KIBERNETIKA

egyetemi jegyzet

dr. Gerzson MiklósNagyváradi Anett

Pécsi TudományegyetemPollack Mihály Műszaki Főiskolai Kar

Pécs, 2004

Tartalomjegyzék1. Bevezetés 1

1.1. Célkitűzés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11.2. A jegyzet felépítése . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

2. Rendszerelméleti összefoglaló 22.1. Rendszerek ismérvei . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22.2. A Kalman-féle rendszerdefiníció . . . . . . . . . . . . . . . . . 32.3. Rendszerek osztályozása . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82.4. Néhány egyszerű rendszer állapottér modellje . . . . . . . . . 12

2.4.1. Tartálypark modellje . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122.5. Az állapottér modell tipikus alakjai . . . . . . . . . . . . . . . 142.6. Bemenet - kimenet modellek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.7. Tipikus bemenet - kimenet modellek . . . . . . . . . . . . . . 18

2.7.1. Nulladrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182.7.2. Elsőrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192.7.3. Másodrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21

3. Gyakorlati példák 233.1. Matematikai áttekintés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

3.1.1. Komplex számok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 233.1.2. Mátrixelméleti összefoglaló . . . . . . . . . . . . . . . . 293.1.3. Laplace, -inverz Laplace transzformáció és összefüggései 373.1.4. Z, inverz Z transzformáció és összefüggései . . . . . . . 39

3.2. Tipikus dinamikus tagok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 433.2.1. Nulladrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 443.2.2. Elsőrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 453.2.3. Másodrendű rendszer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 463.2.4. Feladatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.3. Átmeneti és súlyfüggvények . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 493.4. Stabilitásvizsgálat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58

3.4.1. Folytonos rendszer stabilitás vizsgálata pólusvizsgálattal 583.4.2. Routh-Hurwitz módszer . . . . . . . . . . . . . . . . . 59

3.5. Másodrendű rendszer viselkedésének vizsgálata . . . . . . . . . 633.6. Gyökhelygörbe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 703.7. Nyquist - Bode diagram . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 773.8. Állapottér modell . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85

I

3.9. Digitális számításelmélet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 943.10. Zárthelyi feladatsorok megoldása . . . . . . . . . . . . . . . . 993.11. Táblázatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104

4. VisSim szimulációs program ismertetése 1054.1. Bevezetés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1054.2. Alapok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

4.2.1. Az állapotsáv . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1064.2.2. Az eszköztár . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.3. Segítség . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1074.2.4. Egy egszerű modell felépítése . . . . . . . . . . . . . . 108

4.3. Általános tudnivalók . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1114.4. Blokkok(Blocks) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112

4.4.1. Animate (animáció) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1124.4.2. lineDraw . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4.3. Annotation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1134.4.4. Arithmetikai elemek (Arithmetic) . . . . . . . . . . . . 1144.4.5. Boolean kifejezések (Bookean) . . . . . . . . . . . . . . 1144.4.6. Lineáris Rendszerek (Linear system) . . . . . . . . . . 1154.4.7. Véletlen generátor (Random generator) . . . . . . . . . 1154.4.8. Jelgeneráló elemek (Signal Producer) . . . . . . . . . . 1154.4.9. Megjelenítés (Signal Consumer) . . . . . . . . . . . . . 116

4.5. Szimulációs beállítások (Simulate) . . . . . . . . . . . . . . . . 1184.6. Analizálás (Analyze) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121

4.6.1. Átviteli függvény(Transfer function) . . . . . . . . . . . 1214.6.2. Módosítás szerkesztő (Compensator Design) . . . . . . 1214.6.3. Gyökhelygörbe, Nyquist diagram (Root locus, Nyquist

Response) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1214.6.4. Bode diagram (Frequency Response, Frequency Range) 122

Irodalomjegyék 128

II

1. Bevezetés

1.1. Célkitűzés

1.2. A jegyzet felépítése

1

2. Rendszerelméleti összefoglaló

2.1. Rendszerek ismérvei

A hétköznapi életben a rendszer elnevezést, fogalmat nagyon sok területenhasználják. Ha közelebbről megvizsgáljuk ezt a sokféle használatot, akkorezekből néhány általánosítható jellemzőt határozhatunk meg. Ismerkedjünkmeg ezek közül néhánnyal.

(1) A rendszer, mint tagolt egész

Általában megállapíthatjuk, hogy a vizsgált rendszereink részekre bont-hatók, és részeikből összeállthatók. Egyértelműen meghatározhatjuk,hogy mi tartozik a vizsgált rendszerhez, és mi az ami a környezetéhez.Amennyiben a felbontást több szinten el lehet végezni, akkor az ismegállapítható, hogy mely elemek tartoznak az egyes alrendszerekhez.

Ha az egyes elemek és magának a rendszernek a tulajdonságait vizsgál-juk, akkor megállapíthatjuk, hogy a rendszer rendelkezik az egyes ele-mek tulajdonságaival, de olyan tulajdonságokat is találhatunk, amelyekcsak az egész rendszert jellemzik, az egyes részeket külön-külön nem.

(2) A rendszer, mint kölcsönhatásban álló elemek összesége

A rendszert, mint relációk, kapcsolatok által összekötött halmazt vizsgál-juk.

(3) A rendszer, mint egység

Egy rendszer elemei között általában nagyon sokféle kapcsolat értel-mezhető, köztük olyanok is, amelyek nem lényegesek a vizsgálat szem-pontjából. Éppen ezért célszerű az elemeknek olyan, egymással kapc-solatban álló halmazát rendszernek tekinteni, ahol ezeket egy rendszeralkotó tényező összekapcsolja. Ez a tényező adja meg azt a célt, aminekérdekében a rendszer létrejött, működik, funkcionál.

Ugyanez a tényező a környezettől való elhatárolásban is megjelenik,ennek figyelembe vételével lehet meghatározni, hogy mely elemek tar-toznak a rendszerhez és melyek a környezethez. Természetesen ez nemjelenti azt, hogy a rendszer független vagy elkülönül a környezetétől.A rendszer bemenetein keresztül a környezet hat a rendszerre, és akimenetein keresztül a rendszer is hat a környezetére.

2

A környezettől elhatárolt működése következtében a rendszer függetlenbelső törvényszerűségekkel rendelkezik, ezek határozzák meg a belsőműködését, illetve válaszait a környezettől érkezett hatásokra. Ilyenszempontból a rendszert, mint autonóm egységet tekinthetjük. Ugyan-akkor, mint említettük, a rendszer kapcsolatban áll a környezetével abemenetein és kimenetein keresztül, ami a rendszer heteronóm jellegétemeli ki.

(4) A rendszer, mint hierarchia

A rendszerek vizsgálatakor megállapíthatjuk, hogya vizsgálat szem-pontjainak megfelelően felbonthatók, vagy másképpen dekomponálhatókelemekre, melyek általában szintén tovább bonthatók. Ezt a felbontásifolyamatot addig kell folytatnunk, míg a vizsgálat szempontjából a le-galacsonyabb részre jutottunk, azaz a további dekompozíció már olyanelemekhez vezetne, amelyek már a vizsgálat szempontjából lényegestulajdonságokkal nem rendelkeznek.

Ez a folyamat természetesen megfordítható, azaz az elemekből is el-kezdhetjük felépíteni a vizsgálni kívánt rendszert. Ezt a műveletet kom-pozíciónak nevezzük. A kompozíció műveletét addig végezzük, amíg alétrejövő rendszer nem felel meg az általunk vizsgálni kívántnak, azaztovábblépve nem kapunk egy olyan rendszert, ami már elemeként tar-talmazná a vizsgált rendszert.

E kompozíció//dekompozíció műveletpár segítségével általában kijelen-thetjük, hogy bármely rendszer egy bonyolultabb rendszer része, ugyan-akkor egyszerűbb rendszerek egésze.

2.2. A Kalman-féle rendszerdefiníció

A különböző tudományterületek az általuk vizsgált rendszerek leírására külön-böző rendszerdefinícókat alkottak. A műszaki területen az egyik legáltaláno-sabb és legsokoldalúbban alkalmazható rendszerdefiníció Kálmán Rudolf magyarszármazású amerikai tudós, a modern irányításelmélet egyik megalapítója ne-véhez fűződik. Az ún. Kalman-féle rendszerdefinició a rendszer viselkedésétnemcsak a bemenetekre adott kimeneti válaszok függvényében vizsgálja, ha-nem a rendszer műkődésének és pontosabb leírásának érdekében bevezeti abelső állapot fogalmát. Ennek megfelelően egy rendszer működését a pilla-natnyi állapota és az ugyanekkor őt ért bemenet hatására bekövetkező álla-

3

potváltozás és kimeneti változói értékének függvényében írhatjuk le. Miutána rendszer bemenetei és kimenetei általában jól köthetők a tér adott pont-jaihoz, ezért ezeket térbeli bemenetek és kimenteknek tekinthetjük, míg az ál-lapotot, miután általában az állapotváltozók időbeli megváltozására vagyunkkiváncsiak, ezért azokat "időbeli" bemenetekként és kimenetekként kezelhet-jük.

A Kalman-féle rendszerdefiníció kimondásához néhány fogalmat kell be-vetnünk.

(1) Az idő fogalma

A Kalman-féle rendszerdefiníció elsősorban időben változó rendszerekleírására alkalmas. Ennek megfelelően például a számrendszer vagya mértékegységrendszer, mint rendszer nem írható le a Kalman-félerendszerdefiníció segítségével, hiszen ezek nem időben változó rendsze-rek. Azok a rendszerek viszont, amelyeknek valamelyik állapot- vagykimeneti változója, például szabályozás következtében állandó értékű,leírhatók e rendszerdefiníció segítségével.

Az idő leírására szolgáló halmaz a valós számok rendezett halmaza.A vizsgált rendszernek megfelelően az időhalmaz lehet a valós számokösszefüggő halmaza folytonos idejű rendszerek leírására alkalmazva amódszert, vagy például az egész számok halmaza, ha diszkrét idejű,például mintavételezett rendszerek viselkedését akarjuk leírni. Továb-bai megfotolások alapjánn tekinthetjük az időhalmazt egyik és vagymásik irányban végtelen halmaznak, ha "végtelen" idővel ezelőtt kez-dődött, illetve végtelen ideig működő rendszerek viselkedését akarjukleírni, vagy véges halmaznak, ha a vizsgálatot meghatározott időinter-vallumban végezzük el.

(2) Állapot-, bemeneti és kimeneti halmaz

A rendszer működésének leírására definiáljuk a következő három hal-mazt:

a lehetséges állapotok halmaza X;a lehetséges bemeneti értékek halmaza U ;a lehetséges kimeneti értékek halmaza Y ;

és

4

az x ∈ X a rendszer egy konkrét x állapotát;az u ∈ U a rendszer egy konkrét u bemenetét;az y ∈ Y a rendszer egy konkrét y kimenetét;

adja meg.

Miután a Kalman-féle rendszerdefiníció egyaránt alkalmas egy beme-netű - egy kiemenetű és több bemenetű - több kimenetű rendszerekleírására, ezért ezeket a halmazokat célszerű vektortereknek tekinteniés ennek megfelelően állapottérnek, bemeneti térnek és kimeneti térneknevezni, és az x, u és y változókat vektoroknak tekinteni.

További általánosítást jelent, hogy a halmazok elemei nem feltételenülcsak számok lehetnek, hanem rendszer jellegének megfelelően nem száms-zerű elemek szerepelhetnek. Például, ha egy gépkocsi menetközbenviselkedését akarjuk jellemezni, akkor a jármű mozgása, a motor, afutómű müködése jól jellemezhető egy elegendően nagy elemszámú,számértékeket tartalmazó vektorral, de ha befolyásoló tényezőként a ve-zetőt is figyelembe vesszük, akkor az ő viselkedése már nehezen száms-zerüsíthető.

(3) A bemenet időfüggvények és a kimenet időföüggvények halmazai

Adott a rendszer működése során lehetséges (megvalósítható) bemenetidőfüggvények halmaza:

Ω = ω : T → U (2.1)

Az egyes bemenet időfüggvényekre ω helyett a műszaki gyakorlatbaninkább elterjedt u(t) jelölést alkalmazzuk, azonban ekkor vigyázni kell,hogy a u-ra mint a lehetséges bementi értékek halmazának egy elemére,vagy a lehetséges bemeneti időfüggvények halmazának egy elemére hi-vatkozunk.

A bemenet időfüggvények halmazára illetve a halmazbeli függvényekreaz alábbi követelményeknek kell teljesülniük:

- (Nemtrivialitás) A Ω halmaz nem üres halmaz.- (A bemenetek szétvághatósága)Bemenetszegmensnek nevezzük az ω = u(t) bemenetfüggvényneka (t1, t2] ⊂ T alulról nyílt, felülről zárt időintervallumon értelme-zett u(t)/t ∈ (t1, t2] szakaszát.

5

Legyen t‘ egy t1 < t‘ < t2 időpont, és legyen u1(t1, t‘) és u2(t‘, t2)adott bemenetszegmens. Ekkor létezik olyan u(t) ∈ Ω, hogyu1(t) = u(t)/t ∈ (t1, t‘) és u2(t) = u(t)/t ∈ (t‘, t2). Azaz bármelybementszegmens szétvágható tetszőleges módon két bemenetszeg-menssé. Két bementszegmens egyesítése csak abban az esetbenvégezhető el, ha az egyik felső határpontja megegyezik a másikalsó határpontjával.A bemenetszegmenseket következő egyszerűsített módon megad-hatjuk:

u(t)/t ∈ (t1, t2] , u(t)(t1,t2] (2.2)

A vizsgált rendszerben megvalósítható bement időfüggvények halma-zához hasolóan definiáljuk a rendszerben lehetséges kiemenet időfügg-vények halmazát:

Γ = γ : T → U (2.3)

A műszaki gyakorlatban itt is a γ jelölés helyett inkább az y(t) jelölésalkalmazása terjedt el, de ebben az esetben is ügyelni kell a megfelelőalkalmazásra.

(4) Az állapotátmeneti függvény

A rendszer viselkedésének leírására vezessük be az állapotátmeneti függ-vényt a következő módon:

ϕ : T × T ×X × Ω → Xx(t2) 7→ ϕ(t1, t2, x(t1), u(t)/t ∈ (t1, t2]) (2.4)

Az állapotátmeneti függvény tehát a t2 időponthoz tartozó x(t2) végál-lapot értékét határozza meg, melyet a t1 időpontban vett x(t1) indulóállapotból kiindulva az u(t)(t1,t2] bemenetszegmens hatására kapunk.

A ϕ állapotátmeneti függvény a következő tulajdonságokkal rendelke-zik:

1 Az idő irányítottságaMűszaki rendszereknél ϕ csak t2 ≥ t1 esetén definiált.

2 KonziszteciaHa t2 = t1, akkor x(t2) = x(t1), azaz legyen t2 = t1 = t, ekkor

x(t) = ϕ(t, t, x(t), u(τ)(t,t]) (2.5)

∀t ∈ T , ∀x ∈ X és ∀u(τ) ∈ Ω esetén.

6

3 KompozícióBármely t1 < t2 < t3 időpontok esetén

ϕ(t3, t1, x(t1), u(t)(t1,t3]) = ϕ(t3, t2, ϕ(t2, t1, x(t1), u(t)(t1,t2]), u(t)(t2,t3])(2.6)

∀x ∈ X és ∀u(t) ∈ Ω esetén.

4 OkozatiságLegyen u1(t), u2(t) ∈ Ω két lehetséges bemenet időfüggvény, éstételezzük fel, hogy u1(t)(t1,t2] = u2(t)(t1,t2], azaz a bemenetszeg-mensek értékei adott (t1, t2] időintervallumon megegyeznek. Ekkor

ϕ(t2, t1, x(t1), u1(t)(t1,t2]) = ϕ(t2, t1, x(t1), u2(t)(t1,t2]) (2.7)

azaz a végállapotok megegyeznek.

Az állapotátmeneti függvényre megfogalmazott követelmények célja,hogy a matematikai megfogalmazás által megadott rendszer fogalommegfeleljen a valós fizikai-műszaki rendszereknek. Ennek megfelelően

- A rendszer kezdőállapota független a végállapotától, vagy másmegfogalmazással egy t1 időponthoz tartozó állapot független azazt követő késöbbi hatásoktól.

- A rendszer állapota nem változik, ha a vizsgálat kezdő- és vég-pontja megegyezik.

- Egy bementszegmens szétvágva ugyanabba a végállapotba kerül arendszer, ha bármely közbenső időpontból indítjuk a vizsgálatot.

- Ugyanazt a végállapotot kapjuk, ha két különböző, de adott idő-intervallumon azonos értéket felvevő bemenetidőfüggvényt alkal-mazunk ugyanabból a kezdőállapotból kiindulva.

Az állapotátmeneti függvény konkrét alakjára, további tulajdonságairamás előírás nincs, azokat az adott rendszer határozza meg.

(5) A kiolvasó függvény

A rendszer kimeneti változóinak megadására legyen adott az alábbikiolvasó hozzárendelés:

η : T ×X → Y, y(t) 7→ η(t, x(t)) (2.8)

7

A definíciónak megfelelően a rendszer kimenetét egyértelműen meg-határozza a rendszer adott időponthoz tartozó állapota és bemenete.Holtidős rendszerek esetében a bemenet hatása nem jelentkezik közvet-lenül a kimeneten.

Kalman-féle rendszermodellA Σ dinamikus rendszer az alábbi rendezett nyolcas

Σ =< T,X,U, Y, Ω, Γ, ϕ, η >, (2.9)

ahol az egyes szimbólumok jelentése és tulajdonságai megfelelnek a definícióelőkészítésében leírtaknak.

2.3. Rendszerek osztályozása

A 2.2 fejezetben bemutatott rendszerdefiníció igen általánosan határozza megaz általa leírha rendszerek tulajdonságait. Ennek oka, mint utaltunk is rá, az,hogy az így megadott definíció segítségével a műszaki gyakorlatban előfordulóvalamennyi rendszer leírható.

Ha bizonyos megkötéseket teszünk a definícióban szereplő egyes halmazokés függvények tulajdonságaira, akkor ezek alapján osztályozhatjuk a vizsgáltrendszereinket. Néhány fontosabb csoportosítási szempont ismertetünk akövetkezőkben.

(1) Determinisztikus - sztochasztikus rendszerek

A determinisztikus rendszerek esetében adott kezdőállapot és bemenőjel esetén egyértelműen meg tudjuk határozni a végállapot és a kimenőjel értékét.

A sztochasztikus rendszerek esetében azonban a végállapotra és a ki-menő jelre csak valószínüségi eloszlást tudunk megadni. Ennek oka,hogy vagy nincs elegendő ismeretünk a rendszer működéséről (példáulnem ismerjük a rendszert ért valamennyi zavarás pontos természetét),vagy az egyszerűbb tárgyalás érdekében bizonyos hatásokat valószínűségiváltozóként adunk meg.

Mint látható, egy rendszer determinisztikus vagy sztochasztikus jel-lege a definícióban az állapotátmeneti és/vagy kiolvasó függvénynél je-lenik meg. Ha mindkét függvény determinisztikus, akkor a rendszer

8

modellje is determiszinsztikus, ha a kettő közül egyik vagy mindkettővalószinűségi függvény, akkor a modell is sztochasztikus jellegű.

A műszaki gyakorlatban előforduló rendszerek bonyolultsága miatt ál-talában a rendelkezésre álló információ mennyisége és a modellezés cél-jának megfelelően döntjük el, hogy melyik leírási módot választjuk,

(2) Folytonos és diszkrét idejű rendszerek

Mint a T időhalmaz bevezetése kapcsán említettük, a halmaz lehet avalós számok összefüggő tartománya vagy kitüntett értékeket, példáulaz egész számokat tartalmazó halmaz. Az első esetben folytonos idejűleírási módról, míg a második esetben diszkrét idejű ábrázolásról bes-zélünk.

A műszaki gyakorlatban lejátszódó folyamatok mindig folytonos időbentörténnek, és a matematikai leírási mód is ezek tárgyalását támogatjaelsősorban. A számítógépes irányítás megjelenése azonban előtérbe he-lyezi a diszkrét idejű rendszermodellek alkalmazását.

A modell folytonos vagy diszkrét jellege tehát nemcsak a T halmaználjelentkezik, hanem a leíró függvények, így a bemenet és kimenet idő-függvények, az állapotátmeneti és a kiolvasó függvények megadásánális figyelembe kell ezt vennünk.

(3) Idővariáns és időinvariáns rendszerek

Egy rendszer idővariánciája azaz időtől való függése illetve időinvarian-ciája, tehát az időtől való függetlensége az abszolút vagy csillagászatiidőtől való függésre utal.

