KĨ NĂNG LÀM ĐỀ THI VÀ KIỂM TRA TOÁN 10 - NGÔ LONG HẬU

8/9/2019 KĨ NĂNG LÀM ĐỀ THI VÀ KIỂM TRA TOÁN 10 - NGÔ LONG HẬU

http://slidepdf.com/reader/full/ki-nang-lam-de-thi-va-kiem-tra-toan-10-ngo-long-hau 1/224

NGÔ LONG HẬU - MAI TRƯỜNG GIÁO - HOÀNG NGỌC AN

■3 ũ L .A ĩL.!Ểị.Sià....

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUYNHON

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUYNHON

BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N

.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ng góp PDF bởi GV. Nguyễn Thanh Tú



Chịu trách nhiệm xuất bản:Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO

Tổng biên ĩập ĐINH VĂN VANG

Chịu trách nhiệm nội dung và bản quyển: TRƯNG TÂM VÃN HÓA TRÀNG AN

Biên tập nội dung:LƯU THỂ SƠN

Kĩ thuật vỉ tính:TRUNG TÂM VAN HOÁ TRÀNG AN

Trìnk bày bia:

PHẠM HUỆ

KĨ NĂNG LÀM ĐỀ THỈ VÀ KẩM TRA TOÁN 10Mả số: 02.02.986/I181.PT.2012

In 1500 cuốn, khổ 16X 24 cm, tại TT CN in - Cty Khảo sát và Xây dựngĐãng kí KHXB số: 78-2012/CXB/986-43/ĐHSP ngày 13/1/2012

ỉn xong và nộp ỉưu chiểu quý II năm 2012



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Phẩn L TÓM TẮT LÍ THUYẾT VÀ ĐẼ BÀI

Học kỉ IPHẨN ĐẠI SỐ

Chương 1. MỆNH ĐỂ VÀ TẬP HỢP

TÓM TẮT ư THUYẾTMỆNH ĐÈ

1. Mệnh đề

Mỗi mệnh đề phải hoặc đúng hoặc sai.Một mệnh để không thể vừa đúng, vừa sai.

Kí hiệu mệnh đề bỏi các chữ in hoa A, B, c . -.2. Kỉ hiệu mệnh đề phủ định của một mệnh đề p là p , ta có: p đúng

hiP sa ivàP sai khi p đúng.

3. Một khẳng định chưa biết P(x) không phải là mệnh đề nhưng vớiỗi giá trị cũa bĩến X (thuộc một tập hợp X nào đó) được một mệnh đề thì taọi làmệnh đề chứa biến.

4. Mệnh đề “nếu p thì Q” được gọi là mệnh đề kéo theo, kí hiệu ỉà=> Q

• Mệnh đề p => Q sai khi vả chi khi p đúng, Q sai vả nhận giá trị đúngng các trường hợp còn lại-

• Các định lí toán học thường là những mệnh đề đúng dạng p => Q .

hi đó ta nói p là giá thiết, Q lả kết luận của định lí, hoặc p là điểu kiện đủể có Q hoặc Q là đỉều kiện cần để có p.

5. • Mệnh đề Q :=> p dược gọi làmệnh đề đảo của mệnh đề p Q.• Nếu cá hai mệnh đề p =ỷ Q và Q=> p đều đúng thì ta nói p và Q ỉà

i mệnh đềtương đương và kí hiệu p o Q.Khi đỏ ta còn nói p là điều kiện cần và đỏ đề có Q hoặc p khi và

i khi Q.

3



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





6. Kí hiệu V đọc là “với mọi”, kí hiệu3 đọc là “có một” (tồnhay “có ít nhất một”.II. TẬP HỢP

1. Tập hợp (còn gọi là tập) là một khái niệm cơ bản không định nghĩa.

• Đe chì a ỉả một phần tử của tập hợp A, ta viết a € A .

Đe chỉ a khôrìg thuộc tập A, ta viết a g A (hoặc a eA )• Có thể xác định tập hợp bằng hai cách:• Liệt kê các phần tử của Ĩ1Ó.• Chi ra tính chất đặc trưng cho các phần tử của nó.• Tập hợp rỗng, kí hiệu là 0 , là tập hợp không chứa phầ2. Tập hợp con• Nếu mọi phần tử của tập hợp A đều là phần tử của

• nói A là tập hợp con của B và kí hiệu A c B (đọc là A chứa ữ• Ta có các tính chất sau:• A c A VA ;* A c B v à B c : C = > A < z C ;• 0 c A VA.3. Tập hợp băng nhaiiKhi A c B và B c A. Ta nói tập họp A bằng tập hợp B v

NhưvậyA = B <=>Vx ( x e A o x e B ) .

III. CÁC PHÉP TOÁN TẬP HỢP1. Giao của hai tập hợpTập hợp c gồm các phần tử vừa thuộc A vừa thuộc B đ

của hai tập hợp A và Bs kí hiệu là c = A nB .2. Hợp của hai tập hợpTập hợp G gồm các phần tử thuộc A hoặc thuộc B đượ

hai tập hợp A và B> kí hiệu là C = A uB .3. Hiệu vồ phần bù cùa hai tập hợp• Tập hợp c gồm các phần tử thuộc A nhưng không t

. hiệu của hai tập hợp A và B, kí hiệu là c = Ạ \ B.• Phần bù

Neu A c B thì A \ B gọi là phần bù của B ữong A Ịđ hiệaB



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





IV. TẬP HỢP SỐ1. Tập hợp các số tự nhiên: N = {0. 1,2.3. ....}Tập hợp các số tự nhiên khác 0: N* - {ỉ , 2, 3, ...}2. Tập hợp các sổ nguyên z

z = -3 ,-2 ,-1 ,0 , 1,2, 3,...}3. Tập hợp các số hữu tỉ Q

Q= { - Ị a,b € Z,bjt0} b4. Tệp hợp các sổ vô tỉ ĩ ỉà tập hợp các số thập phân vô hạn không tuần

hoàn. Chẳng hạn 7T= 3,1416...5. Tập hợp số thực R *Tập hợp các số thực gồm tập hợp các số thập phần vô hạn tuần h

và các số thập phân vô hạn không tuần hoàn:

R = Q ỉ6. Các tập hợp con thường dùng của R * Đoạn [a; b] = {x € R Ịa < X< b}*Nửa khoảng* [a; b) = {x e R I a < X< b}* (a; b] = {x e R Ia < X< b}* [a; +00 ) = {xe R j a < x}* (— 00 ; b] = {x e R ỊX< b}*Khoảng* (a; b) = (x € R ị a < X< b}* (a;+00 ) = {xe R Ịa < x}* (— 00 ; a) = (x € R Ị X< a}* (—00; +oo) = R

V. SÓ GẲN ĐÚNG. SAI SỐ

1. Nếu a là số gần đúng của ã thì Aa = Ịa - a Ị được gọi là sa1 sô tuyệtcủa số gần đúng a.

2. Nếu Aa"= ịa - ạ! < h thì -h < ã - a < h.

■nmnmmnui*mumummh-

5



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





.ĐỀ KIỀM ĨR A 15-20 PHUĨ

MỆNH ĐÈ>È 1. 1. Trong các câu sau, câu nào !à mệnh đề? Mệnh đề đó đúĩig hay sai?

a) Đứng lên! b) ỉ371 là số chẵn;c) Hà Nội ỉà thủ đô của Việt Nam.2. Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:a) Phươns trình X2 - 5x + 4 = 0 vô nghiệm. b)-Năm 2010 là năm nhuận.c) Có vô số sổ nguyên tố.d) Bắc Ninh là thủ đô của Việt Nam.

)Ề 2. 1. Trong các câu sau, câu nào ỉà mệnh đề và cho biết tính đúng sai;ủa mệnh đề đó?

a) 2Ỉ0 + 1 chia hết cho 11. b) 2n Ịà số chẵn với mọi số nguyên n.2. Gho A là mệnh đề “ÀBCD là hình vuông”;B là mệnh đề “ABCD là hình thoi cỏ hai đường chéo bằng nhau”.Xác định các mệnh đề A B và B => A .

E>È3. i. Nêu mệnh đề phủ định của mệnh đề sau:

a) Vn EN+,n?' - l là bội của 3; b) Vx e R, x2- x + 2 > 0;c) 3x £ Q ?X2 = 5;d) 3n e N , 2n + 1 là số nguyên tổ.

2. Cho A là mệnh đề: u-\/3 là số vô tỉ”; B ỉà mệnh đề: “Nha Tranmột tíiành phổ của Việt Nam”. Hãy ỉập các mệnh đề A => B và B => A .Xét tính đúng sai cửa các mệnh đề mới này.ĐÈ 4.1. Điền đấu “x” thích hợp trong bảng sau:

Câu Không là mệnh đề Mệnh đề đúng Mệnh đề sai32 - 1chia hết cho 5 Ị

Số 17 ỉ à số nguyên tố 1 1Đi nhanh ỉên! ị

Bạn cô khỏe không? I 1

6



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2. Nêu mệnh đề phủ đỉnh của các mênh đề sau:a) Số 1024 là sổ chính phựơng. b) Số V3 là số hữu tỉ.

ÁP DỤNG MỆNH ĐÈ VÀO SƯY LUẬN TOÁN HỌCẺ 5. Phát biểu mệnh đề đào của các mệnh đề sau và xét sự đứng sai của chúng:

1. Trong tam giác cân hại đường trung tuyến ứng với hai cạnh bằnghau thì bằng nhau;

2. Trong tam giác đều ba đường cao bằng nhau;3. Nếu n là số tự nhiền và n2 chia hết cho 5 thì n chìa hết cho 5;4. Một số nguyên chia hết cho 6 thi sổ nguyên đó chia hết cho 2.

Ề 6. Chứng minh bằng phản ehứng các mệnh đề sau:1. a và b là hai số dương thì a + b> 2 >/ãb.2. Với 2 số thực khác nhau a và b mà a + b = 2 thl chắc chắn có một

ố lớn hơn ỉ và một số nhỏ hơn ỉ .Ê 7. Các mệnh đề sau đúng hay sai? Nêu mệnh đề phủ định của các mệnh

đề đó.1. 3x e Rmàx2= 1;2. 3n € 'Nmà n(n + 1) là một số chính phương;3. Vx e Rứù (x - l)2 ;X- 1;4. Vn è N thì n2 + 1không chia hết cho 4.

Ẻ 8. Lập mệnh đề phủ định của các mệnh đề sau:1. Tất cà học sinh lớp em đều thích môn Anh Văn;2. Có một bạn học sinh lớp em chữa bao giờ được đi tàu hỏa;3. Mọi học sinh lớp em đều biết đá bóng;4. Có một học sinh lớp em không biết sử dụng máy tính.

TẬP HỢP VÀ PHÉP TOÁN TRÊN TẬP HỢPỀ 9. Liệt kê các phần tử của các tập hợp sau:

1. A = { xe R /(x2- 2x)(2x2- 3x -2 ) = 0 }2. B = { xe Z /(x 2-2x)(2x2-3 x - 2 ) = 0 }3. c = { ne N / 3 < n2 < 30 }4. D = { x e R /x 2 —x + 2 = 0} .



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐÈ 10. Viết các tập hợp bằng cách chỉ tính chầ đặc trung cho cá1. A= { 3; 7; 11; 15; 19 }2. B = { 3;6; 11; 18; 27; 38 }3. c = { 0; 3; 8; 15; 24; 35 }

4.D= í i ;2 ; Ì ; Z ;2 Ị13 5 7 9 11J

ĐÊ 11. 1. Cho A = { xe R /( x - l)(x - 2)(x - 3) = 0};B —{5; 3; 1}.Hỏi A = B là đúng hay sai?2. Cho A là tập hợp các học sinh lớp 10 của một trường:

các học sinh học Tiếng Anh cua trường đó. Hãy diễn tả bằnhợp sau:

a ) A n B b ) A ưBC)A\B d) B \ A.

ĐỀ 12. Cho A = {2; 4; 6}, B = {I; 4; 7}. Hãy tìm các tập sau:M = (A \B ) u (B \ A) và N = (A u B ) \ (Ari B). Nhận xẻt

có đúng không?ĐÈ 13. Cho A \B = {ỉ; 5; 7; 8}, B \ A = {2; 10}, A nB “ {3;

Tìm tập A và B.

SAISÓ

ĐỀ 14. 1. Ta đã biểt 3,1415 <71< 3,1416. Coin ~ — (kểt quả

nguồn gổc ở Trung Quốc).Tmh sai số tuyệt đối của giá trị gần đúng này.2. Sừ đụng máy tính bỏ túi viết giá trị gần đúng cửa ylĩ chí

hàng phần trăm và phần nghìn, phần vạn, phần chục vạn.ĐÈ 15. Một tam giác có 3 cạnh:

a = 6,3cm ± 0,1 cm b = 10cm± 0,2cmc = 15cm ± 0,2cm

- vi của tam giác đó được tính như thế nào? Vdạng chuẩn.

8



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐỂ 16. Một hình lập phương có thể tích V = Ỉ80,57cm3 ± 0,05cm3Xác định các chữ sổ chắc của thể tích V và viết kết quả dưới dạng chu

c . ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚT ĐỀ 1

Câu 1.a) Viết các tập hợp sau dưới dạna ỉiệt kê:

E = {x / X e z và 2x2 + 3x - 5 = 0};

F = {x / X<Ez và ịxj <3};G = {x / Xe K và X2 + 1 = 0}.

b) Viết các tập hợp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng các phần A = {3 ,5 ,7 , 9 ,11 ,13} ;B = {1,2,5, 10, 17,26,37};

,1 1 1 1 1 1 ,c = {1, - ,4 9 16 25 36

Câu 2.Cho A = { x e R / -3 < x < ỉ l} ;

B = [5; 15); c = { X € R / 0 < x - m < 2 0 } .

a)Tìm AvjB; Ar ìB;A\B;B\A. b) Tìm các tập D thỏa A n D = A \ B .

c)Tìmmđể: A c C .d) Tìm m để: c \ A chứa tập X = (11; 15].

ĐẺ 2Câu 1.a) Viết các tập hợp sau dưới dạng liệt kê:

E = {x / X€ z và 2x2+ 5x + 3 = 0};

F = {x / Xe z và Ịx - lị < 2};G = {x / X€ R và 4x2 +1=0}.

b) Viết các tập họp sau bằng cách nêu tính chất đặc trưng các phần A = {2,4, 6, 8,10,12 };B = {0,1 ,4 ,9 ,1 6,25 };

9



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 2.Cho A = {x e R /-5 < X< 10};

B = [7; 13); c = { Xe R/x>2m+ 1}.a)Tìm AuB; AnB; A\B;B\A. b) Tìm các tập D thỏa An D = A \ B .c)Tìmmđể: A c C .d) Tìm m để:c \ A chứa tập X -(ĨO; -i-oo).



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Chương IL HÀM SỐ BẬC NHẮT VÀ BẬC HAI

A. TÓ M TẮT LÍ THUYẾT HÀM SỐ

1. Khái niệm hàm so: Nếu vởi mỗi giá trị của X thuộc tập D có một vồhỉ một giá trị của y thuộc tập R thì ta có một hàm số:

Ta gọi X là biến số và y ỉà hàm Số của x; D gọi là tệp xác định của hàm số.2. Một hàm số có thể cho bằng các cách sau:Hàm số cho bằng bảng, bằng biểu đồ, bằng công thức. Khi hàm số cho

ằng công thức ma không chỉ rõ tập xác định thì ta quy ướctập xác định D ùa hàm số y = f(x)ỉà tập tất m các số thực X sao cho biểu thức f(x) ó nghĩa.

3. Hàm số y .= f(x) được gọi làđồng biến (hay táng) trên khoảng (a; b)ếu Vx,, x2 € (a ; b ): Xj < x2 => f(Xị) < f(x2).

, fix ) _ fix )Điểu này tương đương với — — ------- —> 0 VXpX2 € (a ; b)vàXj - x2

Xi * X2-Hàm số y = f(x) được gọi lànghịch biến (hay giàm) ưên khoảng (a; b)

nếu x,,x2 e (a ; b ): Xj < x2 => f(x,) > f(x2) hay

-Xl-— — < 0 Vxpx2 e (a ;'b) và Xi X2-Xj ~ x 2

4. Hàm số y = f(x) với tập xác định D được gọi làhàm sổ chẵn nếuxeD thi -x eD và f(-x) = f(x). Đồ ứụ hàm số chẵn nhận trục tung làm trụcđối xứng.

Hàm số y = f(x) với tập xác định Đ được gọi làhàm số lẻ nếuxe D thì -xeD và f(-x) = -f(x). Đồ ửậ hàm số lẻ nhận gốc tọa độ làm tâm

đối xứng.I. HÀM SỚ y = ax + b

1.Ôn tập về hàm số bậc nhất y = ax + b (aỶ .0). -• Tập xác định D = R.• Chiều biến ứiiên

II



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





VƠ1 a > u, Hàm sô đồng biên ữên R;Với a < 0, hàm số nghịch biến trên R.* Bảng biến thiên

X —00 +00 a< 0 X -co +

y —co . y+00 —

—

a> 0

• Đồ thị ỉà đường thẳng không song song với các trụcsố góc là a, tức là nó song song với đường thẳng y = ax.2. Hàm sỗ hằng y = b có tập xác định D = R.Hàm số hằng là một hàm số chẵn.Đồ thị hàm số hằng y = b lậ đường thẳng song song với trụ

cắt trục tung tại điểm (0; b).3. Hàm số y - |xỊ có tập xác định D = R, là một hàm sổ chẵn.Hàm số nghịch biến trên (-co; 0) và đồng biến trên khoảng(0; +00 ).4. Hàm số y = |ax + b| (aị- 0).Tập xác định D = R

b

Ta có thể viết y =

Bảng biến thiên

ax + bvới X > - -a

—00

+00

Hình ỉ Đồthị(h.l)Chú ý. Từ đồ thị hàm số y = |ax + b| dễ dàng suy ra đồ th

y = |x|.

III. IIÀM SÓ BẬC HAI1. Hàm Sổ bậc hai được cho bờỉ công thức y = ax2 + b

đó a, b, c là các hàng sổ, a ^ 0, có tập xác định. D = R.

12



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2. Đô thị của các hàm sô bộc hai ]à một đường cong paraboì có đỉnh __b_ -Ềs>^ 2a 4a J z.a

lõm lên trên nếu a > 0 và hướng bề lõm xuống dưới nếu a < 0 (h. 2)

, nhân đường thẳng X= ------ỉàm true đối xúng và hướng bề2a

/ k

í ' /

"I

V '1 _V\ ỡị

2a \ ị

3. i?£7«gbiến thiên

X —00 _b_ 2a

4-00 a < 0 X — oc

y+OŨ ầ_

^ 4a y +CO y

—co

\ \ u <0

2ã-ỉ-co

A4 3. —Cũ

4. Cacfc vẽ đồthị hàm số y - ax2 + &t + c( b -* Xác đinh toa đô đỉnh I - ;------■ 2a 4a

• Vẽ trục đối xứngX = - 2a• Xác đỊnh giao điểm với trục tuns (0; c), xác định giao điểm với trục

hoành (nếu có) tức là giải phương trình ax2 -i- bx +0 = 0. Xác định thêm mộtsố điểm trên đồ thị.

• Vẽ paraboi dựa ừên kết quả vừa tim được.

B. ĐỂ KIỂM TRA 15 - 20 PHÚT

PHẦN ĐẠI CƯƠNG VÈ HÀM SỐĐỀ 1.1. Tìm tập xác định của hàm số:

a) y - V2-X + yjx- ĩ; b) y = 2x(X - l)(x + 2)

13



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2. Chứng minh hàm số y = 3x - 5 đồng biến ừên R.ĐÈ 2. Hàm số y = X2 + 2x - 2 đồng biến hay nghịch biến trên mỗi khsau: (-00 ; - ỉ ) và (-1; + =0 )?ĐỀ 3. Tìm tập xác định, xét lính chẵn lẻ của các hàm số sau:

a) y = |x + 2| - jx - 2ị; b) y = |x+ 2| + |x -2\.Viết lại công thức biểu diễn các hàm số đó trên từng tập xác định

ĐÊ 4. a) Khảo sát sư biến thiên của y = —í— trên khoảng (-co; X - 2

(2; +00).

b) Khảo sát sự biến thiên của y = X2 - '6x + 5 trên khoảng (-oo; (3;-roo).ĐỀ 5. 1. Quy tẳc đặt số thực dương với cãn bậc hai của nó có phải làkhông? Vì sao?

2. Cho y = X2xét trên tập Dĩ = [-2; 2], D2 = [-2; 4] có phải là hàmchẵn không? Vì sao?

HÀM SỐ BẬC NHÁT

ĐÈ 6. Cho cảc hàm số y = v5x + 1; y = - >/3x + 2.

y = x - 3; y = - Ặ x + 4:

V = —Ị= x - 5; y - 3 x + 6 .V 3

Tìm các cặp đường thẳng song song; vuông góc trong 6 đồ ửù củhàm sổ trên.ĐỀ 7. Xét sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y -\2x - 3ị + 1.

ĐỀ 8. Lập bàng biến thiên và vẽ đồ thị hàm số y = 3|x - 1| - 2|x + l|.

HÀM SÓ BẬC HAI

ĐÈ 9. Cho y = X2 - 4x +1. Chứng minh hàm y luôn đồng biến(2; +co) và nghịch biến trên tập còn lại (-00 ; 2).



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐỀ 10. Tìm khoảng đồng biến và khoảng nghịch biến cùa hàm sốy = X2- 2mx +1.ĐẺ 11. Cho biết tọa độ đỉnh parabol, trục đổi xúng, giao điểm vói trục tungvà giao điểm với trục hoành (nếu cô) của các parabol sau:

a) y = 2x2 - 5x + 1; b) y = -X 2 + 4x + m.

ĐỀ 12. Tinh tiến đồ thị hàm sốy = X2 thèo trục hoành sang phải 2 đơn vịau đó tịnh tiến theo Oy lên phía trên 3 đon vị sẽ thu được đồ thị là của hàmố nào?

ĐỀ 13. Tịnh tiến đồ thị hàm số. y = X2 theo 2 trục tọa độ như thế nào để -được đồ thị của hàm số y = X2 - 2x + 7 ?

. ĐỂ KIỂM TRA 45 PHÚT

ĐÈ 1. Cho hình vuông tâm là gốc tọa độ o có mọt đỉnh là (3; 0). Tìm 4 hàmổ bậc nhất có đồ thị là 4 cạnh của hình vuông đó.

ĐẺ 2. Vẽ 2 cặp đồ thị sau trên cùng một hệ trục tọa độ:y = X - 1 và y = X2 - 2x - 1;

■ y = -x + 3 vày = -x2-4 x + 1.Tìm giao điểm của mỗi cặp đồ thị đó. Vẽ 4 bảng biến thiên của 4

hầm số.

Cũng hỏi như vậy vói y = x|x| ” 2x - 1.ĐỀ 4. Vẽ đồ thị y = 2x + 3. Hãy nêu cách suy ra đồ thị của các hàm số

y = |2x + 3| và y = |xị + 3.ĐỀ 5. Vẽ đồ thị y = X2 - 2x - 3. Hãy nêu cách suy ra đồ thị của các hàmổy = Ịx2 - 2x - 3| và y = X2 - 2ỊxỊ - 3.

2x với X < 0 X2 - X với X > 0

và lập bang biến thiên cùa nó.

15



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N







Phương trình hệ quả (2) có thể có nghiệmngoại ì ai không phảinghiệm của (1). Muốn loại nghiệm nsoạị lai ta phải ĩhử các nahiệm cua (2)vào (1) để xác định nghiệm của ( ỉ ).ữ. PHƯƠNG TRÌNH QUY VẺ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHÁT, BẶC HAĨ

1. Phương trình bậc nhẩt ax + b = 0. ĐKXĐ: Vx e RCách giải và biện luận

b• aỶ 0, phương trình có nghiệm duy nhấtX = - —.a• a = 0 và bỶ 0, phương trình vô nghiệm.• a = 0 và b = 0, phương trình vô sổ nghiệm.2. Phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 (aị 0). ĐKXĐ: V;; e RCách giải

A = b2 —4ac ị Hoặc A' = b’2 - ac (khi b - 2b')• A < 0, phương trình vô nghiệm ỊA' < 0, phương trình vô nghiệm• A —0, phương trình cỏ nghiệm kép IA' = 0, phương trình có nghiệm kép

b I b;X, = X , = - — X, - X, = -

1 2 2a I a• A > 0, phương trình có hai nghiệm ỊA' > 0, phương trình có hai nghiệm

phân biệt ị phân biệt- b ± V Ã I - b ’± V Ã ’

xu = ---- X..2 =-------:-----3. Định H Vi-ét

Nếu phương trình bậc hai ax2 + bx + c = 0 có nghiệm thì tổng vàtích hai nghiệm là:

b _ cXj + x2 =----; x,x2 = —

4. ứng dụng của định lí Vi-ét • Tìm hai Sỡ biết tổng và tích của chúng

Nếu hai số Xi vàX2 có tổng X; + Xi = S. tích XjX, = p thìXi, X2 là

nghiệm của phương trình bậc hai X2 -sx + p =0 .•Nhẩm nghiệm ' SlNH ĐỊNK



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* Nếu phương trinh bậc hai ox -í- bxt C = 0 c ó a + b+ c = Oứ iì

phương trình có ĩìghiệin X= I, nghiệm kia !à X = —.a

* Nếu phưữiìs .rinh bậc hai ax2 -í- bx + c = 0 c ó a - b + c ^ O th

phương trình có .:1£ÌÌÌẸ;V. y - - L nghiệm kia là X = - —.a

5. Phươỉĩ^ i. iỉ ih :■■■mgphương ax4 bx2 T c = 0 (aỶ 0)

Các/? .Íf/rííĐặt X2 = t (í > 0) đưa về phương trình bậc hai đối với

ai2 + bt + c •=0. Gliì : -h\xơng trình này tỉm í (í > 0), sau đótìm X.

6. Phươnụ. ỉrình cỏ dấu giả irị tuyệỉ đối ịf(x)ị —ịg(x)ị

Ta có if(:-ỉ)l - js('v| <=>[f(x)]2 = [g(x)]2. J , : f(x ) = g(x)= iff(x}i :l ì [ ■1 'í ! ' / V —_/■\h(x ) = -g(x)7. Phuơng trình vổ tỉ là phương trình cỏ chứa ẩn số trong dấu căn.Cách giải.Đối với phương í rinh có chứa căn bậc hai thì bình phương hai vế

phương trình để khử dể li cãn đưa tới mộí phương trình hệ quả.

* Dùng ẵịnh thức cấp 2: Chẳng hạn với hệ phương trình (1)

18



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





D = ai bi3.7 ồ2

c, btc2 b2a, cta2 c2

ajb, ^2^1»

= Cjb2 —Cjjbj;

= ajc2 —a2CI-

Nếu D ^thì nghiệm của hệ là:X = ~

D

y D3. Dạng tam giác của hệ ba phương trình bậc nhất hai ẩn

ajX + bjy + CjZ = (Ỉ! b2y + C2Z - d2 (2) hoặcc,2 = đ,

a^x = d,a2x ■+b2y = đ2 (3)a3x + b3y + C3Z = đ3iy3^ —“3

Cách giảiĐối với (2) tính từ cuối lên. Đối với (3) thì tính từ trên xuống

4. Hệ phương trình bậc nhất ba ẩn ájX'+ b,y + ctz = dja5x + b2y + C2Z = d2 (4)a3x + b3y + C3Z = d3

Cách giảiCó thể dùng phương pháp thế hoặc phương pháp cộng đại số để đưa

4) về (2) hoặc (3) để giải.

B. o i KIỂM TRA <15 PHÚT - 20 PHÚT)

ĐẠI CƯƠNG VỀ PHƯƠNG TRÌNHĐÈ 1. Giải các phượng trình sau:

a) X + y ịx - l = 3 + -y/x - ĩ; b) X+ -y/x -"2 = 1+ ựx —2;

19



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





X _ 3 ^ X _ 1

2yịx - 5 %/x - 5 ’ 2 yjx - 5 yfx - 5 ’c) Zyjx -

I 2x +1e) X -f

X - I X - 1

ĐỀ 2. Giải các phương trình sau:a) \/2x = yj- 2k ; b) X + yjx - 2 = ^2 - X+2;

c) ■■■?■= X + J3 - x; đ) X +J x -1 = J - X.3 - X

e) x - f v x - 3 = Ì4 -V 3 - X

ĐẺ 3. Giải và biện Ỉiỉận các phưcmg trình:a) 2(m + ỉ)x - ni(x - ỉ) = 2m + 3; b) m2($ - i) + 3mx = (m2 + 3)x “ ỉ .

c) Tìm m để phương trình (m + l)x - (x + 2) = 0 vô nghiệm đ) Tìm m để phương trình - m = 4x - 2 CQvô số nghiệm

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẬC HAIĐÈ 4. Giải gần đúng các phương trình bậc hai sau (chính xá phần trăm):

a) X2 - 5,6x + 6,41 = 0; b) y ị ĩx 2 + W 3 - 2> /ã = 0 .

ĐỀ 5. Giải và biện luận các phương trìnha) (m - l)x2 + 7x - 12 = 0; b) rax2 - 2(m + 3)x + m + 6 = 0;c) (mx - 2)(2mx - X + 1) = 0.

ĐẺ 6. Cho phương trình X2 - X- 1 =0 không giải phương trìụhnghiêm là Xj và X2 - Tính các tổng Si = Xi + X2 :

s2 “ xf + X2 ; S3 = xf + X*; s4 =_xj + xị.Có thể chứng minh Sn = x“ + x£ ỉuôn nguyên được không?

ĐÈ 7. Cho phương trinh X2 + (4m + 1)x + 2(m - 4) = 0. Biết phươ2 nghiệm và hiệu của 2 nghiệm là 17. Tìm m.

20



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐỀ 8. Cho phương trình: kx2- 2(k + ỉ)x + k + 2 = 0.a) Tìm k để phương trình có ít nhất ỉ nghiệm àiicTìg. b) Tìm k để phương trình có một nghiệmlởr- hơn 1 vả một nghiệm

nhỏ hơn ỉ.

PHƯƠNG TRÌNH QUYVỀBẬC NHẤTVÀ ?.ẬC HAI

ĐỀ 9. Giải phương trình:3 ) 2 ^ 1 ) ^ X± 1

2x + 1 2x "T. . 2x - ;> 5x - 3b) — = — — —

X - i 3x. J- 5

m - 3 2 .c) ------= m - ĨIỈ ~ 6.x - 4

ĐẺ 10. Giải và biện luận các phương trình sau:

a) |2mx + 3| = 5; b)2mx - m' + m - 2 _ 1---- ---------- ---- — ìX - 1

ĐÈ 11. Giải các phương trình sau:a) (2x + m - 4)(2mx- X + m) = 0;

b) |mx + 2x - 1| = |x|;

ĐẺ 12. Giải các phượng trình sau:

c) (mx - 2)ijx - 1 = 0 .

2m -1 *a) - =0 1 - 2 ;X - 2 X + 3

v m x + 1c) — —— = m.' x - 1

ĐÈ 13. Giải các phương trình sau:

a) 4x 2 - 12x - 5^ 4x 2- 12x + ĩ ĩ + 15 = 0;

b) X2- 4x - 3ịx -2Ỉ + 4 = 0;

c) 4x2 +-lỵ + 2x - — - 6 = 0.X2 X

21



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT NHIẺU ẨNĐẺ 14. Giải hệ phương trình:

'4 ỉ

X

a)

y - 1

2 2 —+------X y - 1

= 4

a)

ĐẺ 15. Giải hệ phương trình:X - my = 0

mx - y = m + IĐỀ 16. Giải hệ phương trình:

Ịx + y + z = 112x - y + z = 5

[3x + 2y + z = 24ĐÈ 17. Giâi hệ phirơng trình:

|x 2 + y2 + X+ y =a) ixy + X + y = 5

ĐÈ 18. Giải hệ phương trình:

X2 + y2 - X + y = 2a) XV+ X - y = - ỉ

b)

3(x + y)x - y.

5x - yy - X

= 7

5" 3

b)Í2mx + 3y = 5Ị(m + l)x + y = 0

b)'x - y'= 2X 2 + y 2 = 1 6 4

Jx2 - 3x = 2y[y2 - 3y - 2x

c . ĐỂ KIỂM TRA 45 PHÚT

ĐẺ 1.1. Giải phương trinh p(x -i-1) - 2x = p2 + p - 4.

s , írax + y= m22. Giải hệ phương trình <[ X+ my = 1

3. Cho phương trình (m - l)x2 + 2x - 1= 0a) Giải và biện ỉuận phương trình. b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm trái đấu.c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệmX],X2 thỏa mãn + xị = 1.

J)È 2.1. Cho tam giác vuông có 3 cạnh là 3 số tự nhiên liên tiếp. Tim 3 sổ

22



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2. Cho X2+ X + a= 0 và X2 + ax +I = 0. TIĩĩìa để hai phươngtrình có một nghiệm chung.

3. Giải hê phương trình | x ,+ y + 7 [x2+ y2 -x y = 3

4. Giải phương trìnhX3- 2%jlx - ĩ + 1 = 0.ĐỀ 3. Giải các phương trình và hệ phương trình:

a)mx + 3y = m - 1

b) | 2(x + y 2 ” xy = 11 x2ỵ + y2x = 02x + (m - l)y = 3

Trong trường hợp hệ của câu a) có nghiệm duy nhất, tìm hệ thức giữaXvà y không phụ íhuộc vào m

c) X+ y = 4 à)xy = mĐÈ4. Giậi các phương trình:

a) (x2 - 4x + 3)(x2 - 6x + 8) = 15;

X+ ỉ+ \2

X- 1= 90-

b) (X + l)(x - 4) + 3(x - 4),IX +1X - 4

c) (2x2 - 3x + l)(2x2 + 5x + 1) = 9x2;đ) (6 - x)4 + '(8 - x)4 = 16;. 4x 5x 3e) ——— -----------------+ T --------= -

X + X +.3 X -5x + 3 2ĐẺ 5. Giải các phương trình:

a) (x3.-f X+ X2)2 = 5(1 + X2 + X4);

. c) X3 - X2 - X - - = 0;3e) ìíx +.Ự2X- 3 = Ì2 (x -Í).

= 18;

b) -ự l8-x.+ ^ / x - l =3;

d) X4 = 4x + 1;

23



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





PHẨN HÌNH HỌC

Chương L VECTO’A. TÓM ĨẮĨÚ THUYỂĩ I. VECTƠ

1. Vectơ lả một đoạnthẳngcó hướng, kí hiệu AB , CD , ã , bAB cóđiểm đầu ỉà A, điểm cuối là B, hướng từ A đến B cỏ độđoạn thẳng AB và kí hiệu ]ab\ hoặc AB, cỏ giả là đường thẳn

Khi A = B ta GÓvectơ AB là vectơ õ (vectơ - không) có đ0 và hưởng tùy ý.

2. Hai vectơ cùng phương và cùng hướng

- Hai vectơ cùng phương nếu A A / pchúng cùng nằm trênmột đường thẳng / hoặc nằm trên hai đường thẳng song /

song. (h. 3) • £ J M/ /- Hai vecíơ AB và CD là hai Q

vectơ cùng hướng (h.3a). Hai vectơ a) bMN và PQ là hai vectơ ngược hướng (h. 3b). Hình 3

Như vậy hai vectơcùng phương thìcùng hướng hoặc ngược hướng3. Hai veciơ bằng nhau nếu chúng cỏ cùng hướng Vữcùng độ dài

4. ai vectơ đổi nhau nếu chúng ngược hướng và cùbiệt, vectơ đổi của vectơ 0 là vectơ 0.

Nhu vậy a + b = 0 th ìb ỉà vectơ đối cùa ã và a là vectơ Kí hiệu vectơ đối của vectơ a là vectơ:- ã ^ ã + (- ã) = (- a) + -ã = õ .

AB = CD <=>AB cùng hướng với CDIa b | = |c d |

24'



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





l. p a <=>

II. TỎNG VÀ HIỆU CỦA CÁC VECTƠ1. Quy tắc ba điểm.Với ba điểm M N, p bất kì, ta có:MN + NP = MP.2. Quy tắc hình bình hành. Nếu OABC là hình bình hành thì:ÕÃ + ÕC = ÕB.

3. Quy tắc về hiệu vectơ. Cho vectơ PQ với điểm A bất kỉ, ta có

PQ = ÃQ - ẤP.III. TÍCH CỦÃ MỘT VECTƠ VÀ MỘT SỐ

pa cùng hướng với ã nếu p > 0, ngược hướng với ã nếu p < 0

Ị H = |p| ỊãỊ

2. Các tính chất■ * k ( /ã ) = (k /)a

* (k + p)a = kã + pa

* k(ã + b) = kã + kb

* kã = õ <=> k = 0 hoặc i = õ

3. Điểm M là trung điểm cùa đoạn thẳng AB <=>OM = —(OA + OB)

(O là điểm bất kì).

4. G là trọng tâm của A ABC OG = —(OA + OB + OC) (O là

điểm bất k ì).

IV. TỌA Độ CỦA VECTƠ VÀ CỦA ĐIẾMĐối với hệ tọa độ (0; ĩ , J ) hay Oxy1. ũ = (a ; b) <=>ũ = aĩ + b].

2. M (a; b) <=>OM = (a ; b).

*Nếu A (xA; yA) , B (xB; yB) thì AB = (xB - XA; yB“ yA).*Nếu U= (x ; y), và V = (x'; y') thì

* ũ + v = (x -! -x ';y -i -y r)

* kũ = (kx ; ky)25



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





B. ĐỀ KIỂM TRA <15 - 20 PHÚT)

KHÁI'NIỆM VECTƠ - PHÉP TOÁN VECTƠĐÈ ỉ.

ỉ. Các khắng định sau đây,đúng hay sai?a) Hai vectơ cùng phương vói một vecíơ thứ ba thì cùng phương. b) Hai vectơ cùng phương'Với một vectơ thứ ba khác 0 thì cùng phc) Hai vectc; củng hưởng Với một vecíơ thứ ba thì cùng bướng.d) Hai vectơ cùna hướng với một vecĩơ thứ ba khác 0 thi cùng hưe) Hai vectơ ngược hướng với mội vectơ khác 0 thì cùng hướngí) Hai vectơ bằng nhau khi và chỉ khi chúng có độ dài- bằng nhau.2. Cho M ỉà trung điểm doạn AB, các khẳng định sau đúng hay saa) AM và BM CÙĨ1S hướng b) AM và AB cùng hướngc) A3 và BM ngược hưởna d) Ịa b Ị= Ịb m Ị

e) |Ãm Ị= | b m | í) |Ã b | = 2| b m Ị -

g) AB - 2BMĐÈ 2.

ĩ, Cho 4 điểm M, N, p, Q, chứng minh các đẳng thức sau:2) PQ -f NP + MN = MỘ b) NP + MN = QP + MQ

c) MN + PQ = MQ + PN d) PQ + NP + MN + QM = õ

2. Chứng minh rằne MN = PQ thì MP = NQ

ĐỀ 3. Cho ã 9*õ , b r* õ . Khi nào có |ã + bị = Ịã| + |b| ?

ĐÈ 4. Cho hình binh hành ABCĐ có tâm o. Các khẳng định sau đây đ

hay sai?a) |ÃB + ÁDỈ = 1 b d |; b) ÃB - BD = BC;

c) ÕÃ + ÕB - Õc + ÕĐ; đ) BD -Ã C = ÃD + BC.ĐÊ 5. Tam giác ABC đểu nội tiếp đường tròn tâm 0.a) Hãy tìm các điểm M, N, p sao choÕM = QA T ỠB , ÕN = QB + OC. QP = õ c + ÕÃ;

26



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





b) Chứng minh: OA -f- OB + o c = õ; ỴJ.

c) Chóng minh: OM + ON + OP = õ.

ĐÊ 6. Chứng minh AB = CD khi và chỉ khi trung điểm của AD và BC là

trùng nhau.ĐẺ 7. Cho 6 điểm A, B,c, D, E, F. Chứng minh rằngAD + BE + CF = AE + BF + CD = AF+.BD + CE-

ĐÈ 8. Cho 5 hình vuông bằng nhau liên tiếp như hình vẽ (cạnh a)A B C D ỉs F

M N p Q R sTìm độ dài các vectơ AN , AP , AS , ND , PE.

ĐẺ 9. M là trung điểm AB, N là trung điểm CD. Chứng minhAC + BD = ẠD + BC = 2MN.

ĐỀ 10. Cho ã = (2; i), b = (3; 4),C= (7; 2).a) Tìm tọa độ cua ũ = 2a - 3b +C

b) Tìm tọa độ của V m àv = b + c - a

c) Tìmcác số a vả p để C= aã + pb .ĐÈ 11. Cho 3 điểm A (-3; 4), B (1; 1), c (9; -5)

a) Chứng minh 3 điểm A, B, c thắng hàng. b) Tìm 0 sao cho A là trung điểm BD.c) Tìm M £ Ox sao cho A, B, M thẳng hàng.

c . ĐỂ KIỂM TRA 45 PHÚT ĐÈ 1.

1. Cho AK và BM là 2 trung tuyến của AABC. Hãy biểu diễn cácvectơ AB , BC , CA theo 2 vectơ ũ = AK và V= BM.

2. Cho AABG. Tìm E sao cho EA + EB + 2EC = õ.

Tìm K sao cho 3KA + 2KB = õ.

27



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐÊ 2.1. Cho lục giác ABCDEF, có M, N. p, Q, R, s lần lư

điêm các cạnh của ỉục giác. Chứng minh hai AMPR và ANtrọng tâm.

2. Cho A ABC, tìm K để 3KÃ - 2KB = õ.Đ 3. Cho AABC có trọng tâm G và ĩ, J, K là trung đi m cùa Lẩy M tùy ý và gọi Ai, Bi, Ci ỉần lượt là các điểm đốiqua I,ỉ, K.

a) Chửng minh AAi, BBi, CCi đồng quy tại o là trung điểm b) Chửng minh M, o, G thẳng hàng.

ĐỀ 4. Cho A ABC. . ja) M sao cho MA + 2MB - 3MC = õ.

b) Tìm K sao cho KÃ + 2KB + 3KC = õ. ĩĐẺ 5. Cho A ABC, tim M sao cho

a) |mÃ + 3MB - 2MC| = |2MÃ - MB- Mc\;

b) 2|MA + MB + Mel = |m a + 2MB + 3MC.

ĐÊ 6. Cho A ABC và đường ứiẳng đ. Tim ;trên d điểm V= MA + MB + 3MC cỏ độ đài nhỏ nhất.

28



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Chương ỉ ỉ TÍC H VÔ HƯỚNG CỦA HAI YECTO VÀ ỨNG DỤNG

A.ĨỎM TẮT Ú THUYẾT

I. GIÁ TRỊ LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT GÓC (TÙ 0° ĐEN 180°)

y s»ncx •tan a = — (xỶ 0) hay tan a = - -- •X - cosa Hmh 4

(cos aỶ 0) .

cot a - — (y Ạ 0) hay cot a = c- - — (sin a£ 0) y SIRa

2. Đối với hai góc bù nhau có sin bằng nhau, côsir.. tang, côíang cúachúng đối nhau.II. TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAĨ VECTƠ

1. Tích vô hướng của hai vectơ a và b ỉ à một sô, kí hiệu a . b , đượctích bởi a . b = jã| |ojcos(ã . b).

2. Các tỉnh chất * a . b = b . ã * (ka). b = k(ã . b ), k eR.

* ã . (b + c) = i.b + a.c * i . b = 0 « ã i b-2 I—12

* a =|aỊ

3. Biểu thức tọa độ của tích vô hướng và khoảng cách giừa hai điêm* Nêu ã = (x ; y) , b = ( x ' ; y •) thi ã.b = XX’ + yy

* Nếu M = (xM; yM) , N (xN; yN) thì MN = <J(xN-XM)2 + (yN- y M) .

