kir-gimnasium.ucoz.uakir-gimnasium.ucoz.ua/content/news/GIA_15-16/matematika_11_klas… · Пояснительная записка Сборник составлен на основе

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИЛУГАНСКОЙ НАРОДНОЙ РЕСПУБЛИКИ

ГУ ЛНР «НАУЧНО-МЕТОДИЧЕСКИЙ ЦЕНТР РАЗВИТИЯ ОБРАЗОВАНИЯ ЛНР»

Утверждено приказомМинистерства образования инаукиЛуганской Народной Республики№ 92 от .20.40 2 610 г.

Сборник заданийдля государственной итоговой аттестации

по математикеXI класс

Луганск2016

Пояснительная записка

Сборник составлен на основе материалов "Сборника заданий для

государственной итоговой аттестации по математике. 11 класс" (авт. Мерзляк А.Г.,

Полонский В.Б., Якир М.С., под редакцией Бурды М.И. - К.: Центр навч.-метод. л-

ри, 2014) в двух частях.

Содержание заданий соответствует действующим учебным программам по

математике.

Пособие содержит 30 вариантов аттестационных работ.

Каждый вариант аттестационной работы состоит из четырех частей,

различающихся по сложности и форме тестовых заданий.

В первой части аттестационной работы предложено 16 заданий (12

заданий по алгебре и началам анализа и 4 задания по геометрии) с выбором одного

правильного ответа. К каждому тестовому заданию с выбором ответа даны четыре

варианта ответов, из которых только один правильный. Задание с выбором ответа

считается выполненным правильно, если в бланке ответов указана только одна

буква, которой обозначен правильный ответ. При этом учащийся не должен

приводить никакие соображения, поясняющие его выбор.

Правильное решение каждого задания этого блока №№ 1.1-1.16

оценивается одним баллом.

Вторая часть аттестационной работы состоит из 8 заданий (6 заданий по

алгебре и началам анализа и 2 задания по геометрии) открытой формы с

развернутым ответом. Задания второй части считаются выполненными правильно,

если в бланке ответов записан правильный ответ (например, число, выражение,

корни уравнения и т. д.). Все необходимые вычисления, преобразования и т. п.

учащиеся выполняют в черновиках.

Правильное решение каждого из заданий №№ 2.1-2.8 этого блока

оценивается двумя баллами.

Третья часть аттестационной работы состоит из 3 заданий (2 задания по

алгебре и началам анализа и 1 задание по геометрии) открытой формы с

развернутым ответом. Задания третей части считаются выполненными правильно,

если учащийся привел развернутую запись решения задания с обоснованием

каждого этапа и дал правильный ответ. Правильность выполнения заданий третьей

части оценивает учитель в соответствии с критериями и схемой оценивания

заданий. Правильное решение каждого из заданий №№ 3.1-3.3 этого блока

оценивается четырьмя баллами.

Четвертая часть аттестационной работы состоит из 4 заданий (3 задания

по алгебре и началам анализа и 1 задания по геометрии) открытой формы с

развернутым ответом. Задания четвертой части считаются выполненными

правильно, если учащийся привел развернутую запись решения задания с

обоснованием каждого этапа и дал правильный ответ. Правильность выполнения

заданий четвертой части оценивает учитель в соответствии с критериями и схемой

оценивания заданий. Правильное решение каждого из заданий №№ 4.1-4.4 этого

блока оценивается четырьмя баллами.

Задания третьей и четвертой частей аттестационной работы учащиеся

выполняют на листах со штампом общеобразовательного учебного учреждения.

2

При составлении заданий аттестационной работы следует учитывать, по

программе какого уровня учащиеся изучали математику в 10 и 11 классах.

Учащиеся, которые изучали математику в 11 классе по программе

базового уровня, а в 10 классе - по программе уровня стандарта, выполняют все

задания первой и второй частей аттестационной работы и одно из заданий

третьей части по своему выбору. Государственная итоговая аттестация

поводится в течение 135 минут.

Учащиеся, которые изучали математику в 11 классе по программе

базового уровня, а в 10 классе - по программе академического уровня,

выполняют все задания первой, второй и третьей частей аттестационной

работы. Государственная итоговая аттестация поводится в течение 135

минут.

Учащиеся, которые изучали математику в 10-11 классах по программе

профильного уровня, выполняют все задания первой, второй и третьей частей

аттестационной работы и одно из заданий четвертой части по своему

выбору. Государственная итоговая аттестация поводится в течение 551

минут.

Учащиеся классов с углубленным изучением математики выполняют

задания первой, второй, третьей и четвертой частей аттестационной

работы. Государственная итоговая аттестация проводится в течение 180

минут.

Сумма баллов, начисленных за правильно выполненные учащимися

задания, переводится в оценку по 5-балльной системе оценивания учебных

достижений учащихся по специальной шкале.

Система начисления баллов за правильно выполненное задание для

оценивания работ учащихся, изучавших математику в 10 классе по программе

уровня стандарта, приведена в таблице 1.

Таблица 1

Решение учащимся более одного задания третьей части не может

компенсировать ошибок, допущенных им при выполнении других заданий, и не

дает дополнительных баллов.

Соответствие количества набранных баллов учащимся, изучавшим

математику в 10 классе по программе уровня стандарта, оценке по 5-балльной

системе оценивания учебных достижений учащихся приведено в таблице 2.

Номера заданий Количество баллов Всего

1.1-1.16 по 1 баллу 16

2.1-2.8 по 2 балла 16 одно из заданий 3.1-

3.3 4 балла 4

Всего баллов 36

3

Таблица 2


математику в 10 классе по программе академического уровня, оценке по 5-

балльной системе оценивания учебных достижений учащихся приведено в таблице

4. Таблица 4


оценивания работ учащихся, изучавших математику в 10-11 классах по программе

профильного уровня, приведена в таблице 5.

Количество набранных

баллов

Оценка по 5-балльной системе оценивания учебных

достижений учащихся

1 - 3 1 4 - 12 2

13 - 21 3 22 - 32 4 33 - 36 5


оценивания работ учащихся, изучавших математику в 10 классе по программе

академического уровня, приведена в таблице 3. Таблица 3


1.1 - 1.16 по 1 баллу 16 баллов 2.1 - 2.8 по 2 балла 16 баллов 3.1 - 3.3 по 4 балла 12 баллов

Всего баллов 44 балла

Количество набранных баллов Оценка по 5-балльной системе оценивания

учебных достижений учащихся

1 - 3 1

4 - 13 2

14 -26 3 27 - 39 4

40 - 44 5

4

Таблица 5

Заметим, что решение учащимся более одного задания четвертой части не

может компенсировать ошибок, сделанных им при выполнении других заданий, и

не дает дополнительных баллов.


математику в 10-11 классах по программе профильного уровня, оценке по 5-

балльной системе оценивания учебных достижений учащихся приведено в таблице

6.

Таблица 6


оценивания работ учащихся классов с углубленным изучением математики

приведена в таблице 7. Таблица 7

Соответствие количества набранных баллов учащимся класса с

углубленным изучением математики оценке по 5-балльной системе оценивания

учебных достижений учащихся приведено в таблице 8.


1.1 - 1.16 по 1 баллу 16 баллов

2.1 - 2.8 по 2 балла 16 баллов

3.1 - 3.3 по 4 балла 12 баллов

одно из заданий 4.1 - 4.4 4 балла 4 балла

Всего баллов 48 баллов

Количество набранных

баллов

Оценка по 5-балльной системе оценивания


1 - 4 1

5 - 16 2

17 - 29 3

30 - 34 4

44 - 48 5


1.1 - 1.16 по 1 баллу 16 баллов 2.1 - 2.8 по 2 балла 16 баллов 3.1 - 3.3 по 4 балла 12 баллов 4.1 - 4.4 по 4 балла 16 баллов

Всего баллов 60 баллов

5

Таблица 8 Количество набранных

баллов Оценка по 5-балльной системе оценивания


1 - 5 1

6 - 20 2

21 - 35 3

36 - 25 4

35 - 60 5

6

Решение. Имеем:

( )( )

1 cos(2 2 ) cos 22 1 cos 2 sin 23 1 cos 2 sin 21 cos( 2 ) cos 22

π+ π − α + − α + α + α= =π − α + α+ π+ α + + α

2

22cos (cos sin )2cos 2sin cos cos ctg2sin (sin cos ) sin2sin 2sin cos

α α + αα + α α α= = = = αα α + α αα + α α.

Схема оценивания примера 1. 1. Если учащийся правильно применил формулы приведения, то он по-

лучает 1 балл. 2. Если учащийся правильно преобразовал выражения α+ 2cos1

и α− 2cos1 с применением формул понижения степени (как в при-веденном решении) или формулы косинуса двойного аргумента, то он получает 1 балл.

3. Правильное использование формулы синуса двойного аргумента оце-нивается 1 баллом.

4. Если учащийся правильно разложил числитель и знаменатель дроби на множители, выполнил сокращение и получил правильный ответ, то он получает еще 1 балл.

Решение тригонометрических уравнений предусматривает выполнение двух шагов, связанных с применением некоторой группы формул тригоно-метрии или алгебраических преобразований для сведения решения данного уравнения к решению простейших тригонометрических уравнений. Каждый из таких шагов и решение полученных уравнений оценивается одним бал-лом.

Пример 2. Решите уравнение sin cos cos3 3 3 2 5x x x+ = . Решение.

sin cos cos3 3 3 2 5x x x+ = ;

xxx 5cos3cos233sin2

1 =+ ;

xxx 5cos3cos6cos3sin6sin =π+π ;

( )cos 3 cos56x xπ− = ;

( )cos5 cos 3 06x x π− − = ;

( ) ( )2sin sin 4 012 12x xπ π+ − = ;

( )sin 012x π+ = или ( )sin 4 012x π− = ;

,12x kπ+ = π Zk ∈ , или ,124 kx π=π− Zk ∈ ;

7

8

Решение. Имеем:

( )( )

1 cos(2 2 ) cos 22 1 cos 2 sin 23 1 cos 2 sin 21 cos( 2 ) cos 22

π+ π − α + − α + α + α= =π − α + α+ π+ α + + α

2

22cos (cos sin )2cos 2sin cos cos ctg2sin (sin cos ) sin2sin 2sin cos

α α + αα + α α α= = = = αα α + α αα + α α.

Схема оценивания примера 1. 1. Если учащийся правильно применил формулы приведения, то он по-

лучает 1 балл. 2. Если учащийся правильно преобразовал выражения α+ 2cos1

и α− 2cos1 с применением формул понижения степени (как в при-веденном решении) или формулы косинуса двойного аргумента, то он получает 1 балл.

3. Правильное использование формулы синуса двойного аргумента оце-нивается 1 баллом.

4. Если учащийся правильно разложил числитель и знаменатель дроби на множители, выполнил сокращение и получил правильный ответ, то он получает еще 1 балл.

Решение тригонометрических уравнений предусматривает выполнение двух шагов, связанных с применением некоторой группы формул тригоно-метрии или алгебраических преобразований для сведения решения данного уравнения к решению простейших тригонометрических уравнений. Каждый из таких шагов и решение полученных уравнений оценивается одним бал-лом.

Пример 2. Решите уравнение sin cos cos3 3 3 2 5x x x+ = . Решение.

sin cos cos3 3 3 2 5x x x+ = ;

xxx 5cos3cos233sin2

1 =+ ;

xxx 5cos3cos6cos3sin6sin =π+π ;

( )cos 3 cos56x xπ− = ;

( )cos5 cos 3 06x x π− − = ;

( ) ( )2sin sin 4 012 12x xπ π+ − = ;

( )sin 012x π+ = или ( )sin 4 012x π− = ;

,12x kπ+ = π Zk ∈ , или ,124 kx π=π− Zk ∈ ;

,12x kπ= − + π Zk ∈ , или ,448kx π+π= Zk ∈ .

Ответ: ,12 kπ− + π Zk ∈ , или ,448kπ+π Zk ∈ .

Схема оценивания примера 2. 1. Если учащийся правильно ввел вспомогательный аргумент и пред-

ставил левую часть уравнения в виде косинуса разности, то он полу-чает 1 балл.

2. Если учащийся перенес x5cos в левую часть уравнения и правильно преобразовал разность косинусов в произведение, то он получает 1 балл.

3. За правильное решение каждого из простейших тригонометрических уравнений, совокупности которых равносильно данное уравнение, учащийся получает по 1 баллу.

Решение заданий на преобразование иррациональных и логариф-мических выражений, как и заданий на преобразование тригонометрических выражений, предусматривает выполнение четырех шагов, связанных с при-менением свойств корней или логарифмов, алгебраических преобразований. Каждый из таких шагов оценивается одним баллом.

Пример 3. Упростите выражение aaaa 12)3(12)3( 22 −+−+− . Решение.

−++−=−+−+− aaaaaaa 129612)3(12)3( 22

=+−−++=−++− 96961296 aaaaaaa

33)3()3( 22 −−+=−−+= aaaa .

Имеем: 33 +=+ aa при всех допустимых значениях a.

Если 03 ≥−a , то есть 9≥a , то 33 −=− aa .

Если 03<−a , то есть 90 <≤ a , то aa −=− 33 .

Следовательно, при 9≥a получаем: 6)3(333 =−−+=−−+ aaaa .

При 90 <≤ a получаем: aaaaa 2)3(333 =−−+=−−+ .

Ответ: 6 при 9≥a ; a2 при 90 <≤ a .

Схема оценивания примера 3. 1. Если учащийся правильно преобразовал подкоренные выражения и

представил каждое из них в виде квадрата двучлена, то он получает 1 балл.

8

2. Если учащийся применил формулу ||2 xx = , то он получает 1 балл. 3. Если учащийся правильно нашел множество значений переменной a,

при которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают неотрицательные или отрицательные значения, и правильно в каж-дом случае раскрыл знак модуля, то он получает еще 1 балл.

4. Правильное завершение упрощения данного выражения после рас-крытия знаков модуля и получение двух вариантов ответа оценива-ется еще 1 баллом.

Решение показательных, логарифмических и иррациональных урав-

нений и неравенств предусматривает выполнение нескольких шагов, связан-ных с преобразованиями на основании свойств степеней, логарифмов, кор-ней, решением квадратных уравнений, линейных и квадратных неравенств. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.

Пример 4. Решите неравенство 3)4(log)3(log 5,05,0 −≥++− xx . Решение. Данное неравенство равносильно системе

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+>−

−≥+−

.04,03

,3)4)(3(log 5,0

xx

xx

Тогда имеем:

⎩⎨⎧

>≥−+ −

;3,5,0log)12(log 3

5,02

5,0x

xx

⎩⎨⎧

>≤−+

;3,8122

xxx

⎩⎨⎧

>≤−+

;3,0202

xxx

⎩⎨⎧

>≤≤−

;3,45

xx

43 ≤< x . Ответ: (3; 4] .

Схема оценивания примера 4. 1. Если учащийся правильно заменил сумму логарифмов логарифмом

произведения, перейдя к равносильной системе (как в приведенном решении) или нашел область допустимых значений переменной x, а затем преобразовал сумму логарифмов, то он получает 1 балл.

2. Правильный переход от логарифмического неравенства к неравенству второй степени оценивается еще 1 баллом.

3. За правильное решение неравенства второй степени учащийся полу-чает еще 1 балл.

9

10

2. Если учащийся применил формулу ||2 xx = , то он получает 1 балл. 3. Если учащийся правильно нашел множество значений переменной a,

при которых выражения, стоящие под знаком модуля, принимают неотрицательные или отрицательные значения, и правильно в каж-дом случае раскрыл знак модуля, то он получает еще 1 балл.

4. Правильное завершение упрощения данного выражения после рас-крытия знаков модуля и получение двух вариантов ответа оценива-ется еще 1 баллом.

Решение показательных, логарифмических и иррациональных урав-

нений и неравенств предусматривает выполнение нескольких шагов, связан-ных с преобразованиями на основании свойств степеней, логарифмов, кор-ней, решением квадратных уравнений, линейных и квадратных неравенств. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.

Пример 4. Решите неравенство 3)4(log)3(log 5,05,0 −≥++− xx . Решение. Данное неравенство равносильно системе

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+>−

−≥+−

.04,03

,3)4)(3(log 5,0

xx

xx

Тогда имеем:

⎩⎨⎧

>≥−+ −

;3,5,0log)12(log 3

5,02

5,0x

xx

⎩⎨⎧

>≤−+

;3,8122

xxx

⎩⎨⎧

>≤−+

;3,0202

xxx

⎩⎨⎧

>≤≤−

;3,45

xx

43 ≤< x . Ответ: (3; 4] .

Схема оценивания примера 4. 1. Если учащийся правильно заменил сумму логарифмов логарифмом

произведения, перейдя к равносильной системе (как в приведенном решении) или нашел область допустимых значений переменной x, а затем преобразовал сумму логарифмов, то он получает 1 балл.

2. Правильный переход от логарифмического неравенства к неравенству второй степени оценивается еще 1 баллом.

3. За правильное решение неравенства второй степени учащийся полу-чает еще 1 балл.

4. За правильное нахождение решений системы неравенств учащийся получает еще 1 балл.

Заметим, что учащийся может без пояснений записывать решения систе-мы линейных неравенств, корни квадратного уравнения, решения нера-венства второй степени, а также не пояснять переход от логарифмического или показательного неравенства к алгебраическому неравенству.

Пример 5. Найдите область определения функции 2 1( ) 6 lg(4 )f x x x x= − + − .

Решение. Областью определения данной функции является множество решений

системы неравенств

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠−>−≥−

.14,04

,06 2

xx

xx

Имеем:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≠<

≤−

;3,4

,062

xx

xx ⎪⎩

⎪⎨⎧

≠<

≤≤

;3,4

,60

xx

x 30 <≤ x или 43 << x .

Следовательно, искомая область определения — это множество )4;3()3;0[)( ∪=fD .

Ответ: )4;3()3;0[ ∪ .

Схема оценивания примера 5. 1. Если учащийся правильно составил систему неравенств, задающую

область определения функции, то он получает 1 балл. 2. За правильное решение неравенства второй степени учащийся полу-

чает еще 1 балл. 3. Правильное решение линейных неравенств, входящих в систему, оце-

нивается 1 баллом. 4. Если учащийся правильно записал решения системы в виде двух

двойных неравенств или в виде объединения числовых промежутков, то он получает еще 1 балл.

Решение задания на построение графика функции без применения про-изводной предусматривает установление области определения функции, пре-образование формулы, которой задана функция, непосредственно построение графика.

Пример 6. Постройте график функции xx

xf3,0

3,0

log|log|

)( = .

10

Решение. Область определения данной функции — множество

( ) (0;1) (1; )D f = +∞∪ .

Если 0log 3,0 >x , то есть 10 << x , то 0,3

0,3

log( ) 1log

xf x x= = .

Если 0log 3,0 <x , то есть 1>x , то 0,3

0,3

log( ) 1log

xf x x

−= = − .

Следовательно, ⎩⎨⎧

>−<<= .11

,101)( xxxf при

при

График функции имеет вид: y

0 x1

1

-1

Схема оценивания примера 6. 1. Если учащийся правильно нашел область определения функции, то он

получает 1 балл. 2. Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x,

при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает по-ложительные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он по-лучает 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает от-рицательные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он по-лучает 1 балл.

4. За правильно построенный график учащийся получает еще 1 балл.

Решение задания на исследование свойств функции с помощью про-изводной предусматривает четыре шага: нахождение области определения функции и нахождение производной функции, исследование знака произ-водной, установление промежутков монотонности и установление точек экс-тремума функции. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.

Пример 7. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экс-

тремума функции 2 4( ) 2 3

xf x x+= − .

Решение. Область определения функции ( ) ( ;1,5) (1,5; )D f = −∞ +∞∪ .

2 2

2( 4) (2 3) (2 3) ( 4)( )

(2 3)x x x xf x

x′ ′+ ⋅ − − − ⋅ +′ = =

−

2

22 (2 3) 2( 4)

(2 3)x x x

x− − +=

−=

11

12

Решение. Область определения данной функции — множество

( ) (0;1) (1; )D f = +∞∪ .

Если 0log 3,0 >x , то есть 10 << x , то 0,3

0,3

log( ) 1log

xf x x= = .

Если 0log 3,0 <x , то есть 1>x , то 0,3

0,3

log( ) 1log

xf x x

−= = − .

Следовательно, ⎩⎨⎧

>−<<= .11

,101)( xxxf при

при

График функции имеет вид: y

0 x1

1

-1

Схема оценивания примера 6. 1. Если учащийся правильно нашел область определения функции, то он

получает 1 балл. 2. Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x,

при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает по-ложительные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он по-лучает 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел множество значений аргумента x, при которых выражение, стоящее под знаком модуля, принимает от-рицательные значения, и правильно раскрыл знак модуля, то он по-лучает 1 балл.

4. За правильно построенный график учащийся получает еще 1 балл.

Решение задания на исследование свойств функции с помощью про-изводной предусматривает четыре шага: нахождение области определения функции и нахождение производной функции, исследование знака произ-водной, установление промежутков монотонности и установление точек экс-тремума функции. Каждый из этих шагов оценивается одним баллом.

Пример 7. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экс-

тремума функции 2 4( ) 2 3

xf x x+= − .

Решение. Область определения функции ( ) ( ;1,5) (1,5; )D f = −∞ +∞∪ .

2 2

2( 4) (2 3) (2 3) ( 4)( )

(2 3)x x x xf x

x′ ′+ ⋅ − − − ⋅ +′ = =

−

2

22 (2 3) 2( 4)

(2 3)x x x

x− − +=

−=

2 2 2

2 24 6 2 8 2 6 8

(2 3) (2 3)x x x x x

x x− − − − −= =

− −= 2

2( 1)( 4)(2 3)x x

x+ −−

.

Решив уравнение 0)(' =xf , устанавливаем, что функция имеет две кри-тические точки: 1−=x и 4=x .

Исследуем знак производной методом интервалов:

41,5

+

-1+

Следовательно, функция возрастает на каждом из промежутков

]1;( −−∞ и [4; )+∞ , убывает на каждом из промежутков )5,1;1[− и ]4;5,1( . Функция имеет точку максимума 1max −=x и точку минимума 4min =x . Ответ: функция возрастает на промежутках ]1;( −−∞ и [4; )+∞ , убы-

вает на промежутках )5,1;1[− и ]4;5,1( , 1max −=x , 4min =x . Схема оценивания примера 7.

1. Если учащийся правильно указал область определения функции и правильно нашел производную функции, то он получает 1 балл.

2. Если учащийся правильно нашел критические точки функции и пра-вильно исследовал знак производной, то он получает еще 1 балл.

3. За правильно указанные промежутки монотонности функции уча-щийся получает еще 1 балл.

4. За правильно указанные точки минимума и максимума учащийся по-лучает еще 1 балл.

Заметим, что учащийся может не приводить решение квадратного урав-нения для нахождения критических точек, а также способ, которым он опре-делял знаки производной на ее промежутках знакопостоянства.

Пример 8. Вычислите площадь фигуры, ограниченной графиком функ- ции xy 5= и прямыми y = 5 и x = 5 .

Решение. Найдем абсциссу точки пересечения

графика функции xy 5= и прямой y = 5 :

55 =x ; x = 1. На рисунке изображена фигу-ра, площадь которой требуется найти. Иско-мая площадь S равна разности площадей прямоугольника ABCD и криволинейной трапеции ABED.

( ) =−=−= ∫ 51

5

1

)ln55(55 xxdxxS 25 5 5 5 5 1− − +ln ln = 20 5 5− ln .

Ответ: 20 5 5− ln .

y

10 x

1

y = 5

x=5

y =5x

5

5

A

B C

ED

12

Схема оценивания примера 8. 1. Если учащийся правильно нашел абсциссу точки пересечения гипер-

болы xy 5= и прямой y = 5 и правильно изобразил фигуру, площадь которой требуется найти, то он получает 1 балл.

2. Если учащийся правильно записал интеграл, значение которого равно искомой площади, то он получает 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел первообразную подинтегральной функции, то он получает еще 1 балл.

4. Если учащийся правильно подставил границы интегрирования и пра-вильно вычислил приращение первообразной, то он получает еще 1 балл.

Заметим, что учащийся может записать выражение для вычисления пло-

щади в виде разности интегралов ∫∫ −5

1

5

1

55 dxxdx или в виде разности площади

прямоугольника ABCD и интеграла ∫5

1

5 dxx .

Решение задач по геометрии предусматривает выполнение рисунка,

обоснование равенства отрезков, углов, треугольников и других фигур, по-добия треугольников, параллельности или перпендикулярности прямых, по-ложения центров описанной и вписанной окружностей, перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, линейного угла двугранного угла. Каждый из таких ша-гов оценивается определенным образом.

Пример 9. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапе-ции, если ее меньшее основание равно a.

Решение. В трапеции ABCD BC || AD, aBC = , CDAB = , CDAC ⊥ , CADBAC ∠=∠ .

CAD∠ и BCA∠ равны как внутренние накрест лежащие при BC || AD и секущей AC.

Следовательно, BCABAC ∠=∠ . Тогда ∆ABC — равнобедренный. Отсюда aBCABCD === .

Пусть α=∠CAD . Тогда α=∠=∠ 2BADCDA . Из ∆ ACD ( 90ACD∠ = ° ):

°=∠+∠ 90CDACAD ; °=α+α 902 ;

°=α 30 .

A

B C

DM

13

14

Схема оценивания примера 8. 1. Если учащийся правильно нашел абсциссу точки пересечения гипер-

болы xy 5= и прямой y = 5 и правильно изобразил фигуру, площадь которой требуется найти, то он получает 1 балл.

2. Если учащийся правильно записал интеграл, значение которого равно искомой площади, то он получает 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел первообразную подинтегральной функции, то он получает еще 1 балл.

4. Если учащийся правильно подставил границы интегрирования и пра-вильно вычислил приращение первообразной, то он получает еще 1 балл.

Заметим, что учащийся может записать выражение для вычисления пло-

щади в виде разности интегралов ∫∫ −5

1

5

1

55 dxxdx или в виде разности площади

прямоугольника ABCD и интеграла ∫5

1

5 dxx .

Решение задач по геометрии предусматривает выполнение рисунка,

обоснование равенства отрезков, углов, треугольников и других фигур, по-добия треугольников, параллельности или перпендикулярности прямых, по-ложения центров описанной и вписанной окружностей, перпендикулярности прямой и плоскости, двух плоскостей, угла между прямой и плоскостью, угла между плоскостями, линейного угла двугранного угла. Каждый из таких ша-гов оценивается определенным образом.

Пример 9. Диагональ равнобокой трапеции является биссектрисой ее острого угла и перпендикулярна боковой стороне. Найдите площадь трапе-ции, если ее меньшее основание равно a.

Решение. В трапеции ABCD BC || AD, aBC = , CDAB = , CDAC ⊥ , CADBAC ∠=∠ .

CAD∠ и BCA∠ равны как внутренние накрест лежащие при BC || AD и секущей AC.

Следовательно, BCABAC ∠=∠ . Тогда ∆ABC — равнобедренный. Отсюда aBCABCD === .

Пусть α=∠CAD . Тогда α=∠=∠ 2BADCDA . Из ∆ ACD ( 90ACD∠ = ° ):

°=∠+∠ 90CDACAD ; °=α+α 902 ;

°=α 30 .

A

B C

DM

Следовательно, ∆ ACD — прямоугольный с острым углом 30°. Тогда aCDAD 22 == .

Отрезок CM — высота трапеции. Из ∆CMD ( °=∠ 90CMD ):

2360sinsin aaCDMCDCM =°=∠= .

Площадь трапеции 23 3 32

2 2 2 4a aAD BC a aS CM+ += ⋅ = ⋅ = .

Ответ: 23 34

a .

Схема оценивания примера 9. 1. Если учащийся установил и обосновал равенство отрезков AB и BC,

то он получает 1 балл. 2. Если учащийся нашел углы треугольника ACD и большее основание

трапеции, то он получает еще 1 балл. 3. За нахождение высоты трапеции учащийся получает еще 1 балл. 4. Если учащийся правильно нашел площадь трапеции, то он получает

еще 1 балл. Заметим, что высоту трапеции можно найти и другим способом, в част-

ности, рассмотрев CM как высоту прямоугольного треугольника и вос-пользовавшись пропорциональностью отрезков в прямоугольном тре-угольнике.

Пример 10. Высота равнобедренного треугольника равна 18 см, а ра-

диус вписанной в него окружности — 8 см. Найдите периметр данного тре-угольника.

Решение. В треугольнике ABC BCAB = , отрезок BD — вы-

сота, 18=BD см, точка O — центр вписанной окруж-ности.

Поскольку ∆ ABC — равнобедренный, то точка O принадлежит его высоте и биссектрисе BD, а отрезок OD — радиус вписанной окружности, OD = 8 см. Тогда

10=−= ODBDBO см. Центром окружности, вписанной в треугольник, является точка пересе-

чения биссектрис треугольника. Тогда отрезок AO — биссектриса треуголь-ника ADB.

По свойству биссектрисы треугольника 10 58 4

AB BOAD OD= = = .

Пусть xAB 5= см, 0>x , тогда xAD 4= см. Из ∆ ADB ( 90ADB∠ = ° ):

222 BDADAB =− ; 222 181625 =− xx ;

A D C

O

B

14

3249 2 =x ; 6=x .

Следовательно, 30=AB см, 24=AD см, 482 == ADAC см. Тогда 2 108ABCP AB AC∆ = + = см. Ответ: 108 см.

Схема оценивания примера 10. 1. Если учащийся обосновал положение точки O и установил, что отре-

зок AO — биссектриса треугольника ABD, то он получает 1 балл. 2. Если учащийся нашел отношение отрезков AB и AD, то он получает

еще 1 балл. 3. Правильное нахождение коэффициента пропорциональности отрезков

AB и AD оценивается еще 1 баллом. 4. За правильное вычисление длин сторон и периметра треугольника

учащийся получает еще 1 балл. Пример 11. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см

и 15 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основа-ния. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 8 см.

Решение. В пирамиде MABCD основание ABCD — прямо-

угольник, боковые грани ABM и CBM перпен-дикулярны плоскости прямоугольника ABCD. Тогда их общее боковое ребро MB является высотой пира-миды, MB = 8 см, AB = 6 см, BC = 15 см.

Отрезок AB — проекция отрезка AM на плос-кость основания, AB ⊥ AD. Тогда MA ⊥ AD. Аналогично доказываем, что MС ⊥ СD.

Из 2 2 2 2( 90 ) : 6 8 10ABM ABM AM AB MB∆ ∠ = ° = + = + = (см).

Из ∆CBM CBM CM BC MB( ):∠ = ° = + = + =90 15 8 172 2 2 2 (см).

2421 =⋅=∆ MBABS ABM см2, 602

1 =⋅=∆ MBBCS CBM см2, S MAD∆ =

7521 =⋅= MAAD см2, 512

1 =⋅=∆ MCCDS MCD см2, площадь боковой поверх-

ности пирамиды S S S S SABM CBM MAD MCD= + + +∆ ∆ ∆ ∆ = 210 см2. Ответ: 210 см2.