Egy időinvariáns rendszer esetében a a vizsgálat elvégzésének időpontjanem lényeges, a kezdőidőpontot önkényesen választhatjuk meg, és csaka kísérlet időtartama, vagyis a vizsgálati időintervallum hossza az, amifontos a végállapot és a kimenőjel értékeinek meghatározásánál. Más-képpen úgyis megfogalmazhatjuk egy rendszer időinvarianciáját, hogyugyanakkora értékkel eltolva a vizsgálat kezdő- és végpontját, de azonoskezdőállapotokban ugyanazt a bemenő jelet alkalmazva, ugyanabba avégállapotba juttatjuk a rendszert.

Az idővariancia/időinvariancia a matematikai leírásban az állapotátme-neti és kiolvasó függvények megadásánál jelentkezik. Idővariáns rends-zereknél az időváltozó expliciten megjelenik a függvény argumentumá-

9

ban, míg az időinvariáns rendszereknél nem. Ez a különbség a fizi-kai rendszerek esetében a következő módon mutatható be. Idővariánsrendszerek esetében nemcsak az állapotváltozók, a bemenő és a ki-menő jelek függnek az időtől, hanem a rendszert jellemző paraméterekidőváltozókként jelennek meg. Egy rendszer idővariáns jellege általábanvagy a hosszú távon bekövetkező paraméter változásokból (például al-katrészek kopása), vagy valamely fontos zavaró tényező (például a külsőhőmérséklet) figyelembe nem vétele miatt jelentkezik.

Egy modell idővariáns/időinvariáns jellege nem keverendő össze a a mo-dell illetve a fizikai rendszer változóinak dinamikus vagy stacionáriusviselkedésével. Stacionárius rendszer esetében az állapotváltozó adotthelyen időben állandó vagy közel állandó értéket vesz fel, míg az ún.dinamikus rendszer esetében az állapotváltozó az idő függvényében vál-toztatja az értékét. Tehát ebben az esetben a rendszer viselkedését leíróváltozók időbeli változásit jellemezzük, míg az idővariancia/invarianciaesetében pedig a rendszer fizikai paramétereiét.

(4) Lineáris és nemlineáris rendszerek

Lineáris rendszerek esetében az X, U , Y , Ω és Γ halmazok lineárisvektor terek lesznek, azaz értelmezzük rajtuk az összeadást és a konst-anssal való szorzást. A lineáris terek ezen tulajdonságait az általunkvizsgált fizikai rendszerek esetében úgyis megfogalmazhatjuk, hogy kéttetszőleges lehetséges működés lineáris kombinációja is - legalábbis ma-tematikai szempontból - lehetséges működést ad. Példaként nézzük eztmeg egy időinvariáns rendszer esetében.

Legyen az egyik lehetséges működés kezdőállapota x1(t1), bemenets-zegmense u1(t)(t1,t2). Ekkor

x1(t2) = ϕ(·, ·, x1(t1), u1(t)(t1,t2])

y1(t2) = η(·, x1(t2), u1(t2))

A másik lehetséges működés kezdőállapota pedig x2(t1) és bemenets-zegmense u2(t)(t1,t2). Így

x2(t2) = ϕ(·, ·, x2(t1), u2(t)(t1,t2])

y2(t2) = η(·, x2(t2), u2(t2))

10

Lineáris rendszer esetében tetszőleges λ1, λ2 ∈ R esetén igaz, hogy

x(t1) = λ1 · x1(t1) + λ2 · x2(t1)

u(t) = λ1 · u1(t) + λ2 · u2(t), t ∈ (t1, t2]

x(t2) = ϕ(·, ·, x(t1), u(t)(t1,t2]) = λ1 · x1(t2) + λ2 · x2(t2)

y(t2) = η(·, x(t2), u(t2)) = λ1 · y1(t2) + λ2 · y2(t2)

A lineáris vagy nemlineáris rendszer leírási mód közötti választás első-sorban a vizsgált rendszer jellegétől függ. Általában igaz, hogy a műsz-aki rendszerek viselkedése nemlineáris jellegű, de megfelelően szűk tar-tományban sokszor lineárisnak tekinthetőek, ami lényeges egyszerűsítia matematikai modell használatát.

(5) Véges - végtelen dimenziós rendszerekEgy Σ rendszer akkor és csak akkor véges dimenziós, ha az X állapo-thalmaz véges dimenziós lineáris vektortér.A műszaki gyakorlatban előforduló fizikai rendszereknek csak egy rés-zének az állapothalmaza képezhető le véges dimenziós vektortérre, ésazok is csak közelítés eredményeként. Az olyan fizikai rendszerek álla-potát, melyek állapotváltozóinak értéke az általuk kitöltött tér mindenpontjában különböző lehet, leggyakrabban szakaszonként folytonos ésmajdnem mindenütt differenciálható, atér három koordinátáját válto-zóként tartalmazó függvényekkel szokás jellemezni. Ezek azonban nemképezhetőek le véges dimenziós vektorterekre. A leképezéshez az ál-lapotfüggvényeket szakaszonként állandó függvényekkel kell közelíteni,azaz a térkoordinátáktól való függést el kell hanyagolni, vagy más szóvala rendszer jellemzőit véges számú értékbe kell koncentrálni. Ebbőladódóan a véges dimenziós rendszereket koncentrált paraméterű rends-zereknek, míg a végtelen dimenziós rendszereket elosztott paraméterűrendszereknek szokás nevezni.A fentieknek megfelelően a koncentrált paraméterű rendszerek leírásáraáltalában közönséges differenciálegyenleteket haszanálhatunk, míg azelosztott paraméterű rendszerek esetében parciális differenciálegyenle-teket.

(6) Véges - végtelen állapotú rendszerekVéges állapotú rendszer esetében az X állapothalmaz véges halmaz,azaz a rendszer csak véges számú különböző állapotban lehet.

11

Véges állapotú rendszerek esetében elvileg az állapotátmeneti függvényelvileg az egyes kezdőállapotokra külön-külön is megadható, így az ilyentípusú rendszerek leírása akármilyen bonyolult állapotátmeneti függ-vény esetében is megvalósítható.

Egy műszaki fizikai rendszer véges állapotú rendszerként való jellemzéseáltalában egyszerűsítést jelent, hiszen a legtöbb állapotváltozó értékeaz adott intervallumban tetszőleges lehet, és a mérési folyamat ered-ményeként kapunk véges sok különböző értéket.

A véges állapotú, diszkrét idejű időinvariáns rendszerek jellemző példáia későbiekben tárgyalandó automaták.

2.4. Néhány egyszerű rendszer állapottér modellje

Az állapotér modellek könnyebb megértése érdekében a következőkben be-mutatjuk néhány egyszerűbb rendszer állapottérmodelljét.

2.4.1. Tartálypark modellje

Tekintsük a ábrán látható két tartályból, egy belépő és egy kilépő árambólálló rendszert.

tartálypark ábrája!!!

A folyadék mennyiségének megváltozása az egyes tartályokban a követ-kező egyenletek segítségével adható meg:

dh1

dt=

1

A1

Fi − 1

A1Kv1

(h1 − h2) (2.10)

dh2

dt=

1

A2Kv1

(h1 − h2)− 1

A2Kv2

h2 (2.11)

ahol h1, h2 a folyadékszint az 1. illetve a 2. tartályban, Fi a belépőfolyadékáram, A1, A2 az 1. illetve a 2. tartály alapterülete (hengeres tar-tályokat feltételezünk), Kv1 , Kv2 az 1. illetve a 2. szelep szelepátfolyásitényezője.

A modell paramétereit specifikálva megadhatjuk, hogy h1, h2 lesznek azállapotváltozók, Fb a bemeneti változó, melyek az idő függvényei. A1, A2

és Kv1 , Kv2 a rendszer konstansnak tekinthető paraméterei. A kimeneti

12

változót, mely szintén az idő függvénye, a vizsgálat céljának megfelelőenválaszthatjuk meg. Legyen ez az adott példában a 2. tartályból kilépő fo-lyadékmennyiség, Fk, és az ehhez tartozó egyenlet pedig a következő:

Fk =1

A2Kv2

h2 (2.12)

Az állapottérmodell, a szokásos alakban felírva a következő lesz:

dh1

dt

dh2

dt

=

− 1

A1Kv1

1

A1Kv1

1

A2Kv1

Kv1 + Kv2

A2Kv2Kv1

h1(t)

h2(t)

+

1

A1

0

Fb(t) (2.13)

Fk(t) =

[0

1

A2Kv2

]

h1(t)

h2(t)

(2.14)

ahol

x(t) , h(t) =

h1(t)

h2(t)

az állapotváltozó vektor (2.15)

u(t) , Fb(t)a bemenő változó (2.16)y(t) , Fk(t)a kimenő változó (2.17)

A =

− 1

A1Kv1

1

A1Kv1

1

A2Kv1

Kv1 + Kv2

A2Kv2Kv1

az állapotátmeneti mátrix (2.18)

b =

1

A1

0

a bemeneti vektor (2.19)

c =

[0

1

A2Kv2

]kimeneti vektor (2.20)

Megfigyelhető, hogy a példa egy bemenetű - egy kimenetű jellege miatt, abemenő és a kimenő változó skalár változó, a bemeneti mátrix oszlopvektorrá,a kimeneti mátrix pedig sorvektorrá egyszerűsödik.

13

2.5. Az állapottér modell tipikus alakjai

A 2.3 fejezetben megadott csopotosítási szempontokat figyelembe véve, kon-centrált paraméterű számszerű műszaki fizikai rendszert feltételezve, az álla-pottérmodellt a következő általános alakban adhatjuk meg.

Legyen x(t) az állapotváltozók vektora, u(t) a bemenő változók vektora,y(t) a kimenő változók vektora.

- Folytonos idejű, nemlineáris, idővariáns rendszer

x(t)

dt= f(t, x(t), u(t)) (2.21)

y(t) = f(t, x(t), u(t)) (2.22)

- Folytonos idejű, nemlineáris, időinvariáns rendszer

x(t)

dt= f(x(t), u(t)) (2.23)

y(t) = f(x(t), u(t)) (2.24)

- Folytonos idejű, lineáris, idővariáns rendszer

x(t)

dt= A(t)x(t) + B(t)u(t) (2.25)

y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) (2.26)

- Folytonos idejű, lineáris, időinvariáns rendszer

x(t)

dt= Ax(t) + Bu(t) (2.27)

y(t) = Cx(t) + Du(t) (2.28)

A felsorolt alakok közül, a matematikai kezelhetőség szempontjából nyil-vánvalóan a folytonos idejű, lineáris, időinvariáns eset a legegyszerűbb, ésa gyakorlati esetek többségében is kielégítő pontossággal alkalmazható, ígynézzük meg ezen, hogy a változók számai hogyan befolyásolják a vektorok ésa mátrixok méreteit.

14

Legyen n darab állapotváltozónk, p darab bemenő változónk és r darabkimenő változónk. Ekkor

dim(x) = n x =

x1

x2

. . .xn

az állapotvektor (2.29)

dim(u) = p u =

u1

u2

. . .up

a bemenővektor (2.30)

dim(y) = r y =

y1

y2

. . .yr

a kimenővektor (2.31)

dim(A) = n× n A =

a11 a12 . . . a1n

a21. . . a2n

......

...an1 . . . ann

az állapotátmeneti mátrix(2.32)

dim(B) = n× p B =

b11 b12 . . . b1p

b21. . . b2p

......

...bn1 . . . bnp

a bemeneti mátrix (2.33)

dim(C) = r × n C =

c11 c12 . . . c1n

c21. . . c2n

......

...cr1 . . . crp

a kimeneti mátrix (2.34)

dim(D) = r × p D =

d11 d12 . . . d1p

d21. . . d2p

......

...dr1 . . . drp

a segéd mátrix (2.35)

Amennyiben a bemenő jel és a kimenő jel egyaránt skalár változó, akkora bemeneti mátrix egy oszlopvektorrá, a kimeneti mátrix pedig sorvektorráegyszerűsödik, ahogy ezt a 2.4.1 alfejezetbeli példában láttuk.

15

A D segédmátrix csak az olyan rendszerek állapottér modelljeiben talál-ható meg, amelyeknél a bemenet közvetlenül, a rendszer "megkerülésével"hat a kimenetre. A ?? fejezetben foglalkozunk az állapottér modellek és abemenet - kimenet modellek közötti kapcsolattal, ezért itt most csak meg-jegyezzük, hogy az ilyen rendszerek I/O modelljében a bemenet deriválásifokszáma megegyezik a kimenet deriválási fokszámával.

2.6. Bemenet - kimenet modellek

A rendszerek modellezésének elterjedt formája az ún. bemenet-kimenet vagyinput-output modellek (röviden I/O modellek) alkalmazása. Ezeknél a mo-delleknél a rendszer kimenetei és bemenetei között keresünk kapcsolatot,vagyis arra próbálunk meg összefüggést felírni, hogy adott bemenetre milyenkimenettel válaszol a rendszer. Nyilvánvaló, hogy ezek a modellek kevesebbinformációt tükröznek vissza a rendszerből, ezért akkor használjuk, ha első-sorban az átviteli tulajdonság érdekel valamilyen konkrét jel esetén, vagynincs elégséges információnk a belső felépítést is tükröző állapottér modellmegadására.

Az I/O modelleket a Kalman-féle rendszer definícióból származtathatjuka következő módon.

Legyenek a T -időhalmaz, U -a lehetséges beeneti értékek halmaza, Y -alehetséges kimeneti értékek halmaza, Ω-a lehetséges bemenet-időfüggvényekés Γ-lehetséges kimenet- időfüggvények halmaza a Kalman-féle rendszer de-finícióban megadott tulajdonsággal. Legyen F a következő függvényhalmaz:

F = fi : T × Ω → Y (2.36)

ahol fi(t, ω) függvényeket bemenet-kimenet függvényeknek hívjuk, és az fi(t, ω) =y(t) összefüggés megadja a t időponthoz tartozó y(t) kimenet értékét az ω(t)bemenet függvényében az i-dik kísérletben.

E definíciónak megfelelően az input-output modell egy dinamikus rends-zer kísérleti adatai absztrakt összefoglalásának tekinthető. Az i absztraktparaméterrel megcímkézett kísérletek egy alkalmazott bemenetből és a meg-figyelt kimenetből állnak.

A 2.59 fejezetben ismertetett tulajdonságok értelemszerűen alkalmazhatókaz I/O modelek esetében is. Az ott leírt csoportosítási szempontoknak meg-felelően - az állapottér modellekhez hasoló módon - az alábbi tipikus model-leket írhatjuk fel koncentrált paraméterű műszaki rendszerek esetén:

16

- Folytonos idejű, nemlineáris, idővariáns rendszer

f(t, y(t), y(1)(t), . . . , y(n)(t), u(t), u(1)(t), . . . , u(m)(t)) = 0ahol y(i) =diy()

dti(2.37)

differenciálegyenlet.

- Folytonos idejű, nemlineáris, időinvariáns rendszer

f(y(t), y(1)(t), . . . , y(n)(t), u(t), u(1)(t), . . . , u(m)(t)) = 0ahol y(i) =diy()

dti(2.38)

differenciálegyenlet.

- Folytonos idejű, lineáris, időinvariáns rendszer

any(n)(t)+an−1y(n−1)(t)+· · ·+a1y

(1)(t)+a0y(t) = bmu(m)(t)+· · ·+b0u(t)(2.39)

közönséges, inhomogén differenciálegyenlet. Megjegyezzük, hogy a valósfizikai rendszerekre érvényes oksági szabály miatt a két oldal deriválásifokszámára a n ≥ m összefüggés érvényes, azaz a bemenet megválto-zása okozza a kimenet megváltozását. Idővariáns rendszer esetében azitt konstans ai, bj paraméterek is időfüggvények lesznek.

- Diszkrét idejű, lineáris, időinvariáns rendszerDiszkrét idejű rendszerek esetében kétféle leírási mód használatos:

– az előrefelé vett differenciákkal felírt differenciegyenlet

an+ky((k+n)T )+an+k−1y((k+n−1)T )+· · ·+a1y((k+1)T )+a0y(kT ) =

= bk+mu((k + m)T ) + · · ·+ b0u(kT ) (2.40)

ahol T - a mintavételezési időállandó.– a visszafelé vett differenciákkal felírt differenciegyenlet

a0y(kT )+a1y((k−1)T )+· · ·+ak+n−1y((k−n+1)T )+an+ky((k−n)T ) =

= b0u((k−d)T )+ b1u(k−d− 1)+ · · ·+ bk+mu((k−d−m)T )(2.41)

ahol d = n−m a kimenet késleltetése a bemenethez képest.

17

A két féle leírási mód között a viszonyítási időponthoz, y(kT )-hez valóviszonyban van különbség: míg az előrefelé vett differenciák esetében ay(kT )-t hozzá képest későbbi adatokat alapján határozzuk meg, addiga visszafelé vett differenciák esetében ezt a korábbi, azaz meglévő ada-tok alapján végezzük el. Ennek megfelelően az első esetben a számolástcsak valamennyi adat rendelkezésre állása esetén használhatjuk, és azelsődleges cél a modell ellenőrzése lehet, addig a második esetben a sz-abályozási feladat elvégzését segítheti a modell által jósolt pillanatnyikimenet, azaz a rendszer működése közben is alkalmazható. Termés-zetesen jó modell esetén az előrefelé vett differenciák módszere ponto-sabb eredményt szolgáltat, míg a visszafelé vett differenciák módszereaz extrapoláció, azaz a meglévő adatok alapján végzett becslés pon-tatlanabb. A d késleltetési tényező azt adja meg, hogy a bemenő jelhatása hány mintavételezési időpont múlva jelenik meg a kimeneten.

2.7. Tipikus bemenet - kimenet modellek

A 2.6 fejezetben bemutattuk a bemenet - kimenet modellek általános alakját,illetve néhány tipikus formáját, amennyiben az általános megkötéseken (pl.folytonos/diszkrét idejű modell, idővariáns/időinvariáns vagy nemlineáris/lineárisrendszer) változtatunk. Az egyes típusok során nem célunk azok részletes be-mutatás, hiszen a tárgy előgfeltételeihez kapcsolódó jegyzetekben ez részlete-sen megtalálható (lásd: Szakonyi ....). Itt most csak azokat a tulajdonságokatfoglaljuk össze, melyek az anyag további tárgyalása szempontjából lényeges.

Legyen a vizsgált modell folytonos idejű, lineáris és időinvariáns. Csopor-tosítsuk a rendszereket a kimeneti és a bemeneti oldal deriválási fokszámánakfüggvényében!

2.7.1. Nulladrendű rendszer

Legyen a kimeneti oldal deriválási fokszáma n = 0, a bementi oldalé pedigm = 0. Ekkor a következő alakú I/O modellt kapjuk:

a0y(t) = b0u(t) (2.42)

Az így kapott modellt, a kimeneti oldal deriválási fokszáma alapján nul-ladrendű rendszermodellnek szokás nevezni. További elnevezések: arányosrendszer vagy P-tag.

18

Feltételezve, hogy sem a0, sem b0 nem egyenlő zérussal, a0-lal végosztvaaz egyenletet a következőt kapjuk:

y(t) = Ku(t)aholK =b0

a0

(2.43)

Az így bevezetett K paramétert erősítésnek nevezzük.A nulladrendű rendszer átviteli függvénye:

G(S) =Y (s)

U(s)|0kezdetifelt. =

b0

a0

= K (2.44)

frekvencia átviteli függvénye pedig:

G(jω) = K (2.45)

A nulladrendű rendszer átmeneti függvénye:

y(t) = K · 1(t) (2.46)

súlfüggvénye pedig:y(t) = K · δ(t) (2.47)

azaz mindkét esetben az erősítéssel módosított bemenő jelet kapjuk meg akimeneten.

2.7.2. Elsőrendű rendszer

Legyen a kimeneti oldal deriválási fokszáma n = 1, a bementi oldalé pedigm = 0. Ekkor a 2.6 egyenlet következő alakú:

a1y(1)(t) + a0y(t) = b0u(t) (2.48)

Tételezzük fel, hogy az együtthatók egyike sem egyenlő zérussal, osszuk el a0

-val az egyenlet mindkét oldalát:

a1

a0

y(1)(t) + y(t) =b0

a0

u(t) (2.49)

majd vezessük be a következő jelöléseket:

b0

a0

= Ka1

a0

= τ (2.50)

19

ahol K a nulladrendű rendszerekhez hasonlóan az erősítést jelenti, τ pedig arendszer további paraméterét, az időállandóját adja meg. Az új paraméterekbevezetésével a 2.48 egyenlet a következő alakú lesz:

τy(1)(t) + y(t) = Ku(t) (2.51)

Megjegyezzük, hogy az időállandó jelölésére a τ mellett a szakirodalombanmég a T betüt is használják.