1. Với mỗi góc a (0° < a < 180°) ĩ yxác định điểm M trên nửa đườns trònlượng giác. Giả sử M (x; y). Khi đó ta có:

sina = y(OK)

cos a =X(OH) H Ị 0 A(1:0) X

29



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





IH. CÁC ĐỊNH LÍ TRONG TAM GÍÁC ĩ. Định ỉí cdsmiâ2 =b2 + c2—2bccosA

2. Đinh ỉí sin: —-— =— ^77 = —-— = 2'R sin A siníá sinC

^ : fr" + c 2 a23. Côngthức ::i>ng íuvẻn: m: - ------------— a 2 4 ~

4. Các công thức í inh diên tích tam giác

s = i a h a = —absinC = = pr = v;p(p - a)(p - b)(p - c)7 2 4R

Trong đó: a. b, c, i.à độ dài ba cạnh;A, B. c ỉu ba 2 Óc;

ĩvỉa là đường trang tuyến kẻ íừ A;h2 ìả đường cao hạ từ A;

a "r D -i- c là nửa chu vi;

R lả bán kính đường tròn ngoại tiếp;r ì à bán kính đường tròn nội tiếp của tám giác ABC*

B. ĐỂ KIỂM TRA Ì5PHÙĨĐÈ 1

Cho hai vectơ a , b klìáe G■Chứng minh:

sì ã.s = - (a + D)2 - y21 11

b) a.b = —; (a + “ (a - b)27 4Í_V ■ ■ J

ĐÈ 2.Chứng minh rằng nếu một tam giác có hai đường trung tuyến

nhau thì tam giác đó là tam giác cân.ĐỀ 3.

Cho tam giác vuông câĩì BAC (Â = 90°). Trên cạnh AB lấy điểmtrên tia đổi của tia AC lấy điểm E sao cho AD = AE. Chứng minh ràngvuông góc với BE.

30



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





È 4.Chứng minh rằng ừong tam giác ABC có:

2 . 2 12a) cot A =------- -------4S

~> 1*> 2 b) cot A + cotB + cotC = ---- tJL-4S

Ê 5.Không dùng bảng tính giá trị lượng giác của góc 15°, suy ra giá trị

ượng giác của góc 75°, góc 165°.

. ĐỂ KIỀM TRA 45 PHÚTÈ 1

1. Giá trị M = cos45° + sin45° = ?A. M = 1 B. M = Vĩ c. M =>Í3 D. M - 22. Trong 4 đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng; đẩng thức nào saĩ?A. sinO0 + cosO0 =0 B. sin 30° + cos30° = 1

c. sin 180° + COS 180° = - I D. sin60° + cos6Ga =

3. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào sai; đẳng thứe nào đúng?

4. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng; đẳng thức nào sai?A. (sỉnx + cosx)2 = 1+ sin2x B. (sinx -cosxý = ỉ - sìn2x c cos4X- sin4X- cos2x - sin2X D. COS4 X+ sin4X= ỉ5. Trong các đẳng thức sau, đẳng thức nào đúng; đẳng thức nào sai?

L Tìm các đẳng thức đúng, sai trong các đẳng thức sau và giải thích:

2

A. sin(l 80° - a) - cosac. sin(180° - a) = sin a

B. sin(180° - a) = - sin aD. sin(180° - a) = -cosa

A. sin2X + cos2x = 1c. sin2 3x + cos23x =1 B. sin23x +c os23x - 3D. sin24x +c o s24x = 1

Ê 2

A. a.b = a .b B. a = b

D. a = ± a

31



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2. Cho a - (3; 4), b = (4; - 3). Kết ỉuận nào là đúng, là sai?A. ab = 0 B. a.b = 0

c a Jb = 0 D. a - b = 0

3. Cho a = (1; 3). Vectơ nào đươi đâỷ vuông góc vói vectơA. b = (-1; 3)c. b = (-3; 1)

B. b = (3; I)D. b =(3;-l)

4. Chứng minh 1+tan2X = — ~ — COS X

; 1+ cot2X =

5. Chứng minh AB. AC = —(AB2 + AC3 - BC2).

ĐÈ 31. Cho tam giác ABC vuông góc ở A, đường cao AH. Gọi E

thứ tự là trung điểm của AH và BH. Chứng minh "rằng CH và Avới nhau.2. Cho tam giác ABC* Tìm tập hợp những điểm M

Ã B . Ă M- Ã C .Ã M = 0 ::iĐỀ 4 Ị

1. Tính góc của hai vectơ a và b bĩét rằngịãị - Ịbị * 0 và v

p = a + 2b ?q = 5a - 4b vuông góc với nhau.

2. Không dùng bảng, tỉnh giá trị ỉuợng giác của góc ỉ 8° sulượng giác của góc 72°, góc ỉ 62°.ĐÈ 5

1. Gọi G là ừọrag tâm tam giác ABC với độ đài ba cạnh

Chứng minh rằng GA2 + GB2 + GC2= ỉ ( a 2 + b2 + c2).

2. Cho tam giác ABC, BM vả CN là haíi trung tuyến. Chrằng:

BMXCN<=>b2 + c 2 =5 a2.

32



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Học kì IIPHẨN ĐẠI SỐ

Chương IV. BẤT ĐẢNG THỨC BẤT PHƯƠNG TRÌNH

A. TÓM TẮT LĨ THUYỂĨ L BẤT ĐẲNG THỨC

1. Khải niệm bất đẳng thức ^Các mệnh đề dạng “a < b” hoặc “a > b;’ được gọi iàbất đẳng thức.2. Bất đẳng thức hệ quả và bất đẳng íhỉic tưomg đương • Nếu mệnh đề “a c < d” đúng thì ta nói bất đẳng thức c < d là

bất đẳng thức hệ quả của bất đảng thức a c < d.

• Nếu bất đẳng thức a c < d.3. Tỉnh chất của bất đẳng thức

Tính chấtTên gọiĐiều kiện Nội dung

a a < c Tính chất bắc cầua a + c 0c < 0

a ac < bca ae > bc

Nhân hai vể của bấtđẳng thức với một số

aa + c 0 , c > 0 a ac a2n+ĩ < b2n+i Nâng hai vế của bấtđẳng thức ỉên một luỹthừa0 < a a2n< b2fr

a> õ a< b o yỉã < Vb Khai căn hai vế của một bất đẳng thức

a b”. Các mệnh đề này c

được gọi là bất đang thức. Đe rõ ràng, ta gọi các bất đẳng thức này gọi lbất đẳng thức không ngặt và các bất đẳng thức a b là cácbất đẳng thức ngột.II. BẨT ĐẨNG THỨC CÔ-SI

ỵ Định li ______________________________ _ _____________ Trung bình nhân cửa hai số không âm nhỏ hom hoặc bằng trúng bcộng cửa chúng

Vãb < ------ . Vả, b > 0

Đẳng thức \/ãb = ---- - <=> a = b.í _______________ 2 _______________________________

2. Các hệ quả• Hệ qua ỉ

Tổng của mộí sổ dươns và nghịch đảo của nó lón hon hoặc bằng 2 1a + - > 2, Va > 0. Dấu ‘ có <£> a = 1.

_____ a____________________________________________ ._________• Kệ quả 2

ị Nếu X, y cùng dương có tổng không đổi thì tích xy lớn nhất khi vàI khiX = y.______________________________________________________________

° Hệ qv.ở 3\ NểuX, y cùng dương có tích không đổi thì tổng X + y nhỏ nhất khĩ

chỉ khi X = V

III. BÁT ĐẲNG THỨC CHỬA DÁU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐIĐiêu kiện Nội dung

!x > 0, X > X, |x > - X

a> 0 Ịx < a o -a <X < aJ , Fx > a xi > a o 1

IX < -aỊaỊ - bỊ < Ịa + bị < |aị + ỊbỊ

34



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





V. BẤT PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN1. Khái niệm bầphương trìnhmột ẩn

Bất phương trình an X ỉà mệnh đề chứa biến có dạngf(x) < g(x), f(x) < g(x)hoặc f(x) > g(x), f(x) > g(x)(l) trong đó f(x), g(x) là những biểu

hức của X.Ta gọi f(x), g(x) ìằn lượt là vế trái (VT), vế phăi (VP) của bất phương

ình (1)Số thực Xo sao cho f(xo) < g(xo) (f(xo) < g(xo)) là mệnh đề đóng được

ọi làmột nghiệm của bẩt phương trình f(xo) < g(xo) (f(xo) < g(x0)).Giải bất phương trình ỉà tim tập nghiệm cùa nó. Khi tập nghiệm rỗng

M gọi là bất phương trình vô nghiệm.2. Điều ỉdện của bất phương trìnhTa gọi các điều kiện của ẩn số Xđể f(x), g(x) có nghĩa ỉàđiều kiện xác

ịnh (hay gọi tắt làđiều kiện) cửa bất phương trình (1).3. Bẩt phương trình chứa tham sổ Trong bất phượng trình ngoài các chữ đóng vai trò ần số còn có các

hữ khác được xem như những hằng số và được gọi là tham số.

V. HỆ BẮT PHƯƠNG TRÌNH MỘT ẨN Hệ bất phương trình ẩn X gồm một số bất phương trình an X mà ta

phải tìm nghiệm chung của chúng. Mỗi giá trị của X đồng thời lâ nghiệm của tất cả các bất phương trình

ủa hệ được gọi ỉàmột nghiệm của hệ bất phương trinh đã cho.Giải hệ bất phương trình là tìm tập nghiệm của nỏ. Đe giải hệ bất phương

rình, ta giải từng bất phựơng trình rồi lẩy giao của tất cả các tập nghiệm.

VL MỘT SÓ PHÉP BIẾN ĐỔI BẤT PHƯƠNG TRÌNH1. Bất phương trình tương đương Hai bất phương trình có cùng tập nghiệm (có thể là rỗng) là hai bất

phương trình tương đương và dùng kí hiệu “o ” để chỉ sự tương đương.2. Phép biến đỏi tương đương Phép biến đổi một bất phương trình (hệ bất phương trình) thành một

bất phương trình (hệ bất phương trình) tương đương đon giản mà ta có thểviết ngay tập nghiệm của nó gọi là phép biển đoi tương đương.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ỏ. Cộng (trừ)Cộng (trừ) hai vế của bất phương trình với cùng một bi

không làm thay đổi đỉều kiện của bất phưcmg trình thì ta đư phương trình tương đương

P(x) < Q(x) <=> P(x) + h(x) < Q(x) + h(x)Ta có thể viết P(x) < Q(x) +h(x) <=>p(x) - h(x) < Q(x)

hai vế của bất phương trình - h(x)). Như vậy chuyển vể đổi dấu một hạng từ trong một bất

thì được một bất phương trình tương đương. r 4. Nhấn (chia) Ị<

P(x) < Q(x) <£> P(x). h(x) < Q(x). h(x)riẹỊi h(x) > 0P(x) < Q(x) o P(x ). h(x) > Q(x) . h(x)nỊu h(x) < 0

5. Bình phương 0:£ P(x) < Q(x) o - p2(x) < Q2(x)

v n . DẤU CỦA NHỊ THỨC BẬC NHẤT1. Định lí về dấu của nhị thức bậc nhất

Nhị thức f(x) = ax + b có giá trị cùng đấu vớiiiẹ số a khi X

trị trong khoảng (--- ; +00 ), trái dấu với hệ sổra khi Xlẩy cáa -

trong khoảng )a rì.

2. Xét dấu tích, thương các nhị thức bậc nhất JMuốn xét dấu của một biểu thức là một tích hay một thcácthức bậc nhất, ta lập bảng xét dấu chung cho tất cả caẽ nhị thứ biểu thức và sẽ suy ra dấu của biểu thức. , , wv n i. BÁT PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT HAI ẨN

1. Bat phương trình bậc nhất hai ấn X, y có đạòg tổng quát là:ax + by < c(l)(hoặc ax + by < c; ax + by > c; ax + by > c)

# Trong đó a; b; c ỉà những sổ ứiực, a, b không đồng then bằẩn số.2. Biểu diễn tập nghiệm của bất phương trình bậc nhất ha Trong mặt phẳng toạ độ Oxy, tập nghiệm các điểm c

nghiệm của bât phương trình (1) được gọi ỉà miền nghiệm của

36



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





3. Ovy tắc thực hành biêu diễn hình học miền nghiệm Bước ỉ. Trên mặt phẳng íoạ độ Oxy vẽ đường thẳng A: ax + by = c Bước 2. Lấy một điểm Mo (x0; yc) không thuộc A (ta thường ỉấy gốc

toạ độ O) Bước ĩ. Tính ax0 -r by0 và so sánh với c Bước 4. Kết luận

Nếu aXộ + by0 < c thi nửa mặt phẳns bờ A chứa điểm Molà miềnnghiệm cùa ax + by < c (tính cả bờ A).. Nếu aXọ + by0 > c thì nửa mặt phẳng bờ Akhông chứađiểm Mo là

miền nghiệm cửa ax + by < c (tính cả bờ A).IX. HỆ BẤT PHƯƠNG TRÌNH KAĨ ẨN

1. Hệ bất phương trình bậc nhái hai ẩn gồm một số bất phương trình - bậc nhất hai ẩn X, y mả ta phải tim nghiệm chung của chúng. Mỗi nghiệmchung đó được gọi là một nshiệm của hệ bất phương trình đã cho.

Ta cỏ thể biểu diễn hình học tật) nghiệm của hệ bất phương trình bậcnhất hai ẩn.

2. Áp dựng vào bài toán kỉnh tế Giữa bài toán kinh tế phương trình dẫn đến việc xét những hệ bất

phương trình bậc nhất hai ẩn và giải chủng.X. DẲƯ CỦA TAM THỨC BẬC HAI

1. Tam thức bộc hai

Tam thức bậc hai đối với Xlà biểu thức có dạngf(x ) = ax2 + bx 4- c trong đó a, b, c là những hệ số, aị 0

2. Dấu cùa tam thức bậc hai Định ỉ ỉ

Cho f( x ) = a2x + bx + c ( aỶ 0), A =b2 - 4ac

Nếu A < 0 thì f(x) luôn củng dấu vói hệ số a. Vx e R b

Nêu A = 0 thì f(x) luôn cùng đâu với hê sô a V X* -----2a Nếu A > 0 thì f(x) cùng dấu vớí hệ số a khi X< Xi hoặc X> X2

f(x) trái dấu với hệ số a khi Xj < X< X2, trong đó Xi, X 2 (Xi < X2) là hainghiêm của f<fxì _______________________ __________________

37



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





XI. SẨT PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI MỘT ẨN1. Bứt phương trình bậc haiBất phương trình bậc hai ẩn Xlà bất phươngtrìnhdạng ax2 + bx + c <

0 (hoặcax? -r bx +c < 0. ax2 4- bx + c > 0, ax2 -T- bx + c > 0) trong đó a b, c là những sổ thực đã cho at 0.

2. Giải bẩí phương trình bậc haiGiải bất phương írinh bậc haĩ2 X2+ bx + c <0 ứiực chất là tim khoảng

chứaXmà trong đó f(x) = ax2T bx + c cùng dấu với hệ số a(a < 0)haytrái đấu với a (a > 0)

B. ĐÊ KỈỂIV! TRA 20 PHÚT(Bất đẳng thức, bất phương trình, hệ bất phương trình bậc nhất 1

ĐÈ 1Cho a, b > 0; chửng minh các bất đẳng thức sau:a) a2 + b2+ c2 > ab + bc + ca

b) (a t b + c) (a b c

Dấu * xảy ra khi nào?

c) Chửỉĩg minh rằns Va, b ta có: a4 + b4 > a3b + ab3.Đẳĩig 'Jure xảy ra khi nào?

ĐÈ 2Giảicác bất phương trình sau:a) (x-3) (x-4) < (x + l) (x+ 2) b) 7(3x - 6) + 4(17 - x) < 11 - 5(x + 3)Biểu diễn các tập nghiệm trên trục số.

ĐÈ 3Giải các hệ phương ưìĩih sau:

í5(x +1) + 6(x + 2) > 9(x + 3) (a)a) 17x - 3(2x + 3) > 2(x - 18) (b)

- ĩ > X - 2 (a) , -I <2x- 3(b)

38



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





(Dấu nhị thức bậc nhất, bất phương trình bậc nhất hai ẩn, dấucủa tam thức bậc hai)ĐÈ 4

1. Xét dấu f(x) = (2x - 1)(4 - 3x).

2. Tìm Xđể f(xj = 2^— ~ 4- < 0.X - 1

3. Giải bất phương trình: Ị2x + l| < X.ĐÈ 5

Tìm miền nghiệm, của hệ bất phương trinh (biểu diễn bằng phần khôngbịgạchtrên đồ thị) „

íx + 2y < 2 (1)

[3x - 2y <- 6 (2)ĐÈ 61. Tìm X để: f(x) = 2x2 + 5x + 2 > 0.2. run X để: f(x) = -3x2 + 1 Ox - 3' > 0.

+1 s/ \ X2- 7x + 103. Tỉm Xđê f(x) = -—=— — ----------< 0.-X2+ lOx - 21

4. Giải bất phương ữình: yjsx2 - 6x + 1 < 4x - 1.

(Dấu tam thức bậc hai, hệ bất phương trình bậc hai, bất phương trinh vô tỉ)ĐÈ 7

Giải các bất phương trình sau:1. (x2 + X - 6)(- 2x2 + 7x - 5) > 0.

1 12. —r ---------------------- >-Z --------- ---------.X - 5x + 4 X - 7x + 10

3. Giải hệ bất phương trình:J-X2 + 3x +10 > 0 (1)[x2 - 7x + 6 < 0 (2)

ĐÈ 8

Giải bất phương trình: -ựx + X- 6 > X-1 (1)

39



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Tìm các giá trị oủa tham số m để f(x) = (m + l)x2 - 2(m - 1luôn dươngvói mọi X.

c . ĐỀ KIỂM TRA 45 PHÚTĐỀ 1 (Bất đẳng thức và bất phương trình)

Câu 1.

Cho a, b, c, đ là những số đương.Chứng minh cảc bất đẳng thức sau; đẳng thức xảy ra khi na) (a + b)(b + c)(c + a) > 8abc. b) a4 + b4 + c4 > abc (a + b + c).c) Biết abed = 1. Chứng minh:i) ab + cd > 2.ii) a2 + b2 + c2 + d2 > 4.Câu 2. Cho a, b, c là 3 cạnh của A ABC. Chứng minh:a) (a + b —c)(b + c —a)(c + a —b) < abc. Dấu xảy ra khi

Câu 3. Cho a > 1, b > 1. Chứng minh rằng:ãy/b — 1 4- b-v/a —1 < ab . Dấu xảỵ ra khí nào?Câu 4. Giải các bẩt phương trình sau:

Câu 5. Giải và biện luận các bất phương trình sau:a) m(x —m) < X —1; b) (m + l)x + m > 3x + 4 (m là

ĐỀ 2 (Dấu nhị thức bậc nhất, dẩu tam thức bậc hai)Câu 1. Xét đẩu cùa các biểu thức sau: *a) f(x) = (x - 2)(x + 3)( 1 - 4x);

b) 4 -

b ) f w = ( 2 x - j 5 X 5 - 3 x )3x + 45'-’tu 2. Giải các bất phương trình sau:

[2 - 3x)(x + 1 )(4x - 5) > 0;

40



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





< 0.

Câu 3. Xét dấu của các biểu thức sau:a) f(x ) = —2x2 + 5x -2; b) f(x) - 2x2 - 13x -ỉ- 20.Câu 4, Giải các bất phương trình sau:

b)

Câu 5. Giải các bất phưcmg trình sau:

a) «y/x2 - X - 12 < 7 - x; b ) y j -x2- X - 6 > X + 7.

ĐẺ 3 (Bấ t phương trình bậc hai - Bất phưoĩsg ỉrình quy về bậc hai)Câu 1. Giải các bất phương trình sau:

a) y/x + 3 > 2x - 8 + yj7 - x; b) (X2 - 2x - 3 )y j -x 2 + 4x < 0.Câu 2. Giải các bất phương trình:a) (x + l)(x + 3)(x + 5)(x + 7) - 9 > G;

r~ 5 Ib ) 5 v x + - I— < 2x 4- --— 'r 4 .2-Jx 2x

Câu 3. Giải các hệ bất phương trình sau:Í 2 x 2 - 1 3x + 18 > 0 (1) b j 2 x ? + 9 x + 7 > 0 ( i )

a) [3x 2 - 20x + 17 < 0 (2) [x 2 -f X + 6 < 0 (2)

Câu 4. Cho m là tham số, tìm m để phương trình sau có nghiệm.(m - l)x2 - 2(m + l)x + 3(m - 2) = 0 (1)Câu 5.Cho f(x) = (m - 2)x2 + (m - 3)x - (m + 1) (1), với m là tham số.Tìm m để f(x) > 0; Vx € R.

D. ĐỀ KIỂM TRA CUỐI CHUONG (45 PHÚT)ĐẼ 1

I. Phân trắc nghiệmCâu 1. Ket quả nào sau đây là ĐÚNG

A. a + —> 2; Va ;2

41



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c , 1 + - < 2; Va > 0; D. a + - < 2; Va ^ 0.a a

Câu 2. Cho a, b > 0; kếtquảnào sau đây là SAỈ1 1 2 /— A. > “7==; B. a + b > 2vab;

ra b vabG. a + b + — > 4 ; D. 2a + 4b + -ì- > 6.

ab abCâu 3. Nghiệm của bất phương trình(x ~ 1 ) (x - 2) < X2 - 5x + 8 là:

A. (1; 3]; B. (-oo ■3];c. [3;+oo) ; D .(-l;4).

ĨL Phần tự luậnCâu 1. Giải bẩt phương trình

-------------------< 0 (I)(2x - l)(x ~ 1)Câu 2. Giải bất phươngtrình

X2 - 2yjx2+ 13 > 22 (1)ĐỀ 2

1. Phần trắc nghiệmCâu 1. Nghiệm của bất phương trình:2x + 1 X - 2'■ — ------------- - — > 2 là

5 3A. X < 15; B. X > 17;c . X < 16 ; D. X > 18.

f5x - 3 < 4x - 1 (1)Câu 2. Hê bât phương trình < cỏ nghiệm là

[3x + 1 > 2x (2)Ả . - 1 < X < 2 ; B. -2 < X < —1c . vô nghiệm; D. —4 < x < 3 .Câu 3. Cho bất phương trình: X2 -óx -r 8 > 0. Tập nghiệm nào củ

phương trình sau ìà đúng?A. [2; 3]; B. [1; 4J;c . (-co;2]u[4;+ °c); D. [2; 8].

42



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





II. Phần tự luận Câu 1. (3 điểm). Giải hệ bất phương trình:Í2 x2 + X + 6 > 0 (1)[3x 2 - 1 0x + 3 < 0 (2)

Câu 2*: (2 điểm). Tìm m để bất phương trình sau đúng V x e R : _3 s x ^ m x _ - 2 s 2

X —X + 1È 3

I. Phần trắc nghiệmCâu 1. Cho f(x) = mx2 + 2mx + 2m —3. Nêu f(x) = 0 có hai nghiệm

hân biệ t thì m bàng:

^ X ) < m < 3 ; B. l < m < 3 ; _ 3

c . 2 < m < 4; D. 0 < m < — V r ' 1 , 2cầu 2. Miền nghiệm của bất phương trình 3x2 + 4x + 1 > 0 là:

A. ( “ 00 ; - 2 ) ( - Ỉ ; +oo) B. ( - Ì ;-+oo)ỏ J

c . ( - c o ; - l ) D. ( 00 ; - l ) u ( - ! ; + « , )

Câu 3. Xác định m để phương trình (m - l)x 4 - 2mx2 + 1 = 0 có 4ghiệm phân b ỉệtẠ. m < 1 B. m > 1;CVm >1 D. m < 0

XI. Phần tự ỉuậnCâu ỉ . Giảỉ phương trình:

-y/2x2 4- 5x + 2 —2^/2x 2 + 5x - 6 =1 .Câu 2. Giải bất phưcmg trình

■yjx2 + 3x + 2 + y ịx2 + 6x + 5 < yj2x2 + 9x + 7.ĐÈ 4

I. Phần trắc nghiệmCâu 1.Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y = (3 - x)(4 ■+x) với —4 < X < 3 là:

43



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2 7 4Câu 2. Các mệnh đê sau, mệnh đề nào đúng, mệnh đề nàa) 2x >X2 <=> 2 > x; b) 2x > X2 i 2x - X2 > 0a) 2x > X <=>2 > x;- Í2x > X2 ^ 1 . ỉ

c) <Ị _ o 2 x + - > x + -X

d) 2x >X2 <=> 2x+ — > X24------?— X2 + 1 X2 4- IÍ2 x > X

e) S <=> 2 < X X < 0

Câu 3. Giá trị lớn nhất (GTLN) của hàm số y — -Jx. —2 +

a - 4 B 2 V2

c - 2>/ạ D. 2^5

II. Phần tự luậnCâu 1 . Tìm các giá trị của m để các bất phương trình sau c

X — 3 1 — X

a) \ 2 ~ 3 < 1 b) ỉ 3(x - J> ă x - 2X > m + 1 l ^ x < m

Câu 2. (h. 5) Miền trong cùa hình chữ nhật ABCD trên mặđộ Oxy biểu thị hệ bấ t phương trình nào?* V^ y

A I B

-2 -1 o 1 2 X

D -1 c

44 Hình chữ nhật ABCD

Hình 5



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





I Chương K T H Ố N G K Êị

ị A. TÓM TẮT LÍ THUYẾT jI. BẢNG PHÂN BỐ TẨN SỎ VÀ TÀN SUẤT j 1. Trong bảng phân bô ghép ỉởp ta cô:

Ị * Giá trị đại diện của lóp thử ílà trunỵ: bình cộniỉ cùahai mút của lópI đ ó , kí hiệu làCj.Ị

í ' ' ĩ * 'Ị * Tân sô của lóp thứ i là sô f " với fiị !à í ân sôcùa ỉóp đỏ, n là sô; n!các số liệu thong kê.

2, Chú ỷ* Trong bảng phân bố tần suất thỉ tần suất được tính ở dạn£

ịphần tràm.

ị * Cột giá trị đại diện của các lớp có thế không có mặt vói .1 diện lớp không có nghĩa (không tính được)III. BIẼU ĐÒ; 1. Các loại biểu đồ

* Biểu đồ tàn số hình cột* Biều đồ tần suất hình cộí* Biều đồ hình quạt

i 2. Đường gap khúc tần suất Trên mặt phẳng toạ độ. xác định các điểm (c;; fị) trong đóCị là giá trị;đại diện, fj ỉà tần suất với điểm (c; + ĩ ; fj ->■. j) .i == ỉ - 2, 3 ..., ta thu được mộtđường sấp khúc, gọi ỉàđtrờĩĩg g ấ p khúc l ầ n .•

:III. số TRUNG BỈNH CỘNG - SỒ TRUNG VỊ - MOT1 . Sổ trung bình cộng * SỐ trung bình cộng kí hiệu là X* Công thức tính số trung binh cộng* Trường hợp bảng phân bố tan số, tan suất

X = — (H jX j + n ,x -> + . .. + n kx k ) = f , x ,- r f , x 2 4- ... 4- í,.Xj.n

Viết gọn là X =i =1 i =1

L

45



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* Trường hạp bảng phân bô tần số, íần suất ghép lớp

X = — (DịC, + n 2c^ + ... 4 - i \ c k ) = f,Cj + f ,c , + ... + f,.Cj.n

1 k ^Viêtềọn ■<- X^cin, = ^"lci*in ĩ i =i

2. Sởtrung vịị Số trung vị (Me) của một dãy số liệu thống kê không giảm (hoặc

tăng) gồm n số liệu là:* Sổ đứng giữa dãy nếu n lé

I * Trung bình cộng của 2 số đứng giữa dãy nếu Ĩ1 chẵn________________3 .Mốt

I , ' ; : : " ; " ; r 7I Môt (Mo) là giá trị có tân sô lớn nhât trong bảng phân bô tân sô.

IV. PHƯƠNG SAĨ VÀ Đ ộ LỆCH CHƯẨNỉ. Cách tính phương sai (s*)

• Theo bảng tần số rời rạc: /L (xi ~ x)2nìn Ì7Ỉ

• Theo bảng tần suẩt rời rạc: s; = - x )2f; (với fị = — )7TỈ n1 k — • Theo bảng ghép ỉớp tần số: S* = —V (Cị - x)2ri;n frí

k _ • Theo bảng ghép lóp tán. suất: s; = ^(C ị - x)2fị

1=1----- _ ----- Ị k k

• Ta còn có cổng thức: - X" S- (x)2 (với X2 = —^ 1 3 ^ = n i=1 i =I

2. Ỷ nghĩa của phương sai Phương sai dùng để đánh giá mức độ phân tán của các số liệu th

kê so với giá trị trung bình của chúng.Khĩ hai dãy số liệu thống kê có cùng đơn vị đo và cổ cùng giá trị

bình, ta có phưang sai nào càng bé thì độ phân tán của các số liệu thốcàng bé.

3. Độ lệch chuẩn. Độ lệch chuẩn sx là căn bậc hai của S* .

46



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





B. ĐỀ KIÊM TRA 20 pfi ÚTĐẺ 1

Cân kiểm tra sức khoẻ 40 học sinh lớp 10A trường PTTH Thái Sơn, taược bảng số liệu thống kê sau (Bảng I, đom vị kg)50 53 48 49 52 57 45 49 57 4548 50 47 49 53 49 42 40 46 5842 40 50 53 56 38 40 55 57 5254 38 43 45 47 58 49 48 45 40

a) Hãy lập bảng phân bố tần số ghép lóp vód các lớp[38 - 41); [41 - 44); [44 - 47); [47 - 50); [50 - 53); [53 - 56); [56 - 59]

b) Hãy cho biết có bao nhiêu phần trăm học sinh ĩớp ỉ OA nặng từ44kg đến dưới 53kg?ĐÈ 2

Sử dụng bảng sổ liệu thống kê (Bảng ĩ) trả lời các câu hỏi sau:a) Hãy lập bảng phân bố tần suất ghép lớp vói các lớp sau[38-41); [41 - 44); [44 - 47); [47 - 50); [50 - 53); [53 - 56); [56 - 59] b) Hãy cho biết có bao nhiêu phần trăm học sinh lớp 10A nặng từ

3kg đến dưới 59kg.

ĐỀ 3 Đo chiều cao cho Ỉ00 học sinh của Trường T ta được bảng số liệu sau: (Bảng II)

170 ỉ 75 Nam

168 165 159 160 152 Nữ172 154 155

172 173 167 165 160 163 154 173 153 159179 168 170 164 176 165 163 165 154 163180 169 158 155 157 161 147 169 167 175154 157 153 167 173 167 142 170 169 160162 153 152 161 170 168 148 150 152 154165 148 150 167 182 157 154 152 170 157171 153 142 159 157 163 153 163 176 161145 167 158 169 168 170 160 159 í 75 167167 165 171 174 167 166 163 161 154 ỉ 68

47



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





a) Hãy lập bảng tần số ghép lóp và bảng tuần suất ghép lớcao của nam và theo chiều cao của nữ thể hiện trên cùng mộ t blớp là

[142 -150); [1 50 -158); [158 - 166); [166-174); [17 4-182b) Trong số những học sinh chưa cao tới 158cm thì học

đông hơnhay họcsinh nữđônghem?

ĐÊ 4 ^ , , ,

Cho bảng phân bố ghép lớp về điểm kiểm tra của 50 học sin1OABảng IĨĨLớp điểm Giá trị đại diện Tần số Tần su

[0; 2) 1 3 6[2; 4) 3 5 10[4; 6) 5. 20 40[6; 8) 7 15 30[8; 10] 9 7 14

n = 50 .2 =100%a) Vẽ biểu đồ tần số hình cột. b) Vẽ biểu đồ tần suất hình cột.c) Vẽ biểu đồ hình quạt.

c . ĐỂ KIỂM TRA 45 PHÚT

ĐỀ 1Quan sát một hàng bán bánh ga-tô trong thời gian 100 ngà bảng số liệu ghisố bánh bán được trong từng ngày nhưsau:

47 54 51 45 64 15 5 25 2946 53 49 55 62 20 10 32 2848 54 49 58 64 35 12 26 3348 51 53 60 59 23 8 29 3150 46 52 63 57 38 14 40 42

53 47 46 51 56 40 20 37 3863 64 62 65 67 55 24 42 . 4454 70 45 69 73 68 23 38 3766 69 45 72 70 70 18 45 4853 58 64 71 75 75 17 50 52

48



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





a) Lập bảng phân bố tần số và tầnsuất ghéplớp vái các lớp[5 - 15);[15 - 25); [25 - 35); [35 - 45); [45 - 55); [55 - 65); [65 - 7

b) Vẽ biểu đồ tần sổ hình cột và đường gấp khức tần số.c) Nhận xét về số bánh ga tô ổược bán trong 100 ngàv ấy.d) Hãycho biếtmỗi ngày bán được bao nhiêu chiếc bánh? Cho biết

phân tán số bánh bán được mỗi ngày so với sổ bánh trung bình bán được.ĐÈ 2

Cho bảng số liệu về cán bàng của học sinh hai ìớp 10A và 10trường Trung học phổ thông Thái Sơn là:

Lớp cân nặng (kg) Tần số10A 10B

[33 - 39) 1 2[39-45) 6 5[45-51) 15 18[51-57) 20 14[57-63) 8 12[63 - 69) 5[69-75) 0 2

ni = 53 Ĩi2= 58! a) Vẽ trên cùng một hệ trục hai đường gấp khúc tần suất cân nặI học sinh hai lớp trên và từ đó cho biết những người nặng từ 60kg trở

! nào chiếm tỉ lệ cao hom? b) Cho biết những người nặng dưới 57kg ỉớp nào tỉ lệ thấp hơn?c) Hãy tính giá trị trung bình, ổộ lệch chuẩn theo số liệu của từn

I lớp nào có cân nặng cao hơn? Lớp nàocó cân nặng đều nhau hcm?ĐÈ 3 _____ Ta có bảng phân bố khối lượng của 75 quả xoài hái từ một cây ĩà

Khối lượng (gam) Số quả120 2125 5130 4135 6140 10

49



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





a ) Hãy t ỉnh g iá id t i lingb h ứ i , m ố t , sổ ĩ rung v ị.

b) Hãy chọn giá tn đại đíệĩi cho sổ liệu thống kê về quy mô độ ỉớnc) Hẻi quả từ câv xoài í.hứ hai tatỉnh được giá trị trung bình là

x2 = 1472 &iTi; độlệch ch uẩn S2 = ỉ 0,24. Hãy cho biết khôi lượng quả xoài:ủa cây nào đôngổẽu hen?

so



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Chương VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC - CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

VẢ

L

B(0; 1)

A. TÓM TẮT ư THUYẾTL CUNG VÀ GỎC LƯỢN G GIÁC

1. Đửờng trốn định hưởng và đường tròn lượng giác

• Đường tròn định hướng là mộtđường tròn trên đó ta đã chọn một chiềuchuyển động gọi là chiều dương, chiềungược lại là chiều âm.

Ta quy ước chọn chiều ngược với chiềuquay của kim đồng hồ là chiều đưcmg (h. 6).

♦ Đường tròn ỉượng giác (gốc A) làđường tròn định hướng có tâm trùng với gốco của hệ toạ độ Oxy, có bán kính R = 1.

Chọn điểm A(l; 0) ỉàm điểm gốc củađường ưòn đó (h. 7). A’(—1; 0)'

*Cung lượng giácGọi giao điểm của các tia Ou và Ov

với đường tròn định hướng (O) làn lượt tạiu và V. .Điểm M chạy trên đuờng tròn théomột chiều từ Ư đến V- Ta nói điểm M vạchmộí cung lượng giác, mút đầu (điểm đầu) Ư,mút cuối (điểm cuối) V. Trển đường trònđịnh hướng (O) có vô số cung lượng giác(họ cung ỉưọng giác) mút đẩu u mút cuối Vcùng được kí hiệu làt ĩỶ .

*Góc lượng gỉác Hình 8Trên đường tròn định hướng cho một cung lượng giác U v thì có một

góc có tia đầu ỉà tia Ou tia cuối ià tỉa Ov gọi là góc lượnggiác kí hiệu là(Oc, Ov) (h. 8).

2. Số đo của cưng và góc lượng giác• Đơn vị đo góc và cung.Có hai đơn vị đo góc và cung là: độ và radian (rad)

B’(0; —1) Hình 7

SI



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Đơn vị . độ được chia thành những đom vị nhỏ hem:1 ° = 60' (phút);r = 60" (giây)

* Đe'Chuyểníừ a° sang a rad sử dụng công thức 7taa = — (rad)180

* Để chuyển íừa (rad) sang a° (0° < a < 360°) sử dụng côflSOaY;a = ------- Ịl rc /

* Cung tròn cóhán kính R có số đo a° thì có độ đài

* Cung tròn có bốn kính R có số đo a rad có độ dài*So đo cửa mội cung ỉượng giác* Số đo của một cung lượng giác ẤÃĨ

(A Ỷ M) là mội số thực cỉương hay âm.Kí hiệu số đo của cung ẤM là

sđ ỸẫẰ.* Số đo cửamộĩ cung lượng giác có

cùng điểm đầu và điểm cuối sại khác nhaumột bội của 270.

/ - TiaR 180

/ = Ra

Vậy sđẢM = a + k2?u (k e Z)(Trong đó a iả một cung lượng giác íuỳ ý có điểm đầu l

cuối là M)Khi điểm cuổi M trùng với điểm đầu A thì sđAivl =k27t ( k s Z )Khi k = 0 thì sđÀA = 0.Công thức tồng quát số đo bằng độ cùa cung lượng giác là

ỊsđẨĩvĩ = aớ4- k360°, k € zu- ---- -• Sổ đo của mội góc lượng giác* Số ẩo của góc lượng giác (OA, OM) ỉ à số đo của cung lượ

AM tirơng ứng.sđ(OA, OM) = a + k2jr, k £ z

hoặc sđ (OA, OM) = a° + k360°, k € z* Biểu diễn cimg lượng giác trên đường tròn ỉượhg giá ta ch

đâu Ịà A (1; 0) cho mọi cưng lượng giác. Điểm cuối M được chthức sđẨM = a .

52



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





n . GIÁ TR Ị LƯỢNG GIÁC CỦA MỘT CUNCí . Định nghĩa. Cho cung AM= a (h. 10)• Hoành độX của điểmM đưọc2ỌĨ là

côsin của góca và k í h iệu là CQSCL

cosa —OHp

của góc a và kí hiệu ìà sina.sina = OK Ị

• Nếu cosxỶ 0, tỉ sé — —- gọi "íà tangCOS ct Hình Ỉ0

của góca và kí hiệu là tancu

tana = sinctcos a

, , cos^* Nếu sinaỶ 05 tỉ sô gọi là côtangcửa góc avà kí hiệulà cota.sin a

cota = cos asin a

2. Chủ ỷ• cosa —cos(a + k27i) Vk € 2 , siĩia =■' sìn(a + kzit) Vk € z• tana = tan(a + k.7c) Vk € z , co ta = cc i(a -r k-Tĩ) Vk s z

71■(tana xác địnhvới a & -ỉ- kĩz, cota xácđinh.vói X ^ kĩĩ Vk s z )• - ỉ < sin a <1 , - ỉ < coscx <1

3. Bảng xác định dấu của các giá ĩrị lượng giác

53



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





4. Giá trị lượng giác của các ciinv đặc biệt - - - Ị ’ - ■ ! . . i I*1 0 Ị n 1 7Z i n

a 1 & : 4 Ị 3ị (0° ) ị (30° ) 1 (45° ) ị (60° )

—2

(90° )

1 r 5 ! V2 V3s m a Ỉ0 Ị — ! — — — —1 i 2 2 . 2i i i 1i , i V s1 -J2 ’ 1 1

C O S a ! ị2 ■ 2 2 011 1tana 0 rr

I I î r '

1 1 V3 IIỉ ! _

cota Ị ỊỊ ị V3! 1 -

11 s 0

(jỊ không xác định)5. Ý nghĩa hình học Trên đường tròn ỉượng giác:* Trạc tung gọi là írục sin* Trục hoành gọi là trạc cosin* Trục t’At (h.lV) gọi làtrục tang* Trục s?Bs (h. 12) gọi là trục côtangố.Ọi nn hệ giữa các hàm sổ ỉượng giác ° Công thức ỉượng giác cơ bản

sin2 a + cos2 a = ỉ

-1 ^ ^ t - 1 _ ry1 + tana = :— - — ,a * — 4- K7Z, k e zcos a 2

Hình 11

1 + cot a = 1

sin2 a, a ^ k 7i; k e Z

k.7Tíancí . cota “ 1, a ^ k t Z?

54



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





• Giá írị lượng giác của các cung cỏ ỉiên m an đặc biệt

*Cung đắi nhau', a và -a *Cung bù nhau\ a vàn — a

cos(-a ) —cosa cos(7E —a) = —cosa

sin(-a) ——sina sin(7ĩ —a) = sinatan(—a) ——tana d 1 I I o t í 1

À

cot(—c) = —cota ■ cot (7t —a) = —cota

* Cung hơn kém lĩ: a vả a + z * Cung phụ nhau:a và ( ——a )

cos{a + it) ——cosa cos(— —a ) = sinasin(a ^tc) = —sina 2

tan(a +7 ĩ) = tana sin(—- a ) = cosacot(a + tt) = cota 2

7Ĩian(—- a ) = cota

coi(——a ) = tana

L CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC1. Công thức cộng

cos(a - b) = cos aCOS b + sin a sin b

cos(a + b) = cos aCOS b —sin a sin b

sin(a - b) = sin a COS b —sinbcosa

sin(a + b) = sin a COS b + sin b COS atan a - tanfctan(a —b) =---------------:—

1 + tan a tan b

^ t . tana + tanbtan(a + b) -------- ------ —•1 - tan a tan b

55



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





• sin2 a = 2 sin a cos acos2 a = cos2a - sin2 a = 2 cos2 a - 1 = 1 - 2 sin2 a

2 tanatan2 a = ----------;— 1 - tan .a

• cos2a =

sin2 a =

1 + cos2 a _

1 —cos2 a

tan a = 1 - 2 cos2 a1 + 2 cos2 a

(công thức này còn gọi là công thức

3. Công thức Mến đỏi tích thành tổng .i tổng thành tích• Công thức biến đổi tích thành, tọng

cos a cos b = —[cos(a —b) + cos(a 4- b)]

sin a sin b = —[cos(a - b) - cos(a + b)Ị

sinacosb =—-[sin(a - b) + sin(a + b)]

° Cóng thức biến đỏi tổng thành tích

a + b a - bcos a + cosb = 2 cos— 2 — COS—-— 2 2

_ ^ . a + b . a — bcosa —cosb= — 2 sin— ■—-sin—-— 2 2

a + b __ a - bsin a + sinb = 2sin —-— COS——— 2 2

_ĩ_ _ -• I _a + b . a —bsin a —sinb = 2 COS—r— sin—-— 2 2



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





B. ĐỂ KIÊM TRA20 PHÚT

Câu 1. Đổi từ rad ra độ: 3. ■

Câu 2. Tìm độ dài của cốc cun2 tròn trên đường tròn (0; 20cm) nếu số

Câu 1. Cho tam giác đều ABC nội tiếp đường tròn( 0 ; lem)a) Tính sổ đo bàng rad cửa các cung AB, Ấ<ĩ. b) Tính độ dài các cung AB và AC,Câu 2. Thế nào là đường tròn định hướng? Biểu diễn cung ỉượng

ứng với góc lượng giác có số đo (Ou, Ov) = 30° + k360° trên đường tỊđịnh hướng.

