เอกสารประกอบการเรียนkm.streesp.ac.th/files/140514099443085_1411250885607.pdfค31202 คณ ตศาสตร เพ มเต ม 2 3 โดย

เอกสารประกอบการเรยน คณตศาสตรเพมเตม 2 (ค31202)

เรอง เรขาคณตวเคราะห

สอนโดย

ครมานตา หมดภย

รวบรวมโดย ชอ............................................................................

ชน.......................เลขท....................

ภาคเรยนท 2 ปการศกษา 2557 โรงเรยนสตรสมทรปราการ

ค31202 คณตศาสตรเพมเตม 2 2 โดย ครมานตา หมดภย

เรขาคณตวเคราะห 1.ระยะหางระหวางจดสองจด

ทฤษฎบท ถา P1(x1 , y1) และ P2(x2 , y2) เปนจดในระนาบ ระยะหางระหวางจด P1 และ P2 คอ 21PP = 2

21

2

21 )()( yyxx 1. จงหาระยะหางระหวางจดสองจด1) (3 , 2) กบ (3 , 5) ………………………..……………………. ………………………..…………………….

2) (-5 , -2) กบ (2 , -2) ………………..……………………………. ………………..…………………………….

3) (-2 , 5) กบ (-4 , -6) …………………………..…………………. …………………………..…………………. 4) (10,-8) กบ (5,10) …………………………..…………………. ………………………………..…………….

5) (-4,8) กบ(7,5) …………………………..…………………. …………………………..…………………. 6) (p , p+q) กบ (p+q , p) …………………………..…………………. …………………………..………………….

2. วงกลมหนงมจดศนยกลางอยท (5 , 7) และผานจด (3 , 9) จงหารศมของวงกลม ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 3. จงหาจด B บนแกน Y ซงอยหางจากจด P(1, 4) และ Q(-5, 6) เปนระยะทางเทากน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 4. จงหาจดบนแกน X ซงอยหางจากจด P(5, 9) และ Q(-2, -4) เปนระยะทางเทากน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... 5. จงหาพกดของจด A(x , 3) ซงอยหางจากจด B(10 , 12) เปนระยะทาง 15 หนวย ........................................................................................................................................................... ..........................................................................................................................................................


6. รปสามเหลยมมจดยอด A(-2, 0) , B(8, 0) และ C(8, -6) จงหาพนทของรปสามเหลยม ABC ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

7. ก าหนด A(-2 , -2) , B(4 , -2) , C(4 , 4) และ D(-2 , 4) เปนจดยอดมมของรปสเหลยมรปหนง จงหาความยาวของเสนรอบรป และพนทของรปสเหลยมรปน ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ...........................................................................................................................................................

8. รปสามเหลยมมจดยอด A(1, 1) , B(-1, -1) และ C(-4, 2) เปนรปสามเหลยมชนดใด ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... ........................................................................................................................................................... จงหาค าตอบของขอตอไปน 1) ถาระยะทางระหวางจด A(13 , 2) และ B(-11 , p) เทากบ 26 จงหาคาของ p …………………………….………………… …………………………….………………… …………………………….………………… …………………………….………………… …………………………….………………… …………………………….…………………

2) ก าหนด A(a , 0) ซงอยหางจากจด B(4 , -5) เปนระยะ 13 หนวย จงหาคา a ………………………………….…………… ………………………………….…………… ………………………………….…………… ………………………………….…………… ………………………………….…………… ………………………………….………….


3) จงแสดงวาจด M(1 , 1) , N(-1 , -1) และ R(-4 , 2) เปนจดยอดของรปสามเหลยม มมฉาก ………..………………………….………… ………..………………………….………… ………………………………..….………… ………..………………………….………… ………..………………………….………… ………………………………..….…………

4) ก าหนดจด A(1 , 2) , B(4 , 3) และ C(7 , 4) จงแสดงวาจด A , B และ C อยบนเสนตรงเดยวกน ……………….………………..……………………..………………………….………… ………..………………………….………… ………………………………..….………… ……………….………………..…………… ……………….………………..…………..