Az elsőrendű rendszer átviteli függvénye:

G(S) =Y (s)

U(s)|0kezdetifelt. =

b0

a1s + a0

=K

τs + 1(2.52)

frekvencia átviteli függvénye pedig:

G(jω) =K

τjω + 1(2.53)

Az elsőrendű rendszer frekvencia átviteli függvénye Nyquist és Bode dia-gramban ábrázolva a 2.59 és a 2.59 ábrán látható.

Az elsőrendű rendszer átmeneti függvénye:

y(t) = K · 1(t)!!!! (2.54)

súlfüggvénye pedig:y(t) = K · δ(t)!!!! (2.55)

azaz mindkét esetben az erősítéssel módosított bemenő jelet kapjuk meg akimeneten.

Vizsgáljuk meg a két paraméter hatását a rendszer működésére!Mint az az átmeneti függvény analitikus megoldásából, a (2.65) egeyenlet-

ből is kitűnik, az erősítés az új egyensúlyi állapotban, a kimenet által felvettértéket határozza meg, míg az időállandó a beállás idejét szabályozza. Jóllátható, hogy nagy τ érték esetén az exponenciális tag hosszabb ideig vanjelen, míg kis τ érték esetén gyorsabban "eltűnik", azaz rövid ideig hat, ígya beállás az első esetben lassabb, míg a második esetben gyorsabb.

Ez a folyamat a 2.59 ábrán is nyomonkövethető, ahol az erősítés értékénekK = 3, az időállandónak pedig az egyik esetben τ1 = 0.1, míg a másik esetbenτ2 = 10 választottunk.

20

2.7.3. Másodrendű rendszer

Legyen következő lépésként a kimeneti oldal deriválási fokszáma n = 2, abementi oldalé pedig m = 0. Ebben az esetben az általános (2.6) egyenletkövetkező alakú lesz:

a2y(2) + a1y

(1)(t) + a0y(t) = b0u(t) (2.56)

Megjegyezzük, hogy a bementi oldal deriválási fokszámának a későbbiekbenelvégzendő stabilitási vizsgálatoknál nincs szerepe, csak az átmeneti, azaza tranziens állapotbeli viselkedést befolyásolja, ezért e rövid összefoglalásegyszerűsítéseként választjuk itt a legegyszerűbb esetet. Tételezzük fel, hogyaz együtthatók egyike sem egyenlő zérussal, osszuk el a0 -val az egyenletmindkét oldalát:

a2

a0

y(2)(t) +a1

a0

y(1)(t) + y(t) =b0

a0

u(t) (2.57)

Vezessük be a nullad és az elsőrendű rendszerekkel analóg módon az b0a0

hányo-dos helyett a K erősítést, a a1

a0hányados helyett a T1 időállandót és a a2

a0

hányados helyett pedig a T 22 időállandót:

T 22 y(2)(t) + T1y

(1)(t) + y(t) = Ku(t) (2.58)

Az így kapott egyenlet, a paraméterek hatásának nehézkes értelmezhetőségemiatt kevésbé használatos, ezért a két időállandó helyett vezessük be követ-kező paramétereket:

T , T2 az időllandó (2.59)

ζ , 0, 5T1

T2

a csillapítási tényező (2.60)

Ennek megfelelően az eredeti (2.56) egyenlet a következő alakú lesz:

T 2y(2)(t) + 2ζTy(1)(t) + y(t) = Ku(t) (2.61)

vagyy(2)(t) + 2ζωny(1)(t) + ω2

ny(t) = Kω2nu(t) (2.62)

ahol ωn = 1/T a természetes frekvencia. Megjegyezzük, hogy a szakiro-dalomban a két paraméter egyformán használatos az időtartománybeli és

21

az operátortartománybeli leírások esetében, míg a frekvenciatartománybantörténő vizsgálatoknál inkább az időállandó használatos a kétféle frekvencia-jelölés elkerülése érdekében.

A másodrendű rendszer átviteli függvénye:

G(S) =Y (s)

U(s)|0kezdetifelt. =

b0

a2s2 + a1s + a0

=

=K

T 2s2 + 2ζTs + 1=

=Kω2

n

s2 + 2ζωns + ω2n

(2.63)

frekvencia átviteli függvénye pedig:

G(jω) =K

T 2(jω)2 + 2ζjω + 1(2.64)

A másodrendű rendszer átmeneti függvénye:

y(t) = K · 1(t)!!!! (2.65)

súlfüggvénye pedig:y(t) = K · δ(t)!!!! (2.66)

azaz mindkét esetben az erősítéssel módosított bemenő jelet kapjuk meg akimeneten.

22

3. Gyakorlati példák

3.1. Matematikai áttekintés

3.1.1. Komplex számok

A valós számok körében nincs olyan szám, amelynek páros kitevős hatványanegatív lenne, így a negatív számokból nem tudunk például négyzetgyökötvonni.Ennek kiküszöbölésére ki kellett bővíteni a valós számok halmazát, úgy, hogya√−1 is értelmezve legyen rajta.

A√−1 = j jelölést alkalmazva ezentúl már léteznek a negatív számok gyö-

kei. Ezt a számhalmazt komplex számoknak nevezzük.A komplex számok a valós számok körének olyan bővítését adják, ahol min-den szám négyzetgyöke értelmezhető. Míg a valós számok a számegyenespontjainak, úgy a komplex számok a síkbeli koordinátarendszer (úgyneve-zett komplex számsík) pontjainak feleltethetőek meg (lásd ??.ábrát).

A (0, 1) koordinátákkal jellemezhető komplex számot képzetes (imaginárius),egységnek nevezzük és j-vel jelöljük. Az (a, b) koordinátájú pontnak meg-felelő z komplex számot z = a + bj alakban írhatjuk fel.Tehát az a, b ε R rendezett számpárt (a, b) ε C komplex számnak nevezzük.Fontos tudnivaló, hogy a komplex számok teste nem rendezett, azaz általánankét komplex szám nem összehasonlítható, köztük a <,> reláció nem értel-mezhető. Tehát nem mondható ki az, hogy valamely komplex szám kisebbvagy nagyobb a másiknál.

(1) Komplex számok különdöző alakjai

- Kanonikus alak

z = a + bj (3.1)

alakot a komplex szám algebrai vagy kanonikus alkjának hívjuk,ahol a jelöli a komplex szám valós azaz realis részét (Re), b pediga képzetes azaz imaginárius részét (Im).

23

Re(z) = a, Im(z) = b (3.2)

Megjegyzés: a z = a + bj komplex szám konjugáltján az a − bjkomplex számot értjük, amit y-vel jelölünk.

- Trigonometrikus alak

z = r(cos(ϕ) + j sin(ϕ)) (3.3)

alak a komplex szám trigonometrikus alkaja, ahol r = |z| a számabszolútértéke. Ez a szám a komplex számsíkon a z számnak meg-felelő pont origótól mért távolságát adja meg.

r = |z| =√

Re(z)2 + Im(z)2 =√

a2 + b2 (3.4)

ϕ az úgynevezett fázisszög, melynek értéke:

ϕ = arctanb

a= arctan

Im(z)

Re(z)(3.5)

- Exponenciális alak

z = rejϕ (3.6)

a komplex szám exponenciális alakja, ahol r a már elmített ab-szolútérték, ϕ pedig a fázisszög.

(2) Műveletek komplex számokkal

Legyen két komplex szám z1 és z2.

z1 = a + bj = r1(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1) = r1ejϕ1 (3.7)

24

z2 = c + dj = r2(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2) = r2ejϕ2 (3.8)

Összeadás, kivonás:

z = z1 ± z2 = (a± c) + (b± d)j (3.9)

tehát:

Re(z) = Re(z1 ± z2) = a± c (3.10)

Im(z) = Im(z1 ± z2) = b± d (3.11)

Az összeadás művelete asszociatív és kommutatív.

Szorzás:

z = z1 ∗ z2 = (a + bj) ∗ (c + dj) = ac + adj + cbj + bdj2 =

= (ac− bd) + (ad + cb)j (3.12)

tehát:

Re(z) = Re(z1 ∗ z2) = ac− bd (3.13)

Im(z) = Im(z1 ∗ z2) = ad + cb (3.14)

A szorzás is asszociatív és kommutatív művelet.Igazolható, hogy a komplex számok halmaza az összeadás és szorzásműveletekkel testet alkot, továbbá a z = j komplex szám (imagináriusegység) négyzete −1.Két komplex szám szorzatát úgy kapjuk meg, hogy tagonként összes-zorozzuk őket és a fentieknek megfelelően felhasználjuk, hogy j2 = −1.

25

Példa:

(2+3j)(1+4j) = 2+3j+8j+12j2 = 2+11j+12j2 = 2+11j−12 = −10+11j

Szorzás trigonometrikus és exponenciális alakban:

z = z1 ∗ z2 = (r1(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1)) ∗ (r2(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2))(3.15)

z = z1 ∗ z2 = r1 ∗ r2(cos(ϕ1 + ϕ2) + j(sin(ϕ1 + ϕ2))) (3.16)

z = z1 ∗ z2 = r1ejϕ1 ∗ r2e

jϕ2 = r1 ∗ r2ej(ϕ1+ϕ2) (3.17)

Osztás:

z =z1

z2

=a + bj

c + dj(3.18)

A számlálóban és a nevezőben is található képzetes rész, így nem lehetegyszerű osztást végezni. Ahhoz, hogy a hányadost kanonikus alakbanmegkaphassuk, elsőként el kell tűntetni a nevezőben az imagináriusrészt. Ezt legegyszerűbben úgy érhetjük el, hogy a törtet bővítjük anevező konjugáltjával, azaz a számlálót és nevezőt is megszorozzuk anevező komplex konjugáltjával.

z =a + bj

c + dj=

a + bj

c + dj

c− dj

c− dj=

(a + bj)(c− dj)

(c + dj)(c− dj)(3.19)

z =ac− adj + cbj − bdj2

c2 + cdj − cdj + d2j2=

(ac + bd) + (cb− ad)j

c2 − d2(3.20)

z =ac + bd

c2 + d2+

(bc− ad)j

c2 + d2(3.21)

26

tehát:

Re(z) = Re(z1

z2

) =ac + bd

c2 + d2(3.22)

Im(z) = Im(z1

z2

) =(bc− ad)

c2 + d2(3.23)

Példa:

2 + 3j

1 + 4j=

(2 + 3j)(1− 4j)

(1 + 4j)(1− 4j)=

2 + 3j − 8j − 12j2

1 + 16j2=

14 + 5j

17=

14

17− 5

17j

Osztás trigonometrikus és exponenciális alakkal:

z =z1

z2

=r1(cos(ϕ1) + j sin(ϕ1))

r2(cos(ϕ2) + j sin(ϕ2))=

=r1

r2

(cos(ϕ1 − ϕ2) + j sin(ϕ1 − ϕ2)) (3.24)

z =z1

z2

=r1e

jϕ1

r2ejϕ2=

r1

r2

ej(ϕ1−ϕ2) (3.25)

Hatványozás:

A hatványozást trigonometrikus vagy exponenciális alakban célszerűvégrehajtani:

zn = rn((cos(ϕ) + j sin(ϕ)))n = rn(cos(nϕ) + j sin(nϕ)) (3.26)

illetve:

zn = (rejϕ)n = rnejnϕ (3.27)

Gyökvonás:

27

Komplex számok körében a gyökvonás több értékű művelet, azaz egykomplex számnak n darab n-edik gyöke van.

n√

z = n√

r((cosϕ + 2kπ

n) + j(sin

ϕ + 2kπ

n)) (3.28)

ahol k = 0, 1, 2..., n− 1.

28

3.1.2. Mátrixelméleti összefoglaló

Mátrix:

Valós számokból képzett n×m-esmátrixnak az ai,j ε R; i := 1, ..., m; j := 1, ..., nszámok alábbi elrendezését nevezzük:

A =

a11 a12 ... a1n

a21 .... . .

am1 am2 ... amn

= (aij) (3.29)

Ekkor aij-t az A mátrix (i, j)-edik (i-edik sorban, j-edik oszlopban lévő)elemének nevezzük.Az A = (aij) m × n-es mátrix transzponáltján azt azn×m-es mátrixot értjük, amelynek (j, i)-edik eleme aij.Jelölés: AT .Ha A = AT , akkor az A mátrixot szimmetrikusnak, ha A = −AT , akkorferdén szimmetrikusnak nevezzük.

Speciális mátrixok:

Vektor:Az olyan mátrixot, melynek m sora és egy oszlopa van, oszlokvektornaknevezzük.

x =

x1

x2...

xm

(3.30)

Léteznek sorvektorok is, hasonlóan az oszlopvektorhoz, csak ennek 1sora és n oszlopa van.

x =[

y1y2...yn

](3.31)

29

Kvadratikus mátrix:Az n× n-es mátrixokat kvadratikus (négyzetes) mátrixoknak nevezzük.

A =

a11 . . . a1n... . . .

an1 . . . ann

(3.32)

Diagonális mátrix:

Azt az A = (aijn×n) kvadratikus mátrixot, amelyre aij = 0, a i 6= j (azaza főátlón kívüli elemek mind nullák), diagonális mátrixnak hívjuk.

Egységmátrix:

Az egységmátrix olyan diagonális mátrix, amelynek főátlójában mindenelem 1.Jelölés: I.

I =

1 0 . . . 00 1 . . . 0... . . .0 0 . . . 1

(3.33)

AI = A (3.34)

IA = A (3.35)

Műveletek mátrixokkal:

Az A = (aijn×m) és B = (bij)m×n mátrixok összegén azt az m × n-esmátrixot értjük, amelynek (i, j)-edik eleme aij + bij.

A + B = (aij + bij)m×n (3.36)

Az összeadás művelete kommutatív.

30

Az A = (aij)n×m mátrix λ-szorosán (λ ε R) azt az m × n-es mátrixotértjük, amelynek (i, j)-edik eleme λ aij.

λA = (λ aij)m×n (3.37)

Legyenek A = (aij)n×m és B = (bkj)p×n mátrixok. Ekkor A és B mátrixokösszehasonlíthatóak, és szorzatuk az az m×n-es mátrix, melynek (i, j)-edikeleme:

p∑

k=1

aik bkj (3.38)

Fontos megjegyezni, hogy a mátrixszorzás asszociatív de nem kommu-tatív művelet!

D = ABC = (AB)C = A(BC) (3.39)

AB 6= BA (3.40)

Igazolhatók az alábbi összefüggések:

(A + B)T = AT + BT (3.41)

(AB)T = BT AT (3.42)

Példa:

2 0−1 3

4 10 5

[1 0 2

−1 3 1

]=

2 0 4−4 9 1

3 3 9−5 15 5

Négyzetes mátrix determinánsa:

Négyzetes mátrixok determinánsa az alábbi rekurzív definícióval értel-mezhető:

31

(1) Legyen A = [a11] 1×1-es mátrix. Ekkor az A mátrix determinánsa a11.Jelölés: det(A) vagy |A|

(2) Legyen A] n× n-es mátrix (n ≥ 2). Ekkor :

|A| =n∑

j=1

(−1)1+ja1j |Aij| (3.43)

ahol Aij

jelöli azt az (n − 1) × (n − 1)-es részmátrixot, amelyet A-ólannak i-edik sorát és j-edik oszlopát elhagyva kapunk.

A fenti összefüggés a mátrix determinánsát az úgynevezett első sor szerintikifejtéssel adja meg.Példaként egy 3× 3-as A mátrix determinánsa az első sor szerint kifejtve:

|A| =∣∣∣∣∣∣

a11 a12 a13

a21 a22 a23

a31 a32 a33

∣∣∣∣∣∣= (3.44)

= a11(a22a33 − a23a32)− a12(a21a33 − a23a31) + a13(a21a32 − a22a31) (3.45)

Igazolható a következő összefüggés: |A||B| = |AB|

Ha egy négyzetes mátrix determinánsa 0 (|A| = 0), akkor a mátrixotszingulárisnak nevezzük, ellenkező esetben a mátrix nemszinguláris.

Példa:∣∣∣∣∣∣

2 1 −13 −1 24 1 −2

∣∣∣∣∣∣= 2

∣∣∣∣−1 2

2 −2

∣∣∣∣− 1

∣∣∣∣3 24 −2

∣∣∣∣ + (−1)

∣∣∣∣3 −14 2

∣∣∣∣ =

= 2((−1) · (−2)− 2 · 2)− (3 · (−2)− 2 · 4) + (−1)(3 · 2− (−1) · 4) =

= 2 · (−2)− 1 · (−14) + (−1) · 10 = −4 + 14− 10 = 0

Mátrix transzponáltja:

32

Egy m× n-es mátrix transzponáltja AT n×m-es mátrix:

B = AT , bij = aji,∀i, j (3.46)

Igazolhatóak a következő szabályok:

(AB)T = BT AT (3.47)

(ABC)T = CT BT AT (3.48)

(A + B)T = AT + BT (3.49)

Mátrix rangja:

Az A = (aij) n × m-es mátrix rangja q,ha A-nak létezik olyan q × qméretű részmátrixa (ezt alkalmasan választott (m-q) sor és (n-q) oszlop el-hagyásával kaphatjuk), amely nemszinguláris, ugyanakkor (q + 1) × (q + 1)méretű részmátrixok mind szingulárisak.

Példa:

Vizsgáljuk meg az

|A| = det

[1 2 3 01 2 3 0

]

mátrixot.Ennek a mátrixnak léteznek 1 × 1-es nemszinguláris részmátrixai (pl [1]),ugyanakkor minden 2 × 2-es részmátrixa szinguláris (azaz determinánsa 0).Így az A mátrix rangja: q = 1.

Ha egy n × n-es mátrix rangja n, akkor azt teljes rangú mátrixnakhívjuk. Igazolható, hogy egy néhyzetes mátrix pontosan akkor teljes rangú,ha nemszinguláris, azaz determinánsa nullától különböző.

Négyzetes mátrix inverze:

33

Az A n×n-es kvadratikus mátrixot invertálhatónak nevezzük, ha létezikolyan A−1 n× n-es mátrix, melyre:

A · A−1 = A−1 · A = I (3.50)

Ekkor az A−1 mátrixot az A mátrix inverzének hívjuk.Igazolható, hogy egy négyzetes mátrix pontosan akkor invertálható, ha nems-zinguláris. Továbbá:

(A−1)T = (AT )−1 (3.51)

(A1A2)−1 = A2

−1A1−1 (3.52)

Négyzetes mátrix sajátértéke és sajátvektora:

Az A kvadratikus mátrix sajátértékének nevezzük a λ számot, ha vala-mely x nullvektortól különböző oszlopvektorra A · x = λ · x.Ekkor x-et az A mátrix sajátvektorának nevezzük.A sajátértékek a

P (λ) = |λI − A| = 0 (3.53)

karakterisztikus egyenlet gyökeiként határozhatóak meg.

Példa:Az

|A| =∣∣∣∣

1 3−1 5

∣∣∣∣mátrix karakterisztikus egyenlete:

P (λ) = |λI − A| =∣∣∣∣

λ− 1 3−1 λ− 5

∣∣∣∣ =

= (λ− 1)(λ− 5)− 3 · (−1) = λ2 − λ− 5λ + 5 + 3 = λ2 − 6λ + 8 = 0

Ennek gyökei, azaz az A mátrix sajátértékei:

λ1 = 4

λ2 = 2

34

Négyzetes mátrix exponenciális függvénye :

Analízisből ismeretes, hogy az exponenciális függvény au alábbi végtelensorraL értelmezhető:

ex = 1 + x +1

2!x2 +

1

3!x3 + · · · =

∞∑

k=0

1

k!xk (3.54)

Az x skalárváltozót az A n × n-es négyzetes mátrixszal helyettesítve az Amátrix exponenciális függvényét kapjuk:

eA = I + A +1

2!A2 +

1

3!A3 + ... =

∞∑

k=0

1

k!Ak (3.55)

Ez a mátrixsor elemenként konvergál egy határmátrixhoz, amit eA-val jel-ölünk.

Kvadratikus formák:

Legyen A n× n-es szimmetrikus mátrix. A

Q(x) = xT · A · x =n∑

i=1

n∑j=1

aijxixj (3.56)

függvényt kvadratikus formának nevezzük.A Q(x) kvadratikus forma illetve a neki megfelelő A mátrix pozitív (negatív)definit, ha bármely nullvektortól különböző x vektor esetén

Q(x) ≥ 0 (Q(x) ≤ 0). (3.57)

Igazolható, hogy a Q(x) kavadratikus forma akkor és csak akkor pozitívdefinit, ha az A mátrix sajátértékei pozitívak, illetve ha a Q(x) kavadrati-kus forma pozitív szemidefinit, akkor az A mátrix sajátértékei nemnegatívak.

