎𝑔 𝑥 = 𝐴−𝐵

lim𝑥→𝑎 𝑓 𝑥 .𝑔(𝑥) = lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 . lim𝑥→𝑎𝑔 𝑥 = 𝐴.𝐵

lim𝑥→𝑎 𝑐.𝑓(𝑥) = 𝑐. lim𝑥→𝑎𝑓 𝑥 = 𝑐.𝐴

lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

𝑔 𝑥 =

lim 𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥)=𝐴

𝐵;𝐵≠0

lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)𝑔 𝑥 = lim𝑥→𝑎𝑓(𝑥)

lim 𝑥→𝑎𝑔(𝑥) = 𝐴𝐵

Rumus-Rumus Besar Limit

lim𝑥→0𝑙𝑛 1+𝑥

𝑥= 1

lim𝑥→0𝑎log 1+𝑥

𝑥=

1

ln 𝑎

lim𝑥→0 1 + 𝑥 1 𝑥 = 𝑒

lim𝑥→0𝑎𝑥−1

𝑥= ln𝑎

lim𝑥→0𝑒𝑥−1

𝑥= 1

lim𝑥→∞𝑎0𝑥

𝑚+𝑎1𝑥𝑚−1+⋯

𝑏0𝑥𝑛+𝑏1𝑥

𝑛−1+⋯=

𝑎0

𝑏0, jika 𝑚= 𝑛

∞, jika 𝑚> 𝑛0, jika m < 𝑛

Matematika SMA Page 8

Cara menentukan limit

Faktorkan dengan 𝑥−𝑎

lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑥−𝑎 𝑓(𝑥)

𝑥−𝑎 𝑔(𝑔)=𝑓(𝑎)

𝑔(𝑎)

Dalil L’ Hospital

lim𝑥→𝑎 𝑓(𝑥)

𝑔(𝑥) = lim

𝑥→𝑎

𝑓′(𝑥)

𝑔′(𝑥)=𝑓′(𝑎)

𝑔(𝑎)

Mengalikan dengan akar sekawan

Matematika SMA Page 9

Konsep limit fungsi juga merupakan dasar untuk mempelajari

Kalkus, meskipun kalkus sediri sudah dikenal oleh Sir Isaac Newton

dan Gottried Wilhelm Leibniz pada pertengahan abad ke-17,

sedangkan konsep limit fungsi baru dikenal oleh Agustin Louis

Cauchy pada abad ke-18.

Konsep limit fungsi di suatu titik yang akan kita pelajari adalah

melalui pendekatan intuitif, yaitu dimulai dengan menghitung nilai-

nilai fungsi di sekitar titik tersebut, terkecuali di titik itu sendiri.

Sebagai contoh, kita perhatikan fungsi 𝑓 yang diberikan oleh

𝑓 𝑥 =𝑥2−1

𝑥−1

Periksa bahwa daerah asal dari 𝑓 adalah semua bilangan real

𝑥 kecuali 𝑥= 1, karena 𝑓(1) tidak ada. Kita akan menyelidiki nilai

fungsi 𝑓 apabila 𝑥 mendekati 1 tetapi tidak sama dengan 1. Misalkan

mengambil nilai 0;0,25;0,5;0,75;0,9;0,99, dan seterusnya. Dalam hal

ini kita mengambil nilai 𝑥 yang dekat dengan 1 tetapi lebih kecil dari

1. Nilai-nilai fungsi 𝑓 untuk harga-harga ini diberikan Tabel 1.1.

Kemudian, misalkan 𝑥 mendekati 1 sepanjang nilsi ysng lebih besar

dari 1, yaitu 𝑥 mengambil nilai 2;1,75;1,5;1,25;1,1;1,01;1,001, dan

seterusnya. Lihat tabel 1.2

Tabel 1.1 Tabel 1.2

𝒙 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐−𝟏

𝒙−𝟏

𝒙 𝒇 𝒙 =𝒙𝟐−𝟏

𝒙−𝟏

0

0,25

0,5

0,75

0,9

0,99

0,999

0,9999

1

1,25

1,5

1,75

1,9

1,99

1,999

1,9999

2

1,75

1,5

1,25

1

1,01

1,001

1,0001

3

2,75

2,5

2,25

2

2,02

2,002

2,0002

Matematika SMA Page 10

Dari kedua tabel diatas, dapat kita periksa bahwa jika 𝑥 bergerak

semakin dekat dengan 1 baik dari arah kiri maupun dari arah kanan,

maka 𝑓(𝑥) bergerak semakin dekat dengan 2. Sebagai contoh, dari

tabel 7.1, jika 𝑥= 0,9999 maka 𝑓 𝑥 = 1,9999. Jika 𝑥 lebih kecil dari

1, maka 𝑓(𝑥) lebih kecil dari 2. Dari tabel 1.2, jika 𝑥= 1,001 maka

𝑓 𝑥 = 2,001. Jika 𝑥 lebih besar dari 1, maka 𝑓(𝑥) lebih besar dari 2.

