A tecnologia digital é uma invenção do século XX e aprofundada no século XXI,abrindo cada vez mais possibilidades de trabalhar eficazmente situações cadavez mais complexas.

Tal como refere o Programa Oficial de Matemática A, o recurso à tecnologia podeauxiliar os estudantes na compreensão de conceitos matemáticos e prepará-lospara usar a matemática num mundo cada vez mais tecnológico, devendo serusada de modo a enriquecer a aprendizagem matemática, tornando-a mais pro-funda. As calculadoras gráficas devem ser entendidas não só como instrumentosde cálculo mas também como meios incentivadores do espírito de pesquisa.

Na expressão feliz de Miguel de Guzmán, os estudantes devem ser preparadospara um “diálogo inteligente com as ferramentas que já existem”. O uso de tec-nologia facilita ainda uma participação ativa do estudante na sua aprendiza-gem, e até já Sebastião e Silva, há mais de 50 anos, apontava que “haveria mui-tíssimo a lucrar que o ensino fosse tanto quanto possível laboratorial, isto é,baseado no uso de computadores”.

Contudo, a Bela tecnologia também tem o seu Monstro: a utilização acríticados resultados que fornece.

A calculadora pode dar derivadas onde elas não existem, pode dizer que não háextremos quando eles existem, pode fornecer funções inversas que não existem,pode ocultar gráficos que estão fora do alcance do ecrã escolhido, etc.

Neste KIT TEC, relativo ao 11.º ano, a Bela é estudada ao mesmo tempo que oMonstro. Aqui se aprende a tirar partido das calculadoras gráficas e dos com-putadores e também se chama a atenção para os aspetos onde podem ocorrerdificuldades.

Cada uma das partes mostra o essencial que é preciso dominar com cada tecno-logia. Neste sentido, este KIT TEC é uma publicação única em Portugal.

Os textos aqui recolhidos pretendem ser uma introdução rápida e eficaz aospontos mais importantes de cinco tecnologias muito utilizadas:

– Calculadoras gráficas Texas TI-83 Plus | TI-84 Plus;– Calculadoras gráficas Texas TI-nspire;– Calculadoras gráficas Casio fx-9860GII | fx-9860GIISD;– Software de Geometria dinâmica GeoGebra.

Contém uma parte que pretende ajudar os alunos a lidar com um certo tipo deproblemas onde, segundo os relatórios oficiais, encontram mais dificuldades:

– Modelação matemática com calculadoras.

Esperamos que estas introduções vos ajudem a começar rapidamente a usar es-tas tecnologias, para uma melhor aprendizagem da Matemática.

Introdução: A Bela e o Monstro

KIT TEC Aleph 11

3Texas TI-83 Plus | TI-84 Plus

Texas TI-83 Plus | TI-84 Plus .......................................... 4

Modo de funcionamento .................................................. 4

Teclado da calculadora TI-84 Plus ........................................ 4

Primeiros passos – limpar a memória .................................... 5

Menus da TI-83 Plus | TI-84 Plus .......................................... 5

Definição do modo de funcionamento .................................... 6

Breve análise dos diversos MODOS ........................................ 7

Atalhos da TI-84 Plus ........................................................ 8

Considerações sobre representações gráficas de sucessões ............ 9

Considerações sobre representações gráficas de funções ................ 11

Definição de ampliações e reduções (zooms) ............................ 13

Limitações da calculadora ................................................ 13

Texas TI-nspire .............................................................. 15

Casio fx-9860GII | fx-9860GIISD .................................. 22

Razões trigonométricas .................................................... 22

Funções racionais .......................................................... 24

Composição de funções .................................................... 24

Sucessões .................................................................... 25

Aplicações e modelação com calculadoras gráficas............ 29

Tarefa 1 ...................................................................... 29

Tarefa 2 ...................................................................... 30

Tarefa 3 ...................................................................... 32

GeoGebra ...................................................................... 36

Programação linear ........................................................ 36

Funções racionais .......................................................... 42

Taxa média de variação .................................................... 45

Índice

4 KIT TEC Aleph 11

Modo de funcionamentoEste texto não pretende substituir o manual das calculadoras TI-83 Pluse TI-84 Plus, mas apenas servir de auxílio no uso destas calculadoras nocontexto do trabalho na disciplina de Matemática A, no 11.º ano. Por essarazão, não se irá falar de todas as capacidades e potencialidades destascalculadoras. Do mesmo modo, e uma vez que se irá apresentar o novosistema operativo, apenas se fará referência às alterações que ocorremrelativamente ao que foi apresentado no KIT TEC 10.A mais recente atualização do sistema operativo da TI-84 Plus integrao modo MathPrint, permitindo introduzir e ver símbolos matemáticos,fórmulas e frações exatamente como aparecem nos manuais.

Nota: Foi uma opção dos autores apresentar os menus em inglês. No entanto, existem outras possibilidades, nomeadamente a utilização dos menus em português.

Teclado da calculadora TI-84 PlusO modo de funcionamento genérico da calculadora apresenta-se abaixo.

Texas TI-83 Plus | TI-84 Plus

Teclas de acesso à configuração e visualização de gráficos

Acede à operação impressa a azul por cima da tecla quepressionarmos a seguir

Define os modos da máquina (ver DEFINIR MODOS)

Teclas das setas para deslocar o cursor

Acede à operação impressa a verde por cima da tecla quepressionarmos a seguir

Teclas de acesso aos menus da TI-84 Plus(ver OS MENUS DA TI-83 Plus e da TI-84 Plus)

Teclas de cálculo científico

1

4

6

2

3

5

7

1

5

2 3 4

6

7

Nota: As operações F1, F2, F3 e F4 permitem atalhos diretos a algumas funções da cal-culadora (funcionalidades do novo sistema operativo).

5Texas TI-83 Plus|TI-84 Plus

Iremos agora pormenorizar os aspetos e menus deste sistema operativoque nos parecem mais relevantes.

