Kinematika hmotn´eho bodu - karlin.mff.cuni.czpposta/azsmart/02khb.pdf · Kinematika hmotn´eho bodu (test version, not revised) Petr Poˇsta [email protected] 17. ˇr´ıjna

Kinematika hmotneho bodu(test version, not revised)

Petr [email protected]

17. rıjna 2009

ObsahHmotny bod, poloha a vztazna soustavaTrajektorie. DrahaPolohovy vektor. PosunutıRychlostZrychlenıPrıklady pohybu

Rovnomerny prımocary pohybRovnomerne zrychleny pohybRovnomerne zpomaleny pohybVolny pad, svisly vrh

Skladanı pohybu. Princip superpozicePohyby v tıhovem poli Zeme

Vrh vodorovnyVrh sikmy

Pohyb po kruzniciRovnomerny pohyb po kruzniciNerovnomerny pohyb po kruznici

Mechanikazakladnı pojmy

Teleso

TelesoVe fyzice oznacuje teleso urcitou cast prostoru, ktera jenejakym zpusobem ohranicena, a ktera obsahuje latku.

Rozlisujeme nasledujıcı skupenstvı latky:

I pevne

I kapalne

I plynne

I plazmu

Teleso

TelesoVe fyzice oznacuje teleso urcitou cast prostoru, ktera jenejakym zpusobem ohranicena, a ktera obsahuje latku.Rozlisujeme nasledujıcı skupenstvı latky:

I pevne

I kapalne

I plynne

I plazmu

Teleso


I pevne

I kapalne

I plynne

I plazmu

Teleso


I pevne

I kapalne

I plynne

I plazmu

Teleso


I pevne

I kapalne

I plynne

I plazmu

Teleso


I pevne

I kapalne

I plynne

I plazmu

Teleso

Homogennı (stejnorode) telesoTeleso, ktere ma ve vsech mıstech stejne slozenı (v sirsımsmyslu stejne fyzikalnı vlastnosti). Nehomogennı telesooznacujeme take jako teleso heterogennı.

Izotropnı telesoTeleso, ktere ma ve vsech smerech stejne stejne (fyzikalnı)vlastnosti. Nenı-li tomu tak, oznacujeme jej jako telesoanizotropnı.

Mechanika

MechanikaMechanika je obor fyziky, ktery se zabyva mechanickympohybem, tedy premıst’ovanım teles v prostoru a case azmenami velikostı a tvaru teles. Delı se na

I kinematiku (popis pohybu)

I dynamiku (prıciny pohybu, souvislost pohybu a sil)

I statiku (spec. prıpad dynamiky studujıcı rovnovahu sil)

O cem bude postupne rec o

I kinematice a dynamice hmotnych bodu

I mechanice tuhych teles

I mechanice kapalin a plynu

I deformacıch pevnych teles (pusobenım sıly)

Mechanika










Mechanika










Mechanika










Kinematika hmotnehobodu

zakladnı pojmy

Kinematika hmotneho bodu

Kinematika

I Z reckeho kinein (pohybovat se)

I Kinematika popisuje pohyb, nikoliv jeho prıciny

Hmotny bod

I Pohyb telesa muze byt slozity: posuvny, rotacnı, telesomuze menit tvar

I Pokud nas zajıma jen posuvny pohyb a rozmery telesajsou nepatrne ve srovnanı se vzdalenostmi, ktere pripohybu urazı, muzeme jej povazovat za bod.

I Hmotny bod je fyzikalnı model telesa, ktery zanedbavajeho rozmery (cinı z nej bod), ale zachovava jehohmotnost (bodu prirazujeme skutecnou hmotnost telesa).


Kinematika



Hmotny bod





Kinematika



Hmotny bod





Kinematika



Hmotny bod





Kinematika



Hmotny bod





Kinematika



Hmotny bod





Kinematika



Hmotny bod




Relativnost pohybu

Kdy reknete, ze se teleso pohybuje?

I Kdyz se od vas blızı nebo vzdaluje

I Kdyz se za nım musıte otacet

=⇒ kdyz vuci vam menı svou polohu=⇒ musıme umet vhodne popsat polohu a jejı zmenu v case

Vztazne teleso

I Pohyb musıme popisovat vuci necemu (sobe, zemi,Slunci, hvezdam, ...)

I Teleso, vuci nemuz pohyb popisujeme, nazvemevztaznym telesem

Relativnost pohybu





Vztazne teleso



Relativnost pohybu





Vztazne teleso



Relativnost pohybu




=⇒ kdyz vuci vam menı svou polohu

=⇒ musıme umet vhodne popsat polohu a jejı zmenu v case

Vztazne teleso



Relativnost pohybu





Vztazne teleso



Relativnost pohybu





Vztazne teleso



Relativnost pohybu





Vztazne teleso



Relativnost pohybu





Vztazne teleso



Relativnost pohybu

Je mozne, aby teleso bylo vuci druhemu telesuv klidu a vuci tretımu v pohybu?

I Ano. Clovek sedıcı v jedoucı tramvaji se pohybuje vucizemi, ale vuci tramvaji je v klidu.

I Pohyb je relativnı. Popis pohybu zalezı na volbevztaznych teles.

Muze byt obtızne vyrovnat se s faktem, ze fyzice ”je jedno”,

jestli vy spolecne s tramvajı jedete stojıcı krajinou (coz je

prirozene), anebo vy a tramvaj ”stojıte”, ale ”vsechno kolem

letı proti vam”. Je to pohled na tutez udalost z hlediska dvou

ruznych vztaznych soustav — v prvnım prıpade pevne spojene

se zemı a ve druhem pevne spojene s vami (a tramvajı).

Relativnost pohybu










Relativnost pohybu










Vztazna soustava

I Vztaznou soustavu tvorı vztazne teleso nebo souborvıce vztaznych teles, spolecne s urcenım merenıvzdalenosti a casu.

I Vztazna telesa mohou byt skutecna (clovek, tramvaj,majak, ...) nebo myslena (bod, soustava souradnic)

Pro prakticke pouzitıvztaznou soustavu nejcasteji urcujeme

I volbou soustavy souradnic a jejım umıstenım v prostoru

I urcenım jednotek, ve kterych jednotlive souradnicemerıme

I urcenım merenı casu

Vztazna soustava slouzı k popisu polohy telesa a jejı zmeny vzavislosti na case.

Vztazna soustava








Vztazna soustava








Vztazna soustava








Vztazna soustava








Vztazna soustava








Vztazna soustava








Vztazna soustava – prıklady

I realna prımka (dopravnı ulohy, svisly vrh/volny pad)

I kartezske souradnice v rovine (sikmy vrh)

I kartezske souradnice v prostoru (pohyb nabitych castic vestarsıch TV)

I polarnı souradnice (pohyb po kruznici)

I sfericke souradnice (gravitacnı/elektricke pole)

I valcove souradnice (magneticke pole dlouhych dratu)

My budeme pouzıvat predevsım kartezske souradnice.

















































Shrnutı

I polohu a pohyb popisujeme vuci vztazne soustave

I budeme pouzıvat vztaznou soustavu urcenou kartezskousoustavou souradnic, v nız jsou urceny jednotkyvzdalenosti na osach a merenı casu (obvyklym zpusobem).

