BI TP v din tch v th tch a din-trn xoay

Bi 1: Cho lng tr ABC.ABC c y l tam gic u cnh a, AA = b v AA to vi mt y mt gc 600. Tnh th tch khi lng tr.

Gii

Gi H l chn ng cao k t A ca lng tr.

Khi , AH l hnh chiu ca AA trn mp(ABC)

Xt tam gic AAH vung ti H c: Sin A =

AH = AA. Sin A = AA. Sin 600 =

Do tam gic ABC l tam gic u nn chiu cao ca tam gic l: h =

Din tch tam gic ABC: SABC =

Th tch ABC.ABC: V = .AH. SABC =

Gii:

K SH (ABC)

Gi I l giao im ca AH v BC

Do S.ABC l hnh chp u nn H l trng tm ca

tam gic ABC.

( AI = ( AH = AI =

EMBED Equation.3Do AH l hnh chiu ca SA trn mp(ABC) nn SAH = 600.

Xt tam gic SAH vung ti H ta c:

tan 600 = = a

Din tch tam gic ABC: SABC = =

Th tch khi chp: V = SH. SABC =

EMBED Equation.3

Bi 3: Cho hnh chp t gic u S.ABCD. Mt phng (P) qua A v vung gc vi SC ct SB, SC, SD ti B, C, D. Bit rng AB = a,

a) Tnh t s th tch ca hai khi chp S.ABCD v S.ABCD

b) Tnh th tch khi chp S.ABCD.

Gii

a) Gi SH l ng cao ca hnh chp S.ABCD

Gi H l giao im ca SH v mp (P).

Do S.ABCD l hnh chp u nn H l giao im ca AC v BD.

( BD ( SC.

Do mp (P) ( SC ( BD // mp (P)

Do

( , HD = HB va BD ( AC

Qua H k ng thng song song vi AC ct SC ti E. Khi : EC = EC,

( ( SC = 2EC = CC

Ta c: ,

Ta c: VS.ABD = VS.BCD =

( VS.ABCD = VS.ABD + VS.BCD =

b) Theo cm trn: AC va l ng cao va l ng trung tuyn ca tam gic SAC nn SA = AC ( tam gic SAC u ( SH =

VS.ABCD =

EMBED Equation.3( VS.ABCD =

Bi 4: Cho hai im A, B c nh. Mt ng thng d di ng lun i qua A v cch B mt on khng i a = . Chng minh rng d lun nm trn mt mt nn.

Gii

Xt ty ng thng d i qua im A.

Theo gt: A c nh

( d i qua im A c nh thuc ng thng AB c nh (1)

Trong mp (d, AB) k BH ( d ti H

Gi ( = HAB

Xt tam gic vung ABCH ta c:

Sin ( = ( ( = 300 .

Vy ( khng i(2)

T (1) v (2) suy ra d lun nm trn mt mt nn nh A, nhn AB lm trc v c gc nh 2( = 600.

Bi 5: Cho hnh lp phng ABCD.ABCD cnh a. Tnh din tch xung quanh v th tch ca khi nn c nh l tm O ca hnh vung ABCD v y l hnh trn ni tip hnh vung ABCD.

Gii

Khi nn c chiu cao a v c bn knh y r =

di ng sinh: l =

Din tch xung quanh ca khi nn:

Sxq = rl

Th tch khi nn: V = =

Bi 6: Cho ng trn (C) trong mp (P). T mt im M trn (C) k ng thng d vung gc vi mp (P). Chng minh ng thng d nm trn mt mt tr.

Gii

Gi ( l ng thng vung gc vi mp (P) ti O

Gi r l bn knh ca (C).

Do

Khong cch gia d v ( l: d(d, () = OM = r: khng i

Vy d nm trn mt tr tr ( bn knh r

Bi 7: Cho khi tr c bn knh y bng r v c thit din qua trc l mt hnh vung.

a) Tnh din tch xung quanh v din tch ton phn ca hnh tr.

b) Tnh th tch ca khi lng tr t gic u ni tip trong hnh tr cho (hnh lng tr ny c y l hnh vung ni tip trong ng trn y ca hnh tr)

c) Gi V l th tch khi lng tr u ni tip trong khi tr v V l th tch khi

tr. Tnh t s ca V v V.

Gii

a) V thit din qua trc ca hnh tr l hnh vung nn ng sinh l bng ng cao h

l = h = 2r.