Primeiros passos – limpar a memória

1. Pressionamos para ligar a calculadora e visualizamos o ecrã:

Com as teclas de cálculo, ao pressionarmos , esta mensagem nãovolta a aparecer até efetuarmos uma nova limpeza de memória. Aopressionarmos , esta mensagem aparece sempre que ligarmos acalculadora.

2. Ao pressionarmos e depois acedemos a MEM. A limpezada memória segue o procedimento já apresentado no KIT TEC 10.

3. Esta operação estará concluída quando aparecer no ecrã a mensagem“ ”.

Nota: Depois de um procedimento como este, o contraste do visor é sempre redefi-

nido. Para ajustar o contraste pressionamos e depois pressionamos a tecla

(para tornar o visor mais claro) ou a tecla (para tornar o visor mais

escuro). Podemos pressionar para limpar o visor.

Menus da TI-83 Plus | TI-84 Plus

Para aceder à maior parte das operações da TI-84 Plus utilizamos váriosmenus. Uma tecla pode dar acesso a mais do que um menu, aparecendoos nomes dos menus no topo do ecrã. O submenu selecionado é real-çado e os itens desse menu são visualizados.

Em cada submenu, o primeiro item é, por defeito, selecionado. Seexistirem mais de sete itens no submenu, uma seta aparece no últimoitem. Pressionando as teclas do cursor, podemos percorrer todas asopções apresentadas.

6 KIT TEC Aleph 11

Vejamos, por exemplo, o menu . Para tal, basta pressionar .

Usando o cursor, podemos selecionar diferentes submenus. Por exemplo,pressionando uma vez a tecla visualizam-se os ecrãs seguintes:

Existem dois modos de selecionar uma função a partir do menu:

I. pressionando o número do item que pretendemos selecionar;

II. utilizando ou para mover o cursor até ao item que pretende-mos selecionar e, em seguida, pressionar .

Definição do modo de funcionamento

Os modos controlam a forma como os números e os gráficos são apre-sentados e interpretados. As definições do MODE não são alteradasquando se desliga a máquina.

Pressiona para visualizar as definições de MODE. As definições emuso são realçadas.

Com o novo sistema operativo, este menu apresenta mais opções:

7Texas TI-83 Plus|TI-84 Plus

Para alterarmos as definições do MODE:

I. usamos ou para mover o cursor para a linha da definição quedesejamos alterar (a definição onde se encontra o cursor pisca);

II. usamos ou para mover o cursor para a definição que preten-demos alterar;

III. pressionamos ;

IV. pressionamos ou fazemos Quit para voltar ao ecrã principal.

Nota: A máquina seleciona, por defeito, as opções mais à esquerda (por exemplo,a amplitude dos ângulos em radianos).

Breve análise dos diversos MODOS

Uma vez que o primeiro ecrã é idêntico ao do sistema operativo anterior,a nossa análise vai debruçar-se nos novos MODOS.

MathPrint ClassicControla as entradas e as saídas no ecrã inicial e no editor Y= aparecem como se estivessem em manuaisescolares.

n/d Un/d Mostra os resultados como frações simples ou frações mistas.

Answers: Auto Dec Frac Controla o formato das respostas.

GoTo Format Graph: No YesAtalha para o ecrã de formatação do gráfico

( FORMAT).

Stat Diagnotics: Off On Determina as informações que aparecem num cálculo deregressão estatística.

Stat Wizards: On Off Apoia o funcionamento em modo estatístico.

8

Atalhos da TI-84 PlusNesta última versão do sistema operativo aparecem novos atalhos.

1. Ao pressionarmos , acedemos ao seguinte ecrã:

Este atalho apresenta quatro funcionalidades, tendo as duas primeirasas características referidas no quadro de análise dos MODOS. A ter-ceira opção permite-nos alternar entre fração simples e fração mista. Vejamos o seguinte exemplo:

A quarta opção permite-nos transformar um número decimal em fra-ção e vice-versa.

2. Ao pressionarmos , acedemos ao seguinte ecrã:

Aqui são-nos apresentadas algumas das funcionalidades mais utili-zadas e já apresentadas no menu MATH.

KIT TEC Aleph 11

9

3. Ao pressionarmos , acedemos ao seguinte ecrã:

Esta funcionalidade permite trabalhar com matrizes.

4. Ao pressionarmos , acedemos ao seguinte ecrã:

Aqui temos sempre à disposição as funções de que necessitamos eque estão previamente definidas.

Considerações sobre representações gráficasde sucessõesConfigurar a calculadora.

1. Selecionamos a opção e a opção SEQ (sucessão) e DOT ().

2. Se pressionarmos , poderemos escolher a configuração queacharmos mais conveniente das apresentadas no seguinte ecrã:

Texas TI-83 Plus | TI-84 Plus

10

3. De seguida, selecionamos para aceder ao menu de edição de suces-sões. Vamos analisar, por exemplo, a sucessão de Fibonacci.

Nota: Para digitarmos u(n – 2), pressionamos as seguintes teclas:

4. Para obtermos a tabela da sucessão, pressionamos as teclas .Aparece-nos então o seguinte ecrã:

5. Para representarmos graficamente os primeiros 10 termos da suces-são, procedemos do seguinte modo:

a. Configurar a janela .

b. Acionar a tecla .

Esta funcionalidade permite-nosescolher o incremento para osvalores de n.

Valor mínimo de n a calcular Termo geral da sucessão {u2, u1} (atenção à ordem)

KIT TEC Aleph 11

11

c. Acionar a tecla para percorrer os termos da sucessão.

Nota: Para calcular qualquer termo da sucessão no intervalo definido, seguimos osseguintes passos:

Considerações sobre representações gráficasde funçõesConfigurar a calculadora.

1. Selecionamos a opção e a opção FUNC e CONNECTED.

2. Pressionamos .

3. De seguida, selecionamos para aceder ao menu de edição de fun-ções. Vejamos o exemplo de uma função racional.

Texas TI-83 Plus | TI-84 Plus

12

4. Para acedermos à tabela de valores da função, pressionamose obtemos o seguinte ecrã:

5. De seguida, para obtermos a representação gráfica, pressionamos .

Para definir uma janela de visualização adequada, basta acionare escolher os valores mínimos e máximos de x e y.