Shrnutı

I polohu a pohyb popisujeme vuci vztazne soustave

I budeme pouzıvat vztaznou soustavu urcenou kartezskousoustavou souradnic, v nız jsou urceny jednotkyvzdalenosti na osach a merenı casu (obvyklym zpusobem).

Obecny vektorovy popis pohybuv dane vztazne soustave

Trajektorie a draha

TrajektorieTrajektorie je krivka (mnozina bodu), kterou hmotny bodopıse pri svem pohybu.

Posuvny (translacnı) pohybPri posuvnem pohybu vsechny body telesa opısı za tutez dobustejnou trajektorii a libovolne prımky pevne spojene s telesemzachovavajı svuj smer vzhledem ke vztazne soustave.

Otacivy (rotacnı) pohyb kolem pevne osyPri otacivem pohybu opisujı body telesa kruznice se stredy naose otacenı a tyto kruznice lezı v rovinach kolmych k oseotacenı.

Trajektorie a draha




Trajektorie a draha




Trajektorie a draha

Draha znacka: s jednotka: metrDraha je skalarnı fyzikalnı velicina, kterou definujeme jakodelku trajektorie.

Draha pri posuvnem pohybuPri posuvnem pohybu urazı vsechny body telesa v temzecasovem useku stejne drahy.

Draha pri otacivem pohybuPri otacivem pohybu mohou ruzne body telesa urazit v temzecasovem useku ruzne drahy; draha, kterou bod urazı, je prımoumerna vzdalenosti od osy otacenı.

Trajektorie a draha




Trajektorie a draha




Od teto chvıle definitivne opustımetelesa a zacneme mluvit pouze

o (posuvnem) pohybu hmotnehobodu.

Pripomenme, ze pohyb popisujemevuci dane vztazne soustave.

Od teto chvıle definitivne opustımetelesa a zacneme mluvit pouze

o (posuvnem) pohybu hmotnehobodu.

Pripomenme, ze pohyb popisujemevuci dane vztazne soustave.

Polohovy vektor

Polohovy vektor je vektor, ktery spojuje pocatek vztaznesoustavy s aktualnı polohou hmotneho bodu. Znacıme jej ~r .

Muzeme rıci, ze:

I pokud se polohovy vektor nemenı, hmotny bod je vucivztazne soustave v klidu,

I pokud se polohovy vektor menı, hmotny bod je vucivztazne soustave v pohybu.

Polohovy vektor zavisı na volbe vztazne soustavy. Takovym

vektorum ve fyzice nekdy rıkame neprave.

Polohovy vektor

Polohovy vektor je vektor, ktery spojuje pocatek vztaznesoustavy s aktualnı polohou hmotneho bodu. Znacıme jej ~r .Muzeme rıci, ze:





Polohovy vektor






Polohovy vektor






Polohovy vektor






Posunutı

Vektor posunutı spojuje pocatecnı a koncovy bod trajektorie,kterou hmotny bod opsal behem daneho casoveho useku.Znacıme jej ∆~r .

Muzeme jej definovat jako rozdıl polohovych vektoru nazacatku a na konci casoveho useku.

I pokud je hmotny bod v klidu, posunutı je nulovy vektor.

Vektor posunutı nezavisı na volbe vztazne soustavy. (Je to stejna

”sipka”. Presneji, ma vzdycky stejny smer i velikost. Muze se

ovsem zmenit vyjadrenı jeho slozek v zavislosti na typu pouzite

soustavy souradnic). Takove vektory ve fyzice nekdy oznacujeme

jako prave.

Posunutı

Vektor posunutı spojuje pocatecnı a koncovy bod trajektorie,kterou hmotny bod opsal behem daneho casoveho useku.Znacıme jej ∆~r .Muzeme jej definovat jako rozdıl polohovych vektoru nazacatku a na konci casoveho useku.






jako prave.

Posunutı







jako prave.

Posunutı







jako prave.

Posunutı

Klıcova uvahaVektor posunutı ma jednu chybu. Je to sipka, a kazda sipkaje prıma! Trajektorie je ale obecne krivka.

Posunutı

Klıcova uvahaVsimnete si ale, ze cım ”mensı” posunutı delame, tım ”lepe”kopırujı tvar trajektorie.

Kratsı posunutı odpovıdajı kratsım casovym usekum.

Zaver: Pohyb je potreba zkoumat na kratickych usecıch, nebot’

je muzeme povazovat za prıme. Cım jemnejsı rozdelenızvolıme, tım vıce se nas popis bude blızit realite.(Existuje matematika, ktera to umı presne.)

Posunutı

Klıcova uvahaVsimnete si ale, ze cım ”mensı” posunutı delame, tım ”lepe”kopırujı tvar trajektorie.Kratsı posunutı odpovıdajı kratsım casovym usekum.



Posunutı




Posunutı




Posunutı




Okamzita rychlost

Okamzita rychlost znacka: ~v jednotka: m . s−1

Okamzita rychlost je definovana jako podıl vektoru posunutı∆~r a casu ∆t, behem nehoz k tomuto posunutı doslo, pricemzcas ∆t bereme ”velmi maly”:

~v =∆~r

∆t, ∆t → 0.

I Vektor ~v ma vzdy smer tecny k trajektorii

Okamzita rychlost

Okamzita rychlost znacka: ~v jednotka: m . s−1

Okamzita rychlost je definovana jako podıl vektoru posunutı∆~r a casu ∆t, behem nehoz k tomuto posunutı doslo, pricemzcas ∆t bereme ”velmi maly”:

~v =∆~r

∆t, ∆t → 0.

I Vektor ~v ma vzdy smer tecny k trajektorii

Delenı pohybu

Podle velikosti okamzite rychlosti

I rovnomerny (velikost rychlosti se nemenı)

I nerovnomerny (velikost rychlosti se menı)

Podle smeru okamzite rychlosti

I prımocary (smer rychlosti se nemenı)

I krivocary (smer rychlosti se menı)

Delenı pohybu







Delenı pohybu







Delenı pohybu







Delenı pohybu







Delenı pohybu







Okamzita rychlostVelikost okamzite rychlosti a draha pohybuVelikost okamzite rychlosti je rovna podılu urazene drahy ∆s adoby pohybu ∆t, pricemz cas ∆t opet bereme ”velmi maly”:

v =∆s

∆t, ∆t → 0.

I V prıpade rovnomerneho pohybu, kdy se velikost rychlostinemenı, nezalezı na tom, jak dlouhy casovy usek bereme.V takovem prıpade je obvykle pocıtat s celkovou drahou sa celkovou dobou pohybu t a pro velikost (okamzite)rychlosti platı

v =s

tTento vztah ale nenı spravny, kdykoliv se rychlostbehem pohybu menı!

Okamzita rychlostVelikost okamzite rychlosti a draha pohybuVelikost okamzite rychlosti je rovna podılu urazene drahy ∆s adoby pohybu ∆t, pricemz cas ∆t opet bereme ”velmi maly”:

v =∆s

∆t, ∆t → 0.