Ortogonális és szimmetrikus mátrixok:

35

Az A kvadratikus mátrix ortogonális, ha

AAT = I (3.58)

és ennek megfelelően

AT A = I (3.59)

Ekkor a sajátértékek abszolútértéke 1.Ha A = AT , akkor szimmetrikusnak nevezzük (sajátértékei valósak).Ha x1 λ1-hez tartozó, x2 λ2-höz tartozó sajátvektor, akkor λ1 6= λ2 eseténxT

1 x2 = 0, ekkor x1 és x2 vektorok ortogonálisak.Ha A = −AT , akkor ferdén szimmetrikusak.

36

3.1.3. Laplace, -inverz Laplace transzformáció és összefüggései

A rendszerelméletben, szabályozástechnikában időben változó rendszerek leírása-kor fontos szerepe van az időben változó jelek különböző integráltranszfor-mációinak. Ezek közül a legfontosabb az úgynevezett Laplace transzformá-ció. Mivel leggyakrabban úgynevezett bekapcsolási jelekez (negatív időkreazonosan zérus jeleket) használunk, az egyoldalas Laplace-transzformációt -továbbiakban Laplace-transzformáció - értelmezzük.Az f(t) időfüggvény Laplace transzformáltja definíció szerint:

Lf(t) = F (s) =

∫ ∞

0

f(t)e−stdt (3.60)

A leggyakrabban használt függvények Laplacce transzformáltjai a Tábláza-tok fejezetben megtalalhatóak.A Laplace transzformáció az f(t) függvényhez egy egyértlemű F (s) leképzett,transzformált függvényt rendel hozzá. Ez egy megfordítható hozzárendelés(inverz transzformáció). Az inverz Laplace transzformáció elvi kifejezése:

L−∞F (s) = f(t) =1

2πj

∫ σ+jω

σ−jω

F (s) ∗ etsds (3.61)

Laplace transzformáció tulajdonságai:

f(t) → F (s) (3.62)

konstans kiemelhető a transzformációból:

cf(t) → cF (s) (3.63)

c1f1(t)± c2f2(t) → c1F1(s)± c2F2(s) (3.64)

eltolási tétel:

f(t)e−αt → F (s + α) (3.65)

deriválás:

f ′(t) → sF (s)− f(0) (3.66)

37

integrálás:∫ t

0

f(t)dt → 1

sF (s) (3.67)

kezdetiérték tétel:

limt→0

f(t) = limt→∞

sF (s) (3.68)

végérték tétel:

limt→∞

f(t) = limt→0

sF (s) (3.69)

A Laplace transzformáció alkalmazásának előnyei:

- a szuperpozíció elve érvényesül

- állandó együtthatójú, lineáris differenciálegyenletek a Laplace transz-formáció során algebrai műveletekké egyszerüsödnek

- a konvolúció transzformáció elvégzése után egyszerű szorzássá módosul(konvolúciós tétel)

38

3.1.4. Z, inverz Z transzformáció és összefüggései

Az f(t) függvénnyel leírható jel mintavételezett alakja az alábbi formábanadható meg:

f ∗(t) =∞∑

n=1

f(nT )δ(t− nT ) (3.70)

ahol T jelöli a mintavételezési időt.Ezt felhasználva a szakaszos működésű rendszerek tárgyalásához leggyakrab-ban az úgynevezett z transzformációt alkalmazzák, melynek definíciója:

Zf ∗(t) = F (z) =∞∑

n=0

f(nT )z−n (3.71)

Ez a definíciós képlet egyszerű alaban állítja elő a z transzformáltat, vis-zont a tarnszformáltak végtelen sorral vannak kifejezve, és ennek zárt alakúöszszegképletét nem mindíg könnyű megtalálni.A z transzformált zárt képlettel is kiszámítható, például egyszeres pólusokesetén az alábbi kifejtési tétellel:

F (z) =

p∑i=1

Fz(pi)

F ′p(pi)

z

z − eTpi(3.72)

aholF (s) = Fz(s)

F ′p(s)a Laplace transzformált

Fz(s), zérushelyeket megadó számlálóFp(s), pólushelyeket megadó nevezőpi, i-edik pólusp, pólusok számaFz(pi), Fz(s) az s = pi helyenF ′

p(pi) = dFp(s)

dsderivált értéke az s = pi helyen

Ennek előnye, hogy zárt alakban állítja elő az eredményt.

A z tarnszformált csak a mintavételezett függvénnyel áll kapcsolatban.Inverze ennek megfelelően csak a mintavételezési időpontokban adható meg,

39

a többi időpontól nincs információnk. Ezért a mintavételezés időpontjábanmegegyező időfüggvények z transzformáltja is megegyezik.

z transzformáció tulajdonságai:

Zf(nT ) → F (z) (3.73)

Zf1(nT ) ± Z[f2(nT )] = F1(z)± F2(z) (3.74)

Zaf(nT ) = aZ[f(nT )] = aF (z) (3.75)

Zf(kT − nT ) = z−nF (z) (3.76)

Zf(kT + mT ) = zm[F (z)−n−1∑

k=0

f(kT )z−i] (3.77)

kezdetiérték tétel:

limk→0

f(kT ) = limz→∞

z − 1

zF (z) (3.78)

végérték tétel:

limk→∞

f(kT ) = limz→1

z − 1

zF (z) (3.79)

Definíció szerint egy F (z) függvény inverz z transzformáltja a követkető:

Z−∞F (z) = f(nT ) =1

2πj

∮

γ

F (z)zn−1dz, n = 1, 2, ... (3.80)

Megfigyelhető, hogy az inverziós képlet nem a teljes időfüggvényt, hanemcsak az f(nT ) függvény értékét adja meg a t = nT időpontokban.A fenti képlet alapján három lehetséges út kínákozik a konkrét függvényértékkiszámítására:

40

- komplex függvénytani integrálás

- törtfüggvény alakra hozás

- hatványsorba fejtés

Ezen módszerek közül az első bonyolultsága miatt nem használatos, azutóbbi két módszer viszont kiválóan alkalmazható a gyakorlatban.Nézzük kicsit részleteseben ez utóbbi kettőt.

törtfüggvény alakra hozásA részlettörtekre bontás során a z transzformált kifejezést az alábbi és

hasonló alakok valamelyikére hozzuk:

A =z

z − α(3.81)

A =z

(z − α)2 + β2(3.82)

A =z(z − α)

(z − α)2 + β2(3.83)

Ezen alakok inverz transzformáltjait megtalalhatjuk a táblázatokban.

hatványsorba fejtésF (z) függvényt z−1 hatványsorába fejtjük. A hatványsorba fejtést leg-

gyorsabban osztással hajthatjuk végre. Az így kapott kifejezésben a z változó−n hatványú (z−n) tagjának együtthatója az f(nT ) függvény értékének felelmeg.Definíció szerint:

f ∗(t) =∞∑

n=0

f(nT )δ(t− nT ) =

= f(0)δ(t) + f(1T )δ(t− T ) + f(2T )δ(t− 2T ) + . . . (3.84)

Mindkét oldal z transzformáltját véve:

F (z) =∞∑

n=0

f(nT )z−n = f(0) + f(1T )z−1 + f(2T )z−2 + . . . (3.85)

41

Ha összehasonlítjuk ezt a két kifejezést, akkor láthatjuk az f(t) függvény ér-tékét az (n + 1)-dik mintavételezési időpontban. Azaz f(nT ) értéke egyenlőlesz a z−n tag együtthatójával.Megjegyzés: Ne felejtsük el, hogy az osztás végrehajtásához F (z) számlálójá-ban és nevezőjében szereplő polinomokat z csökkenő hatványa szerint kellrendezni.Az osztás végrehjtásával:

F (z) = a0 + a1z−1 + a2z

−2 + · · · =∞∑

n=0

anz−n (3.86)

ahol an = f(nT ).

42

3.2. Tipikus dinamikus tagok

A lineáris időinvariáns rendszerek input output modellje egy n-edrendű in-homogén, lineáris differenciál egyenlettel írható fel.

any(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + · · ·+ a0y(t) =

= bmu(m)(t) + bm−1u(m−1)(t) · · ·+ b0u(t) (3.87)

, aholy(t) : kimeneti jelu(t) : bemeneti jela, b : rendszerparaméterekEzek az úgynevezett kimenet-bemenet modellek. A rendszer kimenete és be-menete közötti kapcsolatot írja le, azaz, hogy adott bemeneti jel hatásásraa rendszerünk kimenete hogyan változik. Ebből is látszik, hogy ez a modellegy bizonyos megváltozást ír le, melyek matematikailag differenciál egyenle-tek formájában jelennek meg.y(t) a rendszer kimenetét, u(t) pedig a rendszer bemenetétjelöli, ai és bi pe-dig legyenek rendszerállandók. Ekkor egy általános rendszer I/O modellje afenti alakú n-ed rendű inhomogén lineáris differenciál egyenlet formájábanmegadható.Mit is jelentenek ezek a jelzők?A rendszer n-ed rendű, azaz a legnagyobb deriválási fokszám a differenciálegyenletben az n.Inhomogén differenciál egyenlet, azaz a a rendszert leiró egyenlet jobb oldalánnem nulla áll, vagyis a rendszert gerjesztettük. (Homogén egyenlet- a rend-szert magára hagyjuk, az egyenlet jobb oldalán ekkor zérus áll.) A rends-zer lineáris, azaz a modellben csak a változók (kimenet és lineáris kombiná-ciói valamint a bemenet és lineáris kombinációi) és deriváltjai szerepelnek azegyenletben. A szuperpozció tétele érvényesül.

Képlettel:

any(n)(t) + an−1y(n−1)(t) + · · ·+ a0y(t) =

= bmu(m)(t) + bm−1u(m−1)(t) · · ·+ b0u(t) (3.88)

43

y(t) : kimeneti jelu(t) : bemeneti jela, b : rendszerparaméterek

3.2.1. Nulladrendű rendszer

Legyenek ... egyenletben a kimeneti oldal derivált fokszáma n=0; a bemenetioldalé pedig m=0. Ekkor a rendszerünk I/O modellje általános alakban akövetkezőképpen néz ki:

a0y(t) = b0u(t) (3.89)

Ebből kifejezve a kimenő jelet:

y(t) =b0

a0

u(t) (3.90)

ahol b0a0

= K erősítésnek nevezzük.Laplace transzformálva az egyenlet mindkét oldalát, kapjuk:

Y (s) = KU(s) (3.91)

Az átviteli függvény definíció szerint a kimenet Laplace transzformált-jának és a bemenet Laplace transzformáltjának hányadosa, zérus kezdeti fel-tételek mellett. Tehát:

G(S) =Y (s)

U(s)|0kezdetifelt. (3.92)

Ezek szerint egy nulladrendű rendszer egyetlen paraméterrel jellemezhető,ez az erősítés, és az átviteli függvénye:

G(S) =Y (s)

U(s)=

b0

a0

= K (3.93)

Magasabb rendű rendszereknél az előzőekhez hasonlóan jutunk el a vége-redményhez.

44

3.2.2. Elsőrendű rendszer

Legyenek ... egyenletben a kimeneti oldal derivált fokszáma n=1; a bemenetioldalé pedig m=0.

a1y(1)(t) + a0y(t) = b0u(t) (3.94)

Feltételezve, hogy a1 6= 0,végigosztva a0 -val az egyenlet mindkét oldalát:

a1

a0

y(1)(t) + y(t) =b0

a0

u(t) (3.95)

ahol b0a0

= K a nulladrendű rendszerhez hasonlóan az erősítést jelenti,az újrendszerparamétert, a a1

a0hányadost pedig időállandónak nevezünk és τ -val

jelöljük. Az új paraméterek bevezetésével az egyenlet a következőképp egys-zerűsödik:

τy(1)(t) + y(t) = Ku(t) (3.96)

Laplace transzformálva az egyenlet mindkét oldalát, kapjuk:

τsY (s)− y(0) + Y (s) = KU(s) (3.97)

Mivel zérus kezdeti feltételek mellett vizsgáljuk a rendszert, így :

τsY (s) + Y (s) = KU(s) (3.98)

Átrendezve az egyenletet:

G(S) =Y (s)

U(s)|0kezdetifelt. =

K

τs + 1(3.99)

Egy elsőrendű rendszer átviteli függvénye:

G(S) =Y (s)

U(s)=

K

τs + 1(3.100)

Elsőrendű rendszert egyértelműen jellemzi erősítése és időállandója.

45

3.2.3. Másodrendű rendszer

Legyenek ... egyenletben a kimeneti oldal derivált fokszáma n=2; a bemenetioldalé pedig m=0. Ekkor a rendszerünk I/O modellje általános alakban akövetkezőképpen néz ki:

a2y(2)(t) + a1y

(1)(t) + a0y(t) = b0u(t) (3.101)

Tételezzük fel, hogy az a0, a1, b0, b1 paraméterek egyike sem egyenlő nullával.Ekkor végigosztva a0 -val az egyenlet mindkét oldalát:

a2

a0

y(2)(t) +a1

a0

y(1)(t) + y(t) =b0

a0

u(t) (3.102)

ahol b0a0

= K a már ismert erősítés,a1

a0a rendszer egyik időállandója T1, és

mint sejthető a a2

a0a rendszer másik időállandóját, T2-t jelöli.

Általános alakban nem ez a forma használadnó, hanem a T1 és T2 időállandókhelyett a következő két új paramétert vezették be:T , T2 időállandóξ , 0, 5 T1

T2csillapítási tényező

Ennek megfelelően:

T 2y(2)(t) + 2ξTy(1)(t) + y(t) = Ku(t) (3.103)

Laplace transzformálva:

T 2s2Y (s) + 2ξTsY (s) + Y (s) = KU(s) (3.104)

Innét egy egyszerű átrendezéssel kifejezhető az átviteli függvény:

G(S) =Y (s)

U(s)=

K

T 2s2 + 2ξTs + 1(3.105)

Egy másodrendű rendszert három paraméterrel jellemezhetünk: az erősítésé-vel, időállandójával illetve csillapítási tényezőjével.Az időállandó helyett használatos annak reciproka is, melyet természetes

46

frekvenciának nevezünk és ωn -nel jelölünk. Ezek szerint az átviteli függvénya következőképpen módosul:

G(S) =Kω2

n

s2 + 2ξωns + ω2n

(3.106)

3.2.4. Feladatok

(1) példa

Határozzuk meg a 3y(2)(t) + 2y(1)(t) + 5y(t) = 6u(2)(t) + 4u(1)(t) + u(t)egyenlettel jellemzett rendszer átviteli függvényét!

Első lépésként Laplace transzformáljuk az egyenlet mindkét oldalát.

3s2Y (s)− sy(0)− y(1)(0) + 2sY (s)− y(0) + 5Y (s) =

= 6s2U(s)− su(0)− u(1)(0) + 4sU(s)− u(0) + U(s)

Mivel zérus kezdeti feltételekkel dolgozunk, ezért a képlet leegyszerűsö-dik a következőkre:

3s2Y (s) + 2sY (s) + 5Y (s) = 6s2U(s) + 4sU(s) + U(s)

Az egyenletet rendezve kapjuk:

Y (s)(3s2 + 2s + 5) = U(s)(6s2 + 4s + 1)

Y (s)

U(s)=

6s2 + 4s + 1

3s2 + 2s + 5

Tehát ennek a rendszernek az átviteli függvénye:

G(s) =Y (s)

U(s)=

6s2 + 4s + 1

3s2 + 2s + 5

(2) példa

Határozzuk meg a 5y(4)(t)+4y(1)(t)+10y(t) = 8u(3)(t)+u(1)(t)+2u(t)egyenlettel jellemzett rendszer átviteli függvényét!

47

Első lépésként Laplace transzformáljuk az egyenlet mindkét oldalátzérus kezdeti feltételek mellett.

5s4Y (s) + 4sY (s) + 10Y (s) = 8s3U(s) + sU(s) + 2U(s)

Az egyenletet továbbrendezve kapjuk:

Y (s)(5s4 + 4s + 10) = U(s)(8s3 + s + 2)

Y (s) =U(s)(8s3 + s + 2)

(5s4 + 4s + 10)

Y (s)

U(s)=

8s3 + s + 2

5s4 + 4s + 10

Tehát ennek a rendszernek az átviteli függvénye:

G(s) =8s3 + s + 2

5s4 + 4s + 10

(3) példaHatározzuk meg a y(3)(t) + y(1)(t) + 2y(t) = 2u(2)(t) + 3u(1)(t) + u(t)egyenlettel jellemzett rendszer átviteli függvényét!

Most hagyjuk ki a transzformációs lépést és az egyenletrendezést, próbál-juk meg ezeket az egyszerű műveleteket fejben elvégezni. Néhány példaután már tapasztalni fogjuk, hogy egy I/O modellel megadott rendszerátviteli függvénye egy lépésben felírható.Mivel tudjuk, hogy zérus feltételek mellett vizsgáljuk a rendszert, ígya Laplace transzformáció leegyszerűsödik, a deriváltak a transzformá-ció után egyszerű algebrai műveletekké egyszerüsödnek, azaz s-sel valószorzásként jellenek meg az operátortartományban.Konstansok kiemelhetők a transzformációból, így azokat is csak egy-szerűen leírjuk.Az y(t) és u(t) transzformáltjait pedig Y(s) és U(s) jelöli.

Ennek alapján a rendszer átviteli függvénye:

G(s) =2s2 + 3s + 1

s3 + s + 2

48

3.3. Átmeneti és súlyfüggvények

Legyen adott egy rendszer az I/O modelljével, azaz a bemenetei és kimeneteiközötti kapcsolatot leíró differenciálegyenlettel. A differenciálegyenlet me-goldása megadja tetszőleges bemenő jel mellett a kimenet időbeni lefolyását.Egy inhomogén differenciálegyenlet megoldását úgy kaphatjuk meg, hogymegoldjuk a homogén differenciál egyenletet, majd az inhomogén egyenlet-nek megkeressük egy partikuláris megoldását. A kettő összege megadja azáltalános megoldást.Az inhomogén egyenlet partikuláris megoldásának megadása annál egys-zerűbb, minél egy-szerűbb a bemenő jelünk, a gerjesztőfüggvény.Ilyen tipikus gerjesztő függvények a 3-1.ábrán láthatóak, az egységimpulzus(Dirac) függvény, az egységugrás-, az egységnyi sebeségugrás- és az egységnyigyorsulásugrás függvények.

3-1. ábra. Leggyakoribb gerjesztő jelek

SúlyfüggvényA súlyfüggvény a rendszer Dirac-impulzusra (egységimpulzusra) adott

válasza. Technikailag a Dirac-impulzus nem megvalósítható, ugyanis a jelértéke a nulla időpillanatban végtelen nagy, a többi helyen pedig nulla.A rendszer tulajdonságait tisztán mutatja a súlyfüggvény időbeni lefolyása,hiszen a t = 0 időpont kivételével a bemenő jel zérus, így a rendszer tranziensállapotbeli viselkedését kizárólag saját jellemzői befolyásolják.Koncentrált paraméterű, determinisztikus, lineáris rendszer válaszfüggvényebármilyen bemenetre egyértelműen meghatározható. Az ilyen rendszer egyér-telműen jellemezhető súlyfüggvényével.

49

A súlyfüggvény jele: h(t).

Átmeneti függvényEz az egyik leggyakrabban használatos válaszfüggvény. Úgynevezett be-

kapcsolási jelenségnek is szokták nevezni. Átmeneti függvénynek nevezzük azegységugrás bemenetre adott válaszát a rendszernek. Technikailag azonbanez sem megvalósítható, ugyanis a jel értéke elméletileg zérus idő alatt éri elaz egységet, ami a valóságban lehetetlen.Az átmeneti függvény jele: k(t).

Feladatok

(1) példa

Adott egy rendszer átviteli függvénye, G(s). Határozzuk meg a rends-zer súlyfüggvényét h(t)!Vizsgáljuk meg, mi a kapcsolat a két függvény között.A súlyfüggvény a rendszer Dirac impulzusra adott válaszát adja meg.Tehát jelen esetben a G(s) átviteli függvénnyel jellemzett rendszerünkreu(t) = δ(t) bemenő jelet adunk, és ekkor a rendszer válasza y(t) = h(t)súlyfüggvény lesz.Az átviteli függvény definíció szerint a kimenető jel Laplace transz-formáltjának és a bemenő jel Laplace transzformáltjának hányadosa,tehát jelen esetben:

u(t) = δ(t)

U(s) = Lu(t) = Lδ(t) = 1

y(t) = h(t)

G(s) =Y (s)

U(s)

Y (s) = G(s) · U(s)

Y (s) = G(s) · 1 = G(s)

L−1Y (s) = y(t) = L−1G(s)y(t) = h(t)

50

A levezetésből látható, hogy a súlyfüggvényből Laplace transzformációsegítségével meghatározható az átviteli függvény és fordítva.

h(t) ­ G(s)

(2) példa

Vizsgáljuk meg egy nulladrendű rendszer átmenenti és súlyfüggvényét!Legyen a rendszer átviteli függvénye: G(s) = 5.