Din tch xung quanh ca hnh tr: Sxq = 2( r l = 4( r2.

Din tch ton phn ca hnh tr: Stp = Sxq + 2B = 6( r2.

b) Gi ABCD.ABCD l tr t gic u ni tip

trong hnh tr cho.

Ta c: ABCD ni tip trong ng trn y nn: AB = r

Th tch khi lng tr t gic u: V = AA.SABCD = 4r3.

c) Th tch khi tr: V = B.h = 2( r3

Vy:

Bi 8: Cho hnh lp phng ABCD.ABCD cnh a. Xc nh tm v bn knh mt cu i qua 8 nh ca hnh lp phng cho.

Gii

Gi O l trung im ca ng cho AC.

Ta c: O cch u cc nh ca hnh lp phng

Vy mt cu i qua 8 nh hnh lp phng c tm O,

Bn knh r =

AC = a ( r =

Bi 9: Cho t din D.ABC c DA ( (ABC) v DA = 5a, tam gic ABC vung ti B v AB = 3a, BC = 4a. Xc nh tm v bn knh mt cu i qua bn nh ca t din.

Gii

Gi O l trung im DC

Do DA ( (ABC) nn DA ( AB, DA ( AC

( ( DAC vung ti A

( OA = OC = OD = CD/2(1)

Ta c: BC ( BA, BC ( DA ( BC ( (ABD) ( BC ( BD

( OB = CD/ 2 (2)

T (1 v (2) suy ra: A, B, C, D thuc mt cu tm O, bn knh r = CD/2.

Bi 10: Cho hnh chp tam gic u S.ABC c cnh y bng a, cnh bn bng b. Xc nh tm v bn knh mt cu i qua cc nh hnh chp.

Gii

Gi H l trng tm tam gic ABC.

Do SABC l hnh chp u nn tm O ca mt cu nm trn SH.

Gi I l trung im ca SA.

Trong mp(SAH) dng IO vung gc vi SA ct SH ti O

Khi : O l tm mt cu i qua cc nh hnh chp.

Xt hai tam gic ng dng SIO v SHA ta c:

( SO =

M SH2 = SA2 ( AH2 = b2 ( nn SH =

Vy: r = =

Bi 11: Cho mt cu S(O,r) v mt im a bit OA = 2r. Qua A k mt tip tuyn vi mt cu ti B v k mt ct tuyn ct mt cu ti C v D. Cho bit CD = r

a) Tnh AB

b) Tnh khong cch t O n CD.

Gii

a) Ta c: AB l tip tuyn ca mt cu ti B nn AB ( OB

( AB =

b) Gi H l hnh chiu vung gc ca O trn CD.

Ta c: OC = OD = r

Nn tam gic OCD cn ti O

Do H l trung im ca CD nn HC =

Vy khong cch t O n CD l di OH vi

OH =

Bi 12: Cho t din ABCD c DA = 5a v DA vung gc vi mp(ABC). Tam gic ABC vung ti B

v AB = 3a, BC = 4a.

a) Xc nh tm v bn knh ca mt cu i qua cc nh ca t din.

b) Tnh din tch mt cu v th tch ca khi cu tng ng.

Gii

a) Gi O l trung im DC

Do DA ( (ABC) nn DA ( AB, DA ( AC

( ( DAC vung ti A ( OA = OC = OD = CD/2(1)

Ta c: BC ( BA, BC ( DA

( BC ( (ABD) ( BC ( BD ( OB = CD/ 2 (2)

T (1 v (2) suy ra: A, B, C, D thuc mt cu tm O, bn knh r = CD/2.

r = =

b) Din tch mt cu: S = 4( r2 = 50( a2

Th tch ca khi cu tng ng: V = ( r3 =

Bi 13: Cho khi lng tr t gic u ABCD.A1B1C1D1 c khong cch gia hai ng thng AB v A1D bng 2 v di ng cho ca mt bn bng 5.

a) H . Chng minh AK = 2

b) Tnh th tch khi lng tr ABCD.A1B1C1D1.

A x B

x x 2

D C x

K h 5 A1 B1 D1 C1

Gii:

a) Chng minh AK = 2:AB(ADD1A1) v Gt: AKA1D

AK l on vung gc chung ca AB v A1D

Vy AK =

b) Tnh th tch V ca khi lng tr ABCD.A1B1C1D1:

t h = AA1 l chiu cao ca khi lng tr; x l cnh y hnh vung.