6. Representar a inversa de uma função.

Pressionamos para obter o seguinte ecrã:

De seguida, selecionamos a opção 8, que faz aparecer no ecrã DrawInv.Para selecionar a função da qual queremos a inversa pressionamos

.

Nota: Para não se confundirem os gráficos, no ecrã de edição de funções podemos mu-dar o traço da função aí editada.

Para obtermos o gráfico, basta pressionar .

KIT TEC Aleph 11

13

Definição de ampliações e reduções (zooms)

Este menu permite ajustar de diferentes maneiras o retângulo de visua-lização da representação gráfica (ampliação ou redução). Com este sistema operativo encontramos mais opções no menu ZOOM:

Destacamos alguns itens:

A:ZQuadrant1

Amplia a representação gráfica do primeiro quadrante, apresentandoapenas os valores contidos neste.

B:ZFrac1/2, C:ZFrac1/3, D:ZFrac1/4, E:ZFrac1/5, F:ZFrac1/8, G:ZFrac1/10

Estes itens ampliam as representações gráficas segundo os fatores des-critos.

Limitações da calculadora

A TI-84 Plus possui limitações que não inviabilizam (antes pelo contrá-rio) a sua utilização; devem ser identificadas, exploradas e discutidas,evitando assim utilizações acríticas que conduzem, muitas vezes, a in-ferências erróneas.

Funções inversas

Quando executamos a opção que desenha a inversa de uma função edi-tada, temos que ser críticos relativamente à representação que a calcu-ladora nos apresenta.

Texas TI-83 Plus | TI-84 Plus

14

Consideremos, por exemplo, a função f(x) = .

Esta função não é injetiva, logo não tem inversa.

No entanto, a calculadora desenha uma representação gráfica de umasua “suposta” inversa.

Para tal, selecionamos as seguintes teclas:

Como podemos verificar, a representação com o traço mais fino não éa função inversa de f(x).

Neste caso, a calculadora não tem a capacidade de distinguir funções in-jetivas de funções não injetivas; caber-nos-á gerir os conhecimentos ma-temáticos de modo a utilizar esta ferramenta da melhor forma possível.

Funções derivadas

Devido à fórmula que a calculadora utiliza para o cálculo da derivadade uma função num ponto, poderemos, em alguns casos, ser induzidosem erro.

Vejamos o exemplo da derivada da função módulo, g(x) = |x| no pontox = 0. Aplicando a instrução nDeriv, obtemos o seguinte ecrã:

Obviamente, este resultado está errado, pois não existe derivada destafunção no ponto x = 0.

x2

x – 1

KIT TEC Aleph 11

15TI-nspire

Texas TI-nspireApresentaremos uma breve introdução ao uso da calculadora TI-nspire,através de um estudo de funções racionais e com radicais. As situaçõesapresentadas referem-se à utilização da calculadora, embora o trabalhocom o software de computador TI-nspire seja análogo.

Representação gráfica de uma função

Quando ligamos a calculadora surge-nos um ecrã onde temos seis apli-cações à escolha. Abrimos um documento com a aplicação Gráficos erepresentamos graficamente a função definida por .

A aplicação Gráficos abre, por defeito, com um referencial cartesianomonométrico e com a janela de visualização [-10;10] × [-6,67; 6,67].Se preferirmos outras dimensões para a janela devemos premir b edepois, sucessivamente, 4 e 1.

Depois de escrever a expressão algébrica da função no editor que apa-rece em rodapé e premir Enter, este editor desaparece para melhor vi-sualização dos gráficos. Podemos ocultar/mostrar essa linha clicandosobre o ícone ou premindo sucessivamente as teclas/G.

2x

16 KIT TEC Aleph 11

Obtenção de pontos de interesse no gráfico e análise de uma função

As coordenadas de pontos do gráfico podem servir para obter informa-ções relevantes da função. Por exemplo:

a) Qual é a imagem do objeto –1,5?b) Qual é o objeto que tem por imagem 0,5?c) Há algum ponto no gráfico cuja ordenada é quádrupla da abcissa?

Para dar resposta às primeiras duas questões há diferentes alternativas.Uma delas consiste na colocação de um ponto sobre a representação grá-fica e manipulação das suas coordenadas. Premindo b, obtemos fun-cionalidades geométricas, entre as quais Ponto sobre um objeto, à qualse acede premindo sucessivamente 7 e 2.

Quando se seleciona uma funcionalidade surge um ícone que a identificana parte superior esquerda do ecrã. Ao aproximar o cursor desse íconeobtemos informação do modo como se deve proceder para utilizar a fun-cionalidade. Seguindo a informação, podemos então colocar um pontosobre a representação gráfica, sem preocupação com as coordenadas.

Obtemos assim um ponto cuja ordenada é a imagem pela função f dovalor da abcissa.

17TI-nspire

Podemos obter a ordenada do ponto de abcissa -1,5 e a abcissa do pontode ordenada 0,5 para dar resposta às duas primeiras alíneas.

Para manipular as coordenadas do ponto é conveniente desativar afuncionalidade Ponto sobre um objeto, premindo a tecla d. De seguida,premimos a tecla duas vezes consecutivas sobre o valor da abcissa deforma a ficar editável. Ao alterar o valor para -1,5 observa-se o ponto aposicionar-se no local adequado e obtém-se automaticamente o valor daordenada. O mesmo sucede com a alteração do valor da ordenada.

Nota: Na calculadora não se deve utilizar a vírgula habitual para separar a parte inteirada decimal de um número, mas sim o ponto.

Considerando a reta de equação y = 4x, podemos obter as coordenadasdos pontos da sua interseção com o gráfico da função e dar resposta àalínea c). No entanto, vamos utilizar um menu mais específico para otrabalho com funções.

18 KIT TEC Aleph 11

Voltemos à linha de edição das expressões algébricas para introduzir afunção afim definida por 4x.