G(s) =Y (s)

U(s)=

b0

a0

= K = 5

Átrendezve az egyenletet Y (s)-re és inverz Laplace transzformálva kapjuk:

Y (s) = G(s)U(s) = KU(s) = 5U(s)

y(t) = 5u(t)

Az átmeneti függvénye:

k(t) = y(t) = 5 1(t)

A súlyfüggvénye:

h(t) = y(t) = 5 δ(t)

Az átmeneti és súlyfüggvény grafikonjai a 3-2.ábrán láthatóak.

3-2. ábra. Átmeneti függvény

51

(3) példa

Most nézzünk meg egy elsőrendű rendszert!Legyen a rendszer átviteli függvénye: G(s) = 5

2s+1.

Azaz rendszer erősítése 5 és az időállandója 2 sec.Elsőként számoljuk ki a rendszer átmeneti függvényét.

G(s) =Y (s)

U(s)=

5

2s + 1

Ebből kifejezhetjük a rendszer kimenetének Laplace transzformáltját:

Y (s) = G(s)U(s) = U(s)5

2s + 1

Az átmeneti függvény meghatározásánál a bemenő jel az egységugrásfüggvény, azaz u(t) = 1(t), így:

Y (s) =1

s

5

2s + 1

A k(t) válaszfüggvény meghatározásához inverz Laplace transzformál-juk az Y (s) függvényt. Ezt a parciális törtekre bontás segítségévelvégezzük el. Úgy bontsuk parciális törtekre ezt a kifejezést, hogy atranszformációs táblázatban talalható következő két alakot kapjuk:

1

s→ 1(t)

1

s + α→ e−αt (3.107)

A törtekre bontást a következőképpen végezhetjük:

Y (s) =A

s+

B

2s + 1

Az A és B konstansokat többféleképpen is előállíthatjuk.

A

s+

B

2s + 1=

1

s

5

2s + 1

A(2s + 1) + Bs = 5

Válasszunk s-nek olyan értékeket, hogy az összeg valamely paraméterttartalmazó tagja eltűnjön.

52

Legyen s = 0, ekkor az egyenletből A egyszerűen kifejezhető és értékemegadható.

A(2 · 0 + 1) + B · 0 = 5

A = 5

Válasszuk s-nek a −0, 5 értéket, ekkor B értéke adható meg:

A(2 · (−0, 5) + 1) + B · (−0, 5) = 5

B = −10

Függvényünk a következő alakúra módosult:

Y (s) =5

s+

−10

2s + 1

A függvényben szereplő tagoknak az inverz transzformáltjait táblázatsegítségével meghatározhatóak. Átalakítva a tagokat a 3.107 alakúa-kra, a következő időtartománybeli alakokat kapjuk:

L−15

s = 5L−11

s = 5 · 1(t)

L−1 −10

2s + 1 = −5L−1 1

s + 0, 5 = −5 · e−0,5t

A kimeneti jel időtartománybeli alakja :

y(t) = 5 1(t)− 5e−0,5t = 5 (1(t)− e−0,5t)

Az átmeneti függvény lefutása a 3-3.ábrán látható.

Állítsuk elő a rendszer súlyfüggvényét is. Ez sokkal egyszerűbb, mivela bemenő jel itt a Dirac impulzus, aminek a Laplace transzformáltja 1,így az alábbi kifejezést kapjuk:

Y (s) = G(s)U(s) = U(s)5

2s + 1=

5

2s + 1

A súlyfüggvény előállításához inverz Laplace transzformáljuk Y (s)-t,az átmeneti függvény meghatározásához hasonlóan.

53

3-3. ábra. Átmeneti függvény

Felhasználjuk a következő azonosságot a transzformációs táblázatunk-ból:

1

s + α→ e−αt

Y (s) =5

2s + 1=

2, 5

s + 0, 5= 2, 5

1

s + 0, 5

Azaz α értéke 0, 5, így az időfüggvény:

y(t) = 2, 5e−0,5t

A súlyfüggvény időbeli lefolyása a 3-4.ábrán látható.

(4) példa

Vegyünk egy másik elsőrendű rendszert!Legyen ennek a rendszernek az átviteli függvénye: G(s) = 5

0,5s+1azaz a

rendszer erősítése itt is 5 de az időállandója 0, 5sec tehát kisebb, mintaz előző példában.Határozzuk meg a rendszer átmeneti függvényét!Induljunk ki itt is az átviteli függvényből:

G(s) =Y (s)

U(s)=

5

0, 5s + 1

54

3-4. ábra. Súlyfüggvény

Ebből kifejezhetjük a rendszer kimenetének Laplace transzformáltját:

Y (s) = G(s)U(s) = U(s)5

0, 5s + 1

A bemenő jel az egységugrás, tehát:

Y (s) =1

s

5

0, 5s + 1

A függvény inverz Laplace transzformáltjának meghatározásához mosta táblázatbólalkalmazzuk a következő formulát:

α

s(s + α)→ 1(t)− e−αt (3.108)

Így elkerülhetjük a parciális törtekre bontást, csupán az α értékét kellmeghatároznunk. Ehhez alakítsuk át a kifejezésünket:

Y (s) =5

s(0, 5s + 1)=

5 · 2s 2(0, 5s + 1)

=10

s(s + 2)= 5

2

s(s + 2)

Az algebrai átalakítás eregményeként α értéke 2 és a transzformációbólkiemelhető konstans értéke 5. A 3.108 képletet felhasználva a rendszerátmeneti függvénye:

55

y(t) = 5 1(t)− 5e−2t

Ebben a példban kisebb időállandót választottunk, mint az előző eset-ben. A két átmeneti függvény közös koordinátarendszerben ábrázolva a3-5.ábrán látható lefutást kapjuk. Jól látható, hogy a kisebb időállan-dójú rendszerhez gyorsabb felfutás tartozik.Ez az átviteli függvényekanalítikus alkjából is kikövetkeztethető: a kisebb időállandójú rendszerexponenciális tagjának kitevőjében nagyobb α érték szerepel, így az atag gyorsabban tart a nullához. Az α érték pedig megegyezik az időál-landó reciprokával.

3-5. ábra. Átmeneti függvény

Ahol y1(t) a G(s) = 52s+1

rendszer, y2(t) pedig a G(s) = 50,5s+1

rendszerátmeneti függvénye.

Állítsuk elő ennek a rendszernek súlyfüggvényét is hasonlóan az előzőek-hez.

Y (s) = G(s)U(s) = U(s)5

0, 5s + 1=

5

0, 5s + 1

Az inverz Laplace transzformációt a 1s+α

→ e−αt alapján elvégezve:

56

Y (s) =5 · 2s + 2

=10

s + 2= 10

1

s + 2

y(t) = 10e−2t

Ezt a 3-6.ábra mutatja.

3-6. ábra. Súlyfüggvény

57

3.4. Stabilitásvizsgálat

3.4.1. Folytonos rendszer stabilitás vizsgálata pólusvizsgálattal

(1) példa

0, 5y(2)(t) + 2y(1)(t) + 14, 5y(t) = u(t)

kezdeti feltételek:y(0) = 0, y(−1) = 0

Határozzuk meg a rendszer stabilitását!

Első lépésként állítsuk elő a rendszer átviteli függvényét. Ehhez Lap-lace transzformáljuk az egyenletet.Felhasználjuk a transzformációs szabályokat:

cf(t) −→ cF (s)

c1f1(t)± c2f2(t) −→ c1F1(s)± c2F2(s)

f ′(t) −→ sF (s)− f(0)

0, 5s2Y (s) + 2sY (s) + 14, 5Y (s) = 1U(s)

Kiemelve Y(s)-et és átrendezve az egyenletet megkapjuk az átvitelifüggvényt:

G(s) =Y (s)

U(s)=

1

0, 5s2 + 2s + 14, 5

A stabilitás meghatározására válasszuk a pólusvizsgálatot, ugyanis egymásodfokú rendszer pólusainak meghatározása könnyű feladat. Az át-viteli függvény nevezőjében szereplő polinom gyökei meghatározzák arendszerünk pólusait. Ha ezen pólusok valósrésze kisebb mint nulla,akkor a rendszer stabil, ha nulla, akkor a rendszer a stabilitás határánvan, különben rendszerünk instabil.Határozzuk meg a nevező gyökeit:

58

0, 5s2 + 2s + 14, 5 = 0

s1,2 =−2±

√22 − 4 · 0, 5 · 14, 5

2 · 0, 5 = −2± j5

Azaz a rendszer pólusai komplex konjugált gyökpárat alkotnak. Mivela valós rész negatív:

Res = −2 < 0 ⇒ a rendszer stabil.

3.4.2. Routh-Hurwitz módszer

(1) példa

y(4)(t) + 2y(3)(t) + 3y(2)(t) + 4y(1)(t) + 5y(t) = 10u(t)

Határozzuk meg a rendszer stabilitásást Routh-Hurwitz módszerrel!Első lépésként írjuk fel a rendszer átviteli függvényét.

s4Y (s) + 2s3Y (s) + 3s2Y (s) + 4sY (s) + 5Y (s) = 10U(s)

G(s) =Y (s)

U(s)=

10

s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5

Ebből a karakterisztikus egyenlet:

s4 + 2s3 + 3s2 + 4s + 5 = 0

A Routh-Hurwitz módszer alkalmazásához először vizsgáljuk meg, hogyminden együttható pozitív-e azaz ai > 0 ∀i-re.Ez a példánkban teljesül, így felírható a H 4× 4-es Hurwitz-mátrix.

H =

a3 a1 0 0a4 a2 a0 00 a3 a1 00 a4 a2 a0

=

2 4 0 01 3 5 00 2 4 00 1 3 5

Számoljuk ki a Hurwitz mátrix főátlójához tartozó aldeterminánsát.Ha teljesül, hogy az így kapott aldeterminánsok értéke pozitív, akkora rendszerünk stabil. Ha legalább egy determinánsra ez nem teljesül,

59

akkor a rendszer instabil.

∆1 = |2| = 2

∆2 =

∣∣∣∣2 41 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− 4 · 1 = 2 = 2

∆3 =

∣∣∣∣∣∣

2 4 01 3 50 2 4

∣∣∣∣∣∣= 2 ·

∣∣∣∣3 52 4

∣∣∣∣− 4 ·∣∣∣∣

1 50 4

∣∣∣∣ + 0 ? 2 ·∣∣∣∣

1 30 2

∣∣∣∣

= 2(3 · 4− 5 · 2)− 4(1 · 4− 5 · 0) = 4− 16 = −12

A harmadik aldeterminánsra nem teljesül a stabilitáshoz szükséges fel-tétel (δ3 < 0), így a további számolás nem szükséges, a rendszer instabil.

Feladat: Szimuláljuk le a rendszert VisSim segítségével!

(2) példa

Adott egy rendszer, melynek az átviteli függvénye a következő:

G(s) =Y (s)

U(s)=

1

s3 + 2s2 + 3s + 4

Jellemezzük a rendszert rendűség, stabilitás és állandósult állapot szem-pontjából!A rendszer I/O modellje felírható az átviteli függvényből:

y(3)(t) + 2y(2)(t) + 3y(1)(t) + 4y(t) = u(t)

A legnagyobb derivált fokszáma 3, tehát egy harmadrendű rendszerrőlvan szó.

Stabilitást a Routh-Hurwitz módszerrel vizsgálhatjuk meg (bár har-madrendű rendszer pólusmeghatározása megoldóképlettel még elvégez-hető).

60

A Routh-Hurwitz módszer első feltétele, miszerint az együtthatóknakpozitívoknak kell lenniük, teljesül.Írjuk fel a 3× 3 -as Hurwitz determinánst:

H =

∣∣∣∣∣∣

a2 a0 0a3 a1 00 a2 a0

∣∣∣∣∣∣=

∣∣∣∣∣∣

2 4 01 3 00 2 4

∣∣∣∣∣∣az aldeterminánsok:

∆1 = |2| = 2

∆2 =

∣∣∣∣2 41 3

∣∣∣∣ = 2 · 3− 4 · 1 = 2 = 2

∆3 =

∣∣∣∣∣∣

2 4 01 3 00 2 4

∣∣∣∣∣∣= 2 ·

∣∣∣∣3 02 4

∣∣∣∣− 4 ·∣∣∣∣

1 00 4

∣∣∣∣ + 0 ·∣∣∣∣

1 30 2

∣∣∣∣

= 2(3 · 4− 0 · 2)− 4(1 · 4− 0 · 0) = 24− 16 = 8

Az összes aldeterminánsra teljesül, hogy pozitívak, így a Routh-Hurwitzkritérium alapján a rendszerünk stabil.A rendszer erősítése kiszámítható az átviteli függvényben szereplő kons-tans tagok hányadosaként. Itt tehát a rendszer erősítése: 1

4.

(3) példa

Vizsgáljuk a következő karakterisztikus egyenlettel jellemzett rendszert.

s3 + 4s2 + 8s + k = 0

Milyen k érték esetén lesz a rendszer stabil?Az együtthatók pozitív értékére vonatkozó feltétel teljesüléséhez kössükki, hogy

k > 0

61

kell, hogy legyen. Mivel a többi együttható pozitív, így a Hurwitzmátrix:

H =

∣∣∣∣∣∣

4 k 01 8 00 4 k

Innen az aldeterminánsok:

∆1 = |4| = 4

∆2 =

∣∣∣∣4 k1 8

∣∣∣∣ = 4 · 8− k · 1 = 32− k > 0

innen: k < 32

∆3 = 4 ·∣∣∣∣

8 04 k

∣∣∣∣− k ·∣∣∣∣

1 00 k

∣∣∣∣= 4(8 · k − 0)− k(k − 0) = 32 · k − k2 = k(32− k) > 0

innen: 0 < k < 32

Így a rendszer stabil lesz 0 < k < 32 érték esetén.A k érétke akkor lesz a rendszer tényleges erősítés, ha az átviteli függ-vény a követekező alakú:

G(s) =k · k

s3 + 4s2 + 8s + k

(4) példa

62

3.5. Másodrendű rendszer viselkedésének vizsgálata

Vizsgáljuk meg részleteiben a másodrendű rendszerek viselkedését. Elsőkéntírjuk fel a differenciál egyenlettel jellemzett I/O modellt.

a2y(2)(t) + a1y

(1)(t) + a0y(t) = b0u(t)

Ebből a már alkalmazott módszerrel kifejezhető az átviteli függvény általánosalakja:

G(s) =Y (s)

U(s)=

K

T 2s2 + 2ξTs + 1

ahol K erősítésT időállandóξ csillapítási tényezőEgy másodrendű rendszer tehát három paraméterrel jellemezhető: az erősítésé-vel, időállandójával illetve csillapítási tényezőjével.Az időállandó helyett használatos annak reciproka a természetes frekvencia,jele ωn.Az átviteli függvény tehát a következő alakú lehet:

G(s) =Y (s)

U(s)=

K

T 2s2 + 2ξTs + 1=

=Kω2

n

s2 + 2ξωns + ω2n

Vizsgáljuk ezt a rendszert. Nézzük meg, hogyan viselkedik a kimenet egység-ugrás bemenet hatására, ha változtatjuk a rendszerparamétereket.

u(t) = 1(t)

U(s) =1

s

Írjuk fel ennek e rendszernek az átviteli függvényét, ha a bemenet egység-ugrás:

G(s) =Y (s)

U(s)

63

Rendezzük át az egyenletet Y(s)-re:

Y (s) = G(s)U(s) =Kω2

n

s2 + 2ξωns + ω2n

1

s

Az inverz Laplace transzformációt végezzük el parciális törtekre bontássegítségé-vel:

Y (s) = K(1

s+

A1

s− p1

+A2

s− p2

)

A megoldást a következő alakban keressük:

y(t) = K(1(t) + ep1t + ep2t)

K erősítés rendszerparamétert kiemelhetem, ugyanis ez nem lesz végtelen,azaz nem viszi el a rendszert a végetlenbe. Csak végtelen erősítés esetén lenneez lehetséges, ehhez viszont végtelen nagy energiabefektetésre lenne szükség,ami persze lehetetlen.Vizsgáljuk a renszer pólusait:

s2 + 2ξωns + ω2n = 0

s1,2 =−2ξωn ±

√4ξ2ω2

n − 4ω2n

2

T rendszerparaméter biztosan pozitív, negatív időállandónak nincs ér-telme. Ebből következik, hogy ωn természetes frekvencia is pozitív.

s1,2 = −ξωn ± 2ωn

√ξ2 − 1

A pólusokat megadó egyenletből látható, hogy a pólus milyenségét nembefolyásolja az ωn rendszerparaméter. Egyedül a csillapítási tényezőn múlik,hogy a pólus komplex vagy valós, pozitív vagy negatív lesz.Tahát ωn-nek lesz ugyan hatása a rendszer viselkedésére, de a jelleget nemez határoza meg.A ξ paraméter fogja meghatározni, hogy miylen jellegű lesz a rendszer. Ezta paramétert tudjuk módosítani és ezzel a rendszer viselkedését befolyásolni.

64

Legyen ξ > 1Ekkor két negatív valós gyököt kapunk.Az átmeneti függvény

y(t) = K(1 + A1ep1t + A2e

p2t)

A görbének inflexiós pontja van, mely a t=0-ban húzott érintővel megadható.VisSimmel történő szimuláció segítségével megállapíthatjuk, hogy ξ > 1 eset-ben nincs a rendszernek túllendülése, a göbe asszimptotikusan simul a végér-tékhez.

PéldaVizsgáljuk a

G(s) =1

s2 + 3s + 2

rendszert.Először számoljuk ki a rendszerparamétereket az előzőekben levezetett ál-talános másodrendű rendszert leíró képletek segítségével.

G(s) =1

s2 + 3s + 2=

ωn

s2 + 2ξωns + ω2n

=K

T 2s2 + 2ξTs + 1

G(s) =1

s2 + 3s + 2=

1

2

112s2 + 3

2s + 1

Innét:

K =1

2

T 2 =1

2⇒ T =

√1

2=

1√2

2ξT = 2ξ1√2⇒ ξ =

3√

2

4= 1, 06 > 1

Ha a ξ paraméter értékét növeljük, akkor azt tapasztaljuk, hogy a görbeegyre laposabb lesz, egyre lassabban éri el az állandósult állapotot.Most csökkentsük ezt a paramétert egészen 1-ig.

65

3-7. ábra. Másodrendű rendszer, ξ > 1

Legyen ξ = 1.Ekkor egyetlen gyököt kapunk:

s1,2 = −ξωn

Ekkor az átmeneti függvény általásos alakban a következő:

y(t) = K(1 + e−ωnt)

Ez az átmeneti függvénygörbe fog a leginkább hozzásimulni az állandósultállapothoz, ez éri el a leggyorsabban ezt az értéket még túlendülés néélkül.

Mi történik, ha a ξ értékét tovább csökkentem?

Legyen 0 < ξ < 1Vizsgáljuk most a 0 < ξ < 1 intervallumot.Ekkor ξ értéke még pozitív, így

√ξ2 − 1 már komplex értéket eredményez.

Tehát negatív valósrészű komplex gyököket kapunk.Ekkor az átmeneti függvény:

66

y(t) = K(1− e−ωntξ

√1− ξ2

sin(ωn

√1− ξ2t + ϕ))

PéldaLegyen K = 1 és ωn = 2 Ekkor ξ = 0, 8.A másodrendű rendszer átviteli függvénye ennek alapján:

G(s) = 14

s2 + 3, 2s + 4

Ebben az esetben az átmeneti függvény egyetlen kis túllendüléssel ugyan, debeáll:

3-8. ábra. Másodrendű rendszer, 0 < ξ < 1

PéldaEkkor ξ = 0, 2.A rendszer átviteli függvénye:

G(s) = 14

s2 + 0, 8s + 4

Ebben az esetben az átmeneti függvény több túllendüléssel, aperiodikus le-csengéssel áll be a stacionárius állapotához:

67

3-9. ábra. Másodrendű rendszer, ξ = 0, 2

Legyen ξ = 0

Ekkor tisztán képzetes gyököket kapunk. PéldaLegyen K = 1, ωn = 2, ξ = 0

G(s) = 14

s2 + 1

( Megjegyzés: ha VisSimmel szimuláljuk ezt a rendszert, ne felejtsük el azátviteli függvény minden tagjának az együtthatóit megadni, beleértve az stag 0 együtthatóját is. ) Itt csillapítás nélküli rezgés jelenik meg. A rendszera stabilitás határán van.

