KÉMIAI ALAPOK - tankonyvtar.hu · COPYRIGHT: 2011-2016, Dr. Benkő Zoltán, Kőmívesné Tamás Ibolya, Dr. Stankovics Éva, BME Vegyészmérnöki és Biomérnöki Kar Szervetlen

Szerkesztette

BENKŐ ZOLTAacuteN

Iacuterta

BENKŐ ZOLTAacuteN KŐMIacuteVESNEacute TAMAacuteS IBOLYA STANKOVICS EacuteVA

Lektoraacutelta

IGAZ SAROLTA

KEacuteMIAI ALAPOK Egyetemi tananyag

2011

Budapesti Műszaki eacutes Gazdasaacutegtudomaacutenyi Egyetem Vegyeacuteszmeacuternoumlki eacutes Biomeacuternoumlki Kar Szervetlen eacutes Analitikai Keacutemia Tanszeacutek

COPYRIGHT 2011-2016 Dr Benkő Zoltaacuten Kőmiacutevesneacute Tamaacutes Ibolya Dr Stankovics Eacuteva BME

Vegyeacuteszmeacuternoumlki eacutes Biomeacuternoumlki Kar Szervetlen eacutes Analitikai Keacutemia Tanszeacutek

LEKTORAacuteLTA Dr Igaz Sarolta OKKER Zrt

KOumlZREMŰKOumlDOumlTT Fekete Csaba Koumlnczoumll Laacuteszloacute

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 30 (CC BY-NC-ND 30)

A szerző neveacutenek feltuumlnteteacutese mellett nem kereskedelmi ceacutellal szabadon

maacutesolhatoacute terjeszthető megjelentethető eacutes előadhatoacute de nem moacutedosiacutethatoacute

TAacuteMOGATAacuteS

Keacuteszuumllt a TAacuteMOP-412-082AKMR-2009-0028 szaacutemuacute bdquoMultidiszciplinaacuteris modulrendszerű digitaacutelis

tananyagfejleszteacutes a vegyeacuteszmeacuternoumlki biomeacuternoumlki eacutes vegyeacutesz alapkeacutepzeacutesbenrdquo ciacutemű projekt kereteacuteben

KEacuteSZUumlLT a Typotex Kiadoacute gondozaacutesaacuteban

FELELŐS VEZETŐ Votisky Zsuzsa

AZ ELEKTRONIKUS KIADAacuteST ELŐKEacuteSZIacuteTETTE Waizinger Joacutezsef

ISBN 978-963-279-479-2

KULCSSZAVAK

aacuteltalaacutenos keacutemia szervetlen keacutemia szerves keacutemia anyagszerkezet keacutemiai reakcioacutek keacutemiai egyensuacutelyok

elektrokeacutemia matematikai eacutes fizikai alapismeretek

OumlSSZEFOGLALAacuteS

A Keacutemiai alapok ciacutemű elektronikus tananyag 12 fejezetre tagoloacutedik Az első fejezet tartalmazza keacutesőbbiek

megeacuterteacuteseacutehez elengedhetetlenuumll szuumlkseacuteges matematikai eacutes fizikai fogalmakat oumlsszefuumlggeacuteseket Ezutaacuten egy

igen terjedelmes aacuteltalaacutenos keacutemiai reacutesz koumlvetkezik mely ismerteti az atomszerkezet molekulaszerkezet

alapjait a kuumlloumlnboumlző halmazaacutellapotok eacutes halmazaacutellapot-vaacuteltozaacutesok legfontosabb jellemzőit A

koncentraacutecioacutekkal oldatokkal eacutes hiacuteg oldatok toumlrveacutenyszerűseacutegeivel foglalkozoacute fejezetek nemcsak a

koumlzeacutepiskolai tananyagot hanem az egyetemek első feacuteleacuteveacuteben taniacutetott ismereteket is taacutergyaljaacutek A Keacutemiai

reakcioacutek ciacutemű fejezetben az Olvasoacute megismerkedhet a keacutemiai egyenletek rendezeacuteseacutevel a sztoumlchiometria

alapjaival a termokeacutemia legfontosabb toumlrveacutenyszerűseacutegeivel valamint a reakcioacutekinetika alapfogalmaival A

Keacutemiai egyensuacutelyok ciacutemű fejezet toumlbbek koumlzoumltt taacutergyalja a homogeacuten eacutes heterogeacuten faacutezisuacute egyensuacutelyokat az

elektrolitegyensuacutelyokat (pH-egyensuacutelyok komplexkeacutepződeacutesi egyensuacutelyok oldhatoacutesaacutegi egyensuacutelyok)

valamint a megoszlaacutesi egyensuacutelyokat Az aacuteltalaacutenos keacutemiaacuteval foglalkozoacute reacuteszt az Elektrokeacutemia ciacutemű fejezet

zaacuterja A jegyzet utolsoacute fejezetei roumlviden ismertetik a legfontosabb szervetlen eacutes szerves keacutemiai ismereteket

veacuteguumll az eacuterdeklődő Olvasoacute az utolsoacute fejezetben talaacutelhatoacute peacuteldataacuter gyakorloacutefeladatain oumlnaacutelloacutean ellenőrizheti

felkeacuteszuumlltseacutegeacutet

Tartalomjegyzeacutek 3

copy Benkő Zoltaacuten BME wwwtankonyvtarhu

TARTALOMJEGYZEacuteK

ELŐSZOacute 5 1 MATEMATIKAI EacuteS FIZIKAI ALAPOK 6

11 Matematikai alapok 6 12 Fizikai alapismeretek 33 13 A goumlroumlg aacutebeacuteceacute 43

2 AZ ATOMOK SZERKEZETE 44 21 Az atommodellekről dioacuteheacutejban 44 22 Az atomok feleacutepiacuteteacutese 44 23 Az atomok elektronszerkezete 48 24 A kvantumszaacutemok 56 25 Az elemek perioacutedusos rendszere 57 26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben 62 27 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek -feladatok 73

3 KEacuteMIAI KOumlTEacuteSEK EacuteS A MOLEKULAacuteK SZERKEZETE 75 31 Keacutemiai koumlteacutesek 75 32 A molekulaacutek alakja 90

4 HALMAZOK HALMAZAacuteLLAPOTOK 104 41 Alapfogalmak elemek vegyuumlletek kevereacutekek 104 42 Az anyagi halmazok csoportosiacutetaacutesa 106 43 Halmazaacutellapotok halmazaacutellapot-vaacuteltozaacutesok 106 44 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 129 45 Szaacutemiacutetaacutesi feladatok gaacuteztoumlrveacutenyekkel 130

5 KONCENTRAacuteCIOacuteK OLDHATOacuteSAacuteG AacuteTKRISTAacuteLYOSIacuteTAacuteS 148 51 Toumlrt- illetve szaacutezaleacutekjellegű mennyiseacutegek 148 52 Koncentraacutecioacute jellegű mennyiseacutegek 149 53 A ppm- eacutes ppb-koncentraacutecioacutek 150 54 A koncentraacutecioacutek aacutetszaacutemiacutetaacutesa 151 55 Az oldhatoacutesaacuteg 166 56 Műveletek oldatokkal 168 57 Kristaacutelyvizes soacutek 182 58 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 191

6 HIacuteG OLDATOK TOumlRVEacuteNYEI 193 61 A forraacutespont-emelkedeacutes eacutes fagyaacutespontcsoumlkkeneacutes toumlrveacutenye 193 62 A van rsquot Hoff-faktor 194 63 Az ozmoacutezisnyomaacutes 197

7 KEacuteMIAI REAKCIOacuteK 208 71 Bevezeteacutes 208 72 A keacutemiai reakcioacutek fajtaacutei 209 73 Sav-baacutezis (protolitikus) reakcioacutek sav-baacutezis elmeacuteletek 212 74 Oxidaacutecioacutefok redoxireakcioacutek rendezeacutese 215 75 Sztoumlchiometria 251 76 A keacutemiai reakcioacutekat kiacuteseacuterő hővaacuteltozaacutesok ndash Termokeacutemia 272 77 A keacutemiai reakcioacutek sebesseacutege 292 78 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 305

8 KEacuteMIAI EGYENSUacuteLYOK 310 81 A toumlmeghataacutes toumlrveacutenye eacutes az egyensuacutelyi aacutellandoacute 310 82 A reakcioacuteegyenlet eacutes az egyensuacutelyi aacutellandoacute kapcsolata 321 83 Az egyensuacutely eltolaacutesa a legkisebb keacutenyszer elve 324 84 Homogeacuten gaacutezfaacutezisuacute reakcioacutek 333 85 Heterogeacuten faacutezisuacute egyensuacutelyok 344 86 Elektrolitegyensuacutelyok 350

4 Keacutemiai alapok


87 Megoszlaacutesi egyensuacutelyok 502 9 ELEKTROKEacuteMIA 513

91 Bevezeteacutes 513 92 Az elektroacutedpotenciaacutel fuumlggeacutese a hőmeacuterseacuteklettől koncentraacutecioacutetoacutel eacutes nyomaacutestoacutel 516 93 Galvaacutenelemek 531 94 Koncentraacutecioacutes elemek 534 95 Az elektroacutedpotenciaacutelok eacutes a redoxireakcioacutek iraacutenya 537 96 Az elektroacutedpotenciaacutelok eacutes a keacutemiai egyensuacutelyi aacutellandoacute kapcsolata 542 97 Az elektroliacutezis 548 98 Elektrolitok vezeteacutese 564

10 A SZERVETLEN KEacuteMIA ALAPJAI 580 101 A szervetlen vegyuumlletek csoportosiacutetaacutesa 580 102 Savak 582 103 Baacutezisok 588 104 Soacutek 590 105 Komplex vegyuumlletek 591 106 Elemek eacutes vegyuumlletek szisztematikus elnevezeacutese 592 107 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek 596

11 SZERVES KEacuteMIA 600 111 Bevezeteacutes 600 112 Alkaacutenok 616 113 Cikloalkaacutenok 621 114 Alkeacutenek 622 115 Alkinek 628 116 Aromaacutes vegyuumlletek 631 117 Halogeacutentartalmuacute szeacutenhidrogeacutenek 636 118 Alkoholok 639 119 Fenolok 644 1110 Eacuteterek 646 1111 Aldehidek eacutes ketonok 648 1112 Karbonsavak 653 1113 Eacuteszterek 661 1114 Nitrovegyuumlletek 662 1115 Aminok 664 1116 Savamidok 667 1117 Aminosavak 669 1118 Feheacuterjeacutek 674 1119 Szeacutenhidraacutetok 681 1120 Heterociklusok 688 1121 Nukleinsavak 690

12 PEacuteLDATAacuteR 693 121 Gaacuteztoumlrveacutenyek 693 122 Koncentraacutecioacutek 694 123 Hiacuteg oldatok toumlrveacutenyei 695 124 Sztoumlchiometria 696 125 Termokeacutemia 699 126 Keacutemiai egyensuacutelyok 700 127 Elektrolitegyensuacutelyok 701 128 Elektrokeacutemia 703 129 Megoldaacutesok 705

FELHASZNAacuteLT IRODALOM 712 AacuteBRAacuteK ANIMAacuteCIOacuteK VIDEOacuteK JEGYZEacuteKE 713

Aacutebraacutek 713 Animaacutecioacutek videoacutek 717

Előszoacute 5


ELŐSZOacute

A Keacutemiai alapok ciacutemű elektronikus jegyzet alapvető ceacutelja a vegyeacutesz vegyeacuteszmeacuternoumlki eacutes biomeacuternoumlki

keacutemiaoktataacuteshoz szuumlkseacuteges elmeacuteleti alapok megteremteacutese aacutem haszonnal forgathatjaacutek az eacuterdeklődő

koumlzeacutepiskolaacutesok is A legfontosabb alapfogalmak ismerteteacutese mellett igyekszuumlnk bemutatni a fontosabb

alkalmazaacutesokat gyakorlati ismereteket is iacutegy a jegyzet toumlbb szaacutez reacuteszletesen kidolgozott

mintafeladattal szaacutemos videoacuteval eacutes animaacutecioacuteval segiacuteti az Olvasoacutet az anyag meacutelyebb megeacuterteacuteseacutehez

Ezen elektronikus tananyag 12 fejezetre tagoloacutedik Az első fejezet tartalmazza keacutesőbbiek

megeacuterteacuteseacutehez elengedhetetlenuumll szuumlkseacuteges matematikai eacutes fizikai fogalmakat oumlsszefuumlggeacuteseket Ezutaacuten

egy igen terjedelmes aacuteltalaacutenos keacutemiai reacutesz koumlvetkezik mely ismerteti az atomszerkezet

molekulaszerkezet alapjait a kuumlloumlnboumlző halmazaacutellapotok eacutes halmazaacutellapot-vaacuteltozaacutesok legfontosabb

jellemzőit A koncentraacutecioacutekkal oldatokkal eacutes hiacuteg oldatok toumlrveacutenyszerűseacutegeivel foglalkozoacute fejezetek

nemcsak a koumlzeacutepiskolai tananyagot hanem az egyetemek első feacuteleacuteveacuteben taniacutetott ismereteket is

taacutergyaljaacutek A Keacutemiai reakcioacutek ciacutemű fejezetben az Olvasoacute megismerkedhet a keacutemiai egyenletek

rendezeacuteseacutevel a sztoumlchiometria alapjaival a termokeacutemia legfontosabb toumlrveacutenyszerűseacutegeivel valamint a

reakcioacutekinetika alapfogalmaival A Keacutemiai egyensuacutelyok ciacutemű fejezet toumlbbek koumlzoumltt taacutergyalja a

homogeacuten eacutes heterogeacuten faacutezisuacute egyensuacutelyokat az elektrolitegyensuacutelyokat (pH-egyensuacutelyok

komplexkeacutepződeacutesi egyensuacutelyok oldhatoacutesaacutegi egyensuacutelyok) valamint a megoszlaacutesi egyensuacutelyokat Az

aacuteltalaacutenos keacutemiaacuteval foglalkozoacute reacuteszt az Elektrokeacutemia ciacutemű fejezet zaacuterja A jegyzet utolsoacute fejezetei

roumlviden ismertetik a legfontosabb szervetlen eacutes szerves keacutemiai ismereteket veacuteguumll az eacuterdeklődő Olvasoacute

az utolsoacute fejezetben talaacutelhatoacute peacuteldataacuter gyakorloacutefeladatain oumlnaacutelloacutean ellenőrizheti felkeacuteszuumlltseacutegeacutet

Ezuacuteton szeretneacutenk koumlszoumlnetet mondani az aacutebraacutek animaacutecioacutek eacutes videoacutek elkeacutesziacuteteacuteseacuteben nyuacutejtott

segiacutetseacutegeacutert Koumlnczoumll Laacuteszloacutenak eacutes Fekete Csabaacutenak valamint koumlszoumlnet illeti Kraacutemos Balaacutezst eacutes

Veacuteghelyi Aacutedaacutemot akik eacuterteacutekes aacutebraacutekkal sziacutenesiacutetetteacutek a jegyzetet

Lelkiismeretes munkaacutejukeacutert koumlszoumlnettel tartozunk Benkő Zoltaacutenneacutenak Hargittai Istvaacutennak eacutes

Szűcs Juacuteliaacutenak akik a jegyzet egyes fejezeteit aacutetolvastaacutek eacutes hasznos tanaacutecsaikkal segiacutetetteacutek

munkaacutenkat

Szeretneacutenk koumlszoumlnetet mondani Nyulaacuteszi Laacuteszloacutenak Kovaacutecs Ilonaacutenak eacutes Szieberth Deacutenesnek az

eacuterteacutekes tanaacutecsokeacutert

Elismereacutessel mondunk koumlszoumlnetet a koumlnyv szakmai lektoraacutenak Igaz Saroltaacutenak a szaacutemtalan

hasznos javaslateacutert eacutes segiacutetseacutegeacutert



1 MATEMATIKAI EacuteS FIZIKAI ALAPOK

Ebben a bevezető jellegű fejezetben az első feacuteleacuteves Keacutemiai alapok eacutes Aacuteltalaacutenos keacutemia gyakorlat

elsajaacutetiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges legfontosabb matematikai eacutes fizikai oumlsszefuumlggeacuteseket vesszuumlk sorra

11 Matematikai alapok

111 A meacutereacutesek eacutes szaacutemiacutetaacutesok pontossaacutega

A meacuterhető mennyiseacutegeknek keacutet nagy csoportjaacutet kuumlloumlnboumlztethetjuumlk meg Az egyik az uacutegynevezett

diszkreacutet vaacuteltozoacuteval leiacuterhatoacute mennyiseacuteg melyeket pontosan szaacutemszerűsiacuteteni tudunk Ilyen peacuteldaacuteul a

darabszaacutem ismeruumlnk olyat hogy egy darab alma vagy neacutegy darab alma de nincs tuacutel sok eacutertelme 254

darab almaacuteroacutel beszeacutelni A maacutesik csoportba olyan mennyiseacutegek tartoznak melyek eacuterteacuteke folytonosan

vaacuteltozhat azaz nem csak adott egeacutesz eacuterteacutekeket vehet fel Ilyen peacuteldaacuteul a toumlmeg a teruumllet az

aacuteramerősseacuteg az anyagmennyiseacuteg eacutes iacutegy tovaacutebb Ezekre jellemző hogy eacuterteacutekuumlk baacutermilyen ndash nem

felteacutetlenuumll egeacutesz ndash eacuterteacuteket felvehet Ennek van egy rendkiacutevuumll fontos koumlvetkezmeacutenye az ilyen

mennyiseacutegek meacutereacutesekor elkoumlvetett hiba befolyaacutesolja a meacutereacutes pontossaacutegaacutet

Vegyuumlnk egy egyszerű peacuteldaacutet Toumlmegmeacutereacutesneacutel egyaacuteltalaacuten nem mindegy milyen bdquofajtardquo meacuterleget

hasznaacutelunk hogy peacuteldaacuteul tehermeacutereacutesre hasznaacutelatos bdquomaacutezsaacutenrdquo szemeacutelymeacuterlegen konyhai meacuterlegen

vagy a laboratoacuterium analitikai meacuterlegeacuten meacuterjuumlk meg egy taacutergy toumlmegeacutet A kuumlloumlnboumlző meacuterlegeket

kuumlloumlnfeacutele meacutereacuteshataacuterokra tervezteacutek eacutes elteacuterő pontossaacuteggal is rendelkeznek Peacuteldaacuteul miacuteg egy maacutezsa

vagy egy szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm addig egy analitikai meacuterleg pontossaacutega

toumlbbnyire 00001 gramm vagy akaacuter meacuteg enneacutel kisebb is lehet Mit is jelent ez a pontossaacuteg kifejezeacutes

Ha egy digitaacutelis szemeacutelymeacuterleg pontossaacutega 01 kilogramm eacutes a meacuterleg 764 kilogrammot mutat

akkor a teacutenyleges toumlmegről annyit tudunk hogy igen nagy valoacutesziacutenűseacuteggel a 763 kilogramm eacutes 765

kilogramm koumlzoumltt van Eacutes ebből az is koumlvetkezik hogy 764 kilogrammnak laacutetjuk toumlmeguumlnket akkor

is ha az 76359 kilogramm vagy akaacuter 76432 kilogramm mivel a meacuterleg nem keacutepes pontosabban

kijelezni az eacuterteacuteket

Vegyuumlnk egy maacutesik peacuteldaacutet Egy seprűnyeacutel hosszaacutenak meghataacuterozaacutesaacutet veacutegezzuumlk eacutes keacutetfeacutele

meacuterőszalag aacutell rendelkezeacutesuumlnkre az egyiken centimeacuteter-beosztaacutes van a maacutesikon a millimeacutetereket is

feltuumlntetteacutek az előzőt kisebb pontossaacuteguacutenak az utoacutebbit nagyobb pontossaacuteguacutenak tekintjuumlk A seprűnyeacutel

hosszaacutet egy nagyon pontos meacutereacutessel is megmeacutertuumlk eacutes 168314 centimeacuteternek adoacutedott Ha megmeacuterjuumlk

ezt a taacutergyat a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal millimeacuteter pontossaacuteggal ismerjuumlk a taacutergy hosszaacutet

mely 168 centimeacuteter eacutes 3 millimeacuteter Ha azonban a maacutesik centimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalaggal meacuterjuumlk

meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet csak a centimeacuteteregyseacutegeket tudjuk leolvasni ami esetuumlnkben 168

esetleg szemre tudjuk becsuumllni a harmad centimeacuteternyi taacutevolsaacutegot Ebben az esetben azonban nem

adhatjuk meg a seprűnyeluumlnk hosszaacutet 1683 centimeacuteternek mert a meacuterőszalag beosztaacutesa ezt nem teszi

lehetőveacute A centimeacuteter pontossaacuteguacute meacuterőszalaggal meacuterve a helyesen megadott mennyiseacuteg 168

centimeacuteter

Tegyuumlk fel hogy a fentebb emliacutetett seprűnyelet megmeacuterjuumlk a millimeacuteter-beosztaacutesuacute meacuterőszalag

segiacutetseacutegeacutevel eacutes hosszaacutet egeacuteszen pontosan 1683 centimeacuteternek olvassuk le azaz szemre nem

eacuterzeacutekeluumlnk elteacutereacutest a millimeacuteteregyseacutegben Ilyenkor azonban nem adhatjuk meg a seprűnyeacutel hosszaacutet az

alaacutebbi alakban 168300 centimeacuteter de meacuteg iacutegy sem 16830 centimeacuteter mivel a meacuterőeszkoumlz

pontossaacutega ezt nem teszi lehetőveacute A helyes megadaacutesi moacuted a koumlvetkező 1683 centimeacuteter

Akaacuter laboratoacuteriumban dolgozunk akaacuter szaacutemiacutetaacutesi feladatot oldunk meg gyakran előfordul hogy

az adatok pontossaacutegaacutet is figyelembe kell vennuumlnk Ha meacutereacutest veacutegzuumlnk aacuteltalaacuteban ismerjuumlk a meacutereacutes

pontossaacutegaacutet eacutes ebből meg tudjuk aacutellapiacutetani milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű megadnunk az eredmeacutenyt

Viszont a szaacutemiacutetaacutesi feladatok is aacuteltalaacuteban kiacuteseacuterleti eredmeacutenyeken alapulnak ezeacutert ott is fontos szem

előtt tartani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacutet A fentiek alapjaacuten jelentős kuumlloumlnbseacuteg van peacuteldaacuteul az 10 dm3

eacutes az 10000 dm3 koumlzoumltt Az első esetben csak az első tizedesjegyben lehetuumlnk biztosak a valoacutesaacutegban

lehet hogy 102 dm3 vagy 098 dm3 az eacuterteacutek A maacutesodik esetben azonban biztosak lehetuumlnk abban

hogy neacutegy tizedesjegy pontossaacuteggal ismerjuumlk az eacuterteacuteket Termeacuteszetesen egy adott teacuterfogatot nem csak

1 Matematikai eacutes fizikai alapok 7


dm3-ben hanem maacutes meacuterteacutekegyseacutegben is megadhatunk azaz 10000 dm3 megegyezik 10000 cm3-rel

Innen laacutethatjuk hogy nem a tizedesjegyek szaacutema szaacutemiacutet

Az eacuterteacutekes jegy fogalmaacutet a pontossaacuteg definiaacutelaacutesaacutera vezetteacutek be Eacuterteacutekes jegynek tekintjuumlk a szaacutem

szaacutemjegyeit kiveacuteve az egyneacutel kisebb szaacutemok elejeacuten talaacutelhatoacute nullaacutet illetve nullaacutekat (azon nullaacutekat

melyek csak a helyi eacuterteacuteket jelzik) Az 10 dm3 feliacuteraacutesban 2 eacuterteacutekes jeggyel adtuk meg a pontossaacutegot

az 10000 dm3 eseteacuten pedig 5 eacuterteacutekes jegyről beszeacuteluumlnk Viszont a 002 dm

3 eseteacuten probleacutemaacuteba

uumltkoumlzuumlnk Ebben az esetben az első keacutet nulla nem szaacutemiacutet eacuterteacutekes jegynek csupaacuten a 2-es szaacutemjegy A

legegyszerűbb moacutedja az eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutenak hogy a mennyiseacuteget aacutetiacuterjuk normaacutel alakba

eacutes megaacutellapiacutetjuk hogy haacuteny szaacutemjegyet tartalmaz a 10 megfelelő hatvaacutenya előtt aacutelloacute szorzoacute teacutenyező

A fenti peacuteldaacuteban 002 dm3 = 2 middot 10ndash2 dm3 azaz 1 eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal ismerjuumlk a teacuterfogatot Az

eacuterteacutekes jegyek megaacutellapiacutetaacutesaacutera az alaacutebbi szabaacutelyokat ismerjuumlk

Az egyneacutel kisebb szaacutemokban az első nem zeacuterus szaacutemjegyet megelőző nullaacutek nem szaacutemiacutetanak

eacuterteacutekes jegynek Peacuteldaacuteul 0000060 g = 60 middot 10ndash5 g azaz keacutet eacuterteacutekes jegyet tartalmaz

Baacutermely maacutes esetben (azaz ha van előtte nem zeacuterus szaacutemjegy) a nulla is eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet

Peacuteldaacuteul a 10000 dm3-ben 5 eacuterteacutekes jegy talaacutelhatoacute

A nullaacutetoacutel elteacuterő minden szaacutemjegy eacuterteacutekes jegynek szaacutemiacutet

Fontos megjegyezni hogy a meacuterteacutekegyseacutegek aacutetvaacuteltaacutesa nem okozhat vaacuteltozaacutest az eacuterteacutekes jegyek

szaacutemaacuteban azaz sem nem noumlvekedhet sem nem csoumlkkenhet az eacuterteacutekes jegyek szaacutema Iacutegy peacuteldaacuteul

0067060 km = 67060 m = 67060 cm = 67060 mm = 67060 middot 10ndash2 km mint laacutetjuk minden esetben 5

eacuterteacutekes jegy a pontossaacuteg

Ha szaacutemiacutetaacutesi feladatokat oldunk meg szaacutemoloacutegeacutepuumlnkkel aacuteltalaacuteban igen sok tizedes jegy

pontossaacutegra keacutepesek vagyunk meghataacuterozni az eredmeacutenyeket Azonban a sok-sok tizedes jegy

megadaacutesa gyakran teljesen felesleges A koumlvetkezőkben azt vizsgaacuteljuk meg hogy egy szaacutemiacutetaacutesi

feladat megoldaacutesa soraacuten milyen pontossaacuteggal ceacutelszerű a szaacutemiacutetaacutesokat elveacutegezni eacutes a veacutegeredmeacutenyt

megadni

A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten ceacutelszerű a lehető legpontosabban szaacutemolni mivel iacutegy tudjuk lecsoumlkkenteni a

kerekiacuteteacutesekből adoacutedoacute hibaacutekat Ha rendelkezeacutesre aacutell szaacutemoloacutegeacutep akkor eacuterdemes az adatokat megtartani

a szaacutemoloacutegeacutepben eacutes azokkal szaacutemolni tovaacutebb

Ha a feladat veacutegeacutere eacutertuumlnk a veacutegeredmeacuteny megadaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacutepp ceacutelszerű veacutegezni

vizsgaacuteljuk meg a feladat szoumlvegeacuteben talaacutelhatoacute adatok pontossaacutegaacutet azaz aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny

eacuterteacutekes jegyre van megadva Ezutaacuten meg kell aacutellapiacutetanunk hogy melyik mennyiseacuteg tartalmazza a

legkevesebb eacuterteacutekes jegyet azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva A szaacutemiacutetaacutesok soraacuten csupaacuten

matematikai műveleteket veacutegzuumlnk eacutes iacutegy nem tudunk javiacutetani az eredmeacutenyek pontossaacutegaacuten Tehaacutet a

veacutegeredmeacuteny pontossaacutegaacutet a legpontatlanabbul megadott kiindulaacutesi adat pontossaacutega szabja meg a

veacutegeredmeacutenyt (legfeljebb) annyi eacuterteacutekes jegy pontossaacutegra adjuk meg mint a legpontatlanabbul

megadott kiindulaacutesi adat eacuterteacutekes jegyeinek szaacutema A szaacutemoloacutegeacutep adatait a megfelelő eacuterteacutekes jegyekre

kell kerekiacutetenuumlnk azaz az 1 2 3 eacutes 4 szaacutemjegyeket lefeleacute az 5 6 7 8 eacutes 9 szaacutemjegyeket pedig felfeleacute

kerekiacutetjuumlk Egy zaacuterthelyi dolgozat eseteacuten termeacuteszetesen a reacuteszeredmeacutenyeket sem ceacutelszerű lejegyezni

az oumlsszes leacutetező tizedesjeggyel ilyenkor is eacuterdemes eacutesszerűen kerekiacutetenuumlnk a megfelelő eacuterteacutekes

jegyre Amennyiben az eredmeacuteny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szaacutem mindenkeacutepp eacuterdemes

normaacutelalakban megadni az eredmeacutenyt Ennek tovaacutebbi előnye hogy az eacuterteacutekes jegyek szaacutemaacutet is

ellenőrizni tudjuk

11 peacutelda

Egy teacuteglatest eacuteleinek hossza a = 637 cm b = 014570 m eacutes c = 3201 cm Adjuk meg a teacuteglatest

teacuterfogataacutet m3 egyseacutegben

Megoldaacutes

Iacuterjuk aacutet az oumlsszes adatot meacuteter meacuterteacutekegyseacutegre eacutes aacutellapiacutetsuk meg melyik haacuteny eacuterteacutekes jegyet

tartalmaz

a = 637 cm = 00637 m 3 eacuterteacutekes jegy

b = 014570 m 5 eacuterteacutekes jegy

c = 3201 cm = 03201 m 4 eacuterteacutekes jegy



A teacuteglatest teacuterfogata

V = a middot b middot c = (00637 m) middot (014570 m) middot (03201 m) = 000029708769 m3

Mivel igen kicsi szaacutemeacuterteacutekről van szoacute ceacutelszerű aacutetiacuternunk normaacutelalakra V = 29708769 middot 10minus4 m3

Mint fentebb ismertettuumlk a veacutegeredmeacutenyt szabaacutelyosan a legpontatlanabbul azaz legkevesebb

eacuterteacutekes jeggyel megadott adat eacuterteacutekes jegyire lehet megadni azaz jelen esetben 3 eacuterteacutekes jegyneacutel

toumlbbet nem eacuterdemes megadunk A veacutegeredmeacuteny helyes pontossaacutegban megadva

V = 297 ∙ 10minus4 m3

112 Alapvető matematikai oumlsszefuumlggeacutesek

Egyenes araacutenyossaacuteg keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn ha az egyik mennyiseacuteget

valahaacutenyszorosaacutera vaacuteltoztatjuk akkor a maacutesik mennyiseacuteg is ugyanannyiszorosaacutera vaacuteltozik

Ha az egyenes araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki iacutegy iacuterhatjuk le y = a middot x ahol y eacutes x a keacutet

keacuterdeacuteses mennyiseacuteg a pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt akkor

beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg araacutenya aacutellandoacute jelen esetben ez megegyezik

a-val Grafikonban aacutebraacutezolva egy origoacuten aacutetmenő egyenest kapunk

1121 aacutebra Az egyenes araacutenyossaacuteg

Az egyenes araacutenyossaacuteg fuumlggveacutenye a lineaacuteris fuumlggveacutenyek egy speciaacutelis esete a tengelymetszet

zeacuterus azaz az egyenesnek az origoacuten kell aacutetmennie

Az egyenes araacutenyossaacutegra szaacutemtalan peacuteldaacutet tudunk a mindennapi eacuteletből eacutes a

termeacuteszettudomaacutenyokboacutel egyaraacutent A fizikai eacutes keacutemiai tartalmuacute peacuteldaacutekkal a keacutesőbbiekben

ismerkeduumlnk meg reacuteszletesen azonban koumlvetkezzen egy igen egyszerű peacutelda Ennek ceacutelja elsősorban

az hogy megismerhessuumlk a kuumlloumlnboumlző megoldaacutesi moacutedszereket hogy ki-ki maga eldoumlnthesse hogy

melyiket alkalmazza koumlnnyebben

12 peacutelda

Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forintba keruumll akkor mennyibe keruumll 3 kilogramm reacutezgaacutelic

Megoldaacutes

A) Feliacuteraacutes egyenes araacutenyossaacuteggal szoumlvegesen



Ha 2 kilogramm reacutezgaacutelic 1800 forint

akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic x forint

Ezt toumlbbfeacutelekeacuteppen lehet megoldani

Feliacuterhatjuk hogy a mennyiseacutegek araacutenya aacutellandoacute

kg3

forintw

kg2

forint1800

Ebből koumlnnyedeacuten megkapjuk hogy w = 2700 forint

Egy maacutesik megoldaacutes ha az uacutegynevezett keresztbeszorzaacutest alkalmazzuk melyet sok helyen taniacutetanak

koumlzeacutepiskolaacutekban elsősorban keacutemiaoacuteraacuten


akkor 3 kilogramm reacutezgaacutelic w forint

Azaz 2 kg middot w forint = 3 kg middot 1800 forint melyből egyszerűen adoacutedik hogy w = 2700 forint

hasonloacutean az előző megoldaacutes eredmeacutenyeacutehez

B) Kiszaacutemiacutethatjuk az araacutenyossaacutegi teacutenyezőt az y = a middot x egyenlet alapjaacuten ez tulajdonkeacuteppen az 1

kilogramm reacutezgaacutelic aacutera

kg

forint900

kg2

forint1800

toumlmeg

aacutera

Iacutegy az egyseacutegaacuterboacutel koumlnnyedeacuten megkaphatjuk a 3 kilogramm reacutezgaacuteliceacutert fizetendő aacuterat w = a middot x =

(900 forint kg) middot (3 kg) = 2700 forint

Fordiacutetott araacutenyossaacuteg ha az egyik mennyiseacuteget valahaacutenyszorosaacutera noumlveljuumlk a maacutesik mennyiseacuteg

ugyanannyiad reacuteszeacutere csoumlkken

Ha a fordiacutetott araacutenyossaacutegot fuumlggveacutenykeacutent fejezzuumlk ki a koumlvetkezőkeacutepp iacuterhatjuk fel y = b x ahol

y eacutes x a keacutet keacuterdeacuteses mennyiseacuteg b pedig egy aacutellandoacute Ebből a feliacuteraacutesboacutel laacutetszik hogy keacutet mennyiseacuteg

koumlzoumltt akkor beszeacutelhetuumlnk egyenes araacutenyossaacutegroacutel ha a keacutet mennyiseacuteg szorzata aacutellandoacute jelen esetben

ez megegyezik b-vel Grafikonban aacutebraacutezolva egy uacutegynevezett hiperbolaacutet kapunk (amennyiben a

negatiacutev mennyiseacutegekről is van eacutertelme beszeacutelni a hiperbolaacutenak van egy negatiacutev tartomaacutenyban

talaacutelhatoacute szaacutera is)



1122 aacutebra A fordiacutetott araacutenyossaacuteg

Termeacuteszetesen fordiacutetott araacutenyossaacutegra is szaacutemtalan peacuteldaacutet lehet talaacutelni melyekkel a keacutesőbbiekben

ismerkeduumlnk meg Ismeacutet egy igen egyszerű peacutelda

13 peacutelda

Keacutetfeacutele tisztasaacuteguacute reacutezgaacutelicot forgalmaz a vegyszerkereskedő A rosszabb minőseacutegű toumlbb

szennyeződeacutest tartalmazoacute aacutera kilogrammonkeacutent 1800 forint aacutem van egy tisztaacutebb is melynek aacutera 2400

forint kilogrammonkeacutent Haacuteny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minőseacutegű reacutezgaacutelic 12

kilogrammjaacutenak aacuteraacuteboacutel ha azt rosszabb minőseacutegű reacutezgaacutelicra koumlltjuumlk

Megoldaacutes

A) Araacutenypaacuterral

Ha 2400 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel 12 kg-ot tudunk venni

akkor az 1800 Ftkg aacuteruacute reacutezgaacutelicboacutel z kg-ot tudunk venni

Fordiacutetott araacutenyossaacuteg eseteacuten a mennyiseacutegek szorzata aacutellandoacute

(2400 Ftkg) middot (12 kg) = (1800 Ftkg) middot (z kg)

Ebből z = 16 kilogramm

B) Fuumlggveacutennyel

Mivel a fordiacutetott araacutenyossaacuteg feliacuterhatoacute uacutegy hogy y = b x ebből koumlvetkezik hogy b = y middot x tehaacutet

b = (2400 Ftkg) middot (12 kg) = 28 800 Ft azaz ennyi a rendelkezeacutesre aacutelloacute peacutenzoumlsszeg Ebből

kiszaacutemiacutethatoacute hogy az olcsoacutebb reacutezgaacutelicboacutel mennyit tudunk venni

y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg



Maacutesodfokuacute egyenlet megoldaacutesa

A maacutesodfokuacute egyenlet megoldoacutekeacutepleteacutenek alkalmazaacutesaacutehoz az egyenletet az alaacutebbi formaacutera kell hozni

a middot x2 + b middot x + c = 0

Ekkor az a b eacutes c parameacuteterek fuumlggveacutenyeacuteben a maacutesodfokuacute egyenlet keacutet megoldaacutesa

a2

ca4bbx

2

1

eacutes

a2

ca4bbx

2

2

A neacutegyzetgyoumlk alatti kifejezeacutest diszkriminaacutensnak nevezzuumlk D = b2 ndash 4 middot a middot c

A diszkriminaacutens előjeleacuteből koumlvetkeztethetuumlnk arra hogy haacuteny valoacutes megoldaacutesa van a maacutesodfokuacute

egyenletnek Ha a diszkriminaacutens pozitiacutev keacutet valoacutes gyoumlkoumlt kapunk ha a diszkriminaacutens negatiacutev nincsen

valoacutes megoldaacutesa az egyenletnek Abban az esetben ha a diszkriminaacutens eacuterteacuteke nulla x1 eacutes x2 gyoumlkoumlk

megegyeznek azaz a maacutesodfokuacute egyenletnek egyetlen megoldaacutesa van

14 peacutelda

Oldjuk meg a koumlvetkező egyenletet

(x ndash 2) middot (x + 5) = 8

Megoldaacutes

Elveacutegezve a szorzaacutest

x2 ndash 2 middot x + 5 middot x ndash 10 = 8

Nullaacutera rendezve

x2 + 3 middot x ndash 18 = 0

Tehaacutet a = 1 b = 3 eacutes c = ndash18 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe (itt a fenti keacutet keacuteplet egy koumlzoumls

keacutepletteacute van oumlsszeolvasztva)

2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

21

azaz 2

93x1

eacutes 6

2

93x 2

15 peacutelda


16 middot x2 ndash 104 middot x + 169 = 0

Megoldaacutes

A nullaacutera rendezett formaacuteboacutel a = 16 b = minus104 eacutes c = 169 Behelyettesiacutetve a megoldoacutekeacutepletbe

4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

21

Mivel az egyenlet diszkriminaacutensa (a neacutegyzetgyoumlk alatt aacutelloacute kifejezeacutes D = b2 minus 4 middot a middot c) zeacuterus az

egyenlet keacutet gyoumlke ugyanaz tehaacutet egy megoldaacutesa van az egyenletnek 4

13x



Oumlsszegek eacutes szorzatok feliacuteraacutesa

Egy oumlsszeg kifejteacutese

n

1i

n21i aaaa

Egy szorzat kifejteacutese m21

m

1i

i bbbb

Legfontosabb hatvaacutenyozaacutesi eacutes gyoumlkvonaacutesi azonossaacutegok

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a ndash b) middot (a + b) = a2 ndash b2

an middot bn = (amiddotb)n

an bn = (a b)n (b ne 0)

an middot am = an + m

an am = an ndash m (a ne 0)

mnnmmn aaa

n

1

n aa (a ge 0 ha n paacuteros)

mely alapjaacuten a fenti hatvaacutenyozaacutesi azonossaacutegok alkalmazhatoacuteak a gyoumlkvonaacutesra is

n

mm

nn m aaa (a ge 0 ha n paacuteros)

mnn mm n aaa (a ge 0 ha n vagy m paacuteros)

Hatvaacutenyozaacutes ndash gyoumlkvonaacutes ndash logaritmus

Adott a koumlvetkező hatvaacuteny (legyen a eacutes b is pozitiacutev) c = ab

Ekkor c hatvaacutenyeacuterteacutekeacutet uacutegy kaphatjuk meg ha az a hatvaacutenyalapot a b hatvaacutenykitevőre emeljuumlk A

hatvaacutenyozaacutesnak vagy keacutet megfordiacutetott (uacutegynevezett inverz) művelete a gyoumlkvonaacutes eacutes a logaritmus

Ha az a hatvaacutenyalap eacuterteacutekeacutet szeretneacutenk megkapni c eacutes b ismereteacuteben akkor gyoumlkvonaacutest kell

veacutegeznuumlnk a egyenlő c b-edik gyoumlkeacutevel b ca

Ha ismert az a hatvaacutenyalap eacutes c hatvaacutenyeacuterteacutek a keacuterdeacuteses b kitevőt logaritmusszaacutemiacutetaacutessal

kaphatjuk meg clogb a

Azaz az a-alapuacute logaritmus c (logac) az a kitevő melyre a-t emelve eacuteppen c-t kapjuk

Logaritmusazonossaacutegok

Legyen a b eacutes c pozitiacutev

babloga

loga (b middot c) = loga b + loga c

loga (b c) = loga b ndash loga c



loga (bc) = c middot (loga b)

Aacutetteacutereacutes logaritmusalapok koumlzoumltt

alog

blogblog

c

ca

113 A hatvaacuteny- gyoumlk- exponenciaacutelis eacutes logaritmusfuumlggveacutenyek

Hatvaacutenyfuumlggveacutenynek nevezzuumlk a koumlvetkező alakuacute fuumlggveacutenyeket f(x) = xn ahol n egy pozitiacutev egeacutesz

A fuumlggveacuteny minden valoacutes x-re eacutertelmezve van

Jellemzője hogy paacuteros fuumlggveacuteny ha n paacuteros eacutes paacuteratlan fuumlggveacuteny ha n paacuteratlan eacutes ez utoacutebbi

esetben szigoruacutean monoton noumlvekvő

x = 0 helyen a hatvaacutenyfuumlggveacuteny eacuterteacuteke 0

1131 aacutebra Hatvaacutenyfuumlggveacutenyek

A gyoumlkfuumlggveacutenyek aacuteltalaacutenos alakja n

1

n xx)x(f ahol n pozitiacutev egeacutesz szaacutem

Eacutertelmezeacutesi tartomaacuteny ha n paacuteros minden nemnegatiacutev x-re eacutertelmezve van ha n paacuteratlan minden

valoacutes x-re eacutertelmezve van A gyoumlkfuumlggveacutenyek szigoruacutean monoton noumlvekedők

A paacuteratlan gyoumlkkitevőjű gyoumlkfuumlggveacutenyek paacuteratlanok



1132 aacutebra Gyoumlkfuumlggveacutenyek

Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny alakja f(x) = ax ahol bdquoardquo egy pozitiacutev szaacutem A fuumlggveacuteny minden

valoacutes x eseteacuten eacutertelmezve van

Amennyiben a gt 1 a fuumlggveacuteny monoton noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 akkor monoton csoumlkkenő Az

exponenciaacutelis fuumlggveacuteny mindig a (0 1) pontban metszi az y tengelyt Egy-egy peacutelda az exponenciaacutelis

fuumlggveacutenyekre

1133 aacutebra Exponenciaacutelis fuumlggveacutenyek

A logaritmusfuumlggveacutenyt a koumlvetkezőkeacuteppen definiaacutelhatjuk f(x) = loga x ahol bdquoardquo egy pozitiacutev

szaacutem A fuumlggveacuteny csak pozitiacutev x eacuterteacutekekre van definiaacutelva Amennyiben a gt 0 a fuumlggveacuteny monoton

noumlvekvő ha 0 lt a lt 1 a fuumlggveacuteny csoumlkkenő A logaritmusfuumlggveacuteny az x tengelyt mindig az (1 0)

pontban metszi



1134 aacutebra Logaritmusfuumlggveacutenyek

114 Log-log diagramok eacutes taacutersaik

A meacuternoumlki-keacutemiai gyakorlatban sok oumlsszefuumlggeacutest hatvaacutenyfuumlggveacutenykeacutent jeleniacutethetuumlnk meg A

logaritmus egyik igen fontos alkalmazaacutesa hogy meg tudjuk vele aacutellapiacutetani egy hatvaacutenyfuumlggveacuteny

ismeretlen kitevőjeacutet

16 peacutelda

Adott keacutet meacuterhető mennyiseacuteg x eacutes y eacutes tudjuk hogy a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes az alaacutebbi

alakuacute y = xn A meacutereacuteseink soraacuten a koumlvetkező eacuterteacutekpaacuterokat kapjuk

x y

17 377

30 1559

37 2633

42 3615

49 5315

57 7757

69 12506

Aacutellapiacutetsuk meg az n hatvaacutenykitevőt

Megoldaacutes

Az eacuterteacutekpaacuterokat dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk



1141 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat

A fenti aacutebraacuteboacutel igen neheacutez megaacutellapiacutetani a hatvaacutenykitevőt Mivel a keacutet vaacuteltozoacute (x eacutes y) koumlzoumltti

kapcsolat hatvaacutenyfuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le y = xn pozitiacutev x eacutes y eseteacuten loga y = loga xn = n middot loga x Ezeacutert

vegyuumlk az x eacutes y eacuterteacutekek 10-es alapuacute logaritmusaacutet

lg x lg y

02304 05761

04771 11928

05682 14205

06232 15581

06902 17255

07559 18897

08388 20971

A fenti eacuterteacutekpaacuterokat szinteacuten aacutebraacutezolhatjuk dereacutekszoumlgű koordinaacutetarendszerben

1142 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute logaritmusa koumlzti kapcsolat



Mint laacutethatoacute az eacuterteacutekek logaritmusa koumlzoumltti kapcsolat maacuter egyenes araacutenyossaacuteggal iacuterhatoacute le

koumlnnyen megaacutellapiacutethatjuk az egyenes meredekseacutegeacutet (iraacutenytangenseacutet) is n = 25 (Ezt akaacuter a

grafikonroacutel leolvasva akaacuter a megfelelő logaritmusok haacutenyadosakeacutent megkaphatjuk)

Tehaacutet a keresett fuumlggveacutenykapcsolat y = x25

A meacuternoumlki gyakorlatban elterjedt az uacutegynevezett log-log diagramok hasznaacutelata is Ekkor nem a

logaritmuseacuterteacutekeket aacutebraacutezoljuk a hagyomaacutenyos beosztaacutesuacute tengelyeken hanem a teacutenyleges eacuterteacutekeket

uacutegynevezett logaritmikus beosztaacutesuacute tengelyeken aacutebraacutezoljuk

1143 aacutebra A keacutet vaacuteltozoacute koumlzti kapcsolat log-log diagramon aacutebraacutezolva

A meacutert eacuterteacutekeket (nem a logaritmusukat) ilyen beosztaacutesuacute koordinaacutetarendszerben aacutebraacutezolva

szinteacuten egyenes araacutenyossaacutegot kapunk Eacuterdemes megfigyelni a segeacutedraacutecsokat ezek nem egyenlő

taacutevolsaacutegban helyezkednek el egymaacutes mellett

A fenti peacutelda aacuteltalaacutenosiacutethatoacute hasonloacute moacutedon nemcsak a hatvaacutenyfuumlggveacutenyek hanem egyeacuteb

fuumlggveacutenykapcsolatok is felderiacutethetőek Figyelem Attoacutel fuumlggően hogy milyen fuumlggveacutenykapcsolat aacutell

fenn x eacutes y koumlzoumltt nem mindig log-log diagramot kell alkalmazni gyakran eleacuteg csak az x vagy y

vaacuteltozoacutet logaritmusos beosztaacutesuacute tengelyen aacutebraacutezolni (laacutesd lentebb)

A teljesseacuteg igeacutenye neacutelkuumll neacutehaacuteny peacutelda

y = f(x) = a middot xn mely log-log diagramban lineaacuteris fuumlggveacutenyt ad lg y = lg a + n middot lg x

1144 aacutebra Az y = f(x) = a middot xn fuumlggveacuteny



y = f(x) = a middot 10bmiddotx mely aacutetalakiacutethatoacute a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutesseacute

lg y = lg(a middot 10bmiddotx) = lg a + lg 10bmiddotx = lg a + bmiddotx

Ekkor az x vaacuteltozoacute fuumlggveacutenyeacuteben (eacutes nem lg x fuumlggveacutenyeacuteben) kell aacutebraacutezolni lg y-t eacutes a

tengelymetszetből megkapjuk lg a-t melyből szaacutemiacutethatoacute bdquoardquo valamint az egyenes meredekseacutege

megadja a b parameacutetert A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y

tengely (ordinaacuteta) logaritmikus leacutepteacutekű

1145 aacutebra Az y = f(x) = a middot 10bmiddotx fuumlggveacuteny

A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineaacuteris leacutepteacutekű miacuteg az y tengely (ordinaacuteta)

logaritmikus leacutepteacutekű Az exponenciaacutelis fuumlggveacuteny parameacutetereit a meredekseacutegből eacutes tengelymetszetből

koumlnnyen leolvashatjuk

y = f(x) = a middot lg x Ekkor egyszerűen y-t aacutebraacutezoljuk lg x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes meghataacuterozhatjuk

az ismeretlen bdquoardquo parameacutetert

1146 aacutebra Az y = f(x) = a middot lg x fuumlggveacuteny

Tehaacutet ebben az esetben az abszcissza (x tengely) leacutepteacuteke logaritmikus miacuteg az ordinaacuteta (y tengely)

leacutepteacuteke lineaacuteris

Ez a moacutedszer akkor is segiacutetseacuteguumlnkre lehet ha nem ismerjuumlk az oumlsszefuumlggeacutest a keacutet mennyiseacuteg (x eacutes

y) koumlzoumltt viszont az aacutebraacutezolaacutesboacutel remeacutenykedhetuumlnk hogy az oumlsszefuumlggeacutes nem tuacutel bonyolult

fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le Ilyenkor eacuterdemes kiproacutebaacutelni a fenti aacutetalakiacutetaacutesokat eacutes abban a szerencseacutes

esetben ha az iacutegy keletkezett transzformaacutelt vaacuteltozoacutek koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest kapunk meg tudjuk

hataacuterozni a szuumlkseacuteges parameacutetereket



115 Lineaacuteris interpolaacutecioacute eacutes extrapolaacutecioacute

Meacutereacutesi eredmeacutenyeket tartalmazoacute taacuteblaacutezatok hasznaacutelata soraacuten gyakran előfordul hogy egy olyan adatra

van szuumlkseacuteguumlnk melyre eacuteppen nincs meacutereacutesi eredmeacuteny Erre egy egyszerű peacutelda (peacuteldaacuteul y

mennyiseacuteget meacuterjuumlk x fuumlggveacutenyeacuteben)

x y

00 120

50 160

100 200

Tehaacutet ismerjuumlk y eacuterteacutekeacutet x = 00 x = 50 eacutes x = 100 eseteacuten Tegyuumlk fel hogy nekuumlnk toumlrteacutenetesen

szuumlkseacuteguumlnk van x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutere Ekkor toumlbb lehetőseacuteguumlnk van

ndash megmeacuterjuumlk kiacuteseacuterletileg x = 70 eseteacuten y eacuterteacutekeacutet

ndash aacutebraacutezoljuk y-t x fuumlggveacutenyeacuteben eacutes grafikusan proacutebaacutelunk koumlvetkeztetni y eacuterteacutekeacutere x = 70 eseteacuten

ndash matematikai uacuteton bdquokiokoskodjukrdquo y eacuterteacutekeacutet az x = 70 helyen