จดกงกลางระหวางจดสองจด

ทฤษฎบท ถาจด P( x , y ) เปนจดกงกลางระหวางจด P1(x1 , y1) และ P2(x2 , y2) แลว

2

21 xxx

และ

2

21 yyy

P( x , y ) = (2

21 xx ,2

21 yy )

1 จงหาจดกงกลางระหวางจดทก าหนดใหตอไปน 1) A(6, 2) และ B(0, 8) ………………………………………………. ……………………………………………….

2) P(3, -2

5 ) และ Q(-5, -2

7 )

………………………………………………. ……………………………………………….

3) A(0, 0) และ B(6, 8) ………………………………………………. ……………………………………………….

4) P(-3, 4) และ Q(5, 6) ………………………………………………. ……………………………………………….

5) (-1 , -2) และ (3 , -4) ……………………………………………... …………………………………………….. 7) (3 , -

2

5 ) และ (-3 , -9)

…………………………………………… …………………………………………… 6) (-2 , -3) และ (-2 , 3)

………………………………………………. ……………………………………………….

8) ( ,2

1 42

1 ) และ (-22

1 , 72

1 )

………………………………………………. ………………………………………………

5

2. ถา C(-1, 4) เปนจดกงกลางระหวางจด A(2, -5) และจด B(x , y) จงหา (x , y) ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………….. 3. รปสามเหลยมรปหนงมจดยอดท P(2, 6) , Q(3, -5) และ R(-4, 1) จงหาความยาวของเสนมธยฐานจากจด P ไปยงดานตรงขาม ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 4. จงหาพกดของจดปลายเสนมธยฐานของรปสามเหลยมทมจดยอดท A(1, -3) , B(6, 2) และ C(-1, 1) ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. …………………………………………………………………………………………………….. ………………………………………………………………………………………………………..……………………………………………………………………………………………………… ……………………………………………………………………………………………………….


การหาจดแบงบนสวนของเสนตรง และ การหาจดตดของเสนมธยฐาน

การหาจดแบงบนสวนของเสนตรง ก าหนดใหจด P1(x1 , y1) และ P2(x2 , y2) เปนจด 2 จด และ P(x , y) เปนจดบนสวนของ เสนตรง P1 P2 โดยท PP1 : 2PP = m : n จะไดวา

nm

mxnxx

21 และ

nm

mynyy

21

หมายเหต ถาให m : n = r จะได xx

xx

2

1 = r

x = r

rxx

1

21

ท านองเดยวกน

y = r

ryy

1

21

1 จงหาจดแบงสวนของเสนตรงจาก P1(1 , 7) ไป P2(6 , -3) ในอตราสวน 2 : 3 …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. 2 ถาจด A(-1 ,-1) แบงสวนของเสนตรงจากจด B(-5 , -3) ไป C(x , y) เปนอตราสวน 2 : 5 …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. ……………………………………………………………………………………………………..


3. จงหาจดซงแบงภายในสวนของเสนตรง A(-3, 4) และ B(13, 12) ออกเปน 5 : 3 ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………. 4. จงหาจด 2 จด ซงแบงสวนของเสนตรง A(3, -1) ไป B(9, 7) ออกเปนสามสวนเทา ๆ กน ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………. 5. ก าหนดจด A(18 , -7) และ B(-2, 3) และ P(x, y) เปนจดแบงเสนตรง AB ออกเปนอตราสวน 3 : 2 จงหาจด P(x, y) ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. การหาจดตดของเสนมธยฐาน

ถา A(x1 , y1) , B(x2 , y2) , C(x3 , y3) เปนจดยอดมมของสามเหลยม ABC ม P(x , y)

เปนจดตดของเสนมธยฐานแลว

x = 3

321 xxx , y = 3

321 yyy

ดงนน (x , y) = (3

321 xxx , 3

321 yyy )