Para determinar as coordenadas dos pontos de interseção, vamos utilizara funcionalidade Interseção depois de premir b, seguido de 6 e 4,sucessivamente. No menu Analisar gráfico podemos também encontrarfuncionalidades para a obtenção de zeros ou de extremos, entre outras.

19TI-nspire

Nem tudo o que parece é!Tirar conclusões sobre as funções a partir da observação de uma repre-sentação gráfica é algo que pode não ser bem feito, se não se tiver emconsideração as propriedades da própria função. Vejamos dois exemplos, um relacionado com funções racionais e outrocom funções com radicais.

Exemplo 1

Considere-se a representação da função definida por na mesma janelade visualização da representação gráfica da função definida por .Para aproveitar a representação já feita vamos abrir uma nova páginade Gráficos.Deste modo, evitamos ocultar os elementos que não nos interessam, o quepoderíamos fazer premindo sucessivamente /b sobre o objeto a ocultarou a eliminar e escolher no menu de contexto aberto a opção pretendida.Neste menu de contexto podemos efetuar ainda outras alterações aosobjetos ou aos números selecionados, tais como etiquetar, modificartraço, alterar o número de casas decimais a visualizar, etc.Para acrescentar uma nova página podemos proceder de diferentes for-mas, sendo a mais simples premir a tecla c e clicar sobre o ícone cor-respondente à aplicação a incluir na nova página.Ao abrir uma nova página no mesmo problema* não necessitamos deescrever a expressão da função representada na página anterior; apenaspremir ENTER após aceder à expressão pretendida no editor utilizandoo cursor.

2x – 6x2 – 3x 2

x

(*) Um documento é constituído na tecnologia TI-nspire por problemas, que são conjuntosde páginas independentes de um problema para outro, mas dependentes dentro decada problema, sendo cada página uma de seis aplicações, a saber: Calculadora, Grá-ficos, Geometria, Listas e Folha de cálculo, Dados e Estatística e Notas.

20

Curiosamente não se vê a representaçãográfica da nova função, mas apenas a ex-pressão, o que significa que a represen-tação foi feita.

O que aconteceu? Terá ficado fora da ja-nela de visualização ou terá ficado sobrea anterior?

Na realidade o que aconteceu é que se sobrepôs à representação da função definida por .

Mas, assim sendo, têm a mesma representação gráfica?

A resposta é obviamente não. Como os domínios das duas expressõessão diferentes, concluimos que não se trata da mesma função. Observe-sea imagem de 3 pela nova função. Para o fazer podemos colocar umponto sobre a nova representação gráfica e obter as suas coordenadas.Comecemos por ocultar a representação anterior. Uma vez que há so-breposição pode não ser fácil conseguir selecionar a representação pre-tendida, mas vamos consegui-lo se premirmos a tecla e depois deaproximar o cursor das representações.

Vamos colocar agora um ponto sobre a representação e ler as coordenadaspara depois as editar e alterar a abcissa para 3.

2x

KIT TEC Aleph 11

21

Observando o domínio da nova função percebe-se porque é que parax = 3 não é possível encontrar a imagem desse objeto, ao contrário doque parecia.

Exemplo 2

Observemos a representação gráfica da função definida por na janela de visualização [-2; 7]×[-2,5; 4,5].

Podemos obter o símbolo de radical para índices diferentes de 2 ao pre-mir a tecla t.

À pergunta sobre quantos são os zeros da função no intervalo [-2; 7], al-guém menos atento ou que não interprete devidamente a expressão algé-brica da função diria que a resposta é 1 zero. É claramente uma respostaerrada, porque a função está definida em 5 e anula-se nesse ponto.

x x( – )5 25

TI-nspire

22 KIT TEC Aleph 11

Razões trigonométricas

Passagem de graus para radianos e radianos para graus

Para converter radianos em graus e graus em radianos colocamos a con-figuração da máquina (SET UP) no sistema de medida de amplitude emque queremos os resultados.

Suponhamos que queremos transformar 30° em radianos. Então, temos:

No SET UP deve ter-se a opção Angle em RAD.

Escrevemos 30, usamos a opção (OPTN), rodamos o menu (F6) até encon-trarmos a opção ANGL em F5. Escolhemos F1 (°) para indicar que estamosa utilizar o grau. Ao pressionar EXE é exibido o resultado em radianos.

CASIO fx-9860GII | fx-9860GIISDEste texto não pretende substituir o manual de instruções das calcula-doras FX-9860GII | FX-9860GIISD, mas apenas esclarecer as funciona-lidades destas calculadoras no contexto do trabalho na disciplina deMatemática A no 11.° ano. Por essa razão não se irá falar de todas ascapacidades e potencialidades destas calculadoras, nem se irá repetir oque já foi apresentado no KIT TEC 10. Ao ligar a calculadora apareceum menu principal que permite o acesso às suas principais funcionali-dades (cálculos aritméticos, cálculos estatísticos, folha de cálculo, etc.).Sempre que quisermos regressar ao menu principal devemos utilizar atecla MENU.

23Casio fx-9860GII | fx-9860GIISD

Para converter radianos em graus, o processo é similar.

O SET UP da máquina deverá ter a definição Angle em graus (F1-Deg).

Introduzimos (por exemplo) e, em ANGL, nas opções, escolhemos F2

(r). Ao pressionar EXE, o valor é exibido em graus.

Para encontrar o valor do inverso do seno (por exemplo), utilizamos atecla SHIFT seguida de sin, cos e tan.

Assim, obtemos sin-1, cos-1 e tan-1.

Passagem de radianos para graus, minutos e segundos

Para efetuarmos esta passagem, devemos ter sempre a unidade angularem graus (em SET UP --- Angle: Deg). Introduzimos o valor em radianos e pressionamos EXE. O valor é pas-sado para graus.

Em opções (OPTN), selecionamos ANGL e escolhemos F5 .

π3

24 KIT TEC Aleph 11

Funções racionaisQuando trabalhamos com funções racionais devemos ter muito cuidadona seleção da janela de visualização. A janela de visualização é fundamental, pois pode induzir em erro,criando a ideia de assíntotas, quando estas não estão a ser desenhadas.

