Kelompok 4 · Web viewdalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggotahimpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain)

Tugas MatematikaGrafik Fungsi Sederhana

D

I

S

U

S

U

N

OLEH :

KELOMPOK 4 :

SYAMSUL ARIF ARDIANSYAH

NUR OCTAVIANA

BAYU NOWO ADI

JUNDI FAREESZ ALHAZMI

JEANNE D’ARC

ASTI FITRI WIDYASARI

NURITA ARZIQNI

FATIZHA ZHAFIRA

UNIVERSITAS GADJAH MADA

2015Pengertian Fungsi

Fungsi dalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggotahimpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain).

Himpunan bagian dari B yang merupakan hasil dari fungsi A ke B disebut range (daerah hasil)

Fungsi juga dapat dinyatakan dengan lambang f : x → y = f(x) dimana y = f(x) adalah rumus fungsi dengan x sebagai variabel bebas dan y sebagai variabel terikat (tak bebas)

Contoh:

Untuk fungsi yang digambarkan dalam diagram panah di atas:

Domain = Df = {1, 2, 3, 4}

Range = Rf = {2, 4}

Menentukan Daerah Asal Fungsi

Agar suatu fungsi terdefinisi (mempunyai daerah hasil di himpunan bilangan real), maka ada beberapa syarat yang harus dipenuhi.

1. Fungsi di dalam akar

2. Fungsi pecahan

3. Fungsi dimana penyebutnya adalah fungsi lain dalam bentuk akar

4. Fungsi logaritma

Contoh:

Daerah asal untuk fungsi

adalah:

x2 + 3x – 4 > 0

(x + 4)(x – 1) > 0

https://id.wikipedia.org/wiki/Kodomain_fungsi

https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan

https://id.wikipedia.org/wiki/Domain_fungsi

https://id.wikipedia.org/wiki/Himpunan

Pembuat nol: x = –4 dan x = 1

Jika x = 0 maka hasilnya 02 + 3.0 – 4 = –4 (negatif)

Jadi Df = {x | x < –4 atau x > 1}

Sifat FungsiDengan memperhatikan bagaimana elemen-elemen pada masing-masing

himpunan A dan B yang direlasikan dalam suatu fungsi, maka kita mengenal tiga sifat

fungsi yakni sebagai berikut :

1. Injektif (Satu-satu)

Misalkan fungsi f menyatakan A ke B maka fungsi f disebut suatu fungsi satu-satu

(injektif), apabila setiap dua elemen yang berlainan di A akan dipetakan pada dua elemen

yang berbeda di B. Selanjutnya secara singkat dapat dikatakan bahwa f:A→B adalah

fungsi injektif apabila a ≠ a’ berakibat f(a) ≠ f(a’) atau ekuivalen, jika f(a) = f(a’)

maka akibatnya a = a’.

Contoh:

1. Fungsi f pada R yang didefinisikan dengan f(x) = x2 bukan suatu fungsi satu-satu sebab

f(-2) = f(2).

Adapun fungsi pada A = {bilangan asli} yang

didefinisikan dengan f(x) = 2x adalah fungsi

satu-satu, sebab kelipatan dua dari setiap dua

bilangan yang berlainan adalah berlainan pula.

2. Surjektif (Onto)

Misalkan f adalah suatu fungsi yang memetakan A ke B maka daerah hasil f(A)

dari fungsi f adalah himpunan bagian dari B, atau f(A) c B. Apabila f(A) = B, yang

berarti setiap elemen di B pasti merupakan peta dari sekurang-kurangnya satu elemen di

A maka kita katakan f adalah suatu fungsi surjektif atau “f memetakan A Onto B”

Contoh:

1. Fungsi f: R→R yang didefinisikan dengan rumus f(x) = x2 bukan fungsi yang onto

karena himpunan bilangan negatif tidak dimuat oleh hasil fungsi tersebut

2. Gb. 2.11

Misal A = {a, b, c, d} dan B = {x, y, z} dan fungsi f: A

→ B yang didefinisikan dengan diagram panah adalah

suatu fungsi yang surjektif karena daerah hasil f adalah

sama dengan kodomain dari f (himpunan B).

3.Bijektif (Korespondensi Satu-satu)

Suatu pemetaan f: A→B sedemikian rupa sehingga f merupakan fungsi yang

injektif dan surjektif sekaligus, maka dikatakan “f adalah fungsi yang bijektif” atau “ A

dan B berada dalam korespondensi satu-satu”.

