Rotating string

in

doubled geometry

with

generalized isometries

KEK String Advanced Lecture (SAL), 11th July, 2012

菊池 徹

(NIMS/KEK)

ref. arXiv:1205.5549 (accepted by PRD this morning)

共同研究者： 岡田崇（京都大学）、酒谷雄峰（京都産業大学）

まとめ と呼ばれるブレーンが作る背景場と、

そのブレーンの周りを回る基本弦の運動を調べた。

（① ブレーンが作る背景場を再構築した。）

② ブレーンの周りを回る基本弦の古典解を得た。

③ ブレーンと、その周りを回る基本弦の性質が、

Double Field Theoryの枠組みでよく理解できることを示した。

cf. [de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603]

T-fold and

T-duality変換群 の復習

質量０の点粒子の場合：

(ノンコンパクト時空にとっての質量) ノンコンパクト方向の足

コンパクト方向の足

弦の場合： 巻きつき数の寄与も考えて、

弦

巻きつき数

(d次元コンパクト化された時空における)

Generalized metric

i.e.,

B場の寄与も含めると…

正準運動量がずれる

Generalized metricの変換性

変換行列 の種類

① 座標変換 C∈GL(d)

② （B場の）ゲージ変換 Aは反対称

ｄ×ｄ行列

③それ以外 （非自明なT-duality群変換）

この 変換が、

どのような奇妙な時空(=T-fold)を自然に生み出すのか見てみよう。

T-fold の toy model : H3 on T3 [Hull, JHEP 0510 (2005) 065]

× with

非周期性

ゲージ変換

座標変換

（非自明な） T-duality群変換

(→constant H=dB)

T-fold

モノドロミー (φ,ψ)-torusのgeneralized metric

T-fold の toy model : H3 on T3 [Hull, JHEP 0510 (2005) 065]

NS5 KKM

大ざっぱな教訓： 非周期性がB場だけに因る系に、

T T 弦理論の場合：

２回T-dualityを作用させるとT-foldを得る。

全てU-fold!

(codim=2) T-duality

S-duality

brane-web of (type II) string theory

IIA

IIB

T-fold

-brane 記法：

[de Boer-Shigemori, Phys.Rev.Lett. 104 (2010) 251603]

＝ 時間方向

＋transverse (1,2)平面

＋非自明にファイバーされた(3,4)-torus

＋残りの次元 (1,2)平面

(3,4)-torus

の軸非対称性はO(2,2)変換からくる。

の構造

基本的には先ほどの toy model と全く同じ。

の構造

（余分な次元が加わるだけ）

i.e., 非自明にファイバーされた2-torusがある。

Rotating String

and

Double Field Theory

T-fold (より一般にはnon-geometric background)

弦理論に自然に（必然的に）存在する奇妙な時空

このような奇妙な背景場における物理（=プローブの挙動）を調べる。

前節のまとめ：

観測者は

どのような世界を見るか？

→ 弦理論には「人間」は存在しないので、プローブとして基本弦を置いてみる。

・chargeの非保存？

・離散的なchargeの、連続的な遷移過程

もともとの動機：

p3= -1

p4=0

w3=0

w4=1

始状態

終状態

p3= -1

p4=0

w3=0

w4=0

？

？

？

中途半端なwinding number？ 背景場の変化に合わせて、

プローブも変化する。

(巻きつき数の非保存？)

例:： 基本弦を の周りで一周させる。

話をはっきりさせるために、

周りを、等角速度で回転する基本弦の古典解を求めた。

： 任意関数

２個の未知関数に対する

６個の方程式。

→ 一般解が求まった

(3,4)-torus 弦

注：このような解しか存在しない。

(1,2)-平面

（見やすさのために

長方形で表している）

結果 （当初の目的意識からするとあまり面白くない）

は「何らかの意味で」軸対称で、

の周りを回る基本弦は、「何らかの意味で」形を変えずに回っているのだろう。

＝

「何らかの意味」 → doubled geometryの意味

の軸非対称性は、 と単純だから…

？

Double Field Theory の骨子

・ Doubled geometry

・Generalized geometry

※このトークでは、簡単のため１０次元すべてをdoubleにする。

コンパクト方向の座標 双対座標

特に、一般化された リー微分：

すべての場はx^Iに依存する

Doubled geometry

不変性 （⊃10次元一般座標不変、10次元ゲージ不変）

を明白にしたい。→ 通常の時空の足L,M,N…を含む20次元の足が必要

は弦の運動量と巻きつき数を混ぜる。

cf. [Duff, Nucl.Phys. B335 (1990) 610]

