KKKooonnnssstttrrruuuiiirrraaannnjjjeee iiinnn DDDiiimmmeeennnzzziiiooonnniiirrraaannnjjjeee

VVVaaajjjeee 222000111111///222000111222

111... VVVaaajjjaaa::: OOOppptttiiimmmaaalllnnnaaa kkkooonnnssstttrrruuukkkccciiijjjaaa ooodddrrraaa

KONSTRUIRAJ OPTIMALNO KONSTRUKCIJO KONCERTNEGA ODRA, ki se sestoji iz LESENIH GRED in STEBROV

• Pre�ni razpon koncertnega odra LGreda premoš�amo z razli�nimi stati�nimi

modeli podprtimi samo z vrtljuivimi podporami ... B, E, F, G in H(gl. prilogo). • Pri analizi upoštevamo zgolj koristno obtežbo p=5kPa (po EC) in le za lažjo

izvedbo vaje, lastno težo primarne in sekundarne konstrukcije s tlaki g=2kPa. • Pripadajo�a sodelujo�a širina b predstavlja širino pasu obtežene površine, ki

pripada eni gredi. • Višina stebrov a je po predpostavki tako majhna, da ni potrebna kontrola

uklona in se zato dimenzionira le na podlagi merodajnih kontaktnih tlakov. Vsi stebri so enakega prereza.

• Pri izbiri prerezov lesa se vrednosti zaokrožuje navzgor na parna števila v cm (npr.: 2,4,6,8,10,12, ..., 32, 34, 36cm, ...)

• Na podlagi dobljenih dimenzij izra�unajte volumne porabljenega lesa V za vsak stati�ni model in nato dolo�ite optimalno konstrukcijo z najmanjšo porabo lesa.

LEGENDA POMEMBNEJŠIH OZNAK: LGreda = Lgrede* b = b* ... sodel. širina

a = a* ... višina stebra

bGreda = bLeg*

bSteber = bGreda = bLeg*

n ... število stebrov ene grede

σuDop *

σ⊥⊥⊥⊥Dop *

V ... volumen lesa

Opomba: * vrednosti iz preglednice individualnih podatkov oz. priro�nika KiD

b b

b

b

LGreda

a

Primer: Podpiranje grede s šestimi stebri (n=6) po modelu H (gl. Priro�nik KiD, Dodatek B):

Stati�ni model grede:

kontaktna površina Akontaktno

GGRREEDDAA IINN SSTTEEBBEERR

SSTTAATTII��NNAA AANNAALLIIZZAA zzaa ssttaattii��nnii mmooddeell HH

111... DDDooolllooo���iiittteeevvv rrraaazzzpppooonnnooovvv kkkooonnnssstttrrruuukkkccciiijjjeee ooozzz... vvvrrreeedddnnnooossstttiii KKK iiinnn LLL:::

cmLKL

cmK

L

cmL

K

KK

KLKKLLLKL

KL

KL

Grede

Grede

Grede

96020946.207318581.169232:KONTROLA

20946.20723

18581.169

23

32

960

23

32

)23

32(23

3232

2

3

2

3

rir._KiD)atek_B_/_PH_(gl._Dod_za_MODEL__ZASNOVEPRIMER

=⋅+⋅=+=

==

=+

=+

=

+⋅=+=+=++++=

=�=

222... DDDooolllooo���iiittteeevvv ooobbbrrreeemmmeeennniiittteeevvv iiinnn iiizzzrrraaa���uuunnn nnnaaajjjvvveee���jjjiiihhh nnnoootttrrraaannnjjjiiihhh ssstttaaatttiii���nnniiihhh kkkooollliii���iiinnn NNN iiinnn MMM pppoootttrrreeebbbnnniiihhh zzzaaa dddiiimmmeeennnzzziiiooonnniiirrraaannnjjjeee