Contoh:

1).

Relasi dari himpunan A = {a, b, c} ke himpunan B =

{p,q, r} yang didefinisikan sebagai diagram di

samping adalah suatu fungsi yang bijektif.

2) Fungsi f yang memasangkan setiap negara di dunia dengan ibu kota negaranegara di

dunia adalah fungsi korespondensi satu-satu (fungsi bijektif), karena tidak ada satu

kotapun yang menjadi ibu kota dua negara yang berlainan.

Pengertian Domain, Kodomain, Range

Domain disebut juga dengan daerah asal, kodomain daerahkawan sedangkan range adalah daerah hasil.

contoh : Diketahui himpunan P = { 1,2,3,4 } dan himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Relasi dari himpunan P ke himpunan Q dinyatakan dengan “setengah dari “.

Jika relasi tersebut dinyatakan dengan himpunan pasangan berurutan menjadi :

{ (1,2),(2,4),(3,6),(4,8) }.

Relasi di atas merupakan suatu fungsi karena setiap anggota himpunan P mempunyai tepat satu kawan anggota himpunan Q.

Dari fungsi di atas maka :

Domain/daerah asal = himpunan P = { 1,2,3,4 }

Kodomain/daerah kawan = himpunan Q = { 2,4,6,8,10,12 }

Range/daerah hasil = { 2,4,6,8 }

Jika A = {2, 3, 6} B = {2, 4, 6, 8, 10, 11}. Relasi dari himpunan A ke B adalah “

Faktor dari “, nyatakanlah relasi tersebut dengan :

a. Diagram Panah

b. Diagram Cartesius

c. Himpunan pasangan berurutan.

Jawab:

c. Himpunan pasangan berurutannya :{(2, 2), (2,4), (2, 6), (2, 8), (2, 10), (4, 4),

(4, 8),(6, 6)}

Pada diagram panah diatas himpunan A disebut domain (daerah asal) dan himpunan Bdisebut kodomain (daerah kawan) sedangkan range adalah daerah hasil.

Dari gambar tersebut juga diperoleh:

2 Є B merupakan peta dari 1 Є A



Himpunan peta tersebut dinamakan range (daerah hasil). Jadi, dari diagram panah pada gambar diatas diperoleh:

Domainnya (Df) adalah A = {1, 2, 3}

Kodomainnya adalah B = {1, 2, 3, 4}

Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4}

2). Domain, Kodomain dan Range

Pada relasi dari himpunan A ke B, himpunan A disebut Domain (daerah asal) himpunan B disebut Kodomain (daerah kawan) dan semua anggota B yang mendapat pasangan dari A disebut Range (derah hasil).

Diagram panah tersebut menunjukkan fungsi himpunan P ke himpunan Q dengan relasi “dua kali dari”. Tentukan domain, kodomain, dan range fungsinya.

Jawab :• Domainnya (Df) adalah P = {4, 6, 8, 10}

• Kodomainnya adalah Q = {1, 2, 3, 4, 5}

• Rangenya (Rf) adalah {2, 3, 4, 5}

Contoh 3 :

Tuliskan Domain, Kodomain dan Range dari relasi Contoh 2 di atas :

Jawab:

Domain = {2, 4, 6}

Kodomain = {2, 4, 6, 8, 10, 11}

Range = { 2, 4, 6, 8, 10}

Contoh 4

Tentukanlah domain, kodomain dan range dari relasi di bawah ini:

Jawab:

a. Domain = { 3, 5 }

Kodomain = { 1, 2, 6, 8, 9}

Range = { 1, 2, 8}

b. Domain = { 3, 5, 7, 8}

Kodomain = { 1, 2, 3, 4, 7, 8}

Range = { {1, 2, 3, 4, 7, 8}

Jenis – jenis Fungsi

Jika suatu fungsi f mempunyai daerah asal dan daerah kawan yang sama, misalnya D,

maka sering dikatakan fungsi f pada D. Jika daerah asal dari fungsi tidak dinyatakan maka

yang dimaksud adalah himpunan semua bilangan real (R). Untuk fungsi-fungsi pada R

kita kenal beberapa fungsi antara lain sebagai berikut.

a. Fungsi Konstan

b. Fungsi Identitas

c. Fungsi LinearFungsi pada bilangan real yang didefinisikan : f(x) = ax + b, a dan b konstan dengan a

d. Fungsi Kuadrat Fungsi f: R→R yang ditentukan oleh rumus f(x) = ax2 + bx + c dengan a,b,c ∈ Rdan a ≠ 0 disebut fungsi kuadrat.

e. Fungsi RasionalFungsi rasional adalah suatu fungsi terbentuk f(x) =Q(x) P(x) dengan P(x) dan Q(x)adalah suku banyak dalam x dan Q(x) ≠ 0.