ĐÈ 3Câu 1. Nêu sự khác biệt của sóc hình học uOv và góc lượng g

:(Ou9 Ov), cung hình học AB và cung lượng giác Ấể.Câu 2. Trên đường tròn ỉượng giác cho điểm M xác định b

!sdẤÃĨ = Sj. Gọi Mi là điểm đối xứng với M qua gốc o. Điểm M2, M3 theoỊthứ tự là điểm đối xứng với M qua trục tung và trục hoành. Tìm sổ đo:các cung ẤKĨi ẤEẰ 2

ĐÊ 4/Câu X. Tìm các giá trị của a để các biểu thức sau có giá trị nhỏ n; và tỉm các giá trị nhỏ nhât đó:

ĐẺ 2

1 + s i n a 5Câu 2. Xét dấu của các hiệu sau:a) sinl23° —sinl32°

B cosa

b) cot304° —C0t3ỉ6°ÌĐÈ5

,Câu 1. Rútgọn các biểu thức sau:a) 5 tan540° + 2cosi 170° + 4 sin990° - 3 cos540°;

b) 6 4 3

57



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





s I —^sinacosa '< —Ĩ2.HCÍ- , Y -X , , ,a) ------3 ;— — 7 ------- —— {khcos (X—sirra 1 -f tan a \

Câu 2„ ChứngìTiinb rằng:

, COS ct SĩĩÀ oc "ìịy ị ---- —; — ___ -- sịrr a

cot a - tan a

Cẳìỉ i. R.&Ĩ gọn hiểu thức sau:

a) sin(7T+ a) —cos(-- -r 'V-Cữt(2Tí — a) 4- tan(— 4- a)2 ' 2

b) sin4 a cos2a 4- sin: a . CO? 2 s..Câu 2. Cho tamgiác ABC có các £ 0 0 , B, c thoả mãn hệ thức

sin2B + sin2c = 2sirr A.Chứng minh A < 60°..

BẺ 7. G6c và cyìng ăĩỉ'ựssg gẫẻc - Cêĩìgthức iaa*ơĩEg giácCâii ĩ.I. Đổi sổ đo các cung sau nì rađ, chỉnh xác đến 0,0001:3 ) 2 0 °; b)40°25’; e )-2 7°; d ) - 5 3°3C’.2» Đổi số đo cửa các góc sau ra độ, phút, giây:

rr 93.} “ ^ b) I ĩ 7 3 _>L r 'V 2 ^c)~5; d) -. — ,

Cẳu 2. Rút gọn các biểu thức,.

1. 3s in — — 2 cos— -f 4 sin-— — 5COSn:3 6 2

1

- ten2a - sin" O'.cos2a©Ể 8

Câu L chứngminh các dẳng thức;i. sin6 a ■¥ COS6 a 4- 3sừ r a COS2 a —jL

sin2 a —cos2a ian a —12 . ---------------------= -------------

1 + 2 sin cc COSa. tana -h 1

58



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





sin2a -r sin a1 ».------------- — --------= tana;

1 + cos2 a + cosa- / tan2 a ,2 . / :— -------= c o s 4 a .

tan4a —tan2 a

Câu 2. Chứng minh các đẳng thức:

ĐỂ KIỂM TRA 45 PHÚTÈ ỉ.

ỉ. Phần trắc righíệmCâu 1. Cho cung luợng giác có số đo bạng —740°. Điểm cuối của cụng

ượng giác này thuộc cung phần tư nào?

A. Cung phần tư (I); B. Cung phần tư (IV)c . Cung phần tư (II); D. Cung.phần tư (III)Câu 2. Cho tana = 1 thì cos2a - sin 2 a có giá trị là:A .-1 ; B. 1;C .2; D. —2

Câu 3. Cho'' K —cosâ — C0S^ - ; biểu thức K sau khi rút gon có kếtsin2 a + sin6 a

uả là:A. tan4a; B. tan3a;c. tan2a; D. tana.

II. Phần tự luậniCâu 1.a) TínhCOS750; b)Tính tan 105°.

Câu 2.Rút gọn các biểu thức sau:cos(x + y) + cos(x - y)a) M =cos(x + y) —cos(x —y)

, . __ tan2 , 2 2 + tan 0,92 . _. 1 + s i n 2 a b) N --------; c) K ------------------------- ---------- — -------T.1 — t a n 2 , 2 2 . t a n 0 ,9 2 ( s i n a + c o s a )

59



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 3.Biến đổi các tổng sau đây thành tích:a) M = sin4x + sin2x; b) N = cos2x - cosóx.

' Câu 4Í*).Rút gọn biểu thức:Ỵ- _ ỉ + sin 2q - COS2a

1 + s i n 2 a + c o s 2 a

ĐÊ 2ỉ. Phần trắc nghiệm

Câu 1. Tính sin2 x, nếu tanx + cotx = 3. Kết qua nào sau đây 1 _ 2

A. sin2x - ; B. sìn2x =3 3

^ ^ 2 „ 3c. sin2x = —-; D- sin2x= — .3 4

C â u 2. Cho A, B,c là 3 góc của một tam giác không có góHệ thức nào dưới đây là SAI?

A. cos(A + B) = - cosC; B. sin(A + B) = -sinC.c . tan(2A + B + C) = tanA; D. cot(A + 2B + C) —cotBC â u 3. Gọi a, b, c là các cạnh đôi điện với các gốc tương ứ

của tam giác ABC thoà mãn điều kiện:2(acosA + bcosB + ccosC) = a + b + cTam giác ABC là tam giác gì?Chọn một đáp án đủng trong các đáp án sau:A. Tam giác thường; B. Tam giác cân;c . Tam giác đều; D. Tam giác vuông.

II. Phần tự luận.Câu 1. Rút gọn các biểu thức sau:

tan2 —— 1

a) cos20°cos40°cos80°; b) — —— ------.' n tan~8Câu 2. Chứng minh đẳng thức: ■

8sin3 18° + 8sin218° = 1.

60



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĩ. Phần trắc nghiệmCâu 1. Cho a, b, c là các cạnh đối diện với các góc A, B, c của tam g

' B c 1 ^ -í- c AABC thoả mãn điều kiện2 COS — COS— —— -ị --- - — sin --ửìì góc A băng2 22 a 2

A. 30°; B. 45°;

c. 90°: -Đ. 60°.4Câu 2. Cho cosoc = —thì tan 2a băng:5

24 _ 24A. ± — ; B. —' ■7 7

24 ^ 25c. ; D.7 7

Câu 3. Tam giác ABC có các góc thoả mãn điềukiện. sinB + sinC ^sin A =-------- --------- thì tam giác ABC ià tam giác giv

cosB + cosCA. Tam giác thường; B. Tam giác vuôisg tại A;c . Tam giác cân; D. Tam giác đều.

II. Phần tự lỉỉậnCâu 1 . Tìm giá tri lớn nhất và bé nhất của tồng các bình phưomg c

nghiệm của phương trình bậchãi:X2 - (3 sin a - cosa)x- 4 - 4 cọ s2a - 0 (khi tham số a biến thiên)

^Câu 2. Xác định dạng của tam giác ABC bì-ếl rằng:(1 + cotA)n + coĩB) “ 2.

ĐẺ 3

61



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





PHẨM HỈNH HỌC

Chương ỈỈL PHƯƠNG PHÁP TOẠ ĐỘ

TRONGMẶT PHẢNG A. T Ó M T Ắ Tl! thuyếtL PHƯƠNG TR ỈNH Tố n g q u á t c ủ a đ ư ờ n g t h ẫ n g

ỉ . P h ư ơ n g t r ìn h tổ n g q u á i : &X--T by + c = 0 (a2 + b2Ỷ 0)n —(a ; b) gọi là vectơ pháp tuyến của đường thẳngCứt*dạng đặc biệt cửa phương trình ĩổng quái:

° Đưòng thẳng by -i- c - 0. (a = 0), ỉà đường thẳng song song với trụ* Đường thẳng ax -Tc = 0, (b = 0), là đườne thẳng song song với trụ* Đường thằng ax -*■by -0 , (c =0 ), ỉà đường thẳng đi qua gốc íoạ đ

A(a; 0) vả B(0; b). PhưcriẸ trình điròmg ihắng này còn gọi ỉà phương trình ẩ i rờ n gthăng theođ o ạ n c h ă n .

Hệ sổ góc củađườn g ỉhẳY è g

Xét đường thẳng y = kx -5- lĩì (khi đó đường thẳng ax + by = c với Ỷ 0 ) thì k gọi ỉà hệ số góc cửa đirờng thẳng.2.Vị írị tương đổi cứa hd: đườỉĩg íkằng Cho hai đường thẳng ă, : «;X f b.y + C; = 0;

X X ■> ,* Đường ĩhăng —-ỉ- !> (ab3* 0 ), ỉà đường thăng đi qua hai điêm

a b

A2 : a 2x -r b2ỵ + c2 = 0.

Đặì

c, a.ỉ —D7C.ị Líy — ị ị = C 2&1a2ị

Ị • Hai đường thẳng A í, A 2 cẳt nỉiau D * 0;, a. b.hoặc — ^ —■(a7, b, ?£ ồ )

I ã-Ị b1-)ị , ÍD = 0ị • Hai đường thăng A ; /7 A2 <=> i

62



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Ị hoặc — = — (a ,, b „ Cj ' 0 )I a 2 ^2 c 2

• Hai đường thẳng A j = A 2 <=> Đ = Dx = Dy = 0

Ị hoặc — = — = — (a ,, b2, c2 & 0)ị___ __ 2 ^2

. PHƯƠNG TRÌNH TEA M SỎ CỦA ĐƯỜNG THẲNG1 . ®Vectơ u ^ O có giá song song hoặc trùng với đườn<ĩ thẳng

ược gọi làvectơ ch ỉ phương của A .« Phương trình tham số của đường thẳng A

Íx = x„ -b at , -°“ (a2 + b2 * 0 )

.y = y„ + fatu = (a ; b) gọi lả vecíơchỉ phương của A2. Phương trinh chính tắc của đưcmg thẳng

Từ phương trinh tham số cửa đường thẳngị 0 + aí[y = y0 + bt

ị “ : ~ Inếu a #0 và b ^ 0 =$1 —— — = —— — (a3Ế0 , b & 0)1 goi là phương

í a _______ b _____________________________ \ình chính tẳc của đuờng thẳng.I. KHOẢNG CÁCH VÀGÓC

í. Khoảng cách từ điểm M(xm; yỉví) đến đường thẳng(A): ax + by + c —Qđượctỉnh bằĩíg công thức:

ỊaxVi + byM+ c| I

* Vị trí của hai điểm đối với một đường thẳng Cho đường thẳng A : ax + by + c = 0.v à hai điểm M(xm; yM),

(xn; yN)không nằm trên A .* Hai điểmM, N nằm cùng phía vởi A<=> (axM + byM + c)(axN + byN + c) > 0.* Hai điểm M, N nằm khác phía với A<=>( a * M + byM+ c)(axN + byN + c) < 0.

63



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





4. Góc giữa hai đường thẳng • Hai đường thẳng a và b cắt nhau tạo thành 4 góc. số đo

các góc đó gọi là số đo của góc giữa hai đường thẳng av àb .Khỉ a song song với b hoặc a trùng vói b, ta quy ước góc

• Phương trìnhX2 + y2 + 2ax + 2by + c = 0 vợi điều kiện a2 + b2

là phương trình đường tròn tâm I(—a; —b), bán kính R = ^/a + b2 —c

2. Phương trình tiếp tuyến của đường tròn• Đường thẳng tiếp xúc với đường tròn khi và chi khi kho

tâm đường tròn đến đửờng thẳng bằng bán kính của đường trộ• Phượng trình tiếp tuyến của đường tròn (C) tại M s (C) là

đi qua M và nhận vectơ M ỉ ià vectơ pháp tuyến (với ĩ lá tâm đườnV. ĐƯỜNG ELIP

1. Định nghĩaCho hai điểm cổ định Fi và F2 với Fi F2 “ 2c (c > 0)Đường elip (còn gọi là elip) là tập hợp các đi m MMFj + MF2 = 2a (a là hằng số cho trước lớn hem c).

Hai điểm F]s F2 gọi là tiêu đi m của elip. Khoảng cách 2c gọcủa elìp. ______ ; ________________ _ ______ , ' __________ ___2. Phương trình chinh tẳc của eỉip

bằng0 °.* Cho A j: a>X + biy + c =0 , A 2 : a2X + b2y + c = 0.

Góc giữa Aj và A 2 kí hiệu là (A j „ A 2 ):Aj _LA2 <=> aja2 + b,b,

IV. ĐƯỜNG TRÒN1. Phương trình đường tròn có tâm ĩ(x0; yơ) bán kính R:

• (X - x0) 2 + (y - y) 2 = R 2

X2 V2^ 5- + TT =1 (a > b >0 , b2 = a2 - c2) ( 1)a b



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





pJ ib £2 Q

A i a 2 X

-a ° J a

s -b B, R

3. Hình dạng của eỉip• Tính đối xứng Elip có phương trình (1) nhận các

trục toạ độ làm trục đối xứng và gốc toạđộ làm tâm đối xứng.

• Hìnhchữ nhật cơ sở

Trên hình 13, các điểm Ai, A2 , Bj, B2 gọi là các đỉnh cửa eỉip. Hìnhchữ nhât PQRS ià hình chữ nhật cơ sở của elip5 nó tạo bởi 4 giao điểm cácđường thẳng x = ± a v à y = ± b

• Tâm sai của eỉip. Tỉ số giữa tiêu cự và độ dài trục ỉớn của elip gọi tâm sai của elip, kí hiệu là e.

Hình ỉ 3

ce = — ____ a_

VI. ĐƯỜNG HYPEBO L1« Định nghĩa ________________________________________________

Cho hai điểm Fi, F2 cố định có khoảng cách F1F2 = 2c (c > 0). Đườnghypebol (còn gọi là hypebol) là tập hợp các điểm M sao c|MF, - MF2| - 2 a , trong đó a là một số dương cho trước nhỏ hơn c.

Hai điểm Fls F2 gọi là tiêu điểm của hypebol. Khoảng cách FjF2 ~ 2cgọi là tiêu cự của hypebol.

2. Phương trình chính tắc của hypebỡỉ 2 2

~ ~ = 1 (a > 0 , b > 0 , b2 = c2 —ã2) a b __________ _ ________________ _

A ÍÍ?MỈJ /IsiviCT r-ỉin íiuna/i/i/ -

O'.

D -b

3 . Hình dạng của hypeboỉ • Tính ãốỉ xứng Hypebol có phưcmg trình (2) nhận

các trục toạ độ làm trục đối xứng, gốctoạ độ làm tâm đối xóng.

• Hình chữ nhậ t cơ sở Hình 14Hình chữ nhật ca sở tạo bởigiao điểm các đường thẳngX = ± a,

y = ± b gọi làhình chữ nhật cơ sở. Trên hình 14 hình chữ nhật ABCD gọilà hình chữ nhật cơ sở. Hai đưcmg thẳng chứa hai đường chéo AC và B

BI

65



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





_ . by = ± —X.a

VII. ĐƯỜNG PARABOL

1. Định nghĩa

hai đường tiệm cận của hypeboỉ. Phương trình hai đường tiệm c

Cho một điểm f cả định và một đường ứiẳng A cố định không đi qTập hợp các điểm M cách đều điểm F vả đường thẳng A gọi là parabol (hay paraboỉ).Điểm F gọi là tiêu điểm của parabol đường thẳng A gọi là đườngcủa paraboi.Khoảng cách từ F đến A được gọị là tham số tiêu cự paraboỉ.

2. Pkương ỉrình chỉnh tắc của varaboỉ y *I r = 2 px, p >0■■. . . .

Hình 15

3. Tính chất của parabo ỉ • Parabol nàm về bên Dhải của trục tung• Paraboỉ nhận trạc Ox làm trục đối xứng• Parabol cắt trục Ox, Oy tạio duy nhất

và gốc toạ độ o ìà đính cửa paraboỉ (h. 15).

VIII. BA ĐƯỜNG CÔNĨC. ELĨP, HYPEBOL, PARABOL GỌI ĐƯỜNG CÔNĨC

1. Đường chuẩn của sỉiv (E) có phương trình (lì. Khi đó

A i : X + ” = 0 ià đường chuẩn ứnge

với Fj(-C ; 0) và

A 2 : X - —= 0 ứng với Ft (c; 0)

cùng là đường chuẩn của (£).Tỉnh chat. Với mọi điểm M cùa (E^ ta luôn có:

Hình J6

= MF2

d(M, À,) d(M, A,)= e (e < ĩ).

66



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2. Đường chuẩn của hypebol (H) có phương trình (2) thì

A i: X + - = 0 và A 2 : X ——= 0 /N r - 1 Me e Y\ a a

gọi là đưòmg chuẩn của (H) — p-M-e0

c í xTính chẩt. Với mọi điểm M / của (H) ta luôn có: ^ Al ^2

MR MR ^ —— -i-— = — —-2 — = e (e > 1). Hình 17 d(M, Aj) d(M, A2)3. Đường cônỉc

Cho điểm F cố định và đường thẳng A cố định.MFTập hợp các điêm M sao cho ti sô —— — băng môt sô e cho trước

d(M,A)được gọi là đường cônic.

Điểm F là tiêu điểm, A gọi là đường chuẩn và e gọi là tâm sai củađường cânic.

Như vậy':

Elĩp là đường cônic có tâm sai e <1

Parabol là đường cônic có tâm sai e = 1Hypebol là đường cônic có tâm sai e > 1

B. ĐỂ KiẸM TRA 20 PHÚT

Phương trình tổng quát, phương trình tham số cửa đường thẳng

ĐÈ 1.Cho A(2; 3) và n = (3 ; - 5) là vector pháp tuyến của đường thẳng (đ).a) Hãy viết phương trình tổng quát của đường thẳng (d).b) Hãychỉ ra vectorchỉ phương U của đường thẳng (d).c) Hãy viết phương trinh tham số của (d).d) Hãy viết phưong trình chính tắc .của (d).

67



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐẺ 2.Cho đường thẳng (d) có phưcmg trình tham số

a) Hãy chi ra vectơ chỉ phương và vector pháp tuyến của (d). b) Cho: t| —1; Ỉ2 ——2; t3 = 0; t4 = 4. Tìm các điểm tương ứng thu

ứng với các giá trị í ỉ, Í2 , Í3, U-ĐỀ 3.

Cho đường thẳng (d) có phương trìrih

(d): * z ! = Z ± H .w 3 -6a) Hãy viết phương trinh tham số của (d). b) Hãy viết phương trình tổng quát của (d).

ĐÊ 4.Cho A ABC, phương trình các cạnh của tam giác lần lượt là< w > : X - y - 2 = 0 ;á ịA c y. 3 x - y - 5 = 0 ; d(BC): X - 4 y - 1 = 0

1. Xác định toạ độ A; B của AABC.2. Viết phương trình đường cao AA' của AABC.3. Tính khoảng cách từ B đến cạnh AC.

ĐÈ 5.

Cho A ABC, phương trình các cạnh AB, AC của tam giác lầnd<AB): 4x - 3y + 2 = 0; d(AC): y - 3 - 0; các điểm B(1; 2); C(—41. Xác định toạ độ đỉnh Á cùa A ABC.2 . Viết phương trình các đường phân giác trong’và phân g

của góc A.ĐẺ 6 .

Tính góc giữa 2 đường thẳng (di) và (dă).

68



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





1. Lập phương trình đường tròn (C) nhận A(3; I): 3 (-I; 5) ỉàxn đkính.

2. Cho 3 điểm: M(l; 2); N(5;2 ); K(l; -3).

ĐÊ 7.

a) Xác định toạ độ: MN, MK . b) Lập phương trình đường tròn tâm I, bán kính R qu*. 3 điểm M, 3. Cho đường tròn(C): X2 + y2 —2x 4 - 4y —20 = 0.a) Xác định toạ độ tâm I, vã bán kính R của đường tròn. b) Điểm A(4; 2) có thuộc áường Lròĩĩ (C) không?

ĐỀ 8.r 7 — + ^ - = 1Câu 1. Cho elíp (E) có phương trình:ì a2 b2

[o < b < a

Hãy viết phương trình (E) nếu a = 6 và (E) qua M( - 2 V5 ; 2)2 _ 1X 2 yCâu 2. Gho hypebol (H) có phưoms írình: —— — 9 A

Xác định toạ độ các tiêu điểm, độ dài trục thực, trục ảo.9 4

G. ĐỂ KIỂM TRA 45 PHÚT ĐÈ 1.

Câu 1.Cho 3 điểm K(2; 1); N(5; 3); M(3; —4) ỉần ỉượt ià trưng điểm các

AB, AC, BC của A ABC.a) Viết phương trình tổng quát của các cạnh AB, AC, BC. b) Viết phương trình đường trung trực cửa cạnh BC.Câu .Cho AABC, biết A(3; —ỉ); B(5; 7) và trực tâm H(4; —1).a) Viết phương trình 3 cạnh của AABC.

b) Viết phương trình 3 đường cao cửa A ABC.Câu 3.Cho A(3; 4) và đường thẳng (d): 2x + y - 5 = 0.Tính khoảng cách từ A đến (d).

69



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 4.Tính góc nhọn (p là góc tạo bởi2 đường thẳng(di): 2x - y + 3 = 0; (ch): X- 3y + I =0.

DÊ2 .Câu 1.Lập phương trình đường tròn (C) biết:a) Tâm 1(2; -3) và đi qua A(3; 4). b) Tâm I(—ĩ ; 2) và tiếp xúc với đường thẳng:

(d): X- 2y + 7 = 0c) Có đường kính AB: A(2; 3); B(4; 7).Câu 2.Cho A(l; 4); B(-7; 4); C(2 : -5).

a) Xác định toạ độ các vectơ: AB ? A C . b) Lập phương trình đường tròn qua 3 điểm A, B, c .Câu 3.

X2 y 2Cho eỉip (E) có phưorng trình —— I- ~ = 1.

Xấc định độ dài trục lỏm. trục nhỏ, tiêu cự, tiêu điểm, tâm sai, toạ zác đỉnh của eiip.

D. ĐỀ KIỂM TRA cu ó l CHƯONG <45 PHUT)ĐÈ 1.

I. Phần trắc nghiệmCâu 1. Phương trình tổng quát cùa đường thẳng qua A(3; -2 ) và ve

chỉ phương u —(-1 ; 3) là:A. 3x + y - 7 “ 0; B. X- 3y -9 = 0;

c . 3 x - y - I 0 = 0; D. X+ 3y + 4 = 0.Kết quả nào đúng?Câu 2. Đường thẳng (d) qua 2 điểm A(2; 1); B(4; 0) có phưomg tr

tổng quát là:A >: + 2y —4 = 0; B. X + 2y + 4 = 0;' <- 2v - 4 “ 0; D. X—y + 4 = ọKêi Quầ nồo ià đúng?

70



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 3. Đường thăng (d) qua A(0; -1) có vẹctơ pháp tuyến n - (1; 1).hương trình tham số nào của (d) sau đây là sai?

Câu 5. Cho A(—3; 1) và B(5; 7). Phương trình đường tròn (C) cóường kính AB lả:

A. X2 + y2 + 2x +8y - 8 - 0; B. X2 + y2 - 2x - 8y - 8 = 0;c . X2 + y2 - 2x +8 y - 8 = 0; D. X2 + y2 + 2x - 8 y - 8 = 0.Câu 6 . Đường ưòn (C): X2 + y2 + 6 x - 4y + 3 = 0 có bán kính là:

A. R = 3; B. R = V ĩõ ;c . R = V29; Đ. R = 4.

Câu 1.Cho (dĩ): 2x + y - 3 = 0; (d2): 3x - y + 7 = 0; gọi íp là góc nhọn tạo

ởi (di) và (ds). Tính COS(p, tìr đó suy ra độ lớn góc <p.Câu 2.

Cho (dj): 3x —4y + 5 = 0; (d2): 5x + 12y —1 = 0 .Viết phương trình các đường phân giác của các góc tạo bởi (di) và (cb).Câu 3.Cho A(3; 4); B(l;2); C(5; 2).a) Xác định các vectơ AB, AC, B C . b) Chứng minh rằng A ABC vuông cân tại A.c) Lập phương trình đường tròn qua A, B, c .

Câu 4. Cho (di): 3x —4y + 2 = 0; (d2): 3x —4y —3 = 0.Khoảng cách giữa (di) và (d2) là:

D. 1.

B. 5;

II. Phần tự luận

71



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





I. Phần trắc nghiệmCâu X. Chọn kết quả ĐÚNG trong các kết quả sau:Đường tròn (C) có tâm 1(2; 1) và đường kính — 6 , có kết quả làA- X2 + y2 —4x —2y —4 = 0; B. X2 + y2 + 4x + 2y —4 = 0c . X2 + y2 + 4x - 2y + 4 = 0; D. X2 + y2 - 4x —2y + 4 = Câu 2. Cho elip có 2 đỉnh Ai(-2; 0); A2(2 ; 0) các tiêu điểm Fi(—

F2( l ; 0). Phương trình chính tắc của (E) là: 2 „ 2 _- 2 __2. X V , _ X y ..A. ——+ — = 1; B. —- + — - 1;4 1 4 32 2 2 2

c . *1 + 21 = 1 ; D. í l + z l = l.1 4 3 4

2 2 2 2í ! + £ = l ; D . í l + y i -1 4 3 4

Chọn phương án đúng.2X yCâu 3. Cho hỵpebol (H) có phương tr ìn h :------ —

2

= 1 -25 16Kết quả nào sau đây là SAI.A. Độ dài trục thực của (H) ỉà 10.B. Độ dài trục ào của (H) là8 .c.Tiêu điểm của (H) có toạ độ:(±3;0).„ . _ V ĩ ĩ D. Tâm sai: e = ——.

5

Câu 4. Phương trình chính tắc của parabol, có đỉnh là gốcđi qua M(2; 4) là:A .y 2 = - 8 x ; B. y2 - 4x ;c . y2 = - 4 x ; D. y2 = 8 x.

X2 y2Câu 5. Cho một hypebol (H) có phương trình chính tăc: — ---- ---- —

Tiêu cự của (H) là:

A. 6 ; B. - 6 ;c. 2-J6; D. yỈ6.Hã}' chọn phương án đúng.

72



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 6 . Cho elip có phương trình chính tấc ìà:X2 y2(E): — - í - = 1. Trong các kểí cmả sau. kêt quả nào sai?

A. Tiêu điểm Fj(—2 ; 0) ; B. Độ dài trạc lớn =6 ;c . Độ dài trục nhỏ bằng 4; D. Toạ độ một đỉnh trên trục lớn A(3

ĨL Phần tự luận

Câu 1.a) Lập phương trình chính tắc của eiip có độ dài hai trục bằng6 và

bằng 4. b) Lập phưomg trình chính tắc của eỉĨĐ biếí (E) đi qua hai điểm:

M 1 ; s /

và NV- * 4 \

Câu 2.

Lập phương trình chính tắc của hypeboỉ (H) nếu có tiêu điểm F(3và "qua điểm M3 ;

Câu 3.a) Cho parabol: y2 = 6 x, tìm toạ độ tiêu điểm F của paraboỉ. b) Lập phương trình chính tắc của parabol (p) biết tiêu điểm F(5; 0

E. ĐỂ KIỂM TRA HỌC KỈ I! <90 PHÚT)ĐỀ 1I. Phần trắc nghiệm

Câu 1. Kết quả nào sau đây là saỉ?A. a < 4 => a2 < 16; B. a < 4 => a?< 64;

c . 0 < a < 4 ^ yfã< 2 ; D. 0 < a < 4 => a 4 < 44.Câu 2. Nghiệm của bất phương trình: 2x - 1 >X - 2 là:A. X > —2; B. X > —3;c . x > —1; D. X < 1.Hãy chọn phương án đúng.Câu 3. Bất phương trình\2x - 5\ < X + I có tập nghiệm là:

73



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





5 4A. —< X < ố ; B. —< X <6 ;2 3

C- X > —; Đ. Ket quả khác.

Hãy chọn phưoxig án đúng.Câu 4.Cho f(x) = 2x2 - 5x +2; tìm Xđê f(x) < 0; kết quả

A. X e (—; 2); B. x e ( 2 ; 5 ) ;21

c . x g ( - ; - t c o ) ; D. X. e (-00 ; 2).

Hãy chọn phương án đứng.X ” — X )Câu 5. Cho bât phưcmg trình -—— ----- — < 0 (1) có tập nghiệm ià S:

X - 2

A. s =[0 ; 1]; B. s =(-00 ; 1] Ư (2 ; +«>);c. s =[0 ; I] ^ (2 ;+oo); Đ. s -(-00 ; 1] w [2 ; +oc).Hãy chọn phương án đúng.Câu 6 . Cho M = (1 -r tan2 a)s in2 a(ỉ -f cot2 cx)cos2 a có kết quả là:

A. M = - ; B. M = 2;2

G. M = -3 ; B. iM= ỉ .Hăy chọn phương án đứng.

íh Phần tựỉuậnCâu 1.Tìm giá trị nhỏ nhất của A -= 2x2 -i- y2 —2xy —4x.Khi đó X=?; y — ?Câu 2.Giải bất phương trình sau:(2x2 - 6 x + 7) 2 < (x" -KX -t- 7) 2 ?Câu 3.

+ 9Bât phương trình------ — < 1 có bao nhiêu nghiệm nguyên đương?

74



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





.-Câu4. . •Giải bất phương trình sau: 3(x —y) + 5 > 2(x —2y) +.8 .Câu 5.Cho đường thẳng (d): 2x + y— 13 = 0 và điểm M (l; 1).

a) Viết phương trinh đường thẳng (d7) qua M và vuông góc với (d). b) Tìm toạ độ H là hình chiếu của M lêri (d) và toạ độ N là điểm đốiỏng của M qua (d).

Câu 6 .. Cho đường tròn (C):X2+ y2 —2x + 4y —4 — 0

a) Tìm tâm và bán kính củá đường tròn (C)* b) Cho A (3; —1); chúng minh rằng A là đĩểm nằm ưòri đường tròn

); viết phương ửình đường thẳng (d) qua A vậ cắt (C) theo một dây cung

độ đài nhò nhất.È 2I. Phần trắc nghiệm

Câu 1. Chó bất phương trình:--------> — , có bao nhiêu nghiệmX X —2

uyên dương?. A. Có U

c.Không có;B. Có 2;D. Có vô số.

Câu 2. Cho hệ bắt phương trình:Ị_2x - 1 < X2 - 1 (2)

Tập nghiệm của hệ là:A. X> 0;

c. X < —2hoặc X > —;4

B. x < -3 ;

D. 0 <x < —.4

*7 _ Om — 1Câu 3. Cho bất phương trình ----------X H------------> 0; mlà tham số

m - 1 m - 1

A. [—1; 2];C.R;

B. tập 0 ;D. (-4; 3).

75



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





- . X + 82x + 4 > — (1)X + 2

A. Vô nghiệm; B. (-ô ;~ —) \ j (2 ; +oo);

c. (2; 4); D.(-5;-2).

Câu 5. Cho p = fl - COSa>(' ± cosa>có giátr Ị là:(1 + sina )(l - sin a )

A. p = tan2 a ; B. p = cot2 a ;c . p = 2 c o s 2 a ; D . p — 2 s i n 2CL.

Câu 6 . Trong các phương trinh sau đây. Phương trình nàotrình đường tròn? Neu ỉà đường tròn hãy xác định tâm và bán k

A. X2 4 - y2 + 2xy -4 y - 9 = 0; B. 2x2 + y2 - 6 x + 8 y + 1 =c . X2 + y2 - 4x - 6 y + 100 = 0; D. X2 + y2 - 2x - 2 y - 2 =

II. Phần tự ỉuận

Câu 1. Giải hệ bất phương trình:X2 + 3x —4 < 0 (2)

Câu 2. Tính phưcmg sai và độ lệch chuẩn của các mẫu số9 ,3 ,8 ,8 ,9 ,8 ,9 ,18 .

Câu 3. Chứng mỉnh đẳng thức sau:4cosx.sin2x.sin3x =1 + cos2 x —cos4x.Câu 4.Tim giá trị của tham số m£ 0 để bất phương trình sau đây đún

X2 - 8x + 20 — 2 — ir ,— --------------------<0 .mx + 2 (m + l)x +9 m + 4

Câu 5.Cho hai đường thẳng (di): 3x - y + 10 =0 và các điểm A

B(—2; 3). Lập phương trình đường tròn (C) cỏ tâm I e (dj) vhai điểm A v àB .

Câu 6 .X2 V2a. Cho (E): —- + — = 1.6 2

<âu 4. c n o Ĩ{X) = -3x ~ + 2x + 8; tìm X đê f(x) < 04

76



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





b. Cho (H): —— — = 1. K J 9 3

Tìm ưên (H) điểm N có tung độ y = 1.ĐÊ 3

I. Phần trắc nghiệmCâu 1. Tam thức nào sau đây ìuôn luôn dương Vx e R?A. f (x ) = —X2 + 2x -16 ; B. f(x ) = X2 - 2x + 12;

c . f(x) = X2 +3x - 4 ; D. f(x) = 2x2 4- 5x 4- 3.Câu 2. Bất phương trình: X2 ^ 5x + ó < 0 có tập nghiệm là:A. [ 2; -33; B. [-3;-2];c. [1; 5]; D. [3; 6].Câu 3. Cho f(x) = ~2x2 - mx + m. Tìm ĨĨ1 để f(x) < 0 Vx € R . Hãy

họn đáp án đúng.A . m > 0 ; B . m < ~ 8c . - 8 < m < 0; D. m <- 8 hoặc m > 0.Câu 4. Khi điều tra số các con trong mỗi gia đình ò' tàng 7 của mộ

phung cư thu được mẫu sổ liệu sau:3 2 1 4 2 2 1 ỉ 3 15 2 1 2 3 3 4 4 1 2

I Dấu hiệuở đây là:A. Số gia đình ở tầng 7; B. số người trong mỗi gia đình;c . Số tàng của chung cư; D. số con trong mỗ i gia đình.Câu 5. Kết quả nào sau đây là SAĨ:

Tìm trên (E) các điểm M có hoành độ X—2.

/?A. sin 105° = - —- — B. cosl5° =4 4 ,c. tan75° = 2 + S ; D. cot75° = 2 -C âu 6 .Kết quả nào sau đây là ĐÚNG?Rút gọn biểu thức M = ^ /snrx (l + cotx)4 - cos2 x(l + tanx)

A. sinx + cosx; B.Ịsinx + cosxị;

c. —sinx —cosx; Đ. M = 1,

77

L



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Ị

i

IL Phẩn íự luậnCâu ỉ. Cho X, y, z > 0 và X -ì- y -t*2 = 6 ;Chứng minh rang X2 -ỉ- y~ 4-2 2 > 12C âu 2. Cho X e (—2 ; -í- 30) t

2 Tìm giá trí ĩỉb.ó nhât của hàm sô f(x) = X 4---------- X+ 2

C âụ3. Giải b t phương trình sau:|ị2x - lị - 3ị > 2

Câu 4. Chửng mình đảng thức sau: 7^ s i n ( c c S ) s m ( a — B )lan a - tan p =---------- p -------------

COS cx.cos SCâu 5, Cho điểm M(3; -2} và đường tròn (C)

X2 4- y 2 - 4 x - 2 y = 0 .

Viết phương trình các tiếp tuyến kè từ M đên (C).Câu 6, Cho oaraboì (P):y2 = 2x và đường thẳng (d): 2x - y -

Tìmtoạđộcác giao điểmcửa(?) và (d) " VĐÈ 4

L Phần trắc sighiệm

Câu ĩ. Trong các b t đ aa thức sau. b t ng ứiức nào đVx, y e R :

A. X + y >2yjxỹ ; B. X + y < yỊlỌí2+ y 2) ;

c. — -Ị- — > — D. ịxỊ +ịyl > X + y .X y XV ' ì

Cân 2. Cho bất phươĩĩỉS 'trình: X2 - ! < 0 ( 1 ) . B t phương trình nào sađâv íirơns đương với bất phương trinh (1)

A. ịx| > 1; B. — 7^— < 0 ;' ‘ X2 - 1

c . |x| < 1; D. — ----------- — < 0.1 1 X - 1 X + 1

Câu 3. Cho f(x) = mx2 - 4x -T- 1(m & 0). Vói giátrị nào của m thif(x) > 0; Vx e R

A. m > 4; B. m > 0;c . m < Q; D. 0 < m < 4.

7S



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 4. Phương trình đưòng tròn (C) nào .nhận A(l; i); B(7; 5) làmường kính của đường tròn:

A. X2 + y2 - 8x - 6y - 12 = 0 ; B. X2 4- y2 + 8x -h 6y + 12 = 0;

c . X2 + y 2 + 8 x - 6 y - 12 = 0 ; D. X2 + y 2 ~ 8x - 6 y +'12 - 0 .

Câu 5. Cho parabol (P): y2 = 8 x. Kết quả nào sau đây là SAI?A. Toạ độ tiêu điểm F(2 ; 0);B. Paraboi luôn đi qua gốc toạ độ O;c . Tiếp tuyến tại đỉnh có phương trình y = 0;D. Tiếp tuyển tại đỉnh có phương trìnhX= 0.

Câu 6 . Cho (E) qua 2 điểm: M (l; 0) và N (——;ì ), phưong trình

ính tắc là;2 2 2 2

1 4 - 4 1 __ 2 2

c .2 s i + ỵ i = l ;4 2

Câu 1. Cho 0 <X < — 2

D. Không có phương trình nào đúng.


Tìm cảc giá trị lớn nhất (nếu có) vẩ giá trị nhỏnhất (nếu có) của= f(x) = x2(l -2 x)

Câu 2 . Giải các hệ bấ t phượng trình sau: Ị x 2 - 4x + 3 < 0 (1) Ị x 2 + X + 3 > 0 (1) j x 2 —ốx 4- 8 <0 (2) ị",

Câu 3.Cho f(x) = 3(m + l)x2 - 2(m + 4)x + m + 2; (m là tham sốỶ -1 )a )T ì m m để f(x )> 0 ; V x e R .

b) Tìm m để phương trinh: f(x) - 0; cỏ 2 nghiệm trái dấuCâu 4.Cho A ABC; gọi M là trung điểm BC; M(0; 4), cạnh AB có phương

nh (di): 2x + y —11 = 0 ; cạnh AC: (d2): X + 4 y —2 = 0.Xác đinh toạ độ các đỉnh A, B,c của A ABC.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Cho hypebol (H): — ---- — = 1

Gọi Fi, F2 là các tiêu điểm của (H); Tìm nhưng điểin M(xsao cho MF, _LMF-.ĐỀ 5

I. Phần trắc nghiệmCâu 1. Cho bất phương trình: -v/x —3 > -v/3 —X . Có tập

Hãy chọn kết quả ĐÚNG trong các kết quả sau.A. s = (3 ; + co); B. s = (—GO; 3);c . s = 3; D. s = [1 ; 4].Câu 2. Cho bất phương trình: (2x2 —3x + 2)(1 —X2) < 0;

nghiệm s.

A. s = (-«>; -1) u(1 ; +0O); B. s = (-1; c . s = R; D. s = 0 .Câu 3. Một cung tròn có độdài 10 cm; có số đo bằng radian là

đường tròn của cung đó có bản kính là:A. R = 2 cm; B. R = 3 cm;c . R = 3, 5 cm; D. R = 4 cm.

4- 37tCâu 4. Cho tan a = - —và < a < 2n; sina có giá trị là:5 2 ■

. 4 4A. sin a - — 7== ; B. s in ax/41 "741

„ . 3 „ . 5c . sína = — D. sina =V41 V41

Câu 5. Cho biểu thức K = cos40° + tana.sin40°Rút gọn biểu thức K. Hãy chọn kết quả ĐÚNG:

A K = sin(40° - B K = cos 4QO ± g ì -cosa 5 cosa

c K - cos(40° - ° 0 . D K = cos(4QO a )cosa ’ sina

Câu 6 . Cho M(2; 4) và đường thẳng (d): 2x —3ỷ —1 = 0

Câu 5.

80



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Phương trình đường thẳng (A ) qua M và vuông góc vái (á).A. 3x + 2y —14 = 0;c . 3x —2y — 14 = 0;

B. 3x + 2y + 14 ” 0;D. 2x + 3y + 14 = 0.

IX. Phần tự luậnCâu 1. Cho A(1 ; 2) và B(—2; 1). Viết phương trinh tham số và phư

trình tổng quát của (đ) qua AB.Câu 2. Giải bất phương trình bậc nhất hai ẩn:5(x + 1 ) —9 < 2x - 2y + 2. Biểu diễn miền nghiệm trên mặt p

toạ độ.\C âu 3. Giải bất phưorng trình:

2x - X2 + ^ 6 x 2 —12x 4- 7 > 0Câu 4. a) Lập phương ỉrùih của EIip biết độ dài trục lớn ỉà6 vả qua

b) Cho M(x; y) e (E). Tìm toạ độ điểm M, nếu M cách to

khoảng bằng

Câu 5.Lập phương trình chính tắc của parahoỉ (p) biết:a) Tiêu điểm F(5; 0); b) (P) qua M(2; -4).Câu 6.Rút gọn biểu thức sau:„ sin6 <x + cos6a -1

sin4a + COS4a — 1ĐÈ 6

Câu 1. Tìm tập xác định của hàm sẻ

a) f(x) = VlO — 4x -I — - —:X + 1

8i



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c) f(x) =3 x - i .

— ------- VÓ1 X > uX + 1

Vx+T vớ i X < 0

Câu 2. Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau rồi giải Dhưcmg trình ấy

a) 3x4*——— = ỉ2h---- — ; b) 5x4---- ỉ— = 15+ *X -- 4 X - 4 x + 3 X + 3

Câu 3- Tìm điều kiện xác định của các phương trình sau rồi giải chương trình ấy

a) 1+ y /ĩ- X = VX- 2; b) VxTT = V2 —X.Câu 4. Các cặp phương trình sau có tương đương không? Nếu kh

hì cần thêm điều kiện gì để hai phương trình tương đương?1 1a) 2 x H----- — = 6 4- ———và2 x — 6 :

X 2 X — 2

b) 2x~5 = x vả (2 x -5 )x = x2.Câu 5. Giải và biện luận phưang trình saa theo tham số ạ, ba) ax-a 2 = 2 x -4 ; c) a (x -ỉ) = x + b; b) -9x ~ 27 ~ £ ' -a2x; d) a(2x --3) = x + b.

}È7Câu 1 . Giải hệ phương trìnhÍ2|x + y |- |x -y ị = 9Ị3ịx + yỊ +2 ịx -y j = 17

Cân 2. Giải và biện luận các hệ phương trình với m là tham số:ímx + 3y = m ~ l Í5x —(m —2)y = m[2x -H(m —ỉ)y = 3 [mx + (m + 3)y =2m

ím 2x + (2 - m)y - m3 + 4W Ị C[mx + (2 m ~ I)y = m -2Câu 3. Tìm c và d để hệ phương trinh sau:í(c + l)2 x -( c + l)> — c|(d - l)x + (5 - 2đ)y = c + zcó 1 nghiệm (x; y) = (1 ; 1)



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 4. Giải hệ phuơng trình' 2 x + 3 y - 5 z - l

a) <4x + 2y —2z = 7

X —2y + z = 5X +y + z = 1

c) <ax + by+cz = da2x + b2y + c2z = d

b)2 x + y + z =6

3x + 2y + z = 9

—X+ 3y + 5z =6

( ạ, b, c khác nhau và khác0 )

ĐÈ 8

I. Đại sốCâu 1. Biện luận bằng đồ thị số nghiệm của phương trình:a)3x2 - 2 x + p = 0; b) X2 -3 |x | + m = 0.c) Hãy chỉ ra biểu thức các nghiệm của b).Câư 2. Cho phương trình: (k - l)x2 + 2 x - l —0a) Giải và biện luận.

b) Tìm k để phương trình, có hai nghỉệm trái dấu? Có hai nghiệmùng dương? Có hai nghiệm cùng âm? Có tổng các bình phương haighiệm bằng2 .