Az első megoldaacutesra gyakran nincs lehetőseacuteg noha valoacutesziacutenűleg az lenne a legpontosabb A

grafikus megoldaacutes aacuteltalaacuteban hosszadalmas eacutes a leolvasaacutes pontatlan ezeacutert aacuteltalaacuteban az uacutegynevezett

lineaacuteris interpolaacutecioacutet alkalmazzuk ilyen esetekben Termeacuteszetesen ehhez az szuumlkseacuteges hogy a keacutet

vizsgaacutelt vaacuteltozoacute koumlzoumltt lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes aacutelljon fenn A moacutedszer gyakran olyankor is alkalmazhatoacute

ha a keacutet mennyiseacuteg koumlzoumltt nem lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes viszont igen joacute koumlzeliacuteteacutessel lineaacuterisnak

tekinthető az adott tartomaacutenyban ezeacutert nem okoz tuacutel nagy hibaacutet az ha lineaacuterisnak vesszuumlk az

oumlsszefuumlggeacutest Ezt termeacuteszetesen az adott probleacutema jellege hataacuterozza meg eacutes csak bizonyos esetekben

hasznaacutelhatoacute Amennyiben keacutet meacutereacutesi pont koumlzoumltti eacuterteacuteket szeretneacutenk meghataacuterozni interpolaacutecioacuteroacutel

beszeacuteluumlnk (laacutesd fent) Ha a meacutereacutesi pontok alapjaacuten egy olyan pontot szeretneacutenk meghataacuterozni mely a

meacutereacutesi tartomaacutenyon kiacutevuumll esik azaz a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten peacuteldaacuteul x = 150 eseteacuten szeretneacutenk

meghataacuterozni y eacuterteacutekeacutet extrapolaacutecioacuteroacutel van szoacute Figyelem Miacuteg az interpolaacutecioacute a linearitaacutes

felteacutetelezeacuteseacutevel helyes eredmeacutenyt ad az extrapolaacutecioacute gyakran vezet olyan eredmeacutenyhez mely nem

felel meg a valoacutesaacutegnak Ennek oka hogy attoacutel hogy egy bizonyos tartomaacutenyban joggal

alkalmazhatunk lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutest gyakran maacutes tartomaacutenyokban maacuter nagy hibaacutet okozhat a lineaacuteris

viselkedeacutestől valoacute elteacutereacutes Erre egy szemleacuteletes peacuteldaacutet mutat az alaacutebbi aacutebra

1151 aacutebra Az extrapolaacutecioacute hibaacutei



Mint laacutethatoacute az x = 40 hellip 50 tartomaacutenyban az oumlsszefuumlggeacutes lineaacuterisnak tekinthető tehaacutet peacuteldaacuteul az

x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becsuumllhetjuumlk y eacuterteacutekeacutet Aacutem ha az x = 40 eacutes x = 50

pontok alapjaacuten proacutebaacutelunk extrapolaacutelni x = 10 eacuterteacutekre a piros sziacutenű egyenes alapjaacuten (lineaacuteris fuumlggveacutenyt

felteacutetelezve) igen nagy hibaacutet koumlvetuumlnk el

A lineaacuteris interpolaacutecioacutet legszemleacuteletesebben egy peacutelda alapjaacuten eacuterthetjuumlk meg

17 peacutelda

A magneacutezium-szulfaacutet vizes oldataacutenak a sűrűseacutege eacutes az oldat toumlmeg-os oumlsszeteacutetele koumlzoumltt

gyakorlatilag lineaacuteris az oumlsszefuumlggeacutes Az alaacutebbi taacuteblaacutezat kuumlloumlnboumlző toumlmeg-os oumlsszeteacutetelű

magneacutezium-szulfaacutet-oldatok sűrűseacutegeacutet tartalmazza 20 degC hőmeacuterseacutekleten Becsuumlljuumlk meg lineaacuteris

interpolaacutecioacuteval a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutegeacutet

MgSO4-tartalom

(toumlmeg)

sűrűseacuteg

(gcm3)

6 10602

10 11034

14 11484

18 11955

Megoldaacutes

Az első leacutepeacutes megkeresni hogy mely pontok koumlzoumltt ceacutelszerű az interpolaacutecioacutet veacutegezni azaz meg kell

aacutellapiacutetani mely meacutereacutesi pontok koumlzeacute esik a keacuterdeacuteses pont A 11 toumlmeg-os oldat a 10 eacutes a 14 toumlmeg-

os oldat oumlsszeteacutetele koumlzeacute esik tehaacutet ebben az intervallumban ceacutelszerű a lineaacuteris interpolaacutecioacutet

elveacutegezni (Elvileg ugyan maacutes pontok koumlzoumltt is tudnaacutenk veacutegezni interpolaacutecioacutet aacutem a legszűkebb

intervallumot ceacutelszerű kivaacutelasztani mert a linearitaacutes felteacutetelezeacutese itt a leghelytaacutelloacutebb)

Lineaacuteris interpolaacutecioacute eseteacuten az y mennyiseacuteget (a sűrűseacuteget) x mennyiseacuteg (a MgSO4-tartalom

toumlmeg-ban) fuumlggveacutenyeacuteben a koumlvetkező oumlsszefuumlggeacutessel iacuterhatjuk le

y = a middot x + b

Az alaacutebbi diagramon laacutethatoacutek a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 14 toumlmeg-os (x2) oumlsszeteacutetelhez tartozoacute

pontok (a megfelelő sűrűseacutegek rendre y1 eacutes y2) illetve a keacuterdeacuteses sűrűseacuteg (y) a 11 toumlmeg-os pontban

(melyet a viacutezszintes tengelyen x-nek roumlvidiacutetettuumlnk)

1152 aacutebra Az oldat sűrűseacutege a toumlmegszaacutezaleacutek fuumlggveacutenyeacuteben



Tehaacutet az (x1 y1) eacutes (x2 y2) pontok koumlzeacute behuacutezott egyenes meredekseacutege

12

12

xx

yy

x

ya

Mivel a noumlvekmeacutenyek (Γy eacutes Γx) koumlzoumltt egyenes araacutenyossaacuteg aacutell fenn az bdquoardquo meredekseacuteg

ugyanakkora a 10 toumlmeg-os (x1) eacutes a 11 toumlmeg-os (x) oumlsszeteacutetel eseteacuten is mint ahogyan a

koumlvetkező aacutebraacuten is laacutethatoacute

1153 aacutebra A sűrűseacuteg szaacutemiacutetaacutesa interpolaacutecioacuteval

Azaz feliacuterhatoacute ismeacutet hogy Γy eacutes Γx araacutenya aacutellandoacute meacuteghozzaacute a fenti bdquoardquo eacuterteacutek

1

1

xx

yy

x

ya

Mivel az bdquoardquo meredekseacuteg mindkeacutet esetben ugyanakkora feliacuterhatjuk a koumlvetkező kifejezeacutest

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya

Ezt a keacutepletet eacuterdemes megjegyezni aacutem ha nem megy olyan koumlnnyedeacuten akkor a fenti

gondolatmenettel baacutermikor igen koumlnnyen eljuthatunk hozzaacute Mivel a fenti egyenletben csupaacuten az y az

ismeretlen koumlnnyen kifejezhető

11

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy

Behelyettesiacutetve a keacutepletbe x x1 x2 y1 eacutes y2 eacuterteacutekeacutet (meacuterteacutekegyseacutegek neacutelkuumll)

1147111465110341)1011(1014

1034114841y)xx(

xx

yyy 11

12

12

Tehaacutet a 11 toumlmeg-os magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege 11147 gcm3



Megjegyzeacutes ugyanehhez az eredmeacutenyhez eljuthatunk kicsit maacutes uacuteton is Az alaacutebbi aacutebraacuten bejeloumllt

keacutet haacuteromszoumlg hasonloacute egymaacuteshoz iacutegy az oldalaik araacutenya is aacutellandoacute

1154 aacutebra Az interpolaacutecioacute szemleacutelteteacutese hasonloacute haacuteromszoumlgekkel

18 peacutelda

Egy kiacuteseacuterlet soraacuten megmeacutertuumlk egy ismeretlen magneacutezium-szulfaacutet oldat sűrűseacutegeacutet mely 11600 gcm3-

nek adoacutedott Lineaacuteris interpolaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel aacutellapiacutetsuk meg az oldat magneacutezium-szulfaacutet-tartalmaacutet

toumlmeg-ban A feladat megoldaacutesaacutehoz hasznaacuteljuk az előző peacuteldaacuteban megadott taacuteblaacutezatot

Megoldaacutes

A lineaacuteris oumlsszefuumlggeacutes lehetőseacuteget terem arra hogy a sűrűseacuteg (y) ismereteacuteben az ismeretlen toumlmeg-

os oumlsszeteacutetelt (x) is meghataacuterozhassuk Mivel az 11600 gcm3 sűrűseacuteg-eacuterteacutek a 11484 eacutes 11955 gcm3

eacuterteacutekek koumlzoumltt talaacutelhatoacute a 14 eacutes 18 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelhez tartozoacute pontok koumlzt kell interpolaacutelni Az

előző peacuteldaacuteban megismert oumlsszefuumlggeacutest kell alkalmaznunk

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

Ebből most x-et kell kifejeznuumlnk x1 x2 y1 y2 eacutes y fuumlggveacutenyeacuteben

1

12

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx

Behelyettesiacutetve a megfelelő eacuterteacutekeket

159814141484119551

1418)1484116001(x

yy

xx)yy(x 1

12

121

Tehaacutet az 11600 gcm3 sűrűseacutegű magneacutezium-szulfaacutet-oldat koumlruumllbeluumll 15 toumlmeg-os

Mint emliacutetettuumlk az extrapolaacutecioacute soraacuten mindig fokozott figyelemmel kell eljaacuterni mivel gyakran

előfordul hogy az extrapolaacutelt eacuterteacutek nem joacute becsleacutese a valoacutedi eacuterteacuteknek Koumlvetkezzen egy peacutelda az

extrapolaacutecioacutera



19 peacutelda

A magneacutezium-szulfaacutet-oldatra bemutatott 6 eacutes 10 toumlmeg-os adatok alapjaacuten extrapolaacuteljunk 0 toumlmeg-

os oumlsszeteacutetelre

Megoldaacutes

Az előzőekhez hasonloacutean 6 toumlmeg-os oumlsszeteacutetelneacutel (x1) a sűrűseacuteg 10602 gcm3 (y1) 10 toumlmeg

(x2) eseteacuten pedig 11034 gcm3 (y2) A feladat megbecsuumllni a sűrűseacuteget (y) 0 toumlmeg (x) eseteacuten

Ismeacutetelten ceacutelszerű egy aacutebraacutet keacutesziacuteteni a megoldaacuteshoz

1155 aacutebra Peacutelda a lineaacuteris extrapolaacutecioacutera

Az előző feladatok megoldaacutesaacutehoz hasonloacutean feliacuterhatjuk az egyes pontokat oumlsszekoumltő egyenesek

meredekseacutegeacutet eacutes a keacutet meredekseacutegnek meg kell egyeznie

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya

Kifejezve y-t x fuumlggveacutenyeacuteben

11

12

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy

Eacuterdemes megfigyelni hogy a kapott kifejezeacutes ugyanaz mint amit az interpolaacutecioacutenaacutel kaptunk

Behelyettesiacutetve az eacuterteacutekeket

9954006021)60(610

0602110341y)xx(

xx

yyy 11

12

12

A desztillaacutelt viacutez sűrűseacutege 4 degC-on 1000 grammcm3 20 degC-on pedig 0998 grammcm

3 iacutegy az

extrapolaacutecioacuteval kapott 09954 grammcm3 eacuterteacutek igen joacutel koumlzeliacuteti a valoacutedi eacuterteacuteket Ebből arra

koumlvetkeztethetuumlnk hogy a magneacutezium-szulfaacutet-oldat sűrűseacutege eacutes oumlsszeteacutetele koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes igen

joacutel koumlzeliacutethető lineaacuteris fuumlggveacutennyel



116 Egyenletek koumlzeliacutető megoldaacutesa iteraacutecioacutes uacuteton

Gyakran előfordul hogy egy egyenlet megoldaacutesaacutera nem ismeruumlnk megfelelő bdquokeacutepletetrdquo sőt nem ritka

hogy egy egyenletet csak koumlzeliacutetőleg tudunk megoldani Ebben a reacuteszben bemutatunk egy egyszerű

moacutedszert melynek segiacutetseacutegeacutevel koumlnnyen megoldhatunk kuumlloumlnfeacutele egyenleteket

110 peacutelda

Oldjuk meg koumlzeliacutetőleg a koumlvetkező egyenletet

0xlgx

Megoldaacutes

Az egyenletet a pozitiacutev szaacutemok halmazaacuten kell megoldanunk

Hozzuk az egyenletet a koumlvetkező formaacutera

x = f(x)

Erre keacutet lehetőseacuteguumlnk van azaz

A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx

22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B

Ezutaacuten proacutebaacuteljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) uacuteton Vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0

eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0 = 05 ezutaacuten x0 eacuterteacutekeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuten aacutelloacute kifejezeacutesbe

melynek eredmeacutenye x1 = f(x0) lesz Ezutaacuten x1-et behelyettesiacutetjuumlk a jobb oldali kifejezeacutesbe eacutes

megkapjuk x2 = f(x1) eacuterteacutekeacutet majd ezt ismeacutet behelyettesiacutetjuumlk az egyenlet jobb oldalaacuteba eacutes iacutegy tovaacutebb

Ha az egyenlet megoldhatoacute ezzel a moacutedszerrel azt kell tapasztalnunk hogy az egymaacutest koumlvető x0

x1 = f(x0) x2 = f(x1) x3 = f(x2) hellip xi+1 = f(xi) hellip eacuterteacutekeknek koumlzeledniuumlk kell a megoldaacuteshoz mely

iacutegy tetszőleges pontossaacuteggal kiszaacutemiacutethatoacute Most neacutezzuumlk ezt meg az adott peacuteldaacuten

A)

x0 = 05 x0 = 05000

x1 = 50000x

1010 0 x1 asymp 01363

x2 = 19630x

1010 1 x2 asymp 03605

x3 = 36050x

1010 2 x3 asymp 02509

x4 = 25090x

1010 3 x4 asymp 03156

x5 = 31560x

1010 4 x5 asymp 02743

x6 = 27430x

1010 5 x6 asymp 02994

x7 = 29940x

1010 6 x7 asymp 02837

x8 = 28370x

1010 7 x8 asymp 02933



x9 = 29330x

1010 8 x9 asymp 02873

x10 = 28730x

1010 9 x10 asymp 02910

x11 = 29100x

1010 10 x11 asymp 02887

x12 = 28870x

1010 11 x12 asymp 02902

x13 = 29020x

1010 12 x13 asymp 02893

x14 = 28930x

1010 13 x14 asymp 02898

x15 = 28980x

1010 14 x15 asymp 02895

x16 = 28950x

1010 15 x16 asymp 02897

x17 = 28970x

1010 16 x17 asymp 02896

x18 = 28960x

1010 17 x18 asymp 02896

x19 = 28960x

1010 18 x19 asymp 02896

Mint laacutetjuk az eredmeacutenyek egy adott eacuterteacutekhez koumlzeliacutetenek eacutes ez az eacuterteacutek eacuteppen az egyenlet

megoldaacutesa

1161 aacutebra Az eredmeacutenyek konvergenciaacuteja

Az eredmeacutenyekből szeacutepen laacutetszik hogy mineacutel toumlbbszoumlr veacutegezzuumlk el a behelyettesiacuteteacutest egyre

pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmeacutenyeacutet Ha keacutet tizedesjegy pontossaacuteggal szeretneacutenk

megoldani az egyenletet akkor eleacuteg csak a 8 leacutepeacutesig folytatni ha az eredmeacutenyre haacuterom tizedesjegy

pontossaacutegra vagyunk kiacutevaacutencsiak a 14 leacutepeacutesig kell folytatnunk az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest Az egyenlet

pontos megoldaacutesa heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal 02896232

Megjegyzendő hogy a moacutedszer gyorsasaacutega termeacuteszetesen fuumlgg a kiindulaacutesi x0 eacuterteacutek kivaacutelasztaacutesaacutetoacutel

Az eljaacuteraacutest grafikusan az alaacutebbi animaacutecioacute segiacutetseacutegeacutevel szemleacuteltethetjuumlk



1161 animaacutecioacute Az iteraacutecioacute

1162 aacutebra Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutes szemleacutelteteacutese

B)

Az előzőekhez hasonloacutean legyen a kiindulaacutesi eacuterteacutek x0 = 05

x0 = 05 x0 asymp 05000

x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906

x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874

x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013

x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837

x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431

x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055

x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090

x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017

x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)

2 x9 asymp 00897

x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965

x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016

x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140



x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972

x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097

x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555

x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697

x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867

x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311

Mint ahogyan a fenti eacuterteacutekeket aacutebraacutezolva laacutethatjuk az eredmeacutenyek nem tartanak egy adott

eacuterteacutekhez

1163 aacutebra A nem megfelelő fuumlggveacutenykapcsolat koumlvetkezmeacutenye

A feladatot iacutegy a B) uacuteton nem tudjuk megoldani a megoldaacutes csak az A) uacuteton lehetseacuteges Annak

magyaraacutezataacutehoz hogy mieacutert csak az egyik uacuteton jutottunk el a veacutegeredmeacutenyhez felsőbb matematikai

eszkoumlzoumlk is szuumlkseacutegesek ezeacutert ezzel a keacuterdeacutessel itt nem foglalkozunk reacuteszletesen Amennyiben egy

aacutetalakiacutetaacutesi moacuted nem vezet megoldaacuteshoz eacuterdemes megproacutebaacutelni az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest a fuumlggveacuteny

inverzeacutevel is

111 peacutelda


x3 + 4 middot x2 minus 1 = 0

Megoldaacutes

Egy harmadfokuacute fuumlggveacutenynek egy kettő vagy haacuterom gyoumlke lehetseacuteges A g(x) = x3 + 4 middot x2 minus 1

fuumlggveacutenyt aacutebraacutezolva a koumlvetkező grafikont kapjuk



1164 aacutebra A g(x) = x3 + 4 middot x2 ndash 1 fuumlggveacuteny

Mint a fenti aacutebraacuteboacutel laacutethatoacute a g(x) fuumlggveacutenynek haacuterom zeacuteruspontja van iacutegy a g(x) = 0

egyenletnek haacuterom megoldaacutesa van A grafikus megoldaacutesboacutel annyit megaacutellapiacutethatunk hogy egy gyoumlk

x = minus4 koumlrnyezeteacuteben egy maacutesik x = minus05 koumlrnyezeteacuteben miacuteg a harmadik x = 05 koumlrnyezeteacuteben

talaacutelhatoacute

Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacuteshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet Erre toumlbb lehetőseacuteg is van

A)

3 2x41x

Az előző feladat megoldaacutesaacutenak mintaacutejaacutera vegyuumlnk egy kiindulaacutesi x0 eacuterteacuteket peacuteldaacuteul x0=10

(baacutermely maacutes szaacutem is lehetne) Az iteraacutecioacute első 32 leacutepeacuteseacutenek xn eacuterteacuteke a leacutepeacutesszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben a

koumlvetkező taacuteblaacutezatban talaacutelhatoacute

n xn n xn n xn

0 100000 11 minus39848 22 minus39361

1 minus73619 12 minus39688 23 minus39359










Mint laacutethatoacute az xn eacuterteacutekek sorozata viszonylag lassan koumlzeliacutet a megoldaacuteshoz Az iteraacutecioacutes eljaacuteraacutest

folytatva a megoldaacutes heacutet eacuterteacutekes jegy pontossaacuteggal minus3935432



B)

3x1

4

1x

Az iteraacutelaacutest tehaacutet elveacutegezhetjuumlk a pozitiacutev eacutes a negatiacutev előjelű kifejezeacutessel is Mivel a neacutegyzetgyoumlk

alatti kifejezeacutesnek nemnegatiacutevnak kell lennie teljesuumllnie kell hogy 1 minus x3 ge 0

azaz x3 le 1 mely teljesuumll ha x le 1 Tehaacutet az iteraacutelaacutest olyan kiindulaacutesi eacuterteacutekkel eacuterdemes kezdeni mely

nem nagyobb mint 1

A pozitiacutev előjelű kifejezeacutessel veacutegezve az iteraacutelaacutest ha x0 = 1 akkor az eredmeacutenyek sorozata

n xn n xn n xn

0 1000000 4 0473732 8 0472835

1 0000000 5 0472674 9 0472834

2 0500000 6 0472862 10 0472834

3 0467707 7 0472829 11 0472834

Az eljaacuteraacutes ebben az esetben igen gyorsan koumlzeliacutet egy adott eacuterteacutekhez eacutes az eredmeacuteny

x = 0472834

Ha az iteraacutecioacutet a negatiacutev előjelű kifejezeacutessel veacutegezzuumlk a koumlvetkező sorozatot kapjuk ha x0 = 1

n xn n xn n xn

0 1000000 5 minus0537118 10 minus0537401

1 0000000 6 minus0537345 11 minus0537402




Az eredmeacutenyt ismeacutet igen gyorsan megkapjuk ennek eacuterteacuteke minus0537402

Tehaacutet a harmadfokuacute egyenlet megoldaacutesai

x1 = minus39354

x2 = 04728

x3 = minus05374

117 Siacutekidomok keruumllete eacutes teruumllete

Az alaacutebbiakban a legfontosabb siacutekidomok keruumlleteacutenek (K) eacutes teruumlleteacutenek (T) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas

oumlsszefuumlggeacuteseket mutatjuk be

Haacuteromszoumlg

cbaK

2

sinba

2

maT a

bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a haacuteromszoumlg oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo

oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg

Trapeacutez

dcbaK



m2

caT

bdquoardquo eacutes bdquocrdquo a trapeacutez paacuterhuzamos oldalai m a keacutet paacuterhuzamos oldal koumlzoumltti taacutevolsaacuteg azaz a trapeacutez

magassaacutega bdquocrdquo eacutes bdquodrdquo a trapeacutez szaacuterai

Paralelogramma

)ba(2K

sinbambmaT ba

bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a paralelogramma oldalai ma az bdquoardquo oldalhoz tartozoacute magassaacuteg mb az a oldalhoz

tartozoacute magassaacuteg γ pedig az bdquoardquo eacutes bdquobrdquo oldal aacuteltal bezaacutert szoumlg

Teacuteglalap

)ba(2K

baT

bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a teacuteglalap oldalai

Neacutegyzet

a4K

2aT

bdquoardquo a neacutegyzet oldala

Deltoid

)ba(2K

fe2

1T

bdquoardquo eacutes bdquobrdquo a deltoid oldalai bdquoerdquo eacutes bdquofrdquo a deltoid aacutetloacutei

Rombusz

a4K

sinamaT 2a

bdquoardquo a rombusz oldala ma a magassaacutega α pedig a rombusz keacutet egymaacutes melletti oldala aacuteltal bezaacutert

szoumlg

Koumlr

dr2K

22 d4

1rT

bdquorrdquo a koumlr sugara bdquodrdquo a koumlr aacutetmeacuterője



Haacuteromszoumlg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapeacutez

dcbaK m2

caT

Paralelogramma

)ba(2K sinbambmaT ba

Teacuteglalap

)ba(2K baT

Neacutegyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Koumlr

dr2K 22 d4

1rT

118 Testek felsziacutene eacutes teacuterfogata

Az alaacutebbiakban a legfontosabb testek felsziacuteneacutenek (A) eacutes teacuterfogataacutenak (V) szaacutemiacutetaacutesaacutera alkalmas


Teacuteglatest

)acbcab(2A



cbaV

bdquoardquo bdquobrdquo eacutes bdquocrdquo a teacuteglatest eacutelei

Kocka

2a6A

3aV

bdquoardquo a kocka eacutele

Egyenes koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2

hd4

1hrV 22

bdquorrdquo az alapkoumlr sugara bdquodrdquo az alapkoumlr aacutetmeacuterője bdquohrdquo a henger magassaacutega

Goumlmb

22 dr4A

33 d6

1r

3

4V

bdquorrdquo a goumlmb sugara bdquodrdquo a goumlmb aacutetmeacuterője

Teacuteglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Goumlmb

22 dr4A 33 d6

1r

3

4V



12 Fizikai alapismeretek

121 SI-alapmennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik

Hosszuacutesaacuteg

Jele ℓ (longitudo hosszuacutesaacuteg) s (taacutevolsaacuteg uacutet)

Meacuterteacutekegyseacutege meacuteter ( metrum ndash latin metron ndash goumlroumlg meacuterteacutek) roumlvidiacuteteacutese m

Toumlmeg

Jele m (massa)

Meacuterteacutekegyseacutege kilogramm ( kilo + gramma ndash goumlroumlg kis toumlmeg) roumlvidiacuteteacutese kg

Idő

Jele t (tempus)

Meacuterteacutekegyseacutege maacutesodperc vagy szekundum ( secunda ndash latin kis reacutesz) roumlvidiacuteteacutese s

Aacuteramerősseacuteg

Jele I (intensitas)

Meacuterteacutekegyseacutege amper ( Andreacute-Marie Ampegravere) roumlvidiacuteteacutese A

Hőmeacuterseacuteklet

Jele T (temperare)

Meacuterteacutekegyseacutege kelvin ( William Thomson Kelvin) roumlvidiacuteteacutese K

Anyagmennyiseacuteg

Jele n (numerus)

Meacuterteacutekegyseacutege moacutel ( mole a neacutemet Molekuumll roumlvidiacuteteacutese alapjaacuten) jele mol

Feacutenyerősseacuteg

Jele Iv (intensitas visual)

Meacuterteacutekegyseacutege kandela ( candela ndash latin gyertya) roumlvidiacuteteacutese cd

122 SI kiegeacutesziacutető mennyiseacutegek meacuterteacutekegyseacutegeik eacutes gyakori jeloumlleacuteseik

Siacutekszoumlg

Jele α

Meacuterteacutekegyseacutege radiaacuten ( radius ndash latin sugaacuter) roumlvidiacuteteacutese rad

Teacuterszoumlg


Meacuterteacutekegyseacutege szteradiaacuten ( stereos ndash goumlroumlg + radius ndash latin teacuter + sugaacuter) roumlvidiacuteteacutese sr

A keacutemiai szempontboacutel fontos szaacutermaztatott mennyiseacutegeket eacutes meacuterteacutekegyseacutegeit a keacutesőbbiek soraacuten

taacutergyaljuk



Prefixumok

A meacuterteacutekegyseacutegek toumlrtreacuteszeit eacutes toumlbbszoumlroumlseit az egyseacuteg neve eleacute illesztett egy-egy szorzoacutet

jelentő az alaacutebb felsorolt prefixumok egyikeacutevel keacutepezzuumlk

yotta- Y 1024

deci- d 10ndash1

zetta- Z 1021 centi- c 10ndash2

exa- E 1018 milli- m 10ndash3

peta- P 1015 mikro- κ 10ndash6

tera- T 1012 nano- n 10ndash9

giga- G 109 piko- p 10ndash12

mega- M 106 femto- f 10ndash15

kilo- K 103 atto- a 10ndash18

hekto- H 102 zepto- z 10ndash21

deka- Da 101 yocto- y 10ndash24

123 Mechanika

Sűrűseacuteg a toumlmeg eacutes a teacuterfogat haacutenyadosa

Jele vagy d ( density ndash angol)

V

md

Meacuterteacutekegyseacutege kgm3 (kgmiddotmminus3) de hasznaacutelhatjuk meacuteg a koumlvetkező meacuterteacutekegyseacutegeket is gcm3

(gmiddotcmminus3) kgdm3 (kgmiddotdmminus3) stb 1 gcm3 = 1 kgdm3 = 1 000 kgm3 Gaacutezok sűrűseacutege eseteacuten (mivel ez

aacuteltalaacuteban 3 nagysaacutegrenddel kisebb mint a folyadeacutekokeacute eacutes szilaacuterd anyagokeacute) gyakran hasznaacuteljuk a

gdm3 = kgm3 meacuterteacutekegyseacuteget

Sebesseacuteg a megtett uacutet eacutes az uacutet megteacuteteleacutehez szuumlkseacuteges idő haacutenyadosa Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk

pillanatnyi eacutes aacutetlagos sebesseacuteget

Jele v ( velocitas ndash latin)

t

sv

Meacuterteacutekegyseacutege 1 ms = 1 mmiddotsminus1 = 0001 km (13600 h) = 36 kmh = 36 kmmiddothminus1

Gyorsulaacutes időegyseacutegre eső sebesseacutegvaacuteltozaacutes a sebesseacuteg vaacuteltozaacutesaacutenak gyorsasaacutega

Jele a ( accelerare ndash latin)

t

va

Meacuterteacutekegyseacutege 1 ms2 = 1 m middot sminus2

Erő testek koumlzoumltti koumllcsoumlnhataacutes meacuterteacuteke (Azt a fizikai hataacutest mely egy test mozgaacutesaacutellapotaacutet

vagy alakjaacutet megvaacuteltoztatja erőhataacutesnak nevezzuumlk ennek a hataacutesnak a meacuterteacuteke az erő) Az erő egyik

definiacutecioacuteja szerint a toumlmeg eacutes a gyorsulaacutes szorzata

Jele F ( force ndash angol)

amF

Meacuterteacutekegyseacutege N (newton) 1 N = 1 kgmiddotms2 = 1 kgmiddotmmiddotsminus2



Nyomaacutes az erő eacutes a feluumllet haacutenyadosa

Jele p ( pressure ndash angol)

A

Fp

Meacuterteacutekegyseacutege Pa (pascal) 1 Pa = 1 Nm2 = 1 (kgmiddotms2)m2 = 1 kg(mmiddots2) = 1 kgmiddotmminus1middotsminus2

Folyadeacutekok hidrosztatikai nyomaacutesa egy folyadeacutekoszlop suacutelyaacuteboacutel adoacutedoacute nyomaacutest a koumlvetkező

kifejezeacutes adja meg

hgdp

d a folyadeacutek sűrűseacutege h a folyadeacutekoszlop magassaacutega g a gravitaacutecioacutes gyorsulaacutes (eacuterteacuteke 981 ms2)

1231 aacutebra A folyadeacutekok hidrosztatikai nyomaacutesa

A fenti keacuteplet koumlzvetlenuumll adoacutedik a nyomaacutes definiacutecioacutejaacuteboacutel azaz a folyadeacutek suacutelya osztva a

folyadeacutek feluumlleteacutevel (Suacutely a toumlmeg eacutes a gravitaacutecioacutes gyorsulaacutes szorzata az az erő mely huacutezza a

felfuumlggeszteacutest vagy nyomja az alaacutetaacutemasztaacutest)

hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp

Tehaacutet egy folyadeacutek nyomaacutesa fuumlggetlen attoacutel hogy a folyadeacutek mekkora feluumlleten gyakorol

nyomaacutest az edeacuteny aljaacutera az csak a folyadeacutek sűrűseacutegeacutetől eacutes a folyadeacutekoszlop magassaacutegaacutetoacutel fuumlgg

A gaacutezok nyomaacutesa a gaacutezmolekulaacuteknak az edeacuteny falaacuteval toumlrteacutenő uumltkoumlzeacutesekből adoacutedik A pascal

mellett gaacutezok eseteacuten tovaacutebbi meacuterteacutekegyseacutegeket is szokaacutes hasznaacutelni

Bar

1 bar = 105 Pa

Higanymillimeacuteter vagy torr 1 mm magassaacuteguacute higanyoszlop nyomaacutesa (a leacutegnyomaacutes meacutereacuteseacutere

gyakran hasznaacutelunk U-csoumlves manomeacutetert melyben a higanyoszlopok magassaacutegaacutenak kuumlloumlnbseacutegeacutet

meacuterjuumlk)

Mivel a higany sűrűseacutege 13 578 kgm3 1 mm magas higanyoszlop nyomaacutesa

p = d middot g middot h = 13 578 kgm3 middot 981 ms2 middot 0001 m = 1332 Pa azaz 1 Hgmm = 1 torr = 1332 Pa

h



Fizikai atmoszfeacutera a normaacutel leacutegkoumlri nyomaacutes eacuterteacuteke azaz

1 atm = 101 325 Pa

A folyadeacutekok eacutes gaacutezok mechanikaacutejaacuteval kapcsolatban eacuterdemes megjegyezni keacutet fontos toumlrveacutenyt is

Pascal toumlrveacutenye egy nyugvoacute folyadeacutekban a nyomaacutes csoumlkkeneacutes neacutelkuumll minden iraacutenyban

gyengiacutetetlenuumll tovaacutebbterjed

Arkhimeacutedeacutesz toumlrveacutenye a folyadeacutekba vagy gaacutezba meruumllő testre hatoacute felhajtoacuteerő megegyezik a

test aacuteltal kiszoriacutetott folyadeacutek vagy gaacutez suacutelyaacuteval Keacutepletben kifejezve

VgdF

ahol F a felhajtoacuteerő d a folyadeacutek vagy gaacutez sűrűseacutege g a gravitaacutecioacutes gyorsulaacutes (eacuterteacuteke 981 ms2)

V a test teacuterfogata

Munka az erőnek az elmozdulaacutes iraacutenyaacuteba eső komponenseacutenek eacutes az elmozdulaacutesnak a szorzata

Jele W ( work ndash angol)

sFW s

1232 aacutebra A munka

Fs az erő elmozdulaacutes iraacutenyaacuteba eső komponense s az elmozdulaacutes

Meacuterteacutekegyseacutege J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotms2middotm = 1 kgmiddotm2s2 = 1 kgmiddotm2middotsminus2

Energia a munkaveacutegző keacutepesseacuteg Az energia bdquoeltaacuterolt munkardquo mely megfelelő koumlruumllmeacutenyek

koumlzoumltt munkaacutevaacute alakiacutethatoacute Az energia kuumlloumlnfeacutele formaacutekban jelenik meg peacuteldaacuteul beszeacutelhetuumlnk

mechanikai (mozgaacutesi helyzetihellip) termikus elektromos stb Az energia a rendszer egy aacutellapotaacutet iacuterja

le a munka pedig az aacutellapotok koumlzoumltti vaacuteltozaacutest

Jele E ( energy ndash angol)

Meacuterteacutekegyseacutege ugyanaz mint a munkaacutenak J (joule) 1 J = 1 Nmiddotm = 1 kgmiddotm2middotsminus2

Teljesiacutetmeacuteny a munka eacutes az munkaveacutegzeacutes időtartamaacutenak haacutenyadosa egyseacutegnyi idő alatt veacutegzett

munka a munkaveacutegzeacutes sebesseacutege

Jele P ( power ndash angol)

t

WP

Meacuterteacutekegyseacutege W (watt) 1 W = 1 Js = 1 (kgmiddotm2s2)s = 1 kgmiddotm2s3 = 1 kgmiddotm2middotsminus3

s

F

Fs



Hataacutesfok a hasznos munka eacutes az oumlsszes befektetett munka haacutenyadosa vagy maacuteskeacuteppen a

hasznos teljesiacutetmeacuteny eacutes az oumlsszes befektetett teljesiacutetmeacuteny haacutenyadosa

Jele ε

ouml

h

W

W

ouml

h

P

P

Wh hasznos munka Wouml befektetett munka Ph hasznos teljesiacutetmeacuteny Pouml befektetett teljesiacutetmeacuteny

Dimenzioacutementes szaacutem eacuterteacuteke 0 le ε le 1

124 Elektromossaacutegtan

Toumllteacutes az elemi toumllteacutesnek valahaacutenyszorosa

Jele Q

Meacuterteacutekegyseacutege C (coulomb) 1 C = 1 Amiddots

Az elektron toumllteacutese q = 1602middot10minus19 C Az elektoron toumllteacuteseacutet negatiacutevnak a protoneacutet pedig

pozitiacutevnak tekintjuumlk

Coulomb toumlrveacutenye keacutet pontszerű toumllteacutes koumlzoumltt hatoacute erő egyenesen araacutenyos a toumllteacutesekkel eacutes

fordiacutetottan araacutenyos a toumllteacutesek koumlzoumltti taacutevolsaacuteg neacutegyzeteacutevel Keacutet azonos előjelű toumllteacutes (++ illetve minusminus)

koumlzoumltt tasziacutetoacute mag keacutet ellenteacutetes előjelű toumllteacutes (+minus) koumlzoumltt vonzoacute elektrosztatikus koumllcsoumlnhataacutes joumln

leacutetre

2

21

r

QQkF

F erő Q1 eacutes Q2 toumllteacutes r a keacutet toumllteacutes koumlzoumltti taacutevolsaacuteg k araacutenyossaacutegi teacutenyező melynek eacuterteacuteke

899 ∙ 109 Nm2C2

1241 aacutebra Coulomb toumlrveacutenye

Aacuteramerősseacuteg az időegyseacuteg alatt aacutethaladt toumllteacutesek mennyiseacutege

Jele I ( intensitas ndash angol)

t

QI

Q aacutethaladt toumllteacutes t idő

Meacuterteacutekegyseacutege A (amper) 1 A = 1 Cs = 1 Cmiddotsminus1



Feszuumlltseacuteg a munka eacutes a toumllteacutes haacutenyadosa A feszuumlltseacuteg megadja hogy mennyi munkaacutet veacutegez a

mező egyseacutegnyi toumllteacutesen miacuteg a toumllteacutes az egyik pontboacutel elmozdul a maacutesikba

Jele U

Q

WU

Q toumllteacutes W a Q toumllteacutes egyik pontboacutel a maacutesikba juttataacutesaacutehoz szuumlkseacuteges munka

Meacuterteacutekegyseacutege V (volt) 1 V = 1 JC = 1 kgmiddotm2s2(Amiddots) = 1 kgmiddotm2(Amiddots3) = 1 kgmiddotm2middotAminus1middotsminus3

Ellenaacutellaacutes egy elektromos koumlrben egy fogyasztoacuten eső feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutetmenő aacuteramerősseacuteg

haacutenyadosa

Jele R ( resistance ndash angol)

I

UR

Meacuterteacutekegyseacutege Χ (ohm) 1 Χ = 1 VA = 1 kgmiddotm2(Amiddots3)s = 1 kgmiddotm2middotAminus2middotsminus3

Ohm toumlrveacutenye egy fogyasztoacutera kapcsolt feszuumlltseacuteg eacutes a rajta aacutethaladoacute aacuteramerősseacuteg koumlzoumltt

egyenes araacutenyossaacuteg figyelhető meg

Fajlagos ellenaacutellaacutes egyseacutegnyi hosszuacute eacutes egyseacutegnyi keresztmetszetű toumlmoumlr anyag ellenaacutellaacutesa Egy

adott vezeteacutekdarab ellenaacutellaacutesa egyenes araacutenyos a vezeteacutek hosszaacuteval fordiacutetottan annak

keresztmetszeteacutevel eacutes az araacutenyossaacutegi teacutenyező a fajlagos ellenaacutellaacutes

Jele

AR

R ellenaacutellaacutes A keresztmetszet ℓ

Meacuterteacutekegyseacutege Χmiddotm2m = 1 Χmiddotm viszont a fajlagos ellenaacutellaacutesnak toumlbb maacutes elterjed

meacuterteacutekegyseacutege is ismert attoacutel fuumlggően hogy milyen meacuterteacutekegyseacutegben meacuterjuumlk a keresztmetszetet eacutes a

hosszt

1 Χmiddotm = 1 Χmiddotm2m = 106 Χmiddotmm2m 1 Χmiddotm = 102 Χmiddotcm2cm = 102 Χmiddotcm

Ez utoacutebbi meacuterteacutekegyseacuteget aacuteltalaacuteban oldatok fajlagos ellenaacutellaacutesa eseteacuten hasznaacuteljuk

Eredő ellenaacutellaacutes

ndash soros kapcsolaacutesnaacutel az eredő ellenaacutellaacutes az n darab sorba kapcsolt ellenaacutellaacutesok eacuterteacutekeacutenek oumlsszege

n

1i

in21e RRRRR

ndash paacuterhuzamos kapcsolaacutesnaacutel az eredő ellenaacutellaacutes reciproka az n darab paacuterhuzamosan kapcsolt

ellenaacutellaacutesok eacuterteacutekeacutenek oumlsszege

n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1



Az elektromos aacuteramkoumlr elektromotoros erő kapocsfeszuumlltseacuteg belső ellenaacutellaacutes roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram

Ha egy aacuteramforraacuteson nagy belső ellenaacutellaacutesuacute feszuumlltseacutegmeacuterővel megmeacuterjuumlk a feszuumlltseacuteget az

aacuteramforraacutes elektromotoros erejeacutet (maacutes neacuteven forraacutesfeszuumlltseacutegeacutet jele U0) kapjuk eredmeacutenyuumll

Ilyenkor az aacuteramforraacutes terheletlen azaz a teljes feszuumlltseacuteg az aacuteramforraacuteson esik

Azonban ha egy fogyasztoacuteval terheljuumlk az aacuteramforraacutest az aacuteramforraacuteson meacutert feszuumlltseacuteg maacuter nem

egyezik meg az elektromotoros erővel hanem annaacutel kisebb lesz Ezt a feszuumlltseacuteget

kapocsfeszuumlltseacutegnek nevezzuumlk (a terhelt aacuteramforraacutes kapcsain meacutert feszuumlltseacuteg) A jelenseacuteg oka hogy

az aacuteramkoumlrben folyoacute aacuteram az aacuteramforraacuteson is aacutetfolyik A toumllteacutesek mozgaacutesaacuteval szemben azonban az

aacuteramforraacutesnak is van ellenaacutellaacutesa ezt belső ellenaacutellaacutesnak nevezzuumlk

1242 aacutebra A belső ellenaacutellaacutes szemleacutelteteacutese

Az aacuteramkoumlrben meacuterhető aacuteramerősseacuteget (I) a fogyasztoacute bdquokuumllsőrdquo ellenaacutellaacutesa (Rk) eacutes az aacuteramforraacutes

belső ellenaacutellaacutesa (Rb) hataacuterozza meg

)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI

A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramforraacutes kapcsain meacuterhető feszuumlltseacuteg azaz

b0kk RIURIU

A kapocsfeszuumlltseacuteget az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben aacutebraacutezolva a koumlvetkező diagramot kapjuk

1243 aacutebra A kapocsfeszuumlltseacuteg az aacuteramerősseacuteg fuumlggveacutenyeacuteben

U0

Uk

Rb

Rk

+minus

I



Ha egy elhanyagolhatoacute ellenaacutellaacutesuacute vezetődarabbal oumlsszekoumltjuumlk az aacuteramforraacutes kivezeteacuteseit a

kapocsfeszuumlltseacuteg zeacuterus eacutes az ilyenkor meacuterhető aacuteramerősseacuteg a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram

b

00

R

UI

Mint ahogyan a fenti diagramon is laacutethatoacute a roumlvidzaacuteraacutesi aacuteram aacuteramerősseacuteg maximumaacutet adja meg

Egyenaacuteram munkaacuteja az aacuteramerősseacuteg a feszuumlltseacuteg eacutes az idő szorzata aacutem az ellenaacutellaacutes

segiacutetseacutegeacutevel toumlbb maacutes moacutedon is meghataacuterozhatoacute

tUIW

I aacuteramerősseacuteg U feszuumlltseacuteg t az elektromos munkaveacutegzeacutes ideje

Meacuterteacutekegyseacutege ndash a toumlbbi munkaacutehoz hasonloacutean ndash joule

A munka koumlnnyen adoacutedik a feszuumlltseacuteg eacutes a toumllteacutesmennyiseacuteg definiacutecioacutejaacuteboacutel

Q

WU tIUQUW

Az ellenaacutellaacutes segiacutetseacutegeacutevel a koumlvetkező keacutepletek adoacutednak

tR

UtU

R

UtUIW

2

illetve tRIt)RI(ItUIW 2

Elektromos teljesiacutetmeacuteny az elektromos teljesiacutetmeacuteny az aacuteramerősseacuteg eacutes a feszuumlltseacuteg szorzatakeacutent

adoacutedik Az ellenaacutellaacutes bevezeteacuteseacutevel ismeacutet tovaacutebbi oumlsszefuumlggeacuteseket kaphatunk

RIR

UUIW 2

2

Az elektromos teljesiacutetmeacuteny meacuterteacutekegyseacutege a watt A fenti oumlsszefuumlggeacutesek koumlzvetlenuumll adoacutednak az

elektromos munka keacutepleteiből (a teljesiacutetmeacuteny munka eacutes a munkaveacutegzeacutes idejeacutenek haacutenyadosa)

125 Hőtan

Hőmeacuterseacutekleti skaacutelaacutek a hőmeacuterseacuteklet meghataacuterozaacutesaacutera toumlbb kuumlloumlnboumlző skaacutelaacutet hasznaacutelhatunk A skaacutelaacutek

nagy reacuteszeacutet tapasztalati uacuteton alakiacutetottaacutek ki meacuteghozzaacute egy kivaacutelasztott alsoacute eacutes felső hőmeacuterseacutekleti eacuterteacutek

koumlzoumltt meghataacuterozott szaacutemuacute egyenletes skaacutelaosztaacutest alkalmazva Itt csak a gyakorlati szempontboacutel

legfontosabb keacutet skaacutelaacutet taacutergyaljuk

ndash Celsius-skaacutela a viacutez normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson meacutert olvadaacutes- eacutes forraacutespontja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg

szaacutezadreacuteszeacutet tekintjuumlk 1 degC-nak (1 Celsius-foknak) Celsius-skaacutelaacuten meacuterve a viacutez olvadaacutespontja 0 degC

miacuteg forraacutespontja 100 degC normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson

ndash Abszoluacutet hőmeacuterseacutekleti vagy Kelvin-skaacutela a leacutepteacuteke megegyezik a Celsius-skaacutelaacuteeacuteval azaz 1 degC

= 1 K (kelvin) viszont a kiinduloacutepontja minus27315 degC Az abszoluacutet nulla fokon azaz 0 K hőmeacuterseacutekleten

a molekulaacutek maacuter nem veacutegeznek rezgeacutest Kiacuteseacuterletileg az abszoluacutet nulla fok megkoumlzeliacutethető aacutem nem

eacuterhető el A kelvin meacuterteacutekegyseacuteg utaacuten nem iacuterunk fokot eacutes a degK jeloumlleacutest is keruumlljuumlk

Aacutetteacutereacutes a Celsius-fok eacutes a kelvin koumlzoumltt

15273]C[T]K[T



Hőkapacitaacutes megadja hogy mennyi hőt kell koumlzoumllni a rendszerrel hogy annak hőmeacuterseacuteklete

egyseacutegnyivel emelkedjen vagy mennyi hőt kell elvonni a rendszerből hogy annak hőmeacuterseacuteklete

egyseacutegnyivel csoumlkkenjen

Jele C

T

QC

Q hőmennyiseacuteg ΓT hőmeacuterseacuteklet-vaacuteltozaacutes

Meacuterteacutekegyseacutege 1 JK 1 JK = 1 JdegC = 1 kgmiddotm2middotsminus2middotKminus1 de mivel itt hőmeacuterseacutekletkuumlloumlnbseacutegről

vagy szoacute termeacuteszetesen a Celsius-fokot is hasznaacutelhatunk kelvin helyett

Fajlagos hőkapacitaacutes vagy fajhő megadja hogy mennyi hőt kell koumlzoumllni egyseacutegnyi toumlmegű

anyaggal ahhoz hogy a hőmeacuterseacuteklete egyseacutegnyivel megemelkedjen

Jele c

Tm

Qc

Q hőmennyiseacuteg m toumlmeg ΓT hőmeacuterseacuteklet-vaacuteltozaacutes

Meacuterteacutekegyseacutege 1 J(kgmiddotK) 1 J(kgmiddotK) = 10minus3 J(gmiddotK) = 1 m2middotsminus2middotKminus1 1 kJ(kgmiddotK) = 1 J(gmiddotK)

Molaacuteris hőkapacitaacutes vagy moacutelhő megadja hogy mennyi hőt kell koumlzoumllni egyseacutegnyi

anyagmennyiseacutegű anyaggal ahhoz hogy a hőmeacuterseacuteklete egyseacutegnyivel megemelkedjen

Jele cm

Tn

Qcm

Q hőmennyiseacuteg n anyagmennyiseacuteg ΓT hőmeacuterseacuteklet-vaacuteltozaacutes

Meacuterteacutekegyseacutege 1 J(molmiddotK) 1 Jmiddotmolminus1middotKminus1 = 1 kgmiddotm2middotsminus2middotmolminus1middotKminus1

Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk aacutellandoacute nyomaacuteson eacutes aacutellandoacute hőmeacuterseacutekleten eacutertelmezett fajlagos illetve

molaacuteris hőkapacitaacutest Ennek legnagyobb jelentőseacutege gaacutezok eseteacuten van mivel ezeknek jelentős a

hőtaacutegulaacutesa Megjegyzendő hogy az aacutellandoacute nyomaacuteson meacutert hőkapacitaacutesokat hasznaacuteljuk leginkaacutebb

mivel a gyakorlatban a hőkoumlzleacutes is aacutellandoacute (gyakran leacutegkoumlri) nyomaacuteson toumlrteacutenik

A hőtaacutegulaacutes toumlrveacutenyszerűseacutegei

Lineaacuteris vagy vonalas hőtaacutegulaacutesi egyuumltthatoacute egyseacutegnyi hőmeacuterseacutekletemeleacutes hataacutesaacutera

bekoumlvetkező relatiacutev hossznoumlvekedeacutes

Jele α

TT

12

1

Γℓ hossznoumlvekedeacutes ℓ1 kiindulaacutesi hossz ℓ2 megnoumlvekedett hossz ΓT hőmeacuterseacuteklet-noumlvekedeacutes

Meacuterteacutekegyseacutege Kminus1 vagy degCminus1

A taacutergy hossza a melegiacuteteacutes utaacuten )T1(12

Teacuterfogati vagy koumlboumls hőtaacutegulaacutesi egyuumltthatoacute egyseacutegnyi hőmeacuterseacutekletemeleacutes hataacutesaacutera

bekoumlvetkező relatiacutev teacuterfogat-noumlvekedeacutes (ΓVV1)

Jele β

TV

VV

TV

V 12

1

ΓV teacuterfogat-noumlvekedeacutes V1 kiindulaacutesi teacuterfogat V2 megnoumlvekedett teacuterfogat ΓT hőmeacuterseacuteklet-

noumlvekedeacutes




A gaacutezok teacuterfogati hőtaacutegulaacutesi egyuumltthatoacuteja gyakorlatilag teljesen fuumlggetlen az anyagi minőseacutegtől

eacutes eacuterteacuteke β = 127315 Kminus1

A teacuterfogati eacutes lineaacuteris hőtaacutegulaacutesi egyuumltthatoacute koumlzoumltti kapcsolat β asymp 3middot α

Ennek igazolaacutesa a koumlvetkezőkeacutepp toumlrteacutenhet egy kocka alakuacute taacutergy eseteacuten

)TT3T31(V)T1()]T1([V 33221

331

312

Mivel α eacuterteacuteke igen kicsi a neacutegyzetes eacutes koumlboumls tagok sokkal kisebb nagysaacutegrendűek mint a

lineaacuteris tag iacutegy elhanyagolhatoacuteak

126 Feacutenytan

A feacuteny hullaacutemhossza frekvenciaacuteja eacutes sebesseacutege koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes a feacuteny energiaacuteja

A feacuteny mint az elektromaacutegneses hullaacutemok aacuteltalaacuteban szinusz fuumlggveacutennyel iacuterhatoacute le

1261 aacutebra A feacuteny mint hullaacutem

A perioacutedusidő (T) egy teljes szinuszhullaacutem megteacuteteleacutehez szuumlkseacuteges idő (peacuteldaacuteul keacutet egymaacutest

koumlvető maximum koumlzoumltt eltelt idő)

A frekvencia a perioacutedusidő reciproka eacutes azt mutatja meg hogy egy időegyseacuteg alatt haacuteny

hullaacutemot tesz meg a feacuteny Maacuteskeacutepp uacutegy szaacutemiacutethatjuk ki hogy a perioacutedusok szaacutemaacutet elosztjuk az ezen

perioacutedusok megteacuteteleacutehez szuumlkseacuteges idővel

Jele λ (egyeacutebkeacutent rezgeacutesekneacutel a frekvenciaacutet szokaacutes f-fel is jeloumllni)

t

N

T

1

T perioacutedusidő N perioacutedusok szaacutema t idő

Meacuterteacutekegyseacutege Hz (herz) 1 Hz = 1s = 1 sminus1

A feacuteny sebesseacutege vaacutekuumban fuumlggetlen a feacuteny frekvenciaacutejaacutetoacutel eacuterteacuteke kb 300 000 kms