I V prıpade rovnomerneho pohybu, kdy se velikost rychlostinemenı, nezalezı na tom, jak dlouhy casovy usek bereme.V takovem prıpade je obvykle pocıtat s celkovou drahou sa celkovou dobou pohybu t a pro velikost (okamzite)rychlosti platı

v =s

tTento vztah ale nenı spravny, kdykoliv se rychlostbehem pohybu menı!

Prumerna rychlost

Prumerna rychlost jako skalarnı velicinaPrumerna rychlost vp je definovana podılem celkove urazenedrahy s a celkove doby pohybu t.

vp =s

t

I V prıpade rovnomerneho pohybu majı prumerna aokamzita rychlost v kazdem case stejnou velikost

I Vyznam prumerne rychlosti: pokud by se auto pohybovalopo celou dobu pohybu stalou rychlostı rovnou sveprumerne rychlosti behem jızdy, pak by celou cestudokoncilo za stejny cas jako ve skutecnosti.

Prumerna rychlost


vp =s

t



Prumerna rychlost


vp =s

t



Prumerna rychlost

Prumerna rychlost jako vektorova velicinaPrumerna rychlost ~vp je definovana podılem celkovehoposunutı ~s (vektor spojujıcı pocatecnı a koncovy bodtrajektorie) a celkove doby pohybu t.

~vp =~s

t

Prumerna rychlost

Pozor!

I Vektorova a skalarnı prumerna rychlost jsou znacneodlisne veliciny.

I Napr. pri ceste do lekarny a zpet je vase celkove posunutınulove (a vektorova prumerna rychlost je tudız nulova),ale urazena draha nulova nenı, a tudız take vase(skalarnı) prumerna rychlost nulova nebude!

DohodaPrumernou rychlostı bez prıvlastku vzdy mınıme skalarnıvelicinu.

Prumerna rychlost

Pozor!




Prumerna rychlost

Pozor!




Prumerna rychlost

Pozor!




Zrychlenı

Okamzite zrychlenı znacka: ~a jednotka: m . s−2

Okamzite zrychlenı je definovano jako podıl zmeny vektorurychlosti ∆~v a casu ∆t, behem nehoz ke zmene doslo, pricemzcas ∆t bereme ”velmi maly”:

~a =∆~v

∆t, ∆t → 0.

I Zmenu vektoru rychlosti ∆~v urcıme jako rozdıl vektorurychlostı v pocatecnım a koncovem case. Je to tedyvektor.

Zrychlenı

Okamzite zrychlenı znacka: ~a jednotka: m . s−2

Okamzite zrychlenı je definovano jako podıl zmeny vektorurychlosti ∆~v a casu ∆t, behem nehoz ke zmene doslo, pricemzcas ∆t bereme ”velmi maly”:

~a =∆~v

∆t, ∆t → 0.

I Zmenu vektoru rychlosti ∆~v urcıme jako rozdıl vektorurychlostı v pocatecnım a koncovem case. Je to tedyvektor.

Zrychlenı

1. Zrychlenı pri rovnomernem prımocarem pohybu

I Je-li pohyb prımocary a rovnomerny, nemenı se smer anivelikost rychlosti

I Zrychlenı je tudız nulovy vektor

Zrychlenı




Zrychlenı




Zrychlenı

2. Zrychlenı pri nerovnomernem prımocarem pohybu

I Je-li pohyb prımocary, ale nerovnomerny, smer vektorurychlosti se nemenı, ale jejı velikost ano

I Vektor zrychlenı ma v takovem prıpade stejny smer jakovektor rychlosti (to jest prımku, po ktere se hmotny bodpohybuje)

I Vektor zrychlenı vsak muze mıt stejnou nebo opacnouorientaci nez vektor rychlosti

I pri stejne orientaci se velikost rychlosti zvetsujemluvıme o pohybu zrychlenem

I pri opacne orientaci se velikost rychlosti zmensujemluvıme o pohybu zpomalenem

Zrychlenı







Zrychlenı







Zrychlenı







Zrychlenı







Zrychlenı







Zrychlenı

3. Zrychlenı pri rovnomernem krivocarem pohybu

I Je-li pohyb rovnomerny, ale krivocary (prıkladem je pohybpo kruznici), pak se nemenı velikost rychlosti, ale menı sejejı smer. Vektor rychlosti se menı, a tudız takovypohyb ma nenulove zrychlenı.

I Vektor zrychlenı ma v takovem prıpade smer kolmy navektor rychlosti

I neboli smer kolmy na tecnu k trajektoriiI neboli smer normaly k trajektorii

(normala je prımka kolma na tecnu)

Zrychlenı






Zrychlenı






Zrychlenı




I neboli smer kolmy na tecnu k trajektorii

I neboli smer normaly k trajektorii(normala je prımka kolma na tecnu)

Zrychlenı






Zrychlenı

4. Zrychlenı pri nerovnomernem krivocarem pohybu

I smer vektoru rychlosti a vektoru zrychlenı tvorı dveruznobezne prımky, ktere nejsou na sebe kolme

I Vektor zrychlenı rozkladame do dvou slozek:

I ~at tecne k trajektorii (urcuje zmenu velikosti rychlosti)rıka se jı tez tecne zrychlenı

I ~an kolme k trajektorii (urcuje zmenu smeru rychlosti)rıka se jı tez normalove zrychlenı,pri pohybu po kruznici take dostredive zrychlenı.

Zrychlenı






Zrychlenı






Zrychlenı



I Vektor zrychlenı rozkladame do dvou slozek:I ~at tecne k trajektorii (urcuje zmenu velikosti rychlosti)

rıka se jı tez tecne zrychlenı


Zrychlenı



I Vektor zrychlenı rozkladame do dvou slozek:I ~at tecne k trajektorii (urcuje zmenu velikosti rychlosti)

rıka se jı tez tecne zrychlenıI ~an kolme k trajektorii (urcuje zmenu smeru rychlosti)

rıka se jı tez normalove zrychlenı,pri pohybu po kruznici take dostredive zrychlenı.

Konkretnı typy pohybu:

pohyb prımocary a rovnomerny


pohyb prımocary a rovnomerny

Rovnomerny prımocary pohyb

Uz vıme, ze

I rychlost je konstantnı (co do smeru i velikosti)

I zrychlenı je tudız nulove

~a = ~o

~v =−−−→konst.


Uz vıme, ze



~a = ~o



Popis polohy na prımce

I pri prımocarem pohybu se hmotny bod pohybuje poprımce

I na prımce si nekde (kdekoliv) zvolıme pocatek a zvolıme

I delkovou jednotku (metr, centimetr, ...)I kladny smer (doleva/doprava, nahoru/dolu, ...)

I kazdy bod na prımce pak muzeme popsat cıslem aznamenkem: cıslo, ktere vyjadruje vzdalenost od pocatkuve zvolenych jednotkach, a znamenko vyjadrujıcı smer

I popisujeme-li pohyb pouze jednoho bodu (nikoliv vıcezaroven), je vhodne volit pocatek tam, odkud bod vyrazı(vztahy popisujıcı pohyb jsou pak jednodussı), a kladnysmer tam, kam se bod pohybuje


















I na prımce si nekde (kdekoliv) zvolıme pocatek a zvolımeI delkovou jednotku (metr, centimetr, ...)

