KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM 10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TRÍCH ĐOẠN)

8/20/2019 KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM 10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TR…

1/165

Ỏ l ồ

NGUYỄN PHÚ KHÁNH

Kiến thức ôn tập và kinh nghiệmã y ®

làm bàỉ thi đạt điểm 10

(Bám sát cấu trúc đề thi mởĩ nhất của Bộ 6D & B ĩ )

k u v ể o k i i M

V- _

w 0 . é 6 ” ế ■

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

WWW.FACEBOOK.COM/DAYKEM.QUY

WWW.FACEBOOK.COM/BOIDUONGHOAHOCQUY

WW.DAYKEMQUYNHON.UCOZ.COM

ới thiệu trích đoạn bởi GV. Nguyễn Thanh Tú

B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


2/165

NHÀ XUẤT BẢN ĐẠI HỌC sư PHẠM

136 Đường Xuân Thủy - Quận cầu Giấy - Hà Nội

Điện thoại: (04) 37547735 - Fax: (04) 37547911

Chịu trách nhiệm xu ất bản:

Giám đốc ĐINH NGỌC BẢO

Tổng biên tập ĐINH VĂN VANG

Chịu trách nhiệm nội dung và bản quyền: NHÀ SÁCH HỒNG ÂN

Biên tập nội dung:

TRẦN TÌNH

K ĩ th uật vi tínkĩ

NHÀ SÁCH HỒNG ÂN

Trình bày bìa:

TIÊU VÁN ANH

Mã số: 02.02.990/1181 .PT2012

KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIẾM 10 MON TOÁN

In 2.000 cuốn, khp 17 X 24cm tại Công ti c ổ phần Văn hóa Văn Lang.Số đăng kí KH XB: 78 -201 2/CXB/990 -43/ĐH SP kí ngày 13/1/2012.QĐ XB số: 125 2/Q Đ-Đ HS P ngày 26/9/2012!n xong và nộp lưu chiểu tháng 12 năm 2012.





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


3/165

WÓ6 cóầu,

Các em học sinh thân mán!Giảng đường Đại học là nơi các em đều muốn được bước vào sau khi rời trường

THPT, song để thực hiện ước mơ ấy không phải đễ dàng. Nhằm góp phần giúp cácem học sinh thực hiện được mơ ước của mình, ngoài sự cố gắng học tập cùa các em,tác giả biên soạn bộ tàí liệu giá trị: “Kiến tỉiăc ôn tập và kinh nghiệm làm bài thi đạt điềm 10môn Toán”. Bộ sách gồm 2 tập:

- Quyển thượng. Chia làm 4 chuyên đề:Chuyên đề I: Một số bài toán thuởng gặp về đồ thịChuyên đề II: Phinmg trình liro'ng giácChuyên đề III: Phương trìnb, hệ phương trình, bất phương trinhChuyên đê IV: Nguyên hàm, tích phân và ứng dụng

- Quyển hạ. Chia làm 6 chuyên đề:Chuyên đề V: Hình học không gianChuyên đề VI: Phương phảp tọa độ trong không gianChuyên đề VII: Hình học giải tích trong mặt phẵngChuyên đề VÙI: Tổ họrp, xác suấtChuyên đề IX: số phứcChuyên đề X: Bất đằng thức, giá trị lớn nhất, nhò nhất

Cuốn sách được biên soạn theo chuân kiên thức, kĩ năng của Bộ Giáo đục và Đào tạo.Từng chuyên đề được trình bày cẩn thận theo cấu trúc đề thi, bạn đọc rất thuận tiện thamkhảo (dựa theo chưcmg trình đã giảm tải). Mỗi vấn đề sẽ có:

- Tóm tắt các kiến thức lí thuyết cơ bản.- Lời giải chì tiết các dạng toán thường gặp và ví dụ minh họa.- .Các bài tập rèn luyện kĩ nâng, có hướng dẫn chi tiết.Tác giả chủ trương tránh đưa vào sách những phân lý thuyêt nặng nê và ít sử dụng. Môi ví

dụ, lời giải dễ hiểu có nhận định sâu sắc, kèm theo lời bình giúp người đọc nhận biết kỹ hcm

và sẽ có tư duy sáng tạo riêng cùa mình khi gặp những câu hỏi khó, bài toán khó, iạ khác.Phần bài tập tự luyện tác giẫ‘tập hợp nhiều dạng toán hay, mới mẻ. Giúp người họckhông chỉ có thể thử sức những bài toán rèn luyện, mà còn giải một cách dễ dàng những bài toán hóc búa, tưởng chừng không thể nào giải nổi. Tác giả hi vọng, khi gặp một đề thikhó, ỉạ người học sẽ Ịíhông còn ngại ngùng trong việc đưa ra ỉời giải cho mỗi bài toán.■Khi dựa trên nên tảng kiên thức, kĩ năng cơ bảii một cách thuân thục.

Cuốn sách là sự kế thừa những hiểu biết chuyên môn và kinh nghiệm của chính tác giảtrong quá trình trực tiếp đứng íớp bồi dưỡng nhiều nãm. Tác giả hi vọng sẽ giúp các em vữngvàng ữong làm bài thi.

Để đạt hiệu quả cao trong kỉ thỉ Đại họp sắp tới, tác giả hi vọng các em sử dụng cuốn“Kiên thức ôn iâp vá kình ngỊtiệm làm bài thi đai điêm 10 môn Toản” song song với

cuốn “Luyện thi cấp tốc môn toàn’’ mà tác giả đã ấn hành'. Hai cuốn sách được ví nhưmỗi cá the đi tìm một nửa trái tim kia, mong muốn kết tinh tình yêu thật đẹp. Mỗi cuốnsách, một phong cách, một nét đẹp, bổ khuyết cho nhau.

Mặc dù tác giả đã dành nhiều tâm huyết cho cuốn sách, song sự sai sót là điêu khótránh khỏi. Chứng tôi rất mông nhận được góp ý quý báu của quý độc giả để những lần tái bản sau cuốn sách được hoàn thiện hơn.

Xin chân thành cảm ơn.Tác già

3





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


4/165





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


5/165

Đ

M Ộ T S O B f i l T O Á N T H Ư Ờ N G Q ệ p

V Ể Đ Ồ T H Ị

Chủ ửề

1.TưứNG GIAO CỦA ĐỔ THỊ CỦA HÀM số

Đình lí: Cho hai đổ thị (c ):.y =f(x) và ( c ) :y = g(x ). Sô'giao điểm của hai đồ

thị (c) vả ( c ) chính là sốnghiệm của phương trình: f (x) = g(x) .

Từ định lí này sẽ dẫn tới hai bài toán giao điểm sau :Bài toán 1: Biện luận số nghiệm của phương trình: F(x,m) = 0 (m là tham sô)

Phương pháp giải:

* Ta biên đổi phương trình F(x,rri) - 0 về dậng f(x) = g(m ), trong đó ta đã biết

đổ thị (c) của hàm sô' y = f (x) hoặc có thể dễ dàng vẽ được

* Để biện luận sô' nghiệm của phương trình, ta chuyển về biện luận sô' giao điềmcủa (c) và đưòng thẳng song song với O x: y = g(m)

Bài toán 2: Biện luận số giao diêm của hai đổ thị ( c ) : y = f (x) và (C '):y = g(x) Phương pháp giải:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của (c ) và ( c ) : f (x) = g (x) (*).

Sô' giao điểm của‘(c) và (C') chính là số nghiệm cua phương trình (*).

Ví dụ 1. Với giá trị nào của m thi đường thẳng y = -X + m cắt đổ thị (c) của hàm

SỐ y ~——- tai 2 điểm p h â n b iê tB .x -1

V- Lờigịậi Đường thẳng y = -X + m cắt đồ thị (c) của hàm sô' tại 2 điểm phân biệt khi và

chỉ khi phương trình sau có 2 nghiệm phân biệt xv x2 :

^ l = -x + m » | x2 -(m - 1)x + m - :1=° -4(m -l)> 0x _ * [ x * l Ị l - ( m - l ) . l + m - l * 0

m < 1 hoặc m > 5.

5





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


6/165

Vậy, m e (-co; l) u (5; +00) là giá trị cần tim thỏa bài toán.

Nhận xét:Gọi I là giao điếm 2 đường tiệm cận của (c) .

• Ta thấy, đường ithang y = -x + in cắt đổ thị (c] thuộc cùng 1 nhánh của đổ

thị và đồ thị nhận I Ịàm tâm đổi xứng . Vì thê' xuâ't hiện những câu hỏi mới như:Chứng tỏ đường thẳng y = -X + m cắt đồ thị (c) tại 2 điểm phân biệt thuộc cùng 1 'nhãnh

của đô thị ? hoặc tìm tọa độ điểm A,B để A, B đôĩ xứng nhau qua đường thẳng y = X+1 ?

hoặc tìm tham số m để cô IA.IB = -2...

• Hem nữa, y = -X + m và y = X+1 cắt đồ thị ( c ) tại 4 điểm phân biệt, giả sử

A;B,C/D: Gọi G’ là đíêm đôĩ xứng c qua đường thẳng y = -x + m . Ta phát Mện

A,C’,B,D là 4 đỉnh của hình thoi. Đêh đây, bài toán mói xuẩt hiện: tìm tham số mđể AC’BD ỉà hình thoi có diện tích bằng hằng số nào đó..., hoặc tìm tham số m ãểhìrih thoi

AC'BC ỉà hình vuông?....• Nhận thây, nếu. m = 3 thì luôn có y = -X + 3 . Như vậy, khi ta đã phát hiện

y = -X + 3 và y = X+1 là 2 trục đốì xứng của đổ thị đã cho. Bài toán quy về " chứng

minh rằng y = -X + 3 và y - X+1 là trục đôĩ xứng của đô thị hàm số...”.

