Embed Size (px)
Citation preview
Klassisen mekaniikan erikoiskurssiVille K Kivioja 15. heinäkuuta1 2013
Muistiinpanoja Markku Lehdon kevään ja kesän 2013 aikana pitämistäluennoista. Muistiinpanot eivät noudata orjallisesti taululle kirjoitettua,
seuraten sitä välillä tarkemmin ja välillä enemmän omin sanoin.Sisältää harjoitustehtäviä, joista osa on keskeneräisiä.
SisältöI Klassinen mekaniikka ja tensorit 3
1 Ei-karteesiset koordinaatit . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Hiukkasmekaniikkaa ei-karteesisissa koordinaateissa . . . . . . . . . . . . 5
2.1 Kinematiikkaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52.2 Dynamiikka . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62.3 Yleinen dynaaminen järjestelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
3 Hiukkasjärjestelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8
II Tensorit virtausmekaniikassa 114 Lagrangen menetelmä . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 Eulerin menetelmä - virtauskinematiikkaa . . . . . . . . . . . . . . . . . 116 Eulerin menetelmä - virtausdynamiikkaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
III Vaikutusperiaatteet virtausmekaniikassa 177 Massa ja entropia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 178 Lagrangen menetelmä ja vaikutusperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 Eulerin menetelmä ja vaikutusperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
IV Lagrangen ja Hamiltonin yhtälöt 2710 Lagrangen yhtälö yksinkertaiselle dynaamiselle järjestelmälle . . . . . . 2711 Hamiltonin yhtälöt eli kanoniset yhtälöt . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
V Vaikutus ja vaikutusperiaate 3312 Vaikutusintegraali Hamiltonin kanonisessa formalismissa . . . . . . . . . 3313 Vaikutuksen yleinen variaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3314 Hamiltonin vaikutusperiaate . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
VI Hamiltonin–Jacobin teoria 3715 Hamiltonin karakteristinen funktio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3716 Hamiltonin–Jacobin yhtälö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3817 Jacobin lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3918 Hamiltonin–Jacobin yhtälöt ja Keplerin ongelma . . . . . . . . . . . . . 42* Kvanttidynamiikkaa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48
1korjattu kirjoitusvirheitä 11. marraskuuta 2014.
1
VII Kanoniset muunnokset 5219 Faasiavaruus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5320 Kanoniset muunnokset. Poissonin sulkeet ja bilineaari-invariantti . . . . 54
20.1 Poissonin sulkeet . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5520.2 Bilineaari-invariantti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
21 Kanonisen muuunnoksen generoiva funktio . . . . . . . . . . . . . . . . 6022 Generoiva funktio ja Hamiltonin–Jacobin yhtälö . . . . . . . . . . . . . 6223 Kanonisen muunnoksen generointi dynaamisella juoksevalla aineella . . 6424 Infinitesimaalinen kanoninen muunnos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
24.1 Dynaaminen muuttuja pasiivisessa ja aktiivisessa muunnoksessa 6724.2 Symmetriat ja säilymislait . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6824.3 Infinitesimaalisesta kanonisesta muunnoksesta äärelliseen . . . . 69
VIII Klassista statistista mekaniikkaa 7425 Dynaaminen pölypilvi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7426 Liouvillen lause . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
IX Elastinen jatkumo 8227 Elastisuus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8328 Pienet deformaatiot . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8329 Homogeeninen deformaatio . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8830 Jännitysdyadi ja jännistystensori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9031 Hooken laki . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
31.1 Dyadi ja tetradi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9731.2 Isotrooppinen elastinen jatkumo . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
32 Elastisen jatkumon liikeyhtälö ja elastiset aallot . . . . . . . . . . . . . . 100
2
I Klassinen mekaniikka ja tensorit
Tiivistelmä Klassista mekaniikkaa voidaan käsitellä ei-karteesisten koordinaattienavulla euklidisessa avaruudessa, jolloin mekaniikan suureet käyttäytyvät tensoreidentavoin, ja yhtälöt ovat tensoriyhtälöitä. Matemaattisena koneistona toimii tällöin Rie-mannin metrinen differentiaaligeometria. Ottamalla käyttöön käyrän yksikkötangent-tivektori ja yksikköpäänormaalivektori, sekä kaarevuus ja kierevyys, voidaan kiihty-vyysvektori Aa lausua muodossa (5). Määrittelemällä voimavektoriksi Fa = mAa, sekäliike-energiaksi 1
2mV2, seuraa Lagrangen yhtälö (10).
Esimerkkinä ei-karteesisesta formalismista käsitellään hiukkasjärjestelmää konfiguraa-tioavaruudessa (nyt kinemaattisen metrisen tensorin avulla, erotukseksi osasta IV), jatodetaan yleistetyn voiman (14) antavan hiukkasjärjestelmän liikeyhtälöksi (18). Toi-saalta tämä on sama kuin Lagrangen yhtälö (19) tai konservatiiviselle järjestelmälle(20).
1 Ei-karteesiset koordinaatit
Klassisen mekaniikan perustana toimivat
i) 3-ulotteinen laakea euklidinen avaruus
ii) tavallisesti karteesiset2 koordinaatit; merkitään ya, a ∈ N3.
iii) ortogonaaliset koordinaattimuunnokset
Edellä käytettiin merkintää, joka esiintyy läpi tämän prujun, Nn.= 1, 2, . . . , n.
Klassinen mekaniikka voidaan muotoilla myös kaikkien mahdollisten ei-karteesisten3
koordinaattien, merkitään xa, a ∈ N3 avulla. Mekaniikan suureet käyttäytyvät silloinkuten tensorit ja mekaniikan yhtälöt kuten tensoriyhtälöt.
Lähtökohdaksi karteesiset ya-koordinaatit: näissä koordinaateissa vektori Ya = Y a ovat”aidon” nuolivektorin ~Y komponentit koordinaattiakselien suunnissa.
Tarkastellaan koordinaattimuunnoksen ya → xa, (a ∈ N3) käyttöä. Koordinaateissa xaon kovektori4
Xa =∂yb∂xa
Yb ja kontravektori Xa =∂xa
∂ybYb
Koordinaateissa ya on 2. kertaluvun karteesinen tensori
Yab = Y ab = Y ab = Y ba
2suoraviivaiset ja suorakulmaiset3käyräviivaisten, vinokulmaisten4Muista: vektorissa Y voi indeksi olla ylhäällä tai alhaalla kuten edellä huomautettiin.
3
Koordinaateissa xa on 2. kertaluvun kotensori
Xab =∂yc∂xa
∂yd∂xb
Ycd ja kontratensori Xab =∂xa
∂yc
∂xb
∂ydYcd
sekä sekatensorit
X ba =
∂yc∂xa
∂xb
∂ydYcd ja Xa
b =∂xa
∂yc
∂yd∂xb
Ycd
Ei-karteesisten xa-koordinaattien tapauksessa symmetrinen metrinen kotensori on
gab = gab(xc) missä a, b, c ∈ N3
ja laakean euklidisen avaruuden pisteiden välisen differentiaalisen eron neliö on
ds2 = gabdxadxb (1)
Riemannin metrisen differentiaaligeometrian formalismi kaikessa laajuudessaan on käy-tettävissä!
Kun s valitaan käyräparametriksi, xa = xa(s), niin jakamalla (1) ds2:lla saadaan
gabdxa
ds
dxb
ds= 1 toisinsanoen gabµ
aµb = 1 (2)
missä µa = µa(s) = dxa
ds on käyrän xa = xa(s) yksikkötangenttivektori5. Absderivoi-malla6 (2) saadaan
DgabDs
µaµb + gabDµa
Dsµb︸ ︷︷ ︸
a↔b
+gabµaDµ
b
Ds= 0
∗=⇒ gba
Dµb
Dsµa + gabµ
aDµb
Ds= 0
∗∗=⇒ 2gabµ
aDµb
Ds= 0 (3)
missä ∗ seurasi siitä, että metrinen tensori on absoluuttisesti vakio, ja ∗∗ siitä, että seon symmetrinen. Tulos (3) tarkoittaa, että Dµa
Ds ja µa ovat ortogonaaliset.
Kun νa on vektoria Dµa
Ds vastaava yksikkövektori, niin
Dµa
Ds= kνa missä gabν
aνb = 1 (4)
Vektoria νa = νa(s) sanotaan käyrän xa = xa(s) yksikköpäänormaalivektoriksi. Funktiok = k(s) on käyrän xa = xa(s) ensimmäinen kaarevuus eli mutkaisuus kuvaten käyränpoikkeamista suorasta viivasta7.
5tai yksikkötangenttikontravektori.6Absoluuttinen derivaatta, joka toteuttaa Leibnizin säännön, ks. Markun kurssi differentiaaligeo-
metria.7ts. poikkeamista tangentista käyrän pisteessä. Niin kutsuttu toinen kaarevuus eli kierteisyys eli
torsio kuvaa käyrän poikkeamista µa:n ja νa:n määräämästä tasosta.
4
2 Hiukkasmekaniikkaa ei-karteesisissa koordinaateissa
2.1 Kinematiikkaa
Nopeus: Kontravektori V a = dxa
dt , missä t aikaparametri.Kiihtyvyys: Kontravektori Aa = DV a
Dt , ts. kontravektorin V a absderivaatta käyrää xa =xa(t) pitkin8.
Kun xa → ya, niin
DV a
Dt→ dV a
dt=
d~v
dt
joka on ”tavallinen kiihtyvyys”.
Koska
V 2 ≡ gabV aV b ≡ gabdxa
dt
dxb
dt≡(
ds
dt
)2
ja ottamalla V a:n itseisarvoksi invariantti9 V = dsdt , saadaan
10
Aa =DV a
Dt=
D
Dt
(dxa
dt
)=
D
Dt
(dxa
ds
ds
dt
)=
D
Dt(µaV ) =
D
Ds(µaV )
ds
dt
=DµaDs︸ ︷︷ ︸
=kνa
Vds
dt︸︷︷︸≡V
+µaDV
Ds︸︷︷︸= dV
ds
ds
dt︸︷︷︸≡V
= kνaV 2 + µadV
dsV
Tämä on Aa:n hajotelma lineaariseen kiihtyvyyteen (jälkimmäinen termi) ja keskeis-kiihtyvyyteen, ts. tangentti- ja normaalikomponentteihin. Toinen esitysmuoto saadaanvielä ketjusäännöstä jälkimmäiseen termiin
Aa = kνaV 2 + µadV
dt(5)
Rajatapaus on tuttu tulos
Aaxa→ya−−−−→ d|~v|
dtuT +
|~v|2
RuN ≡ ~a
Huomaa myös, että
V a =dxa
dt=
dxa
ds
ds
dt≡ µaV
8Tavallinen derivaatta dV a
dtei ole tensori.
9”vauhti”10viimeisessä kohdassa käytetään tietoa, että invariantin abs-derivaatta yhtyy normaaliin derivaat-
taan ja esitystä (4).
5
2.2 Dynamiikka
Massa: Invariantti m.Voima: Kontravektori F a tai11 kovektori Fa. Näiden yhteys on luonnollisesti Fa =gabF
b.
Liikeyhtälö mAa = F a tai mAa = Fa, missä Aa = gabAb: kontavariantti muoto antaa12
F a = mDV a
Dt= m
(dV a
dt+
a
b c
V b
dxc
dt
)= m
(d2xa
dt2+
a
b c
dxb
dt
dxc
dt
)(6)
jonka13 rajatapaus xa → ya on
~F = md2~y
dt2(7)
Yhtälö (6) voidaan esittää myös kovariantissa muodossaan
Fa = mgabDV b
Dt= m
(gab
d2xb
dt2+ gab
b
d c
dxd
dt
dxc
dt
)= m
(gab
d2xb
dt2+ [d c, a]
dxd
dt
dxc
dt
)Tällekin pätee raja-tapaus (7).
Liike-energia
T =1
2mV 2 =
1
2mgbc(x
a)V bV c
=1
2mgbc(x
a)dxb
dt
dxc
dt=
1
2mgbc(x
a)xbxc = T (xa, xa)
on14 invariantti. Liike-energian osittaisderivaatat ovat15
∂T
∂xa=
1
2m∂gbc∂xa
xbxc.=
1
2mgbc,ax
bxc
11Voidaan valita kumpi tahansa: ilmentävät samaa geometrista olioita.12Kaarisulkusymboli on 2. lajin Christoffelin symboli, konnektio Riemannin differentiaaligeomet-
riassa.13Huomautus vielä edelliseen: Sama yhtälö pätee kaarevassa 3-ulotteisessa avaruudessa. Siis laakea
euklidinen avaruus muotoiltuna ei-karteesisissa koordinaateissa antaan saman yhtälön kuin kaarevaRiemannin avaruus. On kuitenkin eri asia!
14Huomaa: nimenomaan liike-energiassa esiintyy metrinen tensori: se liittyy siis kinematiikkaan.15Huomaa: edelleä tulkitsimme liike-energian funktioksi T = T (xa, xa). Tällöin muuttujat (siis kaik-
ki muuttujat: x1, x2, . . . , xn, x1, x2, . . . , xn) ovat tietenkin ”riippumattomat”, ne ovat yksinkertaisestieri muuttujat. Tätä havaintoa käytetään tulevaisuudessa.
6
ja16
∂T
∂xa=
∂
∂xa
(1
2mgbc(x
a)xbxc)
=1
2mgbc(x
a)∂
∂xa(xbxc
)=
1
2mgbc(x
a)
(∂xb
∂xaxc + xb
∂xc
∂xa
)=
1
2mgbc(x
a)(δbax
c + xbδca)
=1
2m(gac(x
a)xc + gba(xa)xb)
= mgabxb (8)
Näiden avulla todetaan, että pätee
d
dt
(∂T
∂xa
)− ∂T
∂xa=
d
dt(mgabx
b)− 1
2mgbc,ax
bxc
= mdgabdt
xb +mgabxb − 1
2mgbc,ax
bxc
= m(gab,cxc)xb +mgabx
b − 1
2mgbc,ax
bxc
=1
2mgab,cx
cxb +1
2mgac,bx
bxc +mgabxb − 1
2mgbc,ax
bxc
= mgabxb +
1
2m (gab,c + gac,b − gbc,a) xcxb
≡ mgabxb +m[b c, a]xcxb(6)= mAa = Fa (9)
Tuloksena17 on Lagrangen yhtälö
d
dt
(∂T
∂xa
)− ∂T
∂xa= Fa (10)
Käsitellään erikoistapauksena konservatiivisessa tapauksessa Fa = − ∂U∂xa , missä U =
U(xa) on potentiaalienergia. Tällöin kun määritellään Lagrangen funktio L .= T − U ,
huomataan sen toteuttavan yhtälön
d
dt
(∂L
∂xa
)− ∂L
∂xa=
d
dt
(∂T
∂xa
)−(∂T
∂xa− ∂U
∂xa
)= Fa +
∂U
∂xa= 0 (11)
jota myös18 kutsutaan Lagrangen yhtälöksi.16sivuhuomautuksena edelliseen: Karteesisissa koordinaateissa gbc,a = 0, metrinen tensori ei riipu
paikasta.17Differentiaaligeometrian prujusta, luku 11.6 sivulla 69: Edellä käytetty tieto gab,c+gac,b−gbc,a =
[b c, a] voidaan ottaa määritelmäksi. Toisen lajin Christoffelin symboli määritellään tämän avulla.Kovan laskemisen jälkeen havaitaan, että näillä määritelmillä tulee geodeettinen yhtälö muotoon
d2xa
ds2+
a
b c
dxb
ds
dxc
ds
mikä antaa aiheen määritellä absderivaatan: tangenttivektorin absderivaatta häviää geodeesilla.18yleisemminkin kun edellistä.
7
2.3 Yleinen dynaaminen järjestelmä
Järjestelmän konfiguraatiota kuvataan yleistettyjen koordinaattien xa, a ∈ Nn, avulla:vapausasteiden lukumäärä on siis n. Kukin konfiguraatio on piste n-ulotteisessa konfi-guraatioavaruudessa (Riemannin avaruudessa) — pisteen koordinaatit xa ovat (yleen-sä) ei-karteesiset. Järjestelmän historiaa esittää polku xa = xa(t) tai xa = xa(s) konfi-guraatioavaruudessa.
Edellä olevan perusteella on yleisen dynaamisen järjestelmän kinematiikka samankal-taista kuin hiukkasen kinematiikka (luku 2.1); olennaisesti ainoa muutos on a ∈ N3 →a ∈ Nn. Seuraavaksi esimerkki yleisestä dynaamisesta järjestelmästä.
3 Hiukkasjärjestelmä
Olkoon N hiukkasta, massat m1,m2, . . . ,mN . Näitä hiukkasia kuvaa 3N karteesistakoordinaattia yi.
Määritetään konfiguraatioavaruuden19 metrinen tensori kinemaattisesti liike-energianlauseketta hyödyntäen. Liike-energia on
T =
3N∑i=1
1
2miy
2i
missä on käytetty sopimusta, että m1 = m2 = m3 on ensimmäisen hiukkasen massa,m4 = m5 = m6 toisen jne. ja y2
i on ensimmäisen hiukkasen nopeuden sisätulo itsensäkanssa.
Oletetaan20 yi = yi(xa), missä xa, a ∈ N3N ovat yleistetyt koordinaatit, niin
T =1
2
3N∑i=1
mi∂yi∂xa
∂yi∂xb
xaxb.=
1
2gabx
axb (12)
missä määriteltiin kinemaattinen metrinen tensori
gab(xa) ≡
3N∑i=1
mi∂yi∂xa
∂yi∂xb
(13)
Hiukkasten liikeyhtälöt ovat miyi = Yi, missä oikealla puolen on voiman komponentitja vasemmalla ei ole summausta, ja käytetään edeltävää sopimusta massoille (i ∈ N3N ).Liikeyhtälöjä hyödyntäen saadaan
3N∑i=1
miyi∂yi∂xa
=
3N∑i=1
Yi∂yi∂xa
.= Xa (14)
19joka on siis Riemannin avaruus.20erotuksena siis sille, että olisi yi = yi(x
a, t).
8
missä Xa:ta kutsutaan yleistetyksi voimaksi. Seuraavaksi osoitetaan että
3N∑i=1
miyi∂yi∂xa
= Aa (15)
Tähän tarvitaan aputulos, että ensinnäkin
yi =d
dt(yi) =
d
dt
(∂yi∂xa
xa)
=d
dt
(∂yi∂xa
)xa +
∂yi∂xa
xa
=∂
∂xb
(∂yi∂xa
)dxb
dtxa +
∂yi∂xa
xa =∂2yi
∂xb∂xaxbxa +
∂yi∂xa
xa (16)
ja toisekseen
[bc, a]xbxc ≡1
2(gab,c + gac,b − gbc,a) xbxc
≡1
2
3N∑i=1
mi
(∂
∂xc
(∂yi∂xa
∂yi∂xb
)+
∂
∂xb
(∂yi∂xa
∂yi∂xc
)− ∂
∂xa
(∂yi∂xb
∂yi∂xc
))xbxc
=1
2
3N∑i=1
mi
(HHHH
HH
∂2yi∂xc∂xa
∂yi∂xb
+∂yi∂xa
∂2yi∂xc∂xb
+
∂2yi∂xb∂xa
∂yi∂xc
+∂yi∂xa
∂2yi∂xb∂xc
−∂2yi
∂xa∂xb∂yi∂xc−HH
HHHH
∂yi∂xb
∂2yi∂xa∂xc
)xbxc
=
3N∑i=1
mi
(∂yi∂xa
∂2yi∂xc∂xb
)xbxc (17)
Näiden kahden avulla todetaan, että
3N∑i=1
mi∂yi∂xa
yi(16)=
3N∑i=1
mi∂yi∂xa
(∂2yi∂xb∂xc
xbxc +∂yi∂xb
xb)
=3N∑i=1
(mi
∂yi∂xa
∂2yi∂xb∂xc
xbxc +mi∂yi∂xa
∂yi∂xb
xb)
(13)= gab(x
a)xb +
3N∑i=1
(mi
∂yi∂xa
∂2yi∂xb∂xc
)xbxc
(17)= gab(x
a)xb + [bc, a]xbxc
Saadaan siis todella (15)
3N∑i=1
miyi∂yi∂xa
= gabxb + [dc, a]xdxc = gab
(xb +
b
d c
xdxc
)(6)= gabA
b = Aa
9
Johtopäätös: hiukkasjärjestelmän liikeyhtälö on kaikessa yksinkertaisuudessaan
Aa = Xa (18)
Lisähuomioita: Käyttäen tulosta (5) ja (18) saadaan
Xa = VdV
dsµa + kV 2νa
josta voidaan ortogonaalisuusrelaatioilla (2), (3) ja (4) päätellä, ettäXaµ
a = V dVds µaµ
a + kV 2νaµa = V dV
ds
Xaνa = V dV
ds µaνa + kV 2νaν
a = kV 2
Kun Xa = 0, niin
i) pätee V dVds = 0, ja jos oletaan vauhti V 6= 0 päädytään tulokseen, että V = V (s)
on vakiofunktio.
ii) pätee kV 2 = 0, eli k = k(s) ≡ 0. Siten Dµa
Ds = kνa = 0, merkiten sitä, ettähiukkasjärjestelmän historiaa esittävä polku xa = xa(s) konfiguraatioavaruudessaon geodeesi.
Vielä huomataan, että koska metrisen tensorin määritelmä (12) on massakerrointa vaillesama, voidaan johtaa tulos (8) samalla tavalla tässäkin, eli on
∂T
∂xa= gabx
b
ja siten saadaan, hyödyntämällä jälleen vastaavia välivaiheita tuloksen (9) johdossa
d
dt
(∂T
∂xa
)− ∂T
∂xa=
d
dt(gabx
b)− 1
2
∂gcb∂xa
xcxb(9)= Aa = Xa (19)
joka on hiukkasjärjestelmän Lagrangen yhtälö.
Jos on U = U(xa), jolle
Xa = − ∂U∂xa
ja L = T − U
niin on jälleen voimassa, samasta syystä kuin (11), Lagrangen yhtälö
d
dt
(∂L
∂xa
)− ∂L
∂xa= 0 (20)
Liikeyhtälöiden tensoriesitys, käytettäessä ei-karteesisia koordinaatteja laakeassa ava-ruudessa mahdollistaa hiukkasen (hiukkasjärjestelmän) liikkeen dynaamisen teorianmuotoilun kaksi-, kolme- tai korkeampiulotteisessa kaarevassa avaruudessa21.
21Konfiguraatioavaruudessa jako kaarevaan tai laakeaan on epäoleellinen, kunhan avaruus on Rie-mannin avaruus.
10
II Tensorit virtausmekaniikassa
Tiivistelmä Lagrangen menetelmässä virtaavan hiukkasjatkumon, juoksevan aineen,tarkastelun lähtökohtana on, että relaatiot (kolme kappaletta) ya = ya(~α, t) kuvaavathiukkasjatkumoa siten, että ~α identifioi 3-ulotteisen avaruuden hiukkasen, ja ∂ya
∂t kertoosen aikakehityksestä.
Eulerin menetelmässä lähtökohtana on avaruuden täyttävä nopeuskenttä va = va(~y(t), t)ja tiheyskenttä ρ = ρ(~y(t), t), jolloin paikassa P hetkellä t ”olevan hiukkasen” (jatku-mon alkion) nopeus lasketaan kokonaisderivaatasta (21). Vastaavasti differentiaaligeo-metrian kautta saadaan määriteltyä kiihtyvyys. Muotoillaan fysikaalinen fakta massansäilymisestä niin, että ρdV pysyy vakiona juoksevan aineen virratessa. Tämä saadaanlausuttua yhtälömuodossa (26).
Liikemääräperiaatteella, eli Newtonin II lailla, saadaan juoksevalle aineelle yleinen lii-keyhtälö (29). Tästä johdetaan erikoistapauksena pyörteettömälle juoksevalle aineelle(30). Olettaen lisäksi barotrooppisuus, saadaan (32). Jos voimakenttä on vielä konser-vatiivinen, on olemassa Bernoullin integraali (33). Alkeisfysiikan Bernoullin yhtälö ontämän seuraus.
4 Lagrangen menetelmä
Klassisen virtausmekaniikan fysikaalinen/matemaattinen juokseva aine on liikkuvien”hiukkasten”/pisteiden 3-ulotteinen euklidinen jatkumo. Kuvataan hiukkasia karteesi-silla koordinaateilla ya, tai ei-karteesisilla koordinaateilla xa, missä a ∈ 1, 2, 3. Juok-sevan aineen liikkeen kuvailutavat ovat Lagrangen menetelmä ja Eulerin menetelmä.
Lagrangen menetelmässä juoksevan aineen historia esitetään relaatioiden
ya = ya(α, β, γ, t)
avulla. Tässä Lagrangen muuttujat α, β, γ identifioivat juoksevan aineen hiukkasen.Ne voivat olla esimerkiksi yksittäisen hiukkasen koordinaatit hetkellä t = 0 (ks. myösluku 7). Koska yksittäiselle hiukkasella α, β, γ ovat kiinteät, niin hiukkasen nopeus on∂ya∂t ja kiihtyvyys ∂2ya
∂t2 .
Lagrangen menetelmään, joka liittyy läheisesti klassiseen hiukkasmekaniikkaan, pala-taan osassa III. Eulerin menetelmä puolestaan on tyypillinen kenttäteoria.
5 Eulerin menetelmä - virtauskinematiikkaa
Luovutaan identifiointimuuttujista α, β, γ ja korvataan ne hiukkasen paikkakoordinaa-teilla ya, niin kutsutuilla Eulerin muuttujilla.
Otetaan menetelmän lähtökohdaksi nopeuskenttä (vektorikenttä) va = va(yb(t), t) si-
11
ten, että va = dyadt on hiukkasen nopeus22.
Hiukkasen kiihtyvyys puolestaan muodostetaan nk. hydrodynaamisesta derivaatasta(juoksevan aineen ”mukanaliikkuvasta” aikaderivaatasta)
aa =dvadt
=∂va∂t
+∂va∂yb
dybdt≡ ∂va
∂t+ va,bvb (21)
Tässä kokonaisderivaatta dvadt liittyy hiukkasen nopeuden muutokseen ajan funktiona.
Osittaisderivaaatta ∂va∂t liittyy kentän explisiittiseen aikariippuvuuteen ja termi va,bvb
on konvektio-osa, missä vb sisältää implisiittisen aikariippuvuuden.
Lisäksi liitetään juoksevan aineen pisteeseen skalaarinen tiheyskenttä ρ(ya, t), jolloin
dρ
dt=∂ρ
∂t+ ρ,ava (22)
Siirtyminen ei-karteesisiin koordinaatteihin xa, a ∈ N3: Nopeuskenttä V a = V a(xa, t)on kontravektori V a = dxa
dt . Vastaava kovektori on Va = gabVb.
Koska dV a
dt ei ole tensori, se ei kelpaa kiihtyvyydeksi. Määritellään
Aa =∂V a
∂t+ V a;bV
b
missä kontravariantti derivaatta on kontravektori
V a;b ≡ V a,b +
a
b c
V c
Vastaavasti olisi kovektori
Aa =∂Va∂t
+
(Va,b +
c
a b
Vc
)V b
Lisäksi, koska tiheys ρ(xa, t) on invariantti, niin (22) säilyttää muotonsa ei-karteesisissakoordinaateissa:
dρ
dt=∂ρ
∂t+ ρ,aV
a (23)
Tutkitaan seuraavaksi juoksevan aineen liikettä (laajenemista). Tarkastellaan juokse-van aineen 3-ulotteista aluetta T , jonka tilavuus on V ja jota rajoittaa suljettu Gaussinpinta S. Tämä alue liikkuu juoksevan aineen mukana koostuen aina samoista hiukka-sista. Olkoon pinta-ala-alkiota dA vastaan kohtisuorassa yksikkövektori23 na ja pinta-ala-alkion läpi kulkevan hiukkasvirran24 nopeusvektori va.
22vertaa edellä olevaan, jossa oli osittaisderivaatta23a viittaa komponentteihin a ∈ N3.24Mieti kuvaa. Vektori va osoittaa ulospäin alueesta T , muttei ole kohtisuora na:n kanssa välttä-
mättä.
12
Alueen T tilavuuden muutos aikavälillä dt karteesisia koordinaatteja ya käytettäessäon
dV = dt
∫S
~v · d ~A ≡ dt
∫S
vanadA
⇒ dVdt
=
∫S
vanadA =
∫Tva,adV
missä viimeinen seurasi divergenssilauseesta. Edelleen saadaan
limV→0
(1
VdVdt
)= limV→0
(1
V
∫Tva,adV
)= va,a (24)
toisinsanoen kyseinen raja-arvo on va:n divergenssi pisteessä P jolle T → P .
Millainen on nopeuden va ja tiheyden ρ välinen yhteys? Fysikaalinen fakta (klassisessamekaniikassa) on, että juoksevan aineen alkion, siis nyt tarkastelun kohteena olevaklassisen mekaniikan järjestelmän, massa ρdV ei muutu juoksevan aineen virratessa25
(kun V koostuu aina samoista hiukkasista). Siis26
d
dt(ρdV) = 0 (25)
Tätä käyttäen saadaan
V =
∫T
dV =
∫T
1
ρρdV
⇒ dVdt
=
∫T
d
dt
(1
ρ
)ρdV
joka27 antaa raja-arvoksi (24) toisaalta
limV→0
(1
VdVdt
)= limV→0
(1
V
∫T
d
dt
(1
ρ
)ρ dV
)= ρ(P )
d
dt
(1
ρ
) ∣∣∣P
= −1
ρ
dρ
dt
Näin ollen pätee tulos
dρ
dt+ ρ va,a = 0 ⇒ ∂ρ
∂t+ ρ,ava + ρva,a = 0
⇒ ∂ρ
∂t+ (ρva),a = 0 (26)
Saatu tulos tunnetaan klassisen mekaniikan mukaisena massan säilymisen lakina elijatkuvuusyhtälönä, joka tavallisesti esitetään muodossa
∂ρ
∂t+ ~∇ · (ρ~v) = 0 (27)
25siis liikkeen seurauksena26derivaatta ”liikkuu juoksevan aineen mukana”. Siis tarkastellaan samaa aluetta kokoajan.27oikeastaan integrontialuekin on ajan funktio, mutta Markulla on symbolinen perustelu tämän
ohittamiseksi, ks. käsin kirjoitetut prujut s. 20, luvun 7 yhteydessä.
