čki elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Optičko preslikavanjeOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Realizovanje optičkog preslikavanja jedan je od osnovnih zadatakatehničke optike.

Optičko preslikavanje predstavlja transformaciju bitnihkarakteristika oblasti objekta u oblast lika radi upoznavanja, modeliranja ili umetničkog predstavljanja objektivne realnosti.

Priroda objekta i lika uslovljava podelu na realno, konkretno i apstraktno optičko preslikavanje.


Realno optičko preslikavanje transformiše karakteristikematerijalne strukture objekta, koje izazivaju promenu stanjasvetlosti u prostoru i vremenu, u realnu strukturu lika.

Realni sistem objekta čine izvor zračenja, sistem za osvetljavanje i struktura objekta.

Realni optički sistem je sklop čiju osnovnu funkciju realizujuelementi za optičko preslikavanje.

Realni sistem lika čine struktura lika, prijemnik zračenja i površina na kojoj se lik projetuje.


Konkretno optičko preslikavanje je nematerijalni model realnogoptičkog preslikavanja. Sistem objekta, optički sistem i sistem likaopisuju se modelom.

Apstraktno optičko preslikavanje daje samo opštu zavisnostulaznih i izlaznih veličina (karakteristika objekta i lika). Ono predstavlja nematerijalni model realnog optičkog preslikavanjakoji ne razmatra konkretna tehnička rešenja.

Karakteristike preslikavanja u geometrijskoj optici

Optički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Ukoliko se homocentrični snop zraka s tačkom konvergencije Atransformiše optičkim sistemom u homocentrični snop zraka s tačkom konvergencije A', preslikavanje je stigmatično.

Idealno preslikavanje u geometrijskoj optici je stigmatično.



Kod idealnog preslikavanja objekat i lik su međusobnokonjugovani i mogu biti realni ili virtualni.

U realnoj tački objekta (lika) seku se stvarni zraci, a u virtualnojgeometrijska produženja zraka.

Virtualni lik realnog objekta u ravnom ogledalu



Realni lik virtulanog objekta u ravnom ogledalu



Od idealnog preslikavanja se pored stigmatičnosti zahteva dageometrijske figure preslikava i njima slične figure. Ukolikopostoji distorzija lika, onda preslikavanje nije idealno.

Stigmatično preslikavanje sa distorzijom lika

Ostvarljivo preslikavanjeOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Ostvarljivo preslikavanje transformiše prostorno ograničenustrukturu tačaka objekta u strukturu rasutih likova, koja u kombinaciji s određenim prijemnikom svetlosti omogućavazadovoljavajući opis bitnih karakteristika objekta.

Dopuštena odstupanja od stigmatičnosti i sličnosti objekta i likazavise od zahteva primene i odabranog prijemnika.

Funkcionalni elementiOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Optički sistemi imaju zadatak da realizuju određene funkcije, odnosno da prevedu određene ulazne u odgovarajuće izlazneveličine.

Ugradni element je realna struktura koja kao celina u određenojokolini prevodi zadate ulazne u odgovarajuće izlazne veličine.

Model ugradnog elementa naziva se funkcionalni element. Njimesu teorijski obuhvaćene bitne karakteristike ugradnih elemenata. Osnovna podela funkcionalnih elemenata je prema elementarnimfunkcijama koje treba da ostvare (preslikavanje, ograničavanjesvetlosnog snopa, skretanje svetlosnog snopa, dispersija svetlosti, filtriranje, vođenje svetlosti, polarizacija svetlosti).

Funkcionalni elementiOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Elementarnom funkcijom se naziva zavisnost zadatih ulaznih i izlaznih veličina koju nije potrebno dalje raščlanjivati, pošto se može neposredno realizovati odgovarajućim ugradnimelementima i modelirati funkcionalnim elementima.

Prelamanje svetlosti kroz sfernu površinuOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Stigmatično preslikavanje za par konjugovanih tačaka može se ostvariti samograničnom površinom koja je rotacionosimetričma u odnosu na osu koja prolazi krozove dve tačke. Granične površine optičkihelemanata izrađenih od stakla su najčešćeravne ili sferne.