• Lại có, y = -X -un và y = X+1 vuông góc nhau, đồng thời y = X+1 cắt đồ thị

hàm sô' đã cho tại 2 điểm phân biệt C,D . Mọi đường thẳng đi qua C D và vuônggóc với y = X+1 đều song song với y = -X + m . Vì thế xuất hiện bài tơáĩi mới như:

2x~ĩ a. Tùy theo tham số m, giải và biện ỉuận phương trình: —— = -x+m .

b. Gọi A: y - X+ p, giả sử A cắt ầô thị (c) tại 2 điền phân biệt. Tìm p đểtiêp tuyêh

tại 2 điểm đó song song với nhau.c. Giả sử tiẽp tuyến,tại 2 điểm câu b có hệsốgóc lẫn ỉượt là kl7k2. Tìm p để.: hoặc

+ k2 lớn nhất? hoặc + k2 bằng hằng sổ nào đó? hoặc k2 + k2 = 160....

Tiếp theo, các em làm bài tập tnờ rộng dựới đây:

Mở rộng: Giả sử đường thẳng y = -X + m cắt đổ thi (c ) của hàm sô' y = taiX —1

2 điểm phân biệt A, B . Gọi I là giao điêm 2 đường tiệm cận.1. Tìm tham số m để tam giác IAB đều.

2. Gọi d' là đựờng thẳng đi qua I và cắt đồ thị (c ) của hàm sô'tại 2 điểm phân

biệt c , D . Lập phương trìi\h đường thẳng d ’ để có CD = - CI.

Gợi ý:

1. A(x1;--x1+m )/ B(x2;-x 2 +m), AB = (x2- x 1;- x 2 + Xj),

6





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


7/165

x1+ x2 = m -l, XjX2 = m - 1 .

Gọi H là trung điếm AB =>h Ị ^ — ẼH = Ị ^ Ặ ^ ^ j

IA2=IB23 => m = 3± Vó

IH2= —AB

ÍIA = IBTam giác LAB đều o \ o

IlH - — AB

2. d' đi qua điểm có hệ sốg óc là k: y = k ( x - l) + 2

Tọa độ giao điểm của d’ và (c) là nghiệm phương trình:

^ ^ = k ( x - l ) + 2 o k x 2 -2kx + k - l = 0 ,x * l (*)

Để d' cắt (c) tại 2 điểm phân biệt C,D khi và chỉ khi phương trình (*) có 2

'k*0

nghiệm phân biệt khác 1 tức là - A’= (~k)2 - k(k - 1) > 0 o k > 0

k.l2-2k.l + k - l* 0

Vói k > 0 thì (*) có 2 nghiệm phân biệt x3,x4 là hoành độ của c, D , thỏa mãn:

k -1 --- •x3 + x4 = 2, x3.x4 =—— kết hợp điểu kiện: CD = -C I tìm được k suy ra đường

k 3thẳng d’

Ví dụ 2. Cho hàm sô': y = (2 -m )x 3 -6m x2 + 9 (2 -m )x -2 có đồ thị (Cm), m ỉà

tham ,số. Tìm m để đường ịthẳng d: y = -2 cắt (cm) tại ba điểm phân biệt

A(0;-2), B và c sạo cho diện tích tam giác OBC bằng 7Ĩ3 .

Lời giải

Phương trìiứi hoành độ giao điểm là: (2 -m )x 3 -6mx2 + 9 (2 -m )x -2 = -2

(2 -m )x 3 -6m x2 +9(2-m )x = 0 (l) o x |^ (2 -m )x 2 -6m x + 9( 2-m )J = 0

o x = 0 hoặc (2 - m)X2 - 6mx +9(2 - m) = 0 (2)

Để phưcmg trình (1) cỏ ba nghiệm phân biệt A (ũ;-2), B và c khi phương trình

(2) có 2 nghiệm phân biệt khác 0 ta có điều kiện:

j A = 9m 2- 9(2- m )2>0 fm>l[ 2 - m * 0 i m * 2

Gọi tọa độ điểm B(xb ;-2),C(x c ;-2), Xg ítxc





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


8/165

Gọi h ỉà khoảng cách từ gốc o đên đường thẳng d :y + 2 =0 o h =2

Theo bài ra ta có :

s ao b c= ~h.B C = ''/Ĩ3 => BC = yịĨ3 (x6 + xc Ỷ - 4xBxc = 13 (3)

_ 6mTheo định lý Viét ta có:


9/165

- -


10/165

Gợi ý:

Phương trình hoành độ giao điềm của đ và (c) :

X+ m - x ~^" o f ( x ) = 2x2 + 2m x-m -l = 0 (*),X?É —

A’ = m2 + 2m + 2 > 0, Vm e R

Vì1

nên (*) có 2 nghiệm phân biệt khác —

Suy ra d luôn cắt (c) tại 2 điểm phân biệt a (x1;x1+ m),B(x2;x2 +m) với x1,x2 ỉà

2 nghiệm cùa (*).

X1 + x2 = -mTheo Vi - et: < _m _ I

xnx, =—-7 — - 2

Khi đó : AB = yị2ịxz - Xi)2 = ̂ Ị (1 + x2)2 -4xjx 2 = >/2m^f4m+"4

OA + OB = (xj + x2; Xj + x2 + 2m)

!OA + OBI = yỊịxj +xz )2 +(xj +x2 +2n)2 = \/m^T n^ = - 2̂rrt^

AB > ỊoA + Ob| yfam2 +4m +4 > yjzm2 m > -1

Vậy, m > -1 thỏa bài toán.

Mở rộng 2: Cho hàm số y = ——- , có đổ thị là (c ) . Gọi A,B là 2 giao điểm của

t l đường thẳng A: y = —X vói đổ thị (c). Tìm tọa độ điểm M thuộc đường phân giác

góc phần tư thứ nhất sao cho MA + MB có giá trị nhò nhất.

Gợi ý:

Tọa độ A, B là nghiệm của hệ phưcmg trình:y = - x

y ~

1

6 X —1

x + 1B 3;-

A,B nằm về cùng phía đốĩ với đường phân giác d : x -y = ỏ .Gọi A’(a;b) là điểm đôi xứng của A qua d nên có:

(a -2) . l + Ị b - ỉ j . l = 0 1 ^

h 1 « a 3 ^ A ' í ỉ ;2Ì ^ A 'B = i( l6 ;-9).a +2 3 b = 2 ' 6

— --------- - = 0 L. 2 2 .

1C





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


11/165

ix = 3 + 16tPhươngtrìnhthamso'cua A'Bla: < 1 (teJR.).

[ y ị - 9 *

Khi đó M là giao điểm của A'B và d .

X- y = 0 ( 7 7 \Tọa độ M là nghiệm của hệ -ịx = 3 + 16t => Ml — I.

y = ị - 9 t3 2

Vậy Mị — I ỉà tọa độ cần tìm.

Ví dụ 4. Cho hàm sô' y = —° ( c ). Vói m là tham số thực khác 0 và đườngx + m .

thẳng d có phương trình y = 2 x . Tim m để d cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt

A, B có hoành độ Xj, x2 thỏa mãn Xj -9xj = 8x2.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên khoảng (-00; -m) u (-m; -ko)

Hoành độ giao điểm của-đường tìhẳng d và (Cm) là nghiệm của phương trình

2mx + 5x + m

Ị= 2x - —4x2- x - m -10 = 0(với X* - m )

Đặt g(x) = 4x2 - x -m -1 0 ■

Để d cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình g(x) = 0

cỏ hai nghiệm phân-biệt khác -m tức phải có:

161167ĨÕ

161ÍA >0 ■ Í16m.+ 161>.0 j m > 16g (-m ) * 0O j 2m2 -5 * 0 ° - J w

^ í ............X-, + X, = = — / 3 4Ap dụng Vìet cho Xp x2 ta có <

x-,x7 =—= ------ — . 12 a 4

Xét điều kiện bài toán: - 9x ị = 8x2 Xị - 9xj = 8^ - - xa j

o x ị - Xj - 2 = 0 Xị = -1 hoặc Xị = 2./

11





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


12/165

5Với X, = -1 => X, ~ ~ m = ~5

47

Với X, = 2 => X, = - —=>m - 41 2 4

_ _ J. A.~" 1 m 161 „ >/ĨÕKêt hợp với điểu kiện m > ------và IĨ1Í ±—— K 16 2

Vậy m = -5 hoặc m =4 thỏa mãn yêu cầu bài toán.

Bài toán đã giải xơngỉ.2.JC -f"2 ỵ

M ở r ộ n g 1 : C h o h à m s ố Ỵ = ——— T ì m m đ ế đ ư ờ n g t h ẳ n g ( d ) : y = - 2 x + m cắ tX 4*z

đổ thị (c) tại hai điểm phân biệt A, B sao cho tam giác OAB vuông tại o.

Gợi ý:

D = R \{-l} .

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và (c ) là nghiệm của phưortg trình

2-■+ị ‘- _2x + m o 2x2 - (m - 4)X +1- m = 0 (Vx ?fc-l)

Để d cắt (c) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chỉ khi phương trình trên có hai

nghiệm phân biện khác -1 Vm e R

Áp dụng Viétcho Xp x2 ta có

b m -4X-, + X, = —- = —-—

a 2

c 1 -mX1X2 ~ 7 " ~ '

Tọa độ giao điểm của d cắt (c) A(x1;-2x1+ m)/ B(x2;-2x2 + m) nên

OA = (x1;-2x1 + m), OB - (x2;-2x2 + m)

Do đó OA.OB = XjX2 + (-2x1+ m)(-2x2 + m) = 5x1x2 - 2m(xj + x2 Ị + m2 =

Mà tam giác OAB vuông tại b khi và chỉ khi OA.OB = 0 jg L tj. = 0 m

Mở rộng 2 : Cho hàm số y = - - ?mx + m có đổ thị là (Cm) Với m là tham số

thực và đương thẳng (d):y = - x + 3. Tìm m để (Cm) cắt đường thẳng d tại hai

điêm phân biệt M, N sao cho tích các khoảng cách từ hai điểm M, N đêh đường

thẳng (A): 2x - y + 5 = 0 không lớn hon — .