Câu 3. Bà em 3 lần đi cửa hàng mua vở, bút chi và tẩy cho chúng em.Lần đầu bà mua 1 quyển và, 1 bút chỉ và 1 tẩy hết 6000đ. Lần thứ 2 bà mũa

bút chì, 2 quyển vở và 1 cái tẩy hết 13.000đ. Lần thứ 3 bà mua 2 bút chì, 5uyển vở và 3 cái tẩy hết 22.000đ. Hỏi giá tiền mỗi loại, biết rằng giá tiềnuyển mua một quyển vở, một bút chi, một cái tẩy ba làn không thay đổi.

II. Hình họcCho tam giác ABCa) Tìm tập hợp những điểm M sao cho: AB.AM —AC.AM —0

b) Tìm tập họp những điểm M sao cho: AB.AM + AC .AM = 0

ĐỀ 9c) Tìm tập hợp những điểm M sao cho: (MA+M B)(M A + MC) = 0

I. Đại sốCâu 1. Xét dấu biểu thức sau:f (x) = (2 —x)(x2 + 2x —3)



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 2. Giải bất phương trình sau:4x2 —3x —1 < 0Câu 3. Tìm m để phương trình sau có. hai nghiệm trái dấmx2 —2(m —2)x + m —5 —0Câu 4. Giải và biện luận bất phưong trình sau theo thamX2 + (m —I)x +1 > 0

ĩỉ . Hình họcCho tam giác ABC có góc A= 60°; b =8 cm; c =5 cm1. Tính cạnh a;2. Tính diện tích tam giác ABC;3. Tính chiều cao ha;4. Tính bán kính đường ưòn ngoại tiếp tam giác ABC.

10

I. Đại sỗX2 —X—12 < 0 (1)2 x —1 > 0 (2)

Cẳu 2. Giải và biện luận theam bất phương trìhhm2x + l < X —m

Câu 3. Cho f (x) —mx2 + 2 mx + 2m —3 Xác định m để:a) f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt. b) f(x) =0 có 2 nghiệm trái dấụ.c) f(x) =0 có 2 nghiệm và1 nàm trong khoảng2 nghiệm.

n . H ình họcCho tam giác ABC có cạnh a = 7cm; b =8 cm; c = 5cm1) Tính góc A.2) Tính diện tích tam giác ABC.3) Tính chiều cao ha.

4) Tính bán kính đường tròn nội tiếp tam giác ABC.

L Đai sếGâu 1. Cho phương trình (m - l)x4 - 2mx2 +1 = 0 (1)

11

Câu 1. Giải hệ bất phương trình



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





a) Giải phương trình khi m = 2. b) Xác định m để phương trinh (1 ) có 4 nghiệm./Câu 2. Cho f(x ) = mx2 4 - 2mx4 - 2m — 3. Xác định, m để:a) f(x) =0 có hai nghiệm đều ỉ ớn hom -2 . b) f(x) = 0 có hai nghiệmX Ị , X2 vảX i < 0 < X <3.

■ /Câu 3. Giải các bất phươna trình:

a) |x + lj > |2 x - l ị ; b) Ị <L

II. ưáĩìh họcCho tam giác ABC. Chứng minh:a) Nếu B M i CN (BM, CN là hai trung tuyến) <=>b2 + c2 — 5a2. b) Nếu 5a2 = b2 + c2 <=> cotA = 2(cotB + cotC).c) Nếu b2 + c2 + a2 = 9R 2 <=> A ABC đều.

ĐÈ 12

ĩ. Đại sếCho bảng số liệu về cân nặng cửa học sinh hai lớp ỈOA và 1

một trường.

Lớp cân nặng

Tần số

10A 10B

[33 -3 9 ) Ị 2

[ 3 9 - 4 5 ) 6 5[ 4 5 - 5 1 ) 15 18[ 5 1 - 5 7 ) 2 0 14[ 57 - 63) 8 1 2

[63 - 69) 5[69 - 75) 0 2

ni =53 n2 = 58

85



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





a) Vẽ trên cùng hệ trục tọa độ hai đường gấp khúc tần suất củanặng học sinh hai ỉớp trên và từ đó cho biết những ngườ i cân nặng từ 60trở lên ỉóp nào chiếmtỉ lệ cao hơn. ;

b) Hãy cho biêt những người cân nặng dướ i 57kg của ỉớp nào clệ thấp horn? I

c) Hãy tính giá trị trung bình, độ lệch tiêu chuẩn theo số liệu ctừng iởp.Lớp nào có cân nặng cao hơn? Lớp nào có cân nặng đều nhau hơn?

ĨI. Hình họcChứng minh rằng với mọi tam giác ABC ta đều có:a) bc(b2 —c2) cos A -+- ca(c2 —a2)cosB + ab(a2 —b2)cosC —0

b) 2abc(cos A -f- cosB) = (a -T- b)(c b —a)(c + a —b)c) abc(cos A + cosB + cosC) = a2(p -a) + b2(p - b) + c2(p —c)

ĐÊ 13L Đại số

Câiỉ 1» Chửng minh ràng với mọi tam giác ABC ta có:

( V 5 1 |

i + -Ash i - - 2

Bsin — 2 ;

! + Ị > 27Ị sin — l 2

Ợ rich đề thi vào Đại học Sư phạm TP Hồ Chí Minh - A, B - 20 Câu 2. Chứng minh điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là:

acosA + bcosB + ccosC _ 2pasin A + bsinB + csinC 9R

{Trích đề thi vào Đại học Kiến trúc Hà Nội - 200

o. Hình họcCho A ABC: A(U 5) ; B(~4; -5 ) ; C(4; -1)a) Chứng minh rằng A ABC vuông tại c .

’ e-. BC là chân đường phân giác trong của BAC. Xác định tọa độ

c)E 6 BC là chân đường phân giác ngoài cùa BAC. Xác đinh tọa độ E

86



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





È 14I. Đại số

Câu 1. Tính giá tri của các biểu thứca) A = sin2 50° + sin2 70° —cos50°cos70°

b) B —tan 20° + tan 40° + tan2 0° tan40°. _ ____ . 371 71 3n 271 . 7 tc . 37Cc) c = s in -— .sin—— sin — sin-— + sin -—-sin—-

10 Ỉ0 5 5 10 10Câu 2. Gọi A, B,c là ba góc của tam giác ABC.Chứng minh rằng điều kiện cần và đủ để tam giác ABC đều là có hệ thức

1 1 1 _ f— — t — + —:--------------(cot A + cotB + cotC) = V3sin A sin B sin c

II. Hình họcCho hai đường thẳng ( A) và ( A ’)

a) Tính cosin của góc tạo bởi ( A ) và.( A ’) b) Viết phương trình các đường phân giác của góc tạo bở i ( A) và ( A ’).

Câu 1.Chứngminh rằng toong mọi tam giác ABC ta luôn có:. A B c . B c _ A . c A Bsin — .cos— .cos— +sin-—.cos—.c o s-r + sitt—-COS—-.COS—

2 2 2 2 2 2 2 2 2 _ . A . B . c ■ A B . B c + G A= sin— . sin —. sin + tan . tan + tan tan—+ tan—.tan -—.

2 2 2 2 2 2 2 2 2

ĐẺ 15 ĩ. Đại số

(Trích đề thi vào Học viện Quan hệ Quốc tể -Ả - 2000).

87



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





, . . A - B B - C _ C -Acos-—-— cos—-—cos———

------- 'Ằ ---- Ị---- ---- 2 ----Ị---------2 --- >ọc . A . Bsin— sin— sin — 2 2 2

II. Hình họcLập phương trình các cạnh của tam giác ABC nếu biết t

B (-4 ; - 5 ) và hai đường cao ỉần lượt có phưomg trình:(đi) : 5x + 3y —4 —0(d2) : 3x +8 y + 13 = 0

88



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





P h ẩ n II. HƯỚNG DẪN GIẢ I

H o e k i 1

PHẦN ĐẠI SỐ

Chương L MỆNH ĐÈ VÀ TẬP HỢ PĐỀ KIỂM TRA 15 - 20 PHÚT

ĐẺ 11. a) Câu mệnh ỉệnh không là mệnh đề

b) Là mệnh đề sai ( ỉ 3 71 ià số ỉẻ)c) Là mệnh đề đúng2. a) “Phương trình X2 - 5x + 4 = 0 cỏ nghiệm" b) “Năm 2010 không ià năm nhuận'’c) “Có hữu hạn số nguyên tố”d) “Bắc Ninh không là thủ đô của Việt Nam.''.

ĐẺ 21. a) “210 + 1 = 1025 chia hết cho ĩV' ià mệnh đề sai.

b) 2 n lả số chẵn với mọi số nguyêỉì n ià mệnh đề đúng.2. A => B : “Neu ABCD là hình vuông thì ABCD ỉà hình thoi có ha

đường chéo bàng nhau”.B => A : “Nếu ABCD ỉà hình thoi có hai đường chéo bằng nhau

ABCD là hình vuông”.DỀ 3

1. a) 3n 6 N, n2 - 1 không lả bội của 3. b) 3x € R, X2 —X + 2 < 0.c) Vx e Q, X2 9Ế5.

d) Vn e N ,2 " + l không ỉà số nguyên tố, hay2 n -ỉ- 1 luôn ià hợps .2. A => B :“y/ĩ là số vô tỉ thì Nha Trang lả một thành phố của Việt NamB A : “Nha Trang ỉà một thành phố của Việt Nam thì ỉà số vô tVì A đúng, B đúng nên A => B và B => A là các mệnh đề đứng.

89



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐÈ 41..

Câu Không làmệnh đề Mệnh đề đúng Mệnh đề sai

32 - 1 chia hết cho 5 ị X

SỔ ỉ 7 ỉà sổ nguyên tố j X

Đi nhanh lên! X

Bạn có khoẻ không? X

2. a) “Sổ 1024 không phải ỉ à số chính Dhương”. b) “Số y/ĩ là số hữut r \ ''SỐ v3 ỉà số vô ti”.

ĐÈ 51. “Nếu một tam giác có hai đường trung tuyến bàng nhau thi tam

đó cân”.Mệnh đề này đúng.2 . “Nếu một tam giác có ba đường cao bàng nhau thì tam giác đó đMệnh đề đúng.3. “n ỉà số tự nhiên, n chia hết cho 5 thì n2 chia hết cho 5”. Mệnh đề

này đúng4. “Một số nguyên chia hết cho 2 thì số đó chia hết cho6 ”. Mệnh đề sai.

ĐÈ 6

1 . Giả sử tồn tại a > 0, b > 0 mà a + b < 2\/ãb <=> a + b —2>/ãb<=> (>/ã - Vb) 2 < 0, là điều vô lí. Vậy a + b > 2Vãb, với mọi a, b > 0.

2. Giả sử a ^ b , a + b = 2 mà a < 1, b < 1 thì a + b < 2, vô lí. Nếu a > 1, b > 1 thì a + b > 2 trái giả thiết, vậy a < 1 thì b > 1 hoặc

thì b < I.ĐÈ 7

1. A u 3x e R mà X2 = r ' là mệnh đề đứng. A : “Vx e R, X2 ^ 1”.2. B: “ 3n e N thì n(n + 1) iả sổ chính phương” là mệnh đề đúng.

B : “Vn e N, thì n(n +1 ) không ỉà số chính phương”.

3. C: “Vx £ R thì (x ~ I) 2 & X - 1 ỉà mệnh đề sai.

c : t43x <ER mà (x - l) 2 = X —I

90



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





4. D “Vn e N thì n2 + 1 không chia hết cho 4” là mệnh đề đúng.D : “3n € N thì n2 + 1 chia hết cho 4”.

1. Có một học sinh lớp em không thích môn Anh Vãn.

2. Tất cả học sinh lớp em đều đã đi tàu hoả.3. Có một bạn học sinh lớp em không biết đá bóng.4. Tất cả học sinh lợp em đều biết sử dụng máy tính.

È 9

1. A = jo ; 2; - l ị 3. c = {2; 3; 4; 5}

2. B “ {0; 2} 4. D = 0

Ề 101 . A —{ X e z Ị X —4k — 1, k € N; 1 < k < 5 }2. B = { x e N ị x = n2 +2 , n e N ; ỉ < n < ố }3. C = { x e N | x = n 2 - 1 , n e N ; l < n < 6 }

4. D = i x < = R | x = — — n e N; 1 < n < 5\ 1 2n +1

Ề 111. Ta có: B = {5; 3; 1}v à A ={ỉ; 2; 3}A = B là sa iv i 5 e B,5 Ể Acòn 2 € A nhưng 2ể B.2. a) Ar\ B là tập hợp học sinh lóp 10 của trường mà theo học Tiếng Anh.

b)A u B là tập hợp gồm các em học sinh lớp 10 hoặc học sinh họcếng Anh của trường.

c) A \ B ỉà tập hợp học sinh lớp 10 mà không học Tiếng Anh.d) B \ A là tập hợp học sinh học tiếng Anh của trường nhưng không

ọc lớp1 0 .È 12

* A \ B = {2;6 }, B \ A —{1; 7} => (A \B ) u (B \A )= { 2 ;6 ; 1;7}Vậy M = {1; 2;6 ; 7}.* A u .B = ft4 ;6 ;l;7 } ,A n B={4}=Í>(A u B )\(A B)={2;6;1;7}Vậy N = {1; 2;6 ; 7} => M = Nlàđúng .

Ề 8

91



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* A \ B = { 1;5 ;7 ;8 }, B \A = { 2 ; iO } , A n B = { 3 ; 6 ; 9 }=> A = {1; 5; 7;8 ; 3; 6 ; 9};B - {2; 10; 3; 6; 9}.

ĐÈ 14

A =

1. Sai số tuyêt đối A của số gần đúng là7

22 {3,1415 - 3,Ỉ429| = |-0,0014ị = 0,0014.

VậyẠ <0,0014.2. Bấm máy tính y fĩ « 1,25992105

Chính xảc đến hàng phẩn trămĩ f ĩ « 1,26;

Chính xác đến hàng phần nghìn IÍ2 « 1,260;

Chính xác đến hàng phần vạnịỈ2 ĨV ỉ, 2599;Chính xác đến hàng chục vạn yÍ2 « 1,25992. ;

ĐÈ 15Chu vi của tam giác ỉà p = 6,3 + 10 + 15 = 31,3 (cm).Cận trên của sai số tuyệt đối là 0,1 + 0,2 + 0,2 = 0,5

p = 31,4cm ± 0,5cmVì 0, 1 < 0,5 < 1 nên chỉ có 2 chữ số chắc là 3 và 1.Vậy cách viết chuẩn là p = 31 cm.

ĐÈ 16V = 180,57cm3 ±0 , 05cm3.Thi 0,01 < 0,05 <0,1 nên chữ sổ hàng phần mười ià chữ s

các chữ số1 , 8 , 0 , 5 là chữ số chắc.Vậy viế t theo chuẩn là V = 180,6 cm3.

ĐỂ KIỂM TRA 45 PHÚT ĐÈ 1

Câu 1 . a) E = {x Ịx e z và2x2 + 3 x -5 = 0} - {!};F = {x Ịx e z và Ịxj < 3 } = {-3; -2; -1; 0; ỉ; 2; 3};G = {x |x e RvấX2 + 1 = 0} = 0 .

92



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





b) A = {3; 5: 7; 9; ỈĨ; 13} = {x jx € z và X - 2k + 1; k e N, 1 < k < 6 };

B - {1; 2; 5; 10: 17; 26; 37} = { x e N Ị x = n 2 + l ;n e N, 0< n <6 };

1 1 1 1 I „ 1c = = {x SEK!x n -- N, 1< n <6 }.

' 4 9 16 25 36 n2

Câu 2. A = {x e R Ị-3 < X < n }; 8 “ [5; 15)a) A k j B = [-3; 15); A r> B = [5; 11]

A \ B = [-3; 5); B \ A ~ (; I: ?5) b) A n D = A \ B = [-3; 5) D [a; 5)VỞÌ a.<- 3.

, i ỈTĨ < —3 i"Hi < 3c) Cho c = [m; 20 + m] đế A t= c <>ị „<=> ịi 2 0 -i- ÍÌ1 > I 5 it fi > - 5

Vậy m e [-5 ;-3 ].d ) Đ ể c \ A c h ứ a X = (1 1 ; 15 ] = > X c c v à A<2 c

=> c —(11; 31).ĐẺ2

C âu 1. a) E = {x |x € z và 2x2 +■5x •+- 3 = 0} r"{-« };

F = { x |X e z v à Ịx ~ ] | < 2 .} = { - Ĩ : 0 : 1: 2 : 3}.;

G = { x j x e R và 4x 2 -r\ - 0 } ~ 0 .

b) A —{2; 4; 6; S; 10; 12} =■- {x e N ịx - 2k. k * N? i <k < 6 };B = {0, 1,4, 9, 16, 25} = - { x e N . X .-r rr . n e N. 0 < n< 5 }:

c = } - {x e Rix - r? J>\ 0 < n < 4}.2 5 10 17' n ^ >

Câu 2. A = { X <5R ; —5 < X < 10 }; B = [7:13).a) A KJ B = [5; -13); A n B = [7; 10]; A \ B =[-5; 7]; B\A = (7; 13). b) A n D = A \B = [-5; 7) =i> D = [a; 7}- vcri a < - 5.c) Cho c = { X e R Ị X > 2m -i- I }. Để Acz c thì

2m + Í < —5 => m < —3.

d ) Đ ể c \ A c h ứ a X = ( 1 0 ; -í-c o) th ì 2 m -t- 1 < 1 0 <=> m < ~ .

93



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Chương IL HÀM SỐ BẬC NHẤT VÀ BẬC HAI

ĐẠI CƯƠNG VỀ HÀM SỐĐỀ 1.

1. a) y = yị2 —X +<Jx - 1 có D = [1; 2].

b>y = 7....... Ts cố D = R\{-2; 1} =(-oo;-2) u (-2; 1) u(l;+co).(x - l)(x +2)

c) y — có D - [ 1: + 00 ) \ {3} = [1; 3) ư (3; + 00 ).X - 3

d) y = —— —- có Đ —R = (—cc; -r00 ).. X — X -i- ỉ

2. Cho X] > X2 ta có V: ~ 3xj - 5; y'2 - 3x2 ~ 5 => y, - y2= 3(Xj —x2)=> y, > y2 => y ỉà hàm sé đồng biến.

ĐÈ 2. Cho y = X24 2x - 2 ìấy Xj. X7 e( - 0 0 : -1 ) nghĩa là Xi; X2 < -1

Khi đó y, = X? 4 2X; - 2 ; y2 = x“ + 2x2 - 2

^ Yi _ v 2 - x? " + 2(Xj - X,) = (Xj - x ,)(x , + X, + 2 )Do X] < —ỉ, X2 < - ỉ => X, + x 2 < - 2 =>X; + X, + 2 < 0

Vậy nếu X! > X2 thì > Vi và nếu X; < X2 thi Ỵ2 < y;.Do đó, trên (-0 0 ; - ]) hàm Vđă cho ỉà nghịch biển.Tương tự X; > -1, X2 > - ỉ => Xi +*2 +• 2 > 0 nên Xi > X2 tìii y-] > y2 và

ngược ỉại y đồn« biến trên khoảng (-1; -i-ao).ĐÈ 3- a) V = Ịx+ 2Ỉ - ỉx - 2j có tập xác định D = R;

y ( —x ) = | - x + 2| - ị - x -2\= Ịx - 2| - Ịx + 2| = -(ịx + 2ị - |x - 2|) = -y (x ).

Vậy y là hàm số lẻ. Viết lạí công thức biểu diễn như sau:r 4 vóiX. > 2!

y = |x + 2| - Ịx - 2i = ị 2x với —2 < X < 2[ —4 v ớ i X < — 2

94



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Ị

È 4. a) Xét y = — í— trên khoảng ( — 0 0 ; 2 ).X - 2

LấyXj < 2; X2 < 2; X]^ X2 =>Xi + X2 < 4. Khi đó:

y' y* _ X, - 2 x2 - 2

b) y = Ịx +2 ị + Ịx - 2 ị có tập xác định D = R do y(—x) = y(x) nên yhàm số chẵn, viết lại công thức biểu diễn của y như sau:

y —Ịx +2\ — Ịx —2ị =

2x vớiX > 2

4 vớ i —2 <X < 2 —2x vóiX < —2

~ x’ Yĩ - y 2 = z l < 0

^ y ‘ (x, - 2 )(x 2 - 2) X, - x 2 (x, - 2)(x, - 2)

=> hàm số đã cho nghịch biến trên ( — 0 0 ; 2 ).Làm tương tự ta có trên (2; +00 ) hàm y là nghịch biến,

b) Cho y = X2 — 6x + 5 xét trên khoảng (-co ; 3) lấy Xi < 3; X2 < 3, x2 ^ Xi + X2 - 6 < 0.

Khi đó

y 5 - y2 = x ? ~ 6x, - X* + 6x 2= (x f - X2 ) - 6(Xj - x2) = (Xj - x 2) (Xj + x 2 - 6)

=> — ---- = xt + x2 —6 < 0.- x2

Vậy hàm y là nghịch biến trên ( — 0 0 ; 3).

Làm tưcmg tự trên (3; + 0 0 ) ta có — ----™ = Xj 4- x2 - 6 > 0 nên y làXj - x2

ng biểnÈ5.

1. Quy tắc đặ t sổ thực dương tương ứng với căn bậc hai của nó thi doỗi số thực dương có 2 giá tri căn bậc hai đối nhau. Quy tắc này khôngượe gọi là hàm số.

2. Gho y — X2 xét trên tập [—2; 2] là hàm chẵn vì tập xác định vừa chứavừa chứa —X và y(—x) = y(x).

Xét trện tập [—2; 4] đù D chứa 4 mà không chứa —4 nên y là hàmhông chẵn trên tập này.

95



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





HÀM SÓ BẬC NHẤT _ 3

ĐÈ 6 . y = -s/3x + lvà y =- ~ x — 3 là 2 đường thẳng song sonV3

số góc bàng nhau.

y = -SỈ3*

hệ số góc là — 1 .

y = \/3x + 3 và y = — 7=x + 4 là đường thẳng vuông góV 3

y = —V3x + 2 và y = —p X —5là đường thẳng vuông góc.\/3

ĐỀ 7. y - ị2x —3ị + 1 <=>2 x — 2 vớix >

3 3Trên (—; + co) y là hàm đồng biến. Trên (-<x>; —) y là hàm2 ^ ' 2

biến. Đồ thị của y là nét liền hình vẽ 18a.X — 5 v ớ i X > 1

ĐÊ 8 . y =3|x —lỊ —2ịx + l| <=> 1 —5xvớí —ỉ <X < 15 — X v

y đồng biển trên tập(- 0 0 ; - 1) và ( -1 ; 1 ).Đồ thị của y là đường gấp khúc néí liền ờ hình vẽ 1 Sb.

96



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





HÀM SÓ BẬC HAĨ'ĐẺ 9. Cho y =X 2 - 4x + 1:

Xét trên khoảng (2 ; +c o ) l ấ y X j> 2; X > 2;X i ^ X .

\ Ta có:ì yi - y2

có:- y 2 = (x* - 4Xj + 1) -(*3 - 4 x2 + 1) = (x, - X2)(X! -ỉ- x 2 - 4)

— - — = Xj + x 2 — 4 > 0 = > y đ ồ n g b iế n t r ê n ( 2 ; 4 -0 0 ) .X, - x 2íị Nếu Xi-ặ X2 , Xi < 2; X2 < 2 thì — ---- — = x , - ỉ -x2 —4 < 0 = > y ngh ịch[ X, “ x 2Ịbién trên ( —00 ; 2).Ịđ ề 10.ỉ Cho y = X2 —2mx + 1 xét Xi Ạ X2 ta có:

! yi - y2 =(X1 ~ X2>(X1 + x 2 “ 2m)- Nếu X, , x 2 e (m ; + co) thì X, + x 2 - 2m > 0 — ---- — > 0

X, - x 2=> y đồng biến.

Nếu X, , X, € (-QC ; m) thi X, + x 2 - 2m < 0 :=> — ---- — < 0X, - x 2

=> y nghịch biến.

Vậy y đồng biến trên (m ; + co) và nghịch biến trên‐ ; m).1 .

a) Cho y — 2 x2 —5x +1 đỉnh Parabol —— ; —— ì i f ■V 2a4 a J . V

5True đôi xứngX = —. Giao với Oy là A(0; 1).4

Điểm đối xứng với A là B(—; 1).

4 8

^ _ I yGiao điểm của Paraboỉ với Ox ỉà B-----------; 0 và c

4V / b) Cho y = —X2 + 4x + m đỉnh Parabol ĩ(2 ; 4 4“m).

5 - > / Ĩ 7 . n ì . , iẮ S +_VĨ7V 4 ; 0

97



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Trục đối xứng X = 2.Giao với Oy (0; m) có điểm đối xúng ỉà (4; m).Giao của Paraboì với Ox: A’ = 4 H- tnm < —4: thi Parabcl không cắí Ox ’m = 4: thì Parabol cắt Ox tại 1 đỉểm X= 2m > —4‘. thì Parabol cắt Ox tại 2 điểm (2 ±-sj4 ~ m ; 0)

ĐÈ 12.y = X2. Tỉnh tiến đồ thị theo Ox sang phải 2 đan vị được đồ thị

y = (x — 2)2; tịnh tiến Ov ìên phía trên 3 đơn vị được đồ thi củy —(x — 2 ) 2 T 3 . Vậy sau2 lần tịnh tiến ta ổược đồ thị của hàm sô:

y = (x —2)2 + 3 - X2 ~ 4x + 7.

Bấ 13.y = X2 - 2x 7 = (x - I ỷ + 6. Vậy đồ thị y = X2 phải tịnh tiến theo Ox

sang phải 1 đoTỉ vị sau đỏ tịnh tiến theo Oy lên ưên 6 đơn vị.

ĐỂ KIỂM TRA 4$ PHÚT ĐÊ í.

Tâm hình vuông ỉà gốc 0(0; 0). Một đỉnh là A(3; 0), đo đó 4 đỉnh đcách o 3 đơn vỊ nên 3 đính còn lại: B(-3; 0) và D(0; -3) .

Hàm số bậc ĩỉhẩt y — (XX + 8 qua À và B sẽ ĩhoả mãn[3 a + p - 0 íp --- 3 < =>41 3 - 6 [ữ. = - '1

Đường thẳng AB ỉà đề thị hàm3ố V= —X 3.Tương tự. Điròng thẳng CĐ ìà đề thị hàm sổ y = —X —3.Đường thắng AO là đồ thị hàm sổ ỵ = X- 3.

Đường thẳng BC lả đồ íhị hàm số y = X+ 3.ĐẺ 2 ,3 , 4, 5.. Bạn đọc íự làm.

98



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Chương ỈỈL PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

ĐẠI CƯƠNG VẺ PHƯƠNG TRÌNHĐỀ 1. a) X + y/ĩĩ —1 —' 3 + */x —1.

Điều kiện có nghĩa của phương trình là X > 1.Khi đó phương trình đã cho <=> X = 3 (thoả mãn điều kiện) => phương

rình có nghiệm X = 3. b) X + t ] x ~ 2 - 1 4- - 2.

Điều kiện xác địnỉi của phương trình là X > 2. Phương trình đã cho<=> X - ỉ (bị loại), vậy phương trình vô nghiệm. ĩí 3c) Ị— = — 7 ...—=■■Điều kiện xác định X > 5

2*Jx —5 y j x - 5X Ố phương trình đã cho <=> = = -' r = <£> X = 6 (thỏa m

2^/x - 5 2 yjx - 5điều kiện), vậy phương trình có nghiệm X =6 .

X 1d) —— 7=—=- — — 7 — . giải tương tự câu c được X = 2 < 5 nên bị ỉoại2^/x - 5 ^/x - 5=> phương trình vô nghiệm.

1 2x + i »e) X T —-— =-----. Điêu kiên xác đinh X 1, phương trình đã choX - 1 X -1

2xương đương với phương trinh X = - <=> X2 - X = 2x

X - 1

<=> x(x —3) = 0<=> X —0; hoặc X = 3 íhoả mãn X =£ 1.Vậy phương trình có 2 nghiệm X = 0; X = 3.

ĐÈ 2. a) V2x = V—2x, tập xác định D = {0} khi đó VT = VP = 0 =>phương trình có nghiệm X —0.

b) X + V x -2 = y/2 - X +2 , tập xác định của phưcmg trình là D —{2}.Với X = 2 thì VT = VP = 2 nên phương trình có nghiệm duy nhất X —2.

99



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c) ----------= X + J3 —X, vể trái xác đinh với X > 3 vế phả3 — X

định với X < 3 , nên tập xác định của phương trình là tập 0 , vậy ptrình vô nghiệm.

d) X -ỉ- ựx —! = X, vế trái xác định vói X > 1 vế phả i xácX < 0 vậy tập xác định cửa phương trình là tập 0 phương trình vô ng

e) X + tjx. — 3 —1 -f -y/3 —X . Tập xác định của phương trình{3}, khi đó suy ra X = 1 3 nên phương trình vô nghiệm.ĐÈ 3.

a) 2(m + ỉ)x —ĩiì(x -1 ) “ 2m + 3 <=> (m + l)x —m + 3. Nêu m = - I phương trình lầ o.x = 2 nên vô nghiệm.

Nếu m * - ĩ phương trình có nghiệm duy nhất X = —- .m + 1

b) m2 (x - 1) +3mx = (m2 + 3)x —1 <=> 3(m - l)x = m2 - 1 Nếu m = I phương trình có dạng o.x = 0 nên đúng với Vx e R

phương trình vô sổ nghiệm.

Nếu m ^ i phương trình cỏ nghiệm duỵ nhất X == m +

c) (m +■l)x — (x + 2) = 0 mx- 2 vô nghiệm khi m —0.đ) m2x - m = 4x - 2 <=> (m2 “ 4)x = m - 2 vộ sổ nghiệm vợi

vì khi đó phương trình là o.x =0 .

PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẤT VÀ BẶC HAIĐẺ 4.

a) X2 —5,6 x + 6,41 = 0 => .bẩm máy tính ta fxj =3,995826074...

jx 2 = 1,604173926...

Lấy nghiệm chính xác đến hàng phần trăm thì Xj » 4,00 x2 » 1,60 b) a/2x2 + 4\/3x —2 yf ĩ — 0 bấm máy ... tính ta đ

íx, =0,378937382... - *\x* =-5,277916868...

100 .



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐÈ 5.a) (m “ l)x2 + 7x - 12 = 0.

12* m = ỉ phương trìnhcó nghiệmX - — .

Lấy ngh iệm chính xác đến hàng phần írăm thỉ :ĩ: - 0.38; x 2 » -5

* m ^ ỉ, A = 49-ỉ-48(m - I}= I + 48m.

X =

• m = — — phương trình có nghiệm kép X = ™ .48 & ® 7- 1 , , , , ^ -7 ± Ạ + 48m• m < — - phương írinh có 2 nghiệm X =---- —— -----------.

48 õ 2(m —1)

• m > — — phương trình vô nghiêm.48

b) mx2 —2(m4- 3)x + m +6 = 0.

• m —0 phương ưình có nghiệm X= 1.* m ^ . 0 d o a + b + c = 0 nên phương trình có nghiệm X = 1 và m 4- 6

mr mx - 2=0 (1)c) (mx —2)(2mx —X+1) = 0 <=> Ii_(2m - l)x + 1 = 0 (2)

2Phương trình (1) vô nghiệm khi m = 0 , có nghiệm đuy nhât X =ra

với m 0 .1Phương trình (2) vô nghiệm khi m = —, có nghiệm duy n

X = — -— với m ^ .1 —2m 2 Kết luận:m = 0 p ' 'Ig trinh có ỉ nghiệm X = 1.

m = — :2 trình có ỉ nghiệm X= 4.2

1 2 m ^ 0, m* —phương trình có 2 nghiệm X, = — và X, =2 m l — 2 m

101



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2 . 2 ìChú ỷ răng: Nêu m = — thỉ = 7 — khi đó phưomg trình đã cho5 m • — 2m

cỏmộtnghiệmX = 5.ĐẺ 6 .

X 2 — X — I = 0

bS, = X, -t- x2 ! va. X, Xa

s , = + X* = (x, T x-ỵ)"" - 2x5x., = I~ - 2{—l) —3;

S3 = xf + X* —(x, + x,)(x? —x,x, -7- x^)—1(3 + 1) = 4;

S4 = x S x ỉ = (X? + x; ) 2 - 2xfxỉ = 32 - 2 ( x1x2.)2 = 9 - 2 ( - l) 2 =7.

Có thể chửng minh Sn = xf + X*,' nguyên với mọi n vì ta có công thdạng truy hồi sau:

SB - Sn_ị - sn_2 = 0 => Sn = SB.s + Sn_2.ĐẺ 1.

Phương trinh X2 + (4m + !;x + 2(m - 4) = Obiết phương trình có nghiệm XJ,X2

Ịxj -r X, = ~(4m +1) (1)

Theo Vi~éíCã có ị XjX2 = 2(m - 4) (2)[x! - X , =17 (3)

Từ (3) suy ra (xj - x2) 2 - 172= 289 <=?■ xf + x ị - 2 xjx, = 289<=> (xị + x2)2 - 4 X]X2 = 289<=> (4m + l) 2 - 8(m -4) = 289<=> 16m2 = 256 <=> m2 = 16<£=> m ~ ± 4

ĐÈ 8 .Cho kx2 - 2 (k 4- l)x + k +2 = 0a) * Nêu k —0, phương trình bậc nhất ~2x + 2 = 0 => X = 1 > 0 (ứioà m* Nểu k 0 , phương trình có A' = (k+ 1) 2 —k(k + 2) = 1 nên phư

trìrr 'iôn có 2 nghiệm phân biệt.

102



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Cả 2 nghiệm đó đều dương nếu

V ^ — > 0a

-*■>0a

r k + 2

<=>> 0

k 2 (k + 1) thoả mân

>0

ới k >0 hoặc k < — 2 .Có 1 nghiệm dương 1 nghiệm âm<=>k(k + 2)<0<=> - 2 < k< 0. b) Đặt y = X —1 nếu x > ! t h ì y > G , X < 1 thì y < 0Khi đó phương trinh k(y + l)2 —2(k + l)(y + l)+k+ 2 =Q trở thành

y=0ky — 2 y =0 <=> y(kỵ — 2 ) = 0 <=>

y = ± ( k * 0 )

hương trình luôn có 1 nghiệm X —1 có thể thấy điều này qua 3 hệ số củahương trình a = k, b = - 2 k — 2 , c = k +2 => a + b + c =0 , vậy phươngrình luôn có nghiệm X = l s nghiệm còn lại là:

ĐỀ 9.PHƯƠNG TRÌNH QUY VÈ BẬC MỘT VÀ BẬC HAI

2(x2 - 1) X + 2 - . 5. . 1a) —_ ---- — = 2 ———— Điêu kiện x ? Ế - ~2x +1 2x 4-1 * 2

P To 2{- ý z D . = 4 x + 2 ~ x ~ 22 x + 1 2 x + 1

2x2 —2 = 3x <=> 2x2 - 3x - 2 —0X = 2

<=> ỉ Vây phương trình có nghiêmX = 2.x = (loại)

, V 2x —5 5x —3 t b )------- —= — ------ —. Điêu kiện "X —1 3x+ 5

X 9* 15 = > x ể{1

X íế- 7 33 " .

PT o (2x - 5)(3x + 5) = (x - l)(5x - 3)<» 6 x2 + lOx —15x - 25 = 5x2 - 5x —3x + 3

103



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





<=>x + 3x - 28 <=>A ---- ----- /

X = 4 (thoả mãn điều kiện)

Vm 3 _ 2 _ Iĩi —3 ,c )------ 7 = m —m — 6 => —-——= (m - 3)(m + 2).X ~ 4 X - 4 ^ '

Điều kiện 4.* Nếu m = 3 phương trình đúng Vx9*4. Phương trình có

nghiệmX e R vóiX Ỷ 4

* Nêu m = —2, phương trình trở thành ^X - 4

= 0 , phương

vô nghiệm.* Nếu m-ệ. 3; mỶ - 2 phương trình trở thành

= m + 2=>X - 4 =X- 4

<=> X= 4 +

ĐÈ 10.

a) |2mx + 3| = 5 <=>

m + 2

4 m + 91 4 in + 9 . _ _ _ _A - ị - — -— =------ — (thoa mãn điêu kiệnX f 4 )

m + 2 m + 2

2 mx + 3 = 5<=>

2 mx — 2

2 mx —— 8<=>

mx = 1

mx = —2 m x + 3 = — 5

* m = 0 cả hai phương trình trên vô nghiệm,vậy phương trinh vô nghiệm.

1 * m Ỷ 0 câ hai phương trình đêu có nghiệmXj = — ; x2 = m Xj * x2, Vm* 0.

Kết luận m = 0 phương trình vô nghiệm; m ^ 0 phương nghiệm Xj = — ; x2 = ——.

m m, . 2 m x - m 2 + m - 2 , t _ , ,b ) ------------------ ------------------------= 1 . Điêu kiênX 1 .

X — 1

Khi đó phương trinh đã cho tương đưcmg với phương trình2m x — m 2 Ỷ m - 2 = X2 — 1

<=> X2 - 2 m x + m 2 - n i + 1 = 0 , A ' = m - ỉ .

104



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* Nếu m < 1 => A' < 0. phươn-2 trình vô nghiệm.r b* Nêu m — 1 =í> A’ = 0, phươn" trình cỏ nghiệm képX = — — = 1

2 a(loạivì X 1).

* Nêu m > 1 => A' > 0 ohưcms trình có 2 nshiệm X] = m - yịm —1;x2 = m + y ị m — ĩ.

Do m > 1 => x 2 = m + V ra - i > 1r=> x 2 ” m + Vm —1; là nghiệmX é t X I = ĨĨ1 - J m - 1 = ỉ <=5- m = 2 .

Vậy m = 2 phưcmg trình có nghiệm X= X,m > l;m* 2, phương trình có 2 nghiệm A,. x2

ĐÈ 11.a) (2x + m —4)(2mx -X + m) = 0

2x + m —4 = 0 ỉ"2x = 4 —m (1)<> <n>|_2mx — X + m = 0 i_(2m- i ) x = - m (2 )

4 —mVm phương trình (1) luônc ó nghiệmX =*

* m = ” phương trình (2 ) vô nghiệm

2

m Ỷ — phương trình (2)c ó nghiêm duy nhấtX = ------~ — .2 2 m - 1 1 - 2 m

Ta xét — --- — = — —— (4 - m)(l - 2m) = 2m (với mỶ —)2 1 - 2 m 2

<=> 2m2 —9m + 4 = 2m■o- 2m 2 - 1 lm + 4 = 0

11 ±>/894

4 - mKết luận m = — phương trình luôn có ỉ nghiệmX =2 2

_ 1 1 ± 7 8 9 , _ . , . , , 4 —m = ---- ——— , phương trình ỉuôn có nghiệmX =1 - 2m

105



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





m Ỷ — vả m -* , phưong trìnhluôn có hai nghiệm phân biệ

4 -- ỈT* ĨTỈ

x ~ 9 í - 2 m *

, ■íXiX "T X i —X b) !m:< -7- 2x —I| - Ị.v <-"■> ịỊmx + 2x - ỉ = -X

ị-i’m -í- l)x -• 1 V;Ị Í'ỈT; -f- 3'ỉX = l (2)

m = “ 1 phương trình (:) vô nghiệm, phương trình (2) có nghiệmX = ỉ

1m = —3 phươngưiiái(2)vô nghiệm, phươngtrìỉxh (l) khi có nghiệmX = - —

m Ị - 1 và m ^ - 3 cả 2 phương trình đểu có nghi

1 yví -f- 1 5/53_ - Ị- '>

Kết luận:

m = “ 1 phương trình có nghiệm %- —;

m ——3 phương trình có nghiệm X= ——;2, , ; ^ _ _ _ . . . _ 1 _ _ 1m f “ Ị m # - 3 phirơngtrinhiiiôncó2 nghiệmX = --------; X =

m + 1 m + 3

c) (rox - 2)v-x - Ĩ= 0 <=>- | ỊV/X“ 1 = 0 (I)11 ÍĨ1X - 2 = 0 (2)

Phương trình (1) luônc ó nghiệmX “ 1.Phương trinh (2) vô nghiệmkhỉ m = 0 và m ^ o phương trình (2) c

Nghiệm X — - của phươngí r ì n h (2) là nghiệm cùa phương trình đãm2 -cho khi và chỉ khi “ >1 do đó 0 < m < 2. Đo đó ta có kêtluận sau:m

106



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Kết luận: rxi <0 hoặc m >2 phương trình đẵ chc vô nghiệm,m = 2 phương trình có 1 nghiệm ỉàX ~ 1

2m £ (0; 23 phương trình luôn có 2 nghiệmX - 1 vàX — — .m

12,a) —— - m - 2. Điều kiện XỶ 2.

X — 2

3* Nêu m —2 phương trình có dang —-— = 0 nên vô nghiêm.X - 2

1 0 3* Nêu m = — phương trình có dang —-— = - — nên vô nghiêm.2 X - 2 2

* Nếu m 2 v à m ^ — phương trình có dạng

2 m —1 „ 2 m - 1 4m - 5X - 2 = —— -----<=> X = 2+ ——— - = — --------.m — 2 m - 2 m - 2

b) (m + Điều kiện X'-ậ - 3.7 X + 3

Vói điều kiện đỏ phương trình đã cho <=> mx + X + m - 2 = mx + 3m

<=> X = 2m + 2.5

Xét 2 m + 2 ^ - 3 = > m ^ - —.2

5Kêt luận m = - — phương trình vô nghiệm.

m 5Ế— — p hươn g t rìn h ỉu ô n c ó n g h iệm X = 2 m + 2 ( th oả m ã n đ iều

ệnX

^-

3)mx + 1c)X — 1

= ra. Điều kiện m > 0 v à x ^ 1

* Nêu m = 0 phương trình cỏ dang7— -— 7 = 0, phương trình vô|x - 1|

hiệm.* Nếu m > 0 phương trìnhcó dạng

107



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





mx + ìX —1

— m <=>

mx + 1

X - Ỉmx + 1

= m ( l )

X - 1= - m (2 )

. Phương trình (1) mx + 1 = mx - m <=> m = —1 (loạihợp này không xảy ra.

Phương trình (2) <=> mx + 1 —- mx + m <=> 2mx = m - l

Nghiệm này thỏa mãn nếu —— -1 với m > 0 => 2mỶ m - 12 m

=> mỶ — 1 (thoả mãn vì m >0 )Ket luận: m < 0 phương trình vô nghiệm;

m > 0 phương trình luôn có nghiêm X = —— - (ửioả mãn điề2 m

ĐẺ 13,

a) 4x2 - 12x - 5t/4x2 - 12x + 11 +15 = 0. Điều kiệ phương trình là 4x2 —12x + 11 > 0 thoảmãn Vx vì A = 36—44 <

Ta có phương trình: 4x2 - 12x +1 1 - + 4 =

<=> t2 —5t + 4 = 0, với t = yj4x2 — 12x + 1 1 > 0. Giải phươần t ta có t i = 1; Ỉ 2 = 4 .

Với ti = 1 <=> 4x2 - 12x + 11 = 1 0 2x2 - 6 x + 5 = 0 vô ngA < 0.

Với t2 = 4 <=> 4x2 —12x + 11 = 16 <=> 4x2 —12x —5 = 0 _ _ 6 ± V56<=> X = — — — .

b) X2 - 4 x - 3 |x - 2 | + 4 = 0

íx > 2

[x2 - 4x - 3(x - 2) + 4 = 0Jx < 2

l y - 4x + 3(x - 2) + 4 = 0X ~ 2 ; X = 5X = —1

<=í>

<=>

|x > 2

[x2 - 7 x + 1 0 = 0

jX< 2

X2 — X — 2 — 0

Vậy phương trình có 3 nghiệmX = - 1; X = 2;X

108



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c) 4x2 +X2

2 x - 1 - 6 = 0 .X

Điều kiện X 0 Đặt 2 x - —Ị—t > G.I x l

Khi đó't2 = 4x2 + — 4. Phưcms trình đã cho trỗ' thànhX

t2 + 4 + t — 6 = 0 <=> t2 + t - 2 = 0 => t - 1 và t =■■- 2 (!