(=3middot108 ms)

A feacuteny hullaacutemhossza egy perioacutedus alatt megtett taacutevolsaacuteg

Jele



1262 aacutebra A feacuteny hullaacutemhossza

A feacutenysebesseacuteg a frekvencia eacutes hullaacutemhossz koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes

c

A feacuteny energiaacuteja egyenesen araacutenyos a feacuteny frekvenciaacutejaacuteval eacutes az araacutenyossaacutegi teacutenyező az

uacutegynevezett Planck-aacutellandoacute A feacuteny energiaacuteja fordiacutetottan araacutenyos a feacuteny hullaacutemhosszaacuteval

c

hhE

h Planck-aacutellandoacute Eacuterteacuteke h = 6626 middot 10minus34 J∙s

13 A goumlroumlg aacutebeacuteceacute

Α α alfa Η η ioacuteta Ρ ξ roacute

Β β beacuteta Κ θ kappa ζ szigma

Γ γ gamma Λ ι lambda Σ η tau

Γ δ delta Μ κ mű Τ υ uumlpszilon

Δ ε epszilon Ν λ nű Φ θ fiacute

Ε δ zeacuteta Ξ μ ksziacute Υ χ khiacute

Ζ ε eacuteta Ο ν omikron Φ ψ psziacute

Θ ζ theacuteta Π π piacute Χ ω omega



2 AZ ATOMOK SZERKEZETE

21 Az atommodellekről dioacuteheacutejban

Dalton-feacutele atommodell az elemek azonos atomokboacutel eacutepuumllnek fel a vegyuumlletek kuumlloumlnboumlző elemek

atomjaiboacutel aacutellnak

Thomson-feacutele atommodell (bdquomazsolaacutes pudingrdquo) az atomban egyenletesen oszlik el a jelentős

toumlmegű pozitiacutev toumllteacutesű reacutesze eacutes ebben mozognak a sokkal kisebb toumlmegű negatiacutev toumllteacutesű reacuteszecskeacutek

Rutherford-feacutele atommodell az atommag eacutes az elektronok azonosiacutetaacutesa A kis toumlmegű

elektronok a nagy toumlmegű atommag koumlruumll keringenek

Borh-feacutele atommodell az elektronok adott sugaruacute koumlrpaacutelyaacutekon keringenek

Sommerfeld-feacutele atommodell az elektronok adott sugaruacute ellipszis alakuacute paacutelyaacutekon keringenek

Schroumldinger-feacutele atommodell az elektronok csak bizonyos valoacutesziacutenűseacuteggel talaacutelhatoacutek meg egy

adott teacuterreacuteszben pontos helyzetuumlket nem lehet megadni

22 Az atomok feleacutepiacuteteacutese

Atom atommagboacutel eacutes elektronburokboacutel feleacutepuumllő semleges reacuteszecske

Az atommagban pozitiacutev toumllteacutesű protonok eacutes semleges neutronok talaacutelhatoacuteak (egyetlen kiveacutetel a

hidrogeacutenatom melyben nem talaacutelhatoacute neutron csak proton) A protonokat eacutes neutronokat mint elemi

reacuteszecskeacuteket egyuumlttesen nukleonoknak nevezzuumlk

Az atomot alkotoacute elemi reacuteszecskeacutek toumlmege eacutes toumllteacutese

Reacuteszecske neve Toumlmeg Toumllteacutes Relatiacutev

toumlmeg

Relatiacutev

toumllteacutes

Atommag Proton (p+) 1672 middot 10minus27 kg 16021 middot 10minus19 C 18355 +1

Neutron (n0) 1674 middot 10minus27 kg 0 18377 0

Elektronburok Elektron (eminus) 9109 middot 10minus31 kg minus16021 middot 10minus19 C 1 minus1

Mint laacutethatoacute a fenti taacuteblaacutezatboacutel a proton eacutes a neutron toumlmege koumlzeliacutetőleg megegyezik az elektron

toumlmege pedig ezekneacutel nagysaacutegrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed reacutesze a proton vagy a neutron

toumlmegeacutenek) A neutron semleges a proton eacutes az elektron toumllteacutese abszoluacutet eacuterteacutekben megegyezik aacutem

előjeluumlk ellenteacutetes

Rendszaacutem az atomban talaacutelhatoacute protonok szaacutema

Jele Z

Toumlmegszaacutem az atommagban talaacutelhatoacute protonok eacutes neutronok szaacutemaacutenak az oumlsszege

Jele A

Neutronszaacutem toumlmegszaacutemboacutel levonva a protonok szaacutemaacutet azaz a toumlmegszaacutem eacutes a rendszaacutem

kuumlloumlnbseacutege

Jele N

N = Z minus A

2 Az atomok szerkezete 45


(Keacutemiai) elemeknek nevezzuumlk az azonos rendszaacutemmal rendelkező atomokboacutel feleacutepuumllő

anyagokat Az elemeket vegyjeluumlkkel szoktuk azonosiacutetani A vegyjel előtt a toumlmegszaacutemot eacutes a

rendszaacutemot is feltuumlntethetjuumlk ilyenkor rendszerint a bal felső indexbe a toumlmegszaacutemot a bal alsoacute

indexbe a rendszaacutemot iacuterjuk

EAZ

Nuklid azonos rendszaacutemuacute eacutes toumlmegszaacutemuacute atommagokat tartalmazoacute atomok oumlsszesseacutege

Izotoacutep egy elem izotoacutepjainak nevezzuumlk azonos rendszaacutemmal aacutem kuumlloumlnboumlző toumlmegszaacutemmal

rendelkező atomjait (Egy elem kuumlloumlnboumlző neutronszaacutemuacute nuklidjai)

Relatiacutev atomtoumlmeg megmutatja hogy az adott atom toumlmege haacutenyszorosa egy C126 -atom

toumlmegeacutenek 112-ed reacuteszeacuteneacutel

Anyagmennyiseacuteg 1 moacutel az anyagmennyiseacutege 6022 middot 1023 darab reacuteszecskeacutenek

Avogadro-szaacutem egy moacutel reacuteszecske darabszaacutema Eacuterteacuteke 6022 middot 1023 mol

A relatiacutev atomtoumlmeg megadja 1 moacutel elem toumlmegeacutet az adott elem 6022 middot 1023 darab atomjaacutenak

oumlssztoumlmegeacutet

Egy elemek legnagyobb reacutesze toumlbbfeacutele izotoacutep elegye a termeacuteszetes gyakorisaacutegukboacutel adoacutedik a

relatiacutev atomtoumlmeg A relatiacutev atomtoumlmeg kiszaacutemiacutetaacutesaacutenaacutel az egyes izotoacutepok atomtoumlmegeacutet a termeacuteszetes

gyakorisaacutegukkal suacutelyozzuk

Tiszta elem olyan elem mely (a termeacuteszetben) csak egyetlen stabil izotoacutepjaacuteval fordul elő

Peacuteldaacuteul foszfor (P) alumiacutenium (Al) fluor (F) naacutetrium (Na) mangaacuten (Mn) joacuted (I) stb

(Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megemliacutetjuumlk hogy egy izotoacutep atomtoumlmege szaacutem szerint nem azonos

toumlkeacuteletesen az izotoacutep toumlmegszaacutemaacuteval [mely mindig egeacutesz szaacutem] Ennek haacuterom oka van egyreacuteszt a

protonok eacutes neutronok toumlmege nem teljesen azonos ndash laacutesd fentebb ndash maacutesreacuteszről az atomtoumlmeg

tartalmazza az elektronok toumlmegeacutet is harmadreacuteszt az atommag keletkezeacutesekor felszabaduloacute hatalmas

energia toumlmegcsoumlkkeneacutest okoz ndash laacutesd relativitaacuteselmeacutelet Joacute koumlzeliacuteteacutessel azonban egy izotoacutep

toumlmegszaacutema eacutes az atomtoumlmege megegyezik A C126 -izotoacutep eseteacuteben azonban a toumlmegszaacutem eacutes az

atomtoumlmeg pontosan megegyezik)

A stabil izotoacuteppal rendelkező elemek rendszaacutemaacutet (Z) vegyjeleacutet relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar)

termeacuteszetben megtalaacutelhatoacute stabil izotoacutepjaik toumlmegszaacutemaacutet (A) eacutes neutronszaacutemaacutet (N) az alaacutebbi taacuteblaacutezat

tartalmazza

Z Vegyjel Ar A N A N A N A N A N

1 H 100794(7) 1 0 2 1

2 He 4002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6941(2) 6 3 7 4

4 Be 9012182(3) 9 5

5 B 10811(7) 10 5 11 6

6 C 120107(8) 12 6 13 7

7 N 140067(2) 14 7 15 8

8 O 159994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

toumlmegszaacutem

rendszaacutem



9 F 189984032(5) 19 10

10 Ne 201797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 2298976928(2) 23 12

12 Mg 243050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 269815386(8) 27 14

14 Si 280855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30973762(2) 31 16

16 S 32065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 390983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44955912(6) 45 24

22 Ti 47867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 509415(1) 51 28

24 Cr 519961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54938045(5) 55 30

26 Fe 55845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58933195(5) 59 32

28 Ni 586934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63546(3) 63 34 65 36

30 Zn 6538(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69723(1) 69 38 71 40

32 Ge 7264(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 7492160(2) 75 42

34 Se 7896(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 854678(3) 85 48

38 Sr 8762(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 8890585(2) 89 50

40 Zr 91224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 9290638(2) 93 52

42

Mo

9596(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 989063

44

Ru

10107(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 10290550(2) 103 58

46

Pd

10642(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 1078682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114818(3) 113 64

50

Sn

118710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121760(1) 121 70 123 72

52 Te 12760(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 12690447(3) 127 74

54

Xe

131293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 1329054519(2) 133 78

56

Ba

137327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 13890547(7) 139 82

58 Ce 140116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 14090765(2) 141 82

60 Nd 144242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 1469151

62 Sm 15036(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151964(1) 153 90

64 Gd 15725(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 15892535(2) 159 94

66

Dy

162500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 16493032(2) 165 98

68 Er 167259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 16893421(2) 169 100

70

Yb

173054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 1749668(1) 175 104

72 Hf 17849(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 1809479(1) 181 108

74 W 18384(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186207(1) 185 110

76 Os 19023(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196966569(4) 197 118

80

Hg

20059(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 2043833(2) 203 122 205 124

82 Pb 2072(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 20898040(1) 209 126

A kuumlloumlnboumlző izotoacutepok gyakorlatilag toumlkeacuteletesen azonos keacutemiai tulajdonsaacuteggal rendelkeznek A

legnagyobb kuumlloumlnbseacuteg fizikai tulajdonsaacutegokban a hidrogeacuten haacuterom izotoacutepja koumlzoumltt van (itt egyetlen

proton mellett egy vagy keacutet neutron viszonylag nagyobb elteacutereacutest okoz) 1H proacutecium (9998) 2H deuteacuterium (002) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese D 3H triacutecium (radioaktiacutev) aacuteltalaacuteban a jeloumlleacutese T

Radioaktivitaacutes a nem stabil atommagok spontaacuten bomlaacutesa A radioaktiacutev bomlaacutest nagy energiaacutejuacute

sugaacuterzaacutes kiacuteseacuteri

A nem stabil magokat szokaacutes radioaktiacutev magoknak is nevezni

A radioaktivitaacutes keacutemiai moacutedszerekkel ndash tehaacutet az elektronszerkezeten keresztuumll ndash nem

befolyaacutesolhatoacute



23 Az atomok elektronszerkezete

Az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronszerkezetuumlk hataacuterozza meg a keacutemiai vaacuteltozaacutesok az

atommagra nincsenek hataacutessal Az elektronok szaacutema megegyezik a rendszaacutemmal mely az adott

elemre jellemző iacutegy a kuumlloumlnboumlző elemek vaacuterhatoacutean kuumlloumlnboumlző keacutemiai tulajdonsaacutegokkal rendelkeznek

Az elektronok az atomokban atompaacutelyaacutekon helyezkednek el

Atompaacutelya az a teacuterreacutesz ahol az elektron 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute

Az elektron a teacuter baacutermely teacuterreacuteszeacuteben megtalaacutelhatoacute valamilyen valoacutesziacutenűseacuteggel az atompaacutelya

nem jelent eacuteles hataacutert inkaacutebb valoacutesziacutenűseacutegi jellegű

Az atompaacutelyaacutekat egy szaacutem eacutes egy betű kombinaacutecioacutejaacuteval szoktuk jeloumllni peacuteldaacuteul 1s 2px 3dxy

stbhellip

A paacutelyaacutekat teacuterben aacutebraacutezolhatjuk uacutegy hogy megjeleniacutetjuumlk azt a feluumlletet mellyel hataacuterolt

teacuterreacuteszben az elektron megtalaacutelaacutesaacutenak valoacutesziacutenűseacutege 90-os

A kuumlloumlnfeacutele paacutelyaacutek alakjaacutet megfigyelhetjuumlk az alaacutebbi aacutebraacuten

s-paacutelya p-paacutelya d-paacutelya f-paacutelya

231 aacutebra Kuumlloumlnboumlző atompaacutelyaacutek alakja

A paacutelyaacutek egyik fontos jellemzője a csomoacutesiacutekok szaacutema Csomoacutesiacuteknak nevezzuumlk azt a siacutekot mely

keresztuumllmegy az atommagon eacutes benne az elektron megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege zeacuterus Mint laacutethatoacute az s-

paacutelyaacutenak nincsen csomoacutesiacutekja a p-paacutelyaacuteknak egy csomoacutesiacutekja van a d-paacutelyaacuteknak keacutet csomoacutesiacutekja van eacutes

iacutegy tovaacutebb

Az elektronburok feleacutepuumlleacutese

Mint a koraacutebbiakban is emliacutetettuumlk az elemek keacutemiai tulajdonsaacutegait az elektronburok feleacutepiacuteteacutese az

elektronszerkezet hataacuterozza meg Ezeacutert rendkiacutevuumll fontos az elektronszerkezet feleacutepuumlleacuteseacutet viszonylag

reacuteszletesen taacutergyalnunk Az aacuteltalaacutenos keacutemia ezen reacutesze viszonylag bonyolult viszont a fontos

alapfogalmak elsajaacutetiacutetaacutesa utaacuten eacuterdekes toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismeruumlnk majd meg

Vegyuumlnk egy tetszőleges atommagot eacutes koumlzeliacutetsuumlnk hozzaacute egy elektront Az elektron a

legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacutera keruumll eacutes ezt energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri (Megjegyzendő hogy

a felszabaduloacute energia nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket) A legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutet 1s

paacutelyaacutenak nevezzuumlk Egy maacutesodik elektron koumlzeliacutetve az iacutegy keletkezett bdquoegyelektronosrdquo rendszerhez

szinteacuten egy atompaacutelyaacutera keruumllt melyet ismeacutet energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuter A maacutesodik elektron ndash az

elsőhoumlz hasonloacutean ndash az 1s paacutelyaacutera keruumll eacutes az energiafelszabadulaacutes is megegyezik az első elektron

koumltődeacuteseacuteneacutel tapasztalttal Ha ehhez a bdquokeacutetelektronosrdquo rendszerhez egy uacutejabb elektront adunk az maacuter

nem keruumllhet a legalacsonyabb energiaacutejuacute 1s paacutelyaacutera mivel az atompaacutelyaacutekon maximaacutelisan keacutet elektron

foglalhat helyet (Most ezt fogadjuk el teacutenykeacutent ndash a kiegeacutesziacutető anyagkeacutent taacutergyalandoacute ndash aacuteltalaacutenosan

megfogalmazott Pauli-elv koumlvetkezmeacutenye) A harmadik elektron iacutegy a 2s paacutelyaacutera keruumll Egy negyedik

elektront meacuteg mindig el tudunk helyezni a 2s paacutelyaacuten aacutem az oumltoumldik elektronnak maacuter az egyik 2p

paacutelyaacutera kell keruumllnie (mivel paacutelyaacutenkeacutent maximum keacutet elektron foglalhat helyet) Meacuteg mielőtt tuacutelzottan

belebonyoloacutednaacutenk a paacutelyaacutek szaacutemozaacutesaacuteba eacutes sorrendjeacutebe eacuterdemes oumlsszefoglalnunk a fentieket



ndash Energiaminimumra toumlrekveacutes az elektron mindig a legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera keruumll

ndash Egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektront lehet elhelyezni

A paacutelyaacutekat az elektronokkal szokaacutes az alaacutebbi cellaacutes jeloumlleacutessel jeloumllni

Paacutelya elektron neacutelkuumll

(uumlres paacutelya)

Paacutelya egy elektronnal

(feacutelig betoumlltoumltt paacutelya)

Paacutelya keacutet elektronnal

(betoumlltoumltt paacutelya)

Alapaacutellapotuacute atom minden elektron a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute atompaacutelyaacuten helyezkedik el

Gerjesztett atom az atommal energiaacutet koumlzoumllve egy vagy toumlbb elektron magasabb energiaacutejuacute

paacutelyaacutera keruumll (Meacuteg mindig koumltődik az atomhoz nem szakad le roacutela)

Az atompaacutelyaacutek alheacutejakat az alheacutejak pedig elektronheacutejakat alkotnak

Az alheacutejat a paacutelya megjeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute betű jeloumlli peacuteldaacuteul lehetseacuteges p-alheacutej d-alheacutej stb Egy

alheacutejon beluumll ugyanolyan tiacutepusuacute eacutes azonos (vagy hasonloacute) meacuteretű paacutelyaacutek talaacutelhatoacuteak aacutem ezeknek a

teacuterbeli iraacutenyultsaacutega kuumlloumlnboumlzhet peacuteldaacuteul a 2px 2py eacutes 2pz haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyban aacutellnak

Egy adott alheacutejon beluumll az elektronok energiaacuteja azonos tehaacutet a 2px 2py eacutes a 2pz paacutelyaacutekon talaacutelhatoacute

elektronoknak ugyanakkora (ugyanolyam meacutely) az energiaacuteja

Az elektronheacutejat pedig a paacutelya jeloumlleacuteseacuteben talaacutelhatoacute szaacutem mutatja meg az elektronheacutej bdquomeacutereteacutevelrdquo

van kapcsolatban az 1 heacutej van a legkoumlzelebb az atommaghoz a 2 heacutej enneacutel kijjebb talaacutelhatoacute eacutes iacutegy

tovaacutebb Tehaacutet a heacutej sorszaacutema az atommagtoacutel valoacute taacutevolsaacutegot jelenti

A heacutejakon beluumll alheacutejak talaacutelhatoacuteak Peacuteldaacuteul az 1 heacutej egyetlen alheacutejboacutel (1s) aacutell mely csupaacuten egy

paacutelyaacutet tartalmaz (1s) a 2 heacutej keacutet alheacutejboacutel aacutell a 2s-alheacutej eacutes a 2p-alheacutej alkotja A legalacsonyabb

energiaacutejuacute heacutejat K heacutejnak a toumlbbit pedig rendre L M N O hellip heacutejaknak nevezzuumlk

Megkuumlloumlnboumlztetuumlnk kuumlloumlnboumlző bdquofajtardquo kuumlloumlnboumlző alakuacute paacutelyaacutekat az egyes tiacutepusuacute atompaacutelyaacutek

darabszaacutemaacutet pedig a paacuteratlan egeacutesz szaacutemok adjaacutek meg (1 3 5 7 9 hellip)

ndash s-paacutelya heacutejankeacutent egy s-paacutelya lehetseacuteges ez az egy paacutelya alkotja az s-alheacutejat

ndash p-paacutelya heacutejankeacutent haacuterom p-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a p-alheacutejat

ndash d-paacutelya heacutejankeacutent oumlt d-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek a d-alheacutejat

ndash f-paacutelya heacutejankeacutent heacutet f-paacutelya lehetseacuteges ezek alkotjaacutek az f-alheacutejat

ndash g-paacutelya eacutes iacutegy tovaacutebbhellip

Mint laacutethatoacute az s-alheacutej kiveacuteteleacutevel egy alheacutejon beluumll toumlbb paacutelya is talaacutelhatoacute a paacutelyaacuteknak toumlbbfeacutele

iraacutenyultsaacutega van a px py eacutes pz paacutelyaacutek egy dereacutekszoumlgű (Descartes-feacutele) teacuterbeli koordinaacutetarendszer

haacuterom kuumlloumlnboumlző tengelye iraacutenyaacuteba mutatnak

232 aacutebra A p-paacutelya lehetseacuteges iraacutenyultsaacutegai



Oumlsszefoglalva

Heacutej Alheacutej(ak) Paacutelyaacutek szaacutema az

alheacutejban

Elektronok maximaacutelis

szaacutema alheacutejankeacutent


szaacutema heacutejankeacutent

1 (K) 1s 1 2 2 = 2 middot 12

2 (L) 2s 1 2

8 = 2 middot 22 2p 3 6

3 (M)

3s 1 2

18 = 2 middot 32 3p 3 6

3d 5 10

4 (N)

4s 1 2

32 = 2 middot 42 4p 3 6

4d 5 10

4f 7 14

A taacuteblaacutezat alapjaacuten az alaacutebbi megaacutellapiacutetaacutesokat tehetjuumlk

ndash az n heacutejon n alheacutej lehetseacuteges

ndash az s alheacutej 1 a p-alheacutej 3 a d-alheacutej 5 az f-alheacutej 7 stb atompaacutelyaacutet tartalmaz

ndash minden atompaacutelyaacuten maximaacutelisan 2ndash2 elektron foglalhat helyet

ndash az n heacutejon maximaacutelisan 2 middot n2 darab elektron lehetseacuteges

A cellaacutes jeloumlleacutessel az 1 (K) heacutej

Ehhez hasonloacutean a 2 (L) heacutej

2px 2py 2pz2s

2p-alheacutej2s-alheacutej

2 (L) heacutej



A fentiekhez hasonloacute moacutedon aacutebraacutezolva a 3 (M) heacutej

A fentiekben fontos toumlrveacutenyszerűseacutegeket ismertuumlnk meg aacutem a valoacutesaacutegban a kuumlloumlnboumlző alheacutejak

energiaszintje nem felel meg a fenti sorrendnek Peacuteldaacuteul a 4s alheacutejon talaacutelhatoacute elektron energiaacuteja

meacutelyebben van mint a 3d alheacutejon talaacutelhatoacute elektronokeacute

Most laacutessuk hogyan koumlvetkeznek az egyes alheacutejak egymaacutes utaacuten energiaacutejuk szerinti sorrendben

1s rarr 2s rarr 2p rarr 3s rarr 3p rarr 4s rarr 3d rarr 4p rarr 5s rarr 4d rarr 5p rarr 6s rarr 4f rarr 5d rarr 6p

Tehaacutet mindig legelőszoumlr az 1s alheacutej toumlltődik be majd a 2s ezutaacuten a 2p Tovaacutebbi elektront a 3s

alheacutejra tudunk elhelyezni ezutaacuten a 3p alheacutej koumlvetkezik Eddig a sorrend megegyezik azzal mint amire

a fenti taacuteblaacutezat alapjaacuten szaacutemiacutetanaacutenk Aacutem a taacuteblaacutezat szerint koumlvetkező 3d alheacutej energiaacuteja magasabb

mint a 4s alheacutejeacute ezeacutert az elektron inkaacutebb arra keruumll Neheacutez pontos magyaraacutezatot adni arra hogy ez

mieacutert van ezeacutert egyszerűen csak fogadjuk el

Az alheacutejak fentebb bemutatott betoumlltődeacutesi sorrendje az alaacutebbi aacutebraacuten koumlnnyen nyomon koumlvethető

233 aacutebra Az alheacutejak betoumllteacutesi sorrendje

3px 3py 3pz3s


3 (M) heacutej

3d-alheacutej

3dxy 3pyz 3pxz 3px minusy 3pz 2 22

1s

2s

3s

4s

5s

2p

3p

4p

5p

3d

4d

5d

4f

6s 6p

1 (K)

2 (L)

3 (M)

4 (N)

5 (O)

6 (P)



Termeacuteszetesen a paacutelyaacutek betoumlltődeacutese addig tart amiacuteg rendelkezeacutesre aacutell elektron Mindig

figyelembe kell vennuumlnk hogy

ndash az s-alheacutejon 1 paacutelya

ndash a p-alheacutejon 3 paacutelya

ndash a d-alheacutejon 5 paacutelya

ndash az f-alheacutejon 7 paacutelya

talaacutelhatoacute eacutes hogy minden paacutelyaacuten maximaacutelisan keacutet elektron helyezkedhet el

Oumlsszefoglalva

ndash az s-alheacutejakra maximaacutelisan 2 elektront

ndash a p-alheacutejakra maximaacutelisan 6 elektront

ndash a d-alheacutejakra maximaacutelisan 10 elektront

ndash az f-alheacutejakra maximaacutelisan 14 elektront

helyezhetuumlnk

Ezeacutert szokaacutes a betoumlltődeacutesi energiasorrendet az alaacutebbi moacutedon is jeloumllni

1s2 rarr 2s

2 rarr 2p6 rarr 3s

2 rarr 3p6 rarr

rarr 4s2 rarr 3d

10 rarr 4p6 rarr 5s

2 rarr 4d10 rarr

rarr 5p6 rarr 6s

2 rarr 4f14

rarr 5d10 rarr 6p

6 hellip

Peacuteldaacuteul ha a fluoratom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutere vagyunk kiacutevaacutencsiak a fluor (9F)

rendszaacutemaacutenak megfelelő 9 elektront kell megfelelően elhelyezni Ehhez az 1s paacutelyaacutera helyezuumlnk 2

elektront majd a 2s paacutelyaacutera szinteacuten 2 elektront Ez oumlsszesen 4 elektron meacuteg tovaacutebbi 5 elektront kell

elhelyeznuumlnk Sorrendben a 2p paacutelya koumlvetkezik melyre legfeljebb 6 elektront tudunk elhelyezni iacutegy

a mind az 5 elektron a 2p paacutelyaacutera keruumll

Az elektronok szaacutemaacutet az alheacutejakon a jobb felső indexbe tett szaacutemmal jeloumlljuumlk

A fenti fluoratom elektronjainak alheacutejak koumlzoumltti megoszlaacutesaacutet a koumlvetkezőkeacuteppen iacuterhatjuk le

roumlviden

F 1s2 2s2 2p5

Azaz az 1s eacutes 2s alheacutejakra (paacutelyaacutekra) 2ndash2 elektron miacuteg a 2p paacutelyaacutera 5 elektron keruumll (2ndash2 egy-egy

p-paacutelyaacutera miacuteg a harmadikra csak 1)

Cellaacutes jeloumlleacutessel

Elektronkonfiguraacutecioacute az elektronok paacutelyaacutek szerinti elrendeződeacutese egy atomban

Most pedig vizsgaacuteljuk meg a nitrogeacutenatom alapaacutellapotuacute elektronszerkezeteacutet

A nitrogeacuten rendszaacutema 7 iacutegy 7 elektronja van Az előzőekhez hasonloacutean 2ndash2 elektront elhelyezuumlnk

az 1s eacutes 2s paacutelyaacutekon A maradeacutek 3 elektront a 2p paacutelyaacuten tudjuk elhelyezni

N 1s2 2s2 2p3

Itt viszont keacutet lehetőseacuteguumlnk van

A) a haacuterom p-paacutelyaacutera keruumll egyndashegyndashegy elektron

B) a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll egyre keacutet elektron keruumll miacuteg egy maacutesikra csak egy a harmadik p-paacutelya

pedig betoumlltetlen marad

1s 2s 2p



A cellaacutes jeloumlleacutessel a keacutet lehetőseacuteg

A)

B)

A fenti keacutet lehetőseacuteg koumlzuumll csak az egyik felel meg a valoacutesaacutegnak meacutegpedig az A) Tehaacutet egy

alheacutejon beluumll az elektronok lehetőseacuteg szerint paacuterosiacutetatlanul helyezkednek el [azaz a B) esetben csak

egy paacuterosiacutetatlan elektron van miacuteg az A) esetben haacuterom] Ezt Hund-szabaacutelynak nevezzuumlk

Hund-szabaacutely egy atom alheacutejaacuten az elektronok uacutegy helyezkednek el hogy koumlzuumlluumlk mineacutel toumlbb

legyen paacuterosiacutetatlan

Az alapaacutellapotuacute elektronszerkezet kialakulaacutesakor az alaacutebbi toumlrveacutenyszerűseacutegeknek kell

teljesuumllniuumlk

ndash Energiaminiumra toumlrekveacutes az elektron mindig a lehető legalacsonyabb energiaacutejuacute paacutelyaacutera

keruumll

ndash Egy paacutelyaacutera legfeljebb keacutet elektron keruumllhet

ndash Alheacutejak eseteacuten lehetőseacuteg szerint a legtoumlbb elektron legyen paacuterosiacutetatlan

21 peacutelda

Aacutellapiacutetsuk meg a germaacuteniumatom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet

Megoldaacutes

Vegyuumlk sorra hogy melyik alheacutejon haacuteny elektron lehet A jobb oldali oszlopban a betoumlltődeacutesi sorrend

szerint az oumlsszes elektron szaacutemaacutet is feltuumlntettuumlk melyet az adott alheacutej teliacutetődeacuteseacutevel lehetseacuteges eleacuterni

Alheacutejon Oumlsszesen

(betoumlltődeacutes szerint)

1s 2 2

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36

Mivel a germaacuteniumnak 32 elektronja van a 3d alheacutej betoumlltődeacuteseacutevel oumlsszesen 30 elektront tudunk

elhelyezni ezeacutert a 4p alheacutejra is keruumll elektron meacuteghozzaacute 2

Tehaacutet az alapaacutellapotuacute germaacuteniumatom elektronszerkezete

Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2

1s 2s 2p

1s 2s 2p



Ellenőrzeacuteskeacutepp eacuterdemes oumlsszeszaacutemolnunk a felső indexben szereplő szaacutemokat az oumlsszegnek meg

kell egyeznie a germaacuteniumatom elektronjainak szaacutemaacuteval

2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32

Mivel a p-alheacutejon 6 elektront lehet elhelyezni a haacuterom p-paacutelyaacuten a maradeacutek keacutet elektronnak a

Hund-szabaacutely eacutertelmeacuteben paacuterosiacutetatlanul kell elhelyezkednie Csak a 4s eacutes 4p-alheacutejat aacutebraacutezolva (az

alatta levő 1 (K) 2 (L) eacutes 3 (M) heacutej elektronokkal betoumlltoumltt)

Az atomot a keacutemiai reaktivitaacutes szempontjaacuteboacutel keacutet reacuteszre (bdquoreacutetegrerdquo) oszthatjuk a kuumllső

vegyeacuterteacutekelektronok vesznek reacuteszt a koumlteacutesek kialakiacutetaacutesaacuteban iacutegy a keacutemiai reakcioacutekban a belsőbb

elektronokra (eacutes az atommagra) viszont nincs hataacutesuk a keacutemiai vaacuteltozaacutesoknak

Vegyeacuterteacutekelektronok vegyeacuterteacutekelektronoknak nevezzuumlk az atom keacutemiai reakcioacutekban reacuteszt vevő

kuumllső elektronjait

Atomtoumlrzs az atommag eacutes azon elektronok melyek nem vegyeacuterteacutekelektronok

A fenti peacuteldaacuteban a germaacuteniumnak oumlsszesen neacutegy vegyeacuterteacutekelektronja van keacutet s eacutes keacutet p elektronja

van a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten Az első (K) a maacutesodik (L) eacutes a harmadik (M) heacutejat lezaacutertnak tekintjuumlk ezek

alkotjaacutek az atomtoumlrzset

A nemesgaacutezok elektronszerkezete igen stabilis keacutemiai reaktivitaacutesuk igen csekeacutely Ennek oka

hogy az s- eacutes p-alheacutejak a nemesgaacutezok eseteacuten vaacutelnak teliacutetetteacute (kiveacuteve a heacuteliumot ahol csak az 1s alheacutej

teliacutetődik) iacutegy a lezaacutert heacutejak kiemelkedő stabilitaacutest biztosiacutetanak A vegyeacuterteacutekelektronokat szoktaacutek uacutegy

emliacuteteni hogy a legfelső lezaacutert heacutejon kiacutevuumll elhelyezkedő elektronok a vegyeacuterteacutekheacutejat pedig mint a

legkuumllső lezaacuteratlan heacutejat Ez a megfogalmazaacutes bizonyos esetekben feacutelreeacuterteacutest okozhat

Peacuteldaacuteul a kalcium (rendszaacutema 20) alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacuteja

Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2

Mint laacutetjuk a 3 heacutej meacuteg nem teliacutetett mivel a 3d-alheacutej elektronjai a 4s alheacutej teliacutetődeacutese utaacuten

neacutepesuumllnek be aacutem csak a 4s alheacutej 2 elektronjaacutet tekintjuumlk vegyeacuterteacutekelektronnak

Az elektronkonfiguraacutecioacute jeloumlleacuteseacutet gyakran leroumlvidiacutetjuumlk a koumlvetkező moacutedon megkeressuumlk azt a

legnagyobb rendszaacutemuacute nemesgaacutezt (1He 10Ne 18Ar 36Kr 54Xe 86Rn) melynek rendszaacutema kisebb az

adott elem rendszaacutemaacutenaacutel eacutes csak az elem eacutes a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteget

tuumlntetjuumlk fel

Peacuteldaacuteul a germaacutenium (rendszaacutema 32) elektronkonfiguraacutecioacuteja eseteacuten a legnagyobb naacutela kisebb

rendszaacutemuacute nemesgaacutez a 18-as rendszaacutemuacute argon (Ar) melynek elektronkonfiguraacutecioacuteja

Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6

Iacutegy a germaacutenium elektronkonfiguraacutecioacuteja eacutes az argon elektronkonfiguraacutecioacuteja koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg

A germaacutenium roumlvidiacutetett elektronkonfiguraacutecioacuteja iacutegy

Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2

4s 4p

Ge 1s2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6 4s

2 3d

10 4p

2

Ar



Eacuterdemes az elektronok feltoumlltődeacuteseacutet az alaacutebbi taacuteblaacutezatos formaacuteban is oumlsszefoglalni

Alheacutejon Oumlsszesen Nemesgaacutez

1s 2 2 2He

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10 10Ne

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18 18Ar

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36 36Kr

5s 2 36 + 2 = 38

4d 10 38 + 10 = 48

5p 6 48 + 6 = 54 54Xe

6s 2 54 + 2 = 56

4f 14 56 + 14 = 70

5d 10 70 + 10 = 80

6p 6 80 + 6 = 86 86Rn

7s 2 86 + 2 =88

5f 14 88 + 14 = 102

6d 10 102 + 10 = 112

7p 6 112 + 6 = 118 118UUo

22 peacutelda

Iacuterjuk fel a 48-es rendszaacutemuacute kadmium elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet

Megoldaacutes

Tehaacutet 48 elektront kell elhelyeznuumlnk Iacutegy a teljes elektronkonfiguraacutecioacute

Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10

Most hataacuterozzuk meg az elektronkonfiguraacutecioacutet a roumlvidiacutetett leiacuteraacutessal A kriptonban 36 elektron

talaacutelhatoacute (a xenonnak toumlbb elektronja van mint a kadmiumnak) iacutegy a maradeacutek 48minus36 = 12 elektront

kell csak feltuumlntetnuumlnk ezek az 5s eacutes a 4d alheacutejakra keruumllnek

Cd [Kr] 5s2 4d10

Gyakorloacutefeladatok

Iacuterjuk fel az alaacutebbi elemek alapaacutellapotuacute konfiguraacutecioacutejaacutet

a) 38Sr

b) 13Al

c) 34Se

d) 53I

e) 25Mn

f) 36Kr

g) 67Ho

h) 83Bi

i) 95Am

j) 80Hg

Megoldaacutesok

a) [Kr] 5s2

b) [Ne] 3s2 3p1



c) [Ar] 4s2 3d10 4p4

d) [Kr] 4d10 5s2 5p5

e) [Ar] 4s2 3d5

f) [Ar] 3d10 4s2 4p6

g) [Xe] 4f11 6s2

h) [Xe] 4f14

5d10

6s2 6p

3

i) [Rn] 5f7 7s2

j) [Xe] 4f14 5d10 6s2

24 A kvantumszaacutemok

Az atompaacutelyaacutek illetve az elektronok betoumlltődeacuteseacutenek sorrendje szoros oumlsszefuumlggeacutesben aacutell a

Schroumldinger-egyenletekkel melyek a kvantumkeacutemia legfontosabb alapegyenletei koumlzeacute tartoznak

Mivel ezen egyenletek megeacuterteacutese felsőbb matematikai ismereteket koumlvetel itt nem ismerkeduumlnk meg

veluumlk (keacutesőbbi egyetemi tanulmaacutenyainkban viszont majd igen) azonban neacutehaacuteny fontosabb

koumlvetkezmeacutenyuumlket bemutatjuk A Schroumldinger-egyenletek megoldaacutesai kvantaacuteltak ami azt jelenti

hogy nem vehetnek fel baacutermilyen tetszőleges eacuterteacuteket hanem csak joacutel meghataacuterozott eacuterteacutekűek lehetnek

Egy szemleacuteletes peacutelda a molekulaacutek rezgőmozgaacutesa a molekula atomjait keacutepzeljuumlk el toumlmegpontoknak

melyeket a keacutemiai koumlteacutesek rugoacutekeacutent koumltnek oumlssze Egy nagyon egyszerű keacutetatomos molekula a

dihidrogeacuten (H2) A molekulaacutek ndash iacutegy a dihidrogeacuten is ndash folyamatos rezgőmozgaacutessal rendelkeznek aacutem

ennek frekvenciaacuteja nem vehet fel baacutermilyen eacuterteacuteket Ha energiaacutet koumlzluumlnk a molekulaacuteval noumlvelhetjuumlk a

rezgeacutes frekvenciaacutejaacutet aacutem nem tetszőleges meacuterteacutekben a rezgeacutes frekvenciaacuteja kvantaacutelt

Egy adott atomban az elektronok energiaszintjei is kvantaacuteltak nem vehetnek fel baacutermilyen

eacuterteacuteket az egyes energiaszintek energiaacuteja meghataacuterozott Az elektronok nem tartoacutezkodhatnak

energiaszintek koumlzoumltt csak adott energiaszinteken Ha az elektront az egyik energiaszintről egy

maacutesikra szeretneacutenk juttatni (gerjeszteni) meghataacuterozott energiaacutet kell koumlzoumllnuumlnk vele A Schroumldinger-

egyenlet alapjaacuten kiszaacutemiacutethatjuk az elektronszintek energiaacutejaacutet ez tartalmaz egy parameacutetert melynek

eacuterteacuteke 1 2 3 stb eacuterteacutekeket vehet fel Ezt a parameacutetert főkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Az elektron

maacutegneses tulajdonsaacutegokkal is rendelkezik melyek szinteacuten kvantaacuteltak Ezeket a tulajdonsaacutegokat a

melleacutekkvantumszaacutem eacutes a maacutegneses kvantumszaacutem hataacuterozza meg aacutem ezek eacuterteacuteke sem lehet

tetszőleges Az elektron rendelkezik egy spinnek nevezett mennyiseacuteggel mely fuumlggetlen a toumlbbi

kvantumszaacutemtoacutel A spin az elektron egy maacutegneses jellemzője az ehhez tartozoacute kvantumszaacutemot

spinkvantumszaacutemnak nevezzuumlk Mint majd laacutetni fogjuk a spinkvantumszaacutem keacutet ellenteacutetes előjelű aacutem

azonos abszoluacutet eacuterteacutekű szaacutem (minusfrac12 vagy +frac12) lehet

Tehaacutet az atom baacutermely elektronja neacutegy kvantumszaacutemmal jellemezhető

A főkvantumszaacutem (n) eacuterteacuteke 1 2 3 stb pozitiacutev egeacutesz szaacutem lehet eacutes megadja hogy az elektron

haacutenyadik heacutejon van Mineacutel nagyobb n eacuterteacuteke az elektron annaacutel nagyobb sugaruacute paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Tehaacutet

n = 1 eseteacuten tudjuk hogy az elektron az első heacutejon talaacutelhatoacute n = 2 eseteacuten pedig hogy a maacutesodik

elektronheacutejon Az elektron energiaacuteja is fuumlgg a főkvantumszaacutemtoacutel a legalacsonyabb energia n = 1-hez

tartozik

A melleacutekkvantumszaacutem (ℓ) eacuterteacuteke 0 1 hellip nminus1 lehetseacuteges tehaacutet az adott heacutejon (adott n eseteacuten)

n-feacutele kuumlloumlnboumlző melleacutekkvantumszaacutem lehetseacuteges A melleacutekkvantumszaacutem megadja hogy az elektron

az elektronheacutejon beluumll melyik alheacutejon (s p d f hellip) talaacutelhatoacute

Az első elektronheacutejon (n = 1) csak ℓ = 0 lehetseacuteges azaz csak s-alheacutejon lehet az elektron

A maacutesodik elektronheacutejon (n = 2) ℓ eacuterteacuteke lehet 0 vagy 1 Ha ℓ = 0 az elektron az s-alheacutejon van

ha pedig ℓ = 1 az elektron a p-alheacutejon talaacutelhatoacute

A harmadik heacutejon (n = 3) ℓ eacuterteacuteke haacuterom kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel 0 1 vagy 2 Az ℓ = 0 eacuterteacutek

mindig s-alheacutejat jeloumll ℓ = 1 eseteacuten az elektron p-alheacutejon talaacutelhatoacute ha pedig ℓ eacuterteacuteke 2 akkor az

elektronroacutel megaacutellapiacutethatoacute hogy a d-alheacutejon van

A maacutegneses kvantumszaacutem (m) eacuterteacuteke egeacutesz szaacutem lehet minusℓ-től +ℓ-ig terjedőleg (a 0-t is

beleeacutertve) iacutegy (2middotℓ + 1) kuumlloumlnboumlző eacuterteacuteket vehet fel A maacutegneses kvantumszaacutem adott alheacutej eseteacuten a



paacutelyaacutek iraacutenyaacutet adja meg tehaacutet egy adott alheacutej eseteacuten m eacuterteacuteke alapjaacuten meg tudjuk aacutellapiacutetani hogy az

elektron melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute

Peacuteldaacuteul ha ℓ = 0 csak egyetlen eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem m = 0 Az s-alheacutejon

beluumll egyetlen s-paacutelya talaacutelhatoacute ehhez tartozik az m = 0 maacutegneses kvantumszaacutem

Ha ℓ = 1 a p-alheacutejon talaacutelhatoacute az elektron Viszont haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute p-paacutelyaacutet ismeruumlnk

px- py- eacutes pz-paacutelyaacutekat A maacutegneses kvantumszaacutem ℓ = 1 eseteacuten m = minus1 m = 0 eacutes m = +1 lehet a haacuterom

eacuterteacutek haacuterom kuumlloumlnboumlző iraacutenyuacute (teacuterbeli elhelyezkedeacutesű) p-paacutelyaacutet jeloumll

A d-alheacutej azaz ℓ = 2 eseteacuten maacuter oumltfeacutele eacuterteacuteket vehet fel a maacutegneses kvantumszaacutem minus2 minus1 0 +1

eacutes +2 Az oumlt kuumlloumlnboumlző maacutegneses kvantumszaacutem az oumlt kuumlloumlnboumlző d-paacutelyaacutet jeloumlli a d-alheacutejon beluumll

Az f-alheacutej eseteacuten (ℓ = 3) heacutet kuumlloumlnboumlző eacuterteacutek koumlzuumll vehet fel egyet a maacutegneses kvantumszaacutem minus3

minus2 minus1 0 +1 +2 +3 iacutegy az f-alheacutejon beluumll heacutet paacutelya kuumlloumlnboumlztethető meg

A spinkvantumszaacutem (ms) eacuterteacuteke +frac12 vagy minusfrac12 lehet Egy adott paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron

keruumllhet ezek mindig ellenteacutetes spinkvantumszaacutemmal rendelkeznek Az elektronok cellaacutes jeloumlleacuteseacuteneacutel a

spint nyiacutellal jeloumlljuumlk a felfeleacute eacutes lefeleacute mutatoacute nyiacutel keacutet ellenteacutetes spinű elektront jeloumll

Tehaacutet ha ismerjuumlk egy elektron mind a neacutegy kvantumszaacutemaacutet akkor tudjuk hogy melyik heacutejon (n)

azon beluumll melyik alheacutejon (ℓ) van eacutes azt is ismerjuumlk hogy az alheacutejon beluumll melyik paacutelyaacuten talaacutelhatoacute

(m) Az adott paacutelyaacuten talaacutelhatoacute keacutet elektront a spinkvantumszaacutem (ms) kuumlloumlnboumlzteti meg

Egy adott atomban azon elektronok melyek csupaacuten spinkvantumszaacutemukban kuumlloumlnboumlznek egy

elektronpaacutert alkotnak

Tehaacutet egy atomban minden egyes elektron bdquobeazonosiacutethatoacuterdquo a neacutegy kvantumszaacutem segiacutetseacutegeacutevel

Egy nagyon fontos megaacutellapiacutetaacutes hogy egy paacutelyaacutera maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet Ez a Pauli-

elvvel van oumlsszefuumlggeacutesben

Pauli-elv egy atomban nem lehet keacutet (vagy toumlbb) olyan elektron melynek mind a neacutegy

kvantumszaacutema azonos

A kvantumszaacutemok egy oumlsszetett fizikai elmeacutelet igen bonyolult matematikai oumlsszefuumlggeacutesekkel

megkapott eredmeacutenyei melyek segiacutetseacutegeacutevel megmagyaraacutezhatoacute a heacutejakndashalheacutejakndashpaacutelyaacutek rendszere iacutegy

az atom elektronheacutejaacutenak szerkezete Mint hamarosan laacutetjuk az elemek perioacutedusos rendszereacutenek

feleacutepiacuteteacutese is szoros oumlsszhangban van a kvantumszaacutemok rendszereacutevel

25 Az elemek perioacutedusos rendszere

Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer

Maacuter reacutegen megfigyelteacutek hogy bizonyos elemek hasonloacute keacutemiai (eacutesvagy fizikai) tulajdonsaacutegokkal

rendelkeznek Mengyelejev a XIX szaacutezad veacutegeacuten az addig felfedezett elemeket egy taacuteblaacutezatba

gyűjtoumltte oumlssze Sőt a felfedezett toumlrveacutenyszerűseacutegeket felhasznaacutelva Mengyelejev szaacutemos addig meacuteg

ismeretlen elem tulajdonsaacutegait joacutesolta meg

A perioacutedusos rendszer az elemeknek a noumlvekvő rendszaacutem szerint feleacutepiacutetett taacuteblaacutezata

Eacuterdekes moacutedon ha az egymaacutest koumlvető rendszaacutemuacute (azaz elektronszaacutemuacute) elemeket sorba

rendezzuumlk ez az elektronok beeacutepuumlleacutesi sorrendje szerint toumlrteacutenik



251 aacutebra Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje a perioacutedusos rendszerben

A perioacutedusos rendszer feleacutepuumlleacutese joacutel megfigyelhető az alaacutebbi animaacutecioacuten

251 animaacutecioacute Az elektronok betoumlltődeacutesi sorrendje eacutes a perioacutedusos rendszer

Perioacutedusok

A perioacutedusos rendszerben a viacutezszintes sorokat perioacutedusoknak vagy soroknak nevezzuumlk Gyakran

kuumlloumlnbseacuteg van a sor eacutes a perioacutedus megjeloumlleacutes koumlzoumltt az első bdquosorrdquo-nak aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedust szokaacutes

tekinteni peacuteldaacuteul a szeacuten vagy a nitrogeacuten bdquoelső sorbelirdquo elem

Mezők

Az egymaacutes alatti sorok az adott elektronheacutej beeacutepuumlleacuteseacutet mutatjaacutek Az elemeket a fenti taacuteblaacutezatba

rendezve kuumlloumlnboumlző uacutegynevezett mezőket figyelhetuumlnk meg egy mezőn beluumll az azonos betoumlltődő

alheacutejjal rendelkező elemek talaacutelhatoacutek Iacutegy megkuumlloumlnboumlztetuumlnk s- p- d- eacutes f-mezőt

1 1s 1s

2 2s 2p

3 3s 3p

4 4s 3d 4p

5 5s 4d 5p

6 6s 5d 6p

7 7s 6d 7p

4f

5f



252 aacutebra A perioacutedusos rendszer mezői

Az s-mező eacuterdekes moacutedon keacutet helyen talaacutelhatoacute az egyik a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten a

maacutesik pedig csupaacuten egyetlen elemet tartalmaz a heacuteliumot A heacutelium egyreacuteszt azeacutert keruumllt a perioacutedusos

rendszer jobb oldalaacutera mivel tulajdonsaacutegaiban sokkal inkaacutebb hasonliacutet az ott talaacutelhatoacute elemekhez A

heacutelium bdquoaacutethelyezeacuteserdquo azonban nem oumlnkeacutenyes a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban toumlltődik be az

adott heacutej az 1 (K) heacutej pedig keacutet elektronnal teliacutethető azaz maacuter a heacuteliumnaacutel lezaacuterul a heacutej

Mint fentebb laacutethatjuk az f-mezőt aacuteltalaacuteban ki szoktaacutek venni az uacutegynevezett bdquohosszuacute perioacutedusos

rendszerbőlrdquo mivel egy hosszuacute keskeny taacuteblaacutezat kezeleacutese viszonylag koumlruumllmeacutenyes

A feltoumlltődeacutesi sorrendből adoacutedik hogy az első perioacutedusban csak s-mező talaacutelhatoacute a maacutesodik

perioacutedustoacutel kezdődik a p-mező feltoumlltődeacutese Mivel a 4s alheacutej hamarabb kezd feltoumlltődni mint a 3d a

3d heacutej a 4 perioacutedusban kezd csak feltoumlltődni Hasonloacute a helyzet az f-mezővel a 4f alheacutej csak a 6s

alheacutej betoumlltődeacutese utaacuten kezd el beneacutepesuumllni iacutegy a 6 perioacutedusban talaacutelhatoacute A tudomaacuteny pillanatnyi

aacutellaacutesa szerint nem sikeruumllt meacuteg előaacutelliacutetani olyan elemet mely a 8 perioacutedusban talaacutelhatoacute sőt a 7

perioacutedus nagyobb rendszaacutemuacute (uacutegynevezett keacutesői) elemei is rendkiacutevuumll instabilak aacuteltalaacuteban csupaacuten

nyomnyi mennyiseacutegben sikeruumll őket előaacutelliacutetani (gyakran ez csak neacutehaacutenyszor tiacutez atomot jelent) A

nagyfokuacute instabilitaacutes oka az atommagok radioaktivitaacutesa aacuteltalaacuteban magreakcioacutek segiacutetseacutegeacutevel lehet

ilyen nagy rendszaacutemuacute atommagokat előaacutelliacutetani melyek azonban toumlbbnyire nagyon gyorsan radioaktiacutev

bomlaacutest szenvednek Ebből koumlvetkezik hogy az ilyen rendkiacutevuumll nagy rendszaacutemuacute elemek fizikai eacutes

keacutemiai tulajdonsaacutegairoacutel nem sokat tudunk Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezhetjuumlk hogy a

perioacutedusos rendszer alsoacutebb perioacutedusaiban ndash a sok kuumllső elektronnak koumlszoumlnhetően ndash noumlvekszik a

feacutemes jelleg eacutes meacuteg a főcsoportokban is elmosoacutedik az egyes elemek keacutemiai tulajdonsaacutegai koumlzoumltt a

hataacuter

1 s

2

3

4

5

6

7

s -

m

e z

ő

d-mező

p-mező

f-mező



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

I

A

II

A

III

B

IV

B

V

B

VI

B

VII

B

VIII

B

VIII

B

VIII

B

I

B

II

B

III

A

IV

A

V

A

VI

A

VII

A

VIII

A

1 H He

2 Li Be B C N O F Ne

3 Na Mg Al Si P S Cl Ar

4 K Ca Sc Ti V Cr Mn Fe Co Ni Cu Zn Ga Ge As Se Br Kr

5 Rb Sr Y Zr Nb Mo Tc Ru Rh Pd Ag Cd In Sn Sb Te I Xe

6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Ta Pb Bi Po At Rn

7 Fr Ra Rf Db Sg Bh Hs Mt Ds Rg Cn 113 114 115 116 117 118

La Ce Pr Nd Pm Sm Eu Gd Tb Dy Ho Er Tm Yb Lu

Ac Th Pa U Np Pu Am Cm Bk Cf Es Fm Md No Lr

253 aacutebra A perioacutedusos rendszer

Oszlopok

A hasonloacute elektronszerkezetű elemek fuumlggőleges elrendeződeacutesben helyezkednek le egymaacutes alatti

helyet foglalnak el a perioacutedusos rendszerben ezek egy oszlopot alkotnak

Az s-mező eacutes a p-mező oszlopait oumlsszefoglaloacutean főcsoportoknak miacuteg a d-mező oszlopait

melleacutekcsoportoknak szokaacutes nevezni A keacutesőbbiekben megismerkeduumlnk az egyes oszlopok

elnevezeacuteseivel is

Az oszlopok szaacutemozaacutesaacutet keacutetfeacutelekeacuteppen szokaacutes veacutegezni

ndash a reacutegiesebb szaacutemozaacutes szerint kuumlloumln taacutergyaljuk a főcsoportokat illetve a melleacutekcsoportokat aacutem

mindkettőt roacutemai szaacutemokkal jeloumlljuumlk Ilyenkor a főcsoportok eseteacuten a megfelelő roacutemai szaacutem

melleacute A betűt iacuterunk miacuteg a melleacutekcsoportokat B betűvel jeloumlljuumlk A fő- eacutes melleacutekcsoportok

szaacutemozaacutesa I-től VIII-ig terjed a VIIIB melleacutekcsoport 3 oszlopot foglal magaacuteban (vascsoport

elemei) A perioacutedusos rendszer hagyomaacutenyos elrendeződeacutese eseteacuten (laacutesd fent) az IA utaacuten a