I kladny smer (doleva/doprava, nahoru/dolu, ...)






I na prımce si nekde (kdekoliv) zvolıme pocatek a zvolımeI delkovou jednotku (metr, centimetr, ...)I kladny smer (doleva/doprava, nahoru/dolu, ...)
















Jak se menı poloha?

I oznacme pocatecnı polohu x0

I oznacme polohu v case t pısmenem x

Vıme, ze rychlost je konstantnı co do smeru i velikosti.

velikost rychlosti =velikost posunutı

cas

v =∆x

∆t

v =x − x0

∆t

vt = x − x0

x = x0 + vt







cas

v =∆x

∆t

v =x − x0

∆t

vt = x − x0

x = x0 + vt







cas

v =∆x

∆t

v =x − x0

∆t

vt = x − x0

x = x0 + vt







cas

v =∆x

∆t

v =x − x0

∆t

vt = x − x0

x = x0 + vt







cas

v =∆x

∆t

v =x − x0

∆t

vt = x − x0

x = x0 + vt







cas

v =∆x

∆t

v =x − x0

∆t

vt = x − x0

x = x0 + vt







cas

v =∆x

∆t

v =x − x0

∆t

vt = x − x0

x = x0 + vt


Pripomenme vztahy



I poloha (a urazena draha) se menı linearne s casemx0 znacı polohu a s0 jiz urazenou drahu v case t = 0(ve chvıli, kdy zacıname cas merit)

~a = ~o


x = x0 + vt

s = s0 + vt


Pripomenme vztahy




~a = ~o


x = x0 + vt

s = s0 + vt


Pripomenme vztahy




~a = ~o


x = x0 + vt

s = s0 + vt


Pripomenme vztahy




~a = ~o


x = x0 + vt

s = s0 + vt


Pripomenme vztahy




~a = ~o


x = x0 + vt

s = s0 + vt


Graficke znazornenı: zavislost zrychlenı na case

I zrychlenı je pri rovnomernem prımocarem pohybuneustale nulove

I grafem je cast prımky totozna s castı vodorovne osy

t

a

t1 t2





t

a

t1 t2





t

a

t1 t2





t

a

t1 t2


Graficke znazornenı: zavislost rychlosti na case

I rychlost je pri rovnomernem prımocarem pohybukonstantnı (nemenna)

I grafem je cast prımky rovnobezna s vodorovnou osou

v

v0

t

t1 t2

Vsimnete si, ze plocha pod grafem zavislosti rychlosti nacase je rovna urazene draze.





v

v0

t

t1 t2






v

v0

t

t1 t2


Rovnomerny prımocary pohybGraficke znazornenı: zavislost rychlosti na case



v

v0

t

t1 t2

v

v0

t

t1 t2






v

v0

t

t1 t2



Graficke znazornenı: zavislost drahy na case

I draha je pri rovnomernem prımocarem pohybu linearnıfunkcı casu

I grafem je cast prımky ruznobezna s vodorovnou osou

t

s0

s

t1 t2

Vsimnete si, ze tangens uhlu, ktery svıra prımka grafu svodorovnou osou, je roven velikosti rychlosti.





t

s0

s

t1 t2






t

s0

s

t1 t2






t

s0

s

t1 t2


Dve OBECNA PRAVIDLAProtoze kazdy pohyb lze poskladat z ”kratickych” useku, kdeje ”skoro” rovnomerny a prımocary, platı:

I drahu lze vzdy spocıtat jako plochu pod grafemrychlosti v zavislosti na case

I okamzita rychlost je vzdy smernicı tecny ke grafudrahy v zavislosti na case

Smernice

I y = kx + y (smernice = cıslo k vedle x u linearnı funkce)

I je rovna tangente uhlu, ktery prımka grafu teto funkcesvıra s vodorovnou osou




Smernice






Smernice






Smernice






Smernice






Smernice




pohyb prımocary a rovnomernezrychleny


pohyb prımocary a rovnomernezrychleny

Rovnomerne zrychleny prımocary pohyb

Uz vıme, ze

I zrychlenı je konstantnı (co do smeru i velikosti)

~a =−−−→konst.

I co jde rıct o rychlosti a poloze?


Uz vıme, ze

I zrychlenı je konstantnı (co do smeru i velikosti)


I co jde rıct o rychlosti a poloze?

Rovnomerne zrychleny prımocary pohybOkamzita rychlost

I pohyb uvazujeme prımocary – smer se nemenı a jetotozny se smerem zrychlenı

I pri zrychlenem pohybu majı rychlost a zrychlenı takestejnou orientaci

Vypocet

velikost zrychlenı =zmena velikosti rychlosti

cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

tat = v − v0

v = v0 + at




Vypocet


cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

tat = v − v0

v = v0 + at




Vypocet


cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

tat = v − v0

v = v0 + at




Vypocet


cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

tat = v − v0

v = v0 + at




Vypocet


cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

tat = v − v0

v = v0 + at




Vypocet


cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

tat = v − v0

v = v0 + at




Vypocet


cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

t

at = v − v0

v = v0 + at




Vypocet


cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

tat = v − v0

v = v0 + at




Vypocet


cas

a =∆v

∆t

a =v − v0

tat = v − v0

v = v0 + at



I Prımy vypocet je obtıznejsı

I Pouzijeme okliku pres graf



I zrychlenı je pri rovnomerne zrychlenem prımocarempohybu konstantnı














a(t)

a

t

t1 t2



I rychlost je pri rovnomerne zrychlenem prımocarempohybu linearnı funkcı casu


t

v0

v

v

t1 t2





t

v0

v

v

t1 t2





t

v0

v

v

t1 t2





t

v0

v

v

t1 t2


Draha a poloha

I Z grafu zavislosti rychlosti na case muzeme vypocıstdrahu v casovem useku 〈t1, t2〉

I Tato draha je rovna plose lichobeznıka pod grafem tetofunkce

t

v0

v

v

t1 t2


Draha a poloha

I Plocha lichobeznıka = soucet zakladen . vyska / 2

I oznacıme-li t = t2 − t1 (cas ubehly od zacatku pohybu)

s =v0 + v

2· t

t

v0

v

v

t1 t2


s =v0 + v

2· t

Prvnı dusledek: prumerna rychlost

I protoze s = vp · t, je prumerna rychlost pro rovnomernezrychleny pohyb rovna aritmetickemu prumeru pocatecnıa koncove rychlosti. (Pro zadny jiny nerovnomerny pohybnez rovnomerne zrychleny nebo zpomaleny to neplatı!)

vp =v0 + v

2


Druhy dusledek: vztah pro drahu

I protoze v = v0 + at, dostaneme po dosazenı, ze

s =v0 + v

2· t =

v0 + (v0 + at)

2· t =

=2v0 + at

2· t =

2v0

2· t +

at

2· t = v0t +

1

2at2

Toto je draha, kterou hmotny bod urazil od zacatkumerenı casu. Abychom dostali celkovou drahu, musımepripocıtat jeste tu, co urazil predtım, znacıme ji s0.