13
Stationaarisessa liikkeessä ∂ρ∂t , joten siksi (ρva),a = 0.
Ei-karteesisissa koordinaateissa idea on
∂ρ
∂t+ (ρV a);a = 0 (28)
Huomautus. Edellä olevien ideoiden (23) ja (28) oikeutukset: Saadut yhtälöt ovat en-siksikin tensori-yhtälöitä, siis ovat voimassa kaikissa ei-karteesisissa koordinaatistoissa.Toisekseen ne eivät johda vääriin yhtälöihin kun siirrytään karteesisiin koordinaattei-hin xa → ya. Korvausta, jossa paikkaderivaatta korvautuu kovariantilla derivaatalla,voidana kutsua nimellä ”minimaalinen substituutio”.
6 Eulerin menetelmä - virtausdynamiikkaa
Tarkastellaan ideaalia juoksevaa ainetta: ei sisäistä kitkaa, ts. hyvin alhainen viskosi-teetti.
Aluetta T rajoittava suljettu pinta S liikkuu juoksevan aineen mukana. Käytetään New-tonin toista liikelakia, ts. liikemääräperiaatetta: Alueessa T olevan juoksevan aineenliikemäärä on
∫T ρva dV . Ulkoisina voimina ovat tilavuusvoima ja pintavoima28:
• tilavuusvoima on∫T ρfa dV , missä fa on voima yksikkömassaa kohden.
• pintavoima on∫SPna dA , missä P on paine, joka on vain paikan ya funktio.
Newtonin toisen lain mukaan
d
dt
∫Tρva dV =
∫Tρfa dV −
∫S
Pna dA
⇒∫Tρ
dvadt
dV =
∫Tρfa dV −
∫TP,a dV
⇒∫T
(ρ
dvadt− ρfa + P,a
)dV
Tämä on voimassa kaikille alueille T . Käyttämällä lauseketta mukanaliikkuvalle deri-vaatalle (21) saadaan siten
ρdvadt− ρfa + P,a = 0 ⇒ ρ
∂va∂t
+ ρvbva,b − ρfa + P,a
⇒ ∂va∂t
+ vbva,b = fa −1
ρP,a (29)
jonka vektorimuoto on
∂~v
∂t+ (~v · ~∇)~v = ~f − 1
ρ~∇ρ
28esimerkkinä tilavuusvoimasta gravitaatio, ja pintavoimasta paine
14
Ei-karteesisissa koordinaateissa kovariantti muoto on
∂Va∂t
+ V bVa;b = fa −1
ρP,a
Kontravariantiksi muodoksi saadaan
gac(∂Va∂t
+ V bVa;b − fa +1
ρP,a
)= 0
⇒ ∂V c
∂t+ V bV c;b − f c +
1
ρgacP,a = 0
Jos juoksevan aineen liike on pyörteetöntä, niin on olemassa skalaarikenttä (invariantti),niin kutsuttu nopeupotentiaali φ siten, että va = −φ,a. Tällöin (29) antaa
∂φ,a∂t
+ φ,bφ,ab = fa −1
ρP,a
⇒(∂φ
∂t
),a
+ φ,bφ,ab = fa −1
ρP,a (30)
Tavanomainen oletus on, että juokseva aine on barotrooppinen, toisinsanoen ρ = ρ(P ).Muodostetaan paineen29 P funktio ψ = ψ(ya) siten, että (määräämätön integraali)
ψ(P ).=
∫dP
ρ(P )(31)
Koska tällä merkinnällä
ψ,a =dψ
dPP,a =
1
ρP,a
niin liikeyhtälöksi saadaan yhtälöstä (30)(∂φ
∂t
),a
+ φ,bφ,ab = fa − ψ,a (32)
Mikäli voimakenttä fa on konservatiivinen, ts. fa = − ∂u∂ya≡ −u,a, missä u = u(ya) on
potentiaali30, niin (∂φ
∂t
),a
+ φ,bφ,ab = −u,a − ψ,a
⇒(∂φ
∂t+
1
2φ,bφ,b + u+ ψ
),a
= 0
29joka oli siis vain paikan funktio30potentiaalienergia per yksikkömassa
15
On siis olemassa γ = γ(t), niin sanottu Bernoullin integraali, joka ei ole paikan funktioja jolle pätee
∂φ
∂t+
1
2φ,aφ,a + u+ ψ = γ(t) (33)
Ei-karteesisissa koordinaateissa on tämä
∂φ
∂t+
1
2gabφ,aφ,b + u+ ψ = γ(t)
Huomautus liittyen alkeisfysiikkaan Stationaarisessa virtauksessa va = va(ya),jolloin myös φ = φ(ya). Bernoullin integraali tulee muotoon
1
2φ,aφ,a + u+ ψ = C ⇒ 1
2v2 + u+ ψ = C
Jos vielä lisäksi ρ on vakio, niin määritelmän (31) mukaan ψ = P/ρ. Kun ulkoisenavoimana on vain gravitaatio, niin lähellä maanpintaa u = gh. Nämä oletukset antavat
1
2ρv2 + P + ρgh = vakio
joka on alkeisfysiikan nk. Bernoullin yhtälö.
Kokoonpuristumaton juokseva aine Kokoonpuristumattomalle juoksevalle aineel-le määritelmän mukaan kokonaisderivaatta dρ
dt = 0. Tällöin massan säilymislaki (26)saa muodon va,a = 0, ts. φ,aa = 0, joka on itseasiassa Laplacen yhtälö karteesisissaya-koordinaateissa. Ei-karteesisissa xa-koordinaateissa ko- yhtälö on gabφ,ab = 0.
16
III Vaikutusperiaatteet virtausmekaniikassa
Tiivistelmä Edellisessä osiossa todettiin Eulerin menetelmässä massan säilymistävoitavan kuvata yhtälöllä (26). Lagrangen menetelmässä vastaavaksi relaatioksi osoit-tautuu, differentiaalilaskennan lokaalin tilavuusskaalauksen kautta (35). Jos juoksevaaine on ideaalista, siis sen entropia ei muutu virtauksen seurauksena, Lagrangen me-netelmässä tämä voidaan lausua yksinkertaisesti muodossa (36). Eulerin menetelmässävastaava tulos on (37).
Lagrangen menetelmässä, vaikutusperiaatetta käyttäen ja massan ja entropian säily-mislait sidosehtoina huomioiden, voidaan johtaa tulos (45). Aiemmin Eulerin menetel-mässä liikemääräperiaatteella saatu tulos (29) kertoo saman asian Eulerin menetelmänkielellä. Tulos (29) voidaan johtaa myös vaikutusperiaatteella Eulerin menetelmässä.Tämä tehdään luvussa 9.
7 Massa ja entropia
Lagrangen menetelmässä (luku 4) valitaan, identifioinnin avulla, jokin juoksevan ai-neen hiukkanen ja seurataan sen liikettä. Hiukkasen paikan antaa vektorifunktio ~y =~y(α, β, γ, t)
.= ~y(~α, t), missä ~α on hiukkasen paikka ajanhetkellä t = 0. Hiukkasen31
nopeus on ~v = ∂~y∂t ja kiihtyvyys ~a = ∂2~y
∂t2 .
Tarkastellaan tilavuusalkiota d3~y ja d3~α, toisinsanoen kyse on pisteiden ympärille ra-kennetuista tilavuusalkioista dV~y ja dV~α. Nämä sisältävät saman massan, pisteidenvälillä on yksi-yhteen vastaavuus. Siis
ρ(~y, t)d3~y = ρ(~α, 0)d3~α (34)
Yleisesti on voimassa lokaali tilavuus-skaalaus: Jos aluee Tz pisteet ~z kuvataan bijek-tiolla ~y = ~y(~z) pisteiksi alueessa Ty, niin rajalla missä alueet on pieniä, on voimassatilavuuksille
V (Tz) ≈ detJ · V (Ty)
missä J on kuvauksen ~y Jacobin matriisi. Tämän tuloksen avulla meillä on nyt
d3~y = detJ · d3~α(34)==⇒ ρ(~y, t) detJ · d3~α = ρ(~α, 0)d3~α
⇒ ρ(~y, t) detJ = ρ(~α, 0) (35)
missä J :n matriisielementit ovat nyt ∂ya∂αb
.
Yhteenvetona: Massan säilymistä kuvaa
• Lagrangen menetelmässä tulos (35). Kokoonpuristumattomalle juoksevalle aineel-le detJ = 1.
31näissä derivaatoissa siis ~α pidetään kokoajan vakiona.
17
• Eulerin menetelmässä tulos (27). Kokoonpuristumattomalle juoksevalle aineelle~∇ · ~v = 0.
Ideaalisen juoksevan aineen liikkeessä entropia ei muutu, ts. kyseessä on isentrooppinen(reversiibeli) prosessi32. Otetaan entropiaa (per yksikkömassa) kuvaavaksi funktioksis(~y, t) juoksevan aineen pisteessä ~y ajanhetkellä t. Entropia tilavuusalkiossa d3~y onρ(~y, t)s(~y, t)d3~y, oletuksen mukaan on siis
ρ(~y, t)s(~y, t)d3~y = ρ(~α, 0)s(~α, 0)d3~α
Edelleen d3~y = detJ · d3~α antaa
ρ(~y, t)s(~y, t) detJ = ρ(~α, 0)s(~α, 0)
josta tulos (35) antaa
s(~y, t) = s(~α, t) (36)
joka pätee Lagrangen menetelmässä.
Eulerin menetelmän mukaan saadaan samalla käsittelyllä kuin luvussa (5), tulos
∂ρs
∂t+ ~∇ · (ρs~v) = 0 (37)
Tämä johtuu siitä, että fysikaalisena faktana, entropian säilymislakina, on voimassa(25):n vastine
d
dt(ρsdV) = 0
Samalla laskulla kuin luvussa 5, vaihtamalla vain ρ → ρs, saadaan tuloksen (27) vas-tine, joka on juurikin (37). Tämä voidaan toisaalta esittää, massan säilymislakia (27)käyttäen, muodossa
∂s
∂t+ ~v · ~∇s = 0 (38)
Nimittäin:
(37) ⇒ ∂ρ
∂ts+ ρ
∂s
∂t+ s~∇(ρ~v) + (ρ~v) · ~∇s = 0
(27)==⇒ ρ
∂s
∂t+ (ρ~v) · ~∇s = 0 ⇒ (38)
Yhteenvetona: Entropian säilymistä (ideaalissa juoksevassa aineessa) kuvaa
• Lagrangen menetelmässä tulos (36)
• Eulerin menetelmässä tulos (37)
Massan ja entropian säilymistä esittävät relaatiot voidaan asettaa sidosehdoiksi vir-tausmekaniikan vaikutusperiaatteissa (variaatioperiaatteissa).
32Vertaa: reaalisen juoksevan aineen tapauksessa esiintyy energian dissipaatiota johtuen viskositee-tista, lämmönjohtumisesta, jne, jolloin prosessit ovat irreversiibeleitä.
18
8 Lagrangen menetelmä ja vaikutusperiaate
Koska juokseva aine -järjestelmää pidetään hiukkasista koostuvana jatkumona, niin sen
• liike-energia on
K =
∫Ty
1
2ρ(~y, t)
3∑a=1
(∂ya∂t
)2
d3~y =
∫Tα
1
2ρ(~y, t)
3∑a=1
(∂ya∂t
)2
detJ d3~α
=
∫Tα
1
2ρ(~α, 0)
3∑a=1
(∂ya∂t
)2
d3~α
• potentiaalienergia on
U =
∫Tyρ(~y, t)(e+ u)d3~y =
∫Tαρ(~y, t)(e+ u)J d3~α
=
∫Tαρ(~α, 0)(e+ u)d3~α
missä e on sisäinen energia ja u ulkoisiin voimiin liittyvä potentiaalienergia peryksikkömassa.
Oletetaan, että33 e = e(ρ, s). Termodynaamisesta perusrelaatiosta
dE = TdS − PdV
saadaan termodynaamiset osittaisderivaatat
T =
(∂E
∂S
)V
ja P = −(∂E
∂V
)S
ja edelleen
T =
(∂e
∂s
)ρ
ja P = ρ2
(∂e
∂ρ
)s
Täten
∂e
∂ρ=P
ρ2ja
∂e
∂s= T kun e = e(ρ, s) (39)
33ei kemiallista potentiaalia, joka vastaisi hiukkasluvun muuttumista. Termodynaamisesti ilmeinenvalinta kun hiukkaslukumäärä on vakio.
19
Vaikutusperiaate Hamiltonin vaikutusperiaatteen mukaan δI = 0. Muodostetaanvaikutusintegraali I sekä K:n ja U :n, että massan ja entropian säilymistä luonnehtiviensidosehtojen avulla:
I =
∫ t1
t0
dt
∫Ty
((K − U) + λm(ρdetJ − ρ0) + λe(s− s0)
)d3~y
=
∫ t1
t0
dt
∫Tα
((1
2ρ0
3∑a=1
(∂ya∂t
)2
− ρ0(e+ u)
)+ λm(ρdetJ − ρ0) + λe(s− s0)
)d3~α (40)
missä merkittiin ρ0.= ρ(~α, 0) ja funktiot λm = λm(~y, t) ja λe = λe(~y, t) ovat Lagrangen
kertojia. Vaikutuksen I variaatiot suoritetaan erikseen, riippumattomasti, ρ:n, s:n ja~y:n suhteen.
Sidosehdot, tai toisaalta variaatiot λm:n ja λe:n suhteen antavat tietysti, vrt. (35),
ρ0 = ρdetJ ja s = s0 (41)
Variaatio ρ:n suhteen antaa
∂I∂ρδρ =
∫ t1
t0
dt
∫Tα
d3~α
(−ρ0
∂e
∂ρ+ λm detJ
)δρ = 0
⇒ −ρ0∂e
∂ρ+ λm detJ = 0
(39),(41)=====⇒ −ρ0
P
ρ2+ λm
ρ0
ρ= 0
⇒ λm =P
ρ(42)
Massaehto liittyy siis paineeseen. Rooli liikeyhtälössä?
Variaatio s:n suhteen antaa
∂I∂sδs =
∫ t1
t0
dt
∫Tα
d3~α
(−ρ0
∂e
∂s+ λe
)δs = 0
(39)==⇒ −ρ0T + λe = 0 ⇒ λe = ρ0T
Entropiaehto liittyy siis lämpötilaan. Rooli liikeyhtälössä?
Variaatio ~y:n suhteen johtaa Lagrangen yhtälöön.
∂I∂ya
δya ≡ δ~yI = δ~y
∫ t1
t0
dt
∫Tα
d3~αL = 0
missä tehtiin merkintä, käyttäen lauseketta (40)
L .=
1
2ρ0
3∑a=1
(∂ya∂t
)2
− ρ0(e+ u) + λm(ρ detJ − ρ0) + λe(s− s0)
20
Kyseessä on Lagrangen funktion tiheys, lyhyesti Lagrangen tiheys, jolle
L ≡∫Tα
d3~αL
Lagrangen yhtälö, kun L = L(~y, ∂ya∂t ,∂ya∂αb
, ~α, t), on34
∂
∂t
(∂L
∂(∂ya∂t )
)+
∂
∂αb
(∂L
∂( ∂ya∂αb
)
)− ∂L∂ya
= 0 (43)
Lagrangen yhtälöä varten todetaan ensiksi, että selvästi
∂L∂(∂ya∂t )
= ρ0∂ya∂t
Sitten todetaan avuksi, että determinantin kehityskaava ensimmäisen rivin suhteen on
detA =∑k
a1kC1k
missä C1k on termin a1k kofaktori, siis vastaavan alimatriisin determinantti alternoi-valla kertoimella. Siten koska Jacobin matriisin alkiot ovat juuri derivaattoja ∂ya
∂αb, niin
on voimassa
∂L∂( ∂ya
∂αb)
= λmρ∂ detJ∂( ∂ya
∂αb)
= λmρCab
missä Cab:t ovat Jacobin matriisin kofaktoreita. Edelleen on
∂L∂ya
= −ρ0∂e
∂ya− ρ0
∂u
∂ya− ρ0
∂λm∂ya
+ detJ ∂
∂ya(ρλm)
= −ρ0∂e
∂ρ
∂ρ
∂ya− ρ0
∂u
∂ya−ρ0
∂λm∂ya
+
ρ detJ ∂λm∂ya
+ λm detJ ∂ρ
∂ya
(39),(42)= −
ρ0P
ρ2
∂ρ
∂ya− ρ0
∂u
∂ya+
P
ρdetJ ∂ρ
∂ya
= −ρ0∂u
∂ya
Näillä tiedoilla saatiin liikeyhtälöksi (43)
∂
∂t
(ρ0∂ya∂t
)+
∂
∂αb(λmρCab)−
(−ρ0
∂u
∂ya
)= 0 (44)
Koska
∂Cab∂αb
=∂
∂αb∂ya∂αb
= · · · keskeneräinen harjoitustehtävä??? · · · = 0
34Miksi näin: Koska Lagrangen tiheyden ”perusmuuttuja” on ~y, ja Lagrangen yhtälössä pitää sum-mata derivaatat yli tämän kaikkien derivaattojen mitkä pitää huomioida, sekä vähentää derivaaattavain perusmuuttujan suhteen, vrt. (11).
21
niin saadaan aputulos
∂
∂αb(λmρCab) =
∂
∂αb(PCab) =
∂P
∂αbCab =
∂P
∂yc
∂yc∂αb
Cab =∂P
∂ycδac detJ =
∂P
∂ycδac
ρ0
ρ
siten liikeyhtälöksi saadaan yhtälöstä (44)
∂2ya∂t2
= − ∂u
∂ya− 1
ρ
∂P
∂ya
josta identifioimalla voima fa.= − ∂u
∂ya, saadaan kiihtyvyydelle ∂2ya
∂t2 yhtälö
∂2ya∂t2
= −fa −1
ρP,a (45)
Tämä on juoksevan aineen yksittäisen, seurattavan hiukkasen liikeyhtälö. Vertaa yhtä-löön (29) Eulerin menetelmässä, joka saatiin liikemääräperiaatteella luvussa 6. Samayhtälö saatiin eri menetelmissä.
Huomautus: Entropian säilymiseen liittyvällä sidosehdolla ei ollut ratkaisevaa merki-tystä juoksevan aineen liikeyhtälön muodostamisessa. Siten oltaisiin voitu ottaa myöse = e(ρ) ja sama liikeyhtälö olisi seurannut.
9 Eulerin menetelmä ja vaikutusperiaate
Korvataan entropian säilymistä luonnehtiva sidosehto Lagrangen muuttujiin liitettä-vällä sidosehdolla35. Tämän kaltainen sidosehto perustuu siihen, että juoksevan aineenhiukkaset ovat identifioitavissa36, johtuen niiden eri paikoista alkutilanteessa, vaikkayksittäisten hiukkasten liikettä ei Eulerin menetelmässä seuratakaan.
Lagrangen muuttujien ”säilymislaki”:
d~α
dt= 0
missä ~α = ~α(~y(t), t) on ratkaistu annetusta relaatiosta ~y = ~y(~α(t), t). Ekvivalenttimuoto on
0 =dαa
dt=∂αa
∂t+∂αa
∂yb
∂yb∂t
=∂αa
∂t+∂αa
∂ybvb (46)
Rooli liikeyhtälössä?
Muodostetaan vaikutusintegraali, sidosehtoina (46) ja (26):
I =
∫ t1
t0
dt
∫Ty
((K − U) + λm
(∂ρ
∂t+ (ρva),a
)+ ρµa
(∂αa
∂t+∂αa
∂ybvb
))d3~y (47)
35tai oikeastaan kolmella sellaisella36eli erotettavissa toisistaan
22
missä λm = λm(~y, t) on Lagrangen kertoja massaehdolle, ja µa = µa(~y, t) ovat Lagran-gen kertojia, kullekin a ∈ N3, sidosehdolle (46). Funktio ρ voidaan valita Lagrangenmuuttujien µa kertoimeksi uudelleen skaalaamalla kertoimia, koska kertoimet ovat mie-livaltaisia. Nyt
K − U =1
2ρvava − ρ(e+ u)
missä37 e = e(ρ).
Suoritetaan seuraavaksi vaikutuksen (47) variaatiot ρ:n, ~α:n ja ~v:n suhteen:
• Variaatio ρ:n suhteen, joka on muotoa
δρI = δρ
∫ t1
t0
dt
∫TyL(ρ, ∂ρ∂t ,
∂ρ∂ya
, ~y, t)d3~y
johtaa tunnetusti Lagrangen yhtälöön
∂
∂t
(∂L∂(∂ρ∂t )
)+
∂
∂ya
(∂L
∂( ∂ρ∂ya )
)− ∂L∂ρ
= 0
Tuloksen kaivamiseksi tästä todetaan, että
∂L∂(∂ρ∂t )
= λm ja∂L
∂( ∂ρ∂ya )= vaλm
sekä
∂L∂ρ
=1
2vava − (e+ u)− ρ∂e
∂ρ+∂va∂ya
λm + µa
(∂αa
∂t+∂αa
∂ybvb︸ ︷︷ ︸
=0
)
Siten Lagrangen yhtälö antaa
∂λm∂t
+∂(vaλm)
∂ya−(
1
2vava − (e+ u)− ρ∂e
∂ρ+∂va∂ya
λm
)= 0
⇔ 1
2vava −
∂(ρe)
∂ρ− u+
∂λm∂t
+∂λm∂ya
va = 0 (48)
• Vastaavasti variaatio ~α:n suhteen on muotoa
δ~αI = δ~α
∫ t1
t0
dt
∫TyL(αc, ∂α
c
∂t ,∂αc
∂ya, ~y, t)d3~y
ja se antaa Lagrangen yhtälön
∂
∂t
(∂L
∂(∂αc
∂t )
)+
∂
∂yd
(∂L
∂(∂αc
∂yd)
)− ∂L∂αc
= 0
37luvun 8 lopuksi tehdyn huomautuksen mukaisesti.
23
myötä tuloksen
∂
∂t(ρµc) +
∂
∂yd(ρµcvd) = 0
⇔ ρ
(∂µc∂t
+ vd∂µc∂yd
)+ µc
(∂ρ
∂t+∂ρvd∂yd
)= 0
(26)⇐=⇒ ρ
(∂µc∂t
+ vd∂µc∂yd
)= 0
⇔ ∂µc∂t
+ ~v · ~∇µc = 0 (49)
jota voi verrata entropian säilymislakiin (38).
• Variaatio ~v:n suhteen on muotoa
δ~vI = δ~v
∫ t1
t0
dt
∫TyL(vc, ∂v
c
∂t ,∂vc
∂ya, ~y, t)d3~y
ja johtaa vastaavasti kuin edellä Lagrangen yhtälön kautta liikeyhtälöön
∂
∂t(0) +
∂
∂yd
(∂
∂( ∂vc∂yd)
(λm(ρva,a + ρ,ava))
)
− ∂
∂vc
(1
2ρvava + λm(ρva),a + ρµa
∂αa
∂ybvb
)= 0
⇔ ∂
∂yd(δcdλmρ)− ρvc − λmρ,c − ρµa
∂αa
∂yc= 0
⇔ ∂λm∂yc
− vc − µa∂αa
∂yc= 0
(Jostai syystä merkki meni eripäin kuin Markulla, jatketaan tuloksella:)
∂λm∂yc
+ vc + µa∂αa
∂yc= 0 (50)
Jos µa olisi nolla, niin va = −∂λm∂ya, toisinsanoen vain pyörteetön (ks. luku 6)
isentrooppinen liike olisi mahdollinen. Jatkossa annetaan olla µa 6= 0.
Ollaan saatu vaikutusperiaatteella δI = 0 vaikutukselle (47), missä variaatiot δρ, δ~αja δ~v ovat nollia integrointialueen reunalla, tulokset (48), (49), (50). Näistä johdetaanseuraavaksi vielä tulos (29).
24
Aloitetaan vähentämällä toisistaan symbolisesti ∂∂t (50)−
∂∂ya
(48):
∂
∂t
(∂λm∂yc
+ vc + µa∂αa
∂yc
)− ∂
∂yc
(1
2vava −
∂(ρe)
∂ρ− u+
∂λm∂t
+∂λm∂ya
va
)= 0
⇒∂
∂t
∂λm∂yc
+∂vc∂t
+∂
∂t
(µa∂αa
∂yc
)− 1
2
∂
∂yc(vava) +
∂
∂yc
(∂(ρe)
∂ρ
)+∂u
∂yc−
∂
∂yc
∂λm∂t− ∂
∂yc
(∂λm∂ya
va
)= 0
(50)==⇒ ∂vc
∂t+∂
∂t
(µa∂αa
∂yc
)− 1
2
∂
∂yc(vava) +
∂
∂yc
(∂(ρe)
∂ρ
)+∂u
∂yc− ∂
∂yc
((−va − µd
∂αd
∂ya
)va
)= 0
⇒ ∂vc∂t
+∂
∂t
(µa∂αa
∂yc
)+
1
2
∂
∂yc(vava) +
∂
∂yc
(∂(ρe)
∂ρ
)+∂u
∂yc+
∂
∂yc
(µd∂αd
∂yava
)= 0 (51)
Tämän sieventämiseksi todetaan avuksi, että ensinnäkin
∂
∂yc
(∂(ρe)
∂ρ
)=
∂
∂yc
(e+ ρ
∂e
∂ρ
)(39)=
∂
∂yc
(e+
P
ρ
)=
∂e
∂yc+
1
ρ
∂P
∂yc− P
ρ2
∂ρ
∂yc
=∂e
∂ρ
∂ρ
∂yc+
1
ρ
∂P
∂yc− P
ρ2
∂ρ
∂yc
(39)=
1
ρ
∂P
∂yc
ja toisekseen
∂
∂t
(µa∂αa
∂yc
)+
∂
∂yc
(µd∂αd
∂yava
)=∂αa
∂yc
∂µa∂t
+∂
∂t
(∂αa
∂yc
)+
∂
∂yc
(µd∂αd
∂yava
)(49)=
∂αa
∂yc
(−vb
∂µa∂yb
)+∂
∂t
(∂αa
∂yc
)+∂µd∂yc
∂αd
∂yava + µd
∂
∂yc
(∂αd
∂yava
)= va
(∂µd∂yc
∂αd
∂ya− ∂αd
∂yc
∂µd∂ya
)+ loput termit jotenkin kumoutuu???
(50)= va
(−∂va∂yc− ∂2λm∂yc∂ya
−(− ∂vc∂ya− ∂2λm∂ya∂yc
))= va
(∂vc∂ya− ∂va∂yc
)Näillä tiedoilla antaa (51)
∂vc∂t
+ va
(∂vc∂ya− ∂va∂yc
)+
1
2
∂
∂yc(vava) +
1
ρ
∂P
∂yc= − ∂u
∂yc
⇒ ∂vc∂t
+ va
(∂vc∂ya− ∂va∂yc
)+∂va∂yc
va +1
ρ
∂P
∂yc= − ∂u
∂yc
⇒ ∂vc∂t
+ va∂vc∂ya
+1
ρ
∂P
∂yc= − ∂u
∂yc
25
joka on vektorimuodossa
∂~v
∂t+ (~v · ~∇)~v +
1
ρ~∇P = −~∇u
Siis todella, kun ~f = −~∇u, saadaan tulos (29) kuten pitkin. Tämä on yleinen, pyörtei-syyden sisältävä, liikeyhtälö. Näin ollen tulkitaan ehto (46) pyörteisyysehdoksi: ”pyör-teisyyden säilymislaiksi”.
26
IV Lagrangen ja Hamiltonin yhtälöt
Tiivistelmä: Holonomiselle järjestelmälle (sidosehdot riippuvat vain koordinaateis-ta, ei niiden derivaatoista) voidaan johtaa käyttäen pelkästään liike-energian lauseketta,sekä yleistetyn voiman määritelmää tulos (54). Jos järjestelmä on lisäksi konservatii-vinen (eli on potentiaali U(qa)), niin määrittelemällä L = T − U saadaan Lagrangenyhtälön tavallinen muoto tästä. Lagrangen funktio on invariantti, ja Lagrangen yhtälökovariantti koordinaattimuunnoksessa. Kun järjestelmä ei ole yksinkertainen, määritel-lään funktioksi L se, joka toteuttaa Lagrangen yhtälön. Edelleen yhtälö on kovariantti.
Lagrangen funktiosta, ja (qa, t)-konfiguraatioavaruudesta (n + 1 ulottuvuutta), siirry-tään Hamiltonin funktioon ja (qa, pa)-faasiavaruuteen (2n-ulottuvuutta) tekemällä Le-gendren muunnos. Lagrangen yhtälö antaa silloin Hamiltonin yhtälöt. Nyt konservatii-visuus määritellään niin, että Hamiltonin, tai ekvivalentisti, Lagrangen osittaisaikaderi-vaatta on nolla. Konservatiiviselle järjestelmälle Hamiltonin funktio antaa järjestelmänkokonaisenergian.
10 Lagrangen yhtälö yksinkertaiselle dynaamiselle järjestelmäl-le
Tavoite: Muuntaa Newtonin laki Lagrangen yhtälöksi. Tämä tehdään nyt Hamiltoninesittämällä tavalla, lähtökohtana ei ole variaatiolaskenta, Eulerin yhtälö.
Tarkastellaan aluksi mallina yksinkertaista38 dynaamista järjestelmää, jolla on n va-pausastetta39 ja jonka konfiguraatioita kuvaavat yleistetyt koordinaatit qa, a ∈ Nn,jotka luonnehtivat täydellisesti kinemaattisia sidosehtoja40. Järjestelmä on lisäksi kon-servatiivinen, jos potentiaalienergia on U = U(qa).