Gt AK = 2; A1D = 5

vung ti A c AK l ng cao nn:AK.A1D = AD.AH v

AD2 +

Gii h:

EMBED Equation.DSMT4

Bi 14: Cho khi lng tr ng ABCD.A1B1C1D1 c y l hnh bnh hnh v Cc ng cho AC1 v DB1 ln lt to vi y nhng gc 450 v 600. Hy tnh th tch ca khi lng tr nu bit chiu cao ca n bng 2.

D1 A1 C1 B1 2 D A C BGii:

Gt: (AC1, (ABCD)) = 450 = (AC1,AC) =

(DB1, (ABCD)) = 600 = (DB1, DB) =

t AD = BC = x ; AB = DC = y

(1)

(2)T (1) v (2) thay

vo (2) c:

Vy V = SABCD. CC1= (vdt)Bi 15: Cho khi lng tr ABC.A1B1C1 c y ABC l tam gic vung cn vi cnh huyn AB = . Cho bit mt phng (AA1B) vung gc vi mt phng (ABC), AA1 = , gc nhn, gc gia mt phng (A1AC) v mt phng (ABC) bng 600. Hy tnh th tch ca khi lng tr.

Gii:

Gt: . T A1 dng A1H vung gc AB ti H th l chiu cao lng tr. t A1H = h

Dng ti K (HK // BC) . AKH cng vung cn ti K

A1 B1 C1 h

A H B K C

. Vy V = (vdt)

Bi 16: (D b B2-2006) Cho lng tr ABC.ABC c A.ABC l hnh chp tam gic u, cnh y AB = a, cnh bn AA = b. Gi l gc gia hai mt phng (ABC) v (ABC). Tnh tan v tnh th tch khi chp A.BBCC.

Gii:* Tnh tan:

+ Gi H l tm tam gic u ABC. Do A.ABC l hnh chp tam gic u nn hnh chiu vung gc ca A trn (ABC) trng vi H.

+ Gi M l giao im ca AH vi BC th AMBC.

Mt khc: AB = AC = AA = b

Vy gc gia hai mt phng (ABC) v (ABC) l:

AHM vung ti H (v AH(ABC))

C

A

B b A C a H M BABC u c cnh a nn AM = a

;

AH =

Vy

* Tnh th tch V ca khi chp A.BBCC:

V (vtt)Bi 17: Cho khi chp tam gic u S.ABC c chiu cao bng h v gc. Hy tnh th tch khi chp.

S

A

C H

M

B Gii: Tnh VS.ABC :+ Gi H l hnh chiu ca S trn (ABC).

V: SA = SB = SCHA = HB = HCH l tm ca tam gic u ABC.

+ Gi M l giao im ca CH v AB th M l trung im ca AB v SMAB.

+ t AB = 2x AM = BM = x (x > 0)

+ gt:

+

MH =

+

(vtt)Bi 18: Khi chp S.ABC c y ABC l tam gic vung cn nh C v SA, SC = a. Hy tm gc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) th tch khi chp ln nht.

Gii: Tm gc gia hai mt phng (SCB) v (ABC) th tch S.ABC ln nht: S

a A B C+ gt:

+ Gi

+

+

+ Xt hm s:

V:

Do :

Lp bng bin thin hm s f() trn khong :

00 900

f() + 0 -

f() fmax

0 0

Ta c f() ln nht

.

Vy th tch S.ABC ln nht f() ln nht

EMBED Equation.DSMT4 .Bi 19: Cho khi chp t gic u S.ABCD m khong cch t nh A n mp(SBC) bng 2a. Vi gi tr no ca gc gia mt bn v mt y ca khi chp th th tch ca khi chp nh nht ?

Gii: Tm gc gia mt bn v mt y th tch S.ABCD nh nht: S K B C

N M OA D

+ Gi O l tm hnh vung ABCD th SO vung gc vi (ABCD) v SO l chiu cao ca khi chp S.ABCD.+ Gi MN l ng trung bnh ca hnh vung ABCD vi MCD v NAB.

+ CD(SMN), trong (SMN) v NKSM, khi NKCDNK(SCD). Vy NK = d

+ V AB//CDAB//(SCD)

d= NK = 2a.