Схема оценивания примера 11. 1. Если учащийся указал, что общее боковое ребро боковых граней, пер-

пендикулярных плоскости основания пирамиды, является высотой пирамиды и обосновал, что MA ⊥ AD и MC ⊥ CD, то он получа-ет 1 балл.

A D

CB

M

15

16

3249 2 =x ; 6=x .

Следовательно, 30=AB см, 24=AD см, 482 == ADAC см. Тогда 2 108ABCP AB AC∆ = + = см. Ответ: 108 см.

Схема оценивания примера 10. 1. Если учащийся обосновал положение точки O и установил, что отре-

зок AO — биссектриса треугольника ABD, то он получает 1 балл. 2. Если учащийся нашел отношение отрезков AB и AD, то он получает

еще 1 балл. 3. Правильное нахождение коэффициента пропорциональности отрезков

AB и AD оценивается еще 1 баллом. 4. За правильное вычисление длин сторон и периметра треугольника

учащийся получает еще 1 балл. Пример 11. Основание пирамиды — прямоугольник со сторонами 6 см

и 15 см, а две соседние боковые грани перпендикулярны плоскости основа-ния. Вычислите площадь боковой поверхности пирамиды, если ее высота равна 8 см.

Решение. В пирамиде MABCD основание ABCD — прямо-

угольник, боковые грани ABM и CBM перпен-дикулярны плоскости прямоугольника ABCD. Тогда их общее боковое ребро MB является высотой пира-миды, MB = 8 см, AB = 6 см, BC = 15 см.

Отрезок AB — проекция отрезка AM на плос-кость основания, AB ⊥ AD. Тогда MA ⊥ AD. Аналогично доказываем, что MС ⊥ СD.

Из 2 2 2 2( 90 ) : 6 8 10ABM ABM AM AB MB∆ ∠ = ° = + = + = (см).

Из ∆CBM CBM CM BC MB( ):∠ = ° = + = + =90 15 8 172 2 2 2 (см).

2421 =⋅=∆ MBABS ABM см2, 602

1 =⋅=∆ MBBCS CBM см2, S MAD∆ =

7521 =⋅= MAAD см2, 512

1 =⋅=∆ MCCDS MCD см2, площадь боковой поверх-

ности пирамиды S S S S SABM CBM MAD MCD= + + +∆ ∆ ∆ ∆ = 210 см2. Ответ: 210 см2.

Схема оценивания примера 11. 1. Если учащийся указал, что общее боковое ребро боковых граней, пер-

пендикулярных плоскости основания пирамиды, является высотой пирамиды и обосновал, что MA ⊥ AD и MC ⊥ CD, то он получа-ет 1 балл.

A D

CB

M

2. Если учащийся нашел длины боковых ребер MA и MC, то он получает еще 1 балл.

3. Если учащийся нашел площади боковых граней пирамиды, то он по-лучает еще 1 балл.

4. За правильное вычисление площади боковой поверхности пирамиды учащемуся начисляется еще 1 балл.

Заметим, что учащийся без обоснования может пользоваться такими фактами:

• если прямая, лежащая в одной из двух перпендикулярных плос-костей, перпендикулярна линии их пересечения, то она перпен-дикулярна и другой плоскости;

• если две пересекающиеся плоскости перпендикулярны третьей плоскости, то линия их пересечения перпендикулярна этой плоскости;

• если боковые ребра пирамиды равны или образуют равные углы с плоскостью основания, то основанием высоты пирамиды яв-ляется центр окружности, описанной около основания пи-рамиды;

• если все двугранные углы при ребрах основания пирамиды рав-ны α, то основанием высоты пирамиды является центр окруж-ности, вписанной в основание пирамиды, а площадь боковой

поверхности пирамиды α

=cosосн

бS

S , где оснS — площадь осно-

вания пирамиды. Пример 12. Основание пирамиды — ромб с острым углом α и большей

диагональю d. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды рав-ны γ. Найдите объем пирамиды.

Решение. MABCD – данная пирамида, ее основание

ABCD — ромб, ∠BCD = α, 0°<α<90°, AC = d. Отрезок MO — высота пирамиды

Поскольку все двугранные углы при реб-рах основания пирамиды равны, то точка O — центр окружности, вписанной в основание пи-рамиды, то есть точка пересечения диагоналей ромба. Из точки O опустим перпендикуляр OK на ребро CD.

Имеем: OK ⊥ CD, отрезок OK — проекция отрезка MK на плоскость ос-нования. Тогда MK ⊥ CD. Так как CD ⊥ OK и CD ⊥ MK, то ∠MKO — линей-ный угол двугранного угла при ребре CD основания пирамиды, ∠MKO = γ.

Из ∆COD (∠COD = 90°): OD = CO ⋅ tg ∠OCD = 2tg2αd .

A

C

DO

M

B

K

16

Тогда 2tg α= dBD и площадь основания пирамиды

2tg21

21 2 α=⋅= dBDACS .

Из ∆OKC (∠OKC = 90°): OK = OC sin ∠OCK = 2sin2αd .

Из ∆MOK (∠MOK = 90°): MO = OK ⋅ tg∠MKO = γα tg2sin2d .

Объем пирамиды =⋅= MOSV 31

2tg21

31 2 α⋅ d ⋅ γα tg2sin2

d =

= γαα tg2sin2tg121 3d .

Ответ: γαα tg2sin2tg121 3d .

Схема оценивания примера 12. 1. Если учащийся указал положение основания высоты пирамиды, то он

получает 1 балл. 2. Если учащийся обосновал, что угол MKO является линейным углом

двугранного угла при ребре основания пирамиды, то он получает еще 1 балл.

3. Если учащийся правильно нашел высоту пирамиды, то он получает еще 1 балл.

4. За нахождение объема пирамиды учащемуся начисляется еще 1 балл.

17

76

1.10. На уроке алгебры семь учащихся получили оценки 8, 9, 10, 7, 6, 5, x. Найдите x, если мода этой выборки равна 9.

А) найти невозможно; Б) 8; В) 9; Г) 10.

1.11. Стоимость товара сначала повысили на 20 %, а потом снизили на 25 %. Как изменилась стоимость товара по сравнению с первоначальной?

А) увеличилась на 10 % ; В) увеличилась на 5 % ; Б) уменьшилась на 10 % ; Г) уменьшилась на 5 % .

1.12. На рисунке изображен график функции ( )y f x= . Укажите верное двойное неравенство. А) '( 2) '(1) '(2)f f f− < < ; Б) '(2) '(1) '( 2)f f f< < − ; В) '(1) '( 2) '(2)f f f< − < ; Г) '(1) '(2) '( 2)f f f< < − .

1.13. На рисунке изображена окружность с цен-тром O. Через точку A к этой окружности проведена касательная AB (B — точка ка-сания). Найдите радиус окружности, если расстояние от точки A до точки B рав-но 15 см, а расстояние от точки A до центра окружности — 17 см.

А) 8 см; Б) 12 см; В) 15 см; Г) 16 см.

1.14. Треугольники ABC и DEF подобны, стороны AB и DE — соответственные, AB= 2 см, DE= 5 см, площадь треугольника ABC равна 12 см2. Найдите площадь треугольника DEF.

А) 30 см2; Б) 60 см2; В) 75 см2; Г) 150 см2.

1.15. Какое из утверждений верно?

А) если прямая a не параллельна прямой b, лежащей в плоскости α, то прямая a не может быть параллельной плоскости α;

Б) если прямая a, не лежащая в плоскости α, параллельна прямой b этой плоскости, то прямая a параллельна плоскости α;

В) если прямая a пересекает плоскость α, а прямая b принадлежит плоскости α, то прямая a обязательно пересекает прямую b;

Г) если две прямые в пространстве не имеют общих точек, то они параллельны.

1.16. Найдите координаты вектора 12x BA= , если A (2; –2; 4), B (– 4; 8; –12).

А) (3; 5; 8)x ; Б) ( 3; 5; 8)x − − ; В) (3; 5; 8)x − ; Г) ( 3; 5; 8)x − .

y

2 0 x211

1

1

2

A

B

O

ВариантЧасть первая

Задания 1.1 – 1.16 содержат по четыре варианта ответов, из которых только ОДИН ответ ПРАВИЛЬНЫЙ. Выберите правильный, по Вашему мнению,

ответ и отметьте его в бланке ответов.

1.1. Представьте выражение a25 в виде степени с рациональным показа-телем.

А) 52

a ; Б) 25

a ; В) 31

a ; Г) 51

a .

1.2. Вычислите значение выражения ( )2sin 3cos6 3π π− − .

А) 25 ; Б) – 2

1 ; В) 31+ ; Г) 31− .

1.3. Какое уравнение не имеет корней? А) 9,0sin =x ; Б) 1log 9,0 −=x ; В) 9,03 −=x ; Г) 19,0 −=x .

1.4. Решите неравенство log log7 7 10x < . А) (– ∞; 10); Б) (10; + ∞); В) (0; 10); Г) (7; 10).

1.5. Найдите производную функции 3 2

( ) 3 2x xf x = − ⋅

А) 23)('2 xxxf −= ; В) 23)(' xxxf −= ;

Б) xxxf −= 2)(' ; Г) xxxf 23)(' 2 −= .

1.6. Значение какого выражения наименьшее?

А) ( )013 ; Б) ( )

131

3 ; В) ( )231

3 ; Г) ( )113 .

1.7. Укажите нечетную функцию. А) xy = ; Б) 3 xy = ; В) 3 2xy = ; Г) xy −= .

1.8. Найдите пятый член геометрической прогрессии 72; 12; 2; ... . А) 18

1 ; Б) 91 ; В) 6

1 ; Г) 6.

1.9. На рисунке изображен график квадратичной

функции ( )y f x= , пересекающий ось абсцисс в точках (1; 0) и (3; 0). Найдите множество ре-шений неравенства ( ) 0x f x⋅ > . А) (1; 3); Б) ( ; 0) (1; 3)−∞ ∪ ;

В) (0;1) (1; 3)∪ ; Г) ( ;1)−∞ .

y

0 x31

1

18

Admin

1

Admin

Раздел I

1.10. На уроке химии шесть учащихся получили оценки 4, 6, 7, 9, 10, y. Найдите y, если медиана этой выборки равна 7,5.

А) 8; Б) 7; В) 9; Г) найти невозможно.

1.11. Вычислите интеграл ∫−

−2

1)12( dxx .

А) –2; Б) 0; В) 2; Г) 4.

1.12. Укажите пару равносильных уравнений.

А) 3 1x = и 2 1x = ;

Б) 1 11xx− =−

и 1 1x x− = − ;

В) 2 1 11

xx− =−

и 1 1x + = ;

Г) 2

11x xx− =−

и 1x = .

1.13. Найдите основание равнобедренного треугольника, периметр которого равен 28 см, а основание на 8 см меньше боковой стороны.

А) 20 см; Б) 12 см; В) 8 см; Г) 4 см.

1.14. Треугольник ABC, изображенный на рисунке, — прямоугольный равнобедренный. Отрезки BD, BE, BF и BK делят прямой угол треугольника на 5 равных углов. Какая величина угла α?

А) 45°; Б) 60°; В) 63°; Г) 81°.

1.15. Вычислите объем правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 20 см, а высота — 9 см.

А) 3300 см3; Б) 300 см3; В) 900 см3; Г) 3900 см3.

1.16. Найдите модуль вектора ( 5;1; 2)a − .

А) 8; Б) 30; В) 30 ; Г) 8 .

B

D

C

A

K

EαF

19

78

1.10. На уроке химии шесть учащихся получили оценки 4, 6, 7, 9, 10, y. Найдите y, если медиана этой выборки равна 7,5.

А) 8; Б) 7; В) 9; Г) найти невозможно.

1.11. Вычислите интеграл ∫−

−2

1)12( dxx .

А) –2; Б) 0; В) 2; Г) 4.

1.12. Укажите пару равносильных уравнений.

А) 3 1x = и 2 1x = ;

Б) 1 11xx− =−

и 1 1x x− = − ;

В) 2 1 11

xx− =−

и 1 1x + = ;

Г) 2

11x xx− =−

и 1x = .

1.13. Найдите основание равнобедренного треугольника, периметр которого равен 28 см, а основание на 8 см меньше боковой стороны.

А) 20 см; Б) 12 см; В) 8 см; Г) 4 см.

1.14. Треугольник ABC, изображенный на рисунке, — прямоугольный равнобедренный. Отрезки BD, BE, BF и BK делят прямой угол треугольника на 5 равных углов. Какая величина угла α?

А) 45°; Б) 60°; В) 63°; Г) 81°.

1.15. Вычислите объем правильной треугольной призмы, сторона основания которой равна 20 см, а высота — 9 см.

А) 3300 см3; Б) 300 см3; В) 900 см3; Г) 3900 см3.

1.16. Найдите модуль вектора ( 5;1; 2)a − .

А) 8; Б) 30; В) 30 ; Г) 8 .

B

D

C

A

K

EαF

Вариант Часть первая



1.1. Представьте в виде степени выражение m m− ⋅2 4 0 4, , . А) 8,2−m ; Б) 2−m ; В) 6−m ; Г) 6,9−m .

1.2. Решите уравнение x3 4= − .

А) –12; Б) – 64; 64; В) – 64; Г) корней нет.

1.3. График какой функции проходит через точку )1;2(A ?

А) )1lg( −= xy ; Б) xy π= cos ; В) 31

xy x−= − ; Г) |1| += xy .

1.4. Вычислите значение выражения ( )3cos arcsin 2⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А) – 23 ; Б) 2

3 ; В) – 21 ; Г) 2

1 .

1.5. Решите неравенство 1 16 6

log (1 ) log 2x− < .

А) (–1; 1); Б) (0; 1); В) (–1; + ∞); Г) (– ∞; –1).

1.6. Укажите множество значений функции 43 += xy .

А) (4; + ∞); Б) (0; + ∞); В) (– ∞; + ∞); Г) (7; + ∞).

1.7. Областью определения какой из функций является промежуток (– ∞; 2)?

А) )2lg( xy −= ; Б) )2lg( −= xy ;

В) 2−= xy ;

Г) xy −= 2 .

1.8. Какая функция убывает на промежутке (0; + ∞)? А) 2xy = ; Б) xy 2= ; В) xy = ; Г) xy 2= .

1.9. Лиственные деревья составляют 70 % всех деревьев, растущих в парке, из них 30 % составляют дубы. Какой процент всех деревьев парка составляют дубы?

А) 40 %; Б) 30 %; В) 21 %; Г) 15 %.

1.10. Найдите производную функции xxf 6ln)( = .

А) xxf 1)(' = ; Б) xxf 61)(' = ; В) xxf 6)(' = ; Г) 6)(' xxf = .

20

Admin

2

1.11. На рисунке изображены графики функ-ций )(xfy = и )(xgy = . Сравните зна-

чения выражений ∫b

adxxf )( и ∫

b

adxxg )( .

А) ∫b

adxxf )( > ∫

b

adxxg )( ;

Б) ∫b

adxxf )( < ∫

b

adxxg )( ;

В) ∫b

adxxf )( = ∫

b

adxxg )( ;

Г) сравнить невозможно.

1.12. Сколько двузначных чисел, цифры которых различны, можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4?

А) 6; Б) 8; В) 12; Г) 18.

1.13. Диагональ прямоугольника равна 16 см и образует с его стороной угол 30°. Найдите бóльшую сторону прямоугольника.

А) 38 см; Б) 8 см; В) 316 см; Г) 16 см.

1.14. На рисунке изображена трапеция ABCD с ос-нованиями AD и BC, вписанная в окружность. Чему равно отношение стороны AB к сторо-не CD?

А) 1 : 1; Б) 2 : 1; В) 4 : 1; Г) 3 : 2.

1.15. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллель-ная прямой AB, пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точ-ке K. Найдите отрезок MK, если точка M — середина стороны AC, точка K — середина стороны BC и 16AB = см.

А) 4 см; Б) 6 см; В) 8 см; Г) 12 см.

1.16. Известно, что вектор m равен разности векторов AB и AC , где A — некоторая точка пространства, B (3; 7; 10), C (1; 9; – 6). Найдите координаты вектора m .

А) m (–2; 2; 16);

Б) m (2; –2; 16); В) m (–2; –2; 16); Г) найти невозможно.

y

x0

)(xfy =

)(xgy =a b

A

B C

D

21

80

1.11. На рисунке изображены графики функ-ций )(xfy = и )(xgy = . Сравните зна-

чения выражений ∫b

adxxf )( и ∫

b

adxxg )( .

А) ∫b

adxxf )( > ∫

b

adxxg )( ;

Б) ∫b

adxxf )( < ∫

b

adxxg )( ;

В) ∫b

adxxf )( = ∫

b

adxxg )( ;


1.12. Сколько двузначных чисел, цифры которых различны, можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4?

А) 6; Б) 8; В) 12; Г) 18.

1.13. Диагональ прямоугольника равна 16 см и образует с его стороной угол 30°. Найдите бóльшую сторону прямоугольника.

А) 38 см; Б) 8 см; В) 316 см; Г) 16 см.

1.14. На рисунке изображена трапеция ABCD с ос-нованиями AD и BC, вписанная в окружность. Чему равно отношение стороны AB к сторо-не CD?

А) 1 : 1; Б) 2 : 1; В) 4 : 1; Г) 3 : 2.

1.15. Дан треугольник ABC. Плоскость, параллель-ная прямой AB, пересекает сторону AC в точке M, а сторону BC — в точ-ке K. Найдите отрезок MK, если точка M — середина стороны AC, точка K — середина стороны BC и 16AB = см.

А) 4 см; Б) 6 см; В) 8 см; Г) 12 см.

1.16. Известно, что вектор m равен разности векторов AB и AC , где A — некоторая точка пространства, B (3; 7; 10), C (1; 9; – 6). Найдите координаты вектора m .

А) m (–2; 2; 16);

Б) m (2; –2; 16); В) m (–2; –2; 16); Г) найти невозможно.

y

x0

)(xfy =

)(xgy =a b

A

B C

D




1.1. Найдите значение выражения 2124 .

А) 8; Б) 16; В) 32; Г) 64.

1.2. Вычислите cos240° .

А) 21 ; Б) 2

1− ; В) 23 ; Г) 2

3− .

1.3. Сравните ( )6511 и ( )75

11 .

А) ( )6511 < ( )75

11 ;

Б) ( )6511 = ( )75

11 ;

В) ( )6511 > ( )75

11 ;


1.4. График какой из функций проходит через начало координат?

А) xy sin= ; Б) xy cos= ; В) xy lg= ; Г) xy 10= .

1.5. Чему равно значение выражения 67log236log 77 + ?

А) 1; Б) 2; В) 7; Г) 49.

1.6. Найдите значение производной функции f x x x( ) = −2 3 в точке x0 1= − .

А) 5; Б) –1; В) –5; Г) 1.

1.7. Какая функция является первообразной функции xexf 2)( −= ?

А) xexF 221)( −−= ; В) xexF 22)( −−= ;

Б) xexF 2)( −= ; Г) xexF 3)( −= .

1.8. Решите уравнение 212sin −=x .

А) ,12 kπ+π± Zk ∈ ; В) ,23kπ+π± Zk ∈ ;

Б) ,212)1( 1 kk π+π⋅− + Zk ∈ ; Г) ,212)1( kk π+π⋅− Zk ∈ .

22

Admin

3

1.9. На одном из рисунков изображен график функции ( )4xy = . Укажите

этот рисунок.

x0

y

1

1

А)

x0

y

1

1

Б)

x

y

1

1

0

В)

x

y

1

1

0

Г)

1.10. Банк выплачивает своим вкладчикам 8 % годовых. Сколько денег надо положить в банк, чтобы через год получить 1200 грн прибыли?

А) 10 000 грн; Б) 12 000 грн; В) 15 000 грн; Г) 18 000 грн.

1.11. График квадратичной функции bxaxy += 2 расположен в первой, второй и третьей четвертях координатной плоскости. Какое утверждение верно?

А) 0<a и 0>b ; Б) 0>a и 0<b ; В) 0<a и 0<b ; Г) 0>a и 0>b .

1.12. В меню столовой есть 3 первых блюда, 6 вторых блюд и 4 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед, содержащий по одному блюду каждого вида?

А) 13; Б) 72; В) 36; Г) 54.

1.13. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 35°. Найдите наибольший угол ромба. А) 110°; Б) 55°; В) 120°; Г) 100°.

1.14. Квадрат вписан в окружность, радиус которой равен R. Чему равна площадь квадрата?

А) 24R ; Б) 22R ; В) 22R ; Г) 222R .

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности прямой призмы, основание которой — треугольник со сторонами 10 см, 12 см и 13 см, а боковое ребро равно 8 см.

А) 70 см2; Б) 140 см2; В) 210 см2; Г) 280 см2.

1.16. Найдите расстояние между точками A (5; –1; 4) и B (9; 1; 8).

А) 8; Б) 26 ; В) 6; Г) 24 .

23

82

1.9. На одном из рисунков изображен график функции ( )4xy = . Укажите

этот рисунок.

x0

y

1

1

А)

x0

y

1

1

Б)

x

y

1

1

0

В)

x

y

1

1

0

Г)

1.10. Банк выплачивает своим вкладчикам 8 % годовых. Сколько денег надо положить в банк, чтобы через год получить 1200 грн прибыли?

А) 10 000 грн; Б) 12 000 грн; В) 15 000 грн; Г) 18 000 грн.

1.11. График квадратичной функции bxaxy += 2 расположен в первой, второй и третьей четвертях координатной плоскости. Какое утверждение верно?

А) 0<a и 0>b ; Б) 0>a и 0<b ; В) 0<a и 0<b ; Г) 0>a и 0>b .

1.12. В меню столовой есть 3 первых блюда, 6 вторых блюд и 4 третьих блюда. Сколькими способами можно выбрать обед, содержащий по одному блюду каждого вида?

А) 13; Б) 72; В) 36; Г) 54.

1.13. Угол между диагональю ромба и его стороной равен 35°. Найдите наибольший угол ромба. А) 110°; Б) 55°; В) 120°; Г) 100°.

1.14. Квадрат вписан в окружность, радиус которой равен R. Чему равна площадь квадрата?

А) 24R ; Б) 22R ; В) 22R ; Г) 222R .

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности прямой призмы, основание которой — треугольник со сторонами 10 см, 12 см и 13 см, а боковое ребро равно 8 см.

А) 70 см2; Б) 140 см2; В) 210 см2; Г) 280 см2.

1.16. Найдите расстояние между точками A (5; –1; 4) и B (9; 1; 8).

А) 8; Б) 26 ; В) 6; Г) 24 .




1.1. Какая функция является возрастающей?

А) xy −= 8 ; Б) xy 8−= ; В) xy +−= 8 ; Г) xy −−= 8 .

1.2. Решите уравнение x − =1 5 .

А) 6; Б) 4; В) 26; Г) 27.

1.3. Упростите выражение α+α− 22 cossin1 .

А) 0; Б) 2; В) α2cos2 ; Г) α2sin2 .

1.4. Сократите дробь 12

12 1

q q

q

+

+⋅

А) 12 1q + ; Б) 1

2

1

1q +; В)

12q ; Г) 1

2

1

q.

1.5. Решите неравенство log ( ) log, ,0 2 0 24 2x + < . А) (– ∞; –2); Б) (– 4; –2); В) (2; + ∞); Г) (–2; + ∞).

1.6. Область определения какой из функций состоит из одного числа?

А) 4 xy = ; Б) 4 4xy −= ; В) 4 xy −= ; Г) ( )44 xy = .

1.7. На каком из рисунковв изображен график нечетной функции? y

x0

А) y

x0

Б) y

x0

В) y

x0

Г)

1.8. Найдите производную функции f x x x( ) ln= . А) 1)(' =xf ; В) xxxf += ln)(' ; Б) 1)(' += xxf ; Г) 1ln)(' += xxf .

1.9. Вычислите интеграл 9

42dx

x∫ .

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) 4.

24

Admin

4

1.10. При каких значениях a выполняется равенство aa =4 4 ? А) 0<a ; Б) 0≥a ;

В) 1−<a ; Г) a — любое число.

1.11. Скорость автомобиля уменьшилась с 80 км/ч до 64 км/ч. На сколько процентов уменьшилась его скорость?

А) на 20 %; Б) на 25 %; В) на 16 %; Г) на 15 %.

1.12. Турист проехал на велосипеде 120 км со скоростью 24 км/ч, затем 2 ч отдыхал, после этого проехал оставшиеся 60 км со скоростью 12 км/ч. Чему была равной средняя скорость движения туриста на протяжении всего путешествия?

А) 20 км/ч; Б) 18 км/ч; В) 16 км/ч; Г) 15 км/ч.

1.13. Вершинами треугольника 111 CBA , изобра-женного на рисунке, являются середины сто-рон треугольника ABC. Чему равно отношение периметра треугольника 111 CBA к периметру треугольника ABC?

А) 2 : 3; Б) 1 : 3; В) 1 : 1; Г) 1 : 2.

1.14. Найдите сторону AC треугольника ABC, если AB = 6 см, BC = 3 3 см, ∠ B = 30°.

А) 3 см; Б) 9 см; В) 133 см; Г) 6 см.

1.15. Чему равен радиус сферы, площадь поверхности которой рав-на 100π см2?

А) 100 см; Б) 50 см; В) 5 см; Г) 20 см.

1.16. Известно, что m a b= − . Найдите координаты вектора m , если

(2;7; 4)a − , ( 1;5; 3)b − .

А) m (1; 12; –1); Б) m (3; 2; –7); В) m (1; 2; –1); Г) m (1; 2; –7).

A

B

C

A1

B1

C1

25

84

1.10. При каких значениях a выполняется равенство aa =4 4 ? А) 0<a ; Б) 0≥a ;

В) 1−<a ; Г) a — любое число.

1.11. Скорость автомобиля уменьшилась с 80 км/ч до 64 км/ч. На сколько процентов уменьшилась его скорость?

А) на 20 %; Б) на 25 %; В) на 16 %; Г) на 15 %.

1.12. Турист проехал на велосипеде 120 км со скоростью 24 км/ч, затем 2 ч отдыхал, после этого проехал оставшиеся 60 км со скоростью 12 км/ч. Чему была равной средняя скорость движения туриста на протяжении всего путешествия?

А) 20 км/ч; Б) 18 км/ч; В) 16 км/ч; Г) 15 км/ч.

1.13. Вершинами треугольника 111 CBA , изобра-женного на рисунке, являются середины сто-рон треугольника ABC. Чему равно отношение периметра треугольника 111 CBA к периметру треугольника ABC?

А) 2 : 3; Б) 1 : 3; В) 1 : 1; Г) 1 : 2.

1.14. Найдите сторону AC треугольника ABC, если AB = 6 см, BC = 3 3 см, ∠ B = 30°.

А) 3 см; Б) 9 см; В) 133 см; Г) 6 см.

1.15. Чему равен радиус сферы, площадь поверхности которой рав-на 100π см2?

А) 100 см; Б) 50 см; В) 5 см; Г) 20 см.

1.16. Известно, что m a b= − . Найдите координаты вектора m , если

(2;7; 4)a − , ( 1;5; 3)b − .

А) m (1; 12; –1); Б) m (3; 2; –7); В) m (1; 2; –1); Г) m (1; 2; –7).

A

B

C

A1

B1

C1




1.1. Представьте в виде степени с основанием a выражение 122

3a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А) 6a ; Б) 21a ; В) 8a ; Г) 18a .

1.2. График какой функции изображен на рисунке? А) 2)2( −= xy ; В) 22 −= xy ;

Б) 2)2( += xy ; Г ) 22 += xy .

1.3. Вычислите значение выражения ( )441 22 .

А) 1; Б) 21 ; В) 8

1 ; Г) 4.

1.4. Решите уравнение sin 03x = .

А) ,6 kπ Zk ∈ ; В) ,3kπ Zk ∈ ;

Б) ,323 kπ+π Zk ∈ ; Г) ,3 kπ Zk ∈ .

1.5. График какой из функций пересекает график функции 34 −= xy ?

А) 43 −= xy ; Б) xy 4= ; В) 14 += xy ; Г) 34 += xy .

1.6. Найдите область определения функции f x x( ) = −12 46 .

А) [3; + ∞); Б) (– ∞; 3]; В) (3; + ∞); Г) (– ∞; 3).

1.7. Решите неравенство 4 3x < .

А) 3( ; log 4)−∞ ; Б) 4( ; log 3)−∞ ; В) 3(log 4; )+∞ ; Г) 4(log 3; )+∞ .

1.8. Найдите значение производной функции ( ) cosf x x x= в точке 0x = π .

А) 0; Б) 1; В) –1; Г) π.

1.9. Какова вероятность того, что при бросании игрального кубика выпадет число, которое больше числа 4? А) 1

2 ; Б) 13 ; В) 1

4 ; Г) 23 .

y

x0-2

1

26

Admin

5


2

3sin

dxx

π

π∫ .

А) 33 ; Б) 3 ; В) – 3

3 ; Г) – 3 .

1.11. Какое число является периодом функции 2xy tg= ?

А) π; Б) 2π ; В) 4

π ; Г) 2π.

1.12. Цену рубашки сначала снизили на 60 %, а потом повысили на 200 %. Как изменилась цена рубашки по сравнению с первоначальной?

А) увеличилась на 140 %; В) увеличилась на 20 %; Б) уменьшилась на 40 %; Г) уменьшилась на 80 %.

1.13. На рисунке изображены параллельные прямые a и b и секущая c. Чему равна сумма углов α и β?

А) 90°; Б) 120°;

В) 180°; Г) найти невозможно.

1.14. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 см, а один из катетов — 12 см.

А) 192 см2; Б) 96 см2; В) 240 см2; Г) 120 см2.

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, высота которого равна 14 см, а радиус основания — 4 см.

А) 112π см2; Б) 56π см2; В) 224π см2; Г) 22π см2.

1.16. Какая точка принадлежит оси z?

А) M (0; –7; 0); Б) N (8; 0; 0); В) P (8; 0; 1); Г) K (0; 0; 6).

ba

c

α

β

27

86


2

3sin

dxx

π

π∫ .

А) 33 ; Б) 3 ; В) – 3

3 ; Г) – 3 .

1.11. Какое число является периодом функции 2xy tg= ?

А) π; Б) 2π ; В) 4

π ; Г) 2π.

1.12. Цену рубашки сначала снизили на 60 %, а потом повысили на 200 %. Как изменилась цена рубашки по сравнению с первоначальной?

А) увеличилась на 140 %; В) увеличилась на 20 %; Б) уменьшилась на 40 %; Г) уменьшилась на 80 %.

1.13. На рисунке изображены параллельные прямые a и b и секущая c. Чему равна сумма углов α и β?

А) 90°; Б) 120°;

В) 180°; Г) найти невозможно.

1.14. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 20 см, а один из катетов — 12 см.

А) 192 см2; Б) 96 см2; В) 240 см2; Г) 120 см2.

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, высота которого равна 14 см, а радиус основания — 4 см.



А) M(0; –7; 0); Б) N(8; 0; 0); В) P (8; 0; 1); Г) K(0; 0; 6).

ba

c

α

β




1.1. Решите уравнение 4 81x = .

А) 9; Б) –9; 9; В) 3; Г) –3; 3.

1.2. Вычислите значение выражения 1 13 227 25+ .