s = s0 + v0t +1

2at2


Graficke znazornenı: zavislosti drahy na case

I draha rovnomerne zrychleneho pohybu je kvadratickoufunkcı casu, jejım grafem je cast paraboly

t

s0

s

t1 t2


Shrnutı

I zrychlenı konstantnı (co do smeru i velikosti)


I rychlost ma stejny smer a orientaci jako zrychlenıjejı velikost se linearne zvetsuje

v = v0 + at

I urazena draha je kvadratickou funkcı casu

s = s0 + v0t +1

2at2


Shrnutı




v = v0 + at


s = s0 + v0t +1

2at2


Shrnutı




v = v0 + at


s = s0 + v0t +1

2at2


pohyb prımocary a rovnomernezpomaleny


pohyb prımocary a rovnomernezpomaleny

Rovnomerne zpomaleny prımocary pohyb

Co vıme


I rychlost ma stejny smer, ale opacnou orientaci nezzrychlenı

Co z toho vyplyva

I bud’ muzeme pouzıt stejne vztahy jako pro rovnomernezrychleny pohyb, ale pak musıme uvazovat ”zapornezrychlenı”.

I nebo vsude u pısmene a (tj. velikosti zrychlenı) napısemeopacne znamenko (tım zaznamename opacnou orientacivuci rychlosti), samotne zrychlenı pak dosazujeme kladne

V SS ucebnicıch je obvyklejsı druha moznost, ve VS prvnı.


Co vıme



Co z toho vyplyva





Co vıme



Co z toho vyplyva





Co vıme



Co z toho vyplyva





Co vıme



Co z toho vyplyva





Co vıme



Co z toho vyplyva





Co vıme



Co z toho vyplyva




Rovnomerne zpomaleny prımocary pohybShrnutı vztahu pri zmene znamenek

I zrychlenı konstantnı (co do smeru i velikosti)ma opacnou orientaci nez rychlost


I rychlost ma stejny smer, ale opacnou orientaci nezzrychlenıjejı velikost se linearne zmensuje

v = v0 − at


s = s0 + v0t −1

2at2





v = v0 − at


s = s0 + v0t −1

2at2





v = v0 − at


s = s0 + v0t −1

2at2


Srovnanı grafu: zrychlenı / zpomalenı

I zrychlenı je tak jako tak konstantnı


Zrychleny pohyb

a(t)

a

t

t1 t2

Zpomaleny pohyb

a(t)

a

t

t1 t2


Srovnanı grafu: rychlost

I rychlost linearne roste / linearne klesa

I grafem je cast prımky ruznobezna s vodorovnou osou, vjednom prıpade ”rostoucı” a v druhem ”klesajıcı”.

Zrychleny pohyb

v

t

Zpomaleny pohyb

v

t


Srovnanı grafu: draha

I draha vzdy roste, je kvadratickou funkcı

I grafem je cast paraboly, v jednom prıpade ”vrcholemdole” a v druhem ”vrcholem nahore”.

Zrychlenypohyb

s

t

Zpomalenypohyb

s

t


volny pad


volny pad

Volny pad

Volny pad je specialnım druhem rovnomerne zrychlenehopohybu. Hmotny bod pada

I z vysky h0

I ma konstantnı tıhove zrychlenı g

I nulovou pocatecnı rychlost v0 = 0 m . s−1

Otazky

I jakou ma rychlost v v case t

I jakou ma rychlost v ve vysce h

I jakou rychlostı vd dopadne

I jakou urazil drahu s v case t

I v jake vysce h se bod nachazı v case t

I v jakem case td dopadne na zem

Volny pad


I z vysky h0



Otazky







Volny pad


I z vysky h0



Otazky







Volny pad


I z vysky h0



Otazky







Volny pad


I z vysky h0



Otazky







Volny pad


I z vysky h0



Otazky







Volny pad


I z vysky h0



Otazky







Volny pad


I z vysky h0



Otazky







Volny pad


I z vysky h0



Otazky







Volny pad

Ze vztahu pro rovnomerne zrychleny pohyb hned plyne, ze

I a = g (9,81 m . s−2)

I v = v0 + at = 0 + gt = gt

I s = s0 + v0t + 12at2 = 0 + 0 · t + 1

2gt2 = 1

2gt2

a = g

v = gt

s =1

2gt2

Volny pad

V jake vysce h se bod nachazı v case t ?Bod spadne o urazenou drahu, je tedy

h = h0 − s

h = h0 −1

2gt2

Volny pad

V jakem case bod dopadne na zem?V bode dopadu ma nulovou vysku, platı tedy

0 = h0 − s

0 = h0 −1

2gt2

d

1

2gt2

d = h0

t2d =

2h0

g

td =

√2h0

g

Volny pad

Jakou ma rychlost ve vysce h ?

Je-li ve vysce h, urazil drahu s = h0 − h. Tuto drahu takemuzeme vyjadrit pomocı casu s = 1

2gt2.

1

2gt2 = h0 − h

t =

√2(h0 − h)

g

Rychlost muzeme spocıtat podle vztahu v = gt.

v = gt

v =√

2(h0 − h)g

Volny pad

Jakou ma rychlost ve vysce h ?Je-li ve vysce h, urazil drahu s = h0 − h.

Tuto drahu takemuzeme vyjadrit pomocı casu s = 1

2gt2.

1

2gt2 = h0 − h

t =

√2(h0 − h)

g


v = gt

v =√

2(h0 − h)g

Volny pad

Jakou ma rychlost ve vysce h ?Je-li ve vysce h, urazil drahu s = h0 − h. Tuto drahu takemuzeme vyjadrit pomocı casu s = 1

2gt2.

1

2gt2 = h0 − h

t =

√2(h0 − h)

g


v = gt

v =√

2(h0 − h)g

Volny pad


2gt2.

1

2gt2 = h0 − h

t =

√2(h0 − h)

g


v = gt

v =√

2(h0 − h)g

Volny pad


2gt2.

1

2gt2 = h0 − h

t =

√2(h0 − h)

g


v = gt

v =√

2(h0 − h)g

Volny pad


2gt2.

1

2gt2 = h0 − h

t =

√2(h0 − h)

g


v = gt

v =√

2(h0 − h)g

Volny pad


2gt2.

1

2gt2 = h0 − h

t =

√2(h0 − h)

g


v = gt

v =√

2(h0 − h)g

Volny pad

Jakou rychlostı dopadne ?

Prave jsme spocıtali, ze rychlost ve vysce h je urcena vztahem

v =√

2(h0 − h)g

Pri dopadu je h = 0, takze dopadne rychlostı

vd =√

2h0g

Volny pad

Jakou rychlostı dopadne ?Prave jsme spocıtali, ze rychlost ve vysce h je urcena vztahem

v =√

2(h0 − h)g


vd =√

2h0g

Volny pad

Jakou rychlostı dopadne ?Prave jsme spocıtali, ze rychlost ve vysce h je urcena vztahem

v =√

2(h0 − h)g


vd =√

2h0g

Volny pad

Grafy: draha, rychlost, zrychlenıVypadajı stejne jako pro rovnomerne zrychleny pohyb (je tospecialnı prıpad).