Vớit = 1 ta có4x2+ ~ —4 - 1 4x4 - 5x2 + 1 = 0.X

| " u - lLại đặt X2 —u > 0, ta có 4u2 - 5a + i = 0 » Ị I

■ u —--L 4

Vây phương trình có 4 nghiêmX = ± í vàX = — .2

HỆ PHƯƠNG TRÌNH BẬC NHẮT NHIỀU ẲNĐỀ 14.

a)4 1 _ * —■+ —-— = 3X y — 1 Điểu kiệnX Ị 0 và yi- ỉ -2-- 2

- - - - - - - - Ị

X y - 1= 4

X y -1r

r. +_ -1 ị u = — [x = 314u + t —J j > !

Ta có hê mớiìà < ^ I ^ H , 312u 4 - 2t = 4 I 5 Iy - 1 = ~lt = 3 1 5

íx = 3Vậy hệ có nghiệm -Ị 8 (thoả mãn điều kiện)

r = 53(x + y) =7

b )X —y ,Điềukiệny -ệ. X.

5x —y _ 5

oại vì t >0 ).

109



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Với điều kiện đó, ta có hệ phương trình tương đương4- 3y —7x - 7y

Ị l5x —3y - 5y - 5x

<=>]4x = I0y ị 2x —:Sy 25<_ ị ’ ——y - 2y <=> y = 0 =>X =[20x - 3> [5x - 2y 2

(không thoa iTiăiO-Vậy hệ đẽ cho vô nghiệm.

ĐỀ IS.&) Giải hệịX —Tù. y

ị Ị. ____Ị; - — 211ị * = n r - í = (ni ~ í)(m -i-ì)ịm —1Ị

- mD * « | ' _ S! U s n ( s i r l )

Ịm ~ị-1 —II

Dy= ị = ĩíi ■*-m m -í-11

m ^ ± 1 => D ^ 0. hê có nghiêm duy nhât X- ——1— ;V =m - 1

m = - I => D = Bỵ " - Dy ■'0 hệ cỏ vô số nghiệm dạng x + y

m = I => Đ —0, Dx ù Ị Đ>, ^ 0 hệ vô nghiệm.[ 2mx -Ị- 3v =• 5

b) <!/m 4- l)x + y = 0

|5 3j

Dx~ 0 3 - s

2m 3;

Dy =ị 2m 5j

, jịĩĩì -h I Oi

= - 5(m -rì)

- 5 —S ^ D ^ O . hệc ó nghiệm duy nhấtX = ------- — - ; y =■m -r 3

m ——3 => D = 0, Đv -= 0 hệ vô nghiệm.

1 ■

m — 1 — 0 .

5(m + 1) m + 3

110



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





X -f y 4- z = i I fx -t -y + z = n —3y —z = —17 < > i y + 2z = 9 —y - 2z = —9 [5z = 10

Ẻ 16.Cách 1.fx + y + z —IX<2x —y + z —5 <=><[3x + 2y + z —24

z —2o <1y = 5. Hệ có nghiệm (x; y; z) = (4; 5; 2).

X = 4

Cách 2. T ừ x + y + z = l l SUV ra z —11 —X —yf z = 1 1 —x —y

Thav vào (2) và (3)ta được j X - 2y = - ó[2x + y = 13

fx - 2y = —ốÍ2x —4y - —12 . Í2x + y ='13Xét hê ị <! <=>< ■Ì2 x + y = Ĩ3 Ì2x + y = 13 15y = 25

Vậy y = 5È 17.

X —4 => z —2.

íx 2 + V2 -í- X + V = 8 _ _ _ ị . ĐặtX + y = S; xy” p ta c ó h ệ

Ịxy + X + y = 5f f s = - 6

rs—6_Jip«n:=2>ỉị_s = 3 ị fs = 3

s + p =5 _ s 2 - r 3 S - I 8 =0 =>ị

íS2 + s - 2P = § [s = 3 1 ís = 3'1 p = 2

Vói s = — 6 fx + y = — ố

p = l l xy = 11

X và y là nghiêm của phương trình

T2 + 6 T + 11 = 0vô nghiệm vì Á < 0.

Với s — 3í p = 2

X + y = 3.xy = 2

X và y ỉà nghiệm của phươngtrình

2 —3T + 2 = 0 => Ti = 1;T2 = 2.Vậy x = l í h ìy = 2v àx = 2 th ìy = I .Hệ phương trìnhcó hai nghiệm (x; y) = ( ỉ ; 2) ; (x; y) = (2; 1)

111



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





b)X - y = 2X 2 + y2 = 164Thê X —y + 2 vào phươngtrình sau ta có

y2 + (y + 2) 2 = 164 <=> y = - 10 ; y =8 .V ớ i y = - 1 0 =5- X = - 8 .

Với y =8 => x = 10.

=> Hệ có hai nghiệm (8 ĩ 10); L(x ; y) =( 1 0 ; 8 )

Có thể bình phương phương trình thứ nhất ta coX2 + y2 - 2xy = 4 => xy - so.

_ , íx + (—y) =2Ta có hệ ị ^ khi đóXvà —y là nghiệm của phươ

bậc hai T2 - 2T —80 = 0 có nghiệm Ti = 10; T2 = — 8 .VậyX = 10 thì y= 8 ;

hoặcX - —8 thì y= - 10.X = 10 ; y = 8Vậy hệ có2 nghiệm

ĐỀ 18.X = - 8 ; y = - 10

a) X2 + y2 - X + y - 2xy + X - y = - I

thi hệ phương trinh đã cho trở thành

Đặt X - y = S; xy = p

[S + p - - 1s2-2P~S = 2=>s 2 + s = 0 <=>s = 0 ; p = —1s = —1; p = 0X = y,s = 0 fx — y = 0

Với ' ì 1 _ 1 ^ i VÔ nghiệm. p = - l ịxy = - l [ xy =- 1

V ó i (s = _ 1 - \ x - y = - 1Ị1

b)

(P = 0 ^ [xy = 0 <=> X = 0 ; y = iX = 1 ; y = 0

X2 - 3x = 2yy2 - 3y = 2xTrừ vế với vế của hai phượng trình cho nh

X 2 - y 2 - 3x + 3y = 2y - 2x<=> (x - y)(x + y) - (x - y) =0

<=> (x - y)(x + y -1 ) = 0 .

112



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





[x = y =0liêm[x = y = 5

Trường hợp2. X = 1 —y hay y= X - 1

5 ± 4 Ĩ Ĩ

Trường hợp 1.X = V => X 2 - 5 x -ồ<3 >x = 0 ; x = 5.

Do đó hệ có 2 nghiệm

ròng hợp 2.X = I —

=> X2 —3x = 2(x - 1) =>X 2 - 5 x + 2 - 0 = > x =

Do đó hệ có 2 nghiệmX = 5 + V17 3 + VĨ7

2 " : y - “ 2

5 - VĨ7 3 - \ Ị Ĩ Ĩ X = ----------------- ; y =

2 2Kết luận: Hệ có 4 nghiệm:

r5 + J Ĩ Ĩ 3 + V Í7 ^ 1 5 - VĨ7 3 - y / Ĩ 7 > )

A 2

(0; 0), (5; 5),

ĐỂ KỈỂMTRA45 PHÚT

ĐỀ 1.1. p(x + 1) - 2x = p2 + p - 4 (p - 2)x = p2 - 4.* Nếu P —2 phương trìnhđúng Vx e R.* Nếu p # 2p hươ n g trình có nghiệm duy nhấtX = p + 2.

{mx + y - m 2

X + my =1

2.D —

D x =

Đy =

m 11 m

m 11 m

m m1 1

= m3 - 1 = (m - l)(m2 + m + 1)

—m - m2 - m(l “ m)

* m ^ ± l t h ì D ^ 0 h ệ c ónghiệm duy nhấtX —

y = -

m2 + m + 1

m + 1

mm 4- 1

113



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* m = 1 íhì D - Đx ~ Dy ~ 0 nậ cỏ vô số nghiệm dạngX + y = 1.* m = - 1 thì D = 0; Dx 0; Dy 0 hệ vô nghiệm.3. a) (m —I )x2 + 2x - I = 0

* m = l ts. có phương trình 2 x - l = 0 = > x = Ậ .

2* IĨ1 Ỷ ỉ ía có A’ I + m - 1 - rom < 0 phương trình vô nghiệm,m = 0 phương trình cóX = 1 .

—1 ± %/rrTm > 0 phương trình có hai nghiêm phân biêt X =-------------.m —1

b) Phương trình có 2 nghiệm trái dấu <=> (—l)(m —1)< 0 => m > l .c) Phưcmg trình có 2 nghiệm X\, X2 thoả mãn

2 2 ím > 0X, + X.I — 1 <=> <

(Xj + x2) 2 - 2 X jX , = 1

> 0^ - 2 V 2 t = ——— ta có t2 + 1 — 1 = 0

----------- _j ±— = Ị m - 1 ĨU —1 ) rrx —1

_ — 1 ± V 5 _ 2 ~ 1± V d 4o t — ------<=?-------- — ------ -----z=> m — 1 = ------- — 7=-2 m ~ 1 2 —1 ± V5

4<=> ĩĩì - 1 +

± 75m, = 1 + -----i= = 1 -----------= 1 - — 12 = 2 - -J < 0 (loại)4

ị + - ‘ 4

4 4(% Ỉ5 + I ) r - '

m, = I H—— 7- = 1 + — ----- = 2 + V5? đây là đáp số bài toán.- 1 + V 5 4

E>È 2. í . Gọi 3 cạnh ỉà n, n + í ,n + 2, với Ĩ1 € N*. Theo Pi-ta-go ta có:(n + 2) 2 = n2 + (n 4- ì)2 n2 + 4n + 4 —2n2 + 2n + 1

, ! n —3<=> n - 2n - 3 = 0 <=>Ị n - - 1 (ìoại)

Vậy 3 cạnh của tam giác vuông là 3; 4; 5

114



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





(a - l)x 0 + 1 —a = 0

2. Gọi nghiệm chung của hai phương trình là x0 thì ta phải có:ị x ị + x0 + a = 0[x i + axc + 1 = 0

^ ( a - l ) ( x 0 - 1 ) = 0Trường hợp 1: a = 1 thi cả 2 phương trình làX2+ X+ I = 0 vô nghiệm.Trường hợp 2:Xo = 1 => 1 + 1 + a = 0 => a = —2.Thử lạiX 2 + X —2 = 0 có 2 nghiệmX ỉ = 1; X2 = —2;X2 — 2 x +. 1 = 0 có nghiệm kép X = 1.Vậy đáp số a = 2 thì hai phương trình có nghiệm chung làX = 1.

3. Giải hệ phương trinhX2 + y + xy = 7 (x + y)2 - xy = 7

X2 + y2 - xy = 3 I(x +y)2 - 3xy = 3Trừ hai phương trình cho nhau ta được: 2xy = 4

=> (x + y)2 - 9 =>X + y =± 3-'x + y =ỉ 3xy = 2

Tj —1

Với Xvà y là nghiệm của phương trình T2 —3T + 2 = 0

T2 = 2

Vậy

Với

X — 1 => y = 2X = 2 => y — 1

X + y =- 3xy —2

T , = - l

A = - 2

Xvà y là nghiệm của phương trình T2 + 3T + 2 “ 0

Vậy

4. Đặt t = Ịj2X - 1 phương trình đã cho làX3- 2t+ 1= 0 và t3 = 2x - 1

V = 2t —1khi đó ta có hệ phương trình

nh cho nhau ta có :t3 = 2x —1

, trừ 2 vế của hai phương

115



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Xs - t3 = 2(t —x) » (x - t)(x2 + xt + 1) + 2(x ~ t) - 0<> ( x —t)(x2 + x t + 3) = 0<^>x = t vix2 + xt + 3 > 0 Vx, t.V ậy t a c ó p hươn g tx ìn hX3 — 2 x + 1 = 0 <=> (x — 1)( X2 + X — 1)

r-Phưcmg trình đã cho có 3 nghiệmX = 1, x = -------=— — .

ĐÈ 3. a)ị

D =

Dx =

Dy =

fmx + 3y = m - 1

2x + (m —l)y = 3m 32 m —1

m — 1 3

3 m - 1m m - 12 3

= m2 —m —6 = (m —3)(ra + 2)

= (m - l)2 - 9 = (m + 2)(irí - 4)

- m + 2

* m ^3 ;m ĩẾ 2 = > D ^0 , hệ có nghiệm duy nhấty ”

m —4m - 3

1m —3

* m “ —2 => D = Dx = Dy = 0 => hệ vô sổ nghiệm dạng 2x* m = 3 => D = 0; DxỶ 0; Dy 0 hệ vô nghiệm.

m - 4 . 1Trong trường hợp

không phụ thuộc vào m.

X =

y =m —3

1m —3

= 1 - m —3 X + y —1 là h

b ) Í2(x + y)2 - xy = 1 f2(x + y)2 - xy = 1 (1)|x 2y + y2x —0 Ịxy(x + y) = 0 (2)

Từ (2) có 3 trường hợp* X = 0 = > 2 y z = 1 = > y = ±~ j = .

V 2



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* y = 0 => 2x2 = ỉ t> X —± — 7=r.V2

* X + y = 0 = > X = — y = > y 2 = 1 => y = ± 1.

Vậy hệ có6 nghiêm (x; y) = (0; — ), (0 ;---- !=), ( -7= ; 0),(— \= ; 0),V2 V2 V 2 ỵỈ2

( ỉ ; - l ) , ( - l ; l ) .

c) i x + y ^ X và y là 2 nghiệm của phương trình T2 —4T + m =[xy = mÁ’ = 4 —m .

Nếu m = 4 thì T] = T2 = 2 => X = y = 2. Néu m > 4 thi A < 0, phương trình vô nghiệm => hệ vô nghiệm. Nếu m < 4 thì A > 0, phương trình có 2 nghiệm Ti2 = 2 ± ^ /4 - m

Vậyx = 2+ yj4 —m thìy = 2 - yị4 —m;

X = 2 —^ 4 —m thì y ~ 2 + ^ 4 —m

Vậy hệ có ba nghiệm: (2; 2), ^2 +^/4 - m); 2 - ^/4 - m Ị

^2 — -J4 —m; 2 +^ /4 - m ).

d) Áp đụng hằng đẳng thức a2 + b2 = (a + b)2 —2ab vào vế ttá phương trình ta có

í —ĩ — ì - 2 . ^ - . - Í - = 9 0 « . Í 4 í t t Ì - - 7 3 7 = 9 0l^x + l X - l J x + l x - l l^X- ì ) X - 1với Xi=- ± 1.

? v 2Đăt —ị-----= t ta có t —t - 90 = 0 => t, = 1 0 ; t 2 ——9.X2 - 1

9y 2Với ti = 10 <=> — — = 10 2x2 = 10x2 - 10 <=> 8x2 = 10X - 1

± V s<=> X = ----- — 2Với Í2 = —9

117



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





•c=> — = — 9 < o 2 x 2 = — 9 x ' ~r 9 <=> 1 l x 2 = 9 <=>X = ^± V Ĩ T

+ Vậy phương trình có nghiêm X = — ; X = — ——= (thoả mãn điểu

2 ± V lĩ

kiện X -7*± n .ĐỀ 4.

a) (x 2 - 4x + 3)(x2 ~ 6x -i 8) - 15(X - ỉ)(x - 3)(x - 2)(x ~ 4) = 15( X ~ l)(x - 4 ) ( x- 2)(x - 3} = ỉ5

<=ì> íx ?' - 5x + 4)(x 2 - 5x -f 6) = 15.Đặtt = X2- 5x + 4,ta có phươngtrình:

, r t = - 5<=> t(í T 2} = ỉ5 <=> t + 2t — !5 = 0 o

Với í ” - 5 ==> X2 - 5x + 4 - - 5 <£> X2 - 5x + 9 = 0 vô nghiệm vìA < 0.

5 ± V ĨVái t = 3 = ^ x 2 - 5 x - í - 4 = 3 - « > x2 - 5 x +l = 0 = > x = 2

b) í> ■■■ỉ)(.x - 4) + 3(x - 4)X 4- 1

= 18. Điều kiệnV X - 4

* Với X> 4 phương trình đã cho(X + i)(x - 4) + 3 yj(x + ỉ)(x - 4) -1 8 * 0 .

Đặt y j( \ + 1) (x - 4) = t (t > 0) ta có phương trình:

, r í = - 6 (ỉoai vìt > 0)t2 + 3t - 18 = 0 <=>

[ t = 3Với t —3 <=> X2 —3x - 4 —9 <=> X2 ~ 3x —13 = 0

, _ 3 + V ẽ ĩ , , . ấ r _ 3 + Vẽ ĩ ^x _ ----------- chỉ Ịây x =-----------> 42 2

* Vóvx < - 1 phương írìnhđã cho<=> ị X+ l)(x - 4) - 3 V(x + I)(x - 4) -1 8 = 0

X > 4X < - 1

118



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





<=> t2 - 3t - 18 = 0 <=>"t = 6t = —3 (loại vì t > 0)

Với t = 6 <=> X2 - 3x - 4 = 36 <=> X2 - 3x - 40 = 0

fx —8 (loại)o X = - 5r—

Vậy phươngtrinh đãcho có 2 nghiệm X= —5 vàX= D+ — 2

c) (2x2 - 3x + l)(2x2 + 5x + 1) = 9x2, với X = 0, VT = 1, VP = 0ên vô nghiệm.

ou- o ~ 2 . i _ 2x2 —3x + 1 2x2 + 5x + 1 ■Chia 2 vê cho X ta đượ c------T—-------------------------------.--- --------= 9X X

< > 2x + ì - 3) ( 2x + — + 5 j = 9- 2x + - - 3 =

ta có phưcmg trình t(t + 8) = 9<=> t2 + 8t - 9 = 0ta có phưcmg trình t(t + 8) = 9<=> t2 + 8t - 9 = 0

't = 1t = - 9

ĩ ■>V ớ i t = 1 < => 2 x + — ~ 3 - l < = > 2 x - 4 x + 1 - 0 X =X

Vớ it = - 9 o 2 x + - - 3 = - 9 o 2x2 + 6x + 1 = 0X

2±V2

<=> X =- 3 ± V7

Vậy phương trình có 4 nghiệmX

= —— ;X

= — ^ ^ .

đ) (6 —x)4 + (8 —x)4 =16.Đặt 7 -X = t phương trình đã cho ừở thành: (t - l)4 + (t + l)4 - 16.Ta có: (t - l)4 = (t2 - 2t + l)2 = t4 + 4t2 +• 1 - 4t3 - 4t + 2 t2;(t + l)4 = (t2 + 2t + l)2 = t4 + 4t2 + 1 + 4t3 + 4t + 2t2.Do đó phưong trình đã cho <=> 2t4+ 12t2.+ 2 = 16 <=> t4 + 6t2 —7 = 0.

119



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Dần đến t 2 = l<= >t = ±l<=>

V 4x 5xe)

/ - X = 1

7 — X = —1<=>

X = ố

x = 8

X 2 + X + 3 X 2 —5x + 3 phương trình vô nghiệm.

Chia cả tử và mẫu của 2 phân số choX ta dược4 5 3

2

= —ị . Nhận xétX = 0 làm cho VT —2

3 3X + - + 1 X + - - 5X X

__ 3 4 5Đặt X + — + 1 = t ta có —+ — - — X t t - 6

<=> t2 = 1 6 < ^- t = ± 4 thoả mãn tỶ 0 và 1gÉ 6.3

Với t = 4 o X + — + 1 = 4 <=>X 2 - 3 x + 3 = 0 vô nghiệm vì A <X

Với t ——4 O X + —- + 1 - - 4X

<=> X + 5x + 3 = 0 « > x ~-5 ± %/Ĩ3

ĐÈ 5.a) (x3+ X + X2)2= 5(1 +X 2 + X4) với X = 0 thì VT = 0; VP

phương trình vô nhiệm.

Chia cả 2 vế choX 2 ta được (— +X + l)2 = 5(x2 + — + 1)

ĐặtX + - = t thì í 2 - X2 +~ + 2X X ‘

\2 _c/4.2nên ta có (t + 1) = 5(t —2 + 1)

=> t2 + 2t + 1 = 5t2 - 5 <=> 4t2 - 2t - 6 = 0 <=>t = - I

Với t = —l t a c ố ^ + x + I^ O v ô nghiệm vì A < 0.3 7Với X—— ta có 2TC — 3x+ 2 = 0 vô nghiệm vi Á < 0.

120



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





b) </18- X + 4 / x - l = 3 điềukiện1< X< 18.

__ ạ =ịỉis —x > 0 = > a 4 = 1 8 - xĐặt

b = ^/x —1 > 0=> b4 = X - 1a + b = 3 (1)

,a4 + b4 = 17

Từ (1) => a2+ b2 = 9 - 2ab <=> a44- b4+ 2 a V = 81 - 36ab + 4a2b2<=> 17 + 2a2b2 = 81 - 36ab + 4a2b2 <=> 2a V ~ 36ab + 64 = 0

ab —2ab = 16a2b2 - 18ab + 32 = 0 <=>

Với ab = 2 ta có hệf a + b = 3 fa = I , b = 2fx = 17 (thỏa mãn)<=> =>[ab = 2 Ị_a —2 , b = íỊ_x = 2 {thỏa mãn)

a = b = 3ab —16

- 3T + 16 = 0, vô nghiệm vì A < 0.

Với ab = 16 ta có hệ a và b ỉà nghiệm của phương trình

c) X3 - X2 - X - —- 0 <=> 3x :' - 3x2 -3 x - 1 = 03

<=> 3x3 = 3x2 + 3x + 1o 4 x 3 = X3 + 3x 2 + 3x + 1 = (x + ỉỳ

<=> ự 4 x = X + 1

(ẦÍÃ —l)x = 1, vậy X = —J ----- .<J4 - 1

d) X4 = 4x + 1 <=> X4 + 2x2 + ỉ = 2x2 4- 4x+ 2<=> (x2 + l)2 - 2(x + l)2 - 0« [x 2 + 1 —-\/2(x + l ) ] [x2 + ỉ + V2(x + i) ]= 0

<=> (x2 - V ỉx + 1 - V2)(x2 + y/ĩx + 1 + V ĩ) = 0.Xét X2 - J ĩ x + 1 — y fĩ có A = 2 - 4(1 — \Ỉ2 ) = 4 y[ĩ —2 > 0.

V ĩ ± J 4V2 - 2Vậy phương trình cỏ 2 nghiệm X =------- — -----------

Xét X2 + V2x+ l + y/2, có A = 2 - 4(1 + V2 ) = - 2 - 4 V2 <0.

121



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Vậy phưcmg trình đă cho có 2 nghiệmX = V2 ± V4V2 - 2

e) ị/X + ịỈ2x —3 —Ựl2(x —ỉ). Tập xác định Vx e R.

a = \fx => a 3 -X , ,

Đặt ,2 ____ a3 + b3 = 3(x - 1). b = ị/2x —3 b3 —2x —3

Vậy phương trình đã cho trả thành a + b = ^/4(a3 + b3).Luỹ thừa 3 cả hai vế ta có (a + b)í = 4(a3 + b3)<=> a3 + b3 + 3ab(a + b) = 4 (a 3 + b3)c=> ab(a + b) = a 3 + b? = (a 4- b)(a2 - ab + b2)<=>(a + b )(a2 - 2ab Tb2) = 0

<£>(& + b)(a " b)2 = 0 <=> a = ± b.Với a = b <=> x = 2 x - 3 <r> x = 3.Với a = - b <=> X= 3 - 2x <£=>X —ì .

122



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





PHẨN HỈNH HỌCChương L VECTƠ

Ề KỈỂM TRA 15 PHỨTÈ 1.1 . a) Sai b) Đúng c) Sai d) Đúng e) Đúng f) Sai

2. a) Sai b) Đúng c) Đúng d) Sai e) Đúng f) Đúng g) SaiÈ 2. 1. 3)^161 lại vế ưái MN + NP 4- PQ = MQ

b) Viết lại hai vế MN + NP = MQ + QP = MPc) Chèn Q và N vào vế trái

M N + P Q = M Q + Q N + P N 4- N Q = M Q + P N + ( Q N + N Q )

= MQ + PN

d) Viết lại vế trái QM + MN + NP + PQ “ QQ = õ.

2. MN = PQ<^>MP + PN = PN+NQ

<^> MP = NQ.

Ề 3. Nếu a , b không cùng phương thì bao giờ cũng tạo được tam giác có

cạnh là jãj và ịbỊ dạng: |ă + bị < Ịã| + ị bị, ã + b Nêu a , b cùng phương

- r ~ a N b — - — r + a , b ngươc hướng I-------* * MN = a, PN = b thìM pã + b = MN và |m n | < ỊãỊ + Ịb|.

+ ã , b cùng hướng I x * *, dễ có ã + b = ã +■ b .& M a p N ! 1 I I I I

Kết luận Ịa + b| =ỊãỊ + |b| <í=> ã , b cùng hướng.

È 4. a. Sai b. Sai c. Sai d. ĐúngỀ 5. Điểm M là trung điểm của cung nhỏ AB : OM = —OC;

điểm N là trung điểm của cung nhỏ BC : ON = —OA;

điểm p là trung điểm của cung nhỏ c A : OP —- OB.

123



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





OA + OB + Õc = ÕM + ÕC = Õ= ỠN + ÕÃ = Õ= ÕPvà OM + ỠN + ÕP - 2(ÕA + ÕB + ÕC) - 2 . 0 = 0.

ĐÈ 6 . Gọi trung điểm của AD là E, ta luôn có MA + MD = 2M

Gọi trung điểm của BC là I, ta luôn có MB + MC = 2ML

Do đó E = I <=> ME = MI <=> MA + MD = MB + MCo MD - MC = MB - MÃ <=> CD = ÃB (đpcm)

ĐỂ 7. ÃD + BẼ + CF = (ẤẼ + ẼD) + (BF + FE) + (CD + DF)= ÃẼ + BF + CD + (ẼD + DF + ẼẼ)= ÃẼ + BF + CD;

ÃẼ 4- BF + CD = (ÃF + ¥Ẽ) + (BD + DF) + (CE + ẼD)

- ÃF + BD + CỀ + (F§ + ẼD 4- DF)= ÃF + BD + CẼ.

ĐỂ8. A B c D E F

Do đó -

M N p Q R '5|a n | =.a-s/2 , ỊapỊ = a>/5, |as Ị = a>/26 , = a V s, |peỊ =

định lí Pi-ta-go).ĐỂ 9. Ăc + BD = (ẤM + MN + ND) + (BM + MN + ND)

= 2MN + (MN +BM) + (NC + ND) = 2MN + õ + ÃD + BC = (ĂM + MN + ND) + (BM + MN + NC) = AC + B

ĐỂ 10. a) ũ = (2.2 - 3-3 + 7; 2.1 - 3.4 + 2) = (2; - 8 ); b) V =<3 + 7 - 2; 4 + 2 - 1 )■= (8 ; 5);

124



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐỂ 11. a) AB= (4; -3 ), AC = (12: -9).Vì AC =3ÃB =(12;-9)nôi AB và AC cùng phương, cùng đi qua A, do đó A, B.c thẳng hàng

fx + l =2 xA f:[ y + l = 2 y A

b) D (x; y) ta có <( ^ x 1 ^<=>D(-7;7),J 1 - [V 4-1 = 8

c)M e Ox thì M cótoạđộ (m ; 0) => ẤM = (m —4; 3)A, B, M thẳng hàng nên ẤM = kẢB = (4k; -3k).

Ím y| —' 4 1c f k - — ỉ<=>< . VâvM có toa đô (0; 0).

3 = —3k m = 0

ĐỂ KiỂM TRA 45 PHÚT A

, 1. AB = AG + GB = -A K - -B M - ~(u - v); / I ;3 3 3 ^ ' / / /

B C = 2 B K = 2 Í B G + G Ĩ c ) = 2 | — V + —v ; V 3 3)

4 2 - B= 3 3 u; Hình 18

CẴ = 2 M Ã = 2 ( M G - g a ) = 2 ^ - ị i M - --U.

2. a) Ta có ẼẤ + ẼB + 2ẼC = õ 2ẼĨ +2ẼC = õ với ĩ là tru2. a) Ta có EA + EB + 2EC s=õ <=>2EI + 2ẼC = õ với ĩ là trungAB, dẫn đến EI + EC = õ <í=> E là trung điểm CI. Vậy E là trung điểmtrung tuyến CI của AABC.

b) Từ 3KA + 2KB = õ KÃ = - - K B . Ta dẫn đến 3 kết luận:3* KA và KB cùng phương vậy K nằmtrên đường thẳng AB.* KA và KB ngược hướng nên K nằmtrên đoạnthẳng AB.

* KA = —KB => —KB = AB <=>K.B - —AB - Chia AB làm 5 phần bằ3 3 5nhau thì KB chiếm 3 phần.ĐỂ 2

1. Gọi G là trọng tâm ÀMPN <=> GM + GP4 - GN —õ

125



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





<=> 2 G M + 2 G P + 2 G N = ổ

<> (GÃ + GB) + (GC -f GĐÌ + (GE GF) = ỏ(GB •+• OCì ■>- (Go -r -+- íoF "T- GA.) —02 G N f 2 G Q + 2 G S = 0

<=>GN + Gsi VGS —õ G ỉà írọng tám. của ANQS.Vậy 2 tam in ác MPR và NQS có cùngĩrọng tâm.

2. Từ 3KA —2KB = 0 <=> KA = —KB. Ta có 3 kết ìuận:3

* KA và KBcùng phương ĩiên K nằrn irên đường thẳng AB.* KA và KB cùng hướng nên K ứ ngoài đoạn AB.

* Ik a != - KB. vây K3 - KA = - KB = AB KB = 3AB.3 3 "

K A Hình ỉ 9

ĐỂ 3.a) Ta đã biết ẦB 'cũ trung

điểm AC và BD Iiừnz nhau <=>M Ã + M C = M B + M D .

Có thể nói AC và BD cat nhau tạitrang điểm mỗi đoan <=>MÃ -r MC = MB + MD

Ta xét MÃ + MA; = + 2MI = MÃ - (MB + MC)Trong đó MB4- MB, - MB -r 2 MJ - MB 4- (MA + MC)

M C + M C j = M C + 2 M K - M C + ( M Ã + M B )

Do MA + MA] MB + MBi AAj cắt BBLtại trung điểm củađoạn MA + M i = MC + MCl AAj c t CCị tại trung đi m eủa đọan. Vậy AAjr\ Bj n C | = o íà iruns điểm của mỗi đoạn.

b) Do o là trung điểm AAj, BBj, CCj nên ta chứng minh đưM Ã + M C + M B = 2 M Õ

mà MA + MB -+- MC = 3MG (lính chất trọng tâm cùa tam giác)

126



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Vậy 3MG = 2MO => M, o , G thẳng hàng.4. a) MÃ + 2MB - 3MC = õ

c=> (MA - MC) + 2(MB - MC) = õ <=> CA + 2CB ~ 0.

Mà CA và CB khác phương nên CA +2 CB ^ õ.Vậy tập {M} là 0 . Không có điểm M thoả mãn

u bài. b) Xét KA + KB.Ta tìm M sao cho MA4 - 2MB —0. B tỉinh Zí Từ đẳng thức vectơ đó suy ra MA = —2MB dẫn đến 2 kết luân:* M thẳng hàng với A và B.

* M ở trong đoạn AB và MA = —AB.Vậy M xác đinh như hình2 1 . Khi đóĨCÃ + 2KB = (KM + MA) 4- 2(KM + MB) —3KM + (MÃ + 2MB)

—3KM + õ = 3KM*

Bài toán trỏ thành tìm K để 3KM + 3KC —0 o KM + KC —0.Vậy K là trung điểm đoạn MC.

Chú ý, có thể xét MÃ + 3MC = õ hay 2MB + 3MC = Õ thay cho xétA + 2MB = õ . Cả 3 cách đều có thể chứng minh được K duy nhất.Ể5. a)Cho AABCtừn {M} saocho ''%

| M A + 3 M B - 2 M c |

= |2MA —MB —M c|

Xét vế trái N

MA + MB + 2(M B-M C) ỈT h 222ME + 2CB = 2(MẼ + CB) = 2MKXét vế phải2MA —M B—MC = (MA —MB) + (MA —MC) = BA + CÃ = BN

Thay vào đẳng thức 2MK = BN

127



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





BN2

BN2

Quỹ tích các điểm M là đường tròntâm K bán kinh —BN.

2

b) Tìm M sao cho2 ỈMA + MB + MCỈ = Ịm a + 2MB + 3M cL

Hình 2

Vì MA + MB + MC = 3MG nên 2 MA + MB + MC =6 MG, vớ

trọng tâm AABC. Xét vế phải. Trước hết xét MA + 2MBIA + 2IB = õ . Do IA = -2IB nên I, A, B thẳng hàng, Iở trong đoạnIA = 2IB.

Khi đó MÃ + 2MB = (MI + ĨA) + 2(MĨ + ĨB)

- 3MĨ + (ĨA + 2ĨB) ■

= 3MỈ.Vậy vế phải là |3MI4- 3MC| = ỊổMpỊ vói p là trung điểm của C

Bài toán trở thành tìm M thoả mãn6 |mgỊ =6 |m p| <=> MG

<=>M Gđưòng thẳng ưung ưực cua PG.ĐỂ 6 . V - MA + MB + 3MC - 2ME + 3MC.

Xét V = 2ME + 3MC.Tìm I sao cho 2IE + 3IC = õ.Khi đó I thuộc đường thẳng EC£

____ _______ 3và I ở ưong đoạn EC và EE = —• IC

(h. 24).

Khi đó 2ME + 3MC —5M I, M e đường thẳng d nên ỊvỊ nhấto MI ngắn nhất <^> MI± đ. Vậy M là chân đường vuòng gxuống d. Khi đó V —5MI ỉà khoảng cách ngắn nhất.

Hình 24

L

128



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Chương IL TÍCH VÔ HƯỚNG CỦA HAI VECTƠ . V À ỨN G D ỤN G

ĐỀ KIỂM TRA 15 PHÚTĐỀ 1. a) Ta biết (a + b) 2 = a + b •+■2 Ì . b

1 r - - , 1-|2 i-ứ"’ 1 r -2 —2 ----|-|2 ị~]2l - - —I (a + b) - |ã | -ịbỊ = -~ ịã + b + 2a.b —ịa| - |b | j = a.b .

b) —Ị (a + b)2 —(ã —b)2l = ” | a- h b ' + 2a.b —ã” —b + 2a.b~| = a.b

ĐỂ 2. Giả sử có AABC và hai trang tuyến BMvà CN bằng nhau, ta phải chứng minh ÀABC là

tam giác cân (h.25).Thật vậy 2CN = (CÃ + CB)

2BM = (BA + BC)

nên 4CN2 = (CÃ + CB) 2 = CA'1 +c f f -r2 CA.CB mnh 25

4BM2 = (BÃ + BC) 2 = BA2 -ỉ- 3C + 2BA.BC

Do BM = CN => 4CN2 = 4BM2

<=>CÃ2 + CB2+ 2CA.CB = BÃ2 4- BC2 í 2BA.BC .

Ta cổ: B C -Ã C -Ã B => 8A.BC - BÃ( AC - ÃB) - BA.AC + ÃB

CB = ÃB - AC => CA.CB = CÃ(ÃB - ÃC) = AB.CA + Ã c2

VậyCA + CB2 + 2CA.CB = CẤ2 +C B2 + 2AB.CA +2ÃC ;

BA2+BC2+ 2BA.BC = BA2-4- BC2+ 2BA.AC + 2Ã b \. Do CA.AB = (-Ã C).(-BÃ) = ẤC.BÃ.

Ta có 3 AC2 = 3AB2 => ÀB=AC => AABC cân đỉnh A.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





AD> áĐỂ 3. (h. 26) Giả sử — Aị

Ac - ÍT',. Ta có:

ĐỂ 4.

AD = ĩnAB , ÁE =K iACDC = AC - AD -- AC - mÀBDC.EB = (AC —ĩuA3).(ÂB -r mÃC)

= AC.AB mAC’ - mÃB~ - HI2AB.AC e Hình 26

= 0 + m A c2 -m Ã B 2 - 0 . Do AB _LAC zz> ÃBÃ C = 0.

Vì A3 = AC => AB~ = AC => mAB2 = mAC2 => mAB2 —mAC2 =Vậy DC.EB = 0 <=> DC JL EBi

a) Theo định lí sin, taCÓsinA =

Theo định if côsiii,ta CỔ COSA -

2R b2-Ỉ-C2 - a 2

2 be- cos^ _ b2-Ì-C2- a2 2R _ (b2+c2—a2).R _ b2 +c

sinA 2 be £ abc 4!Vậy colA =

S!HA z&c £a2^C2_b2

b) Sử dụng kết quả câu a) suy ra coíB---- —--------; cotC =

2 a2

4S

4S«2 , 12 2a +b -c

Vậy coíA 4- cotB + cotC =2 5 2 _ 2a + b -í- c

4SĐỂ 5. Xét AABC có B = 90°, Â = 15°. Gọi I là tnmg điểm cửa AC, IK _L

Gọi BC = a thì KA = KC - 2a;KB - a.J3 T'AB = 2a +a V.

Ta có sin 15° =Kĩ BC £

AC ~ 2&-J 2 -r -Jĩ

_ \f 2-~~J 3 _ S - l _ yj6 -yJ 2~ ^ p; - A2v2

!«r°_ AB _ a ( 2~v3) \ ' 2 + V’jL / U ư X ~ r *1

AC 2ax/2 -ỉ- 2

Hình 27

130



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





_ V3 + 1 _ ->/6 + V2- 2-J2 ~ 4 ’

tan 15° = = cotl5° = ---- ? -= = 2 + ^3.V6 + V 2 2 - V 3

Ta có sinỈ65° = sinl5° —cos75° — 4

cos 165° = - cos 15° = - sin75° = + 4

tan 165° = - tan 15° s= V3 - 2 = - cot75°cot 165° = —cot 15° ~ 2 - V3 = —tanl5°.

Ể KIỂM TRA 45 PHÚT Ể1.

1. Đáp án B.2. A. Sai B. Sai c . Đứng i). Đúng3. A. Sai B. Sai c . Đúng D, Sai

4. A. Đủng B. Đúng c . Đúng D. Sai5. A. Đúng B. Sãi c Đúng D. ĐúngỂ 2.

1. A. Sai. Vì vế trái là giá trị tuyệt đối của tích vô hướng 2 vectơ a và; vế phải là tích 2 độ đài của 2 vectơ.

B. Sai- Vì a = b phải có thêm giả thiết. •c Sai. Vế trái là 1 đại lượng vô hướng, vế phải là đại lượng vectơ(có bướng).

D. Sai. Vì vế phải là đại lượng vô hướng vế trái là vectơ.2. A. Đúng B. Đúng c . Sai D. Sai3. A. Sai B. Sai c Đúng D. Đống^ , 2 _ , sin2x cos2x + sin2x 14. 1 + tanx - 1 + --- 5 — =-------- ------= — -5 —.

COS X COS COS X

Tương tự 1 + coí2x = — \ .sin X

131



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





5. Ta eó:ÃB—ÃC = CB

<=>(ÃB-ÃC)2=CB2

<=>ÃB2 -2 Ã B Ã C + Ã C 2 =C B2

2ÃB.ÃC = ÃB2 +ÃC2 -C B 2.

- Vậy ÃB.ÂC = i(Ã B 2+ ÃC2 —CB2 j.-2 |—12

Mà a —ỊaỊ , do đó ta có điều phải chứng minh.

ĐỂ 3. (h. 28)1. Đặt AB = c, AC = b suy ra AB = c; AC = b ,

CB = ÃB—ÃC = c - b

CH __ b2 = b2CB “ CB2 ” b2+ c2

C H - b +c

(ô -b )

CE = i (CA + CH)

■ í I _b +

b +c

( c - b )

b2 - 2b2+ c2 r c — ————b b + c b +c

b Hình 28

A H = A C + C H = b+ , b? - (c —b) = ỵ - C4- -C' y b b -4-c b + c b +c

ÃD = Ỉ(Ã H + ÃB)= -I ỵ Tẽ+ ý , b + c l2 2^b +c b +c J

lf 2 b 2+c* c2 r ì — —ị r r-C H T T-b Ị2 b + c b + c

132



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Do AB -L AC < > AB.AC = 0 nên b.c —0.

<=> AD _LCE.2. ÃB.ÃM - ÃC.ÃM= 0 o ÃM(ÃB - AC)= 0

AM.CB = 0 AM i A C o{M}=a

(Á là đường thẳng đi qua A và vuông góc vói BC).

1. Do p ± q <=>(a + 2b)(5a - 4b) = 0

5a2—8b2 + ốa - b = 0 ta lạic ó lal, |bj ^ 0 (giả thiết).

Trong tam giác vuông OMB ta có sin MOB = sin 18° “-----.

Theo tính chất đường phân giác tacó ĨO ABi b ” o a '

_ _____ _ 2x OBĐặ tMB = x=> AB = 2x tacó — ^ — = — OB-2x 2x

<=> 4x2 + 20B .X - OB2 = 0.Vs - ỉGiải phương trình bâc hai nàyvới X> 0 =>X= OB —— ----

ÔỂ4

o=> 6|a| cos(a,b) = 3a =>cos(a,b) - —.

Do đó ( á , b ) —60°.2. Xét AOAB cân đỉnho có Ấ õ c = 36°,

kẻ phân giác OM và phân giác AI (h.29)=> AAIO cân đinh I=> IA = IO;

AABI cân đỉnh A =>AI = AB.

A M B

Hình 29 . MB

4

=> sin 18° =MB X 7 5 -1OB OB 4

133



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





í r? \ 2* COS18° = mà OM2= OB2 - MB2 = OB2 - OB2OB 4 /

= OB ỈO-í-2 yÍ5ỉó

V1 0 + 2 V5 _ , co VIO +2 V5-------- --- - ------ \ /'AC 1xv —* _ __________ OM = OB- ---- ■■----=>COS18° =4 4

* tan 18° — V 5 - I _ ___

4 _■"\A0 + 2%/s

4

V1 0 + 2 >/5.* sin72° = cos!8u =

J 5 -1cos72° = sin 18° =

tan72° = ^ 10 + 2^V5-1

V5-1* sin 162° = sin 18° =

_ _ 0 ____ 00 ^J\0 + 'lyfscos 162 = —cos 18 = —

tan 162° = - tan 18" = -

4S - \

V1 0 + 2 V5

ĐỂ51. Ta có GA 4- GB + GC = 0=> GÃ2+ GB2 + GC2 + 2GA.GB + 2GB-GC + 2GA.GC = 0 (1)Ta lại có:GÃ -G B = BÃ = c ==>GÃ +GB -2GA.GB = c2

GC - GA —AC = b => GC2r G A 2-2GA.GC = b2

G B -G C = CB = ã => GB2+ GC2-2GB.GC = Ỉ ^ 2(GA2 + GB2 + GC2) - 2(GA.GB + GB.GC + GA.GC) = a2 + b2 + c2 (2

134



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Kết hợp (1) và (2) ta có 3 (GA2 -ỉ- GB2 + GC2 ) = a2 *fb2 + c2

= > GA2 + GB2 + GC2^ g l± jd ± g l3

2. (h. 30) Ta chứng minh BM± BN <=> b2 + c2 = 5a2

BM X BN <=> BG2 + CG2 = BC2( 2 .<=> —m b

( 2 Ỵ 2'1,3 J =a

<=>4m£4*4mể = 9a2<=>2(a24- c2) - b2 +2(a2 + b2 ) - c2 = 9a2

<=>4a2 +b2 +c2 =9a2 b2 + c2 = 5a2.