Lesena greda je zasnovana kot nosilec, ki ima absolutno gledano enako velike pozitivne M(+) in negativne M(-) upogibne momente ali pa enako velike negativne upogibne momente. Takšna zasnova konstrukcije, kjer velja pravilo M(+) = M(-) ali pravilo ve� enakovrednih M(-), �e je le teh ve�, omogo�a polno izkoriš�enost prerezov na ve�ih mestih nosilcav polju in nad podporo. Tako zasnovani kontinuirni nosilci se izkažejo kot maksimalno ekonomi�ni. Naša konstrukcija se sestoji tudi iz podpor oz. stebrov. Zato je pri dolo�itvi ekonomi�nosti potrebno najti pravo število stebrov (pravi stati�ni model), saj tudi stebri dolo�ajo kon�no porabo materiala in zato njih število n ne sme biti preveliko. Volumen porabljenega materiala dobimo na podlagi dolžin elementov konstrukcije Li in njihovih pre�nih prerezov bi in hi (obi�ajen zapis b/h=širina/višina).

aaa... DDDooolllooo���iiittteeevvv ooobbbrrreeemmmeeennniiitttvvveee qqq,,, uuupppooogggiiibbbnnneeegggaaa mmmooommmeeennntttaaa MMM iiinnn dddiiimmmeeennnzzziiiooonnniiirrraaannnjjjeee pppoootttrrreeebbbnnneeegggaaa ppprrreeerrreeezzzaaa gggrrreeedddeee bbb///hhh

Za enostavno dimenzioniraje po starih predpisih po metodi dopustnih napetosti krajše MDN lahko lastno težo in koristno obtežbo združimo brez varnostnih faktorjev in sicer:

kNcmkNmM

qLqLqLMM

mcmL

mkNmkNmkPamq bq

qb

kPakPa kPa qg pq

qobtežbopovršinskaOsnovna

MW

WM uDop

6325.1164 646325.11

120720946.255.32

12832

866666.0

0720946.220946.207 ...enot Pretvorba

/55.32/765.4765.4

:znaša nosilec en vmesni na dolžini po merjena obtežba apripadajo� ,razmakih medosnih Pri

725

:obtežb vseh mseštevanje s dobimo ___/

/rir._KiD)atek_B_/_PH_(gl._Dod_za_MODEL__ZASNOVEPRIMER

2222)(

20

00

0

==

⋅==⋅−=−==

==

=⋅=⋅=⋅=

=+=�+=�

=

==

−

σσσ

Gredo dimenzioniramo po MDN s kontrolo upogibnih napetosti:

σ = M / Wnetto ≤ σuDop = 1.15kN/cm2 ⇐ Les I. ktg ... C30 Iz ena�be napetosti lahko izra�unamo potrebni odpornostni moment in

�e poznamo še ena�bo odpornostnega momenta za prerez potem lahko združimo ena�bi in izpostavimo neznano kli�ino.

Greda

PotrG

PotrG

uDopPotr

h

h

h

bhW

MMM

W

s zapišemo join cm vštevilom parnim s zaokroženanavzgor je ki

prereza, višinoizberemo podlagi na lahko no kon�in

grede prereza višinopotrebno dobimoin imoizena�

prerez pravokotni zamoment iodpornostnin ... 6

eobremenitv zaradimoment iodpornostn potrebni ...

2

=

==σσ

18cm

:števila parnega gazaokroženenavzgor principu po izberemo ...

prereza višinapotrebna cm...430352.17/15.120

6325.11646

62

=

≥

=⋅

⋅==⋅

⋅=

Greda

PotrGGreda

PotrGuDop

h

hh

cmkNcmkNcm

hb

Mh

σ

bbb... DDDooolllooo���iiittteeevvv ooobbbrrreeemmmeeennniiitttvvveee NNN vvv sssttteeebbbrrruuu iiinnn dddiiimmmeeennnzzziiiooonnniiirrraaannnjjjeee pppoootttrrreeebbbnnneeegggaaa ppprrreeerrreeezzzaaa sssttteeebbbrrraaa bbb///hhh,,, kkkiii nnneee pppoooššškkkoooddduuujjjeee gggrrreeedddeee