Untuk mengetahui jenis jenis grafik lebih detailnya bisa dilihat dalam pembahasan di bawah ini :

JENIS – JENIS FUNGSI

I. Fungsi Linear

Suatu fungsi disebut fungsi linear apabila fungsi tersebut ditentukan oleh

, dimana , dan bilangan konstan dan grafiknya berupa garis lurus fungsi linear

termasuk kedalam fungsi aljabar.

Contoh I.1

Grafik di atas merupakan grafik fungsi karena tiap anggota domain dipetakan pada satu

anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi linear karena memenuhi syarat

dan grafiknya berupa garis lurus

Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai

Grafik fungsi tersebut memiliki

Domain

Range

Contoh I.2


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi linear karena memenuhi syarat

dan grafiknya berupa garis lurus



Domain

Range

II. Fungsi Kuadrat

Suatu fungsi kuadrat dibentuk oleh persamaan umum dimana ,

dan bilangan konstan dan grafiknya berupa parabola. Fungsi kuadrat termasuk kedalam

fungsi aljabar.

Contoh II.1


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi kuadrat karena memenuhi syarat

dan grafiknya berupa parabola


Grafik fungsi kuadrat ini terbuka ke atas karena mempunyai nilai dengan titik balik

minimum = -14

Pembuat nol grafik kuadrat ini adalah 0,667 dan 5


Domain

Range

Contoh II.2


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi kuadrat karena memenuhi syarat

dan grafiknya berupa parabola


Grafik fungsi kuadrat ini terbuka ke bawah karena mempunyai nilai a<0 dengan titik balik

maksimum = 4

Pembuat nol fungsi kuadrat ini adalah -0,42857142 dan -1,5


Domain

Range

III. Fungsi Pecahan

Fungsi pecahan kadang-kadang juga disebut sebagai fungsi rasional. Fungsi pecah adalah

fungsi yang dirumuskan oleh dengan dan yang bisa merupakan fungsi

linear, kuadrat atau bahkan polinom. Dengan syarat . Dan merupakan bilangan

Real ( ). Fungsi pecahan termasuk ke dalam fungsi aljabar

Contoh III.1


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi pecahan karena memenuhi bentuk dengan

dan merupakan fungsi linear dan



Domain

Range

Contoh III.2


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi pecahan karena memenuhi bentuk dengan

dan merupakan fungsi kuadrat dan



Domain

Range

IV. Fungsi Polinom

Suatu fungsi disebut sebagai fungsi polinom bila memenuhi

di mana Grafik dari setiap polinomial dengan derajat 2 atau lebih adalah non-linear kontinu kurva. Fungsi Polinom termasuk fungsi aljabar

Contoh IV.1


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi polinom derajat 3 karena memenuhi bentuk

di mana bentuknya non-linear kontinu kurva.



Domain

Range

Contoh IV.2


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi polinom derajat 5 karena memenuhi bentuk

, di mana bentuknya non-linear kontinu kurva.



Domain

Range

V. Fungsi Trigonometri

Fungsi trigonometri adalah fungsi dari sebuah sudut yang digunakan untuk menghubungkan

antara sudut-sudut dalam suatu segitiga dengan sisi-sisi segitiga tersebut. Ciri fungsi

trigonometri adalah yang mengandung perbandingan trigonometri sepert sinus

cosinus , tangent , secan cosecant , cotangent

Grafik tersebut merupakan grafik perbandingan trigonometri sederhana.

Contoh V.1


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi trigonometri karena nya mengandung

perbandingan trigonometri, dan sumbu absis nya dinyatakan dalam bentuk



Domain {

Range

Contoh V.2


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi trigonometri karena nya mengandung

perbandingan trigonometri, dan sumbu absis nya dinyatakan dalam bentuk



Domain

Range {

VI. Fungsi Identitas

Suatu fungsi disebut fungsi identitas apabila setiap anggota domain fungsi berlaku

atau setiap anggota domain fungsi dipetakan pada dirinya sendiri. Grafik fungsi

identitas berupa garis lurus yang melalui titik asal dan semua titik baik absis maupun

ordinatnya sama.