135



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Học ki ISPHẨN ĐẠI SỐ

Chương IV. BẤT ĐANG t h ứ c - BẤT PHƯƠNG TR

ĐỂ KIỂM TRA 20 PHÚT

ĐỂ 1.a) Ta có: Theo bất đẳng thức Cô-si với 2 số hạng đương:

ịc2 + a 2 > 2ac

Cộng từng vế của các bất đẳng thức cùng chiềuị ta được:2 (a2 + b2+ c2) > 2 (ab + bc + ca)<=> a2 + b2 + c2 > ab + bc + ca (đpcm).Đẳng thức xảy ra <=> a = b = c

Áp đụng BĐT Cô-si ta có:

—+ —> 2 ; ^ + —>2;-^- + ~ > 2 . Suy ra đpcm. b a ' c ,b a cĐẳng thức xảy ra <^> a = b = c.c) Xét hiệu: (a4 + b4) —(a3b + ab3)= a4 - a3b + b4—ab3 = a3 (a —b) —b3 (a —b)= (a - b)2 (a2 + ab + b2) > 0; do (a - b)2 > 0; a2 + ab + b2 > 0'-------V /

ía 2+ b2 > 2ab+ ị b2 + c2 > 2bc

b) Ta có: (a + b + c)

Đẳng íhức xảy ra <=> a = b.ĐỀ 2

a) (x - 3) (x - 4) < (x + 1) (x + 2)X2 - 7x + 12 <X2+ 3x + 2 —õotmmuuimn

J 1 +0

136



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





<£> lOx > ỈO <=> X > I.I b) 7(3x - 6) 4- 4(17 - x) < 11 - 5 (x + 3)

<=> 21x —42 +6 8 —4x < 11 - 5x —Ỉ530 1522x < —30 <=> X< - ^ <=>X< - —

. 22 1i —00 ' ,

_ i Ĩ <5 ' ItDE3.

a) * 5(x+ 1) + 6(x + 2)> 9(x +'3)5x + 5 +6 x + 12 > 9x 4-27

<?>2x> 10 <=> X> 5 (a)* 7x —3(2x + 3) > 2(x —18)<=> 7x —6x - 9 > 2x - 36<=> X< 27 (b). Từ (a) và (b) ta CÓ:

Nghiệm của hệ bất phương trình ỉà: 5 < X< 27. b) * 2x - 1 > X - 2 <=3>X> - I (a)* 3 x - l < 2 x —3 <= >x <-2 (b)Từ (a) và (b) ta có:

—co - 2 - 1 +00

Hệ bất phương trình vô nghiệm.

DỂ 4. _ ì 41. f(x) = (2x - X)(4 “ 3x). Ta có:Xj = —, x2 = - J .

137



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





i(x) < 0 khi —co < X < —

2

— < X < H-coí 3

f(x) > 0 khi: — < X < — .2 3- V_ (x-!-2 )(x-4 )2 . f(x) = Ta có Xi =

X - 1

Lập bảng xét dấu

-2; x2 = 1; x3 —4.

+ ooX + 2 .

n> -r i + 1

X - 4 — 1 — 1I — 0 +

X — 1 11 _ 0 + 1 +■

f(x) rị + ) j11 __ 0 4-ị —co < X < —2

* í(x) < 0 khi ịị_ỉ < X. < 4

3.Giải bất phương trình: |2x4- ỉị <X

Xé£ các írường hợp:1

a) 2x + 1 > 0 <= 2x> - i <=>X > -~r 2=> |2x + l!= 2x -h I . Bất phương trình tương đương với

Í 2 x + 1 < X í X <- 1

> — l Hệ vô nghiệm.

■2 x + lị = — 2 x —i

Bấỉ phương trình tương đương vởi:r ĩ

X > - -

Hê vô nghiêmị X < ; ------ I 1

2 I 2 |x< 2

Vậy bất phương trình đã cho vô nghiệm; tập nghiệm bằng 0

138



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Ể 5.

_ 3Từ (2): 2y > 3x +6 <í=>y > —X + 3.

I 3Vẽ đồ thị y = — -X 4-1 và y = —X+ 3 trên cùng một hệ trục.

Từ (1): 2y < — X -i- 2 <=> y < ——x + 1.

Miền nghiệm của hệ bất phương trình là miền khônggạch sọc (h.31).

Hình 31ĐỂ 6.

11. f(x) = 2x2 + 5x + 2; X, = -2; x2 = - “ ■

—co —2

“x < - 2

Vậy f(x) > 0 khi 1X > — -

2

+00

2. f(x) = —3x2 + lOx - 3; Xi = ^ ; x2 = 3.

Vây f(x) > 0 khi: Ỷ < X < 3.

3. * X2 - 7x + 10 = 0 <=>X j = 2; x2 = 5* - X 2 + lOx - 21 = 0 <=> x3 = 3, X4 = 7. Lập bảng xét dấu:

139



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





X —oo 2 3 5 . 7

x 2- 7 x + 10 + 0 - 1 - 0 + l: +

-X2 + lOx - 21 _ 1 - 0 + + 0 -

•fix) - 0 + II - 0 + 11 -

f(x) < 0 khi —oo < X< 23 <X<5X> 7

4. >/8x2 - 6x +1 < 4x —I

8x2—6x + ỉ > 04x - Ĩ > 08x2 — 6 x +1 < (4x - 1) 2

8x2- 6 x + l > 0

X > — 4

4x2 — X >0

Kết quả:

1X = — 4

x > — 2

ĐỂ 7.1. Xét: x2 + x —6 = 0 = > x 1—-3 ; x2 = 2;

5- 2x2 + 7x - 5 = 0 X, = 1; x4 = —

140



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2. Bất phương trinh tương đươngvới:1 1 X2-7 x + 1 0 -X2+5x ” 4•N.n, ^ n

X2— 5 x + 4 X2 —7x-f-10 (X2- 5x + 4)(x2 - 7x +10) _ - 2 x + 6

(x —5Vế trái có

X

x + 4 ) ( x 2 —

nghiệm Xi— 00

7X + 10)

= 1; x2= 2; x3= 3; x4 = 4; x5= 51 2 3 4 5 + 0 0

—2x + 6 + ị + 1 + 0 - ! - Ị -

x2 - 5 x + 4 + 0 1 1 1

0 • f V

X2 - 7x +10 + Ị + 0 - ị - Ị - 0 -Vế trái + lì - 1 1 + 0 - II + ỊỊ -

Nghiệm của bất phương trình ỉà:X< ỉ2 < X< 34 < X< 5

3. Giải hệ bất phương trình:- x2 + 3 x + 1 0 > 0 (1) (1) Có nghiệm: Xj = --2: x2 = 5X2- 7x + 6 < 0 (2) (2)Cónghiệm: x?= i ; x4=6

* Nghiệm của (X)

* Nghiệm của (2)

■mmmmmmmdr -------- — 00"'" —2 5 +0 0

jyuuu&nmuMifimmw--r-oo

ĐỂ 8.

* Nghiệm của hệ:-0 0

* Kết quả: 1 < X< 5. —L 5 6 +00

Bất phương trình tương đương với:X — 1 < 0

(a)fx —1< 0 f x - l >01 , hoăc (b)ị , ,Ịx +x —6 > 0 [x +x —6 > (x - i)

' x< l(a)<=> (b) <=0X> ỉ

X ế ( - 3 ; 2 ) Ị3x — 7 > 0

Vậy nghiệm của phương trình là:7



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐỀ 9. f(x) = (m ~ỉ- 1) X2 - 2(iTi - 1) X4-3m —3 > 0; Vx.* Tập xác định: Đ = R.* Xét trường hợp: rn -T 1 = 0 => nì = —If(x) = 4x —6 > 0 không Ihể đúng V'x nên rsĩ = —I (loại).* Trường hỢD:ầ! < 0: f(x) luôn cùng đấư với a.

! ra -f 1> 0Khi đó f(x) > 0 Vx <=>ịỊ A < 0

* m + i > Q < = > m > ~ i .^ À' —(m — I)2 —3 (ra — 1} (m -Ẽ* 1)m 2 - 2m -ỉ- I - 3(m 2 - ỉ) - rsr - 2ĩn 1 - 3m 2 -ỉ- 3 '

= —2m2 —2m -í- 4 = -2(ii'i2■+■m —2).

-------------------------------------------------» —GO —2 ỉ-+oo

ím > —1. Ị m ắ “2 I©A < 0 < > V ậy f(x) > 0 V x < = > ^ | m < —2

m > ỉL y_m > 1

<=> m > L

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHỐIĐ Ể 1 .

Cầiỉ 1. (Áp dụng bất

a) Ta có: a -Ý- b > 2 %/ab ( i) Dấỉi - xảy ra <£í>a = b (1)

b c > 2 Vbc (2) Đất! —xảy ra <=> ò = c (2)c -Ị- a > 2 Vac (3) Dấu = xảy ra <=> c = a (3)

Nhân từng vế của (I); (2); (3); ĩa được:(a + b) (b + c) (c 4- a) > Sabc; Dấu =xảy ra<=> a —b —c b) Ta có: a4 + b4 > 2a2b“ (I) Dấu = xảy ra <=> a = b

b4 + c4 > 2b2c“ (2) Dấu = xảy ra <=> b = cc4-fa4 > 2cV (3) Đấu —xảy ra <=> c = a

Cộng từng vế cửa (1); (2); (3) ta được

142



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2(a4 + b4 + c4) >' 2(a2b2 + b2c2 + c2a2)<=> a4 + b4 ■+c4 > a2b2+ b2c2 + cza2 (a) (áp dụng BĐT Cô si)Ta có: * a2b2 + b2c2 > 2ab2c (4)

* b2c2 + c2a2 > 2abc2 (5)* c2a2 + a2b* > 2a2bc (6)Cộng từng vế của (4); (5); (6); ta được:

2(a2b2 + b2cz + c2a2) > 2abc (a + b + c)< > a2b2 + b2c2 + c2a2 > abc (a 4- b + c) (b)Từ (a); (b), theo tính chất bắc cầu ta được:a4 + b4 + c4 > abc (a + b + c) (đpcm)Dấu = xảy ra <=> a —b —c.

g ^ - Ị.

c) Ta có: , \ ĩ Áp dụng bất đẳng thức Cô-si:c +d > 2cđj

2 (ab + cd) > 2.2 Vabcd (ab + cđ) > 2 -s/abcd.Vì abed = 1 nên ab + cđ > 2 (đpcm)Dấu xảy ra <=> ab = cd = 1.ii) Ta có: a2 + b2 > 2ab

c2 -ỉ- d2 > 2cd=> a2 + b2 + c2+ d2> 2(ab + cđ)mà ab + cd > 2-s/abcđ = 2 (do abcđ = 1)Vậy a2 + b2 + c2 + d2 > 4. (đpcm).Dấu xảy ra <=> a = b = c = d —1.Câu 2. Vì a, b, c là 3 cạnh của AABC nêna) a + b > c; c + a > b; b 4- c > a . Áp dụng BĐT Cô-si. Ta có:ác /7----- z-----77T----------a + b -G + b + c - a _ 2b* ^/(a -f b —c)(b + c - a) <----------- ----------- ——- b (1)

* Ĩ7C~------W . b + c - a + c + a - b 2c ■* yj(b + c -a ) (c + a - b) < —--------------------------------------------= — = c (2)

A /7------ —rũ---------r ^ c + á - b + a + b - c 2 a _ * ^/(c + a -b X a + b - c ) < ------------ ------------ — - a (3)

Nhân từng vế của (1); (2); (3). Ta được



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





(a + b —c) (b + c —a) (c + a —b) < abc (đpcm)Dấu = xảy ra <=> a = b = c; A ABC là tam giác đều.b) Từ (a —b)2 > 0 o a2 + b2 > 2ab <=> a2 + b2-k 2ab > 4ab

<=> (a + b)2 > 4ab a +-—> —- — <=> —+ —> —^—(*)ab a + b a b a + b

1 1 4 4Apdụng ----- ——- —— = vì2p = a + b + p —b p - b (p—a) + (p —b) c

^ _ 1 1 - 4 1 I 4Tương tư :—-—H— -—> —; —-— + —-— > —. p —b p —c a p —c p —a b

Cộng từng vế của các bất đẳng thức ưên:J 1 1 1 V / 1 ' ỉ l ì2 —-— ỉ-—_ + >41 - + —+ - I

Vp —a p + b p - c ) b c J _ 1 1 ì ì ___ .<=> —-— + —-— + —-—>2 —+ —+ — (đpcm)

p —a p —b p —c \a b c)Câu 3. Do b > - l o b - l > 0 (áp dụng BĐT Cô-si)

* V b ^ĩ = J b ^ ĩ j Ã á =ị ;

Dấu “=” xảy ra<=>b-l = l ^ > b = 2.

* aVb-1 < — . Tương tư: bVa-1 < — .2 . 2

Vây: a> /b-Ì + b V a-l < — + — = ab.2 2Dấu “=” xảy ra<=> a = b = 2.Câu 4.a) Do X2 + 1 > 0; Vx; nên bất phướng trình tương đương vớ4x2 - 2x > 4x2 + 4 <=> 2x > —4 <=> X > -2 .b) Bất phương trình tương đương với:32 - 12x> 1 3 - 12x + 6<=5>Ox > —13, nghiệm đúng Vx e R- Câu 5.a) m(x —m) < X —1 <=> mx —m2 < X —1 <=> mx —X < m2 —

(m - 1) X < m2 - 1 = (m —1) (m + 1).

144



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* Trường hợp 1: m - 1 > 0 m > ỉ^ (m - l)(m + 1)

= > X < ----------- — ---------<=> X < m + ! v ó i m >\m -1* Trường hợp 2: m - I < 0 m < 1

. (m —l)(m + l)=> X > -------- — ------= m -t- ị <=> X > ĩĩì -ì- ỉ với m m —ỉ : bất phương trình có dạns:Ox < 0; đúng Vx € R. b ) (m + 1) X + m > 3 x -4- 4 «m x - f x - í - m > 3 x + 4<=>

<=> 3x —X —mx < m -4<=>2x - mx < m - 4<=> (2 —m) X< m —4.

* 2 - m > 0 < = > m < 2 : = > x < —— 2 —m

* o _ m - 4* 2 —m < 0 < = > m > 2 = i > x > — ----- .2 —m

*2 —m = 0<=>m = 2;<=>0x<—2; bất phương trinh vô nghiệm.ĐỂ 2.

Câu 1.a) f(x) = (x —2) (x + 3)( ì - 4x)

* f(x) > 0 khi (—co;—3) ^ ; 2)4

* f(x) < 0 khi (-3; —) (2; +oo)

b )f(x )= (2X-SXS-3X)3x + 4

145



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





__ _ _ 4* Tập xác định: D —R\{ - —}

—oo 4 5 5 + co~ 1 3 2

2x - 5 j _______ I - Ị______— _____ 0 —3x + 5 ; + Ị + 0 I

3x + 4 - 0 + Ị +f(x) ị + ỊỊ - 0 + 0

4 _ 5 5* f(x) > 0 khi X< -- hoạc zr < X < ~r 3 ■ 3 2

, 4 5 5* f ( x ) < 0 k h i — - - < X < h o ặ c X

3 3 2Câu 2.a) f(x) = (2 - 3x) (X + 1) (4x - 5) > 0.

f(x) = 0 có các nghiêm: X- -1 : X= —; X= —.5 3 4

Lập bảng xét dấu như câu la, ta có kết quả.

—ao + — ị ~ 2 + 4 _ 4-00

3 « 2 5 Nghiệm của bất phương trình là: (-co;- l) [—; —]

b) Bất phương trình, tương đương với:( X + 3 ) ( x 4 - 2 ) + 2 ( x - ĩ ) ( x + 2 ) - 3 ( x - ì ) ( x±3)<0

(x -l )( x + 3)(x + 2)

Khai triển ỉử số và rút gọn ta được:X +11

(x -l )(x + 3)(x + 2)< 0 vớiX9* 1;X -2 vàX^ -3.

Lập bảng xét dấu, ta được kết quả

- o o + - I I - - 3 + - 2 - 1 + +00

ị~- l l<X<-3 Nghiêmcua bất phươngtrình ỉà: iỊ -2 <X < 1

146



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





1Câu 3. Xét dấu của các biểu thức sau:a) f(x) = — 2x2 + 5x —2

a ——2 < 0

X , — = 2

. 1* f(x) > 0 khi — <X < 2.2

* f(x) < 0 khi —o o < X < — 2

2 < X < + 0 0

b) f(x) = 2x2 - 13x + 20a —2 > 0

Xl ’ X = 4

_ +CO

—005 2

* f(x) < 0 khi: — <X

< 42

* f(x) > 0 khi —c o < X <

_ + 0 0

4 < x <+00

Câu 4. Giải các bất phương trình sau. x - 4 X —2 _ (x -4 )(x -3 ) + (x -2 )2 -a ) -----r + ------ < 0 o i----- — _ —— ---- — < 0.

X —2 X —3 (x —2)(x — 3 )

Khai triển tử số và rút gọn ta được:2x2 —llx + 16 ■---- —— -----r—<0.( x - 2 ) ( x - 3 )

Đặt f(x) = 2x2 - Xlx + 16; A = -7 < 0; a = 2 > 0.Vậy f(x) > 0; Vx e R.Vậy bất phương trình <=> (x —2) (x —3) < 0. Ta có kế t quả

—00 +CO

147



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





------ I — « U U I la. A*s J.1 1

b ) — ------- ---------7 > — ---------------------<=>X 2 —5 x + 6 > X 2 —9x +2 0

____ L __________ i _ (x2 - 9 x +2 0 ) - ( x 2 - 5 x + 6 )x 2 - 5 x + 6 x 2 - 9 x + 2 0 (x 2 — 5 x + 6 ) ( x 2 — 9 x + 2 0 )

- 4 x + 14> 0.

( x - 2 ) ( x - 3 ) ( x - 4 ) ( x - 5 )

Lập bảng xét đấu nhị thức và tam thức bậc hai, ta có

Nghiệm của bất phương trình là

4 5

- 0 0 < x < 2

? 73 < x < 4 -2

4 <X <5

+00

Câu 5.

a ) V x 2 - x - 1 2 < 7 - x <=> < —x - 1 2 > 0

7 —X > 0(ỉ)(2 )

- ---------------------------- yti —c o _4

- 3 4 6113

b) y j - x 2 - X + 6 > x + 7 (*)

X2 - x - 1 2 < ( 7 - x ) 2 (3) ymimHHnmmmmmmnmm

X < - 3y. ^4 < X .

-KO

Bất phương trình (*) <=>, r : ; °-X - x + 6 > 0

2 )x + 7> 0- X 2 —x +6 >(x + 7) 3

Giải hệ (1 )X < —7

x < - 3X > 2 ~ ° ° - 7 - 3 J 2 +o

hệ (1 ) Vô nghiêm

!48

L



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Giải hệ (2)X > -72 x 2 + 1 5 X + 4 3 < 0 ’

ĐỂ 3.

Bất phương ưình thứ hai của hệ (2) vô nghiệmKết luận: Bất phương trình đã cho vô nghiệm.

Cáu 1.

Hệ (2) vô nghiệm.

a) Vx + 3 > v2x — 8 + V7- X.* Điều kiện: 4 <X < 7.* Bình phương hai vế không âm và rút gọn ta được:U (2 x - 8 ) (7 -2 ) < 2 rX2 —1Ix + 30 > 0<=>

4< X<7

b) (x2 —2x —3)-yj—x2 +4x < 0 (*)* T a có : —X2 + 4 x > 0 <=> 0 < X < 4

* Khi đó bất phương trình <=>X2“ 2x - 3< 0<=> -1 <X< 3.Vậy, kết hợp với điều kiện 0 < X< 4, ĩađược nghiệm của bất phương

t r ìn h l à : 0 < X < 3 -

Câu 2.a) Ta viết lại bất phương trình đã cho như sau:(X + l)(x + 7)(x + 3)(x + 5) - 9 > 0.* (x + l) (x + 7) = X2 + 8x +1.* (x +3)(x+ 5) = X2 +8x + 15 = X2 + 8x + 7 4- 8.* Đặt t = X2 + 8 x + 7=>t + 8 = x2 + 8x+15 .* Ta có: t(t + 8) - 9 > 0 <=> t2 + 8t - 9 > 0 (*)

<=> t < —9 t > lX2 + 8x + 7 < - 9X2 + 8 x + 7 > 1

-9 +00

<=> X + 8x + 16<0X2+8x + 6 > 0

<=> X 2+ 8x +6 > 0 (* * )

149



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Giải bấì chương trình (**): X2 r Sx + 6 >

'10 - 4 + Vĩõ +oo

Tx < -4 -V ĩÕ NghiệìT'. của bất phương trình là: ! __

j_x > —4 -4- VlO

b) Giải bấ t phương trình:ì; ị

5 > /x 4— < 2 x -T- — -V- 4 ; đ i ề u k i ê n X > 0 .2 Vx 2x

* Biến đổi: 5 í -s/x 4----| < 2 Í x + I+ 4.V 2>/xJ V 4xJ

* Đặt i =v’x H — "7= ằ7. | \ /x .— 7=- = \ 2 (BĐTCô-si)2>/x \ 2vx

t 2 ~ X + — - ^- 1 = > X -4— — = í" - 1 = > s f X =2t2 — 2 4x 4x V 4x J

* Bát phương trình <=>' 2 ĩ2- 5t 4- 2 > 0ỉiyỈ2,xX > o

1t < — <=>1 2t > 2

- ịilíiỉiiỉịlỉịỉtilííiiliiliíllỉỉltHĩiỉiịíỉíiiiHrỊỉíinMHiíiilíiỉỉiiíH" —oo %2 +00

-4=- > 2 <=> 2x +1 > 4>/xX <=>2vx

Ị4x -i-4x + l > 1 6 x | 4x —12x + l > 0ì o ịX > 0 X > 0

-con---------mmmrmmmmmfm-----------►° 3 - 2V ĩ 3 + 2-JĨ +00

3 - 2 V2

Vậy nghiệm của bất phương trình:

Cồu 3.ị 2x ( —Ỉ3x+ 18 > G (ỉ)

0 < X <■

X>

23 +2 V2

a)3:í ;; “ 2'ÒX + 1 7 < 0 (2)

t> 2

50



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* Nghiệm của (1) -------------- ---------------►“ °0 2 9 / 2 +O 0

* Nghiệm của (2)\ “ ° ° 1 1 7 / 3 + o o

* Nghiệm của hệ:' ' Hiímmỉií ------- ymmsmfmsHK ----- ty/MWMWM/Wfft*"1 < X < 2 1 2 9/2 17/3 +oo

9 17 —< X < - — _2 3

b Í 2x 2 + 9 x + 7 > 0 (1)

[x2 + X + 6 < 0 (2) ___________________ ỵmtmmimuummmmtKK, ____________

* Nghiệm của (1) -co -7 /2 -1

* Bất phương ưình (2) vô nghiệmVậy hệ vô nghiệm.Câu 4.1. Trường hợp 1: m —1 —0 <=> m = 1.

_ 3Phương trình (1) có dạng:~4x —3 = 0 <^>X - ——.

Vậy m = 1 thì phương trình (1) có nghiệm.2. Trường hợp 2 : m - l* 0 < = > m ^ lĐể (1) có nghiệm A' > 0* A' - (m + l)2 —3(m —2) (m —1) > 0 <=>

A’ = —2m2 + l lm —5 >0<=> —< m < 5 .2

-immtHMi------------*------------

2Vậỵ phương trình (1) cò nghiêm: —< m < 5

Câu 5. f(x) = (m —2)x2 + (m —3) X —(m + 1) (1)1. Trường hợp l :m —2 = 0< ^ m = 2f(x) = —X —3 > 0, không thoả mãn Vx nên m = 2 loại.2. Trường hợp 2:m —2 ^ 0 - » m ^ 2 .Để f(x) > 0; Vx e R ta phải có:

+0 0

151



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





-A 0; Vx

À —(m —3)2 + 4 (m —2) (m4- 1) < 0

J A 

<i=>A = 5m —10m +. 1 < 05 - 2>/5 _ 5 +2 V5<= ---- —-----< m <------------

5- 5* a = m —2 > 0 <=> m > 2.

5 - 2 J 5 5 + 2 Vs

* Kết hợp, ta có:

~cơ 5 - 2-n/s 5 -Ị-2-/s 2 +c5 5

5 - 2 V5 _ 5 + 2 J 5-----------< m <------------ _ „5 5 <=> m <s0 .

m > 2Vậy không có giá ưị nào của m để f(x) > 0; Vx e R.

ĐỂ KIỂM TRACUỒICHƯONG (45 PHÚT)

ĐỂ 1 .I. Phần trắ c nghiệm

Cà?j ỉ . Đáp án B) là đáp án Đúng:

a -ỉ- — > 2 ,/a.— = 2, Va > 0.a V a

Câtỉ 2. Đáp án Q là đáp án Sai:

á + b + — >33/a.b.— =3.ab V ab

Câu 3. Đáp án B) là đáp án Đúng(x - l)(x - 2) <X2 - 5x + 8 <=>X2 - 3x + 2 <X2 - 5x + 8<=>X < 3. Kế t quả:( - 00 ; 3 3 .

ĨI. Phần tự luận

Câu i. Điều kiện:X 3* — ; X3É1-2

Lập bảng xét dấu các nhị thức ta có kết quả:ìx< - r 2

1 < X < 3

ỉ 52



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 2. (1) <=>X2+ 1 3 - 2 yịx2+13 -35 > 0. Đặt ẩn phụ:

ịy = Vx2 +13 > 0;Vx ^ / V' ■“ ' _ 4 ■ <=>y>7<^>Vx- r l 3>7[y2—2y —35 > 0

<=>X2> 36 <=> |x| > ố.

ĐỀ2. ĩ. Phần trắc nghiệm

Câu 1. Đáp án B) là đáp án Đúng, vì6x + 3 — 5 (x — 2) > 30 < >X + 1 3 > 30 <=>X > 17.Câu 2. Đáp án A) là đáp ốn Đúng, vì(1)<=>X<2(2) <=> X > —1. Vậy nghiệm của hộ: -1 < X< 2.Câu 3. Đáp án C) là đápán Đúng:* X2 —ố x + 8 = 0 c ó n g h iệm : = 2 ; x2 - 4 .* Vậy nghiêm của bất phương trình là:

“ °0 2 4 +00

X € (—co; 2 ] [ 4 ; -hoo).

II. Phần tự ỉiĩậnCâu 1. Bất phương trình (1) luôn đúng Vx € R.Bất phương trình (2) có nghiệm:

------------------ y/m w m m /m /f /m ff fm m /f t 1

Vậy nghiệm của hệ:X e ( -00 ; —) (3; +oo).3

Câu 2. Nhậnxét: X2- X + ỉ > 0; Vx e R.X 2 +m x - 2 > -3(x2- X +1) (1)X 2 + mx —2 < 2(x2-X + ỉ) (2)

Bất phương trình <=> . „

J4x2 + (m —3)x + 1> 0; a = 4 > 0[x2 - (m + 2)x + 4>0 ; a = ỉ> 0

Aj = (m —3)2 —16 < 0 <=> m2 —6m+ 9 — 16 < 0<=> m —6m —7 < 0 <=> — 1 < m < 7.

+ 0 0

153



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* At = (m +2 f — Ỉ6 < 0 <--> n r + 4in + 4 - 16 < 0.■w>m2 -r 4m - Ỉ 2 < 0 w —6 < m < 2.

- 6 7 +oo

Kết quả: —1 < m < 2.ĐỂ 3.

L Phần trác nghiệmCâu 1. Đáp ánA đúng.f(x) = 0 có hai nghiêm phân biệt <=> mx2 + 2mx + 2m —3 = 0 có ha

f m 0 nghiệm phân biệt <=> <

■ [a ' = m —m(2m —3) > 0

í m * 0 Ịm * 0{ , < <=^0<m<3.[—ĩĩì + 3m>0 [ 0 < m < 3

Câu 2. Đáp án0 đang.Taiĩì thức bậc hai 3x2+ 4x -f I có hai nghiệm phân biệt Xj = -1,

1x2= -

3

<=>

Lập bảng xét dấu.Ị

X —GO 1 +CO

3x2 + 4x + 1 + 0 - 0 +Vậy tập nghiệm của bất ohương trình 3x2 + 4x + 1 > 0 là:

(_ oo ;- l) u (-JL; +oc).3

Càỉỉ 3. Phương trình (m - 1)X4 - 2mx2 + 1 = 0 có 4 nghiệm ph n biệ

<=> (m - 1) t2- 2mt 4-1 = 0, có hai nghiệmdươngphân biệt(t = X2,t > 0)m -15*0

A' = m~ - (m - 1) > 0<=><

m - 1

m > 0

>0

Vậy đáp án c đung.

154



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





IL Phần tự luận

Câu 1. Điều kiệnX < —— hoặcX. > .4 4

Đặt u = -s/2x2 +5x + 2 > 0 => 2x2+ 5x + 2 = ư2 => 2x2+5 x - ố - u2 - 8,ên phương ưình đã cho đưa về dạng u - 2v ũ 2-8 = 1 với u >2 V2 ta có

Bình phương hai vế ta có:X2 + 3 x 4- 2 + X 2 -+-6 x + 5 + 2 - y /( x2 + 3 x 4 -2 ) ( x 2 + 6 x + 5 ) < 2 x 2 + 9 x + 7

2^/(x2 + 3x +■2)(x2 + 6x + 5) <0<=>x2+6x + 5 = 0X = - 1 , X = —5 .

Càu 1.

Với -4 < X <

3 thì 3 -X,

4+ X

làs ố

đương và (3 - x) + (4 + x) = 7.

Đáp án D đúng.Câu 2. a) Sai. Chia hai vế của bất đẳng thức choXmà không phân biệt

> 0, X< 0và không xét X= 0. b) Đung; c) Đúng; d) Đúng (theo tính chất của bất đẳng thức),e) Sai vì đã thay đổi điều kiện xác định.Câu 3. Tập xác định của hàm số y = Vx - 2 +>/3 — X là [2; 3]Xét y2 = 1 + 2 >/(x - 2)(3 - x) = 1 + 2A,

với A = ^/(x — 2)(3- x) có X <=[2; 3]=> X — 2, 3 —Xlà các số khôngmvà x —2 + 3 — X = 1 không đổi.

Ể 4. ĩ. Phần trắc nghiệm

155



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Vậy A lớn nhất <=>x —2 —3 —x<^>x =25

Suy ra y lớn nhất <=>X= I và ymax =2^1

Đáp án B đúng.


(1)(2)

Giải (1): 3(x —3) —2(1 - x ) < 6

17<=> 3x - 9 —2 + 2x < 6 <=> 5x < 17 X< — 5

Tập nghiệm Tị được biểu diễn trên trục số là phần "không gTập nghiệm T2 của bất phương trình (2) là (—oo; m + 1).

Miền nghiệm là hình chữ nhật ABCD (h.5) là giới hạn thẳng. Hai đườtig thẳng song song với trục hoành cắ t trục tunvà 3 => -3 < X< 3 => IXI< 3. Hai đường thẳng song song với tcắt trục tung tại điểm —2 và 2 => —2 < y < 2 => ị y 1< 2.

Vậy miền nghiệm là hình chữ nhật ABCD (tất nhiên k

-----------------------1----------- 'ìmmmmMmimmmiimr*0 17/5 +OC

Hình 3217 12Hệ phương trình có nghiệm <=> m + 1 < — <=> m < — .

Câu 2.

miền nghiệm của hệ bất phương trình

156



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Chương V. THỐNG KÊĐỀ KIỂM TRA 20 PHÚT ĐỂ 1.

á) Bảng tần số ghép lớp

Lớp cán nặng (kg) Giá tri đai điên Tần số[38-41) 39,5 6[41 - 44) 42,5 3[44 - 47) 45,5 5

[47 - 50) 48,5 10

[50 - 53) 51,5 5

[53-56) 54,5 5

[56 - 59] 57,5 6n = 40

b) Số phần trăm học sinh nặng từ 44kg đến dưới 53kg là:ị s _ + 10 + _5jỊì 00% =50% Uo 40 40 )

ĐỂ 2.a) Bảng tần suất ghép lớp

Lớp cân nặng (kg) Giá trị đại diện Tần suất (%)[38-41) 39,5 15,0[41 - 44) 42,5 7,5

[44 - 47) 45,5 12,5

[47 - 50) 48,5 25,0

[50-53) 51,5 ỉ 2,5

[53 - 56) 54,5 12,5

[56 - 593 57,5 15,0100%

b) Số phần trăm học sinh lớp 10A đạt từ 53kg đến 59kg là:12,5% + 15% = 27,5%.

157



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐỂ 3.

a) Bảng tần số ghép lớp theo namvà theo nữ là

Lớp chiều cao (cm;ịỊ Giá trị đại diện

Ị Tần số11 Nam Ị Nữ

[142-150) ! 146i Ị 3t

3

[150- 158) ị 154 ỉ Ỉ0ỉi 15[Ỉ58- 166) 1 162

1! 121

15

[166- 174) I 170ị

1 19 1 14ỉ

[174- 182] ! 178i 1 6í 1 3ỉ1 n, = 50 Ị n2= 50

Bảnglần suấtghép lớp theo nam và theo nữ ỉà:

Lớp chiều cao (cm) Ị Giá trị đạị diện Tần suất(%)1ỉ Nam Nữ

[142-150) ị 146 6 6

[150- Ỉ58) ị 154 20 30

[158 - ỉ 66) 1 , 24 30

[166- 174)i !

ì 70 : 38i 1 28

[174- 182] 1 i 78 12 6 ■Ị

i£ = 100% 2 = 100%

b) Ta có tần số của số học sinh nam cao dưới 158cm là:3 + 1 0 = 1 3 .

Tần số của số học sinhnữcao dưới 158cm là:3 + 1 5 = 1 8 .

Vậy trong s những học sinh cao dưới 158cm thì s học sinhđông hơn.

158



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





) Biểu đồ tần số hình cột

b) Biểu đồ tần suất hình cột

159



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c) Biểu đồ hình quạt(1) Điểm trong khoảng [0; 2)(2) Điểm trong khoảng [2; 4)(3) Điểm trong khoảng [4; 6)(4) Điểm trong khoảng [6; 8)(5) Điểm trong khoảng [8; 10)

c . MỘT SỐ ĐỂ KIỂM TRA 45PHÚT ĐỂ1.

a) Bảng phân bố tần số và tần suất ghép lớpLớp số bánh bán được Giá tri đai diên Tần số Tần su

[5 - 15) 10 5 5(15 - 25) 20 8 8[25 - 35) 30 12 12[35-45) 40 15 15[45 - 55) . 50 30 30[55 - 65) 60 16 16[65 - 75] 70 14 14

n= 100 s = 10 b) Biểu đồ

Tần số Iij

10 15 20 25 30 35 404 5 50 55 60 65 70 75 Hình 36

160



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c) Nhận xét- Số ngày bán được từ 45 bánh đến 55 bánh sa-tô chiếm tỉ ịệ cao nhất - Số ngày bán được từ 5 bánh đẽh 15 bánh ga-tô chiếm tỉ ỉệ ĩhấp nhấ- Có 75% số ngày bán được từ 35 đến 75 bánh ga-tôd) Số &ánh bán được trung binh trong mỗi ngày ià giá trị trung

của bảng số liệu thống kê X = 46, ỉ (cái bánh).Độ phân tán của số bánh bán được từng' ngày so vói số bánh bán

trung bình là phương sai của bảng số liệu thống kê hay cũng ỉà độlẹ c h 2C-Í -s2 = 2397 - 2125,21 = 271,79 s = ^271,79 * 16,49 (cái bánh)

ĐỂ 2.a) Ta cố bảng phân bố tần suất ghép lớp của cân nạng học sinh h

10A và 10B:

Lớp cân nặng Giá ưị đại diện Tần suất%ì OA 103

[33-39) 36 1,9 3,5

[39 - 45) 42 11,3 8,6[45-51) 48 28,3 31,0[51 - 57) 54 37,7 24,1[57 - 63) 60 15,1 20,7[63 - 69) 66 5,7 8,6[69-75] 72 i 0 3,5

1 z = 100% z = 100%

Hình 37 161



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Nhìn trên đồ ihị ta thấy số ngươi nặng trẽn 60kg lóp ỈOB chiếmcao hơn lớp 1QA.

b) Tỉ lệ những người nặng dưới 57kg- Lóp ỉ OA có: (57.7 +- 283+ ỉ ỉ,3+ 1,9)% = 79,2%-Lớp ỈOBcó: (/4,! ^ 3UO +8,6-r 3,5)% =67,2%

Suy ra ú ịệ ĩỉhiiag người nặng dưới 57kg của lớp 10B thấp hơn10A.c) Ta cỏ giá ỉrị trung bình và độ lệch chuẩn theo số liệu của lớp 1

Xa =52,19 kg.S* = 27 67 ,2i - (52,19)2 = 43,42 ^ SA- yl43,42 = 6 ,59 'Giá trị trung biỉũí và độ iệch chuẩn theo sế liệu của lớp 10

Xb = 53,38 kg. s ị = 2915,32 - (53,38)2 = 65,89 => s8 =^/65,89 = 8,12

Như vậyV à có >: ii > ?ÍA (53,38 >52,19) suy ra ỉớp 10B có cân nặngcao hơR ỉớp ỉ OA.

Mệt khác ta lại cổ sb > s.. (8,12 > 6,59) say ra iớp 10A có câri nđều hơn lóp IGB.ĐỂ 3.

a) Giá trị ĩ rung; hìrth XI = 145,93. Mốt Mơ= 145. Số tung vị Mc —1 b) Ta chọn X. - 146,93 làm giá trị đại diện cho số liệu thống k

quy mô và độ lớn.c) Ta có phương sf - 172,9ỉ . Độ lệch chuẩn S, = s Ị y ĩ Ĩ S Ĩ » 13,1.

So sánh với khối lượng quả xoài cửa cây thứ hai ta thấy X2 « XI màS2 = 10,24 <1 3,15 «* ,.

Đo đó khối lượng quả xoài trên cây thứ hai đồng đều nhau hơn.

162



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Chương VI. CUNG VÀ GÓC LƯỢNG GIÁC CÔNG THỨC LƯỢNG GIÁC

ĐỂ KIỂM TRA 20 PHÚT

ĐỂ 1.Cáu 1. Theo công thức đổi rad ra độ: a = hay 1 rađ = ^

71 7C

« 57°1T45'(7 1« 3,14)Vậy 3 rad «

—rađ —30°; - = 60°; - r a d =45°; — rad =270°.6 3 4 2Câu 2. Trên đường tròn bán kính R.

Nếu số đo của cung là a° thì có độ dài / = 7t ~-180

Nếu số đo cỏa cung là a rad thì có độ dài / = R a

a = — và R = 20cm => / —— . 20 =30n (cm)2 2

a = 42°, R = 20cm => / = rc-42-.?0 « 14,65 (cm)

Hình 55AC — £ _ Ịcm (cm)

3 AC 3

163



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





A

Hình 56

Câu z. Dường tròn định hướng là đường tròntrên đó đã chọn một chiều chuyển động gọi iàchiều đương, chiều ngược lại là chiều âm. Người taquy ước chọn chiều ngược với chiều quay của kimđồng hồ là chiền dương (tất nhiên chiều thuộcchiều quay của kim đồng hồ là chiều âm) (h.56)

Cung lượng giác ống với góc lượng giác (Ou,

Ov) = 30° -ỉ- k360° thì cung này cũng có số đo là30° + k360°. Ta chọn điểm A(l ; 0) làm điểm đầu và xậc định đi bởi sđÁM —30° -ỉ- k.360°, trên đường tròn định hướng.ĐỂ 3.

Câu lo Góc hình học uOv hoàn toàn được xác định, góc lư(Ou, Ov) không được xác định duy nhất.

Cung hình học A3 hoàn toàn được xác định. Cung lượng

không được xác định dìiV nhất.Cân 2, Đễ dàng xác định được điểm Mtrên đưcmg tròn lượng giác vìsđ ÁM = 50°. Do M. đối xứng vói M qua gốctoạđộO=> MMi = 180° .

=> ẤM i = 180° 4* 50° = 23 0°.

Vậy sđ AM; - 230° + k360°, k e Z .Do M2 đổi xứĩìg với M qua Oy nênMB = BM3 * 40° => MM2 = 80°.Vậy sđ ẤM2 —130° 4- k360°, k Ễ z . Do M3 đối xứng với M

nên AM»AM, = 50° nên AMs - 360° - 50° = 310°. Vậy sđẨM3k360°, k s Z .ĐỂ 4.

1Câu i. A =14- sin a

, A nhỏ nhất <=> 1 + sin a lớn nhất <=> s

<=> a = —4- k27T, k s Z .2

Vậy min A - —<=> a = Ị- + k2n.2 2

164



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Tương tư min B = —< > Ơ, - - -fklrc,2i ■-

Câĩi 2.a ) s i n ! 2 3 ° — s i n i 3 2 t: = s in 5 . 7 0 — s i n 4 8 ° > 0 v i s i n 5 7 ư > S / n 4 8 (>.

b) cot304° - cot316° = cot(360" - 56°) - cot(36(r - 44")= cot(—56°) “ cot(-44°ì' — —cot56° coĩ44ư= cot44° —cot56° > 0 vìcoì^4”> co'ì56v>-

ĐỂ 5.Câis I.a) tan540° = tan3.1803 = ta-O’ = G:cosll70° —cos(3.360° + 90") = COS 90° - 0; sin990° = sin(3.360° - 90°) - sin(—90°) - - ỉ:cos540° = cos(360° + 180°) = coslSír =- ĩ .Vậv 5 tan540° -í- 2 cosl 170° 4 sũi990° —3 003570°= 5 .0 + 2 .0 4- 4 . ( ~ ỉ ) - 3 .( - I ) = 3 - 4 = - i .

25t ĩ ( x 7Ĩ ì b) sin ———= sin 47T + -- = sin —= —:6 { 6 j 6 2

_ 13ít __ 7 ĩ nị 7 ĩ ,tan—— - tan 37t + — = tan —= ỉ:4 V 4 J 4

197Ĩ f 7 ĩ Ỵ 7 ĩ ỉCO S—-— = COS Ố7Ĩ + — COS —= -

3 V 3 j 3 2

_ / A ^ . 2 5 7 1~ 1375 _ 1 9 t . I Ĩ3Vậy 3sin—— -----3 tan——- + 2ccs-“ —= 4-2.—------3-t-i = — ■ 6 4 3 2 2 2 2

Câu 2.a) Biến đổi VT.1 —2 s in a co sa _ (c o sa -sm o t)2 _ COS a —sin acos2 a —sin2 a (cos a 4- sin a ) (cos a - sin a ) COS a + sin (

Chia cả từ và mẫu cho COSO, ta được:cos a —sin a ỉ - í a n a s — ------ = -— ------ bang v p (dpcm).co sa + sin a I -r tan a

165



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





COS2 c t — s i n 2CL C O S2 a — sin2a. COS2 a —sin2 acos4 a - sin4 a

= sina - (-sina) —cota - cota = 2 sina —2 cota. b) sin4a + cos2a -r sin2a cos2a

= sin2a (sin2a 4- cos2a) + cos2a = sin2a + cos2a = 1.Câu 2.Theo định lí sin trong tam giác ABC ĩa có:

-JL _ ^ = 2R sin A sinB sinC

=> sinA = sinB = -4~, sinC =2R 2R 2R Từ giả thiết ta có:

4R2<=> b2 + c2= 2a2.

a sin2acos2a

= sin2aco s2a bằng VP (đpcm).

(cos2 a + sin2a) (cos2 a - sin2a)>Ể6.Câu 1. a) sin(7t + a) = sina;

12 ;cot(27ĩ —a) = cot(-a) = -cota;

a

Theo định lí cosin trong tam giác ABC ta có:

2bc 2bc 4bc 4bc 2

cos A >-- => A < 60°.2

166



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





1

I. Áp dụng cộng thức 1° as 0,0175 rad, ta có các kế t quả:a) 20° « 0,3490; b) 40 ° 25’« 0,7054c) -2 7 0 « -0,4712; d) -5 3 ° 30’ « -0,9337

( 180 V; kết quả là:ít j

a) 10° 35'58"; b ) 3 8 ° i r 5 G Vc) —286 ° 28,44"; c) -51 ° 24’9”.Câu 2.