IIA főcsoport koumlvetkezik a IIA főcsoport utaacuten a IIIB melleacutekcsoport joumln ezutaacuten sorrendben

koumlvetkeznek a melleacutekcsoportok egeacuteszen VIIIB-ig A vascsoport (VIIIB csoport) utaacuten az IB

eacutes IIB csoportok joumlnnek majd a IIIA főcsoporttal folytatjuk a szaacutemozaacutest Ezutaacuten a

főcsoportok szaacutemozaacutesa folyamatos VIIIA-ig Ez a szaacutemozaacutesi rendszer manapsaacuteg elavultnak

tekinthető

ndash a napjainkban elfogadott szaacutemozaacutes szerint nincs kuumlloumlnbseacuteg a főcsoportok eacutes a

melleacutekcsoportok koumlzoumltt a szaacutemozaacutes folyamatos A keacutet s-mezőbeli főcsoport (1 eacutes 2) utaacuten

koumlvetkezik a d-mező tiacutez melleacutekcsoportja szaacutemozaacutesuk 3 hellip 12 A p-mező első oszlopaacutet 13

oszlopnak nevezzuumlk A p-mező oszlopainak a szaacutema a reacutegi szaacutemozaacutes szerinti szaacutem 10-zel

megnoumlvelt eacuterteacuteke (peacuteldaacuteul VIA főcsoport equiv 16 oszlop VIIIA főcsoport equiv 18 oszlop)



Az egyes főcsoportok tradicionaacutelis elnevezeacutese

ndash 1 oszlop alkaacutelifeacutemek

ndash 2 oszlop alkaacutelifoumlldfeacutemek

ndash 13 oszlop boacutercsoport (szokaacutes foumlldfeacutemeknek is nevezni)

ndash 14 oszlop szeacutencsoport

ndash 15 oszlop nitrogeacutencsoport (szokaacutes pniktogeacuteneknek is nevezni)

ndash 16 oszlop oxigeacutencsoport (szokaacutes kalkogeacutennek nevezni)

ndash 17 oszlop halogeacutencsoport

ndash 18 oszlop nemesgaacutezok

A melleacutekcsoportok szokaacutesos elnevezeacutese

ndash 3 oszlop szkandiumcsoport

ndash 4 oszlop titaacutencsoport

ndash 5 oszlop vanaacutediumcsoport

ndash 6 oszlop kroacutemcsoport

ndash 7 oszlop mangaacutencsoport

ndash 8 9 10 csoportok vascsoport

ndash 11 oszlop reacutezcsoport

ndash 12 oszlop cinkcsoport

A feacutemekndashfeacutelfeacutemekndashnemfeacutemes elemek felosztaacutesa

A boacutert (B) eacutes az asztaacuteciumot (At) vagy poloacuteniumot (Po) oumlsszekoumltő vonal koumlrnyeacutekeacuten talaacutelhatoacuteak a

feacutelfeacutemek ettől balra feacutemeket jobbra pedig nemfeacutemes elemeket talaacutelunk

Feacutelfeacutemek a boacutert (B) az asztaacuteciummal (At) vagy poloacuteniummal (Po) oumlsszekoumltő vonal menteacuten

talaacutelhatoacute elemek

A feacutelfeacutemek koumlzeacute tartoznak a koumlvetkező elemek boacuter (B) sziliacutecium (Si) germaacutenium (Ge) arzeacuten

(As) antimon (Sb) telluacuter (Te) poloacutenium (Po) eacutes asztaacutecium (At)

Maacutesodfajuacute feacutemek Az s-mező feacutemeit (a BndashAt vagy BndashPo vonaltoacutel balra eső elemek) maacutesodfajuacute

feacutemeknek nevezzuumlk

A maacutesodfajuacute feacutemek koumlzeacute tartoznak a koumlvetkező elemek alumiacutenium (Al) gallium (Ga) indium

(In) tallium (Tl) oacuten (Sn) oacutelom (Pb) eacutes bizmut (Bi)

Előfordul hogy a maacutesodfajuacute feacutemek koumlzeacute soroljaacutek a reacutez- eacutes cinkcsoport elemeit a berilliumot eacutes a

magneacuteziumot is

Aacutetmeneti feacutemek a d-mező feacutemei

Nemesfeacutemek az 5 eacutes 6 perioacutedus 8 9 10 vagy 11 oszlopaacuteban talaacutelhatoacute feacutemek

Nemesfeacutemnek tekintjuumlk a koumlvetkező aacutetmeneti feacutemeket ruteacutenium (Ru) roacutedium (Rh) pallaacutedium

(Pd) ezuumlst (Ag) ozmium (Os) iridium (Ir) platina (Pt) eacutes az arany (Au)

Lantanidaacutek eacutes aktinidaacutek

Az f-mező 6 perioacutedusaacuteba tartozoacute feacutemeit lantanidaacuteknak (a 7 perioacutedusaacuteba tartozoacutekat pedig

aktinidaacuteknak szoktuk nevezni)

Ritka foumlldfeacutemek

A lantanidaacutekat a szkandiummal (Sc) eacutes az ittriummal (Y) egyuumltt ritkafeacutemeknek nevezzuumlk



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He





6 Cs Ba Hf Ta W Re Os Ir Pt Au Hg Tl Pb Bi Po At Rn




Nemfeacutemek Alkaacutelfeacutemek

Feacutelfeacutemek Alkaacutelifoumlldfeacutemek

Maacutesodfajuacute feacutemek Lantanidaacutek

Aacutetmeneti feacutemek Aktinidaacutek

Nemesfeacutemek

254 aacutebra A perioacutedusos rendszer felosztaacutesa az atomok feacutemes jellege szerint

26 Tulajdonsaacutegok vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

A perioacutedusos rendszerben bizonyos tulajdonsaacutegok folytonosan maacutes tulajdonsaacutegok pedig perioacutedusosan

vaacuteltoznak

261 Toumlmegszaacutem neutronszaacutem eacutes relatiacutev atomtoumlmeg vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

A proacutecium ( H11 ) kiveacuteteleacutevel minden izotoacutep tartalmaz neutronokat mivel maacuter keacutet proton melleacute is

szuumlkseacuteges neutron hogy az atommag stabil legyen

A kis rendszaacutemuacute elemek legstabilabb izotoacutepjai eseteacuten (perioacutedusos rendszer eleje) a protonok eacutes a

neutronok szaacutema gyakran megegyezik (azaz a neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya egy koumlruumlli ndash

N Z asymp 1) tehaacutet a toumlmegszaacutem gyakran a rendszaacutem keacutetszerese A kalcium 40-es toumlmegszaacutemuacute izotoacutepja (

Ca4020 ) a legnagyobb rendszaacutemuacute izotoacutep melyben a protonok eacutes neutronok szaacutema megegyezik

Nagyobb rendszaacutemuacute elemek izotoacutepjai eseteacuten a neutronok szaacutema meghaladja a protonokeacutet tehaacutet a

toumlmegszaacutem nagyobb mint a rendszaacutem keacutetszerese Ennek oka hogy egyre toumlbb neutronra van szuumlkseacuteg

a pozitiacutev toumllteacutesű protonok elektrosztatikus tasziacutetaacutesaacutenak leaacuternyeacutekolaacutesaacutera A perioacutedusos rendszer utolsoacute

perioacutedusaacuteban a neutronok eacutes protonok szaacutemaacutenak araacutenya (N Z) rendszerint nagyobb mint 15



Az alaacutebbi aacutebraacuten a leacutetező oumlsszes stabil izotoacutep neutronszaacutem protonszaacutem araacutenya (N Z) van

feltuumlntetve a rendszaacutem (Z protonszaacutem) fuumlggveacutenyeacuteben A piros vonal az N Z = 1 esetet jeleniacuteti meg

2611 aacutebra A neutronszaacutem eacutes protonszaacutem araacutenya a toumlmegszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben

A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel noumlvekszik ez aloacutel neacutehaacuteny elempaacuter a kiveacutetel

csupaacuten (peacuteldaacuteul argonndashkaacutelium 18Ar 3995 19K 3910 kobaltndashnikkel 27Co 5893 28Ni 5869 telluacuterndash

joacuted 52Te 12760 53I 12690)

Az alaacutebbi aacutebraacuten az elemek relatiacutev atomtoumlmegeacutet (Ar) aacutebraacutezoltuk a rendszaacutem (Z) fuumlggveacutenyeacuteben

(keacutek koumlroumlk) A fekete egyenes az Ar = Z a zoumlld egyenes az Ar = 2 middot Z a piros egyenes pedig az

Ar = 3 middot Z fuumlggveacutenyeket jelenti

2612 aacutebra A relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem fuumlggveacutenyeacuteben



Mint laacutethatoacute a relatiacutev atomtoumlmeg a rendszaacutem noumlvekedeacuteseacutevel egyre meredekebben noumlvekszik Miacuteg

a kis rendszaacutemok eseteacuten Ar asymp 2 middot Z (a neutronok szaacutema nagyjaacuteboacutel megegyezik a protonok szaacutemaacuteval ndash a

rendszaacutemmal) addig a nagy rendszaacutemok eseteacuten az Ar Z araacuteny 2-neacutel joacuteval nagyobb

262 Az atomok meacutereteacutenek vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

Az atomokat goumlmbszerűnek felteacutetelezzuumlk iacutegy az atomok meacutereteacutet az atomsugaacuterral (idegen szoacuteval

atomraacutediusszal) szoktuk jellemezni (Csak megemliacutetjuumlk hogy az atomsugaacuter fuumlgg az atom aacutellapotaacutetoacutel

azaz attoacutel is hogy milyen koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacuteban vesz reacutesz Ezaacuteltal toumlbbfeacutele moacutedon definiaacutelhatjuk az

atomsugarat aacutem ennek reacuteszleteivel itt nem foglalkozunk) Az atomsugaacuter (eacutes iacutegy az atomteacuterfogat)

vaacuteltozaacutesa szaacutemos maacutes tulajdonsaacuteg vaacuteltozaacutesaacutera hataacutessal van (peacuteldaacuteul sűrűseacuteg halmazaacutellapot)

Az atomsugaacuter periodikusan vaacuteltozik a perioacutedusos rendszeren beluumll

Egy adott perioacuteduson beluumll az atomsugaacuter balroacutel jobbra csoumlkken Ennek a magyaraacutezata a

koumlvetkező egy perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra haladva noumlvekszik az atommag toumllteacutese mivel egyre

toumlbb proton talaacutelhatoacute benne Az atommag toumllteacuteseacutet az elektronok leaacuternyeacutekoljaacutek A lezaacutert belső heacutejak

elektronjainak negatiacutev toumllteacutese egy perioacuteduson beluumll gyakorlatilag azonosnak tekinthető Balroacutel jobbra

haladva egy perioacutedusban az elektronok ugyanarra a kuumllső heacutejra leacutepnek be ezek aacuternyeacutekoloacute hataacutesa

sokkal kisebb mint az alatta levő heacutejak elektronjaieacute iacutegy az atommag (balroacutel jobbra noumlvekedő) toumllteacutese

egyre erősebben vonzza a vegyeacuterteacutekelektronokat ennek koumlvetkezteacuteben az atomsugaacuter csoumlkken

Az atomsugaacuter egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik Magyaraacutezat a paacutelyaacutek meacuterete

1s lt 2s lt 3s lt hellip iraacutenyban noumlvekszik

2621 aacutebra Az atomsugaacuter vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

Itt eacuterdemes megemliacuteteni a sűrűseacuteg vaacuteltozaacutesaacutet is A sűrűseacuteg termeacuteszetesen nemcsak az

atomteacuterfogattoacutel (atomsugaacutertoacutel) fuumlgg hanem a halmazaacutellapottoacutel az atomok elrendeződeacuteseacutetől a

kristaacutelyszerkezettől is iacutegy igen neheacutez aacuteltalaacutenosan tendenciaacutekat talaacutelni Viszont azt mindenkeacuteppen

eacuterdemes megjegyezni hogy a sűrűseacuteg egy oszlopon beluumll feluumllről lefeleacute noumlvekszik

1

2

3

4

5

6

7

ATOMSUGAacuteR



263 Az elemek halmazaacutellapota

A halmazaacutellapot a reacuteszecskeacuteket oumlsszetartoacute koumllcsoumlnhataacutesoktoacutel fuumlgg A kuumlloumlnfeacutele koumllcsoumlnhataacutesok eacutes a

halmazaacutellapot oumlsszefuumlggeacuteseit majd a keacutesőbbiekben reacuteszletesen taacutergyaljuk itt ndash a teljesseacuteg kedveacuteeacutert ndash

azonban megmutatjuk a perioacutedusos rendszer mely reacuteszeacuteben milyen halmazaacutellapot jellemző

Normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson (101325 kPa) eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten az elemek tuacutelnyomoacute toumlbbseacutege

szilaacuterd azonban talaacutelhatunk koumlzoumlttuumlk szeacutep szaacutemban gaacutezokat is A legritkaacutebb halmazaacutellapot a folyadeacutek

csupaacuten keacutet elem folyeacutekony 25 degC-on a broacutem (Br) eacutes a higany (Hg) Tovaacutebbi keacutet elemnek igen

alacsony az olvadaacutespontja a galliumeacute (Ga 30 degC) eacutes a ceacuteziumeacute (Cs 28 degC) is szobahőmeacuterseacuteklet

koumlzeleacuteben van enyhe melegiacuteteacutes hataacutesaacutera megolvadnak

Tizenegy elem gaacutez halmazaacutellapotuacute normaacutel leacutegkoumlri nyomaacuteson eacutes 25 degC hőmeacuterseacutekleten ide

tartoznak a nemesgaacutezok (heacutelium neon argon kripton xenon radon) a halogeacutenek egy reacutesze (fluor

kloacuter) az oxigeacuten a nitrogeacuten eacutes a hidrogeacuten

Az alaacutebbi perioacutedusos rendszerben a kuumlloumlnboumlző halmazaacutellapotuacute elemeket mutatjuk be

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He









Gaacutezhalmazaacutellapotuacute

Folyeacutekony halmazaacutellapotuacute

Szilaacuterd halmazaacutellapotuacute

Nem ismert

2631 aacutebra Az elemek halmazaacutellapota

264 Vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema a vegyeacuterteacutek eacutes a vegyeacuterteacutekheacutej elektronkonfiguraacutecioacuteja

Egy adott oszlopon beluumll a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema eacutes a vegyeacuterteacutekheacutej elektronkonfiguraacutecioacuteja

azonos Tulajdonkeacuteppen ez a magyaraacutezata annak hogy az egy oszlopon beluumlli elemek keacutemiai

tulajdonsaacutega aacuteltalaacuteban hasonloacute

A vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema az első 12 oszlopban megegyezik az oszlop szaacutemaacuteval A p-

mezőben pedig a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacutet megkapjuk ha az oszlop szaacutemaacuteboacutel levonunk 10-et a



lezaacutert d-alheacutejat (a tiacutez elektronjaacuteval) maacuter nem szokaacutes a p-mező vegyeacuterteacutekelektronjaihoz szaacutemiacutetani (itt az

n-dik heacutej teliacutetődik viszont az (nminus1)-dik heacutej maacuter lezaacuterult a 12 oszlopban) Egyetlen kiveacutetel a heacutelium

(18 oszlop) melynek csupaacuten 2 vegyeacuterteacutekelektronja van

(A reacutegi szaacutemozaacutesi moacuted szerint a főcsoportokban az oszlop szaacutema megegyezik a

vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Ez a melleacutekcsoportok eseteacuten is igaz viszont a VIIIB keacutet oszlopaacutera

nem igaz ndash kobalt nikkel eacutes az alattuk talaacutelhatoacute elemek)

Vegyeacuterteacutek az atom aacuteltal leacutetesiacutethető keacutemiai koumlteacutesek szaacutema A kuumlloumlnboumlző elemek gyakran toumlbbfeacutele

vegyeacuterteacutekkel keacutepezhetnek vegyuumlleteket

Peacuteldaacuteul a joacuted eseteacuten ismeruumlnk olyan vegyuumlleteket melyben a joacutedatom 1 3 5 eacutes 7

vegyeacuterteacutekelektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest

1 IF 3 IF3 5 IF5 7 IF7

A maximaacutelis vegyeacuterteacutek megmutatja hogy haacuteny egy vegyeacuterteacutekű atommal (peacuteldaacuteul a hidrogeacutennel)

keacutepes az adott elem egy atomja keacutemiai koumlteacutes leacutetesiacuteteacuteseacutere Bizonyos esetekben az atom oumlsszes

vegyeacuterteacutekelektronjaacuteval lehetseacuteges keacutemiai koumlteacutest leacutetrehozni aacutem maacutes esetekben a

vegyeacuterteacutekelektronoknak csak egy reacutesze vihető keacutemiai koumlteacutesbe Ez alapvetően attoacutel fuumlgg hogy az adott

atom mennyire bdquoragaszkodikrdquo az elektronjaihoz mennyire koumlnnyű eltaacutevoliacutetani az elektronjait koumlteacutes

kialakiacutetaacutesa ceacuteljaacuteboacutel A keacutemiai koumlteacutesekkel a keacutesőbbiekben reacuteszletesen foglalkozunk

A maximaacutelis vegyeacuterteacutek egy oszlopon beluumll vaacuteltozhat A felsőbb perioacutedusokban az elemek

rendszerint kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal keacutepesek koumlteacutest leacutetesiacuteteni mint az alsoacutebb perioacutedusokban


Peacuteldaacuteul a fluor maximaacutelis vegyeacuterteacuteke 1 a kloacutereacute eacutes broacutemeacute 5 miacuteg a joacutedeacute 7

Az egyes elemek ndash kiacuteseacuterleti uacuteton tapasztalt ndash maximaacutelis vegyeacuterteacuteke a perioacutedusos rendszerben

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 0

2 1 2 3 4 3 2 1 0

3 1 2 3 4 5 6 5 0

4 1 2 3 4 5 6 4 3 4 2 2 2 3 4 5 6 5 2

5 1 2 3 4 5 6 6 6 6 4 3 2 3 4 5 6 7 6

6 1 2 4 5 6 7 6 6 6 5 2 3 4 5 6 7 6

7 1 2

3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4

2641 aacutebra Az elemek maximaacutelis vegyeacuterteacuteke a perioacutedusos rendszerben

Az egyes oszlopokban megfigyelhető alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutek szoros oumlsszhangban

vannak az elektronheacutejak betoumlltődeacutesi sorrendjeacutevel



Oszlop Vegyeacuterteacutekelektronok

szaacutema

Alapaacutellapotuacute

elektronkonfiguraacutecioacute

Maximaacutelis vegyeacuterteacutek

az oszlopban

1 (IA) oszlop 1 ns1 1

2 (IIA) oszlop 2 ns2 2

3 (IIIB) oszlop 3 ns2 (nminus1)d1 3

4 (IVB) oszlop 4 ns2 (nminus1)d2 4

5 (VB) oszlop 5 ns2 (nminus1)d3 5

6 (VIB) oszlop 6 ns1 (nminus1)d5

[ns2 (nminus1)d4] 6

7 (VIIB) oszlop 7 ns2 (nminus1)d5 7

8 (VIIIB) oszlop 8 ns2 (nminus1)d6 2



11 (IB) oszlop 11 ns1 (nminus1)d10

[ns2 (nminus1)d9] 2ndash3

12 (IIB) oszlop 12 ns2 (nminus1)d10 2

13 (IIIA) oszlop 3 ns2 np

1 3

14 (IVA) oszlop 4 ns2 np2 4

15 (VA) oszlop 5 ns2 np3 5

16 (VIA) oszlop 6 ns2 np4 6

17 (VIIA) oszlop 7 ns2 np5 7

18 (VIIIA) oszlop 8 ns2 np6 (6)

Megjegyzeacutes mivel az ns eacutes (nminus1)d alheacutejak paacutelyaacuteinak energiaacuteja igen koumlzel van egymaacuteshoz

előfordul hogy csak egy elektron keruumll az ns alheacutejra eacutes a toumlbbi pedig az (nminus1)d alheacutejra keruumll A d-

mező feacutemeinek pontos elektronkonfiguraacutecioacuteja aacuteltalaacuteban nem olyan szabaacutelyos mint az s- vagy p-mezők

eseteacuten

265 Az ionok keacutepződeacuteseacutet kiacuteseacuterő energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

Ionok keacutepződeacutese atomokboacutel

Egy atom elektromosan semleges mivel benne a protonok eacutes elektronok szaacutema megegyezik

Ezzel ellenteacutetben az ionok toumllteacutessel rendelkező reacuteszecskeacutek

Ion egy semleges atomboacutel vagy atomcsoportboacutel elektronok elveacuteteleacutevel vagy hozzaacuteadaacutesaacuteval

keletkező reacuteszecske (tulajdonkeacuteppen toumllteacutessel rendelkező reacuteszecske mely egy vagy toumlbb atommagot

tartalmaz)



Oxidaacutecioacute elektron leadaacutesa

Redukcioacute elektron felveacutetele

Az ion toumllteacuteseacutet a protonok eacutes az elektronok szaacutemaacutenak kuumlloumlnbseacutege adja meg Az ion toumllteacuteseacutet

(elektron meacuterteacutekegyseacutegben) előjeleacutevel egyuumltt jobb felső indexben iacuterjuk az ion jele (keacuteplete) moumlgeacute A

toumllteacutesszaacutem megelőzi az előjelet Fe2+

vagy NO3minus

Kation pozitiacutev toumllteacutesű ion (toumlbb a protonok szaacutema mint az elektronokeacute) az atomboacutel oxidaacutecioacuteval

keletkezik

Anion negatiacutev toumllteacutesű ion (toumlbb az elektronok szaacutema mint a protonokeacute) az atomboacutel redukcioacuteval

keletkezik

Egy iont egyszerű ionnak nevezzuumlk ha benne csak egy atommag talaacutelhatoacute (egyetlen atomboacutel

keletkezik elektron elveacuteteleacutevel vagy hozzaacuteadaacutesaacuteval peacuteldaacuteul Na+ vagy Iminus) illetve oumlsszetett ionnak ha

benne toumlbb atommag talaacutelhatoacute (atomcsoportboacutel molekulaacuteboacutel keletkezik az ion elektron elveacuteteleacutevel

vagy hozzaacuteadaacutesaacuteval peacuteldaacuteul NH4+ vagy SO4

2minus)

A legegyszerűbb kation a hidrogeacutenion (H+) mely megegyezik magaacuteval a protonnal (a

hidrogeacutenatomnak egy protonja eacutes egy elektronja van az egyetlen elektront eltaacutevoliacutetva egy

hidrogeacutenkationt kapunk H+)

Neacutehaacuteny peacutelda kationra Na+ Ca2+ Cr3+ Sn4+ As5+ U6+ NH4+

Neacutehaacuteny peacutelda anionra Clminus O2minus P3minus NO3minus S2O3

2minus

Aacuteltalaacutenossaacutegban megfogalmazhatoacute hogy a perioacutedusos rendszer bal oldalaacuten talaacutelhatoacute feacutemek

eseteacuten (elsősorban az 1 2 13 főcsoportok eacutes a melleacutekcsoportok) kedvezőbb a kationnaacute alakulaacutes

miacuteg a perioacutedusos rendszer jobb oldalaacuten talaacutelhatoacute nemfeacutemekből (utolsoacute neacutehaacuteny oszlop elsősorban 16

eacutes 17 oszlop) inkaacutebb anionok keacutepződnek

Ennek magyaraacutezata a koumlvetkező Maacuter koraacutebban megismertuumlk hogy a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema

a perioacutedusos rendszer főcsoportjaiban balroacutel jobbra noumlvekszik A keveacutes vegyeacuterteacutekelektronnal

rendelkező feacutemek viszonylag koumlnnyen le tudjaacutek adni elektronjaikat iacutegy igen stabilis nemesgaacutez

elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionokkaacute alakulnak miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező nemfeacutemek

eseteacuten a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute elektronfelveacutetellel koumlnnyebben kialakul Ellenkező esetben a

nemesgaacutez elektronszerkezet eleacutereacuteseacutehez a kevesebb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező feacutemeknek

viszonylag sok elektront kellene felvenniuumlk miacuteg a toumlbb vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező

nemfeacutemeknek igen sok elektront kellene leadniuk mely energetikailag igen kedvezőtlen

Iacutegy peacuteldaacuteul a kaacuteliumatomboacutel egy vegyeacuterteacutekelektronjaacutenak eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval egyszeresen pozitiacutev

toumllteacutesű kaacuteliumion miacuteg a heacutet vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező fluoratom egy elektront felveacuteve

fluoridanionnaacute tud alakulni Mind a kaacuteliumionnak mind a fluoridionnak nemesgaacutez

elektronkonfiguraacutecioacuteja van

A nemfeacutemek aacuteltal maximaacutelisan felvehető elektronok szaacutemaacutet nagyon egyszerűen meg tudjuk

aacutellapiacutetani a nemesgaacutezoknak ndash a heacutelium kiveacuteteleacutevel ndash mindig keacutet s eacutes hat p elektronja van azaz a

vegyeacuterteacutekheacutejukon 8 elektronjuk van Legyen a nemfeacutemnek n vegyeacuterteacutekelektronja ekkor pontosan

8 minus n elektron szuumlkseacuteges ahhoz hogy 8 elektronja legyen a vegyeacuterteacutekheacutejaacuten

Mint az előzőekben maacuter taacutergyaltuk a perioacutedusos rendszer oszlopaacutenak sorszaacutema eacutes az adott elem

vegyeacuterteacutekelektronjainak szaacutema koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes van Az oszlopok aktuaacutelis szaacutemozaacutesa szerint

tehaacutet az m-edik oszlopban talaacutelhatoacute nemfeacutem 18 minus m elektront tud felvenni Peacuteldaacuteul a 15 oszlopban

talaacutelhatoacute foszforatom 18 minus 15 = 3 elektront tud maximaacutelisan felvenni a 16 csoportban talaacutelhatoacute

keacutenatom pedig maximaacutelisan 18 minus 16 = 2 elektron felveacuteteleacutevel keacutepes anionnaacute alakulni

A főcsoportokban a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema megegyezik a

vegyeacuterteacutekelektronok szaacutemaacuteval Peacuteldaacuteul egy alumiacuteniumatomroacutel (mely haacuterom vegyeacuterteacutekelektronnal

rendelkezik) haacuterom elektront tudunk eltaacutevoliacutetani miacuteg egy kloacuteratomroacutel (heacutet vegyeacuterteacutekelektronja van)

maximaacutelisan heacutet elektront tudunk eltaacutevoliacutetani elmeacuteletileg

A keacutesőbbiekben taacutergyalaacutesra keruumllő oxidaacutecioacutefok eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute illetve felvehető

elektronok szaacutema koumlzoumltt nagyon szoros kapcsolat aacutell fenn Tehaacutet azon megaacutellapiacutetaacutesok melyeket a



maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute illetve felvehető elektronok szaacutemaacuteval kapcsolatban teszuumlnk igazak lesznek

a maximaacutelis illetve minimaacutelis oxidaacutecioacutefokokra is

23 peacutelda

Aacutellapiacutetsuk meg milyen kationok illetve anionok keacutepződeacuteseacutere szaacutemiacutethatunk az alaacutebbi elemekből

a) kalcium

b) gallium

c) oxigeacuten

d) antimon

e) hidrogeacuten

Megoldaacutes

a) A kalcium a 2 csoportban talaacutelhatoacute 2 vegyeacuterteacutekelektronja van Ezeacutert minden bizonnyal

keacutetszeresen pozitiacutev ion keletkezhet belőle Anion keacutepződeacuteseacutere nem szaacutemiacutethatunk mivel igen

keveacutes vegyeacuterteacutekelektronja van

Ca rarr Ca2+ + 2eminus

b) A gallium a 13 csoportban talaacutelhatoacute eacutes mivel a 3d alheacuteja maacuter lezaacuterult 3 vegyeacuterteacutekelektronja

van (4s2 4p1) iacutegy vaacuterhatoacutean mindhaacuterom elektronjaacutet leadva kationnaacute alakul Itt sem szaacutemiacutetunk

anion keacutepződeacuteseacutere mivel ahhoz 5 elektront kellene felvennie

Ga rarr Ga3+ + 3eminus

c) Az oxigeacuten a 16 csoportban van tehaacutet 6 vegyeacuterteacutekelektronja van (2s2 2p4) Az oxigeacuten igen

erősen vonzza elektronjait ezeacutert 6 elektront nem tudunk eltaacutevoliacutetani roacutela viszont 2 elektron

felveacuteteleacutevel nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet keacutepes eleacuterni

O + 2eminusrarr O2minus

d) Az arzeacuten (As) a 15 csoportban talaacutelhatoacute vegyeacuterteacutekelektron-konfiguraacutecioacuteja 4s2 4p3 Az arzeacuten

uacutegy tud nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ionnaacute alakulni ha lead 5 elektront vagy pedig ha

felvesz 3 elektront

As rarr As5+ + 5eminus

As + 3eminusrarr As3minus

e) A hidrogeacuten egy kicsit kuumlloumlnoumls eset mivel a hozzaacute legkoumlzelebbi nemesgaacutez a heacutelium melynek 2

(vegyeacuterteacutek)elektronja van Iacutegy a hidrogeacutenatom egy elektron eladaacutesaacuteval hidrogeacutenkationnaacute

(tulajdonkeacuteppen protonnaacute 1H+ equiv p+) miacuteg egy elektron felveacuteteleacutevel anionnaacute keacutepes alakulni A

hidrogeacutenből keacutepződő aniont hidridionnak nevezzuumlk (az 1Hminus eseteacuten egy proton keacutet elektronnal)

H rarr H+ + eminus

H + eminusrarr Hminus

Eacuterdemes megjegyezni hogy az atomboacutel elektronfelveacutetellel keacutepződő ion elnevezeacuteseacutenek veacutegeacuten

mindig -id veacutegződeacutes talaacutelhatoacute

Peacuteldaacuteul

O2minus oxid

As3minus arzenid

Hminus hidrid



A melleacutekcsoportok eseteacuten nem jellemző hogy az elemek elektronfelveacutetellel anionnaacute alakuljanak

eacutes a maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutema is kicsit komplikaacuteltabb A 3 oszloptoacutel a 8 oszlopig

az elemekből baacutermely vegyeacuterteacutekelektront el lehet taacutevoliacutetani iacutegy az eltaacutevoliacutethatoacute elektronok szaacutemaacutenak

maximuma az oszlop sorszaacutemaacuteval azonos Viszont a 9 oszloptoacutel kezdődően a helyzet hasonloacutevaacute vaacutelik

ahhoz mint amit a nemfeacutemekneacutel tapasztaltunk nagyszaacutemuacute elektron eltaacutevoliacutetaacutesa maacuter nem lehetseacuteges

tehaacutet nem lehetseacuteges peacuteldaacuteul 9-szeresen pozitiacutev ion keacutepzeacutese Aniont keacutepezve azonban az aktuaacutelis heacutej

lezaacuteraacutesaacutehoz a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute eleacutereacuteseacutehez az oumlsszes p-elektront is fel kellene toumlltenuumlnk

melyhez igen sok energia szuumlkseacuteges A 9 eacutes 10 oszlopban iacutegy nehezen lehet megjoacutesolni a

maximaacutelisan eltaacutevoliacutethatoacute elektronszaacutemot A 11 oszlopban toumlbbnyire 1 vagy 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacutera

van lehetőseacuteg miacuteg a 12 oszlopban 2 elektron eltaacutevoliacutetaacutesaacuteval keacutepezhető kation

A melleacutekcsoportokroacutel aacuteltalaacutenossaacutegban elmondhatoacute hogy itt a főcsoportokhoz keacutepest sokkal toumlbb

anomaacutelia bdquorendellenesseacutegrdquo tapasztalhatoacute


szaacutema

Leadhatoacute elektronok

szaacutemaacutenak maximuma

Felvehető elektronok


1 (IA) oszlop 1 1 mdash

2 (IIA) oszlop 2 2 mdash

3 (IIIB) oszlop 3 3 mdash

4 (IVB) oszlop 4 4 mdash

5 (VB) oszlop 5 5 mdash

6 (VIB) oszlop 6 6 mdash

7 (VIIB) oszlop 7 7 mdash

8 (VIIIB) oszlop 8 8 mdash



11 (IB) oszlop 11 3 mdash

12 (IIB) oszlop 12 2 mdash

13 (IIIA) oszlop 3 3 mdash

14 (IVA) oszlop 4 4 (4)

15 (VA) oszlop 5 5 3

16 (VIA) oszlop 6 6 2

17 (VIIA) oszlop 7 7 1

18 (VIIIA) oszlop 8 mdash mdash



A keacutesőbbiekben az oxidaacutecioacutefok maximumaacutenak fogjuk tekinteni a maximaacutelisan leadhatoacute

elektronok szaacutemaacutet az oxidaacutecioacutefok minimuma pedig majd megegyezik a maximaacutelisan felvehető

elektronok szaacutemaacutenak (minus1)-szereseacutevel

Első ionizaacutecioacutes energia vagy első ionizaacutecioacutes potenciaacutel első ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt

az energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy atomboacutel egyszeresen pozitiacutev iont (kationt) hozzunk

leacutetre

Az ionizaacutecioacutes energia az alaacutebbi folyamat energiaszuumlkseacutegleteacutet jelenti

X rarr X+ + eminus

Mindig a leggyengeacutebben koumltoumltt elektront tudjuk legkoumlnnyebben eltaacutevoliacutetani eacutes eacutertelemszerűen

mineacutel erősebben koumltődik egy elektron az atomhoz annaacutel nehezebb eltaacutevoliacutetani azaz annaacutel toumlbb

energiaacutet kell befektetnuumlnk hogy el tudjuk taacutevoliacutetani

A legstabilabb elektronszerkezettel a nemesgaacutezok rendelkeznek (18 oszlop) mivel itt zaacuterul le a

betoumlltődő elektronheacutej A lezaacutert elektronheacutej mindig kiemelkedően stabil ezeacutert a nemesgaacutezok első

ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb egy perioacuteduson beluumll Mivel az alkaacutelifeacutemek ionizaacutelaacutesaacuteval nemesgaacutez

elektronkonfiguraacutecioacutejuacute egyszeresen pozitiacutev ion keletkezik ez igen nagy stabilitaacutessal rendelkezik eacutes

az alkaacutelifeacutematom koumlnnyen leadja az egyetlen s vegyeacuterteacutekelektronjaacutet Tehaacutet egy perioacuteduson beluumll az

alkaacutelifeacutemek első ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legkisebb

Az első ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

Egy adott perioacuteduson beluumll balroacutel jobbra noumlvekszik (az alkaacutelifeacutemektől a nemesgaacutezok iraacutenyaacuteba)

az első ionizaacutecioacutes energia eacuterteacuteke

Mineacutel nagyobb egy atom a taacutevolsaacuteg koumlvetkezteacuteben a negatiacutev toumllteacutesű kuumllső elektronjaira annaacutel

keveacutesbeacute hat a pozitiacutev toumllteacutesű atommag vonzaacutesa iacutegy annaacutel koumlnnyebben taacutevoliacutethatoacute el

Iacutegy egy oszlopon beluumll fentről lefeleacute csoumlkken az első ionizaacutecioacutes energia

2651 aacutebra Az ionizaacutecioacutes energia vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

1

2

3

4

5

6

7

1 IONIZAacuteCIOacuteS ENERGIA



Maacutesodik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacutenak nevezzuumlk azt az

energiaacutet melyet be kell fektetnuumlnk hogy egy egyszeresen pozitiacutev ionboacutel keacutetszeresen pozitiacutev iont

hozzunk leacutetre

A maacutesodik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint az első ionizaacutecioacutes energia mivel egy

kationroacutel kell leszakiacutetanunk egy negatiacutev toumllteacutesű elektront mely meacutelyebb energiaacutejuacute paacutelyaacuten van mint az

első eltaacutevoliacutetott elektron

Egy perioacuteduson beluumll az alkaacutelifeacutemek maacutesodik ionizaacutecioacutes energiaacuteja a legnagyobb (igen stabil

nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacute ion elektronszerkezeteacutet bontjuk meg) miacuteg az alkaacutelifoumlldfeacutemekeacute a

legkisebb (a vegyeacuterteacutekheacutejukon maacuter csak egy elektron talaacutelhatoacute ez viszonylag koumlnnyen eltaacutevoliacutethatoacute)

Azaz egy perioacuteduson beluumll a 2 oszloptoacutel a 18 oszlopig nő az ionizaacutecioacutes potenciaacutel aacutem az 1

oszlopban meacuteg enneacutel is nagyobb

Egy oszlopon beluumll a maacutesodik ionizaacutecioacutes potenciaacutel fentről lefeleacute csoumlkken

k-dik ionizaacutecioacutes energia vagy potenciaacutel az energia mely egy elektronnak egy (kminus1)-szeresen

pozitiacutev toumllteacutesű ionboacutel toumlrteacutenő eltaacutevoliacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges

A (k+1)-dik ionizaacutecioacutes energia mindig nagyobb mint a k-dik ionizaacutecioacutes energia baacutermely pozitiacutev

egeacutesz k-ra)

Elektronaffinitaacutes az az energia melyet be kell fektetni hogy egy egyszeresen negatiacutev ionboacutel

leszakiacutetsunk egy elektront

Ha egy atom elektront vesz fel az legtoumlbbszoumlr energiafelszabadulaacutessal jaacuter ilyenkor az

elektronaffinitaacutest ndash egyezmeacutenyesen ndash pozitiacutevnak tekintjuumlk

Az elektronaffinitaacutes egyezmeacutenyesen az alaacutebbi folyamat energiaacutejaacutet jelenti (ha stabilabb az anion

mint az egyel kevesebb elektront tartalmazoacute atom az elektronaffinitaacutes pozitiacutev)

Xminus

rarr X + eminus

A perioacutedusos rendszer egy soraacuten beluumll az elektronaffinitaacutes az alkaacutelifeacutemektől a halogeacutenekig

noumlvekszik azonban a nemesgaacutezokeacute aacuteltalaacuteban negatiacutev eacuterteacutekű (destabilizaacutecioacutet jelent egy elektron

felveacutetele)

A perioacutedusos rendszer egy oszlopaacuten beluumll az elektronaffinitaacutes aacuteltalaacuteban fentről lefeleacute noumlvekszik

aacutem vannak kiveacutetelek aacuteltalaacuteban a 2 perioacutedusban kisebb az elektronegativitaacutes mint a 3 perioacutedusban

Legnagyobb elektronaffinitaacutessal a kloacuter rendelkezik

Elektronegativitaacutes az atom elektronvonzoacute keacutepesseacutege

Jele EN

Mineacutel nagyobb egy atom elektronegativitaacutesa annaacutel sziacutevesebben vesz fel egy elektront

Toumlbbfeacutele elektronegativitaacutesi skaacutela ismert mivel toumlbbfeacutele uacuteton szaacutemiacutethatoacute az elektronegativitaacutes A

skaacutelaacutek tendenciaacuteja azonban aacuteltalaacuteban megegyezik

Az elektronegativitaacutes egyik elterjedt definiacutecioacuteja szerint az elektronegativitaacutes az adott elem

ionizaacutecioacutes energiaacutejaacutenak eacutes elektronaffinitaacutesaacutenak aacutetlaga (szaacutemtani koumlzepe)

Az elektronegativitaacutes vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

A perioacutedusos rendszer egy soraacuten beluumll az elektronegativitaacutes balroacutel jobbra noumlvekszik

A perioacutedusos rendszer egy oszlopaacuten beluumll az elektronegativitaacutes fentről lefeleacute csoumlkken



2652 aacutebra Az elektronegativitaacutes vaacuteltozaacutesa a perioacutedusos rendszerben

A nemesgaacutezoktoacutel eltekintve (mivel ezek rendszerint igen keveacutesseacute reakcioacutekeacutepesek iacutegy az

elektronegativitaacutes kiacuteseacuterleti meghataacuterozaacutesa neheacutez) a fluor elektronegativitaacutesa a legnagyobb a franciumeacute

a legkisebb (a trendekből adoacutedoacutean elmeacuteletileg leacutetezhet enneacutel kisebb elektronegativitaacutesuacute elem is aacutem

meacuteg nem sikeruumllt előaacutelliacutetani)

27 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek -feladatok

1 Ismertesse az atom feleacutepiacuteteacuteseacutet eacutes jellemezze az elemi reacuteszecskeacuteket (toumlmeg toumllteacutes)

2 Mely reacuteszecskeacutek a nukleonok

3 Mi a rendszaacutem eacutes a toumlmegszaacutem

4 Mit jelent a koumlvetkező jeloumlleacutes He42

5 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat izotoacutep nuklid

6 A kloacuter (rendszaacutema 17) egyik izotoacutepjaacutenak toumlmegszaacutema 37 Ezen izotoacutep egy atomja haacuteny protont

neutront eacutes elektront tartalmaz

7 Mi a toumlmegszaacutem eacutes a relatiacutev atomtoumlmeg

8 Mi az anyagmennyiseacuteg

9 Mit jelent 1 moacutel

10 Mi az Avogadro-szaacutem Mekkora az eacuterteacuteke

11 Haacuteny elektronja van 0125 moacutel oxigeacutenatomnak (az oxigeacuten rendszaacutema 8)

12 A heacutelium relatiacutev atomtoumlmegeacutet vegyuumlk 400-nak Haacuteny heacuteliumatom talaacutelhatoacute 100 gramm

heacuteliumban

13 Mi a radioaktivitaacutes

14 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat atompaacutelya alheacutej elektronheacutej

15 Hogyan aacutellapiacutetjuk meg egy atom alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacutejaacutet Milyen fontos

toumlrveacutenyszerűseacutegek befolyaacutesoljaacutek az elektronheacutej beneacutepesedeacuteseacutet

16 Mit nevezuumlnk ionnak mi a kation eacutes az anion Hogyan keacutepződnek

17 Fogalmazza meg mit nevezuumlnk az oxidaacutecioacutenak illetve redukcioacutenak

1

2

3

4

5

6

7

ELEKTRONEGATIVITAacuteS



18 Definiaacutelja a vegyeacuterteacutek fogalmaacutet

19 Mi a vegyeacuterteacutekheacutej

20 Mi az elektronegativitaacutes

21 Mi az ionizaacutecioacutes energia eacutes az elektronaffinitaacutes

22 Hogyan eacutepuumll fel az elemek perioacutedusos rendszere eacutes milyen mezőket ismeruumlnk

23 Mi az oumlsszefuumlggeacutes a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema eacutes a perioacutedusos rendszerben elfoglalt hely

koumlzoumltt

24 Aacuteltalaacutenossaacutegban mely elemekből keacutepződnek kationok eacutes melyekből anionok

25 Milyen tendencia szerint vaacuteltoznak a koumlvetkező tulajdonsaacutegok a perioacutedusos rendszer

perioacutedusaiban illetve oszlopaiban

a relatiacutev atomtoumlmeg

b atomsugaacuter

c vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema

d vegyeacuterteacutek

e alapaacutellapotuacute elektronkonfiguraacutecioacute

f ionizaacutecioacutes energia

g elektronaffinitaacutes

h elektronegativitaacutes

26 Az elemek perioacutedusos rendszereacuteben hogyan vaacuteltozik az elemek feacutemes jellege Feacutemes vagy

nemfeacutemes elemek vannak toumlbbseacutegben a perioacutedusos rendszerben

27 Mieacutert stabilak a nemesgaacutezok (18 csoport) atomjai

3 Keacutemiai koumlteacutesek eacutes a molekulaacutek szerkezete 75


3 KEacuteMIAI KOumlTEacuteSEK EacuteS A MOLEKULAacuteK SZERKEZETE

31 Keacutemiai koumlteacutesek

311 Elsőrendű keacutemiai koumlteacutesek

Az elemek igen ritkaacuten fordulnak elő atomos formaacuteban az egyeduumlli kiveacutetelek a nemesgaacutezok melyek

aacuteltalaacuteban atomos formaacuteban talaacutelhatoacutek A nemesgaacutezok lezaacutert elektronheacutejai kiemelkedő stabilitaacutest

jelentenek eacutes az oumlsszes toumlbbi elem is lezaacutert heacutejak eleacutereacuteseacutere toumlrekszik Ezt keacutemiai koumlteacutesek

leacutetrehozaacutesaacuteval tudjaacutek eleacuterni

Oktettszabaacutely vagy oktettelv kimondja hogy az elemek rendszerint olyan formaacuteban leacutetesiacutetenek

keacutemiai koumlteacutest hogy mindegyikuumlk vegyeacuterteacutekheacutejaacuten 8 elektron legyen (Octo = nyolc latin szoacuteboacutel)

Az oktettszabaacutely nem teljesuumll peacuteldaacuteul a hidrogeacuten eacutes a liacutetium eseteacuteben mivel a hozzaacutejuk

legkoumlzelebbi lezaacutert elektronkonfiguraacutecioacute a heacuteliumeacute melynek csak keacutet elektronja van Iacutegy a hidrogeacuten eacutes

a liacutetium a keacutetelektronos lezaacutert heacutej eleacutereacutese toumlrekszik

Most laacutessuk milyen formaacuteban teljesuumllhet az oktettszabaacutely

I) Ionos koumlteacutes

Mint az előző fejezetben laacutettuk az ionok kialakulaacutesaacutenaacutel elektronok felveacuteteleacutevel (redukcioacuteval)

vagy elektronok leadaacutesaacuteval (oxidaacutecioacuteval) eleacuterhető nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacute azaz teljesuumll az

oktettelv

Laacutessunk egy peacuteldaacutet

A kaacuteliumatomnak egy vegyeacuterteacutekelektronja van elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ar] 3s1 Egyetlen elektron

leadaacutesaacuteval eleacuterhető a nemesgaacutezszerkezet

A kloacuteratom elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 egy elektron felveacuteteleacutevel az argon

elektronkonfiguraacutecioacuteja alakiacutethatoacute ki

Van tehaacutet egy kaacuteliumatom mely elektron leadaacutesaacutera toumlrekszik miacuteg a kloacuteratom elektront szeretne

felvenni Ha egymaacutes koumlzeleacutebe keruumllnek a kaacuteliumatom aacutetadja elektronjaacutet a kloacuteratomnak mikoumlzben

kaacuteliumion (K+) eacutes kloridion (Clminus) keletkezik Mindkeacutet ion nemesgaacutez elektronszerkezettel rendelkezik

A pozitiacutev eacutes negatiacutev ionok koumlzoumltt a Coulomb-toumlrveacuteny szerint elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre

melyet ionos koumlteacutesnek nevezuumlnk Az iacutegy keletkezett ionok kristaacutelyraacutecsba rendeződnek melyet az

ellenteacutetes ionok koumlzoumltti elektrosztatikus vonzoacute koumllcsoumlnhataacutes tart oumlssze

Ionos koumlteacutes kationok eacutes anionok koumlzoumltt felleacutepő elektrosztatikus koumllcsoumlnhataacutes

3111 animaacutecioacute Az ionos koumlteacutes kialakulaacutesa

Az ionos koumlteacutes leacutetrejoumlhet egyszerű eacutes oumlsszetett ionok koumlzoumltt

Az egyszerű ionok atomokboacutel keacutepződnek elektron(ok) leadaacutesaacuteval (kationok) vagy elektron(ok)

felveacuteteleacutevel (anionok)



Egyszerű kationok K+ Mg2+ Al3+ Fe3+ Ce4+ stb

Egyszerű anionok Clminus O2minus N3minus Iminus Hminus stb

Az oumlsszetett ionok toumlbb atomboacutel eacutepuumllnek fel eacutes toumllteacutessel rendelkeznek

Oumlsszetett kationok legfontosabb az ammoacuteniumion NH4+

Oumlsszetett anionok NO3minus CO3

2minus PO4

3minus SO4

2minus stb

A tisztaacuten ionos koumlteacutesű vegyuumlletek rendszerint igen elteacuterő elektronegativitaacutesuacute elemekből joumlnnek

leacutetre Toumlbbnyire alkaacutelifeacutem vagy alkaacutelifoumlldfeacutem kationt tartalmaznak eacutes anionjuk aacuteltalaacuteban vagy

oumlsszetett ion vagy a perioacutedusos rendszer utolsoacute oszlopaacuteban talaacutelhatoacute elemek egyszerű anionja

(elsősorban 16 eacutes 17 oszlop)

II) Feacutemes koumlteacutes

Feacutematomok eseteacuten a vegyeacuterteacutekheacutej elektronjai viszonylag gyengeacuten koumltoumlttek A feacutematomokboacutel

pozitiacutev toumllteacutesű ionok keletkeznek a vegyeacuterteacutekelektronok pedig az atomtoumlrzsek koumlzoumltti teacuterben

delokalizaacuteloacutednak

Feacutemes koumlteacutes az egeacutesz kristaacutelyra kiterjedő koumlzoumls elektronfelhő aacuteltal leacutetrehozott keacutemiai kapcsolatot

feacutemes koumlteacutesnek nevezzuumlk

A feacutemes koumlteacutes (nem meglepő moacutedon) feacutematomok koumlzoumltt joumlhet leacutetre A feacutemek elektronegativitaacutesa

rendszerint nem tuacutel nagy ezeacutert a tisztaacuten feacutemes koumlteacutes akkor joumlhet leacutetre ha kicsi az elemek

elektronegativitaacutesa

3112 animaacutecioacute A feacutemes koumlteacutes kialakulaacutesa

III) Kovalens koumlteacutes

Keacutemiai koumlteacutes uacutegy is leacutetrejoumlhet ha az egymaacutes melletti atomok koumlzoumls (uacutegynevezett koumltő)

elektronpaacuteron (vagy elektronpaacuterokon) keresztuumll kapcsoloacutednak oumlssze