Volny pad


a = g = konst.

a

t

zrychlenı

Volny pad


v = gt

v

t

rychlost

Volny pad


s = 12gt2

s

t

draha

Volny pad

Zavislost vysky na case”Prevraceny” graf drahy

h = h0 − s

h = h0 − 12gt2

h

h0

0

t

zavislost vysky na case


Svisly vrh


Svisly vrh

Svisly vrh

Pri svislem vrhu je hmotny bod vrzen z nulove vysky vzhuru spocatecnı rychlostı v0. Tıhova sıla jej nejprve zpomaluje sezpomalenım g , hmotny bod tak v nejake vysce hmax zastavı apote volnym padem spadne zpet na zem. V prvnı casti pohybu(vzhuru) tedy hmotny bod

I ma na pocatku nulovou vysku

I nenulovou pocatecnı rychlost v0

I konstantnı zpomaluje se ”zpomalenım” g

Svisly vrh





Svisly vrh





Svisly vrh

Otazky



I za jaky cas th vyletı do nejvyssıho bodu

I do jake vysky hmax bod vyletı nejvyse




Svisly vrh

Otazky








Svisly vrh

Otazky








Svisly vrh

Otazky








Svisly vrh

Otazky








Svisly vrh

Otazky








Svisly vrh

Otazky








Svisly vrhZvolme jako soustavu souradnic svislou prımku y , po ktere sehmotny bod pohybuje. Jejı pocatek dejme na povrch (donulove vysly) a jako kladny smer zvolme smer vzhuru. Pri tetoorientaci muzeme psat

I a = −g (−9, 81 m . s−2)

I v = v0 + at = v0 − gt

I y = y0 + v0t + 12at2 = 0 + v0 · t − 1

2gt2 = v0 − 1

2gt2

Tyto vztahy lze pouzıt pro celou dobu pohybu (tedy jak proprvnı cast, kdy hmotny bod letı vzhuru, tak pro druhou, kdypada dolu).

a = −g

v = v0 − gt

y = v0t −1

2gt2

Svisly vrh

Jakou ma hmotny bod rychlost v v case t ?Urcuje ji prımo druha z vyse sestavenych rovnic, tedy

v = v0 − gt

Vsimnete si, od jiste chvıle nam s rostoucım casem (prot > v0/g) bude vychazet zaporne cıslo. To znacı, ze vektorrychlosti jiz nenı orientovana vzhuru – kam jsme volili kladnysmer osy y – ale dolu, tedy teleso pada.Velikost rychlosti |v | (musı to byt kladne cıslo) je pak urcenaabsolutnı hodnotou predchozıho vyrazu

|v | = |v0 − gt|

Svisly vrh

Za jaky cas th vyletı do nejvyssıho bodu ?Hmotny bod nejprve letı vzhuru a pritom zpomaluje. Vnejvyssım bode jeho rychlost klesne na nulu (jinak by leteljeste vyse). Vıme, ze jeho rychlost na case zavisı vztahem

v = v0 − gt

Jestlize pro cas th ma platit v = 0, pak resıme rovnici

0 = v0 − gth

gth = v0

th =v0

g

Svisly vrh

V jake vysce h se bod nachazı v case t ?To jiz take vıme: v nası volbe soustavy souradnic znacı vysku hnad povrchem prımo souradnice y . Je tedy h = y , tj.

h = y = v0t −1

2gt2

Svisly vrh

Do jake vysky hmax bod vyletı nejvyse?Jiz vıme, ze nejvyssıho bodu dosahne v case th = v0/g . Stacıdosadit do vztahu pro vysku v zavislosti na case, tedy dovztahu pro souradnici y

y = v0t −1

2gt2

Dosadıme-li t = th, potom y = hmax se rovna

hmax = v0th −1

2gt2

h = v0v0

g− 1

2g

v 20

g 2=

1

2

v 20

g

Svisly vrh

V jakem case bod dopadne na zem?Dosadıme do vztahu pro vysku

y = v0t −1

2gt2

V case dopadu td ma bod nulovou vysku (y = 0), platı tedy

0 = v0td −1

2gt2

d

Tuto kvadratickou rovnici vyresme.

Svisly vrh

V jakem case bod dopadne na zem?

0 = v0td −1

2gt2

d

Jedno jejı resenı je td = 0, ktere ale neodpovıda konci, alezacatku pohybu. Zkracenım td dostaneme

0 = v0 −1

2gtd

td =2v0

g

Vsimnete si, ze cas td = 2v0/g dopadu na zem je dvojnasobnyoproti casu th = v0/g potrebneho na vystoupanı do nejvyssıhobodu. Let vzhuru a nasledny pad tedy trvajı stejne dlouho.

Svisly vrh

Jakou rychlostı vd bod dopadne?Vypocetli jsme, ze cas dopadu na zem je td = 2v0/g . Stacıdosadit do vztahu pro rychlost

v = v0 − gt

za t = td a dostaneme, ze rychlost dopadu vd je

vd = v0 − gtd

vd = v0 − g2v0

g= v0 − 2v0 = −v0

Velikost rychlosti dopadu je tedy |vd | = | − v0| = v0, bod tedydopadne se stejnou velikostı rychlosti, jako let vzhuru zacınal.Rozdıl ve znamenku znacı to, ze orientace vektoru rychlosti nazacatku (vzhuru) a na konci (dolu) je opacna.

Svisly vrh

Jakou urazil drahu s v case t?Pri zodpovezenı teto otazky si uz nevystacıme s jedinymvztahem. Pro prvnı cast pohybu mezi casy t = 0 a t = th, kdyhmotny bod letı vzhuru, je urazena draha rovna aktualnı vyscenad povrchem, tedy

s = y = v0t +1

2gt2 t ∈ 〈0, th〉

Svisly vrh

Jakou urazil drahu s v case t?Pote, co hmotny bod zacne padat, uz ale rovnost s = yneplatı! Urazena draha dale roste, vyska oproti tomu klesa.Urazenou drahu pak muzeme vypocıst naprıklad tak, ze kmaximalnı vysce hmax = v 2

0 /2g , ze ktere hmotny pada,pricteme to, o co jiz spadl, tedy rozdıl maximalnı vysky a jehovysky soucasne hmax − y . Dostavame tak

s = hmax + (hmax − y)

s = 2hmax − y

s =v 20

g− v0t +

1

2gt2 t ∈ 〈th, td〉

Svisly vrhJakou urazil drahu s v case t?

s =v 20

g− v0t +

1

2gt2 t ∈ 〈th, td〉

Vztah muzeme castecne overit nasledujıcım zpusobem.Dosadıme-li do tohoto vztahu koncovy cas t = td = 2v0/g ,kdy hmotny bod dopadne zpet na zem, dostaneme, ze celkovadraha scelk urazena pri letu nahoru i zpet dolu je

scelk =v 20

g− v0

2v0

g+

1

2g

4v 20

g 2

scelk =v 20

g− 2v 2

0

g+

2v 20

g

scelk =2v 2

0

g= 2hmax

je tedy rovna dvojnasobku maximalnı vysky, coz je zrejmespravny vysledek.