Kao ugradni element za optičko preslikavanjenajčešće se koriste različite vrste sočiva. Svako sočivo je ograničeno dvemameđusobno podešenim prelamajućimpovršinama od kojh bar jedna nije ravna.

Prelamanje svetlosti kroz sfernu površinuOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Zbog lakše i jeftinije izrade granične površine sočiva su najčešćesferne površine. Izrađuju se i sočiva sa cilindričnim površinama(sočiva naočara - za korekciju poremećaja vida pod imenomastigmatizam), kao i sočiva sa paraboličnim površinama (sočivakondenzora - optičkog sistema za osvetljavanje predmeta pod mikroskopom).

Preslikavanje meridijalnim zracimaOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Meridijalnu ravan grade optička osa sistema i tačka objekta koja neleži na optičkoj osi. Ravan upravna na meridijalnu ravan naziva se sagitalna ravan. Na crtežu se obično predstavlja meridijalna y-zravan, a zraci koji u njoj leže nazivaju se meridijalni zraci.


Putanja meridijalnog zraka iz tačke objekta na konačnojudaljenosti:

s - daljina objekta's - daljina lika

C - centar krivine

V - teme

σ - nagibni ugao svetlosnog zraka u oblasti objekta

'σ - nagibni ugao svetlosnog zraka u oblasti lika


Putanja meridijalnog zraka iz tačke objekta u beskonačnosti:

's - daljina lika

C - centar krivine

V - teme

'σ - nagibni ugao svetlosnog zraka u oblasti lika

h - upadna visinasvetlosnog zraka


Putanje meridijalnih zraka nakon prelamanja:Zraci homocentričnog snopa u oblasti objekta neće se, nakonprelamanja kroz sfernu graničnu površinu, seći svi u istoj tački. Sa opadanjem upadne visine daljina preseka meridijalnih zraka u oblasti lika raste i konvergira ka određenoj vrednosti. Ova pojavase naziva sferna aberacija.

Preslikavanje paraksijalnim zracimaOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Paraksijalni zraci su meridijalni zraci koji imaju male nagibneuglove, a prelamajuću površinu prodiru u blizini temena.

Odnos tangensa nagibnih uglova prelomljenog i upadnog zrakanaziva se ugaono uvećanje:

σσ

=γtg

'tg'

Ugaono uvećanje paraksijalnih zraka:

s's'

sin'sin

tg'tg' =

σσ

≈σσ

≈σσ

=γ


Abbe-ova invarijanta Q:

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

's1

r1'n

s1

r1nQ

n - indeks prelamanja ispred prelamajuće površine

n' - indeks prelamanja iza prelamajuće površine

r - poluprečnik krivine

s - daljina preseka paraksijalnih zraka u oblasti objekta

s' - daljina preseka paraksijalnih zraka u oblasti lika


rn'n

sn

'n's's

1r1'n

s1

r1nQ

−+

=⇒⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

Daljina preseka paraksijalnih zraka u oblasti lika ne zavisi od nagibnog ugla upadnog zraka, niti od upadne visine.

Ravan kroz tačku preseka paraksijalnih zraka upravna na optičku osu naziva se Gauss-ova ravan lika.


Virtualni lik pri preslikavanju sfernom prelamajućom površinom


Odnos veličine lika i veličine predmeta naziva se poprečno ili transverzalno uvećanje β'. Ako je β' > 0, lik je uspravan i leži sa iste strane optičke ose kao i predmet. Ako je β' < 0, lik je izvrnut i leži sa suprotne strane optičke ose u odnosu na predmet.

y'y'=β


y'y'=β

sytg 00 −=ε≈ε

's'y'tg' 00 −=ε≈ε

00 ''nn ε≈ε

const'sn

n's' ==β⇒

s's'=γ


'snn's'=β

''y'nny'n

n'' σ=σ⇔=γβ

Proizvod nyσ predstavlja invarijantu paraksijalnog preslikavanja sfernom prelamajućom površinom i naziva se Helmhlotz-Lagrange-ova invarijanta.

Kardinalne tačke sferne prelamajuće površineOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Poseban značaj pri preslikavanju paraksijalnim zracima imaju tzv. kardinalne tačke optičkog sistema: par glavnih tačaka, par čvornih tačaka i par žiža.