Contoh VI.1


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi identitas karena memenuhi syarat dan

grafiknya berupa garis lurus dimana titik absis sama dengan titik ordinat


Grafik fungsi identitas ini juga dapat didefinisikan dengan pasangan berurut yaitu :

Grafik ini juga dapat didefinisikan dengan diagram panah sebagai berikut


Domain {

Range

VII. Fungsi Konstan

Suatu fungsi disebut konstan apabila untuk setiap anggota domain fungsi selalu berlaku

, di mana bilangan konstan. Bentuk grafiknya berupa garis lurus yang sejajar

dengan sumbu

Contoh VII. 1

X Y

-3

-2

-1

0

-3

-2

-1

0


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi konstan karena memenuhi syarat dan

grafiknya berupa garis lurus yang sejajar dengan sumbu

Grafik fungsi tersebut dapat didefinisikan sebagai f

Grafik fungsi identitas ini juga dapat didefinisikan dengan pasangan berurut yaitu :



Domain

Range

VIII. Fungsi Ganjil

Suatu fungsi f(x) disebut fungsi ganjil apabila berlaku . Grafik fungsi ganjil

simetri terhadap titik asal

X Y

4

-3

-2

-1

0

1

Contoh VIII.I


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi ganjil karena memenuhi bentuk di

mana grafiknya simetri terhadap titik asal



Domain

Range

Contoh VIII.2


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi ganjil karena memenuhi bentuk di

mana grafiknya simetri terhadap titik asal



Domain

Range

IX. Fungsi Genap

Sebuah fungsi dikatakan fungsi genap jika fungsi f memenuhi untuk setiap

di dalam daerah asalnya. Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu- .

Contoh IX.1


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi genap karena memenuhi bentuk , di

mana grafiknya simetri terhadap sumbu



Domain {

Range

Contoh IX.2


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi genap karena memenuhi bentuk , di

mana grafiknya simetri terhadap sumbu



Domain {

Range

X. Fungsi Mutlak

Fungsi mutlak sering juga disebut fungsi modulus. Seuatu fungsi termasuk ke dalam fungsi

modulus apabila fungsi ini memetakan setiap bilangan real pada domain fungsi ke unsur harga

mutlaknya. Persamaan yang dimutlakkan dapat berupa linier, kuadrat, pecahan maupun

polynomial.

Contoh X.1


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi mutlak (polynomial) di mana grafiknya berada di atas

sumbu



Domain {

Range

Contoh X.2


anggota kodomain

Grafik di atas merupakan grafik fungsi mutlak (polynomial) di mana grafiknya berada di atas

sumbu



Domain {

Range

XI. Bukan Fungsi

Sebuah persamaan atau grafik disebut fungsi adalah bila setiap angggota domain berpasangan

dengan tepat satu anggota kodomain. Sehingga yang disebut bukan fungsi adalah sebuah

grafik yang satu atau lebih anggota domainnya berpasangan dengan lebih dari satu anggota

kodomain

Contoh XI.1

Grafik ini bukan merupakan grafik fungsi karena angggota domain mempunyai lebih dari

satu pasangan pada kodomain

Grafik ini dapat didefinisikan dengan himpunan pasangan berurut


Grafik ini memiliki

o Domain

o Range

X Y

2

3

4

1

2

3

Contoh XI.2





Grafik ini memiliki

o Domain

o Range

X Y

5

6

7

8

-2

-1

0

Contoh XI.3





Grafik ini memiliki

o Domain

o Range

X Y

1

2

3

-3

-2

-1

SIFAT – SIFAT FUNGSI

A. Fungsi Surjektif

Suatu fungsi f : A B disebut fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada jika dan

hanya jika daerah hasil fungsi f sama dengan himpunan B atau Rf = B.

Contoh dalam diagram panah

A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c}

Fungsi f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut : f = {(1,a), (2,c), (3,b), (4,c)}.

Tampak bahwa daerah hasil fungsi f adalah Rf : {a,b,c} dan Rf

= B maka fungsi f adalah fungsi surjektif atau fungsi onto atau fungsi kepada.

Fungsi f : A B disebut fungsi into atau fungsi ke dalam jika dan hanya jika daerah hasil fungsi f merupakan himpunan bagian murni dari himpunan B atau Rf B.