Svisly vrh

Grafy: zrychlenı, rychlost, vyska, drahaZrychlenı a rychlost v grafech nabyvajı zapornych hodnot. Jeto zpusobene volbou vztazne soustavy. Pokud bychom ji zvolilijinak, grafy by take vypadaly jinak. Zkuste si sami rozmyslet,jak by se jednotlive grafy zmenili, pokud bychom nechalipocatek osy y na povrchu zeme, ale kladny smer zvolili dolu,nikoliv nahoru.

Svisly vrh

Grafy: zrychlenı, rychlost, vyska, draha

a = −g = konst.

t

a

zrychlenı

Svisly vrh


v = v0 − gt

t

v

rychlost

Svisly vrh


y = v0t − 12gt2

t

s

vyska

Svisly vrh


s = v0t − 12gt2, t ∈ 〈0, th〉

s = hmax − v0t + 12gt2, t ∈ 〈th, td〉

t

s

draha

Skladanı pohybu

Princip superpozice

Skladanı pohybu

Princip superpozice

Skladanı pohybu. Princip superpozice

Princip superpoziceJestlize teleso kona vıce pohybu najednou, pak jehovysledna poloha je takova, jako by tyto pohybyvykonalo po sobe a to v libovolnem poradı.

Prıklady

I lod’ka plujıcı po a proti proudu

I plavanı pres proudıcı reku

I vrzeny kamen v tıhovem poli



Prıklady






Prıklady






Prıklady






Prıklady





Princip superpoziceSkladajı se posunutı, rychlosti i zrychlenı.Pozor, vztahy platı pouze vektorove.

~∆r = ∆~r1 + ∆~r2

~v = ~v1 + ~v2

~a = ~a1 +~a2


UlohaPlavec na klidne vode vyvine rychlost 4 km . h−1. Urcete jehocelkovou rychlost, jestlize se snazı plavat kolmo ke brehu vrece, ktera proudı rychlostı 3 km . h−1.Jakym smerem poplave? (Tj. urcete uhel, ktery svıra prımkasmeru jeho pohybu s kolmicı ke brehum reky.)


UlohaPlavec na klidne vode vyvine rychlost 5 km . h−1. Plave v rece,ktera proudı rychlostı 3 km . h−1. Urcete, jakym smerem musıplavat, jestlize se ma pohybovat kolmo k protejsımu brehu.Jakou rychlostı se bude ke brehu blızit?

Pohyby v tıhovem poli Zeme

Vrh vodorovny


Vrh vodorovny

Vodorovny vrh

x

y

h0

d

~v0

x =?, y =?, v =?, vd =?

td =?, d =?


Vrh sikmy


Vrh sikmy

Sikmy vrh

x

y

hmax

d

~v0

α

Elevacnı uhel. Poznamka o balisticke krivce.

x =?, y =?, v =?, vd =?

th =?, hmax =?

td =?, d =?

Pohyb po kruznici

Pohyb po kruznici

s

r

ϕ

Uhlova drahaPri pohybu po kruznici muzeme urazenou drahu merit dvemazpusoby:

I jak jsme zvyklı (delkou oblouku)

I velikostı prıslusneho uhlu

Pohyb po kruznicis

r

ϕ

Uhlova draha znacka: ϕ jednotka: radOrientovany uhel ϕ mereny v radianech nazveme uhlovoudrahou bodu. Podle definice radianu vıme, ze

ϕ =s

r

Pohyb po kruzniciPrumerna uhlova rychlost zn. ω jed. rad . s−1

Necht’ ϕ1 a ϕ2 znacı uhlovou drahu bodu pohybujıcıho se nakruznici v casech t1 a t2. Prumernou uhlovou rychlostı v tomtocasovem useku 〈t1, t2〉 nazveme velicinu

ω =∆ϕ

∆t=

ϕ2 − ϕ1

t2 − t1

(Okamzita) uhlova rychlost zn. ω jed. rad . s−1

Okamzitou uhlovou rychlostı nazveme velicinu

ω =∆ϕ

∆t, ∆t → 0.

Uhlovou rychlostı bez prıvlastku se obvykle mını okamzitauhlova rychlost.

Pohyb po kruzniciPrumerna uhlova rychlost zn. ω jed. rad . s−1

Necht’ ϕ1 a ϕ2 znacı uhlovou drahu bodu pohybujıcıho se nakruznici v casech t1 a t2. Prumernou uhlovou rychlostı v tomtocasovem useku 〈t1, t2〉 nazveme velicinu

ω =∆ϕ

∆t=

ϕ2 − ϕ1

t2 − t1

(Okamzita) uhlova rychlost zn. ω jed. rad . s−1

Okamzitou uhlovou rychlostı nazveme velicinu

ω =∆ϕ

∆t, ∆t → 0.

Uhlovou rychlostı bez prıvlastku se obvykle mını okamzitauhlova rychlost.

Pohyb po kruznici

Vztah mezi uhlovou rychlostı a rychlostıVıme, ze mezi uhlovou drahou ϕ a drahou s (= delkouoblouku) je

s = rϕ

Tento vztah platı nejenom pro celkovou drahu, ale i projakoukoliv jejı cast. Vezmeme tedy kraticky cas ∆t, za kteryhmotny bod pohybujıcı se po kruznici urazı kratickou drahu∆s, prıslusejıcı malickemu oblouku ∆ϕ. Mezi okamzitourychlost v = ∆s/∆t a uhlovou rychlostı ω = ∆ϕ/∆t mamevztah

v =∆s

∆t=

r∆ϕ

∆t= r

∆ϕ

∆t= rω

Rovnomerny pohyb po kruznici


I pri rovnomernem pohybu hmotneho bodu po kruznici jevelikost rychlosti, a tedy take uhlove rychlosti, konstantnı

I smer rychlosti se menı, hmotny bod ma tedy nenulovezrychlenı

I uz drıve jsme zminovali, ze pri rovnomernem krivocarempohybu ma smer kolmy k trajektorii

I v prıpade kruznice tedy mırı do jejıho stredu, nazyvameho dostredivym zrychlenım

I rovnomerny pohyb po kruznici je pohyb periodicky –vzdy za stejny cas, periodu, se hmotny bod vratı dostejneho mısta.

I periodou rozumıme obvykle nejkratsı cas, ve kterem setak stane – tedy dobu, za kterou hmotny bod obehnecelou kruznici jednou kolem dokola.





































Perioda znacka: T jednotka: sDoba, za kterou hmotny bod obehne celou kruznici jednoukolem dokola. Platı tedy

T =s

v=

2πr

v=

2π

ω, ω =

2π

T

Frekvence znacka: f jednotka: s−1 = HzFrekvence je prevracenou hodnotou periody. Znacı ”pocetobehu”, ktere hmotny bod vykona za jednu vterinu.

f =1

T=

12πω

=ω

2π, ω = 2πf


Perioda znacka: T jednotka: sDoba, za kterou hmotny bod obehne celou kruznici jednoukolem dokola. Platı tedy

T =s

v=

2πr

v=

2π

ω, ω =

2π

T

Frekvence znacka: f jednotka: s−1 = HzFrekvence je prevracenou hodnotou periody. Znacı ”pocetobehu”, ktere hmotny bod vykona za jednu vterinu.

f =1

T=

12πω

=ω

2π, ω = 2πf


Uhlova rychlost je konstantnıProtoze velikost rychlosti v je konstantnı, nemenı se anivelikost uhlove rychlosti

ω = v/r = konst.