ในบางครงอาจเรยกวา “จดรวมมวล” (Centroid)


จงหาจดตดของเสนมธยฐานของสามเหลยม ซงมจดยอดเปนดงน 1) A(2 , 3) , B(5 , 7) , C(8 , 5) …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. 2) D(-2 ,-5) , E(8 ,-3) , F(-9 , 11) …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. 2.สามเหลยมรปหนง มจดยอดมมเปน (-3 , 7) , (-6 ,-4) , (a , b) มจดตดเสนมธยฐานเปน (-3 , 3) จงหาพกดของ (a , b) …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………….. …………………………………………………………………………………………………… 3. จงหาพกดจดทแบงภายในสวนของเสนตรง A(2, 7) และ B(-5, 6) ซงหางจากจด A เปน 3 ใน 4 ของระยะ AB ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………. 4. จงหาพกดจดซงแบงภายในสวนของเสนตรง A(a+3b , 2a-b) และ B(a+6b , 8a-b) ออกเปนอตราสวน 2 : 1 ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….


x2 – x1

O

5. จงหาจดตดของเสนมธยฐานของสามเหลยม ซงมจดยอดเปน A(0 , -10) , B(-9 , -3) , C(3 , -6) ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………. 6. สามเหลยมรปหนง มจดยอดมมเปน (-6 , -5) , (a , b) , (-3 , 10) มจดตดเสนมธยฐานเปน (-5 , 4) จงหาพกดของ (a , b) ……………………………………..………………………………………………………………... ……………………………………..…………………………………………………………..……. ……………………………………..………………………………………………………………... ……………………………………..…………………………………………………………..……. ……………………………………..……………………………………………………………......

ความชนของเสนตรง

Y

L

X บทนยาม ให L เปนเสนตรงทผานจด จด P1(x1 , y1) และ P2(x2 , y2) โดยท x1 x2 m เปนความชนของเสนตรง L กตอเมอ

m = 21

21

xx

yy

หรอ m = 12

12

xx

yy

P1(x1 , y1)

P2(x2 , y2)

y2 – y1


1 จงหาความชนของเสนตรงทผานจดทก าหนดใหตอไปน 1) A(5 , 2) และ B(-3 , 2) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

2) C(1 , -3) และ D(4 , 3) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

3) E(1 , 5) และ F(6 , -2) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

4) G(4 , 1) และ H(4 , -3) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

2.จงหาความชนของเสนตรงทผานจดสองจดทก าหนดให 1) (-2 , -6) และ (3 , -1) ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

2) (t + 1 , s) และ (2t , s - 3) ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

3) ( 3 , 2 ) และ ( 2 , 3 ) ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

4) (a – b , c + a) และ (c + a , b + c) ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

3.จงหาคา x ทท าใหเสนตรงผานจด A และ B มความชนเทากบ m ตามทก าหนด

1) A(2 , 8) , B(3 , x) ; m = -2

3

…………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

2) A(3 , 4) , B(x , 1) ; m = 3 …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..


4. ถาเสนตรงทลากผานจด (x , 5) และ (-2 , 8) มความชนเทากบ -2

1 จงหา x

……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 5. ถาเสนตรงทลากผานจด (-4 , -4) และ (2 , y) มความชนเทากบ 2 จงหา y ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 6. จงหาความชนของดานของรปสามเหลยม ซงมจด A(2 , 10) , B(5 , 7) และ C(2 , 4) เปนจดยอด ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 7. ถาเสนตรงผานจด P(3 , -2) และ Q(3x – 2 , 4x) และมความชน -3 จงหาคา x ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 8. ถาเสนตรงผานจด A(2a - 1 , 2a) และ B(2 , -3) และมความชน 2 จงหาคา a ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………..


9. จงพจารณาวาจดทงสามจดทก าหนดใหอยบนเสนตรงเดยวกนหรอไม 1) A(0 , 4) , B(3 , -2) , C(-2 , 8) ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

2) A(1 , 1) , B(-2 , 2) , C(-5 , 3) ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………..