12





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


13/165

x + 2

Gợi ỷ:

g d và (

= -X + 3 g(x) = 2x2 - (3m + l)x + m - 6 = 0 (Vx -2)

Hoành độ giao điểm của đường thẳng d và (Cm ) là nghiệm của phương tĩình

X2 - 3mx + m

Để d cắt (Cm) tại hai điểm phân biệt A, B khi và chi khi phương trình trên có

ÍA>0hai nghiệm phân biện khác -2 tức phải có:

|9m2 -2m + 49 >0

Ỉ2(-2)2 + 2(3m + l) + 111-6*0<

ÍA>0

Ó: |g(-2)*0

|^3m-—j + — >0 (Vm eầ)

m ^ — 7

Áp đụng Viet cho Xp x2 ta có "

b 3m + lXT+Xo =

a 21 A2

clx2c m “ 6

Xt X-, = - = — - — Í1 2

Ta có: M (x ị ; - x 2 + 3), N ( x 2; - x 2 +3) / (A ) :2 x -y + 5 = 0

, |3x1+2| . , |3x? +2Ỉ . . , . |(3xI +2)(3x2 +2)ịd(M; a ) ỉ/d(N;A) = ^d(M ;A ).d(N;a ) = ÌV 4

V5 V5 5

Ỉ9XỊX2 + 6(x ị + x2 ) + 4Ỉ27 m - 40

" 2 27m-40

■ / \ / X 37 |27m~40ị 37Mà d(M;A).d(N.;A)


14/165

(x~m)Ị^x2 - (3m + 5)x + 7m + s j = 0 x = m

hoặc g(x) = X2 - (3m + 5)x + 7m + 8 = 0

Để (Cm) cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương trình g(x)

có hai nghiệm p hân biệ t khác m tức phải GÓ:

["l -y íỸ7 ,|A > 0 Í9m2 + 2 m - 7 > 0 o ~ 2 m w

Ịg (m )* 0 I ~2m2 + 2m + 8*0 7 _ 1 + VĨ7^ í. -- < m —--—

9 2

Với điều kiện (*) thì (Cm Ị cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt. Để có hoàrih độ

xv x2, x3 lập thành một cấp sô' cộng

Để thuận tiện trong việc tính toán, giả sử các nghiệm lập thành câp sô' cộng của phương tĩình hoành độ là x0 - d, x0, x0 + d vói d là công sai. Khi đó đẳng thức sau

luôn đúng

X3 -(4m +5)x2 +^3m2 +12 + 8 jx -7 m 2 -8m = (x -x 0 -đ ) (x -x 0)(x -x 0 + d)

4m + 5 = 3x0 _ o _ 2 ,« o o 2 j 2 ~ 2 ó f 4m + 5̂ Ị 4m + 5 7m2 +4m + l


15/165

Phân tích vế ưá i trở thành -X3 +(xj +x2 +x3)x2 - ( x ị X2 + x 2x 3 +x3xj)x

Từ ( l ) ta có 8 = x1x2x3 = 8 = X2 o x2 = 2 => Xị + x3 = 3m - 1 nên Xị, x3là nghiệm

của phương trình t2 -(3m - l ) t + 4 = 0 và Xj, x3 *2 tức là có hệ:

|(3m - l ) 2 ~4.4>0 í(3m-5)(3m + 3)>0 m > —

[4 - (3m- 1)2 + 4 * 0 |5 - 3 m * 0 m < - l

M ởrộng2 : Cho hàm sô' y = x3-(3m + l)x 2 + (5m + 4 )x -8 . Tìm mđể (CmỊ cắt

trục hoành tại ba điểm phân biệt lập thành một câp số nhân.

Ví dụ 6.

1. Tim m để đường thẳng d y = -X +1 cắt đổ thị (c) hàm sô'

y = 4x̂ - 6mx2 +1 tại 3 điểm A(0;l) , B, c sao cho:

a. B, c đối xứng qua y = X b. OB.OC = -4

2. Tìm m để hàm sô' y = - X 4 + 4mx2 - 4m cắt trục Ox tại 4 điểm phân biệt M, N,

p, Q ( XM< XN < Xp < Xq ) sao cho MQ = 2NP.

tò i giải

1. d cắt đồ thị {c) tại 3 điểm A{0;l), B, c khi 4x3 -6mx2 +1 = -x + 1 có 3

nghịệm phấn biệt tức phương trình 4x2 - 6mx +1 = ớ có 2 nghiệm phân biệt khác 0,

3m +1 = Xj + x2 + X3

Phương trình (2) xảy ra 0


16/165

r

b. OB.OC = -4 x1.x2 -r(-x1 + l)( -x 2+l) = -4 hay 2x1.x2 -(x 1 +x2) + 5 = 0

2| - | + - m + 5 = 0 o m = - — (thỏamãn). j ) 2 3

2. Phương trình hoành độ giao điểm của hàm sô' và trục hoành:

-X4 + 4mx2 - 4m = 0 (l) . Đặt t = x2,(t>ũ)-khì đó phương trình (l) ưở thành - t2 + 4mt - 4m = 0 , t > 0 (2).

Để đổ thị cắt trục hoành tại 4 điêm phân biệt M, N, p, Q khi và chỉ khi

A’“ 4m2 -4m > 0phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt dương o

0 hay m > 1.

. s = 4m >0

Vợi m > 1 phương trình (2) có 2 nghiệm phân biệt = 2m - 2\/m2 -m hoặc

t2 = 2m + 2vm^ - m . Ta có: tj < t2.

MQ = 2NP OQ2 = 40P2 tức là t2 = 4ti 5\jm2 ~ m = 3m, bình phương 2 vê"

' * ^ 25và rú tgọ n ta được phươn g trình lỏm^ - 25m = 0, phươn g trình này có m = — thỏa

16điều kiện m > 1.

Mờ rộng 1; Tìm m để đường thẳng y - mx +1 cắt đổ thị (c): y = “2x3+ 6x2 +1

tại ba điểm phân biệt A, B,c sao cho A(0;l) và B là ừung điểm của AC.

Gen ý:

Đường thằng y = mx +1 cắt (c) tại ba điểm phân biệt khi và chỉ khi phương

trình -2x3 + 6x2 +1 = mx + 3 có ba điểm phân biệt o x|2x2 - 6x + m j = 0 có ba

nghiệm phân biệt o 2xz - 6x + m = 0 có hai nghiệm phân biệt X* 0

ÍA’>0 Í9-2m>CI Ịm < i ,\ o ỉ 2- Í*J

2.0 -6.0 + m *0 m *0 j: 1 7^ 1 [m 0

Với điều kiện (*) thì đường thẳng ỳ = mx +1 cắt đổ thị (c) ba điểm phân biệt

A(0:lV B.C.fx., = 2x-,

Vì B là trung điêm của AC nên có: ị mx +1 + 1 o x 2 =2x, (1)ị- - - 2- - - - ==mx!+l

fx1+x2=3Theo định lý Vi - e t, ta có: ị m (2)

|x1.x2 = ~





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


17/165

Từ (l) và (2) suy ra m = 4

Mở rộng 2: Tun m để đường thẳng y =-x + m cắt đồ thị (c): y =?x~4

hai điểtn phân biệt B và c sao cho tứ giác 0 ABC là hình bình hành (0 là gốc toạ độ,A(-5;5))

Gợi ý:Do các điêm 0 và A thuộc đường thẳng A: y = -X . Để OẦBC là hình bình hành

thì EC = OA = 5\ỉĩ 2x - 4

Ho Anh độ của B và c ỉà nghiệm của phương trình: — ----= -X + m

x* + (3 -m )x -m -4 = 0 (x ^ -l) (l)

Vì A = m 2 - 2m + 25 > 0 Vm ,nên (1) luôn có hai nghiệm phân biệt đ luôn cắt (c)

tại hai điểm phân biệt B và c với B(x1;-x1+ m), c(x2;-x2 + m) , ỉ \ - [x1+x7= m -3 . .

Giả sử x1/x ->là nghiệm của (1J, ta có: j (2)1X̂X2 *1X1■“ 4

Khiđó BC2 =2'(x1-x 2)2 =2^(xị+x2)2- 4x ^2 (3)

Thay (2) vào (3) ta được

BC2 = 2m2 -4m + 50 => 2m2 - 4m + 50 = 50 o m = 0 hoặc m = 2Với m = 0 thì 0, A, B, c thẳng hàng nên không thoả mãn.

Vậy, với m = 2 ià giá trị cần tìm.'BÀI TẬP Tự LUYỆN

Bài tập 1. Cho hàm sổ' y = — 2l có đổ thị là ( c ) . Tìm tất cả các giá trị tham số

m e l để đường thẳng (d): y = X+ m cắt đổ thị (c) tại 2 điểm phân biệt A, B sao

cho OA2 +OB2 =— .2

Bài tập 2. Cho hàm số y = X4 - 2*(m + l)x2 + 2m + 1 có đổ thị là (Cm). Tìm tất cả

các giá tri tham sỐ m eR đề*ctồ thị hàm sô' đã- cho cắt -trục hoành tại 4 điểm phân biệt A,B,C,D lẩn lượt có hoành độ xỉ/x2/x3/x4 (xT


18/165

r

Bài tập 4. Cho hàm số y = có đồ thị là (c ) . Tim tham số m để đường than -

đ : y = X + 2m cắt đổ thị (c ) tại hai điêm phâ n biệt A và B .cùng đ iếm I Ĩ Í Ị O

thành tâm giác có diện tích bằng 1, với i Ị - ; j .