Järjestelmä koostuu N :stä hiukkasesta, joiden massat ovatmi, i ∈ NN ja joiden paikka-vektorit 3-ulotteisessa laakeassa euklidisessa avaruudessa ovat ~ri. Järjestelmä ”liikkuu”:~ri ja qa ovat aikaparametrin t funktioita. Kun järjestelmä on yksinkertainen41, riippuu~ri ajasta vain qa:n kautta, siis ~ri = ~ri(q
a(t)). Tällöin
d~ridt≡ ~ri =
∂~ri∂qa
dqa
dt=∂~ri∂qa
qa = vi(qa, qa)
missä qa on yleistetty nopeus.38Tämän voi tulkita monella tavalla. Toisaalta yksinkertainen voi olla sekä holonominen, konser-
vatiivinen, että valittu koordinaatit siten, ettei paikkavektorit riipu ajasta explisiittisesti. Toisaaltatodistus ehkä käytiin läpi käyttäen vain viimeistä oletusta, ottaen sitten sovelluksena konservatiivinen.Kukaan ei tiedä . . .
39kun sidosehdot on huomioitu.40Mitään lisäehtoja sisältäen koordinaattien derivaattoja ei tarvita. Tarkemmin: holonomisessa jär-
jestelmässä sidosehdot ovat muotoa F (qa, t) = 0, sellaiset järjestelmät joille nämä on F (qa, qa, t) = 0ei kelpaa.
41ks. huomautus termin yksinkertainen käytöstä, tämä on se viimeinen ehto
27
”Derivointisääntöjä” Olkoon u = u(qa(t)) mikä tahansa yleistettyjen koordinaat-tien funktio.
i) ”Pisteiden supistuminen”:
∂u
∂qa=
∂
∂qa
(du
dt
)=
∂
∂qa
(∂u
∂qbqb)
=∂u
∂qa(52)
ii) ”Delta-doo -vaihto”:
d
dt
(∂u
∂qa
)=
∂
∂qb
(∂u
∂qa
)dqb
dt=
∂
∂qb
(∂u
∂qa
)qb =
∂
∂qa
(∂u
∂qb
)qb
=∂
∂qa
(∂u
∂qbqb)
=∂
∂qa
(∂u
∂qbdqb
dt
)=
∂
∂qa
(du
dt
)(53)
Järjestelmän liike-energia on
T =
N∑i=1
1
2mi~ri · ~ri = T (qa, qa)
Tämä on kinemaattinen tulos, joka pyritään seuraavassa lausumaan toisella tapaa.Avuksi:
∂T
∂qa=
N∑i=1
mi~ri ·∂~ri∂qa
ja∂T
∂qa=
N∑i=1
mi~ri ·∂~ri∂qa
(52)=
N∑i=1
mi~ri ·∂~ri∂qa
joten
d
dt
(∂T
∂qa
)− ∂T
∂qa=
N∑i=1
mid
dt
(~ri∂~ri∂qa
)−
N∑i=1
mi~ri ·∂~ri∂qa
=
N∑i=1
mi
(~ri ·
d
dt
(∂~ri∂qa
)+ ~ri ·
∂~ri∂qa− ~ri ·
∂~ri∂qa
)(53)=
N∑i=1
mi
(~ri ·
∂
∂qa
(d~ridt
)+ ~ri ·
∂~ri∂qa− ~ri ·
∂~ri∂qa
)
=
N∑i=1
mi~ri ·∂~ri∂qa≡
N∑i=1
mi~ai ·∂~ri∂qa
Tämä on edelleen puhtaasti kinemaattinen tulos. Huomioidaan seuravaaksi Newtoninlaki m~ai = ~Fi. Tällöin edellinen saa muodon
d
dt
(∂T
∂qa
)− ∂T
∂qa=
N∑i=1
~Fi ·∂~ri∂qa
28
Tässä oikea puoli∑Ni=1
~Fi · ∂~ri∂qa.= Qa on ns. yleistetty voima. Motivaatio käsitteelle on
se, että voimien ~Fi hiukkasille tekemä työ differentiaalisessa siirtymässä d~ri saadaankonfiguraatioavaruudessa analogisesti yleistetystä voimasta:
Qadqa =
N∑i=1
~Fi ·∂~ri∂qa
dqa =
N∑i=1
~Fi · d~ri = työ
Yleistetyn voiman avulla kirjoitettu tulos
d
dt
(∂T
∂qa
)− ∂T
∂qa= Qa (54)
on Lagrangen yhtälö. Konservatiivisuuden vallitessa Qa = − ∂U∂qa , missä U = U(qa).
Tällöin määrittelemällä L = T − U on voimassa Lagrangen yhtälö(t) muodossa
d
dt
(∂L
∂qa
)− ∂L
∂qa=
d
dt
(∂T
∂qa
)− ∂T
∂qa+∂U
∂qa(54)= Qa −Qa = 0
Lagrangen yhtälöt koostuu tavallisista differentiaaliyhtälöistä42
Lagrangen funktio L(qa, qa) on invariantti. Sen numeerinen arvo konfiguraatioava-ruuden pisteessä säilyy koordinaattimuunnoksessa qa → q′a = q′a(qb). ToisinsanoenL′(q′a, q′a) = L(qa, qa) tai tarkemmin
L ≡ L ϕ = L ψ ψ−1 ϕ ≡ L′ ψ−1 ϕ ≡ L′ q′ (55)
Joka tapauksessa: L on kuvaus monistolta ja qa:t tai q′a:t ovat sen koordinaatteja,parametriesityksiä.
Lagrangen yhtälö on kovariantti, eli säilyttää muotonsa koordinaattimuunnoksessaqa → q′a = q′a(qb). Perustelu43:
d
dt
(∂L′
∂q′a
)− ∂L′
∂q′a=
d
dt
(∂L
∂q′a
)− ∂L
∂q′a
=d
dt
(∂L
∂qb∂qb
∂q′a
)− ∂L
∂qb∂qb
∂q′a
=d
dt
(∂L
∂qb
)∂qb
∂q′a+∂L
∂qbd
dt
(∂qb
∂q′a
)− ∂L
∂qb∂qb
∂q′a
=d
dt
(∂L
∂qb
)∂qb
∂q′a+∂L
∂qbd
dt
(∂qb
∂q′a
)︸ ︷︷ ︸
=0
− ∂L∂qb
∂qb
∂q′a
=
(d
dt
(∂L
∂qb
)− ∂L
∂qb
)︸ ︷︷ ︸
=0
∂qb
∂q′a= 0
42Vertaa myöhemmin Hamiltonin–Jacobin yhtälö.43seuraavassa L on implisiittisesti pilkullisten koordinaattien funktio, kuten esityksessä (55) oli toi-
sinpäin.
29
Myös, koska liike-energia T (qa, qa) on tietenkin44 invariantti niin aivan sama lasku(vain eri kirjain) antaa nyt
d
dt
(∂T ′
∂q′a
)− ∂T ′
∂q′a=
(d
dt
(∂T
∂qb
)− ∂T
∂qb
)︸ ︷︷ ︸
=Qb
∂qb
∂q′a= Qb
∂qb
∂q′a= Q′a
Yleistys yksinkertaisesta järjestelmästä Yleisessä tapauksessa lähtökohdaksi ote-taan funktio L = L(qa, qa, t), joka toteuttaa45 Lagrangen yhtälön muodossa
d
dt
(∂L
∂qa
)− ∂L
∂qa= 0
ja joka on invariantti koordinaattimuunnoksessa qa → q′a = q′a(qb). Edelleen on La-grangen yhtälö kovariantti, perustelu vaan on monimutkaisempi:
d
dt
(∂L′
∂q′a
)− ∂L′
∂q′a=
d
dt
(∂L
∂q′a
)− ∂L
∂q′a
=d
dt
(∂L
∂qb∂qb
∂q′a+∂L
∂t
∂t
∂q′a
)−(∂L
∂qb∂qb
∂q′a+∂L
∂t
∂t
∂q′a
)=∂
∂t
(∂L
∂qb∂qb
∂q′a+∂L
∂t
∂t
∂q′a
)−(∂L
∂qb∂qb
∂q′a+∂L
∂t
∂t
∂q′a
)+
∂
∂qa
(∂L
∂qb∂qb
∂q′a+∂L
∂t
∂t
∂q′a
)∂qa
∂t
= ??? keskeneräinen harjoitustehtävä
11 Hamiltonin yhtälöt eli kanoniset yhtälöt
Lagrangen formalismissa riippumattomina muuttujina ovat qa, qa, t. Hamiltonin ka-noniseen formalismiin siirrytään tekemällä muuttujanvaihto Legendren muunnoksenavulla.
Legendren muunnoksesta Tarkastellaan Legendren muunnoksen perusideaa yk-sinkertaisen esimerkin avulla. Olkoon funktio f : R → R sellainen, että sen derivaat-ta on bijektio. Siis f ′(x)
.= u(x) ja on olemassa x(u). Tällöin funktiota g : R → R,
g(u) = x(u)u−f(x(u)) kutsutaan funktion f(x) Legendren muunnokseksi. Erityistä onse, että kun f :n derivaatta oli u, niin nyt g:n derivaatta on u:n käänteisfunktio:
dg
du=
dx
duu+ x(u)− df
dx
dx
du44kuvauksena moniston pisteeltä reaaliluvuille, joilla on fysikaalinen merkitys.45Korostetaan logiikkaa: Lagrangen funktiohan oikeastaan antaa Lagrangen yhtälön avulla liikeyh-
tälöt, ja on vähän kyseenalaista sanoa, että Lagrangen funktio ”toteuttaa” Lagrangen yhtälön. Tällätarkoitetaan, että tunkiessa L siihen yhtälöön, tulee luonnollisen liikkeen liikeyhtälö, joka tiedetäänpätevän. Siinä mielessä se toteuttaa yhtälön.
30
Toinen erityisyys on se, että kaksi Legendren muunnosta palauttaa alkuperäisen funk-tion (selvää). Huomaa, että Legendren muunnoksen muuttuja on vain vanhan funktionderivaatta.
Takaisin Hamiltonin funktioon Muodostetaan Legendren muunnoksella luvusssa10 käsitellystä yleisestä Lagrangen funktiosta L = L(qa, qa, t) Hamiltonin funktio H =H(qa, pa, t), missä merkittiin pa
.= ∂L
∂qa , jota sanotaan yleistetyksi liikemääräksi. Edelläolevan esimerkin mukaisesti lauseke on siis
H(qa, pa, t) =
n∑a=1
qapa − L(qa, qa, t)
Perustellaan seuraavaksi, että Lagrangen yhtälö (10) antaa nyt Hamiltonin yhtälöt
∂H
∂pa= qa ja
∂H
∂qa= −pa (56)
Hamiltonin funktion differentiaali on määritelmänsä mukaan kahdella tapaa ilmaisten
∂H
∂qadqa +
∂H
∂padpa +
∂H
∂tdt = dH = padqa + qadpa − dL
=∂L
∂qadqa + qadpa −
(∂L
∂qadqa +
∂L
∂qadqa +
∂L
∂tdt
)= qadpa −
∂L
∂qadqa − ∂L
∂tdt
mikä antaa, koska differentiaalit ovat riippumattomat
∂H
∂qa= − ∂L
∂qa(10)= − d
dt
(∂L
∂qa
)≡ −pa ja
∂H
∂pa= qa
Saadaan samalla kaksi muutakin tulosta, edellisestä
∂H
∂t= −∂L
∂t
ja Hamiltonin yhtälöiden avulla
dH
dt=∂H
∂qaqa +
∂H
∂papa +
∂H
∂t= −paqa + qapa +
∂H
∂t=∂H
∂t(57)
Yhteenvetona: Kanoniset muuttujat qa ja pa toteuttavat Hamiltonin kanoniset yh-tälöt (56). Yleistä dynaamista järjestelmää kuvaa yksi funktio, joko L(qa, qa, t) taiH(qa, pa, t). Potentiaalienergiafunktio U ei esiinny. Tästä syystä käsitteelle konserva-tiivisuus on löydettävä uudenlainen luonnehdinta46. Asetamme sen seuraavasti: Järjes-telmä on konservatiivinen, jos H (tai L) ei riipu eksplisiittisesti ajasta, ts. ∂H
∂t = 0.
46Määritelmä ei enää voi olla se, että potentiaalifunktio riippuu vain paikasta.
31
Tällöin havainnon (57) nojalla dHdt = 0, mikä merkitsee sitä, että H on liikevakio, sen
arvo määräytyy alkuehdosta.
Itseasiassa edes liike-energia T ei esiinny (tai on piilossa taustalla) yleisen dynaamisenjärjestelmän kuvailussa. Yleisen dynaamisen järjestelmän peruskäsite ei ole energia,vaan vaikutus (ks. luku 12).
Jos kuitenkin järjestelmä on yksinkertainen ja konservatiivinen, antaa Hamiltonin funk-tio kokonaisenergian. Tällöin L = L(qa, qa) = T (qa, qa)−U(qa) ja hiukkasjärjestelmällepätee relaatio (12), nyt siis
T =1
2gab(q
c)qaqb
Tällöin väite saadaan perusteltua
H = qapa − L = qa∂L
∂qa− L = qa
∂T − U∂qa
− (T − U)
= qa∂T
∂qa− T + U
∗= 2T − T + U = T + U = E
eli Hamiltonin funktio antaa kokonaisenergian. Tässä kohta ∗ perustellaan sillä, että
qa∂T
∂qa= 2T
Tämän voi perustella suoralla laskulla käyttäen aiemmin tehtyjä välivaiheita
qa∂T
∂qa(8)= qamgabq
b = 2T
Toisaalta kyse on suoraan Eulerin lauseesta homogeenisille funktioille. Nimittäin todellaT on qa:n 2. asteen homogeeninen funktio nopeudesta, eli T (cqa) = c2T (qa).
32
V Vaikutus ja vaikutusperiaate
Tiivistelmä Liitetään jokaiseen dynaamisen järjestelmän liikkeeseen, jota esittäätapahtuma-avaruuden mielivaltainen käyrä, vaikutus (58). Vaikutuksen yleinen vari-aatio on (59). Tarkastelemalla kahden kiinnitetyn tapahtuma-avaruuden pistetapah-tuman välisiä käyriä, todetaan, että luonnollisille liikkeille, jotka määritelmän mukaanovat ne, jotka toteuttavat Hamiltonin yhtälöt, variaatio häviää. Hamiltonin periaatteek-si kutsutaan periaatetta, jonka mukaan luonnolliset liikkeet ovat täsmälleen ne joillevariaatio häviää. Variaatio voidaan ilmaista myös Lagrangen funktion käyräintegraalinvariaationa.
12 Vaikutusintegraali Hamiltonin kanonisessa formalismissa
Otetaan areenaksi (n+ 1)-ulotteinen tapahtuma-avaruus, jonka pistettä esittävät koor-dinaatit47 qi, t (i ∈ Nn). Liitetään tapahtuma-avaruuden kuhunkin pisteeseen yleistettyliikemäärä pa (missä a ∈ Nn).
Kahta pistetapahtumaa A ja B yhdistää tapahtuma-avaruudessa käyrä C : qa = qq(u)ja t = t(u), missä u on käyräparametri. Tällöin pa = pa(u) käyrällä C (kokoajana ∈ Nn).
Yleisen dynaamisen järjestemän mielivaltaista liikettä luonnehtii vaikutusintegraali J– lyhyesti vaikutus48:
J .=
∫ B
A
(padqa −Hdt) =
∫ uB
uA
(pa
dqa
du−H dt
du
)du (58)
Minkälaisen liikkeen dynaaminen järjestelmä ”tunnistaa/tunnustaa” fysikaaliseksi? Mi-kä on se periaate, joka klassisessa mekaniikassa ”valitsee” kaikkien ehdokkaiden joukostayksikäsitteisesti fysikaalisen liikkeen ja jättää huomiotta muut, ei-fysikaaliset liikkeet?
Näihin kysymyksiin vastaamiseksi ja eo. vaikutuksen J lausekkeen ymmärtämiseksi,otetaan tutkittavaksi . . .
13 Vaikutuksen yleinen variaatio
Muodostetaan vaikutukset äärettömälle käyräjoukolle tapahtuma-avaruudessa; kukinkäyrä voi liittyä dynaamisen järjestelmän liikkeeseen:
J (v) =
∫ uB
uA
(pa∂qa
∂u−H ∂t
∂u
)du
47Konfiguraatioavaruudessa ei ole koordinaattia t. Se erotuksena tapahtuma-avaruuteen.48Selitysyritykset: metafyysikot, mystikot, teologit → ei kommentteja. matematikkka → ei pystytty
johtamaan. Tätä ei voi johtaa, se on nerokkaan mielen aikaansaannos.
33
missä qa = qa(u, v), t = t(u, v) ja pa = pa(u, v).
Mikä on dJdv ? Entä J :n variaatio δJ ? Lasketaan49
dJdv
=∂J∂v
=∂
∂v
(∫ uB
uA
(pa∂qa
∂u−H ∂t
∂u
)du
)=
∫ uB
uA
(∂pa∂v
∂qa
∂u+ pa
∂2qa
∂v∂u− ∂H
∂v
∂t
∂u−H ∂2t
∂v∂u
)du
missä∫ uB
uA
pa∂2qa
∂v∂udu =
∫ uB
uA
pa∂
∂u
(∂qa
∂v
)du =
[pa∂qa
∂v
]uBuA
−∫ uB
uA
∂pa∂u
∂qa
∂vdu
ja täysin vastaavasti ∫ uB
uA
H∂2t
∂v∂u=
[H∂t
∂v
]uBuA
−∫ uB
uA
∂H
∂u
∂t
∂vdu
Näillä:
dJdv
=
[pa∂qa
∂v−H ∂t
∂v
]uBuA
+
∫ uB
uA
(∂pa∂v
∂qa
∂u− ∂pa
∂u
∂qa
∂v+∂H
∂u
∂t
∂v− ∂H
∂v
∂t
∂u
)du
josta saadaan variaatioksi
δJ =dJdv
δv =
[pa∂qa
∂vδv −H ∂t
∂vδv
]uBuA
+
∫ uB
uA
(∂pa∂v
δv∂qa
∂u− ∂pa
∂u
∂qa
∂vδv +
∂H
∂u
∂t
∂vδv − ∂H
∂vδv∂t
∂u
)du
= [paδqa −Hδt]uBuA +
∫ uB
uA
(δpa
∂qa
∂u− ∂pa
∂uδqa +
∂H
∂uδt− δH ∂t
∂u
)du
= [paδqa −Hδt]uBuA +
∫ uB
uA
(δpa
∂qa
∂udu− ∂pa
∂uδqadu+
∂H
∂uδtdu− δH ∂t
∂udu
)= [paδq
a −Hδt]uBuA +
∫ uB
uA
(δpadqa − dpaδqa + δtdH − δHdt) (59)
Tämä lauseke on vaikutuksen (58) yleinen variaatio.
Tämä on Hamiltonin formalismin kehittämisen kannalta olennainen tulos – huomaakaksi termiä:
i) sijoitustermi −→ luku 15.
ii) integraalitermi −→ luku 14.
34
A
B
Kuva 1: Käyräjoukko pisteiden A ja B välillä. Kullakin käyrällä v on vakio.
14 Hamiltonin vaikutusperiaate
Pidetään seuraavassa päätepisteet A ja B kiinteinä (ks. Kuva 1) siis
δqa|A = δqa|B = 0 = δt|A = δt|B
Tällöin
δJ =
∫ B
A
(δpadqa − δqadpa + δtdH − δHdt)
Koska on
δH = δH(qa, pa, t) =∂H
∂qaδqa +
∂H
∂paδpa +
∂H
∂tδt
niin
δJ =
∫ B
A
(δpadqa − δqadpa + δtdH −
(∂H
∂qaδqa +
∂H
∂paδpa +
∂H
∂tδt
)dt
)=
∫ B
A
((dqa − ∂H
∂padt
)δpa −
(dpa +
∂H
∂qadt
)δqa +
(dH − ∂H
∂tdt
)δt
)=
∫ tB
tA
((dqa
dt− ∂H
∂pa
)δpa −
(dpadt
+∂H
∂qa
)δqa +
(dH
dt− ∂H
∂t
)δt
)dt
Dynaamisen järjestelmän liike on luonnollinen (fysikaalinen), mikäli Hamiltonin yhtälöt
qa =∂H
∂paja pa = −∂H
∂qaja
∂H
∂t=
dH
dt(60)
49Sama se kirjoittaako osittaisderivaatan vai ei kun u, v erikseen ovat näiden funktioiden muuttujia.
35
Huomautus: Itseasiassa viimeinen ehto täyttyy aina kun kaksi edellistäkin, sillä kahdenensimmäisen pätiessä on
dH
dt≡ ∂H
∂qadqa
dt+∂H
∂padpa
dt+∂H
∂t
=∂H
∂qa∂H
∂pa− ∂H
∂pa∂H
∂qa+∂H
∂t=∂H
∂t
Tällöin δJ = 0 kaikille variaatioille δqa, δpa, δt, mikä tarkoittaa sitä, että J :llä on sta-tionaarinen arvo luonnolliselle (realistiselle) liikkeelle verrattuna muihin (virtuaalisiin)liikkeisiin samoilla päätepisteillä.
Stationaarisuusominaisuutta
δ
∫ B
A
(padqa −Hdt) = 0
kutsutaan Hamiltonin periaatteeksi. Sen toinen muoto on δ∫ tBtA
Ldt = 0, koska
δ
∫ B
A
(padqa −Hdt) = δ
∫ B
A
(padqa − (qapa − L)dt)
= δ
∫ B
A
(padqa − dqapa + Ldt) = δ
∫ B
A
Ldt
Luonnollisen liikkeen muodostamisesta Hamiltonin formalismissa, vaihtoehtoisesti:
i) Hamiltonin periaate. Otetaan kaksi tapahtumaa. Tarkastellaan vaikutuksia, jotkakuvaavat näiden kahden tapahtuman välisiä mahdollisia liikkeitä. Valitsemalla seliike, jota luonnehtivalla vaikutuksella on stationaarinen arvo, on saatu luonnol-linen (dynamiikan sallima) liike.
ii) Hamiltonin yhtälöt. Luonnollinen liike muodostetaan alkuehtoja hyväksi käyttäen(matemaattisesti kyse on ns. Cauchy-ongelmasta). Alkuarvoina toimivat annetutqa, pa, t arvot, joita on 2n + 1 kappaletta. Hamiltonin funktio H = H(qa, pa, t)tietenkin tunnetaan ja Hamiltonin yhtälöistä (60) saadaan laskettua qa:n ja pa:narvot. Derivoimalla yhtälöitä t:n suhteen yhä uudelleen (ja uudelleen) saadaanmääritettyä qa:n ja pa:n kaikkien kertalukujen derivaatat. Näitä derivaattojen ar-voja käyttämällä muodostetaan Taylorin sarjat, jotka suppenevat kohti funktioitaqa(t) ja pa(t).
36
VI Hamiltonin–Jacobin teoria
Tiivistelmä Dynaamisen järjestelmän luonnollisia liikkeitä karakterisoi yksin Hamil-tonin karakteristinen funktio. Se toteuttaa differentiaaliyhtälöt (63), joiden avulla sys-teemin faasiavaruusmuuttujien aikakehitys saadaan ratkaistua pelkästään derivoimalla(Hamiltonin funktio ja Lagrangen funktiokin karakterisoi luonnollisia liikkeitä, muttajohtavat differentiaaliyhtälöiden ratkaisemiseen).
Hamiltonin karakteristinen funktio toteuttaa Hamiltonin–Jacobin yhtälön (65). Täs-tä voidaan, jos systeemin Hamiltonin funktio tunnetaan, yrittää ratkaista Hamiltoninkarakteristinen funktio. Jacobin lauseen mukaan, jos ratkaisu on olemassa, niin yhtä-löt (72) antavat kaikki luonnolliset liikkeet. Esimerkkinä lasketaan Keplerin ongelma,vapaa hiukkanen, harmoninen oskillaattori ja hiukkanen homogeenisessa gravitaatio-kentässä.
15 Hamiltonin karakteristinen funktio
Palataan luvun 13 vaikutuksen yleiseen variaatioon (59). Tarkastellaan kahta lähek-käistä luonnollista liikettä A→ B ja A′ → B′. Liikkeelle A→ B on
δJ = [paδqa −Hδt]BA (61)
koska luvun 14 mukaan integraalitermin variaatio häviää Hamiltonin yhtälöiden seu-rauksena luonnolliselle liikkeelle.
Merkitään tapahtuma-avaruudessa olevaa pistettä (tunnetuilla, kiinteillä) koordinaa-teilla (qa, t) pisteeksi A. Piste B olkoon vastavasti se, jonka koordinaatit ovat (qa, t).Erottakoon A:n A′:sta δqa, δt ja B:n B′:sta δqa, δt. Sijoittamalla nämä yhtälöön (61)saadaan
δJ = paδqa −Hδt− paδqa +Hδt (62)
joka on50 (Hamiltonin mukaan) ”muuttuvan vaikutuksen laki”: yhdestä luonnollisestaliikkeestä siirrytään toiseen luonnolliseen liikkeeseen muuttamalla vain päätepisteitä.
Luonnollista liikettä A → B tapahtuma-avaruudessa kuvaava vaikutus J on vain(qa, t):n ja (qa, t):n funktio. Toisin sanoen nämä 2n + 2 suuretta määräävät yksikä-sitteisesti A:ta ja B:tä yhdistävän käyrän ja siten vaikutuksen.
Merkitään tällaista dynaamista vaikutusfunktiota symbolilla S = S(qa, t | qa, t). S:nvariaatiota δS kuvaa51 muuttuvan vaikutuksen laki (62).
50Siis: Jos päätepisteet ovat kiinteät, on sijoitus nolla. Nyt Kuitenkin päätepisteillä on variaatio-ta. Päätepisteen variaatio B:ssä on δqa, δt, joten nämä sijoittamalla on sijoitustermi paδqa − Hδt.Vastaavasti variaatio päätepisteessä A on δqa, δt ja tätä vastaava sijoitustermi tulee vähentää sittenedellisestä. Ehkä parempi olisi ollut merkitä B:n koordinaatteja vaikka qa, t, mutta näin se nyt menee.
51käytetty merkintää δJ tämän luvun alusta kuitenkin.
37
S on nk. Hamiltonin karakteristinen funktio (tai Hamiltonin prinsipaalifunktio) – ni-mensä mukaisesti se yksin karakterisoi dynaamista järjestelmää, sen luonnollisia liik-keitä. Teoreettisen mekaniikan koko (Hamiltonin) formalismi kiteytyy karakteristisenfunktion S olemassaoloon!
Muuttuvan vaikutuksen laista voidaan laskea S:n osittaisderivaatat52:
∂S
∂qa= pa
∂S
∂t= −H ∂S
∂qa= −pa
∂S
∂t= H (63)
Oletetaan, että S = S(qa, t | qa, t) tunnetaan (jotenkin saatu). Dynaamisen järjestel-män kaikki luonnolliset liikkeet voidaan silloin määrittää tarvitsematta ratkaista ainut-takaan differentiaaliyhtälöä, kun annettuina alkuarvoina ovat qa, pa ja t.
Esimerkiksi, jos
S =1
2
(q − q)2
t− t(64)
järjestelmälle, jolla on vain yksi vapausaste, niin
∂S
∂q= −p antaa − q − q
t− t= −p
josta saadaan53
q(t) = q + p(t− t)
Kyseessä on siis vapaa hiukkanen (massaltaan 1), joka liikkuu suoraa viivaa (geodeesi)pitkin vakionopeudella q = p.
Huomataan myös
∂S
∂q= p antaa
q − qt− t
= p
toisinsanoen, koska vasemmalla puolella saadaan erikoistapauksena erotusosamäärä q,on q = p = p.
16 Hamiltonin–Jacobin yhtälö
Oletetaan, että Hamiltonin funktio H = H(qa, pa, t) tunnetaan. Osittaisderivaattaan∂S∂t = −H sijoittamalla pa = ∂S
∂qa saadaan Hamiltonin–Jacobin yhtälö
∂S
∂t+H
(qa,
∂S
∂qa, t)
= 0 (65)
52Laskettuna pisteessä A tai B vastaavasti, molemmin puolin on siis lukuja kun A,B tunnetaan, eifunktioita.
53vrt. x = x0 + v0(t− t0).
38
Tämä voidaan esittää myös muodossa
−∂S∂t
+ H(qa,− ∂S
∂qa, t)
= 0
Kyseessä on 1. kertaluvun epälineaarinen osittaisdifferentiaaliyhtälö – yksi riippuvamuuttuja S ja n+ 1 riippumatonta muuttujaa qa, t.
Esimerkiksi vapaan (1-massaisen) hiukkasen liikkeelle (ks. luku 15) Hamiltonin funktioon
H(q, p, t) =1
2p2
jolloin Hamiltonin–Jacobin yhtälöksi tulee54
∂S
∂t+
1
2
(∂S
∂q
)2
= 0
Tarkistus: S kaavassa (64) toteuttaa yhtälön identtisesti:
1
2
∂
∂t
((q − q)2
t− t
)+
1
8
(∂
∂q
((q − q)2
t− t
))2
= 2(q − q)2 ∂
∂t
(1
t− t
)+
(2(q − q)t− t
)2
=−2(q − q)2 1
(t− t)2+
(2(q − q)t− t
)2
= 0
17 Jacobin lause
Oletetaan, että Jacobin yhtälöllä
∂S
∂t+H
(qa,
∂S
∂qa, t)
= 0
on olemassa ratkaisu, joka on esitettävissä nk. täydellisenä integraalina55
S = S(qa, t |αa) + γ
sisältäen mielivaltaiset56, ei-additiiviset integrointivakiot αa (a ∈ Nn) sekä mielivaltai-sen additiivisen integrointivakion γ.