Considerando a função f(x) = e utilizando a janela de visuali-

zação Standart (SHIFT + F3 e F3 (STD)), obtemos o gráfico abaixo.

Este gráfico cria a ideia que existe uma assíntota vertical no ponto -2.

Se tivéssemos utilizado a janela inicial (F1 – INIT), o gráfico iria ter ou-tra representação gráfica, deixando de criar a ilusão da assíntota verticalx = -2.

Esta ilusão ocorre com algumas janelas de visualização. A calculadoradeixa um rasto na grelha de píxeis.A calculadora não desenha assíntotas, pelo que, sempre que isto ocorrer,devemos alterar os parâmetros da janela de visualização.

Composição de funçõesQuando trabalhamos com funções compostas, devemos utilizar a se-guinte sintaxe.

Suponhamos que temos as expressões f(x) = e g(x) = e que

queremos determinar (f o g)(x), então introduzimos as funções em Y1

e em Y2.

x + 1x + 2

x + 1x + 2

1x

25

Em Y3 vamos fazer a composição de funções.

Pressionamos a tecla do cursor para a direita e utilizamos o Y, que seencontra em F1 da Barra de Ferramentas que surge.

Depois de escrita a função composta, desenhamos o gráfico (F6 – Draw).

Sucessões

As instruções e os procedimentos apresentados nesta parte não substi-tuem o manual de instruções que acompanha a calculadora gráfica. Estas explicações não devem limitar a pesquisa nem a consulta do res-petivo manual. Pretende-se unicamente fornecer procedimentos bási-cos e resumidos da utilização dos menus da calculadora gráfica.

Iniciação ao menu das sucessões

O menu das sucessões possui a designação RECUR e está definido comosendo o menu 8 da calculadora gráfica.

Casio fx-9860GII | fx-9860GIISD

26

Ao entrar no menu, obtemos este tipo de ecrã, se a última definição feitafor a de sucessão definida por recorrência.

O que se pode fazer com a Barra de Ferramentas inicial?

Tecla F1 – Permite alterar o traço de cada uma das sucessões definidas. Permite distinguir grafica-mente cada sucessão.

Tecla F2 – Permite apagar a expressão.

Tecla F3 – Permite selecionar outro tipo de sucessão.

Tecla F4 – Permite introduzir os termos (varia consoante o tipo de sucessão selecionada).

Tecla F5 – Permite configurar os parâmetros para a sucessão selecionada.

Tecla F6 – Permite gerar uma tabela numérica com base no tipo de sucessão selecionada e parâme-tros definidos.

Sucessões definidas pelo termo geral

Na opção F3, podemos selecionar este tipo de sucessão (F1).

Introduzimos a expressão de termo geral. Ao digitar o “5” irá surgir emF1 a variável n. Para memorizar, usamos a tecla EXE.

KIT TEC Aleph 11

27

Para definir a tabela, usamos a opção F5-SET.

Nesta opção, devemos configurar o valor inicial e final da tabela de va-lores a gerar.

Regressamos ao ecrã anterior (EXIT).

Para visualizarmos a tabela de valores que acabámos de definir, usamosa opção F5 (TABL).

Sucessões definidas por recorrência

Na opção F3 (TYPE), devemos escolher F2 se a sucessão for definida combase no termo anterior ou F3 se for construída com base nos dois termosanteriores.

Devemos sempre fazer a definição na tabela (F5-SET) dos valores ini-ciais e finais de n: o valor dos termos da sucessão. Regressamos ao ecrãanterior e geramos uma tabela (F6 – TABL).

Casio fx-9860GII | fx-9860GIISD

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Representação gráfica das sucessões

Com a tabela definida no ecrã, podemos escolher:

• F5 (G-CON) para gráficos como uma linha contínua;

• F6 (G-PLT) para gráficos com pontos isolados;

Nota: Não nos podemos esquecer de ajustar a janela de visualização(SHIFT + F3 – V-WINDOW) com base nos valores da tabela.

Soma de termos consecutivos de uma sucessão

Colocamos a opção no modo on para obter a sucessão de so-mas dos termos de uma sucessão.

No caso da sucessão definida por recorrência, a tabela gerada irá tertambém uma coluna com a soma dos 10 primeiros termos (definidosna configuração da tabela).

display∑

KIT TEC Aleph 11

29Casio fx-9860GII | fx-9860GIISD

Aplicações e modelação com cal-culadoras gráficas

Tarefa 1Na figura abaixo está representada a região admissível de um problemade programação linear. Esta região corresponde ao sistema:

Qual é o valor máximo que a função objetivo, definida por f = x + y,pode alcançar nesta região?

Adaptado de: Teste Intermédio de Matemática A, maio de 2007

Resolução

Representada a região admissível, polígono [OABCD], efetuou-se a re-presentação gráfica da função objetivo, para f = 12.

Esta reta (da família de retas paralelas definidas pela função objetivo),gráfico da função anteriormente referida, não contém qualquer pontoadmissível. Contudo, considerando a sua posição relativa face ao polí-gono [OABCD], é de admitir que a solução ótima é o par ordenado (3, 6),coordenadas do ponto C.Esta suposição vem a confirmar-se, pois, para f = 9, a representaçãográfica da função objetivo contém o ponto C: fc = 3 + 6 = 9.Portanto, na região admissível considerada, o valor máximo que a fun-ção objetivo pode alcançar é 9.

x ≥ 0y ≥ 0x ≤ 5y ≤ 62x + y ≤ 12�

������

30 KIT TEC Aleph 11

Tarefa 2Para o circuito elétrico esquematizado na figura, a potência dissipadana resistência variável é dada, em Watt (W), por:

a) Calcula P(3) e interpreta o seu significado no contexto da situaçãodescrita.

b) Atendendo a que , justifica que P(r) � 0

quando r � +∞ e interpreta o seu significado no contexto da situaçãodescrita. Usa os recursos gráficos da calculadora para ilustrar esta ideia.

c) Determina para que valores de r a potência dissipada é igual a 8 W.

d)Sem efetuares a representação gráfica de P, determina a potênciamáxima possível de dissipar nessa resistência e para que valor de risso acontece.