Bài tập 5. Tim m để đường thẳng d: y = x + m + 2 cắt đổ thị ;Cm):y = X3 + 3x2 + mx -1 tại 3 điểm phân biệt A,B/C sao cho BC = 4, XA = 1.

Bài tập 6. Tìm m để đưòng thẳng d: y = x -m cắt đổ thj (Cm):

y = x5 + 3x 2 + m x - 3 tại 3 điểm phân biệt x1,x 2/x3 sao cho 'biểu thức

T = 2ịxỊ + xị + xị Ị + 3X1X2X3 - 5 đạt giá ưị nhỏ nhâ't.

Bài tập 7. Tun m để đường thẳng d :y = m x -l cắt ởổ thị (Cm):

y -2 x 3-3 x + m tại 3 điểm phân biệt A(l;yA), B,c sao cho M(2;2m - l ) nằm

trong đoạn BC và MB —2MC .

Bàậiập 8. Lập phương trình đường thẳng đi qua điểm Á Ị — Ị cắt đồ thị (c)

_ của hàm sô" y = ---- —tại 2 điểm phân biệt M,N sao cho A thuộc đoạn MN vả

X—1 ’ - -AN = 2 AM.

Bài tập 9. Tìm m để đường thẳng (d) qua điểm A{l;0^ có hệ số góc m cắt đổ

thị (c ): y = x + 2 tại 2 điểm phân biệt M,N thuộc 2 nhánh của (c ) sao choAN + 2AM = 0 và XM< XN .

Bài tập 10. Tìm m * 0 để đường thẳng y ~ -x + m cắt đồ thị (Cm) của hàm số:

y = —X3 -(m -2 ) x 2 +3(2m -3 )x + m tại 3 điểm phân biệt A(0;m), B, c đổng

thời OA là đường phân giác trong của BOC trong ABOC.Bài tập 11. Tìm m để đổ thị hàm sô

y = X3 - (2m + 3) X2 + ^2m2 - m + 9j X- 2m 2 + 3m - 7 cắt trục hoành tại 3 điêỉm phân

biệt, trong đó cỏ 2 điêm có hoành độ lợn hơn 1 và khoảng cách giữa 2 điêm này làlớn nhâV.

Bài tập 12. Tim m để đường íhẳng (d) : y =5X+ m cắt đổ thị ( c ) : y — tai 2 ) x -1

điểm phân biệt M,N thỏa mãn: AM = 4AN, trong đó Á là giao điểm của (d) với trục

hoành.

18





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


19/165

Bài tập 13. Cho hàm số y = mx + 2 có đổ thị là (Cm). Tim m .để trên đổ thị

(Cm) có 2 điểm p, Q cách đều 2 điểm A(-3;4),B(3;-2 ) và diện tích tứ giác

APBQ bằng 24.

Bàỉ tập 14. Gọi (d) là đường thẳng đi qua A.(2;0) có hệ sô' góc m cắt đổ thị ( c ) :

y = -X3 +6x2 -9x + 2 tại 3 điêm phân biệt A,B,C. Gọi B',C' lẩn lượt là hình chiếuvuông góc của B,c lên trục tung . Tim giá trị dương của m để diện tích hình thangBB'CC bằng 8 .

Bài tâp 15. Tìm tọa đô M,N để đường thẳng (d ): y = X+ m cắt đổ thi y =v / X —1

tại 2 điểm phân biệt M,N sao cho Sịmn = 4 ( I là giao điểm 2 tiệm cận).

Bài tập 16. Viết phương trình đường thẳng (d) đi qua gôc tọa độ o cắt đổ thị

2 32

(c)y - — tại 4 điếm phân b iệt là 4 đinh của 1 hình chữ nhật có diện tích bằng — .

Bài tập 17. Cho hàm số y = -X3 + 3x2 - 3mx - m có đổ thị là (Cm). Tìm m để (Cm)

'cắt trục hoành tại ba điểm phân biệt M, N, p sao cho (xM- 2)3‘+ (xN - 2)3 + (xp - 2)3 = 3

* X I ĩ Bài tập 18. Tìm m để đường thẳng A: y = X- m cắt (c) y = —* ỉậi hai

điếm phân biệt A , B sao cho khoảng cách từ A đêh trục hoành gâp hai lần khoảngcách từ B đêh trục tung.

* ' 2x +1Bài tâp 19. Xác đinh đường thẳng d sao cho d cắt (c) : y - ——— tai hai điểm. x -1

phân biệt B, c sao cho tam giác ABC đều, với A (-2; 5).

v HƯổng dẫn giải

Bài tập l.Phưong trình hoành độ giao điểm của (đ) và ( c ) :

x + = x + m


20/165

Ta có: OA2 + OB2 - Xj + (xị + m)2 + x ị + (x2 + m)2

= 2(x1+x2)2- 4 x ị.x 2+ 2m (xj+ x2) + 2m2

= + 4(m + l) + 2 m ^ - ^ - ^ j + 2m 2 = - ( 4 m 2 + 2m + 17 )

Giả thiết: OA2 + OB2=^rịf 4 m 2 + 2m +17 ) = ̂ -

52m2 + m -1 0 = 0 m = - - hoăc m = 2 .

z

5 *Vậy m = hoặc m = 2 là giá tri can tìm.

Bài tập 2. X4 -2 (m + l)x2 +2m + l= 0 (1): Đật t = x‘2 (t> 0), phưcmgtrình (1)

trở thành t2 - 2 (m +1) t + 2m + 1 = 0 (2).Đế đổ thị hàm số cắt trục hoành tại 4 điểm phân biệt thì phương trình (2) có hai

A'= (m + 1)2 - (2m + 1)

nghiệm phân biệt t > 0 <2

s =2(m + l)>0 « m ̂ 0 và m > p = 2m +1 > 0

1Vói /*2*; yịĩĩ với tj > t2.

Theo giả thiết SACK= —AC.d(K; AC) (3) với d(K; á c ) = |yK| .

Khi đó (3) yịĩ^ + = 4 o tj +12 + 2ựt1t2 —ló

Áp dụng định lý Vi-et cho phương trình (2), ta được:

2(m + l) + 2V2m + l =16 yj im + l - 7 - m ■»] _ =>m=4.[m ~16m + 48 = 0

Lira ý:Bài này các bạn có thể làm ngắn gọn hơn nều ta nhận thây điều kiện đặc biệt ờ

t = l phương trình: t2- 2(m + l) í + 2m +1 = 0 có nghiêm

11 = 2m +1

Bài tập 3.Phương trình hoành độ giao điểm (c) và (Hm) là:

9 (m + l)x + m -3 5 0 _ 36x3+3x2 =v J-Z--------- o X + 3x + —— = m +1 (*)

x+ l X+1 v }

Zij





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


21/165

(c) và (Hm ) cắt nhau tại 2 điêm phân biệt khi và chỉ khi phưong trinh (*) có 2

nghiệm phân biệt khác -1 .

Xét hàm sô': f(x) = x3 +3x^ + - JC trên K \{ - l |w x + 1

/ \ ỉ 0 \ 36 (x + l)4 -(x + l f -12Ta có: f ’(x) = 3(x + 2x 1------= — }-— * —

. (x + 1) (*.+1)Vàf'(x) = 0 X= -3 hoặc X= 1

lim f (x) = -co , lim f(x ) = +co, lim f(x) = -oo, lim f(x ) = -H»

Dựa vào bảng biến thiên suy ra m < -19 hoặc m > 21.

Bài tập 4. d[l,_dm ] = ị ^ ' , AB = ̂ 2(x2 - x: )2

ÎAB = 1 => 16m4 + 32m3 + 12m2 -4 m -6 = 0=>m = -

Bài tập 5. Phương trình hoành độ giao điểm (x - l)Ịx2 + 4x + m + 3j = 0

Với -8 ^ m < 1 thì d cắt (Cw) tại 3 điểm phân biệt

BC2 =2(x ị + x2)2 -8 x ịX2 = 8 (l -m ), BC = 4=>m = -1 .

Bài tập 6. Phương trình hoành độ giao điểm của d và (COT):

(x + l)Ịx2 + 2x + m - = ? 0, với m < 4 thì T = 3m2 - 22m + 44

11Y 11 11 ________ . - 1 1 . . . __.11 __ _| ______ í ___ _ m in I — \srti m - — = 3 m ~ — mữiT = -~ k h im - —

[ 3 ) 3 3 3 3

Bài tập 7. Phương trình hoành độ giao điêm củà d và (Cm ) :

(x “ l)^2x2 + 2x - m -1 j = 0.

Vớí < m ^ 3 ửiì d cắt (cm) tại 3 điếm phân biệt. Do MB = 2MC và M

2 Vnằm ữong đoạn BC => MB = -2MC => m = 55.

Bài tập 8. AN = -2AM < 2 1XM-1 XM-1

Bài tập 9. (d ): y = m(x - 1). Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (c):

__ 2 _____ n .. T/-t\

x n + 2 x m = 2

mx -(2m + l)x + m = 0, X5*1 (1}





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


22/165

Theo bài toán phương trình (l) có 2 nghiệm phân biệt XT,X2 thỏa mãn

Xị < 1 < x 2 = > m > 0 . G i ả s ử XM = Xp x n = x 2 .