Ezt legegyszerűbben egy peacuteldaacuten keresztuumll eacuterthetjuumlk meg Vegyuumlnk keacutet kloacuteratomot Mindkettőnek

az elektronkonfiguraacutecioacuteja [Ne] 3s2 3p5 ha feacutemes koumlteacutest szeretneacutenk kialakiacutetani koumlzoumlttuumlk 7ndash7 elektront

kellene leadnia mindkettőnek Ez energetikailag rendkiacutevuumll kedvezőtlen Ezeacutert a lezaacutert elektronheacutejat

elektronfelveacutetel uacutetjaacuten lenne ceacutelszerű eleacuterni Termeacuteszetesen a keacutet kloacuteratom elektronegativitaacutesa

ugyanakkora nem joumlhet leacutetre koumlzoumlttuumlk ionos koumlteacutes

A keacutet kloacuteratom koumlzoumltt koumltő elektronpaacuter leacutetesiacuteteacuteseacutevel alakul ki a keacutemiai koumlteacutes a koumltő elektronpaacuter a

keacutet kloacuteratom egyndashegy elektronjaacuteboacutel joumln leacutetre viszont mindkeacutet atomhoz egyaraacutent tartozik Iacutegy mindkeacutet

kloacuteratom koumlruumll 8ndash8 elektron talaacutelhatoacute tehaacutet mindkeacutet kloacuteratom nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutejuacutevaacute

vaacutelik teljesuumll az oktettszabaacutely A folyamatot energiafelszabadulaacutes kiacuteseacuteri

Kovalens koumlteacutes A koumlzoumls elektronpaacuterral leacutetesiacutetett koumlteacutest kovalens koumlteacutesnek nevezzuumlk (Az angol

covanent kifejezeacutes alapjaacuten co- = koumlzoumls valent = vegyeacuterteacutekű bdquokoumlzoumls vegyeacuterteacuteken osztozoacuterdquo)



3113 animaacutecioacute A kovalens koumlteacutes kialakulaacutesa

A kovalens koumlteacutes leacutetrejoumltteacutevel a keacutet kloacuteratom egy molekulaacutevaacute egyesuumll

Molekula legalaacutebb keacutet atomboacutel aacutelloacute elektromosan semleges reacuteszecske melynek atomjait

kovalens koumlteacutesek tartjaacutek oumlssze

Kovalens koumlteacutes aacuteltalaacuteban nemfeacutemes elemek atomjai koumlzoumltt leacutetesuumll Mint ismeretes a nemfeacutemek

elektronegativitaacutesa aacuteltalaacuteban nagy ezeacutert a kovalens koumlteacutes viszonylag nagy elektronegativitaacutesuacute elemek

koumlzoumltt alakul ki

Homonukleaacuteris koumlteacutesnek nevezzuumlk az azonos elem atomjai koumlzoumltti koumlteacutest ellenben

heteronukleaacuteris a koumlteacutes ha keacutet kuumlloumlnboumlző elem atomjai koumlzoumltt joumln leacutetre

Peacuteldaacutek keacutetatomos molekulaacutekban homonukleaacuteris koumlteacutes Cl2 H2 stb heteronukleaacuteris koumlteacutes HCl BrF

stb

A heteronukleaacuteris koumlteacutes lehet apolaacuteris vagy polaacuteris

Egy koumlteacutes apolaacuterisnak tekinthető ha a keacutet atom elektronegativitaacutesa azonos

Az azonos atomok koumlzoumltti koumlteacutesek apolaacuterisak (Megjegyzeacutes peacuteldaacuteul a szeacutenndashhidrogeacuten-koumlteacutest is

tekinthetjuumlk koumlzel apolaacuterisnak mivel a szeacuten eacutes a hidrogeacuten elektronegativitaacutesa hasonloacute [EN(C) = 25

EN(H) = 21])

A kovalens koumlteacutes polaacuteris ha keacutet olyan atomot koumlt oumlssze melyek elektronegativitaacutesa koumlzoumltt

kuumlloumlnbseacuteg van A polaacuteris kovalens koumlteacutes viszonylag jelentős ionos jelleggel rendelkezik

Peacuteldaacuteul a hidrogeacutenndashkloacuter-koumlteacutes igen polaacuterisnak tekinthető a keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltt jelentős

kuumlloumlnbseacuteg van EN(Cl) = 30 EN(H) = 21

A polaacuteris kovalens koumlteacutesben a nagyobb elektronegativitaacutesuacute atom reacuteszleges negatiacutev toumllteacutesű

(pontosabban negatiacutevan polarizaacutelt) a kisebb elektronegativitaacutesuacute pedig reacuteszben pozitiacutev toumllteacutesű

(pozitiacutevan polarizaacutelt) Egy keacutetatomos molekulaacuteban a keacutet atomra jutoacute uacutegynevezett parciaacutelis toumllteacutes

(reacuteszleges toumllteacutes) nagysaacutega azonos de előjele ellenteacutetes Ezt a koumlvetkezőkeacutepp szoktuk eacuterzeacutekeltetni a

molekula keacutepleteacuteben

H Cl() ()

A hidrogeacuten-klorid molekulaacuteban a toumllteacutesek nem egyenletesen oszlanak el Az ilyen molekulaacutekat

dipoacutelusmolekulaacuteknak nevezzuumlk

A koumlteacutes polarizaacuteltsaacutega vektormennyiseacuteg nyiacutellal szoktuk jeloumllni A dipoacutelusvektor a pozitiacutev

toumllteacutesből mutat a negatiacutev toumllteacutes feleacute Azt hogy egy molekula dipoacutelusmolekula-e a dipoacutelusvektorok

eredője hataacuterozza meg

Dipoacutelusmolekula olyan molekula melyben vannak polaacuteris koumlteacutesek eacutes a koumlteacutesek

dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus

Apolaacuteris molekula csak apolaacuteris koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula vagy olyan molekula melyben

a polaacuteris koumlteacutesek uacutegy helyezkednek el hogy dipoacutelusvektorainak oumlsszege zeacuterus legyen



A keacutetatomos molekula akkor dipoacutelusos hogyha a koumlteacutes polaacuteris Toumlbbatomos molekulaacutek eseteacuten a

molekula szerkezete is fontos szerepet jaacutetszik annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy a molekula dipoacutelusmolekula-

e Ezzel a molekulaacutek szerkezete kapcsaacuten reacuteszletesen foglalkozunk majd (ennek a fejezetnek a veacutegeacuten)

Az előzőekben megismerkedtuumlnk a haacuterom legfontosabb koumlteacutestiacutepussal Ezen koumlteacutesek igen erősek

ezeacutert szokaacutes elsőrendű koumlteacuteseknek nevezni őket

Az elsőrendű koumlteacutesek

ndash ionos koumlteacutes

ndash feacutemes koumlteacutes

ndash kovalens koumlteacutes

Az elektronegativitaacutes eacutes a koumlteacutesjelleg koumlzoumltti oumlsszefuumlggeacutes

A haacuterom alaptiacutepus taacutergyalaacutesaacutenaacutel megemliacutetettuumlk hogy az adott koumlteacutestiacutepus rendszerint milyen

elemek koumlzoumltt joumln leacutetre Ezeket oumlsszefoglalva

ndash tisztaacuten ionos koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha az elemek elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg nagy

ndash tisztaacuten feacutemes koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesa hasonloacute (kicsi az elektronegativitaacutesok

kuumlloumlnbseacutege) eacutes mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa kis eacuterteacutekű

ndash tisztaacuten kovalens koumlteacutes eseteacuten az elemek elektronegativitaacutesai nem tuacutelzottan kuumlloumlnboumlzőek eacutes

mindkeacutet elem elektronegativitaacutesa nagy

A perioacutedusos rendszerből tetszőleges keacutet elemet kivaacutelasztva a koumlzoumlttuumlk leacutetesuumllő koumlteacutest gyakran

nem tudjuk besorolni a fentiek alapjaacuten egyik koumlteacutestiacutepusba sem Fontos hangsuacutelyozni hogy az aacutetmenet

gyakorlatilag folytonos baacutermelyik keacutet elsőrendű koumlteacutes koumlzoumltt Iacutegy gyakran előfordul hogy keacutet

atom koumlzoumltti koumlteacutest nem lehet tisztaacuten ionos feacutemes vagy kovalens koumlteacuteskeacutent leiacuterni A fent taacutergyalt

polaacuteris kovalens koumlteacutes peacuteldaacuteul aacutetmenet a kovalens eacutes az ionos koumlteacutes koumlzoumltt

Legyen A eacutes B keacutet tetszőleges elem A keacutet elem elektronegativitaacutesa koumlzoumltti kuumlloumlnbseacuteg eacutes a keacutet

atom elektronegativitaacutesaacutenak oumlsszege segiacutethet annak eldoumlnteacuteseacuteben hogy milyen tiacutepusuacute elsőrendű koumlteacutes

joumlhet leacutetre a keacutet elem atomjai koumlzoumltt

∆EN(AB) = | EN(A) minus EN(B) | eacutes sumEN(AB) = EN(A) + EN(B)

A koumlvetkező oumlkoumllszabaacutelyokat alkalmazhatjuk

Ha ∆EN(AB) nagy eacuterteacutek (jellemzően 20 foumlloumltt) a koumlteacutes ionos jellege nagy

Ha ∆EN(AB) kicsi eacuterteacutek (jellemzően 15 alatt) akkor a koumlteacutes lehet kovalens vagy feacutemes

Ha sumEN(AB) nagy (jellemzően 40 felett) akkor a koumlteacutes kovalensnek tekinthető

Ha sumEN(AB) kicsi (jellemzően 30 alatt) akkor a koumlteacutes feacutemes jellegűnek tekinthető

Pauling szerint ∆EN(AB) = 15hellip2 eseteacuten az A eacutes B atomok koumlzoumltti koumlteacutes nagyjaacuteboacutel fele-fele

meacuterteacutekben ionos eacutes kovalens jellegű

A stabilan előaacutelliacutethatoacute elemek koumlzuumll a ceacutezium elektronegativitaacutesa a legkisebb 08 (enneacutel csupaacuten a

csak radioaktiacutev izotoacutepokkal rendelkező francium elektronegativitaacutesa kisebb 07) a fluor

elektronegativitaacutesa pedig a legnagyobb (40) Ezen elemekből megalkothatjuk a toumlkeacuteletes ionos feacutemes

eacutes kovalens koumlteacuteseket

∆EN(AB) Cs F sumEN(AB) Cs F

Cs 00 32 Cs 16 48

F 32 00 F 48 80



Ha aacutebraacutezoljuk a ∆EN(AB) fuumlggveacutenyeacuteben sumEN(AB) eacuterteacutekeit egy haacuteromszoumlg haacuterom csuacutecsaacutet

kapjuk

311 aacutebra A koumlteacutes jellege eacutes az elektronegativitaacutes

Baacutermely maacutes elem elektronegativitaacutesa a ceacutezium eacutes a fluor koumlzeacute esik iacutegy a fenti aacutebraacuten baacutermely keacutet

elem koumlzoumltti koumlteacutest feltuumlntethetjuumlk az elektronegativitaacutesaik ismereteacuteben

Az alaacutebbi aacutebraacuten feltuumlntettuumlk neacutehaacuteny elem eacutes vegyuumllet ∆EN(AB) eacutes sumEN(AB) eacuterteacutekeit

3112 aacutebra Peacuteldaacutek aacutetmeneti jellegű koumlteacutesekre



Mint a fenti aacutebraacuten laacutethatoacute neacutehaacuteny vegyuumlletet igen neheacutez a haacuterom elsőrendű koumlteacutes valamelyikeacutebe

besorolni Ilyen peacuteldaacuteul a vas(II)-szulfid (FeS) sziliacutecium-dioxid (SiO2) vagy az ezuumlst-klorid (AgCl) A

keacutemiai koumlteacutesek ezen vegyuumlletekben nem tekinthetők ionosnak jelentős a kovalens jelleguumlk

A fenti aacutebra alapjaacuten a kovalens koumlteacutes az elemi oxigeacutenben (O2) eacutes a keacutenmolekulaacuteban (S8) apolaacuteris

miacuteg a nitrogeacuten-monoxidban (NO) eacutes a keacutet kuumlloumlnboumlző halogeacutenatomot tartalmazoacute broacutem-fluoridban

(BrF) polaacuteris

A reacutez-cink oumltvoumlzetben (CuZn) eacutes a magneacutezium-szilicidben (Mg2Si egy oumltvoumlzeacutesre hasznaacutelt

vegyuumllet) a koumlteacutes feacutemesnek tekinthető Termeacuteszetesen a feacutem alumiacuteniumban is feacutemes a koumlteacutes

A liacutetium-fluorid (LiF) a kalcium-oxid (CaO) eacutes az alumiacutenium-oxid (Al2O3) ionos koumlteacutesű

vegyuumlletek az utoacutebbiban viszonylag jelentős kovalens jelleg is megaacutellapiacutethatoacute

A fentiek alapjaacuten belaacutethatoacute hogy a keacutemiai koumlteacutes ionos feacutemes illetve kovalens jellege elsősorban

az koumlteacutest leacutetesiacutető elemek elektronegativitaacutesaacutetoacutel fuumlgg Fontos megjegyezni hogy a keacutemiai koumlteacutes

gyakran nem iacuterthatoacute le egyfeacutele koumlteacutestiacutepussal hanem toumlbb tiacutepus tulajdonsaacutegait oumltvoumlzi

Sokatomos molekulaacutek

Az oktett szabaacutelyt termeacuteszetesen a kettőneacutel toumlbb atomos molekulaacutek is koumlvetik aacuteltalaacuteban

Vegyuumlk peacuteldaacuteul a metaacutenmolekulaacutet A metaacuten keacuteplete CH4 azaz egy molekulaacutejaacuteban neacutegy

hidrogeacutenatom eacutes egy szeacutenatom talaacutelhatoacute A szeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p2 tehaacutet neacutegy

vegyeacuterteacutekelektronja van miacuteg a hidrogeacutenek egyndashegy elektronnal rendelkeznek A szeacutenatom

elektronoktettet (8 elektron a kuumllső heacutejon) szeretne leacutetrehozni a hidrogeacuteneknek pedig a heacuteliumhoz

hasonloacute 2 elektronos elektronszerkezet a kedvező

Ha a szeacuten koumlreacute rendeződik a neacutegy hidrogeacutenatom neacutegy kovalens koumlteacutes alakul ki Minden hidrogeacuten

koumlrnyezeteacuteben iacutegy 2ndash2 elektron talaacutelhatoacute (piros koumlroumlkkel jeloumllve) miacuteg a neacutegy (koumlzoumls) elektronpaacuter a

szeacuten szaacutemaacutera biztosiacutetja a nyolc vegyeacuterteacutekelektront (piros neacutegyzettel jeloumllve)

3113 aacutebra Az oktettszabaacutely

Most pedig vizsgaacuteljuk meg hogyan neacutez ki a metaacutenhoz hasonloacute nitrogeacutenvegyuumlletet

elektronszerkezete

A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p3 azaz 5 vegyeacuterteacutekelektronja van A nitrogeacuten 8

elektronos vegyeacuterteacutekheacutej eleacutereacuteseacutere toumlrekszik (oktettszabaacutely) ehhez 3 elektronra van meacuteg szuumlkseacutege A

haacuterom elektront haacuterom hidrogeacuten szolgaacuteltatja iacutegy a keletkező molekula keacuteplete NH3 Iacutegy a nitrogeacuten eacutes

a hidrogeacutenek is eleacuterteacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet Haacuterom koumltő elektronpaacuter joumln leacutetre azaz a

nitrogeacuten oumlsszesen 3 elektronjaacutet adja a koumlteacutesekbe a maradeacutek 2 elektronja pedig csak a nitrogeacutenhez

kapcsoloacutedik Az ilyen elektronpaacutert magaacutenos (vagy nemkoumltő) elektronpaacuternak nevezzuumlk A koraacutebban

taacutergyalt kloacutermolekula eseteacuteben mindkeacutet kloacuteratom 3ndash3 magaacutenos elektronpaacuterral rendelkezik

Magaacutenos elektronpaacuter olyan vegyeacuterteacutek-elektronpaacuter mely a kovalens koumlteacutest alkotoacute keacutet atom

koumlzuumll csak az egyikhez tartozik Egy atomon akaacuter toumlbb magaacutenos elektronpaacuter is lehetseacuteges

A kovalens koumlteacutes jellemzői

Koumlteacutesi energia egy koumlteacutes felszakiacutetaacutesaacutehoz szuumlkseacuteges energia az az energia melyet be kell

fektetni hogy a koumlteacutest leacutetesiacutető atomokat veacutegtelen taacutevolsaacutegba taacutevoliacutetsuk (Eacutertelemszerűen ugyanekkora

energia szabadul fel mikor a keacutet atom veacutegtelen taacutevolsaacutegboacutel kiindulva leacutetrehozza a koumlteacutest) Aacuteltalaacuteban

CH H

H

H

CH H

H

H



Jmol (kJmol) meacuterteacutekegyseacutegben adjuk meg eacuterteacutekeacutet aacutem gyakran hasznaacutelt ndash nem SI ndash meacuterteacutekegyseacuteg a

kcalmol 1 kcalmol = 418 kJmol

Koumlteacutestaacutevolsaacuteg vagy koumlteacuteshossz a koumlteacutest leacutetesiacutető keacutet atommag koumlzoumltti taacutevolsaacuteg

A koumlteacutestaacutevolsaacutegok rendszerint neacutehaacutenyszor 10minus10 meacuteter nagysaacutegrendűek termeacuteszetesen a koumlteacutest

leacutetesiacutető atomok rendszaacutemaacutetoacutel fuumlggően Gyakran hasznaacuteljuk az angstroumlm vagy aringngstroumlm

meacuterteacutekegyseacuteget (roumlvidiacutetve Aring) melynek eacuterteacuteke 10minus10 meacuteter

(Megjegyzeacutes az atomtaacutevolsaacuteg baacutermely keacutet atom taacutevolsaacutegaacutet jelentheti ha a koumlteacutestaacutevolsaacuteg

kifejezeacutest hasznaacuteljuk akkor a keacutet atom koumlzoumltt keacutemiai koumlteacutes talaacutelhatoacute)

A koumlteacuteshossz fuumlgg az atomok meacutereteacutetől eacutes az őket oumlsszetartoacute koumlteacutes erősseacutegeacutetől Peacuteldaacuteul a kovalens

koumlteacutes a fluormolekulaacuteban (FminusF) roumlvidebb mint egy kloacutermolekulaacuteban (ClminusCl) mivel a kloacuteratomok

joacuteval nagyobbak a fluoratomoknaacutel Ennek megfelelően a halogeacutenmolekulaacutek koumlzoumltt a fluormolekula

koumlteacuteshossza a legroumlvidebb enneacutel nagyobb a kloacutermolekulaacuteeacute majd sorrendben a broacutemmolekula (BrminusBr)

eacutes joacutedmolekula (IminusI) koumlvetkezik oumlsszhangban a halogeacutenatomok meacutereteacutevel

Adott keacutet atom (peacuteldaacuteul keacutet szeacutenatom) melyek koumlzoumltt mineacutel roumlvidebb a koumlteacuteshossz annaacutel

erősebbnek tekinthető a koumlteacutes Tehaacutet a koumlteacutes erősseacutegeacutere a koumlteacuteshosszboacutel is nyerhetuumlnk informaacutecioacutet

Fontos azonban hogy mindig azonos fajta koumlteacuteseket hasonliacutetsunk oumlssze peacuteldaacuteul egy CminusC eacutes egy CminusH

koumlteacutes hosszaacutet oumlsszehasonliacutetva azok erősseacutegeacutet nem lehet pontosan megbecsuumllni mivel a koumlteacutest alkotoacute

atomok atomsugaraacutenak is hataacutesa van a koumlteacuteshosszra

Toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek

Bizonyos esetekben az elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz nem elegendő egyetlen koumltő elektronpaacuter

Ezt ismeacutet egy peacuteldaacuten keresztuumll ceacutelszerű megvizsgaacutelni

Az elemi nitrogeacuten molekulaacuteris formaacuteban fordul elő a termeacuteszetben A nitrogeacuten

elektronkonfiguraacutecioacuteja [He] 2s2 2p

3 a vegyeacuterteacutekelektronok szaacutema 5 Keacutet nitrogeacutenatomboacutel egy

nitrogeacutenmolekula keletkezik melynek oumlsszesen 2 middot 5 = 10 elektronja van a lezaacutert heacutejakon kiacutevuumll Mint

fentebb laacutettuk a kloacutermolekula eseteacuten 14 elektronboacutel tudtuk kialakiacutetani a keacutet elektronoktettet Viszont a

nitrogeacuten eseteacuten nem aacutell rendelkezeacutesre ennyi elektron

Mi toumlrteacutenik ha a keacutet nitrogeacutenatom nem egyndashegy hanem keacutetndashkeacutet elektronjaacuteval leacutetesiacutet koumlteacutest

Ekkor mindkeacutet nitrogeacutenatom koumlruumll 5 + 2 = 7 vegyeacuterteacutekelektron van (eleve volt 5 a maacutesik nitrogeacutentől

pedig 2-t kapott) iacutegy nem teljesuumll az oktettelv

Most vizsgaacuteljuk meg hogy mi vaacuteltozik ha mindkeacutet nitrogeacuten haacuteromndashhaacuterom elektront szolgaacuteltat a

koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutehoz Ekkorra mindkeacutet nitrogeacuten koumlruumll eacuteppen 8 elektron talaacutelhatoacute azaz megfelel az

oktettszabaacutelynak Ha mindkeacutet nitrogeacuten 3ndash3 elektronnal leacutetesiacutet koumlteacutest oumlsszesen 6 elektron talaacutelhatoacute a

keacutet nitrogeacutenatom koumlzoumltt A 6 elektronboacutel 3 elektronpaacutert tudunk leacutetrehozni a nitrogeacutenek keacutetndashkeacutet

elektronja pedig egyndashegy magaacutenos elektronpaacutert alkot Mivel az elektronpaacutert egy vonallal szokaacutes

jeloumllni a nitrogeacutenmolekula szerkezeteacutet az alaacutebbi formaacuteban szoktuk feliacuterni

| N equiv N |

Az iacutegy keletkezett koumlteacutest haacutermas koumlteacutesnek nevezzuumlk Termeacuteszetesen ennek mintaacutejaacutera leacutetezik

kettős koumlteacutes is

Kettős koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely keacutet koumltő elektronpaacuteron keresztuumll koumlti oumlssze a keacutet

atomot

Haacutermas koumlteacutes olyan kovalens koumlteacutes mely haacuterom koumltő elektronpaacuteron keresztuumll leacutetesiacutet kapcsolatot

a keacutet atom koumlzoumltt

Az elmeacuteleti szaacutemiacutetaacutesok eacutes kiacuteseacuterletek alapjaacuten a kettős koumlteacutes joacuteval erősebb mint az egyes koumlteacutes aacutem

a kettős koumlteacutes koumlteacutesi energiaacuteja aacuteltalaacuteban nem keacutetszerese az egyes koumlteacuteseacutenek hanem kisebb annaacutel



Hasonloacutean a haacutermas koumlteacutes is rendszerint erősebb mint egy egyes vagy kettős koumlteacutes aacutem nem

haacuteromszor olyan erős mint egy egyes koumlteacutes

Mivel a koumlteacutesek erősseacutegeacutet a koumlteacutesenergiaacuteval szoktuk jellemezni neacutezzuumlk meg az CminusC C=C eacutes

CequivC koumlteacutesek koumlteacutesi energiaacutejaacutet

E(CminusC) = 347 kJmol

E(C=C) = 610 kJmol

E(CequivC) = 836 kJmol

A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja 610 kJmol minus 347 kJmol = 263 kJmol miacuteg

a szeacutenndashszeacuten haacutermas koumlteacutes bdquoharmadik koumlteacuteseacutenekrdquo koumlteacutesi energiaacuteja a haacutermas eacutes kettős koumlteacutes koumlteacutesi

energiaacutejaacutenak a kuumlloumlnbseacutegekeacutent adoacutedik 836 kJmol minus 610 kJmol = 226 kJmol

Ennek magyaraacutezataacutehoz meg kell ismerkednuumlnk a molekulapaacutelya fogalmaacuteval

Molekulapaacutelya az a teacuterreacutesz melyen beluumll 90-os valoacutesziacutenűseacuteggel megtalaacutelhatoacute az elektron Az

atompaacutelyaacutehoz hasonloacutean egy molekulapaacutelyaacutera is maximaacutelisan keacutet elektron keruumllhet A koumltő

elektronpaacuterokat tehaacutet molekulapaacutelyaacutekkal jeleniacutethetjuumlk meg

Teacuterjuumlnk vissza tehaacutet az egyes kettős eacutes haacutermas koumlteacutesek elteacuterő erősseacutege kuumlloumlnbseacutegeacutenek

eacutertelmezeacuteseacutehez Az egyes koumlteacutesnek megfelelő elektronok a keacutet atom koumlzoumltt tengelyiraacutenyban

helyezkednek el egy hengerszimmetrikus molekulapaacutelyaacuten A kettős koumlteacutes bdquomaacutesodikrdquo elektronpaacuterja maacuter

nem keruumllhet ugyanebbe a teacuterreacuteszbe hanem bdquopiskoacuteta alakbanrdquo az etileacutenmolekula siacutekja alatt eacutes foumlloumltt

helyezkedik el Mivel ezek az elektronok maacuter nem a keacutet atomot oumlsszekoumltő tengely menteacuten

helyezkednek el a koumlteacutes gyengeacutebb mint az egyszeres koumlteacutes

A σ-koumlteacutes eacutes π-koumlteacutes

Az egyszeres koumlteacutest ζ (szigma) koumlteacutesnek hiacutevjuk a maacutesodik eacutes harmadik koumlteacuteseket pedig π (piacute)

koumlteacuteseknek nevezzuumlk

Most vizsgaacuteljuk meg hogyan alakulhat ki ζ-koumlteacutes illetve π-koumlteacutes

A hidrogeacutenatomnak egyetlen elektronja van mely a goumlmbszimmetrikus 1s paacutelyaacuten talaacutelhatoacute Keacutet

hidrogeacutenatomot koumlzeliacutetve egymaacuteshoz a keacutet atompaacutelyaacuteboacutel keacutet molekulapaacutelya joumln leacutetre Az egyikre keacutet

elektron keruumll miacuteg a maacutesik betoumlltetlen marad (az elsőt szokaacutes koumltőpaacutelyaacutenak a maacutesikat pedig

laziacutetoacutepaacutelyaacutenak nevezni) A keacutetszeresen betoumlltoumltt paacutelya hengerszimmetrikus az ilyet nevezzuumlk ζ-

koumlteacutesnek

3114 aacutebra A σ-koumlteacutes

A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a hidrogeacuten-klorid-molekula kialakulaacutesaacutet A kloacuteratomnak 7

vegyeacuterteacutekelektronja van 3s2 3p5 azaz a haacuterom p-paacutelya koumlzuumll kettő keacutetszeresen betoumlltoumltt miacuteg a

harmadik csak egyszeresen Iacutegy a hidrogeacuten 1s-paacutelyaacutejaacuteboacutel eacutes a kloacuter egyik 3p-paacutelyaacutejaacuteboacutel joumlnnek leacutetre a

molekulapaacutelyaacutek

Ismeacutet egy hengerszimmetrikus ζ-paacutelya joumln leacutetre



A fent megismert ζ-koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak peacuteldaacuteul a teliacutetett szeacutenhidrogeacutenekben is melyeknek igen

fontos jellemzőjuumlk hogy a hengerszimmetrikus koumlteacutesek tengelye menteacuten a csoportok el tudnak

fordulni egymaacuteshoz keacutepest viszonylag kis energiabefekteteacutes hataacutesaacutera iacutegy az ilyen vegyuumlletekben a ζ-

koumlteacutestengely koumlruumlli forgaacutes (rotaacutecioacute) igen koumlnnyen veacutegbemegy

A koumlvetkezőkben vizsgaacuteljuk meg a toumlbbszoumlroumls koumlteacutesek kialakulaacutesaacutet Vegyuumlk peacuteldaacuteul a

nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesaacutet

A nitrogeacuten elektronkonfiguraacutecioacuteja 2s2 2p3 A haacuterom p-elektron a haacuterom kuumlloumlnboumlző teacuteraacutellaacutesuacute p-

paacutelyaacuten talaacutelhatoacute (laacutesd Hund-szabaacutely) Keacutet nitrogeacutenatomot egymaacuteshoz koumlzeliacutetve az alaacutebbi sematikus

aacutebraacutet kapjuk

N Nx

y

zpz

py

px

3115 aacutebra A nitrogeacutenmolekula kialakulaacutesa

A keacutet px-paacutelyaacuteboacutel leacutetrejoumln a ζ-koumlteacutes

3116 aacutebra A nitrogeacutenmolekula σ-koumlteacutese

Viszont ha a px-paacutelyaacutekboacutel kialakul a ζ-koumlteacutes a py- eacutes pz-paacutelyaacutekboacutel maacuter nem joumlhet leacutetre ζ-koumlteacutes

Ezzel ellenben π-koumlteacutesek joumlnnek leacutetre

3117 aacutebra A nitrogeacutenmolekula π-koumlteacutesei

A keacutet π-koumlteacutesnek van egy-egy csomoacutesiacutekja (ahol az elektronok megtalaacutelaacutesi valoacutesziacutenűseacutege 0) ez a

keacutet csomoacutesiacutek egymaacutesra merőleges A nitrogeacuten eseteacuteben a keacutet π-koumlteacutes teljesen egyforma meacuteretű eacutes

energiaacutejuacute

Kolligaacutecioacutes eacutes datiacutev koumlteacutes



A koumltő elektronpaacuter keacutetfeacutelekeacuteppen joumlhet leacutetre vagy mindkeacutet atom ad egy-egy (vagy toumlbb)

elektront vagy csak az egyik atomtoacutel szaacutermazik a koumltő elektronpaacuter

Kolligaacutecioacutes koumlteacutes mindkeacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom hozzaacutejaacuterul elektronnal (elektronokkal) a koumlteacuteshez

A fentebb taacutergyalt koumlteacutesek mindegyike kolligaacutecioacutes koumlteacutes akaacuter a kloacutermolekula akaacuter a

nitrogeacutenmolekula leacutetrejoumltteacuteről van szoacute

Datiacutev vagy koordinaacutecioacutes koumlteacutes a keacutet koumlteacutest leacutetesiacutető atom koumlzuumll az egyik atom egy teljes

elektronpaacuterral jaacuterul hozzaacute a koumlteacuteshez (ez az elektronpaacuter donor atom) miacuteg a maacutesik atom nem

szolgaacuteltat elektront a koumlteacuteshez (ezt elektronpaacuter-akceptor atomnak nevezzuumlk)

(datiacutev a dativus latin szoacuteboacutel melynek jelenteacutese adaacutes)

A datiacutev koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez szuumlkseacuteges hogy az egyik atomnak legye magaacutenos (nemkoumltő)

elektronpaacuterja a maacutesik atom pedig legyen bdquoelektronhiaacutenyosrdquo Az elektronhiaacuteny akkor leacutep fel ha nem

teljesuumll az oktettszabaacutely

Vegyuumlk peacuteldaacuteul a boacuter-trifluorid (BF3) molekulaacutet A haacuterom fluoratom egy-egy elektront ad a

kovalens koumlteacutesbe a boacuter ([He] 2s2 2p1) pedig 3 elektronnal tud koumlteacutest leacutetesiacuteteni iacutegy a boacuter koumlruumll haacuterom

koumltő elektronpaacuter helyezkedik el azaz a boacuter vegyeacuterteacutekheacutejaacuten csak hat elektron talaacutelhatoacute A boacuter-trifluorid

molekula siacutek szerkezetű mind a neacutegy atom egy siacutekban van eacutes a boacuteratomnak van egy uumlres p-paacutelyaacuteja

Az uumlres paacutelyaacutek elektronpaacuter-akceptorkeacutent viselkedhetnek

Most keressuumlnk egy elektronpaacuterdonor molekulaacutet Peacuteldaacuteul a fentebb megismert ammoacuteniamolekula

rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral iacutegy elektronpaacuterdonornak tekinthető

Mi toumlrteacutenik ha koumlzeledik egymaacuteshoz egy ammoacutenia- eacutes egy boacuter-trifluorid molekula Az

ammoacuteniamolekula nitrogeacutenatomja a magaacutenos paacuterjaacutet bdquokoumllcsoumlnadjardquo a boacuternak iacutegy annak leacutetrejoumln az

elektronoktettje A nitrogeacuten a magaacutenos paacuterjaacutet nem adja aacutet teljesen a boacuternak hanem az a keacutet atom

koumlzoumltt elhelyezkedő elektronpaacuterraacute alakul Iacutegy a nitrogeacutennek is megmarad az elektronoktettje Az iacutegy

leacutetrejoumlvő datiacutev koumlteacutes olyan mint egy hagyomaacutenyos kovalens koumlteacutes a kuumlloumlnbseacuteg csak abban van hogy

a datiacutev koumlteacutes eseteacuten mindkeacutet elektront ugyanaz az atom adja A kialakuloacute datiacutev koumlteacutes kialakulaacutesaacutenak az

a hajtoacuteereje hogy a boacuteratom elektronhiaacutenya csoumlkkenjen (iacutegy teljesuumll az oktettszabaacutely)

A datiacutev koumlteacutest aacuteltalaacuteban vonal helyett nyiacutellal szoktuk jeloumllni A nyiacutel az elektronpaacuterdonor atomtoacutel

mutat az elektronpaacuter-akceptor atom feleacute

N B

H

HH F

FF

Termeacuteszetesen nemcsak az ammoacutenia nitrogeacutenje lehet elektronpaacuter-donor akaacuter ionok is adhatnak

elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesbe Peacuteldaacuteul a fluoridionnak (Fminus) is van 4 magaacutenos elektronpaacuterja

Mi toumlrteacutenik ha egy boacuter-trifluorid molekulaacutet eacutes egy fluoridiont koumlzeliacutetuumlnk egymaacuteshoz A

fluoridion egyik magaacutenos paacuterja datiacutev koumlteacutest leacutetesiacutet a boacutertrifluorid boacuteratomjaacuteval Egy anion keletkezik

melyben a neacutegy fluor egy boacuteratomot vesz koumlruumll

B

F

FF

F

A keletkező igen nagy stabilitaacutesuacute ion neve tetrafluoroboraacutet-anion Benne a neacutegy fluor-boacuter koumlteacutes

teljesen egyenranguacute nem lehet megkuumlloumlnboumlztetni a kolligaacutecioacutes elektronpaacutert a datiacutev koumlteacutesből

szaacutermazoacutetoacutel Mind a neacutegy fluoratom mind a boacuteratom eseteacuten teljesuumll az oktettszabaacutely (mindegyik atom

koumlruumll neacutegy elektronpaacuter talaacutelhatoacute) A negatiacutev toumllteacutes megoszlik a neacutegy fluoratomon egyiknek sincs

kituumlntetett szerepe



Datiacutev koumlteacutes nemcsak keacutet kuumlloumlnaacutelloacute molekula vagy ion koumlzoumltt joumlhet leacutetre erre peacutelda a szeacuten-

monoxid molekula

A szeacuten-monoxidot feliacuterhatjuk uacutegy hogy kettős koumlteacutest iacuterunk a szeacuten- eacutes oxigeacutenatom koumlzeacute

C O

Mint laacutethatoacute az oxigeacutenatom koumlruumll neacutegy elektronpaacuter van iacutegy ez megfelel az oktettszabaacutelynak

Viszont a szeacutenatom koumlruumll csak hat elektron (3 elektronpaacuter) talaacutelhatoacute iacutegy elektronhiaacutenyos Az oxigeacuten a

keacutet elektronpaacuterja koumlzuumll az egyikkel datiacutev koumlteacutest tud leacutetesiacuteteni iacutegy haacutermas koumlteacutes alakul ki

C O

Az oxigeacuten az elektronpaacuterdonor a szeacuten pedig az elektronpaacuter-akceptor Ha oumlsszeszaacutemoljuk az

elektronokat a szeacuten eacutes az oxigeacuten koumlruumll azt tapasztaljuk hogy mindkeacutet elem eseteacuten teljesuumll az oktettelv

Eacuterdemes megjegyezni hogy a szeacuten-monoxidban a koumlteacutes gyakorlatilag apolaacuteris ami meglepő ha

belegondolunk hogy a szeacuten eacutes az oxigeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt mintegy egyseacutegnyi a kuumlloumlnbseacuteg

[EN(O) = 34 EN(C) = 25] Tehaacutet a koumlteacutesnek polaacuterisnak kellene lennie az elektronegativitaacutesok

alapjaacuten az oxigeacutenen kellene lennie az elektrontoumlbbletnek Mivel az oxigeacuten elektront (negatiacutev toumllteacutes) ad

be a datiacutev koumlteacutesbe a koumlteacutes polaritaacutesa csoumlkken Ebből nyilvaacutenvaloacutevaacute vaacutelik az is hogy az

elektronegativitaacutesok alapjaacuten nem mindig lehet egyeacutertelműen eldoumlnteni hogy egy koumlteacutes mennyire

polaacuteris

Delokalizaacutelt elektronok

Delokalizaacutecioacute ha egy elektron nem rendelhető egyeacutertelműen egy adott atomhoz vagy keacutemiai

koumlteacuteshez az elektront delokalizaacuteltnak tekintjuumlk

A latin eredetű szoacute jelenteacutese nem helyhez koumltoumltt A lokalizaacutelt (bdquohelyhez koumltoumlttrdquo) koumlteacutes joacutel

meghataacuterozottan keacutet atom koumlzoumltt helyezkedik el

Akkor joumln leacutetre delokalizaacutecioacute ha egy molekulapaacutelya kettőneacutel toumlbb atomra terjed ki

Koumlvetkezzen egy peacutelda delokalizaacutelt elektronszerkezetre

A benzol keacuteplete C6H6 siacutek szerkezetű molekulaacutejaacuteban a szeacutenatomok egy szabaacutelyos hatszoumlg

csuacutecsaiban talaacutelhatoacutek Az oktettelv teljesuumlleacutese ceacuteljaacuteboacutel a szeacutenatomok koumlzeacute vaacuteltakozva egyes eacutes kettős

koumlteacuteseket kellene berajzolnunk (oumlsszesen hat ζ- eacutes haacuterom π-koumlteacutes)

C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

Mint koraacutebban emliacutetettuumlk a kettős koumlteacutes hossza roumlvidebb az egyes koumlteacuteseacuteneacutel iacutegy a benzol eseteacuten

is vaacuteltakozoacute hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket kellene kapnunk A kiacuteseacuterleti vizsgaacutelatok azonban ndash ezek alapjaacuten

kisseacute meglepő moacutedon ndash a szeacutenatomok koumlzoumltt azonos hosszuacutesaacuteguacute koumlteacuteseket aacutellapiacutetottak meg Ez azt

sejteti hogy a szeacutenatomok koumlzoumltti koumlteacutes nem tekinthető sem egyes sem kettős koumlteacutesnek hanem

valahol a kettő koumlzoumltt van A benzol 3 middot 2 = 6 π-elektronja delokalizaacuteloacutedik a hat szeacutenatom foumlloumltt Ennek

megjeleniacuteteacuteseacutere gyakran alkalmazzuk az alaacutebbi keacutepletjeloumlleacutest (a karika a hat delokalizaacuteloacutedott elektront

jeleniacuteti meg)



C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

31 peacutelda

Iacuterjuk fel a koumlvetkező molekulaacutek elektronszerkezeteacutet

a) hidrogeacuten-klorid (HCl)

b) viacutez (H2O)

c) etileacuten (H2CCH2)

d) acetileacuten (HCCH)

e) szeacuten-dioxid (CO2)

f) keacuten-dioxid (SO2)

g) keacuten-trioxid (SO3)

h) ammoacuteniumion (NH4+)

Megoldaacutes

a) A hidrogeacuten-kloridban egy koumltő elektronpaacuteron keresztuumll joumln leacutetre a kovalens koumlteacutes a

kloacuteratomnak pedig van haacuterom magaacutenos elektronpaacuterja

H Cl

Mivel a hidrogeacuten eacutes a kloacuter elektronegativitaacutesa jelentősen elteacuterő [EN(H) = 21 EN(C) = 31] a

koumlteacutes polaacuteris kovalens koumlteacutesnek tekinthető

b) A viacutezmolekulaacuteban az oxigeacuten hat vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel kettőt bead a keacutet egyes koumlteacutesbe iacutegy a

megmaradoacute neacutegy elektronjaacuteboacutel keacutet magaacutenos elektronpaacuter joumln leacutetre

HO

H

A hidrogeacuten eacutes oxigeacuten koumlzoumltt viszonylag nagy az elektronegativitaacutesbeli kuumlloumlnbseacuteg ezeacutert a HminusO

koumlteacutes polaacuteris

c) A neacutegy vegyeacuterteacutekelektronnal rendelkező szeacutennek meacuteg neacutegy elektronra van szuumlkseacutege az

elektronoktett kialakiacutetaacutesaacutehoz tehaacutet neacutegy kovalens koumlteacutes kialakiacutetaacutesaacutera keacutepes Egy szeacutenatom a

hozzaacute kapcsoloacutedoacute keacutet hidrogeacutenatom feleacute ad egyndashegy elektront iacutegy a keacutet szeacutenatom koumlzoumltt

kettős koumlteacutes van

C C

H

H H

H

d) Termeacuteszetesen a szeacutenatomok elektronoktettjeacutenek ismeacutet leacutetre kell joumlnnie Egy szeacutenatom a neacutegy

vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel egyet a hidrogeacuten-szeacuten koumlteacutesbe ad iacutegy a maradeacutek haacuterom elektronboacutel a

szeacutenatomok koumlzoumltt haacutermas koumlteacutes joumln leacutetre

C CH H



e) A szeacuten-dioxid-molekulaacuteban a koumlzponti szeacutenatomhoz keacutet oxigeacutenatom kapcsoloacutedik iacutegy neacutegy

vegyeacuterteacutekelektronjaacuteboacutel keacutet kettős koumlteacutes joumln leacutetre a keacutet oxigeacutennel

OCO

A keacutet oxigeacutenatomnak marad 6 minus 2 = 4 elektronja melyből keacutet magaacutenos paacuter joumln leacutetre

f) A keacuten-dioxidban a koumlzponti keacutenatomhoz keacutet oxigeacuten kapcsoloacutedik A keacuten a 16 főcsoportban

talaacutelhatoacute iacutegy 6 vegyeacuterteacutekelektronja van Az oxigeacutenek (a fentiekhez hasonloacutean) kettős koumlteacutessel

kapcsoloacutednak a keacutenhez hogy eleacuterjeacutek a nemesgaacutez elektronkonfiguraacutecioacutet A keacutenatomnak iacutegy 4

elektronja a keacutet kettős koumlteacutesbe adoacutedik a maradeacutek keacutet elektron pedig egy magaacutenos elektronpaacutert

keacutepez Iacutegy a keacuten-dioxid elektronszerkezete

OS

O

(Az eacuterdeklődők kedveacuteeacutert megjegyezzuumlk ha oumlsszeszaacutemoljuk a keacutenatom koumlruumlli elektronok szaacutemaacutet

eredmeacutenyuumll 10-et kapunk Az olyan atomokat melyeknek nyolcnaacutel toumlbb vegyeacuterteacutekelektronjuk van

hipervalens atomoknak nevezzuumlk)

g) A keacuten-trioxidban haacuterom darab kettős koumlteacutessel kapcsoloacutedik haacuterom oxigeacutenatom a koumlzponti

keacutenatomhoz

OS

O

O

h) Az ammoacuteniumion uacutegy keacutepződik hogy az ammoacuteniamolekula nitrogeacutenjeacutenek magaacutenos

elektronpaacuterjaacutera egy protont helyezuumlnk Az iacutegy kialakuloacute koumlteacutes tulajdonkeacuteppen datiacutev koumlteacutesnek

tekinthető (nitrogeacuten elektronpaacuterdonor hidrogeacuten elektronpaacuter-akceptor) Az ammoacuteniumionban

talaacutelhatoacute neacutegy ζ-koumlteacutes teljesen egyforma

N

H

HH

H

Az ammoacuteniumion szerkezete nagyon hasonloacute a metaacuteneacutehoz Ez nem is meglepő mivel az

ammoacuteniumionban eacutes a metaacutenmolekulaacuteban pontosan ugyanannyi elektron talaacutelhatoacute

312 Maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutesek

A fentiekben megismerkedtuumlk az erős elsőrendű koumlteacutesekkel Az ionos eacutes feacutemes koumlteacutes leacutetrejoumltteacutevel igen

nagyszaacutemuacute reacuteszecske tud oumlsszekapcsoloacutedni A molekulaacuten beluumll a kovalens koumlteacutes csak az egymaacutes

melletti atomokat tartja oumlssze A maacutesodrendű koumlteacutesek szerepe elsősorban a molekulaacutek oumlsszetartaacutesa

A maacutesodrendű (vagy maacutesodlagos) koumlteacutesek az elsőrendű koumlteacutesekneacutel gyengeacutebbek koumlteacutesi

energiaacutejuk rendszerint egy nagysaacutegrenddel kisebb mint az elsőrendű koumlteacutesekeacute A maacutesodrendű

koumlteacuteseket szokaacutes oumlsszefoglaloacute neacuteven van der Waals-koumllcsoumlnhataacutesoknak is nevezni



A maacutesodlagos koumlteacutesek fajtaacutei

Dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes dipoacutelusmolekulaacutek koumlzoumltt leacutetrejoumlvő koumllcsoumlnhataacutes melynek alapja az

ellenteacutetes előjelű parciaacutelis toumllteacutesek koumlzoumltti elektrosztatikus vonzaacutes

dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes akkor joumln leacutetre ha a megfelelő toumllteacutesek uacutegy rendeződnek hogy koumlzoumlttuumlk a

legnagyobb stabilizaacutecioacute joumlhessen leacutetre Ezt orientaacutecioacutes hataacutesnak (effektusnak) nevezzuumlk

3121 aacutebra A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes

A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesaacutet megfigyelhetjuumlk a koumlvetkező animaacutecioacuten

3121 animaacutecioacute A dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa

Hidrogeacutenkoumlteacutes (vagy hidrogeacutenhiacutedkoumlteacutes) olyan molekulaacutek koumlzoumltt joumln leacutetre melyekben a

hidrogeacutenatom egy kiemelkedően nagy elektronegativitaacutesuacute atomjaacutehoz kapcsoloacutedik

A hidrogeacutenkoumlteacutes az aacutetlagos dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel erősebb a legerősebb maacutesodrendű koumlteacutes A

hidrogeacutenkoumlteacutes leacutetrejoumltteacutenek felteacutetele hogy a keacutet atom elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nagy kuumlloumlnbseacuteg

legyen Aacuteltalaacuteban akkor szaacutemiacutethatunk hidrogeacutenkoumlteacutes kialakulaacutesaacutera ha a hidrogeacutenatom oxigeacutenhez

nitrogeacutenhez vagy fluorhoz kapcsoloacutedik A hidrogeacutenkoumlteacutes rendkiacutevuumll fontos oumlsszetartoacute erő megtalaacutelhatoacute

szaacutemos termeacuteszetes vegyuumlletben

A viacutez az egyik legfontosabb vegyuumllet melynek molekulaacutei koumlzoumltt hidrogeacutenkoumlteacutes talaacutelhatoacute

O

H

H

H O

H

H

O H

()

()

()

()

()

()

()

()

()

3122 aacutebra A hidrogeacutenkoumlteacutes

Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumllcsoumlnhataacutes egy dipoacutelusmolekula eacutes egy apolaacuteris molekula koumlzoumltt

leacutetrejoumlvő oumlsszetartoacute erő

A dipoacutelusmolekula kismeacuterteacutekű toumllteacutesmegoszlaacutest okoz a koumlzeleacuteben talaacutelhatoacute apolaacuteris molekulaacuteban

ezt indukaacutelt polarizaacutecioacutenak nevezzuumlk A dipoacutelusmolekula eacutes az indukaacutelt polaritaacutessal rendelkező

molekula koumlzoumltt iacutegy elektrosztatikus vonzaacutes joumln leacutetre

+minus +minus +minus +minus +minus +minus +minus +minus



3123 aacutebra A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes

A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes gyengeacutebb a dipoacutelus-dipoacutelus koumlteacutesneacutel mivel az apolaacuteris molekula

csak igen kismeacuterteacutekben tud polarizaacuteloacutedni

3122 animaacutecioacute A dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes kialakulaacutesa

Diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes az apolaacuteris molekulaacutekat oumlsszetartoacute gyenge koumllcsoumlnhataacutes

A diszperzioacutes koumlteacutest szoktaacutek London-koumllcsoumlnhataacutesnak is nevezni

A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes alapja hogy egy molekula (vagy atom) elektronjai folyamatos

veacuteletlenszerű (rezgő) mozgaacutest veacutegeznek iacutegy meacuteg az apolaacuteris molekulaacutekban is leacutetrejoumln kismeacuterteacutekű

polarizaacutecioacute Az iacutegy leacutetrejoumltt pillanatszerű polarizaacuteltsaacuteg a szomszeacutedos apolaacuteris molekulaacutet polarizaacutelja

(hasonloacutean a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus koumlteacutes leacutetrejoumltteacutehez) Tehaacutet oumlnmagaacuteban az apolaacuteris molekulaacutek

eseteacuten is leacutetrejoumlhet pillanatszerű aszimmetrikus toumllteacuteseloszlaacutes indukaacutelt polarizaacutecioacute (megjegyzeacutes az

apolaacuteris jelleg viszont időben kiaacutetlagoloacutedik eacutes iacutegy oumlsszesseacutegeacuteben nem tapasztalunk dipoacutelusjelleget) A

keletkezett gyengeacuten polarizaacutelt molekulaacutek koumlzoumltt elektrosztatikus vonzoacuteerő joumln leacutetre melynek

eredmeacutenye a gyenge diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes

3124 aacutebra A diszperzioacutes koumllcsoumlnhataacutes

A maacutesodrendű koumlteacutesek noumlvekvő erősseacuteg szerinti sorrendje

Diszperzioacutes

(London-)

koumllcsoumlnhataacutes lt

Dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus

koumllcsoumlnhataacutes lt Dipoacutelus-dipoacutelus

koumllcsoumlnhataacutes lt Hidrogeacuten-

koumlteacutes

313 Gyakorloacutekeacuterdeacutesek

1 Mit mond ki az oktettelv (vagy maacuteskeacutepp oktettszabaacutely)

2 Mi az elsőrendű eacutes a maacutesodrendű keacutemiai koumlteacutes

3 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a homonukleaacuteris eacutes a heteronukleaacuteris keacutemiai koumlteacutes koumlzoumltt

4 Definiaacutelja az ionos koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma

5 Definiaacutelja a feacutemes koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma

6 Definiaacutelja a kovalens koumlteacutest Milyen elemek koumlzoumltt jellemző ez a koumlteacutesforma

+minus



7 Mit jelent ha egy kovalens koumlteacutes polaacuteris vagy apolaacuteris

8 Mieacutert nem teljesuumll az oktettszabaacutely a hidrogeacuten eseteacuten

9 A boacuter-trifluoridot (BF3) elektronhiaacutenyos vegyuumlletkeacutent szoktaacutek emlegetni Mieacutert

10 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a kolligaacutecioacutes eacutes a datiacutev kovalens koumlteacutes koumlzoumltt

11 Hogyan jellemezhető a kovalens koumlteacutes erősseacutege

12 Definiaacutelja a koumlvetkező fogalmakat koumlteacuteshossz koumlteacutesi energia

13 Keacutet elem elektronegativitaacutesa alapjaacuten hogyan becsuumllhető meg hogy ezen elemek atomja koumlzoumltt

milyen tiacutepusuacute (elsőrendű) keacutemiai koumlteacutes joumlhet leacutetre

14 Mi a magaacutenos elektronpaacuter Nevezzen meg neacutehaacuteny molekulaacutet melyben valamely atom

rendelkezik magaacutenos elektronpaacuterral

15 Hogyan definiaacutelnaacute a kettős koumlteacutest eacutes a haacutermas koumlteacutest Mi a ζ- eacutes a π-koumlteacutes Soroljon fel neacutehaacuteny

molekulaacutet melyben kettős illetve haacutermas koumlteacutes talaacutelhatoacute

16 Sorolja fel a maacutesodrendű koumlteacutes fajtaacuteit hasonliacutetsa oumlssze őket a fizikai jelenseacuteg illetve a

koumlteacuteserősseacuteg szempontjaacuteboacutel

17 Mi a kuumlloumlnbseacuteg a dipoacutelus-dipoacutelus a dipoacutelus-indukaacuteltdipoacutelus eacutes diszperzioacutes koumlteacutesek koumlzoumltt