Adaptado de: http://www.prof2000.pt

Resolução

a) Definida a função, podemos, por exemplo, criar uma tabela de valo-res para responder à questão.

Quando o valor da resistência variável for de 3Ω , a potência nela dis-sipada é 12 W.

b) Ora, se r � +∞, então � 0. Também, se r � +∞, então,

� 0 e, portanto, 1 – � 1. Logo, se r �+∞, então

P(r) = × (1 – ) � 0.

P rr r

( ) ���=+

−+

⎛⎝⎜

⎞⎠⎟

100

21

2

2

P rr

rr( )

( )��( ,� � )=

+≥

100

20

2em Ω

100r + 2

2r + 2

2r + 2

2r + 2

100r + 2

31

A potência dissipada na resistência variável aproxima-se tanto quantose queira de zero, desde que o valor da resistência seja suficientementeelevado.

Nota que as representações gráficas de y2 e y3 são arcos de hipérboles, ainda que issopossa passar despercebido relativamente a y3.

c) A potência dissipada é igual a 8 W, quando a resistência for de 0,5 Ωou de 8 Ω.

d)O maximizante procurado é r0 ∈] a, b[ (intervalo contido no domínioda função), tal que P’(r0) = 0 e P’ muda de positiva para negativaquando r passa de ]a, r0[ para ]r0, b[.

Portanto, a potência máxima possível de dissipar é de 12,5 W, paraum valor de resistência de 2,0 Ω.

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32

Tarefa 3A figura mostra que três retas traçadas numplano podem dividi-lo, quando muito, emsete regiões.

a) Completa a tabela seguinte, indicando emcada caso o número máximo de regiões.

b) Sem traçar mais linhas, diz quantas regiões ficam definidas com dezretas.Define a sucessão (rn) por recorrência e, recorrendo à calculadoragráfica, determina o 100.° termo.

c) Usando as potencialidades da calculadora gráfica, conjetura o termogeral de (rn), considerando, para o efeito, os primeiros 25 termos dasucessão.

d)Nem sempre é fácil a descoberta de um padrão, de uma lei de forma-ção, que permita continuar a escrever os termos seguintes de umasucessão. Uma técnica útil em muitas situações consiste em observar as dife-renças entre os termos da sucessão, como foi sugerido na alínea a). A sucessão original pode, contudo, conduzir a uma sucessão de di-ferenças cuja lei de formação não seja óbvia. Nesse caso, pode recorrer-se à sucessão das diferenças das diferenças(2.as diferenças) e assim sucessivamente, se necessário.

Considera a sucessão (sn), cujos primeiros termos são: 0, 2, 5, 11, 22,40, 67, …Determina o 8.º termo e o termo geral.

Adaptado de: Brian Bolt, Atividades Matemáticas, – O Prazer da Matemática, Gradiva, p. 108

Número de retas (n) 1 2 3 4 5 6 7

Número de regiões (rn) 7

1.as diferenças (rn+1- rn)

2.as diferenças

KIT TEC Aleph 11

33

Resolução

a)

b) Ora, .

Com dez retas, ficam definidas 56 regiões.Tendo em consideração a lei de formação que figura na linha das1.as diferenças (rn+1 – rn = n + 1), podemos facilmente definir a

sucessão por recorrência:

Definida a sucessão, podemos calcular o 100.° termo:

Portanto, r100 = 5051 .

c) Depois de copiados os primeiros 25 termos da sucessão e a res petivaordem para duas listas, efetuou-se a sua representação gráfica:

A nuvem de pontos sugere um modelo polinomial.

Número de retas (n) 1 2 3 4 5 6 7

Número de regiões (rn) 2 4 7 11 16 22 29

1.as diferenças (rn+1- rn) 2 3 4 5 6 7 8

2.as diferenças 1 1 1 1 1 1 1

r rr

r

10 7 8 9 10 29 8 9 10 568

9

= + + + = + + + =���� �

r

r r n nn n

1

1

2

1

== + + ∈

⎧⎨⎩ + ( ),

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34 KIT TEC Aleph 11

Não se descortinando diferenças gráficas significativas relativamenteà regressão quadrática, cúbica e quádrica, optou-se por iniciar o es-tudo de modelação pela primeira:

Esta primeira tentativa sugere o modelo (bn) = n2 + n + 1,

do qual vamos gerar os seus 25 primeiros termos para comparar comos correspondentes de (rn):

Portanto, tudo leva a crer que esteja encontrado o termo geral da

sucessão (rn): rn = n2 + n + 1.

d)Começando por obter as sucessões de diferenças, temos:

Logo, s8 = s7 + 27 + 9 + 2 = 67 + 27 + 9 + 2 = 105.

12

12

12

12

35

A sucessão (sn) pode ser definida por recorrência:

. (Porquê?)

Para tentar determinar o termo geral da sucessão, vamos conside-rar apenas os primeiros oito termos conhecidos:

A regressão cúbica sugere o modelo cn = n3 – n2 + n – 3,

do qual vamos gerar os seus 25 primeiros termos para comparar comos correspondentes de (sn):

Portanto, tudo leva a crer que esteja encontrado o termo geral da

sucessão (sn): sn= n3 – n2 + n – 3.

256

32

13

256

32

13

s

s s n n nn n

1

12

0

2 3

=

= + − + ∈⎧⎨⎩⎪ + ( ),

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36 KIT TEC Aleph 11

GeoGebraA utilização do GeoGebra para resolver problemas envolvendo domíniosplanos é muito vantajosa e permite uma fácil visualização de todas asetapas. Vamos então exemplificar com um problema de programação linear.

Programação linearConsideremos um problema cujas restrições são:

O objetivo é maximizar P(x,y) = x + 0,55y.