54Huomaa epälineaarisuus: toinen potenssi.55Yleisesti näin ei ole. Huomautus: Sana integraali tarkoittaa ratkaisua. Sana täydellinen tarkoittaa
yhtä monta mielivaltaista vakiota (αa, γ) kuin on riippumattomia muuttujia (qa, t).56Hamiltonin–Jacobin yhtälö sisältää S:n osittaisderivaattoja, ei S:ää sellaisenaan.
39
Kun täydellinen integraali on tiedossa (saatu) niin silloin
∂S
∂αa.= −βa vrt.
∂S
∂qa= −pa ; (qa, t)→ (αa, βa)
missä myös βa ovat mielivaltaisia vakioita57.
Yhtälöt ∂S∂αa = −βa, joita on n kappaletta, sisältävät n+1 muuttujaa qa, t ja 2n vakiota
αa, βa.
Nämä yhtälöt ratkaisemalla saadaan
qa = qa(t, αb, βb) b ∈ Nn
liikemäärä puolestaan määritetään yhtälöstä58
pa =∂S
∂qa
Täydellinen integraali ja luonnollinen liike?
Pidetään täydellistä integraalia
S(qa, t |αa) + γ
(2n+2):n riippumattoman muuttujan qa, t, αa, γ funktiona. Hamiltonin–Jacobin yhtälö(65) antaa59
∂S(qa, t |αa)
∂t+H
(qa,
∂S(qa, t |αa)
∂qa, t)
= 0
∂/∂αa
====⇒ ∂2S
∂αa∂t+
∂
∂αa
(∂S
∂qb
)∂H
∂(∂S∂qb
) = 0
⇒ ∂2S
∂αa∂t+
∂2S
∂αa∂qb∂H
∂pb= 0 (66)
mikä tarkoittaa n kappaletta yhtälöjä, joista voidaan ratkaista funktiot ∂H∂pb
.
Voidaan johtaa myös, että
∂S(qa, t |αa)
∂αa= −βa
d/dt==⇒ ∂2S
∂t∂αa+
∂
∂qa
(∂S
∂αa
)dqb
dt= −dβa
dt
β:t vakioita= 0
⇒ ∂2S
∂t∂αa+
∂2S
∂qb∂αaqb = 0 (67)
57Ideana arvataan, että ne ovat vakioita! Kun näin valitsemme, saamme Hamiltonin yhtälöt. Vält-tämätöntä ehtoa ei olla edes hakemassa.
58Vrt. esimerkki luvun 15 lopussa.59tässä osittaisderivaatat on aika kyseenalaisia, kun ne eivät osu funktion muuttujiin. Ei tarvitse
uskoa ellei halua, näin Markku kuitenkin teki.
40
joista voidaan ratkaista funktiot qb.
Yhtälöt (66) ja (67) antavat Hamiltonin yhtälön
qa =∂H
∂pa(68)
Edelleen Hamiltonin–Jacobin yhtälö (65) antaa
∂S(qa, t |αa)
∂t+H
(qa,
∂S(qa, t |αa)
∂qa, t)
= 0
∂/∂qa
===⇒ ∂2S
∂qa∂t+∂H
∂qa+
∂
∂qa
(∂S
∂qb
)∂H
∂(∂S∂qb
) = 0
⇒ ∂2S
∂αa∂t+∂H
∂qa+
∂2S
∂qa∂qb∂H
∂pb= 0 (69)
joista voidaan ratkaista ∂H∂qa , t.
Vielä saadaan
∂S(qa, t |αa)
∂qa= pa
d/dt==⇒ ∂2S
∂t∂qa− pa +
∂
∂qb
(∂S
∂qa
)dqbdt
= 0
(68)==⇒ ∂2S
∂t∂qa− pa +
∂2S
∂qb∂qa∂H
∂pb= 0 (70)
joista voidaan ratkaista pa, t. Yhtälöt (69) ja (70) antavat Hamiltonin yhtälön
pa = −∂H∂qa
(71)
Edellä todistettiin siis Jacobin lause Hamiltonin–Jacobin yhtälön täydellisille integraa-leille: Oletetaan, että S = S(qa, t |αa) on mikä tahansa Hamiltonin–Jacobin yhtälön(65) täydellinen integraali. Tällöin jokainen dynaamisen järjestelmän liike, jota esittä-vät yhtälöt
∂S
∂αa= −βa ja
∂S
∂qa= pa (72)
on luonnollinen, ts. toteuttaa Hamiltonin yhtälöt (68) ja (71).
Kaikki luonnolliset liikkeet saadaan antamalla vakioille αa, βa kaikki arvot.
41
18 Hamiltonin–Jacobin yhtälöt ja Keplerin ongelma
Tarkastelun kohteena on m-massaisen hiukkasen tasoliike60 siten, että liike-energia on
T =1
2m(r2 + r2θ2)
ja potentiaalienergia
U =k
r
missä k on vakio ja r, θ ovat napakoordinaatit.
Lagrangen funktio on
L = T − U =1
2m(r2 + r2θ2)− k
r
ja Hamiltonin funktio
H = qapa − L = rpr + θpθ − L (73)
missä pa = ∂L∂qa .
Saadaan
pr =∂L
∂r= mr ⇒ r =
prm
ja
pθ =∂L
∂θ= mr2θ ⇒ θ =
pθmr2
Tällöin
H =1
2m
(p2r +
pθr2
)+k
r= H(r, θ, pr, pθ, t)
∗= H(r, pr, pθ)
missä ∗ seurasi siitä, että yhtälön (73) perusteella61
∂H
∂θ= 0 ja
∂H
∂t= 0
Hamiltonin–Jacobin yhtälö (ks. (65)) on
∂S
∂t+
1
2m
((∂S
∂r
)2
+1
r
(∂S
∂θ
)2)
+k
r= 0 (74)
60oletamme tietävämme tämän61Huomautus vielä näihin: Ensimmäinenhän tarkoittaa Hamiltonin yhtälöiden mukaan, että pθ = 0,
eli pθ = mr2θ ei pyörimismäärä, on liikevakio. Toinen taas tarkoittaa, että järjestelmä on konservatii-vinen.
42
Mikä on täydellinen integraali S = S(r, θ, t |α1, α2) + γ?
Suoritetaan muuttujien r, θ ja t erottelu (separointi); yritteenä S = S1(r)+S2(θ)+S3(t).Sijoitus Hamiltonin–Jacobin yhtälöön (74) antaa
1
2m
((dS1
dr
)2
+1
r2
(dS2
dθ
)2)
+k
r︸ ︷︷ ︸.=α1
= −dS3
dt
missä vasen puoli, jota merkittiin α1:llä, on siis vakio ajan suhteen. Tämän vuoksiaikariippuvuus voidaan ratkaista
dS3
dt= −α1 ⇒ S3 = −α1t+ vakio
Voidaan myös laskea, että
1
2m
((dS1
dr
)2
+1
r2
(dS2
dθ
)2)
+k
r= α1
·2mr2===⇒ r2
(dS1
dr
)2
+
(dS2
dθ
)2
+ 2mkr = 2α1mr2
⇒(
dS2
dθ
)2
= 2α1mr2 − 2mkr − r2
(dS1
dr
)2
︸ ︷︷ ︸.=(α2)2 missä α2 on vakio
josta
dS2
dθ= α2 ⇒ S2 = α2t+ vakio
Saadaan edelleen
2α1mr2 − 2mkr − r2
(dS1
dr
)2
= (α2)2
:r2=⇒ 2α1m− 2mk
r−(
dS1
dr
)2
=(α2)2
r2
⇒ S1 = e
∫ √2α1m− 2mk
r− (α2)2
r2dr + vakio
missä e = ±1 on indikaattori. Siten kaikenkaikkiaan
S = e
∫ √2α1m− 2mk
r− (α2)2
r2dr + α2θ − α1t+ γ = S(r, θ, t |α1, α2) + γ
Kaikki tieto kaikkien planeettojen liikkeestä on tässä.
43
Luonnolliset liikkeet määritetään Jacobin lauseen avulla. Yhtälö ∂S∂α1 = −β1 antaa
em
∫dr√
2α1m− 2mkr −
(α2)2
r2
− t = −β1
josta voidaan ratkaista r ajan t funktiona. Yhtälö ∂S∂α2 = −β2 antaa
−eα2
∫dr
r2
√2α1m− 2mk
r −(α2)2
r2
+ θ = −β2
josta voidaan ratkaista r kulman θ funktiona. Yhdessä saadaan θ ajan t funktiona.
Lisäksi yhtälö ∂S∂qa = pa antaa
∂S
∂r= pr ⇒ pr = e
√2mα1 − 2mk
r− (α2)2
r2
∂S
∂θ= pθ ⇒ α2 = pθ = mr2θ
siis α2 on vakiopöyrimismäärä. Lisäksi, koska ∂S∂t = −H niin α1 = H = E on vakioko-
konaisenergia. Siis vakioilla α1, α2 on fysikaalinen merkitys.
Harjoitustehtävä 1: Vapaa hiukkanen Tarkoituksena on ratkaista vapaalle hiuk-kaselle täydellinen integraali ja ratakäyrä Hamiltonin–Jacobin yhtälön avulla.
Halutaan ensin Hamiltonin funktio. Se on Lagrangen funktion Legendren muunnosH = xp−L, ja yksinkertaiselle järjestelmälle Lagrange on L = T −U . Liike-energia onT = 1
2mx2 ja potentiaali U = 0. Yleistetty liikemäärä on
p ≡ ∂L
∂x=∂T
∂x= mx
joten
H = x(mx)− 1
2mx2 =
1
2mx2 =
p2
2m=
1
2m
(∂S
∂x
)2
missä viimeinen seurasi Jacobin lauseesta. Hamiltonin–Jacobin yhtälö on
∂S
∂t+H
(x,∂S
∂x, t)
= 0
jonka avulla haetaan täydellistä integraalia
S(x, t | α1, α2) + γ
Olkoon yrite S = S1(t) + S2(x), jolloin
∂S
∂x=∂S2
∂x
44
ja Hamilton-Jacobi tulee muotoon
∂S1
∂t+
1
2m
(∂S2
∂x
)2
= 0
⇒ ∂S1
∂t= − 1
2m
(∂S2
∂x
)2
︸ ︷︷ ︸.=α1
= 0
missä siis α1 ei ole ajan funktio. Samaten ∂S1
∂t ei ole paikan funktio ja
∂S1
∂t= − 1
2m
(∂S2
∂x
)2
= −α1
niin α1 ei ole paikan funktiokaan. Siten
S1(t) = −α1t
ja koska∂S2
∂x= e
√−2m
∂S1
∂t= e√
2mα1 ⇒ S2(x) = e√
2mα1x
joten
S = S1 + S2 + γ = −α1t+ e√
2mα1x+ γ
Edelleen H-J antaa
∂S
∂α1= −β1
⇒ −t+ em√
2mα1x = −β1
⇒ x(t) = e(t− β1)
√2mα1
m
∗=⇒ x(t) = e(t− β1)
√2mE
m
⇒ x(t) = e(t− β1)
√m2v2
m= e(t− β1)|v|
missä ∗ seurasi siitä, että H-J:n mukaan −α1 = ∂S1
∂t = −H.
Harjoitustehtävä 2: Harmoninen värähtelijä Tarkoituksena on ratkaista yksiu-lotteiselle harmoniselle värähtelijälle täydellinen integraali ja ratakäyrä Hamiltonin–Jacobin yhtälön avulla.
Hamiltonin funktio systeemille on
H =p2
2m+
1
2mkx2
45
ja Hamiltonin–Jacobin yhtälö (65) on
∂S
∂t+
1
2m
(∂S
∂x
)2
+1
2mkx2 = 0
Hamiltonin karakteristisen funktion S muodostamiseksi tehdään jälleen muuttujienseparointi S = Sx(x) + St(t), jolloin saadaan
∂St∂t
= − 1
2m
(∂Sx∂x
)2
− 1
2mkx2
Tästä poimitaan vakio (ajan ja paikan suhteen, kuten edellä) α
α.= − 1
2m
(∂Sx∂x
)2
− 1
2mkx2
jolloin St = αt ja siten
1
2m
(∂Sx∂x
)2
= −1
2mkx2 − α
⇒ ∂Sx∂x
= e√−m2kx2 − 2mα
⇒ Sx =
∫e√−m2kx2 − 2mα dx + C
Täydellinen integraali on siten
S = αt+
∫ x
x0
e√−m2kx2 − 2mα dx
Luonnolliset liikkeet ratkeavat Jacobin lauseen mukaan yhtälöstä
∂S
∂α= −β
⇒ t+
∫ x
x0
e∂
∂α
(√−m2kx2 − 2mα
)dx = −β
⇒ t+ e
∫ x
x0
m√−m2kx2 − 2mα
dx = −β
Merkitään −2mα.= a2, tehdään muuttujanvaihto m
√kx = y (jossa nyt kun x : x0 → x
niin y :√kmx0 →
√kmx), ja muistetaan integrointikaava∫
dx√a2 − x2
= arcsinx
a
46
niin saadaan
−β = t+ e
∫ m√kx
m√kx0
m√a2 − y2
1
m√k
dy
= t+e√k
arcsin
(m√kx
a
)− arcsin
(m√kx0
a
).= t+
e√k
arcsin
(m√kx
a
)+ C
Täten
arcsin
(m√kx
a
)= e√k(−β − t) + C
⇒ m√kx
a= sin
(e√k(−β − t) + C
)⇒ x(t) =
a
m√k
sin(e√k(−β − t) + C
)= D sin (eωt+ ϕ)
josta saadaan harmonisen oskillaattorin kaikki luonnolliset liikkeet antamalla vakioilleD ja ϕ kaikki arvot.
Harjoitustehtävä 3: Pystysuora putoamisliike Tarkoituksena on ratkaista täy-dellinen integraali ja ratakäyrä Hamiltonin–Jacobin yhtälön avulla pystysuorassa va-paassa putoamisliikkeessä olevalle hiukkaselle.
Valitaan koordinaatiksi korkeus x. Hamiltonin funktio on
H =p2
2m+mgx
Hamiltonin–Jacobin yhtälö (65) on nyt samalla muuttujien separoinnilla kuin edellä
∂St∂t
+1
2m
(∂Sx∂x
)2
+mgx = 0
ja vakioksi poimitaan
α.=
1
2m
(∂Sx∂x
)2
+mgx
Nyt St(t) = −αt ja
∂Sx∂x
= e√
2mα− 2m2gx
47
jolloin Hamiltonin karakteristiseksi funktioksi saatiin
S = −αt+ e
∫ x
x0
√2mα− 2m2gxdx
Nyt luonnolliset liikkeet antaa yhtälö
−β =∂S
∂α= −t+ e
∫ x
x0
m dx√2mα− 2m2gx
‖ 2m2gx = z
= −t+ e
∫ 2m2gx
2m2gx0
m√a− z
1
2m2gdz
= −t+e
2mg
∫ 2m2gx
2m2gx0
(a− z)−1/2 dz
= −t+e
2mg
[−2√a− z
]2m2gx
2m2gx0
= −t+e
mg
(√a− 2m2gx−
√a− 2m2gx0
)josta ratkaistaan
−emgβ = −emgt+√a− 2m2gx−
√a− 2m2gx0
⇒√a− 2m2gx = −emgβ + emgt+
√a− 2m2gx0
⇒ a− 2m2gx =(− emgβ + emgt+
√a− 2m2gx0
)2⇒ x(t) =
2mα−(emg(β − t) +
√2mα− 2m2gx0
)22m2g
⇒ x(t) = x1 −1
g
(1√2eg(β − t) + ν
)2
missä x1 on paikan dimensiota ja ν uusi mielivaltainen vakio ja nämä ovat riippumat-tomat. Näyttäähän se jo kaavalta
x(t) = h− va(t− t0)− 1
2g(t− t0)2
kun määritellään
x1 −ν2
g
.= h ja
−ν√2
.= va ja β = t0
Siis ok!
* Kvanttidynamiikkaa
Heisenbergin kuvassa konfiguraatioavaruuden paikkaoperaattorin62 qaop ominaisketvek-tori on |qa, t〉 ja ominaisbravektori 〈qa, t|. Sisätulo 〈qa2 , t2|qa1 , t1〉 on63
62paikka ↔ yleistetyt koordinaatit63vrt. S(qa2 , t2 | qa1 t1)
48
i) siirtymäamplitudi (todennäköisyysamplitudi) sille, että dynaaminen järjestemäsiirtyy tilasta |qa1 , t1〉, jota vastaa tapahtuma-avaruuden piste (qa1 , t1) tilaan |qa2 , t2〉,jota vastaa tapahtuma-avaruuden piste (qa2 , t2).
ii) (aika)muunnosfunktio, joka liittää toisiinsa kaksi kantaketjoukkoa eri ajanhetki-nä; Heisenbergin kuvassa aikakehitystä kuvaa unitaarinen muunnos, joka muun-taa64 kantaketjoukon |qa1 , t1〉 kantaketjoukoksi |qa2 , t2〉.
Unitaariselle operaattorille Uop.= U pätee:
UU† = U†U = 1op
Unitaarisessa muunnoksessa, jota esittää U , muuntuu operaattori65 ϑop.= ϑ seuraa-
vasti:
ϑ→ UϑU†.= ϑ
Sanotaan, että ϑ ja ϑ ovat unitaarisesti ekvivalentit.
Infinitesimaalinen unitaarinen operaattori
U = 1op + iG
~
missä Gop.= G on infinitesimaalinen hermiittinen operaattori, G† = G, joka generoi
operaattorin ϑ infinitesimaalisen muunnoksen:
ϑ =
(1op + i
G
~
)ϑ
(1op − i
G
~
)= ϑ+
i
~Gϑ− i
~ϑG+X = ϑ− i
~[ϑ,G]
joten
δϑ.= ϑ− ϑ = − i
~[ϑ,G] (75)
Muunnos siirtymäamplitudissa 〈qa2 , t2|qa1 , t1〉 johtuu paitsi aikaparametrien t1 ja t2,myös operaattorien (observaabeleiden) qa1op ja qa2op muutoksista – nämä puolestaan ovatperäisin kvanttimekaanisen dynaamisen järjestelmän muutoksista, joita kuvaa δJop si-ten, että
δqaop = − i~
[qaop, δJop] (76)
Muutoksen luonne riippuu valituista reunaehdoista.
Kvanttidynaaminen variaatio, eli Schwingerin variaatio:
δ〈qa2 , t2|qa1 , t1〉 = i⟨qa2 , t2
∣∣∣δJop
~
∣∣∣qa1 , t1⟩ (77)
64Kannanvaihto. Vrt. kanoninen muunnos klassisessa dynamiikassa: osa VII.65siis mikä tahansa operaattori
49
missä infinitesimaalinen hermiittinen operaattori δJop on hermiittisen operaattorin Jopvariaatio.
Erityistapauksia (valintoja reunaehdoiksi):
i) Kun δt1 = δt2 = 0 ja δqa1op = δqa2op = 0op, niin66 δ〈qa2 , t2|qa1 , t1〉 = 0. Muutenvariaatiot δt ja δqaop ovat mielivaltaiset. Koska nyt matriisielementti
i⟨qa2 , t2
∣∣∣δJop
~
∣∣∣qa1 , t1⟩on nolla kaikille variaatioille δt ja δqaop välillä [t1, t2] niin δJop = 0op. Kysessä onkvanttimekaaninen ”Hamiltonin periaate”; sen toinen muoto on
δ
∫ t2
t1
Lopdt = 0op
missä Lop on hermiittinen Lagrangen operaattori.
Kvanttimekaaninen ”muuttuvan vaikutuksen laki”:67
δJop =∂Lop
∂qa2opδqa2 −H2opδt2 −
∂Lop
∂qa1opδqa1 +H1opδt1
ii) Otetaan (”viivästyneet”) reunaehdot δqa1op = 0op ja δt1 = 0, jolloin
δJop =∂Lop
∂qa2opδqa2 −H2opδt2
Asetetaan δqa1op = 0op (δqa2 = 0), jolloin δJop = −H2opδt2. Silloin Schwingerinvariaatio (77) antaa
i~δ〈qa2 , t2|qa1 , t1〉 = 〈qa2 , t2|H2op|qa1 , t1〉δt2
josta saadaan korvaamalla68 t2 → t ja ”pyyhkimällä kakkoset” Schrödingerinyhtälö siirtymä-amplitudille (eli ”propagaattorille”)
i~∂
∂t〈qa, t|qa1 , t1〉 = 〈qa, t|Hop|qa1 , t1〉
missä siis |qa1 , t1〉 on kiinteä.
iii) Otetaan (”viivästyneet”) reunaehdot δqa1op = 0op ja δt1 = 0 ja asetetaan δt2 = 0,jolloin
δJop =∂L2op
∂qa2opδqa2
66ominaisarvot qa1 ja qa2 eivät muutu67Markku: ”Voi alleviivata, mutta ei kehtaa laatikoida kun ite keksin.”68Tässä ei tapahdu mitään muuta kuin loppupisteen B aikakoordinaatti t annetaan olla mikä ta-
hansa: muuttuja.
50
Jälleen ”pyyhitään kakkoset” ja saadaan yhtälöstä (76)
δqaop = − i~
[qaop, δJop] = − i~
[qaop,
∂Lop
∂qbop
]δqb
Asettamalla δqaop = δqa1op, siis olennaisesti ”kvanttiluku” δqaop ”klassiseksi luvuk-si” δqa, saadaan
i~δqa1op =[qaop,
∂Lop
∂qbop
]δqb
joka antaa kanonisen kommutaatiorelaation[qaop,
∂Lop
∂qbop
]δqb = i~δab 1op missä
∂Lop
∂qbop≡ pb op
iv) Otetaan (”edistyneet”) reunaehdot δqa2op = 0op ja δt2 = 0. Tällöin saadaan (ks.(75) ja (76))
δϑ = − i~
[ϑ, δJop]
⇒ dϑ
dt1δt1 = − i
~
[ϑ,−∂L1op
∂qa1opδqa1 +H1opδt1
]∗
=⇒ dϑ
dtδt = − i
~[ϑ,Hopδt]
missä ∗ seurasi siitä, että asetetaan δqa1op = 0. On siis saatu Heisenbergin liikeyh-tälö
i~dϑ
dt= [ϑ,Hop]
51
VII Kanoniset muunnokset
Tiivistelmä Faasiavaruuteen voidaan jokaiseen pisteeseen liittää suunta, joka kertoomihin suuntaan siinä luonnollinen liike kehittyy (aivan kuin tuo piste olisi alkuehto).Täten faasiavaruus täyttyy luonnollisen liikkeen käyristä, jotka ovat kullekin systeemilleominaiset.
Pistemuunnos faasiavaruudessa on (80). Siinä koordinaatit qa muuntuvat mielivaltai-sesti q′a:iksi. Sen sijaan kovektori pa muuntuu vektorin muunnoslain mukaisesti, elise on määrätty. Faasiavaruuteen voitaisiin kuitenkin periaatteessa, koska sen muuttu-jat ovat riippumattomat, toisin kuin konfiguraatioavaruuden, tehdä yleinen muunnos,missä myös pa → p′a mielivaltaisesti. Kun näin ohitamme konfiguraatioavaruuden, jasiellä pätevän Lagrangen yhtälön, voi tosin käydä niin, etteivät Hamiltonin yhtälöt olevoimassa uusille koordinaateille. Määritellään, että koordinaattimuunnos faasiavaruu-dessa on kanoninen, jos Hamiltonin yhtälöt säilyvät. Pistemuunnokset ovat kanonisia,mutta on paljon muitakin.
Seuraava tavoite on kehittää testejä sille, milloin annettu muunnos on kanoninen. Ote-taan käyttöön faasiavaruusmuuttujien Poissonin sulkeet (85). Näiden avulla Hamiltoninyhtälöt voidaan esittää hyvin symmetrisessä muodossa (86). Todistetaan tulos, jonkamukaan koordinaatit ovat kanoniset täsmälleen silloin jos niille pätee Poissonin sulkei-den avulla ilmaistu ”kommutaatiorelaatio” (87). Poissonin sulkeet ovat myös kanonisiainvariantteja, jolloin niiden avulla ilmaistut yhtälöt, kuten Hamiltonin yhtälöt (86),ovat kanonisesti kovariantteja.
Toisena testinä todetaan, että muunnos on kanoninen, jos sitä vastaava (infinitesimaa-lisia siirtymiä kiinnitetystä pisteestä kuvaava bilineaarimuoto pysyy invariantti, eli onvoimassa (92). Tätä sanotaan bilineaari-invariantiksi.
Seuraavaksi tarkastellaan kanonisen muunnuksen generoimista. Osoittautuu, että mie-livaltaiselle funktiolle G(qa, qa), jolle yhtälöryhmästä (93) voidaan ratkaista muunnok-set, ovat nämä muunnokset kanonisia. Generoivaksi funktioksi voidaan valita myösG(pa, pa), G(qa, pa) tai G(qa, pa), jolloin yhtälöryhmä muuttuu vastaavasti hieman.
Separoimalla muuttuja t Hamiltonin karakteristisesti funktiosta yritteellä (100), voi-daan muodostaa Hamiltonin W -funktio. Ottamalla uusiksi faasiavaruuskoordinaateik-si qa Hamiltonin–Jacobin yhtälön ratkaisun mielivaltaiset vakiot αa, sekä generoivaksifunktioksi W , saadaan Hamiltonin funktio erittäin yksinkertaiseen muotoon (102). Senseurauksena ovat näissä koordinaateissa on systeemin liikkuessa kaikki faasiavaruus-koordinaatit vakioita, paitsi yksi on lineaarinen funktio ajasta.
Myös Hamiltonin karakteristinen funktio generoi kanonisen muunnoksen hieman eritavalla. Se on funktio S = S(qa, t|qa, t) eli ajateltaessa kaikkien faasiavaruuden pistei-den liikettä, voidaan jokaista ajanhetkeä pitää aktiivisena koordinaattimuunnoksena,siinähän qa → qa kaikkialla faasivaruudessa. Muuttuvan vaikutuksen lain seurauksenatämä aktiviinen muunnos on kanoninen.
Infinitesimaalinen muunnos muotoa (103) on aina kanoninen. Funktiolla g on tässä
52
suora yhteys generoivana funktioon G. Jos Hamiltonin funktio on invariantti infini-tesimaalisessa kanonisessa muunnoksessa, jonka ”generoi” funktio g, on kyse lokaalis-ta symmetriasta, jossa g on liikevakio. Todetaan esimerkkinä, että liikemäärä generoipaikkatranslaatiot ja säilyy translaatiosymmetrisessä systeemissä, ja vastaavasta pyöri-mismäärä z-akselin ympäri generoi kierrot sen ympäri, ja säilyy jos on kiertosymmetria.
Infinitesimaalisesta kanonisesta muunnoksesta voidaan muodostaa äärellinen, jolloindynaamisen muuttujan kehityksen muunnosparametrin funktiona määrää yhtälö (108).Erityisesti, koska edellä olevan nojalla aikakehitys generoi kanonisen muunnoksen, voi-daan dynaamisen muuttujan aikakehitys ratkaista systeemin Hamiltonin funktion avul-la muotoon (110). Tästä esimerkkinä ratkaistaan hiukkanen tasaisesti kiihtyvässä liik-keessä. Yhtälöä (108) voidaan myös verrata kvanttimekaniikassa Heisenbergin kuvanoperaattorien aikakehitysyhtälöön. Tämä antaa esimerkin Diracin vastaavuussäännös-tä.
19 Faasiavaruus
Rajataan tarkastelu (yksinkertaisuuden vuoksi) konservatiivisiin järjestelmiin:
H = H(qa, pa)∂H
∂t= 0 (78)
Muutetaan Hamiltonin formalismin geometrista kuvailua siten, että vaihdetaan (n+1)-ulotteinen tapahtuma-avaruus 2n-ulotteiseksi faasiavaruudeksi, jonka pisteitä esittävätkoordinaatit (qa, pa) (a ∈ Nn).
Dynaamisen järjestelmän hetkellistä tilaa – vaihetta eli faasia – kuvaa (liikkuva) pistefaasiavaruudessa. Kussakin faasiavaruuden pisteessä Hamiltonin yhtälöt
qa =∂H
∂paja pa = −∂H
∂qa(79)
määrittelevät (autonomisena differentiaaliyhtälöryhmänä) tietyn suunnan.
Kaikki pisteet huomioiden saadaan suuntakenttä, jota käyttämällä faasiavaruus ”täyte-tään” käyrillä – yksi käyrä kunkin pisteen kautta69 – jotka esittävät kaikkia luonnollisialiikkeitä.
Esimerkki: Vapaan hiukkasen 1-ulotteiselle liikkeelle H = 12p
2 kun m = 1. Hamiltoninyhtälöt antavat
dq = pdt ja dp = 0 ⇒ dp
dq= 0
Toisinsanoen, käyrät luonnollisen liikkeen käyrät ovat sellaisia, että p ei muutu, kun q:tamuutetaan. Siis ne ovat (q, p)-koordinaatistossa vaakasuoria viivoja, nuolet osoittaen
69mielikuvana puun syyt laudankappaleessa
53
joko oikealle tai vasemmalle. Yhtälö dq = pdt kertoo, että koordinaatiston alueessap > 0 osoittavat nuolet oikealle ja alueessa p < 0 vasemmalle.
Esimerkki: Harmoninen värähtelijä. Hamiltonin funktio on
H =p2
2m− 1
2kq2
jolloin Hamiltonin yhtälöistä (79) saadaan
dq =p
mdt ja dp = kqdt ⇒ dp
dq=kqm
p
Siis p-koordinaattiakselilla, kun q = 0, on derivaatta 0. Lähestyttäessä q-akselia koordi-naatiston 1. neljänneksessä, on derivaatta (plus)ääretön. Tämän perusteella ratakäyrätovat ehkä ellipsejä. Tarkemmin: Origo-keskiselle ellipsille
x2
a2+y2
b2= r2
joten sen funktiot on
y = ±b√r2 − x2
a2⇒ dy
dx= ±b
− xa2√
r2 − x2
a2
= ∓ b2
a2
x
y
Valitsemalla siis a = 1 ja km = b2, on saatu differentiaaliyhtälö todella ellipsin diffe-rentiaaliyhtälö.