Predmet koji leži u glavnoj ravni u oblasti objekta (prva, prednja glavna ravan) preslikava se poprečnim uvećanjem β'=1 u glavnu ravan oblasti lika (druga, zadnja glavna ravan), pri čemu su glavne ravni upravne na optičku osu. Tačka u kojoj optička osa prodire prvu glavnu ravan naziva se prva (prednja) glavna tačka H. Tačka u kojoj optička osa prodire drugi glavnu ravan naziva se druga (zadnja) glavna tačka H'.


Upadni zrak kroz čvornu tačku oblasti objekta N (prva, prednja čvorna tačka) napušta sistem pod istim uglom (σ' = σ) kroz čvornu tačku oblasti lika N' (druga, zadnja čvorna tačka), odnosno ugaono uvećanje zraka kroz čvorne tačke: γ' = 1).

Žiža F oblasti objekta (prva žiža) je tačka na optičkoj osi koju optički sistem preslikava u beskonačno daleku tačku ose. Žiža F' oblasti lika definiše se kao lik beskonačno udaljene tačke ose. Ravan kroz žižu upravna na optičku osu naziva se žižna ravan.


Karakteristične tačke i zraci kod sferne prelamajuće površine

Žižne daljineOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Odstojanje žiže oblasti objekta od glavne ravni oblasti objekta naziva se žižna daljina oblasti objekta (prva žižna daljina optičkog sistema) i obeležava se sa f.

Odstojanje žiže oblasti lika od glavne ravni oblasti lika naziva se žižna daljina oblasti lika (druga žižna daljina optičkog sistema) i obeležava se sa f '.

1n'nrf−

−=

1n'n

rn'n

'f−

−=n'n

f'f

−=⇒

'nn'' =γβ

Žižne daljineOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

n'n

f'f

−=

'ff'' −=γβ⇒

Grafički postupak određivanja položaja i veličine lika


Položaj lika neke tačke određujemo kao presečnu tačku najmanje dva paraksijalna zraka u oblasti lika.

• zrak paralelan optičkoj osi, koji u oblasti lika prolazi kroz drugu žižu F',

Kao karakteristične zrake kroz tačku predmeta čiji lik treba odrediti koristimo:

• zrak kroz prvu žižu F, koji je u oblasti lika paralelan optičkoj osi,




• zrak kroz čvornu tačku N, koji u oblasti lika paralelno pomeren prolazi kroz čvornu tačku N'.






Primer: Grafičkim postupkom odrediti veličinu i položaj likova y'1, y'2 i y'3.









Primer: Grafičkim postupkom odrediti veličinu i položaj likova y'1, y'2 i y'3.









Primer: Grafičkim postupkom odrediti veličinu i položaj predmeta y1, y2 i y3.









Primer: Grafičkim postupkom odrediti položaj glavnih ravni H i H', ako je f ' = -f.









Primer: Grafičkim postupkom odrediti položaj i veličinu lika y'ako je zadat objekt y* i njegov lik y'*.







Koordinatni sistem žižeOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Položaji tačaka objekta u koordinatnom sistemu žiže su definisani koordinatama x, y, z u koordinatnom sistemu žiže F.

Položaji tačaka lika u koordinatnom sistemu žiže su definisani koordinatama x', y', z' u koordinatnom sistemu žiže F'.


z-osa i z'-osa poklapaju se s optičkom osom, a na crtežu se uobičajeno predstavlja meridijalna y-z ravan.


Položaji tačke A i njenog lika A' definisani su u odnosu na odgovarajuće žiže vrednostima -z i z'.

zf

y'y' −==β

'f'z

y'y' −==β

Newton-ov oblik jednačine preslikavanja: 'ff'zz =


Položaj lika tačke formiranog paraksijalnim zracima:

'f'xz

zxf'x −=−=

'f'yz

zyf'y −=−= z

'ff'z −=


Ugaono uvećanje paraksijalnih zraka:'z

f'f

z'f'z

fz's

s' ==++

==γ

Konstanta optičkog sistema:'f

f'' −=γβ


Granična vrednost odnosa pomeranja lika prema pomeranju predmeta duž optičke ose, odnosno aksijalne dužine lika Δz' prema aksijalnoj dužini predmeta Δz naziva se uzdužno (longitudinalno) uvećanje α':