Legyen −1 < ξ < 0Ekkor a diszkrimináns továbbra is negatív, tehát komplex gyököket kapok,azonban valós részük pozitív lesz.PéldaLegyen K = 1, ωn = 2, ξ = −0, 01

G(s) = 14

s2 − 0, 04s + 4

68

3-10. ábra. Másodrendű rendszer, ξ = 0

És legyen K = 1, ωn = 2, ξ = −0, 5

G(s) = 14

s2 − 0, 2s + 4

Mindkét rendszer esetében elfut a jel, instabillá válik a rendszer. Aperi-odikusan növekszik a kimenet, egyre távolodik.

Legyen ξ < −1Az előbbiekből következtethetünk ezen rendszer visekedésére. Ez is instabilrendszer lesz, de itt már exponenciálisan száll el a rendszer a végtelenbe.Ahogy csökkenjük ξ értékét, úgy lesz egyre meredekebb ez az elfutás.PéldaLegyen K = 1, T = 0, 5sec, ξ = −3 Ekor szimuláció után tapasztaljuk, hogya rendszer instabil, elfut a végtelenbe.

69

3-11. ábra. Másodrendű rendszer, ξ = −0, 01

3-12. ábra. Másodrendű rendszer, ξ = −3

3.6. Gyökhelygörbe

A gyökhelygörbe a zárt rendszer pólusainak a mértani helye a komplex síkon,midőn a rendszer valamely paraméterét 0 és ∞ között változtatjuk. Itt ez a

70

bizonyos paraméter a erősítés lesz.

0 < K < ∞Pár érdekes tulajdonság:- a görbének annyi ága van, amennyi a zárt rendszer átviteli függvényében apólusok száma- a gyökhelygörbe mindig szimmetrikus a valós tengelyre- jelölje p a pólusok suámát, z a zéruspk számát; ekkor valós esetben a gyök-helygörbe a felnyitott kör pólusaiból indul ki, z számú ág a felnyitott körzérushelyeibe, p− z számú ág pedig a végtelenbe fut- az imaginárius tengellyel való metszéspontokat a Routh-Hurvitz kritérium-mal határozhatjuk meg a tárt rendszer karakterisztikusn egyenletéből (azimaginárius tengelyen lévő gyök éppen a stabilitási határesetet jelenti)

(1) példa

Elsőként vizsgáljunk meg egy elsőrendű rendszert. Az átviteli függ-vénye G(s) = K

τs+1, ahol a K az erősítés a τ az időállandó.

A zárt kör pólusait, azaz a visszacsatolt rendszer nevezőjének gyökeitkell vizsgálnunk. Ez paraméteresen a következőképpen néz ki:Ge(s) = K

τs+1+Kátviteli függvény,

τs + 1 + K = 0 egyenletet kell megolodani.a pólusok paraméteresen: s = −1+K

τ

Vizsgáljuk ezt az egyenletet, midőn K értékét változtatjuk 0 és ∞között:

ha K = 0 akkor s = − 1τ

ha K 6= 0 akkor s = −1+Kτ

ha K →∞ akkor s → −∞

Tehát a gyökhelygörbe egy egyenes lesz, mely − 1τpontból indul és a

valós tengelyen tart −∞ -be.

(2) példa

Vizsgáljunk meg egy olyan elsőrendű rendszert,melynek zérushelye isvan.

71

3-13. ábra. Elsőrendű rendszer gyökhelygörbéje

A tag átviteli függvénye legyen: G(s) = K Ts+1τs+1

, ahol legyen K = 1,T = 0, 2sec és τ = 0, 5sec

G(s) =0, 2s + 1

0, 5s + 1

Ekkor a K erősítéssel ellátott zárt rendszer erdő átviteli függvénye:

Ge(s) =K Ts+1

τs+1

1 + K Ts+1τs+1

=K(τs + 1)

(τ + KT )s + 1 + K

Ge(s) =0, 2Ks + K

(0, 2K + 0, 5)s + K + 1

A gyökhelygörbe módszernél a pólusokat ábrázoljuk, tehát határozzukmeg ezen zárt rendszer pólusait. Ehhez meg kell oldanunk a következőparaméteres egyenletet:

(0, 2K + 0, 5)s + K + 1 = 0

ha K = 0 akkor0, 5s + 1 = 0

s = − 1

0, 5= −2

72

Tehát a gyökhelygörbe a−2-es pontból, azaz a nyitott rendszer pólusábólindul ki.

s = limK→∞

− 1 + K

τ + KT=

1

T

s = limK→∞

− 1 + K

0, 5 + K0, 2= − 1

0, 2= −5

Azaz a görbe a felnyitott kör pólusából, −2 pontból indul ki, és tart afelnyitott kör zérushelyébe −5-be. A görbe a 3-14.ábrán látható.

3-14. ábra. Elsőrendű rendszer gyökhelygörbéje

(3) példa

Nézzünk meg egy másodrendű rendszert, ahol a rendszerparamétereklegyenek a következők: K = 1, T = 1sec, ξ = 2.A rendszer átviteli függvénye a következő:

G(s) =1

s2 + 4s + 1

A zárt rendszerátviteli függvénye:

Ge(s) = K1

s2+4s+1

1 + K 1s2+4s+1

=K

s2 + 4s + 1 + K

73

Határozzuk meg a pólusokat, azaz a nevező gyökeit. Ehhez a következőmásodfokú egyenletet kell megoldanunk:

s2 + 4s + 1 + K = 0

ha K = 0s2 + 4s + 1 = 0

s1,2 =−4±√42 − 4 · 1

2=−4±√12

2=

⟨ −0, 268

−3, 732

Azaz a nyitott kör pólusaiból −0, 268-ból és −3, 732-ből indul ki arendszerünk gyökhelygörbéje.Nézzük meg a pólusok alakulását, ha K nem nulla. Ekkor a pólusokatmeghatározó képlet a következő:

s2 + 4s + 1 + K = 0

s1,2 =−4±

√42 − 4 · (1 + K)

2=−4±√12−K

2= −2±

√12−K

2

Válasszuk K = 12-t:

s1,2 = −2± 0 = −2

Tehát ahogy K-t növeltük, úgy közeledett egymáshoz a két pólus, még-pedig a valós tengelyen.Növeljük tovább K értékét: legyen K = 16

−2±√

12− 16

2= −2±

√−4

2= −2± j

√4

2= −2± j

A pólus egy komplex gyökpár, azaz a görbe −2-es valósrésszel és nö-vekvő illetve csökkenő képzetes résszel tart majd a végtelenbe, ahogyK értékét növeljük.Így a gyökhelygörbe a 3-15.ábrán láható.

(4) példa

Nézzünk meg egy olyan másodrendű rendszert, ahol a ξ értékét 0 és1 közé válasszuk, legyen mondjuk 0, 5. Így a rendszerparaméterek akövetkezők: K = 1, T = 1sec, ξ = 0, 5, a rendszer átviteli függvénye

74

3-15. ábra. Másodrendű rendszer gyökhelygörbéje

pedig a következő:

G(s) =1

s2 + s + 1

A zárt rendszerátviteli függvénye:

Ge(s) = K1

s2+s+1

1 + K 1s2+s+1

=K

s2 + s + 1 + K

Határozzuk meg a pólusokat, azaz a nevező gyökeit. Ehhez a következőmásodfokú egyenletet kell megoldanunk:

s2 + s + 1 + K = 0

ha K = 0s2 + s + 1 = 0

s1,2 =−1±√1− 4

2=−1±√−3

2= −1

2±√−3

2=

⟨ −0, 5 + j 0, 866

−0, 5− j 0, 866

Azaz a nyitott kör pólusaiból −0, 5+ j 0, 866-ból és −0, 5− j 0, 866-bőlindul ki a rendszer gyökhelygörbéje.

75

Ha K nem nulla, akkor a pólusokat meghatározó képlet a következő:

s2 + s + 1 + K = 0

s1,2 =−1±

√1− 4(K + 1)

2=−1±√−3−K

2= −1

2±√−3−K

2= −1

2±j

√3 + K

2

K növelésével azt tapasztaljuk, hogy marad a −0, 5 valósrészű komp-lex gyökpár pólusnak, melynek képzetes része K növelésével egyre nőa végtelenig.Így a gyökhelygörbe a 3-16.ábrán látható.

3-16. ábra. Másodrendű rendszer gyökhelygörbéje

76

3.7. Nyquist - Bode diagram

Irányítástechnikában a rendszervizsgálatok nagy része az időtartomány he-lyett a frekvenciatartományban történik. A leggyakrabban használt jellem-zési módszerek a frekvencia tartományban a Nyquist illetve a Bode diagram.Az időfüggvények felírhatók végtelen sok sinus és cosinus függvény össze-geként. Így egy lineáris rendszer jellemezhető a bemenő jel sinusos és cosi-nusos összetevőire adott válaszfüggvények szuperpozíciójaként.Az úgynevezett frekvenciafüggvény a sinusos gerjesztő függvény és a rendszere bemenetére adott válaszfüggvényeknek a kapcsolatát írja le.Egy lineáris renszer bemenetére ω körfrekvenciájú sinusos jelet adunk. Ekkora kimeneten szintén ω körfrekvenciájú sinusos jel jelenik meg, azonban ez ajel ampitúdójában és fázisában is különböző lesz. Tehát a rendszer erősítvagy csillapít illetve fáziseltolást végez az adott körfrekvencián:

Nyquist diagram:

Nyquist diagram vagy más néven amplitúdó-fázis jelleggörbe, a frekven-ciafüggvény (G(jω)) komplex síkon történő grafikus ábrázolása, egy ω-valparaméterezett vektordiagram.Ha megadjuk ω minden értékére A(ω)ejϕ(ω) mindenkori értékét a komplexsíkon, akkor megkapjuk a frekvenciafüggvény ω-val paraméterezett helygör-béjét.Az ábrázolási tartomány: 0 < ω < ∞

G(jω) = A(ω)ejϕ(ω) = Re(ω) + jIm(ω)

Bode diagram:

Bode vagy logaritmikus függvény jelleggörbe.Itt az amplitúdót és fázisel-tolást külön grafikonon jelenítjük meg. Sokkal szemléletesebb, a fázis jelleg-görbe és az amplitúdó jelleggörbe együttesen adja meg a függvény jelleggör-béjét, tehát csak a két grafikon együtt jellemzi magát a rendszert.

G(jω) = A(ω)ejϕ(ω) = |G(jω)|ejϕ(ω

A körfrekvencia tengelyen logaritmikus skálázást alkalmazunk, így nagyobbtartományon tudjuk figyelni a rendszer viselkedését.

77

3-17. ábra. Nyquist diagram

ln(G(jω)) = ln(G(jω)) + jϕ(jω)

Az erősítés értékét decibelben(dB) adjuk meg, melynek kiszámítási módja akövetkező:

A(ω)[dB] = |G(jω)|[dB] = 20 lg |G(jω)|Megjegyzés: sorba kapcsolt rendszerelemek esetén az eredő Bode dia-

gram, az elemek amplitúdó illetve fázis jelleggörbejének összegével egyenlő.

(1) példa

Vegyünk egy egyszerű nulladrendű rendszert. Átviteli függvénye:

G(s) =Y (s)

U(s)= K = 2

Ebből a frekvencia átviteli függvénye:

G(jω) = K = 2

78

Ez ω minden értékére K konstans marad, tehát a Nyquist diagrammjaegyetlen pont lesz a komplex számsíkon, lásd 3-18.ábra.

3-18. ábra. Nyquist diagram

Most nézzük meg a Bode diagrammját:Az amplitúdó decibelben:

A(ω)[dB] = 20 lg 2 = 6, 02[dB]

és a fázis:

ϕ(ω) = arctanIm(ω)

Re(ω)= 0

A Bode diagramot a 3-19.ábra mutatja.

(2) példaVegyünk egy integráló tagot, aminek az I/O modellje a következő:

a1y(1)(t) = b0u(t)

Ebből átrendezve az egyenletet és Laplace transzformálva kapjuk arendszer átviteli függvényét:

G(s) =Y (s)

U(s)=

1

TIs

79

3-19. ábra. Bode diagram

Ebből a frekvenciaátviteli függvénye:

G(jω) =1

TIjω

Alakítsuk ezt át, hogy lássuk a frekvenciaátviteli függvény képzetes ésvalós részét. Ehhez szorozzuk meg a nevezőt is és a számlálót is j-vel:

G(jω) =1

TIjω

j

j= − 1

TIωj

ű Láthatjuk, hogy tisztán képzetes része van a függvénynek, a valósrész 0.

Rajzoljuk fel elsőként a Nyquist diagrammot. Ha ω paramétert változ-tatjuk 0 és ∞ között, akkor azt tapasztaljuk, hogy a görbe a képzetestengelyen fog mozogni, méghozzá úgy, hogy a −∞-ből indul és tart a0-ba, midőn ω értéke 0-tól tart a ∞-be. A 3-20.ábra szemlélteti azeredményt.

A Bode diagramhoz elsőként határozzuk meg az amplitúdó és fázis ér-tékét ω függvényében.

|G(jω)| = A(ω) =√

Re(G(jω))2 + Im(G(jω))2 =1

TIω

A(ω)[dB] = 20 lg |G(jω)| = 20 lg1

TIω= −20 lg TIω

80

3-20. ábra. Nyquist diagram

ϕ(ω) = arctan− 1

TIω

0→ arctan(−∞) = −90

Tehát az amplitúdó egy −20 dBdekad

meredekségú egyenes lesz, míg a fázisminden ω értékre −90. Grafikonon a 3-21.ábra mutatja.

3-21. ábra. Bode diagram

(3) példa

Vizsgáljunk meg egy elsőrendű tagot.Az átviteli függvénye legyen a kö-vetkező:

81

G(s) =Y (s)

U(s)= K

1

τs + 1

Ebből a frekvenciaátviteli függvénye:

G(jω) = K1

τjω + 1

Alakítsuk át ezt az egyenletet úgy, hogy a függvény képzetes és valósrésze elkülönüljön. Ehhez szorozzuk meg a nevezőt is és a számlálót isa nevező komplex konjugáltjával:

G(jω) = K1

τjω + 1

τjω − 1

τjω − 1=

K(τjω − 1)

τ 2j2ω2 + τjω − τjω − 1=

K(τjω − 1)

−τ 2ω2 − 1=

1

τ 2ω2 + 1− j

Kτω

τ 2ω2 + 1

Tehát:

Re(G(jω)) =1

τ 2ω2 + 1

Im(G(jω)) = − Kτω

τ 2ω2 + 1

Nézzük meg honnét indul ki a rendszer Nyquist görbéje. Ehhez suá-moljuk ki G(jω) értékét, ha ω = 0.

G(jω) = K1

τj0 + 1= K

Nézzük meg, hova tart a görbe, tehát határozzuk meg G(jω) értékét,ha ω →∞.

G(jω) = K1

τjω + 1→ 0

Tehát a rendszer Nyquist görbéje a K pontból indul és tart a 0-ba, csakazt nem tudjuk, hogy milyen útvonalon teszi ezt. Ehhez számoljunk kipár köztes pontot.

82

Nézzük meg ω = 1τpontban milyen értéket vesz fel a frekvenciafügg-

vény.

G(jω) = K1

τj 1τ

+ 1= K

1

j + 1= K

1

j + 1

j − 1

j − 1=

Kj − 1

j2 − j + j − 1= K(

1

2− j

1

2)

Tehát a görbénk a K 12− jK 1

2pontot érintve tart a 0-ba és belátható,

hogy ezt egy körvonalon teszi.A grafikon a 3-22.ábrán látható.

3-22. ábra. Nyquist diagram

Az egyszerűbb számítások miatt válasszuk K-t 1-nek.A Bode diagramhoz elsőként határozzuk meg az amplitúdó és fázis ér-tékét ω függvényében.

|G(jω)| = A(ω) =√

Re(G(jω))2 + Im(G(jω))2 =√

(1

τ 2ω2 + 1)2 + (− Kτω

τ 2ω2 + 1)2 =

1√1 + ω2τ 2

83

A(ω)[dB] = 20 lg |G(jω)| = −20 lg√

1 + ω2τ 2

Ha ω ¿ 1τ, akkor:

−20 lg√

1 + ω2τ 2 ≈ −20 lg 1 = 0

Tehát ezen a szakaszon a grafikon egy konstans 0dBD

meredekségű egye-nes.Ha ω À 1

τ, akkor:

−20 lg√

1 + ω2τ 2 ≈ −20 lg ωτ = 0

Ezen a szakaszon pedig egy −20dBD

meredekségű egyenes lesz a görbe.Ha ω = 1

τ, akkor a grafikonnak töréspontja van.

A fázisa:

ϕ(ω) = arctan− τω

τ2ω2+11

τ2ω2+1

= arctan(−τω)

Ha ω = 1τ, akkor:

ϕ(ω) = arctan(−1) = −45

Ha ω ¿ 1τ, akkor:

ϕ(ω) = arctan(−τ · 0) = 0

Ha ω À 1τ, akkor:

ϕ(ω) = arctan(∞) = −90

Egy elsőrendű rendszer Bode diagramját a 3-23.ábra szemlélteti.

84

3-23. ábra. Bode diagram

3.8. Állapottér modell

(1) példa

Egy rendszert többféle technikával modellezhetünk. A modellün ak-kor jó, ha különböző modellezési technikák alkalmazásával mindegyikmodell ugyanazt a rendszert írja le. Hogyan ellenőrizhető, hogy a kétmodell által leírt rendszer azonos?Erre egyszerű a válasz. Mindegyik esetben fel kell írni a rendszer átvi-teli függvényét, és ha azok megegyeznek, akkor a különböző modellekugyanazt a rendszert írják le.Első példánk legyen a követkeuő: adott egy I/O modell. Hogyan ír-ható át állapottér modellé? Ellenőrizzük, hogy a két modell ugyanazta rendszert írja-e le!Legyen az input output modell a következő:

2y′′(t) + 6y′(t) + 4y(t) = 8u′(t) + 10u(t)

Osszuk végig az egyenlet mindkét oldalát 2-vel.

y′′(t) + 6y′(t) + 4y(t) = 8u′(t) + 10u(t)

Alkalmazzuk a kontroller formot, ami a következő:

x(t) = Acx(t) + Bcu(t)

y(t) = Ccx(t) + Dcu(t)

85

Ac =

−a1 −a2 . . . −an

1 0 . . . 0 00 1 . . . 0 0... . . . ...0 0 ... 1 0

Bc =

10...0

Cc =[

b1 . . . bn

]

Dc =[

bn

]

Az x vektor dimenzióját határozzuk meg: ennek értéke a legnagyobbderivált értékével egyenlő. Jelen esetben 2.Tehát a mátrixok a következők:

Ac =

[ −a1 −a0

1 0

]=

[ −3 −21 0

]

Bc =

[10

]

CT =[

b1 b0

]=

[4 5

]

Dc =[

b2

]=

[0

]

Tehát a rendszer állapottér modelljét leíró egyenlet:[

x1

x2

]=

[ −3 −21 0

] [x1

x2

]+

[10

]u

y =[

4 5] [

x1

x2

]+

[0

]u

Most vizsgáljuk meg, hogy az I/O modell és az állapottér modell ugya-nazt a rendszert írja-e le?Ehhez állítsuk elő mindkét esetben az átviteli függvényt.A legegyszerűbb az I/O modellből felírni az átviteli függvényt, ezt a márismert modszerrel határozzuk meg. Azaz Laplace transzformáljuk azegyenlet mindkét oldalát, majd rendezzük át az egyenletet G(s) = Y (s)

U(s)

86

alakra, és máris előáll az átviteli függvény.Ezek alapján:

G(s) =4s + 5

s2 + 3s + 2

Most nézzük meg az állapottér reprezentációt!

H(s) = C(sI − A)−1B

H(s) =[

4 5](

[s 00 s

] [ −3 −21 0

])−1

[10

]

=[

4 5] [

s + 3 2−1 s

]−1 [10

]= (∗)

Első lépésben állítsuk elő a mátrix inverzét!

[s + 3 2−1 s

]−1

=

Adj

[s + 3 2−1 s

]

∣∣∣∣s + 3 2−1 s

∣∣∣∣=

[s 21 s + 3

]

s(s + 3) + 2=

=

[s 21 s + 3

]

s2 + 3s + 2=

[s

s2+3s+2− 2

s2+3s+21

s2+3s+2s+3

s2+3s+2

]

Ezzel előállt a mátrixunk inverze. Helyettesítsük vissza ezt az eredetiegyenletbe:

(∗) =[

4 5] [

ss2+3s+2

− 2s2+3s+2

1s2+3s+2

s+3s2+3s+2

] [10

]=

[4 5

] [s

s2+3s+21

s2+3s+2

]=

=4s

s2 + 3s + 2+

5

s2 + 3s + 2=

4s + 5

s2 + 3s + 2

H(s) =4s + 5

s2 + 3s + 2

Láthatjuk, hogy a két átviteli függvény (H(s), G(s)) azonos, tehát akét modell ugyanazt a renszert írja le.