А) 19; Б) 14; В) 13; Г) 8.

1.3. Найдите значение выражения 34cos 2sin3 2π π+ ⋅

А) 4; Б) 2; В) 0; Г) 32 .

1.4. Областью определения какой из функций является промежуток [–9; + ∞) ?

А) 6 9−= xy ; Б) 6 9+= xy ; В) 6 9 xy −= ; Г) 6 9−−= xy .

1.5. Чему равно значение выражения )25(log5 b , если 2log5 =b ?

А) 4; Б) 10; В) 7; Г) 5.

1.6. Решите уравнение ( ) ( )9 323 16 8

x x⋅ = .

А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3.

1.7. Известно, что 3 ba c= − . Выразите из этого равенства переменную b

через переменные a и c.

А) ( 3)b c a= + ; Б) 3cb a= + ; В) (3 )b c a= − ; Г) 3

cb a= − .

1.8. Вычислите значение производной функции f x x x( ) = −2 в точке x0 1 5= , .

А) 2; Б) 1,5; В) 3; Г) 0,75.

1.9. Среднее значение выборки 7, 10, y, 14 равно 11. Чему равен y?

А) 10; Б) 12; В) 13; Г) 11.

28

Admin

6

1.10. Укажите общий вид первообразных функции f x x x( ) = +2 63 .

А) Cxx ++ 24 321 ; В) Cxx ++ 34 2 ;

Б) Cx ++ 66 ; Г) Cxx ++ 24 34 .

1.11. На рисунке изображен график убывающей функции )(xfy = , определенной на множестве действительных чисел. Сколько корней имеет уравнение xxf 4log)( = ? А) ни одного корня; Б) один корень; В) два корня; Г) бесконечно много корней.

1.12. Положительное число b увеличили на 200 % и получили число a.. Какое равенство верно?

А) ba 2= ; Б) ba 3= ; В) ba 4= ; Г) ba 5= .

1.13. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 1 : 2. Найдите меньший катет треугольника, если гипотенуза равна 12 см.

А) 8 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 2 см.

1.14. Пять правильных шестиугольников расположены так, как показано на рисунке. Длина окружности, описанной около одного из шестиугольников, равна 12π см. Чему равна длина выделенной линии?

А) 72 см; Б) 108 см; В) 96 см; Г) 144 см.

1.15. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 60°, высота конуса — 9 3 см. Найдите образующую конуса.

А) 239 см; Б) 318 см; В) 13,5 см; Г) 18 см.

1.16. При каком значении n векторы (8; 12; 20)a − и (2; ; 5)b n коллинеарны?

А) –3; Б) 3; В) – 4; Г) такого значения не существует.

y

x0

)(xfy =

29

88

1.10. Укажите общий вид первообразных функции f x x x( ) = +2 63 .

А) Cxx ++ 24 321 ; В) Cxx ++ 34 2 ;

Б) Cx ++ 66 ; Г) Cxx ++ 24 34 .

1.11. На рисунке изображен график убывающей функции )(xfy = , определенной на множестве действительных чисел. Сколько корней имеет уравнение xxf 4log)( = ? А) ни одного корня; Б) один корень; В) два корня; Г) бесконечно много корней.

1.12. Положительное число b увеличили на 200 % и получили число a.. Какое равенство верно?

А) ba 2= ; Б) ba 3= ; В) ba 4= ; Г) ba 5= .

1.13. Острые углы прямоугольного треугольника относятся как 1 : 2. Найдите меньший катет треугольника, если гипотенуза равна 12 см.

А) 8 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 2 см.

1.14. Пять правильных шестиугольников расположены так, как показано на рисунке. Длина окружности, описанной около одного из шестиугольников, равна 12π см. Чему равна длина выделенной линии?

А) 72 см; Б) 108 см; В) 96 см; Г) 144 см.

1.15. Угол между образующей и плоскостью основания конуса равен 60°, высота конуса — 9 3 см. Найдите образующую конуса.

А) 239 см; Б) 318 см; В) 13,5 см; Г) 18 см.

1.16. При каком значении n векторы (8; 12; 20)a − и (2; ; 5)b n коллинеарны?

А) –3; Б) 3; В) – 4; Г) такого значения не существует.

y

x0

)(xfy =




1.1. Какая из функций является показательной? А) xy 4= ; Б) 4xy = ; В) xy 4= ; Г) 4 xy = .

1.2. Представьте в виде степени выражение c c c0 6 4 4 3, , − . А) 8c ; Б) 2c ; В) 2−c ; Г) 3c .

1.3. Укажите область определения функции 45( )

2 8f x

x=

−⋅

А) [2; + ∞); Б) [4; + ∞); В) (2; + ∞); Г) (4; + ∞).

1.4. Решите уравнение xx cossin = . А) 4

π ;

Б) ,24 kπ+π Zk ∈ ;

В) ,4 kπ+π Zk ∈ ;

Г) ,4 kπ+π± Zk ∈ .

1.5. На одном из рисунков изображен график функции xy 3log−= . Укажите этот рисунок.

x0

А) y

1

1

x0

Б) y

1

1

x0

В) y

1

1

x0

Г) y

11

1.6. Чему равно значение α2cos , если 83cos2 =α ?

А) – 41 ; Б) 4

1 ; В) 21 ; Г) – 2

1 .

1.7. Тело движется по координатной прямой по закону 132)( 2 +−= ttts (перемещение s измеряется в метрах, время t — в секундах). Найдите скорость тела через 3 с после начала движения.

А) 9 м/с; Б) 10 м/с; В) 4 м/с; Г) 15 м/с.

1.8. Укажите первообразную функции xxf 1)( = на промежутке (0; )+∞ ,

график которой проходит через точку )1;( 2 −eM . А) 1ln)( += xxF ; Б) 3ln)( += xxF ;

В) 3ln)( −= xxF ; Г) xxF ln)( = .

30

Admin

7

1.9. Вычислите значение выражения 63

6

log 8log log 2 .

А) –1; Б) 1; В) 4log3 ; Г) 6log3 .

1.10. График какой из функций не пересекает ось ординат? А) )1(log6 += xy ;

Б) 2)1( += xy ;

В) xy tg= ;

Г) 1−= xy .

1.11. В соревнованиях по прыжкам в высоту среди десятиклассников участ-вуют 20 школьников. Семь из них учатся в 10-А классе, восемь — в 10-Б классе, а остальные — в 10-В классе. Последовательность, в которой прыгают юные спортсмены, определяется жеребьевкой. Какова веро-ятность того, что школьник, который будет прыгать первым, является учеником 10-В класса?

А) 13 ; Б) 1

6 ; В) 14 ; Г) 1

5 .

1.12. Пустой бассейн наполняется через две трубы за 6 ч. Если же открыть только первую из этих труб, то бассейн будет наполнен за 7 ч. За какое время можно наполнить бассейн, если открыть только вторую трубу?

А) за 28 ч; Б) за 35 ч; В) за 42 ч; Г) за 56 ч.

1.13. Найдите наибольший угол треугольника, если его углы относятся как 2 : 3 : 5.

А) 18°; Б) 36°; В) 54°; Г) 90°.

1.14. Чему равно отношение длины окружности к периметру квадрата, опи-санного около этого окружности?

А) 1 : 1; Б) 2 : 1; В) π : 4; Г) π : 8.

1.15. Из точки B, лежащей в одной из граней дву-гранного угла, изображенного на рисунке, опущены перпендикуляр BA на ребро MK двугранного угла и перпендикуляр BC на другую грань. Найдите величину двугранного угла, если AB = 4 3 см, BC = 6 см.

А) 90°; Б) 60°; В) 45°; Г) 30°.

1.16. Найдите координаты вектора 12m a b= − , если (7; 3; 1)a − ,

( 4; 2; 6)b − − .

А) m (9; 2; 2); Б) m (5; 2; – 4); В) m (9; 2; –2); Г) m (3; 1; 5).

A

B

C

M K

31

90


6

log 8log log 2 .

А) –1; Б) 1; В) 4log3 ; Г) 6log3 .

1.10. График какой из функций не пересекает ось ординат? А) )1(log6 += xy ;

Б) 2)1( += xy ;

В) xy tg= ;

Г) 1−= xy .

1.11. В соревнованиях по прыжкам в высоту среди десятиклассников участ-вуют 20 школьников. Семь из них учатся в 10-А классе, восемь — в 10-Б классе, а остальные — в 10-В классе. Последовательность, в которой прыгают юные спортсмены, определяется жеребьевкой. Какова веро-ятность того, что школьник, который будет прыгать первым, является учеником 10-В класса?

А) 13 ; Б) 1

6 ; В) 14 ; Г) 1

5 .

1.12. Пустой бассейн наполняется через две трубы за 6 ч. Если же открыть только первую из этих труб, то бассейн будет наполнен за 7 ч. За какое время можно наполнить бассейн, если открыть только вторую трубу?

А) за 28 ч; Б) за 35 ч; В) за 42 ч; Г) за 56 ч.

1.13. Найдите наибольший угол треугольника, если его углы относятся как 2 : 3 : 5.

А) 18°; Б) 36°; В) 54°; Г) 90°.

1.14. Чему равно отношение длины окружности к периметру квадрата, опи-санного около этого окружности?

А) 1 : 1; Б) 2 : 1; В) π : 4; Г) π : 8.

1.15. Из точки B, лежащей в одной из граней дву-гранного угла, изображенного на рисунке, опущены перпендикуляр BA на ребро MK двугранного угла и перпендикуляр BC на другую грань. Найдите величину двугранного угла, если AB = 4 3 см, BC = 6 см.

А) 90°; Б) 60°; В) 45°; Г) 30°.

1.16. Найдите координаты вектора 12m a b= − , если (7; 3; 1)a − ,

( 4; 2; 6)b − − .

А) m (9; 2; 2); Б) m (5; 2; – 4); В) m (9; 2; –2); Г) m (3; 1; 5).

A

B

C

M K




1.1. Чему равно значение выражения log3 27 ?

А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 9.

1.2. Известно, что 0 7 0 7, ,m n> . Сравните числа m и n.

А) nm < ; Б) nm > ; В) nm = ; Г) nm ≥ .

1.3. Упростите выражение )6(cos α−π .

А) – αcos ; Б) – αsin ; В) αcos ; Г) αsin .

1.4. Решите неравенство 12 −>− x . А) (– ∞; 1); Б) (– ∞; + ∞);

В) (– ∞; 2]; Г) решений нет.

1.5. Упростите выражение 2 13 313 1

a a

a

−

−⋅

А) 31

a ; Б) 131−a ; В) 3

2a ; Г) 13

1+a .

1.6. Сократите дробь cos 6cos3 sin 3

αα − α

⋅

А) α3cos ; Б) – α3ctg ;

В) α−α 3sin3cos ; Г) α+α 3sin3cos .

1.7. Вычислите интеграл x dx2

0

3

∫ .

А) 3; Б) 27; В) 6; Г) 9.

1.8. Какая из функций возрастает на промежутке [–1; + ∞)?

А) xy 1−= ; Б) xу 7log= ; В) 2xy = ; Г) xy 7= .

1.9. Найдите производную функции ( ) ln cosf x x= . А) '( ) tgf x x= ; Б) '( ) tgf x x= − ;

В) '( ) ctgf x x= ; Г) '( ) ctgf x x= − .

32

Admin

8

1.10. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить на 10 %?

А) на 10 %; Б) на 40 %; В) на 21 %; Г) на 100 %.

1.11. Сколько существует правильных дробей, числитель и знаменатель которых — простые числа, меньшие 10?

А) 5; Б) 6; В) 7; Г) 8.

1.12. Укажите четную функцию.

А) xxy cos= ; Б) xxy cos+= ;

В) xxy sin= ; Г) xxy sin+= .

1.13. Стороны треугольника равны 5 см и 2 2 см, а угол между ними — 45°. Найдите третью сторону треугольника.

А) 13 см; Б) 13 см; В) 3 см; Г) 3 см.

1.14. В треугольнике ABC, изображенном на рисунке, BCAB = , °=∠ 80B , отрезки AK и CM — биссектрисы. Какова величина угла α?

А) 130°; Б) 115°; В) 105°; Г) 75°.

1.15. Ребро куба уменьшили в 3 раза. Во сколько раз уменьшился объем куба?

А) в 3 раза; Б) в 6 раз; В) в 9 раз; Г) в 27 раз.

1.16. Найдите координаты середины отрезка MK, если M (20; –18; 6), K (–12; –2; 4).

А) (8; –20; 10); Б) (4; –10; 5); В) (–16; –10; 5); Г) (8; –10; 5).

A

B

C

α80°M K

33

92

1.10. На сколько процентов увеличится площадь квадрата, если его сторону увеличить на 10 %?

А) на 10 %; Б) на 40 %; В) на 21 %; Г) на 100 %.

1.11. Сколько существует правильных дробей, числитель и знаменатель которых — простые числа, меньшие 10?

А) 5; Б) 6; В) 7; Г) 8.

1.12. Укажите четную функцию.

А) xxy cos= ; Б) xxy cos+= ;

В) xxy sin= ; Г) xxy sin+= .

1.13. Стороны треугольника равны 5 см и 2 2 см, а угол между ними — 45°. Найдите третью сторону треугольника.

А) 13 см; Б) 13 см; В) 3 см; Г) 3 см.

1.14. В треугольнике ABC, изображенном на рисунке, BCAB = , °=∠ 80B , отрезки AK и CM — биссектрисы. Какова величина угла α?

А) 130°; Б) 115°; В) 105°; Г) 75°.

1.15. Ребро куба уменьшили в 3 раза. Во сколько раз уменьшился объем куба?

А) в 3 раза; Б) в 6 раз; В) в 9 раз; Г) в 27 раз.

1.16. Найдите координаты середины отрезка MK, если M (20; –18; 6), K (–12; –2; 4).

А) (8; –20; 10); Б) (4; –10; 5); В) (–16; –10; 5); Г) (8; –10; 5).

A

B

C

α80°M K




1.1. Вычислите значение выражения 9 3 5log .

А) 5; Б) 10; В) 25; Г) 125.

1.2. Решите неравенство ( )4 47 7

x≥ .

А) [1; + ∞); Б) (– ∞; 1]; В) [–1; + ∞); Г) (– ∞; –1].

1.3. Сократите дробь sin 2cos

αα

.

А) αcos2 ; Б) αsin2 ; В) 2; Г) αα cossin .

1.4. Упростите выражение 1 1 1 12 4 2 4m n m n⎛ ⎞⎛ ⎞− +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠⎝ ⎠.

А) 21

nm − ; Б) 21

41

nm − ; В) 81

41

nm − ; Г) 81

nm − .

1.5. Сравните 3 23 и 3 53 .

А) 3 23 < 3 53 ;

Б) 3 23 = 3 53 ; В) 3 23 > 3 53 ; Г) сравнить невозможно.

1.6. Найдите сумму первых пятнадцати четных натуральных чисел.

А) 210; Б) 240; В) 270; Г) 300.

1.7. Найдите производную функции cos( )( ) sin(2 )xf x x

π−= π− .

А) 21'( )

sinf x

x= ;

Б) 21'( )

cosf x

x= − ;

В) 21'( )

cosf x

x= ;

Г) 21'( )

sinf x

x= − .

1.8. Решите уравнение xx cossin5 = .

А) kπ+± 251arccos , Zk ∈ ;

Б) 1( 1) arcsin 5k k− ⋅ + π , Zk ∈ ;

В) ,51 kπ+arctg Zk ∈ ;

Г) ,51 kπ+arcctg Zk ∈ .

34

Admin

9

1.9. Укажите формулу, по которой можно вычислить площадь S заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке.

А) ∫ −=1

0

2 )( dxxxS ; В) ∫ −=1

0

2 )1( dxxS ;

Б) ∫ −=1

0

2 )( dxxxS ; Г) ∫=1

0

2dxxS .

1.10. Телефонная станция обслуживает абонентов, номера телефонов которых содержат 7 цифр и начинаются с 257. На какое количество абонентов рассчитана эта станция?

А) 1 000 000; Б) 100 000; В) 10 000; Г) 1000.

1.11. Как надо перенести параллельно график функции xey = , чтобы

получить график функции 3xy e= − ?

А) на 3 единицы вправо; Б) на 3 единицы влево;

В) на 3 единицы вверх; Г) на 3 единицы вниз.

1.12. Чему равно наибольшее значение функции 2y x−= на промежут-ке [0,5; 2]?

А) 14 ; Б) 4; В) 1

2 ; Г) 2.

1.13. Найдите меньший из углов параллелограмма, если разность двух его углов равна 20°.

А) 80°; Б) 70°; В) 60°; Г) 90°.

1.14. В треугольнике ABC известно, что ∠С = 90°, AB = 26 см, BС = 24 см. Найдите sin В. А) 13

2 ; Б) 125 ; В) 13

12 ; Г) 135 .

1.15. Найдите высоту цилиндра, объем которого составляет 24π см3, а радиус основания равен 2 см.

А) 12 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 12 см.

1.16. Окружность с центром в точке A (3; – 6) проходит через точку М (1; –1). Чему равен радиус этой окружности?

А) 29 ; Б) 29;

В) 65 ; Г) определить невозможно.

y

x0

2xy =

1

xy =

35

94

1.9. Укажите формулу, по которой можно вычислить площадь S заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке.

А) ∫ −=1

0

2 )( dxxxS ; В) ∫ −=1

0

2 )1( dxxS ;

Б) ∫ −=1

0

2 )( dxxxS ; Г) ∫=1

0

2dxxS .

1.10. Телефонная станция обслуживает абонентов, номера телефонов которых содержат 7 цифр и начинаются с 257. На какое количество абонентов рассчитана эта станция?

А) 1 000 000; Б) 100 000; В) 10 000; Г) 1000.

1.11. Как надо перенести параллельно график функции xey = , чтобы

получить график функции 3xy e= − ?

А) на 3 единицы вправо; Б) на 3 единицы влево;

В) на 3 единицы вверх; Г) на 3 единицы вниз.

1.12. Чему равно наибольшее значение функции 2y x−= на промежут-ке [0,5; 2]?

А) 14 ; Б) 4; В) 1

2 ; Г) 2.

1.13. Найдите меньший из углов параллелограмма, если разность двух его углов равна 20°.

А) 80°; Б) 70°; В) 60°; Г) 90°.

1.14. В треугольнике ABC известно, что ∠С = 90°, AB = 26 см, BС = 24 см. Найдите sin В. А) 13

2 ; Б) 125 ; В) 13

12 ; Г) 135 .

1.15. Найдите высоту цилиндра, объем которого составляет 24π см3, а радиус основания равен 2 см.

А) 12 см; Б) 4 см; В) 6 см; Г) 12 см.

1.16. Окружность с центром в точке A (3; – 6) проходит через точку М (1; –1). Чему равен радиус этой окружности?

А) 29 ; Б) 29;

В) 65 ; Г) определить невозможно.

y

x0

2xy =

1

xy =




1.1. Решите уравнение 0 5 0 25, ,x = .

А) 2; Б) –2; В) 0,5; Г) 5.

1.2. Известно, что nm 8,08,0 loglog > . Сравните числа m и n.

А) nm > ; Б) nm = ;

В) nm < ; Г) сравнить невозможно.

1.3. Какая функция не является возрастающей?

А) xey = ; Б) xy π= ; В) ( )2xey = ; Г) ( )4

xy π= .

1.4. Упростите выражение sin sin cos4 2 2α α α+ . А) α2cos ; Б) α2sin ; В) 1; Г) α+ 2sin1 .

1.5. Найдите производную функции 51( )f xx

= .

А) 65'( )f xx

= − ; Б) 41'( )

5f x

x= ; В) 4

5'( )f xx

= − ; Г) 61'( )

5f x

x= .

1.6. Сравните 2sin и 3sin .

А) 3sin2sin = ; Б) 3sin2sin < ;

В) 3sin2sin > ; Г) сравнить невозможно.

1.7. Какое число является решением неравенства 01cos23sin >+− xx ?

А) 0; Б) 2π ; В) π; Г) 3

π .

1.8. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке.

А) 1; Б) 23 ; В) 2

1 ; Г) 22 .

y

0 x

1y = cosx

2π

4π

36

Admin

10

1.9. При каких значениях a и b выполняется равенство 444 baab −⋅−= ?

А) 0>a и 0<b ; Б) 0<a и 0>b ;

В) 0≤a и 0≤b ; Г) 0>a и 0>b .

1.10. Чему равно значение выражения ( )62 4 8log 1 ...3 9 2736

+ + + +?

А) 6; Б) 3; В) 18; Г) 9.

1.11. У двух мальчиков 50 марок. Количество марок, имеющихся у первого из них, составляет 25 % количества марок, имеющихся у второго. Сколько марок у первого мальчика?

А) 8 марок; Б) 10 марок; В) 12 марок; Г) 16 марок.

1.12. Рассматриваются четырехзначные числа, в записи которых присутствуют две цифры 3, стоящие рядом, и по одному разу каждая из цифр 1 и 2. Сколько существует таких чисел?

А) 6; Б) 8; В) 24; Г) 4.

1.13. Две окружности пересекаются так, что каждая из них проходит через центр другой окружности. Чему равно отношение радиусов этих окружностей?

А) 1 : 1; Б) 1 : 2; В) 1 : π; Г) установить невозможно.

1.14. На рисунке изображен прямоугольный

треугольник ABC с гипотенузой AB, отрезок CD — высота данного треугольника,

°=∠ 30B , 2=AD см. Чему равна длина отрезка AC ? А) 32 см; Б) 6 см; В) 33 см; Г) 4 см.

1.15. Точка M лежит вне плоскости треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых AB и MC ?

А) пересекаются; Б) параллельны;

В) скрещивающиеся; Г) установить невозможно.

1.16. Дана точка A (1; –3; 2). Найдите координаты вектора AO , где точка O — начало координат.

А) AO (1; 3; –2);

Б) AO (–1; 3; –2);

В) AO (1; –3; 2);

Г) AO (–1; 3; 2).

A

C

BD

37

96

1.9. При каких значениях a и b выполняется равенство 444 baab −⋅−= ?

А) 0>a и 0<b ; Б) 0<a и 0>b ;

В) 0≤a и 0≤b ; Г) 0>a и 0>b .

1.10. Чему равно значение выражения ( )62 4 8log 1 ...3 9 2736

+ + + +?

А) 6; Б) 3; В) 18; Г) 9.

1.11. У двух мальчиков 50 марок. Количество марок, имеющихся у первого из них, составляет 25 % количества марок, имеющихся у второго. Сколько марок у первого мальчика?

А) 8 марок; Б) 10 марок; В) 12 марок; Г) 16 марок.

1.12. Рассматриваются четырехзначные числа, в записи которых присутствуют две цифры 3, стоящие рядом, и по одному разу каждая из цифр 1 и 2. Сколько существует таких чисел?

А) 6; Б) 8; В) 24; Г) 4.

1.13. Две окружности пересекаются так, что каждая из них проходит через центр другой окружности. Чему равно отношение радиусов этих окружностей?

А) 1 : 1; Б) 1 : 2; В) 1 : π; Г) установить невозможно.

1.14. На рисунке изображен прямоугольный

треугольник ABC с гипотенузой AB, отрезок CD — высота данного треугольника,

°=∠ 30B , 2=AD см. Чему равна длина отрезка AC ? А) 32 см; Б) 6 см; В) 33 см; Г) 4 см.

1.15. Точка M лежит вне плоскости треугольника ABC. Каково взаимное расположение прямых AB и MC ?

А) пересекаются; Б) параллельны;

В) скрещивающиеся; Г) установить невозможно.

1.16. Дана точка A (1; –3; 2). Найдите координаты вектора AO , где точка O — начало координат.

А) AO (1; 3; –2);

Б) AO (–1; 3; –2);

В) AO (1; –3; 2);

Г) AO (–1; 3; 2).

A

C

BD




1.1. Укажите область определения функции 41( )

12 3f x

x=

−.

А) (– ∞; 4]; Б) (– ∞; 4); В) [4; + ∞); Г) (4; + ∞).

1.2. Вычислите значение выражения 0,4log 40,16 . А) 0,4; Б) 4; В) 16; Г) 8.

1.3. Найдите значение выражения mm 24 99 −⋅ при 41=m .

А) 1; Б) 81; В) 3; Г) 9.

1.4. Укажите множество решений неравенства 2 3 4 0x x+ − ≤ .

А) [– 4; 1]; Б) [– 1; 4];

В) ( ; 4] [1; )−∞ − +∞∪ ; Г) ( ; 1] [4; )−∞ − +∞∪ .

1.5. Вычислите значение выражения 11tg 6π .

А) – 3 ; Б) – 33 ; В) 3 ; Г) 3

3 .

1.6 Укажите производную функции f x x x( ) = −4 3 .

А) 3)(' 3 −= xxf ;

Б) xxxf 34)(' 3 −= ;

В) 23

5)('25 xxxf −= ;

Г) 34)(' 3 −= xxf .

1.7. Чему равно значение выражения 33 552552 +⋅− ?

А) 4; Б) 2; В) 3; Г) 1.

1.8. Вычислите площадь заштрихованной фи-гуры, изображенной на рисунке.

А) 2ln3 ; Б) 3; В) 2ln ; Г) – 2ln3 .

1.9. Сколько корней имеет уравнение 001,1sin =x ?

А) один корень; Б) два корня; В) бесконечно много корней; Г) ни одного корня.

y

10 x2

xy 3=

38

Admin

11

1.10. В какой координатной четверти находится вершина параболы 2)4( 2 −−= xy ?

А) в І четверти ; Б) во ІІ четверти;

В) в ІІІ четверти; Г) в IV четверти.

1.11. Первый рабочий изготавливает 8 одинаковых деталей за 70 мин, а второй рабочий — 6 таких же деталей за 90 мин. Сколько деталей изготовит первый рабочий за время, нужное второму для изготовления 14 деталей?

А) 12; Б) 18; В) 24; Г) 20.

1.12. В ящике лежат три карточки, на которых написаны буквы Д, О, М. Какова вероятность того, что если брать наугад по одной карточке, то они будут идти в такой последовательности, что образуется слово ДОМ?

А) 13 ; Б) 1

6 ; В) 14 ; Г) 1.

1.13. Диагонали ромба равны 6 см и 8 см. Найдите периметр ромба.

А) 20 см; Б) 40 см; В) 30 см; Г) 10 см.

1.14. На рисунке изображены треуголь-ники ABC и DEF такие, что

A D∠ = ∠ , EB ∠=∠ и DEAB 3= . Какова длина стороны EF, если

18=BC см?

А) 54 см; Б) 6 см; В) 36 см; Г) 9 см.

1.15. Вычислите объем конуса, высота которого равна 4 см, а диаметр ос-нования — 6 см.


1.16. Какое из уравнений является уравнением окружности с центром в точке M (–2; 1) и радиусом 4?

А) 4)1()2( 22 =−++ yx ;

Б) 16)1()2( 22 =−++ yx ;

В) 4)1()2( 22 =++− yx ;

Г) 16)1()2( 22 =++− yx .

A

B

C

D

E

F

39

98

1.10. В какой координатной четверти находится вершина параболы 2)4( 2 −−= xy ?

А) в І четверти ; Б) во ІІ четверти;

В) в ІІІ четверти; Г) в IV четверти.

1.11. Первый рабочий изготавливает 8 одинаковых деталей за 70 мин, а второй рабочий — 6 таких же деталей за 90 мин. Сколько деталей изготовит первый рабочий за время, нужное второму для изготовления 14 деталей?

А) 12; Б) 18; В) 24; Г) 20.

1.12. В ящике лежат три карточки, на которых написаны буквы Д, О, М. Какова вероятность того, что если брать наугад по одной карточке, то они будут идти в такой последовательности, что образуется слово ДОМ?

А) 13 ; Б) 1

6 ; В) 14 ; Г) 1.

1.13. Диагонали ромба равны 6 см и 8 см. Найдите периметр ромба.

А) 20 см; Б) 40 см; В) 30 см; Г) 10 см.

1.14. На рисунке изображены треуголь-ники ABC и DEF такие, что

A D∠ = ∠ , EB ∠=∠ и DEAB 3= . Какова длина стороны EF, если

18=BC см?

А) 54 см; Б) 6 см; В) 36 см; Г) 9 см.

1.15. Вычислите объем конуса, высота которого равна 4 см, а диаметр ос-нования — 6 см.


1.16. Какое из уравнений является уравнением окружности с центром в точке M (–2; 1) и радиусом 4?

А) 4)1()2( 22 =−++ yx ;

Б) 16)1()2( 22 =−++ yx ;

В) 4)1()2( 22 =++− yx ;

Г) 16)1()2( 22 =++− yx .

A

B

C

D

E

F





log 25 .

А) –2; Б) 125; В) 21 ; Г) – 2

1 .

1.2. Решите неравенство 3 92 4x+ > .

А) (–1; + ∞); Б) (– ∞; –1); В) ( )1 ;2− +∞ ; Г) ( )1; 2−∞ − .

1.3. Найдите значение выражения 442 +− xx при 4 32 +=x .

А) 3; Б) 3 ; В) 6; Г) 32 .


9

41

21

+

−

m

m⋅

А) 321−m ; Б) 34

1−m ; В) 32

1+m ; Г) 34

1+m .

1.5. Укажите точку пересечения графика функции f x x( ) lg( )= − 2 с осью абсцисс.

А) A (2; 0); Б) B (0; 2); В) C (3; 0); Г) D (0; 3).

1.6. Упростите выражение ( )cos sin ( )2π −α + π+α .

А) sin cosα + α ; Б) 2cosα ; В) 2sinα ; Г) 0.

1.7. Какое число надо прибавить к числу 10, чтобы полученная сумма относилась к числу 12, как число 28 относится к числу 24?

А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 8.

1.8. Функция ( )y f x= , график которой

изображен на рисунке, определена на промежутке [–3; 3]. Укажите множество значений аргумента функции, при которых

'( ) 0f x ≥ .

А) ( 2; 0) (0; 3)− ∪ ; В) [–2; 3]; Б) [ 3; 1] [0; 2]− − ∪ ; Г) ( 1; 0) (2; 3]− ∪ .

y

0 x

1

1-1 3-3

40

Admin

12

1.9. Укажите общий вид первообразных функции f x x x( ) = −10 64 .

А) Cxx +− 25 32 ; Б) Cxx +− 25 42 ;

В) Cxx +− 25 45 ; Г) Cx +− 640 3 .

1.10. График какой функции симметричен графику функции 4 xy = отно-сительно оси ординат?

А) 4 xy −= ; Б) 4 xy −= ; В) 4 xy −−= ; Г) 4 xy = .

1.11. Какое число является периодом функции xy 2sin= ?

А) – 2π ; Б) 4

π ; В) π; Г) 2π .

1.12. Подряд дважды подбрасывают игральный кубик. Какова вероятность того, что оба раза выпадет 6 очков?

А) 16 ; Б) 1

12 ; В) 172 ; Г) 1

36 .

1.13. В треугольнике ABC известно, что ∠С = 90°, AC = 3 см, BC = 18 см. Найдите tg A. А) 6

1 ; Б) 6; В) 9; Г) 91 .

1.14. Площадь прямоугольника ABCD, изобра-женного на рисунке, равна 12 см2. Чему равна площадь треугольника AOB?