Lại có: XN + 2xM =3=>m = 2 .

Bài tập 10.B(x b ; - x b +m), c(x c ;-xc + m)

Vì OA là đường phân giác trong của BOC trong ABOC nên :Ị

AC _ o c M v * c + (XC J ^ xc - m xB- m ! Ị

A B ” O B ~ ^ 4 J x 2B + (xB - m f xc XB .

2x b .xc -m (x B+ xc ) = 0 =>m2 -14m + 10 = 0

Bài tập ll.( x~ l)|^ x2 -2 (m + l)x + 2m2 - 3m + 7 |= 0

Theo bài toán, phương trình X2 - z(m + l)x 4- 2m2- 3m + 7 = 0 có 2 nghiệm phân

biệt xlyx2 thỏa mãn l< x 12PQ = ̂ 2 (x2 - x1)2

Diện tích tứ giác APBQ bằng. 24

d (A; PQ) .PQ = 24 3 ^ 2 (x2 - Xj)2 =24 o (xj + x2f -4xjx2 =16 (2)

Theo định lý Vi - et , ta có: Xj + x2 = m, xr x2 = -3 '

22





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


23/165

Thay vào (2) ta được m2 +12 -16 = 0 m = -2 hoặc m = 2

Đối chiếu điều kiện, ta thây m = 2 thỏa mãn bài toán.Bài tập 14. Đường thẳng (d) có phương trình: y = m (x - 2).

Phương trình hoành độ giao điểm của (d) và (C):

- X 3 + 6 x 2 - 9 x + 2 = m ( x - 2 ) < » ( x - 2 ) Ị x 2 - 4 x + l + m | = 0

Với m > 0, (d) cắt (c) tại 3 điếm phân biệt A,B,C và A là trung điểm BC khi

và chỉ khi phương trình X2 - 4x +1 + m = 0 (*) có 2 nghiệm phân biệt x: ,x2 khác 2

m >0

đồng thòi m > 0 o |A = 3-m>0< =>0 d(l,(d)) =|m - lị

2Ịm-1

Khi đó: (**) o 1^2 Ị m2 - 2m + 13j------- - = 8,. bình phương 2 vế r ổ i rút gọn ta

được: (m - l)4 + 12(m- 1)2 - 64 = 0, đặt t = (m - 1)2 ̂ 0,





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


24/165

ta đượ c t2 + 12t - 64 = 0 => t - 4 tức (m - 1)2 = 4 m = -1 hoặc m = 3.

* Với m = -1 thì phươn g trình (*) trả thàiửi: X2 - 4x = 0 X = 0 hoặc X = 4

=> M (0; - l) , N (4; 3) hoặc ngược lại là tọa độ cần tìm.

* Với m =3 thì phương trình (*) t rở thành: x2 -4 = 0 o x = -2 hoặc X = 2=> M (-2;l),N(2;5) hoặc ngược lại là ỉọa độ cần tìm.

Vậy M(O; -l) , N (4;3) hoặc M(-2; 1) ,N (2;5) hoặc ngược lại là tọa độ cẩn tìm.

Bài tập 16. Đường thẳng (d) qua o có dạng: y = kx, y - mx (k,m đều khác 0

và k í* m ).

Gọi A,B là giao điểm của (đ) và (c) thì tọa độ A,B là nghiệm của hệ:

[y = kx [y = kx

Đạ.A,B tổn tại thì k > 0 / khiđó A 2k , B ^ -;V 2 k j.

Tưcmg tự m >0, ta có: , NVì o là tâm đôĩ xứng của (c) nên ABMN là hình bình hành. Do đó ABMN là

32hình chữ nhật có diện tích băng — khi và chỉ khi. 3

OA = OM

;AM,AN = —L 3

í mk = 1 ík = 3I, 10i 1 hoặck + m = - ~ m = —

3 l 3

Vậy, (đ) có phương trình: y = -x,y = 3x.3

Bài tập 17. Hoành độ giao .điểm của trục hoành và (Cm) là nghiệm của phương

t rì nh - X3 + 3 x 2 - 3 m x - m = 0Giả sử phương trình hoành độ có ba nghiệm XM/ XN, Xp.

Từ đẳng thức - x 3 + 3 x 2 -3m x-m = (x-x M)(x- xN)(x-x p)

[ + Xu-+ Xt, = 3

k = I3

m = 3

M+ APIXMXN + XNXP + XpXM = 3m

IXMXNXP = ~m

IXM+ XN + XP = 27 ~ 30m

lxM+ XN +XP = 9-6m

24





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


25/165

Do đó: (xM -2 )3 +(xN -2 )3 + (xp -2 )3 = 3 = 6m - 15 =i>m = 3

Bài tập 18. Xét phương trình hoành độ giao điểm :

x + 1 = x -m o 2 x 2 -(2m + l)x + 2m + l = 0

m < hoậc m > —thì A cắt (c) tại hai điểm phân biệt A , B có hoành độ khác 1

Ta có: A(xa;x j- m ), B(x2;x2-m ) => d(A;Ox) = |x1-m Ị, d(B;Oy) = Ịx2Ị

Theo bài toán, ta có: Ịxj -m Ị = 2.Ịx2Ị, theo Vi -e t

2m +1 2m +1X1+ x2 = ' X1-X2 = —2 ■

* 1 í l ì 2m + l _ 8Từ đó ta được — m +-=■ = — — m = ----é{ 3) 2 15

Bài tập Ỉ9.

Do đó^đường thẳng (d) J- IA (d): y = X+ m . '

_ . , , ^ 3 —m 3 + m lGọi M là trung điểm BC==> M Ỉ---- —;———I.

Do B và c đôi xứng qua đường thẳng IA nên tam giác ABC cân tại A .

Do đó ABC đểu khi AB = BC => BC2 = (2MB)2 = 4 ( b C2 - AM2 ]

BC2 = - AM2 2^(xj + x2)2 — 4xtx2 = 2^m ~7 j hay m =-5,m =1.

Vâv rn hai đường ửiẳng cần tìm: y =X- 5,y = X+ 1 .

TIẾP TUYẾN CỦA Đđ THỊ HÀM số 2 .

- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M(x0;y0)/ hoặc hoành độ

x0, hoặc tung độ y0.

- Viết phương trình tiêp tuyêh khi biết tiếp tuyên đi qua điểm A(xA;yA) cho

trước.

- Viết phương trình tiêp tuyên khi biết hệ số góc của nó.□ Phương pháp:

Cho hàm SỐ y = f (x) có đổ thị'-(c) và M(x0;y0) ỉà điêỉtn trên (c ) . Tiêp tuyên vói

đồ thị (c) tại M(x0;y0) có:ế

25





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


26/165

- Hệ sô'góc: k = f'(x0)

- Phương trình: y - y0 = k(x - x0), hay y - y0 = f ’(x0)(x - x0)

Vậy để viết được phưang trinh tiêp tuyến tại M(x0;y0) chủng ta cẩn đủ ba yêu

tô'sau:

- Hoành độ tiêp điểm: Xq- Tung độ tiệp điểm: y0 ( Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm

sổyo=f(xo))

- Hệ sô'góc k = f’(x0)

Dạng 1. Viết phương trinh tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm

Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tọa độ tiếp điểm M(x0;y0) , hoặc hoành độ

x0, hoặc tung độ y0.

Bài,toán 1. Viết phưong trình tiêp tuyêh của đổ thị hàm số y = f(x) tại điềm

M(xo;f(xo))-

Giải.

Tiếp tuyến của đồ thị hàm 'số y = f (x) tại M(x0;y0) là:

y = f ' (x ổ ) ( x - x 0 ) + y 0

Bài toán 2. Viết phưcmg trình tiếp tuyên của đồ thị hàm sô' y = f (x) biết hoành độ

tiếp điếm X = x0.

Giải:

Tính y0 =f(x0), y’(x0) => phương trình tiếp tuyến:

y = f ’(x0)(x -x 0) + y0

Bài toán 3. Viết phương trình tiếp tuyêh của đổ thị hàm số y = f (x) biết tung độtiếp

điểmbằng

y0.Giải.

Gọi M(x0;y0) là tiếp điểm

Giải phương trình f (x0 ) = y0 ta tìm được các nghiệm Xq ,

Tính y '(x0) => phương trình tiếp tuyến: y = í'1(x0)(x - x0) + y0

26





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


27/165

Dạng 2- Viết phương trình tiếp tuyến khi biết tiếp luyến đi qua _____ điếm cho tnrớc I

Viết phưong trình tiêp tuyến khi biết tiêp tuyên đi qua điểm A (x A; y A ) cho trước

Giải:Gọi M(x0;y0) là tọa độ tiêp điểm. Khi đó tiếp tuyến tại M có dạng:

y = f ( x 0) ( x - x 0) + y 0

Vì tiếp tuyến đi qua A nên có: yA= É'(xo)(xA - x o) + yo' siài phương trình này

ta tìm được x0, suy ra phương trình tiếp tuyên.

Dạng 3. Viết phương trình tiếp tuyến lehi biết hệ số góc cho trước

- Tiêp tuyên song song với đường thẳng (d ): ax + by + c = 0

- Tiêp tuyên vuông góc với đường thẳng (d): ax + by T c = 0

- ■Tiêp tuyên cùng vói đường thẳng (d): ax + by + c = 0 tạo thành góc ọ .

Ví dụ 1. Cho hàm số y = X3 - 2x2 + X+ 4 có đổ thị (c). Lập phương trình tiếp tuyến

của đổ thị hàm sô'biết tiếp tuyêh đi qua điểm M(—4;-24).

Lời giải.