Vamos então começar por introduzir a primeira restrição 5x + 2y = 60na Entrada de Comandos do GeoGebra, tendo o cuidado de transformara desigualdade em igualdade, porque o GeoGebra não reconhece desi-gualdades.

Após carregarmos na tecla Enter, verificamos que não é visível na Zona

Gráfica o gráfico da função. Por isso, temos de modificar esta zona. Vamos, então, deslocar toda a construção para onde desejamos.

����

5x + 2y ≤ 6015 x +18y≤ 360 x ≥ 0 y ≥ 0

37GeoGebra

Para isso, na Barra de Ferramentas selecionamos o último botão e a fer-ramenta Mover e, ao clicar num sítio qualquer da Zona Gráfica, toda aconstrução se desloca.

Colocamos a origem dos eixos coordenados mais próxima do canto in-ferior esquerdo da Zona Gráfica e depois modificamos a escala nos ei-xos coordenados. Com o mesmo comando, vamos até ao eixo que pre-tendemos modificar e, quando o cursor do rato passar para o ponteiro,clicamos nunca deixando de pressionar o botão do rato, e deslocamos aabcissa ou a ordenada ao longo do eixo até à posição ou escala desejada.

O resultado final será algo parecido com a seguinte janela.

De seguida, procedemos à introdução da segunda restrição 15x+18y=360,tendo novamente o cuidado de transformar a desigualdade em igual-dade. As duas últimas restrições já estão implícitas no gráfico, pois coincidemcom os eixos coordenados. Ficamos assim com a seguinte situação.

38 KIT TEC Aleph 11

Podemos modificar o modo de visualização na Zona Algébrica das duasretas, adotando a forma com que usualmente trabalhamos nas calculadorasgráficas, no tipo y = ax + b. Para isso, basta clicar com o botão direito dorato na Zona Algébrica em cima da primeira restrição, que o GeoGebra au-tomaticamente designou por a, e irá aparecer o seguinte:

Agora basta clicar com o botão direito do rato na forma desejada e pro-ceder analogamente com a segunda condição:

Vamos agora encontrar a região admissível. É fácil provar que as restriçõesiniciais são equivalentes a y ≤ – 2,5 x + 30, y ≤ – 56x + 20, x ≥ 0, y ≥ 0,o que confirma os resultados apresentados na Zona Algébrica.

Como nas duas primeiras restrições a desigualdade é “≤”, a região admissível fica abaixo da reta, incluindo-a. Quanto às restantes, ficaacima, incluindo-as. Então, é fácil verificar que a região admissível ficacompreendida entre as quatro retas, incluindo-as.

39GeoGebra

Para melhor desenhar a região, determinamos os pontos de interseçãoentre as retas, utilizando o comando Novo Ponto.

Para tal, clicamos com o botão esquerdo do rato nos pontos de interse-ção das quatro retas que representam as restrições do problema. Depoisda marcação destes quatro pontos A, B, C e D, cujas coordenadas sãovisíveis na Zona Algébrica, ficaremos com o seguinte.

Vamos agora utilizar o quinto botão, Polígono, clicar com o botãoesquerdo do rato em cada um dos pontos determinados anteriormente,começando num ponto e terminando no mesmo para se fechar o polígono.

40 KIT TEC Aleph 11

Esta é então a nossa região admissível. Podemos modificar facilmentea sua cor, clicando com o botão direito do rato em cima da região e como mesmo botão do rato clicar em propriedades e depois modificar o quese pretende.

Na Zona Algébrica apareceu a1 = 20, b1 = 12, c = 16.16, d = 7.81 epolígono1 = 150, em que o último representa a área do polígono e asrestantes os comprimentos dos segmentos de reta. Se não quisermosvisualizar estas informações, clicamos com o botão direito do rato nobotão que está ao lado dos itens que queremos esconder. Para encontraro ponto ou pontos que maximizam a nossa função objetivo, calculamoso valor da função objetivo nos vértices do polígono: escrevemos naZona de Comandos VA = x(A) + 0.55*y(A), instrução que irá dar ovalor da função objetivo no ponto A.

O valor aparece na Zona Algébrica e, neste caso, é 11. Fazemos omesmo para os outros pontos, bastando substituir o A pelo B, C e D.

Ficaremos então a saber que o ponto onde se maximiza a função é oponto D(6,15), com o valor de 14.25.

41GeoGebra

Poderá ser útil visualizar a função objetivo na Zona Gráfica e encontraro ponto ou pontos onde se maximiza a função objetivo. Para isso,introduzimos a função x + 0.55y = 0, que é equivalente a y = –1.81x eque na Zona Algébrica aparece como y = –1.82x, pois o GeoGebraarredonda os valores.

O ecrã aparecerá assim:

Como o objetivo é maximizar esta função, vamos deslocá-la sobre a re-gião admissível, descobrindo assim qual o ponto que interseta a funçãoe no qual esta tenha a maior ordenada na origem. Caso o objetivo fosseminimizar, faríamos o mesmo, mas encontrando o ponto no qual a fun-ção tivesse a menor ordenada na origem.

Para fazermos isso, selecionamos o comando Mover, no primeiro botão,clicando com o botão esquerdo do rato e, de seguida, selecionamos areta em questão na Zona Gráfica, premindo sempre o botão esquerdoe deslocando a reta ao longo da região admissível.

Então, torna-se muito fácil verificar graficamente que o ponto desejadoé o ponto D.

42 KIT TEC Aleph 11

Funções racionaisQuando se estudam as funções racionais, por vezes torna-se difícil per-ceber de que modo os parâmetros a, b, c e d podem modificar o gráficoda função, quando ela aparece na forma y = a + .

Vamos, então, criar no GeoGebra uma maneira fácil e intuitiva de per-ceber como a alteração destes valores modifica o gráfico da função.Começamos por introduzir os parâmetros a, b, c e d. Para isso, abrimoso programa, vamos à Barra de Ferramentas e, no penúltimo botão, cli-cando na seta, vamos escolher o Seletor. Depois, clicamos numa áreavazia da Zona Algébrica e aí nomeamos o parâmetro e o intervalo devalores pretendidos. Faremos isto para os restantes parâmetros.