А) 2 см2; В) 3 см2; Б) 4 см2; Г) найти невозможно .

1.15. Сторона AC треугольника ABC, изображенного на рисунке, принадлежит плоскости α, точки M и K — середины сторон AВ и BC треугольника соответственно, точка B находится вне плоскос-ти α. Каково взаимное расположение прямой MK и плоскости α?

А) прямая и плоскость пересекаются; Б) прямая и плоскость параллельны; В) прямая принадлежит плоскости; Г) установить невозможно.

1.16. При каких значениях m и n векторы (10; ; 5)a m и (2; 3; )b n коллинеарны?

А) ,3=m 5=n ; Б) ,10=m 2=n ; В) ,12=m 3=n ; Г) ,15=m 1=n .

A

B C

DO

αA C

M K

B

41

100

1.9. Укажите общий вид первообразных функции f x x x( ) = −10 64 .

А) Cxx +− 25 32 ; Б) Cxx +− 25 42 ;

В) Cxx +− 25 45 ; Г) Cx +− 640 3 .

1.10. График какой функции симметричен графику функции 4 xy = отно-сительно оси ординат?

А) 4 xy −= ; Б) 4 xy −= ; В) 4 xy −−= ; Г) 4 xy = .

1.11. Какое число является периодом функции xy 2sin= ?

А) – 2π ; Б) 4

π ; В) π; Г) 2π .

1.12. Подряд дважды подбрасывают игральный кубик. Какова вероятность того, что оба раза выпадет 6 очков?

А) 16 ; Б) 1

12 ; В) 172 ; Г) 1

36 .

1.13. В треугольнике ABC известно, что ∠С = 90°, AC = 3 см, BC = 18 см. Найдите tg A. А) 6

1 ; Б) 6; В) 9; Г) 91 .

1.14. Площадь прямоугольника ABCD, изобра-женного на рисунке, равна 12 см2. Чему равна площадь треугольника AOB?

А) 2 см2; В) 3 см2; Б) 4 см2; Г) найти невозможно .

1.15. Сторона AC треугольника ABC, изображенного на рисунке, принадлежит плоскости α, точки M и K — середины сторон AВ и BC треугольника соответственно, точка B находится вне плоскос-ти α. Каково взаимное расположение прямой MK и плоскости α?

А) прямая и плоскость пересекаются; Б) прямая и плоскость параллельны; В) прямая принадлежит плоскости; Г) установить невозможно.

1.16. При каких значениях m и n векторы (10; ; 5)a m и (2; 3; )b n коллинеарны?

А) ,3=m 5=n ; Б) ,10=m 2=n ; В) ,12=m 3=n ; Г) ,15=m 1=n .

A

B C

DO

αA C

M K

B





x≥ .

А) (– ∞; –1]; Б) [–1; + ∞); В) (– ∞; 1]; Г) [1; + ∞).

1.2. Представьте в виде степени выражение 2 13 2:a a .

А) 31

a ; Б) 34

a ; В) 61

a ; Г) 65

a .

1.3. Найдите координаты точки пересечения графиков функций y x= lg и y = 2 .

А) (2; 100); Б) (100; 2); В) (20; 2); Г) (10; 2).

1.4. Сколько корней имеет уравнение 3logcos 2=x ?

А) ни одного корня; Б) один корень;

В) два корня; Г) бесконечно много корней.

1.5. Каково процентное содержание соли в растворе, если 700 г раствора содержат 112 г соли?

А) 15 %; Б) 16 %; В) 17 %; Г) 18 %.

1.6. Упростите выражение ( )tg tg( )2π + α π+α .

А) α2ctg ; Б) α2tg ; В) 1; Г) –1.

1.7. Найдите производную функции 16)( += xxf .

А) 162

1)('+

=x

xf ;

Б) 16

3)('+

=x

xf ;

В) 16

1)('+

=x

xf ;

Г) 16

6)('+

=x

xf .

1.8. Какое число является решением неравенства ( )tg 2 16x π+ > ?

А) 0; Б) 4π ; В) 8

π ; Г) 2π .

42

Admin

13

1.9. Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен 12, а восьмой член равен –9.

А) –3; Б) 3; В) 852− ; Г) 8

52 .

1.10. Укажите область определения функции arcsin( 3)y x= − .

А) (– 4; –2); Б) (2; 4); В) [– 4; –2]; Г) [2; 4].

1.11. Упростите выражение 22 )52()52( −++ .

А) 524 − ; Б) 524 + ; В) 52 ; Г) 4.

1.12. Сколько четных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5?

А) 12; Б) 24; В) 48; Г) 72.

1.13. Острый угол прямоугольной трапеции в 4 раза меньше ее тупого угла. Найдите эти углы.

А) 40°; 160°; Б) 60°; 120°; В) 45°; 135°; Г) 36°; 144°.

1.14. На рисунке изображена окружность, радиус которой равен R, отрезок AB — диаметр этой окружности, 3RAC = . Найдите отрезок BC.

А) 23R ; В) R)32( − ;

Б) R; Г) найти невозможно.

1.15. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, сторона осно-вания которой равна 6 см, а высота — 9 см.

А) 312 см3; Б) 39 см3; В) 327 см3; Г) 381 см3.

1.16. Центром какой окружности является точка A (–2; 5)?

А) 1)5()2( 22 =+++ yx ;

Б) 1)2()5( 22 =++− yx ;

В) 1)5()2( 22 =++− yx ;

Г) 1)5()2( 22 =−++ yx .

A

BC

43

102

1.9. Найдите разность арифметической прогрессии, первый член которой равен 12, а восьмой член равен –9.

А) –3; Б) 3; В) 852− ; Г) 8

52 .

1.10. Укажите область определения функции arcsin( 3)y x= − .

А) (– 4; –2); Б) (2; 4); В) [– 4; –2]; Г) [2; 4].

1.11. Упростите выражение 22 )52()52( −++ .

А) 524 − ; Б) 524 + ; В) 52 ; Г) 4.

1.12. Сколько четных пятизначных чисел, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 1, 2, 3, 4 и 5?

А) 12; Б) 24; В) 48; Г) 72.

1.13. Острый угол прямоугольной трапеции в 4 раза меньше ее тупого угла. Найдите эти углы.

А) 40°; 160°; Б) 60°; 120°; В) 45°; 135°; Г) 36°; 144°.

1.14. На рисунке изображена окружность, радиус которой равен R, отрезок AB — диаметр этой окружности, 3RAC = . Найдите отрезок BC.

А) 23R ; В) R)32( − ;

Б) R; Г) найти невозможно.

1.15. Вычислите объем правильной треугольной пирамиды, сторона осно-вания которой равна 6 см, а высота — 9 см.

А) 312 см3; Б) 39 см3; В) 327 см3; Г) 381 см3.

1.16. Центром какой окружности является точка A (–2; 5)?

А) 1)5()2( 22 =+++ yx ;

Б) 1)2()5( 22 =++− yx ;

В) 1)5()2( 22 =++− yx ;

Г) 1)5()2( 22 =−++ yx .

A

BC




1.1. Какая функция является убывающей?

А) 61=y ; Б) xy 6= ; В) ( )1

6x

y = ;

Г) xy 6= .

1.2. На одном из рисунков изображен график функции y x= − +2 2 . Укажите этот рисунок.

x0

y

112

А)

x

2Б) y

11

0x0

y

11

-2

В)

x0

y1

1

-2

Г)

1.3. Вычислите значение выражения sin cos cos sin56 34 56 34° °+ ° ° .

А) 21 ; Б) 2

3 ; В) 1; Г) 0.

1.4. Сравните 2 3 и 4. А) 2 3 < 4; Б) 2 3 = 4;

В) 2 3 > 4; Г) сравнить невозможно.

1.5. Областью определения какой из функций является множество действительных чисел?

А) )1lg( += xy ; Б) )1lg( 2 −= xy ; В) )1lg( 2 += xy ; Г) 2lg xy = .

1.6. Множеством решений какого неравенства является множество действи-тельных чисел?

А) 2sin −>x ; Б) 1sin <x ; В) 1sin >x ; Г) 1sin −>x .

1.7. Найдите производную функции 2( ) 4xf x x=−

.

А) 28'( )

( 4)f x

x=

−;

Б) 24 8'( )

( 4)xf x

x−=−

;

В) 28 4'( )

( 4)xf x

x−=−

;

Г) 28'( )

( 4)f x

x= −

−.

44

Admin

14

1.8. Вычислите интеграл ∫3

1

3dxx .

А) 4;

Б) 3226 ; В) 20; Г) 20,5.

1.9. Упростите выражение 6 a a .

А) 12 a ;

Б) 4 a ; В) 6 a ; Г) 7 2a .

1.10. Из полного комплекта шахматных фигур наугад вынимают одну фигуру. Какова вероятность того, что эта фигура является конем?

А) 14 ; Б) 1

8 ; В) 116 ; Г) 1

32 .

1.11. Решите неравенство 21 0

4 4x

x x− ≥

− +.

А) (1; + ∞); Б) [1; + ∞); В) (1; 2) (2; )+∞∪ ; Г) [1; 2) (2; )+∞∪ .

1.12. На рисунке изображен график функции )(xfy = , определенной на промежутке

[–3; 3]. Сколько корней имеет уравнение 1)(log2 =xf ?

А) один корень; Б) два корня; В) четыре корня; Г) ни одного корня.

1.13. На рисунке изображены окружность с цент-ром O и квадрат OBCD. Какова величина угла α?

А) 90°; Б) 110°; В) 135°; Г) 210°.

1.14. Вычислите площадь треугольника, две сто-роны которого равны 10 2 см и 9 см, а угол между ними — 45°.

А) 45 см2; Б) 90 см2; В) 245 см2; Г) 290 см2.

1.15. Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, радиусы кото-рых равны 5 см и 10 см.

А) 1 : 5; Б) 1 : 2; В) 1 : 8; Г) 1 : 4.

1.16. При каком значении n векторы a��

(n; –2; 1) и b��

(5; n; – 6) перпендику-лярны?

А) –2; Б) 3; В) –3; Г) 2.

y

x0

1

2

1 33

B

αO C

D

45

104

1.8. Вычислите интеграл ∫3

1

3dxx .

А) 4;

Б) 3226 ; В) 20; Г) 20,5.

1.9. Упростите выражение 6 a a .

А) 12 a ;

Б) 4 a ; В) 6 a ; Г) 7 2a .

1.10. Из полного комплекта шахматных фигур наугад вынимают одну фигуру. Какова вероятность того, что эта фигура является конем?

А) 14 ; Б) 1

8 ; В) 116 ; Г) 1

32 .

1.11. Решите неравенство 21 0

4 4x

x x− ≥

− +.

А) (1; + ∞); Б) [1; + ∞); В) (1; 2) (2; )+∞∪ ; Г) [1; 2) (2; )+∞∪ .

1.12. На рисунке изображен график функции )(xfy = , определенной на промежутке

[–3; 3]. Сколько корней имеет уравнение 1)(log2 =xf ?

А) один корень; Б) два корня; В) четыре корня; Г) ни одного корня.

1.13. На рисунке изображены окружность с цент-ром O и квадрат OBCD. Какова величина угла α?

А) 90°; Б) 110°; В) 135°; Г) 210°.

1.14. Вычислите площадь треугольника, две сто-роны которого равны 10 2 см и 9 см, а угол между ними — 45°.

А) 45 см2; Б) 90 см2; В) 245 см2; Г) 290 см2.

1.15. Найдите отношение площадей поверхностей двух сфер, радиусы кото-рых равны 5 см и 10 см.

А) 1 : 5; Б) 1 : 2; В) 1 : 8; Г) 1 : 4.

1.16. При каком значении n векторы a��

(n; –2; 1) и b��

(5; n; – 6) перпендику-лярны?

А) –2; Б) 3; В) –3; Г) 2.

y

x0

1

2

1 33

B

αO C

D




1.1. Упростите выражение 62

3a⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

А) 4a ; Б) 6a ; В) 5a ; Г) 91

a .

1.2. Чему равно значение выражения ( )3 3cos arcsin arccos2 2+ ?

А) 0; Б) 21 ; В) 1; Г) 2

3 .

1.3. Решите неравенство 616 ≤x .

А) [1; + ∞); Б) [–1; + ∞); В) (– ∞; 1]; Г) (– ∞; –1].


xx−−

.

А) 3−x ; Б) 34 +x ; В) 34 −x ; Г) 3+x .

1.5. Какая функция является обратной к функции 3xy = ?

А) xy 3= ; Б) xy 3= ; В) xy 3log= ; Г) 3 xy = .

1.6. Какое неравенство имеет решения?

А) 2sin >x ; Б) 0arccos <x ; В) 1,1cos <x ; Г) 2arcsin π>x .

1.7. Найдите производную функции 46sin)( exf += .

А) 46cos)(' exf += ; Б) 0)(' =xf ;

В) 346cos)(' exf +−= ;

Г) 34)(' exf = .

1.8. Какая функция является первообразной функции 4)( xxf = ?

А) 34)( xxF = ; Б) 4)(5xxF = ; В) 5)(

5xxF = ; Г) 5)( xxF = .

1.9. Найдите разность арифметической прогрессии )( na , если 105 =a , 3112 =a .

А) 3; Б) 3,5; В) 2; Г) 2,4.

46

Admin

15

1.10. Фирма приобрела некоторый товар за 7200 грн и продала его, получив 30 % прибыли. За сколько гривен фирма продала товар?

А) 2160 грн; Б) 8000 грн; В) 9360 грн; Г) 10 000 грн.

1.11. Учащихся одиннадцатого класса опросили: сколько времени они тратят на выполнение домашнего задания по геометрии. Были получены такие данные:

Время выполнения задания 20 мин 30 мин 45 мин 60 мин 90 мин Количество учащихся 2 6 8 5 4

Чему равна мода полученных данных?

А) 45 мин; Б) 60 мин; В) 8 учащихся; Г) 4 учащихся.

1.12. Решите неравенство 2( 2) ( 3)(8 ) 0x x x+ − − < .

А) ( ; 2) ( 2; 3] [8; )−∞ − − +∞∪ ∪ ; Б) ( ; 2) ( 2; 3) (8; )−∞ − − +∞∪ ∪ ;

В) ( ; 3) (8; )−∞ +∞∪ ; Г) ( ; 3] [8; )−∞ +∞∪ .

1.13. Дано: ABC∆ и MNK∆ , ∠ A = ∠M, ∠ B = ∠N, AB = 6 см, BC = 8 см, MN = 18 см. Найдите сторону NK.

А) 24 см; Б) 13,5 см; В) 322 см; Г) 36 см.

1.14. Вычислите площадь параллелограмма, две стороны которого равны 7 см и 3 2 см, а угол между ними — 45°.

А) 221 см2; Б) 25,10 см2; В) 21 см2; Г) 10,5 см2.

1.15. В шаре с центром O, изображенном на рисун-ке, проведено сечение с центром O1 на расстоя-нии 12 см от центра шара. Найдите радиус шара, если радиус сечения равен 9 см.

А) 10 см; Б) 12 см;

В) 21 см; Г) 15 см.

1.16. Известно, что вектор m��

равен сумме векторов

AB��

и BC��

. Найдите координаты вектора m��

, если A (2; 3; –1), С (3; –2; 0), B — некоторая точка пространства.

А) m��

(5; 1; –1);

Б) m��

(1; –5; 1); В) m��

(2,5; 0,5; – 0,5); Г) найти невозможно.

A

O

1O

47

106

1.10. Фирма приобрела некоторый товар за 7200 грн и продала его, получив 30 % прибыли. За сколько гривен фирма продала товар?

А) 2160 грн; Б) 8000 грн; В) 9360 грн; Г) 10 000 грн.

1.11. Учащихся одиннадцатого класса опросили: сколько времени они тратят на выполнение домашнего задания по геометрии. Были получены такие данные:

Время выполнения задания 20 мин 30 мин 45 мин 60 мин 90 мин Количество учащихся 2 6 8 5 4

Чему равна мода полученных данных?

А) 45 мин; Б) 60 мин; В) 8 учащихся; Г) 4 учащихся.

1.12. Решите неравенство 2( 2) ( 3)(8 ) 0x x x+ − − < .

А) ( ; 2) ( 2; 3] [8; )−∞ − − +∞∪ ∪ ; Б) ( ; 2) ( 2; 3) (8; )−∞ − − +∞∪ ∪ ;

В) ( ; 3) (8; )−∞ +∞∪ ; Г) ( ; 3] [8; )−∞ +∞∪ .

1.13. Дано: ABC∆ и MNK∆ , ∠ A = ∠M, ∠ B = ∠N, AB = 6 см, BC = 8 см, MN = 18 см. Найдите сторону NK.

А) 24 см; Б) 13,5 см; В) 322 см; Г) 36 см.

1.14. Вычислите площадь параллелограмма, две стороны которого равны 7 см и 3 2 см, а угол между ними — 45°.

А) 221 см2; Б) 25,10 см2; В) 21 см2; Г) 10,5 см2.

1.15. В шаре с центром O, изображенном на рисун-ке, проведено сечение с центром O1 на расстоя-нии 12 см от центра шара. Найдите радиус шара, если радиус сечения равен 9 см.

А) 10 см; Б) 12 см;

В) 21 см; Г) 15 см.

1.16. Известно, что вектор m��

равен сумме векторов

AB��

и BC��

. Найдите координаты вектора m��

, если A (2; 3; –1), С (3; –2; 0), B — некоторая точка пространства.

А) m��

(5; 1; –1);

Б) m��

(1; –5; 1); В) m��

(2,5; 0,5; – 0,5); Г) найти невозможно.

A

O

1O




1.1. График какой функции изображен на рисунке?

А) y x= 2 ;

Б) y x= ;

В) y x= − 2 ;

Г) xy −= .

1.2. Найдите координаты точки пересечения графика функции y x x= − +lg( )2 3 10 с осью ординат.

А) (0; 10); Б) (10; 0); В) (0; 1); Г) (1; 0).

1.3. Областью определения какой из функций является промежуток (– ∞; –9]?

А) 4 9y x= − − ; Б) 4 9y x= + ; В) 41

9y

x=

− −; Г) 4

19

yx

=+

.

1.4. Упростите выражение tg 4 tg31 tg 4 tg3

α + α− α α

⋅

А) ctg α; Б) ctg 7α; В) tg α; Г) tg 7α.


25

5

a

a

−

+.

А) 561−a ; Б) 53

1−a ; В) 56

1+a ; Г) 53

1+a .

1.6. Найдите производную функции f x x( ) log= 5 3 .

А) 1'( )f x x= ; Б) 5'( )f x x= ; В) 1'( ) ln 3f x x= ; Г) 5'( ) ln 3f x x= .


2

6cos

dxx

π

π∫ .

А) 3 ; Б) 2 33 ; В) – 2 3

3 ; Г) – 33 .

1.8. Найдите первый член бесконечной геометрической прогрессии, знаме-натель которой равен 1

2− , а сумма равна 6.

А) 9; Б) 18; В) 6; Г) 12.

y

0 x

11

48

Admin

16

1.9. В течение десяти дней температура воздуха в 12 ч составляла: 10 °С, 8 °С, 6 °С, 0 °С, – 4 °С, –8 °С, –5 °С, –3 °С, –3 °С, –1 °С. Чему равен размах данной выборки?

А) 16 °С; Б) 18 °С; В) 20 °С; Г) 2 °С.

1.10. Какое наибольшее значение принимает функция xxxf22 cos3sin5)( += ?

А) 5; Б) 25; В) 125; Г) 625.

1.11. Три маляра, работая с одинаковой производительностью труда, красят 4 одинаковые стены за 1 ч. За какое время один маляр покрасит одну такую стену?

А) 5 мин; Б) 15 мин; В) 30 мин; Г) 45 мин.

1.12. Значение какого из выражений делится нацело на 6 при всех нату-ральных значениях n?

А) 2 1n − ; Б) 3 1n − ; В) 3n n− ; Г) 3n n+ .

1.13. Чему равен больший из углов параллелограмма, если разность двух из них равна 24°?

А) 104°; Б) 102°; В) 110°; Г) 96°.

1.14. Найдите радиус окружности, описанной около правильного треуголь-ника со стороной 15 см.

А) 312 см; Б) 33 см; В) 35 см; Г) 315 см.

1.15. Какое наименьшее количество граней может иметь призма?

А) 4 грани; Б) 5 граней; В) 6 граней; Г) 7 граней.

1.16. Найдите модуль вектора (3; 3; 3)a − .

А) 32 ; Б) 3 ; В) 3; Г) 33 .

49

108

1.9. В течение десяти дней температура воздуха в 12 ч составляла: 10 °С, 8 °С, 6 °С, 0 °С, – 4 °С, –8 °С, –5 °С, –3 °С, –3 °С, –1 °С. Чему равен размах данной выборки?

А) 16 °С; Б) 18 °С; В) 20 °С; Г) 2 °С.

1.10. Какое наибольшее значение принимает функция xxxf22 cos3sin5)( += ?

А) 5; Б) 25; В) 125; Г) 625.

1.11. Три маляра, работая с одинаковой производительностью труда, красят 4 одинаковые стены за 1 ч. За какое время один маляр покрасит одну такую стену?

А) 5 мин; Б) 15 мин; В) 30 мин; Г) 45 мин.

1.12. Значение какого из выражений делится нацело на 6 при всех нату-ральных значениях n?

А) 2 1n − ; Б) 3 1n − ; В) 3n n− ; Г) 3n n+ .

1.13. Чему равен больший из углов параллелограмма, если разность двух из них равна 24°?

А) 104°; Б) 102°; В) 110°; Г) 96°.

1.14. Найдите радиус окружности, описанной около правильного треуголь-ника со стороной 15 см.

А) 312 см; Б) 33 см; В) 35 см; Г) 315 см.

1.15. Какое наименьшее количество граней может иметь призма?

А) 4 грани; Б) 5 граней; В) 6 граней; Г) 7 граней.

1.16. Найдите модуль вектора (3; 3; 3)a − .

А) 32 ; Б) 3 ; В) 3; Г) 33 .




1.1. Представьте выражение 51

21

: bb в виде степени.

А) 101

b ; Б) 103

b ; В) 25

b ; Г) 52

b .

1.2. Решите неравенство ( )3 18x> .

А) ( )8 ;3 +∞ ; Б) (0; + ∞); В) (– ∞; –1); Г) (– ∞; 0).

1.3. Значение какого выражения не является целым числом?

А) ( ) 33 2

8 ; Б) 66 ( 8)− ; В) 3

3542

; Г) 3 64− .

1.4. Решите неравенство ( 2)sin 4 0x − ≥ .

А) (2; + ∞); Б) [2; + ∞); В) (– ∞; 2); Г) (– ∞; 2].

1.5. Упростите выражение αα−αα 4cossincos4sin .

А) α3sin ; Б) α5sin ; В) α3cos ; Г) α5cos .

1.6. Известно, что a=5log3 . Чему равно значение выражения 25log9 ?

А) 2a ; Б) a2 ; В) 2a ; Г) a.

1.7. Вычислите значение производной функции 5)( += xexf в точке 5ln0 =x .

А) e; Б) 10; В) 5; Г) 5+e .

1.8. Рабочий получил аванс в размере 1008 грн, что составляет 35 % его заработной платы. Какова заработная плата рабочего?

А) 2240 грн; Б) 2880 грн; В) 2800 грн; Г) 3360 грн.

1.9. Укажите область определения функции 1lg 1y x= − .

А) (0; + ∞); Б) (– ∞; 10)∪ (10; + ∞);

В) (0; 1) ∪ (1; + ∞); Г) (0; 10) ∪ (10; + ∞).

1.10. В выборке, состоящей из 10 чисел, число 4 встречается 5 раз, число 5 — 3 раза, число 6 — 2 раза. Найдите среднее значение этой выборки.

А) 5; Б) 4,7; В) 4,5; Г) 4.

50

Admin

17

1.11. На одном из рисунков изображен график функции xy −−= . Укажите этот рисунок.

x0

yА)

x0

yБ)

x0

yВ)

x0

yГ)

1.12. Функция ( )y f x= определена на множестве действительных чисел. Какое из данных значений функции является наибольшим, если функция f является возрастающей?

А) ( )18f − ; Б) ( )1

6f − ; В) ( )13f − ; Г) ( 1)f − .

1.13. На рисунке изображена окружность с цент-ром в точке O. Чему равна сумма углов α и β?

А) 25°; Б) 50°; В) 75°; Г) 100°.

1.14. В треугольнике ABC известно, что AB = 12 см, sin A = 0,6, sin C = 0,4. Найдите сторону BC.

А) 18 см; Б) 8 см; В) 10 см; Г) 16 см.

1.15. Чему равен объем конуса, радиус основания которого R, а высота равна радиусу основания?

А) 33 Rπ ; Б) 32 Rπ ; В) 3Rπ ; Г) 331 Rπ .

1.16. Найдите координаты вектора MN , если M (2; –3; 1), N (1; –1; 3).

А) MN (1; 2; 4);

Б) MN (1; –2; –2);

В) MN (–1; 2; 2);

Г) MN (3; –2; 2).

O

α

β

50°

51

110

1.11. На одном из рисунков изображен график функции xy −−= . Укажите этот рисунок.

x0

yА)

x0

yБ)

x0

yВ)

x0

yГ)

1.12. Функция ( )y f x= определена на множестве действительных чисел. Какое из данных значений функции является наибольшим, если функция f является возрастающей?

А) ( )18f − ; Б) ( )1

6f − ; В) ( )13f − ; Г) ( 1)f − .

1.13. На рисунке изображена окружность с цент-ром в точке O. Чему равна сумма углов α и β?

А) 25°; Б) 50°; В) 75°; Г) 100°.

1.14. В треугольнике ABC известно, что AB = 12 см, sin A = 0,6, sin C = 0,4. Найдите сторону BC.

А) 18 см; Б) 8 см; В) 10 см; Г) 16 см.

1.15. Чему равен объем конуса, радиус основания которого R, а высота равна радиусу основания?

А) 33 Rπ ; Б) 32 Rπ ; В) 3Rπ ; Г) 331 Rπ .

1.16. Найдите координаты вектора MN , если M (2; –3; 1), N (1; –1; 3).

А) MN (1; 2; 4);

Б) MN (1; –2; –2);

В) MN (–1; 2; 2);

Г) MN (3; –2; 2).

O

α

β

50°




1.1. Решите уравнение 2 4x = . А) 1; Б) 2; В) 4; Г) 16.


27

3

a

a

+

+.

А) 932+a ; Б) 93 3

132

++ aa ; В) 331+a ; Г) 93 3

132

+− aa .

1.3. Решите уравнение sin x = 0 . А) ,2 kπ+π Zk ∈ ;

Б) ,kπ Zk ∈ ;

В) ,2 kπ Zk ∈ ;

Г) ,2 kπ+π Zk ∈ .

1.4. Укажите область определения функции f x x( ) log ( )= −9 7 . А) (7; + ∞); Б) (– ∞; 7); В) [7; + ∞); Г) (– ∞; 7].

1.5. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 4 2718 .

А) 4 276 ; Б) 4 39 ; В) 4 2732 ; Г) 4 36 .

1.6. Укажите область значений функции 47y x= + . А) [7; + ∞); Б) [0; + ∞); В) [0; 3]; Г) (– ∞; + ∞).

1.7. Найдите производную функции f x x( ) tg= 3 .

А) xxf 33)(' ctg= ;

Б) 21'( )

cos 3f x

x= ;

В) 23'( )

cos 3f x

x= ;

Г) 23'( )

cos 3f x

x= − .

1.8. Вычислите площадь заштрихованной фигуры, изображенной на рисунке. А) 3

4 ; Б) 320 ; В) 3

2 ; Г) 314 .

1.9. Упростите выражение 6 | 3 |a− − , если a < 3. А) 9 – a; Б) 3 – a; В) a + 9; Г) a + 3.

1.10. Найдите разность арифметической про-грессии (an), если 4 8a = , 9 23a = .

А) 3; Б) 4; В) 3,5; Г) 4,5.

x0

y

1

122 xxy −=

2

52

Admin

18

1.11. Средняя высота 10 домов равна 60 м, а средняя высота четырех из них — 48 м. Чему равна средняя высота остальных 6 домов?

А) 60 м; Б) 64 м; В) 68 м; Г) 72 м.

1.12. Сколько четырехзначных чисел, цифры которых могут повторяться, можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4?

А) 24; Б) 64; В) 256; Г) 128.

1.13. Найдите сторону ромба, диагонали которого равны 24 см и 18 см.

А) 30 см; Б) 15 см; В) 21 см; Г) 27 см.

1.14. Отрезки AB и CD, изображенные на рисунке, параллельны. Чему равна сумма углов α и β?

А) 60°; В) 150°; Б) 120°; Г) найти невозможно .

1.15. Точка M удалена от плоскости α на 15 см. Из этой точки проведена к плоскости α наклонная MK. Найдите длину этой наклонной, если ее проекция на плоскость α равна 8 см.

А) 16 см; Б) 17 см; В) 19 см; Г) 23 см.

1.16. Найдите координаты середины отрезка AB, если A(8; 3; – 4), B(6; 7; –2).

А) (7; 5; –3); Б) (1; –2; –1); В) (7; –2; –3); Г) (–1; 5; –1).

A B

C D

α

β

60°

53

112

1.11. Средняя высота 10 домов равна 60 м, а средняя высота четырех из них — 48 м. Чему равна средняя высота остальных 6 домов?

А) 60 м; Б) 64 м; В) 68 м; Г) 72 м.

1.12. Сколько четырехзначных чисел, цифры которых могут повторяться, можно записать, используя цифры 1, 2, 3 и 4?

А) 24; Б) 64; В) 256; Г) 128.

1.13. Найдите сторону ромба, диагонали которого равны 24 см и 18 см.

А) 30 см; Б) 15 см; В) 21 см; Г) 27 см.

1.14. Отрезки AB и CD, изображенные на рисунке, параллельны. Чему равна сумма углов α и β?

А) 60°; В) 150°; Б) 120°; Г) найти невозможно .

1.15. Точка M удалена от плоскости α на 15 см. Из этой точки проведена к плоскости α наклонная MK. Найдите длину этой наклонной, если ее проекция на плоскость α равна 8 см.

А) 16 см; Б) 17 см; В) 19 см; Г) 23 см.

1.16. Найдите координаты середины отрезка AB, если A (8; 3; – 4), B(6; 7; –2).

А) (7; 5; –3); Б) (1; –2; –1); В) (7; –2; –3); Г) (–1; 5; –1).

A B

C D

α

β

60°




1.1. Решите неравенство log log, ,0 2 0 2 6x < .

А) (0; 6); Б) (– ∞; 6); В) (6; + ∞); Г) (– ∞; + ∞).

1.2. Вычислите значение выражения cos cos sin sin126 36 126 36° °+ ° ° .

А) 0; Б) –1; В) 1; Г) 21 .

1.3. Решите уравнение 10 10002− =x .

А) –1; Б) 1; В) 5; Г) –2.

1.4. Чему равно значение выражения 4 22 )9(3 −− ?

А) 32 ; Б) 0; В) 6; Г) 12.

1.5. Сократите дробь 1 12 4

12

6 9

9

m m

m

− +

−.