18 Milyen koumlteacutes joumlhet leacutetre a koumlvetkező vegyuumlletek molekulaacutei koumlzoumltt

a viacutez (H2O)

b kloroform (maacutes neacuteven trikloacutermetaacuten CHCl3)

c metaacuten (CH4)

d joacuted (I2)

e hidrogeacuten-fluorid (HF)

f keacuten-dioxid (SO2)

g argon (Ar)

h hidrogeacuten-jodid (HI)

32 A molekulaacutek alakja

321 A molekulageometria

A molekulaacutek elektronszerkezete eacutes alakja koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Tehaacutet mielőtt egy

molekula szerkezeteacutet felrajzolnaacutenk fontos aacutetgondolni hogy a molekulaacuteban milyen koumlteacutesek

talaacutelhatoacuteak Az elektronok negatiacutev toumllteacutesuumlk folytaacuten tasziacutetjaacutek egymaacutest iacutegy a molekula elektronpaacuterjai

egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb szeretneacutenek elhelyezkedni

A molekulaacutek szerkezeteacutet a vegyeacuterteacutek-elektronpaacuterok hataacuterozzaacutek meg a koumltő eacutes magaacutenos

elektronpaacuterok uacutegy helyezkednek el hogy taacutevolsaacuteguk maximaacutelis legyen

Fontos megaacutellapiacutetaacutesok

ndash a kettős koumlteacutesek teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacutesekeacute a haacutermas koumlteacutesekeacute pedig nagyobb

mint a kettős koumlteacutesekeacute

ndash a magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban nagyobb mint a koumltő elektronpaacuterokeacute

Ha egy molekula szerkezeteacutet (geometriaacutejaacutet) szeretneacutenk meghataacuterozni az első leacutepeacutes megaacutellapiacutetani

hogy haacuteny koumltő eacutes magaacutenos elektronpaacuterral rendelkeznek az egyes atomok eacutes hogy a koumltő

elektronpaacuterok haacutenyszoros koumlteacutessel kapcsoljaacutek oumlssze az egyes atomokat

A koumlzponti atomot A-val a hozzaacute kapcsoloacutedoacute atomot X-szel a koumlzponti atom magaacutenos

elektronpaacuterjaacutet pedig E-vel szokaacutes jeloumllni



A koumlzponti atomhoz kapcsoloacutedoacute atomot vagy atomcsoportot ligandumnak nevezzuumlk


Koumlteacutesszoumlg a ligandumok atommagjaacutet eacutes a koumlzponti atom atommagjaacutet oumlsszekoumltő szakaszok aacuteltal

bezaacutert szoumlg (A koumlteacutesszoumlg 180deg-naacutel nem lehet nagyobb eacuterteacutekű) XAXrsquo koumlteacutesszoumlg az aacutebra alapjaacuten

A

X

X

XAX szoumlg

Baacutermely egyszerű biner (keacutet elemből aacutelloacute) molekulaacutet feliacuterhatunk AXnEm alakban (Az X jeloumllhet

aacuteltalaacutenos ligandumot is tehaacutet nem biztos hogy azonos ligandumokroacutel van szoacute A tovaacutebbiakban azon

molekulaacutekkal foglalkozunk melyek koumlzponti atomja koumlruumll azonos ligandumok talaacutelhatoacutek)

A molekula alakjaacuten vagy geometriaacutejaacuten a ligandumok atommagjai aacuteltal meghataacuterozott

geometriai alakzatot eacutertjuumlk

Lineaacuteris molekula egy haacuterom- vagy toumlbbatomos molekula lineaacuteris ha minden atommagja

ugyanarra az egyenesre esik (A keacutetatomos molekulaacutek eseteacuten az atommagok mindig egy egyenesre

esnek itt nincs eacutertelme linearitaacutesroacutel beszeacutelni)

Erre egy peacutelda az acetileacuten- (etin-) molekula

C CH H

Siacutek vagy planaacuteris molekula minden atomja egy siacutekba esik

Peacuteldaacuteul a koraacutebban emliacutetett boacuter-trifluorid siacutekmolekula mivel az oumlsszes atomja egy siacutekban

talaacutelhatoacute az FBF koumlteacutesszoumlgek 120deg-osak eacutes a haacuterom FminusBminusF koumlteacutesszoumlg oumlsszege kiadja a teljesszoumlget

(360deg)

B

F

FF

322 A molekulaacutek polaritaacutesa

Maacuter a keacutemiai koumlteacutesekkel foglalkozoacute fejezet elejeacuten emliacutetettuumlk az apolaacuteris eacutes a dipoacutelusmolekula

fogalmaacutenaacutel hogy a molekula polaritaacutesa szempontjaacuteboacutel nemcsak a koumlteacutesek polaritaacutesa szaacutemiacutet hanem

azok teacuterbeli elrendeződeacutese is

Azon molekula melyben csak apolaacuteris koumlteacutesek talaacutelhatoacuteak az mindig apolaacuteris A polaacuteris

koumlteacuteseket tartalmazoacute molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula ha a koumlteacutesek dipoacutelusvektorainak

eredője nullvektor a molekula apolaacuteris ha a dipoacutelusvektorainak eredője nem zeacuterus vektor a

molekulaacutenak van eredő dipoacutelusa tehaacutet dipoacutelusmolekulaacuteroacutel van szoacute

Ezt szemleacuteltessuumlk is egy-keacutet peacuteldaacuteval

Szeacutenhidrogeacutenek olyan vegyuumlletek melyek csak szeacuten- eacutes hidrogeacutenatomot tartalmaznak Neacutehaacuteny

peacutelda metaacuten (CH4) etaacuten (H3CminusCH3) propaacuten (H3CminusCH2minusCH3) etileacuten (H2C=CH2) acetileacuten



(HminusCequivCminusH) benzol (C6H6) A szeacuten eacutes hidrogeacuten elektronegativitaacutesa koumlzoumltt nincs nagy kuumlloumlnbseacuteg

(∆EN = 04) ezeacutert a CminusH koumlteacutesek apolaacuterisnak tekinthetők A koumlteacutesek elrendeződeacuteseacutetől fuumlggetlenuumll az

oumlsszes szeacutenhidrogeacuten apolaacuteris molekulaacutejuacute

Viacutez keacuteplete H2O Az oxigeacuten eacutes hidrogeacuten elektronegativitaacutesa igen elteacuterő (∆EN = 14) ezeacutert a HminusO

koumlteacutesek polaacuterisak Mint a keacutesőbbiekben laacutetjuk majd a viacutez molekulaacuteja V-alakuacute

H

O

H Rajzoljuk be a dipoacutelusvektorokat

H

O

H

A dipoacutelusvektorok eredője (keacutek nyiacutellal jeloumllve) nem nullvektor ezeacutert a viacutez dipoacutelusmolekula

H

O

H

Szeacuten-dioxid keacuteplete CO2 egy szeacutenatomhoz keacutet oxigeacuten kapcsoloacutedik A szeacuten eacutes oxigeacuten

elektronegativitaacutesa koumlzoumltt viszonylag jelentős a kuumlloumlnbseacuteg (∆EN = 10) ezeacutert a CminusO koumlteacutesek

polaacuterisak A szeacutennek nincsen magaacutenos elektronpaacuterja ezeacutert a keacutet ligandum uacutegy helyezkedik el hogy az

OCO koumlteacutesszoumlg 180deg legyen

O C O

A dipoacutelusvektorokat berajzolva azt tapasztaljuk hogy azok eredője nullvektor A szeacuten-dioxid ndash

noha koumlteacutesei polaacuterisak ndash apolaacuteris molekula

O C O

A molekulaacutek szerkezete alapjaacuten a molekula polaritaacutesa megbecsuumllhető A tovaacutebbiakban azt is

megvizsgaacuteljuk hogy egy adott molekulageometria eseteacuten a molekula apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula

Megjegyzeacutes a szimmetria a molekulaacutek szerkezeteacuteben igen fontos jellemző A szimmetria eacutes a

molekula polaritaacutesa koumlzoumltt szoros oumlsszefuumlggeacutes aacutell fenn Viszont az helytelen megaacutellapiacutetaacutes hogy a

szimmetrikus molekulaacutek mindig apolaacuterisak Vegyuumlk peacuteldaacuteul a viacutezmolekulaacutet Szerkezete szimmetrikus

aacutem meacutegis dipoacutelusmolekula Egy bizonyos szimmetria szuumlkseacuteges ehhez nem elegendő baacutermilyen

szimmetria Peacuteldaacuteul ha egy molekulaacuteban van inverzioacutes centrum akkor az a molekula apolaacuteris Az

inverzioacutes centrum egy olyan pont melyre koumlzeacuteppontosan tuumlkroumlzve a molekulaacutet az eredeti molekulaacuteval

azonos geometriaacutet kapunk A viacutezmolekula szerkezete nem rendelkezik inverzioacutes centrummal a szeacuten-

dioxid-molekula viszont igen a szeacutenatom (atommagja) az inverzioacutes centrum erre koumlzeacuteppontosan

tuumlkroumlzve a molekulaacutet oumlnmagaacutet kapjuk vissza Ehhez hasonloacutean az etileacuten is rendelkezik inverzioacutes

centrummal a keacutet szeacutenatomot oumlsszekoumltő egyenes felezőpontjaacuteban Ebből is laacutethatoacute hogy az inverzioacutes

centrum nem szuumlkseacutegszerűen azonos a molekula valamely atomjaacuteval

323 Egyszerű molekulaacutek szerkezete

Most vizsgaacuteljuk meg hogy a fenti szabaacutelyokat figyelembe veacuteve adott n eacutes m eacuterteacutekek eseteacuten milyen

szerkezetű lesz az AXnEm aacuteltalaacutenos keacuteplettel rendelkező molekula Az egyszerűseacuteg kedveacuteeacutert a

molekula minden liganduma azonos (Eacutertelemszerűen az n index 1-neacutel nagyobb egeacutesz m lehet 0 vagy

pozitiacutev egeacutesz szaacutem A eacutes X jeloumllheti akaacuter ugyanazt az elemet is)

n = 1 m = tetszőleges AX1Em

A molekula keacutet atomboacutel aacutell oumlsszesen iacutegy atommagjaik biztosan egy vonalra esnek

(Termeacuteszetesen tetszőleges szaacutemuacute magaacutenos elektronpaacuter kapcsoloacutedhat baacutermelyik atomhoz)

A molekula lehet apolaacuteris vagy dipoacutelusmolekula attoacutel fuumlggően hogy az AminusX koumlteacutes apolaacuteris

vagy polaacuteris



Peacutelda HCl F2 O2 N2 CNminus

Magaacutenos paacuterral nem rendelkező koumlzponti atomuacute molekulaacutek (AXn m = 0)

n = 2 m = 0 AX2E0

A molekula koumlzponti atomja koumlruumll keacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll mindkettő koumltő

elektronpaacuter Ezek uacutegy tudnak legtaacutevolabb keruumllni egymaacutestoacutel (tasziacutetaacutesuk koumlvetkezteacuteben) ha az XAXrsquo

koumlteacutesszoumlg 180deg

Ebben az esetben az AX2 molekula geometriaacuteja lineaacuteris

Az ilyen szerkezetű molekula apolaacuteris (amennyiben csak egyfeacutele ligandum kapcsoloacutedik hozzaacute)

Peacutelda CO2 BeF2

n = 3 m = 0 AX3E0

A molekula koumlzponti atomjaacutehoz haacuterom ligandum kapcsoloacutedik ennek a haacuterom elektronpaacuternak kell

egymaacutestoacutel a lehető legtaacutevolabb elrendeződniuumlk Ez uacutegy teljesuumll ha a koumlzponti atom eacutes a haacuterom

kapcsoloacutedoacute ligandum ugyanabban a siacutekban helyezkedik el (Aacutellandoacute AminusX koumlteacutestaacutevolsaacutegok eseteacuten

baacutermely atomot kimozdiacutetva a siacutekboacutel az atomok egy reacutesze koumlzeledik egymaacuteshoz) Mindhaacuterom AminusX

koumlteacutes ugyanolyan hosszuacute

Az ilyen elrendeződeacutest szabaacutelyos haacuteromszoumlg vagy trigonaacutelis planaacuteris geometriaacutejuacutenak nevezzuumlk

(a ligandumok a szabaacutelyos haacuteromszoumlg csuacutecspontjai) A trigonaacutelis szoacute jelenteacutese haacuteromszoumlges

A haacuteromszoumlg alakuacute molekula apolaacuteris (amennyiben csak egyfeacutele ligandum kapcsoloacutedik hozzaacute)

Peacutelda BF3 SO3 NO3minus CO3

2minus BO33minus

n = 4 m = 0 AX4E0

A neacutegy koumltő elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot

egy tetraeacuteder koumlzepeacutebe helyezzuumlk a ligandumok pedig a tetraeacuteder neacutegy csuacutecsaacuteban helyezkednek el A

szimmetria koumlvetkezteacuteben minden AminusX koumlteacutes egyforma hosszuacute

A molekula geometriaacuteja tetraeacutederes

Ha egy molekula tetraeacutederes szerkezetű akkor apolaacuteris (ha csak egyfeacutele ligandumok

kapcsoloacutednak hozzaacute pl CCl4 ndash szeacuten-tetraklorid eseteacuten)

Peacutelda CH4 SO42minus PO4

2minus

n = 5 m = 0 AX5E0

Az oumlt elektronpaacuterboacutel haacuterom egy siacutekban rendeződik el haacuteromszoumlg alakban a maacutesik keacutet elektronpaacuter

pedig a siacutek alatt illetve foumlloumltt helyezkedik el Az oumlt AminusX koumlteacutesből haacuterom elteacuter a maacutesik kettőtől elteacuterő

koumlrnyezetben talaacutelhatoacute iacutegy ezen koumlteacutesek hossza aacuteltalaacuteban elteacuter a maacutesik keacutet koumlteacutes hosszaacutetoacutel

A haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ligandumok poziacutecioacutejaacutet ekvatoriaacutelisnak miacuteg az erre

merőlegesekeacutet pedig axiaacutelisnak (vagy apikaacutelisnak) nevezzuumlk

Keacutet egymaacutes melletti ekvatoriaacutelis helyzetben leacutevő ligandum koumlzoumltti koumlteacutesszoumlg 120deg miacuteg egy

axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis ligandum koumlzoumltt 90deg-os a koumlteacutesszoumlg

Az iacutegy keletkező szerkezet olyan mintha keacutet haacuteromszoumlg alapuacute piramist egy lapjukon

oumlsszeilleszteneacutenk ezeacutert az ilyen molekulageometria elnevezeacutese haacuteromszoumlg alapuacute bipiramis vagy

trigonaacutelis bipiramis

Az ilyen koumlteacuteselrendeződeacutes eseteacuten a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor a molekula apolaacuteris

Peacutelda PF5 AsCl5

Megjegyzeacutes oumlt ligandum nemcsak haacuteromszoumlg alapuacute piramis alakban rendeződhet el hanem

lehetseacuteges egy maacutesfajta elrendeződeacutes is melynek neve neacutegyzet alapuacute piramis vagy tetragonaacutelis

piramis Ekkor a ligandumok egy neacutegyzet alapuacute egyenes guacutela csuacutecsaiban foglalnak helyet



Rendszerint a trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutes energetikailag kedvezőbb mint a tetragonaacutelis

piramisos

n = 6 m = 0 AX6E0

A hat elektronpaacuter teacuterben uacutegy helyezkedik el egymaacutestoacutel legtaacutevolabb ha a koumlzponti atomot egy

oktaeacuteder koumlzepeacutebe a ligandumokat pedig az oktaeacuteder hat csuacutecsaacuteba helyezzuumlk Az oumlsszes AminusX koumlteacutes

hossza azonos Keacutet egymaacutes melletti X eacutes Xrsquo ligandum eseteacuten az XAXrsquo szoumlg 90deg-os

Az ilyen elrendeződeacutest oktaeacutederes geometriaacutenak nevezzuumlk

Ha egy molekula alakja oktaeacuteder akkor nem lehet dipoacutelusmolekula

Peacutelda SF6 PF6minus

n = 7 m = 0 AX7E0

Az alaacutebbiakban csak a legjellegzetesebb geometria kialakulaacutesaacutet ndash elsősorban eacuterdekesseacutegkeacutent ndash

taacutergyaljuk A heacutet elektronpaacuterboacutel oumlt egy siacutekban egy szabaacutelyos oumltszoumlg csuacutecsainak iraacutenyaacuteban helyezkedik

el A koumlzponti atom az oumltszoumlg koumlzeacuteppontjaacuteban talaacutelhatoacute a hozzaacute kapcsoloacutedoacute oumlt ligandum pedig az

oumltszoumlg csuacutecsaiban A fennmaradoacute keacutet ligandum az oumltszoumlg siacutekja feleacute eacutes alaacute keruumll uacutegy hogy ezen keacutet

ligandum eacutes a koumlzponti atom egy egyenesbe esik A molekulaacuteban keacutetfeacutele koumlteacuteshosszt figyelhetuumlnk

meg aacuteltalaacuteban az oumltszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute koumlteacutesek eacutes a maacutesik keacutet koumlteacutes aacuteltalaacuteban nem egyforma

hosszuacutesaacuteguacute

A keletkező molekula geometriaacutejaacutet oumltszoumlg alapuacute bipiramisnak vagy pentagonaacutelis bipiramisnak

nevezzuumlk

A szimmetrikus elrendeződeacutes koumlvetkezteacuteben a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor iacutegy a molekula

apolaacuteris

Peacutelda IF7

n = 8 m = 0 AX8E0

Csak az eacuterdekesseacuteg eacutes teljesseacuteg kedveacuteeacutert emliacutetjuumlk meg ezt az elrendeződeacutest rendkiacutevuumll ritka A

nyolc koumltő elektronpaacuter egy neacutegyzetes antiprizma csuacutecsain helyezkedik el A neacutegyzetes antiprizma

uacutegy aacutelliacutethatoacute elő ha egy neacutegyzet alapuacute egyenes hasaacuteb alapjaacutet eacutes fedőlapjaacutet egymaacuteshoz keacutepest 45deg-ban

elforgatjuk

A molekula apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor

Peacutelda XeF82minus

Miutaacuten megbirkoacuteztunk az egyszerűbb magaacutenos elektronpaacutert nem tartalmazoacute molekulaacutek

szerkezeteacutevel most vizsgaacuteljunk bonyolultabb eseteket ahol a koumltő elektronpaacuterok mellett magaacutenos

elektronpaacuterok is talaacutelhatoacutek a koumlzponti atom vegyeacuterteacutekheacutejaacuten

n = 2 m = 1 AX2E1

A molekula koumlzponti atomja koumlruumll haacuterom elektronpaacuter talaacutelhatoacute melyek koumlzuumll kettő koumltő

elektronpaacuter A haacuterom elektronpaacuter eseteacuten az ideaacutelis elrendeződeacutes haacuteromszoumlg alakuacute a haacuteromszoumlg keacutet

csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum

A magaacutenos elektronpaacutert tartalmazoacute haacuteromatomos AX2E molekula geometriaacutejaacutet hajlottnak vagy

V-alakuacutenak nevezzuumlk

Amennyiben az AminusX koumlteacutes polaacuteris a V-alakuacute molekula dipoacutelusmolekula

Peacutelda SO2 NO2minus



n = 2 m = 2 AX2E2

Neacutegy elektronpaacuter (keacutet koumltő keacutet magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll ezek

tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacuteba keruumll egy-egy ligandum a maacutesik keacutet csuacutecs

iraacutenyaacuteba a magaacutenos paacuterok mutatnak

A keacutet magaacutenos elektronpaacuterral rendelkező haacuteromatomos molekulaacutek geometriaacuteja az előző ponthoz

hasonloacutean hajlott vagy V-alakuacute

Az ilyen geometriaacutejuacute molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris

Peacutelda H2O H2S

n = 2 m = 3 AX2E3

Oumlsszesen oumlt elektronpaacuter (keacutet koumltő haacuterom magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti atomja koumlruumll

iacutegy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesre szaacutemiacutetunk A magaacutenos elektronpaacuterok teacuterigeacutenye aacuteltalaacuteban

nagyobb mint a ligandumokeacute iacutegy ezek foglaljaacutek el a haacuteromszoumlg siacutekjaacuteban talaacutelhatoacute ekvatoriaacutelis

poziacutecioacutekat a keacutet ligandum pedig a siacutek alaacute eacutes foumlleacute keruumll Az XAXrsquo szoumlg iacutegy 180deg-os tehaacutet a molekula

geometriaacuteja lineaacuteris

A molekula apolaacuteris (laacutesd az AX2 esetet)

Peacutelda XeF2 I3minus

Megjegyzeacutes eacuterdemes aacutetgondolni mieacutert is keruumll a nagyobb teacuterigeacutenyű csoport az ekvatoriaacutelis

poziacutecioacuteba Egy trigonaacutelis bipiramisos elrendeződeacutesű modell eseteacuten legyen az axiaacutelis ligandum Xax az

ekvatoriaacutelis ligandum pedig Xekv Mivel az XekvminusAminusXrsquoekv koumlteacutesszoumlg 120deg az XaxminusAminusXekv koumlteacutesszoumlg

pedig csak 90deg keacutet ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg kisebb mint egy

axiaacutelis eacutes egy ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteban elhelyezkedő ligandum koumlzoumltt Ezeacutert a nagyobb teacuterigeacutenyű

csoport ndash hogy a toumlbbi ligandumtoacutel a legtaacutevolabb helyezkedjen el az ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll

n = 3 m = 1 AX3E1

Ebben az esetben neacutegy elektronpaacuter (haacuterom koumltő egy magaacutenos) talaacutelhatoacute a molekula koumlzponti

atomja koumlruumll iacutegy ezek tetraeacutederesen rendeződnek A tetraeacuteder haacuterom csuacutecsaacuten talaacutelhatoacute ligandum iacutegy

ezek egy siacutekba esnek A magaacutenos elektronpaacuter nagyobb teacuterigeacutenye folytaacuten az XAXrsquo aacuteltalaacuteban kisebb a

tetraeacutederben leacutevőneacutel (azaz 1095deg-naacutel)

A molekula geometriaacuteja haacuteromszoumlg alapuacute piramisos vagy trigonaacutelis piramisos

Polaacuteris AminusX koumlteacutes eseteacuten a molekula polaacuteris

Peacutelda NH3 PF3

n = 3 m = 2 AX3E2

Az elektronpaacuterok szaacutema haacuterom koumltő eacutes keacutet magaacutenos oumlsszesen oumlt elektronpaacuter mely trigonaacutelis

bipiramis alakzatot vesz fel A magaacutenos elektronpaacuteroknak nagyobb a teacuterigeacutenyuumlk ezeacutert ezek az

ekvatoriaacutelis poziacutecioacutekba keruumllnek A haacuterom ligandum koumlzuumll kettő axiaacutelis helyzetben van a harmadik

pedig ekvatoriaacutelisban

A molekula szerkezete T-alakuacute

Amennyiben az AminusX koumlteacutesek polaacuterisak a molekula dipoacutelusmolekula

Peacutelda ClF3

n = 4 m = 1 AX4E1



Az oumlt elektronpaacuterboacutel neacutegy koumltő eacutes egy magaacutenos ismeacutet trigonaacutelis bipiramis alakzatot vesz fel A

magaacutenos elektronpaacuter ebben az esetben is ekvatoriaacutelis poziacutecioacuteba keruumll A neacutegy ligandum koumlzuumll kettő

axiaacutelis helyzetben van a maacutesik kettő pedig ekvatoriaacutelisban

A molekula geometriaacutejaacutet meacuterleghinta alakuacutenak nevezzuumlk (ritkaacutebban torzult tetraeacutedernek is

nevezik)

Mivel a dipoacutelusvektorok eredője nem nullvektor a molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris

Peacutelda SF4

n = 4 m = 2 AX4E2

A koumlzponti atomhoz oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik neacutegy koumltő eacutes keacutet magaacutenos ezek

oktaeacutederesen rendeződnek el A magaacutenos elektronpaacuterok keacutet egymaacutessal ellenteacutetes poziacutecioacutet foglalnak

el hogy tasziacutetaacutesukat csoumlkkentseacutek A toumlbbi neacutegy ligandum neacutegyzet alakban rendeződik el

Az ilyen molekula geometriaacuteja neacutegyzetes vagy tetragonaacutelis planaacuteris

A molekula apolaacuteris (meacuteg polaacuteris AminusX koumlteacutesek eseteacuten is)

Peacutelda XeF4

n = 5 m = 1 AX5E1

Oumlsszesen hat elektronpaacuter kapcsoloacutedik koumlzponti atomhoz ezek ismeacutet oktaeacutederesen rendeződnek el

Az oktaeacuteder egyik csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter

A molekula neacutegyzetes piramisos vagy tetragonaacutelis piramisos szerkezetű


Peacutelda BrF5

n = 6 m = 1 AX6E1

A koumlzponti atomon heacutet elektronpaacuter talaacutelhatoacute ezek pentagonaacutelis bipiramis alakba rendeződnek

ennek az oumltszoumlg siacutekja alatti (vagy feletti) csuacutecsaacuteba keruumll a magaacutenos elektronpaacuter

A molekula oumltszoumlg alapuacute piramisos vagy pentagonaacutelis piramisos szerkezetű

A molekula polaacuteris ha az AminusX koumlteacutes polaacuteris

Peacutelda XeF6

Az alaacutebbi taacuteblaacutezatban a kuumlloumlnfeacutele alapmolekulaacutek szerkezeteacutet foglaltuk oumlssze

n m Keacuteplet

Elektronpaacuterok

elrendeződeacutese a

koumlzponti atom

koumlruumll

Molekula

alakja Koumlteacutesszoumlgek

Polaritaacutes

(ha AminusX

koumlteacutes

polaacuteris)

Peacutelda

1 AX A X polaacuteris HCl

2 0 AX2 lineaacuteris lineaacuteris A XX

XAX 180deg apolaacuteris CO2

1 AX2E trigonaacutelis planaacuteris hajlott vagy

V-alakuacute X

A

X

polaacuteris SO2



2 AX2E2 tetraeacutederes hajlott vagy

V-alakuacute X

A

X

polaacuteris H2O

3 AX2E3 trigonaacutelis

bipiramis lineaacuteris

AX X

XAX 180deg

apolaacuteris XeF2

3 0 AX3 trigonaacutelis planaacuteris trigonaacutelis

planaacuteris X

A

X

X

XAX 120deg

apolaacuteris BF3

1 AX3E tetraeacutederes trigonaacutelis

piramis A

XX

X

polaacuteris NH3


bipiramis T-alakuacute

X

AX X

polaacuteris BrF3

4 0 AX4 szabaacutelyos

tetraeacutederes

szabaacutelyos

tetraeacutederes

X

A

XX

X

XAX 1095deg

apolaacuteris CH4

1 AX4E trigonaacutelis

bipiramis meacuterleghinta

A

X X

XX

polaacuteris SF4

2 AX4E2 oktaeacutederes neacutegyzetes

AX

X X

X

XAX 90deg

apolaacuteris XeF4

5 0 AX5 trigonaacutelis

bipiramis

trigonaacutelis

bipiramis

X AX

X

X

X

apolaacuteris PF5



XAX 120deg

XAXrsquo 90deg

1 AX5E oktaeacutederes tetragonaacutelis

piramis

A

X

X X

X

X

polaacuteris BrF5

6 0 AX6 oktaeacutederes oktaeacutederes

AX

X X

X

X

X

XAX 90deg

apolaacuteris SF6

1 AX6E pentagonaacutelis

bipiramis

pentagonaacutelis

piramis

XX

X

X X

A

X

polaacuteris XeF6

7 0 AX7 pentagonaacutelis

bipiramis

pentagonaacutelis

bipiramis

XX

X

X XA

X

X

XAX 72deg

XAXrsquo 90deg

apolaacuteris IF7

8 0 AX8 tetragonaacutelis

antiprizma

tetragonaacutelis

antiprizma

X XA

XX X

XX

X

apolaacuteris XeF82minus

Az alaacutebbi animaacutecioacuteban a molekulaacutek teacuterszerkezete joacutel megfigyelhető

3221 animaacutecioacute A molekulaacutek teacuterszerkezete

Megjegyzeacutes a legtoumlbb szimmetrikus szerkezetű egyszerű molekula koumlteacutesszoumlgeit koumlnnyen

kiszaacutemiacutethatjuk A szabaacutelyos tetraeacutederes elrendeződeacuteshez tartozoacute koumlteacutesszoumlg is kiszaacutemiacutethatoacute

trigonometriai oumlsszefuumlggeacutesekkel mint ahogy az eacuterdeklődő Olvasoacutenak az alaacutebbiakban bemutatjuk

Vegyuumlnk egy olyan szabaacutelyos tetraeacutederes szerkezetű molekulaacutet melyben a koumlteacuteshosszak egyseacutegnyiek



3231 aacutebra Tetraeacutederes elrendeződeacutes

A b szakasz hossza (egyseacutegnyi koumlteacutesszoumlg eseteacuten) az ABD dereacutekszoumlgű haacuteromszoumlgből

b = 1 middot sin (180degminusα) = 1 middot sin α = sin α

Az bdquoardquo oldal hosszaacutera keacutet koszinuszteacutetelt is feliacuterhatunk

Az ABC haacuteromszoumlgre

a2 = 12 + 12 minus 2 middot 1 middot 1 middot cos α = 2 minus 2 middot cos α

A BCD haacuteromszoumlgre

a2 = b

2 + b

2 minus 2 middot b middot b middot cos 120deg = 2 middot sin

2 α minus 2 middot sin

2 α middot

2

1=

a2 = 2 middot sin2 α + sin2 α = 3 middot sin2 α

Ebből koumlvetkezik hogy

2 minus 2 middot cos α = 3 middot sin2 α

2 minus 2 middot cos α = 3 minus 3 middot cos2 α

3 middot cos2 α minus 2 middot cos α minus 1 = 0

cos α = 1 eacutes cos α =

3

1

Az első gyoumlkből α = 0deg a maacutesodikboacutel pedig α = 109471deg asymp 1095deg

Neacutegy ligandum eseteacuten (AX4) valoacutesziacutenűleg sokaknak az jut eszeacutebe előszoumlr hogy ndash a haacuteromszoumlges

elrendeződeacuteshez hasonloacutean (AX3) ndash a neacutegy ligandum egy siacutekban egy neacutegyzet csuacutecsain helyezkedik el

egymaacutestoacutel legtaacutevolabb Eacuterdemes megvizsgaacutelni azt a keacuterdeacutest is hogy neacutegy ligandum eseteacuten mieacutert

kedvezőbb a szabaacutelyos tetraeacutederes geometria mint a neacutegyzetes elrendeződeacutes A koumlzponti atom eacutes a

ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacutegot mindkeacutet esetben egyseacutegnyinek tekintjuumlk

A fenti esetben a szabaacutelyos tetraeacuteder keacutet csuacutecsaacutenak taacutevolsaacutega (azaz keacutet pontszerű ligandum

taacutevolsaacutega)

α

1

1

120deg

α1

a

b

b

A

B

C

D



a2 = 3 middot sin2 α = 3 middot (1 minus cos2 α) = 3 middot 3

8

3

11

2

a =

3

22 asymp 1633

Neacutegyzetes elrendeződeacutes eseteacuten a koumlvetkező geometriaacutet kapjuk

3232 aacutebra Neacutegyzetes elrendeződeacutes

Ebben az esetben keacutet ligandum koumlzoumltti taacutevolsaacuteg arsquo melynek eacuterteacuteke arsquo = 2 asymp 1414

Joacutel laacutethatoacute hogy szabaacutelyos tetraeacutederes elrendeződeacutes eseteacuten a ligandumok taacutevolabb helyezkednek

el egymaacutestoacutel (a = 1633) mint a neacutegyzetes geometria eseteacuten (arsquo = 1414 egyseacuteg) Ebből is szeacutepen

laacutetszik az oumlsszefuumlggeacutes hogy mineacutel nagyobb egy koumlteacutesszoumlg a keacutet ligandum annaacutel taacutevolabb helyezkedik

el egymaacutestoacutel

324 Oumlsszetettebb molekulaacutek szerkezete

A koumlvetkezőkben neacutehaacuteny peacuteldaacutet mutatunk be oumlsszetettebb molekulaacutek szerkezeteacutere Ezekben nem

egyforma ligandumok kapcsoloacutednak koumlzponti atomhoz

Etileacuten (eteacuten)

Az etileacuten keacuteplete C2H4 A keacutet szeacutenatom koumlzoumltt kettős koumlteacutes van a szeacutenatomok koumlruumll haacuterom

ligandum helyezkedik el (egy szeacuten eacutes keacutet hidrogeacuten) ezek haacuteromszoumlg alakban rendeződnek Mivel a

kettős koumlteacutes teacuterigeacutenye nagyobb mint az egyes koumlteacuteseacute a HCH-koumlteacutesszoumlg kisebb mint a HCC-

koumlteacutesszoumlg

C C

H

H H

H

Az etileacutenmolekula apolaacuteris mivel minden koumlteacutese apolaacuteris Megjegyezzuumlk ha az oumlsszes hidrogeacutent

lecsereacuteljuumlk neacutegy olyan azonos atomra hogy a koumlteacutes polaacuterissaacute vaacuteljon (peacuteldaacuteul fluor) az iacutegy keletkező

molekula is apolaacuteris mivel a dipoacutelusvektorok eredője nullvektor

Acetileacuten (etin)

Keacuteplete C2H2 a szeacutenatomok koumlzoumltt haacutermas koumlteacutes helyezkedik el A szeacutenatom koumlruumll keacutet ligandum

van (egy szeacuten eacutes egy hidrogeacuten) lineaacuteris geometria

C CH H

Az acetileacuten ndash a toumlbbi szeacutenhidrogeacutenhez hasonloacutean ndash apolaacuteris molekulaacutejuacute

Dikloacuter-metaacuten

1

1

90deg arsquo

COPYRIGHT 2011-2016 Dr Benkő Zoltaacuten Kőmiacutevesneacute Tamaacutes Ibolya Dr Stankovics Eacuteva BME

Vegyeacuteszmeacuternoumlki eacutes Biomeacuternoumlki Kar Szervetlen eacutes Analitikai Keacutemia Tanszeacutek

LEKTORAacuteLTA Dr Igaz Sarolta OKKER Zrt

KOumlZREMŰKOumlDOumlTT Fekete Csaba Koumlnczoumll Laacuteszloacute

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 30 (CC BY-NC-ND 30)

A szerző neveacutenek feltuumlnteteacutese mellett nem kereskedelmi ceacutellal szabadon

maacutesolhatoacute terjeszthető megjelentethető eacutes előadhatoacute de nem moacutedosiacutethatoacute

TAacuteMOGATAacuteS

Keacuteszuumllt a TAacuteMOP-412-082AKMR-2009-0028 szaacutemuacute bdquoMultidiszciplinaacuteris modulrendszerű digitaacutelis

tananyagfejleszteacutes a vegyeacuteszmeacuternoumlki biomeacuternoumlki eacutes vegyeacutesz alapkeacutepzeacutesbenrdquo ciacutemű projekt kereteacuteben

KEacuteSZUumlLT a Typotex Kiadoacute gondozaacutesaacuteban

FELELŐS VEZETŐ Votisky Zsuzsa

AZ ELEKTRONIKUS KIADAacuteST ELŐKEacuteSZIacuteTETTE Waizinger Joacutezsef

ISBN 978-963-279-479-2

KULCSSZAVAK

aacuteltalaacutenos keacutemia szervetlen keacutemia szerves keacutemia anyagszerkezet keacutemiai reakcioacutek keacutemiai egyensuacutelyok

elektrokeacutemia matematikai eacutes fizikai alapismeretek

OumlSSZEFOGLALAacuteS

A Keacutemiai alapok ciacutemű elektronikus tananyag 12 fejezetre tagoloacutedik Az első fejezet tartalmazza keacutesőbbiek

megeacuterteacuteseacutehez elengedhetetlenuumll szuumlkseacuteges matematikai eacutes fizikai fogalmakat oumlsszefuumlggeacuteseket Ezutaacuten egy

igen terjedelmes aacuteltalaacutenos keacutemiai reacutesz koumlvetkezik mely ismerteti az atomszerkezet molekulaszerkezet

alapjait a kuumlloumlnboumlző halmazaacutellapotok eacutes halmazaacutellapot-vaacuteltozaacutesok legfontosabb jellemzőit A

koncentraacutecioacutekkal oldatokkal eacutes hiacuteg oldatok toumlrveacutenyszerűseacutegeivel foglalkozoacute fejezetek nemcsak a

koumlzeacutepiskolai tananyagot hanem az egyetemek első feacuteleacuteveacuteben taniacutetott ismereteket is taacutergyaljaacutek A Keacutemiai

reakcioacutek ciacutemű fejezetben az Olvasoacute megismerkedhet a keacutemiai egyenletek rendezeacuteseacutevel a sztoumlchiometria

alapjaival a termokeacutemia legfontosabb toumlrveacutenyszerűseacutegeivel valamint a reakcioacutekinetika alapfogalmaival A

Keacutemiai egyensuacutelyok ciacutemű fejezet toumlbbek koumlzoumltt taacutergyalja a homogeacuten eacutes heterogeacuten faacutezisuacute egyensuacutelyokat az

elektrolitegyensuacutelyokat (pH-egyensuacutelyok komplexkeacutepződeacutesi egyensuacutelyok oldhatoacutesaacutegi egyensuacutelyok)

valamint a megoszlaacutesi egyensuacutelyokat Az aacuteltalaacutenos keacutemiaacuteval foglalkozoacute reacuteszt az Elektrokeacutemia ciacutemű fejezet

zaacuterja A jegyzet utolsoacute fejezetei roumlviden ismertetik a legfontosabb szervetlen eacutes szerves keacutemiai ismereteket

veacuteguumll az eacuterdeklődő Olvasoacute az utolsoacute fejezetben talaacutelhatoacute peacuteldataacuter gyakorloacutefeladatain oumlnaacutelloacutean ellenőrizheti

felkeacuteszuumlltseacutegeacutet






















Előszoacute 5


ELŐSZOacute

























munkaacutenkat









































centimeacuteter









































megadni

















ellenőrizni tudjuk

11 peacutelda



Megoldaacutes


tartalmaz












V = 297 ∙ 10minus4 m3
















12 peacutelda


Megoldaacutes








kg3

forintw

kg2

forint1800










kg

forint900

kg2

forint1800

toumlmeg

aacutera
















13 peacutelda





Megoldaacutes











y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg







a2

ca4bbx

2

1

eacutes

a2

ca4bbx

2

2






14 peacutelda



Megoldaacutes







2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

21

azaz 2

93x1

eacutes 6

2

93x 2

15 peacutelda



Megoldaacutes


4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

21



13x





n

1i

n21i aaaa


m

1i

i bbbb


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2






mnnmmn aaa

n

1



n

mm














babloga







alog

blogblog

c

ca









1

















pontban metszi








16 peacutelda



x y

17 377

30 1559

37 2633

42 3615

49 5315

57 7757

69 12506


Megoldaacutes








lg x lg y

02304 05761

04771 11928

05682 14205

06232 15581

06902 17255

07559 18897

08388 20971



















































x y

00 120

50 160

100 200





























17 peacutelda





MgSO4-tartalom

(toumlmeg)

sűrűseacuteg

(gcm3)

6 10602

10 11034

14 11484

18 11955

Megoldaacutes








y = a middot x + b








12

12

xx

yy

x

ya






1

1

xx

yy

x

ya


1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya




11

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy


1147111465110341)1011(1014

1034114841y)xx(

xx

yyy 11

12

12







18 peacutelda




Megoldaacutes





1

1

12

12

xx

yy

xx

yy


1

12

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx


159814141484119551

1418)1484116001(x

yy

xx)yy(x 1

12

121







19 peacutelda



Megoldaacutes







12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya


11

12

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy



9954006021)60(610

0602110341y)xx(

xx

yyy 11

12

12


3 iacutegy az










110 peacutelda


0xlgx

Megoldaacutes



x = f(x)


A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx









A)

x0 = 05 x0 = 05000

x1 = 50000x

1010 0 x1 asymp 01363

x2 = 19630x

1010 1 x2 asymp 03605

x3 = 36050x

1010 2 x3 asymp 02509

x4 = 25090x

1010 3 x4 asymp 03156

x5 = 31560x

1010 4 x5 asymp 02743

x6 = 27430x

1010 5 x6 asymp 02994

x7 = 29940x

1010 6 x7 asymp 02837

x8 = 28370x

1010 7 x8 asymp 02933



x9 = 29330x

1010 8 x9 asymp 02873

x10 = 28730x

1010 9 x10 asymp 02910

x11 = 29100x

1010 10 x11 asymp 02887

x12 = 28870x

1010 11 x12 asymp 02902

x13 = 29020x

1010 12 x13 asymp 02893

x14 = 28930x

1010 13 x14 asymp 02898

x15 = 28980x

1010 14 x15 asymp 02895

x16 = 28950x

1010 15 x16 asymp 02897

x17 = 28970x

1010 16 x17 asymp 02896

x18 = 28960x

1010 17 x18 asymp 02896

x19 = 28960x

1010 18 x19 asymp 02896


megoldaacutesa













B)


x0 = 05 x0 asymp 05000

x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906

x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874

x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013

x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837

x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431

x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055

x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090

x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017

x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)

2 x9 asymp 00897

x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965

x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016

x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140



x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972

x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097

x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555

x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697

x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867

x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311


eacuterteacutekhez






inverzeacutevel is

111 peacutelda



Megoldaacutes









talaacutelhatoacute


A)

3 2x41x




n xn n xn n xn

0 100000 11 minus39848 22 minus39361















B)

3x1

4

1x




nem nagyobb mint 1


n xn n xn n xn

0 1000000 4 0473732 8 0472835

1 0000000 5 0472674 9 0472834

2 0500000 6 0472862 10 0472834

3 0467707 7 0472829 11 0472834


x = 0472834


n xn n xn n xn

0 1000000 5 minus0537118 10 minus0537401

1 0000000 6 minus0537345 11 minus0537402






x1 = minus39354

x2 = 04728

x3 = minus05374




Haacuteromszoumlg

cbaK

2

sinba

2

maT a



Trapeacutez

dcbaK



m2

caT



Paralelogramma

)ba(2K

sinbambmaT ba



Teacuteglalap

)ba(2K

baT


Neacutegyzet

a4K

2aT


Deltoid

)ba(2K

fe2

1T


Rombusz

a4K

sinamaT 2a


szoumlg

Koumlr

dr2K

22 d4

1rT




Haacuteromszoumlg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapeacutez

dcbaK m2

caT

Paralelogramma


Teacuteglalap

)ba(2K baT

Neacutegyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Koumlr

dr2K 22 d4

1rT




Teacuteglatest

)acbcab(2A



cbaV


Kocka

2a6A

3aV



)hr(r2hr2r2A 2

hd4

1hrV 22


Goumlmb

22 dr4A

33 d6

1r

3

4V


Teacuteglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Goumlmb

22 dr4A 33 d6

1r

3

4V





Hosszuacutesaacuteg



Toumlmeg

Jele m (massa)


Idő

Jele t (tempus)



Jele I (intensitas)



Jele T (temperare)


Anyagmennyiseacuteg

Jele n (numerus)






Siacutekszoumlg

Jele α


Teacuterszoumlg




taacutergyaljuk



Prefixumok



yotta- Y 1024

deci- d 10ndash1










123 Mechanika



V

md








t

sv




t

va






amF






A

Fp




hgdp






hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp





Bar

1 bar = 105 Pa



meacuterjuumlk)



h




1 atm = 101 325 Pa






VgdF





sFW s













t

WP


s

F

Fs





Jele ε

ouml

h

W

W

ouml

h

P

P





Jele Q







leacutetre

2

21

r

QQkF


899 ∙ 109 Nm2C2




t

QI







Jele U

Q

WU




haacutenyadosa


I

UR







Jele

AR




hosszt





n

1i

in21e RRRRR



n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1















)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI


b0kk RIURIU



U0

Uk

Rb

Rk

+minus

I





b

00

R

UI




tUIW




Q

WU tIUQUW


tR

UtU

R

UtUIW

2




RIR

UUIW 2

2



125 Hőtan













15273]C[T]K[T






Jele C

T

QC






Jele c

Tm

Qc





Jele cm

Tn

Qcm










Jele α

TT

12

1






Jele β

TV

VV

TV

V 12

1


noumlvekedeacutes








)TT3T31(V)T1()]T1([V 33221

331

312



126 Feacutenytan










t

N

T

1




(=3middot108 ms)


Jele





c



c

hhE
































toumlmeg

Relatiacutev

toumllteacutes









Jele Z


Jele A



Jele N

N = Z minus A







EAZ
























tartalmazza


1 H 100794(7) 1 0 2 1

2 He 4002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6941(2) 6 3 7 4

4 Be 9012182(3) 9 5

5 B 10811(7) 10 5 11 6

6 C 120107(8) 12 6 13 7

7 N 140067(2) 14 7 15 8

8 O 159994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

toumlmegszaacutem

rendszaacutem



9 F 189984032(5) 19 10

10 Ne 201797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 2298976928(2) 23 12

12 Mg 243050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 269815386(8) 27 14

14 Si 280855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30973762(2) 31 16

16 S 32065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 390983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44955912(6) 45 24

22 Ti 47867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 509415(1) 51 28

24 Cr 519961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54938045(5) 55 30

26 Fe 55845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58933195(5) 59 32

28 Ni 586934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63546(3) 63 34 65 36

30 Zn 6538(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69723(1) 69 38 71 40

32 Ge 7264(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 7492160(2) 75 42

34 Se 7896(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 854678(3) 85 48

38 Sr 8762(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 8890585(2) 89 50

40 Zr 91224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 9290638(2) 93 52

42

Mo

9596(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 989063

44

Ru

10107(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 10290550(2) 103 58

46

Pd

10642(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 1078682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114818(3) 113 64

50

Sn

118710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121760(1) 121 70 123 72

52 Te 12760(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 12690447(3) 127 74

54

Xe

131293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 1329054519(2) 133 78

56

Ba

137327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 13890547(7) 139 82

58 Ce 140116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 14090765(2) 141 82

60 Nd 144242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 1469151

62 Sm 15036(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151964(1) 153 90

64 Gd 15725(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 15892535(2) 159 94

66

Dy

162500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 16493032(2) 165 98

68 Er 167259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 16893421(2) 169 100

70

Yb

173054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 1749668(1) 175 104

72 Hf 17849(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 1809479(1) 181 108

74 W 18384(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186207(1) 185 110

76 Os 19023(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196966569(4) 197 118

80

Hg

20059(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 2043833(2) 203 122 205 124

82 Pb 2072(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 20898040(1) 209 126




















stbhellip



































































Oumlsszefoglalva


alheacutejban





1 (K) 1s 1 2 2 = 2 middot 12

2 (L) 2s 1 2

8 = 2 middot 22 2p 3 6

3 (M)

3s 1 2

18 = 2 middot 32 3p 3 6

3d 5 10

4 (N)

4s 1 2

32 = 2 middot 42 4p 3 6

4d 5 10

4f 7 14








2px 2py 2pz2s


2 (L) heacutej
















3px 3py 3pz3s


3 (M) heacutej

3d-alheacutej


1s

2s

3s

4s

5s

2p

3p

4p

5p

3d

4d

5d

4f

6s 6p

1 (K)

2 (L)

3 (M)

4 (N)

5 (O)

6 (P)










Oumlsszefoglalva





helyezhetuumlnk


1s2 rarr 2s

2 rarr 2p6 rarr 3s

2 rarr 3p6 rarr

rarr 4s2 rarr 3d

10 rarr 4p6 rarr 5s

2 rarr 4d10 rarr

rarr 5p6 rarr 6s

2 rarr 4f14

rarr 5d10 rarr 6p

6 hellip








roumlviden

F 1s2 2s2 2p5








N 1s2 2s2 2p3





1s 2s 2p




A)

B)







teljesuumllniuumlk


keruumll



21 peacutelda


Megoldaacutes





1s 2 2

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36




Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2

1s 2s 2p

1s 2s 2p





2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32



















Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2






tuumlntetjuumlk fel



Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6



Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2

4s 4p

Ge 1s2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6 4s

2 3d

10 4p

2

Ar





1s 2 2 2He

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10 10Ne

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18 18Ar

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36 36Kr

5s 2 36 + 2 = 38

4d 10 38 + 10 = 48

5p 6 48 + 6 = 54 54Xe

6s 2 54 + 2 = 56

4f 14 56 + 14 = 70

5d 10 70 + 10 = 80

6p 6 80 + 6 = 86 86Rn

7s 2 86 + 2 =88

5f 14 88 + 14 = 102

6d 10 102 + 10 = 112

7p 6 112 + 6 = 118 118UUo

22 peacutelda


Megoldaacutes


Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10




Cd [Kr] 5s2 4d10



a) 38Sr

b) 13Al

c) 34Se

d) 53I

e) 25Mn

f) 36Kr

g) 67Ho

h) 83Bi

i) 95Am

j) 80Hg

Megoldaacutesok

a) [Kr] 5s2

b) [Ne] 3s2 3p1



c) [Ar] 4s2 3d10 4p4

d) [Kr] 4d10 5s2 5p5

e) [Ar] 4s2 3d5

f) [Ar] 3d10 4s2 4p6

g) [Xe] 4f11 6s2

h) [Xe] 4f14

5d10

6s2 6p

3

i) [Rn] 5f7 7s2

j) [Xe] 4f14 5d10 6s2






























tartozik
























































Perioacutedusok




Mezők




1 1s 1s

2 2s 2p

3 3s 3p

4 4s 3d 4p

5 5s 4d 5p

6 6s 5d 6p

7 7s 6d 7p

4f

5f
























hataacuter

1 s

2

3

4

5

6

7

s -

m

e z

ő

d-mező

p-mező

f-mező



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

I

A

II

A

III

B

IV

B

V

B

VI

B

VII

B

VIII

B

VIII

B

VIII

B

I

B

II

B

III

A

IV

A

V

A

VI

A

VII

A

VIII

A

1 H He










Oszlopok
















tekinthető






































magneacuteziumot is












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He













Nemesfeacutemek




vaacuteltoznak



















joacuted 52Te 12760 53I 12690)































1

2

3

4

5

6

7

ATOMSUGAacuteR
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He












Nem ismert




















1 IF 3 IF3 5 IF5 7 IF7












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 0

2 1 2 3 4 3 2 1 0

3 1 2 3 4 5 6 5 0

4 1 2 3 4 5 6 4 3 4 2 2 2 3 4 5 6 5 2

5 1 2 3 4 5 6 6 6 6 4 3 2 3 4 5 6 7 6

6 1 2 4 5 6 7 6 6 6 5 2 3 4 5 6 7 6

7 1 2

3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4







szaacutema




az oszlopban







[ns2 (nminus1)d4] 6









1 3









eseteacuten







tartalmaz)








vagy NO3minus


keletkezik


keletkezik





2minus)






2minus




































23 peacutelda


a) kalcium

b) gallium

c) oxigeacuten

d) antimon

e) hidrogeacuten

Megoldaacutes















felvesz 3 elektront







H rarr H+ + eminus




Peacuteldaacuteul

O2minus oxid

As3minus arzenid

Hminus hidrid
















szaacutema


















14 (IVA) oszlop 4 4 (4)












leacutetre


X rarr X+ + eminus

















1

2

3

4

5

6

7






hozzunk leacutetre













egeacutesz k-ra)







Xminus

rarr X + eminus



felveacutetele)





Jele EN






























heacuteliumban







1

2

3

4

5

6

7










koumlzoumltt





b atomsugaacuter




























oktettelv
























2minus PO4

3minus SO4

2minus stb









































stb





EN(H) = 21])










H Cl() ()


















































Cs 00 32 Cs 16 48

F 32 00 F 48 80




kapjuk













(BrF) polaacuteris




















elektronszerkezete














CH H

H

H

CH H

H

H







































| N equiv N |




atomot












E(C=C) = 610 kJmol























koumlteacutesnek


















N Nx

y

zpz

py

px









energiaacutejuacute
































N B

H

HH F

FF






B

F

FF

F









monoxid molekula


C O




C O









polaacuteris











C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H







jeleniacuteti meg)