Najve�jo silo Nmax v stebrih za gredo, podprto po stat. modelu H (gl. Dodatek B, KiD) izra�unamo iz maximuma sil vseh stebrov in sicer na na naslednji na�in: Po dimenzioniranju grede so znani upogibni momenti, zato lahko na podlagi le-teh izra�unamo sile v podporah tudi v primeru, ko gre za stati�no nedolo�ene kontinuirne nosilce. Tako iz ravnotežja momentov grede (znanje statike 1. letnika) najprej izra�unamo 1. reakcijo v robni podpori in dobimo silo za 1. steber N1. Podobno, zaporedno, dolo�amo sile v naslenjih stebrih (npr. N2, N3, ...), pri �emer v ravnotežnih ena�bah upoštevamo že izra�unane sile v stebrih. Ob pregledu vseh vrednosti osnih sil v stebrih poiš�emo najve�jo in pri�nemo z dimenzioniranjem na podlagi maksimuma. Dimenzioniranje se izvede s kontrolo kontaktnih tlakov radialno obremenjenega lesa. Rezultat kontrole napetosti je višina prereza stebra hPotrS.

Ra�unski primer za stati�ni model H:

kNN

NNLqN

NNNKLLLKq

Y

N

N

LLKNLKqM

N

LNLKNLKqM

M

NK

KqMN

KNKqM

M

mkNq

mL

mK

kNmM

Podatki

Grede

446678.673

)142079.6820.651243(2/6.955.322/))21(2(3322212)(0

0

:silih vertikalnravnotežja podlagi na dobimo lakostebru tretjem vsilo Osno

kN142079.6820720946.2

)0720946.26918581.1(20.6512432/)0720946.26918581.1(55.32646325.112

)(12/)(2

2)(12/)(0

0

:stebru drugem vsila Osna

N20.651243k16918581.1

6918581.155.32646325.112/1

12/0

0

:stebru prvem vsila Osna

/55.320720946.26918581.1

646325.11:

2

2

2

22

2

=+−⋅=+⋅−⋅=

−−−++++⋅=

=

=

+⋅−+⋅+−=

+⋅−+⋅+=

⋅−+⋅−+⋅+=

=

=

⋅+−=⋅+=

⋅−⋅+=

=

===

−=

�

�

�

Maksimalna sila v stebrih je torej N = Nmax = N2 = 68.142079kN.

Les je poseben material, ki je bo�no na vlakna zelo ob�utljiv, zato so dopustne napetosti σ⊥Dop na tako obremenjene površine najmanjše. Steber dimenzioniramo po MDN s kontrolo kontaktnih napetosti:

σ = N / Akontaktno ≤ σ⊥⊥⊥⊥Dop= 0.2kN/cm2 ⇐ Les I. ktg ... C30

b*h= Akontaktno

h = hPotrS = N / (b⋅σ⊥⊥⊥⊥Dop ) = 68.142079/20/0.2 = 17.03552cm

Izberemo prerez hSteber = 18cm

333... DDDooolllooo���iiittteeevvv vvvooollluuummmnnnaaa llleeesssaaa VVV pppoootttrrreeebbbnnneeegggaaa zzzaaa iiizzzdddeeelllaaavvvooo eeennneee

pppooodddpppooorrrnnneee ooosssiii (((GGGRRREEEDDDAAA +++ nnn SSSTTTEEEBBBRRROOOVVV)))

Za natan�en izra�un volumna lesa V glede na uvodoma podano skico, je potrebno teoreti�no razdaljo LGreda podaljšati za eno višino prereza stebra sicer pa gre zgolj za seštevanje volumnov prizmati�nih teles v enotah m3.

V = V(H) = (LGreda + hSteber)*b*hGreda+n*LSteber*b*hSteber V = V(H) = (9.60 + 0.18)*0.20*0.18+6*1.50*0.20*0.18 = 0.67608 m3 Opomba: Pri dolžini gred LGreda pomeni stati�no razdaljo med robnima to�kama nosilca – grede. V koliko se na krajiših gred pojavijo stebri je pri volumnu gred potrebno upoštevati, da grede pokrivajo stebre.

NALOGO ZAKLJU�IMO TAKO, DA NA ZGORAJ OPISAN NA�IN (kot npr. izra�un za V(H)) PREVERIMO še vse preostale STATI�NE MODELE (B, E, F in G) in tako dolo�imo vse volumne (V(B), V(E), V(F), V(G) in V(H)). Model z najmanjšim volumnom porabljenega lesa je OPTIMUM oz. rešitev te naloge.