87

(2) példa

Stabil-e az előbbi rendszer?Először vizsgáljuk meg az I/O modell alapján. Ezt pólusvizsgálattaltehetjük meg, azaz a differenciálegyenletből levezetett átviteli függvénynevezőjének gyökeit kell megvizsgálni. Folytonos esetben akkor stabilegy rendszer, ha a pólusok negatív valósrészűek. Re(pi) < 0,∀i.

s2 + 3s + 2 = 0

s1,2 =−3±√9− 8

2=

⟨ −1

−2

A két pólus: −1 és −2. Azaz a két pólus negatív, valós, azaz a rendszerstabil.

Vizsgáljuk most az állapottér modellel leírt rendszert.Itt azt kell vizsgálni, hogy az A mátrix úgynevezett stabilitásmátrix-e?Egy mátrixot akkor nevezünk stabilitásmátrixnak, ha igaz rá, hogy asajátértékeinek valós része negatív:

Re(λiA) < 0

Állítsuk elő a sajátértékeket:

|λI − A| =∣∣∣∣

[λ 00 λ

]−

[ −3 −21 0

] ∣∣∣∣ =

∣∣∣∣λ + 3 2−1 λ

∣∣∣∣ =

= (λ + 3)λ + 2 = λ2 + 3λ + 2

Sajátértékek meghatározásához oldjuk meg a következő egyenletet:

(λ + 3)λ + 2 = λ2 + 3λ + 2 = 0

λ1,2 =−3±√9− 8

2=

⟨ −2

−1

Itt is látható, hogy a sajátértékek valósrésze negatív, tehát a rendszerstabil.

88

(3) példa

Vizsgáljuk meg ezt a rendszert irányíthatóság szempontjából.Egy rendszernél meg kell vizsgálnunk, hogy elméletileg lehetséges-e az,hogy egy adott állapotból véges időn belül átvihető-e a rendszer egymásik adott állapotba.Ha lehetséges, még akkor sem biztos, hogy fizikailag is megvalósíthat-juk ezt, de ha már elméletileg sem érhetnénk el egy állapotot, akkorgyakorlatban nem érdemes ezzel a problémával bajlódni.Az irányíthatóság feltétele az, hgy az úgynevezett irányíthatósági mátrixteljes rangú legyen, azaz:

C = [ B AB . . . An−1B] irányíthatóságio mátrixrarang(C) = n

azaz teljes rangú, vagyis értéke megegyezik az állapotváltozók számával.Esetünkben az irányithatósági mátrix a következő:

C = [B AB]

Állítsuk elő az AB szorzatot.

AB =

[ −3 −21 0

] [10

]=

[ −31

]

C =

[1 −30 1

]

Teljes rangú-e ez a mátrix?A rang pontos értékét megtudhatjuk bázistranszformáció segítségével,viszont minket csak annyi érdekel, hogy teljes rangú-e vagy sem ez amátrix.Négyzetes mátrixok esetén ezt legegyszerűbben úgy állapíthatjuk meg,hogy megvizsgáljuk a determinánsát. Ha a determináns nem nulla, ak-kor a négyzetes mátrix teljes rangú.

∣∣∣∣1 −30 1

∣∣∣∣ = (1 · 1 + 3 · 0) = 1 6= 0

89

Tehát a mátrix teljes rangú, így a rendszer irányítható.

(4) példa

Megfigyelhető-e ez a rendszer?Ha a rendszer bemeneteinek és kimeneteinek ismerete elegendő bármelyköztes állapot meghatározásához, akkor a rendszert megfigyelhetőneknevezzük.A megfigyelhetőség feltétele, hogy az úgynevezett megfigyelhetőségi Omátrix teljes rangú legyen.

O =

CCA

...CAn−1

A példánkban a megfigyelhetőségi mátrix a következő:

O =

[C

CA

]

Állítsuk elő a CA szorzatot.

CA =[

4 5] [ −3 −2

1 0

]=

[ −7 −8]

Ezek után a megfigyelhetőségi mátrix:

O =

[4 5

−7 −8

]

A rang milyenségének meghatározásához írjuk fel a determinánsát O-nak:

|O| =∣∣∣∣

4 5−7 −8

∣∣∣∣ = 4 · (−8)− 5 · (−7) = −32 + 35 = 3 6= 0

Tehát a mátrix teljes rangú, így a rendszer megfigyelhető.

90

(5) példa

Diszkretizálás:A diszkrét állapottér modell a következő:

x(k + 1) = φx(k) + γu(k)

y(k) = Cx(k) + Du(k)

A folytonos és a diszkrét rendszer közötti kapcsolat:

φ = eAT

γ = A−1(eAT − I)B

ahol T a mintavételezési idő.

Írjuk fel a diszkrét állapottér modelljét a következő rendszernek!

a2y2(t) = b0u(t)

vagy más jelölésekkel:

dy2(t)

dt= u(t)

Első lépésként írjuk fel a rendszert állapottér modellel, ehhez használ-juk fel a kontroller formot:

Ac =

[0 01 0

], Bc =

[10

], Cc =

[0 1

]

x(t) =

[0 01 0

]·[

x1(t)x2(t)

]+

[10

]u(t)

y(t) =[

0 1]x(t)

A diszkretizálás sorbafejtéssel is megoldható, azaz φ értékét a követke-zők szerint adjuk meg:

φ = eAT = I + AT +A2T 2

2!+ . . .

91

I =

[1 00 1

]

AT =

[0 0T 0

]

A2 =

[0 01 0

]·[

0 01 0

]=

[0 00 0

]

φ =

[1 00 1

]+

[0 0T 0

]+

[0 00 0

]+ · · · =

[1 0T 1

]

φ =

[1 0T 1

]

γ = A−1(eAT − I)B = A−1(I + AT +A2T 2

2!− I)B =

= (A−1AT +A−1A2T 2

2!)B = (IT +

AT 2

2!)B

γ = (

[T 00 T

]+

[0 0t2

2T

])

[10

]=

[T 0t2

2T

] [10

]=

[Tt2

2

]

γ =

[T

T 2

2

]

Tehát a diszkrét rendszer:[

x1(k + 1)x2(k + 1)

]=

[1 0T 1

] [x1(k)x2(k)

]+

[T

T 2

2

]u(k)

y(k) =[

0 1] [

x1(k)x2(k)

]

(6) példa

Vizsgáljuk meg az előző modellt, hogy bizonyos bemenetre hogyanreagál!

92

Legyen a bemenetünk a következő:

u(k) =

1, ha k = 00, egyébként

Legyen T = 1 sec és x0 = 0.

x(k + 1) = φx(k) + γu(k) =

[1 01 1

] [x(1)x(2)

]+

[112

]u(k)

x(0) =

[00

]

x(1) = φx(0)+γu(0) =

[1 01 1

] [00

]+

[112

]1 =

[00

]+

[112

]=

[112

]

x(2) = φx(1) + γu(1) =

[1 01 1

] [112

]+

[112

]0 =

[132

]

x(3) = φx(2) + γu(2) =

[1 01 1

] [132

]=

[1

2, 5

]

y(0) = Cx(0) =[

0 1] [

00

]= 0

y(1) = Cx(1) =[

0 1] [

10, 5

]= 0, 5

y(2) = Cx(2) =[

0 1] [

11, 5

]= 1, 5

93

3.9. Digitális számításelmélet

(1) példa - nyelv

Adjuk meg L1 · L2, L2 · L1, L0, L1, L2 műveletek eredményeit, ha az L1

és L2 nyelvek a következők:

L1 = 0, 01L2 = 1, 11

L1 · L2 = 01, 011, 0111L2 · L1 = 10, 101, 110, 1101L0 = εL1

1 = 0, 01L2

1 = L1 · L1 = 00, 001, 010, 0101

(2) példa - nyelvtan

Adott a G generatív grammatika:G =< a, bS, S, S −→ ab, S −→ aSb >, ahola, b a terminális elemek ábécéje;S a nemterminális elemek ábécéje;S a kezdő szimbólum;S −→ ab, S −→ aSb pedig a nyelvtani szabályok.Ezek alapján generáljuk az a4b4 szót!

Definíció alapján a terminális jelek ábécéje itt V = a, b, a nemter-minális elemek ábécéje W = S, S a kezdőszimbólum, és két helyet-tesítési szabály van: S −→ ab és S −→ aSb.

Az a4b4 karakterláncot, (ahol a-k és b-k száma négy, és egymást követvekell megjelenniük, tehát: aaaabbbb) a következő képpen generálhatjuk:

S ` aSb ` aaSbb ` aaaSbbb ` aaaabbbb

Ezzel a szabálykészlettel előállíthatjuk az L(G) = anbn, n > 0 karak-terláncokat.

94

(3) példa - felismerő automata

Legyen A egy determinisztikus felismerő automata a következőképpendefiniálva:A =< q0, q1, q2, 0, 1, δ, q1, q2 >δ(q0, 0) = q0

δ(q0, 1) = q1

δ(q1, 0) = q0

δ(q1, 1) = q2

δ(q2, 0) = q0

δ(q2, 1) = q2

ahol q0, q1, q2 a bemenő állapotok halmaza; 0, 1 a bemeneti ábécé;δ, az állapotátmeneti szabályok; q1 a kezdőállapot; q2 pedig a végál-lapotok halmaza, ez jelen esetben egy elemű halmaz.

A bemenő szó legyen, 011011. Felismeri-e az A automata ezt a beme-neti szót?

q0−→0 q0

−→1 q1

−→1 q2

−→0 q0

−→1 q2

A bemenő karakterlánc a felismerő autómatát a q2-es állapotba vitte,a kérdés, hogy ez az állapot eleme-e a végállapotok halmazának?Az automata definíciójában a végállapotok halmaza: q2Mivel q2εq2, ezért az A automata felismeti a 011011 bemenő szót.

(4) példa - átalakító automata

Legyen M egy Mealy-automata a következő módon adott:M =< q0, q1, a, b, 0, 1, δ, λ, q0 >, aholq0, q1 a bemenő állapotok halmaza;a, b a bemenő ábécé;0, 1 a kimeneti ábécé;δ az átmeneti függvény;λ kimeneti függvény;

95

q0 kezdőállapotok halmaza;és a szabályok a következők:δ(q0, a) = q0

δ(q0, b) = q1

δ(q1, a) = q1

δ(q1, a) = q0

λ(q0, a) = 0λ(q0, b) = 1λ(q1, a) = 1λ(q1, b) = 0

Hogyan alakítja át az M automata a baabbab bemeneti szót?

állapot bemenet kimenetq0 bq1 a 1q1 a 1q1 b 1q0 b 0q1 a 1q1 b 1q0 0

Bakapcsoláskor az automata a definícióban megadottak szerint q0 álla-potba kerül, majd beolvassa a bemenő szalagról balról vett első jelét,egy b-t. Ennek hatására az automata átkerül q1 állapotba, a kimenetiszalagra pedig egy 1-est ír.Következő lépésben eggyel jobbra lépteti a beolvasó fejet és beolvassaabemenő szalag második pozícióján lévő jelet egy a-t. Az állapotát-meneti függvénynek megfelelően most nem változik az automata belsőállapota és a kimenő szalagra írt jel egy 1-es lesz.Az utolsó bemenő jel b beolvasása után az automata q0 állapota kerül,és a kimeneti szalagra 0-t ír ki.A kimeneti karaktersorozat a következő: 1110110

(5) példa - veremautomata

96

Legyen M =< q0, q1, q2, a, b, z0, z1, δ, q0, z0, q0 > egy veremau-tomata, aholq0, q1, q2 a belső állapotok véges nemüres halmaza;a, b a bementi ábécé;z0, z1 a veremábécé;δ átmeneti függvény;q0 kezdőállapot;z0 veremalja jel;q0 végállapotok halmaza.Egy veremautomata a bemenő jelet elfogadhatja állapotával vagy azüres veremmel.

A szabályok a következők:(1) δ(q0, ε, z0) = < q0, ε >(2) δ(q0, a, z0) = < q0, z0z1 >(3) δ(q1, a, z1) = < q1, z1z1 >(4) δ(q1, b, z1) = < q1, ε >(5) δ(q2, b, z1) = < q2, ε >(6) δ(q3, ε, z0) = < q2, ε >

Felismeri-e az automata az aabb jelsorozatot?A veremautomata q0 kezdőállapotból indul, a bemeneti szalagon azaabb jelsorozat, a veremben a z0 veremalja jel látható.< q0, aabb, z0 >Ezután a bemeneti szalagról beolvassuk az első karaktert,ami jelen eset-ben egy a. A (2)-es szabályt alkalmazva, a verembe a z1 jel kerül, azautomata q1 állapotba megy át, a bemenő szalagon az abb karaktersormarad, azaz az automata konfigurációja a következő:< q1, abb, z0z1 >Mint látjuk a bemenő szalagról beolvasható következő karakter egy aa (3)-as szabályt alkalmazva az a beolavása után az automata q1-esállapotba kerül,a bemenő szalagon már csak a bb karakterlánc marad,a verembe pedig bekerül még egy z0 elem. Ekkor már három elemünklesz a veremben, ugyanis eddig csak beolvastunk a verembe, de onnétnem vettünk ki semmit, tehát az állapotsor:< q1, bb, z0z1z1 >Beolvassuk a következő karaktert a bemeneti szalagról, ami egy b, az

97

(1)-es szabályt alkalmazva megtörténik az első veremből kiolvasás.Azaz b-t beolvasva a q2-es állapotba kerülünk, a veremből pedig kiolvas-suk a legfelső elemet, ami jelen esetben a z1. Így a következő állapotasorírja le a veremautomatát:< q2, b, z0z1 >Az utolso karaktert beolvasva és az (5)-os szabály szeint:< q2, ε, z0 >A (6)-os szabályt alkalmazva< q0, ε, ε >

Láthatjuk, hogy a bemeneti szalagon és a veremben sem maradt egyet-len elem sem, tehát a veremautomata felismerte a jelsorozatot.

98

3.10. Zárthelyi feladatsorok megoldása

(1) feladatsor

1. Adja meg a folytonos idejű állapottér modellel jellemzett rendszerekesetén a megfigyelhetőség definícióját!

2. Stabil-e aG(s) =

1

3s2 + 1s

rendszer? Indokoljon!Csatolja vissza negatívan ezt a tagot! Változik-e a stabilitás?

3. Legyen egy tag átviteli függvénye:

G(s) =1

2s + 3

Rajzolja fel a rendszer gyökhelygörbéjét!

4. Legyen egy generatív grammatika a következő:

G =< a, b, S, S, S −→ aS, S −→ bSa, S −→ ab >

Generálja a bbaabaa szót! (Az egyes lépéseknél alkalmazott szabálysorszámát tűntesse fel!)

5. Ismertesse az átalakító automaták működését!

(2) A feladatsor megoldása

1. feladat

Ha egy rendszer állapottér modelljére teljesül, hogy adott t0 kezdetiidőpont esetén létezik t > t0 időpont, hogy u(τ) és y(τ) ismerete(τ ∈ (t0, t1)) elégséges az x(t0) kezdőállapot meghatározásáshoz, ak-kor a modell megfigyelhető.

2. feladat

99

Adott a rendszer átviteli függvénye:

G(s) =1

3s2 + 1s

Folytonos, másodrendű rendszerek esetében a stabilitásvizsgálat pólus-meghatározással történik. Első lépésként határozzuk meg a rendszerpólusait, azaz a nevező gyökeit.Mivel itt hiányos másodrendű kifejezés szerepel a nevezőben, így má-sodfokú egyenletmegoldó képlet alkalmazása helyett egy egyszerű kie-meléssel megkapható a két gyök:

3s2 + 1s = 0

s(3s + 1) = 0

s1 = 0 ; s2 = −1

3A stabilitás feltétele folytonos esetben: a póusok valósrészének kisebb-nek kell lenni, mint nulla.

Re(si) < 0,∀i ⇒ a rendszer stabil

Akár egy, nullánál nagyobb valósrészű pólust is találunk, a rendszermár instabil. A nulla valósrészű pólus az jelenti, hogy a rendszer astabilitás határán van.Látható, hogy itt két valós gyökünk van, melyek közül az egyik negatívugyan, de a másik nulla. Így kijelenthetjük, hogy a rendszer a stabilitáshatárán van.

Most vizsgáljuk meg mi történik a rendszer viselkedésével, ha negatívanvisszacsatoljuk!A visszacsatolt rendszert a következő ábra mutatja:

ábra 1feladatsor2.jpg

Először ki kell számolnunk az új rendszer eredő átviteli függvényét. Ezdefiníció szerint:

Ge(s) =nyitott kör eredő átviteli függvénye

1±nyitott kör eredőátviteli függvénye ·visszacsatolt ág eredő átiteli függvénye

100

3-24. ábra. A visszacsatolt rendszer

Így tehát a jelen példában:

Ge(s) =1

3s2+s

1 + 13s2+s

Közös nevezőre hozva, kicsit átalakítva:

Ge(s) =1

3s2 + s + 1

Vizsgáljuk meg ennek a rendszernem a pólusait is!

3s2 + s + 1 = 0

s(1, 2) =−1±√1− 4 · 3

2 · 3 =−1±√−11

6= −1

6± j

√11

6

Azaz két komplex gyökpár jött ki eredményül. Vizsgáljuk meg ezengyökök valósrészét!

Re(si) = −1

6

ami negatív, tehát a rendszerünk a stabilitás határáról stabil tartománybakerült.A visszacsatolt rendszer stabil.

3. feladat

101

A feladatban szereplő tag átviteli függvénye:

G(s) =1

2s + 3

A feladat, hogy felrajzoljuk a rendszer gyökhelygörbéjét. A gyökhe-lygörbe, mint tudjuk, a zárt rendszer pólusainak ábrázolása a kom-plex számsíkon, midőn egy rendszerparamétert (itt az erősítést) 0 és∞között változtatjuk.Tehát a visszacsatolt, zárt rendszert kell vizsgálnunk, majd megadniannak eredő átviteli függvényét.

Ge(s) =K 1

2s+3

1 + K 12s+3

=K

2s + 3 + K

Ez egy elsőrendű rendszer, melynek átviteli függvénye általános alak-ban:

G(s) =K

τs + 1

ahol a K az erősítés a τ az időállandóA pólusokat, azaz a nevező gyökeit kell vizsgálnunk.

2s + 3 + K = 0

Vizsgáljuk ezt az egyenletet, midőn K értékét változtatjuk 0 és ∞között:ha K = 0 akkor 2s + 3 = 0 ⇒ s = −3

2

ha K 6= 0 akkor s = −3+K2

ha K →∞ akkor s → −∞Tehát a rendszer gyökhelygörbéje:

ábra 1feladatsor3.jpg

4. feladat

A generatív grammatika a következő:

G =< a, b, S, S, S −→ aS, S −→ bSa, S −→ ab >

102

3-25. ábra. A rendszer gyökhelygörbéje

A bbaabaa szó generálása a kezdő nemterminális elemből indul, amiebben a példában az S. Innét a következő sorrendben alkalmazzuk ahelyettesítsi szabályokat:

S−→2 bSa

−→2 bbSaa

−→1 bbaSaa

−→3 bbaabaa

5. feladat

A Mealy átalakító automata működése a következő:¦ start: a q0 kezdőállapotból indul az automataciklus¦ beolvasás: a bemenő szalagról balról az első jelet beolvassuk¦ következő állapot meghatározása¦ kimenő szalagra kerülő jel meghatározása¦fejek léptetéseciklus vége.

103

3.11. Táblázatok

f(t) F (s) F (z)δ(t) 1 1

δ(t− nT ) e−nTs 1zn

1(t) 1s

zz−1

104

4. VisSim szimulációs program ismertetése

4.1. Bevezetés

A VisSim egy grafikus környezetet biztosító fejlesztő és szimulációs program.Minden,a modellépítéshez szükséges eszköz elérhető a különböző menüpon-tok alatt.A modellt blokkokból építhetjük fel, összeköttetéseket definiálhatunk, majda kész rendszert szimulálhatjuk és analizálhajuk a program segítségével.

105

4.2. Alapok

Indítsuk el a programot a VisSim ikon segítségével. A VisSim egy üres blokkdiagrammal indul, melyet automatikusan létrehoz a program. Az indító ké-pernyőt az 4-1.ábrán láthatjuk.

4-1. ábra. A VisSim indítóképernyője

Hasonlóan az eddig ismert grafikus progrmokhoz, a VisSimben is menükés dialógusablakok segítségével történik a kommunikáció a felhasználó és aprogram között, valamint görgetősáv szolgál a navigáció könnyítésére.