C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

31 peacutelda



b) viacutez (H2O)







Megoldaacutes



H Cl





HO

H







C C

H

H H

H




C CH H





OCO







OS

O





keacutenatomhoz

OS

O

O





N

H

HH

H




























O

H

H

H O

H

H

O H

()

()

()

()

()

()

()

()

()


























Diszperzioacutes

(London-)





koumlteacutes








+minus



















a viacutez (H2O)


c metaacuten (CH4)

d joacuted (I2)



g argon (Ar)

























A

X

X

XAX szoumlg










C CH H




(360deg)

B

F

FF



















H

O


H

O

H


H

O

H





O C O



O C O























vagy polaacuteris





n = 2 m = 0 AX2E0






Peacutelda CO2 BeF2

n = 3 m = 0 AX3E0










2minus BO33minus

n = 4 m = 0 AX4E0








2minus

n = 5 m = 0 AX5E0



















piramisos

n = 6 m = 0 AX6E0







n = 7 m = 0 AX7E0









nevezzuumlk


apolaacuteris

Peacutelda IF7

n = 8 m = 0 AX8E0




elforgatjuk






n = 2 m = 1 AX2E1










n = 2 m = 2 AX2E2







Peacutelda H2O H2S

n = 2 m = 3 AX2E3














n = 3 m = 1 AX3E1







Peacutelda NH3 PF3

n = 3 m = 2 AX3E2







Peacutelda ClF3

n = 4 m = 1 AX4E1







nevezik)


Peacutelda SF4

n = 4 m = 2 AX4E2






Peacutelda XeF4

n = 5 m = 1 AX5E1





Peacutelda BrF5

n = 6 m = 1 AX6E1





Peacutelda XeF6


n m Keacuteplet

Elektronpaacuterok


koumlzponti atom

koumlruumll

Molekula


Polaritaacutes

(ha AminusX

koumlteacutes

polaacuteris)

Peacutelda





V-alakuacute X

A

X

polaacuteris SO2




V-alakuacute X

A

X

polaacuteris H2O



AX X

XAX 180deg

apolaacuteris XeF2


planaacuteris X

A

X

X

XAX 120deg

apolaacuteris BF3


piramis A

XX

X

polaacuteris NH3



X

AX X

polaacuteris BrF3


tetraeacutederes

szabaacutelyos

tetraeacutederes

X

A

XX

X

XAX 1095deg

apolaacuteris CH4



A

X X

XX

polaacuteris SF4


AX

X X

X

XAX 90deg

apolaacuteris XeF4


bipiramis

trigonaacutelis

bipiramis

X AX

X

X

X

apolaacuteris PF5



XAX 120deg

XAXrsquo 90deg


piramis

A

X

X X

X

X

polaacuteris BrF5


AX

X X

X

X

X

XAX 90deg

apolaacuteris SF6


bipiramis

pentagonaacutelis

piramis

XX

X

X X

A

X

polaacuteris XeF6


bipiramis

pentagonaacutelis

bipiramis

XX

X

X XA

X

X

XAX 72deg

XAXrsquo 90deg

apolaacuteris IF7


antiprizma

tetragonaacutelis

antiprizma

X XA

XX X

XX

X

















a2 = b

2 + b



2 α middot

2

1=







3

1









α

1

1

120deg

α1

a

b

b

A

B

C

D




8

3

11

2

a =

3

22 asymp 1633
















C C

H

H H

H







C CH H



1

1

90deg arsquo






















Előszoacute 5


ELŐSZOacute

























munkaacutenkat









































centimeacuteter









































megadni

















ellenőrizni tudjuk

11 peacutelda



Megoldaacutes


tartalmaz












V = 297 ∙ 10minus4 m3
















12 peacutelda


Megoldaacutes








kg3

forintw

kg2

forint1800










kg

forint900

kg2

forint1800

toumlmeg

aacutera
















13 peacutelda





Megoldaacutes











y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg







a2

ca4bbx

2

1

eacutes

a2

ca4bbx

2

2






14 peacutelda



Megoldaacutes







2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

21

azaz 2

93x1

eacutes 6

2

93x 2

15 peacutelda



Megoldaacutes


4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

21



13x





n

1i

n21i aaaa


m

1i

i bbbb


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2






mnnmmn aaa

n

1



n

mm














babloga







alog

blogblog

c

ca









1

















pontban metszi








16 peacutelda



x y

17 377

30 1559

37 2633

42 3615

49 5315

57 7757

69 12506


Megoldaacutes








lg x lg y

02304 05761

04771 11928

05682 14205

06232 15581

06902 17255

07559 18897

08388 20971



















































x y

00 120

50 160

100 200





























17 peacutelda





MgSO4-tartalom

(toumlmeg)

sűrűseacuteg

(gcm3)

6 10602

10 11034

14 11484

18 11955

Megoldaacutes








y = a middot x + b








12

12

xx

yy

x

ya






1

1

xx

yy

x

ya


1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya




11

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy


1147111465110341)1011(1014

1034114841y)xx(

xx

yyy 11

12

12







18 peacutelda




Megoldaacutes





1

1

12

12

xx

yy

xx

yy


1

12

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx


159814141484119551

1418)1484116001(x

yy

xx)yy(x 1

12

121







19 peacutelda



Megoldaacutes







12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya


11

12

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy



9954006021)60(610

0602110341y)xx(

xx

yyy 11

12

12


3 iacutegy az










110 peacutelda


0xlgx

Megoldaacutes



x = f(x)


A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx









A)

x0 = 05 x0 = 05000

x1 = 50000x

1010 0 x1 asymp 01363

x2 = 19630x

1010 1 x2 asymp 03605

x3 = 36050x

1010 2 x3 asymp 02509

x4 = 25090x

1010 3 x4 asymp 03156

x5 = 31560x

1010 4 x5 asymp 02743

x6 = 27430x

1010 5 x6 asymp 02994

x7 = 29940x

1010 6 x7 asymp 02837

x8 = 28370x

1010 7 x8 asymp 02933



x9 = 29330x

1010 8 x9 asymp 02873

x10 = 28730x

1010 9 x10 asymp 02910

x11 = 29100x

1010 10 x11 asymp 02887

x12 = 28870x

1010 11 x12 asymp 02902

x13 = 29020x

1010 12 x13 asymp 02893

x14 = 28930x

1010 13 x14 asymp 02898

x15 = 28980x

1010 14 x15 asymp 02895

x16 = 28950x

1010 15 x16 asymp 02897

x17 = 28970x

1010 16 x17 asymp 02896

x18 = 28960x

1010 17 x18 asymp 02896

x19 = 28960x

1010 18 x19 asymp 02896


megoldaacutesa













B)


x0 = 05 x0 asymp 05000

x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906

x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874

x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013

x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837

x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431

x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055

x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090

x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017

x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)

2 x9 asymp 00897

x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965

x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016

x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140



x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972

x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097

x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555

x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697

x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867

x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311


eacuterteacutekhez






inverzeacutevel is

111 peacutelda



Megoldaacutes









talaacutelhatoacute


A)

3 2x41x




n xn n xn n xn

0 100000 11 minus39848 22 minus39361















B)

3x1

4

1x




nem nagyobb mint 1


n xn n xn n xn

0 1000000 4 0473732 8 0472835

1 0000000 5 0472674 9 0472834

2 0500000 6 0472862 10 0472834

3 0467707 7 0472829 11 0472834


x = 0472834


n xn n xn n xn

0 1000000 5 minus0537118 10 minus0537401

1 0000000 6 minus0537345 11 minus0537402






x1 = minus39354

x2 = 04728

x3 = minus05374




Haacuteromszoumlg

cbaK

2

sinba

2

maT a



Trapeacutez

dcbaK



m2

caT



Paralelogramma

)ba(2K

sinbambmaT ba



Teacuteglalap

)ba(2K

baT


Neacutegyzet

a4K

2aT


Deltoid

)ba(2K

fe2

1T


Rombusz

a4K

sinamaT 2a


szoumlg

Koumlr

dr2K

22 d4

1rT




Haacuteromszoumlg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapeacutez

dcbaK m2

caT

Paralelogramma


Teacuteglalap

)ba(2K baT

Neacutegyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Koumlr

dr2K 22 d4

1rT




Teacuteglatest

)acbcab(2A



cbaV


Kocka

2a6A

3aV



)hr(r2hr2r2A 2

hd4

1hrV 22


Goumlmb

22 dr4A

33 d6

1r

3

4V


Teacuteglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Goumlmb

22 dr4A 33 d6

1r

3

4V





Hosszuacutesaacuteg



Toumlmeg

Jele m (massa)


Idő

Jele t (tempus)



Jele I (intensitas)



Jele T (temperare)


Anyagmennyiseacuteg

Jele n (numerus)






Siacutekszoumlg

Jele α


Teacuterszoumlg




taacutergyaljuk



Prefixumok



yotta- Y 1024

deci- d 10ndash1










123 Mechanika



V

md








t

sv




t

va






amF






A

Fp




hgdp






hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp





Bar

1 bar = 105 Pa



meacuterjuumlk)



h




1 atm = 101 325 Pa






VgdF





sFW s













t

WP


s

F

Fs





Jele ε

ouml

h

W

W

ouml

h

P

P





Jele Q







leacutetre

2

21

r

QQkF


899 ∙ 109 Nm2C2




t

QI







Jele U

Q

WU




haacutenyadosa


I

UR







Jele

AR




hosszt





n

1i

in21e RRRRR



n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1















)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI


b0kk RIURIU



U0

Uk

Rb

Rk

+minus

I





b

00

R

UI




tUIW




Q

WU tIUQUW


tR

UtU

R

UtUIW

2




RIR

UUIW 2

2



125 Hőtan













15273]C[T]K[T






Jele C

T

QC






Jele c

Tm

Qc





Jele cm

Tn

Qcm










Jele α

TT

12

1






Jele β

TV

VV

TV

V 12

1


noumlvekedeacutes








)TT3T31(V)T1()]T1([V 33221

331

312



126 Feacutenytan










t

N

T

1




(=3middot108 ms)


Jele





c



c

hhE
































toumlmeg

Relatiacutev

toumllteacutes









Jele Z


Jele A



Jele N

N = Z minus A







EAZ
























tartalmazza


1 H 100794(7) 1 0 2 1

2 He 4002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6941(2) 6 3 7 4

4 Be 9012182(3) 9 5

5 B 10811(7) 10 5 11 6

6 C 120107(8) 12 6 13 7

7 N 140067(2) 14 7 15 8

8 O 159994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

toumlmegszaacutem

rendszaacutem



9 F 189984032(5) 19 10

10 Ne 201797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 2298976928(2) 23 12

12 Mg 243050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 269815386(8) 27 14

14 Si 280855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30973762(2) 31 16

16 S 32065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 390983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44955912(6) 45 24

22 Ti 47867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 509415(1) 51 28

24 Cr 519961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54938045(5) 55 30

26 Fe 55845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58933195(5) 59 32

28 Ni 586934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63546(3) 63 34 65 36

30 Zn 6538(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69723(1) 69 38 71 40

32 Ge 7264(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 7492160(2) 75 42

34 Se 7896(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 854678(3) 85 48

38 Sr 8762(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 8890585(2) 89 50

40 Zr 91224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 9290638(2) 93 52

42

Mo

9596(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 989063

44

Ru

10107(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 10290550(2) 103 58

46

Pd

10642(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 1078682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114818(3) 113 64

50

Sn

118710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121760(1) 121 70 123 72

52 Te 12760(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 12690447(3) 127 74

54

Xe

131293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 1329054519(2) 133 78

56

Ba

137327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 13890547(7) 139 82

58 Ce 140116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 14090765(2) 141 82

60 Nd 144242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 1469151

62 Sm 15036(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151964(1) 153 90

64 Gd 15725(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 15892535(2) 159 94

66

Dy

162500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 16493032(2) 165 98

68 Er 167259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 16893421(2) 169 100

70

Yb

173054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 1749668(1) 175 104

72 Hf 17849(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 1809479(1) 181 108

74 W 18384(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186207(1) 185 110

76 Os 19023(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196966569(4) 197 118

80

Hg

20059(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 2043833(2) 203 122 205 124

82 Pb 2072(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 20898040(1) 209 126




















stbhellip



































































Oumlsszefoglalva


alheacutejban





1 (K) 1s 1 2 2 = 2 middot 12

2 (L) 2s 1 2

8 = 2 middot 22 2p 3 6

3 (M)

3s 1 2

18 = 2 middot 32 3p 3 6

3d 5 10

4 (N)

4s 1 2

32 = 2 middot 42 4p 3 6

4d 5 10

4f 7 14








2px 2py 2pz2s


2 (L) heacutej
















3px 3py 3pz3s


3 (M) heacutej

3d-alheacutej


1s

2s

3s

4s

5s

2p

3p

4p

5p

3d

4d

5d

4f

6s 6p

1 (K)

2 (L)

3 (M)

4 (N)

5 (O)

6 (P)










Oumlsszefoglalva





helyezhetuumlnk


1s2 rarr 2s

2 rarr 2p6 rarr 3s

2 rarr 3p6 rarr

rarr 4s2 rarr 3d

10 rarr 4p6 rarr 5s

2 rarr 4d10 rarr

rarr 5p6 rarr 6s

2 rarr 4f14

rarr 5d10 rarr 6p

6 hellip








roumlviden

F 1s2 2s2 2p5








N 1s2 2s2 2p3





1s 2s 2p




A)

B)







teljesuumllniuumlk


keruumll



21 peacutelda


Megoldaacutes





1s 2 2

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36




Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2

1s 2s 2p

1s 2s 2p





2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32



















Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2






tuumlntetjuumlk fel



Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6



Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2

4s 4p

Ge 1s2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6 4s

2 3d

10 4p

2

Ar





1s 2 2 2He

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10 10Ne

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18 18Ar

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36 36Kr

5s 2 36 + 2 = 38

4d 10 38 + 10 = 48

5p 6 48 + 6 = 54 54Xe

6s 2 54 + 2 = 56

4f 14 56 + 14 = 70

5d 10 70 + 10 = 80

6p 6 80 + 6 = 86 86Rn

7s 2 86 + 2 =88

5f 14 88 + 14 = 102

6d 10 102 + 10 = 112

7p 6 112 + 6 = 118 118UUo

22 peacutelda


Megoldaacutes


Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10




Cd [Kr] 5s2 4d10



a) 38Sr

b) 13Al

c) 34Se

d) 53I

e) 25Mn

f) 36Kr

g) 67Ho

h) 83Bi

i) 95Am

j) 80Hg

Megoldaacutesok

a) [Kr] 5s2

b) [Ne] 3s2 3p1



c) [Ar] 4s2 3d10 4p4

d) [Kr] 4d10 5s2 5p5

e) [Ar] 4s2 3d5

f) [Ar] 3d10 4s2 4p6

g) [Xe] 4f11 6s2

h) [Xe] 4f14

5d10

6s2 6p

3

i) [Rn] 5f7 7s2

j) [Xe] 4f14 5d10 6s2






























tartozik
























































Perioacutedusok




Mezők




1 1s 1s

2 2s 2p

3 3s 3p

4 4s 3d 4p

5 5s 4d 5p

6 6s 5d 6p

7 7s 6d 7p

4f

5f
























hataacuter

1 s

2

3

4

5

6

7

s -

m

e z

ő

d-mező

p-mező

f-mező



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

I

A

II

A

III

B

IV

B

V

B

VI

B

VII

B

VIII

B

VIII

B

VIII

B

I

B

II

B

III

A

IV

A

V

A

VI

A

VII

A

VIII

A

1 H He










Oszlopok
















tekinthető






































magneacuteziumot is












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He













Nemesfeacutemek




vaacuteltoznak



















joacuted 52Te 12760 53I 12690)































1

2

3

4

5

6

7

ATOMSUGAacuteR
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He












Nem ismert




















1 IF 3 IF3 5 IF5 7 IF7












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 0

2 1 2 3 4 3 2 1 0

3 1 2 3 4 5 6 5 0

4 1 2 3 4 5 6 4 3 4 2 2 2 3 4 5 6 5 2

5 1 2 3 4 5 6 6 6 6 4 3 2 3 4 5 6 7 6

6 1 2 4 5 6 7 6 6 6 5 2 3 4 5 6 7 6

7 1 2

3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4







szaacutema




az oszlopban







[ns2 (nminus1)d4] 6









1 3









eseteacuten







tartalmaz)








vagy NO3minus


keletkezik


keletkezik





2minus)






2minus




































23 peacutelda


a) kalcium

b) gallium

c) oxigeacuten

d) antimon

e) hidrogeacuten

Megoldaacutes















felvesz 3 elektront







H rarr H+ + eminus




Peacuteldaacuteul

O2minus oxid

As3minus arzenid

Hminus hidrid
















szaacutema


















14 (IVA) oszlop 4 4 (4)












leacutetre


X rarr X+ + eminus

















1

2

3

4

5

6

7






hozzunk leacutetre













egeacutesz k-ra)







Xminus

rarr X + eminus



felveacutetele)





Jele EN






























heacuteliumban







1

2

3

4

5

6

7










koumlzoumltt





b atomsugaacuter




























oktettelv
























2minus PO4

3minus SO4

2minus stb









































stb





EN(H) = 21])










H Cl() ()


















































Cs 00 32 Cs 16 48

F 32 00 F 48 80




kapjuk













(BrF) polaacuteris




















elektronszerkezete














CH H

H

H

CH H

H

H







































| N equiv N |




atomot












E(C=C) = 610 kJmol























koumlteacutesnek


















N Nx

y

zpz

py

px









energiaacutejuacute
































N B

H

HH F

FF






B

F

FF

F









monoxid molekula


C O




C O









polaacuteris











C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H







jeleniacuteti meg)



C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

31 peacutelda



b) viacutez (H2O)







Megoldaacutes



H Cl





HO

H







C C

H

H H

H




C CH H





OCO







OS

O





keacutenatomhoz

OS

O

O





N

H

HH

H




























O

H

H

H O

H

H

O H

()

()

()

()

()

()

()

()

()


























Diszperzioacutes

(London-)





koumlteacutes








+minus



















a viacutez (H2O)


c metaacuten (CH4)

d joacuted (I2)



g argon (Ar)

























A

X

X

XAX szoumlg










C CH H




(360deg)

B

F

FF



















H

O


H

O

H


H

O

H





O C O



O C O























vagy polaacuteris





n = 2 m = 0 AX2E0






Peacutelda CO2 BeF2

n = 3 m = 0 AX3E0










2minus BO33minus

n = 4 m = 0 AX4E0








2minus

n = 5 m = 0 AX5E0



















piramisos

n = 6 m = 0 AX6E0







n = 7 m = 0 AX7E0









nevezzuumlk


apolaacuteris

Peacutelda IF7

n = 8 m = 0 AX8E0




elforgatjuk






n = 2 m = 1 AX2E1










n = 2 m = 2 AX2E2







Peacutelda H2O H2S

n = 2 m = 3 AX2E3














n = 3 m = 1 AX3E1







Peacutelda NH3 PF3

n = 3 m = 2 AX3E2







Peacutelda ClF3

n = 4 m = 1 AX4E1







nevezik)


Peacutelda SF4

n = 4 m = 2 AX4E2






Peacutelda XeF4

n = 5 m = 1 AX5E1





Peacutelda BrF5

n = 6 m = 1 AX6E1





Peacutelda XeF6


n m Keacuteplet

Elektronpaacuterok


koumlzponti atom

koumlruumll

Molekula


Polaritaacutes

(ha AminusX

koumlteacutes

polaacuteris)

Peacutelda





V-alakuacute X

A

X

polaacuteris SO2




V-alakuacute X

A

X

polaacuteris H2O



AX X

XAX 180deg

apolaacuteris XeF2


planaacuteris X

A

X

X

XAX 120deg

apolaacuteris BF3


piramis A

XX

X

polaacuteris NH3



X

AX X

polaacuteris BrF3


tetraeacutederes

szabaacutelyos

tetraeacutederes

X

A

XX

X

XAX 1095deg

apolaacuteris CH4



A

X X

XX

polaacuteris SF4


AX

X X

X

XAX 90deg

apolaacuteris XeF4


bipiramis

trigonaacutelis

bipiramis

X AX

X

X

X

apolaacuteris PF5



XAX 120deg

XAXrsquo 90deg


piramis

A

X

X X

X

X

polaacuteris BrF5


AX

X X

X

X

X

XAX 90deg

apolaacuteris SF6


bipiramis

pentagonaacutelis

piramis

XX

X

X X

A

X

polaacuteris XeF6


bipiramis

pentagonaacutelis

bipiramis

XX

X

X XA

X

X

XAX 72deg

XAXrsquo 90deg

apolaacuteris IF7


antiprizma

tetragonaacutelis

antiprizma

X XA

XX X

XX

X

















a2 = b

2 + b



2 α middot

2

1=







3

1









α

1

1

120deg

α1

a

b

b

A

B

C

D




8

3

11

2

a =

3

22 asymp 1633
















C C

H

H H

H







C CH H



1

1

90deg arsquo










Előszoacute 5


ELŐSZOacute

























munkaacutenkat









































centimeacuteter









































megadni

















ellenőrizni tudjuk

11 peacutelda



Megoldaacutes


tartalmaz












V = 297 ∙ 10minus4 m3
















12 peacutelda


Megoldaacutes








kg3

forintw

kg2

forint1800










kg

forint900

kg2

forint1800

toumlmeg

aacutera
















13 peacutelda





Megoldaacutes











y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg







a2

ca4bbx

2

1

eacutes

a2

ca4bbx

2

2






14 peacutelda



Megoldaacutes







2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

21

azaz 2

93x1

eacutes 6

2

93x 2

15 peacutelda



Megoldaacutes


4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

21



13x





n

1i

n21i aaaa


m

1i

i bbbb


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2






mnnmmn aaa

n

1



n

mm














babloga







alog

blogblog

c

ca









1

















pontban metszi








16 peacutelda



x y

17 377

30 1559

37 2633

42 3615

49 5315

57 7757

69 12506


Megoldaacutes








lg x lg y

02304 05761

04771 11928

05682 14205

06232 15581

06902 17255

07559 18897

08388 20971



















































x y

00 120

50 160

100 200





























17 peacutelda





MgSO4-tartalom

(toumlmeg)

sűrűseacuteg

(gcm3)

6 10602

10 11034

14 11484

18 11955

Megoldaacutes








y = a middot x + b








12

12

xx

yy

x

ya






1

1

xx

yy

x

ya


1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya




11

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy


1147111465110341)1011(1014

1034114841y)xx(

xx

yyy 11

12

12







18 peacutelda




Megoldaacutes





1

1

12

12

xx

yy

xx

yy


1

12

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx


159814141484119551

1418)1484116001(x

yy

xx)yy(x 1

12

121







19 peacutelda



Megoldaacutes







12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya


11

12

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy



9954006021)60(610

0602110341y)xx(

xx

yyy 11

12

12


3 iacutegy az










110 peacutelda


0xlgx

Megoldaacutes



x = f(x)


A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx









A)

x0 = 05 x0 = 05000

x1 = 50000x

1010 0 x1 asymp 01363

x2 = 19630x

1010 1 x2 asymp 03605

x3 = 36050x

1010 2 x3 asymp 02509

x4 = 25090x

1010 3 x4 asymp 03156

x5 = 31560x

1010 4 x5 asymp 02743

x6 = 27430x

1010 5 x6 asymp 02994

x7 = 29940x

1010 6 x7 asymp 02837

x8 = 28370x

1010 7 x8 asymp 02933



x9 = 29330x

1010 8 x9 asymp 02873

x10 = 28730x

1010 9 x10 asymp 02910

x11 = 29100x

1010 10 x11 asymp 02887

x12 = 28870x

1010 11 x12 asymp 02902

x13 = 29020x

1010 12 x13 asymp 02893

x14 = 28930x

1010 13 x14 asymp 02898

x15 = 28980x

1010 14 x15 asymp 02895

x16 = 28950x

1010 15 x16 asymp 02897

x17 = 28970x

1010 16 x17 asymp 02896

x18 = 28960x

1010 17 x18 asymp 02896

x19 = 28960x

1010 18 x19 asymp 02896


megoldaacutesa













B)


x0 = 05 x0 asymp 05000

x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906

x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874

x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013

x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837

x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431

x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055

x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090

x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017

x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)

2 x9 asymp 00897

x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965

x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016

x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140



x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972

x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097

x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555

x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697

x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867

x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311


eacuterteacutekhez






inverzeacutevel is

111 peacutelda



Megoldaacutes









talaacutelhatoacute


A)

3 2x41x




n xn n xn n xn

0 100000 11 minus39848 22 minus39361















B)

3x1

4

1x




nem nagyobb mint 1


n xn n xn n xn

0 1000000 4 0473732 8 0472835

1 0000000 5 0472674 9 0472834

2 0500000 6 0472862 10 0472834

3 0467707 7 0472829 11 0472834


x = 0472834


n xn n xn n xn

0 1000000 5 minus0537118 10 minus0537401

1 0000000 6 minus0537345 11 minus0537402






x1 = minus39354

x2 = 04728

x3 = minus05374




Haacuteromszoumlg

cbaK

2

sinba

2

maT a



Trapeacutez

dcbaK



m2

caT



Paralelogramma

)ba(2K

sinbambmaT ba



Teacuteglalap

)ba(2K

baT


Neacutegyzet

a4K

2aT


Deltoid

)ba(2K

fe2

1T


Rombusz

a4K

sinamaT 2a


szoumlg

Koumlr

dr2K

22 d4

1rT




Haacuteromszoumlg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapeacutez

dcbaK m2

caT

Paralelogramma


Teacuteglalap

)ba(2K baT

Neacutegyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Koumlr

dr2K 22 d4

1rT




Teacuteglatest

)acbcab(2A



cbaV


Kocka

2a6A

3aV



)hr(r2hr2r2A 2

hd4

1hrV 22


Goumlmb

22 dr4A

33 d6

1r

3

4V


Teacuteglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Goumlmb

22 dr4A 33 d6

1r

3

4V





Hosszuacutesaacuteg



Toumlmeg

Jele m (massa)


Idő

Jele t (tempus)



Jele I (intensitas)



Jele T (temperare)


Anyagmennyiseacuteg

Jele n (numerus)






Siacutekszoumlg

Jele α


Teacuterszoumlg




taacutergyaljuk



Prefixumok



yotta- Y 1024

deci- d 10ndash1










123 Mechanika



V

md








t

sv




t

va






amF






A

Fp




hgdp






hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp





Bar

1 bar = 105 Pa



meacuterjuumlk)



h




1 atm = 101 325 Pa






VgdF





sFW s













t

WP


s

F

Fs





Jele ε

ouml

h

W

W

ouml

h

P

P





Jele Q







leacutetre

2

21

r

QQkF


899 ∙ 109 Nm2C2




t

QI







Jele U

Q

WU




haacutenyadosa


I

UR







Jele

AR




hosszt





n

1i

in21e RRRRR



n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1















)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI


b0kk RIURIU



U0

Uk

Rb

Rk

+minus

I





b

00

R

UI




tUIW




Q

WU tIUQUW


tR

UtU

R

UtUIW

2




RIR

UUIW 2

2



125 Hőtan













15273]C[T]K[T






Jele C

T

QC






Jele c

Tm

Qc





Jele cm

Tn

Qcm










Jele α

TT

12

1






Jele β

TV

VV

TV

V 12

1


noumlvekedeacutes








)TT3T31(V)T1()]T1([V 33221

331

312



126 Feacutenytan










t

N

T

1




(=3middot108 ms)


Jele





c



c

hhE
































toumlmeg

Relatiacutev

toumllteacutes









Jele Z


Jele A



Jele N

N = Z minus A







EAZ
























tartalmazza


1 H 100794(7) 1 0 2 1

2 He 4002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6941(2) 6 3 7 4

4 Be 9012182(3) 9 5

5 B 10811(7) 10 5 11 6

6 C 120107(8) 12 6 13 7

7 N 140067(2) 14 7 15 8

8 O 159994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

toumlmegszaacutem

rendszaacutem



9 F 189984032(5) 19 10

10 Ne 201797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 2298976928(2) 23 12

12 Mg 243050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 269815386(8) 27 14

14 Si 280855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30973762(2) 31 16

16 S 32065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 390983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44955912(6) 45 24

22 Ti 47867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 509415(1) 51 28

24 Cr 519961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54938045(5) 55 30

26 Fe 55845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58933195(5) 59 32

28 Ni 586934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63546(3) 63 34 65 36

30 Zn 6538(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69723(1) 69 38 71 40

32 Ge 7264(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 7492160(2) 75 42

34 Se 7896(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 854678(3) 85 48

38 Sr 8762(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 8890585(2) 89 50

40 Zr 91224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 9290638(2) 93 52

42

Mo

9596(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 989063

44

Ru

10107(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 10290550(2) 103 58

46

Pd

10642(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 1078682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114818(3) 113 64

50

Sn

118710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121760(1) 121 70 123 72

52 Te 12760(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 12690447(3) 127 74

54

Xe

131293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 1329054519(2) 133 78

56

Ba

137327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 13890547(7) 139 82

58 Ce 140116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 14090765(2) 141 82

60 Nd 144242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 1469151

62 Sm 15036(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151964(1) 153 90

64 Gd 15725(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 15892535(2) 159 94

66

Dy

162500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 16493032(2) 165 98

68 Er 167259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 16893421(2) 169 100

70

Yb

173054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 1749668(1) 175 104

72 Hf 17849(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 1809479(1) 181 108

74 W 18384(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186207(1) 185 110

76 Os 19023(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196966569(4) 197 118

80

Hg

20059(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 2043833(2) 203 122 205 124

82 Pb 2072(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 20898040(1) 209 126




















stbhellip



































































Oumlsszefoglalva


alheacutejban





1 (K) 1s 1 2 2 = 2 middot 12

2 (L) 2s 1 2

8 = 2 middot 22 2p 3 6

3 (M)

3s 1 2

18 = 2 middot 32 3p 3 6

3d 5 10

4 (N)

4s 1 2

32 = 2 middot 42 4p 3 6

4d 5 10

4f 7 14








2px 2py 2pz2s


2 (L) heacutej
















3px 3py 3pz3s


3 (M) heacutej

3d-alheacutej


1s

2s

3s

4s

5s

2p

3p

4p

5p

3d

4d

5d

4f

6s 6p

1 (K)

2 (L)

3 (M)

4 (N)

5 (O)

6 (P)










Oumlsszefoglalva





helyezhetuumlnk


1s2 rarr 2s

2 rarr 2p6 rarr 3s

2 rarr 3p6 rarr

rarr 4s2 rarr 3d

10 rarr 4p6 rarr 5s

2 rarr 4d10 rarr

rarr 5p6 rarr 6s

2 rarr 4f14

rarr 5d10 rarr 6p

6 hellip








roumlviden

F 1s2 2s2 2p5








N 1s2 2s2 2p3





1s 2s 2p




A)

B)







teljesuumllniuumlk


keruumll



21 peacutelda


Megoldaacutes





1s 2 2

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36




Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2

1s 2s 2p

1s 2s 2p





2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32



















Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2






tuumlntetjuumlk fel



Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6



Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2

4s 4p

Ge 1s2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6 4s

2 3d

10 4p

2

Ar





1s 2 2 2He

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10 10Ne

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18 18Ar

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36 36Kr

5s 2 36 + 2 = 38

4d 10 38 + 10 = 48

5p 6 48 + 6 = 54 54Xe

6s 2 54 + 2 = 56

4f 14 56 + 14 = 70

5d 10 70 + 10 = 80

6p 6 80 + 6 = 86 86Rn

7s 2 86 + 2 =88

5f 14 88 + 14 = 102

6d 10 102 + 10 = 112

7p 6 112 + 6 = 118 118UUo

22 peacutelda


Megoldaacutes


Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10




Cd [Kr] 5s2 4d10



a) 38Sr

b) 13Al

c) 34Se

d) 53I

e) 25Mn

f) 36Kr

g) 67Ho

h) 83Bi

i) 95Am

j) 80Hg

Megoldaacutesok

a) [Kr] 5s2

b) [Ne] 3s2 3p1



c) [Ar] 4s2 3d10 4p4

d) [Kr] 4d10 5s2 5p5

e) [Ar] 4s2 3d5

f) [Ar] 3d10 4s2 4p6

g) [Xe] 4f11 6s2

h) [Xe] 4f14

5d10

6s2 6p

3

i) [Rn] 5f7 7s2

j) [Xe] 4f14 5d10 6s2






























tartozik
























































Perioacutedusok




Mezők




1 1s 1s

2 2s 2p

3 3s 3p

4 4s 3d 4p

5 5s 4d 5p

6 6s 5d 6p

7 7s 6d 7p

4f

5f
























hataacuter

1 s

2

3

4

5

6

7

s -

m

e z

ő

d-mező

p-mező

f-mező



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

I

A

II

A

III

B

IV

B

V

B

VI

B

VII

B

VIII

B

VIII

B

VIII

B

I

B

II

B

III

A

IV

A

V

A

VI

A

VII

A

VIII

A

1 H He










Oszlopok
















tekinthető






































magneacuteziumot is












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He













Nemesfeacutemek




vaacuteltoznak



















joacuted 52Te 12760 53I 12690)































1

2

3

4

5

6

7

ATOMSUGAacuteR
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He












Nem ismert




















1 IF 3 IF3 5 IF5 7 IF7












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 0

2 1 2 3 4 3 2 1 0

3 1 2 3 4 5 6 5 0

4 1 2 3 4 5 6 4 3 4 2 2 2 3 4 5 6 5 2

5 1 2 3 4 5 6 6 6 6 4 3 2 3 4 5 6 7 6

6 1 2 4 5 6 7 6 6 6 5 2 3 4 5 6 7 6

7 1 2

3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4







szaacutema




az oszlopban







[ns2 (nminus1)d4] 6









1 3









eseteacuten







tartalmaz)








vagy NO3minus


keletkezik


keletkezik





2minus)






2minus




































23 peacutelda


a) kalcium

b) gallium

c) oxigeacuten

d) antimon

e) hidrogeacuten

Megoldaacutes















felvesz 3 elektront







H rarr H+ + eminus




Peacuteldaacuteul

O2minus oxid

As3minus arzenid

Hminus hidrid
















szaacutema


















14 (IVA) oszlop 4 4 (4)












leacutetre


X rarr X+ + eminus

















1

2

3

4

5

6

7






hozzunk leacutetre













egeacutesz k-ra)







Xminus

rarr X + eminus



felveacutetele)





Jele EN






























heacuteliumban







1

2

3

4

5

6

7










koumlzoumltt





b atomsugaacuter




























oktettelv
























2minus PO4

3minus SO4

2minus stb









































stb





EN(H) = 21])










H Cl() ()


















































Cs 00 32 Cs 16 48

F 32 00 F 48 80




kapjuk













(BrF) polaacuteris




















elektronszerkezete














CH H

H

H

CH H

H

H







































| N equiv N |




atomot












E(C=C) = 610 kJmol























koumlteacutesnek


















N Nx

y

zpz

py

px









energiaacutejuacute
































N B

H

HH F

FF






B

F

FF

F









monoxid molekula


C O




C O









polaacuteris











C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H







jeleniacuteti meg)



C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

31 peacutelda



b) viacutez (H2O)







Megoldaacutes



H Cl





HO

H







C C

H

H H

H




C CH H





OCO







OS

O





keacutenatomhoz

OS

O

O





N

H

HH

H




























O

H

H

H O

H

H

O H

()

()

()

()

()

()

()

()

()


























Diszperzioacutes

(London-)





koumlteacutes








+minus



















a viacutez (H2O)


c metaacuten (CH4)

d joacuted (I2)



g argon (Ar)

























A

X

X

XAX szoumlg










C CH H




(360deg)

B

F

FF



















H

O


H

O

H


H

O

H





O C O



O C O























vagy polaacuteris





n = 2 m = 0 AX2E0






Peacutelda CO2 BeF2

n = 3 m = 0 AX3E0










2minus BO33minus

n = 4 m = 0 AX4E0








2minus

n = 5 m = 0 AX5E0



















piramisos

n = 6 m = 0 AX6E0







n = 7 m = 0 AX7E0









nevezzuumlk


apolaacuteris

Peacutelda IF7

n = 8 m = 0 AX8E0




elforgatjuk






n = 2 m = 1 AX2E1










n = 2 m = 2 AX2E2







Peacutelda H2O H2S

n = 2 m = 3 AX2E3














n = 3 m = 1 AX3E1







Peacutelda NH3 PF3

n = 3 m = 2 AX3E2







Peacutelda ClF3

n = 4 m = 1 AX4E1







nevezik)


Peacutelda SF4

n = 4 m = 2 AX4E2






Peacutelda XeF4

n = 5 m = 1 AX5E1





Peacutelda BrF5

n = 6 m = 1 AX6E1





Peacutelda XeF6


n m Keacuteplet

Elektronpaacuterok


koumlzponti atom

koumlruumll

Molekula


Polaritaacutes

(ha AminusX

koumlteacutes

polaacuteris)

Peacutelda





V-alakuacute X

A

X

polaacuteris SO2




V-alakuacute X

A

X

polaacuteris H2O



AX X

XAX 180deg

apolaacuteris XeF2


planaacuteris X

A

X

X

XAX 120deg

apolaacuteris BF3


piramis A

XX

X

polaacuteris NH3



X

AX X

polaacuteris BrF3


tetraeacutederes

szabaacutelyos

tetraeacutederes

X

A

XX

X

XAX 1095deg

apolaacuteris CH4



A

X X

XX

polaacuteris SF4


AX

X X

X

XAX 90deg

apolaacuteris XeF4


bipiramis

trigonaacutelis

bipiramis

X AX

X

X

X

apolaacuteris PF5



XAX 120deg

XAXrsquo 90deg


piramis

A

X

X X

X

X

polaacuteris BrF5


AX

X X

X

X

X

XAX 90deg

apolaacuteris SF6


bipiramis

pentagonaacutelis

piramis

XX

X

X X

A

X

polaacuteris XeF6


bipiramis

pentagonaacutelis

bipiramis

XX

X

X XA

X

X

XAX 72deg

XAXrsquo 90deg

apolaacuteris IF7


antiprizma

tetragonaacutelis

antiprizma

X XA

XX X

XX

X

















a2 = b

2 + b



2 α middot

2

1=







3

1









α

1

1

120deg

α1

a

b

b

A

B

C

D




8

3

11

2

a =

3

22 asymp 1633
















C C

H

H H

H







C CH H



1

1

90deg arsquo

Előszoacute 5


ELŐSZOacute

























munkaacutenkat









































centimeacuteter









































megadni

















ellenőrizni tudjuk

11 peacutelda



Megoldaacutes


tartalmaz












V = 297 ∙ 10minus4 m3
















12 peacutelda


Megoldaacutes








kg3

forintw

kg2

forint1800










kg

forint900

kg2

forint1800

toumlmeg

aacutera
















13 peacutelda





Megoldaacutes











y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg







a2

ca4bbx

2

1

eacutes

a2

ca4bbx

2

2






14 peacutelda



Megoldaacutes







2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

21

azaz 2

93x1

eacutes 6

2

93x 2

15 peacutelda



Megoldaacutes


4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

21



13x





n

1i

n21i aaaa


m

1i

i bbbb


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2






mnnmmn aaa

n

1



n

mm














babloga







alog

blogblog

c

ca









1

















pontban metszi








16 peacutelda



x y

17 377

30 1559

37 2633

42 3615

49 5315

57 7757

69 12506


Megoldaacutes








lg x lg y

02304 05761

04771 11928

05682 14205

06232 15581

06902 17255

07559 18897

08388 20971



















































x y

00 120

50 160

100 200





























17 peacutelda





MgSO4-tartalom

(toumlmeg)

sűrűseacuteg

(gcm3)

6 10602

10 11034

14 11484

18 11955

Megoldaacutes








y = a middot x + b








12

12

xx

yy

x

ya






1

1

xx

yy

x

ya


1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya




11

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy


1147111465110341)1011(1014

1034114841y)xx(

xx

yyy 11

12

12







18 peacutelda




Megoldaacutes





1

1

12

12

xx

yy

xx

yy


1

12

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx


159814141484119551

1418)1484116001(x

yy

xx)yy(x 1

12

121







19 peacutelda



Megoldaacutes







12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya


11

12

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy



9954006021)60(610

0602110341y)xx(

xx

yyy 11

12

12


3 iacutegy az










110 peacutelda


0xlgx

Megoldaacutes



x = f(x)


A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx









A)

x0 = 05 x0 = 05000

x1 = 50000x

1010 0 x1 asymp 01363

x2 = 19630x

1010 1 x2 asymp 03605

x3 = 36050x

1010 2 x3 asymp 02509

x4 = 25090x

1010 3 x4 asymp 03156

x5 = 31560x

1010 4 x5 asymp 02743

x6 = 27430x

1010 5 x6 asymp 02994

x7 = 29940x

1010 6 x7 asymp 02837

x8 = 28370x

1010 7 x8 asymp 02933



x9 = 29330x

1010 8 x9 asymp 02873

x10 = 28730x

1010 9 x10 asymp 02910

x11 = 29100x

1010 10 x11 asymp 02887

x12 = 28870x

1010 11 x12 asymp 02902

x13 = 29020x

1010 12 x13 asymp 02893

x14 = 28930x

1010 13 x14 asymp 02898

x15 = 28980x

1010 14 x15 asymp 02895

x16 = 28950x

1010 15 x16 asymp 02897

x17 = 28970x

1010 16 x17 asymp 02896

x18 = 28960x

1010 17 x18 asymp 02896

x19 = 28960x

1010 18 x19 asymp 02896


megoldaacutesa













B)


x0 = 05 x0 asymp 05000

x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906

x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874

x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013

x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837

x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431

x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055

x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090

x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017

x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)

2 x9 asymp 00897

x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965

x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016

x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140



x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972

x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097

x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555

x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697

x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867

x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311


eacuterteacutekhez






inverzeacutevel is

111 peacutelda



Megoldaacutes









talaacutelhatoacute


A)

3 2x41x




n xn n xn n xn

0 100000 11 minus39848 22 minus39361















B)

3x1

4

1x




nem nagyobb mint 1


n xn n xn n xn

0 1000000 4 0473732 8 0472835

1 0000000 5 0472674 9 0472834

2 0500000 6 0472862 10 0472834

3 0467707 7 0472829 11 0472834


x = 0472834


n xn n xn n xn

0 1000000 5 minus0537118 10 minus0537401

1 0000000 6 minus0537345 11 minus0537402






x1 = minus39354

x2 = 04728

x3 = minus05374




Haacuteromszoumlg

cbaK

2

sinba

2

maT a



Trapeacutez

dcbaK



m2

caT



Paralelogramma

)ba(2K

sinbambmaT ba



Teacuteglalap

)ba(2K

baT


Neacutegyzet

a4K

2aT


Deltoid

)ba(2K

fe2

1T


Rombusz

a4K

sinamaT 2a


szoumlg

Koumlr

dr2K

22 d4

1rT




Haacuteromszoumlg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapeacutez

dcbaK m2

caT

Paralelogramma


Teacuteglalap

)ba(2K baT

Neacutegyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Koumlr

dr2K 22 d4

1rT




Teacuteglatest

)acbcab(2A



cbaV


Kocka

2a6A

3aV



)hr(r2hr2r2A 2

hd4

1hrV 22


Goumlmb

22 dr4A

33 d6

1r

3

4V


Teacuteglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Goumlmb

22 dr4A 33 d6

1r

3

4V





Hosszuacutesaacuteg



Toumlmeg

Jele m (massa)


Idő

Jele t (tempus)



Jele I (intensitas)



Jele T (temperare)


Anyagmennyiseacuteg

Jele n (numerus)






Siacutekszoumlg

Jele α


Teacuterszoumlg




taacutergyaljuk



Prefixumok



yotta- Y 1024

deci- d 10ndash1










123 Mechanika



V

md








t

sv




t

va






amF






A

Fp




hgdp






hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp





Bar

1 bar = 105 Pa



meacuterjuumlk)



h




1 atm = 101 325 Pa






VgdF





sFW s













t

WP


s

F

Fs





Jele ε

ouml

h

W

W

ouml

h

P

P





Jele Q







leacutetre

2

21

r

QQkF


899 ∙ 109 Nm2C2




t

QI







Jele U

Q

WU




haacutenyadosa


I

UR







Jele

AR




hosszt





n

1i

in21e RRRRR



n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1















)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI


b0kk RIURIU



U0

Uk

Rb

Rk

+minus

I





b

00

R

UI




tUIW




Q

WU tIUQUW


tR

UtU

R

UtUIW

2




RIR

UUIW 2

2



125 Hőtan













15273]C[T]K[T






Jele C

T

QC






Jele c

Tm

Qc





Jele cm

Tn

Qcm










Jele α

TT

12

1






Jele β

TV

VV

TV

V 12

1


noumlvekedeacutes








)TT3T31(V)T1()]T1([V 33221

331

312



126 Feacutenytan










t

N

T

1




(=3middot108 ms)


Jele





c



c

hhE
































toumlmeg

Relatiacutev

toumllteacutes









Jele Z


Jele A



Jele N

N = Z minus A







EAZ
























tartalmazza


1 H 100794(7) 1 0 2 1

2 He 4002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6941(2) 6 3 7 4

4 Be 9012182(3) 9 5

5 B 10811(7) 10 5 11 6

6 C 120107(8) 12 6 13 7

7 N 140067(2) 14 7 15 8

8 O 159994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

toumlmegszaacutem

rendszaacutem



9 F 189984032(5) 19 10

10 Ne 201797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 2298976928(2) 23 12

12 Mg 243050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 269815386(8) 27 14

14 Si 280855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30973762(2) 31 16

16 S 32065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 390983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44955912(6) 45 24

22 Ti 47867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 509415(1) 51 28

24 Cr 519961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54938045(5) 55 30

26 Fe 55845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58933195(5) 59 32

28 Ni 586934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63546(3) 63 34 65 36

30 Zn 6538(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69723(1) 69 38 71 40

32 Ge 7264(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 7492160(2) 75 42

34 Se 7896(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 854678(3) 85 48

38 Sr 8762(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 8890585(2) 89 50

40 Zr 91224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 9290638(2) 93 52

42

Mo

9596(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 989063

44

Ru

10107(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 10290550(2) 103 58

46

Pd

10642(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 1078682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114818(3) 113 64

50

Sn

118710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121760(1) 121 70 123 72

52 Te 12760(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 12690447(3) 127 74

54

Xe

131293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 1329054519(2) 133 78

56

Ba

137327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 13890547(7) 139 82

58 Ce 140116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 14090765(2) 141 82

60 Nd 144242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 1469151

62 Sm 15036(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151964(1) 153 90

64 Gd 15725(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 15892535(2) 159 94

66

Dy

162500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 16493032(2) 165 98

68 Er 167259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 16893421(2) 169 100

70

Yb

173054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 1749668(1) 175 104

72 Hf 17849(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 1809479(1) 181 108

74 W 18384(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186207(1) 185 110

76 Os 19023(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196966569(4) 197 118

80

Hg

20059(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 2043833(2) 203 122 205 124

82 Pb 2072(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 20898040(1) 209 126




















stbhellip



































































Oumlsszefoglalva


alheacutejban





1 (K) 1s 1 2 2 = 2 middot 12

2 (L) 2s 1 2

8 = 2 middot 22 2p 3 6

3 (M)

3s 1 2

18 = 2 middot 32 3p 3 6

3d 5 10

4 (N)

4s 1 2

32 = 2 middot 42 4p 3 6

4d 5 10

4f 7 14








2px 2py 2pz2s


2 (L) heacutej
















3px 3py 3pz3s


3 (M) heacutej

3d-alheacutej


1s

2s

3s

4s

5s

2p

3p

4p

5p

3d

4d

5d

4f

6s 6p

1 (K)

2 (L)

3 (M)

4 (N)

5 (O)

6 (P)










Oumlsszefoglalva





helyezhetuumlnk


1s2 rarr 2s

2 rarr 2p6 rarr 3s

2 rarr 3p6 rarr

rarr 4s2 rarr 3d

10 rarr 4p6 rarr 5s

2 rarr 4d10 rarr

rarr 5p6 rarr 6s

2 rarr 4f14

rarr 5d10 rarr 6p

6 hellip








roumlviden

F 1s2 2s2 2p5








N 1s2 2s2 2p3





1s 2s 2p




A)

B)







teljesuumllniuumlk


keruumll



21 peacutelda


Megoldaacutes





1s 2 2

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36




Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2

1s 2s 2p

1s 2s 2p





2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32



















Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2






tuumlntetjuumlk fel



Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6



Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2

4s 4p

Ge 1s2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6 4s

2 3d

10 4p

2

Ar





1s 2 2 2He

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10 10Ne

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18 18Ar

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36 36Kr

5s 2 36 + 2 = 38

4d 10 38 + 10 = 48

5p 6 48 + 6 = 54 54Xe

6s 2 54 + 2 = 56

4f 14 56 + 14 = 70

5d 10 70 + 10 = 80

6p 6 80 + 6 = 86 86Rn

7s 2 86 + 2 =88

5f 14 88 + 14 = 102

6d 10 102 + 10 = 112

7p 6 112 + 6 = 118 118UUo

22 peacutelda


Megoldaacutes


Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10




Cd [Kr] 5s2 4d10



a) 38Sr

b) 13Al

c) 34Se

d) 53I

e) 25Mn

f) 36Kr

g) 67Ho

h) 83Bi

i) 95Am

j) 80Hg

Megoldaacutesok

a) [Kr] 5s2

b) [Ne] 3s2 3p1



c) [Ar] 4s2 3d10 4p4

d) [Kr] 4d10 5s2 5p5

e) [Ar] 4s2 3d5

f) [Ar] 3d10 4s2 4p6

g) [Xe] 4f11 6s2

h) [Xe] 4f14

5d10

6s2 6p

3

i) [Rn] 5f7 7s2

j) [Xe] 4f14 5d10 6s2






























tartozik
























































Perioacutedusok




Mezők




1 1s 1s

2 2s 2p

3 3s 3p

4 4s 3d 4p

5 5s 4d 5p

6 6s 5d 6p

7 7s 6d 7p

4f

5f
























hataacuter

1 s

2

3

4

5

6

7

s -

m

e z

ő

d-mező

p-mező

f-mező



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

I

A

II

A

III

B

IV

B

V

B

VI

B

VII

B

VIII

B

VIII

B

VIII

B

I

B

II

B

III

A

IV

A

V

A

VI

A

VII

A

VIII

A

1 H He










Oszlopok
















tekinthető






































magneacuteziumot is












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He













Nemesfeacutemek




vaacuteltoznak



















joacuted 52Te 12760 53I 12690)































1

2

3

4

5

6

7

ATOMSUGAacuteR
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He












Nem ismert




















1 IF 3 IF3 5 IF5 7 IF7












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 0

2 1 2 3 4 3 2 1 0

3 1 2 3 4 5 6 5 0

4 1 2 3 4 5 6 4 3 4 2 2 2 3 4 5 6 5 2

5 1 2 3 4 5 6 6 6 6 4 3 2 3 4 5 6 7 6

6 1 2 4 5 6 7 6 6 6 5 2 3 4 5 6 7 6

7 1 2

3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4







szaacutema




az oszlopban







[ns2 (nminus1)d4] 6









1 3









eseteacuten







tartalmaz)








vagy NO3minus


keletkezik


keletkezik





2minus)






2minus




































23 peacutelda


a) kalcium

b) gallium

c) oxigeacuten

d) antimon

e) hidrogeacuten

Megoldaacutes















felvesz 3 elektront







H rarr H+ + eminus




Peacuteldaacuteul

O2minus oxid

As3minus arzenid

Hminus hidrid
















szaacutema


















14 (IVA) oszlop 4 4 (4)












leacutetre


X rarr X+ + eminus

















1

2

3

4

5

6

7






hozzunk leacutetre













egeacutesz k-ra)







Xminus

rarr X + eminus



felveacutetele)





Jele EN






























heacuteliumban







1

2

3

4

5

6

7










koumlzoumltt





b atomsugaacuter




























oktettelv
























2minus PO4

3minus SO4

2minus stb









































stb





EN(H) = 21])










H Cl() ()


















