20 Kanoniset muunnokset. Poissonin sulkeet ja bilineaari-inva-riantti
Koordinaattimuunnoksessa qa → q′a = q′a(qa) kontravektorin
qa =dqa
dtmuunnosrelaatio on q′a =
∂q′a
∂qbqb
ja kovektorin
pa =∂L
∂qamuunnosrelaatio on p′a =
∂qb
∂q′apb
Lisäksi luvun 10 mukaisesti Lagrangen funktio L(qa, qa) on invariantti ja Lagrangenyhtälö
d
dt
(∂L
∂qa
)− ∂L
∂qa= 0
on kovariantti.
54
Tämä Lagrangen yhtälön kovarianssi implikoi Hamiltonin yhtälöiden (79) kovarianssinko. muunnoksessa qa → q′a = q′a(qa):
q′a =∂H
∂p′aja p′a = − ∂H
∂q′a
missä H(qa, pa) = H ′(q′a, p′a) kuvaa Hamiltonin funktion invarianssia70.
Muunnosta
qa → q′a = q′a(qb) ja pa → p′a = p′a(pb) missä p′a =∂qb
∂q′apb (80)
kutsutaan pistemuunnokseksi.
Konfiguraatioavaruudessa, joka on n-ulotteinen, tämä on yleisin (ajasta riippumaton)muunnos, jossa Hamiltonin yhtälöt säilyttävät kanonisen muotonsa.
Faasiavaruudessa, joka on 2n-ulotteinen, on pistemuunnos tarpeettoman rajoittava.Laajennetaan muunnos koskemaan faasiavaruuskoordinaatteja qa, pa:
qa → qa = qa(qa, pa) ja pa → pa = pa(qa, pa) (81)
Mikäli muunnosfunktiot qa ja pa ovat mielivaltaiset, voidaan kuitenkin menettää Ha-miltonin yhtälöiden kanoninen muoto. Otetaan sen tähden vain sellaiset muunnokset,että Hamiltonin yhtälöt
qa =∂H
∂paja pa = −∂H
∂qa(82)
muuntuvat yhtälöiksi
qa
=∂H
∂paja pa = −∂H
∂qa(83)
muunnoksessa (81). Tällaisia muunnoksia kutsutaan kanonisiksi muunnoksiksi. Piste-muunnos (80) on kanonisen muunnoksen erikoistapaus.
Oletetaan seuraavaksi, että qa, pa ovat kanoniset koordinaatit, jolloin Hamiltonin yhtä-löt (82) pätevät. Miten testataan, onko muunnos (81) kanoninen, toisinsanoen ovatkoqa, pa kanoniset koordinaatit, jolloin yhtälöt (83) pätevät? Ehtoja käsitellään alaluvuis-sa 20.1 ja 20.2.
20.1 Poissonin sulkeet
Otetaan mikä tahansa kanonisten koordinaattien funktio u(qa, pa) (ei eksplisiittistät-riippuvuutta).
70Muista: invariantti saa saman arvon moniston samassa pisteessä riippumatta siitä miten se onparametrisoitu. Jos parametrisaatiot ovat ϕ1, ϕ2 niin H ≡ H0 ϕ1 ja H′ ≡ H0 ϕ2 missä H0 onkuvaus monistolta maalijoukkoon.
55
Koska Hamiltonin yhtälöt (82) ovat voimassa, niin
u =du
dt=
∂u
∂qaqa +
∂u
∂papa =
∂u
∂qa∂H
∂pa− ∂u
∂pa
∂H
∂qa.= [u,H] (84)
Edellä on otettu käyttöön funktioiden u(qa, pa) ja v(qa, pa) Poissonin sulkeet
[u, v] ≡ ∂u
∂qa∂v
∂pa− ∂u
∂pa
∂v
∂qa(85)
Ominaisuuksia:
i) [u, u] = 0
ii) [u, v] = −[v, u]
iii) [u+ v, w] = [u,w] + [v, w]
iv) [uv,w] = u[v, w] + v[u,w]
v) [u, [v, w]] + [w, [u, v]] + [v, [w, u]] = 0
Kun u = qa, niin (84):n perusteella
qa = [qa, H] =∂qa
∂qb︸︷︷︸δab
∂H
∂pb− ∂qa
∂pb︸︷︷︸=0
∂H
∂qb=∂H
∂pa
ja kun u = pa niin
pa = [pa, H] =∂pa∂qb
∂H
∂pb− ∂pa∂pb
∂H
∂qb= −∂H
∂qa
Täten voidaan Hamiltonin yhtälöt esittää erittäin symmetrisessä muodossa
qa = [qa, H] ja pa = [pa, H] (86)
vertaa myös luku 26.
Kun u = H niin saadaan H = [H,H] = 0, kuten pitkin, koska tarkasteltavana onkonservatiivinen järjestelmä.
Kun u = qa ja v = qb, niin
[qa, qb] =∂qa
∂qc∂qb
∂pc− ∂qa
∂pc
∂qb
∂qc= 0
vastaavasti saadaan[pa, pb] = 0
Kun u = qa ja v = pb, niin[qa, pb] = δab
56
Koska
u =∂u
∂qa∂H
∂pa− ∂u
∂pa
∂H
∂qa
on voimassa mille tahansa kanonisten koordidaattien funktiolle u(qa, pa) niin asetta-malla u = qa(qa, pa) saadaan
qa
=∂qa
∂qb∂H
∂pb− ∂qa
∂pb
∂H
∂qb
∗=∂qa
∂qb
(∂H
∂qc∂qc
∂pb+∂H
∂pc
∂pc∂pb
)− ∂qa
∂pb
(∂H
∂qc∂qc
∂qb+∂H
∂pc
∂pc∂qb
)=∂qa
∂qb∂H
∂qc∂qc
∂pb+∂qa
∂qb∂H
∂pc
∂pc∂pb− ∂qa
∂pb
∂H
∂qc∂qc
∂qb− ∂qa
∂pb
∂H
∂pc
∂pc∂qb
=∂H
∂qc
(∂qa
∂qb∂qc
∂pb− ∂qa
∂pb
∂qc
∂qb
)+∂H
∂pc
(∂qa
∂qb∂pc∂pb− ∂qa
∂pb
∂pc∂qb
)≡ ∂H
∂qc[qa, qc] +
∂H
∂pc[qa, pc]
kohta ∗ seuraa vain siitä, että H:ta voidaan yhtä hyvin pitää viivallisten koordinaattienfunktiona, koska nämä ovat funktioita viivattomista.
Vastaavasti asettamalla u = pa(qa, pa) saadaan
pa =∂pa∂qb
∂H
∂pb− ∂pa∂pb
∂H
∂qb
∗=∂pa∂qb
(∂H
∂qc∂qc
∂pb+∂H
∂pc
∂pc∂pb
)− ∂pa∂pb
(∂H
∂qc∂qc
∂qb+∂H
∂pc
∂pc∂qb
)=∂pa∂qb
∂H
∂qc∂qc
∂pb+∂pa∂qb
∂H
∂pc
∂pc∂pb− ∂pa∂pb
∂H
∂qc∂qc
∂qb− ∂pa∂pb
∂H
∂pc
∂pc∂qb
=∂H
∂qc
(∂pa∂qb
∂qc
∂pb− ∂pa∂pb
∂qc
∂qb
)+∂H
∂pc
(∂pa∂qb
∂pc∂pb− ∂pa∂pb
∂pc∂qb
)≡ ∂H
∂qc[pa, q
c] +∂H
∂pc[pa, pc] = −∂H
∂qc[qc, pa] +
∂H
∂pc[pa, pc]
Hamiltonin yhtälöt viivallisille koordinaateille (83) pätevät, jos
[qa, qc] = [pa, pc] = 0 ja [qa, pc] = δac (87)
Nämä ehdot on täytyttävä mille tahansa71 Hamiltonin funktiolle H, jotta qa, pa olisivatkanoniset koordinaatit.
Poissonin sulkeet ovat kanonisia invariantteja:
[u, v]q,p = [u, v]q,p
71Nämä ovat siis ”kinemaattiset ehdot”. Ei ”dynaamiset”, dynamiikka on H:ssa ja nämä eivät siitäriipu.
57
missä qa, pa ja qa, pa ovat kanonisia koordinaatteja ja tämä aiemman merkinnän laa-jennus tarkoittaa72
[u, v]q,p.=
∂u
∂qa∂v
∂pa− ∂u
∂pa
∂v
∂qaja [u, v]q,p
.=
∂u
∂qa∂v
∂pa− ∂u
∂pa
∂v
∂qa
Perustellaan väite kanonisesta invarianssista: Kun
u = u(qa(qa, pa), pa(qa, pa)) ja v = v(qa(qa, pa), pa(qa, pa))
niin
[u, v]q,p = . . .HT . . . = [u, v]q,p
Poissonin sulkeiden kanonisesta invarianssista seuraa erityisesti se, että Poissonin sul-keiden avulla ilmaistut yhtälöt vat kanonisesti kovariantteja ts. kovariantteja kanoni-sessa muunnoksessa. Esimerkkinä ovat juuri Hamiltonin yhtälöt.
Lisätietoa: Derivaattaoperaattori Lisätietoa liittyen Poissonin sulkeisiin: Poisso-nin sulkeiden avulla voidaan ottaa käyttöön derivaattaoperaattori
H.= i[H, · ] ≡
(∂H
∂qa∂
∂pa− ∂H
∂pa
∂
∂qa
)jolloin
H u = i[H,u] = −i[u,H]
missä73 u = u(qa, pa) ja siis
iH u = [u,H] = u ts.du
dt= iH u
Esitetään74 u = u(qa(t), pa(t)), liittyen luonnolliseen liikkeeseen, muodossa
u =
∫ ∏a,b
dqadpbρ(qa, pa, t)u(qa, pa)
missä
ρ(qa, pa, t) =∏a,b
δ(qa − qa(t))δ(pb − pb(t))
mikä siis korvaa mielivaltaiset integrointimuuttujat qa, pa luonnolliseen liikkeeseen joh-tavilla (parametrisoiduilla) muuttujilla qa(t), pa(t).
72Muista: summaus yli a:n.73edellinen pätee kyllä myös tapauksessa u = u(qa, pa, t), mutta seuraava enää ei.74On se t kokoajan ollut implisiittisenä mukana, mutta nyt vain tuli kirjoitettua ihan näkyviin.
58
Tällöin, kun
du
dt→ ∂ρ
∂tja iH u→ −iH ρ
niin tuloksena on osittaisdifferentiaaliyhtälö
i∂ρ
∂t= H ρ (88)
tai toisinsanoen∂ρ
∂t+ [ρ,H] = 0 (89)
Muodollinen vastaavuus
i) yhtälöllä (88) kvanttimekaniikan Schrödingerinyhtälön
ii) yhtälöllä (89) statistisen mekaniikan Liouvillen yhtälön (ks. luku 26)
kanssa.
20.2 Bilineaari-invariantti
Poissonin sulkeiden lisäksi on olemassa toisenlainen (ja hyödyllinen) bilineaarinen kom-binaatio, nimittäin bilineaarimuoto δqaδpa−δpaδqa. Tässä δqa, δpa ja δqa, δpa kuvaavatkahta75 infinitesimaalista (samasta pisteestä lähtevää) siirtymää faasiavaruudessa.
Tehdään muunnos (81) ja etsitään ehtoa: Milloin tämä muunnos on kanoninen?
Oletetaan, että qa, pa ovat kanoniset koordinaatit: Hamiltonin yhtälöt (82) toteutuvat,toisessa muodossaan
dqa =∂H
∂padt ja dpa = −∂H
∂qadt
Silloin mielivaltaiselle infinitesimaaliselle siirtymälle76 δqa, δpa on(dqa − ∂H
∂padt
)δpa −
(dpa +
∂H
∂qadt
)δqa = 0
⇒ dqaδpa − dpaδqa − dt
(∂H
∂paδpa +
∂H
∂qaδqa)
= 0
⇒ dqaδpa − dpaδqa − dt
(δH − ∂H
∂t︸︷︷︸=0
δt
)= 0 (90)
missä viimeinen huomio seuraa valinnasta tarkastella vain konservatiivisia järjestelmiä(ks. tämän osan VII aloitus). Siis on saatu
dqaδpa − dpaδqa = dt δH (91)
75siis δ on toinen siirtymä, missä molemmat muuttuvat, sitten δ on se toinen siirtymä.76kuitenkaan dqa,dpa eivät ole mielivaltaiset.
59
Ideana asetetaan
δqaδpa − δpaδqa = δqaδpa − δpaδqa (92)
ja katsotaan mitä tästä seuraa. Otetaan77 δqa = dqa ja δpa = dpa. Saadaan
δqaδpa − δpaδqa = dqaδpa − dpaδqa(91)= dt δH
= dt
(∂H
∂tδt+
∂H
∂qaδqa +
∂H
∂paδpa
)josta kerätään tulos(
δqa − ∂H
∂padt
)δpa −
(δpa +
∂H
∂qadt
)δqa = 0
missä δqa, δpa oli mielivaltainen infinitesimaalinen siirtymä, joten yhtälöt
δqa =∂H
∂padt ja δpa = −∂H
∂qadt
ovat voimassa kaikille H. Toisinsanoen, kun δqa → dqa ja δpa → dpa on tuloksena(83).
Johtopäätös:78 Kun ehto δqaδpa−δpaδqa = δqaδpa−δpaδqa on voimassa kaikille infini-tesimaalisille siirtymille, on muunnos (81) kanoninen. Kutsutaan kanonista invarianttiaδqaδpa − δpaδqa bilineaari-invariantiksi (kanonisessa muunnoksessa).
Luvuissa 20.1 ja 20.2 on kuvattu kanonisen muunnoksen testaamista - entä sitten ka-nonisen muunnoksen luominen (generoiminen)?
21 Kanonisen muuunnoksen generoiva funktio
Muodostetaan 2n-muuttujan qa, qa funktio G(qa, qa) siten, että79
pa =∂G
∂qaja pa = − ∂G
∂qa(93)
Nämä 2n yhtälöä liittävät toisiinsa muuttujat qa, pa, qa, pa. Yhtälöiden ratkaisuinaovat80 muunnosrelaatiot qa = qa(qa, pa) ja pa = pa(qa, pa). Kääntäen qa = qa(qa, pa)
77”voidaan tehdä valitsemalla tietynlainen funktionaalinen muoto Hamiltonille”78Todistus suomennettuna: Oletetaan, että qa, pa ovat kanoniset koordinaatit ja että viivallisille
muunnoksille on voimassa (92). Väitetään, että viivalliset koordinaatitkin on kanoniset. Ensin tode-taan, että laskun (90) nojalla on (91). Nyt vaihdetaan vasemmalle puolen oletuksen nojalla viivalli-nen versio ja oikealle puolelle kirjoitetaan Hamiltonin differentiaali viivallisten differentiaalien avulla.Takaperin lasku (90) antaa silloin väitteen.
79tämä otetaan lähtökohdaksi, enempää G:stä ei tiedetä.80jos ovat. Kaikille funktioille G eivät yhtälöt toki ratkea tai anna muunnosta. Annetaan siis tar-
koitettu määritelmä hieman tarkemmin: Olkoon G = G(q, q). Jos yhtälöryhmänp = ∂G
∂q
p = ∂G∂q
ratkaisuna on muunnos
p→ p = p(p, q)
q → q = q(p, q)
niin tämä muunnos on kanoninen (tulos, katso eteenpäin) ja G on sen generoiva funktio (määritelmä).
60
ja pa = pa(qa, pa). Todetaan seuraavaksi, että kyseessä on kanoninen muunnos.
Yhtälöt (93) voidaan, mielivaltaisille δqa ja δqa esittää ekvivalentissa muodossa
paδqa − paδqa =
∂G
∂qaδqa +
∂G
∂qaδqa (94)
missä oikealta puolen voidaan identifioida G:n (eksakti) differentiaali ”δ-diffentioinninsuhteen”. Differentiaoimalla puolittain δ:lla saadaan
δpaδqa + paδδq
a − δpaδqa − paδδqa = δδG (95)
Vaihtamalla81 δ ↔ δ saadaan
δpaδqa + paδδq
a − δpaδqa − paδδqa = δδG (96)
Nyt vähentämällä (96) yhtälöstä (95) saadaan
δpaδqa +
paδδq
a − δpaδqa −HHHHpaδδq
a
− δpaδqa −paδδqa + δpaδq
a +HH
HHpaδδqa = δδG− δδG
⇒ δpaδqa − δpaδqa − δpaδqa + δpaδq
a = 0 (97)
missä on käytetty hyväksi sitä, että82 δδ = δδ. Tulos (97) merkitsee luvun 20.2 mu-kaisesti sitä, että muunnos todellakin on kanoninen. Funktiota G(qa, qa) kutsutaankanonisen muunnoksen generoivaksi funktioksi (generaattoriksi).
Esimerkki: Esimerkiksi 1-ulotteisessa liikkeessä funktio G(q, q) = q/q generoikanonisen muunnoksen. On nimittäin
p =∂G
∂q=
1
qja p = −∂G
∂q=
q
q2
⇒ q =1
pja p = qp2 (98)
ja kääntäen q = q2p ja p =1
q(99)
Käyttäen relaatioita (98) ja (99), voidaan laskea,83 että muunnos todella on ka-noninen:
δqδp− δpδp = . . .HT . . . = δqδp− δpδq
81Oikeutus: Oltaisiin voitu (94) ottaa uudelleen differentiaalilla δ ja differentioida puolittain δ:llaniin olisi saatu juuri tätä seuraava.
82Schwartzin lauseen analogia83Huomaa: Tämä on oikeastaan vain tarkistus, sillä mitään rajoituksia ei asetettu funktiolle G, se
generoi kanonisen muunnoksen muodostaan riippumatta, kuten edellinen lause osoittaa.
61
Kanonisen muunnoksen qa, pa → qa, pa generoivana funktiona voidaan käyttää 2n-muuttujan papa funktiota G(pa, pa) siten, että
qa =∂G
∂paja qa = − ∂G
∂pa
Perustelu, kuten funktion G(qa, qa) tapauksessa muodostamalla eksakti differentiaali,on harjoitustehtävä.
Kanoninen muunnos qa, pa → qa, pa on mahdollista generoida myös ”sekamuotoisen”funktion G(qa, pa) avulla siten, että
pa =∂G
∂qaja qa =
∂G
∂pa
Perustelu HT.
Esimerkiksi 1-ulotteisessa liikkeessä G(q, p) = qp generoi kanonisen muunnoksen
p =∂G
∂q= p ja q =
∂G
∂p= q
Kyseessä on siis identtisyysmuunnos.
HT: G(qa, pa). Muotoile väite, keksi muunnos, todista se.
22 Generoiva funktio ja Hamiltonin–Jacobin yhtälö
Konservatiivisessa järjestelmässä (ks. (78)) Hamiltonin–Jacobin yhtälö (65) on
∂S
∂t+H
(qa,
∂S
∂qa)
= 0
Tämän ratkaisu voidaan muodostaa erottamalla muuttuja t yritteellä84
S = −Et+W (qa) + γ
tarkemmin S(qa|qa) = −Et+W (qa|qa) + γ (100)
missä E, γ ovat vakioita, edellyttäen, että W (qa) toteuttaa (”redusoidun” Hamiltonin–Jacobin) yhtälön
H(qa,
∂W
∂qa)
= E
Funktiota W kutsutaan nimellä Hamiltonin karakteristinen W -funktio.85
84vrt. luku 18, α1 = E.85W niikuin William Rowan Hamilton. Itseasiassa nimenomaan tämä yhtälö on Hamiltonilta peräi-
sin, aiemmin esiintynyt yleistys (65) on Jacobilta.
62
Hamiltonin–Jacobin yhtälön täydellinen integraali sisältää n+1 mielivaltaista vakiota,joita merkittiin αa, γ. Näistä voidaan yksi (olkoon se αn) aina valita E:ksi86. Merkitäänkaukonäköisesti loppuja vakioita αi .= qi, missä (i ∈ Nn−1). Merkitään lisäksi E .
= qn.Tällöin W = W (q1, . . . , qn | q1, . . . , qn) ja funktio87 W toteuttaa yhtälön
H(qa,
∂W
∂qa)
= qn (101)
kaikilla arvoille qa, missä a ∈ Nn.
Valitaan kanonisen muunnoksen qa, pa → qa, pa generoivaksi funktioksi W siten, että88
pa =∂W
∂qaja pa = −∂W
∂qa
Siis efektiivisesti W (qa | qa) → W (qa, qa). Tämä merkitsee sitä, että mielivaltaisistavakioista qa on tullut pa:iden ohella faasiavaruuskoordinaatteja89, jolloin yhtälöt
qa
=∂H
∂paja − pa =
∂H
∂qa
ovat voimassa luonnolliselle liikkeelle.
Lisäksi, koska ∂W∂qa = pa niin yhtälöstä (101) saadaan Hamiltonin funktiolle yksinker-
tainen muoto
H ≡ H(qa, pa) = H(qa, pa) = qn (102)
Dynaamisen järjestelmän luonnollista liikettä kuvaavat Hamiltonin yhtälöt voidaan nytintegroida (siis ratkaista) helposti! Mille tahansa b ∈ Nn on nimittäin
qb
=∂H
∂pb=∂qn
∂pb= 0
ja
pb = −∂H∂qb
= −∂qn
∂qb= −δnb
Näistä vedetään yhteen, että qb = Cb on (liike)vakio kaikille b ∈ Nn, pb = Db on(liike)vakio kaikille b ∈ Nn\n ja pn = Dn − t, missä Dn on vakio.
Yhteenvetona: Klassisen teoreettisen mekaniikan Hamiltonin formalismissa generoivafunktio toimii Hamiltonin–Jacobin yhtälön ja kanonisen muunnoksen välisenä linkkinä.
86Kun S on muotoa (100), on ∂S∂t
= −H(qa, ∂S∂qa
) missä vasen puoli ei riipu paikasta eikä oikeaajasta, joten kyseessä on joku vakioista αi. Toisaalta vasen puoli on E.
87Tämä W on funktio siis myös niistä parametreista mistä S, koska ei separointi niitä oikealtamihinkään hävittänyt.
88ks. luku 21.89ts. faasiavaruusmuuttujia.
63
23 Kanonisen muunnoksen generointi dynaamisella juoksevallaaineella
Luvussa 21 (ja 22) kanoninen koordinaatti-muunnos muodostettiin ”matemaattisesti”generoivan funktion G (tai W luvussa 22) avulla.
”Fysikaalinen” lähestymistapa: Tarkastellaan juoksevaa ainetta — liikkuvien ”hiukkas-ten” jatkumoa — ja vedotaan Lagrangen menetelmän ideaan (ks. luvut 4 ja 7), jossavalitaan jokin juoksevan aineen hiukkanen ja seurataan sen liikettä. Nyt dynaamisenjuoksevan aineen hiukkasina90 toimivat dynaamiset järjestelmät.91
Tapahtuma-avaruudessa tällaisen hiukkasen luonnollista liikettä kuvaa92 Hamiltoninkarakteristinen funktio S(qa, t | qa, t) siten, että93
∂S
∂qa= pa ja
∂S
∂qa= −pa
Kun näitä yhtälöitä verrataan luvun 21 yhtälöihin94
∂G
∂qa= pa ja
∂G
∂qa= −pa
missä G = G(qa, qa) ja huomioidaan se, että t ja t ovat95 kiinteitä vakioita (jokaiselleluonnolliselle liikkeelle). Näin voidaan päätellä, että S on generoiva funktio. Joka kerta,kun dynaaminen järjestelmä96 liikkuu, syntyy kanoninen muunnos!
Täten: Kun qa, pa esittää dynaamisen juoksevan aineen hiukkasen sijaintia faasiava-ruudessa hetkellä t ja qa, pa esittää saman hiukkasen sijaintia hetkellä t, on muun-nos qa → qa, pa → pa kanoninen ja Hamiltonin karakteristinen funktio S generoitämän muunnoksen. Aiemmin ”matemaattisissa” tarkasteluissa (luvut 20-22) on kano-nista muunnosta
qa → qa(qa, pa) ja pa → pa(qa, pa)
pidetty passiivisena: koordinaatit (qa, pa) ja qa, pa on liitetty faasiavaruuden samaanpisteeseen.
Sen sijaan, että (qa, pa) esittää samaa pistettä uudessa koordinaatistossa,97 voidaansitä pitää eri pisteenä samassa koordinaatistossa. Tässä tapauksessa on kyse aktiivi-sesta kanonisesta muunnoksesta, kuten edellä98 (qa, pa)→ (qa, pa). Tästä esimerkki on
90rakenteeltaan identtisiä, toisistaan riippumattomia (riippumattomia: ei siis vuorovaikutuksia).91esimerkkinä voisi olla 1-ulotteinen harmoninen värähtelijä. Miljardeja värähtelijöitä → jatkumo.92yksin, pelkästään, täydellisesti.93”muuttuvan vaikutuksen lain” mukaisesti: luvussa 15. Huomaa, että miinusmerkki jälkimmäiseen
yhtälöön tulee siitä, että hatulliset ovat jälkimmäiset koordinaatit S(qa, t | qa, t):ssa. Tilanne ei siksiole symmetrinen.
94Edellisestä poiketen nyt on aivan sama kummat ovat viivalliset koordinaatit: ne joista siirrytäänvai ne joihin siirrytään.
95siis S:ssä96joka vastaa juoksevan aineen hiukkasta97viivalliset koordinaatit98muunnosta parametrisoi aika t
64
esitetty kuvissa 2 ja 3. Kuvassa 2 on saman pisteen Q koordinaatit (q0, 0) tai (q0, p0).Kuvassa 3 taas on pisteet Q ja P , joiden koordinaatit ovat vastaavasti (q0, 0) ja (q1, p1).
p
q
q
p
t
t
Q
Kuva 2: Passiivinen muunnos
q
p
t
Q
P
Kuva 3: Aktiivinen muunnos
Esimerkkinä yksinkertainen lineaarinen harmoninen värähtelijä:
H(q, p) =1
2p2 +
1
2q2
missä m = 1, k = 1 ja järjestelmällä on yksi vapausaste q. Dynaaminen juokseva ai-ne koostuu harmonisista värähtelijöistä99: kunkin dynaamisen käyttäytymisen määrääsama Hamiltonin funktio H(q, p). Hamiltonin yhtälöt
∂H
∂p= q ja
∂H
∂q= −p
99dynaamiset järjestelmät / juoksevan aineen hiukkaset
65
antavat q = p ja p = −q, joista parametrimuotoiseksi100 ratkaisuksi saadaan (vrt. kuvat2 ja 3)
q = q cos t+ p sin t
p = −q sin t+ p cos t
missä q = q(t = 0) ja p = p(t = 0). Muunnos (q, p)→ (q, p) on kanoninen, sillä
δqδp− δpδq = . . .HT . . . = δqδp− δpδq
24 Infinitesimaalinen kanoninen muunnos
Infinitesimaalinen muunnosqa → qa + ε ∂g∂pa
.= qa + δqa = qa
pa → pa + ε ∂g∂qa.= pa + δpa = pa
(103)
missä ε on infinitesimaalisen pieni parametri ja g = g(qa, pa) on mielivaltainen qa:n japa:n funktio, on kanoninen koska
[qa, qb] ≡∂qa
∂qc∂qb
∂pc− ∂qa
∂pc
∂qb
∂qc
=∂
∂qc
(qa + ε
∂g
∂pa
)∂
∂pc
(qb + ε
∂g
∂pb
)− ∂
∂pc
(qa + ε
∂g
∂pa
)∂
∂qc
(qb + ε
∂g
∂pb
)=
(δac + ε
∂2g
∂qc∂pa
)(0 + ε
∂2g
∂pc∂pb
)−(
0 + ε∂2g
∂pc∂pa
)(δbc + ε
∂2g
∂qc∂pb
)=ε
∂2g
∂pa∂pb− ε ∂2g
∂pb∂pa+O(ε2) = O(ε2) ≈ 0
Samaan tapaan (HT)
[pa, pb] = O(ε2) ja [qa, pb] = δab +O(ε2)
Luvun 20.1 nojalla on näin muodostettu infinitesimaalinen muunnos siis kanoninen.
Funktiota g(qa, pa) voidaan pitää infinitesimaalisen kanonisen muunnoksen generoiva-na funktiona. Kyseessä ei toki ole se generoiva funktio, joka määriteltiin ja jota käy-tettiin luvussa 21. Osoittautuu kuitenkin, että funktion g(qa, pa) tunteminen riittäämuodostamaan infinitesimaalisen kanonisen muunnoksen, ja siten ”vastuu muunnok-sen generoinnista” voidaan siirtää funktiolle g(qa, pa). Perustellaan tämä seuraavaksi:Otetaan generoivaksi funktioksi101
G(qa, pa) = qapa + εg(qa, pa) (104)
100parametrina t101Tämä on se oikea generoiva funktio määritelmän mukaan.
66
Tämä on infinitesimaalinen muunnos, sillä ilmiselvästi pelkkä
G(qa, pa) = qapa
generoisi identtisyysmuunnoksen, generointiyhtälöiden ollessa (luvusta 21)
pa =∂G
∂qa= pa ja qa =
∂G
∂pa= qa
Generoivan funktion (104) tapauksessa on
pa =∂
∂qa(qbpb + εg(qb, pb)
)= pa + ε
∂g(qb, pb)
∂qa
mikä johtaa rajalla ε→ 0 ja siis pa → pa tulokseen
pa = pa − ε∂g(qb, pb → pb)
∂qa= pa − ε
∂g(qb, pb)
∂qa
Toisaalta
qa =∂
∂pa
(qbpb + εg(qb, pb)
)= qa + ε
∂g(qb, pb)
∂pa
ε→0−−−→ qa + ε∂g(qb, pb)
∂pa
joten saatiin, kuten piti, yhtälöt (103).