1. A = -3.— - 2 — + 4(l) + 5 (-l) = — -1 .2 2 w 22. B = (1 + tan2a) —tan2a —sin2a= 1 + tan2a —tan2 a —sin2a = 1 —sin2a = cos2a .

ĐỂ 8’Câụ 1. ĩ. Chú ý: sin2a + cos2a = 1 nên có thể viết:sin6a + cos6a + 3 sin2a cos2a (sin2a + cos2a)= sin6a + cos6a + 3 sin4a cos2a + 3 cos4a sin2a- (sin2a + cos2a )3=l. (đpcm).2 (s ỉna—cosa)(sina+cosa) _ sin a- co sa

(sin a + cos a )2 sỉn a + COS a 5với cosa 5É0 (sina + cosa ^ 0)

s i n a - c o s a= cosa----- _ t311a—1 (đpcm).

sin a + cos a ta na + lcos a

Cậu 2.J sin2on-sina 2sinaco sa + sina _ sina(2 co sa+ l)

1 + cos 2 a + cos a 2 COS2 a + cosa COS a(2 COS a +1)X ^ sina,(với 2cosa +■1* 0) = -------= tan a (apcm).

COSỚT

Ể7 .Câu 1.

167



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2. an zu _ antan 4a - tan 2a 2 tan 2a J--------r— ----- tan 2aI —tan 2a1—tan22 a COS2 2a —sin2 2a cos4a“ — —— = — —COS 4 ai + tan2 2a COS2 2 a + sin2 2a I

ĐỀKIỂMTRA 45 PHUT

ĐỂ 1.I. Phần trắc nghiêm

Cáo 1. Đáp án B* Ta có: -740° = -20° + ( -2 ) 360°.* -20° có điểm cuối thuộc cung phần tư thứ IV.Câu 2. Đáp án A

* tan a = 1, thì a =—+ kn, k e z .4

* 2a - —+ k27t; (k eZ),khi đó sin2a =1;cos2a = 0,

nên: cos2a —sin2a = 0 —1 = —1.Cáu 3. Đáp án C: Biến đổi biểu thức K thành tích và rút gọ1-*- -2sỉn (-2 a)sin 4a 2sm 4asin2a *K ---------------------- — -------= ------------------------= t a n 2 a .

2sỉn4acos2a 2sin4acos2aII. Phần tự ỉuận

Câu í.a) cos75° = cos(45° + 30°) = cos45° cos30° —sin450. sin 30° _ yỊĨ Vã y/2 1 ^ y ỉẽ -y Ị Ĩ

2 * 2 2 2 4tan 60° + tan 45° b) tan 105° = tan(60° + 45°) =

1 —tan60°. tan45c

1 -V ã - 2 - 2 V 3 < 0 'Câu 2.a) M = CQS(X + y) + CQS(X - y)

cos(x + y)- c o s(x -y )

ĩ 68



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* Khai triển:cos(x4- v) = cosxcosv - sinxsiny;cos(x —y) = cosxcosy 4-sinxsiny.* Ta được:

M - 2cosxcosy —2 sin X sin y

= —tan X tan y.

b )N = tan 2,22 + tan 0,921—tan 2,22. tan 0,92

= tan 3,14 as tariTĩ = 0.

N 1+ sỉn 2a ỉ + sin 2ac) K = ------- — - ------=- = —TI--------- 2 ■-----------r (s ỉna + co sa ) (sin a + cos a -f 2 sin a COS a )14-sin 2a = 1.

2.

1+ sin 2aCâu 3.a) M = sin4x + sin2x = 2sin3xcosx; b) N = cos2x —cos6x = 2sin4xsin2x.

Câu 4 (*)(1—COS 2a) + 2 sin a cos a 2sin2a + 2sinacosa(l + cos2a) + 2sina co sa 2cos2a 4-2sinacosa2s ina (sin a + cosa) sin a= —— ■—— - -------- - — - = — -— = tan CL2cosa (c osa + sina) COS a

I. Phần trắc nghỉệm

Câu 1. Đáp ánc là đáp án Đúng.COS Xsinx cosx sin* tanx + cotx = — — + — =-----------------cosx sinx sinX . cos X 1sin2x

<=> 3 sin2x - 2 <=> sin2x = — 3

Câu 2. Đáp án B là đáp án Sai:

*A + B + C = 7r=>A + B = 7i-C => sin(A + B) = sin(7i - C),nên sin(A + B) = sinC.Câu 3. (h. 58) Đáp án c đúng.Tam giác vuông ABH và CAH cho:

H a Hình 58



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





3H = c ccsB, CH -- b cosC a ~ 3C = fc cosC -T- c cosB.Chứng minh íươPxg tự ta. có: b = c cosA -r a cosC, c =: a cosB -Ỷ- b COSÁ.Thay vào vế phải cửa đẳng thức đã cho và thực hiện phép tỉnh,ta có:

(a ~ b) (cosB —cosA)-V (b —c) (cosC —cosB) (c —a) (cosA —cosC) = 0. Giả rằng a > b > c => A > B > c , vì hàrn sọ côsin nghịch biến trong khoảng nên vế trái của (*) ỉà tổng củabã số không âm, mà tổng đó bằng 0, nên:

í (a —b)ícos B —cos A) = 0<!(b —c)(cos c - cos B) = 0 => a = b --- c.[(a —c)(cos A —cos C) = G

Vậv tam giác ABC là tam giác ổều.

ÌL Phần tự ĩỉỉậnCâỉí I.a) Đặt A = cos20° cos40° cosSƠ’=> A sin 20° —sin 2C° cos20° cos4Cr' cos30°

A sin20° = — sm40° cos40° cos80° = — sin80° cos80° = —sin 160°2 4 8

sin 160" sin 20" 1 . . -no _ . - nox^ _ — _— ___ - (vi sin 1Ố0 = sin 20 ).8 sin 20 8sin20í; 8

tan2—- ỉ ị - ^ b ) — ^ — = --- i _ =-----L _ = - J _ = 2.

t a n - tan - 2 t g - t a n - ■ .8 8 8 4tan —“ 1 tan —!S Qo

Câu 2.Đặt sin 18° = I => 0 < í <ì .cos36° = sin54° =s ìr 3. 18° = 3 sin 18° —4 sin318° = 3t —4t3 (1>Mặt khác cos36° = cos(2.I8°) =1 —2 sin2I8° = 1 —2t2 (2)Từ (1) và (2) suy ra 3i —4ĩ3= i —2t2<=> 4t3 - 2t2 - 3t + i = 0 (t - 1) (4 r + 2t - 1) = 0

4t2+ 2t - I = 0(*> (đo t * 1} (2í + 1) (4t* + 2t - 1) = 0=> 8t3+ 8t2- i = 0 => 8sin318° -r 8 sin2 18° =1 (đpcm).

170



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Cũng có íhể giải như sau:

Tờ (*) ta tính được 1 + ^ __ —Ị— ợ Qạ ị do 0 .<t < 1)

Do đó 8 sin3 ĨB° + 8 sinz18° = 82i oo _ - I + V5\ 3

+ 8 —1+ yfẽ

Ể 3.

V s - lỴ f 75-1 | 'Ị = (3-^/s>(ĩ + V5) = JM l 4 J 4

I. Phần trắ c nghiệm

Câu 1. Sử dung đinh lí sin: —-— =-------= 7~~r = 2R vào vế phải tasin A sinB sinCđẳng thức tương đương:

' . B+ C B -CB c 1 sm 2 °°s 2 : Ay2 cos—cos— = —+----- — ------7-^—.sin-f 2 2 2 - . A A 22sin-^-cos—

2 2B -C . A ỉ B -C<=> cos— ----- h s i n + COS-------

2 2 2 2

<=>sin— = — = 30° <=> A = 60°.2 2 2

Chọn đáp án D.

Câu 2. cosa = —, sina = ị \ - = - (đo a nằm trong góc thứ nhất)

_ 2tana 2 24tan 2a =------= =1 - t an a 7

16Chọn đáp án B.Cảu 3.

„ . B + C B —c■ A A 2sin--- -—COS-------: A sinB + sinC A A 2 2sin A = oosB+cosX: ~ 2sfaT ° ° ST = I B + C B - C2cos- cos-

171



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





<=>2sin—COS— =2 2 cos

sinA A 2 — cos— = ----- f-2 2 . Asin—2

- Acos —

= sin 45°

<=>— = 45°<=>A = 90°

2<=> AABC vuông tại A.Chọn đáp án B.


Câu 1. X2 —(3sina “ cosa)x —4 —4cos2a = 0.A = (3sina - cosa)2 +4 (4 + 4 cos2a)

= (3sina —cosa)2 4-16 (1 + cos2a).

Trước hết phải có điều kiệnA > 0 <=> 1 + cos2a>0<=> cos2a > 0, suy ra phương trình có nghiTheo đỉnh lí Vi-ét:s= X? +xl = (X j + x2)2 - 2x1x2

=>S—13 = 4cos2a —3sin2a.Theo bất đẳng thức Bu-nhi-a-cốp-xki ta có:(4cos2a —3sin2a)2 <42 + 32 suy ra (S —13)2 <25

ls-13|< 5<=>-5< s-13<5Vậy mins =8, maxs=518

Câu 2. (1 + cotA) (1 + cotB)-2<=> f l + — - — Y t+ —^—1 = 2V tan A A tan By

<=> tanA.tanB + (tanA + tanB) + 1 = 2 tanA tanB <=> tanA + tanB = -(1 - tanA tanB)

= (3sina —cosa)2 + 8 ( 1 + cos2a)= 13 + 4cos2a - 3sin2a

= —!<=> tan(A + B) = -1

A + B =~<=>c = ~.4 4Vậytam giác ABC có gócc = —

4



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





PHẨN HỈNH HỌC

Chương III. PHƯƠNG PHÁP TỌAĐỘTRONG MẶT PHẲNG

DỀ KIỂM TRA 20 PHÚT

ĐỂ 1.a) Phương trình tổng quát cửa (à):3(x - 2) - 5(y - 3) = 0 <=>3x - 5y + 9 = 0. b) n (3; —5) => vectơ chỉ phương ũ của (đ): ũ = (5; 3).

c) Phương trình tham số của (đ) qua A và có u = (5; 3) là:

đ) Từ phương trình tham sô' của (d) ta có thể viết:

phương trình chính tắc cửa (d) ỉà:

ĐỀ 2.

a) Vecíơ chỉ phương u của (đ): u = (1: -2 )Vectơ pháp tuyến n của (d): n = (2; 1)Với t, = 1 =>A (3 ;-1 );

Ĩ2 — —2 => B (0; 5);

t3 =0 => c (2; 1);Í4 = 4= >D (6 ; -7).ĐỂ 3.

a) Phương trình tham số của (d):



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





b) Từ phương tr lah chính tắc của (d) ta có: —6 (x —8) —3(y + 14)<=> —6x -T- 48 ==3y + 42<=> 6x + 3y —6 = 0 <=> 2x 4- y - 2 = 0.Phương trình tổng auát của (đ): 2x -ỉ- y ■*=“ 2 = 0.

ĐỀ 4.1. A = đ(A3>n đ.AC) !à nghiệm của hệ phương trình:f x - y - 2 = 0 3 ỉì _ <=> A(-- ; - — | 3 x - y ~ 5 = 0 2 2

B = d(BC) n d(BA) íà nghiệm của hệ phương trình:( x - y - 2 = 0 7 1 .S <=>3( — ; — ).[ x - 4 y - l = 0 3 3

2. Đường cao AA7của AABC vuông góc với cạnh BC, nên phtrình đường cao A' có dạng: d(AA) = 4x T y r c Do d(AA.., đi qua đi m ta có:

í 3 , ( ì^ - I I4 — + —- -f-C —0 =o-c = —— w l 2 ; 2

>'inên d(AíV): 4x -T- y - ■— - 0 <=> 8x -i- 2y ~ 11 = 0.

3. Khoảng cách từ B đến cạnh AC:ư f ì"\ J C13 - - ị - ‘ - 5 £ r - r

h = đ [B, d(AC,j = l l l L L L i - J = 5 = 5 ^ 0v i I ;VỈ0 30

ĐỂ 5.1. Tọa độ đỉnh A: A - &AB>n d(AOĩà nghiệm của hệ phương trình j"4x —3y “í-2 = 0 J 7 \

[ y - 3 = 0 v4 }2. Phương trình đường phân giác trong và ngoài của góc A.|4 x - 3y + 2| _ Ịy-3|‘tx.—jy-I-Z. y - J ! „,,,1 r ~ 1= -----' 4x - 3y + 2 = 5Ìy - 3

[ 4 x - 3 y + 2 = 5(y-3> (a) _4x - 3y H- 2 - -5(y - 3) (b)

174



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Từ (a) ta được: 4x —8y 4- 17 = 0 (Aị)Từ (b) ta được: 4x + 2y —13 = 0 (A2)Thay toạ độ cua B, c vào phương trình (Aị), ta được:B (1; 2) => 4 - lố + 17 = 5 > 0;c (-4; 3) =>- 1 6 - 24 + 17 = -23 < 0,Chứng tỏ B, c nằm về hai phía của (Aj), nên* (Áị) là phân giác ưong của góc A.* (A2) là phân giác ngoài của góc A.

Ể 6.V ec tơ ch ỉ phư ơng của (d ị ): Ui —(1; 2) =>nj = (2 ; —Ì) ;

(d2): U2 = (—2; 1 )=>ỈT2 = (1; 2).Ta có: n , . n 2 = 2 - 2 = 0 <=> n, _L n2 .

Vậy góc giữa (dj) và (dj) bằng 90° => (dj) ± (d2).Ể 7.

1. Ta có: AB là đường kính đường tròn (Q .* Cách 1: Gọi ĩ là tâm đường ưòn => I là trung điểm AB; R ỉà báĩi

ABnh đường tròn => R = ---- = IA - ĨB.2

* Tâm ĩ (x; y) => I (1; 3)

* AB= ^/(3 + l )2^ ( l - 5 ) 2 =Vl6 + 16=-s / 32=W2

* R = 2 V2

* Phương trình đường tròn (C): (x —l)2 -4- (y —3)2 = 8* Cách 2: Do AB là đường kính, giả sử M (x; y) e (Q thì MA -L MB

MA -MB = 0.* MA = (3 - x; 1 - y); MB = (-1 - x; 5 - y).* MÃ .MB = —(3 —x) (1+2) + (I —y) (5 —y) = 0<£> - ( 3 x + 3 - X - X2) + ( 5 - y - 5 y + y 2) = 0

<£> X2 + y2 - 2x - 6y + 2 = 0.(Chọn một trong hai cách giải)

175



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





M N, MK không cùng phương, nên M, N, K không thẳng hà b) Lập phương ư ình đường tròn (Q qua M, N, K-* Cách 1: Gọi I là tâm đưòng tròn; I (x; y).Từ điều kiện IM = IN = IK <=> IM2 - IN2 = IK2

2. a) MN = (4; 0); MK = (0; -5).

♦ Cách 2:♦ Giả sử phương trình đường tròn (Qcó dạng:

X2 + y2 - 2ax - 2by + c = 0 (*)với a2 + b2 - c > 0.

♦ Thay toạ độ của các điểm M, N, K vào phương trình (*)

hệ phương trình gồm 3 phương trình mà ẩn số là a» b, c.

Nên phương trìnhcó dạng: X2 + y2 + 6x —y —1 = 0(Chọn một trong hai cách giải).3. a) (C): X2 + y2 —2x + 4y —20 = 0<=> (x - 2x + 1) + (y2 + 4y + 4) = 20 + 1 + 4 = 25

(C): (X - l) 2 + (y +2 f = 25 => I (1; -2 ); R = 5. b) A (4; 2); Thay toạ độ A vào phương trình (C):( 4 - 1)2 + (2 + 2)2 = 32 + 42 = 25=>A(4;2)e(C).

í ( x - l ) 2 + ( y - 2 ) 2 = ( x - 5 ) 2 + ( y - 2 ) 2 (1)

l ( x - l )2+(y -2)2= (x -l) 2+ (y+3)2 (2)* Từ (1) và (2) ta được hệ phương trình bậc nhất2 ẩn

* R 2 = IK2= 1 0 - = — .4 4

* Phương trình đường trôn (Q : (x - 3)2 + í y + —

176



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





x! yỉCâu 1. Do a = 6 =í> a2= 36; phương trình có dạng: — + Ar = ỉ .36 b

r— _ 20 4 ,* Do (E) qua M ( - 2V5 ; 2) nên ta có: ——+ — = ì => b “ 9.36 b

y 2Vây phương ưình (E): —-■+ -ì—= 1.36 9

Câu 2. a) Ta có: a2 = 9; b2= 4 => c2= a2+ b2 = 9 4*4 = X3=> c = -JĨ3 Vậy a = 3; b = 2; c = y/ĩ 3.* Toạ độ tiêu điểm: Fj ( —VĨ3 ; 0); F2( V Õ ; 0).* Độ dài trục thực: 2a = 6.* Độ đài trục ảo: 2b = 4.

ĐỀ KIỂM TRA 45 PHỤT ĐỂ 1.Câu 1.* KN = (3; 2)* KM = (1; -5)* NM = (-2; -7 )a) Viết phương trình tổng quát

các cạnh của AABC.* KN là vectơ chỉ phương

của cạnh BC => nBC - (2; -3 )* Phương trình canh BC: qua M và nBC = (2; -3 ) là:2(x - 3) - 3(y + 4) = 0<=>dec:2x - 3y - 18 = 0.* Tương tự: dAB: 7x - 2y - 12 =. 0; dAC: 5x + y - 28 = 0. b) Gọi đường trung trực của BC là (A).(A) qua M, nhận KN làm vectơ pháp tuyến.(A): 3(x - 3) + 2(y + 4) = 0<=> (A): 3x + 2y - 1 = 0

ĐỀ 8

177



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 2.a) * AB —(2; 8); gọi ũ là vecíơ

A

chỉ phương của đường thẳng AB.* ũ = < 1 ; 4 )= > = ( 4 ; - l )

<w 4(x - 3) - (V + 1)= 4 x — Y - 13 = 0 .* Cạnh AC ớì qua A (3; 1) nhận

B A' Hình 60 c

BH = (“ 1; -8 ) làm vecíơ pháp tuyến nên dAC: (x - 3) + 8(y + 1) ==> X -r 8 y + 5 = 0 .

* Cạnh BC đi qua B (5; 7) nhận AH (1; 0) làm vectơ pháp tuyến dgc: ỉ(x ~ 5) -r C(y ~ 7) = 0 X- 5 - 0.

b) Đường cao AH -L BC, nên phương trình có dạng y + c = đo A (3; —1) ẽ AH -> - • + c = 0;c = 1 =5>dAH: y + 1 = 0

* ĐườngCHỠ BH XAC, nên phương trình có dạng: 8x —y + c —do B (5; 7) € HB 8 (5) —7 -!-c = 0 => c = -33=> d^: 8x — V — 33 = 0.

* Đườntì cao CH J_ AB, nên phương trình có dạng: X + 4y + c = 0.H (4; - I ) € CH c = 0; d ^ ; X+ 4y = 0.Câu 3.Tính khoảng cách từ A (3; 4) đến. (d): 2x + y —5 = 0

Cấn 1.

a) Tầm I (2; -3); R = IA = sỊỶ Ỉ T ■-=%/so.Vậy phương trình đường tròn (C):

(C): (X - 2 ý + (y + 3}2= 50. b) Tâm I (-1; 2) tiếp xức dường thẳng (d):X - 2y + 7 = 0

w> rzrr —V5.

Càu 4. {<Ị>: 2x - y + 3 = 0; rid, = (2; -I )

(d?): X “ 3y + 1 = 0; n đj = ( ỉ ; -3)Gọi9 là gốc nhọn tạo bởi (dị), (d2)

v4 + W Ỉ + 9 5V2 2

DỂ 2.



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





=>R = d(I,(d )) =| - l - 4 + 7 | _ 2 2y/s > / P 7 ? ~ V 5 ~ 5

Vậy phương trình đường txòn (Q:

( Q : ( x + l ) 2 + ( y - 2 )2= |c) Đường kính AB: A (2; 3); B (4; 7); tầm I(Xj, yj) là trung điểm

* R = —AB; AB = V (4-2 )2+ (7 -3 )2 - y ỉ ĩ ĩ ĩẽ = V2 0 = 2 V5

=> K —y/S.* < Q :(x -2 )2 + (y~ 5)2 = 5.Câu 2. A (1; 4); B (-7 ; 4); c (2; -5).a) AB st (-8; 0); AC = (1; -9); AB, AO khồng cùng phương=> A, B, c không thẳng hàng. b) Gọi I (x; y) là tâm đường tròri (Q .

i ( x - 1)2 + (y - 4)2 =(X+ 7)2 + (y - 4)2(1)^ Ị ( x - l ) 2+ (y -4 )2 = (x —2)2 + (y + 5)2(2)

* Bán kính R = IA = VI + = V ĩĩ.* (Q : (X + 3)2 + (y + l) 2 - 41.

y2Câu3.ỢE)r = 1.9 4

*a2 = 9= > a = 3= >độ đài trục lổn = 2a = 6.* b 2 = 4= >b = 2=>độ dài trục nhỏ = 2b = 4.* c2 = a2 —b2 —9 — 4 = 5 => c — Tiêu cự: F|F2 = 2c = 2 V5.

của AB nên:*A+XB

2

179



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





1 1 W i 'j —"V-> y , 1*2 V 3 )•

* Tâm sai: e = ~ = < 1.,a 3

* Toạ độ các đinh: A, (3; 0); A2 (-3; 0); Bj (0; 2); B2 (0; -2) .

ĐỂ KIỂMTRAc u ố i CHƯƠNG

ĐỂ 1. I. Phần trắc nghiệmCâu 1* Đáp án A là đáp án Đúng:* ũ= (—1; 3) =>ã = (3;1).* (d): 3 (X - 3) + ỉ (y + 2) = 0 « 3x + y - 7 = 0.Câu 2. Đáp án A là đáp án Đúng:* AB ỉà veetơchỉ phương ũ = (2; -1) => n = (1; 2).

* (d) qua A và ri = (Ị; 2) => (d): X+ 2y - 4 = 0.Câu 3. Đáp án c là đáp án Sai:* n = (1; 1) => ũ là vectơ chỉ phương => ũ = (1; -1 ).Câu 4. Đáp án Đ là đáp án Đúng* Vì (dj) và (d2) // với nhau nên khoảng cách giữa (dj) và (í^) là

d((d1),(d2) ) = - l â f M - - ầ i L = | = i .V A2 +B2 V3 +4 5

Câu 5. Đáp án B ỉà đáp án Đúng:* Gọi ĩ (x; y) ìà tâm đường .tròn => X = ——- = 1; y = /—■—= 4.

* R ià bán kính đường tròn => R = —AB.2 'I

* AB - iy/(5 + 3)2 + (7 - 1)2 = >/64 + 36 = yJĨÕÕ = 10 =>R = 5.* (x - lỷ + (y - 4)2= 25 <=> X2+ y2 - 2x - 8y - 8 = 0.

Câu 6. Đáp án B là đáp án Đứng* X2 + ý* +6 x - 4y +■3 = 0 o X2 + 6x + 9 + y2 - 4y + 4 = 9 + 4 - 3 = <=>(x + 3)2 + (y - 2 ) 2= 1 0=>R = yJĨÕ.

180



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Càu 1.* ri; là vectơ pháp tuyến của (dị ); n7 = (2; I).

* n2 là vectơpháp tuyến của (d2); = (3; - ỉ ) .

|2.3 + 1(-1)| _ |5| _____ 5 _ 1 _ 4

9 A m ~ 5.-72 - V2 " 2 ■a/2* cos <p- 45°.

Câu 2.Gọi I (x; y) là điểm thuộc phân giác của ẹóc tạo bởi (dj), (d2)

đ (I, (di)) = d(I, (d2)), ta có:|3x —4y + 5| 15 X+ ỉ 2y - ĩ I , , , '— —■■ “ i—r = = — <=> 13 3x - 4y + 5 -■5 5x + Ì2y ~ li

S Í Ĩ T Ĩ ’ V5 2 + 1 2 1 1 !|~I3(3x —4y + 5) = 5(5x + ỉ2y~ ỉ) (a)

^ |_13(3x - 4y + 5) = -5(5x +12y - ]) (b)

(a) <=> 7x - 5ốy + 45 = 0 (d3)(b) <£> 8x + y + 10 = 0 (đ4)(d3), (đ4) là phương trình cácđường phản giáccần tìm.Chú ý: n3 = (7; -56);

n4 = (8; I).

=> n3 . n4= 0 => (d3) X (d4).Câu 3.a) ÃB = (-2; -2); Ãc = (2; -2); BC = (4; 0). b) ÃB .Ã c = -4 + 4 = 0 <=>AB JL AC.* Vậy AABC vuông tại A.* |ÃbỊ =AB= yfÃT Ị = S = 2yf2.

* |Ãc| = A C = V4 + 4 = Vs=2V 2.

Vậy AABC vuông cân tại A.

II. P hầĩi tự ỉuậ?ì

181



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c) Ị b c Ị = BC = VĨ6 - 4

* R = —BC = 22

* I là tâm đường tròn, I ià trung điểm BC: ĩ (3; 2)* Vậy phương trình đường tròn (C):(X - yỷ + (y - 2 f = 4.

ĐỂ 2.I. Phần trắc nghiệm

Câu I. Đáp án A là đáp án đúng* Tâm I (2; 1); bán kính R - 3.* (Q : (X - 2 f + ( y ~ l f = 9

<=> (C): X2 + y2 - 4x - 2y - 4 - ũCâu 2. Đáp án 6 ỉà đáp án Đúng:* Ta có: a = 2; c = 1; c2 = a2 —b2=> b2 = a2 ~ c2 = 4 —1 = 3; a2

X2 y 2* Phương trình chính tắc của (E): — + — = 1 -4 3Câu .3. Đáp án c là đáp án Sai:

* Ta có: c2= a2 + b2 = 25 + 16 = 41 => c = >/41.* Toạ độ các tiêu điểm của (H): Fj ( -V 4 1 ; 0); F2 ( V ĩ ĩ ; 0).Câu 4. Đáp án D là đáp án Đúng* phương trình chính tắc của parabol (P) là: y2 = 2px.* Do (P) qua M (2; 4) => lố = 2-P-2 = 4p => p = 4.* Vậy (P): y2 = 8x.Câu 5. Đáp án c ià đáp án Đúng:* Ta có: c2 = a2 H-b2 = 4-i-2 —6= ^c = Vó ; 2c —2>/6.* Đáp án A) Sai; B) Sai => C) là Đúng.Câu 6. Đáp án c là đáp án Sai:* Độ dài trục nhỏ của (E) là 2b vói b = yÍ5 => 2 >/5 .Vậy c là đáp án Sai.

182



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





a) Ta có: 2a = 6=í>a = 3 ;2 b “ 4= >b = 2.

Vậy phương trình chính tắc của elip ỉà:X2(E): 9 4

b) Phương trình (E) có dạng:X2 y2■— —1 ; ta phải xác định a2, b2. a

n . Phần tự luậnCâu 1.

a 4b♦ N _ 2 2 e(E)<s--^-+-=r = - l

a 4b

* Giải hệ: -

J_ 3 = a2 4b2 =>a2 =4; b2 =1.2 2

---- =r = 1u 2 4b

* Vậy phương trình chính tắc: _ X2 Y2(E): — + ^ - = 1.

4 1Câu 2.*F(3; 0) =>c = 3;Ft(-3; 0);F2(3;0).* c = 3 => a2 = c2 b2 = 9 - b2-

* (H) có dạng: »1 (*)

* Thay toạ độ M 3;4 J 5 )

(a)

vào phương trình (*) ta được

lố = 1 <=> 45b2 - 16 (9 - b2) = (9 —b2) 5b29~b2 5b2o 5b4 + 16b2 - 144 = 0 (**)* Giảiphương trình (**)với b2> 0 ta được: b2= 4 =>a2ss 5-



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





y2Vậy (H) có phương trình: —— — = 1.

Câu 3.

a) y2 = 6x 2p = 6 => p = 3; F

b) Parabol có dạng: y2 - 2px; (p > 0)

* F (5; 0) :=?>£= 5= > p=10 .

* Vậy phương trình của parabol (P) là:( P y. y ^ O x .

ĐỀ KIỂM TRA HỌC KỈ IIĐỂ 1.

Câu 1. Đáp án A là đáp án Sai:Vì nếu a = -5 < 4 nhưng a2 = 25 > 16.Câu 2. Đáp ánc là đáp án Đúng:X> -1.Câu 3. Đáp án B là đáp án Đúng:

5 5a) X> — :=> 2x - 5 <X+ 1 <=> — < X< 6 (1)2 2

5 4 b) X< — => -2x + 5 < x + l < = > x > — (2)2 3

4Hợp nghiệm ta được: —<X< 6.

Càu 4. Đáp án A là đáp án Đúng:

* Vậy tiêu điểm F của parabol: F

ỉ. Phần trắc nghiệm

Câu 5. Đáp án B là đáp án Đúng:s = ( ~ o o ; 1] (2; -*»)(Lập bảng xét dấu)

184



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 6. Đáp án D là đáp án Đúng:Vì (1 + tan2 a)cos2 aX (1 + cot2a)sir r a “ 1.

1 iII. Phần tự luận

Câu 1.A = 2x2 + y2 - 2xy - 4x = (x2- 2xỵ + y2) +(X2 - 4x -ì- 4) - 4

= (X- y)2 + (x - 2)2 - 4.Vì (x —y)2 > 0; Vx, y; (x - 2)2> 0 Vx nên

Vậy giá trị nhỏ nhất củaA = -4<=í>x =y = 2.Câu 2.(2x2 - 6 x + l ý < (x2 + X+l ý<=>(2x2 —6x+ 7 + X2 + X + 7) (2x2 - 6x -í-7 - X2 - X - 7) < 0<=> (3x2- 5x + 14)(X2- 7x) < 0.Do: 3x2 - 5x + 14 > 0 Vx e R. Nên ta có: X2 - 7x < 0 <=> 0 < X < 7.Câu 3.

^ l ± ỉ l < 0 <=>-12 <X < 3.X —3

Bất phương trình có 2 nghiệm nguyên dương làX = 1; X = 2.

<=> X= y = 2.

2x + 9 — X 4-3 ^---------------- < 0X-3

Câu 4.3(x - y) + 5 > 2(x - 2y) + 8<=>x + y > 3.Vẽ:X + y = 3 qua A (3; 0);

y

B(0;3)Chọn gốc toạ độ 0(0; 0).Ta có: ó + 0 < 3.Do đógạch bỏ phần nửa mặt

phẳng chứa gốc toạ độ.Miền còn lại là miền nghiệm

của bất phương trình X + y> 3. Hình 61 185



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





a) Đường thẳng (d) có n =s (2; X) nên (d') có n = (1; —2).(d*) qua M (1; i) (ổ1): X- 2y + 1 = 0.b) Tọa độ giao điểm H của (đ) và (<!’) là nghiệm của hệ:

2x + y —13 = 0V_ ■■) 1ì __ A =* H<5; 3>-X—2y +1 = 0

H ià trung điểm MN =>ị Xn Xm ^lyN “ 2yH—yM—5

Vậy N(9; 5).Câu 6.a) Đường tròn (C) có tâm ĩ ( i; —2); bán kính R = 3.

b)IA 2 = 5 = > IA = J s < 3 = R => A(3; —1) nằm trong đường tròn (C).Đuờng thẳng (d) qua A cắt (C) theo dây cung nhỏ nhất <=> Đường

thẳng (đ) có khoảng cách từ I ĩới (đ) ià lổn nhất <=> (d) J_ IA <=> (d) quanhận IA = (2; I) làm vectơ pháp tuyến- Do đó:

(d): 2(x —3) + L(y + 1) = 0<=> (d): 2x + y —5 = 0.

ĐỂ 2. ĩ. Phần trác nghiệm

Câu 1. Đáp án A-Sx ->-2 2* Bất phương trình đã cho Cí> —- — > 0 <=> “ < x < 2 ; v i X nguyêx(x - 2) 5

dương nên bất phương trình có đứng 1 nghiệm nguyên dương là X = 1.Câu 2. Đáp án D

Bất phường trình (1) có nghiêm: 0 < X < ỉ .4

Bất phường trình (2) có nghiêm: X < ~2 hoặc X< 0.

Vây nghiêm của hê: 0 < X < —.4

mMtitímttmmmHummmmmMÁi-------------'ỵHìmmmHmmmmimmmm ►-«5 -2 0 {_ +oo

4

Cáu 5.

186



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 3. Đáp án c .

Khi m = — thì bất phương trình có dạng Ox -+- 7 > 0

Vậy tập nghiệm của bất phương trình là R.

Câu 4. Đáp án B.4X € (— «o; (2; +oo)

Câu 5. Đáp án A.1—cos2'a sin2a ^p= -—— -Z— as— —— = tan CL.1—sin a cos a

Câu 6. Đáp án D.(X - l)2 + (y - l)2 =: 4 = 22.Tâm 1(1; 1);R = 2.

n. Phần tự luậnCâu 1.

(1) <=> 2x +7x X+ 2

> 0 có nghiệm:-7 —- < X< —22X>0

(2) có nghiệm: —4 <X < 1

-72

-2-7 <x <~22

0 < x <1Nghiệm của hệ bất phương trình ỉà:

Câu 2.Tính số trung bình:

—9 + 3 + 8 + 8 + 9 + 8+ 9 + 18 72 nX = -------------------- --------------------= = 9 .8 8Các độ lệch lần lượt là: 0, -6 , —1, —1,0, - 1 ,0 ,9 .Các bình phương độ lệch lần lượt là:0 ,36 ,1 ,1 ,0 ,1 ,0 ,81 .

• 2 0 + 36 + 1+1 + 0+1 +0 + 11 1CPhương sai s =----------------- ------------------ --- 15.o

Độ lệch chuẩn s =-Jĩ 5 « 3,87.187



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





<=>

Vếphải: (1 + cos2x) —(cos4x + cos6x) —2 cos2x —2 cos5x cosx = 2 cosx (cosx —cos5x)= 2 cosx (2 sịn3x sin2x) = 4COSXsin2x sin3x = Vế trái.

Câu 4.Xét: f(x) =X2- 8x + 20; A’= 16 - 20< 0; a= 1> 0

=> f(x) > 0; Vx e R.Để bất phưcmg trình đúng Vx e R thì:<Ị>(x) = mx2 + 2 (m + 1)X + ’9m + 4 < 0; Vx e R và m

m < 0

♦ A^(x) = -8m 2 - 2m + 1 < 0 <=>m < —-

2

m >

+oo♦ a = m < 0 ________ Kết quả: ■'°0

1 z 4m G ( -co ; ~ > .

Câu 5.Vì tâm I € (d): 3x - y + 10 = 0 I (x; 3x + 10)

AI = yj(x + l)2 + (3x + 10—2)2; .

BI= V(x + 2)2+(3x + 10 -3 )V m àA I = BI=> 4x = -1 2 <=> X = “ 3 => y = 1: Tâm I (r-3; 1).Bánkính R = AI = BI = 5 = > (C): (x + 3)2 + (y —l) 2 = 25.c/ní ý: Gọi A là trung trực của AB; (À)r\ (d) = LR = IA =s> Phương trinh đường tròn.Câu 6.

a) ThayX = 2 vào phương trình (E) y2 = —=> y = ±-------,

188



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





f 2 / ĩ ìTa đươc: M, 2;------

3V J J b) Thay y = 1 vào phương trình (H) =>X = ±2yỈ3.Ta đuợc: Ni(2 V3 ; l) ;N 2(-2> /3; 1).

3.

I. Phần trắc nghỉệmCâu 1. Đáp án B:ị~A' = 1—12 < 0

f(x) =X - 2x + 12 cóị_a = I > 0

Vậy f(x) > 0 Vx e R.Câu 2. Đáp án A: X2- 5x + 6 = 0 có nghiệm: Xị = 2; x2= 3.

Tập nghiệm của bất phương trình X2 - 5x 4- ố < 0 làX € [2; 3].Câu 3. Đáp án C: Do a = -2 < 0 nên để f(x) < 0 Vx s R, thìA —m2+ 8m <0<=>m(m + 8 )< 0 c í> - S < m < 0 .Câu 4. Đáp án D.Dấu hiệu là: Số con trong mỗi gia đình.Câu 5. Đáp án D là Sai: Ta có: 0° < 75° < 90° coí 75° > 0.Câu 6. Đáp â nB ỉằ Đúng:

= ^/(sinx + cosx)2 =Ịsĩnx + cosxỊ.


Câu X. TừX+ y + z = 6 <=>(x + y + z)2— 36 <=> X2 + y2+Z2+ 2xy + 2xz + 2yz = 36.(1)-Vì X,y, 2 > 0nên theo bất đẳng thức Cô-si ta có:

—00 2

+ COS X

189ị



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





X2 4-ỳ2 > 2xyìy- + Z2 > 2yz I ^ 2^ y 2 - 2<xy + xz + yz> (2> 'X2 I z 2 > 2 x z [ ^ “ 2 ( x y + x z + y z) -“ 2(x2 + y2 + ( 3 )

Từ (1): X2 4- V2 + Z2 5=36 - 2 (XV 4- yz + xz) > 36 - 2 (x2 + y2 + Z2) (3) <=> 3(x2 + y2+ z2) > 36 <=>X2 + y2 + Z2 > 12 (đpcm)Đẳng thức xảy ra<=>x = y = z = 2.(Cách chứng minh ở đây không dùng bất đẳng thức BưnhiacốpskCâu 2.

2 2í(x) = X +------- X+ 2 + —----- 2 , đo X > —2 nênX + 2 X + 2

Áp duna BĐT Cô si:X -ì- 2 + — >2 V2

X. +2 — 2Vậy f(x) > 2v2 - 2 ; đấu = xảy ra <=>X4- 2 =

X +2o (x + 2)2 = 2 => X+ 2 = V2 hoặc X r 2 = “ -v/2

x = \ 5 - 2 = > x e (-2 ; -r co)X. = ->/2 - 2= > XỂ (“ 2; 4 ac) nén loại

* f(x) nhỏ nhất =2v2 ~ 2 t ặ i x - J ĩ - 2 e (-2; +cc)

Càu 3.,s ~ ỊT2x-1>5

| 2 * - l | - 3 j > 2 ~ ~ 3 > 2 > 5 o 2 x - l < - 5’ L i 2 x - l i - 3 < - 2 l |2 * - l |< l

[ x > 3Kết quà: ỊX< -2

[0 < X< ỉ

Câu 4.2 2o sìn2a sin2 6 sĩn2acos28 —sỉn2B.cos2a* tan a - tan2Ị3 =— 5--------------------------------- -~7~- = -------3 V7T-

cos a cos p cos a.cos ị3 _ (sin a cos (3 sin (3cosa)(stn a COS p - sin pCOS a )

cos2 a.cos2 $sin(a + 8)sin (a-8 ) ___ _ = — - - 2 - * J- ^ (đpcm). cos a cos p

190



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





a) Đường tròn (Q có tâm I (2; Ị) và R = Vs .* Điểm M (3; —2) nằm ngoài đường tròn (C) nên từ M có thể kẻ được

tiếp tuyến với (C).* Phương trình đường thẳng (d) qua M có hệ số góc k:y = k(x —3) —2<=>kx —y —3k —2 = 0; đường thẳngkhông// với trục Oy• b) để (d) tiếp xúc với (Q thì đ (I, (đ)) = R

l?-k^ !~ 3k~2l = Vs «>2k2- 3 k - 2 = 0;k1= - ỉ ; k 2 = 2.Vk2+I 2

* kj — —— =í> X + 2 y + .1 = 0 (dị);

* k 2 = 2 =>2x —y ~ 8 = 0 (d2). Vì k| Jc2 —-1 , nên hai tiếp tuyến vuôngóc với nhau.Câu 6. Từ (d) => 2x = y + 2; thay vào phương trình (P), ta được:y2 —y + 2 <=>y2- y - 2 = 0<=>y1= “ 1; y2 = 2.

* y! - -1 => X! = ỉ => Mj ( ỉ ; - l )

* y 2 = 2= > x = 2^ > M2 (2; 2)

Vậy (d)n (P) tại 2 điểm M, ( Ỉ ; -1 ) ;M 2 (2; 2)Ề 4

I. Phần trắc nghiệm

Câu 1. Đáp án B: X + y < 2(x2 + y2)Câu 2. Đáp án C: I XI < LCâu 3. Đáp án A:

ÍA' = 4 —m < 0 fm > 4<{ <=>< <=>m >4[a = m > 0 [m > 0Câu 4. Đáp án D:* A (1; 1); B(7; 5) = I (4; 3); R =-Jn* (C): (x - 4)2 + (y - 3)2 = 13 « X2 + y2 - 8 x - 6y + 12 = 0.Câu 5. Đáp án C: Là đáp án Sai

Câu 5-

191



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 6. Đáp án D:* Phương trình chính tắc của (E):

* (E): — + =1 ; qua M (1; 0) và N

1 4không phải là phương trình chính tắc.Vậy không có phương trình nào đứng. .

' 4 ,

2 u

nhựng phương t


f(x) =X2(1 - 2x)

a) Vớiọ< X< — thì f(x) > 0, và f(0) = 0 Nên giá trị nhỏ nhấ t của f(x) = f(0) = 0 b) f(x) — X2(1 ~ 2x) = x.x.(l - 2x)Theo bấ t đẳng thức Cô-si ta có:

x.x.(l - 2x) < X + X +1-2X27

* Vậy f(x) < — nên giá trị lớn nhất của f(x) = ~27 ^ f 27

<=> X= 1 - 2 x o 3 x = l < » x = Ậ e0;ịCáu 2.a) Giải (1): x2 ~4 x + 3 < 0 o l < x < 3Giải (2)X2 —6x + 8 < 0 <=> 2 <X< 4* Vậy nghiệm của hệ là; 2 <X< 3

-—QO -1 +oo

b) (l)luôn đúng Vx e R.

192



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Giải (2): xz- 6 x + 5 < 0 < = > l< x < 5.* Vậy nghiệm của hệ là: 1 <X < 5.Câu 3.. - f À' < 0 để f(x) luôn cùng dấu với aa) Điểu kiện: -< , •a) Điều kiện:

a < 0 để f(x) > 0; Vx e R

* A’ = (m + 4)2 - 3 (m + I) (m + 2) < 0<=> m2 + 8m + 1 6 - 3 (m2 + 3m + 2) < 0<>m2 + 8m + 16 —3m2 - 9m - 6 < 0 <=> -2m 2 - m + 10 < 0

m < —5/2m > 2

a = 3(m +1) > 0 <=>m > - ỉ

Vậy m > 2 thì f(x) > 0; Vx e R b) m ^ 1; nên để phương trình f(x) = 0 có 2 nghiệm trầi dấu:

_ _ c m + 2 _ X].X2= —= —— ---- < 0 <=> -2 < m < - 1 .a 3(m +1)

Câu 4. Mể (dị); M Ể (d2)a) Toạ độ đỉnh A là nghiêmcủa hệ:

b) Gội N là trung điểm BC; (d3)là đưcmg thẳng qua M và // AB.(d3>: 2x + y + c = 0; qua A=> (d3): 2x +y - 4: = 0.