เสนขนาน

ทฤษฎบท เสนตรงสองเสนทไมขนานกบแกน Y จะขนานกน กตอเมอ ความชนของเสน ทงสองเทากน จากทฤษฎบท ถาให เสนตรง L1 มความชนเทากบ m1

เสนตรง L2 มความชนเทากบ m2 เสนตรง L1 ขนานกบเสนตรง L2 กตอเมอ m1 = m2

เสนตรง L1 ขนานกบเสนตรง L2 เขยนแทนดวยสญลกษณ L1 // L2

1.จงแสดงวาเสนตรงทผานจด M(6 , 5) และ N(1, -2) ขนานกบเสนตรงทผานจด R(3, 3) และ S(-2 , -4) ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 2.จงหาจด A ทอยบนแกน Y ทท าใหเสนตรงผานจด A และ B(2 , 3) ขนานกบเสนตรงทผานจด C(-2 , -3) และ D(-1 , 7) ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………..……………………………………..………………………………………………………………..


3.จงแสดงวาเสนตรงทผานจด A(1 , -2) และ B(6 , 5) ขนานกบเสนตรงทผานจด C(-2 , -4) และ D(3 , 3) ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 4.ถาเสนตรงทผานจด (4 , 6) และ (a – 2 , -3) ขนานกนกบเสนตรงซงผานจด (2 , 4) และ (5 , -1) จงหาคา a ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 5.จงแสดงวา A(2 , 3) , B(4 , 6) , C(7 , 1) และ D(5 , -2) เปนจดยอดของสเหลยมดานขนาน ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 6.จงแสดงวา A(-6 , 6) , B(6 , 6) , C(12 , 0) และ D(6 , -6) เปนจดยอดของสเหลยมคางหม ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………..


เสนตงฉาก ทฤษฎบท เสนตรงสองเสนทไมขนานกบแกน Y จะตงฉากกน กตอเมอ ผลคณของความ ชนของเสนตรงทงสอง มคาเทากบ -1 จากทฤษฎบท ถาให เสนตรง L1 มความชนเทากบ m1

เสนตรง L2 มความชนเทากบ m2 เสนตรง L1 ตงฉากกบ L2 กตอเมอ m1m2 = -1 เสนตรง L1 ตงฉากกบ L2 เขยนแทนดวยสญลกษณ L1 L2

1 ถาเสนตรง L1 ตงฉากกบเสนตรง L2 และความชน L1 เทากบ 5

2 จงหาความชนของ L2

……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 2 เสนตรงทผานจด A(4 , 2) และ B(1 , -5) ตงฉากกบเสนตรงทผานจด C(x , -3) และจด D(0 , 6) จงหาคาของ x ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 3 จงแสดงวาจด P(-1 , 1) , Q(5 , -2) และ R(-2 , -1) เปนจดยอดของรปสามเหลยมมมฉาก ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………..


4. ถาเสนตรง L1 ตงฉากกบ L2 จงหาความชนของเสนตรง L2 เมอก าหนดความชนของเสนตรง L1 ดงน 1) ความชนของเสนตรง L1 = 4 …………………………………………..... …………………………………………..... ………………………………………….....

2) ความชนของเสนตรง L1 = 0 …………………………………………..... …………………………………………..... ………………………………………….....

3) ความชนของเสนตรง L1 = 3

2

…………………………………………..... …………………………………………..... ………………………………………….....

4) ความชนของเสนตรง L1 = 5

1

…………………………………………..... …………………………………………..... ………………………………………….....

5. จงหาความชนของเสนตรงซงตงฉากกบเสนตรงซงผานจด (3 , 4) และ (-3 , -4) ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 6. จงแสดงวาเสนตรงทผานลากจด (1 , 3) และ (6 , 5) ตงฉากกบเสนตรงทลากผานจด (-1 , -3) และ (-3 , 2) ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………..