Hàm số đã cho xác định và liên tục trên K.Giậ sử tiếp tuyến cần tìm tiếp xúc với đô thị (c) tại điêm có hoanh độ Xq khi

đó phương trình tiếp tuyến (a) có dạng:

y = y’(x0)(x -x 0) + y(x0) = ̂ 3x0 -4 x0 + lj ( x -x 0) + x§ -2 x ị +x0 +4

Vì (A) đi qua điểm m (-4;-24) nên:

-24 =^3x0 —4x0 + l j ( -4 - x 0) + XQ-2xị) + x0 +4

xị + 5X0-8 x0-12 = 0 o x 0 = -6 hoặc Xq=-1 hoặc Xq=2.

- Với x0 = -6 thì phương trình tiếp tuyến là y = 133x + 508

. - Với x0 = -1 thì phương trình tiếp tuyến là y = 8x + 8

- Với XQ= 2 thì phương trình-tiếp tuyến là y = 5x - 4

Vậy, có ba phương trình tiếp túyến cần tìm là: y = 133x + 508; y = 8x + 8; y = 5x - 4.





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


28/165

Mở rộng: Cho hàm số y = X3 - 3x2—9.X+ 11 có đồ thị lả (c). Lập phương trìn

tiếp tuyến của đồ thi hàm số biết tiếp tuyển đi qua điểm l ( — ;184Ì.V 3 )

Gợi v:

Giả sử tiếp tuyến càn tìm tiếp xúc với đồ thị (c) tạị điểm có hoành độ x0 kh

đó phương trình tiếp tuyến (a ) có dạng:

y = y’(x0)(x -x 0) + y(x0) = ̂ 3xồ -6 x0 - ^ ( x - x ^ + xỗ -3x g-9 x0 + ll

Vì (A) đi qua điểm iỊ —̂ ;184^ nên:

184 = ^3xq - 6 x 0 - 9 j ^ - y - x 0j + x J - 3 x ^ - 9 x 0 + n

2xq - 32X0 + 58x0 + 260 = 0 » x 0 =13 hoặc x0 = 5 hoặc x0 = -2.

- v,cfi x0 = 13 thì phương trình tiếp tuyến là y - 42ỮX - 3876

- Với x0 = 5 thì phương trình tiếp tuyến là y = 36x -164

- Vói x0 = -2 thỉ phương trình tiếp tuyến là y = 15x + 39

Vậy có ba phương trình tiếp tuyến cần tìm ià:

y = 42ŨX - 3876; V = 36x -1 6 4 ; V = 15x + 39 '

Ví dụ 2. Cho ham sô y = -X3 + 3.X-2, có đồ thị là (c). Tìm tọa độ các điêrn trên

đường thẳng y = -4 mà từ đó có thể kẻ đền đổ thị.(c) đúng hai tìêp túyến.

Lời giải

Hàm số đã cho xác định và ỉiên tục trên a.

Gọi A là điểm nằm ừên đườne thẳne V= -4 nên A(a;-4).

Đường thẳng A qua A yởi hệ số góc k có phương trình y = k (x -a )-4

Đường thẳng A tìép xúc vói đồ thị ( c) khi và chỉ khi hệ phương trình sau có nghiệm

j - x 3 + 3 x - 2 = k ( x - a ) - 4 j x 3 - 3 x - 2 = 3 (x2 - l ) ( x - a )

Ị-3x2 +3 = k |-3x2 + 3 = k

j(x + l)Ị 2̂x2 -(3a + 2)x + 3a + i ị = 0 (l)

j-3x2+3 = k(2)

28





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


29/165

Phuongtrinh (1) won«đưongvới: ^ Ị =2x2_ (3a+2)x+3a+2 = 0X= 1

Qua A kẻ được hai tiếp tuyến đến (c) khi và chỉ khi (2) có 2 giá trị k khác nhau, khi

đó (1) có đúng 2 nghiệm phẳn biệt xl tx2, đồng thòi thỏa k-j = -3xỊ + 3, k2 = -3X2 + 3

có 2 giá trị k khác nhauTrường hợp 1:

g(x) phải thỏa mãn có một nghiệm bằng -1 và nghiệm khác -1 hay

g 3a + 2 j 6a +6= 0 =>a = - l kiểm tra (2) thấy thỏa.. 2

Trường hợp 2:

g(x) phải thỏã mãn có một nghiệm kép khác -1 hay

Lập phương trình tiếp tuyến của đồ thị (c) sao cho tiếp tuyến cắt đường tiệm cận

đứng và tiệm cận ngang của đồ thị (c) lần lượt tại E, F và chu vi AIEF = 5 + V17 .

Gợi ý:

Vậy, các điểm càn tìm là A(-1;- 4), A(2;-4) hoặc

Mở rông : Cho hàm số ỵ = ———có đô thị (c) và giao đi êm hai tiệm cận là I.

ĩ 2 }Vì (a ) cắt tiệm cận đứng tại E 2; 2+— và tiệm cận ngang tại F(2x


30/165

PAIEF = IE + IF + EF = IE + IF + VlE2+IF2

Ví dụ 3. Cho hàm sô' y = (c) và đường thẳng (đm) : ỵ = 2x + m. Tưn m đểđườr.

*ẳns cắt (c) tại hai điêrn phân biệt A, B sao cho tâm đổi xứng I của (c) cácđều hai tiếp tuyến vói (c) tại các điêm A, B.

D = R\{2}.

Hoanh độ giao điêm của đường thăng (đm) và (c) ỉà nghiệm của phương

trình ~ ~ = 2x + m o 2x2 + (m - 5)x - 2m - 3 = 0 (Vx * 2)

(^m) (*•“) tại hau đi êm phân biệt A, B kill và chỉ khi phưomg trình trêĩ

có hai nghiệm phân biệt khác 2 nên phải có:

Mở rộng: Cho hàm số y = x4- x 2 +l, cỏ đồ thị là (c). Tìm trên đồ thị (c)

những điểm A sao cho tỉểp tuyến tại À cẳt (c) tại hai điểm B, c khác A vàB, c nằm về 2 phía đối vói A .

Lòi giải

30





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


31/165

Gợi ý:

Gọi A Ịa;a4 - a2 +1 j là điểm thỏa mãn đê' bài.

Ta có: y' = 4x3 - 2 x . Phương trình tiếp tuyến (d) của (c) tại A là:

y = ̂ 4a3 -2 a j( x -a ) + a4 - a 2 +1

Phướng trình hoành độ giao điêm của (d) và (c ) là:

X4 -X2 +1 = ̂ 4a3 -2 a j(x -a ) + a4 - a 2 +1 (x-a)2(x2 + 2ax + 3a2 - a j = 0

ó X= a hoặc g{x) = X2 + 2ax + 3a2 - a = 0

Theo bài toán thì g(x) = 0 có 2 nghiệm phân biệt XJ,X2 sao cho :

ỈA’= -2a 2 + a > 0 1X-J < a < x2 > rto 0 < a < 7 '

Ị(Xl-a)(x2-a)


32/165

m + 5 +

m + 5 +

(3Xj - 6x1+ in - 4)'+ (3x* - 6x2 + m - 4)

(3xj'-6xj +m -4)(3x^'-6x2+ m -4 )

4(4 -m ) 1 / 2I ' - Qo m + 5 — = 0 o m + 5 = 1 »

i-4 M m + 5) m + 5

m = -4

m = -64(m -4)(m + 5)

Đối chiếu điều kiện, ta thấy m = -6 và m = -4 thỏa bài toán.

Mở rộng: Tìm m để đường thẳng (d): y = 2x + m cắt đổ thị ( c ) : y = —■*■" tại hai

điêm phân biệt sao cho tiếp tuyên của (c ) tại hai điêm đó song song với nhau.

Gợi ý:Phương trình hoành độ giao điểm:

+ ̂ = 2x + m 2x2 + (m - 6)x- (2m + 3) = 0,x5*2 (*)

(d) cắt (c) tại 2 điểm phân biệt khí và chỉ khi phương trình {*) có hai

nghiệm phân biệt và khác 2

' ÍA > 0 2° ỉ ( ) +8(2m + 3)>0 m2 + 4m + 60>0 (ỉuôn đúng).

Với Vm e l thì đường thẳng cắt đồ thị hàm số tại hai điểm có hoành độ Xị * x2 .

rp , 6 -mla c ó x ,+ x , = ———.1 2 2

Tại hai giao điểm kẻ hai tiếp tuyến song song khi và chỉ khiy'(x1) = y'(x2) o x 1+x2 =4 o m = -2.

Bồi tập tự luyện:

Bài tập 1. Viết phương trình tiếp tuyêh của đổ thị hàm sô': y = X3 - 3x2 + 2

a. Tại điểm (2; - 2) b. Tại điểm có hoành độ X= - ĩ

c. Tại điểm có tung độ y = -2 đ. Tại giao điểm của đồ thị với y = X-1

Bài tập 2. Viêt phương trình, tiêp tuyển với đổ thi hàm số: y - —— , biết

X —1a. Hệ số góc của tiêp tuyên bằng -2

b. Tiếp tuỵêh song song với đường thẳng (d ): X+ 2y = 0

c. Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng (a ) : 9x ~ 2y +1 = 0

Bài tập 3. Viết phương trình tiếp tuyến của đổ thị hàm số :

a. y = X3 - 6x2 + ll x - 1 tại điểm có tung độ bằng 5.

32





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


33/165

1 , 1 o 4 . , , b. y =—X + —X - 2x - —, biet tiep tuyên vuông góc với đường thang À :

x + 4 y - l = 0

gài tập 4. Cho hàm sô': y = X3 -(m - l)x2 + (3m + l)x + m - 2 . Tìm m để tiếp tuyên

của đồ thị hàm sô' tại điểm có hoành độ bằng 1 đi qua điếm A (2 ; - l) .