DODATEK B : Preglednice B. 2 do B. 5 B . 2 K O NS T R UI RAN J E I N D I ME N Z I O NI R AN J E – DO D AT E K B

q

L

A B

QA = qL MA = -qL²/2 wB = qL4/(8EI)

q

L

A B

QA = -QB=qL/2 M(L/2) = qL²/8 w(L/2) = 5qL4/(384EI)

q

A B

L

QA = 5qL/8 QB = -3qL/8

MA = -qL²/8 M(L/2) = qL²/16

w(L/2) = qL4/(192EI) wmax = qL4/(184.6EI)

q

A BL

QA = -QB = qL/2

MA = MB= -qL²/12 M(L/2) = qL²/24

w(L/2) = qL4/(384EI)

M(-) -13.3% wPRL

59.4% wPRL M(+)

Ekstremi: M(+) = 0.6863 q L2 / 8 M(-) = - 0.6863 q L2 / 8 w(+) = 0.594 ⋅⋅⋅⋅ 5 q L4 / (384EI) w(-) = - 0.133 ⋅⋅⋅⋅ 5 q L4 / (384EI)

q

L K

L/K = 1/(√2-1) = 1 / 0.4142

��

��

��

��

��

B . 3 K O NS T R UI RAN J E I N D I ME N Z I O NI R AN J E – DO D AT E K B

M(-) M(-) -13.3% wPRL

40% wPRL M(+)

Ekstremi: M(+) = 0.5394 q L2 / 8 M(-) = - 0.5394 q L2 / 8 w(+) = 0.400 ⋅⋅⋅⋅ 5 q L4 / (384EI) w(-) = - 0.133 ⋅⋅⋅⋅ 5 q L4 / (384EI)

M(-) M(-) M(-)

20 % wPRL 26.64% wPRL

M(+) M(+)

Ekstremi: M(+) = 0.3333 q L2 / 8 M(-) = - 0.6666 q L2 / 8 wL = 0.200 ⋅⋅⋅⋅ 5 q L4 / (384EI) wK = 0.266 ⋅⋅⋅⋅ 5 q L4 / (384EI)

q

K

L/K = 1/(1/√6) = 1 / 0.4082

L K L

��

q

L K

L/K = 1/(1/√8) = 1 / 0.3535

K

��

B . 4 K O NS T R UI RAN J E I N D I ME N Z I O NI R AN J E – DO D AT E K B

M(-) M(-) M(-) M(-)

wK wL wL wL wK

M(+) M(+) M(+) M(+) M(+)

Ekstremi: M(+) = 0.3333 q L2 / 8 M(-) = - 0.6666 q L2 / 8 wL = 0.200 ⋅⋅⋅⋅ 5 q L4 / (384EI) wK = 0.185 ⋅⋅⋅⋅ 5 q L4 / (384EI)

Pregled potrebnih odpornostnih in vztrajnostnih momentov za nosilce enakih dolžin

�

� ��� WpotrebNorm IpotrebNorm M/(qL^2) w/(q/EI) L K

�

�� 100.0 100.0 0.5 0.1250000 1 0

�� 25.00 10.42 0.125 0.0130208 1 0

�� 25.00 4.334 0.125 0.0054171 1 0

�� 16.67 2.083 0.083333 0.0026042 1 0

� 8.579 1.547 0.042894 0.0019336 0.707107 0.292893

� 4.628 0.491 0.023139 0.0006134 0.585823 0.207088

�� 2.101 0.044 0.010505 0.0000551 0.355063 0.144937

�� 0.776 0.005 0.003882 0.0000057 0.215843 0.176236

q

L/K = √3 / √2 = 1 / 0.8165

K K L L L

�

B . 5 K O NS T R UI RAN J E I N D I ME N Z I O NI R AN J E – DO D AT E K B

0.0

10.0

20.0

30.0

40.0

50.0

60.0

70.0

80.0

90.0

100.0

Normirane vrednosti v %

� � � � � �

Tip stati�nega modela

Pregled potrebnih karakteristik prereza nosilcaglede na tip stati�nega modela

WpotrebNorm IpotrebNorm