А) 146m− ; Б)

14 3m − ; В)

1414

3

3

m

m

+

−; Г)

1414

3

3

m

m

−

+.

1.6. Решите уравнение 3sin 5 2x = .

А) ( 1) 15 5k kπ π− ⋅ + , k Z∈ ;

Б) 215 5

kπ π± + , k Z∈ ;

В) ( 1) 30 5k kπ π− ⋅ + , k Z∈ ;

Г) 230 5

kπ π± + , k Z∈ .

1.7. Сколько нулей имеет функция 4( ) 16f x x= − ?

А) ни одного; Б) один; В) два; Г) четыре.

1.8. Укажите область определения функции 2log xy −= .

А) (– ∞; –1); Б) ( ; 1) ( 1; 0)−∞ − −∪ ;

В) (– ∞; 0); Г) (– ∞; + ∞).

54

Admin

19

1.9. Функция )(xfy = определена на промежутке [–8; 3] и имеет произ-водную в каждой точке области определения. На рисунке изображен график функции )(' xfy = . Определите промежутки возрастания функции )(xfy = . А) [–8; – 4] и [0; 3]; Б) [– 6; –3] и [2; 3];

В) [–3; 1]; Г) определить невозможно.

63

y

0 x28

3

1.10. Вероятность не выиграть в лотерею ни одного приза, приобретя один лотерейный билет, составляет 0,92. Сколько призов разыгрывается в лотерею, если выпущено 10 000 лотерейных билетов?

А) 80 призов; Б) 800 призов; В) 920 призов; Г) 92 приза.

1.11. Укажите множество значений функции 2 4 3y x x= − + . А) [–1; + ∞); Б) [–7; + ∞); В) [–2; + ∞); Г) [–3; + ∞).

1.12. Цену товара сначала повысили последовательно на 10 % и на 20 %, а потом снизили на 15 %. Как изменилась цена товара по сравнению с первоначальной?

А) увеличилась на 12,2 %; Б) увеличилась на 15 %;

В) уменьшилась на 10,8 %; Г) не изменилась.

1.13. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, AB = 3 см, AC = 8 см. Найдите периметр треугольника AOB. А) 22 см; Б) 16 см; В) 7 см; Г) 11 см.

1.14. В треугольнике ABC известно, что AC = 4 2 см, ∠ A = 30°, ∠ B = 45°. Найдите сторону BC. А) 8 см; Б) 4 см; В) 34 см; Г) 38 см.

1.15. Вычислите объем призмы, основанием которой является параллело-грамм со сторонами 6 см и 4 см и углом 45°, а высота призмы рав-на 7 2 см. А) 70 см3; Б) 84 см3; В) 56 см3; Г) 168 см3.

1.16. Вычислите a b− , если 2a = , 1b = , угол между векторами a и b равен 120°. А) 1; Б) 7; В) 7 ; Г) 3.

55

114

1.9. Функция )(xfy = определена на промежутке [–8; 3] и имеет произ-водную в каждой точке области определения. На рисунке изображен график функции )(' xfy = . Определите промежутки возрастания функции )(xfy = . А) [–8; – 4] и [0; 3]; Б) [– 6; –3] и [2; 3];

В) [–3; 1]; Г) определить невозможно.

63

y

0 x28

3

1.10. Вероятность не выиграть в лотерею ни одного приза, приобретя один лотерейный билет, составляет 0,92. Сколько призов разыгрывается в лотерею, если выпущено 10 000 лотерейных билетов?

А) 80 призов; Б) 800 призов; В) 920 призов; Г) 92 приза.

1.11. Укажите множество значений функции 2 4 3y x x= − + . А) [–1; + ∞); Б) [–7; + ∞); В) [–2; + ∞); Г) [–3; + ∞).

1.12. Цену товара сначала повысили последовательно на 10 % и на 20 %, а потом снизили на 15 %. Как изменилась цена товара по сравнению с первоначальной?

А) увеличилась на 12,2 %; Б) увеличилась на 15 %;

В) уменьшилась на 10,8 %; Г) не изменилась.

1.13. Диагонали прямоугольника ABCD пересекаются в точке O, AB = 3 см, AC = 8 см. Найдите периметр треугольника AOB. А) 22 см; Б) 16 см; В) 7 см; Г) 11 см.

1.14. В треугольнике ABC известно, что AC = 4 2 см, ∠ A = 30°, ∠ B = 45°. Найдите сторону BC. А) 8 см; Б) 4 см; В) 34 см; Г) 38 см.

1.15. Вычислите объем призмы, основанием которой является параллело-грамм со сторонами 6 см и 4 см и углом 45°, а высота призмы рав-на 7 2 см. А) 70 см3; Б) 84 см3; В) 56 см3; Г) 168 см3.

1.16. Вычислите a b− , если 2a = , 1b = , угол между векторами a и b равен 120°. А) 1; Б) 7; В) 7 ; Г) 3.




1.1. Представьте в виде степени выражение 1164 :a a .

А) 23

a ; Б) 121

a ; В) 241

a ; Г) 31

a .

1.2. Упростите выражение 2 3 12cos α − .

А) α3sin2 ; Б) – α3sin2 ; В) – α6cos ; Г) α6cos .

1.3. График какой из функций пересекает ось абсцисс?

А) 4( )f x x= ; Б) ( ) 4xf x = ; В) ( ) 4xf x = ; Г) ( ) 4f x = .

1.4. Решите уравнение 012 =+xtg3 .

А) ,4 kπ+arctg Zk ∈ ; В) ,31231 kπ+− arctg Zk ∈ ;

Б) – ,24 kπ+arctg Zk ∈ ; Г) – ,4 kπ+arctg Zk ∈ .

1.5. Чему равна сумма целых решений неравенства 4 05xx− ≤+ ?

А) 0; Б) –5; В) –4; Г) –9.

1.6. Березы составляют 40 % количества всех деревьев, растущих в парке, а тополя — 30 % количества берез. Сколько процентов количества всех деревьев парка составляют тополя?

А) 20 %; Б) 28 %; В) 12 %; Г) 15 %.

1.7. Решите уравнение 22 22 113 xxxx −− = .

А) 0; Б) –2; 0; В) 0; 2; Г) корней нет.

1.8. Найдите первообразную функции xxf sin)( = , график которой проходит через начало координат.

А) xxF cos1)( −= ; Б) xxF cos1)( += ;

В) 1cos)( −= xxF ; Г) 1cos)( −−= xxF .

1.9. Какое из неравенств выполняется при всех действительных значениях x?

А) ( ) 044 ≤x ; Б) 04 4 ≥x ; В) 04 ≥x ; Г) ( ) 0

44 ≥x .

56

Admin

20

1.10. Функция )(xfy = определена на промежутке [a; b] и имеет произ-водную в каждой точке области определения. На рисунке изображен график функции )(' xfy = . Сколько точек экстремума имеет функция

)(xfy = ?

А) ни одной точки; Б) 6 точек; В) 3 точки; Г) 4 точки.

1.11. Решите уравнение 0logloglog 322 =x .

А) 9; Б) 8; В) 4; Г) 3.

1.12. Дважды подбрасывают монету. Какова вероятность того, что герб выпадет хотя бы один раз?

А) 23 ; Б) 1

4 ; В) 12 ; Г) 3

4 .

1.13. Стороны параллелограмма пропорциональны числам 3 и 7. Найдите эти стороны, если периметр параллелограмма равен 40 см.

А) 6 см, 14 см; Б) 12 см, 28 см; В) 3 см, 7 см; Г) 9 см, 21 см.

1.14. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 7 см. Найдите синус острого угла треугольника, прилежащего к большему катету.

А) 37 ; Б) 4

7 ; В) 43 ; Г)

73 .

1.15. Точка M — середина отрезка AB, не пересекающего плоскость α. Точка A удалена от плоскости α на 6 см, а точка M — на 14 см. Чему равно расстояние от точки B до плоскости α?

А) 18 см; Б) 20 см; В) 22 см; Г) 24 см.

1.16. Найдите координаты вектора 3m a b= − , если ( 1;1; 2)a − , (3; 2;1)b .

А) m (2; 1; –1);

Б) m (8; 5; 1);

В) m (10; 5; 1);

Г) m (–10; –5; –1).

y

x0

ab

57

116

1.10. Функция )(xfy = определена на промежутке [a; b] и имеет произ-водную в каждой точке области определения. На рисунке изображен график функции )(' xfy = . Сколько точек экстремума имеет функция

)(xfy = ?

А) ни одной точки; Б) 6 точек; В) 3 точки; Г) 4 точки.

1.11. Решите уравнение 0logloglog 322 =x .

А) 9; Б) 8; В) 4; Г) 3.

1.12. Дважды подбрасывают монету. Какова вероятность того, что герб выпадет хотя бы один раз?

А) 23 ; Б) 1

4 ; В) 12 ; Г) 3

4 .

1.13. Стороны параллелограмма пропорциональны числам 3 и 7. Найдите эти стороны, если периметр параллелограмма равен 40 см.

А) 6 см, 14 см; Б) 12 см, 28 см; В) 3 см, 7 см; Г) 9 см, 21 см.

1.14. Катеты прямоугольного треугольника равны 3 см и 7 см. Найдите синус острого угла треугольника, прилежащего к большему катету.

А) 37 ; Б) 4

7 ; В) 43 ; Г)

73 .

1.15. Точка M — середина отрезка AB, не пересекающего плоскость α. Точка A удалена от плоскости α на 6 см, а точка M — на 14 см. Чему равно расстояние от точки B до плоскости α?

А) 18 см; Б) 20 см; В) 22 см; Г) 24 см.

1.16. Найдите координаты вектора 3m a b= − , если ( 1;1; 2)a − , (3; 2;1)b .

А) m (2; 1; –1);

Б) m (8; 5; 1);

В) m (10; 5; 1);

Г) m (–10; –5; –1).

y

x0

ab




1.1. Какая функция является убывающей?

А) 8y x= ; Б) 8y x= − ; В) 8y x= − ; Г) 8xy = .

1.2. Известно, что 5 : 5 125x y = . Чему равно значение выражения yx − ?

А) 0; Б) 1; В) 2; Г) 3.

1.3. Найдите значение выражения 6 126 36 ⋅ .

А) 54; Б) 36; В) 18; Г) 72.

1.4. Решите неравенство log ( )2 3 3x − < .

А) (– ∞; 11); Б) (– ∞; 5); В) (3; 11); Г) (3; 12).

1.5. Чему равно значение выражения °−° 75sin75cos 22 ?

А) 21 ; Б) – 2

1 ; В) 23 ; Г) – 2

3 .

1.6. Укажите множество всех значений x, при которых верно равенство 2log 2log | |a ax x= .

А) (0; + ∞); Б) (– ∞; 0); В) (– ∞; 0) ∪ (0; + ∞); Г) ∅.

1.7. Решите уравнение 022sin =−x .

А) ,4)1( 1 kk π+π⋅− + Zk ∈ ;

Б) ,4)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

В) ,24 kπ+π± Zk ∈ ;

Г) ,243 kπ+π± Zk ∈ .


16 ; Б) 38 ; В) 4; Г) 6.

1.9. Периодом функции ( )y f x= является число 5. Найдите значение выражения 2 ( 3) (7)f f− + , если (2) 6f = .

А) найти невозможно; Б) 12; В) – 6; Г) 18.

y

0 x

1

1 2

424 xy −=

58

Admin

21

1.10. В арифметической прогрессии (an) известно, что 1 3a = , 2 4a = − . Укажите формулу n-го члена этой прогрессии.

А) 7 4na n= − ; Б) 10 7na n= − ; В) 7 4na n= − − ; Г) 7 10na n= − .

1.11. Среднее арифметическое восьми чисел равно 40, а среднее арифметическое трех из них равно 50. Чему равно среднее арифметическое остальных пяти чисел?

А) 30; Б) 35; В) 32; Г) 34.

1.12. В ящике лежат четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 3 и 5. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, является нечетным числом?

А) 21 ; Б) 5

2 ; В) 41 ; Г) 4

3 .

1.13. Дано: ∆ ABC и ∆ MKE, ∠ A = ∠ M, ∠ B = ∠K, 6=AB см, 12=BC см, 3=MK см. Найдите сторону KE.

А) 8 см; Б) 6 см; В) 4 см; Г) 2 см.

1.14. Известно, что AD — большее основание трапеции ABCD. Через вершину B проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает основание AD в точке M. Найдите периметр трапеции ABCD, если периметр треугольника ABM равен 28 см, а основание BC — 5 см.

А) 28 см; Б) 33 см; В) 38 см; Г) найти невозможно.

1.15. Вычислите объем пирамиды, основанием которой является парал-лелограмм со сторонами 4 см и 5 2 см и углом 45° между ними, а высота пирамиды равна 9 см.

А) 60 см3; Б) 180 см3; В) 30 см3; Г) 90 см3.

1.16. Найдите координаты середины отрезка EF, если E (16; 7; –8), F (8; –9; –6).

А) (–8; – 16; 2); В) (12; –1; –7); Б) (8; 16; –2); Г) (24; –2; –14).

59

118

1.10. В арифметической прогрессии (an) известно, что 1 3a = , 2 4a = − . Укажите формулу n-го члена этой прогрессии.

А) 7 4na n= − ; Б) 10 7na n= − ; В) 7 4na n= − − ; Г) 7 10na n= − .

1.11. Среднее арифметическое восьми чисел равно 40, а среднее арифметическое трех из них равно 50. Чему равно среднее арифметическое остальных пяти чисел?

А) 30; Б) 35; В) 32; Г) 34.

1.12. В ящике лежат четыре карточки, на которых написаны числа 1, 2, 3 и 5. Какова вероятность того, что произведение чисел, записанных на двух наугад выбранных карточках, является нечетным числом?

А) 21 ; Б) 5

2 ; В) 41 ; Г) 4

3 .

1.13. Дано: ∆ ABC и ∆ MKE, ∠ A = ∠ M, ∠ B = ∠K, 6=AB см, 12=BC см, 3=MK см. Найдите сторону KE.

А) 8 см; Б) 6 см; В) 4 см; Г) 2 см.

1.14. Известно, что AD — большее основание трапеции ABCD. Через вершину B проведена прямая, которая параллельна стороне CD и пересекает основание AD в точке M. Найдите периметр трапеции ABCD, если периметр треугольника ABM равен 28 см, а основание BC — 5 см.

А) 28 см; Б) 33 см; В) 38 см; Г) найти невозможно.

1.15. Вычислите объем пирамиды, основанием которой является парал-лелограмм со сторонами 4 см и 5 2 см и углом 45° между ними, а высота пирамиды равна 9 см.

А) 60 см3; Б) 180 см3; В) 30 см3; Г) 90 см3.

1.16. Найдите координаты середины отрезка EF, если E (16; 7; –8), F (8; –9; –6).

А) (–8; – 16; 2); В) (12; –1; –7); Б) (8; 16; –2); Г) (24; –2; –14).



ответ и отметьте его в бланке ответов. 1.1. Упростите выражение ( sin ) ( sin )1 1− +α α .

А) –1; Б) 1; В) α2cos ; Г) α2sin .

1.2. Представьте в виде степени выражение 1 16 2b b .

А) 81

b ; Б) 121

b ; В) 32

b ; Г) 83

b .

1.3. Какая функция является степенной? А) 8xy = ; Б) xy 8= ; В) xy 8= ; Г) xy 8= .

1.4. Какое из уравнений не имеет корней?

А) π−=xcos ; Б) 6cos π−=x ; В) 65cos −=x ; Г) 2

3cos −=x .

1.5. Чему равно значение выражения )64(log4 a , если 2log4 =a ?

А) 128; Б) 5; В) 66; Г) 7.

1.6. Решите уравнение ( ) ( ) ( )264 514 25 4

xx⋅ = .

А) 2; Б) 1; В) –1; Г) –2.

1.7. Решите неравенство 5log (3 )5 1x−< .

А) (2; + ∞); Б) (2; 3); В) (– ∞; 2); Г) (0; 2).

1.8. Найдите производную функции 3( ) 2xf x x+= − ⋅

А) 21'( )

( 2)f x

x=

−;

Б) 25'( )

( 2)f x

x=

−;

В) 21'( )

( 2)f x

x= −

−;

Г) 25'( )

( 2)f x

x= −

−.


3ln3 ;

Б) 103ln3 ;

В) 3ln38 ;

Г) 3ln310 .

x0

y

1

1

3

-1

xy 3=

60

Admin

22

1.10. Найдите номер члена арифметической прогрессии )( na , равного 10,9, если 5,81 =a и разность прогрессии 3,0=d .

А) 7; Б) 8; В) 9; Г) 10.

1.11. Сколько корней имеет уравнение 02)8)(4( =−−− xxx ?

А) один корень; Б) два корня;

В) три корня; Г) ни одного корня.

1.12. Сколько шестизначных чисел, кратных числу 10, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4 и 5?

А) 36; Б) 60; В) 24; Г) 120.

1.13. Какое из данных утверждений верно? А) любой ромб является квадратом; Б) если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он является

ромбом; В) существует квадрат, не являющийся ромбом; Г) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является

прямоугольником.

1.14. В окружности, радиус которой равен 13 см, на расстоянии 5 см от центра проведена хорда. Найдите длину этой хорды.

А) 8 см; Б) 12 см; В) 24 см; Г) 30 см.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол между прямой AС1 и плос-костью DCС1.

А) ∠C1AD; Б) ∠ AC1D; В) ∠ AC1C; Г) ∠C1AC.

1.16. При каком положительном значении k модуль вектора (2; 3; )m k− равен 7? А) 36; Б) 9; В) 8; Г) 6.

B

AC

D

A1

B1 C1

D1

61

120

1.10. Найдите номер члена арифметической прогрессии )( na , равного 10,9, если 5,81 =a и разность прогрессии 3,0=d .

А) 7; Б) 8; В) 9; Г) 10.

1.11. Сколько корней имеет уравнение 02)8)(4( =−−− xxx ?

А) один корень; Б) два корня;

В) три корня; Г) ни одного корня.

1.12. Сколько шестизначных чисел, кратных числу 10, все цифры которых различны, можно записать, используя цифры 0, 1, 2, 3, 4 и 5?

А) 36; Б) 60; В) 24; Г) 120.

1.13. Какое из данных утверждений верно? А) любой ромб является квадратом; Б) если диагонали четырехугольника перпендикулярны, то он является

ромбом; В) существует квадрат, не являющийся ромбом; Г) если диагонали параллелограмма не равны, то он не является

прямоугольником.

1.14. В окружности, радиус которой равен 13 см, на расстоянии 5 см от центра проведена хорда. Найдите длину этой хорды.

А) 8 см; Б) 12 см; В) 24 см; Г) 30 см.

1.15. На рисунке изображен куб ABCDA1B1C1D1. Укажите угол между прямой AС1 и плос-костью DCС1.

А) ∠C1AD; Б) ∠ AC1D; В) ∠ AC1C; Г) ∠C1AC.

1.16. При каком положительном значении k модуль вектора (2; 3; )m k− равен 7? А) 36; Б) 9; В) 8; Г) 6.

B

AC

D

A1

B1 C1

D1




1.1. Какое из уравнений не имеет корней? А) 083 =+x ; Б) 083 =−x ; В) 086 =−x ; Г) 086 =+x .

1.2. Упростите выражение sin cos cos sin12 4 12 4α α α α− .

А) α16sin ; Б) α16cos ; В) α8sin ; Г) α8cos .

1.3. Решите уравнение 2log5 −=x .

А) 251 ; Б) 25; В) –10; Г) 5

2− .


x≤ .

А) (– ∞; 2]; Б) [2; + ∞); В) (– ∞; 1,5]; Г) [1,5; + ∞).

1.5. Решите неравенство 0|2| <−x . А) (– ∞; 2); Б) (0; 2);

В) решений нет; Г) (– ∞; + ∞).

1.6. Областью определения какой из функций является промежуток [6; + ∞)?

А) 4 6y x= − ; Б) 41

6y

x=

−; В) 4 6y x= − ; Г) 4

16

yx

=−

.

1.7. Решите уравнение ( ) 3tg 4 3x π− = .

А) ,12 kπ+π Zk ∈ ;

Б) ,12 kπ+π− Zk ∈ ;

В) ,125 kπ+π Zk ∈ ;

Г) ,127 kπ+π Zk ∈ .

1.8. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 468⋅

А) 43 8 ; Б) 43 84 ; В)

43 24 ; Г) 43 2 .

1.9. На каком рисунке точка 0x является точкой минимума функции, график которой изображен на рисунке?

y

x0

А)

x0

y

x0

Б)

x0

y

x0

В)

x0

y

x0

Г)

x0

62

Admin

23

1.10. Цена товара ежемесячно понижается на 30 %. Если сейчас цена товара составляет a грн, то какой она станет через 2 месяца?

А) 0,4a грн; Б) 0,49a грн; В) 0,7a грн; Г) 0,75a грн.

1.11. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции xxy 22 += в точке с абсциссой 20 −=x ?

А) –2; Б) 6; В) 2; Г) – 6.

1.12. На 20 карточках записаны натуральные числа от 1 до 20. Какова вероятность того, что число, записанное на наугад выбранной карточке, не делится нацело ни на 4, ни на 5?

А) 21 ; Б) 5

1 ; В) 2011 ; Г) 5

3 .

1.13. Вычислите площадь треугольника со сторонами 4 см и 3 2 см и углом 45° между ними.

А) 12 см2; Б) 212 см2; В) 6 см2; Г) 26 см2.

1.14. В ромбе ABCD, изображенном на рисунке, .65°=∠CBD Какова величина угла A?

А) 35°; Б) 50°; В) 70°; Г) 115°.

1.15. Вычислите объем пирамиды, основанием которой является прямо-угольный треугольник с катетами 9 см и 12 см, а высота пирамиды рав-на 18 см.

А) 162 см3; Б) 648 см3; В) 972 см3; Г) 324 см3.


А) M (0; 3; 0); Б) N (1; 0; 1); В) K (0; 0; –2); Г) F (–3; 0; 0).

A

B C

D

65°

63

122

1.10. Цена товара ежемесячно понижается на 30 %. Если сейчас цена товара составляет a грн, то какой она станет через 2 месяца?

А) 0,4a грн; Б) 0,49a грн; В) 0,7a грн; Г) 0,75a грн.

1.11. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции xxy 22 += в точке с абсциссой 20 −=x ?

А) –2; Б) 6; В) 2; Г) – 6.

1.12. На 20 карточках записаны натуральные числа от 1 до 20. Какова вероятность того, что число, записанное на наугад выбранной карточке, не делится нацело ни на 4, ни на 5?

А) 21 ; Б) 5

1 ; В) 2011 ; Г) 5

3 .

1.13. Вычислите площадь треугольника со сторонами 4 см и 3 2 см и углом 45° между ними.

А) 12 см2; Б) 212 см2; В) 6 см2; Г) 26 см2.

1.14. В ромбе ABCD, изображенном на рисунке, .65°=∠CBD Какова величина угла A?

А) 35°; Б) 50°; В) 70°; Г) 115°.

1.15. Вычислите объем пирамиды, основанием которой является прямо-угольный треугольник с катетами 9 см и 12 см, а высота пирамиды рав-на 18 см.

А) 162 см3; Б) 648 см3; В) 972 см3; Г) 324 см3.


А) M (0; 3; 0); Б) N (1; 0; 1); В) K (0; 0; –2); Г) F (–3; 0; 0).

A

B C

D

65°




1.1. Какая функция является прямой пропорциональностью?

А) 4+−= xy ; Б) xy −= ; В) xy −=1 ; Г) xy 1−= .

1.2. Найдите значение выражения log 3 9 .

А) 2; Б) –2; В) 4; Г) 21 .

1.3. Вычислите значение выражения ( )44 5

15 .

А) 35 ; Б) 5

3 ; В) 51 ; Г) 3

1 .

1.4. Решите уравнение 168 =x .

А) 2; Б) 31 ; В) 3

4 ; Г) 4.

1.5. Сократите дробь sin 62cos3

αα .

А) α3sin ; Б) α3cos ; В) α2sin ; Г) α2cos .

1.6. Найдите производную функции 9 41( ) 23f x x x= − .

А) 38 86)(' xxxf −= ;

Б) 38 63)(' xxxf −= ;

В) 38 83)(' xxxf −= ;

Г) 38 66)(' xxxf −= .

1.7. Какая из функций является первообразной функции xxf 5)( = ?

А) xxF 5)( = ;

Б) 5ln5)( xxF = ;

В) 5( ) ln5x

F x = ;

Г) 15( ) 1

xF x x

+= + .

1.8. Решите уравнение ( ) 2sin 2 2xπ + = .

А) ,24 kπ+π± Zk ∈ ; В) ,4)1( 1 kk π+π⋅− + Zk ∈ ;

Б) ,243 kπ+π± Zk ∈ ; Г) ,4)1( kk π+π⋅− Zk ∈ .

64

Admin

24

1.9. Для школы закупили футбольные и волейбольные мячи. Количество волейбольных мячей является четным числом, а футбольных мячей в 3 раза больше, чем волейбольных. Каким может быть количество всех закупленных мячей?

А) 28; Б) 32; В) 33; Г) 36.

1.10. Сколькими способами можно доехать из города A через город В в город С, если из А в В ведет 4 дороги, а из В в С — 6 дорог?

А) 10; Б) 12; В) 18; Г) 24.

1.11. Какая из данных функций является четной?

А) xy lg= ; Б) |lg| xy = ; В) xy lg−= ; Г) ||lg xy = .

1.12. Натуральные числа a и b таковы, что a — четное, а b — нечетное. Значение какого выражения является нечетным числом? А) )( bab + ; Б) 32 +b ; В) )( baa + ; Г) ( 1)

2a b + .

1.13. На диагонали BD прямоугольника ABCD, изо-браженного на рисунке, отметили точку E так, что

EDBE = . Чему равно отношение периметра прямоугольника MBKE к периметру прямо-угольника ABCD?

А) 1 : 1; Б) 1 : 2; В) 1 : 2 ; Г) 1 : 4.

1.14. Дано: ∆MNK, ∠N = 90°, MK = 9 см, MN = 17 см. Найдите sin M.

А) 98 ; Б) 9

17 ; В) 178 ; Г) 8

17 .

1.15. Чему равен объем цилиндра, диаметр основания которого равен 6 см, а образующая — 7 см?

А) 21π см3; Б) 63π см3; В) 42π см3; Г) 252π см3. 1.16. Окружность с центром в точке D (2; – 4) касается оси абсцисс. Чему

равен радиус окружности?

А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 8.

A

B C

D

EK

M

65

124

1.9. Для школы закупили футбольные и волейбольные мячи. Количество волейбольных мячей является четным числом, а футбольных мячей в 3 раза больше, чем волейбольных. Каким может быть количество всех закупленных мячей?

А) 28; Б) 32; В) 33; Г) 36.

1.10. Сколькими способами можно доехать из города A через город В в город С, если из А в В ведет 4 дороги, а из В в С — 6 дорог?

А) 10; Б) 12; В) 18; Г) 24.

1.11. Какая из данных функций является четной?

А) xy lg= ; Б) |lg| xy = ; В) xy lg−= ; Г) ||lg xy = .

1.12. Натуральные числа a и b таковы, что a — четное, а b — нечетное. Значение какого выражения является нечетным числом? А) )( bab + ; Б) 32 +b ; В) )( baa + ; Г) ( 1)

2a b + .

1.13. На диагонали BD прямоугольника ABCD, изо-браженного на рисунке, отметили точку E так, что

EDBE = . Чему равно отношение периметра прямоугольника MBKE к периметру прямо-угольника ABCD?

А) 1 : 1; Б) 1 : 2; В) 1 : 2 ; Г) 1 : 4.

1.14. Дано: ∆MNK, ∠N = 90°, MK = 9 см, MN = 17 см. Найдите sin M.

А) 98 ; Б) 9

17 ; В) 178 ; Г) 8

17 .

1.15. Чему равен объем цилиндра, диаметр основания которого равен 6 см, а образующая — 7 см?

А) 21π см3; Б) 63π см3; В) 42π см3; Г) 252π см3. 1.16. Окружность с центром в точке D (2; – 4) касается оси абсцисс. Чему

равен радиус окружности?

А) 2; Б) 3; В) 4; Г) 8.

A

B C

D

EK

M




1.1. Упростите выражение sin ( )π α+ . А) αcos ; Б) – αcos ; В) αsin ; Г) – αsin .

1.2. Найдите значение выражения 4 84 25 ⋅ . А) 7; Б) 10; В) 20; Г) 100.

1.3. Какое из выражений принимает только положительные значения? А) 8 5x + ; Б) 8( 5)x − ; В) 8 5x − ; Г) 8( 5)x + .

1.4. График какой функции изобра-

жен на рисунке? А) xy 6= ;

Б) 6xy −= ;

В) xy 6−= ;

Г) xy 6−= .

1.5. Решите неравенство 50,1 10x+ ≤ .

А) (– ∞; 4]; Б) [4; + ∞); В) (– ∞; –6]; Г) [– 6; + ∞).


22

dxx

−

−∫ .

А) –0,5; Б) 0,5; В) –1,5; Г) 1,5.

1.7. Найдите производную функции xy 35= .

А) xy 353' ⋅= ; В) 5ln53' 3xy ⋅= ;

Б) xy 253' ⋅= ; Г) 5ln5' 3xy = .

1.8. Натуральные числа a и b таковы, что число a — четное, а b — нечетное. Значением какого выражения является четное число?

А) ba − ; Б) 2)1( ++ ba ; В) 22 ba + ; Г) 22 ba − .

y

10x1

66

Admin

25

1.9. Какое уравнение равносильно уравнению 01 =x ?

А) 0log4 =x ; Б) 3cos −=x ; В) 0=xtg ; Г) 3−=xctg .

1.10. Велосипедист проехал 24 км со скоростью 8 км/ч, а остальные 18 км — со скоростью 9 км/ч. Чему равна средняя скорость движения вело-сипедиста?

А) 8,4 км/ч; Б) 8,5 км/ч; В) 8 км/ч; Г) 9 км/ч.

1.11. Какова вероятность того, что наугад выбранное двузначное число кратно числу 12? А) 10

1 ; Б) 152 ; В) 45

4 ; Г) 9011 .

1.12. Функция )(xfy = определена на промежутке [a; b] и имеет произ-водную в каждой точке области определения. На рисунке изображен график функции '( )y f x= . Сколько промежутков возрастания имеет функция )(xfy = ? А) 2; Б) 3; В) 4; Г) невозможно установить.

y

x0

)(' xfy =

ba

1.13. Две стороны треугольника равны 23 см и 39 см. Укажите, какой может

быть длина его третьей стороны. А) 15 см; Б) 16 см; В) 4 см; Г) 18 см.

1.14. В треугольнике ABC известно, что 45 ,A∠ = ° ,60°=∠B 63=BC см. Найдите сторону AC. А) 9 см; Б) 6 см; В) 39 см; Г) 26 см.

1.15. Даны скрещивающиеся прямые a и b. Сколько существует плоскостей, которые проходят через прямую a и параллельны прямой b? А) одна; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной.