Bài tập 5. Cho hàm sô': y - X3 -3mx2 -x + 3m có đổ thị (Cm). Định m để (Cm)

tiêp xúc vói trục hoành.

Bài tập 6. Cho hàm số: y = X4 + X3 + (m - 1) X2 - X- m có đổ thị (Cm ). Định m để

(Cm ) tiêp xúc với trục hoành.

Bài tập 7. Cho hàm sô' y = (2 - x)2 X2, có đồ thị ( c ) . Viết phương trình tiếp tuyên

của (c ) :

a. Tại giao điểm của (c) với Parabol y = X2 .

b. Tiếp tuyên đi qua điêm A(2;0).

Bài lập 8. Cho hàm số : y = X3 -(m + l)x2 -^2m2 -3m + 2jx + 2m(2m - l ) . Tìm m để:

a. Đổ thị ( c m ) tiếp xúc vói trục hoành.

b. ĐỔ thị (Cm) tiếp xúc với đường thẳng y = -49X+ 98.

Bài tập 9. Cho hàm sô': y = 2x4 - 4x2 -1 có đổ thị là (c ) . Viết phương trình tiếp

tuyên của (c):

a. Biết tiếp tuyên vuông góc với đường thẳng : X- 48y + 1 = 0.

b. Biết tiếp tuyến đi qua A (l;-3 ).

c. Biết tiếp tuyên tiếp xúc với (c) tại hai điểm phân biệt

X+ 2Bài tập 10. Viết phương trình tiếp tuỵêh d với đổ thị ( c ) : y = —— biết d đi qua

điêm A (-6; 5).

^ 2x +1Bài tập 11. Viết phương trình tiếp tuyến d cua đổ thị ( c ) : y = —— biết d cách

đều 2 điểm Ạ (2; 4) và B(-4;-2).

Bài tập 12. Cho hàm số y - X4 - 4x2 + 3, có đổ thị ( c ) . Viết phương trình tiếp tuyến

của (c) đì qua điểm A(0;4) có hệ số góc m , biết tiêp tuyên tiếp xúc vói (c) tại

bôn điểm phân biệt

33





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


34/165

Bài tập 13. Cho hàm số: y = 2x + 2 có đồ thị ( c ) . Viết phương trình tiêp tuyến biết

a. Tiêp tuyên có hệ số góc bằng -1. b. Tiếp tuyến song song với đường thẳng đ : y = -4x +1.

c. Tiếp tuyến tạo với 2 trục tọa độ lập thành một tam giác cân.

d. Tiếp tuyến tại điếm thuộc đổ thị có khoảng cách đên trục Oy bằng 2.

Bài tâp 14. Cho hàm số y = 2x~ \ có đổ thi ( c ) . Viêt phương trình tiếp tuyên củaX —1 v

đổ thị (c ) .

a. Tiếp tuyến có hệ sô'góc bằng .

b. Tiếp tuyên tạo vói hai tiệm cận một tam giác có chu vi nhỏ nhất.

c. Khoảng cách từ l(l;2) đên tiếp tuyến là lớn nhất.

d. Tiếp tuyên của (c) tạ i M vuông góc với đường thẳng IM.

Bài tập 15. Viết phương trình tiếp tuyên (d) của (c) tại điểm M thuộc (c):

y = x4 - 2x2 -1 sao cho (d) vuông góc với AM, biết a Ịo;— j

Bài tập 16. Tìm tất cả các giá trị của k đế tổn tại 2 tiếp tuyêh với (c ):

= X3 + 6x2 + 9x + 3 phân biệt và có cùng hệ số góc k , đồng titled đương thẳng đi

qua các tiếp điểm của 2 tiếp tuyến đó với (c) cắt các trục Ox,Oy tương ứng tại

A, B sao cho OB = 2012.0A .

Bài tập 17. Viết phương trình tiêp tuyến d của ( c ) : y = X4 -X 2 + —, biết d cắi

trục hoành , trục tung lần lượt tại A và B sao cho OA < OB, sao cho diện tích

tam giác OAB bằng —và khoảng cách từ o đến d bằng

Bài tập 18. Viết phương trìứh tiếp tuyến d của ( c ) : y = x + ̂ sao cho tiếp tuyên tại

M của ( c ) : (x +1)2 +(y - 1)2 = — cũng là tiếp tuyên của (c) .

Bài tập 19. Gọi M là điểm bâ't kì trên (c) của hàm sô' y = ——- và I là giao đi&n 2

đường tiệm cận. Tiêp tuyên (d) của (c) tại M cắt 2 đường tiệm cận tại A và B.

Tìm tọa độ điểm M sao cho đường tròn ngoại tiếp tam giác IAB có diện tíchbằng 2n.

34





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


35/165

Bải tập 20. Lập phương trình tiếp tuyên của đồ thi (c) : y = 2x + 3 tai nhữne điểmx + 1 '

thuộc đổ thị có khoảng cách đến đường thẳng ( d ): 3x + 4y - 2 = 0 bằng 2.

Bài tập 21. Tìm tâ't cả các điểm trên đường thẳng 30x - 24y + 61 = 0 để từ đó kẻ đến rị

đồ thị (c) : y = + 2x + —kẻ 3 tiêp tuyên tưcmg ứng với 3 tiếp điểm có3 2 3hoành độ X1/X2/X3 thỏa Xj < x2


36/165

Bài tập 30. Cho hàm số y = --X 3 +X -- có đổ thị là (c ): Gọi M là điểm thuộc đổ thị

(c) có hoành độ x = 2 . Tim các giá trị của m để tiếp tuyền với (c) tại M song

, * V , i J { _ 2 9m + 5song với đưòngthăng d : y = Ịm - 4 jx +———

Bài tâp 31. Cho hàm số : y = 2x + * có đổ thị là (c). Tìm điểm M thuộc (c) sao chox-1

tiếp tuyên của (c) tại M cùng vói 2 đường tiệm cận của (c) tạo thành một tam

giác có chu vi bằng 8 + 2-v/ĨÕ.

Bài tập 32. Cho hàm sô': y = X3 - 3x + 2 có đổ thị là (c ). Tìm toạ độ đỉểm M thuộc

đường thẳng (d)có phương trình y = -3x + 2 sao cho từ Mkẻ được hai tiếp

tuyến tói đổ thị (c ) và hai tiếp tuyên đó vuông góc với nhau.

Bài tập 33. Viết phương trình tiếp tuyến chung của hai đường cong

( c ) : y = X3 +1 và ( c ) : y = X2 + X.

Hướng dẫn giảiBài tập 1. Hàm sô' đã cho xác định vói Vx € R .

Gọi Mọ (x0;y0) là tọa độ tiếp điểm và y0 = y(x0) = Xg -3xq + 2

y ' = 3x2 - 6 x , tiêp tuyêh tại điểm M0 có h ệ sô'gỏc: y ’(x0) = 3xg - 6x0

a. T a có :x a =2 =>y'(2) = 0.

Phương trình tiếp tuyến tại điểm M(2;-2) : y - 0(x - 2) - 2 = -2

b. Ta có: x0 =-!=> y0 =-2 ,y ’(-l) = 9

Phương trình tiếp tuyến: y = 9(x + l ) - 2 = 9x + 7

c. Ta có: y0 = "2 => Xq - 3xq + 2 = -2 xị - 3xq +4 = 0

Cí>(x0 + l)(x0 - ì f - 0 Xq = -1 hoặc Xq = 2

Phương trình tiếp tuyên tại điểm. (-1; -2): y = 9x + 7

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (2; - 2): y = -2Vậy, có 2 tiêp tuyến thỏa mãn đề bài: y = -2, y = 9X+ 7.

đ. Phương trình hoành độ giao điểm : X3 - 3x2 + 2 = X-1

X3 - 3x2 - x + 3 = 0 (x -3) Ị x2 - l j = 0 o x = 3 hoặc X= ±1

Phương trình ỉdêp tuyêh tại điểm (-1; -2): y = 9X+ 7

36





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


37/165

Phương trình tiêp tuyến tại điểm (l; o): y = -3x + 3

Phương trình tiếp tuyến tại điểm (3; 2): y = 9x - 25

Vậy, có 2 tiêp tuyên thỏa mãn đề bài: y = 9x + 7, y = -3x + 3, y = 9x - 25.

~ 2 ( x - l ) - 2 x -2

Bài tập 2. Ta có: y' = — ----- — = -------- —r (* - • ) (x - l f

Gọi M(x0;y0) là tọa độ tiêp điểm, ta có hệ sô'góc tiêp tuyến tại M bằng

y '(xo )= r ^K - 1)

a. Theo giả thiết ta có: y'(x0) = -2 ■£>— — - = -2f a - 1)

/ \2 fxn —1 = 1 xo = 2 =>yo = 4Xq =0 => yữ =0

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đề bài: y = -2x + 8, y = -2x

—2 1 2 1 b. Theo giả thiết ta có:----- —— = --- o (x0 - 1) - —

(x0 - l f 2 ' *

1 27 1 7Vậy, có 2 tiêp tuyên thỏa đê bài: y = - —x +— , y - - —X—

—2 2 2 1c. Theo giả thiết ta có: ----- —— = - —(xn - l ) = —

(*0,-i)2 5 9

Vậy, có 2 tiêp tuyên thỏa đề bài: y = - — X +— , y = X+ — 9 9 99

Bàí tập 3

a. Ta có: y = 5 .0 X3 - 6x2+ ll x - 6 = 0x = l hoặc X= 2ho ặc X = 3

Phương trình các tiếp tuyêh: y = 2x + 3, y = -X + 7, y = 2x -1 .