7. เสนตรงทผานจด A(k , 7) และ B(-3 , -2) ตงฉากกบเสนตรงซงผานจด C(3 , 2) และ D(1 , -4) จงหาคา k ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 8. เสนตรงทผานจด A(4 , 1) และ B(1 , 4) ตงฉากกบเสนตรงซงผานจด C(m , 5) และ D(-2 , 6) จงหาคา m ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. 9. จงแสดงวารปสเหลยม ABCD ทมจด A(-5 , 3) , B(-4 , -2) , C(1 , -1) และ D(0 , 4) เปนรปสเหลยมจตรส ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..……………………………………………………………….. ……………………………………..………………………………………………………………..

ใชหมอง...นงสมาธ แลวจะคดออก


ความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรง

เมอ r เปนความสมพนธในเซตของจ านวนจรง กราฟของความสมพนธ r คอ เซตของจดในระนาบโดยทแตละจดแทนสมาชกของความสมพนธ r ในกรณทมกราฟเปนเสนตรง หาไดดงกรณตอไปน 1. เสนตรงขนานกบแกน X (หรอตงฉากกบแกน Y)

ความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงทขนานกบแกน X คอ {(x , y) RR y = b} - ถา b > 0 เสนตรงจะอยเหนอแกน X และอยหางจากแกน X เปนระยะ b หนวย - ถา b = 0 เสนตรงจะทบแกน X - ถา b < 0 เสนตรงจะอยใตแกน X และอยหางจากแกน X เปนระยะ b หนวย 1. จงเขยนความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงตามคณสมบตทก าหนดใหตอไปน 1) ขนานแกน X และอยใตแกน X เปนระยะ 5 หนวย …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

2) ขนานแกน X และอยหางจากจด (2 , 3) เปนระยะ 4 หนวย …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

2. เสนตรงขนานกบแกน Y (หรอตงฉากกบแกน X)

ความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงทขนานกบแกน Y คอ {(x , y) RR x = a} - ถา a > 0 เสนตรงจะอยทางขวาของแกน Y และอยหางจากแกนY เปนระยะ a หนวย - ถา a = 0 เสนตรงจะทบแกน Y - ถา a < 0 เสนตรงจะอยทางซายของแกน Y และอยหางจากแกน Yเปนระยะ a หนวย 2. จงเขยนความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงตามคณสมบตทก าหนดใหตอไปน 1) ขนานแกน Y และอยทางซายของแกน Y เปนระยะ 3 หนวย …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….

2) ขนานแกน Y และอยหางจากจด (1 , 2) เปนระยะ 2 หนวย …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..


3. เสนตรงทไมขนานกบแกน x หรอแกน y 1. ก าหนดเสนตรงผานจด (x1 , y1) และความชน m มความสมพนธเปน {(x , y)RR | y - y1 = m(x - x1)} สมการกราฟเสนตรงน คอ y - y1 = m(x - x1) 3. จงหาความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (1 , -4) และมความชนเทากบ 3 …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… 2. ก าหนดเสนตรงผานจด (x1 , y1) และ (x2 , y2) มความสมพนธเปน

{(x , y)RR | y - y1 = 12

12

xx

yy

(x - x1)} สมการกราฟเสนตรงน คอ y - y1 = 12

12

xx

yy

(x - x1)

4. จงหาความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรงทผานจด (3 , 5) และ (-1 , 7) …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… 3. ก าหนดเสนตรงทมความชน m และสวนตดแกน Y c หนวย มความสมพนธเปน {(x , y)RR | y = mx + c} สมการกราฟเสนตรงน คอ y = mx + c 5. จงหาความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรง มความชน 3 และสวนตดแกน Y เปน 4 …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….…


4. ก าหนดเสนตรงมสวนตดแกน x ท (a , 0) และตดแกน y ท (0 , b) มความสมพนธเปน

{(x , y)RR | b

y

a

x = 1} สมการกราฟเสนตรงน คอ

b

y

a

x = 1

6. จงหาความสมพนธซงมกราฟเปนเสนตรง มสวนตดแกน X และแกน Y เปนระยะ 2 และ 6 หนวยตามล าดบ …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….…