Ta c: SMCD v MNCD

+

+

Vy nh nht

ln nht, vi

Lp bng bin thin hm s f() trn khong :

00 900

f() + 0 -

f() fmax

0 0

Ta c f() ln nht

.

Vy th tch S.ABCD nh nht f() ln nht

.

Bi 20: Khi chp S.ABC c SA ; y l cn ti A, di trung tuyn AD = a, cnh SB to vi y mt gc v to vi mt (SAD) gc . Tnh th tch khi chp.

Gii: Tnh th tch khi chp S.ABC: S A C D B+ SA(ABCD) nn AB l hnh chiu SB trn (ABC)

+ BCAD v BCSABC(SAD) nn SD l hnh chiu ca SB trn (SAD)

+

+

+

Vy

SA = SB

(vtt)Bi 21: Cho khi chp S.ABCD c y l hnh vung cnh a, SA vung gc vi mt phng y v SA = 2a. Gi B, D ln lt l hnh chiu ca A trn SB v SD. Mt phng (ABD) ct SC ti C. Tnh th tch khi chp S.ABCD .

Gii: Tnh th tch khi chp S.ABCD: S

2a C D I B A D O a B C

+ Trong (SBD) gi I l giao im ca BD v SO.

Trong (SAC), gi C l giao im ca AI vi SC th:

Cl giao im ca (ABD) vi SC

+

+

+ VS,ABC + VS.ACD = VS.ABCD

+ VS,ABC = VS.ACD = VS.ABCD =V (t VS.ABCD = V)

hay:

Tng t:

V:

+ Ta c: . Mt khc:

Vy ; tng t:

Tam gic SAC vung ti A v AC l ng cao nn:

SC.SC = SA2

Bi 21: Cho khi lng tr ABC.A1B1C1 c y ABC l tam gic vung cn vi cnh huyn AB = . Cho bit mt phng (AA1B) vung gc vi mt phng (ABC), AA1 = , gc nhn, gc gia mt phng (A1AC) v mt phng (ABC) bng 600. Hy tnh th tch ca khi lng tr.

Gii: Tnh th tch ca khi lng tr ABC.A1B1C1+ Gt: . T A1 dng A1HAB ti H

A1H l chiu cao lng tr.

t A1H = h

A1 B1 C1 h A H B K C

+ Dng HKAC ti K (HK//BC) th AKH cng vung cn ti K.

HK l hnh chiu ca A1K trn (ABC) m ACHK nn ACA1K.

Vy .

A1HK vung ti H:

AHK vung cn ti K

A1HK vung ti H

Vy (vtt)Bi 22: (DB A1-08PB) Cho hnh chp SABC c y l tam gic ABC vung cn ti nh B, BA = BC = 2a, hnh chiu vung gc ca nh S trn mt phng y (ABC) l trung im E ca AB v SE = 2a. Gi I, J ln lt l trung im ca EC, SC. M l im di ng trn tia i ca tia BA sao cho v H l hnh chiu vung gc ca S trn MC. Tnh th tch ca khi t din EHIJ theo a; ( v tm ( th tch ln nht.

Gii:* Tnh th tch ca khi t din EHIJ:

+ Gi V l th tch khi t din EHIJ. Ta c:

V = , vi S l din tch v h l chiu cao ca khi t din.

+ GT suy ra IJ// SE v IJ=; V SE . Vy h = IJ = a

EBC vung ti B c EB = = a; BC = 2a nn EC =

+ V SE (ABC) nn HE l hnh chiu ca SH trn mt phng (ABC), do SHCM nn EHCM. Vy tam gic CHE vung ti H v c

S J C A I H E B M

Do I l trung im ca CE

nn S =

Vy V =

* Tm th tch V ca khi t din EHIJ ln nht:

Ta c: V = .

Vy V ln nht

Bi 23: Cho hnh chp S.ABCD c y ABCD l hnh vung cnh bng a, v SA vung gc vi mt phng y, gi M l trung im ca SD. Tnh theo a th tch khi t din SAMC v csin ca gc gia hai ng thng SB, AC.

Gii:* Tnh th tch ca khi t din SAMC:

+ Gi V, V1, V2 ln lt l th tch ca khi t din SAMC, khi chp S.ACD, M.ACD , ta c: V = V1 - V2 S M A H D O B C

+ SA(ABCD) nn SA l chiu cao ca khi chp S.ACD.