*'■ ’ 1 1 b. Tiếp tuyến vuông góc với đường thăng x + 4 y - l = 0 o y = - — X+ — =>tỉềp

V- ^

DC VỞ1 đường tíiãng x + 4 y - l = u o y = -

.. T■■tuyên có hệ sốg óc k - 4

Phưcmg trình các tiếp tuyên: y = 4x + —, y = 4 x - ^ .6 3

Bài tập 4. Hàm sô' đã cho xác định với Vx € R .

Tacó: y’= 3x2 - 2 (m - l )x + 3m + l

Với X= X=> y (1) = 3m +1 => y '(1) = m + 6 *

37





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


38/165

Phương trình tiếp tuyến tại điêm có X= 1: y = (m + 6) (x - 1) + 3m +1

Tiếp tuyên này đi qua A (2; - l) nên có: -1 = m + 6 + 3m +1 m = -2

Vậy, m - -2 là giá trị cẩn tìm.

Bài tập 5. (Cm ) tiếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ Xq khi và chi khi hệ

phương trình:Ị xq - 3mXộ - X+ 3m = 0 cón ghiệm Xo ^ ^ Ị x 0( * ẫ - l ) - 3 n ( x ị - l ) - 0 •

[3X0 - 6mx0 -1 = 0 [s x g -ó m x ọ -^ o

í(x §-l )(x0 - 3m) = 0 !có nghiệm x0 Ỹ ' có nghiệm x0 => m = ±—

[3 xq - 6mx0 -1 = 0 3

Bài tập 6.(Cm) tíếp xúc với trục hoành tại điểm có hoành độ Xq khi và chỉ khi hệ

phương trình: cónghiệm|4 xq + 3xg + (m - l)x0 -1 = 0

' ' * | XỔ(xo “ 1) + xo(xỔ -1) + m (xỔ -1) = °< v \ v / \ ) rá nghiệm x0.Ị4xq + 3 xq + ( m - l ) x D- 1 = 0

Í(x§ -l)(x5 +x 0 +m) = 0 1■) ’ ' có nghiệm xn => m = -5;m = -1; m = —

[4X0 + 3xq + ( m - l ) x 0 - 1 = 0 4

Bài tập 7. y = X4 - 4x3 + 4x2 => y ’ = 4x3 - 12x2 + 8xa. Phương trình hoành độ giao điểm:

X4 -4 x 3 +4x2 =x2 o x 2Ịx2-4x + 3j = 0 O x = 0,x = l,x = 3

* Với X= 0 phương trinh tiêp tuyên: y = 0

* Với X= 1 phương trình tiếp tuyên: y = 1 .

* Với X= 3 phương trình tiếp tuyên: y = 24x - 63

b. M (x0; y0 ) e (c ) . Tiếp tuyên (t) của (c) tại M (x0; y0 ) :

y = (^xo “ 12x0 + 8x0 j.(x - x0) 4- Xq (x0 - 2)

A(2;0) e (t) o (2 - x0)(3x* - lOxị + 8x0) = 0 o x0 = 0,x0 = 2,x0 = I

* Vói Xg —0 => y(o) = 0,y0 = 0=> phương trình tíếp tuyên y = 0

* Với x0 = 2 => y '(2) = 0,y o = 0 phươn g trình tiếp tuyền y = 0

38





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


39/165

* Với x = —=> y3

—Tr,Vn = — => phươ ng ữình tiếp tuyến y = - - ^ x + — ■27 70 81 27 27

Bải tập 8

a.Ta có: X3 -(m + l)x2 - ^2m2 - 3m + 2j X+ 2m (2rr\ - 1) = 0

c>{x-2)|̂ x2 -( m - l) x -m ( Z m - l) j = 0 m = —,m = -2,m = —

b. Ta có: X3 - (m + l)x2 - Ị2m2 - 3m + 2 j X+ 2m (2m - 1) = -49x + 98

(x-2)ị^x2 - (m - 1)X- m(2 m- 1) + 49J = 0 m = 5, m = , m =

Bải tập 9. Ta có : y ' = 8x3 - 8x

Gọi M(x0;y0)e (c ) . Tiêp tuyên A tại M có phương trình:

a. Vì tiêp tuyên vuông góc với đường thẳng X - 48y + 1 = 0 nên có:

y’(x0) . ^ = - 1 « y'(x0) =-48 - x0 + 6 = 0 x0 =-2 => y0 = 15

Phương trinh A: y = -48(x + 2) +15 = -48x -81.

b. Vì tiêp tuyến A đi qua A(l;-3) nên có -3 = ̂ 8xg - 8x0 j(l - x0 ) + 2 x q - 4xg -1

o 3 x q - 4 x q - 2 x q + 4 x 0 - 1 = 0 ( x 0 - l ) 2 ( x 0 + l ) ( 3 x 0 - l ) = 0

* x0 =+!=> A:y = -3

, _ 1 A 64 51* xfì = — => A : y = —— X ———

0 3 27 81

c. Giả sử A tiếp xúc với(c ) tại điểm thứ hai N |n;2n 4 -4 n 2 - l j

Suy ra: A: y = |8n3 -8 n j( x -n ) + 2n4 -4 n 2 -1

+ n2 -1 = 0

Ta< o _ 9

y = (8xJ - 8x0 )(x - Xq) +2xị -4x^-1

Xq + xỡn + n2 -1 = 0

3X0 + 3n2 - 2

(II)





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


40/165

2 2 _ 2

Xn + n = — 0 3

1xnn = — 0 3

hệ này vô nghiệm.

Bài tập 10. Cách 1: Gọi (x0;y là tọa độ tiêp điểm của tiếp tuyên d và (c), vó

Xn+2y(xQ)= ■}, tiếp tuyên d có hệ số góc y ’(x0) =

x0 -2(x0

phương trình: y =(x0 -2)

(x- xo)Xọ*2x0-2

à đi qua điếm A (-6; 5) nên có 5 = -x 0 " 2

phương trình này(*0-2 )2

tương đương với Xp - 6x0 = 0 « XQ= 0 hoặc x0 =6* Với x0 = 0, ta có phương trình: y = -X -1

X 7* Với x0 = 6, ta có phương trình: y = + —

Vậy, có 2 tiếp tuyên thỏa đề bầi y = -X -1 , y = .4 2

Cách 2: Phương trình d 4i qua A(-6;5) có hệ số góc k , khi đó d có phương

trình là :y = k(x + 6) + 5

d tiêp xúc (c) tại điểm có hoành độ Xq khi và chi khi hệ :

Xo+2k(x0 +6) + 5 = - ^ _

ị cớ nghiệm Xq hayk =

‐

4x§'-24x0 =0

k = — _4 ___ có nghiệm Xg

K - 2 )

Xq = 0, k = - 1 => d : y = - X - 1

x0 =6/ k = - —=>d: y = - —+ — 4 4 2

Vậy, có 2 tiếp tuyến thỏa đềbài y = -x-1, V =4 2 '

Nhận xét 1: Qua cách 1 ta thây đường thẳng d : y = -X -1 luôn tiêp xúc vói (c)

tại tiếp điếm M (0;-l} và đường thẳng d luôn vuông góc với đượng thẳng IM

với I là giao điẻm 2 đường tiệm cận.

40





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


41/165

Qua đó ta có bài toán sau:

và tiếp tuyến

tại M có hệ sô'góc y’(x0) = ----------, x0 * 2.(x0 - 2)'

(x0 -2 ) r (x0 -2 )2= -1 hay (x0 - 2)4 -16 «■ Xq = 0 hoặc Xq = 4

■ Vậy, (0 ;- l) , M2 (4; 3) là tọa độ cẩn tìm.

* Nhận xét 2: DỄ thây, tiếp tuyến tại M1/ M2 song song với nhau, hơn nữa

đường thẳng qua 2 điêm Mp M2 song song với đường phân giác thứ nhâ't của

mặt phẳng tọa độ tức là tiếp tuyến tại M ly M2 có hệ số góc là y ’(0) = y ’(4) = -1

* Qua đó ta có bài toán sau: f ' X+ 2Giảsử đường thẳng A : X~ y-m = 0 cắt ão thị y = ——— tá 2 ẩiấnphân biệt Mị, M2.

1 Gọi kp k2 lần lượt lã hệ sô'góc của dp ả2 tại Mị, M2- Tìm tọa độ Mị, M2 sao cho

dị, d2 ỉà tiẽp tuyếh của âô thị và k1+k2 = -2 .

2. Tun giá trị m e t để tiẽp tuyeh tại Mp M2 song song với nhau.

Bài tập 11. Gọi m (x0;y(x0)) , x0 *-1 là tọa độ tiêp điểm của đ và (c)

Vì d cách đều A, B nên d đi qua trung điểm của AB hoặc song song

với AB.

Khi đó d có hệ số góc y '($0 ) “ -----

— 2■■ (*0+1) và có phương trình là :

41





B

Ồ

I

D

Ư

Ỡ

N

G T

O

Á

N

-

L

Í

-

H

Ó

A

CẤ

P

2

3

1

0

0

0

B

T

R

Ầ

N

H

Ư

N

G

Đ

Ạ

O

T

P

.

Q

U

Y

N

H

Ơ

N


42/165

THI: d đi qua ưung điểm l (- l; l) , thì ta luôn có:

1 =(x0+1)

(‐1 - xn ) + 2 - -—-— , phương trình này có nghiệm x0 = 1v X n+ 1

1 5Với x0 = 1 ta có phương tr�

Documents

KIẾN THỨC ÔN TẬP VÀ KINH NGHIỆM LÀM BÀI THI ĐẠT ĐIỂM 10 MÔN TOÁN (QUYỂN HẠ) - NGUYỄN PHÚ KHÁNH (TRÍCH ĐOẠN)