สรปรปแบบสมการเสนตรง เมอก าหนดเงอนไขตอไปน

รปแบบ เงอนไข สมการเสนตรง 1. ขนานแกน 2. ขนานแกน 3. จด – ความชน 4. จด 2 จด 5. ความชน , สวนตด 6. สวนตดแกน

ขนานแกน x ขนานแกน y ผานจด (x1 , y1) และความชน m ผานจด (x1 , y1) และ (x2 , y2) ความชน m และสวนตดแกน y : c สวนตดแกน x : a สวนตดแกน y : b

y = b x = a y - y1 = m(x - x1)

y - y1 = 12

12

xx

yy

(x - x1)

y = mx + c

b

y

a

x = 1

7. จงหาสมการเสนตรงทผานจดกงกลางและตงฉากกบเสนตรงทผานจด (4 , -2) และ (2 , -6) …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….…


8. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (-2 , 1) และตงฉากกบเสนตรงทผานจด (3 , 2) และ (-2 , 5) …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… 9. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1 , -4) และขนานกบ 2x – 5y + 4 = 0 …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… 10. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (-2 , 0) และตงฉากกบเสนตรง x + 3y – 6 = 0 …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….…


11. จงหาสมการของกราฟเสนตรงซงมลกษณะดงตอไปน 1) ขนานกบแกน X และอยเหนอแกน X เปนระยะ 4 หนวย ……………………………………………... ……………………………………………...

2) ขนานกบแกน Y และอยซายมอ เปนระยะ 3 หนวย ……………………………………………... ……………………………………………...

3) ขนานกบแกน X และอยหางจากจด (0 ,-1) เปนระยะ 4 หนวย ……………………………………………... ……………………………………………...

4) ขนานกบแกน Y และอยหางจากจด (2 , 0) เปนระยะ 5 หนวย ……………………………………………... ……………………………………………...

12. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (1 , -2) และมความชน 2

1

…………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… 13. ถาเสนตรง ax + 10y = 6 ตงฉากกบเสนตรง x + 2y = 8 จงหาคา a …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… 14. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (-1 , -2) และขนานกบเสนตรง 2x – 3y + 4 = 0 …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….…


15. จงหาสมการเสนตรงทผานจด (-1 , -3) และตงฉากกบเสนตรงทผานจด (2 , 5) และ (3 , -4) …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… …………………………………………………………………………………………………….… 16. จงหาคา k ทท าให1) เสนตรง 3kx + 5y + k = 6 ผานจด (2 , -3) ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

2) เสนตรง 7x – ky + 3 = 0 ความชน 3 ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

3) เสนตรง kx – y = 3k – 6 มจดตดแกน X เปน 5 ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

4) เสนตรง kx – (3 - k)y + 7 = 0 ขนานกบเสนตรง 3x + 4y – 7 = 0 ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...


สมการเสนตรงรปทวไป และ การหาจดทกราฟตดแกน X จดทกราฟตดแกน Y

สมการเสนตรงรปทวไป

สมการเสนตรงจะประกอบดวยตวแปร x และ y ทมก าลงเปนหนง และอยในรปการบวกกน ดงนน เราสามารถเขยนสมการเสนตรงในรปทวไปไดดงน Ax + By + C = 0 เมอ A , B, C เปนคาคงตวท A และ B ไมเปนศนยพรอมกน จงพจารณาวา ขอใดมกราฟเปนเสนตรง

1) 4x + 5y – 2 = 0 ………………………….. 2) 3x + 5 = 0 ………………………….. 3) 7y – 6 = 0 ………………………….. 4) xy + 5y – 3 = 0 ………………………….. 5) 3x2 + 6y – 3 = 0 …………………………..