—oo5

-1 2

Toạ độ N là nghiệm của hộ: x + ^ 4 => N(2; 0)*. ’ ■ ■ [x + 4y = 2

* N trung điểm AC

* Tương tự ta tìm được B (2; 7)

193



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 5. a2 = 16; b2= 9 => c2' = a2 -í- b2= 25 => c = 5.* Fị (—5; 0); F2 (5; 0); M (x; y) và MF, JL MF2 :=> M thuộc đường

òn tâm O; đưòtig kính FịF2- 1C => R ==5- Ta có hệ:[ 2 2 í 2 544

_ iL « ỉ •'!) Í9k 2- 16v2=144 1x 2516 9 H 2 . 2 V H 8 1 -y + r = 2 i (?) i-x +y - 25 y2 = f |

, í 4 r— Ọ í 4 /— 9 Vây có 4 điểrn: Mj —V34; —I; M2 ■—-V34; — ;v5 5ỳ V 5 5 ;

($ r-7 9N; f 4 <—7 9 1M3 ^v 3 4 ; - ~ i M4 V34; .V5 5 / V 5 5 ;

»Ể 5. L Phần trắc nghiệm

Câu 1. Đáp ánc ỉ à đáp án Đúngí x > 3<{ => X. = 3. Khx đó cả 2 vế củng băng 0[x < 3

Câu 2. Đáp ấn A* Đặt f(x) = 2x2- 3xt 2=> f(x) > 0; V x e R .

* Đặtcp(x) = 1 - X3thì cp(x)<0<=>1-X2<0<=>X2>1<=> ịx ị > ỉ t > | ’ " <=0 X <E ( - 00 ; - 1 ) ^ ( 1 ; -i-co)

11 í X< -1

Câu 3. Đáp án D: Ta có: / = R.a => R = — => R = 4cma

Câu 4. Đáp án B: ■“ < a < 2x => íana < 0 và sina < 0; cosa > 0.2

4 A

* tan a = —— => sina “ cosa . tana = — ---- yr k a ỉ i U . — J--- —-

5 V41Câ u 5. Đáp án c

K - cos40° -r ta na. sìíì40° = cos40° 4- -Sin a . sin40°cos a

_ cos4G°.cosa-f sin40ưsina _cos(40°-(x)cosa cosa

.94



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 6. Đáp án A: (d) có ĩĩd = (2; -3 ) => iiA = (3; 2)(A) qua M (2; 4) nên đường thẳng cần tìm có phương tành là:(A): 3(x —2) + 2(y —4) = 0

(A): 3x + 2y —14 = 0.ỈI. Phần tự luận

Câu 1. ũd = BA =(3; 1).

{X = 1 •+- 3 t( t e R )

y = 2 + t

b) nd —(1; —3), d qua A (1; 2) nên có phương ữình tổng quát là:

(x - 1) - 3 (y —2) = 0 <=> X - 3y + 5 = 0.Câu 2. Bất phương ưình

3x + 2y —6 < 0. (1)* Xét đường thẳng(A): 3x + 2y - 6 = 0cắt trục Ox tại A(2; 0)

cắt trục Oy tại B(0; 3)* Thay toạ độ 0 (0 ; 0) vào vế trái

ủa (1) => Kết quả đúng.* Miền nghiệm là miền không

ạch trên hình 62.Câu 3.* Điều kiện: 6x2 - 12x + 7 > 0.

* Đặ t y = V6x2- \ 2 x + l ; với y > 0. Hình 62Ý - 6x2 - 12x+ 12x - 6x2 = 7 - y2

7 _ V26(2x —X2) = 7 — Ý bấ t phương trìnho ---- — + y > 06

■oy 2 —6y —7<0<=>—l < y < 7do y > Ónên 0 < y <7 <=> 0 < 6x2 - 12x -ỉ- 7 < 49

Í6x2 —12x + 7 > 0 (1) (1) đúng Vx e R v ì A ' < 0I 6 x 2 - 1 2 x ^ 4 2 < 0 m ( 2 ) < = > x2 - 2 x - 7 < 0



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





2 2

Câu 4. a) Phương ưìĩih chính tắc của (E): = 1; 0 < b <a b

xvet qua: 1 - 2V2 < X< 1 + 2 a/2

* a = 3 và (E) qua M nên: -Ia = 3 2 2

9 2 ^ ( E ) : i s i + ỵ i = 1 , ~ ^ T + 2 ~ l 9 4I2a2 b2

b) M(x, y) e (E) cần tìm phải thoả mãn hệ:4x2 +9y2 = 36

a/26Vì M ĩhuộc đưdng tròn tâm o , bán kính R = — —nẽn j

Vậy có 4 điểm M thoả mãn2^ f -rv ** /« I •»«■ I 3t/2^

x2 =

y2=2

' ỉ ^ V ỉ } : M , ( - ỉ £ „ e '

I 5.

M3

Câu 5.a)F(5;0) . .(p) có dạng chính tắc: y2 = 2px; (p > 0)

F (5; 0) => — = 5 =í> p = 10.2Vậy phương trình của (P): ỵ2 = 20x. b) (P): y2 = 2px; p > 0.M (2; —4) € (P )= >(-4 )2 = 2 p .2 = > p = 4= >y 2 = Sx.Câu 6.

* Ta có: sin6a + cos6a = 1 —3sin2a.cos2a*sin4a + cos4a = 1 —2 sin2a.cos2ct-

* p = -3 sin 2 ạCOS2ạ __3 —2 sin2 a cos2 a 2

196

O s | < N



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐỂ 6.Câu 1.

b) f(x) xác đính<=>(x - 3) (x + 7) 0 <=> XỶ 3 X Ỷ

o D - R \ K 3 |

Câu 2. a) 3x + —-— = 12-ị — . ĐKXĐ: X—4- 0 <=> X^ 4.X - 4 X - 4

Giải phương trình được 3x = 12 <^> X= 4, không thỏa mãn ĐKXĐ.Vậy phương trình vô nghiệm

b ) 5 x + —ỉ— = 15 + —?— - D K X Đ x i - 3 .X + 3 X + 3

Giải phương trình 5x = 15 <=>X = 3 ^ -3. VậyX - 3 là nghiệm của phương trình.

Câu 3. a) 1 +a/Ĩ —X = Vx~—2

Không, có giá trị nào cửa X thỏa mãn ĐKXĐ nên phương trình vnghiệm.

b) Vx + 1 - V 2 - xfx + l> 0 fx >-1<1 => —1< X < 2.[2 —X > 0 [x < 2

Vậy điều kiện xác đinh của phương trình ỉà: -1 <X < 2Bình phương hai vế của phương trình ta được:X 1 ~-2 - X •£=>2x = 1

<=> X = — (thỏa mãnđiềukiệnxác định).1Vậy phương trình có mộí nghiệmX = —.

í

197



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





1 1 *Câu 4. a) 2x -T----- — = ố -r —-— và 2X. = 6X — 2 X — 2 .

ĐKXĐ của phương trình đầu: Xi=- 2.ĐKXĐ của phương trình thứ hai: V x e R . Nghiệm của phương trình đầu là X = 3. Nghiệm của phương trình

hai là X—3. Vậy hai phương í rình này tương đương với ĐKXĐ là X 2.b) 2x — 5 = X (1) và (2x - 5)x = X2 (2.)ĐKXĐ của hai phương trình này là với mọi Xthuộc R (Vx € R)Phương trình (1) có S, ={5}, phương trình (2) có S, = {0; 5}Vậy hai phương trình này không tương đương.Muốn (1) và (2) tương đương thì (2) phải thêm điều kiện X-ậ 0.Câu 5. a) ax - a2= 2x - 4 <=> (a —2)x = a2- 4 = (a —2)(a + 2). Nếu a —2 # 0 = > a ^ 2 r phương trình có nghiệm duy nhất

(a~2)(a + 2) _ X = - ------ ----- - = a + 2.a - 2

Nếu a - 2 = 0 « > a = 2. Phương trình đã cho đưa về dạng:2x - 4 = 2x - 4, phương trình vô số nghiệm.b) —9 x — 7.1 — a 5 — a2 X <=í> (a2 — 9 ) x = a3 -f 27

* Nếu a2- 9 ^ 0 o a ^ ±3, phương trình có một nghiệm _ a3+ 27 (a + 3)(a24-9-f3a) a^+ 3 a +9

a2-9 (a + 3 ) (a -3 ) a -3

* Nếu â2- 9 = 0 o a = ±3.+ Nếu a = 3, phương trình đưa về dạng: -9x —27 = 27 —9x phư

ưình vô nghiêm.

+ Nếu a = -3 , phương trình đưa về dạng: -9 x - 27 = -27 - 9x phưtrình vô số nghiệm.c) a(x " ỉ ) = x + b - » a x - x = a + b » ( a - l )x = a 4- b.

a + b* Nếu a — phương trình có môt nghiêm X= —— .a -1

* Nếu a —l= 0 < = > a = i , ohương trình đưa về dạng: X —1 —X + b.

198



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





+ Nêu b = -1 , phương trình vô số nghiệm.+ Nếu bỶ —1, phương trình vô nghiệm.d) a(2x - 3) =X + b <=> 2ax - 3a =X 4- b <=> (2a - l)x = b + 3a.

* Nếu 2 a - 1 ^ 0 < = > a ^ 2. phương trình có môt nghiêmX= -k a .2 õ - 2 a —1

* Nếu 2 a —l = 0 < = > a = —, phương trình đã cho đưa về dạng:

3 _ X — —■— X + b .

2

+ Nếu b - - — thì phương trình vô số nghiệm.

3+ Nếu bỶ —— thì phương trình vô nghiêm.2ĐỂ 7.

Câu 1. Đặ t IX + yl —u vàỉ X —yl =V, ta có hệ phương trìnhÍ2u —V = 9[3u + 2v = 17

2 -1D =

Du=

D =

3 29 -117 2

2 93 17

= 4 + 3 = 7;

D„ 35= 18+ 17 = 35; 11= ±^- = £± = 5D 7

D,. 7= 3 4 - 27 = 7, v= ^ = - = 1D 7

|x + y| = 5|x -y | = l

"x + y = 5X + y = —5

T x- y = l j x - y = - l

; X - y =1 lY = 2

199



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





(X~y = -Z “ ■ [y = 3f X + y — —5 , . f x = —2

* 1 CO nghiệm: Ỷi x - y = l * [y = -3

* { n = - i có nghiệm: ịy = —2

Hệ phương trình có 4 nghiệm:(x; y) = (3; 2); (2; 3); (-2; -3); (-3; -2).

C â u 2 .a ) ímx + 3y = m ” 1 (1)[2x + (m —l)y = 3 (2)

Cấc/ĩ 7. Từ phương trình (2) lút raX = - —— —— (*) thay vào (1) t

m. - —— —— + 3y = m - 1 <=> 3m - m(m - l)y + 6y = 2(m -

<=> (-m 2 + m + 6)y = ~m - 2 .* Nếu -m 2 + m + 6 ^0 < = > (3 - m)(2 + m ^

phương trình có nghiệm- ( m + 2 ) 1

(3—m)(2 + m) 'in—3

Từ (*)=>x =m —3

Vậy vối m9* 3, mí —2 thì hệ phương trình có một nghiệm.

(x;y)=Ê ^ f ;* Nếu —m2 + m + 6 = 0 o m = 3 v àm = -2

, f3x + 3y = 2+ Với m = 3 thì hệ đưa về dạngị hệ phươns t[2x + 2ý = 3 .

vô nghiệm.

—2x + 3V= _ 3 h2x —3y —3 phương trình, vô số nghiệm.

200



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Kâcn 6. Aeĩ cac ainỉi tíiừcm 32 m —1m —1 33 m —1

= m2 —2m - 8 - (m —4)(m + 2)

= m2 —m —6 = (m - 3)(m 4- 2)

m m —1

2 3 —3m - 2(m - ì) - m + 2

Nếu D£ 0 =ĩ> m ^ 3, m “ 2 thi phương trình có một nghiệm

x = -p * = (m + 2 Xm - 4) ^ rn~ 4D(m + 2Xm - 3) m - 3

_ Đy _ (m + 2) _ 1^ D (m + 2Xm -3 ) m “ 3

Nếu D = 0 => m = 3, m = -2Í3x -f 3y = 2* m = 3 hê phương trình đưa vé dangi ta có:

. * ' [2x + 2y = 3

* m = —2 hệ phương trình đưa về dạng <jf—2x -ĩ-3y = —32x -3 y = 3

-2 .- 3 - 3 ^ta có: —- = —- = —1 nên hệvô sốnghiệm2 - 3 3 j5 x ~ (m -2 )y = m|m x + (m +3 ) = 2m

5 —(m — 2 )m m + 3

D = = 5(m + 3) + m(m - 2) = m2 + 3m + 15

= Ịm + —1 + — >0 Vm

Suy ra D > 0 Vm.

201



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N







Nhân hai vế của (2)’ với 7 và nhàn hai vế của (3)’ với 4 rồi cộng chúng2x + 3y —5z = l

ại, ta được hệ: <- 4 y + 8z = 528z = -1

1Từ phương trình cuối, ta tìm được z = ——, thay vào phương trình thứ28

7 —37 1ai, ta tìm được y = ------ = — —, thay z = — — và y =- 4 " °28 28

_ 67ược X = -

28

- 3 728 vào (1) ta tìm

Vậy hộ phương trình có một nghiệm là: (x; y; z) = I Sr -;— —— 1.U s 28 2 8 )

'2x + y + z = 6 . (1) b) <3x + 2y + z = 9 (2)

. — X + 3y +5z = 6 (3)

Nhân cả hai vế của (3) với 3 rồi cộng vớỉ (2) ta có hệ2x + ỳ + z —6 (1)

l ly + 16z = 27 (2)' —x + 3y + 5z = ố (3)

Nhân cả hai vế của (3) với 2 rồi cộng với (1) ta có hệ7y + l lz = 18 (1)’ll y + 16z = 27 (2)’

—x +3 y + 5z = 6 (3)

Nhân cẫ hai vế của (1)’ với —11 và nhân cả hai vế của (2)’ với 7, rồiộng chung lại với nhau, ta có hệ

—9 z = —9

ll y + 16z = 27- x + 3 y + 5 z = 6

Từ phương trình đầu ta có z = 1 thay vào phương ưinh thứ hai, ta tìmược y = 1. Thay y —1, z = 1 vào phương trình cuốỉ ta tìm được X = 2.ghiệm cùa hệ phương trình là (x; y; z) = (2; 1; 1).

203



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





x-r y + z = i (1)c) <ax + by + cz = d (2)

a 2x + b2y + c2z = d2 (3)

Lấy (1) nhân với (~ c2) rồi cộng với (2) ta có hệx + y + z = l (1)(a -c )x + (b -c )y = d - c (2)’a2x + b2y + C2Z = d2 (3) ị

Lấy (1) nhân với (—c2) rồi cộng với (3) ta có hệ:X+ y + z = 1 (1)(a- c)x + (b - c)y “ d - c (2)f (a2 —c2)x + (b2 —c2)y = d2 —c2 (3)'

Lấy (2)’ nhân với —(b + c) cộng với (3)' ta có hệ:

x + y + z = 1(a - c)x + (b - c)y = d - c(a - c)(a - b)x - (c - d)(b - d)

Do a, b, c là 3 số khác nhau và khác 0, nên a - c ^ o , a - b # Vậy từ phương trình cuôĩ ta tìm được

( c - d ) ( b - d )( a - c X a - b )

Thay vào phương trình thứ hai ta tìm được( a - d ) ( d - c )

( a - b ) ( b - c )Thay X, y vừa tìm được vậo phương trình đầu ta tìm được

2 = ( a - d ) ( b - d )( a - c ) ( b - c )

Vậy nghiệm của phươngtrình là:

(x; y; z) = (c - d)(b —d) (a —d)(d —c) (a - d ) ( b -d )(a - c)(a - b )5 (a - b ) (b -c )5 (a—c)(b -c )

204



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





)Ể8.

Câu 1.a) 3x2 —2x + p - 0 <=> 3x2- 2x “ -pVẽ đồ thị y = 3x2- 2x và y = -p trên

ùng một mặt phẳng tọa độ Oxy. Số nghiệmủa phương trình này bằng sô' giao điểm củalai đồ thị ưên.

Căn cứ vào đồ thị (h,63).

• Nếu p > —, phương trình vô nghiệm

lo Đại sô

y =-p

Hình 63

• Nếu p = “ , phương trình

ó nghiệm képX j = x 2 = —

• Nếu p < —, phương ưình

ố hai nghiêm phân biệt, b) X2 - 3| x| + m = 0<=> X2 - 3Ỉ xị = -mVẽ đồ thị của hai hàm số Hình 64

y ~ X2 —3| xl và y - -m trẽn cùng một hộ trục ĩọa độ.V ẽ đồ th ị h à m số y = X2 - 3ị x ị chứ ý lấy phần đ ồ th ị h àm số y =s X2

íx vớiX > 0 rồi lấy cả phần đối xứng với phần này qua trục tung (h.64).1 3 Nếu m = 2 —, phương trình có 2 nghiệrrìX = ± —.

Nếu 0 < m < 2 —, phương trình có 4 nghiệm.

Nếu m - 0, phương trình có 3 nghiệm. Nếu m < 0, phương trình có 2 nghiệm.

o ỉ I ^ fx 2 -3 x + m = 0 nếu x > 0c) X —31XI + m = 0 <=>Ị_x2 + 3x + m = 0 nếuX < 0

205



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Q®Nếu A = 0 <=> 9 -4m = Q <=>rn ~ — phương ĩrình có nghiêm kép

4 .

-*>

A = 9 - 4m

X T = Xo - — .

1 2 9® Nếu A > 0; * 0 < m < —, Đhương tiình đa cho có 4 nghiệ

43 ± V9 —"4m ^ —3 ± >/9 —4m

x..2= —— 2------- x,'2=------------------2- '* m = 0, phương trình đã cho có 3 nghiệmXj = 3, x2 = 0, x? = -3.

* m < 0, phương trình có hai nghiệm3 + v9 - 4m 3 “ \/9 - 4rnx — ---------- --------- X — ---------:-----------

Z zCâu 2.a) (k - Ị )x2-r 2x - 1 = 0 (2)

* Nếu k - l = G < = > k = l , Dhirơng trình (2) có một nghiệmX = —.

o Nếu k - 1 ^ 0 c í > k ? i và Al = 1 + k ~ l = k > 0 , thì phương ưình' U • i± vk có hai nghiệm X, 7 = —— .

k - I» Nếu k < 0 (kỶ 1 và < 0) phương trình (2) vô nghiệm.©Nếu k = 0 (k ^ i và A’-- 0} phương trình (2) có nghiệm kép

1X , = X , = ---------* ^ 1 *ík - i

b) • Để phương trình có hai nghiệm trái dấuíI k —1 0 ík&ỉ

o «!A ' = k > 0 <= > i k > 0 o k > l .-1 <0 1*>1

La k-1Để phương trình (2) có hai nghiệm cùng dương

206



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





1

<=>

k - 1 * 0A '= k > 0c -1

k -1> 0

k V*1k > 0k <1

k <1

<=> 0 < k <1

Để phương trình (2) có hai nghiệm cùng âmk - 1 ^ 0A'= k > 0

1k - 1

2k - 1

> 0 vô nghiệm

<0

Vậy không có giá trị nào của k để (1) có hai nghiệm cùng âm.• Để phương trình (2) có hai nghiệmXj, x2: X * +x ị =2

2 -(k - l ) = (k- l)2

k —1 5* 0 k ^ - l ^ o<=> "ỉ k > 0 <=> •<k > 0

x ỉ + x 2 ” (X 1 + x 2 ) 2 - 2x 1x 2 = 2

k & 1<=> <k > 0 <=> k = 2

k = 2,k ~ -1

Vậy với k = 2 thì xf + = 2.Câu 3. Gọi giá tiền một quyển vở, một bút chì, một cái tẩy lần lượt là

y, z (x, y, z dựững, đơn vịtính:đồng).

Lần thứ nhất bà mua 1 quyển vở, 1 bút chì, 1 cái tẩy hết 6000đ ta cóhương ứình X+ y + Z — 6000.Tương tự với lần thứ hai và ba, ta có các phương trình.2x + 3y + z = 1300Ọ; 5x + 2y + 3z = 22000.

x + y + z = 6 0 0 0

2x + 3y + z = 13000Vậy ta có hệ phướng trình sau5x + 2y + 3z = 22000

(1)(2)(3)

207



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





x + y + z = 6000 (1)Giải hệ « 2x + 3y + z = 13000 (2)

5x + 2y + 3z = 22000 (3)

Nhân hai vế của (1) vói (—2) rồi cộng vói (2) ta có hệ:x + y + z = 6000 (1)

y - z = 1000 (2)' -5x + 2y + 3z = 22000 (3)

Nhân hai vế của (1) với (—5) rồi cộngvới (3) ta có hệ:X+ y + z = 6000 (1)y - z = 10000 (2)'3y - 2z = sooo (3)'

Nhân hai vế của (2)r với (—3) rồi cộng với (3') ta có hệ:X + y + z =56000y - 2 = 1000

—5z = —5000

Từ phương trình cuối ta tìm được Z = 1000; thay vào phươnghai ta tìm được y = 2000; ứiáy z = 1000; y = 2000 vào phương tràtìm được X = 3000.

Nghiệm của hệ phương trình là: (x; y; z) = (3000; 2000; 10giá tiền một quyển vở, mộ t cái bút chì, một cái tẩy lần lươt là 300ĨOOOđ.

II. Hình học

a) ÃBÃM - ÃC.ÃM = 0 <=> Ăm (ÃB- Ã c)= 0

<=> AM.CB —0 <=> AM± CB. Vậỵ tập hợp các điểm M là đường t A(A đi qua A và vuông góc với BQ. (h.65)

b) ÃRÃM + Â CĂM = 0 <=> Ấm (ÃB + Ã c)= 0

2 AMA I = 0 (I là trung điểm của BC)<=> AM _LAI {M} = A : A là đường ửiẳng qua A và vuông gó

(h.66)

208



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c) (m a + M b Ịm A +Mc)~2ML2MJ = 0 (I là trang điểm của Alà tmng điểm của AC)

o MLMJ - 0 <=> MI j- MJ (h.67)

ĐỂ 9. ĩ. Đạỉ số

Cảu 1. f(x)= (2 —x) (x2 + 2x — 3) có -IghiệmX = 2, X= i, XLập bảng xét dấu

X I -ao - 3 ỉ 2

= -3.

-ỉ-oo2 — X 1 + ị + ~r 0 -

X2 + 2x + 3 Ị + 0 - 0 -r “r

f(x) ị + 0 — 0 + 0Vậy f(x) > 0 vốiX < — 3 hoặc1 < X < 2;f(x) < 0 với —3 <X < 1 hoặcX > 2hay f(x) > 0 Vx € (-co;-3) ^ (ỉ; 2);f(x) < 0 Vx e (-3; 1) u (2; +00 ).

1Câu 2 .4x - 3 x ~ l = 0<=>x; = - , x2 = 1.4

4x2 ~ 3 x - l < 0 < = > ~ —< X <14

Vây tập nghiệm của bất phương trinh là T = ( ——; 1)

209



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Câu 3. Muốn phương trình mx2 - 2 (m —2) X + m —5 = 0 có ha.ghiệm ưái dấu <=> m (m “ 5) < 0 <=> 0 < m < 5.

Câu 4. X2 + (m —1) X+ 1 > 0 (I)A = (m —I)2 - 4 = m2 - 2m - 3A = 0 <=> = —ì, ĨTÌ2 = 3• Nếu A< 0 < ^ > - l < m < 3 , bất phương trình (1) nghiệm đúng Vx e • Nếu A - 0 m = - ỉ , m = 3, bất phương trình (1) nghiệm đúng với m

trừ X = ± 1 .

• Nếu A > 0 <=> m < -1 hoặc m > 3, bất phương trình (1) có nghiệm

1 - m + Vr ì2- 2m -:X >

■J - 1- m - V m 2 - 2 m - 3hoặc X < ----------------- ---------------- -

ĨL Hình học1. Theo định ỉí côsin trong tam giác:

a = b + c - 2bc COS A

a2 = 82+ 52 - 80 . -2

a2 = 49 => a = 7 (cm)

2. SABC= —be sin A

= - .8.5 sin 60°2

= 20 Vã (cm2)2S,

3. SARr= -ị aha => h = ■—— =2 0V3

2 ‘ ° a 74- Theo định lí sin trong tam giác:

—- — = — = —-— = 2R => R = — -

(cm)

B



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





ĐỂ 10.I. Đại số

Câu 1, Giải bất phương trình (1):X2 —X —12 < 0o —3 <X< 4.

Giải bất phương trình (2):X > —.

Câu 2. m2x + 1 < X- m (m2 - 1) X< —(m + 1).* Nếu m2 —1 = 0 <=> m = ± 1.* m —1, bất phương trình có dạng x + l < x —1<=>1<—l vô nghiệm.* m = - 1, bất phương trình có dạngX + 1 <X + 1 bất phương ưìph

nghiệm đúng với mọi X.* Nếu m2 —1 0* m2 —1 < 0 <=> —1 < m < 1, bất phương ưình có nghiệm

^ -(m +1) -1 1X <----- — ---------= --------- --------.(m —l) (m + l ) m - ỉ 1 - m -

* m2 —1 > 0 <=> m < —1 hoặc m > 1, bất phương trình có nghiệm^ -(m +1) -1 1

X > -------- — -— = — — = — -— .(m —lXm+1) m —1 1 - mCâu 3. f(x) —mx2 + 2mx + 2m —3a) f(x) =0 có 2 nghiệm phân biệt A' - m2 - m (2m - 3) > 0

-m 2 + 3m >0 <= >0 <m < 33

b) f(x) = 0 có 2 nghiệm trái dấu <=> m (2m - 3 ) < 0 < = > 0 < m < —

c) f(x)- 0 C Ó 2 nghiệm và 1 nằm trong khoảng hai nghiệm

í 0 <m <35

II. Hình học1. Theo định lí côsin trong tam giác: a2 = b2 + c2 - 2bcCOSA

211



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





COSA = 5 — — — =5—<=> A = 60°.2.40 2

2«•—“7" beSU1 A

1= - . 8 .5 sin 60° = 20.— = loV3 (cm2).2 2-JQ Ỉ , Vu _ 2Sabc 2 0 V3 _

SA0C= a. ha => h* 5= ■ ^ (cm).■6 â 74. Gọi r là bán kính đưòng tròn nội tiếp AABC, ta có:

r (a +

V

SABC= ^-r(a + b + c)<=>r = —2Sa?-c ■2 a + b + c

<=>r =7 + 8 + 5

= V3 (cm).

ĐỂ 11.ỉ. Đại số

Câu 1. a) Khi m55 2, (1) có dạng X4 —4x2 + 1 = 0

<>(x2 - 2 ) 2 ~ 3 <=>X= ± ^ 2 ± y Ỉ 3

b) Muốn (1) có 4 nghiệm thì (m -1 )5^ —2my + 1 ■= 0 (y = X2, y

có 2 nghiệm phân biệt dưcmg <=> —-— > 0 <=>

> 0m —1

m

ms* 0m > l <=> m > m < 0 V m > 1

m -1Câu 2. f(x)s= mx2 + 2mx + 2m - 3

a) f(x) = 0 có 2 nghiệm đều lớn hơn -2<=>

af (-2)> 0

A' > 0 1- 2 < s

2



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





<=><m(2m —3) > 0 [ m < 0 v m > Ị 5Á' —m2 —(2m —3)m >0<=><j0<m<3 <=> ỉ ,5 < m < 3.

—2 < — 2m2m

[—2 < —1 Vm 5Ế0

b) f(x) = 0 có hai nghiệmXj, X, và X, < 0 < x2< 3

m < 0V m >af(3) >0 m(l 7m —3) > 0af(0)< 0 B 1 3 3 1 O J A o

<=> -A > 0 <=>< —m2+ 3m > 0 ^

m V 0 0 1 < N

—2m < 3. 2m

170 < ĨTÌ < _

20 < m < 3 —I < 3 Vm 0

_ 3 __ 3<=>-— <m < —.17 2

„ I I I [ ịx + l > 2 x - lCâu l a ) x+1 ằ 2 x - l » <=>

X 1-!< X

X —2< 1<=> X —2

X

X —2

<1

>_!

X <2X <0

(1)

(2)

Giải (1): — <0<=>x<2X —2 X - 2

X < 1

X > 2X - 2 X - 2

V ậ y n gh iệm của hệ (*) ỉà X < 1 hay T = (—oo; 1] .

ĨL Hình họca) BM -L CN b2 + c2 —5a2• BM _LCN <=> BG2 •+■CG2 = BC2 (với G là trọng tâm AABC)

. 2 \ 2

<=> —mK + —m„ = a

4m? + 4m, =9a

<r> 2(a2 + c2) - b2 + 2(a2 + b2) - c2= 9a;

213



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





^ _ 2a2+2c2 ~ 2fc>2 2a2 + 2b? —2c2 b) Ta CÓ: (cotB + cotC) =-------- —-----------Í------------ ---------4S 4S

_ 4a2 _ 5 a 2- a 2 _ b 2+ c 2 —a2

” ~ 4 S ~ 4S ~ 43 'V ậv b~ -Tc2 = 5a2 2(cotB -Ỉ- cotC) = cotA.

c) Chứng minh GA2+ GB2 -f GC2= - (a2r b 2+ c2).

^ 2 ^ _ 2 __ ^ 2 4 __ 1 4 ___ ■) ^ ___ 2 ___ 2 2 \GA2+ GB2 + GC = + ịm l + ịm l = ị ( m ị + m ị +m l)

= - (2b2+ 2c2+ a2+ 2a2 -f 2c2 - b2 + 2a2+ 2b2-c2)9

™—(a24- b2+c2).

. . ,„ T a -1 + b“ +C ‘v-hống minh OG = R ------- ----- — .

Từ công thức Leibnitz: MA2 + MB2 + MC2 = 3MA2 + GA2 + GB?GC2. Cho M s o ta có OA2+ OB7+ o c 2= 30G2+ GA2 + GB2 + GC2

^ 3 H - 30G2+ - ( a 2+ b2 + c2) o OG2 = R2 - - (a2 + b2 4- c2).3 9Chứng'minh hệ thức Leibnitz:

MA2 = MA2 + (MG + GA)2= MG24- GÃ2+ 2MG.GA

=>MA2+MB2+MC2

= 3MG2+ GÃ2+ GB2*G C 2+ 2MG(GA + GB + GC)= 3 MG2+ GA2+ GB2+ GC2

Từ đó ta có a2 + b2 + c2< 9R2. Có đẳng thức o = G <=> AABC đề

ĐỂ 12

ĩ. Đại sốa) Ta có bảng phân bố tần suất ghép lóp của cân nặng học sinh 2

10A và ) OB:

<=> 4a: -Í- b2 -r c 2 = 9a2 <=> b2 +c~ = 5a2.

214



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





Lớp cân năng(kg) ’ Giá tri đai diên Tần suất

10A 10B[33 - 39) 36 1,9 3,5[39 -45 ) 42 11,3 8 ,6

[45 - 51) 48 28,3 31,0[51 - 57) 54 37,7 24,1[57 - 63) 60 15,1 20,7[63 -69 ) 6 6 5,7 8,6[69 - 75] 72 0 3,5

2 = 100% 2 = 100%

- Nhìn , trên đồ thị ta thấy số người nặng trên 60kg lớp 10B chiếmcao hơn lớp 10A.

b) TI lệ nhũng người nặng dưổi 57kg:Lớp 10A có (57,7 + 28,3 + 11,3 + 1,9)% = 79,2%Lớp 10B có (24,1 + 31,0 + 8,6 + 3,5)% = 67,2%.=> Tĩ lệ những người nặng dưói 57kg của lốp 10B thấp hơn lớp 1QA.c) Ta có giá tri trung bình và độ lệch chuẩn theo số liệu lớp 10AX a = 5 2 ,1 9 k g

Si = 2767,21 - 52,192 = 43,42 => SA= 743 ,4 2« 6,59

215



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





** V11UIU u » u s v U C U cua Ìơp iUt ỉ

SB= 291 5,32 - 53,382 = 65,89 =>% = ^ 6 5 , 8 9 «8 ,12

sáĩlli X a v à X b ta c ó Xb > X a => lớp 10Bc ó cân năng cao lớp 10A. '

, - , L s ° sánh SAvà SBta có SB> SA=> lớp 10A có cân năng đlơp iU-D

X b = 5 3 , 3 8 .

n. Hình họca) bc(b - c2) cosA

= bc(b —c ). b2 + c 2 - a 22bc

= -~[b4 ~c4- a 2b2+ a 2c2]

ca(c - a )cosB = ca(c2 - b2),

- | [ c 4- a 4- b 2c2 + a2b2]

c2 + a 2 - b 22ac

a v , 2 _ b 2) co s C = a b(a 2 - b 2> a 2 + t > ; - c 22ab

= l ^ - b - ’- a V + bV ]Cộng ba đẳng thức trên* ta được:

bc(b2- c 2)c o sA + ca(c2 - a2) cosB + ab(a2 - b2)cosC = 0. fu2 . „2

b) 2abc(cosA + cosB) = 2abc. b2+ c 2 —a 2 a 2+ c2 —b2 2bc 2ac

= ab2 + ae2 - a3 + ba2 .+ bc2 - b3

~ (a + í>jab + c2 (a+b) - (a + b)(a2 - ab + b2)(a + b)[c2 - a2 - b2 + 2ab] = (a + b) [c2 - (a - b)2](a + b) (c + b - a)(c + a - b).

216



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





c) abc(cosA + cosB + cosC)

b2+ c2 —a 2 a +c - b a -i-b — c — Cl* _ 1 V* - ^

2 2 2

= Ậ(ab2 +ac2 —a3 +ba 24-be2 —bJ 4-ca2+cb2—c^}2

= — (a2b+ a2c —a3+ b2a•+• b 2c —bJ -i- c2a -r c"b —c )2

= a .•, b+ c —a , 2 a c — b _2 a-i-b — c2 + -------------■•irC* .■

2 2 2- az(p - a) + b2(p - b) +c2(p - c).

ĐỂ 13.L Đại số

Câu 1.Vi A B, c là ba góc của một tam giác nên A,B» C>OvàA + B + C= 180°. _ A B . C ỉ 3 - C ^ „ B + c ^T a c ó s i n — .s in — .s in — = -” s i n C O S - COS

2 2 2 2 2 V1 z JA B - C , B i C _ . A

VÌ: sin — >0, cos —r— < 1»cos ^ cos ■"> o 92 2 2 V2 2 ỹ .zA . B . c i . A ( . A N|nên sin—sin “ sin — < —sm— Ị 1 - sin .2 2 2 2 z V y

1Ta đã biết hàm số y - x(l- x) có cựcđạilà -

. A s B . c 1 1 1nên sin ^ s in —sin— 2 ’4 8

(đẳng thức xảy ra khi A - B - C ) .

Đặtx = -L-, y = — g, z=— ẽ y.z>0vàịỊĨ^>2 s in 2 si 2 sinì

Vậy:

\

1+- 1• Asin —

V 2

/

1+ 1 Y

: 5.sin —2 Ằ

i +•- csin

2 ;

217



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





= (1 + x ) ( l + y ) ( l + z)= l + x + y + z- r x.y + y.z + X-Z + x.y.z

> i + 3 Vx.y.z +3^/x2y2z2 + x.y.z > (I + 2)3= 27.A B CĐẳng thức xảy ra <£=>X= y =2 <=3>sin — = sin -- = sin— <=> A = B —c2 2 2

AABC đều.Câu 2. Áp dụng định ỉ í sin trong AABC và biến đổi tương đương đi

kiện đã cho ta có:2R sin A. cos A + 2R sin B. COS 3 •+■2R sin c . COS c _ 2p

2R sin2A + 2 R sin 2 B + 2 R sin 2 c 9R sin A. cos A + sinB-cosBH-sinC.cosC _ 2p

sin2A + sin2B + sin2c 9R sin 2A + sin 2B + sin 2C __4(sin A + sin B + sin C)sin2 A + sin2B + sin2c 92sin(A + B).cos(A -B ) + 2sinC.cosC

sin2A + sin2B-f-sin2c _ 4(sin A + sin B + sin C)

9

do c = 180° - (A T B) nên ía CÓ:2 sin C(cos(A - B) - cos( A + B)) __ 4(sin A + sin B+ sin C)sin2A + sin2B + sin2c 9

4sin A.sinB.sinC _ 4(sin A + sinB + sinC)sin2Ah-sin2B +sin 2c 9

<=>9sinA.sinB.sinC ~ (sin2A -r sin2B + sin2C)(sinA + sinB+sinC)

> 3\lsin 2A.sin2B.sin2 c.3ựsin A.sinB.sinC

<=> sin A = sinB -- sinC <=> A = B = c <£> AABC đều.II. Hsnh hoc

a) AB(—5;-10); AC(3;-6); BC(8;4);

AB= 5-n/5; AC = 3V5;BC =4 V5 .CA2 + CB2= AB2.Vậy AABC vuông tại c .

218



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





b) Tọa độ D: D ( ^ ~ j

c) Tọa độ E: E(16; 11).14.

I. Đại sốí N A _ l - c o s l O O ° 1 - COS 1 4 0 ° c o s 1 2 0 ° + COS2 0 ' Câu I. a) A- -----------------ị------------------------------- ----------

= - [2—(cosl00° + cos 140°) - (cos 120° + cos20°>]

= —(2 —2cosl20°cos 20° — COS 120° —cos20°)

= - ( 2 + cos20° + Ỉ - cos20°) =2 2 4

V3, - „ sin 60° b) B ----- _ -----------1-' A A f t aai"i

—(cos 20° —cos 60°)

cos20°cos40° cos20°COS40°

V3 ^ cos20° - | )2 cos 20° cos 40° 2 COS 20° COS 40°

s (1 + COS 20° - - ) V 3 (i + cos 20°) Vã ( - + COS 20° )

2 c o s 2 0 ° c o s 4 0 ° 2 COS 2 0 ° COS 4 0 ° COS 6 0 ° 4 - COS 2 0 °

^ ( i + cos20°)

I I —+ cos20°2

V 1( n i f nc) (J —— cos-----

COS—— —— COS— —tu s71 |-i---- 1COS —-2k. 5 5 J 2 { 5 J 2 { 5

i f __ n ___ 2n ___ n _ __ _ 271 ____ ^= — c o s ——COS —1 - COS— + COSn + COS — - COS 71 = 02 ^ 5 5 5 5 J '

Câu 2. —Í— + —-— + —-------fcot A + cot B + cot C) =a/3sin A sin B sin c

o f — ---------c o t A Ị + í — ỉ—— c o t B Ì + í — ỉ— — c o t e = > / 3VsinA J vsinB J vsinC J

219



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





s i n B sinC= V3<=>— ^ — + — z ^ — + — z ^ _ - = ^3

smA sinB sinC2sin 2 — 2sin2— 2sin2 — - _ <=> ___ 1 - 2 _ + ___ ~ -2 . _2 /3

o '■ A A o ' ® B o • c czsin — COS— 2sin —COS— 2sm —COS—-2 2 2 2 2 2A B c<=>tan—+ tan— htan— ~y/ ỉ (1)2 2 2

Ta sẽ chứng minh (1) là điều kiện cần và đủ để AABC đều.rp A B B C + c ATa c ó: t a n — t a n — I -ta n — t a n — + ta n — ta n -r- = 12 2 2 2 2 2 ;

( A B c Y ta n — f-ta n — h ta n —

l 2 2 2 ;

= tan2-- + tan2-^ + ían2ậ + 2 Í tan—t a n ~ + tan—tan—+tan—.ta n2 2 2

__ 2 A . 2 B 2 c _

= tan — + ta n — h ta n + 22 2 2A B B , c * C' a Y , „ „> ta n ~ta n — !-tan—tan— htan—.tan—+ ‐

2 ” 2 2 Dấu ở (2) xảy ra khi và chỉ khi AABC đều=> (1) là điều kiện cần và đủ để AAJBC đều (đpcm). i

n . Hình họca) Uá = (—2; 1), Ùa' = (1; 2) ( u i , u i ' lần lượt là vectơch ỉ phư

đường thẳng (A), (A’) => ĨU = (1; 2),n A ~ (2; -1) .Mà i u . nA’ = 1.2 -ỉ: 2 .(- l) = 0 => (A) -L (A*»=> COS (p = 0 ( = 2u ^

Vậy phương tiình đường phân giác hợp bởi (Á) và (Af) là:220

b) (A):

(Ar):

=> (A):X+ 2y + 3 = 0.

(A ): 2x —y + 6 = 0



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





x + 2y + 3 2 x - y + 6----- yL---- — -------d=---- X- 3v-4-3= 0V5 4s

x + 2y + 3 2 x -y + 6 _ ^ rt------4=----= --------- p=---- o 3 x + y + 9 = 0-ỈỈ V5

ĐỂ15.I. Đại số

_ _ ■—c A t BCâu 1. Trong tam giác ABC tacó — =90c----- — 2 i.

c A-f Bnên cot — = tan— —2 2

* A + 3tan —-+ tan — 2 2

, . _ A - B ’1- tan tan — 2 2

Vậy1

A __ Btan + tan — _____ 2 2 _ c , __ A _ Btan— 1 —tan —tan -----

2 2 2 _ A B , _ B c + c A _ <=> tan—-tan— í-tan—tan— + tan—-tan-—= 1

2 2 2 2 2 2Suy ra điều phải chứríg minh là:

A __ B ___ c . B c Ảsin cos—cos— + sin—COS—COS— 2 2 2 2 2 2. c A B A B c _ _ -

+ sin—cos —- cos---- sin —1sin — sin — —i .2 2 2 2 2 2Biến đổi vế ttál ta có:

- A . BẠ . c f A B A .cos—Isin~ COS— + cos ~ sin ~ I■+sin ^ COS ~ COS y - sin Y sin—jc f A B- sin—■I 2c A + B= cos -—sin2

: c A + B+ sin—cos— ■—2 2 22 C . 2 C ,= cos — + sin = 1.

Vế trái "=" vế phải nên đẳng thức trên là đúng.

Cáu 2. a)COSA -B _ A -B A B . A . B---- cos------- cos-—COS— h sin —sin—

2 2 2 2 2 2. c A + B _ A B . A . Bsin— cos— -— COS- f COS--sin-^sm--

2 2 2 2 2 2

221



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





1 — A . B1+ tan --- tan — 7 2 _ A __ B1—tan tan9. 7

COSA - B

csin --?, _A L B1- tan tan —

. 2 2

Đo đó bất đẳng íhức phải chứng minh tương đương với:ỉ+ _ A _ B ‘ _ B cI —tan tan — I - lan —tan

V 2 2 2 2c* A•tan —tan—ị

2 2 )

>9.

^ _ A „ B , 3 C + c A _ w . , . . .Vì: tan —1 ían — I- tan — tan — + tan — tan — = 1 (chứng minh trên)2 2 2 2 2 2

1 . À _ B , _B __ c ^ C A A=> 1—ian — tan-—; 1 - tan— tan — ; 1—tan—tan — > U2 2 2 2 2 2Do đó theo bất đẳng thứcCô-sì ta có:

_ A B , B c c A1—ta n- - ta n —+ 1—tan—tan— í-1—tan—tan— V 2 2 2 2 2 2

1 1 k+ ■

VB ’ B c , + c A

1- tan — tan-- tan —tan— 1- tan —tan--2 2 2 2 2 2 ;>9

1 1+ c ■ + c A-tan —tan-- 1 —tan—tan —

2 2 2 2 J

> 9 (đpcm).

II. Hình học

* Phương trình cạnh AB vuông góc với đưòng cao (dj) có dạng:(AB): 3x - 5y + m - 0 đo B <£ AB

Nên thay tọa độ B vào phương trình (AB) ta được m ——13.(AB): 3x —5y —13 = 0.* Phương trình cạnh BC _L(d2) có dạng:

(BC): 8x - 3y +c = 0.

222



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N





* Thay tọa độ B vào phương trình (BC) ta được c = 17(BC): 8 x - 5 y + 17 = 0.* Tọa độ c = (BA) n (ds)

=> A (1; —2).* Tọa độ G —(BC) o (dj)= > C ( - 1 ; 3 ) .

* Phương trình (AC):(AC):.5x + 2y + 1 =0.

Hình 72

223



BỒI DƯỠNG T

OÁN - LÍ -

HÓA CẤ

P 2

3 100

0B T

RẦN

HƯNG ĐẠO T

P.QU

Y NHƠ

N

Documents

KĨ NĂNG LÀM ĐỀ THI VÀ KIỂM TRA TOÁN 10 - NGÔ LONG HẬU