KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

H2H1

Câu hỏi : Hãy nhận xét sự khác nhau cơ bản nhất của 2 hình trên.

Ở H1 khi nối 2 điểm bất kì ta được 1 đoạn thẳng thuộcnó. Ở H2 có những điểm nối lại được 1 đoạn thẳng không thuộc nó.

Bài 2: KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU

I. Khối đa diện lồi Định nghĩa: Khối đa diện (H) được gọi là khối đa diện lồi nếu đoạn thẳng nối hai điểm bất kì của (H) luôn thuộc (H). Khi đó đa diện xác định (H) được gọi là đa diện lồi.

Một khối đa diện là khối đa diện lồi khi và chỉ khimiền trong của nó luôn nằm về một phía đối với mỗi mặt phẳng chứa một mặt của nó.


II. Khối đa diện đều Định nghĩa: Khối đa diện đều là khối đa diện lồi có các tính chấtsau đây: + Mỗi mặt của nó là một đa giác đều p cạnh. + Mỗi đỉnh của nó là đỉnh chung của đúng q mặt.Khối đa diện đều như vậy được gọi là khối đa diện đềuloại {p; q}.

Câu hỏi : Nêu ví dụ về khối đa diện không đều.

Ví dụ: hình chóp tam giác vuông, hình lăng trụ tam giác,….

Câu hỏi : Khối chóp tứ giác đều, khối lăng trụ đứng tam giác đều có các cạnh bên bằng các cạnh đáy có phải là các đa diện đều không? Vì sao?

Không. Vì: - Đối với khối chóp: đỉnh chóp là đỉnh chung của 4 mặt, còn các đỉnh ở đáy là đỉnh chung của 3 mặt. - Đối với khối lăng trụ: 2 mặt đáy là 2 tam giác đều, còn 3 mặt bên là các hình vuông.


Chú ý: Các mặt của khối đa diện đều là những đa giác đều bằng nhau.

Định lí: Chỉ có 5 loại khối đa diện đều. Đó là loại {3; 3}, loại {3; 4}, loại {3; 5}, loại {5; 3}.


H2: Đếm số đỉnh và số cạnh của các hình đa diện đều.

Loại Tên gọi Số đỉnh Số cạnh Số mặt

{3;3}{4;3}{3;4}{5;3}

{3;5}

Tứ diện đềuLập phươngBát diện đềuMười hai mặt đềuHai mươi mặt đều

486

20

12

6121230

30

468

12

20


H3: Chứng minh rằng: Trung điểm các cạnh của một tứ diện đều là các đỉnh của một hình bát diện đều

C

l

E

M

J

F

B

N

D

A

Cho tứ diện ABCD, cạnh bằng a. Gọi I, J, E, F, M và N lần lượt là trung điểm các cạnh AC, BD, AB, BC, CD và DA. Ta chứng minh các cạnh IN, IE, IM, IF, JN, JE, JM, JF đều có độ dài bằng a/2.

Giải:


Thật vây, đó là các đường trung bình của các tam giác CAD, ABD, ACB, BCD. Vì AB = AC = AD = CB = a (ABCD là tứ diện đều) Nên IN = IE = IM = IF = JN = JE = JM = JF = a/2. Suy ra các tam giác IEF, IFM, IMN, INE, JEF, JFM, JMN, JNE là các tam giác đều bằng nhau. Tám tam giác trên tạo thành một đa diện có các đỉnh là I, J, E, F, M, N mà mỗi đỉnh là đỉnh chung của đúng 4 tam giác đều. Do đó đa diện ấy là đa diện đều loại {3; 4}, tức là hình bát diện đều.


H4: Chứng minh rằng: Tâm các mặt của một hình lập phương là các đỉnh của một hình bát diện đều.

DC

BA

A' B'

C'D'

Giải:

B.1: Chứng minh AB’CD’ là tứ diện đều

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có cạnh là a.

Thật vậy, ta có: AC là đường chéo của hình vuông ABCD nên Tương tự:

Vậy AB’CD’ là tứ diện đều.

2AC a

' ' ' ' ' ' 2AB AD B D B C C D AC a


F

E

M

J

N

I

D' C'

B'A'

A B

CD

Gọi I,J,E,F,M,N lần lượt là tâm củacác mặt ABCD, A’B’C’D’, ABB’A’,BCC’B’, CDD’C’, DAA’D’ của hìnhlập phương. Sáu điểm này lần lượt là trung điểm của các cạnh AC, B’D’, AB’, B’C’, CD’,D’A của tứ diện đều AB’CD’. Do đó theo câu H3 ta có sáu đỉnh đó là các đỉnh của hình bát diện đều.

B.2:

Documents

KHỐI ĐA DIỆN LỒI VÀ KHỐI ĐA DIỆN ĐỀU