[Kugo-Zwiebach,

Prog.Theor.Phys. 87 (1992) 801-860]

理由１

理由２

作用を書くのに必要な材料：

実際、 不変な作用が書ける。

ゲージ固定

Generalized geometry Good review:

[Zwiebach, Lect.Notes Phys. 851 (2012) 265-291 ]

Generalized geometryの基本思想：

GとBを対等に扱いたい。

Gのゲージ変換：

Bのゲージ変換：

ゲージ変換パラメター：

GとBで形が異なる

（実に醜い）

one-form vector

この「おつり」を吸収したリー微分を作りたい。

一般化リー微分の見つけ方：

vector と one-formに関して対称で美しい式。

注： より演繹的な一般化リー微分の定義の仕方もある。

cf. Generalized complex geometry

(ex. Courant bracket, Hitchin geometry)

[Hohm-Hull-Zwiebach, JHEP 1008 (2010) 008]

Generalized metric の変換性を書き下してみる。

重要な点： が双対座標に依存している。

そうでなければ、 ただの座標変換

言い換えると、

は双対座標を巻き込んだような座標変換

・ はdoubled geometryの意味で軸対称。

Doubled geometry の言葉で、先ほどまでの話を見直してみる。

（Doubled geometryの言葉を借りなければ、このようなisometryは記述できない。）

現段階では、このgeneralized isometryは「目の子」で見つけただけ。

→ 意味の詳しい理解は今後。

我々の時空

・弦はgeneralized Killing vectorに沿って、

形を変えずに平行移動していく。

我々の時空 doubled空間

射影

doubled空間

doubled弦

（形を変えない）

方向

我々の時空

通常の弦

(形を変えていく)

イメージ図１ イメージ図２

弦の”形”を表すベクトル

関連する話題

＆

Future directions （放言）

Q-brane

D7-brane

“S-brane”

[Bergshoeff-Hartong-Ortin-Roset, JHEP 0702 (2007) 003]

[Greene-Shapere-Vafa-Yau, Nucl.Phys. B337 (1990) 1]

一般に“Q-branes”と呼ばれる。

弦理論的な素性は分かっていない。

通常のブレーンの束縛状態？

（特に名前はないブレーン）

D7-brane

“S-brane”

[TK-Okada-Sakatani, arXiv:1205.5549]

-brane

U-duality

“T34-brane”

Q-braneの素性は何か？

その周りでのprobeの振る舞いは？

U-folds上のcharge

KKMの周りで基本弦を動かす（off-shell）。

KKMを囲むS^3はHopf S^3

→ 基本弦はlocalにしかS^3に巻き付けない。

（globalには巻きつき数が定義できない）

→ プロセスの最中、基本弦からKKMにwinding chargeが流れ込む。

の周りで基本弦を動かす(off-shell)。

→ 基本弦はlocalにしか に巻き付けない。

（globalには巻きつき数が定義できない）

→プロセスの最中、基本弦から にwinding chargeが流れ込む。

[Gregory-Harvey-Moore, Adv.Theor.Math.Phys.1:283-297,1997]

のモノドロミーは

GHMプロセス

U-fold上の”charge”を定義するためには、

dualityによって様々なchargeが渾然一体となっている様

を理解しなければならない（？）

7-brane: 弦理論における渦

渦： 非自明なサイクルを持ち得る。

→ 周囲に対する影響力が強いソリトン

cf. Abe homotopy: 渦とモノポール共存状態の分類、 Z→Z2

[小林-小林-川口-新田-上田, Nucl.Phys. B856 (2012) 577-606]

↑ これらは“自明な背景”におけるchargeの分類

cf. Alice string, Cheshire charge

[Alford-Benson-Coleman-MarchRussel-Wilczek, Nucl. Phys. B 349, 414 (1991)]

[Schwarz, Nucl. Phys. B 208, 141 (1982).]

渦の存在下でのcharge

通常の文脈でのduality U-fold背景におけるduality

名言（？）

「U-foldをめぐる道は、 である。」

--岡田 崇

弦

T

こちらの世界 あちらの世界 一つの世界での出来事

dualityへの理解に対する新しいアプローチ（？）

consistentな描像 → dualityの理解