Contoh :

A : {1,2,3,4} , B : {a,b,c}

fs f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,a), (4,b)}.

Tampak bahwa daerah hasil fs f : Rf : {a,b} dan Rf B, maka fungsi f adalah fungsi into atau fungsi ke dalam.

B. Fungsi Injektif

Fungsi f : a B disebut fungsi injektif (fungsi satu-satu) jika dan hanya jika untuk tiap a1, a2

A dan a1 a2 berlaku f (a1) f (a2).

Contoh :

A : {1,2,3} , B : {a,b,c}

f : A B dinyatakan dalam pasangan terurut f : {(1,a), (2,b), (3,c)}.

Tampak bahwa tiap anggota A yang berbeda mempunyai peta yang berbeda di B

Fungsi f adalah fungsi injektif atau satu-satu.

A f B

a

b

c

1

2

3

A f B

a

b

c

1

2

3

A B

Fungsi f

a

b

c

1

2

3

Persamaan dan Pertidaksamaan FungsiDiskriminan/determinan

Dalam rumus kuadrat di atas, terdapat istilah yang berada dalam tanda akar:

yang disebut sebagai diskriminan atau juga sering disebut determinan suatu persamaan kuadrat. Kadang dinotasikan dengan huruf D.

Suatu persamaan kuadrat dengan koefisien-koefisien riil dapat memiliki hanya sebuah akar atau dua buah akar yang berbeda, di mana akar-akar yang dimaksud dapat berbentuk bilangan riil atau kompleks. Dalam hal ini diskriminan menentukan jumlah dan sifat dari akar-akar persamaan kuadrat. Terdapat tiga kasus yang mungkin:

Jika diskriminan bersifat positif, akan terdapat dua akar berbeda yang kedua-duanya merupakan bilangan riil. Untuk persamaan kuadrat dengan koefisien berupa bilangan bulat, apabila diskriminan merupakan suatu kuadrat sempurna, maka akar-akarnya merupakan bilangan rasional -- sebaliknya dapat pula merupakan bilangan irrasional kuadrat.

Jika diskriminan bernilai nol, terdapat eksak satu akar, dan akar yang dimaksud merupakan bilangan riil. Hal ini kadang disebut sebagai akar ganda, di mana nilainya adalah:

Jika diskriminan bernilai negatif, tidak terdapat akar riil. Sebagai gantinya, terdapat dua buah akar kompleks (tidak-real), yang satu sama lain merupakan konjugat kompleks:

dan

Jadi akar-akar akan berbeda, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak sama dengan nol, dan akar-akar akan bersifat riil, jika dan hanya jika diskriminan bernilai tidak negatif.

Akar riil dan kompleks

Persamaan kuadrat dapat memiliki sebuah akar (akar ganda) atau dua buah akar yang berbeda, yang terakhir ini dapat bersifat riil atau kompleks bergantung dari nilai diskriminannya. Akar-akar persamaan kuadrat dapat pula dipandang sebagai titik potongnya dengan sumbu x atau garis y = 0.

https://id.wikipedia.org/w/index.php?title=Titik_potong&action=edit&redlink=1

Titik potong dengan garis y = d

Dengan cara pandang ini, rumus persamaan kuadrat dapat digunakan apabila diinginkan untuk

mencari titik potong antara suatu persamaan kuadrat ( ) dengan suatu garis mendatar ( ). Hal ini dapat dilakukan dengan mengurangi persamaan kuadrat tersebut dengan persamaan garis yang titik potong antar keduanya ingin dicari dan menyamakannya dengan nol.

Intepretasi yang sama pun berlaku, yaitu bila:

diskriminan positif, terdapat dua titik potong antara dan ,

diskriminan nol, terdapat hanya satu titik potong antara dan , dan

diskriminan negatif, tidak terdapat titik potong antara kedua kurva, dan .Nilai-nilai y

Akar-akar suatu persamaan kuadrat menentukan rentang x di mana nilai-nilai y berharga positif atau negatif. Harga-harga ini ditentukan oleh nilai konstanta kuadrat a:

Harga-harga y

dengan merupakan akar-akar persamaan kuadrat. Dalam tabel di atas, apabila bersifat kompleks, maka yang dimaksud adalah (nilai riil)-nya.

a) Jumlah akar-akar persamaan kuadrat.