Situasi diatas mengatakan bahwa kita dapat membuat nilai 𝑓(𝑥)

mendekati 2, dengan syarat kita tempatkan 𝑥 dekat dengan 1,

meskipun nilai 𝑓(𝑥) tidak ada.

Situasi seperti ini secara matematika kita tuliskan dengan

lim𝑥→1𝑓 𝑥 = 2

Perlu dicatat disini bahwa nilai 2 ≠ 𝑓(1) , karena 𝑓 tidak terdefinisi

di 𝑥= 1. Secara grafik situasi seperti ini dapat digabarkan bahwa

ketika 𝑥= 1, grafiknya terputus (berlubang).

y

𝒚=𝒙𝟐−𝟏

𝒙−𝟏

3

2

1

0 1 2 3 𝑥

Gambar 1.2 Grafik 𝒚=𝒙𝟐−𝟏

𝒙−𝟏

Matematika SMA Page 11

Nilai 𝑓(𝑥) akan semakin mendekati nilai 𝐿 ketika 𝑥 mendekati

nilai 𝑐 (dari dua sisi) tetapi 𝑥≠𝑐. Definisi secara formal akan

dipelajari nanti ketika belajar kalkus di perguruan tinggi.

Notasi alternatif untuk

lim𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = 𝐿

adalah

𝑓 𝑥 →𝐿 seraya 𝑥→𝑐

yang secara umum dibaca “𝑓(𝑥) mendekati 𝐿 ketika 𝑥 mendekati 𝑐”.

Kita perhatikan ungkapan “tetapi 𝑥≠𝑐” dalam definisi diatas,

bermakna bahwa dalam menentukan limit 𝑓(𝑥) ketika 𝑥 mendekati 𝑐,

maka kita tidak pernah menganggap 𝑥= 𝑐. Bahkan 𝑓(𝑥) tidak harus

terdefinisi di 𝑥= 𝑐. Tetapi yang harus kita perhatikan adalah

bagaimana 𝑓 terdefinisi di dekat 𝑐.

Dengan penjelasan diatas, juga membawa konsekuensi bahwa

jika lim𝑥→𝑐𝑓(𝑥) ada, limit tersebut tunggal adanya. Sifat ini yang

lebih dikenal sebagai teorema ketunggalan limit.

Gambar 1.3 memperlihatkan grafik dari tiga fungsi. Kita

perlihatkan bahwa di bagian (b) 𝐿≠𝑓(𝑐) , sedangkan dibagian (c)

𝑓(𝑐) tidak terdefinisi. Tetapi pada setiap kasus, apapun yang terjadi di

𝑐, maka lim𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = 𝐿.

Matematika SMA Page 12

y y y

L L L

0 𝑐 𝑥 0 c 𝑥 0 c

𝑥 (a) (b) (c)

Gambar 1.3 lim𝑥→𝑐𝑓 𝑥 = 𝐿 dalam tiga kasus

Contoh 1.1.1

Tebaklah nilai lim𝑥→2𝑥−2

𝑥2−4

Penyelesaian :

Perhatikan bahwa fungsi 𝑓 𝑥 =𝑥−2

𝑥2−4 tidak terdefinisi di 𝑥= 2,

tetapi hal itu tidak menjadi masalah karena yang perlu kita

pertimbangkan dalam menghitung lim𝑥→2𝑓(𝑥) adalah titik-titik

disekitar 2 bukan untuk 𝑥= 2. Tabel berikut memberikan nilai 𝑓(𝑥)

(sampai enam desimal) untuk nilai 𝑥 yang mendekati 2 (tetapi ≠2).

Dengan merujuk nilai-nilai pada tabel, kita dapat menebak bahwa

lim𝑥→2

𝑥−2

𝑥2−4=

1

4

Matematika SMA Page 13

Tabel 1.3 Tabel 1.4

𝑿< 2 𝒇(𝒙)

𝑿> 2 𝒇(𝒙)

1,5 0,285714 2,5 0,222222

1,75 0,266667 2,25 0,235294

1,9 0,256410 2,1

Matematika SMA Page 38

Deskripsi Kerja Kelompok

ü Minggu Pertama booklet 30% dan buletin 60%

ü Minggu kedua booklet 70% dan buletin 95%

ü Hari terakhir booklet 100%, buletin 100%, dan essay 100%