''

z'z

z'z' lim

0z γβ

=−=ΔΔ

=α→Δ


Položaji kardinalnih tačaka u koordinatnom sistemu žiže:

• koordinate glavnih tačaka:

1'f'z

zf' =−=−=β ⇒ fzH −= 'f'z 'H −=



• koordinate žiža: 0zF = 0'z 'F =



• koordinate čvornih tačaka:

1'z

f'f

z' ===γ ⇒ 'fzN = f'z 'N =


Pomeranje žiže pri rotaciji optičkog sistema oko čvorne tačke oblasti lika zanemarljivo mala veličina drugog reda. Zahvaljujući ovoj osobini čvornih tačaka olakšano je podešavanje položaja sočiva u okviru optičkog sistema.

Koordinatni sistem glavne tačkeOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

Pri analizi optičkog preslikavanja fotoobjektivima i objektivima projekcionih aparata pogodnije je definisati položaje predmeta i lika u odnosu na glavne tačke koordinatama a i a'.

fza += 'f'z'a +=

Položaji kardinalnih tačaka u koordinatnom sistemu glavne tačke:

faF =


'f'a 'F =

'ffaN += 'ff'a 'N +=


Poprečno, ugaono i uzdužno uvećanje:

a'a

'nn'=β

'aa'=γ

'nn

a'a'

2

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=α

Konstanta optičkog sistema:'n

n'' −=γβ

Abbe-ova invarijanta Q: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

'a1

r1'n

a1

r1nQ


⇒ Gauss-ov oblik jednačine preslikavanja:'f'n

an

'a'n

=−

Analitički postupak određivanja položaja i veličine lika


Primer: Izračunati vrednosti za β', y', f ', zN i z'N' koristeći poznate vrednosti: y = 20mm, a = -50mm, a' = -25mm i f = 30mm.

mm80fazafz −=−=⇒−=−−

375.0zf' =−=β



''z'f

'f'z'

β−=⇒−=β

fa'a'z

'aa

'zf' =⇒==γ

} mm40a'f'a'f −=

β−=⇒

mm30f'zmm40'fz

'N

N

==

−==



y = 20mm, a = -50mm, a' = -25mm i f = 30mm.

mm80z −=

mm40'f −=

mm30'zmm40z

'N

N

=

−=

F



Primer: Izračunati vrednosti za β', f, f ', zH , z'H' , zN i z'N' koristeći poznate vrednosti: y = 20mm, y' = 60mm, z = 10mm i z' = -60mm.

3y'y' ==β

mm30z'fzf' −=β−=⇒−=β



mm20''z'f

'f'z' =

β−=⇒−=β

mm30f'zmm20'fz

'N

N

−==

==

mm20'f'zmm30fz

'H

H

−=−==−=



mm30f −=

mm20'f =

mm20'zmm30z

'H

H

−==

y = 20mm, y' = 60mm, z = 10mm i z' = -60mm.

mm30'zmm20z

'N

N

−=

=



Primer: Optičkim sistemom, žižnih daljina f = -50mm i f ' = 40mm, preslikan je tačkasti predmet P definisan koordinatama (30mm; -10mm; -60mm) koordinatnog sistema prve žiže. Odrediti: koordinate lika tačke P, poprečno uvećanje preslikavanja β', ugaono uvećanje preslikavanja γ' i uzdužno uvećanje preslikavanja α'.

mm33.8z

yf'y

mm25zxf'x

mm33.33z'ff'z

=−=

−=−=

==

( )mm33.33;mm33.8;mm25'P −⇒



555.0z'z'

5.1'f

z'

833.0zf'

=−=α

−==γ

−=−=β



Primer: Izračunati vrednosti za f, y', β', zN i z'N' koristeći poznate vrednosti: y = 20mm, a = -30mm, a' = -14.1mm i f ' = -25mm.

mm9.10'f'a'z'a'f'z =−=⇒=+

436.0'f'z' =−=β



mm19.23'z'a

af'a

a'z

f' ==⇒==γ

mm19.23f'zmm25'fz

'N

N

==

−==

mm72.8y''yy'y' =β=⇒=β



mm9.10'z =

mm19.23f =

mm19.23'zmm25z

'N

N

=

−=

y = 20mm, a = -30mm, a' = -14.1mm i f ' = -25mm.