Hamiltonin funktion H invarianssi infinitesimaalisessa kanonisessa muunnoksessa ker-too lokaalista symmetriasta.
24.1 Dynaaminen muuttuja pasiivisessa ja aktiivisessa muunnoksessa
Passiivisessa kanonisessa muunnoksessa qa, pa → qa, pa ei dynaamisen muuttujan102
u(qa, pa) numeerinen arvo muutu (”triviaali invarianssi”), mutta muoto yleensä muuttuu
u(qa, pa) = u(qa, pa) toisinsanoen u(A) = u(A)
Aktiivisessa kanonisessa muunnoksessa puolestaan u:n numeerinen arvo yleensä muut-tuu, mutta muoto ei:
u(qa, pa) 6= u(qa, pa) toisinsanoen u(A) 6= u(B)
Funktio u on invariantti aktiivisessa kanonisessa muunnoksessa qa, pa → qa, pa jos
u(qa, pa) = u(qa, pa) toisinsanoen u(A) = u(B)
102Vastaa havaittajaa suuretta
67
24.2 Symmetriat ja säilymislait
Oletetaan, että Hamiltonin funktio H(qa, pa) on invariantti infinitesimaalisessa kano-nisessa muunnoksessa103
δH = H(B)−H(A) = H(qa + δqa, pa + δpa)−H(qa, pa) = 0
Tällainen invarianssiolettamus104 tarkoittaa sitä, että järjestelmällä on symmetria ky-seisessä muunnoksessa.
Todetaan, että
δH =∂H
∂qaδqa +
∂H
∂paδpa
∗=∂H
∂qaε∂g
∂pa+∂H
∂pa
(ε∂g
∂qa
)= −ε
(∂g
∂qa∂H
∂pa− ∂g
∂pa
∂H
∂qa
)= −ε[g,H]
∗∗= −εq
missä ∗ seurasi luvun 24 alkuosasta105 ja ∗∗ luvusta 20.1. Silloin δH = 0 tarkoittaa,sitä, että g = 0, siis g on liikevakio. Seurauksena dynaamisen järjestelmän symmetriao-minaisuuksien ja säilymislakien läheinen yhteys!
Otetaan ensimmmäisenä tapauksena g(qa, pa) = pa. Tällöin
δqb = ε∂g
∂pb= ε
∂pa∂pb
= εδba
ja δpb = −ε∂pa∂qb
= 0
Esimerkkinä hiukkasen 1-ulotteisessa liikkeessä
qa = x ja pa = px ja g(x, px) = px
jolloin δx = ε ja δpx = 0. Edelläolevat tarkoittavat siis infinitesimaalista translaatiotax-akselia pitkin ja liikemäärän säilymistä106
Yhteenvetona:
i) liikemäärä on paikkatranslaatioiden generoiva funktio (eli generaattori).
ii) liikemäärä säilyy translaatio-symmetrisessä dynaamisessa järjestelmässä.
Tarkastellaan toisena tapauksena
g(qa, pa) = g(x, y, px, py) = xpy − ypx.= lz
103aktiivisessa infinitesimaalisessa kanonisessa muunnoksessa faasiavaruudessa.104Hamiltonin funktio ei muutu, δH = 0, kun dynaamisen järjestelmän tila (liiketila, vaihe) muuntuutoiseksi, A→ B.105ja siitä, että oletetaan, koko osan VII ajan, että ∂H
∂t= 0.
106Edelleen voitaisiin todeta, että kun siis px on vakio, niin T = p2x/2m on vakio ja H = E onvakio. Viimeinen seuraa siitä, että H = T + U(x) ja U(x) = U(x+ ε). Edelleen voitaisiin todeta, ettäFx = − ∂U
∂x= 0.
68
joka on hiukkasen pyörimismäärä z-akselin suhteen. Nyt107
δx = ε∂lz∂px
= −εy ja δy = ε∂lz∂py
= εx (105)
Kyseessä on infinitesimaalinen rotaatio z-akselin ympäri, silläx = x cos ε− y sin ε ≈ x− yεy = x sin ε+ y cos ε ≈ xε+ y
⇒
x− x = −εy = δx
y − y = εx = δy
Saadaan myös
δpx = −ε∂lz∂x
= −εpy ja δpy = −ε∂lz∂y
= εpx (106)
Yhdessä yhtälöistä (105) ja (106) saadaan
δlz = δxpy + xδpy − δypx − yδpx = (−εy)py + x(εpx)− (εx)px − y (−εpy) = 0
Yhteenvetona:
i) pyörimismäärä z-akselin suhteen on ko- akselin suhteen tapahtuvien rotaatioidengeneroiva funktio (generaattori).
ii) pyörimismäärä z-akselin suhteen säilyy rotaatiosymmetrisessä dynaamisessa jär-jestelmässä.
24.3 Infinitesimaalisesta kanonisesta muunnoksesta äärelliseen
Esimerkkitapaus Tarkastellaan näin aluksi esimerkkitapausta
g(qa, pa) = lz
jolloin edeltä luvusta 24.2 saadaan δx = −εy ja δy = εx, missä ε .= δθ on infinitesi-
maalinen rotaatiokulma. Yhtälöt δx = −δθ · y ja δy = δθ · x johtavat differentiaaliyh-tälöpariin
dxdθ = −ydydθ = x
⇒
d2xdθ2 = −dy
dθ = −xd2ydθ2 = dx
dθ = −y⇒
d2xdθ2 + x = 0d2ydθ2 + y = 0
jonka yleinen ratkaisu on x(θ) = A cos θ +B sin θ
y(θ) = C cos θ +D sin θ
107kun kerran muunnoksen ”generaattori” (muista ero oikeaan kanonisen muunnoksen generoivaanfunktioon) on tämä, niin katsotaan millainen on muunnos.
69
Merkitään x(0).= x, x(θ)
.= x, y(0)
.= y ja y(θ)
.= y. Tällöin (HT) saadaan aktiivinen
kanoninen muunnos x = x cos θ − y sin θ
y = x sin θ + y cos θ(107)
joka kuvaa äärellistä rotaatiota z-akselin ympäri108 Vertaa luvun 23 esimerkkiin.
Yleinen tapaus Mille tahansa funktiolle u(qa, pa) pätee infinitesimaalisessa muun-noksessa
δu =∂u
∂qaδqa +
∂u
∂paδpa =
∂u
∂qaε∂g
∂pa+
∂u
∂pa
(−ε ∂g
∂qa
)= ε[u, g]
Otetaan faasiavaruuden käyräparametriksi ω siten, että u = u(ω) ja ε = δω; alkutilallevoidaan aina valita ω = 0. Tarkasteltavana on aktiivinen muunnos!
Näin saadun differentiaaliyhtälön
du
dω= [u, g] (108)
ratkaisu voidaan esittää Taylorin sarjana
u(ω) = u(0) +du
dω
∣∣∣ω=0· ω +
1
2!
d2u
dω2
∣∣∣ω=0· ω2 +
1
3!
d3u
dω3
∣∣∣ω=0· ω3 + · · ·
missä siis
du
dω
∣∣∣ω=0
= [u, g]ω=0
Koska on (HT)
d2u
dω2=
d
dω[u, g] = [[u, g], g]
ja vastaavasti loput derivaatat, niin ratkaisu on lausuttavissa muodossa
u(ω) = u(0) + [u, g]ω=0 · ω +1
2![[u, g], g]ω=0 · ω2 +
1
3![[[u, g], g], g]ω=0 · ω3 + · · · (109)
Esimerkkitapaus uudelleen Sovelletaan edellä olevaa tulosta tapaukseen, jossaω = θ, dynaamiset muuttujat u ovat x ja y, sekä q = lz = xpy − ypx. Lasketaan kaikkikommutaattorit relaatiota (109) varten:
[x, lz] =[x, xpy − ypx] = [x, xpy]− [x, ypx]
=[x, x]py + x
[x, py]−[x, y]px − y [x, px]︸ ︷︷ ︸=1
= −y
108vastaavasti saadaan relaatiot koskien suureita px, py .
70
Näistä ensimmäinen kommutaattori on nolla triviaalistija toinen ja kolmas siksi, et-tä nämä paikat ja liikemäärät voitaisiin valita faasiavaruusmuuttujiksi109. Koska x jay ovat systeemissä antisymmetrisessä roolissa, on vastaavasti [y, lz] = x. Näiden tu-losten avulla saadaan korkeamman kertaluvun kommutaattorit yhtälössä (109) ainaalemmista
[[x, lz], lz] = [−y, lz] = −x[[y, lz], lz] = [x, lz] = −y
[[[x, lz], lz], lz] = [−x, lz] = y
[[[y, lz], lz], lz] = [−y, lz] = −x jne.
Merkitään sitten x(θ = 0) = x. Tällöinhän [x, lz]θ=0 = −y ja muut vastaavasti. Sitenantaa yhtälö (109)
x = x+ (−y) · θ +1
2(−x) · θ2 +
1
3!y · θ3 + · · ·
= x
∞∑n=0
(−1)n
2n!θ2n − y
∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)!θ2n+1
= x cos θ − y sin θ
ja
y = y + x · θ +1
2(−y) · θ2 +
1
3!(−x) · θ3 + · · ·
= y
∞∑n=0
(−1)n
2n!θ2n + x
∞∑n=0
(−1)n
(2n+ 1)!θ2n+1
= y sin θ + x cos θ
Relaatiot ovat samat kuin (107). Tämä oli vain tarkistus, että yleinen formalismimmetuottaa saman tuloksen kuin ensin erikoistapausta laskiessamme saatiin!
Dynaamisen muuttujan aikakehitys yleisesti Valitaan edeltävässä yleisessä kä-sittelyssä g = H ja parametri ω = t, eli aika, jolloin yhtälö (109) antaa dynaamisenmuuttujan u aikakehitykseksi, siis yhtälön (108), nyt yhtälön
du
dt= [u,H]
ratkaisuksi
u(t) = u(0) + [u,H]t=0 · t+1
2![[u,H], H]t=0 · t2 +
1
3![[[u,H], H], H]t=0 · t3 + · · ·
= u(0) + [u(0), H] · t+1
2![[u(0), H], H] · t2 +
1
3![[[u(0), H], H], H] · t3 + · · · (110)
missä viimeinen muoto seurasi siitä, ettei H ole t:n funktio.109Toki x = x(ω), eli lähtökohtaisesti kyseessä ei ole faasiavaruusmuuttuja, vaan niiden funktio:dynaaminen muuttuja. Kuitenkin ∂x
∂y= 0 (jne. muut), koska voisivathan nämä olla faasiavaruusmuut-
tujiakin, ei osittaisderivaatta välitä käyrästä.
71
Hiukkanen tasaisesti kiihtyvässä liikkeessä Edellisen esimerkkinä tarkastellaanm-massaisen hiukkasen 1-ulotteista liikettä, kun kiihtyvyys ax on vakio. Tällöin
H = T + U =p2x
2m−maxx
Edellä esitellyllä formalismilla voidaan laskea dynaamisen muuttujan u = x aikakehitys.Ratkaistaan sitä varten kommutaattorit
[x,H] =
[x,
p2x
2m−maxx
]=
1
2m[x, p2
x]−max[x, x]
=1
2m([x, px]︸ ︷︷ ︸
=1
px + px [x, px]︸ ︷︷ ︸=1
) =pxm
ja [[x,H], H] =
[pxm,p2x
2m−maxx
]=
1
2m[px, p
2x]︸ ︷︷ ︸
=0
−[pxm,maxx
]= −[px, axx] = ax
Korkeamman kertaluvun termit ovat vakion kommutaattoreina nollia. Yhtälöstä (109)saadaan siten tuttu tulos110
x(t) = x(0) +px(0)
mt+
1
2axt
2 missäpx(0)
m= vx(0)
HT: Mikä tulos saadaan valitsemalla u = px?
Yleisen ratkaisun esitys operaattorimuodossa Luvun 20.1 lopussa tehdyn kä-sittelyn mukaan differentiaaliyhtälö (108) voidaan esittää myös muodossa
du
dt= iH u(t) missä H = i[H, · ]
Ratkaisu voidaan symbolisesti arvata olevan u(t) = exp(itH )u(0), ja tämä on itsea-siassa totta:
exp(itH )u(0) ≡ u(0) + itH u(0) +1
2(itH )2u(0) +
1
3!(itH )3u(0) + · · · (111)
ja tässä
itH u(0) = it · i[H,u(0)] = [u(0), H]t
ja (itH )2u(0) = −t2H H u(0) = −it2H [H,u(0)]
= −it2 · i[H, [H,u(0)]] = [[u(0), H], H] · t2
ja (itH )3u(0) = −it3H H H u(0) = it2H [[u(0), H], H]
= it2 · i[H, [[u(0), H], H]] = [[[u(0), H], H], H] · t3
Nämä sijoittamalla lausekkeeseen (111) ja vertaamalla lausekkeeseen (110) todetaanväitteen pitävän paikkansa.110kyseessä on aktiivinen muunnos, jossa koordinaatisto on sama, mutta piste vaihtuu. Vertaa kuviin2 ja 3, nyt kyseessä tosin on yksinkertainen translaatio.
72
Vertailua kvanttimekaniikkaan Kvanttimekaniikassa Heisenbergin liikeyhtälön111
dA
dt=
1
i~[A, H] (112)
ratkaisu on
A(t) = exp( i~Ht) A(0) exp(− i~Ht)
∗= A(0) +
1
i~[A(0), H]t+
1
2!
1
i2~2[[A(0), H], H]t2 +
1
3!
1
i3~3[[[A(0), H], H], H]t3
missä viimeisen sarjaesityksen olemassaolon takaa Bakerin-Cambpellin-Hausdorfin lem-ma. Lausekkeen muoto on itseasiassa operaattorin A Taylor-sarjaesitys. Nimittäin
A(t) = A(0) +dA
dt
∣∣∣t=0· t+
1
2!
d2A
dt2
∣∣∣t=0· t2 +
1
3!
d3A
dt3
∣∣∣t=0· t3
missä liikeyhtälö (112) antaa derivaattatermeiksi
dA
dt=
1
i~[A, H]
jad2A
dt2=
d
dt
(dA
dt
)=
1
i~
[dA
dt, H
]=
1
i2~2[[A, H], H]
jad3A
dt3=
d
dt
(d2A
dt2
)=
1
i2~2
[[dA
dt, H
], H
]=
1
i3~3[[[A, H], H], H]
joten väite pätee.
Huomaa Diracin ”vastaavuusssääntö”:
1
i~[ · , · ]︸ ︷︷ ︸
kommutaattori
←→ [ · , · ]︸ ︷︷ ︸Poissonin sulkeet
111Muista: Heisenbergin kuvassa operaattorit riippuvat ajasta, tilat eivät.
73
VIII Klassista statistista mekaniikkaa
Tiivistelmä Samanlaisten (vuorovaikuttamattomien) järjestelmien joukkoa voidaankuvata pölypilvenä faasiavaruudessa, sillä jokainen järjestelmä on jossain tilassa ja nä-mä pisteet liikkuvat luonnollisesti faasiavaruudessa. Faasiavaruuteen voidaan myös, kuntarkasteltava järjestelmien joukko on suuri, sijoittaa jatkuva lukumäärätiheysfunktiokuvaamaan järjestelmien määrää kussakin pisteessä.
Perustelemme Liouvillen lauseen, jonka mukaan faasiavaruuden infinitesimaalinen, jasiten äärellinenkin, tilavuusalkio (määritelmä: tilavuus sulkee sisäänsä samat järjestel-mät, joiden liikettä seurataan, alussa ja lopussa) säilyttää tilavuutensa. Tämä perus-tellaan ensin yksiulotteisessa tapauksessa faasiavaruuden kolmioinnilla, ja sitten for-maalisti Jacobin determinantin avulla. Jälkimmäisen yhteydessä otetaan käyttöön Ha-miltonin yhtälöiden symplektinen muoto ja symplektiset faasiavaruusmuuttujat.
Kvanttimekaniikassa faasiavaruus muuttuu jatkuvasta diskreetiksi, ja tilavuusalkiokop-pi on tilavuudeltaan Planckin vakio potenssiin faasiavaruuden dimensio. Schwartzildinvaikutusmuuttuja, siis suljetun faasiavaruuden käyrän sisäänsä sulkema pinta-ala, oninvariantti aktiivisessa kanonisessa muunnoksessa. Vaikutusmuuttujan saamat arvotovat klassisesti ajatellen jatkuvia, mutta kvanttimekaniikassa diskreettejä.
25 Dynaaminen pölypilvi
Statistiset menetelmät otetaan käyttöön silloin, kun tutkitaan dynaamista järjestelmää,josta on olemassa jotain tietoa, ei kuitenkaan tarpeeksi, jotta järjestelmän liiketilavoitaisiin spesifioida täydellisesti112.
Teoreettisissa tarkasteluissa järjestelmistä muodostetaan Gibbsin ensemble eli Gibbsinjoukko eli G-joukko. Kaikilla jäsenillä113 G-joukossa on samanlainen rakenne kuin tut-kittavalla järjestelmällä, mutta erilaiset liiketilat114. Järjestelmät eivät vuorovaikutatoistensa kanssa.
Kunkin järjestelmän hetkellinen tila on piste faasiavaruudessa – joukkoa voidaan silloinpitää pisteistä koostuvana ”pölypilvenä”115 faasiavaruudessa. Gibbsin joukon käyttäy-tyminen ajan funktiona voidaan mieltää pölypilven virtaamiseksi – kunkin pisteen ts.”pölyhiukkasen” liike faasiavaruudessa on luonnollista116.
Minä tahansa ajanhetkenä G-joukkoa luonnehditaan (approksimatiivisesti jatkuvan)statistisen jakaumafunktion ρ(qa, pa, t) avulla; statistisessa lähestymistavassa järjes-telmien lukumäärä oletetaan riittävän suureksi. Jakaumafunktio ρ on pölypilven, siisjärjestelmäpisteiden lukumäärätiheys, jolloin ajanhetkellä t faasiavaruuden infinitesi-112esim. karakteristinen funktio spesifioisi täydellisesti.113dynaamiset järjestelmät ovat näitä jäseniä.114eri vaiheet115pölypilven hiukkaset eivät vuorovaikuta keskenään eivätkä muodosta jatkumoa, tässä analogia.116Hamiltonin formalismin mukaisesti
74
maalisessa tilavuusalkiossa117 δq1δq2 · · · δqnδp1δp2 · · · δpn.= δqaδpb pölyhiukkasten ts.
järjestelmäpisteiden lukumäärä on ρ(qa, pa, t) · δqaδpb.= δN . Suppeneva integraali∫
Fρ(qa, pa, t)δq
aδpb.= N
missä F tarkoittaa koko faasiavaruutta, antaa G-joukon järjestelmien kokonaisluku-määrän.
Statistisissa tarkasteluissa voidaan myös käyttää, lukumäärätiheyden ρ sijasta toden-näköisyystiheyttä
σ(qa, pa, t) =1
Nρ(qa, pa, t)
Tällöin σ(qa, pa, t)δqaδpb on todennäköisyys sille, että ajanhetkellä t satunnaisesti valit-
tu G-joukon edustaja löytyy tilavuusalkiosta δqaδpa. Todennäköisyystiheys σ toteuttaanormitusominaisuuden ∫
Fσ(qa, pa, t)δq
aδpb = 1
Minkä tahansa dynaamisen muuttujan f(qa, pa), joka luonnehtii tutkittavaa järjestel-mää, keskiarvo kaikille G-joukon järjestelmille ajanhetkellä t on
〈f(qa, pa)〉 =
∫Ff(qa, pa, t)σ(qa, pa, t)δq
aδpb =1
N
∫Ff(qa, pa, t)ρ(qa, pa, t)δq
aδpb
26 Liouvillen lause
Yksi-ulotteinen tapaus Tarkastellaan ensin sellaista dynaamista järjestelmää, jol-la on vain yksi vapausaste – faasiavaruus on niin ollen 2-ulotteinen q, p-avaruus118.Järjestelmäpiste siirtyy, dynaamisen järjestelmän liikkuessa, faasiavaruuden pisteestäA(q, p) (ajanhetki t) pisteeseen B(q, p) (ajanhetki t).
Liitetään pisteeseen A infinitesimaalinen kolmio, joka muotoaan muuttaen siirtyy pis-teeseen119 B. Tämä on esitetty kuvassa 4.
Kyseessä on eräänlainen q, p-avaruuden ”dynaaminen kolmionti”. Kolmioiden pinta-ala on puolet niiden sivuvektorien virittämän suunnikkaan pinta-alasta, joka saadaanristitulosta ‖~a1 × ~a2‖ tai ‖~b1 × ~b2‖. Kun merkitään koordinaattiakselien suuntaisiayksikkövektoreja ~up, ~uq, niin infinitesimaaliset sivuvektorit ovat
~a1 = δq~uq + δp~up ~a2 = δq~uq + δp~up
~b1 = δq~uq + δp~up ~b2 = δq~uq + δp~up
117laajennuksessa118ja tietysti nämä muodostavat karteesisen koordinaatiston.119Eli kun dynaamiset järjestelmät kussakin pisteessä liikkuvat, generoi tämä liike aktiivisen (ää-rellisen) kanonisen muunnoksen faasiavaruuteen. Kolmiot pysyvät kolmioina, koska ne ovat infinitesi-maalisia (isommat kolmiot pysyvät vain kolmikulmaisina alueina (2-simplekseinä)). Kolmion kärjet onsaatu mielivaltaisilla infinitesimaalisella siirtymillä δ ja δ.
75
A(q,p)
B(q,p)
q+δq,p+δp
q+δq,p+δp
q+δq,p+δp
q+δq,p+δp
p
q
a1
a2
b1
b2
Kuva 4: Faasiavaruuden kolmionti
Kolmion pinta-ala A:ssa120 on
PA =1
2‖~a2 × ~a1‖ =
1
2‖(δq ~uq + δp ~up)× (δq ~uq + δp ~up)‖ =
1
2‖(δqδp− δpδq)~u‖
=1
2(δqδp− δpδq)
missä viimeisessä jätettiin itseisarvo merkitsemättä. Vastaavasti kolmion pinta-alaB:ssäon
PB =1
2(δqδp− δpδq)
Kun dynaaminen järjestelmä liikkuu, on (q, p) → (q, p) kanoninen muunnos (ks. luku23). Bilineaarimuoto δqδp − δpδq on kanoninen invariantti, ts. invariantti kanonisessamuunnoksessa (ks. luku 20.2), siis
δqδp− δpδq = δqδp− δpδq
Täten infinitesimaalisen kolmion pinta-ala121 on kanonisesti invariantti eli ei muutuliikeen seurauksena122. Tällöin ei muutu äärellinen aluekaan123.120tarkoittaa pisteeseen A liitettyä kolmiota121Tämän täytyy tarkoittaa, että ∆A/A→ 0, kun A→ 0.122Huomaa: pätee vain faasiavaruudessa, ei konfiguraatioavaruudessa.123Koska jos jonkun kokoinen alue muuttuu vaikkapa 10%, muuttuu tästä koostetut isommatkinalueet vain sen verran. Ja kun aina löytyy alue, joka muuttuu vain 1%, muuttuu isokin vain senverran. Siispä iso alue ei muutu yhtään.
76
Yleinen tapaus Dynaaminen järjestelmä, jolla on n vapausastetta; faasiavaruus on2n-ulotteinen, koordinaatteina qa:t ja pa:t. Esitetään Hamiltonin yhtälöt (79) matrii-simuodossa, nk. symplektisessä muodossa (vrt. lukuun 20.1).
X = Γ∂H
∂X(113)
Tässä X on sarakematriisi, jonka 2n elementtiä ovat
Xa = qa ja Xa+n = pa a ∈ Nn
Matriisi Γ on faasiavaruuden metrinen 2n× 2n antisymmetrinen matriisi
Γ =
[On In−In On
]missä On on n × n nollamatriisi, ja In vastaava yksikkömatriisi. Sarakevektorin ∂H
∂Xelementit, joita on 2n kappaletta, ovat(
∂H
∂X
)a
.=
∂H
∂Xa=∂H
∂qaja
(∂H
∂X
)a+n
=∂H
∂paa ∈ Nn (114)
Välihuomautus: Faasiavaruuden differentiaaligeometriaa. Poissonin sulkeet ovat kano-nisesti invariantteja bilineaarimuotoja124. Näin ollen voidaan kahden funktion u(qa, pa)ja v(qa, pa) Poissonin sulkeita pitää ko. funktioiden gradienttien, ts. vektorikenttien125
∂u
∂Xαja
∂v
∂Xβα, β ∈ N2n
sisätulona metrisellä tensorilla126 Γαβ varustetussa faasiavaruudessa. Perustellaan tä-mä:
[u, v] ≡ Γαβ∂u
∂Xα
∂v
∂Xβ=[
∂u∂q
∂u∂p
] [ On In−In On
][ ∂v∂q∂v∂p
]
=[
∂u∂q
∂u∂p
] [ ∂v∂p
−∂v∂q
]=
∂u
∂qa∂v
∂pa− ∂u
∂pa
∂v
∂qa
Matriisin Γ ominaisuuksia ovat muun muassa
Γ2 = −I2n ΓTΓ = I2n ΓT = −Γ = Γ−1
124ks. luku 20.1. Vertaa bilineaari-invariantti sisätulo gabUaUb Riemannin differentiaaligeometriassa.125symbolinen ”derivaatta Xa:n suhteen” tarkoittaa yhtälön (114) merkinnän mukaista matriisiele-menttiä.126Huomaa: se on antisymmetrinen. Suhteellisuusteoriassa symmetrinen.
77
Tehdään muunnos (81), nyt ilmaistavissa muodossa X → Y (X). Tällöin, koska todellauudet faasiavaruuskoordinaatit Yα todella ovat jokainen funktioita kaikista vanhoistaXβ-koordinaateista, on
Yα =∂Yα∂Xβ
Xβ
Tämä on matriisiyhtälö Y = J X, missä J on muunnoksen Jacobin matriisi, element-teinään Jαβ = ∂Yα
∂Xβ.
Halutaan tutkia, milloin muunnos on kanoninen. Sijoittamalla Hamiltonin yhtälö (113)identiteettiin Y = J X saadaan
Y = JΓ∂H
∂X(115)
Pätee myös
∂H
∂Xα=∂H
∂Yβ
∂Yβ∂Xα
eli matriisitulomuodossa∂H
∂X= J T ∂H
∂Y
joka antaa sijoitettuna valitulokseen (115)
Y = JΓJ T ∂H∂Y
Siis, jotta Hamiltonin yhtälöt pätisivät uusissa koordinaateissa muodossa (113), elijotta muunnos olisi kanoninen, tulee vaatia ehdoksi täsmälleen
JΓJ T = Γ
Tämä antaa erityisesti
det(J ) · det(Γ) · det(J T ) = det(Γ) ⇒ det(J )2 = 1
eli kanonisessa muunnoksessa on aina |det(J )| = 1. Vertaamalla lokaaliin tilavuuss-kaalaukseen seuraa tästä tuloksesta, että faasiavaruuden infinitesimaalinen tilavuusal-kio δqaδpb on kanonisesti invariantti, toisinsanoen ei muutu järjestelmän liikkeen seu-rauksena. Tilavuusalkion kanoninen invarianssi tunnetaan Liouvillen lauseena, se onvoimassa sekä juoksevalle aineelle, että pölylle.
Tarkastellaan seuraavassa dynaamista pölypilveä. Järjestelmäpisteistä rakentuva infini-tesimaalinen tilavuusalkio kulkee faasiavaruudessa virtaavan pölypilven mukana, nou-dattaen Hamiltonin yhtälöitä. Tilavuusalkion koko ei muutu; muoto yleensä muuttuu.Myöskään järjestelmäpiteiden lukumäärä tilavuusalkiossa, siis δN = ρ(qa, pa, t)δq
aδpbei muutu127 ajan kuluessa. Täten lukumäärätiheys ρ pysyy ajallisesti vakiona: dρ
dt = 0.Myös tätä huomiota kutsutaan Liouvillen lauseeksi. Koska
0 =dρ
dt=∂ρ
∂t+
∂ρ
∂qaqa +
∂ρ
∂papa
(79)=
∂ρ
∂t+
∂ρ
∂qa∂H
∂pa− ∂ρ
∂pa
∂H
∂qa
127määritelmän mukaan: tilavuusalkio kulkee pisteiden mukana.
78
niin käyttämällä Poissonin sulkeiden määritelmää (85) saadaan
∂ρ
∂t+ [ρ,H] = 0
Kyseistä osittaisdifferentiaaliyhtälöä kutsutaan klassisessa statistisessa mekaniikassaLiouvillen yhtälöksi lukumäärätiheydelle.
Liouvillen yhtälö todennäköisyystiheydelle σ = ρ/N , missä N on vakio, on
∂σ
∂t+ [σ,H] = 0
Dynaamisten järjestelmien joukko on statistisessa tasapainotilassa, kun ∂σ∂t = 0 kaikissa
pisteissä (qa, pa) pölypilven virratessa.
Kvanttistatistiikasta Kommentti koskien Liouvillen lausetta kvanttistatistiikassa:Liouvillen yhtälön kvanttimekaaninen versio (Schrödingerin kuvassa) on
∂ρ
∂t+
1
i~[ρ, H] = 0
missä H on Hamiltonin operaattori ja ρ nk. tiheysoperaattori, eli statistinen operaattori
ρ(t) =∑n
|ψn(t)〉Pn〈ψn(t)|
missä tilat on ortogonaaliset ja normitettu eli
〈ψm(t)|ψn(t)〉 = δnm ja∑n
|ψn(t)〉〈ψn(t)| = I
ja Pn on (ajasta riippumaton) todennäköisyys sille, että järjestelmä on128 tilassa |ψn(t)〉(koska ρ muodostetaan tilavektoreista, on se Schrödingerin kuvassa ajasta riippuva).