ขอสงเกต ถา B 0 สมการ Ax + By + C = 0 สามารถเขยนใหอยในรป y = -B

A x - B

C

แสดงวา

เสนตรงทมสมการเปน Ax + By + C = 0 มความชนเทากบ -B

A

การหาจดตดทกราฟตดแกน X จดทกราฟตดแกน Y

1. การหาจดตดทกราฟตดแกน X หลกการ ใหแทนคา y = 0 แลวแกสมการหาคา x จาก Ax + By + C = 0 เมอ A 0

จะได x = -A

C แสดงวาสวนตดแกน X เปน -A

C ดงนน จดตดแกน X คอ (- A

C , 0)

2. การหาจดตดทกราฟตดแกน Y

หลกการ ใหแทนคา x = 0 แลวแกสมการหาคา y จาก Ax + By + C = 0 เมอ B 0

จะได y = -B

C แสดงวาสวนตดแกน Y เปน -B

C ดงนน จดตดแกน Y คอ (0 , -B

C )


จงหาวาเสนตรง 5x + 2y + 3 = 0 ตดแกน X ทจดใด …………………………………………....... …………………………………………....... …………………………………………....... ………………………………………….......

จงหาวาเสนตรง 6x - 4y + 2 = 0 ตดแกน Y ทจดใด …………………………………………....... …………………………………………....... …………………………………………....... ………………………………………….......

การแสดงวาจดทก าหนดใหอยบนเสนตรงหรอไม หลกการ ใหแทนคาจดทตองการตรวจสอบลงในสมการแลว

1. ถาท าใหสมการเปนจรง แสดงวาจดนนอยบนเสนตรง 2. ถาท าใหสมการเปนเทจ แสดงวาจดนนไมอยบนเสนตรง

1.ก าหนดให L = {(x , y)| 3x + 4y = 10} จงแสดงวาจด (2 , 1) และจด (5 , -1) อยบนกราฟเสนตรงของความสมพนธ L หรอไม ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 2.ถา (2 , 3) อยบนเสนตรง 3x – ky + 1 = 0 จงหาคา k ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


3. จงหาความชนของเสนตรง และจดทเสนตรงในขอตอไปนตดแกน X และแกน Y

1) y = 3

2 x - 8

ความชน = …………. ตดแกน X ทจด ..................... ตดแกน Y ทจด .....................

2) y = - 6

5 x + 15

ความชน = …………. ตดแกน X ทจด ..................... ตดแกน Y ทจด ..................... 3) 3y = 4x - 9 ความชน = …………. ตดแกน X ทจด ..................... ตดแกน Y ทจด ..................... 4) 3x -7y + 4 = 0 ความชน = …………. ตดแกน X ทจด ..................... ตดแกน Y ทจด .....................

5) 5

x + 3

y = 1

ความชน = …………. ตดแกน X ทจด ..................... ตดแกน Y ทจด ..................... 4. จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 4x + y – 1 = 0 และผานจดตดของเสนตรง 2x – 5y – 17 = 0 กบเสนตรง 3x + 2y + 3 = 0 ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….


Y

X

L

P(x1 , y1)

ระยะหางระหวางจดกบเสนตรง

ให L เปนเสนตรงทมสมการเปน Ax + By + C = 0 โดยท A 0 และ B 0 ระยะหาง จากจด P(x1 , y1) ไปยงเสนตรง L คอ

d = 22

11

BA

CByAx

1.จงหาระยะหางระหวางเสนตรงกบจดทก าหนดให ตอไปน

1. 3x – 4y +2 = 0 : (2, 1) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

2. 4x + 3y = 8 : (1, 0) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..


2.วงกลมวงหนงมจดศนยกลางท (2, 3) และมเสนตรง 7x + 24y = 11 เปนเสนสมผส จงหาความยาวของรศมของวงกลมน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 3.จงหาคา k เมอก าหนดเสนตรง 2x + 3y + k = 0 เสนตรงอยหางจากจด P(3, 1) เปนระยะ 3 หนวย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 4.จงหาสมการเสนตรงทขนานกบ 3x – 4y + 5 = 0 และเสนตรงนอยหางจากจด (2 , -1) เปนระยะ 3 หนวย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................