1.16. На стороне AD параллелограмма ABCD, изо-браженного на рисунке, отметили точку E, а на стороне CD — точку F так, что AE : ED = 3 : 1, DF : CF = 2 : 1. Выразите вектор EF через векторы AD m= и DC n= .

А) 1 14 2EF m n= + ;

Б) 3 24 3EF m n= + ;

В) 1 24 3EF m n= + ;

Г) 1 13 2EF m n= + .

A

B C

D

F

E

67

126

1.9. Какое уравнение равносильно уравнению 01 =x ?

А) 0log4 =x ; Б) 3cos −=x ; В) 0=xtg ; Г) 3−=xctg .

1.10. Велосипедист проехал 24 км со скоростью 8 км/ч, а остальные 18 км — со скоростью 9 км/ч. Чему равна средняя скорость движения вело-сипедиста?

А) 8,4 км/ч; Б) 8,5 км/ч; В) 8 км/ч; Г) 9 км/ч.

1.11. Какова вероятность того, что наугад выбранное двузначное число кратно числу 12? А) 10

1 ; Б) 152 ; В) 45

4 ; Г) 9011 .

1.12. Функция )(xfy = определена на промежутке [a; b] и имеет произ-водную в каждой точке области определения. На рисунке изображен график функции '( )y f x= . Сколько промежутков возрастания имеет функция )(xfy = ? А) 2; Б) 3; В) 4; Г) невозможно установить.

y

x0

)(' xfy =

ba

1.13. Две стороны треугольника равны 23 см и 39 см. Укажите, какой может

быть длина его третьей стороны. А) 15 см; Б) 16 см; В) 4 см; Г) 18 см.

1.14. В треугольнике ABC известно, что 45 ,A∠ = ° ,60°=∠B 63=BC см. Найдите сторону AC. А) 9 см; Б) 6 см; В) 39 см; Г) 26 см.

1.15. Даны скрещивающиеся прямые a и b. Сколько существует плоскостей, которые проходят через прямую a и параллельны прямой b? А) одна; Б) две; В) бесконечно много; Г) ни одной.

1.16. На стороне AD параллелограмма ABCD, изо-браженного на рисунке, отметили точку E, а на стороне CD — точку F так, что AE : ED = 3 : 1, DF : CF = 2 : 1. Выразите вектор EF через векторы AD m= и DC n= .

А) 1 14 2EF m n= + ;

Б) 3 24 3EF m n= + ;

В) 1 24 3EF m n= + ;

Г) 1 13 2EF m n= + .

A

B C

D

F

E




1.1. Сколько корней имеет уравнение 3cos π=x ?

А) ни одного корня; Б) один корень;

В) два корня; Г) бесконечно много корней.


x≥ .

А) [8; + ∞); Б) [4; + ∞); В) (– ∞; 8]; Г) (– ∞; 4].

1.3. Вычислите значение выражения 4log 516 .

А) 4; Б) 10; В) 25; Г) 8.

1.4. Представьте выражение 3 14 2:a a в виде степени.

А) 14a ; Б)

32a ; В)

12a ; Г)

38a .

1.5. Решите уравнение log ( ),0 5 3 2 2x − = − .

А) 31 ; Б) 1; В) 2; Г) 3

2 .

1.6. Известно, что 3 рабочих могут выполнить производственное задание за 5 ч. За какое время это задание выполнят 4 рабочих, если производительность труда всех рабочих одинакова?

А) за 3 ч; Б) за 3 ч 15 мин;

В) за 3 ч 45 мин; Г) за 4 ч.

1.7. Укажите множество решений неравенства 211 <x .

А) (– ∞; 2); Б) (– ∞; 0)∪ (2; + ∞);

В) (2; + ∞); Г) (0; 2).

1.8. Укажите общий вид первообразных функции f x x( ) sin= 5 .

А) Cx +− 5cos51 ;

Б) Cx +5cos51 ;

В) Cx +− 5cos5 ;

Г) Cx +− 5cos .

1.9. Найдите значение производной функции xxexf =)( в точке 10 =x . А) 2+e ; Б) 1+e ; В) 2e; Г) e.

68

Admin

26

1.10. График функции xy 5= перенесли параллельно на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 6 единиц вниз вдоль оси ординат. График какой функции был получен? А) 65 2 += −xy ; Б) 25 6 −= +xy ; В) 25 6 += −xy ; Г) 65 2 −= +xy .

1.11. Функция )(xfy = является четной. Найдите )4(−f , если 6)4( −=f .

А) 0; Б) – 6; В) 6; Г) найти невозможно.

1.12. Пять карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что сумма номеров выбранных наугад двух карточек будет равной 7?

А) 52 ; Б) 5

1 ; В) 73 ; Г) 3

1 .

1.13. На прямой отметили точки так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 4 см, а между крайними точками — 40 см. Сколько точек отметили?

А) 9 точек; Б) 10 точек; В) 11 точек; Г) 12 точек.

1.14. На рисунке изображен равнобедренный треугольник ABC ( BCAB = ), вписанный в окружность. Чему равен угол α?

А) 150°; Б) 120°; В) 90°; Г) 60°.

1.15. Точка A — некоторая точка пространства. Какую геометрическую фигуру образуют все точки пространства, расстояние от ко-торых до точки A не более 6 см?

А) окружность; Б) круг; В) сферу; Г) шар.

1.16. Даны векторы ( 4; 2; 1)a − − и (3;1; 4)b . Найдите координаты вектора

2n a b= + .

А) n (–5; 5; 2); Б) n (–3; 5; 3); В) n (–11; 5; 2); Г) n (–1; 3; 3).

α

30°A

B

D

C

69

128

1.10. График функции xy 5= перенесли параллельно на 2 единицы влево вдоль оси абсцисс и на 6 единиц вниз вдоль оси ординат. График какой функции был получен? А) 65 2 += −xy ; Б) 25 6 −= +xy ; В) 25 6 += −xy ; Г) 65 2 −= +xy .

1.11. Функция )(xfy = является четной. Найдите )4(−f , если 6)4( −=f .

А) 0; Б) – 6; В) 6; Г) найти невозможно.

1.12. Пять карточек пронумерованы числами 1, 2, 3, 4 и 5. Какова вероятность того, что сумма номеров выбранных наугад двух карточек будет равной 7?

А) 52 ; Б) 5

1 ; В) 73 ; Г) 3

1 .

1.13. На прямой отметили точки так, что расстояние между любыми двумя соседними точками равно 4 см, а между крайними точками — 40 см. Сколько точек отметили?

А) 9 точек; Б) 10 точек; В) 11 точек; Г) 12 точек.

1.14. На рисунке изображен равнобедренный треугольник ABC ( BCAB = ), вписанный в окружность. Чему равен угол α?

А) 150°; Б) 120°; В) 90°; Г) 60°.

1.15. Точка A — некоторая точка пространства. Какую геометрическую фигуру образуют все точки пространства, расстояние от ко-торых до точки A не более 6 см?

А) окружность; Б) круг; В) сферу; Г) шар.

1.16. Даны векторы ( 4; 2; 1)a − − и (3;1; 4)b . Найдите координаты вектора

2n a b= + .

А) n (–5; 5; 2); Б) n (–3; 5; 3); В) n (–11; 5; 2); Г) n (–1; 3; 3).

α

30°A

B

D

C




1.1. Решите уравнение 4 116x = .

А) 21− ; 2

1 ; Б) 21 ; В) 4

1− ; 41 ; Г) 4

1 .

1.2. Сравните 3 23 и 523 .

А) 3 23 = 523 ; Б) 3 23 > 523 ;

В) 3 23 < 523 ; Г) сравнить невозможно.

1.3. Упростите выражение cos cos sin sin4 4α α α α− .

А) α5cos ; Б) α3cos ; В) α5sin ; Г) α3sin .


log log 6x < .

А) (– ∞; 6); Б) (0; 6); В) ( )1 ; 63 ; Г) (6; + ∞).

1.5. Областью определения какой функции является множество действи-тельных чисел?

А) 21 xy += ; Б) 21 xy −= ; В) xy += 1 ; Г) xy −= 1 .

1.6. Решите уравнение 1sin 3 2x = .

А) ,32

18kπ+π± Zk ∈ ; В) ,318)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Б) ,318kπ+π± Zk ∈ ; Г) ,3

218)1( kk π+π⋅− Zk ∈ .

1.7. Решите неравенство 06x

x ≤+ .

А) [– 6; 0]; Б) (– 6; 0];

В) ( ; 6) [0; )−∞ − +∞∪ ; Г) ( ; 6] [0; )−∞ − +∞∪ .


3

x dx∫ .

А) 8; Б) 26; В) 16; Г) 12.

1.9. Какая из функций является четной? А) ctgy x= ; Б) xy cos= ; В) 3xy = ; Г) xy 3= .

70

Admin

27

1.10 Кофейные зерна при обжаривании теряют 12 % своей массы. Сколько килограммов свежих зерен надо взять, чтобы получить 13,2 кг жареных?

А) 20 кг; Б) 18 кг; В) 16 кг; Г) 15 кг.

1.11 Функция )(xfy = определена на промежутке [– 4; 4] и имеет производную в каждой точке области определения. На рисун-ке изображен график функции

)(' xfy = . Найдите точки макси-мума функции )(xfy = .

А) 0; Б) –1; 1; В) –3; Г) 3.

1.12. В коробке лежат 4 белых шара и несколько желтых. Сколько желтых шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется желтым, равна 5

3 ?

А) 6 шаров; Б) 3 шара; В) 10 шаров; Г) 8 шаров.

1.13. Какое утверждение неверно?

А) через любые две точки можно провести окружность; Б) около любого треугольника можно описать окружность; В) около любого прямоугольника можно описать окружность; Г) около любой трапеции можно описать окружность.

1.14. Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC, изображенного на рисунке. Чему равно отношение площади треугольника DBE к площади треугольника ABC ?

А) 1 : 2; Б) 1 : 3; В) 1 : 4; Г) 1 : 5.

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, осевым сечением которого является квадрат со стороной 8 см.


1.16. Найдите модуль вектора 4b , если ( 1; 2; 2)b − − .

А) 3; Б) 7; В) 12; Г) 16.

y

0 x1

1

-1-3 3

)(' xfy =

-4 4

A

B

C

ED

71

130

1.10 Кофейные зерна при обжаривании теряют 12 % своей массы. Сколько килограммов свежих зерен надо взять, чтобы получить 13,2 кг жареных?

А) 20 кг; Б) 18 кг; В) 16 кг; Г) 15 кг.

1.11 Функция )(xfy = определена на промежутке [– 4; 4] и имеет производную в каждой точке области определения. На рисун-ке изображен график функции

)(' xfy = . Найдите точки макси-мума функции )(xfy = .

А) 0; Б) –1; 1; В) –3; Г) 3.

1.12. В коробке лежат 4 белых шара и несколько желтых. Сколько желтых шаров в коробке, если вероятность того, что выбранный наугад шар окажется желтым, равна 5

3 ?

А) 6 шаров; Б) 3 шара; В) 10 шаров; Г) 8 шаров.

1.13. Какое утверждение неверно?

А) через любые две точки можно провести окружность; Б) около любого треугольника можно описать окружность; В) около любого прямоугольника можно описать окружность; Г) около любой трапеции можно описать окружность.

1.14. Отрезок DE — средняя линия треугольника ABC, изображенного на рисунке. Чему равно отношение площади треугольника DBE к площади треугольника ABC ?

А) 1 : 2; Б) 1 : 3; В) 1 : 4; Г) 1 : 5.

1.15. Вычислите площадь боковой поверхности цилиндра, осевым сечением которого является квадрат со стороной 8 см.


1.16. Найдите модуль вектора 4b , если ( 1; 2; 2)b − − .

А) 3; Б) 7; В) 12; Г) 16.

y

0 x1

1

-1-3 3

)(' xfy =

-4 4

A

B

C

ED




1.1. Упростите выражение ( )sin 2π +α .

А) αcos ; Б) – αcos ; В) αsin ; Г) – αsin .

1.2 Решите неравенство 0 6 0 36, ,x > .

А) (2; + ∞); Б) (– ∞; 2); В) ( )1 ;2 +∞ ; Г) ( )1; 2−∞ .

1.3 Корнем какого уравнения является число 3? А) 39log =x ; Б) 3

1log9 =x ; В) 327log =x ; Г) 9log3 =x .

1.4. Значение какого выражения является целым числом?

А) ( ) 313

−; Б) 3

231

2:4−

; В) 2log32

13 ; Г) ( )331 33 .

1.5 Найдите производную функции 43( )f xx

= .

А) 53'( )

4f x

x= ; Б) 3

12'( )f xx

= − ; В) 33'( )

4f x

x= ; Г) 5

12'( )f xx

= − .


cos x dxπ

∫ .

А) 0; Б) 1; В) 2; Г) –2.

1.7 Решите уравнение 212sin4sin2cos4cos =− xxxx .

А) ,6)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Б) ,636)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

В) ,23 kπ+π± Zk ∈ ;

Г) ,318kπ+π± Zk ∈ .

1.8. В парке каштанов растет в 3 раза больше, чем тополей. Каким может быть общее количество каштанов и тополей в парке?

А) 21; Б) 22; В) 24; Г) 25.

1.9 Областью определения какой функции является промежуток (3; + ∞)?

А) 13y x= − ; Б) 3 3−= xy ;

В) lg ( 3)y x= − ; Г) 4 3−= xy .

72

Admin

28

1.10 Известно, что для функции f и для любого числа x из промежутка [a; b] выполняется неравенство 0)(' >xf . Сравните )(af и )(bf . А) )(af < )(bf ; В) )(af = )(bf ; Б) )(af > )(bf ; Г) сравнить невозможно.

1.11. Первый рабочий изготавливает 6 одинаковых деталей за время, нужное второму рабочему для изготовления 4 таких деталей. Сколько деталей изготовит первый рабочий за время, за которое второй изгото-вит 6 деталей?

А) 9 деталей; Б) 10 деталей; В) 11 деталей; Г) 12 деталей.

1.12. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых различны, четны и отличны от нуля?

А) 12; Б) 24; В) 36; Г) 40.

1.13. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 6. Чему равна сумма наи-большего и наименьшего углов треугольника?

А) 90°; Б) 100°; В) 120°; Г) 140°.

1.14. На рисунке изображен треугольник ABC, впи-санный в полуокружность, радиус которой ра-вен R. Отрезок AC — диаметр данной полуокружности. Какова величина угла ACB, если AB R= ?

А) 90°; Б) 60°; В) 45°; Г) 30°.

1.15. Прямая m параллельна стороне FK треугольника DFK. Каково взаимное расположение прямых m и DK, если прямая m не лежит в плоскости DFK?

А) параллельны; Б) скрещивающиеся;

В) установить невозможно; Г) пересекаются.

1.16. Какой вектор коллинеарен вектору m (– 4; 5; –3)?

А) a (–8; 10; 6);

Б) b (4; 5; 3);

В) c (8; –10; 6);

Г) d (–12; 10; –9).

A

B

C

73

132

1.10 Известно, что для функции f и для любого числа x из промежутка [a; b] выполняется неравенство 0)(' >xf . Сравните )(af и )(bf . А) )(af < )(bf ; В) )(af = )(bf ; Б) )(af > )(bf ; Г) сравнить невозможно.

1.11. Первый рабочий изготавливает 6 одинаковых деталей за время, нужное второму рабочему для изготовления 4 таких деталей. Сколько деталей изготовит первый рабочий за время, за которое второй изгото-вит 6 деталей?

А) 9 деталей; Б) 10 деталей; В) 11 деталей; Г) 12 деталей.

1.12. Сколько существует трехзначных чисел, все цифры которых различны, четны и отличны от нуля?

А) 12; Б) 24; В) 36; Г) 40.

1.13. Углы треугольника относятся как 1 : 2 : 6. Чему равна сумма наи-большего и наименьшего углов треугольника?

А) 90°; Б) 100°; В) 120°; Г) 140°.

1.14. На рисунке изображен треугольник ABC, впи-санный в полуокружность, радиус которой ра-вен R. Отрезок AC — диаметр данной полуокружности. Какова величина угла ACB, если AB R= ?

А) 90°; Б) 60°; В) 45°; Г) 30°.

1.15. Прямая m параллельна стороне FK треугольника DFK. Каково взаимное расположение прямых m и DK, если прямая m не лежит в плоскости DFK?

А) параллельны; Б) скрещивающиеся;

В) установить невозможно; Г) пересекаются.

1.16. Какой вектор коллинеарен вектору m (– 4; 5; –3)?

А) a (–8; 10; 6);

Б) b (4; 5; 3);

В) c (8; –10; 6);

Г) d (–12; 10; –9).

A

B

C




1.1. Упростите выражение a 318 . А) 15 a ; Б) 6 a ; В) 15a ; Г) 6a .

1.2. Вычислите значение выражения 2 22 5 22 5sin , cos ,° ° .

А) 23 ; Б) 2

1 ; В) 22 ; Г) 3

3 .

1.3. Найдите значение выражения log log5 550 2− .

А) 48log5 ; Б) 2; В) 5; Г) 20.

1.4. Какое наименьшее значение принимает функция 23sin2)( −= xxf ?

А) –1; Б) –8; В) 0; Г) – 4.

1.5. Решите неравенство 53 81x− ≤ .

А) [1; + ∞); Б) (– ∞; –9]; В) [9; + ∞); Г) (– ∞; –1].

1.6. Укажите область определения функции 5

1( )log 1

f xx

=−

.

А) (0; 5) (5; )+∞∪ ; Б) (5; + ∞); В) (0; 5); Г) (0; + ∞).

1.7. Какая геометрическая фигура не может служить графиком функции ?

А) прямая; Б) точка; В) парабола; Г) окружность.

1.8. Решите уравнение 33 =xtg .

А) ,39kπ+π Zk ∈ ; В) ,kπ+π Zk ∈ ;

Б) ,3 kπ+π Zk ∈ ; Г) ,39 kπ+π Zk ∈ .

1.9. Какая функция является первообразной функции 21( )

sin 2f x x= ?

А) 2)( xxF ctg−= ;

Б) 221)( xxF ctg= ;

В) 221)( xxF ctg−= ;

Г) 22)( xxF ctg−= .

1.10. Чему равно наибольшее решение неравенства 2( 1)( 4) 02

x xx

+ − ≤+ ?

А) –2; Б) –1; В) 4; Г) 0.

74

Admin

29

1.11. Материальная точка движется прямолинейно по закону 20122)( 2 +−= ttts (время t измеряется в секундах, перемещение s —

в метрах). Через сколько секунд после начала движения точка оста-новится?

А) 2 с; Б) 6 с; В) 4 с; Г) 3 с.

1.12. Игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность того, что выпало четное число? А) 1; Б) 6

1 ; В) 21 ; Г) 3

1 .

1.13. В прямоугольном треугольнике ABC (∠С = 90°) известно, что AB = 15 см, sin A = 0,6. Найдите катет BC.

А) 25 см; Б) 12 см; В) 9 см; Г) 8 см.

1.14. Отрезок AB является диаметром одной из трех окружностей, которые касаются попарно так, как показано на рисунке. Радиус этой окружности равен R. Центры двух других окружностей принадлежат отрезку AB. Какова площадь заштрихованной фигуры?

А) 22 Rπ ; Б) 2Rπ ; В) 22

3Rπ ; Г)

2

2Rπ .

1.15. Прямые a и b параллельны. Как расположена прямая a относительно плоскости α, если прямая b пересекает плоскость α?

А) пересекает плоскость α; Б) параллельна плоскости α; В) принадлежит плоскости α; Г) установить невозможно.

1.16. Найдите координаты вектора AB , если A (3; –2; 5) и B (4; 1; 3).

А) AB (1; 3; –2);

Б) AB (–1; –3; 2);

В) AB (7; –1; 8);

Г) AB (12; –2; 15).

A B

75

134

1.11. Материальная точка движется прямолинейно по закону 20122)( 2 +−= ttts (время t измеряется в секундах, перемещение s —

в метрах). Через сколько секунд после начала движения точка оста-новится?

А) 2 с; Б) 6 с; В) 4 с; Г) 3 с.

1.12. Игральный кубик подбросили один раз. Какова вероятность того, что выпало четное число? А) 1; Б) 6

1 ; В) 21 ; Г) 3

1 .

1.13. В прямоугольном треугольнике ABC (∠С = 90°) известно, что AB = 15 см, sin A = 0,6. Найдите катет BC.

А) 25 см; Б) 12 см; В) 9 см; Г) 8 см.

1.14. Отрезок AB является диаметром одной из трех окружностей, которые касаются попарно так, как показано на рисунке. Радиус этой окружности равен R. Центры двух других окружностей принадлежат отрезку AB. Какова площадь заштрихованной фигуры?

А) 22 Rπ ; Б) 2Rπ ; В) 22

3Rπ ; Г)

2

2Rπ .

1.15. Прямые a и b параллельны. Как расположена прямая a относительно плоскости α, если прямая b пересекает плоскость α?

А) пересекает плоскость α; Б) параллельна плоскости α; В) принадлежит плоскости α; Г) установить невозможно.

1.16. Найдите координаты вектора AB , если A (3; –2; 5) и B (4; 1; 3).

А) AB (1; 3; –2);

Б) AB (–1; –3; 2);

В) AB (7; –1; 8);

Г) AB (12; –2; 15).

A B




1.1. Вычислите значение выражения ( )12

145 5⋅ − .

А) 7; Б) –7; В) 14; Г) –14.

1.2. Какая функция убывает на промежутке (0; + ∞)? А) xy 6= ; Б) xy 6log= ; В) 6xy = ; Г) xy 6= .

1.3. Решите неравенство ( ) ( )33 3xπ π< .

А) (3; + ∞); Б) (0; 3); В) (– ∞; 3); Г) (– ∞; + ∞).

1.4. На каком рисунке изображен график функции ( )ctg 2y xπ= − ?

y

x0

А)

2π

2π−

23ππ

y

x0

В)

2π

2π−

23ππ

y

x0

Б)

2π

2π− 2

3ππ

y

x0

Г)

2π

2π−

23ππ

1.5. Какая функция не является обратимой?

А) xy = ; Б) xy 2= ; В) xy 2= ; Г) 2xy = .

1.6. Чему равно значение выражения 5log81log 35 ⋅ ?

А) 4; Б) 41 ; В) 3; Г) 27.

1.7. Найдите корни уравнения 22

4sin −=x .

А) ,416)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Б) ,416)1( 1 kk π+π⋅− + Zk ∈ ;

В) ,4)1( kk π+π⋅− Zk ∈ ;

Г) ,4)1( 1 kk π+π⋅− + Zk ∈ .

76

Admin

30

1.8. Укажите первообразную функции 26)( xxf = , график которой проходит через точку ( 1;1)B − .

А) 43)( 3 −= xxF ;

Б) 32)( 3 += xxF ;

В) 1312)( −= xxF ;

Г) 32)( xxF = .

1.9. Сколько критических точек имеет функция 4331)( 23 +−−= xxxxf на

промежутке [0; 4] ?

А) 1; Б) 2; В) 3; Г) ни одной.

1.10. Известно, что ba > . Какое из неравенств обязательно выполняется? А) 22 ba > ; Б) 33 ba > ; В) bba <− ; Г) ba <− .

1.11. В шкафу лежат рубашки, из которых 31 составляют рубашки белого

цвета, а 5 рубашек — синего цвета. Сколько всего рубашек в шкафу, ес-ли 50 % из них не белые и не синие?

А) 10 рубашек; Б) 20 рубашек; В) 30 рубашек; Г) 40 рубашек.

1.12. Бросают три монеты. Какова вероятность того, что выпадут два герба и одна цифра? А) 2

1 ; Б) 31 ; В) 8

1 ; Г) 83 .

1.13. Найдите боковую сторону равнобедренного треугольника, основание которого равно 16 см, а высота, проведенная к основанию, — 15 см. А) 34 см; Б) 17 см; В) 31 см; Г) 23 см.

1.14. Дано: ∆ ADC и ∆ BKN, ∠ A = ∠B, ∠C = ∠ N, DC = 28 см, KN = 7 см, BN = 5 см. Найдите сторону AC.

А) 20 см; Б) 18 см; В) 16 см; Г) 15 см.

1.15. Вычислите объем цилиндра, радиус основания которого равен 7 см, а образующая — 5 см.


1.16. В прямоугольной системе координат располо-жен куб ABCDA1B1C1D1 так, как показано на рисунке (вершина C — начало координат). Укажите координаты вершины A1, если ребро куба равно 1.

А) (1; 1; 1); Б) (1; 1; –1);

В) (1; –1; 1); Г) (–1; 1; 1).

BA

C

D

A1

B1 C1

D1

yx

z

77

60

Часть четвертая Решение задач 4.1 – 4.4 должно содержать обоснование. В нем надо записать

последовательные логические действия и объяснения, сослаться на математические факты, из которых следует то или иное утверждение. Если

надо, проиллюстрируйте решение схемами, графиками, таблицами.

4.1.м Решите уравнение: 2 2 5 2 6sin cos sin sinx x x x= − .

4.2.м Определите количество решений системы y a xx y= ++ − =

⎧⎨⎩

,2 1 0

в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Решите уравнение: 4 19 3 2 34 6 0x xx x− − ⋅ + − =( ) .

4.4.м В окружности, радиус которой равен R, проведены две хорды AB и CD, которые пересекаются под прямим углом. Докажите, что AC BD R2 2 24+ = .

ВариантЧасть вторая

Решите задания 2.1 – 2.8. Запишите ответ в бланк ответов.


21

6

3

18

aaa−

+.

2.2. Чему равно значение выражения 3log236log 772

149

−?

2.3. Решите уравнение: 02coscos2 2 =+ xx .

2.4. Решите уравнение: 113 12525)5( +−− ⋅= xxxx .

2.5. Найдите первообразную функции f x e xx( ) cos= −2 , график которой проходит через начало координат.

2.6. Чему равна сумма корней уравнения 4 23 4 0x x− − = ?

2.7. На стороне BC квадрата ABCD отметили точку M так, что ∠ DAM= 60°. Найдите отрезок MD, если AB = 3 см.

2.8. Диагональ осевого сечения цилиндра равна d и наклонена к плоскости основания под углом α. Найдите объем цилиндра.

Часть третья Решение задач 3.1 – 3.3 должно содержать обоснование. В нем надо записать



3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции f x x( ) = −4 3 в точке с абсциссой x0 1= .

3.2. Найдите область определения функции 2( 4)(3 )( )

lg( 1)x xf x

x+ −=

+.

3.3. Центр окружности, вписанной в прямоугольную трапецию, удален от концов ее большей боковой стороны на 15 см и 20 см. Вычислите площадь трапеции.

78

Admin

Раздел II

Admin

1




4.1.м Решите неравенство:

2 5 1 5 2⋅ − > −x x .

4.2.м При каких значениях параметра b система 2x y aax y b

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

имеет решения при любом значении параметра a?

4.3.м Решите уравнение: 2

(arcsin ) (arccos ) 9x x π= − .

4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая, содержащая высоту, проведенную из вершины C, во второй раз пересекает описанную окружность треугольника в точке K. Докажите, что сторона AB пересекает отрезок HK в его середине.

79

62





2 5 1 5 2⋅ − > −x x .

4.2.м При каких значениях параметра b система 2x y aax y b

+ =+ =

⎧⎨⎩

,

имеет решения при любом значении параметра a?

4.3.м Решите уравнение: 2

(arcsin ) (arccos ) 9x x π= − .

4.4.м Высоты остроугольного треугольника ABC пересекаются в точке H. Прямая, содержащая высоту, проведенную из вершины C, во второй раз пересекает описанную окружность треугольника в точке K. Докажите, что сторона AB пересекает отрезок HK в его середине.

Вариант Часть вторая



2 22cos tg

cos sinα α

α − α.

2.2. Найдите значение x, если 7 7 7 7log log 2,5 4 log 2 log 10x = + − .

2.3. Упростите выражение: 8 8 16: 648 8

a a aaa a

⎛ ⎞− +−⎜ ⎟ −+ −⎝ ⎠.


x x− < .

2.5. Найдите первообразную функции 238)( 23 −+= xxxf , график которой проходит через точку )2;1(−A .

2.6. Число 162 является членом геометрической прогрессии 2; 6; 18; ... . Найдите номер этого члена.

2.7. В треугольнике ABC известно, что AC= BC, AB = 2 2 см, ∠BAC= 30°, отрезок AD — биссектриса треугольника. Найдите отрезок AD.

2.8. Площадь боковой поверхности конуса равна 240π см2. Найдите объем этого конуса, если радиус его основания равен 12 см.




3.1. Решите уравнение:

10 10 112 2sin cosx x+ = .

3.2. Найдите уравнение касательной к графику функции 2 4( ) ( 2 1)f x x x= + − в точке с абсциссой 0 0x = .

3.3. Диагональ правильной четырехугольной призмы равна 15 см, а диа-гональ боковой грани — 12 см. Найдите площадь боковой поверхности призмы.

80

Admin

2




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arcsin ( 7) 0x a x− − =

имеет единственное решение?

4.2.м Решите систему уравнений: x y y

x y+ + + + =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 7 42 5

3 3 ,.

4.3.м Решите неравенство: log ( )x x4 3 2+ > .

4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого угла на расстояние 8 см.

81

64




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) arcsin ( 7) 0x a x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: x y y

x y+ + + + =

+ =

⎧⎨⎪

⎩⎪

4 7 42 5

3 3 ,.

4.3.м Решите неравенство: log ( )x x4 3 2+ > .

4.4.м В прямоугольный треугольник вписана окружность. Точка касания делит гипотенузу в отношении 2 : 3. Найдите стороны треугольника, если центр вписанной окружности удален от вершины прямого угла на расстояние 8 см.



2.1. Чему равно значение выражения 1313

81 27

9

−⋅ ?

2.2. Найдите корень уравнения 0,125 2 4x x= ⋅ .

2.3. Чему равно значение выражения ( )sin 2 3α π− , если sin 0,6α = −

и 32ππ < α < ?

2.4. Найдите множество решений неравенства 8 8log (2 3) log ( 1)x x+ > − .

2.5. Найдите уравнение касательной к графику функции 3( ) 5f x x x= − в точке с абсциссой 0 2x = .

2.6. Решите уравнение 3

334 252

xx

++ =+

.

2.7. В прямоугольной трапеции ABCD известно, что BC || AD, °=∠ 45D , 4== CDAC см. Чему равна площадь трапеции?

2.8. В нижнем основании цилиндра проведена хорда, которая видна из центра этого основания под углом α. Отрезок, соединяющий центр верхнего основания с одним из концов проведенной хорды, образует с плоскостью основания угол β. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, если расстояние от центра нижнего основания до проведенной хорды равно a.




3.1. Вычислите интеграл 4 2

2

2

−−∫ x dx .

3.2. Упростите выражение ( ) ( )

2

22cos 2 1

2ctg 2 cos 24 4

α −π π− α + α

⋅

3.3. Окружность, центр которой принадлежит стороне AB треугольника ABC, проходит через точку B, касается стороны AC в точке C и пересекает сторону AB в точке D. Найдите больший угол треугольника ABC, если AD : DB = 1 : 2.

82

Admin

3




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a2 22 1 3 0+ − + − =( )

имеет два различных положительных корня?

4.2.м Решите уравнение: log ( ) log2

221 6 2x x x x+ − = − .