x1 + x2= +

x1 + x2=

x1 + x2 =

x1 + x2 = b) Hasil kali akar-akar persamaan kuadrat.

x1 . x2= .

x1 + x2=

x1 + x2 =

x1 + x2 =

x1 + x2 =

Dari hasil perhitungan di atas, maka diperoleh sifat sebagai berikut:

Jika x1 dan x2 adalah akar-akar persamaan kuadrat ax + bx + c = 0 maka jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat ditentukan dengan rumus:

x1 + x2 = dan x1 . x2 =

Persamaan Linear

Persamaan Garis Lurus

Sebagai tambahan mengenai persamaan kuadrat

Persamaan kuadrat adalah suatu persamaan polinomial berorde dua. Bentuk umum dari persamaan kuadrat adalah

dengan

Huruf-huruf a, b dan c disebut sebagai koefisien: koefisien kuadrat a adalah koefisien dari , koefisien linier b adalah koefisien dari x, dan c adalah koefisien konstan atau disebut juga suku bebas.

Arti nilai a, b, dan c

Nilai-nilai a, b dan c menentukan bagaimana bentuk parabola dari fungsi persamaan kuadrat dalam ruang xy.

a menentukan seberapa cekung/cembung parabola yang dibentuk oleh fungsi kuadrat. Nilai a > 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke atas, sedangkan nilai a < 0 akan menyebabkan parabola terbuka ke bawah.

b menentukan kira-kira posisi x puncak parabola, atau sumbu simetri cermin dari kurva yang dibentuk. Posisi tepatnya adalah -b/2a.

c menentukan titik potong fungsi parabola yang dibentuk dengan sumbu y atau saat x = 0.

Rumus Kuadratis (Rumus abc)

Rumus kuadratis dikenal pula dengan nama rumus abc karena digunakan untuk menghitung akar-akar persamaan kuadrat yang tergantung dari nilai-nilai a, b dan c suatu persamaan kuadrat. Rumus yang dimaksud memiliki bentuk

Rumus ini digunakan untuk mencari akar-akar persamaan kuadrat apabila dinyatakan bahwa

.

Dari rumus tersebut akan diperoleh akar-akar persamaan, sehingga persamaan semula dalam bentuk

dapat dituliskan menjadi

.

Dari persamaan terakhir ini dapat pula dituliskan dua hubungan yang telah umum dikenal, yaitu

dan

https://id.wikipedia.org/wiki/Kuadrat

https://id.wikipedia.org/wiki/Persamaan

https://id.wikipedia.org/wiki/Polinomial

.

Pembuktian rumus persamaan kuadrat

Dari bentuk umum persamaan kuadrat,

bagi kedua ruas untuk mendapatkan

Pindahkan ke ruas kanan

sehingga teknik melengkapkan kuadrat bisa digunakan di ruas kiri.


lalu samakan penyebut di ruas kanan.

Kedua ruas diakar (dipangkatkan setengah), sehingga tanda kuadrat di ruas kiri hilang, dan muncul tanda plus-minus di ruas kanan.


sehingga didapat rumus kuadrat

atau

Jumlah dan Hasil Kali Akar-akar Persamaan Kuadrat

Pada pembahasan sebelumnya kita dapat mencari akar-akar persamaan kuadrat dengan

berbagai cara. Jika persamaan kuadrat telah diketahui, maka kita dapat mencari hasi kali dan

umlah akar-akar persamaan kuadratnya. Namun, bagaimana kalau akar-akar persamaan

kuadratnya beum di ketahui dan perlu mencari jumlah dan hasil akar-akar persamaan kuadrat ?

Jumlah dan hasil kali akar-akar persamaan kuadrat dapat di peroleh dengan cara berikut ini.

Hubungan antara Koefisien dan Sifat-Sifat Persamaan Kuadrat

a.) Persamaan kuadrat kedua akarnya berlawanan

X1 = -X2 → b = 0

b.) Persamaan kuadrat yang kedua akarnya berkebalikan

X1 = 1

X 2 → c = a

c.) Persamaan kuadrat yang akarnya kembar atau sama

X1 = X2 , X2 = X1 → X1 = X2 = −ba

Documents

Kelompok 4 · Web viewdalam istilah matematika adalah pemetaan setiap anggota sebuah himpunan (dinamakan sebagai domain) kepada anggotahimpunan yang lain (dinamakan sebagai kodomain)