5. จงหาระยะหางระหวางจดกบเสนตรงทก าหนดใหในแตละขอตอไปน

1) 3x + 4y – 5 = 0 : (2, -3) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

2) 8x – 6y + 2 = 0 : (0, 6) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

3) 2x + 3y = 13 : (0, 0) …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

4) y + 2 = 4

3 (x + 4) : (8 , 3)

…………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

6. วงกลมมจดศนยกลางท (-1 , 3 ) และมเสนตรง x – y = 4 เปนเสนสมผส จงหาความยาวของรศมของวงกลมน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 7.จงหาจ านวนจรง m ทท าใหระยะหางระหวางเสนตรง 8x + 15y + m = 0 กบจด (1 , 5) มคาเทากบ 8 หนวย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................


8.จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 4x + 3y -7 = 0 และอยหางจากจด (1 , 5) เปนระยะ 8 หนวย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 9.จงหาสมการเสนตรงทตงฉากกบเสนตรง 12x – 5y + 2 = 0 และอยหางจากจด (0 , 8) เปนระยะ 3 หนวย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................


ระยะหางระหวางเสนคขนาน ระยะหางระหวางเสนคขนาน

ให L1 : Ax + By + C1 = 0 ขนานกบเสนตรง L2 : Ax + By + C2 = 0 d เปนระยะหางระหวางเสนคขนาน L1 และ L2 แลว

d = 22

21

BA

CC

1 จงหาระยะหางระหวางเสนคขนานตอไปน 1) 4x + 3y – 8 = 0 และ 4x + 3y – 3 = 0 ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

2) 6x - 2y = 4 และ 3x - y = 0 ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

3) 3x + 5y + 5 = 0 และ 3x + 5y = 0 ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...

4) 2x + 8y + 5 = 0 และ 3x + 5y = 0 ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………... ……………………………………………...


2 จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 3x – 4y – 5 = 0 และอยหางจากเสนตรงนเปนระยะ 2 หนวย ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. 3 ถาเสนตรง 12x + 5y – 10 = 0 เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนขนานคหนง ซงอยหางกน 6 หนวย จงหาสมการของเสนขนานคน ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ………………………………………………………………………………………………………. ……………………………………………………………………………………………………….

อยากเกง … กตองขยนนะจะ ส ๆๆๆๆๆๆๆ


4. จงหาระยะหางระหวางเสนตรงทขนานกนในแตละขอตอไปน 1) 8x + 6y + 4 = 0 กบ 8x + 6y – 5 = 0 …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

2) 4x + 3y – 6 = 0 กบ 20x + 15y + 30 = 0 …………………………………………….. ………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

3) x + 3y – 2 = 0 กบ 6x + 18y = 12 …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

4) 6x + 8y – 5 = 0 กบ -8

6 x +8

7

…………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. …………………………………………….. ……………………………………………..

5. จงหาสมการเสนตรงทขนานกบเสนตรง 12y – 5x = 7 และอยหางจากเสนนระยะ 5 หนวย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................


6. ถาเสนตรง 3y = 4x – 2 เปนเสนตรงทอยกงกลางระหวางเสนขนานคหนงซงอยหางกน 8 หนวย จงหาสมการเสนขนานคน ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 7. จงหาสมการเสนตรงซงแบงครงมมซงเกดจากเสนตรง L1 : 7x – y + 11 = 0 และ L2 : x + y = 15 ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. 8. จงหาสมการเสนตรงทหางจากเสนตรงทตดแกน X ท (3 , 0) และตดแกน Y ท (0 , 5) เปนระยะ 3 หนวย ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. ............................................................................................................................................................. .............................................................................................................................................................

Documents

เอกสารประกอบการเรียนkm.streesp.ac.th/files/140514099443085_1411250885607.pdfค31202 คณ ตศาสตร เพ มเต ม 2 3 โดย