Kardinalne tačke sistema od dve prelamajuće površine


Određivanje položaja i veličine lika sukcesivnim preslikavanjima svakom od prelamajućih površina složenog optičkog sistema može se zameniti ekvivalentnim jednostrukim preslikavanjem ukoliko supoznate kardinalne tačke sistema kao celine.



Osnovne postavke postupka određivanja kardinalnih tačaka sistema od dve prelamajuće površine su:

• žiža oblasti lika sistema poklapa se sa likom F'1, preslikane drugom prelamajućom površinom; ukoliko je upadni zrak paralelan sa osom, prva granična površina prelama ga ka žiži F'1, a ceo sistem, nakon prelamanja drugom graničnom površinom, ka žiži oblasti lika F';




• geometrijsko produženje zraka upadnog zraka, koji je paralelan sa osom, i njegov pravac nakon prolaza kroz obe prelamajuće površine seku se u tački koja leži u glavnoj ravni oblasti lika sistema;




• pravac zraka nakon prelamanja kroz drugu graničnu površinu određujemo uz pomoć paralelnog upadnog zraka kroz žižu F2: ovi paralelni zraci seku se u nekoj tački žižne ravni oblasti lika.



Optička dužina tubusa t sistema koji se sastoji od dve prelamajuće površine je odstojanje žiže F2 od žiže F'1

211 f'f'et +−=



Položaj glavne tačke oblasti objekta sistema H: t'efa 11

H1 =

Položaj glavne tačke oblasti lika sistema H': t'e'f'a 12

'H2 =



Optička moć (optička jačina sočiva) za f ' = -f :'f

1'F =

Ukoliko se glavne ravni svih sočiva sistema poklapaju (sva sočiva su tanka i dodiruju se međusobno):

∑=

=n

1kk'F'F

Jednačina preslikavanja sistemom kod koga je f ' = -fOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

1'f

f'' =−=γβ

a'a

y'y' ==β

Jednačina preslikavanja sistemom kod koga je f ' = -fOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje

'f1

a1

'a1

=−Gauss-ov oblik jednačine preslikavanja:

22

'a'a' β=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=α ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

β= 1

'1'fa ( )'1'f'a β−=

Grafički postupak određivanja položaja i veličine likaOptički elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje








Primer: Odrediti grafički parametre ekvivalentnog optičkog sistema: H, H', F, F', f ' = -f, N, N'.














f'z'fz

f'f

'N

N

=⇒

=⇒−≠


Primer: Odrediti grafički položaje glavnih ravni i žiža ekvivalentnog optičkog sistema.


Pošto je optički interval t = 0, glavne ravni i žiže ekvivalentnog sistema leže u beskonačnosti.



Primer: Dva sočiva, žižnih daljina f1 = - f1’ = 55 mm, f2 = 40 mm i f2’ = -50 mm, čine složeni optički sistem. Rastojanje između glavne ravni oblasti lika prvog sočiva H'1 i glavne ravni objekta drugog sočiva H2 je e'1 = 115mm. Odrediti:

• koordinate lika tačkastog predmeta definisanog koordinatama (0, 20mm, 25mm) u koordinatnom sistemu žiže i preslikanog paraksijalnim zracima,

• poprečno uvećanje preslikavanja β',• ugaono uvećanje preslikavanja γ',• uzdužno uvećanje preslikavanja α'.


mm25zmm20y

mm0x

1

1

1

===

mm0zfx'x1

111 =−=

mm44zfy'y1

111 =−=

mm121z

f'f'z1

111 −==



mm221t'zzmm44'yy

mm0'xx

12

12

12

−=−=====

mm0z

fx'x2

222 =−=

mm96.7z

fy'y2

222 =−=

mm05.9z

f'f'z2

222 ==

mm100f'f'et 211 =+−=



mm5.57t

'e'f'a 12'H2 −==

mm25.63t'efa 11

H1 −==


Optički elementi u mehatronici

mm5.27t

'f'f'f 21 =−=

mm22tfff 21 −==

Geometrijsko preslikavanje



mm20yymm0xx

1

1

====

( ) mm25.55zffazffazz 11H11H11 =++−−=⇒−−−−=−




mm0zxf'x =−=

mm96.7zyf'y =−=

mm95.10zf'f'z −==

mmT20mm20mm5.27mm50mm5.57mm95.1005.9

'f'f'a'z'z 2'H22

=++−=+

+−=−





198.0'''