Vy V1 =

Gi H l trung im ca AD th MH//SA nn MH (ABCD) v MH = V2 =

Vy V =

* Tnh csin ca gc gia hai ng thng SB, AC:

Ta c: MO l ng trung bnh ca tam gic SBD nn:

MO =SB v MO//SB nn gc gia SB v AC l gc gia

OM v AC

OA = ; AM

Trong tam gic OAM c: Vy Bi 24: Cho hnh tr c y l ng trn tm O v O, t gic ABCD l hnh vung ni tip trong ng trn tm O bn knh R. AA, BB l cc ng sinh ca khi tr. Bit gc ca mt phng (ABCD) v y hnh tr bng 60o, tnh th tch khi tr.

Gii:

Ta c: c hnh chiu trn (ABCD) l AD.

Do BCAD BCAD

V:

OAD vung cn nn

Gi h l chiu cao ca hnh tr.

ADA c h = AA=AD.tan600=

Th tch khi tr l V = (vtt)

Bi 25: Tnh th tch khi cu ngoi tip t din ABCD, c cnh AB = v cc cnh cn li u bng a.

A

D

I

Gii:

Gi l trung m cnh

EMBED Equation.3 (1)

l mp trung trc cnh . Gi l giao im ca vi mt cu ngoi tip t din .

ng trn ln ca l ng trn . Mt phng ct theo ng trn qua M, hn na BM l ng knh.

(1) u = 600 ;

EMBED Equation.3 Bi 26: Cho hnh nn nh S, ng cao SO = h, bn knh y bng R. im MSO l tm ng trn (C).

1.Tnh th tch khi nn c nh S v y l (C).

2.Tm x th tch ny ln nht

Gii:

Ta c

Th tch khi nn: V=

V=V = 0

EMBED Equation.DSMT4 x= h (loi)

Da vo bng bin thin ta c: V Max x =

Bi 27: Cho hnh nn nh S c di ng sinh l l, bn knh ng trn y l r. Gi I l tm mt cu ni tip hnh nn (mt cu bn trong hnh nn, tip xc vi tt c cc ng sinh v ng trn y ca nn gi l mt cu ni tip hnh nn).

1. Tnh theo r, l din tch mt cu tm I;

2. Gi s di ng sinh ca nn khng i. Vi iu kin no ca bn knh y th din tch mt cu tm I t gi tr ln nht?

Gii:

+) Gi l bn knh mt cu ni tip nn, v cng l bn knh ng trn ni tip tam gic SAB.

Ta c:

+) Scu =

+) t: ;

+) BBT:

r0

y'(r)

y(r) ymax

+) Ta c max Scu t y(r) t max

Bi 28: Cho hnh tr c bn knh y x, chiu cao y, din tch ton phn bng 2. Vi x no th hnh tr tn ti? Tnh th tch V ca khi tr theo x v tm gi tr ln nht ca V.

Gii:

Ta c Stp= Sxq+2S =; (x > 0)Theo gi thit ta c 2 (xy+x2) = 2xy+x2 =1 y =.Hnh tr tn ti y > 0 (vi x > 0)1- x2 > 0 0 < x < 1. Khi V(x) = x2y = x(1- x2) =( -x3 + x)Kho st hm s V(x) trn vi x (0;1) ta c gi tr ln nht ca V =

Bi 29: Cho hnh nn trn xoay nh S, y l hnh trn tm O.Trn ng trn ly mt im A c nh v mt im M di ng. Bit , gc to bi hai mt phng (SAM) v (OAM) c s o bng v khong cch t O n (SAM) bng a. Tnh th tch khi nn theo a, , .

Gii:

Gi I l trung im AM

SAM cn nn SI AM

OAM cn nn OI AM

Gc to bi hai mt phng (SAM) v (OAM) bng

MAOI v MASO

V

K OHOI

= R

SO = OI=

V=

Bi 30: Cho mt cu ng knh AB=2R. Gi I l im trn AB sao cho AI = h. Mt mt phng vung gc vi AB ti I ct mt cu theo ng trn (C).

1) Tnh th tch khi nn nh A v y l (C).

2) Xc nh v tr im I th tch trn t gi tr ln nht.

Gii:

Gi EF l 1 ng knh cua (C) ta c: IE.IF = IA.IBhay IE2 = IA.IB = h(2R-h). Gi r l bn knh ca (C) th: r = IE =

Th tch cn tnh l: V= , vi 0