Após a introdução dos quatro parâmetros e de os ter colocado numa po-sição de fácil visualização na Zona Algébrica, utilizamos o comandoMover presente no primeiro botão e modificamos os valores dos parâ-metros para a = d = 0 e b = c = 1, pois assim a função racional ficamuito simples, y = . Vamos introduzir na Entrada de Comandos a

função y = a + e aparecerá o seguinte ecrã:

bcx + d

1x

bcx + d

43GeoGebra

Vamos agora fazer variar o valor dos parâmetros. Podemos utilizar a ferramenta Mover, no primeiro botão da Barra deFerramentas, e depois selecionar o ponto no seletor que desejarmos,movê-lo para a esquerda e para a direita e verificar as alterações quevão sendo efetuadas no gráfico.

Também podemos utilizar a opção de animação. Para isso, com o botão direito do rato, clicamos no ponto do seletor quedesejarmos. Depois, clicamos em Animar e automaticamente este valorcomeça a variar e o gráfico a alterar, tal como a expressão da função.

Para parar a animação, temos de abrir a mesma janela e clicar nova-mente em Animar.

Podemos também modificar a velocidade de animação.Para isso, clicamos com o botão direito do rato no seletor que desejar-mos e, no menu Propriedades, clicamos com o botão direito e apare-cerá o seguinte ecrã, que nos permite fazer a alteração da velocidade,entre outras.

Poderá ser útil a visualização da função y = , ou qualquer outra que

desejarmos, para melhor verificarmos as alterações de cada um dos pa-râmetros no gráfico da função.

Para fazermos isso, basta introduzir na Entrada de Comandos y = .

Automaticamente irá aparecer na Zona Algébrica e na Zona Gráfica afunção.

1x

1x

44

Para não confundir os gráficos é útil modificar a cor da última. Para isso, clicamos com o botão direito do rato em cima da função cuja cor queremos modificar, na Zona Algébrica. Depois, no menu Propriedades e modificamos a cor na opção cor.

Agora são facilmente distinguíveis as diferenças entre as duas funções,às quais podemos ir acrescentando outras, caso seja necessário.

Torna-se agora fácil perceber como a variação dos parâmetros modificao gráfico da função.

KIT TEC Aleph 11

45GeoGebra

Taxa média de variação

O GeoGebra também permite a compreensão da taxa média de variaçãode uma função num determinado intervalo.

Vamos abrir o GeoGebra e estudar a função y = x3 + 2x2 – 4x – 4.

Introduzimos na Entrada de Comandos a expressão y = x3 + 2x2 – 4x – 4.Após a introdução da função, da modificação da escala no eixo das or-denadas e de mover a Zona Gráfica, para que a função fique visível, ob-teremos o seguinte:

Vamos agora introduzir os dois pontos A e B, com os quais iremos cal-cular a taxa média de variação no intervalo definido pelas suas abcissas. Então, clicamos no segundo botão da Barra de Ferramentas e criamosdois novos pontos que pertençam ao gráfico da função, clicando nelesnovamente para que quando passarmos o rato por cima do gráfico eleficar realçado.

Ficamos com um ecrã do tipo:

46 KIT TEC Aleph 11

Introduzimos agora a expressão da taxa média de variação, na Entrada

de Comandos, como e imediatamente aparecerá o

valor da TMV do intervalo definido pelas abcissas destes ponto na Zona

Algébrica.

Poderíamos depois mover os pontos e verificar as alterações na TMV.

Podemos agora criar a reta definida pelos dois pontos e verificar que aTMV coincide com o declive desta reta.

Para criarmos a reta, clicamos no terceiro botão da Barra de Ferramen-tas e selecionamos Criar reta definida por dois pontos. De seguida,clicamos nos dois pontos.

Aparecerá a reta na Zona gráfica e a sua equação na Zona Algébrica.Poderá ser útil visualizar a TMV e a equação da reta na Zona Gráfica.Para isso, clicamos no penúltimo botão da Barra de Ferramentas e se-lecionamos Inserir Texto.

TMV =y B – y Ax B – x A( ) ( )( ) ( )

47GeoGebra

Clicamos então na Zona Gráfica onde queremos que apareça o texto.De seguida, aparecerá o ecrã onde introduzimos a expressão “TMV=”+ (y(B) – y(A) / (x(B) – x(A)) (o texto inserido entre as aspas apareceráexatamente com essa forma): o que se segue ao sinal + é a fórmula daTMV, que é calculada sempre que se modifica a posição dos pontos.

Repetimos o processo para introduzir a equação da reta definida pelosdois pontos e, na caixa de texto, escrevermos a, uma vez que foi o nomeatribuído pelo GeoGebra à reta.

48 KIT TEC Aleph 11

Vamos agora calcular a tangente ao gráfico no ponto A.

Para isso, introduzimos na Entrada de Comandos Tangente [A, f] eaparecerá no ecrã a reta e a sua expressão na Zona Algébrica.

Podemos ir aproximando o ponto B do ponto A e verificamos que a retatangente e a reta definida pelos dois pontos irá quase coincidir, logo oseu declive irá ser igual à TMV.

Prosseguindo com este raciocínio, e sabendo que a tangente se calculaatravés do limite da TMV da função no ponto igual à abcissa de A, po-demos afirmar que a derivada de uma função num ponto é igual ao de-clive da reta tangente à função nesse ponto.

Para confirmar isto, pedimos que o GeoGebra calcule a derivada destafunção, e que depois a calcule no ponto A.

Introduzimos na Entrada de Comandos Derivada [f, 1], onde f designaa função e 1 a ordem da derivada.

De seguida, pedimos para calcular o valor da derivada no ponto A e,apresentando também os valores na Zona Gráfica, ficamos com:

Naturalmente que a estratégia para a apreensão e compreensão dos con -ceitos poderiam ser diferentes, mas apresentamos apenas uma propostade construção que deverá ser adaptada às necessidades de cada um.