Uhlova draha a uhlova rychlost pro rovnomernypohybUhlova rychlost se nemenı: je tedy urcena podılem libovolneuhlove drahy a prıslusneho casu. Oznacme ϕ0 uhlovou drahuurazenou pred zacatkem merenı casu a ϕ uhlovou drahuurazenou v case t. Potom ∆ϕ = ϕ− ϕ0, ∆t = t − 0 = t a podosazenı mame

ω =∆ϕ

∆t

ω =ϕ− ϕ0

tϕ− ϕ0 = ωt

ϕ = ϕ0 + ωt


Uhlova draha a uhlova rychlost pro rovnomernypohyb

ϕ = ϕ0 + ωt

Pokud ϕ0 = 0 rad (hmotny bod se pred zacatkem merenı casunepohyboval nebo nas tento pohyb nezajıma), pak

ϕ = ωt

Zrychlenı pri rovnomernem pohybu po kruznici

Dostredive zrychlenı ~ad

I je v kolme k trajektorii, orientovane do stredu kruznice

I nema stale stejny smer (nenı jako vektor konstantnı)

cervene vektory znazornujı dostredive zrychlenı ~ad

v ruznych bodech kruznice


Dostredive zrychlenı ~ad

I je v kazdem bode kolme k trajektorii, je orientovane dostredu kruznice

I nema tedy v prubehu pohybu stale stejny smer (nenı jakovektor konstantnı)

I ma ale konstantnı velikost, pro kterou platı vztahy

ad =v 2

r= ωv = ω2r = 4π2f 2r =

4π2

T 2r


Odvozenı velikosti dostrediveho zrychlenı


Odvozenı velikosti dostrediveho zrychlenıZmenu rychlosti ∆vvv urcıme podle obrazku a), b).


Odvozenı velikosti dostrediveho zrychlenıJe-li uvazovany cas pohybu velmi kratky, pak uhel ∆ϕ je velmimaly a my muzeme usecku ∆vvv v obrazku b) nahraditoblouckem. Odtud vyplyva, ze

|∆vvv | = |vvv |∆ϕ = v ∆ϕ


Odvozenı velikosti dostrediveho zrychlenıVelikost dostrediveho zrychlenı pak je

ad =|∆vvv |∆t

= v∆ϕ

∆t= vω

Nerovnomerny pohyb po kruznici


I pri nerovnomernem pohybu hmotneho bodu po kruznicise menı smer i velikost rychlosti

I celkove zrychlenı rozkladame na dve slozky:

I tecna k trajektorii – tecne zrychlenı – urcuje zmenuvelikosti rychlosti

I kolma k trajektorii – dostredive zrychlenı – souvisı sezmenou smeru rychlosti

I nerovnomerny pohyb po kruznici (obecne) nenı periodicky



I celkove zrychlenı rozkladame na dve slozky:

I tecna k trajektorii – tecne zrychlenı – urcuje zmenuvelikosti rychlosti





I celkove zrychlenı rozkladame na dve slozky:I tecna k trajektorii – tecne zrychlenı – urcuje zmenu

velikosti rychlosti






velikosti rychlostiI kolma k trajektorii – dostredive zrychlenı – souvisı se

zmenou smeru rychlosti





velikosti rychlostiI kolma k trajektorii – dostredive zrychlenı – souvisı se

zmenou smeru rychlosti



I vztahy mezi drahou a uhlovou drahou, rychlostı a uhlovourychlostı zustavajı v platnosti

s = rϕ, v = rω

I k velicinam uhlova draha a uhlova rychlost pripojujemejeste uhlove zrychlenı.

Uhlove zrychlenı znacka: ε jednotka: rad . s−2

Uhlove zrychlenı definujeme jako podıl zmeny uhlove rychlostia casu, za ktery k teto zmene doslo, pricemz tento cas beremevelmi maly.

ε =∆ω

∆t, ∆t → 0.



s = rϕ, v = rω




ε =∆ω

∆t, ∆t → 0.



s = rϕ, v = rω




ε =∆ω

∆t, ∆t → 0.


Vztah mezi uhlovym zrychlenım a zrychlenımMezi velikostı rychlostı a velikostı tecne slozky zrychlenı platıvztah

at =∆v

∆t, ∆t → 0

Odtud odvodıme:

at =∆v

∆t= r

∆ω

∆t=⇒ at = rε


Vztahy mezi ”uhlovymi” a ”neuhlovymi” velicinamiVsimnete si, ze platı vztahy:

s = rϕ

v = rω

at = rε

tedy drahu/rychlost/tecne zrychlenı zıskame z uhlovych velicinprenasobenım polomerem kruznice. Pouze vztah prodostredivou slozku zrychlenı je od tohoto schematu odlisny.

ad = rω2


Par zaverecnych poznamek


Par zaverecnych poznamek1. Mluvıme-li o rovnomerne zrychlenem pohybu po kruznici,pak tım myslıme, ze velikost (uhlove) rychlosti rovnomerneroste. Tecna slozka zrychlenı je tedy konstantnı. Dostredivaslozka nikoliv, nebot’ podle vztahu ad = v 2/r roste s rostoucırychlostı.


Par zaverecnych poznamek

2. Celkove zrychlenı ~a pri obecnem pohybu po kruznicizıskame vektorovym souctem obou slozek

~a = ~at +~ad

Protoze jsou slozky na sebe kolme, velikost celkoveho zrychlenımuzeme urcit podle Pythagorovy vety jako

a =√

a2t + a2

d


Par zaverecnych poznamek3. Oproti rovnomernemu pohybu po kruznici neplatı vztahy speriodou a frekvencı, ani vztah ϕ = ϕ0 + ωt. Pri rovnomernezrychlenem pohybu je mozne ho nahradit vztahemϕ = ϕ0 + ω0t + 1

2εt2 (odvozenı muze probıhat podobne jako

pro polohu pri rovnomerne zrychlenem pohybu).

Pohyb po kruznici

Shrnutı vztahu – platne obecne

ω =∆ϕ

∆t, ∆t → 0

ε =∆ω

∆t, ∆t → 0.

s = rϕ

v = rω

at = rε

ad = v 2/r = vω = ω2r

Pohyb po kruznici

Shrnutı vztahu – platne jen pro rovnomerny pohybpo kruznici

ϕ = ϕ0 + ωt

ω =∆ϕ

∆t=

ϕ− ϕ0

tε = 0.

f =1

T, ω = 2πf =

2π

T

ad =4π2

T 2r = 4π2f 2r

Documents

Kinematika hmotn´eho bodu - karlin.mff.cuni.czpposta/azsmart/02khb.pdf · Kinematika hmotn´eho bodu (test version, not revised) Petr Poˇsta [email protected] 17. ˇr´ıjna