4.2.1. Az állapotsáv

4-2. ábra. Az állapotsáv

Az állapotsáv (lásd 4-2.ábra) a programablak alsó részén helyezkedik el,és az éppen aktuális diagramról szóló információkat tartalmazza. Ezek a

106

blokk számláló, a szimulációs ráta, a használt algoritmus, a lépésköz, és azimplicit solver.Ha fut egy szimuláció, akkor az eltelt szimulációs idő is leolvasható innét. Azállapotsáv eltűntetésére illetve megjelenítése a View > Status bar menüpontsegítségével történhet. (Alt+V,S)

4.2.2. Az eszköztár

Az eszköztár (View > Toolbar), lásd 4-3.ábra, a menüsáv alatt található.Új gombok helyezhetők el illetve törölhetők az eszköztárból a tervezés és aszimuláció megkönnyítésére.

4-3. ábra. Az eszköztár

Az eszköztár megjelenése illetve elrejtése is lehetséges hasonlóan az álla-potsávhoz. (Alt+V,S).Új gombok hozzáadása a következő képpen történik:Edit > Toolbar menüponttal, a gombok listájából válasszunk ki egy számot(0-17-ig foglalt), majd a Function legördülő menüjéből válasszuk ki a kívánttevékenységet.A Help String segítségével adhatunk neki egy szövegezést, mely a nyíllal valórámutatáskor jelenik meg.A Bitmap gomb segítségével az új gomb textúrája választható ki.Az Ok gomb lenyomásával elmenthetjük a beállításokat.Az eltávolításhoz nyissuk meg az Edit > Toolbar menüt. Keressük ki az el-távolítani kívánt gomb számát, majd a Function legördülő menüjéből válass-zuk ki a none-t.Az módosítások elfogadtatása után (OK) a kiválasztott gomb eltűnik.

4.2.3. Segítség

AHelp funkció legmagasabb szintjét a menüsor Help pontjánál találjuk (Alt+H).Ha az aktuális, kiválasztott blokkról szertnénk további információhoz jutni,

107

akkor az adott blokk dialógusablakában lévő Help gombra kell kattintanunk.(a blokk dialógusablakát a blokkon történő bal egér duplakattintásával hoz-hatjuk elő).

4.2.4. Egy egszerű modell felépítése

Blokk diagrammok építése a Blokk menüpontban szereplő építőelemek mun-katerületre történő húzásával, majd az így felhelyezett elemek megfelelő öss-zekötettésével történik. Az összekötettések a blokkok mozgatsával, forgatásávalsem tűnnek el.

Készítsünk egy egszerű áramkört, mely két szám összeadását végzi. Elsőkénthelyezzünk el egy összeadót a munkaterületen. Ezt a Blokk menüpont Arith-metic elemei közül kiválasztott összeadó megfogásával és a helyére húzásávaltehetjük meg (lásd 4-4.ábra).

4-4. ábra. Összeadó palettára helyezése

A blokkokat egyszerűen a kiválasztás után bal egérrel tartva a megfelelőhelyre húzzuk, majd elengedjük. Hasonlóan ehhez elhelyezünk két slider-t,

108

azaz csúszkakkal ellátott elemet:Block > Signal Producer > Slider, illetve az eredmény megjelenítéséhez egykijelzőt:Block > Signal Consumer > Display. Ekkor az 4-5.ábrán lévő képet láthat-juk a monitoron.

4-5. ábra. Elemek elhelyezése

A következő lépés az összeköttetések elkészítése. A blokkok kimeneteiés bemenetei között létesíthetünk összeköttetéseket. Mindig az adott blokkkimenetétől indítjuk a drótozást úgy, hogy egérrel a kimenetre mutatva akurzor kis nyillá változik, ekkor a bal egér gombot tartva, a drótot az össze-kötendő másik blokk bemenetéig húzzuk, majd ott elengedjük az egeret. Azösszeköttetés létrejött. Lásd 4-6. ábra

Most nézzük meg a blokkok beállítási lehetőségeit. A Setup ablak azadott blokkon történő dupla egérkattintással jeleníthető meg. Lasd 4-7.ábra.

A Slider blokkon belül három értéket állíthatunk be, ezek az aktuális ér-téke a blokknak, a felső illetve az alsó határ a megjeleníthető értékeknek. A

109

4-6. ábra. Összeköttetések készítése

4-7. ábra. Beállítási lehetőségek

különböző elemeknél a beállítási lehetőségek értelemszerűen egyediek.

110

4.3. Általános tudnivalók

(1) Kijelölés, törlés

Blokkok törléséhez a Shift billentyű nyomva tartása mellett klikkeljünka törölni kívánt blokkra, majd nyomjuk meg a Del billentyűt. Nagyobbterületet is kejelölhetünk a vázlaton. Ekkor a kijelölendő terület egyikképzeletbeli sarkánál nyomjuk le a bal egér gombot, tartsuk és húzzukaddig, amíg a kijelölést kívánjuk. Így több elem is törölhető egyszerre.A Ctrl+C (copy, másolás), Ctrl+X (cut, kivágás) és Ctrl+V (paste,beillesztés) itt is használatosak.

(2) Forgatás

Blokkok forgatására is lehetőség van. Jelöljük ki a forgatni kívánt ob-jektumot, majd az Edit > Rotate 180 paranccsal vagy a Ctrl+left bil-lentyűkombinációval elforgathatjuk az elemet. A megforgatott elemösszeköttetései megmaradnak. A munkatér üres részére kattintva ablokk kijelölése megszűnik.

(3) Tömörített blokkok

Komolyabb, összetettebb modellek építése során az átláthatóság ér-dekében felmerülhet az igény az összetartozó részek egyetlen blokkbatörténő tömörítésére. Ezt VisSim-mel igen könnyen megtehetjük.Jelöljük ki az összevonni kívánt elemeket. Az Edit > Create CompoundBlock segítségével megadhatjuk az új, összetett blokk nevét, beállíthat-juk a biztonsági funkciókat, elrejthetjük, valamint bitmap képpel szi-nesíthetjük az új blokkot.Az így öszetömörített blokk tartalmát blokkon történő duplakattintás-sal vagy jobb egér kattintással megtekinthetjük. Ha a tömörített blok-kot ki szeretnénk bontani, akkor klikkeljünk az Edit > Dissolve Com-pound Block menüpontra, majd az új kereszt alakú kurzorral klikkel-jünk a kicsomagolni kívánt objektumra. A munkapad egy üres helyérekattintva kiléphetünk ebből a funkcióból.

111

4.4. Blokkok(Blocks)

A VisSim Block menüpontja tartalmazza a leggyakrabban használt blokko-kat. Ezeknek a kategória listáját itt megtalálhatjuk. Egérrel ráklikkelve egypontra, további, alkategóriához tartozó elemek tűnnek elő.Aimation (animáció)

4.4.1. Animate (animáció)

Ezen elem segítségével szimuláció közben animációt futtathatunk, mozgást,méretváltozást, képmegjelenítést valósíthatunk meg. Az animáció csak ki-jelző módban aktív. Kép megjelenítése animate blokkal: csak .bmp kiter-jesztsű képfájlokat jeleníthetünk meg.Bitmap társítása animate blokkal: helyezzünk el egy animációs blokkot amunnkapadon, és hívjuk elő a setup ablakát (lásd 4-8. ábra).

8.ábra

4-8. ábra. Animációs blokk

A Number of States ablakban lehet megadni a blokkhoz kapcsolni kívántképek számát. A State ablakban válasszuk ki a nulladikat,majd adjuk mega kép elérési útvonalát. A többi állapot esetén hasonlóan járjunk el. Végül

112

nyomjuk meg az OK gombot.Az animációs blokk bemeneteire kapott értékek szerint ugrik az animáció akülönböző állapotok között. Ha nincs olyan számú kép, mint amennyi a be-menetre érkező érték, akkor a legnagyobb állapotszámú képre ugrik. Ha abemeneti érték nem integer, akkor azt az animációs blokk integerré konver-tálja. Az animációs blokk x és y bemenete adja meg a kép koordinátáit, ablokk w és h bemenete pedig a kép méretét pixelben.

4.4.2. lineDraw

Ennek az elemnek a segítségével animálhatunk vonalakat a szimuláció során.Egyaránt módosítható a szín, a vastagság illetve a stílus paraméterek. Ablokk bemenetei hasonlóan viselkednek az Animate blokkéhoz.

4.4.3. Annotation

Bezel : A képernyő háttér megjelenése, háttér szín illetve háttér kép állíthatóbe ezzel az elemmel. A blokk setup ablakában értelemszerűen módosíthatókezek a paraméterek.

Comment : Diagrammokhoz adhatók megjegyzések ennek az elemnek asegítségével. Az ablak görgetősávjának elhelyezése automatikus. A szövegelhelyezése, módosítása értelemszerűen történik.

Date: Ez az ablak mindig az aktuális dátumot illetve időt írja ki a ki-jelzőre. A frissítés mindig a blokk elmozdításakor, diagram kirajzolásakortörténik. A Control Panel segítségével törölhető az ablak tartalma.

Index : Az index blokk segítségével dinamikusan válszthatunk ki vektorelemeket. A felső kapcsoló a kiválasztandó elemet jelenti, a középső pedigazt a vektort, ahonnét ki akarjuk választani. Például: az egyes index az elsővektorelemet választja.

Variable: A válozó blokk segítségével jeleket vihetünk át a diagramonbelül összeköttetések használata nélkül.

113

WirePositioner : Ezen elem segítségével hozhatunk létre speciális össze-kötettési útvonalakat. Ez az elem tulajdonképpen mindössze egy kimeneti ésegy bemeneti pontból áll, és az összeköttetések módosítására szolgál.

4.4.4. Arithmetikai elemek (Arithmetic)

Ezen blokk elemei értelemszerűen használandók. Itt találhatjuk a matemati-kai operátorokat és függvényeket, mint például az osztás, szorzás, reciprok-,ellentett-, abszolútérték képzés. Megemlítendő még négy elem, melyről kicsitbővebben szólunk:

Gain: Ez az elem egy olyan kimenetet állít elő, mely a bemenő jel és again szorzataként jönlétre.y = x ∗ gain

Pow : Ez az elem kimeneteként olyan jelet állít elő, mely a bemenő jelértékét egy, a blokkban megadott kitevőre emeli.

Sign: A sign blokk meghatározza a bemenő jel előjelét, és kimenetként1, 0, -1-et ad vissza.

SummingJunction: Ez a blokk összeadja a beneteire érkező jeleket, és azösszeget rakja a kimenetre. A bemenő jel előjele megváltoztatható a bemene-ten való jobb egér kattintással. Alapértelmezésben két bemenete van enneka blokknak, de ez is módosítható az Edit menü Add Input, Remove Inputpontjában.

4.4.5. Boolean kifejezések (Bookean)

Itt találhatjuk meg a logikai, összehasonlító operátorokat. (pl.: <,=,AND,OR,stb.) A bemenetre értelemszerűen a két összehasonlítandó jel kerül, és azeredményt teszi a kimenetre.

114

4.4.6. Lineáris Rendszerek (Linear system)

A lineáris rendszereket leíró modellek blokkjai is megtalálhatók a VisSimben.Az állapottér reprezentáció és az átviteli függvény segítségével adhatjuk mega szimulálni kívánt rendszereket.

StateSpace: A stateSpace blokk a MIMO (multiple-input, multiple-output)rendszerek állapottér reprezentálására szolgál. Az állapottér modellben sze-replő mátrixok vagy *.M fajlként adhatók meg, vagy egy egyszerű szövegs-zerkezőben is definiálhatok matrixonként új sort megadva.

TransferFunction: Ezzel a blokkal egy SISO (Single Input Single Output),lineáris rendszer átviteli függvénye adható meg. A VisSim 90-ed fokú polino-mok kezelésére képes. A blokk az IIR, FIR digitális szűrőformát támogatja.A blokkon történő duplakattintással előhívható a blokk tulajdonságait, ada-tait tartalmazó ablak. Itt lehet az átviteli függvény számlálójának és neve-zőjének polinómjait megadni a numerator illetve a denominator sorokban akövetkező módon:- Az ablakban csak az állandó együtthatók szerepelhetnek, méghozzá a vál-tozó kitevője szerint csökkenő sorrendben- A nulla értékű együtthatókat is fel kell tűntetni, hiszen a változó megje-lenésének hiányában a nullával szereplő tagokat is jelölni kell.A gain mezőben adható meg a rendszer erősítése, ennek alapértéke 1. Azállapotok kezdőértéke az Inital State mezőben jelölhető.

4.4.7. Véletlen generátor (Random generator)

Háromféle véletlen jelgeneráló elem található ebben a menüpontban. Ezek aGauss, uniform és a PRBS.

4.4.8. Jelgeneráló elemek (Signal Producer)

Buttom: A gomb elem segítségével szimuláció közben dinamikusan beállíthatókbizonyos jelértékek.A blokknak 2-16 számú állapota lehet. Bitmap is tár-sítható ezen állapotokkal, ezeket nevük illetve elérési útvonaluk szerint kellmegadni, erre szolgál az Image gomb. A név ablaknál megadható egy szöveg,

115

mely csak akkor látható, ha az adott bitkép nem jeleníthető meg.

Constant : A blokk egy konstans értéket generál, mely értéke a setup ab-lakban megadható. Az alapértelmezett érték 1.

Import : Ez a blokk adatokat importál *.DAT, *.M, *.MAT vagy *.WAVfájlokból.

Parabola: Parabolikus kimenő jelet generál. Slope rate, curavante

RealTime: A blokk az aktuális időt állítja a kimenetre millisecundumanmegadva. Megjegyzendő, hogy ez az idő nem felel meg a szimulációs időnek.

Sinusoid : Egység sinushullám jelet állít elő. A setup ablakban mó-dosítható az alapértékekkel megadott jel amplitúdója, frekvenciája, eltolása.

Slider : Ez az úgynevezett csúszka blokk. Lehetővé teszi, hogy a szimulá-ció során a felhasználó által (egér segítségével) dinamikusan változtathatójelet állítsunk elő. A csúszka aktuális illetve alsó, felső értéke beállítható.

Most következnek az általunk leggyakrabban használt bemenő jelgeneráto-rok.

PulseTrain: Egységimpulzus vonat blokk az egység amplitúdójú impul-zusok sorozatát állítja elő. Az impulzusok közötti idő megadható, ezt elégnagynak választva a Dirac impulzust közelíthetjük.

Step: Az egységugrás bemenetet állítja elő, ennek amplitúdója és késlel-tetése módosítható.

Ramp: Egységsebesség ugrás bemenet.

4.4.9. Megjelenítés (Signal Consumer)

Display : A kimenő jel aktuális értékét jelzi ki megahtározott számú digiten.A kijelzett érték szine és hattérszíne is megváltoztatható.

116

Error : A szimuláció során fellépő hibákat jelzi, és a program leállásáteredményezi.

Light : Ez a blokk tulajdonképpen egy háromállapotú riasztó. Alapértel-mezett esetben a kielző piros színe jelzi, ha a bemenő jel túllép egy megadottértéket, a kék szín jelzi, ha egy adott érték alatt van a jel, és zöld jelzi, ha afelső és alsó korlát között van a bemenő jel.

Stop: Ha a bemenő jel nem nulla, akkor leállítja a szimulációt.

Plot : Az általunk leggyakrabban használt kijelzési mód. A jelet egy két-dimenziós koordináta rendszerben, grafikusan jeleníti meg. Maga a kijelző ésa megjelenített adat reprezentálása módosítható (lásd 4-9.ábra).

4-9. ábra. Kijelző

117

4.5. Szimulációs beállítások (Simulate)

A modell felépítése után indítható a szimuláció. Először a jelgeneráló blok-kot(egységugrás, Dirac-delta, stb.) értékeli ki a program. Aztán elküldi azadatokat a köztes blokkoknak (melyek rendelkeznek bemenettel és kimenettelis), végezetül az adatok a megjelenítő (plot, meter, stb.) bemenetére kerül-nek, mely a végeredményt ábrázolja.Amikor szimulálunk egy modellt, a VisSim a blokkdiagramban lévő egyen-leteket numerikus módszerekkel oldja meg véges intervallumon belül, lépé-senként haladva az egyenleteken. Így definiálni kell a szimulációs időközt, ahasználandó algoritmust és a lépésközt is. Ezeket az értékeket a SimulationSetup ablakban módosíthatjuk.

(1) Szimulációs beállítások

A szimulációs beállítások ablakot a Menu > Simulation Setup menü-pontból érhetjük el (lásd 4-10).

4-10. ábra. Szimulációs beállítások

Range control

118

Itt állíthatjuk be, hogy a szimuláció mely időponttól(Range start) melyidőpontig (Range end) tartson és, mekkora legyen a lépésköz (Stepsize). Értelemszerűen csak a szimulációs időtartományon belül kiszá-molt értékek jellenek meg a kijelzőn.Ebben a mezőben állítható be, hogy a szimuláció valós időben fusson-e vagy nem, valamint a szimuláció lejátszódása után az automatikusújraindítás is lehetséges.

Integration Algorithm

A VisSim hét integráló algoritmust tartalmaz. Ezek az Euler, trapéz,másod- negyed,-ötödrendű Runge Kutta módszer, Bulirsh-Stoer és visz-szafelévett Euler módszer. Mindegyik módszer az integrálás egy nume-rikus közelítésétt szolgáltatja.A bonyolultabb módszerek sokkal biztosabb, numerikusan helyesebberedményt szolgáltatnak, bár futási idejük sokkal hosszabb.Ezen módszerek részletes ismertetésére itt nem terünk ki.

(2) Szimuláció vezérlése

A szimuláció egyszerű vezérlésére az eszköztár sávban találunk háromgombot. Ha az eszköztár nem látható, megnyithatjuk a View > Tool-bar menüpontból.A gombok a következő funkciókat láják el:

Szimuláció indítása ábraA szimulációt erre az ikonra való kattintással indíthatjuk el. Ugyaneza funkció érhető el a Simulate > Go menüpontból.

Szimuláció megállítása ábraA szimuláció megállításásra való, ugyanúgy mint a Simulate > Stopmenüpont.

Szimuláció léptetése ábraEz a gomb a szimuláció lépésenkénti végrehajtására való. Minden alka-lommal, mikor e gombot megnyomjuk, a szimuláció egy lépéssel előreu-grik, elvégezve a számításokat.

119

ábraA szimuláció folytatásához ezt a gombot kell aktíválni, ekkor a szimulá-ció abbahagyja a lépésenkénti futást, és végrehajtja a szmulációt.

120

4.6. Analizálás (Analyze)

A rendszer megépítése utána magával a szimulációval önmagában nem érünksemmit. A szimuláció során kapott adatokat ki kell értékelni, és a következ-tetéseinket le kell vonni.Erre szolgál az analizálás, megy a VisSimben igen sokrétű. Több szem-pontból is vizsgálhatjuk a kapott eredményeket, grafikonokat rajzolhatunk,táblázatokat készíthetünk.Ezeket a lehetőségeket az Analyze menüpontból érhetjük el.

4.6.1. Átviteli függvény(Transfer function)

Az átviteli függvénnyel jellemzett blokk kijelölése után az átviteli függvényrőlkapunk itt információkat, úgy mint az erősítést valamint a számláló és nevezőkülönböző fokszámú tagjainak együtthatóit láthatjuk táblázatos formában.Az ablakban az ok gombra kattintva új ablak nyílik meg, melyben a rendszerzérushelyei (4-11.ábra) és pólusai (4-12.ábra) vannak feltűntetve .

4.6.2. Módosítás szerkesztő (Compensator Design)

Ebben a módban lehetséges az átviteli függvény módosítása oly módon, hogyújabb pólusokat illetve zérushelyeket definiálhatunk, valamint régieket töröl-hetünk (lásd 4-13.ábra). A Replot gombbal pedig automatikusan megkapjuka módosított rendszert jellemző függvényeket (lásd 4-14.ábra), mint gyökhe-lygörbe, Bode diagram.

4.6.3. Gyökhelygörbe, Nyquist diagram (Root locus, Nyquist Re-sponse)

Ezzel a rendszert jellemző gyökhelygörbe illetve Nyquist diagram rajzolhatóki (lásd 4-15.ábra).

121

4-11. ábra. Átviteli függvény - együtthatók

4.6.4. Bode diagram (Frequency Response, Frequency Range)

A Bode diagram amplitudó és fáziskarakterisztikájának kirajzolása nem egys-zerre történik, hanem a két menüpomtból külön külön (lásd 4-16.ábra).

122

4-12. ábra. Átviteli függvény - pólusok, zérushelyek

123

4-13. ábra. Compensator

124

4-14. ábra. Replot

125

4-15. ábra. Gyökhegygörbe, Nyquist diagram

126

4-16. ábra. Bode diagram

127

Irodalomjegyzék[1] Kalman, R.E., Falb, P.L., Arbib, M.A. (1969). Topics in Mathematical

System Theory McGrawHill Book Comp.

128