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 3 232 xxy += на

промежутке 1 ;18⎡ ⎤−⎣ ⎦ .

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четы-рехугольника, равны.

83

66




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a2 22 1 3 0+ − + − =( )

имеет два различных положительных корня?

4.2.м Решите уравнение: log ( ) log2

221 6 2x x x x+ − = − .

4.3.м Найдите наибольшее и наименьшее значения функции 3 232 xxy += на

промежутке 1 ;18⎡ ⎤−⎣ ⎦ .

4.4.м Диагонали выпуклого четырехугольника перпендикулярны. Докажите, что отрезки, соединяющие середины противолежащих сторон четы-рехугольника, равны.



2.1. Чему равно значение выражения 8125log2

15log36log 444 +− ?

2.2. Решите уравнение: 3 5 3 863 1x x+ −+ ⋅ = .

2.3. Решите неравенство:

0)3)(4(2 ≤+−

xxx .

2.4. Вычислите значение выражения: 4 46 6 )72()78( −+− .

2.5. Найдите первообразную функции f x x x( ) = − +6 8 32 , график которой проходит через точку M (–2;10).

2.6. Найдите функцию, обратную к функции 1 76y x= − .

2.7. Высоты параллелограмма равны 8 см и 12 см, а угол между ними — 60°. Найдите площадь параллелограмма.

2.8. Параллельно оси цилиндра, радиус основания которого равен 8 см, проведена плоскость, которая пересекает основание цилиндра по хорде, стягивающей дугу, градусная мера которой 120°. Найдите площадь сечения, если его диагональ равна 16 см.




3.1. Составьте уравнение касательной к графику функции

421)( 23 −−= xxxf в точке с абсциссой x0 2= .

3.2. Найдите наибольший отрицательный корень уравнения sin , sin2 0 5 2 1x x+ = .

3.3. Через сторону основания правильной треугольной пирамиды и середину высоты проведена плоскость, образующая с плоскостью основания угол α. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

84

Admin

4




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a4 2 23 5 0− − + − =( )

имеет три различных корня?

4.2.м Вычислите интеграл:

2 2

1

2

x x dx−∫ .

4.3.м Решите неравенство: 3 8 15 5 02 1 2 1x x x+ +− ⋅ + ≤ .

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую отрезку AB, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.

85

68




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение x a x a a4 2 23 5 0− − + − =( )

имеет три различных корня?

4.2.м Вычислите интеграл:

2 2

1

2

x x dx−∫ .

4.3.м Решите неравенство: 3 8 15 5 02 1 2 1x x x+ +− ⋅ + ≤ .

4.4.м Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку P, принадлежащую отрезку AB, проведены хорда KM первой окружности и хорда LN второй окружности. Докажите, что точки K, L, M, N лежат на одной окружности.



2.1. Чему равно значение выражения 494 81loglog ?

2.2. Упростите выражение sin 3 cos3sin cos

α α−α α

.

2.3. Решите уравнение: 23 7 4x x x+ − = − .

2.4. Найдите множество решений неравенства 2 2 1 01

x xx+ + <−

.

2.5. Чему равно наибольшее значение функции 2 3( ) 1 3f x x x= + − на проме-жутке [–1; 1] ?

2.6. Найдите первообразную функции 2( )3 4

f xx

=+

, график которой

проходит через точку (4; 5)A .

2.7. В трапеции ABCD известно, что BC || AD, K — точка пересечения диагоналей, AK : KC = 9 : 4, DK – BK=15 см. Найдите диагональ BD.

2.8. Сторона основания правильной треугольной пирамиды равна 8 см, а бо-ковая грань наклонена к плоскости основания под углом 30°. Найдите площадь полной поверхности пирамиды.




3.1. Постройте график функции ( ) cos 1 1f x x= − + .

3.2. Решите уравнение: 32

3 3log (27 ) log 179xx + = .

3.3. Диагональ равнобокой трапеции делит высоту, проведенную из вершины тупого угла, на отрезки длиной 15 см и 12 см, а боковая сторона трапеции равна ее меньшему основанию. Найдите площадь трапеции.

86

Admin

5




4.1.м Решите уравнение: ( )22 2

cos1 4sin cos5 24 5 5 0

x x xπ −+− ⋅ − = .

4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции 2( ) 4f x x= − + , которая перпендикулярна прямой 2 2 0x y− + = .

4.2.м При каких натуральных значениях n многочлен

( )2( ) 12 7n

P x x= − − ( )25 14 nx −

делится нацело на многочлен x − 2 ?

4.4.м Внутри треугольника ABC выбрана точку M так, что площади тре-угольников AMB, BMC, AMC равны. Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.

87

70




4.1.м Решите уравнение: ( )22 2

cos1 4sin cos5 24 5 5 0

x x xπ −+− ⋅ − = .

4.2.м Найдите уравнение касательной к графику функции 2( ) 4f x x= − + , которая перпендикулярна прямой 2 2 0x y− + = .

4.2.м При каких натуральных значениях n многочлен

( )2( ) 12 7n

P x x= − − ( )25 14 nx −

делится нацело на многочлен x − 2 ?

4.4.м Внутри треугольника ABC выбрана точку M так, что площади тре-угольников AMB, BMC, AMC равны. Докажите, что M — точка пересечения медиан треугольника ABC.



2.1. Найдите значение выражения ( )27 4 3 7 4 3− + + .

2.2. Укажите область значений функции sin( ) 3 xf x = .

2.3. Решите неравенство: 2

1 16 6

log ( 4) log ( 2 2)x x x+ > + − .

2.4. Решите уравнение cos sin2 0x x+ = .


212

12 dxx

⎛ ⎞−⎜ ⎟⎝ ⎠∫ .

2.6. Арифметическая прогрессия (an) задана формулой общего члена 7 3na n= − . Найдите сумму десяти первых членов прогрессии.

2.7. Периметр треугольника ABC, описанного около окружности, равен 36 см. Точка касания окружности со стороной BC делит ее в отно-шении 2 : 5, считая от точки B, а точка касания со стороной AC удалена от точки A на 4 см. Найдите сторону AB.

2.8. Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2 см. Чему равна площадь треугольника ADC1?




3.1. Составьте уравнение касательной к графику функции f x x( ) cos= 2

в точке с абсциссой 20π=x .

3.2. Докажите тождество ( ) ( )( ) ( )

cos 2 sin 2 ctg4 4 8 tg 87cos cos 3 ctg2 4 4 8

α α απ+ − π+α=

π α α α− + − π⋅

3.3. Через сторону правильного треугольника проведена плоскость, образующая с плоскостью треугольника угол 30°. Найдите углы, которые образуют две другие стороны треугольника с этой плоскостью.

88

Admin

6




4.1.м Решите неравенство: 2 26 6

2 5 4x x x x

x x+ − + −≥+ +

⋅

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение

( )( )23 4 3 3 0x xx a− − ⋅ + =

имеет два различных корня?

4.3.м Постройте график уравнения: 2 2sin sin 2x y+ = .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S p p c= −( ) , где p — полупериметр треугольника, c — длина гипотенузы.

89

72




4.1.м Решите неравенство: 2 26 6

2 5 4x x x x

x x+ − + −≥+ +

⋅


( )( )23 4 3 3 0x xx a− − ⋅ + =

имеет два различных корня?

4.3.м Постройте график уравнения: 2 2sin sin 2x y+ = .

4.4.м Докажите, что площадь S прямоугольного треугольника можно найти по формуле S p p c= −( ) , где p — полупериметр треугольника, c — длина гипотенузы.



2.1. Упростите выражение sin sin 3cos cos3

α + αα + α

.

2.2. Решите неравенство 14 4 320x x+ + ≥ .

2.3. Чему равно значение выражения

2 13 2

3 33 3 3

8 2 ( 4 2)

( 3 2 )( 9 6 4 )

⎛ ⎞− +⎜ ⎟

⎝ ⎠− + +

?

2.4. Решите неравенство 2

28 16 0

4x x

x− + ≤

−.

2.5. Вычислите интеграл ( )x x dx2

3

2

2−−∫ .

2.6. Найдите функцию, обратную к функции 2xy x=+

.

2.7. В треугольник ABC вписан ромб AKPE так, что угол A у них общий, а вершина P принадлежит стороне BC. Найдите сторону ромба, если AB = 6 см, АC = 3 см.

2.8. Найдите объем правильного тетраэдра, ребро которого равно a.





( ) ( )log log3 34 3 4 1 1x x− + − = .

3.2. Число 60 представьте в виде суммы двух положительных чисел так, чтобы сумма их квадратов была наименьшей.

3.3. В треугольнике ABC точка O — центр вписанной окружности. Найдите радиус окружности, описанной около этого треугольника, если AO = 6 см, BO = 10 см, ∠С = 60°.

90

Admin

7




4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

( )2 3 0x a x− − ≥ .

4.2.м Докажите, что при всех действительных значениях x выполняется неравенство:

e xx − ≥1 .

4.3.м Найдите корни уравнения: 5cos3 cos 22

xx + = .

4.4.м Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.

91

74




4.1.м Для каждого значения параметра a решите неравенство:

( )2 3 0x a x− − ≥ .

4.2.м Докажите, что при всех действительных значениях x выполняется неравенство:

e xx − ≥1 .

4.3.м Найдите корни уравнения: 5cos3 cos 22

xx + = .

4.4.м Радиус окружности, вписанной в прямоугольный треугольник, равен полуразности катетов. Найдите острые углы треугольника.



2.1. Сколько целых чисел содержит множество решений неравенства 2( 1)( 4) 0x x x+ − < ?

2.2. Решите уравнение log log72

72 3 0x x− − = .

2.3. К сплаву массой 150 кг, содержавшему 20 % меди, добавили 10 кг меди. Какое процентное содержание меди в новом сплаве?

2.4. Найдите корни уравнения: 03sin2sinsin =++ xxx .

2.5. Чему равно наибольшее значение функции f x x x x( ) = − − +2 3 12 13 2 на промежутке [0; 3] ?

2.6. Найдите первообразную функции f x x x( ) = − +3 6 42 , график которой проходит через точку (1;4)A .

2.7. Чему равна площадь параллелограмма, диагонали которого равны 16 см и 20 см, а одна из них перпендикулярна его стороне?

2.8. Радиус основания конуса равен R, а его осевое сечение — прямо-угольный треугольник. Найдите объем конуса.




3.1. Решите неравенство: 3 5 5 32 2 2 1 2 1 2 12 2 2 2x x x x x x x x− + − − − + − −− > + .

3.2. Решите уравнение: 2 23 9 26 12 3x x x x− − = + − .

3.3. В основании пирамиды лежит прямоугольный треугольник с гипотену-зой c и острым углом α. Каждое боковое ребро пирамиды образует с плоскостью основания угол γ. Найдите объем пирамиды.

92

Admin

8




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение cos cos2 2 2 0x a x− =

имеет на промежутке 3;4 4π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

два корня?

4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f x x x x( ) = + − +3 2 6 1 в точке с абсциссой x0 1= .

4.3.м Решите уравнение: lg ( ) lg ( ) lg ( ) lg ( )2 21 1 1 2 1x x x x+ = + − + − .

4.4.м В выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются.

93

76




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение cos cos2 2 2 0x a x− =

имеет на промежутке 3;4 4π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

два корня?

4.2.м Вычислите площадь треугольника, образованного осями координат и касательной к графику функции f x x x x( ) = + − +3 2 6 1 в точке с абсциссой x0 1= .

4.3.м Решите уравнение: lg ( ) lg ( ) lg ( ) lg ( )2 21 1 1 2 1x x x x+ = + − + − .

4.4.м В выпуклый четырехугольник ABCD можно вписать окружность. Докажите, что окружности, вписанные в треугольники ABC и ADC, касаются.



2.1. Найдите область определения функции 6 41 xy −= .

2.2. Вычислите значение выражения 2 1 13 4 28 16 49+ − .

2.3. Решите неравенство: 2 7 6

3(0,6) 1x x

x− +− ≤ .

2.4. Решите уравнение: 1 2 15 lg 1 lgx x+ =− +

.

2.5. Найдите первообразную функции f x x x( ) = + −5 3 44 2 , график которой проходит через точку B (–1;12).

2.6. Найдите точку максимума функции f x x x( ) = −4 24 .

2.7. Отрезки AB и CD, изображенные на рисунке, параллельны, 90ABC∠ = ° ,

24=AB см, 10=BO см, 5=CO см. Найдите отрезок AD.

2.8. Основание прямой призмы — прямоуголь-ный треугольник с катетом a и противолежащим углом α. Диагональ боковой грани, содержащей гипотенузу, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.




3.1. Упростите выражение ( )cos sin cos 6 cos10cos 4 sin 4 sin 3

α α α − α− ⋅α α α

⋅

3.2. Постройте график функции 6 6( ) 2f x x x= − .

3.3. Основания равнобокой трапеции равны 9 см и 21 см, а высота — 8 см. Найдите радиус окружности, описанной около данной трапеции.

O

A B

C D

94

Admin

9




4.1.м Решите уравнение:

4 2 3 4 2 7x x x− − = ⋅ − .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f x a x a x x( ) ( ) ( )= − + − + +12 3 12 6 73 2

возрастает на R. 4.3.м Докажите тождество:

21cos (arctg )

1x

x=

+⋅

4.4.м Отрезок AB является диаметром окружности, а точка C лежит вне этой

окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.

95

78





4 2 3 4 2 7x x x− − = ⋅ − .

4.2.м Найдите все значения параметра a, при которых функция f x a x a x x( ) ( ) ( )= − + − + +12 3 12 6 73 2

возрастает на R. 4.3.м Докажите тождество:

21cos (arctg )

1x

x=

+⋅

4.4.м Отрезок AB является диаметром окружности, а точка C лежит вне этой

окружности. Отрезки AC и BC пересекаются с окружностью в точках D и M соответственно. Найдите угол ACB, если площади треугольников DCM и ACB относятся как 1 : 4.




0,5 81281 27 9−− ⋅ ⋅ .

2.2. Решите неравенство 22 3 3 57x x−⋅ + ≤ .

2.3. Найдите область определения функции 3 1lg 3 1xy x−=+

.

2.4. Решите уравнение 4 6 0x x+ − = .

2.5. Найдите корни уравнения xx cos2cos = .

2.6. Найдите первообразную функции f x x e x( ) = +6 2 4 , график которой

проходит через точку 21 ;2 4

eA ⎛ ⎞⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.7. Основание равнобедренного тупоугольного треугольника равно 24 см, а радиус окружности, описанной около него, — 13 см. Найдите боковую сторону треугольника.

2.8. Основание пирамиды — треугольник со сторонами 13 см, 14 см и 15 см. Найдите площадь сечения, которое проходит параллельно плоскости ос-нования и делит высоту пирамиды в отношении 1 : 2, считая от вершины пирамиды.





6lg5100lg 2 =− xx .

3.2. Вычислите значение выражения: sin cos sin cos sin cos20 70 110 250 290 3402 2 2 2° °+ ° °+ ° ° .

3.3. В цилиндре параллельно его оси проведена плоскость, пересекающая нижнее основание цилиндра по хорде, которая видна из центра этого основания под углом α. Диагональ образовавшегося сечения наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверх-ности цилиндра, если площадь его основания равна S.

96

Admin

10




4.1.м При каких значениях параметра a функция f x x ax ax( ) = − + +3 2 3 1 возрастает на всей числовой прямой?

4.2.м Решите уравнение: 2 2 sin 1 02

xx x π− + = .

4.3.м Решите систему уравнений: 59 4 3 27 0,

2 3 4 4 .

x y

y x x y

−⎧ − ⋅ + =⎨ − = − +⎩

4.4.м В треугольнике ABC известно, что ∠CAB = 40°, ∠CBA = 50°. На сторо-не AB построен квадрат, точка M — его центр, точки C и M лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ∠ACM =∠MCB.

97

80




4.1.м При каких значениях параметра a функция f x x ax ax( ) = − + +3 2 3 1 возрастает на всей числовой прямой?

4.2.м Решите уравнение: 2 2 sin 1 02

xx x π− + = .

4.3.м Решите систему уравнений: 59 4 3 27 0,

2 3 4 4 .

x y

y x x y

−⎧ − ⋅ + =⎨ − = − +⎩

4.4.м В треугольнике ABC известно, что ∠CAB = 40°, ∠CBA = 50°. На сторо-не AB построен квадрат, точка M — его центр, точки C и M лежат по разные стороны от прямой AB. Докажите, что ∠ACM =∠MCB.



2.1. Упростите выражение 0,5

0,5 0,55 50

255 5a

aa a− +

−− +.

2.2. Решите систему уравнений 3 32,

56.x yx y− =⎧

⎨ − =⎩

2.3. Упростите выражение 1 tg1 ctg+ α+ α

.

2.4. Сколько целых решений имеет неравенство )12(log3log 4,04,0 +> xx ?

2.5. Решите уравнение 2 1xx

− = .

2.6. Какой номер первого положительного члена арифметической прогрессии –7,2; – 6,7; – 6,2; ... ?

2.7. Высота BD треугольника ABC делит сторону AC на отрезки AD и CD так, что AD = 12 см, CD = 4 см. Найдите сторону BC, если ∠ A = 30°.

2.8. Основание прямой призмы — треугольник со стороной c и прилежащими к ней углами α и β. Диагональ боковой грани, проходящей через сторону основания, противолежащую углу α, наклонена к плоскости основания под углом γ. Найдите высоту призмы.





4 9 7 12 3 16 0x x x⋅ − ⋅ + ⋅ = .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции ( ) ( 1)f x x x= − .

3.3. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если биссектриса прямого угла делит гипотенузу на отрезки длиной 30 см и 40 см.

98

Admin

11




4.1.м Найдите область значений функции 2)cos(sin2 xxy += .


(cos sin )x x x x− − ≥3 02 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) log ( )x a x− − =2 3 7 0


4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) отрезок CD — высота. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и DCB, соответственно равны r1 и r2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

99

82




4.1.м Найдите область значений функции 2)cos(sin2 xxy += .


(cos sin )x x x x− − ≥3 02 .

4.3.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) log ( )x a x− − =2 3 7 0


4.4.м В прямоугольном треугольнике ABC (∠C = 90°) отрезок CD — высота. Радиусы окружностей, вписанных в треугольники ACD и DCB, соответственно равны r1 и r2. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.



2.1. Найдите сумму десяти первых натуральных чисел, кратных числу 7.


3 1 32− = −x x .

2.3. Найдите область определения функции 6 3 83 27x

xy −=−

.

2.4. Решите уравнение: 2 2sin 4sin cos 3cos 0x x x x+ + = .

2.5. Найдите значение производной функции 3( ) lnf x x= в точке 0x e= .


2

16sin 4

dxx

π

π∫ .

2.7. Боковая сторона равнобедренного треугольника относится к его осно-ванию как 5 : 6, а высота треугольника, опущенная на основание, рав-на 12 см. Вычислите периметр треугольника.

2.8. Основание прямой призмы — прямоугольный треугольник с катетом 6 см и острым углом 45°. Объем призмы равен 108 см3. Найдите площадь боковой поверхности призмы.




3.1. Решите уравнение log ( )5 5 4 1x x− = − .

3.2. Постройте график функции 2

2, если 1,( )

, если 1.x xf xx x

−⎧ ≤ −= ⎨> −⎩

Пользуясь постро-

енным графиком, найдите промежутки возрастания и убывания функции.

3.3. Через сторону квадрата проведена плоскость, образующая с плоскостью квадрата угол 45°. Найдите угол между диагональю квадрата и этой плоскостью.

100

Admin

12




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) (tg )x a x− − =1 0

имеет единственный корень на промежутке (0; 2π⎤⎥⎦

?


3 9 4 3 5 3 14 6 3 5 1x x x x+ − + + + − + ≤ .

4.3.м На параболе y x= 2 выбраны две точки с абсциссами x = 1 и x = 3 . Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.

4.4.м Точки O и K — центры описанной и вписанной окружностей остроугольного треугольника ABC соответственно. Известно, что точки B, O, K и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.

101

84




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение ( ) (tg )x a x− − =1 0

имеет единственный корень на промежутке (0; 2π⎤⎥⎦

?


3 9 4 3 5 3 14 6 3 5 1x x x x+ − + + + − + ≤ .

4.3.м На параболе y x= 2 выбраны две точки с абсциссами x = 1 и x = 3 . Через эти точки проведена прямая. Найдите уравнение касательной к параболе, которая параллельна этой прямой.

4.4.м Точки O и K — центры описанной и вписанной окружностей остроугольного треугольника ABC соответственно. Известно, что точки B, O, K и C лежат на одной окружности. Найдите угол BAC.



2.1. Вычислите значение выражения 4 32 22log36 .


26

9a a

a+ −−

.

2.3. Решите неравенство 1 12x ≥ .

2.4. Вычислите интеграл ( )x x dx2

1

2

4 5− +−∫ .

2.5. Решите уравнение: 3 7 5 02cos sinx x+ − = .

2.6. При каком значении a наименьшее значение функции axxxf +−= 2)( 2 равно 2?

2.7. Длины диагоналей ромба относятся как 3 : 1. Найдите площадь ромба, если его периметр равен 40 см.

2.8. Гипотенуза прямоугольного треугольника равна c, а один из острых углов равен α. Найдите объем конуса, образованного при вращении этого треугольника вокруг катета, противолежащего данному куту.




3.1. Решите неравенство: log ( ) log ( ), ,0 2 0 21 3 1x x− + + ≥ − .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума

функции 2

2( )16

xf xx

=−

.

3.3. В равнобедренном треугольнике ABC известно, что AB = BC = 17 см, отрезок BD — высота, BD = 15 см. Прямая, параллельная основанию треугольника, пересекает стороны AB и BC в точках M и K соответ-ственно и разбивает данный треугольник на две равновеликие части. Найдите радиус окружности, описанной около треугольника MBK.

102

Admin

13





( ) ( )4 0x a x x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: 1sin sin ,4

1tg tg .3

x y

x y

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

4.3.м Решите уравнение: 3 4 5x x x+ = .

4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC= 17 см, а высота трапеции равна 8 см.

103

86





( ) ( )4 0x a x x− − =


4.2.м Решите систему уравнений: 1sin sin ,4

1tg tg .3

x y

x y

⎧ =⎪⎨

=⎪⎩

4.3.м Решите уравнение: 3 4 5x x x+ = .

4.4.м В трапеции ABCD диагонали AC и BD перпендикулярны. Найдите площадь трапеции, если AC= 17 см, а высота трапеции равна 8 см.



2.1. Чему равно значение выражения 16lg215lg2 + ?

2.2. При каком значении a график функции 3y ax−= проходит через точ-

ку ( )13; 54A ?

2.3. Решите уравнение: 2 32 4 72x x+ + = .

2.4. Чему равен первый член арифметической прогрессии, разность которой равна 0,8, а сумма первых десяти членов равна 22?

2.5. Найдите корни уравнения: 1 8 4− =cos sinx x .

2.6. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции ( ) ln (2 1)f x x= + в точке с абсциссой 0 1,5x = ?

2.7. Вычислите площадь ромба, если его сторона равна 5 см, а сумма диагоналей — 14 см.

2.8. Из точки A к плоскости α проведены наклонные AB и AC, длины которых равны 15 см и 20 см соответственно. Найдите расстояние от точки A до плоскости α, если проекции наклонных на эту плоскость относятся как 9 : 16.




3.1. Решите уравнение 44 ( 1) 2 3x x+ = − .

3.2. Постройте график функции f x x( ) lg cos= .

3.3. Через две образующие конуса проведена плоскость, которая наклонена к плоскости его основания под углом α. Эта плоскость пересекает основание конуса по хорде, которая видна из центра его основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его образующая равна m.

104

Admin

14




4.1.м Вычислите интеграл ∫−

++1

1

2 )1lg( dxxx .

4.2.м Найдите корни уравнения: 8sin 2 tg 2 ctg3x x x+ = − .

4.3.м При каких значениях параметра a функция 3 2

( ) ( 1) 2( 1) 93 2x xf x a a x= − − − − −

имеет положительную точку минимума?

4.4.м В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Точ-ка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Дока-жите, что отрезки BO и A1C1 перпендикулярны.

105

88




4.1.м Вычислите интеграл ∫−

++1

1

2 )1lg( dxxx .

4.2.м Найдите корни уравнения: 8sin 2 tg 2 ctg3x x x+ = − .

4.3.м При каких значениях параметра a функция 3 2

( ) ( 1) 2( 1) 93 2x xf x a a x= − − − − −

имеет положительную точку минимума?

4.4.м В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AA1 и CC1. Точ-ка O — центр окружности, описанной около треугольника ABC. Дока-жите, что отрезки BO и A1C1 перпендикулярны.



2.1. Найдите область значений функции 2arctgy x= π− .

2.2. Решите систему уравнений 2 22,

8.x yx y− =⎧

⎨ − =⎩

2.3. Решите уравнение 0cossinsin 2 =+ xxx .

2.4. Решите неравенство: )311(log)12(log 22 xx −<− .

2.5. Решите уравнение 4 41 3 2

1 1x x+ =

− +.


0

sin 2x dx

π

∫ .

2.7. Прямая a — общая внешняя касательная двух окружностей, радиусы которых равны 3 см и 8 см, а расстояние между их центрами — 13 см. Найдите расстояние между точками касания прямой a с данными окруж-ностями.

2.8. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды равно 8 см и образует с плоскостью основания угол 60°. Найдите площадь боковой поверхности пирамиды.




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции 2 2( )f x x x= + .

3.2. Докажите тождество:

( )1 cos sin 2 2 sin sin2 2 4α α π− α + α = + .

3.3. Диагонали равнобокой трапеции являются биссектрисами ее острых углов и точкой пересечения делятся в отношении 5 : 13. Найдите площадь трапеции, если ее высота равна 9 см.

106

Admin

15




4.1.м Решите неравенство: 5 3 15 5 8 152 2 1⋅ + ⋅ ≤ ⋅−x x x .

4.2.м Определите количество корней уравнения

( )( )1cos sin 02x x a+ − =

на промежутке [ )0 2; π в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству log ( )x y4 22− ≥ .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BCD. Известно, что AB = 10 см, BC = 12 см, CD = 18 см, DA = 8 см. Найдите угол ADC.

107

90




4.1.м Решите неравенство: 5 3 15 5 8 152 2 1⋅ + ⋅ ≤ ⋅−x x x .

4.2.м Определите количество корней уравнения

( )( )1cos sin 02x x a+ − =

на промежутке [ )0 2; π в зависимости от значения параметра a.

4.3.м Постройте на координатной плоскости множество точек, координаты которых (x; y) удовлетворяют неравенству log ( )x y4 22− ≥ .

4.4.м В выпуклом четырехугольнике ABCD диагональ AC является биссектрисой угла BCD. Известно, что AB = 10 см, BC = 12 см, CD = 18 см, DA = 8 см. Найдите угол ADC.



2.1. Освободитесь от иррациональности в знаменателе дроби 3 37

36 6 1− +.

2.2. Решите неравенство: 39 27 3x x x−⋅ > .

2.3. Найдите корни уравнения: cos sin2 3 2x x+ = .

2.4. Найдите уравнение горизонтальной касательной к графику функции 2( ) 4 7f x x x= − + .

2.5. Решите неравенство 2

22 1 02 8

x xx x

− + ≥+ −

.

2.6. В сплаве меди и цинка масса меди составляет 13 массы цинка. Какое

процентное содержание меди в сплаве?

2.7. Из точки к прямой проведены две наклонные, проекции которых на прямую равны 9 см и 16 см. Найдите расстояние от данной точки до прямой, если одна из наклонных на 5 см больше другой.

2.8. Диагональ прямоугольника равна d и образует с его большей стороной угол α. Найдите площадь боковой поверхности цилиндра, образованного вращением данного прямоугольника вокруг его меньшей стороны.




3.1. Вычислите значение выражения log log log log4 5 6 75 6 7 32⋅ ⋅ ⋅ .

3.2. Найдите площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy 7= и прямой x y+ = 8 .

3.3. Основанием пирамиды SABCD является квадрат ABCD. Боковая грань ASB перпендикулярна плоскости основания, грани ASD и BSC наклонены к плоскости основания под углом 60°. Найдите угол наклона грани CSD к плоскости основания.

108

Admin

16





( )x x x− + − ≥3 2 02 .

4.3.м Найдите корни уравнения: − = +cos cos sin2x x x .

4.3.м Решите уравнение: 3 1 3 9 8x x− + − = .

4.4.м На диаметре AB окружности с центром в точке O отметили точки M и N так, что MO= ON. Пусть X — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма XM 2+XN 2 не зависит от выбора точки X.

109

92





( )x x x− + − ≥3 2 02 .

4.3.м Найдите корни уравнения: − = +cos cos sin2x x x .

4.3.м Решите уравнение: 3 1 3 9 8x x− + − = .

4.4.м На диаметре AB окружности с центром в точке O отметили точки M и N так, что MO= ON. Пусть X — произвольная точка данной окружности. Докажите, что сумма XM 2+XN 2 не зависит от выбора точки X.



2.1. Упростите выражение:

2 2 21 1 2:6 9 9 9

aa a a a

⎛ ⎞−⎜ ⎟− + − −⎝ ⎠

.

2.2. Решите уравнение 2 13 8 3 3 0x x+ + ⋅ − = .

2.3. Решите неравенство: 2)52(log

31 −>+x .


1

(2 1)x dx+∫ .

2.5. Решите уравнение: xx cos22cos1 =+ .

2.6. Найдите первый член арифметической прогрессии (an), если 3 7 30a a+ = и 6 16 60a a+ = .

2.7. Меньшее основание прямоугольной трапеции равно 9 см, бóльшая диагональ — 17 см, а высота — 8 см. Чему равен периметр трапеции?

2.8. В основании прямой призмы лежит равнобедренный треугольник с уг-лом α при вершине. Диагональ грани, содержащей боковую сторону треугольника, равна d и образует с плоскостью основания угол β. Найдите объем призмы.




3.1. Решите уравнение 2 2 3 1x x+ − − = .

3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции 2( ) 5f x x x= − , которая параллельна прямой y x= − .

3.3. Отрезок BM — медиана треугольника ABC, BM = m, ∠ABM = α, ∠MBC = β. Найдите сторону AB.

110

Admin

17




4.1.м Решите неравенство: log ( )x x2 3 2+ ≥ .


5 24 5 24 10+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

x x.

4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения 1sin 02x + =

и ( )( )1sin sin 02 2ax x+ − = равносильны.

4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезке MC отметили точку P. Через точку M проведен отрезок MN, параллельный прямой BP (точка N принадлежит стороне AB). Докажите, что отрезок NP делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры.

111

94




4.1.м Решите неравенство: log ( )x x2 3 2+ ≥ .


5 24 5 24 10+⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ + −⎛

⎝⎜⎞⎠⎟ =

x x.

4.3.м Определите, при каких значениях параметра a уравнения 1sin 02x + =

и ( )( )1sin sin 02 2ax x+ − = равносильны.

4.4.м Точка M — середина стороны AC треугольника ABC. На отрезке MC отметили точку P. Через точку M проведен отрезок MN, параллельный прямой BP (точка N принадлежит стороне AB). Докажите, что отрезок NP делит треугольник ABC на две равновеликие фигуры.