Tilavuusalkiosta Koska tilavuusalkio δqaδpb on kanonisesti invariantti, on mahdol-lista tehdä sellainen kanoninen muunnos, että qa ja pa muuttujilla on ”tavanomaiset”dimensiot L ja MLT−1. Silloin tilavuusalkion dimensiot ovat
[δqaδpb] = Ln · (MLT−1)n = (ML2T−1)n
missä n on vapausasteiden lukumäärä.
Vertaa: Kvanttimekaniikassa Planckin vakion h dimensiot ovat [h] = ML2T−1. Intui-tiivisesti voidaan vastaavuus129 δqaδpb ∼ hn tulkita klassisen jatkuvan faasiavaruuden128Kyse on statistisesta todennäköisyydestä sille, että systeemi oli hetkellä t0 tilassa |ψn(t0)〉, jasiten todennäköisyys sille, että se on edelleenkin hetkellä t tilassa |ψn(t)〉 = U(t|t0)|ψn(t0)〉. Kyse eiole superpositiotodennäköisyydestä. Siis jos systeemi on esim 10 % todennäköisyydellä tilassa |φ〉 niinse on ajan t kuluttua 10% tod. näk. tilassa U(t, 0)|φ〉.129vertaa Heisenbergin epätarkkuusrelaatio 〈(∆x)2〉〈(∆p)2〉 ∼ h2, symbolisesti ∆x∆p ∼ h. Tapauk-sessa n = 1 nyt siis δqδp ∼ h
79
muuntamiseksi ns. kvanttimekaaniseksi ”koppimaiseksi” faasiavaruudeksi. Klassista lii-ketilaa kuvaava 2n-ulotteinen faasiavaruuden piste on laajennettu kopiksi, joka kvant-timekaanisessa faasiavaruudessa ”vie tilavuuden h”. Kukin koppi edustaa yhtä kvant-titilaa. Toisin sanoen kvanttimekaaninen faasiavaruus ei ole ”äärettömästi jaollinen”.Tapauksessa n = 1 ko. avaruus koostuu alkioista, joiden pinta-ala on δqδp ∼ h, missäh on Planckin vaikutuskvantti.
Viivaintegraalin invarianssi Otetaan tarkasteltavaksi dynaaminen juokseva aine,jolla on vain yksi vapausaste. Juoksevan aineen liikkuessa130 muuttuu (p, q)-koordi-naatiston suljettu käyrä C ajanhetkellä t toiseksi suljetuksi käyräksi C ′ ajanhetkellät+ δt.
Integraalia∮p dq sanotaan131 Schwartzildin vaikutusmuuttujaksi, yleisesti
∮pa dqa .
Tarkastellaan tämän kierron muutosta:
δ
∮C
p dq =
∮C
δpdq +
∮C
pδdq∗=
∮C
δpdq −∮C
dpδq (116)
missä ∗ seurasi siitä, että ∮C
pδdq =
∮C
p dδq = −∮C
dpδq
missä viimeinen seurasi osittaisintegroinnista, kun sijoitus antaa triviaalisti nollan. Nyt(116) antaa
δ
∮C
p dq =
∮C
(δqdp− δpdq)
Koska Hamiltonin yhtälöt voidaan esittää myös muodossa
δq =∂H
∂pδt ja δp = −∂H
∂qδt
niin saadaan
δ
∮C
pdq =
∮C
(∂H
∂pdp+
∂H
∂qdq
)δt = −δt
∮C
dH?= −δt(H(P )−H(P )) = 0
Täten kierto, eli Schwartzildin vaikutusmuuttuja132, on kanonisesti invariantti!
Vaikutusmuuttujan arvot klassisessa mekaniikassa muodostavat jatkumon. Toisin onkvanttimekaniikassa. Siellä Planckin mustan kappaleen säteilylaki v. 1900, Einsteinin130Käyrä siis kulkee juoksevan aineen mukana, aktiivisessa muunnoksessa ajateltuna se kulkee samo-jen pisteiden kautta.131vrt. Lagrangen vaikutus
∫BA (padqa −Hdt) luvussa 12. Schwartzildin vaikutusmuuttujalla on vai-
kutuksen (myös pyörimismäärän) dimensiot ML2T−1.132Huomaa, että Schwartzildin vaikutusmuuttuja, tai tarkemmin |
∮C p dq | on itseasiassa käyrän C
sisäänsä sulkema pinta-ala. Pinta-ala ei siis muutu kanonisessa muunnoksessa.
80
valosähköisen ilmiön selitys v. 1905, sekä Bohrin atomimalli v. 1913, johtivat Wilsonin-Sommerfeldin-Epsteinin-Schwartzildin kvantisointisääntöön∮
C
p dq = nh missä n ∈ Z+
ja missä h on Planckin vakio. Edellä oleva sääntö, vaikutusmuuttujan ”kvantisointi”,asettaa rajoituksia klassiselle liikkeelle (motivaatiot olennaisesti empiirisiä (atomify-siikka)). Eräänlainen teoreettinen ”oikeutus”: Ehrenfestin-Burgersin adiabaattiseen in-varianssiin perustuva menetelmä.
81
IX Elastinen jatkumo
Tiivistelmä: Deformaatiota kuvataan lähtökohtaisesti deformaatiovektorilla ~d, jokamuodostetaan elastisen jatkumon pisteeseen P ottamalla lähekkäinen piste Q ja aset-tamalla ~d pisteen Q sijainnin muutokseksi deformaatiossa, katsottuna pisteestä P . Kundeformaatiota luonnehditaan pisteen P paikan muutoksena ~v, saadaan deformaatiovek-tori lausuttuna ensimmäisessä kertaluvussa tämän suunnatun derivaatan avulla (117)suuntaan ~u = ~PQ. Ottamalla käyttöön deformaatiodyadi osoittautuu, että deformaa-tiovektori voidaan lausua vektorien ~v ja ~u avulla lineaarisella tavalla. Näin kaikki tietodeformaatiosta itseasiassa sisältyy deformaatiodyadiin (tai oikeastaan jo vektoriin ~v,mutta siitä ei vielä tiedä miten informaatio saadaan ulos).
Antisymmetrinen ja symmetrinen osa deformaatiodyadia kuvaavat ~v-kentän pyörtei-syyttä ja lähteisyyttä (pisteessä P ). Jos dyadi on täysin antisymmetrinen, on kyseessälokaali rotaatio, ja jos täysin symmetrinen, niin lokaali tilavuusskaalaus. Symmetrisessätapauksessa dyadi voidaan viedä pääakselimuotoon, jolloin tilavuusskaalauksen antaadiagonaalikomponentit. Jos deformaatiodyadi ei riipu paikasta, sanotaan, että kyseessäon homogeeninen deformaatio.
Jännitystä käsitellään muodostamalla ensin kuvitellulle tasopinnalla keskimääräinenjännitysvektori paineen tavoin. Otetaan jännitys P :ssä raja-arvona, yhdestä kulmas-taan P :hen asetetun tetradin pistettä P vastaisen tahkon keskimääräisenä jännityk-senä kun tetradi viedään pieneksi. Käänteisvektorijärjestelmien avulla löydetään taparelatoida tetradin pinta-alat toisiinsa, (136). Tasapainoehtona vaaditaan, että keski-määräiset jännitykset kumoavat toisensa tetradin pintojen läpi (rajalla). Tämän avullahuomataan, että jännitys voidaan jännitysdyadin avulla ilmaista muodossa ~T = n ·Ψ.Jännitysdyadi voidaan esittää myös jännitystensorina käyttäen tensorin esitystä biline-aarikuvauksena. Jännitysdyadi (ja tensori) voidaan todeta symmetriseksi käyttämällämekaanisia tasapainoehtoja, siis fysiikkaa.
Hooken lain mukaan jännitys on deformaation lineaarinen ja homogeeninen funktio.Vektorien välinen lineaarimuunnos voidaan esittää toisaalta dyadin, toisaalta tensorinavulla. Vastaavasti dyadien välinen lineaarimuunnos voidaan esittää toisaalta tetradienkanssa kaksoipistetulottamalla, toisaalta tensorilla. Hooken laki voidaan ilmaista tet-radilla. Hooken lakia kuvaavan tensorin komponentit isotrooppisessa homogeenisessaelastisessä jatkumossa saadaan yritteellä (145) ja ne ovat (148).
Elastiset aallot, eli siirtymäkenttä ~v(P, t) saadaan liikeyhtälöstä elastiselle aineelle. Tä-mä liikeyhtälö johdetaan Lagrangen tiheydestä, joka muodostetaan ottamalla käyt-töön potentiaalienergiatiheys ja liike-energiatiheys (nämä otetaan analogioina klassisis-ta liike- ja potentiaalienergioista). Liikeyhtälö saadaan muotoon (152), josta nähdään,että vektorikenttä ~v voidaan esittää pitkittäisten ja poikittaisten aaltojen summana,sillä molemmat näistä ratkaisevat liikeyhtälöt ja mielivaltainen aalto voidaan esittääniiden summana.
82
27 Elastisuus
Peruskäsitteinä ovat elastinen deformaatio ja elastinen jännitys. Muodon ja koon muu-tos voidaan esittää deformaatiodyadin/deformaatiotensorin avulla ja sisäiset (palaut-tavat, elastiset) voimat puolestaan jännitysdyadin/jännitystensorin avulla.
Elastisen jatkumon fysikaalinen koostumus määrää deformaatiodyadin ja jännitysdy-adin välisen relaation. Pienten deformaatioiden tapauksessa tämä relaatio on lineaari-nen ja homogeeninen ↔ ”yleistetty Hooken laki”.
28 Pienet deformaatiot
Elastinen jatkumo/aine koostuu pisteistä/”hiukkasista”, jotka säilyttävät identiteettin-sä deformaatiossa.
Ennen deformaatiota: P elastisen jatkumon jokin piste, Q sitä hyvin lähellä oleva jokintoinen piste. Deformaatiossa P → P ′ ja Q→ Q′. Pisteen Q suhteellista siirtymää pis-teeseen P nähden deformaatiossa esittää siirtymävektori ~d kuvassa 5. Siirtymävektorilleon ~d = ~u′ − ~u = ~v′ − ~v.
PQ
P'
Q'
u
v
u'
v'
dO
Kuva 5: Siirtymävektori
Pieni deformaatio:
~v′ ≡ ~v(Q) ≈ ~v(P ) + ‖~u‖(u · ~∇)~v|P
missä (u · ~∇)~v|P on vektorin ~v suunnattu derivaatta yksikkövektorin u = ~u/‖u‖ suun-nassa, laskettuna pisteessä P . Edellisestä
~v′ = ~v + (~u · ~∇)~v ⇒ ~d = ~v′ − ~v = (~u · ~∇)~v (117)
Käyttäen karteesisia kantavektoreita on
~u = u1 ı+ u2+ u3k ja ~v = v1 ı+ v2+ v3k
sekä ~∇ = ı∂
∂x+
∂
∂y+ k
∂
∂z
83
Nyt voidaan kirjoittaa (117) auki
~d =(~u · ~∇)~v =
(u1
∂
∂x+ u2
∂
∂y+ u3
∂
∂z
)(v1 ı+ v2+ v3k
)=
(u1∂v1
∂x+ u2
∂v1
∂y+ u3
∂v1
∂z
)ı+
(u1∂v2
∂x+ u2
∂v2
∂y+ u3
∂v2
∂z
)
+
(u1∂v3
∂x+ u2
∂v3
∂y+ u3
∂v3
∂z
)k (118)
Käytetään sitten deformaatiodyadia Φ, joka133 on symbolisesti (nk. ”noonimuodossa”)
Φv.= Φ
.=∂v1
∂xıı+
∂v1
∂yı+
∂v1
∂zık +
∂v2
∂xı+
∂v2
∂y
+∂v2
∂zk +
∂v3
∂xkı+
∂v3
∂yk+
∂v3
∂zkk (119)
missä kaksi peräkkäin kirjoitettua yksikkövektoria viittaa siihen, että tämän voi sisä-tulottaa oikealta tai vasemmalta normaalilla vektorilla ja (laskulakien toimiessa sym-bolisesti oikein) tulos on vektori. Esimerkkinä käytämme tätä nyt huomaamalla, että
Φ · ~u ≡ Φ ·(u1 ı+ u2+ u3k
)≡ ∂v1
∂xıu1 +
∂v1
∂yıu2 +
∂v1
∂zıu3 +
∂v2
∂xu1 +
∂v2
∂yu2
+∂v2
∂zu3 +
∂v3
∂xku1 +
∂v3
∂yku2 +
∂v3
∂zku3
jota vertaamalla tulokseen (118) voidaan todeta, että on lyhyesti
~d = Φ · ~u (120)
Tämä tarkoittaa, että siirtymäfunktio ~d on vektorin ~u = ~PQ lineaarinen vektorifunk-tio134. Nimittäin pistetulottaminen dyadin kanssa on lineaarista:
Φ · (λ~a+ µ~b) =∂v1
∂xıı · (λ~a+ µ~b) +
∂v1
∂yı · (λ~a+ µ~b) +
∂v1
∂zık · (λ~a+ µ~b)
+ · · ·+ ∂v3
∂yk · (λ~a+ µ~b) +
∂v3
∂zkk · (λ~a+ µ~b)
=∂v1
∂xı(λa1 + µb1) +
∂v1
∂yı(λa2 + µb2) +
∂v1
∂zı(λa3 + µb3)
+ · · ·+ ∂v3
∂yk(λa2 + µb2) +
∂v3
∂zk(λa3 + µb3)
=λΦ · ~a+ µΦ ·~b133merkintä Φv kertoo explisiittisesti sen, että dyadi muodostetaan vektorin ~v avulla.134ja itseasiassa dyadi Φ, joka ottaa sisäänsä vektorin ~v, on lineaarinen myös tämän sisään otetunvektorin suhteen, kuten määritelmästä näkyy.
84
Lausekkeessa (119) esiintyvän deformaatiodyadin Φ konjugaattidyadi Φ∗ on
Φ∗ =∂v1
∂xıı+
∂v1
∂yı+
∂v1
∂zkı+
∂v2
∂xı+
∂v2
∂y
+∂v2
∂zk+
∂v3
∂xık +
∂v3
∂yk +
∂v3
∂zkk (121)
Käsitellään seuravaksi yksityiskohtaisempaa tietoa deformaatiodyadista Φ. Hajotetaandeformaatiodyadi Φ symmetriseen ja antisymmetriseen osaan
Φ =1
2(Φ + Φ∗) +
1
2(Φ− Φ∗)
.= Φs + Φa
ja selvitetään niiden (fysikaaliset) merkitykset.
Antisymmetrinen osa Antisymmetrinen osa Φa on (ks. (119) ja (121))
Φa =1
2
((∂v1
∂y− ∂v2
∂x
)ı+
(∂v2
∂x− ∂v1
∂y
)ı+
(∂v2
∂z− ∂v3
∂y
)k + · · ·
)= b12(ı− ı) + b23(k − k) + b31(kı− ık) (122)
missä käytettiin merkintää
bmn =1
2
(∂vm∂xn
− ∂vn∂xm
)= −bnm n,m ∈ 1, 2, 3, x1
.= x, x2
.= y, x3
.= z
Todetaan seuraavaksi antisymmetriselle osalla lyhyt esitysmuoto. Ensinnäkin
1
2~∇× ~v =
1
2
∣∣∣∣∣∣ı k∂x ∂y ∂zv1 v2 v3
∣∣∣∣∣∣=
1
2
((∂yv3 − ∂zv2)ı− (∂xv3 − ∂zv1)+ (∂xv2 − ∂yv1)k
)= b32 ı− b31+ b21k = −
(b23 ı+ b31+ b12k
)joten jos I on yksikködyadi, niin
1
2(~∇× ~v)× I = −
(b23 ı+ b31+ b12k
)× (ıı+ + kk)
= −((
0− b31kı+ b12 ı)
+(b23k+ 0− b12 ı
)+(− b23k + b31 ık + 0
))= b31kı− b12 ı− b23k+ b12 ı+ b23k − b31 ık
= b12(ı− ı) + b23(k − k) + b31(kı− ık)
Vertaamalla antisymmetrisen osan esitykseen (122), todetaan, että
Φa =1
2(~∇× ~v)× I (123)
85
Oletetaan seuravaksi, että Φs = 0 jossain pisteessä P . Tällöin
~d = Φa · ~u =
(1
2(~∇× ~v)P × I
)· ~uP
.= (~θ(P )× I) · ~u (124)
missä tehty merkintä ~θ(P ) = 12 (~∇× ~v)P kuvaa ~v:n pyörteisyyttä pisteessä P .
Aputulos: Olkoon dyadi Ξ ja vektorit ~u, ~θ mielivaltaiset. On voimassa liitäntälaki
(~θ × Ξ) · ~u = ~θ × (Ξ · ~u) (125)
Todistus. Olkoon yleinen dyadi
Ξ = a11e1e1 + a12e1e2 + a13e1e3 + a21e2e1 + a22e2e2
+ a23e2e3 + a31e3e1 + a32e3e2 + a33e3e3
Tällöin on
~θ × Ξ = a11(~θ × e1)e1 + a12(~θ × e1)e2 + a13(~θ × e1)e3
+ a21(~θ × e2)e1 + a22(~θ × e2)e2 + a23(~θ × e2)e3
+ a31(~θ × e3)e1 + a32(~θ × e3)e2 + a33(~θ × e3)e3
ja
Ξ · ~u = a11e1u1 + a12e1u2 + a13e1u3 + a21e2u1
+ a22e2u2 + a23e2u3 + a31e3u1 + a32e3u2 + a33e3u3
joten todella
(~θ × Ξ) · ~u = a11(~θ × e1)u1 + a12(~θ × e1)u2 + a13(~θ × e1)u3
+ a21(~θ × e2)u1 + a22(~θ × e2)u2 + a23(~θ × e2)u3
+ a31(~θ × e3)u1 + a32(~θ × e3)u2 + a33(~θ × e3)u3
= ~θ × (Ξ · ~u)
Lauseke (124) saadaan aputuloksen (125) avulla muotoon:
~d = ~θ(P )× (I · ~u) = ~θ(P )× ~u
Koska ristitulo ~θ(P )× ~u on kohtisuorassa molempia tulon vektoreja vastaan, on ~d ⊥ ~u.Toisaalta ~d = ~u′ − ~u, joten kun ‖~θ(P )‖ on hyvin pieni, on ensimmäisessä kertaluvussakyse rotaatiosta: ~u′ saadaan135 kulman ‖~θ(P )‖ kierrolla vektorista ~u.135mieti kuvaa, jos epäselvä.
86
Tulkinta: Φa kuvaa lokaalia rotaatiota. Pisteen P pieni ympäristö pyörii kiinteästi muo-don tai koon muuttumatta; pyörimisakseli on ~θ(P ):n suuntainen ja pyörimiskulma on‖~θ(P )‖. Siis pisteen P välittömässä läheisyydessä ei esiinny ”aitoa” deformaatiota. Huo-mautus: Lokaali rotaatio voi silti aiheuttaa deformaation muualla. Esimerkiksi jos lä-hekkäisissä pisteissä P1 ja P2 tapahtuu lokaali rotaatio saman suuntaisesti, syntyy näi-den pisteiden välissä pisteessä P3 deformaatio136.
Symmetrinen osa Symmetrinen osa Φs on (vrt. (122))
Φs =∂v1
∂xıı+
∂v2
∂y+
∂v3
∂zkk +
1
2
((∂v1
∂y− ∂v2
∂x
)ı
+
(∂v2
∂x− ∂v1
∂y
)ı+
(∂v2
∂z− ∂v3
∂y
)k + · · ·
)=a11 ıı+ a22+ a33kk + a12(ı+ ı) + a23(k + k) + a31(kı+ ık) (126)
missä, vastaavasti kuin antisymmetrisen osan käsittelyssä, merkittiin
amn.=
1
2
(∂vm∂xn
+∂vn∂xm
)= anm (127)
Oletetaan seuraavaksi, että Φa = 0 jossain pisteessä P . Niitä avaruuden suuntia, joissaoperointi dyadilla137 ei muuta vektorin suuntaa, ainoastaan pituutta, sanotaan pää-akselisuunniksi. Pääakselisuunnat ovat symmetriselle dyadille aina olemassa ja orto-gonaaliset138. Siispä sopivalla ı, , k-akselien orientaatiolla voidaan a12, a23, a31 asettaanolliksi. Symmetrisen dyadin pääakseliesitys on
Φs = a11 ıı+ a22+ a33kk
jolloin
Φs · ı = a11 ı, Φs · = a22, Φs · k = a33k
Muissa kuin pääakselisuunnissa sekä vektorin pituus, että suunta muuttuvat.
Pääakseliesityksessä, eli kun nyt ı, , k-akselit on kiinnitetty pääakselien suuntiin ja kunu1, u2, u3 ovat ~u:n karteesiset komponentit näissä suunnissa, on
~d = Φs · ~u = (a11 ıı+ a22+ a33kk) · (u1 ı+ u2+ u3k)
= a11u1 ı+ a22u2+ a33u3k
136”vääntövaikutuksesta”, mieti kuvaa.137siis pistetulon kautta.138Saarimäen LG2-pruju: Lause 8.4, 8.3 ja 7.3 antavat, että symmetrisen matriisin ominaisavaruudetovat ortogonaaliset ja virittävät koko avaruuden. Dyadilla operointi voidaan aina palauttaa matriiseillaoperoinniksi: Matriisi kertaa vektori on täsmälleen dyadin pistetulo vektorin kanssa kun matriisienalkioiksi laitetaan dyadin kertoimet luonnollisessa järjestyksessä.
87
joten, kun ~u′ − ~u = ~d niin
~u′ = ~u+ ~d = (1 + a11)u1 ı+ (1 + a22)u2+ (1 + a33)u3k (128)
Liitetään pisteeseen P pieni suorakulmainen särmiö, jonka sivut ovat pääakselien ı, , ksuuntaiset ja jonka sivujen pituudet ennen deformaatiota ovat l1, l2, l3. Koska pääak-seliesityksessä suorakulmainen särmiö pysyy suorakulmaisena särmiönä, ovat sivujenpituudet deformaation jälkeen (1 + aii)li. Särmiön tilavuuden suhteellinen muutos on
(1 + a11)l1 · (1 + a22)l2 · (1 + a33)l3 − l1l2l3l1l2l3
= (1 + a11)(1 + a22)(1 + a33)− 1
= a11 + a22 + a33 + a11a22 + a11a33 + a22a33 + a11a22a33 ≈ a11 + a22 + a33
missä arviointi oikeutetaan pienien deformaatioiden käsittelyllä. Toisaalta merkintä(127) voidaan kirjoittaa auki
a11 + a22 + a33 =∂v1
∂x+∂v2
∂y+∂v3
∂z= (~∇ · ~v)P
.= η(P )
Siten särmiön tilavuuden suhteellinen muutos, jota kutsutaan elastisen jatkumon vo-lumetriseksi dilataatioksi η, on ~v:n lähteisyys pisteessä P .
Täten Φs:n diagonaaliset komponentit a11, a22, a33 liitetään lineaarisiin dilataatioihin.Ei-diagonaaliset komponentit puolestaan liittyvät liukuihin eli leikkauksiin, joita pää-akselikoordinaatistossa ei esiinny.
29 Homogeeninen deformaatio
Homogeenisessa deformaatiossa deformaatiodyadi on paikasta riippumaton; siis kysees-sä on vakiodyadi.
Esimerkki 1 Tässä esimerkissä otetaan ~v = α(xı+ y+ zk), missä α > 0 on vakio.Nyt selvästikin ~∇ × ~v = 0. Tulos (123) antaa silloin Φa = 0, mikä tarkoittaa, ettälokaalia rotaatiota ei esiinny missään pisteessä.
Deformaatiodyadin symmetrinen osa on (126). Nyt kertoimet a12, a23, a31 ovat nolliamääritelmänsä (127) nojalla. Sama lauseke antaa diagonaalitermeiksi aii = α, joten
Φs = αıı+ α+ αkk = αI
Siis Φ = Φs+Φa = αI, joka on vakiodyadi. Kyseessä on siis homogeeninen deformaatio.Kaikki akselit koordinaatistossa ı, , k ovat tässä esimerkissä pääakseleita, toisin sanoendeformaatio on isotrooppista:
~d = Φ · ~u = αI · ~u = α~u
Kyseessä on yksinkertainen laajeneminen/venyminen. Volumetrinen dilataatio on
η = ~∇ · ~v = 3α
88
Esimerkki 2 Tässä esimerkissä otetaan ~v = α(xı − 12y −
12zk), missä α > 0 on
vakio. Edelleen pätee ~∇ × ~v = 0, joten Φa = 0: ei rotaatiota. Tällöin (126):n mukaanon deformaatiodyadi
Φ = α
(ıı− 1
2− 1
2kk
)Jälleen kyseessä on vakiodyadi ja homogeeninen deformaatio. Deformaatio koostuuvenymisestä ı-suuntaan ja kutistumisesta ja k suuntiin. Tämä nähdään explisiittisestivertaamalla kuvaan 5 lauseketta, jonka tulos (128) antaa ~u′-vektorille:
~u′ = (1 + α)u1 ı+(
1− α
2
)+
(1− α
2
)
Koska volumetrinen dilataatio on tässä vektorin ~v valinnan perusteella η = ~∇ · ~v = 0,niin tässä mielessä kutistumiset ja k suunnissa kumoavat ı-suuntaisen venymisen.
Esimerkki 3 (oli harjoitustehtävä) Tässä esimerkissä otetaan ~v = α(yı + x).Lasketaan deformaatiodyadi
Φ =∂v1
∂xıı+
∂v1
∂yı+
∂v1
∂zık +
∂v2
∂xı+
∂v2
∂y
+∂v2
∂zk +
∂v3
∂xkı+
∂v3
∂yk+
∂v3
∂zkk
= α (ı+ ı)
Tämä on vakiodyadi, siis kyseesä on homogeeninen deformaatio. Tässä koordinaatis-tossa
~d = Φ · ~u = α (ı+ ı) ·(u1 ı+ u2+ u3k
)= αu2 ı+ αu1
mutta haluttaisiin pääakselimuoto. Muunnetaan dyadi pääakselimuotoon valitsemallaı′ = 1√
2(ı+ )
′ = 1√2(− ı)
⇒
= 1√
2(ı′ + ′)
ı = 1√2(ı′ − ′)
Tällä saadaan
Φ = α (ı+ ı) =α
2((ı′ − ′)(ı′ + ′) + (ı′ + ′)(ı′ − ′))
=α
2(ı′ ı′ + ı′′ − ′ ı′ − ′′ + ı′ ı′ − ı′′ + ′ ı′ − ′′)
= α (ı′ ı′ − ′′)
Volumetrinen dilataatio on
η = ~∇ · ~v = 0
89
ja kun lausutaan ~u näissä koordinaateissa
~u′ = u1 ı+ u2+ u3k = u1 ı′ + u2
′ + u3k′
niin vektori ~u′ on
~u′ = ~d+ ~u = Φ · ~u+ ~u = α(u1 ı′ − u2
′) + ~u = (1 + α)u1 ı′ + (1− α)u2
′
30 Jännitysdyadi ja jännistystensori
Oletetaan, että elastinen jatkumo on deformoituneessa tilassa139. Tarkastellaan (kuvi-teltua) tasopintaa Σ, jonka pinta-ala on σ. Olkoon n pinnan Σ yksikkönormaalivektoripisteessä P = P (x1, x2, x3) ja ~F niiden elastisten palauttavien voimien resultantti,jotka vaikuttavat pinnan Σ läpi sillä puolella väliainetta, johon n osoittaa140. Tarkas-telutilanteessa elastisen jatkumon oletetaan olevan tasapainotilassa siten, että mihintahansa sen pisteeseen vaikuttava elastinen kokonaisvoima141 on nolla142.
Keskimäärääräinen jännitys pinnalla Σ on ~F/σ. Jännitys pisteessä P on
limΣ→P
~F
σ
.= ~T = ~T (P, σ)
Rajankäynti Σ→ P vastaa sitä, että σ → 0, toisinsanoen pinta on infinitesimaalinen.
Otetaan tarkasteltavaksi tetradi143, jonka yhtenä kärkenä on piste P . Kuvainnollisesti:kolmionmuotoinen pala mielivaltaista pintaa Σ pyritään esittämään kolmen ”kantakol-miopinnan” avulla. Tehdään tämä siirtämällä kolmiopinta infinitesimaalisen matkanpäähän pisteen P ulkopuolelle xi-koordinaattikäyrien tangenttien ~ai avulla kuten ku-vassa 6.
Kuvan 6 merkintöjen mukaan on ABC = Σ. Jännitystä pisteessä P arvioidaan keski-määräisellä jännityksellä ~T pinnalla ABC kun sen pinta-ala σ → 0. Merkitään tetradinmuiden pintojen pinta-aloja σ(i):llä ja jännityksiä −~T(i):llä, missä pinnat on numeroitusiten, että BCP = 1, ACP = 2 ja BAP = 3.
Asetetaan mainitun tasapainoehdon mukaisesti
σ~T −3∑i=1
σ(i)~T(i) = 0 (129)
139Staattisesti: Esim joku on venyttänyt kumia ja pitää kiinni.140Vertaa paineen määrittely: Paine jollain pinnalla on se voima, mikä kohdistuu pinnalle kuviteltuunseinämään, jonka toisella puolella ei olisi painetta. Nyt kuitenkin ei oteta voimasta vain kohtisuoraakomponenttia kuten paineessa, joka on skalaari, vaan otetaan koko vektori.141ei huomioida ”tilavuusvoimia”, kuten gravitaatiota.142Voidaan ajatella vaikka kumipalloa joka on puristaen tungettu pieneen koloon, ja sen sisäisiäelastisia voimia tasapainotilanteessa.143ei-säännöllinen 3-simpleksi.
90
C
B
A
-T1
-T2
-T3
a1
a3
a2
x2-käyrä
x1-käyräx3-käyrä
P
Kuva 6: Kolmiopinnan esittäminen kantakolmiopinnoilla.