009.2'f

z'

398.0y'y'

=γβ

=α

==γ

==β


Analitički postupak određivanja položaja i veličine likaPrimer: Rastojanje između sočiva dvočlanog variosistemaprikazanog na slici može da se podešava relativnim pomeranjemdrugog sočiva za vrednost ±d. Oba sočiva su tanka, žižnih daljina f'1= - f1 = -20 mm i f2’ = f2 = 50 mm, a optička dužina tubusa sistemaza d = 0 je t = 10mm. Odrediti:• ekvivalentnu žižnu daljinu sistema f ', kao funkcionalnu

zavisnost od parametara sistema i pomeranja d, i njenu vrednostza d = 0,

• položaj Gauss-ove ravni lika u odnosu na prvo sočivo (z1 = -œ), kao kao funkcionalnu zavisnost od parametara sistema i pomeranja d, i vrednost rastojanja x za d = 0,

• neophodna pomeranja prvog (d1) i drugog (d2) sočiva, kojaomogućavaju da Gauss-ova ravan lika ne menja položaj u komeje bila za d = 0, kao funkcionalnu zavisnost od parametarasistema i pomeranja d.





[ ]mmd10

1000dt

fff 21

+−=

+=

[ ]mmd10

1000dt'f'f'f 21

+=

+−=

mm100'f0d =⇒=



( )dtz2 +−=

[ ]mmd10

2500z

'ff'z2

222 +

==

( )

[ ]mmd10

2500d90x

'z'ffdt'fx 2221

+++=

++−++=

mm340x0d =⇒=



[ ]mmd10

2500d250d

xxd

1

0d1

+−−=

−= =

dddddd 1212 +=⇒−=

[ ]mmd10

2500250d2 +−=



Primer: Žižna daljina tankih sočiva, kod kojih se glavne ravni H i H' međusobno poklapaju, može se odrediti i eksperimentalno. tzv, Bessel-ovom metodom. Pomeranjem sočiva između predmeta i zastora tražimo položaj u kome će sočivo formirati oštar likpredmeta na zastoru. Na osnovu izmerenih odstojanja sočiva odpredmeta i lika može se izračunati žižna daljina sočiva. Tačnostpostupka je ograničena mogućnošću vizuelne proceme maksimalneoštrine lika, a i zbog zanemarivanja debljine sočiva.



Ako su žižne daljine sočiva f ' = -f = 100mm, a rastojanje izmeđupredmeta i zastora je l = 1000mm, odrediti:• položaj sočiva u kome će formirati oštar lik predmeta na

zastoru i poprečno uvećanje preslikavanja,• najmanje rastojanje između predmeta i zastora koje omogućava

formiranje realnog lika na zastoru.



al'al'aa +=⇒=+−

( )al'f'fal

'a'f'f'aa

'f1

a1

'a1

−−+

=−

=⇒=−

0l'fala2 =++⇒

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −±−=−±−= 'f

4ll

2ll'f

4l

2la

2

2,1



⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −±−=−±−= 'f

4ll

2ll'f

4l

2la

2

2,1

( )mm3.387500a 2,1 ±−=



( )mm3.387500a 2,1 ±−=

mm3.887al'amm7.112a

11

1

=+=⇒−=

873.7a'a'1

11 −==β


( )mm3.387500a 2,1 ±−=

mm7.112al'amm3.887a

22

2

=+=⇒−=

127.0a'a'2

22 −==β

Analitički postupak određivanja položaja i veličine likaGeometrijsko preslikavanje


Analitički postupak određivanja položaja i veličine likaGeometrijsko preslikavanje

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −±−=−±−= 'f

4ll

2ll'f

4l

2la

2

2,1

'f4l0'f

4l

≥⇔≥−

mm400'f4lmin ==

mm2002la −=−=

mm200al'a min =+=

1a'a' −==β

Documents

čki elementi u mehatronici Geometrijsko preslikavanje