41

23

027,081325,0 −⋅+−−

.

2.2. Упростите выражение ( )3(1 cos( 2 )) tg 2π+ π+ α −α .

2.3. Решите уравнение 2 x x− = .

2.4. Найдите множество решений неравенства 2

220 0

6 9x xx x+ − ≤− +

.

2.5. Чему равен угловой коэффициент касательной к графику функции 12)( += xxf в точке с абсциссой 5,70 =x ?

2.6. Решите систему уравнений 2 225 10 100,

4.x y xyx y

⎧ + + =⎨ − =⎩

2.7. Отрезок AD — биссектриса треугольника ABC, AD = a, ∠C = 90°, ∠BAC = α. Найдите отрезок BD.

2.8. Отрезок CE — медиана грани BMC пирамиды MABC, точка K — сере-дина отрезка CE. Выразите вектор AK через векторы AB , AC и AM .




3.1. Решите уравнение: lg 2 1000xx − = .

3.2. Постройте график функции cos( ) 2 2xf x = − .

3.3. Через две образующие конуса, угол между которыми равен α, проведена плоскость, которая образует с плоскостью основания конуса угол β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если его высота равна H.

112

Admin

18




4.1.м Вычислите интеграл 5

0

| 2 |x dx−∫ .

4.2.м На гиперболе xy 1= , x < 0, задана точка M x y( ; )0 0 такая, что 00 41 xy = .

Найдите площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе в точке М и осями координат.

4.3.м Решите уравнение: 544sin 2 +−=π xxx .

4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD (BC || AD, AB ⊥ AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 6 см, OD = 8 см.

113

96




4.1.м Вычислите интеграл 5

0

| 2 |x dx−∫ .

4.2.м На гиперболе xy 1= , x < 0, задана точка M x y( ; )0 0 такая, что 00 41 xy = .

Найдите площадь треугольника, образованного касательной к гиперболе в точке М и осями координат.

4.3.м Решите уравнение: 544sin 2 +−=π xxx .

4.4.м В прямоугольную трапецию ABCD (BC || AD, AB ⊥ AD) вписана окружность с центром O. Найдите площадь трапеции, если OC = 6 см, OD = 8 см.



2.1. Представьте в виде степени с рациональным показателем выражение 1

34a a a .

2.2. Чему равно значение выражения ( )2 232sin 3 5sin 2cos 32πα + −α + α , если

2,0cos =α ?

2.3. Найдите значение выражения 7 7

7 7

log 125 3log 2log 1, 4 log 14

+−

.

2.4. Вычислите значение производной функции f x e ex x( ) = + −5 2 в точке x0 0= .

2.5. Вычислите интеграл ( )0

12cos 2 sin3 3xx dx

π

+∫ .

2.6. Найдите область определения функции 22

1( ) log ( 4) 5f x x x= − +−

.

2.7. Найдите площадь прямоугольного треугольника, гипотенуза которого равна 13 см, а разность катетов — 7 см.

2.8. Через две образующие конуса, угол между которыми равен ϕ, проведено сечение. Найдите площадь этого сечения, если высота конуса равна h, а угол между высотой и образующей конуса равен α.




3.1. Решите неравенство: 0 25 12 0 5 32 0, ,x x− ⋅ + ≥ .

3.2. Решите уравнение: cos cos sin9 5 3 2x x x− = .

3.3. Биссектриса угла A прямоугольника ABCD делит его сторону BC на отрезки BM и MC длиной 10 см и 14 см соответственно. На отрезки какой длины эта биссектриса делит диагональ прямоугольника?

114

Admin

19




4.1.м Решите уравнение 22 23 9x x− = + .

4.2.м Найдите множество значений функции f x x x( ) cos cos= + − 2 3 .

4.3.м Решите неравенство: 2 51 2 log 5 log ( 2)x x++ ≥ + .

4.4.м Прямые, содержащие биссектрисы углов A, B, C треугольника ABC, пересекают описанную около этого треугольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что отрезки CC1 и A1B1 перпендикулярны.

115

98




4.1.м Решите уравнение 22 23 9x x− = + .

4.2.м Найдите множество значений функции f x x x( ) cos cos= + − 2 3 .

4.3.м Решите неравенство: 2 51 2 log 5 log ( 2)x x++ ≥ + .

4.4.м Прямые, содержащие биссектрисы углов A, B, C треугольника ABC, пересекают описанную около этого треугольника окружность в точках A1, B1, C1 соответственно. Докажите, что отрезки CC1 и A1B1 перпендикулярны.



2.1. Чему равно значение выражения ( )2arccos sin 3π ?

2.2. Упростите выражение ( ) 215 777 16 64

aaa a a−− − ⋅

− − +.

2.3. Найдите производную функции 2

( ) 1xf x x=−

.

2.4. Найдите область определения функции 5( )7 49x

xf x −=−

.

2.5. Вычислите интеграл ( )4 4 13

1

3

x x dx− +∫ .

2.6. Решите уравнение: log ( ) log ( )6 62 1 1x x− + − = .

2.7. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AС биссектриса угла A пересекает сторону BC в точке M. Найдите углы треугольни-ка ABC, если ∠ AMB = 117°.

2.8. Площадь полной поверхности конуса равна 200π см2, а его образую-щая — 17 см. Найдите объем конуса.




3.1. Решите уравнение 2 23 5 3 7x x x x− + + = + .


( ) ( )2 2cos 2 cos 2 sin 44 4π π− α − + α = α .

3.3. Основание пирамиды MABCD — прямоугольник ABCD. Боковая грань CMD перпендикулярна плоскости основания, грани AMD и BMC наклонены к плоскости основания под углом α, а грань AMB — под углом β. Найдите объем пирамиды, если ее высота равна H.

116

Admin

20




4.1.м Найдите решения системы уравнений в зависимости от значения пара-метра a:

cos cos ,sin sin .

x y ax y

==

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

1


( ) 5log (2 )3log 10 3 5 xx −− ≥ .

4.3.м При каких значениях b и c прямая 4 1y x= + касается параболы 2y x bx c= + + в точке A (1; 5)?

4.4.м Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если AC = d и ∠COD = 30°.

117

100




4.1.м Найдите решения системы уравнений в зависимости от значения пара-метра a:

cos cos ,sin sin .

x y ax y

==

⎧⎨⎪

⎩⎪

2

1


( ) 5log (2 )3log 10 3 5 xx −− ≥ .

4.3.м При каких значениях b и c прямая 4 1y x= + касается параболы 2y x bx c= + + в точке A (1; 5)?

4.4.м Трапеция ABCD (BC || AD) вписана в окружность. Точка O — центр этой окружности. Найдите площадь трапеции, если AC = d и ∠COD = 30°.



2.1. Чему равно значение выражения 5 3

1,26 48 32 4− −⋅ ⋅ ?

2.2. Упростите выражение sin 1 cos1 cos sin

α + α++ α α

.

2.3. Решите неравенство 19 9 24x x−− ≥ .

2.4. Решите уравнение 4 12x x+ = .

2.5. Найдите значение производной функции 123)(

−−

=xxxf в точке 20 =x .

2.6. Найдите область определения функции 4 2 4( ) 20 2f x x x x= + − +−

.

2.7. Катет прямоугольного треугольника равен 6 см, а медиана, проведенная к нему, — 5 см. Найдите гипотенузу треугольника.

2.8. Через вершину конуса проведена плоскость, пересекающая его основание по хорде, длина которой равна a. Эта хорда стягивает дугу, градусная мера которой равна 90°. Угол между образующими в сечении равен 60°. Найдите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Докажите тождество 2 2cos cos cos( ) cos( ) 1α + β− α +β α −β = .

3.2. Решите уравнение: lg (lg ) lg (lg )x x+ − =4 3 0 .

3.3. Основания трапеции равны 2 см и 6 см, а боковые стороны — 13 см и 15 см. Найдите площадь трапеции.

118

Admin

21





− + − − ≤x x x227 10 3 0log ( ) .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 02cos cosx x+ = ?

4.3.м Решите систему уравнений:

⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−=−

.12,33

22 yxyxxyyx

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и вписанной окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

119

102





− + − − ≤x x x227 10 3 0log ( ) .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 02cos cosx x+ = ?


⎪⎩

⎪⎨⎧

=++−=−

.12,33

22 yxyxxyyx

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и вписанной окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.



2.1. Вычислите значение выражения:

5 2 6 5 2 62

− + +⎛⎝⎜

⎞⎠⎟ .

2.2. Решите неравенство 27525 11 ≥⋅+ −+ xx .

2.3. Решите уравнение: 8log8log 4

323 =− xx .

2.4. Найдите промежутки возрастания функции 8331)( 23 +++−= xxxxf .

2.5. Найдите первообразную функции xxxf 5sin52cos21)( −= , график кото-

рой проходит через точку B( ; )π 0 .

2.6. Телевизор и мобильный телефон стоили вместе 1800 грн. После того как телевизор подорожал на 10 %, а телефон подешевел на 10 %, они стали стоить вместе 1840 грн. Найдите первоначальную цену телевизора.

2.7. В треугольнике ABC известно, что AB : AC = 3 2 : 7, =∠BAC 45°. Найдите сторону AC, если BC = 30 см.

2.8. Длина линии пересечения сферы и плоскости, удаленной от ее центра на 12 см, равна 10π см. Найдите площадь сферы.




3.1. Постройте график функции f x x

x( ) = +

3

663 .

3.2. Решите уравнение: sin sin sin sin2 2 2 22 3 4 5 2x x x x+ + + = .

3.3. Основание пирамиды — равнобедренный треугольник с боковой стороной b и углом β при основании. Все двугранные углы при ребрах основания пирамиды равны α. Найдите объем пирамиды.

120

Admin

22




4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений x yy a x+ − =− + =

⎧⎨⎩

4 092 2

,( )

имеет одно решение?

4.2.м Решите неравенство: 22

1 33

log 3 log 49xx + ≥ .

4.3.м Найдите общие точки графиков функций 12)( 3 ++= xxxf и 2)1()( += xxg , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC медиана BM делит отрезок AK (точка K принад-лежит стороне BC) в отношении 3 : 1, считая от вершины A. В каком отношении точка K делит сторону BC?

121

104




4.1.м При каких значениях параметра a система уравнений x yy a x+ − =− + =

⎧⎨⎩

4 092 2

,( )

имеет одно решение?

4.2.м Решите неравенство: 22

1 33

log 3 log 49xx + ≥ .

4.3.м Найдите общие точки графиков функций 12)( 3 ++= xxxf и 2)1()( += xxg , в которых эти графики имеют общие касательные.

4.4.м В треугольнике ABC медиана BM делит отрезок AK (точка K принад-лежит стороне BC) в отношении 3 : 1, считая от вершины A. В каком отношении точка K делит сторону BC?



2.1. Решите систему уравнений:

⎩⎨⎧

=+=−.9

,2722

yxyx

2.2. Чему равен αsin , если 8,0cos =α и π<α<π 223 ?

2.3. Вычислите значение выражения log loglog log

8 8

6 6

128 23 2 27

−+

⋅

2.4. Решите уравнение: 02252 12 =+⋅−+ xx .

2.5. Чему равно наибольшее значение функции f x x x x( ) = − + +3 26 9 3 на промежутке [0; 2] ?

2.6. Найдите сумму всех трехзначных чисел, которые меньше 160 и делятся нацело на 3.

2.7. Диагонали трапеции ABCD (AD || BC ) пересекаются в точке O. Найдите отрезок AO, если AD : BC = 3 : 2, CO = 8 см.

2.8. В основании конуса проведена хорда, которая видна из центра основания под углом α, а из вершины конуса — под углом β. Найдите площадь боковой поверхности конуса, если расстояние от центра основания до проведенной хорды равно d.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x= −6 2 и пря-мой y = 5 .

3.2. Решите уравнение: x x+ + − =3 5 1 4 .

3.3. Две стороны треугольника равны 15 см и 25 см, а медиана, проведенная к третьей стороне, — 16 см. Найдите третью сторону треугольника.

122

Admin

23




4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции cos( ) sin

xf x a x=+

?

4.2.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие уравнению:

1)74(log)32(log 23

22 =+++− yyxx .

4.3.м Решите систему уравнений: x yy zz x

2

2

2

10 496 72 7

− = −+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,,.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ ABC = 60°. Докажите, что ∠C1OB = ∠C1A1B.

123

106




4.1.м При каких значениях параметра a число π является периодом функции cos( ) sin

xf x a x=+

?

4.2.м Найдите все пары действительных чисел );( yx , удовлетворяющие уравнению:

1)74(log)32(log 23

22 =+++− yyxx .

4.3.м Решите систему уравнений: x yy zz x

2

2

2

10 496 72 7

− = −+ =− =

⎧⎨⎪

⎩⎪

,,.

4.4.м В треугольнике ABC биссектрисы AA1 и CC1 пересекаются в точке O, ∠ ABC = 60°. Докажите, что ∠C1OB = ∠C1A1B.



2.1. Упростите выражение 22 )) β−+β+ ctg(1ctg(1 .

2.2. Решите неравенство:

09

)3)(8(≤

−−+

xxx

.


3

93

25

21

21

21

−

+⋅

+

−

y

y

y

y .

2.4. Решите уравнение: 3)15(log)3(log 44 =+++ xx .

2.5. Вычислите интеграл dxx∫ ⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

+

1

0

218

4 .

2.6. Решите неравенство: 9 12 3 27 0x x− ⋅ + ≤ .

2.7. Большее основание трапеции равно 20 см, а расстояние между середина-ми ее диагоналей — 6 см. Найдите длину меньшего основания трапеции.

2.8. Найдите объем правильной четырехугольной пирамиды, сторона основа-ния которой равна 6 см, а диагональное сечение является прямоугольным треугольником.




3.1. Постройте график функции f x x x( ) sin sin= + 2 .

3.2. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функции f x e x( ) = − 2

.

3.3. В правильной четырехугольной призме ABCDA1B1C1D1 сторона основа-ния равна 8 2 см, а боковое ребро — 3 см. Через диагональ BD нижнего основания и середину стороны B1C1 верхнего проведена плоскость. Найдите площадь образовавшегося сечения призмы.

124

Admin

24




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 2 2sin sin 02 2x a x a⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

имеет на промежутке )50; 4π⎡

⎢⎣ три корня?

4.2.м Решите уравнение: 3 4 1x x= + .

4.3.м Решите систему уравнений: 6,

1 1 1 3 ,28.

x y z

x y zxyz

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ =⎩

4.4.м Два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1 расположены так, что точ-ка B — середина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точ-ка D — середина отрезка CD1, точка A — середина отрезка DA1. Найдите площадь параллелограмма A1B1C1D1, если площадь параллелограмма ABCD равна S.

125

108




4.1.м При каких значениях параметра a уравнение 2 2 2sin sin 02 2x a x a⎛ ⎞− + + =⎜ ⎟

⎝ ⎠

имеет на промежутке )50; 4π⎡

⎢⎣ три корня?

4.2.м Решите уравнение: 3 4 1x x= + .

4.3.м Решите систему уравнений: 6,

1 1 1 3 ,28.

x y z

x y zxyz

⎧ + + =⎪

+ + =⎨⎪ =⎩

4.4.м Два параллелограмма ABCD и A1B1C1D1 расположены так, что точ-ка B — середина отрезка AB1, точка С — середина отрезка BC1, точ-ка D — середина отрезка CD1, точка A — середина отрезка DA1. Найдите площадь параллелограмма A1B1C1D1, если площадь параллелограмма ABCD равна S.



2.1. Решите уравнение 64 7 8 8 0x x− ⋅ − = .

2.2. Чему равно значение выражения 16log2log3 23 2

123 − ?

2.3. Упростите выражение

95 1 26 3 77 5

18 7

b b b

b b

−

−

⎛ ⎞⎜ ⎟⋅⎜ ⎟⎝ ⎠

.

2.4. Решите уравнение xx −=−89 .

2.5. Упростите выражение cos3 cos sin 2sin 3 sin cos 2

α − α − αα − α + α .

2.6. Найдите первообразную функции 2327

14)( xx

xf ++

= , график которой

проходит через точку )0;2(C .

2.7. В треугольнике ABC сторона АC разделена на три равные части и через точки деления проведены прямые, параллельные стороне AB треуголь-ника. Меньший из отрезков этих прямых, находящихся между сторонами треугольника, меньше стороны AB на 8 см. Найдите сторону AB тре-угольника.

2.8. Основание прямой треугольной призмы — равнобедренный треугольник с основанием a и углом α при вершине. Диагональ боковой грани призмы, содержащая основание равнобедренного треугольника, накло-нена к плоскости основания под углом β. Найдите объем призмы.




3.1. Решите уравнение 3 2 3cos sin cosx x x+ = .

3.2. Составьте уравнение касательной к графику функции y x x= − +2 3 , которая параллельна прямой x y+ + =3 0 .

3.3. Центр окружности, описанной около равнобокой трапеции, лежит на ее большем основании. Найдите радиус этой окружности, если боковая сторона трапеции равна 2 см, а высота трапеции — 1,6 см.

126

Admin

25




4.1.м Сколько решений имеет уравнение ( )log ( )3 2 2 0x x a− − − =

в зависимости от значения параметра a?


( )x x x− + ≤ −1 1 12 2 .

4.3.м Постройте график функции:

21

cos (arctg )y

x= ⋅

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырех-угольника.

127

110




4.1.м Сколько решений имеет уравнение ( )log ( )3 2 2 0x x a− − − =

в зависимости от значения параметра a?


( )x x x− + ≤ −1 1 12 2 .

4.3.м Постройте график функции:

21

cos (arctg )y

x= ⋅

4.4.м Диагональ выпуклого четырехугольника делит его на два равновеликих треугольника. Докажите, что эта диагональ делит пополам отрезок, соединяющий середины двух противолежащих сторон четырех-угольника.



2.1. Представьте в виде дроби выражение 24 6

6

3

3

+−

− bb

bb .

2.2. Решите уравнение 0322144 =−⋅− xx .

2.3. Решите неравенство: 45log)23(log 22 +<+x .

2.4. Решите уравнение: xx cos3sin2 2 = .

2.5. Найдите промежутки возрастания функции f x x x x( ) = − − +3 2 8 .

2.6. Чему равна сумма целых решений неравенства 3 5 13xx− ≤+

?

2.7. Стороны треугольника равны 36 см, 29 см и 25 см. Найдите высоту треугольника, проведенную к его большей стороне.

2.8. Параллельно оси цилиндра проведена плоскость. Образовавшееся сечение является квадратом и отсекает от окружности основания дугу, градусная мера которой равна 90°. Найдите площадь боковой поверх-ности цилиндра, если радиус основания равен 22 см.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной параболой y x= 2 и пря-мой y x= −2 .

3.2. Решите уравнение ( )x x x x2 26 5 2 8 0− + + − = .

3.3. Основание пирамиды — прямоугольный треугольник с острым углом α. Боковое ребро, проходящее через вершину другого острого угла осно-вания, перпендикулярно плоскости основания и равно h, а боковая грань, содержащая катет, прилежащий к данному углу α, наклонена к плоскости основания под углом β. Найдите объем пирамиды.

128

Admin

26




4.1.м При каких значениях параметра a неравенство 0cos)12(cos 22 >−+−− aaxax

выполняется при всех действительных значениях x?

4.2.м Решите уравнение: 4|3lg||1lg| =−++ xx .

4.3.м Решите уравнение: 5 1 6 2 3 6 2x x x x+ + + = + + − .

4.4.м На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки N и F так, что BN : NA = 1 : 1 и DF : FA = 3 : 1. Отрезки BF и CN пересекаются в точке M. Найдите отношение NM : MC.

129

112




4.1.м При каких значениях параметра a неравенство 0cos)12(cos 22 >−+−− aaxax

выполняется при всех действительных значениях x?

4.2.м Решите уравнение: 4|3lg||1lg| =−++ xx .

4.3.м Решите уравнение: 5 1 6 2 3 6 2x x x x+ + + = + + − .

4.4.м На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD отметили соответственно точки N и F так, что BN : NA = 1 : 1 и DF : FA = 3 : 1. Отрезки BF и CN пересекаются в точке M. Найдите отношение NM : MC.



2.1. Чему равно значение выражения 14

3 14 4

4

3

a

a a

−

−−

при 2a = ?

2.2. Решите неравенство 2 3125 5 125x x x− +⋅ < .

2.3. Вычислите значение выражения 6 616log 2 log 2736

+.

2.4. Решите уравнение 3 1 141 3 4x x

x x− ++ =+ −

.

2.5. Найдите первообразную функции 12( )4 3

f xx

=−

, график которой про-

ходит через точку (3;18)A .

2.6. Катер прошел 40 км по течению реки и такое же расстояние против течения, затратив на путь против течения на 20 мин больше, чем на путь по течению. Найдите собственную скорость катера, если скорость течения реки составляет 3 км/ч.

2.7. Меньшее основание равнобокой трапеции равно 15 см, а высота — 3 3 см. Найдите площадь трапеции, если один из ее углов равен 150°.

2.8. Основанием прямого параллелепипеда является ромб со стороной a и тупым углом α. Бóльшая диагональ параллелепипеда наклонена к плос-кости основания под углом β. Найдите площадь боковой поверхности параллелепипеда.




3.1. Найдите промежутки возрастания и убывания и точки экстремума функ-

ции 2

24( )4

xf xx+=−

.


( ) ( )( ) ( ) ( )( )( )

3cos 2 sin 5 cos sin 52 2 sin 431 sin 62

π ππ−α + + α −α − π+ α= α

π+ − α.

3.3. Боковая сторона равнобедренного треугольника равна 4 см, а медиана, проведенная к этой стороне, — 3 см. Найдите периметр треугольника.

130

Admin

27




4.1.м Определите количество решений уравнения 1 3− + =x a


4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: 1arcctg arcctg 2x x

π+ = .

4.3.м Решите уравнение: 0loglog 2

93

3 =− xx xx .

4.4.м На катете BC прямоугольного треугольника ABC отметили произволь-ную точку M. Из точки M опущен перпендикуляр MN на гипотенузу AB. Докажите, что ∠ ANC = ∠ AMC.

131

114




4.1.м Определите количество решений уравнения 1 3− + =x a


4.2.м Докажите, что при x > 0 выполняется равенство: 1arcctg arcctg 2x x

π+ = .

4.3.м Решите уравнение: 0loglog 2

93

3 =− xx xx .

4.4.м На катете BC прямоугольного треугольника ABC отметили произволь-ную точку M. Из точки M опущен перпендикуляр MN на гипотенузу AB. Докажите, что ∠ ANC = ∠ AMC.



2.1. Найдите значение выражения 32

log 28 .

2.2. Упростите выражение 1 14 2

1 14 2

2 5 4 25:5 5

y y

y y

− − .

2.3. Решите уравнение 14 4 5x x−+ = .

2.4. Укажите область определения функции 25 7( )

4 12 16f x

x x= −

− −.

2.5. Найдите первообразную функции 423)( 2 +−= xxxf , график которой проходит через точку )2;1( −M .

2.6. Какие три положительных числа надо вставить между числами 2 и 162, чтобы они вместе с данными числами образовали геометрическую прогрессию?

2.7. В равнобокой трапеции диагональ является биссектрисой острого угла и делит среднюю линию трапеции на отрезки длиной 6 см и 12 см. Найдите периметр трапеции.

2.8. Объем конуса равен 100π см3, высота — 12 см. Вычислите площадь боковой поверхности конуса.




3.1. Найдите уравнение касательной к графику функции

f x x x( ) ,= + −0 2 4 52 , которая параллельна прямой y x= −6 3.

3.2. Упростите выражение ( )ctg tg ctg tgα α α α− ⋅ ⋅ +2 2 2 2 , если

32 4π π< α < .

3.3. Основанием пирамиды является правильный треугольник со сторо-ной 6 см. Одна боковая грань пирамиды перпендикулярна плоскости основания, а две другие наклонены к плоскости основания под углом 45°. Найдите объем пирамиды.

132

Admin

28




4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f x x x a( ) ( )= − −3 2 6 .

4.2.м Решите неравенство: 2 20 15 5x x− + + ≥ .

4.3.м Постройте график функции y x x= + −arccos arccos 1 .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине равен 108°. В этом треугольнике проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что AA1 = 2BB1.

133

116




4.1.м В зависимости от значения параметра a найдите критические точки функции f x x x a( ) ( )= − −3 2 6 .

4.2.м Решите неравенство: 2 20 15 5x x− + + ≥ .

4.3.м Постройте график функции y x x= + −arccos arccos 1 .

4.4.м В равнобедренном треугольнике ABC (AB = BC) угол при вершине равен 108°. В этом треугольнике проведены биссектрисы AA1 и BB1. Докажите, что AA1 = 2BB1.




41

41

21

41

41

21

41

41

21

:2

a

baa

ba

bbaa +++ .

2.2. Упростите выражение tg β + cos1 sin

β+ β .

2.3. Решите уравнение: 6 4 6 8 6 1202 1x x x+ +− ⋅ + ⋅ = .

2.4. Первый член арифметической прогрессии равен 6, а разность равна –2. Сколько надо взять первых членов прогрессии, чтобы их сумма была равной 30− ?

2.5. Решите уравнение: x x+ − =78 6 .

2.6. Найдите наибольшее значение функции 4 2( ) 92

xf x x= − на промежут-

ке [–1; 2].

2.7. Высота NF треугольника MNK делит его сторону MK на отрезки MF и FK. Найдите отрезок MN, если FK = 6 3 см, MF = 8 см, ∠K = 30°.

2.8. Вычислите площадь боковой поверхности правильной четырехугольной призмы, диагональ которой равна 8 2 см и наклонена к плоскости основания под углом 45°.




3.1. Вычислите площадь фигуры, ограниченной гиперболой xy 3= и прямы-

ми y x= +2 1 и x = 3 .

3.2. Решите неравенство lg lg2 10 3x x− ≥ .

3.3. Биссектриса угла A треугольника ABC (∠C=90°) делит катет BC на отрезки длиной 6 см и 10 см. Найдите радиус окружности, проходящей через точки A, C и точку пересечения данной биссектрисы с катетом BC.

134

Admin

29




4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения 3 2 16 0x ax bx+ + − = равен 2 1+ ?

4.2.м Сколько корней уравнения sin 3 sin 01 cos

x xx

− =−

принадлежит промежутку 7;6 6π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

?

4.3.м Найдите все пары действительных чисел ( ; )x y , удовлетворяющих неравенству:

2 26 18 14 50 3x x y y− + ⋅ + + ≤ .

4.4.м Докажите, что радиус r окружности, вписанной в прямоугольную тра-пецию, вычисляется по формуле abr a b=

+, где a и b — длины

оснований трапеции.

135

118




4.1.м При каких рациональных значениях параметров a и b один из корней уравнения 3 2 16 0x ax bx+ + − = равен 2 1+ ?

4.2.м Сколько корней уравнения sin 3 sin 01 cos

x xx

− =−

принадлежит промежутку 7;6 6π π⎡ ⎤⎢ ⎥⎣ ⎦

?

4.3.м Найдите все пары действительных чисел ( ; )x y , удовлетворяющих неравенству:

2 26 18 14 50 3x x y y− + ⋅ + + ≤ .

4.4.м Докажите, что радиус r окружности, вписанной в прямоугольную тра-пецию, вычисляется по формуле abr a b=

+, где a и b — длины

оснований трапеции.



2.1. Решите уравнение xx 3899 ⋅=− .

2.2. Найдите значение производной функции 22)(x

eexf x += − в точке 00 =x .

2.3. Чему равно значение выражения

12 23 32 13 9

16 25

4 125

−

−

⎛ ⎞⋅⎜ ⎟

⎜ ⎟⋅⎝ ⎠?

2.4. Найдите область определения функции 6( )9

f xx

=−

.

2.5. Вычислите интеграл ( )4

1

3 x dxx +∫ .

2.6. Упростите выражение 2 2 452 45 2

cos cos( )sin( ) sin

α α

α α

− °+

°+ −.

2.7. Из точки M, не лежащей на прямой l, проведены к этой прямой наклонные MN и MK, образующие с ней углы 30° и 45° соответственно. Найдите наклонную MK, если длина проекции наклонной MN на прямую l равна 4 3 см.

2.8. Через конец M радиуса OM шара проведена плоскость, образующая с этим радиусом угол 30°. Площадь образовавшегося сечения равна 36π см2. Найдите площадь поверхности шара.




3.1. Решите уравнение 3log 81xx = .

3.2. Постройте график функции cos| cos |

xy x= .

3.3. Боковое ребро правильной четырехугольной пирамиды наклонено к плоскости основания под углом α. Найдите двугранный угол при ребре основания пирамиды.

136

Admin

30




4.1.м Решите уравнение: x x+ + + =6 2 43 .

4.2.м При каких значениях параметра a уравнение x x ax3 213 27 0− + − =

имеет три действительных корня, образующие геометрическую про-грессию?

4.3.м Докажите, что 2 4 6 20 1cos cos cos ... cos21 21 21 21 2π π π π+ + + + = − ⋅

4.4.м На стороне BC треугольника ABC отметили точку D так, что BD : DC = 2 : 3. В каком отношении отрезок AD делит медиану BM ?

137

202





− + − − ≤x x x236 5 2 0log ( ) .

4.2.м При каких значениях параметра a промежуток [0; a] содержит не менее трех корней уравнения 2 3 02cos cosx x− = ?


⎩⎨⎧

=+−−=−

.9,lglg

22 yxyxxyyx

4.4.м В треугольнике ABC центры описанной и одной из вневписанных окружностей симметричны относительно прямой AB. Найдите углы треугольника ABC.

Бланк ответов государственной итоговой аттестации

по математике

ученика / ученицы 11 ______ класса

____________________________________________________________ название учебного заведения

____________________________________________________________ фамилия, имя, отчество ученика (ученицы)

Вариант № ______

Внимание! Отмечайте только один вариант ответа в строке вариантов ответов к каждому заданию. Любые исправления в бланке недопустимы.

Если Вы решили изменить ответ в некоторых заданиях, то правильный ответ можно указать в специально отведенном месте, расположенном внизу бланка ответов.

В заданиях 1.1–1.16 правильный ответ обозначайте только так:

1.1А Б В Г

1.41.31.2

1.5А Б В Г

1.81.71.6

1.9А Б В Г

1.101.111.12

А Б В Г

1.141.151.16

1.13

В заданиях 2.1–2.8 впишите ответ. 2.1. _______________________ 2.5. ______________________ 2.2. _______________________ 2.6. ______________________ 2.3. _______________________ 2.7. ______________________ 2.4. _______________________ 2.8. ______________________

Чтобы исправить ответ к заданию, запишите его номер в специально отведенных клеточках, а правильный, по Вашему мнению, ответ — в соответствующем месте. Задания 1.1 – 1.16

А Б В Гномерзадания

1.1.1.1.

Задания 2.1 – 2.8

номер задания

2. ________________________________

2. ________________________________

2. ________________________________

2. ________________________________

Documents

kir-gimnasium.ucoz.uakir-gimnasium.ucoz.ua/content/news/GIA_15-16/matematika_11_klas… · Пояснительная записка Сборник составлен на основе