Käänteisvektorijärjestelmistä Olkoon vektorit a1,a2,a3, jotka eivät sijaitse sa-malla tasolla keskenään ja kolme muuta vektoria a1,a2,a3, siten että näiden keski-näisille pistetuloille on voimassa ai · aj = δij . Tällöin a1,a2,a3 ja a1,a2,a3 ovattoistensa käänteisvektorijärjestelmät.
Johdetaan seuraavassa joitain käänteisvektorijärjestelmiä koskevia tuloksia. Koska a1 ·a2 = a1 · a3 niin on olemassa ki:t siten, että
a1 = k1a2 × a3 ja a2 = k2a3 × a1 ja a3 = k3a1 × a2 (130)
Tällöin
1 = a1 · a1 = k1(a2 × a3) · a1 ⇒ k1 =1
a1 · (a2 × a3)
ja
1 = a2 · a2 = k2(a3 × a1) · a2 ⇒ k2 =1
a2 · (a3 × a1)
1 = a3 · a3 = k3(a1 × a2) · a3 ⇒ k3 =1
a3 · (a1 × a2)
joten koska skalaarikolmitulo on invariantti syklisessä permutaatiossa, itseasiassa
ki =1
a1 · (a2 × a3)∀i ∈ 1, 2, 3 (131)
Tällä saadaan lausekkeesta (130) tulokset
a1 =a2 × a3
a1 · (a2 × a3)ja a2 =
a3 × a1
a1 · (a2 × a3)ja a3 =
a1 × a2
a1 · (a2 × a3)
91
Koska käänteisvektorijärjestelmässä ylä ja ala-indeksit ovat samanarvoisessa asemassa,saadaan aivan samalla tavalla
a1 =a2 × a3
a1 · (a2 × a3)ja a2 =
a3 × a1
a1 · (a2 × a3)ja a3 =
a1 × a2
a1 · (a2 × a3)(132)
Tällöin osoittautuu, että(a1 · (a2 × a3)
)(a1 · (a2 × a3)
)=
1
(a1 · (a2 × a3))2(a2 × a3) · ((a3 × a1)× (a1 × a2))
∗=
1
a1 · (a2 × a3)(a2 × a3) · (a1) = 1 (133)
missä ∗ saadaan seuraavasti: Otetaan tunnettuna vektorikolmitulon kaava
e× (c× d) = (e · d)c− (e · c)d (134)
johon sijoittamalla e = a× b tulee
(a× b)× (c× d) = ((a× b) · d))c− ((a× b) · c)d= (a · (b× d))c− (a · (b× c))d
jolla ristitulojen ristitulo saadaan lausuttua tarpeellisessa muodossa
(a3 × a1)× (a1 × a2) = ((a3 · (a1 × a2))a1 − ((a3 · (a1 × a1))a2
= (a3 · (a1 × a2))a1 = (a1 · (a2 × a3))a1
Takaisin pinta-alojen käsittelyyn Muodostakoon nyt kuvan 6 vektorit ~ai.= ai
yhden vektorijärjestelmän ja olkoon ai sen käänteisvektorijärjestelmä. Edellisten tu-losten avulla saadaan
σ(1) =1
2‖a2 × a3‖
(132)=
1
2‖(a1 · (a2 × a3))a1‖ =
1
2|a1 · (a2 × a3)|‖a1‖ (135)
Tetraedrin tilavuus voidaan lausua kahdella eri tavalla, toisaalta pohjan ala kertaakorkeus jaettuna kolmella eli V = 1
3σn · a1, missä n · a1 antaa korkeuden (katso kuva6). Toisaalta tiedetään sen olevan kuudesosa kantavektorien skalaarikolmitulosta, joten
V =1
6(a1 · (a2 × a3)) =
1
3σn · a1
jonka avulla todetaan käyttäen tulosta (135), että (kun itseisarvot on epärelevantit)
σ(1) = σ(n · a1)‖a1‖
Koska tetraedrin tilavuus voidaan yhtä hyvin esittää myös muodoissa 13σn · a2 tai
13σn · a3, saadaan vastaavasti tulokset
σ(2) = σ(n · a2)‖a2‖ ja σ(3) = σ(n · a3)‖a3‖
92
Näin on löydetty pinta-alojen välille relaatio
σ(i) = σ(n · ai)‖ai‖ ∀i ∈ 1, 2, 3
Muodostetaan uudet vektorit a(i).= ‖ai‖ai jolloin144 pinta-alojen välinen relaatio saa
muodon
σ(i) = σn · a(i) (136)
Kohti jännitysdyadia Tasapainoehto (129) voidaan nyt (136):n avulla esittää muo-dossa
σ~T −3∑i=1
σn · a(i)~T(i) = 0
mistä supistamalla pinta-ala σ ja ottamalla raja145 Σ → P saadaan jännitykseksi pis-teessä P
~T =
3∑i=1
n · a(i)~T(i) ≡ n ·Ψ
missä olevaa trinomimuotoa
Ψ.=
3∑i=1
a(i)~T(i) (137)
kutsutaan jännitysdyadiksi pisteessä P . Dyadin lineaarisuuden takia on ~T vektorin nlineaarinen vektorifunktio. Kaikki tieto jännityksestä on146 dyadissa Ψ.
Kehitetään ~T(i) kannassa ai, joka antaa
~T(i) =
3∑j=1
T j(i)aj
ja tämän avulla voidaan Ψ (ks. (137)) esittää noonimuodossa147 kannassa ai, jolloinsaadaan muoto
Ψ =
3∑i=1
ai‖ai‖~T(i) =
3∑i,j=1
‖ai‖T j(i)aiaj
144huomaa: vaikka vektoreilla ai olisi ollut laatu, nämä ovat nyt laaduttomia.145joka vaikuttaa enää siten, että käsittely siirtyy pisteeseen P ja kaikki approksimaatiot tulevattäydellisesti oikeutetuiksi.146operoidaan dyadilla vektoriin n, joka kertoo pinnan pisteessä P , niin saadaan jännitysvektori ~T .147huomaa: noonimuodossa dyadi esitetään yhdessä kannassa (joita aiemmin kutsuttiin vektoreiksiı, , k, niiden ei nyt tarvitse olla kohtisuorat mistään erityisestä syystä kuitenkaan). Trinomimuodossakantoja on kaksi, jolloin termejä on vähemmän
93
Tässä on 9 kappaletta148 kertoimia Sij .= ‖ai‖T j(i). Tällä merkinnällä on
Ψ =
3∑i,j=1
Sijaiaj ≡ Sijaiaj
Siispä jännitysdyadi Ψ on bilineaarimuoto149 ja se esittää 2. kertaluvun kontratensoriaSij , eli jännitystensoria. Käänteisvektoreita käyttämällä saataisiin esitys Ψ = Sija
iaj .
Valittaessa karteesiset koordinaatit, joille ai = ai ja merkitsemällä näitä tavanomaisestivektoreilla ı, , k saadaan tietysti ~T esitettyä muodossa
~T = n ·Ψ = S11n · ıı+ S12n · ı+ · · ·
missä n:n sisätulot vektorien ı, , k kanssa on helppo määrittää.
Jännitysdyadin symmetrisyys Todetaan, käyttämällä karteesisia koordinaatteja,että jännitysdyadi on symmetrinen.
Mielivaltaiselle suljetun pinnan S rajaamalla elastisen jatkumon alueelle Ω mekaanisettasapainoehdot, kun myös tilavuusvoimat huomiodaan, ovat∫
S
dσ ~T +
∫Ω
~fρdV = 0 (138)
(toisinsanoen kokonaisvoima on nolla; ρ on massatiheys, ~f on massavoima150, jolloin~fρ kuvaa tilavuusvoimia) ja∫
S
dσ ~r × ~T +
∫Ω
~r × ~fρdV = 0 (139)
(toisinsanoen voimien kokonaismomentti mielivaltaisesti valitun origon suhteen on nol-la, vektori ~r on pisteen paikkavektori pinnalla S tai alueessa Ω liikuttaessa). Nämäehdot ovat ns. mekaaniset tasapainoehdot.
Yhtälössä (138) on∫S
dσ ~T =
∫S
dσ n ·Ψ ≡∫S
d~σ ·Ψ =
∫Ω
~∇ ·Ψ dV
sillä Gaussin divergenssilause pätee myös dyadien tapauksessa.148välillä on syytä korostaa, ettei indeksien toistuminen toki aina tarkoita summausta. Sanotaannäin, että se tarkoittaa aina paitsi silloin kun on selvää ettei se tarkoita tai siitä sanotaan erikseen.149Huomaa matemaatikkojen määritelmä tensorille: tensori on tämä bilineaarimuoto. Fyysikkojentensori, joka toteuttaa tietyn muunnoslain, on itseasiassa bilineaarimuodon komponentit. Esim line-aarimuoto Aiai on (matemaatikkojen kielellä) vektori. Fyysikot puhuvat vektorina myös pelkästäänsen komponenteista Ai, jotka toteuttavat muunnoslain. Vastaavasti muut multilineaarimuodot, kutenvaikkapa 3. kertaluvun tensori Aijkaiajak.150yksikköinä voima/massa
94
Todistus: Tämä on suora seuraus tavallisesta divergenssilauseesta∫S
d~σ ·Π ≡(∫
S
d~σ · ~A1
)ı+(∫
S
d~σ · ~A2
)+
(∫S
d~σ · ~A3
)k
div. lause=
(∫Ω
~∇ · ~A1 dV)ı+(∫
Ω
~∇ · ~A2 dV)+
(∫Ω
~∇ · ~A3 dV)k
≡∫
Ω
~∇ ·Π dV
Tällöin saadaan yhtälö (138) muotoon∫Ω
(~∇ ·Ψ + ~fρ
)dV = 0
ja integrointialueen ollessa mielivaltainen on voimassa
~∇ ·Ψ + ~fρ = 0 (140)
Toisessa tasapainoehdosta (139) on∫S
dσ ~r × ~T =
∫S
dσ ~r × (n ·Ψ) ≡∫S
~r × (d~σ ·Ψ)
= −∫S
(d~σ ·Ψ)× ~r (125)= −
∫S
d~σ · (Ψ× ~r) = −∫S
~∇ · (Ψ× ~r) dV
Tällöin lausekkeesta (139), esitettynä muodossa∫Ω
−~∇ · (Ψ× ~r) + ~r × ~fρdV = 0
saadaan jälleen käyttäen integroimisalueen mielivaltaisuutta
~∇ · (Ψ× ~r) + ~fρ× ~r = 0 (141)
Ristitulottamalla (140) vektorin ~r kanssa ja vähentämällä yhtälöstä (141) saadaan vä-litulos
~∇ · (Ψ× ~r)− (~∇ ·Ψ)× ~r = 0 (142)
Lasketaan seuraavaksi tämän ensimmäistä termiä auki esittämällä dyadi Ψ trinomi-muodossa
Ψ = ı ~T(1) + ~T(2) + k ~T(3)
95
jolloin
~∇ · (Ψ× ~r) =(ı∂x + ∂y + k∂z
)·(ı ~T(1) × ~r + ~T(2) × ~r + k ~T(3) × ~r
)=∂(~T(1) × ~r)
∂x+∂(~T(2) × ~r)
∂y+∂(~T(3) × ~r)
∂z
=
3∑i=1
∂ ~T(i)
∂xi× ~r + ~T(i) ×
∂~r
∂xi‖ ∂~r
∂xi= ei ∈ ı, , k
=( 3∑i=1
∂ ~T(i)
∂xi
)× ~r +
3∑i=1
~T(i) × ei
= (~∇ ·Ψ)× ~r +
3∑i=1
~T(i) × ei
Tällöin välitulos (142) saadaan muotoon
3∑i=1
~T(i) × ei = 0 (143)
Todetaan nyt tämän avulla jännitysdyadin symmetrisyys: Se on symmetrinen, jos Ψ =Ψ∗, eli kuvauksina ne ovat samat jos mielivaltaiselle ~V on voimassa Ψ · ~V = Ψ∗ · ~V . Nonythän
(Ψ−Ψ∗) · ~V =((ı ~T(1) + ~T(2) + k ~T(3)
)−(~T(1) ı+ ~T(2)+ ~T(3)k
))· ~V
=
3∑i=1
ei(~T(i) · ~V )− ~T(i)(ei · ~V ) =
3∑i=1
(~V · ~T(i))ei − (~V · ei)~T(i)
(134)=
3∑i=1
~V × (ei × ~T(i))(143)= 0
joten mekaanisessa tasapainotilassa olevan elastisen aineen jännitysdyadi on symmet-rinen! Tällöin vastaava jännitystensorikin on symmetrinen, sillä
Sijaiaj = Ψ = Ψ∗ = Sijajai = Sjiaiaj
Symmetrisyysominaisuus pätee kaikissa koordinaatistoissa.
31 Hooken laki
Tarkastellaan pieniä deformaatiota käyttämällä karteesisia xi koordinaatteja. Elasti-suuden peruslain, Hooken lain, mukaan jännitys, jota vastaa symmetrinen tensori Sij ,
96
on deformaation, jota vastaa kertoimet aij (katso (127)), lineaarinen ja homogeeni-nen151 funktio:
Sij =
3∑k,l=1
Eijklakl ≡ Eijklakl (144)
Rajataan tarkastelu homogeeniseen elastiseen aineeseen: kertoimet Eijkl ovat (paikastariippumattomia) elastisia vakioita152. Kertoimet Sij ja aij ovat 2. kertaluvun karteesi-sen tensorin komponentteja. Kertoimet Eijkl puolestaan ovat 4. kertaluvun karteesisentensorin komponentteja. Kutsutaan tätä tensoria elastisuustensoriksi. Komponenttejasillä on 34 = 81 kappaletta. Nämä voidaan vähentää 21:een asettamalla joitain sym-metriavaatimuksia, jotka eivät ole välttämättömiä, mutta eivät riko käsittelyn yleisyys-vaatimuksiakaan. Ei käsitellä tässä (katso käsin kirjoitetut muistiinpanot).
Nämä 21 vakiota tarvitaan luonnehtimaan elastisen jatkumon ominaisuuksia; vrt. al-kiesfysiikan yksi vakio k.
31.1 Dyadi ja tetradi
Suoritetaan vertailu karteesisia koordinaatteja ja kantavektoreita ı, , k käyttäen.
Dyadi muuttaa vektorin toiseksi vektoriksi: ~A = χ · ~B. Esittämällä dyadi χ trinomi-muodossa χ = ı~β1 + ~β2 + k~β3 saadaan
~A = χ · ~B = (ı~β1 + ~β2 + k~β3) · ~B = ı(~β1 · ~B) + (~β2 · ~B) + k(~β3 · ~B)
Vektorin ~A:n skalaarikomponentit ovat siis Ai = ~βi · ~B. Kehitetään ~βi:t kantavektorienı, , k avulla seuraavasti: ~βi = αi1 ı+ αi2+ αi3k. Tällöin yhtälö
Ai = (αi1 ı+ αi2+ αi3k) · ~B
antaa lineaarimuunnoksen skalaarikomponenteille:
Ai =
3∑j=1
αijBj
Yhteenveto: Vektori ~A on saatu lineaarimuunnoksella vektorista ~B. Muunnoksen
i) dyadimuoto on ~A = χ · ~B.
ii) tensorimuoto on Ai = αijBj missä αij :t ovat karteesisen153 tensorin komponent-teja.
Tensorien ja dyadin yhteys on esittää samaa lineaarimuunnosta.151tässä termi homogeeninen on matemaattinen, seuraavassa sama sana tarkoittaa myös ihan eriasiaa fysikaalisesti.152Yleisimmässä tapauksessa voisivat riippua paitsi paikasta, myös ajasta ja lämpötilasta153karteesinen tensori: muuntuu tensorin koordinaattimuunnoslain mukaisesti karteesisten koordinaa-tistojen välillä.
97
Tetradeista Tetradi muuntaa dyadin toiseksi dyadiksi. Määritellään, että dyadin χtensoriesitys muuntuu dyadin ξ tensoriesitykseksi lausekkeella
ξij =
3∑k,l=1
Gijklχkl
Tämän tetradimuoto on ξ = ג! : χ. Merkintä ג! (”gimel”) tarkoittaa tetradia (operaattori)ja : kaksoispistetuloa (operaatio). Edellä olevaan tapaan voitaisiin osoittaa, että ג! ontodella tetradi: siis 4 vektoria kirjoitettuna vierekkäin. Moiseen indeksipyöritykseen einyt tässä ryhdytä.
Välihuomautus:
”Yksijäseninen dyadi” ~A~B antaa pistetulossa vektorin kanssa vektorin:
~A~B · ~C ≡ ( ~B · ~C) ~A
”Yksijäseninen tetradi” ~A~B ~C ~D antaa kaksoispistetulossa dyadin kanssa dyadin:
~A~B ~C ~D : ~E ~F ≡ ( ~D · ~E)(~C · ~F ) ~A~B
Hooken lain (144) tetradimuoto on Ψ = ד! : Φ, missä ד! (”dalet”) on tetradi. Esimerkiksiisotrooppiselle elastiselle aineelle (seuraava luku) on
ד! = λ ע! + µ!י + µ!י∗
Tetradi soveltuu deformaation ja jännityksen välisen relaation, Hooken lain, kuvailuunsekä isotrooppisessa, että anisotrooppisessa aineessa.
31.2 Isotrooppinen elastinen jatkumo
Elastisuustensori Eijkl määrää täysin elastisen jatkumon ominaisuudet. Jos nämä omi-naisuudet ovat suunnasta riippumattomat yhdessä pisteessä, on aine isotrooppista ko.pisteessä. Homogeenisessa aineessa elastiset ominaisuudet ovat samat kaikissa pisteissä(Eijkl vakio), ja jos tällöin aine on isotrooppista yhdessä pisteessä, on se isotrooppinenkaikkialla. ”Elastisella jatkumolla ei ole keskipistettä154”.
Isotrooppisuus merkitsee sitä, että elastisten ominaisuuksien kannalta ovat kaikki kar-teesiset koordinaatistot ekvivalentteja. Tästä seuraa, että elastisuustensorin kompo-nenttien on oltava samat kaikille koordinaattiakselien rotaatioille. Toisin sanoen or-togonaalisessa koordinaattimuunnoksessa xi → x′i elastisuustensorin muunnoslaksi onE′ijkl = Eijkl. Sanotaan sillon, että kyseessä on isotrooppinen tensori.
Muodostetaan Eijkl käyttämällä Kroneckerin delta-tensoria155 δij . Ortogonaalisessakoordinaattimuunnoksessa δ′ij = δij , siis kyseessä on myös isotrooppinen tensori.154vrt. maailmankaikkeus155Kroneckerin delta todetaan tensoriksi Einsteinin tensoritestillä. Mallia voi katsoa Markun diffe-rentiaaligeometrian prujusta.
98
Asetetaan ansatz
Eijkl = λδijδlk + µδikδjl + νδilδjk (145)
missä µ, ν ovat invariantteja. Isotrooppisuus E′ijkl = Eijkl selvästi pätee. Vaaditaan,että symmetrisyysominaisuus Eijkl = Ejikl pätee:
λδijδlk + µδikδjl + νδilδjk = λδjiδlk + µδjkδil + νδjlδik
⇒ (µ− ν)(δikδjl − δilδjk) = 0
jonka pitää päteä kaikilla i, j, k, l ∈ 1, 2, 3, joten saadaan µ = ν. Näin saatu muoto
Eijkl = λδijδlk + µ(δikδjl + δilδjk) (146)
toteuttaa symmetrisyysominaisuudet Eijkl = Eijlk ja Eijkl = Eklij ja sisältää vain 2elastista vakiota.
Tällöin elastisuustensori on
Sij =Eijklakl = λδijδlkakl + µ(δikδjl + δilδjk)akl
=λδijakk + µaij + µaji (147)
mikä antaa, kun aij = aji ja∑3i=1 akk ≡ akk ≡ η yhtälön
Sij = λδijη + 2µaij (148)
joka on Hooken laki homogeeniselle isotrooppiselle elastiselle aineelle. Invariantit λ, µovat nk. Lamén vakiot156.
Toisaalta olisimme voineet asettaa tetradimuotoisen ansatzin
Ψ = (λ!ע + µ!י + µ!י∗) : Φ = λ ע! : Φ + µ!י : Φ + µ!י∗ : Φ
missä edellä lasketun nojalla, siis vertaamalla yhtälöön (147) todetaan, että pitää olla(kun dyadia Φ vastaa kertoimet aij)
ע! : Φ = I Tr(Φ) ja י! : Φ = Φ ja ∗י! : Φ = Φ∗
Hooken lain esitysmuodot ei-karteesisissa koordinaateissa olisivat yleiselle elastisellejatkumolle
Sij = Eijklakl
ja isotrooppiselle ja homogeeniselle jatkumolle
Sij = ληgij + 2µaij
missä η = glkalk.156Gabriel Lamé: 1795-1870, ranskalainen matemaatikko/fyysikko.
99
32 Elastisen jatkumon liikeyhtälö ja elastiset aallot
Tarkastelun kohde: Homogeeninen ja isotrooppinen elastinen jatkumo. Staattinen de-formaatio ja jännitys, jota vastaa Hooken laki; vertaa F = −kx. Dynaamista defor-maatiota ja jännitystä vastaa liikeyhtälö; vertaa md2x
dt2 = −kx.
Otetaan karteesiset koordinaatit xi. Luvussa 28 käsiteltiin staattista siirtymäkenttää~v = ~v(P ). Nyt otamme muuttuvan siirtymäkentän ~v = ~v(P, t), missä t on aikaparamet-ri. Tämä tulee johtamaan elastisen jatkumon siirtymäaaltoon, jota esittää ~v. Siirtymä-aallon synnyttää aineen elastisuus, joka aiheuttaa pyrkimyksen tasapainotilaan.
Elastinen potentiaalienergiatiheys on (tämä indrodusoidaan analogiana potentiaali-energialle U = 1
2kx2)
E =1
2Eijklaijakl
(144)=
1
2Sijaij
(148)=
1
2(λakkδij + 2µaij)aij
=1
2λakkaii + µaijaij ≡
1
2λ( 3∑i=1
aii
)2
+ µ
3∑i,j=1
aijaij
Sijoittamalla tähän määritelmä (127) saadaan
E =1
2λ
( 3∑i=1
∂vi∂xi
)2
+1
4µ
3∑i,j=1
(∂vi∂xj
+∂vj∂xi
)(∂vi∂xj
+∂vj∂xi
)(149)
Elastinen liike-energiatiheys on (kun ρ on vakioinen massatiheys)
K =1
2ρ
∣∣∣∣∂~v∂t∣∣∣∣2 =
1
2ρ
3∑i=1
(∂vi∂t
)2
Lagrangen tiheys saadaan näiden avulla
L = L(vi,
∂vi∂t,∂vi∂xj
, xi, t
)= K − E
Tämä toteuttaa Euler-Lagrangen yhtälöt
∂
∂t
(∂L
∂(∂vi∂t )
)+
3∑j=1
∂
∂xj
(∂L
∂( ∂vi∂xj)
)− ∂L∂vi
= 0
missä kenttämuuttujina ovat siis vektorin ~v komponentit ja xi:t ja t ovat parametrei-na157.
Näillä tiedoilla saamme laskettu liikeyhtälön. Lagrangen tiheys auki kirjoitettuna on
L =ρ
2
3∑k=1
(∂vk∂t
)2
− λ
2
( 3∑k=1
∂vk∂xk
)2
− µ
4
3∑l,m=1
(∂vl∂xm
+∂vm∂xl
)(∂vl∂xm
+∂vm∂xl
)157ks. huomautus 34.
100
joten heti näemme ∂L∂vi
= 0. Lasketaan ensimmäinen pala Lagrangea
∂
∂t
(∂L
∂(∂vi∂t )
)=
∂
∂t
(ρ∂vi∂t
)= ρ
∂2vi∂t2
Merkitään kenttämuuttujia158 ∂vi∂xj
.= vij ja lasketaan viimeinen pala Lagrangea
3∑j=1
∂
∂xj
(∂
∂vij
(− λ
2
( 3∑k=1
vkk
)2
− µ
4
3∑l,m=1
(vlm + vml) (vlm + vml)
))
=
3∑j=1
∂
∂xj
(− λ( 3∑k=1
vkk
)δij −
µ
2
3∑l,m=1
∂(vlm + vml)
∂vij(vlm + vml)
)
=
3∑j=1
∂
∂xj
(− λ( 3∑k=1
vkk
)δij −
µ
2
3∑l,m=1
(δilδjm + δimδjl)(vlm + vml)
)
= −λ ∂
∂xi
( 3∑k=1
vkk
)− µ
2
3∑j=1
∂
∂xj
( 3∑l,m=1
(δilδjm(vlm + vml) + δimδjl(vlm + vml)
)
= −λ ∂
∂xi
( 3∑k=1
∂vk∂xk
)− µ
2
3∑j=1
∂
∂xj((vij + vji) + (vji + vij))
= −λ ∂
∂xi(~∇ · ~v)− µ
3∑j=1
∂
∂xj(vij + vji)
= −λ ∂
∂xi(~∇ · ~v)− µ
3∑j=1
(∂vij∂xj
+∂vji∂xj
)
= −λ ∂
∂xi(~∇ · ~v)− µ
3∑j=1
(∂2vi∂x2
j
+∂2vj∂xi∂xj
)
≡ −λ ∂
∂xi(~∇ · ~v)− µ
(~∇2vi +
∂
∂xi(~∇ · ~v)
)= −(λ+ µ)
∂
∂xi(~∇ · ~v)− µ~∇2vi
Näiden avulla saadaan liikeyhtälöksi:
ρ∂2vi∂t2− (λ+ µ)
∂
∂xi(~∇ · ~v)− µ~∇2vi
tai sama vektorimuodossa
ρ∂2~v
∂t2− (λ+ µ)~∇(~∇ · ~v)− µ~∇2~v = 0 (150)
158otetaan Lagrangen muuttujiksi, siis ”riippumattomiksi” automaattisesti.
101
Tämä yhtälö kuvaa elastisen jatkumon vapaita värähtelyjä, ja siten elastisten häiriöidenetenemistä. Käytetään seuraavassa vektorianalyysistä tuttua kaavaa
~∇2~v = ~∇(~∇ · ~v)− ~∇× (~∇× ~v) (151)
jolla liikeyhtälön (150) toiseksi esitysmuodoksi saadaan.
ρ∂2~v
∂t2− (λ+ 2µ)~∇(~∇ · ~v) + µ~∇× (~∇× ~v) = 0 (152)
Muista, että tässä ~∇ · ~v liittyy volumetriseen dilataatioon, ja ~∇× ~v liittyy lokaaleihinrotaatioihin. Tämän totesimme luvussa 28.
Helmholzin lauseen mukaan mielivaltainen vektorikenttä ~v voidaan rakentaa pyörteet-tömän kentän ~∇φ ja lähteettömän kentän ~∇× ~A summana
~v = ~∇φ+ ~∇× ~A (153)
Pitkittäinen aaltoliike Todetaan seuraavaksi, että liikeyhtälön (152) ratkaisee pit-kittäinen aaltoliike tietyllä vaihenopeudella. Pitkittäistä aaltoliikettä159 kuvaa tunne-tustu skalaarikenttä φ, joka toteuttaa ns. aaltoyhtälön
∂2φ
∂t2= c2p~∇2φ (154)
Valitsemalla vaihenopeudeksi c2p = (λ+ 2µ)/ρ saadaan
∂2φ
∂t2=λ+ 2µ
ρ~∇2φ
⇒ ~∇(ρ∂2φ
∂t2
)= ~∇
((λ+ 2µ)~∇2φ
)⇒ ρ
∂2~∇φ∂t2
= (λ+ 2µ)(~∇(~∇ · ~∇φ))
jonka perusteella toteamme pitkittäisen aaltoliikkeen siirtymäkentän ~v = ~∇φ ratkai-sevan elastisten aaltojen liikeyhtälön (152), koska skalaaripotentiaalista saatu vektori-kenttä on pyörteetön, ts. ~∇× ~v = 0.
Poikittainen aaltoliike Todetaan vielä, että liikeyhtälön (152) ratkaisee myös poi-kittainen aaltoliike. Poikittaista aaltoliikettä kuvaa vektoripotentiaali ~A, joka toteuttaayhtälön
∂2 ~A
∂t2= −c2t ~∇× (~∇× ~A) (155)
159siis tiheysvaihteluja: yksi vapausaste
102
ja sen siirtymäkenttä160 on ~v = ~∇ × ~A. Valitsemalla nyt vaihenopeudeksi c2t = µ/ρvoidaan väite todistaa:
ρ∂2 ~A
∂t2= −µ ~∇× (~∇× ~A)
⇒ ~∇×
(ρ∂2 ~A
∂t2
)= ~∇×
(−µ ~∇× (~∇× ~A)
)⇒ ρ
∂2~v
∂t2= −µ ~∇× (~∇× ~v)
Koska nyt ~∇ · ~v = 0, niin ~v toteuttaa aaltoyhtälön (152), kuten pitää.
Huomautus: Yhtälö (155) saadaan standardiin aalotyhtälömuotoon (154). Tämän to-teamiseksi kirjoitetaan (155) ensin derivointikaavan (151) avulla muotoon
∂2 ~A
∂t2+ c2t ~∇(~∇ · ~A)− c2t ~∇2 ~A = 0
Koska saman siirtymäkentän ~v = ~∇× ~A tuottaa myös vektoripotentiaali ~A + ~∇f kai-kille skalaarifunktioille f , niin valitaan f siten, että ~∇2f = −~∇ · ~A. Näin saatu uusivektoripotentiaali ~A′ = ~A+ ~∇f tuottaa saman siirtymäkentän ~v, mutta on lähteetön.Siten ~A′ todella toteuttaa standardimuotoisen aaltoyhtälön (154).
Edellinen käsittely antaa aiheen myös täydentää Helmholzin lausetta siten, että esitys(153) on yksikäsitteinen, jos ~A on lähteetön (emme kuitenkaan todistaneet tätä).
160Edellinen vaikutti ehkä ilmeiseltä. Tässä tapauksessa en ota perusteluun kantaa.
103