Cs 00 32 Cs 16 48

F 32 00 F 48 80




kapjuk













(BrF) polaacuteris




















elektronszerkezete














CH H

H

H

CH H

H

H







































| N equiv N |




atomot












E(C=C) = 610 kJmol























koumlteacutesnek


















N Nx

y

zpz

py

px









energiaacutejuacute
































N B

H

HH F

FF






B

F

FF

F









monoxid molekula


C O




C O









polaacuteris











C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H







jeleniacuteti meg)



C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

31 peacutelda



b) viacutez (H2O)







Megoldaacutes



H Cl





HO

H







C C

H

H H

H




C CH H





OCO







OS

O





keacutenatomhoz

OS

O

O





N

H

HH

H




























O

H

H

H O

H

H

O H

()

()

()

()

()

()

()

()

()


























Diszperzioacutes

(London-)





koumlteacutes








+minus



















a viacutez (H2O)


c metaacuten (CH4)

d joacuted (I2)



g argon (Ar)

























A

X

X

XAX szoumlg










C CH H




(360deg)

B

F

FF



















H

O


H

O

H


H

O

H





O C O



O C O























vagy polaacuteris





n = 2 m = 0 AX2E0






Peacutelda CO2 BeF2

n = 3 m = 0 AX3E0










2minus BO33minus

n = 4 m = 0 AX4E0








2minus

n = 5 m = 0 AX5E0



















piramisos

n = 6 m = 0 AX6E0







n = 7 m = 0 AX7E0









nevezzuumlk


apolaacuteris

Peacutelda IF7

n = 8 m = 0 AX8E0




elforgatjuk






n = 2 m = 1 AX2E1










n = 2 m = 2 AX2E2







Peacutelda H2O H2S

n = 2 m = 3 AX2E3














n = 3 m = 1 AX3E1







Peacutelda NH3 PF3

n = 3 m = 2 AX3E2







Peacutelda ClF3

n = 4 m = 1 AX4E1







nevezik)


Peacutelda SF4

n = 4 m = 2 AX4E2






Peacutelda XeF4

n = 5 m = 1 AX5E1





Peacutelda BrF5

n = 6 m = 1 AX6E1





Peacutelda XeF6


n m Keacuteplet

Elektronpaacuterok


koumlzponti atom

koumlruumll

Molekula


Polaritaacutes

(ha AminusX

koumlteacutes

polaacuteris)

Peacutelda





V-alakuacute X

A

X

polaacuteris SO2




V-alakuacute X

A

X

polaacuteris H2O



AX X

XAX 180deg

apolaacuteris XeF2


planaacuteris X

A

X

X

XAX 120deg

apolaacuteris BF3


piramis A

XX

X

polaacuteris NH3



X

AX X

polaacuteris BrF3


tetraeacutederes

szabaacutelyos

tetraeacutederes

X

A

XX

X

XAX 1095deg

apolaacuteris CH4



A

X X

XX

polaacuteris SF4


AX

X X

X

XAX 90deg

apolaacuteris XeF4


bipiramis

trigonaacutelis

bipiramis

X AX

X

X

X

apolaacuteris PF5



XAX 120deg

XAXrsquo 90deg


piramis

A

X

X X

X

X

polaacuteris BrF5


AX

X X

X

X

X

XAX 90deg

apolaacuteris SF6


bipiramis

pentagonaacutelis

piramis

XX

X

X X

A

X

polaacuteris XeF6


bipiramis

pentagonaacutelis

bipiramis

XX

X

X XA

X

X

XAX 72deg

XAXrsquo 90deg

apolaacuteris IF7


antiprizma

tetragonaacutelis

antiprizma

X XA

XX X

XX

X

















a2 = b

2 + b



2 α middot

2

1=







3

1









α

1

1

120deg

α1

a

b

b

A

B

C

D




8

3

11

2

a =

3

22 asymp 1633
















C C

H

H H

H







C CH H



1

1

90deg arsquo





































centimeacuteter









































megadni

















ellenőrizni tudjuk

11 peacutelda



Megoldaacutes


tartalmaz












V = 297 ∙ 10minus4 m3
















12 peacutelda


Megoldaacutes








kg3

forintw

kg2

forint1800










kg

forint900

kg2

forint1800

toumlmeg

aacutera
















13 peacutelda





Megoldaacutes











y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg







a2

ca4bbx

2

1

eacutes

a2

ca4bbx

2

2






14 peacutelda



Megoldaacutes







2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

21

azaz 2

93x1

eacutes 6

2

93x 2

15 peacutelda



Megoldaacutes


4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

21



13x





n

1i

n21i aaaa


m

1i

i bbbb


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2






mnnmmn aaa

n

1



n

mm














babloga







alog

blogblog

c

ca









1

















pontban metszi








16 peacutelda



x y

17 377

30 1559

37 2633

42 3615

49 5315

57 7757

69 12506


Megoldaacutes








lg x lg y

02304 05761

04771 11928

05682 14205

06232 15581

06902 17255

07559 18897

08388 20971



















































x y

00 120

50 160

100 200





























17 peacutelda





MgSO4-tartalom

(toumlmeg)

sűrűseacuteg

(gcm3)

6 10602

10 11034

14 11484

18 11955

Megoldaacutes








y = a middot x + b








12

12

xx

yy

x

ya






1

1

xx

yy

x

ya


1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya




11

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy


1147111465110341)1011(1014

1034114841y)xx(

xx

yyy 11

12

12







18 peacutelda




Megoldaacutes





1

1

12

12

xx

yy

xx

yy


1

12

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx


159814141484119551

1418)1484116001(x

yy

xx)yy(x 1

12

121







19 peacutelda



Megoldaacutes







12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya


11

12

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy



9954006021)60(610

0602110341y)xx(

xx

yyy 11

12

12


3 iacutegy az










110 peacutelda


0xlgx

Megoldaacutes



x = f(x)


A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx









A)

x0 = 05 x0 = 05000

x1 = 50000x

1010 0 x1 asymp 01363

x2 = 19630x

1010 1 x2 asymp 03605

x3 = 36050x

1010 2 x3 asymp 02509

x4 = 25090x

1010 3 x4 asymp 03156

x5 = 31560x

1010 4 x5 asymp 02743

x6 = 27430x

1010 5 x6 asymp 02994

x7 = 29940x

1010 6 x7 asymp 02837

x8 = 28370x

1010 7 x8 asymp 02933



x9 = 29330x

1010 8 x9 asymp 02873

x10 = 28730x

1010 9 x10 asymp 02910

x11 = 29100x

1010 10 x11 asymp 02887

x12 = 28870x

1010 11 x12 asymp 02902

x13 = 29020x

1010 12 x13 asymp 02893

x14 = 28930x

1010 13 x14 asymp 02898

x15 = 28980x

1010 14 x15 asymp 02895

x16 = 28950x

1010 15 x16 asymp 02897

x17 = 28970x

1010 16 x17 asymp 02896

x18 = 28960x

1010 17 x18 asymp 02896

x19 = 28960x

1010 18 x19 asymp 02896


megoldaacutesa













B)


x0 = 05 x0 asymp 05000

x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906

x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874

x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013

x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837

x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431

x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055

x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090

x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017

x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)

2 x9 asymp 00897

x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965

x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016

x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140



x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972

x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097

x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555

x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697

x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867

x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311


eacuterteacutekhez






inverzeacutevel is

111 peacutelda



Megoldaacutes









talaacutelhatoacute


A)

3 2x41x




n xn n xn n xn

0 100000 11 minus39848 22 minus39361















B)

3x1

4

1x




nem nagyobb mint 1


n xn n xn n xn

0 1000000 4 0473732 8 0472835

1 0000000 5 0472674 9 0472834

2 0500000 6 0472862 10 0472834

3 0467707 7 0472829 11 0472834


x = 0472834


n xn n xn n xn

0 1000000 5 minus0537118 10 minus0537401

1 0000000 6 minus0537345 11 minus0537402






x1 = minus39354

x2 = 04728

x3 = minus05374




Haacuteromszoumlg

cbaK

2

sinba

2

maT a



Trapeacutez

dcbaK



m2

caT



Paralelogramma

)ba(2K

sinbambmaT ba



Teacuteglalap

)ba(2K

baT


Neacutegyzet

a4K

2aT


Deltoid

)ba(2K

fe2

1T


Rombusz

a4K

sinamaT 2a


szoumlg

Koumlr

dr2K

22 d4

1rT




Haacuteromszoumlg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapeacutez

dcbaK m2

caT

Paralelogramma


Teacuteglalap

)ba(2K baT

Neacutegyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Koumlr

dr2K 22 d4

1rT




Teacuteglatest

)acbcab(2A



cbaV


Kocka

2a6A

3aV



)hr(r2hr2r2A 2

hd4

1hrV 22


Goumlmb

22 dr4A

33 d6

1r

3

4V


Teacuteglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Goumlmb

22 dr4A 33 d6

1r

3

4V





Hosszuacutesaacuteg



Toumlmeg

Jele m (massa)


Idő

Jele t (tempus)



Jele I (intensitas)



Jele T (temperare)


Anyagmennyiseacuteg

Jele n (numerus)






Siacutekszoumlg

Jele α


Teacuterszoumlg




taacutergyaljuk



Prefixumok



yotta- Y 1024

deci- d 10ndash1










123 Mechanika



V

md








t

sv




t

va






amF






A

Fp




hgdp






hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp





Bar

1 bar = 105 Pa



meacuterjuumlk)



h




1 atm = 101 325 Pa






VgdF





sFW s













t

WP


s

F

Fs





Jele ε

ouml

h

W

W

ouml

h

P

P





Jele Q







leacutetre

2

21

r

QQkF


899 ∙ 109 Nm2C2




t

QI







Jele U

Q

WU




haacutenyadosa


I

UR







Jele

AR




hosszt





n

1i

in21e RRRRR



n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1















)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI


b0kk RIURIU



U0

Uk

Rb

Rk

+minus

I





b

00

R

UI




tUIW




Q

WU tIUQUW


tR

UtU

R

UtUIW

2




RIR

UUIW 2

2



125 Hőtan













15273]C[T]K[T






Jele C

T

QC






Jele c

Tm

Qc





Jele cm

Tn

Qcm










Jele α

TT

12

1






Jele β

TV

VV

TV

V 12

1


noumlvekedeacutes








)TT3T31(V)T1()]T1([V 33221

331

312



126 Feacutenytan










t

N

T

1




(=3middot108 ms)


Jele





c



c

hhE
































toumlmeg

Relatiacutev

toumllteacutes









Jele Z


Jele A



Jele N

N = Z minus A







EAZ
























tartalmazza


1 H 100794(7) 1 0 2 1

2 He 4002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6941(2) 6 3 7 4

4 Be 9012182(3) 9 5

5 B 10811(7) 10 5 11 6

6 C 120107(8) 12 6 13 7

7 N 140067(2) 14 7 15 8

8 O 159994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

toumlmegszaacutem

rendszaacutem



9 F 189984032(5) 19 10

10 Ne 201797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 2298976928(2) 23 12

12 Mg 243050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 269815386(8) 27 14

14 Si 280855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30973762(2) 31 16

16 S 32065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 390983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44955912(6) 45 24

22 Ti 47867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 509415(1) 51 28

24 Cr 519961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54938045(5) 55 30

26 Fe 55845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58933195(5) 59 32

28 Ni 586934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63546(3) 63 34 65 36

30 Zn 6538(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69723(1) 69 38 71 40

32 Ge 7264(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 7492160(2) 75 42

34 Se 7896(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 854678(3) 85 48

38 Sr 8762(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 8890585(2) 89 50

40 Zr 91224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 9290638(2) 93 52

42

Mo

9596(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 989063

44

Ru

10107(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 10290550(2) 103 58

46

Pd

10642(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 1078682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114818(3) 113 64

50

Sn

118710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121760(1) 121 70 123 72

52 Te 12760(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 12690447(3) 127 74

54

Xe

131293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 1329054519(2) 133 78

56

Ba

137327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 13890547(7) 139 82

58 Ce 140116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 14090765(2) 141 82

60 Nd 144242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 1469151

62 Sm 15036(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151964(1) 153 90

64 Gd 15725(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 15892535(2) 159 94

66

Dy

162500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 16493032(2) 165 98

68 Er 167259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 16893421(2) 169 100

70

Yb

173054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 1749668(1) 175 104

72 Hf 17849(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 1809479(1) 181 108

74 W 18384(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186207(1) 185 110

76 Os 19023(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196966569(4) 197 118

80

Hg

20059(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 2043833(2) 203 122 205 124

82 Pb 2072(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 20898040(1) 209 126




















stbhellip



































































Oumlsszefoglalva


alheacutejban





1 (K) 1s 1 2 2 = 2 middot 12

2 (L) 2s 1 2

8 = 2 middot 22 2p 3 6

3 (M)

3s 1 2

18 = 2 middot 32 3p 3 6

3d 5 10

4 (N)

4s 1 2

32 = 2 middot 42 4p 3 6

4d 5 10

4f 7 14








2px 2py 2pz2s


2 (L) heacutej
















3px 3py 3pz3s


3 (M) heacutej

3d-alheacutej


1s

2s

3s

4s

5s

2p

3p

4p

5p

3d

4d

5d

4f

6s 6p

1 (K)

2 (L)

3 (M)

4 (N)

5 (O)

6 (P)










Oumlsszefoglalva





helyezhetuumlnk


1s2 rarr 2s

2 rarr 2p6 rarr 3s

2 rarr 3p6 rarr

rarr 4s2 rarr 3d

10 rarr 4p6 rarr 5s

2 rarr 4d10 rarr

rarr 5p6 rarr 6s

2 rarr 4f14

rarr 5d10 rarr 6p

6 hellip








roumlviden

F 1s2 2s2 2p5








N 1s2 2s2 2p3





1s 2s 2p




A)

B)







teljesuumllniuumlk


keruumll



21 peacutelda


Megoldaacutes





1s 2 2

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36




Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2

1s 2s 2p

1s 2s 2p





2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32



















Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2






tuumlntetjuumlk fel



Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6



Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2

4s 4p

Ge 1s2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6 4s

2 3d

10 4p

2

Ar





1s 2 2 2He

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10 10Ne

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18 18Ar

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36 36Kr

5s 2 36 + 2 = 38

4d 10 38 + 10 = 48

5p 6 48 + 6 = 54 54Xe

6s 2 54 + 2 = 56

4f 14 56 + 14 = 70

5d 10 70 + 10 = 80

6p 6 80 + 6 = 86 86Rn

7s 2 86 + 2 =88

5f 14 88 + 14 = 102

6d 10 102 + 10 = 112

7p 6 112 + 6 = 118 118UUo

22 peacutelda


Megoldaacutes


Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10




Cd [Kr] 5s2 4d10



a) 38Sr

b) 13Al

c) 34Se

d) 53I

e) 25Mn

f) 36Kr

g) 67Ho

h) 83Bi

i) 95Am

j) 80Hg

Megoldaacutesok

a) [Kr] 5s2

b) [Ne] 3s2 3p1



c) [Ar] 4s2 3d10 4p4

d) [Kr] 4d10 5s2 5p5

e) [Ar] 4s2 3d5

f) [Ar] 3d10 4s2 4p6

g) [Xe] 4f11 6s2

h) [Xe] 4f14

5d10

6s2 6p

3

i) [Rn] 5f7 7s2

j) [Xe] 4f14 5d10 6s2






























tartozik
























































Perioacutedusok




Mezők




1 1s 1s

2 2s 2p

3 3s 3p

4 4s 3d 4p

5 5s 4d 5p

6 6s 5d 6p

7 7s 6d 7p

4f

5f
























hataacuter

1 s

2

3

4

5

6

7

s -

m

e z

ő

d-mező

p-mező

f-mező



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

I

A

II

A

III

B

IV

B

V

B

VI

B

VII

B

VIII

B

VIII

B

VIII

B

I

B

II

B

III

A

IV

A

V

A

VI

A

VII

A

VIII

A

1 H He










Oszlopok
















tekinthető






































magneacuteziumot is












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He













Nemesfeacutemek




vaacuteltoznak



















joacuted 52Te 12760 53I 12690)































1

2

3

4

5

6

7

ATOMSUGAacuteR
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He












Nem ismert




















1 IF 3 IF3 5 IF5 7 IF7












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 0

2 1 2 3 4 3 2 1 0

3 1 2 3 4 5 6 5 0

4 1 2 3 4 5 6 4 3 4 2 2 2 3 4 5 6 5 2

5 1 2 3 4 5 6 6 6 6 4 3 2 3 4 5 6 7 6

6 1 2 4 5 6 7 6 6 6 5 2 3 4 5 6 7 6

7 1 2

3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4







szaacutema




az oszlopban







[ns2 (nminus1)d4] 6









1 3









eseteacuten







tartalmaz)








vagy NO3minus


keletkezik


keletkezik





2minus)






2minus




































23 peacutelda


a) kalcium

b) gallium

c) oxigeacuten

d) antimon

e) hidrogeacuten

Megoldaacutes















felvesz 3 elektront







H rarr H+ + eminus




Peacuteldaacuteul

O2minus oxid

As3minus arzenid

Hminus hidrid
















szaacutema


















14 (IVA) oszlop 4 4 (4)












leacutetre


X rarr X+ + eminus

















1

2

3

4

5

6

7






hozzunk leacutetre













egeacutesz k-ra)







Xminus

rarr X + eminus



felveacutetele)





Jele EN






























heacuteliumban







1

2

3

4

5

6

7










koumlzoumltt





b atomsugaacuter




























oktettelv
























2minus PO4

3minus SO4

2minus stb









































stb





EN(H) = 21])










H Cl() ()


















































Cs 00 32 Cs 16 48

F 32 00 F 48 80




kapjuk













(BrF) polaacuteris




















elektronszerkezete














CH H

H

H

CH H

H

H







































| N equiv N |




atomot












E(C=C) = 610 kJmol























koumlteacutesnek


















N Nx

y

zpz

py

px









energiaacutejuacute
































N B

H

HH F

FF






B

F

FF

F









monoxid molekula


C O




C O









polaacuteris











C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H







jeleniacuteti meg)



C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

31 peacutelda



b) viacutez (H2O)







Megoldaacutes



H Cl





HO

H







C C

H

H H

H




C CH H





OCO







OS

O





keacutenatomhoz

OS

O

O





N

H

HH

H




























O

H

H

H O

H

H

O H

()

()

()

()

()

()

()

()

()


























Diszperzioacutes

(London-)





koumlteacutes








+minus



















a viacutez (H2O)


c metaacuten (CH4)

d joacuted (I2)



g argon (Ar)

























A

X

X

XAX szoumlg










C CH H




(360deg)

B

F

FF



















H

O


H

O

H


H

O

H





O C O



O C O























vagy polaacuteris





n = 2 m = 0 AX2E0






Peacutelda CO2 BeF2

n = 3 m = 0 AX3E0










2minus BO33minus

n = 4 m = 0 AX4E0








2minus

n = 5 m = 0 AX5E0



















piramisos

n = 6 m = 0 AX6E0







n = 7 m = 0 AX7E0









nevezzuumlk


apolaacuteris

Peacutelda IF7

n = 8 m = 0 AX8E0




elforgatjuk






n = 2 m = 1 AX2E1










n = 2 m = 2 AX2E2







Peacutelda H2O H2S

n = 2 m = 3 AX2E3














n = 3 m = 1 AX3E1







Peacutelda NH3 PF3

n = 3 m = 2 AX3E2







Peacutelda ClF3

n = 4 m = 1 AX4E1







nevezik)


Peacutelda SF4

n = 4 m = 2 AX4E2






Peacutelda XeF4

n = 5 m = 1 AX5E1





Peacutelda BrF5

n = 6 m = 1 AX6E1





Peacutelda XeF6


n m Keacuteplet

Elektronpaacuterok


koumlzponti atom

koumlruumll

Molekula


Polaritaacutes

(ha AminusX

koumlteacutes

polaacuteris)

Peacutelda





V-alakuacute X

A

X

polaacuteris SO2




V-alakuacute X

A

X

polaacuteris H2O



AX X

XAX 180deg

apolaacuteris XeF2


planaacuteris X

A

X

X

XAX 120deg

apolaacuteris BF3


piramis A

XX

X

polaacuteris NH3



X

AX X

polaacuteris BrF3


tetraeacutederes

szabaacutelyos

tetraeacutederes

X

A

XX

X

XAX 1095deg

apolaacuteris CH4



A

X X

XX

polaacuteris SF4


AX

X X

X

XAX 90deg

apolaacuteris XeF4


bipiramis

trigonaacutelis

bipiramis

X AX

X

X

X

apolaacuteris PF5



XAX 120deg

XAXrsquo 90deg


piramis

A

X

X X

X

X

polaacuteris BrF5


AX

X X

X

X

X

XAX 90deg

apolaacuteris SF6


bipiramis

pentagonaacutelis

piramis

XX

X

X X

A

X

polaacuteris XeF6


bipiramis

pentagonaacutelis

bipiramis

XX

X

X XA

X

X

XAX 72deg

XAXrsquo 90deg

apolaacuteris IF7


antiprizma

tetragonaacutelis

antiprizma

X XA

XX X

XX

X

















a2 = b

2 + b



2 α middot

2

1=







3

1









α

1

1

120deg

α1

a

b

b

A

B

C

D




8

3

11

2

a =

3

22 asymp 1633
















C C

H

H H

H







C CH H



1

1

90deg arsquo




























megadni

















ellenőrizni tudjuk

11 peacutelda



Megoldaacutes


tartalmaz












V = 297 ∙ 10minus4 m3
















12 peacutelda


Megoldaacutes








kg3

forintw

kg2

forint1800










kg

forint900

kg2

forint1800

toumlmeg

aacutera
















13 peacutelda





Megoldaacutes











y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg







a2

ca4bbx

2

1

eacutes

a2

ca4bbx

2

2






14 peacutelda



Megoldaacutes







2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

21

azaz 2

93x1

eacutes 6

2

93x 2

15 peacutelda



Megoldaacutes


4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

21



13x





n

1i

n21i aaaa


m

1i

i bbbb


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2






mnnmmn aaa

n

1



n

mm














babloga







alog

blogblog

c

ca









1

















pontban metszi








16 peacutelda



x y

17 377

30 1559

37 2633

42 3615

49 5315

57 7757

69 12506


Megoldaacutes








lg x lg y

02304 05761

04771 11928

05682 14205

06232 15581

06902 17255

07559 18897

08388 20971



















































x y

00 120

50 160

100 200





























17 peacutelda





MgSO4-tartalom

(toumlmeg)

sűrűseacuteg

(gcm3)

6 10602

10 11034

14 11484

18 11955

Megoldaacutes








y = a middot x + b








12

12

xx

yy

x

ya






1

1

xx

yy

x

ya


1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya




11

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy


1147111465110341)1011(1014

1034114841y)xx(

xx

yyy 11

12

12







18 peacutelda




Megoldaacutes





1

1

12

12

xx

yy

xx

yy


1

12

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx


159814141484119551

1418)1484116001(x

yy

xx)yy(x 1

12

121







19 peacutelda



Megoldaacutes







12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya


11

12

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy



9954006021)60(610

0602110341y)xx(

xx

yyy 11

12

12


3 iacutegy az










110 peacutelda


0xlgx

Megoldaacutes



x = f(x)


A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx









A)

x0 = 05 x0 = 05000

x1 = 50000x

1010 0 x1 asymp 01363

x2 = 19630x

1010 1 x2 asymp 03605

x3 = 36050x

1010 2 x3 asymp 02509

x4 = 25090x

1010 3 x4 asymp 03156

x5 = 31560x

1010 4 x5 asymp 02743

x6 = 27430x

1010 5 x6 asymp 02994

x7 = 29940x

1010 6 x7 asymp 02837

x8 = 28370x

1010 7 x8 asymp 02933



x9 = 29330x

1010 8 x9 asymp 02873

x10 = 28730x

1010 9 x10 asymp 02910

x11 = 29100x

1010 10 x11 asymp 02887

x12 = 28870x

1010 11 x12 asymp 02902

x13 = 29020x

1010 12 x13 asymp 02893

x14 = 28930x

1010 13 x14 asymp 02898

x15 = 28980x

1010 14 x15 asymp 02895

x16 = 28950x

1010 15 x16 asymp 02897

x17 = 28970x

1010 16 x17 asymp 02896

x18 = 28960x

1010 17 x18 asymp 02896

x19 = 28960x

1010 18 x19 asymp 02896


megoldaacutesa













B)


x0 = 05 x0 asymp 05000

x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906

x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874

x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013

x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837

x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431

x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055

x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090

x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017

x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)

2 x9 asymp 00897

x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965

x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016

x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140



x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972

x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097

x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555

x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697

x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867

x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311


eacuterteacutekhez






inverzeacutevel is

111 peacutelda



Megoldaacutes









talaacutelhatoacute


A)

3 2x41x




n xn n xn n xn

0 100000 11 minus39848 22 minus39361















B)

3x1

4

1x




nem nagyobb mint 1


n xn n xn n xn

0 1000000 4 0473732 8 0472835

1 0000000 5 0472674 9 0472834

2 0500000 6 0472862 10 0472834

3 0467707 7 0472829 11 0472834


x = 0472834


n xn n xn n xn

0 1000000 5 minus0537118 10 minus0537401

1 0000000 6 minus0537345 11 minus0537402






x1 = minus39354

x2 = 04728

x3 = minus05374




Haacuteromszoumlg

cbaK

2

sinba

2

maT a



Trapeacutez

dcbaK



m2

caT



Paralelogramma

)ba(2K

sinbambmaT ba



Teacuteglalap

)ba(2K

baT


Neacutegyzet

a4K

2aT


Deltoid

)ba(2K

fe2

1T


Rombusz

a4K

sinamaT 2a


szoumlg

Koumlr

dr2K

22 d4

1rT




Haacuteromszoumlg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapeacutez

dcbaK m2

caT

Paralelogramma


Teacuteglalap

)ba(2K baT

Neacutegyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Koumlr

dr2K 22 d4

1rT




Teacuteglatest

)acbcab(2A



cbaV


Kocka

2a6A

3aV



)hr(r2hr2r2A 2

hd4

1hrV 22


Goumlmb

22 dr4A

33 d6

1r

3

4V


Teacuteglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Goumlmb

22 dr4A 33 d6

1r

3

4V





Hosszuacutesaacuteg



Toumlmeg

Jele m (massa)


Idő

Jele t (tempus)



Jele I (intensitas)



Jele T (temperare)


Anyagmennyiseacuteg

Jele n (numerus)






Siacutekszoumlg

Jele α


Teacuterszoumlg




taacutergyaljuk



Prefixumok



yotta- Y 1024

deci- d 10ndash1










123 Mechanika



V

md








t

sv




t

va






amF






A

Fp




hgdp






hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp





Bar

1 bar = 105 Pa



meacuterjuumlk)



h




1 atm = 101 325 Pa






VgdF





sFW s













t

WP


s

F

Fs





Jele ε

ouml

h

W

W

ouml

h

P

P





Jele Q







leacutetre

2

21

r

QQkF


899 ∙ 109 Nm2C2




t

QI







Jele U

Q

WU




haacutenyadosa


I

UR







Jele

AR




hosszt





n

1i

in21e RRRRR



n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1















)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI


b0kk RIURIU



U0

Uk

Rb

Rk

+minus

I





b

00

R

UI




tUIW




Q

WU tIUQUW


tR

UtU

R

UtUIW

2




RIR

UUIW 2

2



125 Hőtan













15273]C[T]K[T






Jele C

T

QC






Jele c

Tm

Qc





Jele cm

Tn

Qcm










Jele α

TT

12

1






Jele β

TV

VV

TV

V 12

1


noumlvekedeacutes








)TT3T31(V)T1()]T1([V 33221

331

312



126 Feacutenytan










t

N

T

1




(=3middot108 ms)


Jele





c



c

hhE
































toumlmeg

Relatiacutev

toumllteacutes









Jele Z


Jele A



Jele N

N = Z minus A







EAZ
























tartalmazza


1 H 100794(7) 1 0 2 1

2 He 4002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6941(2) 6 3 7 4

4 Be 9012182(3) 9 5

5 B 10811(7) 10 5 11 6

6 C 120107(8) 12 6 13 7

7 N 140067(2) 14 7 15 8

8 O 159994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

toumlmegszaacutem

rendszaacutem



9 F 189984032(5) 19 10

10 Ne 201797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 2298976928(2) 23 12

12 Mg 243050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 269815386(8) 27 14

14 Si 280855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30973762(2) 31 16

16 S 32065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 390983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44955912(6) 45 24

22 Ti 47867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 509415(1) 51 28

24 Cr 519961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54938045(5) 55 30

26 Fe 55845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58933195(5) 59 32

28 Ni 586934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63546(3) 63 34 65 36

30 Zn 6538(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69723(1) 69 38 71 40

32 Ge 7264(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 7492160(2) 75 42

34 Se 7896(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 854678(3) 85 48

38 Sr 8762(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 8890585(2) 89 50

40 Zr 91224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 9290638(2) 93 52

42

Mo

9596(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 989063

44

Ru

10107(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 10290550(2) 103 58

46

Pd

10642(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 1078682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114818(3) 113 64

50

Sn

118710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121760(1) 121 70 123 72

52 Te 12760(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 12690447(3) 127 74

54

Xe

131293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 1329054519(2) 133 78

56

Ba

137327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 13890547(7) 139 82

58 Ce 140116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 14090765(2) 141 82

60 Nd 144242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 1469151

62 Sm 15036(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151964(1) 153 90

64 Gd 15725(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 15892535(2) 159 94

66

Dy

162500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 16493032(2) 165 98

68 Er 167259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 16893421(2) 169 100

70

Yb

173054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 1749668(1) 175 104

72 Hf 17849(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 1809479(1) 181 108

74 W 18384(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186207(1) 185 110

76 Os 19023(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196966569(4) 197 118

80

Hg

20059(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 2043833(2) 203 122 205 124

82 Pb 2072(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 20898040(1) 209 126




















stbhellip



































































Oumlsszefoglalva


alheacutejban





1 (K) 1s 1 2 2 = 2 middot 12

2 (L) 2s 1 2

8 = 2 middot 22 2p 3 6

3 (M)

3s 1 2

18 = 2 middot 32 3p 3 6

3d 5 10

4 (N)

4s 1 2

32 = 2 middot 42 4p 3 6

4d 5 10

4f 7 14








2px 2py 2pz2s


2 (L) heacutej
















3px 3py 3pz3s


3 (M) heacutej

3d-alheacutej


1s

2s

3s

4s

5s

2p

3p

4p

5p

3d

4d

5d

4f

6s 6p

1 (K)

2 (L)

3 (M)

4 (N)

5 (O)

6 (P)










Oumlsszefoglalva





helyezhetuumlnk


1s2 rarr 2s

2 rarr 2p6 rarr 3s

2 rarr 3p6 rarr

rarr 4s2 rarr 3d

10 rarr 4p6 rarr 5s

2 rarr 4d10 rarr

rarr 5p6 rarr 6s

2 rarr 4f14

rarr 5d10 rarr 6p

6 hellip








roumlviden

F 1s2 2s2 2p5








N 1s2 2s2 2p3





1s 2s 2p




A)

B)







teljesuumllniuumlk


keruumll



21 peacutelda


Megoldaacutes





1s 2 2

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36




Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2

1s 2s 2p

1s 2s 2p





2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32



















Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2






tuumlntetjuumlk fel



Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6



Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2

4s 4p

Ge 1s2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6 4s

2 3d

10 4p

2

Ar





1s 2 2 2He

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10 10Ne

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18 18Ar

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36 36Kr

5s 2 36 + 2 = 38

4d 10 38 + 10 = 48

5p 6 48 + 6 = 54 54Xe

6s 2 54 + 2 = 56

4f 14 56 + 14 = 70

5d 10 70 + 10 = 80

6p 6 80 + 6 = 86 86Rn

7s 2 86 + 2 =88

5f 14 88 + 14 = 102

6d 10 102 + 10 = 112

7p 6 112 + 6 = 118 118UUo

22 peacutelda


Megoldaacutes


Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10




Cd [Kr] 5s2 4d10



a) 38Sr

b) 13Al

c) 34Se

d) 53I

e) 25Mn

f) 36Kr

g) 67Ho

h) 83Bi

i) 95Am

j) 80Hg

Megoldaacutesok

a) [Kr] 5s2

b) [Ne] 3s2 3p1



c) [Ar] 4s2 3d10 4p4

d) [Kr] 4d10 5s2 5p5

e) [Ar] 4s2 3d5

f) [Ar] 3d10 4s2 4p6

g) [Xe] 4f11 6s2

h) [Xe] 4f14

5d10

6s2 6p

3

i) [Rn] 5f7 7s2

j) [Xe] 4f14 5d10 6s2






























tartozik
























































Perioacutedusok




Mezők




1 1s 1s

2 2s 2p

3 3s 3p

4 4s 3d 4p

5 5s 4d 5p

6 6s 5d 6p

7 7s 6d 7p

4f

5f
























hataacuter

1 s

2

3

4

5

6

7

s -

m

e z

ő

d-mező

p-mező

f-mező



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

I

A

II

A

III

B

IV

B

V

B

VI

B

VII

B

VIII

B

VIII

B

VIII

B

I

B

II

B

III

A

IV

A

V

A

VI

A

VII

A

VIII

A

1 H He










Oszlopok
















tekinthető






































magneacuteziumot is












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He













Nemesfeacutemek




vaacuteltoznak



















joacuted 52Te 12760 53I 12690)































1

2

3

4

5

6

7

ATOMSUGAacuteR
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He












Nem ismert




















1 IF 3 IF3 5 IF5 7 IF7












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 0

2 1 2 3 4 3 2 1 0

3 1 2 3 4 5 6 5 0

4 1 2 3 4 5 6 4 3 4 2 2 2 3 4 5 6 5 2

5 1 2 3 4 5 6 6 6 6 4 3 2 3 4 5 6 7 6

6 1 2 4 5 6 7 6 6 6 5 2 3 4 5 6 7 6

7 1 2

3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4







szaacutema




az oszlopban







[ns2 (nminus1)d4] 6









1 3









eseteacuten







tartalmaz)








vagy NO3minus


keletkezik


keletkezik





2minus)






2minus




































23 peacutelda


a) kalcium

b) gallium

c) oxigeacuten

d) antimon

e) hidrogeacuten

Megoldaacutes















felvesz 3 elektront







H rarr H+ + eminus




Peacuteldaacuteul

O2minus oxid

As3minus arzenid

Hminus hidrid
















szaacutema


















14 (IVA) oszlop 4 4 (4)












leacutetre


X rarr X+ + eminus

















1

2

3

4

5

6

7






hozzunk leacutetre













egeacutesz k-ra)







Xminus

rarr X + eminus



felveacutetele)





Jele EN






























heacuteliumban







1

2

3

4

5

6

7










koumlzoumltt





b atomsugaacuter




























oktettelv
























2minus PO4

3minus SO4

2minus stb









































stb





EN(H) = 21])










H Cl() ()


















































Cs 00 32 Cs 16 48

F 32 00 F 48 80




kapjuk













(BrF) polaacuteris




















elektronszerkezete














CH H

H

H

CH H

H

H







































| N equiv N |




atomot












E(C=C) = 610 kJmol























koumlteacutesnek


















N Nx

y

zpz

py

px









energiaacutejuacute
































N B

H

HH F

FF






B

F

FF

F









monoxid molekula


C O




C O









polaacuteris











C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H







jeleniacuteti meg)



C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

31 peacutelda



b) viacutez (H2O)







Megoldaacutes



H Cl





HO

H







C C

H

H H

H




C CH H





OCO







OS

O





keacutenatomhoz

OS

O

O





N

H

HH

H




























O

H

H

H O

H

H

O H

()

()

()

()

()

()

()

()

()


























Diszperzioacutes

(London-)





koumlteacutes








+minus



















a viacutez (H2O)


c metaacuten (CH4)

d joacuted (I2)



g argon (Ar)

























A

X

X

XAX szoumlg










C CH H




(360deg)

B

F

FF



















H

O


H

O

H


H

O

H





O C O



O C O























vagy polaacuteris





n = 2 m = 0 AX2E0






Peacutelda CO2 BeF2

n = 3 m = 0 AX3E0










2minus BO33minus

n = 4 m = 0 AX4E0








2minus

n = 5 m = 0 AX5E0



















piramisos

n = 6 m = 0 AX6E0







n = 7 m = 0 AX7E0









nevezzuumlk


apolaacuteris

Peacutelda IF7

n = 8 m = 0 AX8E0




elforgatjuk






n = 2 m = 1 AX2E1










n = 2 m = 2 AX2E2







Peacutelda H2O H2S

n = 2 m = 3 AX2E3














n = 3 m = 1 AX3E1







Peacutelda NH3 PF3

n = 3 m = 2 AX3E2







Peacutelda ClF3

n = 4 m = 1 AX4E1







nevezik)


Peacutelda SF4

n = 4 m = 2 AX4E2






Peacutelda XeF4

n = 5 m = 1 AX5E1





Peacutelda BrF5

n = 6 m = 1 AX6E1





Peacutelda XeF6


n m Keacuteplet

Elektronpaacuterok


koumlzponti atom

koumlruumll

Molekula


Polaritaacutes

(ha AminusX

koumlteacutes

polaacuteris)

Peacutelda





V-alakuacute X

A

X

polaacuteris SO2




V-alakuacute X

A

X

polaacuteris H2O



AX X

XAX 180deg

apolaacuteris XeF2


planaacuteris X

A

X

X

XAX 120deg

apolaacuteris BF3


piramis A

XX

X

polaacuteris NH3



X

AX X

polaacuteris BrF3


tetraeacutederes

szabaacutelyos

tetraeacutederes

X

A

XX

X

XAX 1095deg

apolaacuteris CH4



A

X X

XX

polaacuteris SF4


AX

X X

X

XAX 90deg

apolaacuteris XeF4


bipiramis

trigonaacutelis

bipiramis

X AX

X

X

X

apolaacuteris PF5



XAX 120deg

XAXrsquo 90deg


piramis

A

X

X X

X

X

polaacuteris BrF5


AX

X X

X

X

X

XAX 90deg

apolaacuteris SF6


bipiramis

pentagonaacutelis

piramis

XX

X

X X

A

X

polaacuteris XeF6


bipiramis

pentagonaacutelis

bipiramis

XX

X

X XA

X

X

XAX 72deg

XAXrsquo 90deg

apolaacuteris IF7


antiprizma

tetragonaacutelis

antiprizma

X XA

XX X

XX

X

















a2 = b

2 + b



2 α middot

2

1=







3

1









α

1

1

120deg

α1

a

b

b

A

B

C

D




8

3

11

2

a =

3

22 asymp 1633
















C C

H

H H

H







C CH H



1

1

90deg arsquo









V = 297 ∙ 10minus4 m3
















12 peacutelda


Megoldaacutes








kg3

forintw

kg2

forint1800










kg

forint900

kg2

forint1800

toumlmeg

aacutera
















13 peacutelda





Megoldaacutes











y = (28 800 Ft) (1800 Ftkg) = 16 kg







a2

ca4bbx

2

1

eacutes

a2

ca4bbx

2

2






14 peacutelda



Megoldaacutes







2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

21

azaz 2

93x1

eacutes 6

2

93x 2

15 peacutelda



Megoldaacutes


4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

21



13x





n

1i

n21i aaaa


m

1i

i bbbb


(a + b)2 = a2 + 2ab + b2






mnnmmn aaa

n

1



n

mm














babloga







alog

blogblog

c

ca









1

















pontban metszi








16 peacutelda



x y

17 377

30 1559

37 2633

42 3615

49 5315

57 7757

69 12506


Megoldaacutes








lg x lg y

02304 05761

04771 11928

05682 14205

06232 15581

06902 17255

07559 18897

08388 20971



















































x y

00 120

50 160

100 200





























17 peacutelda





MgSO4-tartalom

(toumlmeg)

sűrűseacuteg

(gcm3)

6 10602

10 11034

14 11484

18 11955

Megoldaacutes








y = a middot x + b








12

12

xx

yy

x

ya






1

1

xx

yy

x

ya


1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya




11

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy


1147111465110341)1011(1014

1034114841y)xx(

xx

yyy 11

12

12







18 peacutelda




Megoldaacutes





1

1

12

12

xx

yy

xx

yy


1

12

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx


159814141484119551

1418)1484116001(x

yy

xx)yy(x 1

12

121







19 peacutelda



Megoldaacutes







12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya


11

12

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy



9954006021)60(610

0602110341y)xx(

xx

yyy 11

12

12


3 iacutegy az










110 peacutelda


0xlgx

Megoldaacutes



x = f(x)


A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx









A)

x0 = 05 x0 = 05000

x1 = 50000x

1010 0 x1 asymp 01363

x2 = 19630x

1010 1 x2 asymp 03605

x3 = 36050x

1010 2 x3 asymp 02509

x4 = 25090x

1010 3 x4 asymp 03156

x5 = 31560x

1010 4 x5 asymp 02743

x6 = 27430x

1010 5 x6 asymp 02994

x7 = 29940x

1010 6 x7 asymp 02837

x8 = 28370x

1010 7 x8 asymp 02933



x9 = 29330x

1010 8 x9 asymp 02873

x10 = 28730x

1010 9 x10 asymp 02910

x11 = 29100x

1010 10 x11 asymp 02887

x12 = 28870x

1010 11 x12 asymp 02902

x13 = 29020x

1010 12 x13 asymp 02893

x14 = 28930x

1010 13 x14 asymp 02898

x15 = 28980x

1010 14 x15 asymp 02895

x16 = 28950x

1010 15 x16 asymp 02897

x17 = 28970x

1010 16 x17 asymp 02896

x18 = 28960x

1010 17 x18 asymp 02896

x19 = 28960x

1010 18 x19 asymp 02896


megoldaacutesa













B)


x0 = 05 x0 asymp 05000

x1 = (lg x0)2 = (lg 05000)2 x1 asymp 00906

x2 = (lg x1)2 = (lg 00906)2 x2 asymp 10874

x3 = (lg x2)2 = (lg 10874)2 x3 asymp 00013

x4 = (lg x3)2 = (lg 00013)2 x4 asymp 82837

x5 = (lg x4)2 = (lg 82837)2 x5 asymp 08431

x6 = (lg x5)2 = (lg 08431)2 x6 asymp 00055

x7 = (lg x6)2 = (lg 00055)2 x7 asymp 51090

x8 = (lg x7)2 = (lg 51090)2 x8 asymp 05017

x9 = (lg x8)2 = (lg 05017)

2 x9 asymp 00897

x10 = (lg x9)2 = (lg 00897)2 x10 asymp 10965

x11 = (lg x10)2 = (lg 10965)2 x11 asymp 00016

x12 = (lg x11)2 = (lg 00016)2 x12 asymp 78140



x13 = (lg x12)2 = (lg 78140)2 x13 asymp 07972

x14 = (lg x12)2 = (lg 07972)2 x14 asymp 00097

x15 = (lg x14)2 = (lg 00097)2 x15 asymp 40555

x16 = (lg x15)2 = (lg 40555)2 x16 asymp 03697

x17 = (lg x16)2 = (lg 03797)2 x17 asymp 01867

x18 = (lg x17)2 = (lg 01867)2 x18 asymp 05311


eacuterteacutekhez






inverzeacutevel is

111 peacutelda



Megoldaacutes









talaacutelhatoacute


A)

3 2x41x




n xn n xn n xn

0 100000 11 minus39848 22 minus39361















B)

3x1

4

1x




nem nagyobb mint 1


n xn n xn n xn

0 1000000 4 0473732 8 0472835

1 0000000 5 0472674 9 0472834

2 0500000 6 0472862 10 0472834

3 0467707 7 0472829 11 0472834


x = 0472834


n xn n xn n xn

0 1000000 5 minus0537118 10 minus0537401

1 0000000 6 minus0537345 11 minus0537402






x1 = minus39354

x2 = 04728

x3 = minus05374




Haacuteromszoumlg

cbaK

2

sinba

2

maT a



Trapeacutez

dcbaK



m2

caT



Paralelogramma

)ba(2K

sinbambmaT ba



Teacuteglalap

)ba(2K

baT


Neacutegyzet

a4K

2aT


Deltoid

)ba(2K

fe2

1T


Rombusz

a4K

sinamaT 2a


szoumlg

Koumlr

dr2K

22 d4

1rT




Haacuteromszoumlg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapeacutez

dcbaK m2

caT

Paralelogramma


Teacuteglalap

)ba(2K baT

Neacutegyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Koumlr

dr2K 22 d4

1rT




Teacuteglatest

)acbcab(2A



cbaV


Kocka

2a6A

3aV



)hr(r2hr2r2A 2

hd4

1hrV 22


Goumlmb

22 dr4A

33 d6

1r

3

4V


Teacuteglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

koumlrhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Goumlmb

22 dr4A 33 d6

1r

3

4V





Hosszuacutesaacuteg



Toumlmeg

Jele m (massa)


Idő

Jele t (tempus)



Jele I (intensitas)



Jele T (temperare)


Anyagmennyiseacuteg

Jele n (numerus)






Siacutekszoumlg

Jele α


Teacuterszoumlg




taacutergyaljuk



Prefixumok



yotta- Y 1024

deci- d 10ndash1










123 Mechanika



V

md








t

sv




t

va






amF






A

Fp




hgdp






hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp





Bar

1 bar = 105 Pa



meacuterjuumlk)



h




1 atm = 101 325 Pa






VgdF





sFW s













t

WP


s

F

Fs





Jele ε

ouml

h

W

W

ouml

h

P

P





Jele Q







leacutetre

2

21

r

QQkF


899 ∙ 109 Nm2C2




t

QI







Jele U

Q

WU




haacutenyadosa


I

UR







Jele

AR




hosszt





n

1i

in21e RRRRR



n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1















)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI


b0kk RIURIU



U0

Uk

Rb

Rk

+minus

I





b

00

R

UI




tUIW




Q

WU tIUQUW


tR

UtU

R

UtUIW

2




RIR

UUIW 2

2



125 Hőtan













15273]C[T]K[T






Jele C

T

QC






Jele c

Tm

Qc





Jele cm

Tn

Qcm










Jele α

TT

12

1






Jele β

TV

VV

TV

V 12

1


noumlvekedeacutes








)TT3T31(V)T1()]T1([V 33221

331

312



126 Feacutenytan










t

N

T

1




(=3middot108 ms)


Jele





c



c

hhE
































toumlmeg

Relatiacutev

toumllteacutes









Jele Z


Jele A



Jele N

N = Z minus A







EAZ
























tartalmazza


1 H 100794(7) 1 0 2 1

2 He 4002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6941(2) 6 3 7 4

4 Be 9012182(3) 9 5

5 B 10811(7) 10 5 11 6

6 C 120107(8) 12 6 13 7

7 N 140067(2) 14 7 15 8

8 O 159994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

toumlmegszaacutem

rendszaacutem



9 F 189984032(5) 19 10

10 Ne 201797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 2298976928(2) 23 12

12 Mg 243050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 269815386(8) 27 14

14 Si 280855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30973762(2) 31 16

16 S 32065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 390983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44955912(6) 45 24

22 Ti 47867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 509415(1) 51 28

24 Cr 519961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54938045(5) 55 30

26 Fe 55845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58933195(5) 59 32

28 Ni 586934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63546(3) 63 34 65 36

30 Zn 6538(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69723(1) 69 38 71 40

32 Ge 7264(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 7492160(2) 75 42

34 Se 7896(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 854678(3) 85 48

38 Sr 8762(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 8890585(2) 89 50

40 Zr 91224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 9290638(2) 93 52

42

Mo

9596(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 989063

44

Ru

10107(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 10290550(2) 103 58

46

Pd

10642(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 1078682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114818(3) 113 64

50

Sn

118710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121760(1) 121 70 123 72

52 Te 12760(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 12690447(3) 127 74

54

Xe

131293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 1329054519(2) 133 78

56

Ba

137327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 13890547(7) 139 82

58 Ce 140116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 14090765(2) 141 82

60 Nd 144242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 1469151

62 Sm 15036(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151964(1) 153 90

64 Gd 15725(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 15892535(2) 159 94

66

Dy

162500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 16493032(2) 165 98

68 Er 167259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 16893421(2) 169 100

70

Yb

173054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 1749668(1) 175 104

72 Hf 17849(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 1809479(1) 181 108

74 W 18384(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186207(1) 185 110

76 Os 19023(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196966569(4) 197 118

80

Hg

20059(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 2043833(2) 203 122 205 124

82 Pb 2072(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 20898040(1) 209 126




















stbhellip



































































Oumlsszefoglalva


alheacutejban





1 (K) 1s 1 2 2 = 2 middot 12

2 (L) 2s 1 2

8 = 2 middot 22 2p 3 6

3 (M)

3s 1 2

18 = 2 middot 32 3p 3 6

3d 5 10

4 (N)

4s 1 2

32 = 2 middot 42 4p 3 6

4d 5 10

4f 7 14








2px 2py 2pz2s


2 (L) heacutej
















3px 3py 3pz3s


3 (M) heacutej

3d-alheacutej


1s

2s

3s

4s

5s

2p

3p

4p

5p

3d

4d

5d

4f

6s 6p

1 (K)

2 (L)

3 (M)

4 (N)

5 (O)

6 (P)










Oumlsszefoglalva





helyezhetuumlnk


1s2 rarr 2s

2 rarr 2p6 rarr 3s

2 rarr 3p6 rarr

rarr 4s2 rarr 3d

10 rarr 4p6 rarr 5s

2 rarr 4d10 rarr

rarr 5p6 rarr 6s

2 rarr 4f14

rarr 5d10 rarr 6p

6 hellip








roumlviden

F 1s2 2s2 2p5








N 1s2 2s2 2p3





1s 2s 2p




A)

B)







teljesuumllniuumlk


keruumll



21 peacutelda


Megoldaacutes





1s 2 2

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36




Ge 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p2

1s 2s 2p

1s 2s 2p





2 + 2 + 6 + 2 + 6 + 2 + 10 + 2 = 32



















Ca 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2






tuumlntetjuumlk fel



Ar 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6



Ge [Ar] 4s2 3d10 4p2

4s 4p

Ge 1s2 2s

2 2p

6 3s

2 3p

6 4s

2 3d

10 4p

2

Ar





1s 2 2 2He

2s 2 2 + 2 = 4

2p 6 4 + 6 = 10 10Ne

3s 2 10 + 2 = 12

3p 6 12 + 6 = 18 18Ar

4s 2 18 + 2 = 20

3d 10 20 + 10 = 30

4p 6 30 + 6 = 36 36Kr

5s 2 36 + 2 = 38

4d 10 38 + 10 = 48

5p 6 48 + 6 = 54 54Xe

6s 2 54 + 2 = 56

4f 14 56 + 14 = 70

5d 10 70 + 10 = 80

6p 6 80 + 6 = 86 86Rn

7s 2 86 + 2 =88

5f 14 88 + 14 = 102

6d 10 102 + 10 = 112

7p 6 112 + 6 = 118 118UUo

22 peacutelda


Megoldaacutes


Cd 1s2 2s2 2p6 3s2 3p6 4s2 3d10 4p6 5s2 4d10




Cd [Kr] 5s2 4d10



a) 38Sr

b) 13Al

c) 34Se

d) 53I

e) 25Mn

f) 36Kr

g) 67Ho

h) 83Bi

i) 95Am

j) 80Hg

Megoldaacutesok

a) [Kr] 5s2

b) [Ne] 3s2 3p1



c) [Ar] 4s2 3d10 4p4

d) [Kr] 4d10 5s2 5p5

e) [Ar] 4s2 3d5

f) [Ar] 3d10 4s2 4p6

g) [Xe] 4f11 6s2

h) [Xe] 4f14

5d10

6s2 6p

3

i) [Rn] 5f7 7s2

j) [Xe] 4f14 5d10 6s2






























tartozik
























































Perioacutedusok




Mezők




1 1s 1s

2 2s 2p

3 3s 3p

4 4s 3d 4p

5 5s 4d 5p

6 6s 5d 6p

7 7s 6d 7p

4f

5f
























hataacuter

1 s

2

3

4

5

6

7

s -

m

e z

ő

d-mező

p-mező

f-mező



1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

I

A

II

A

III

B

IV

B

V

B

VI

B

VII

B

VIII

B

VIII

B

VIII

B

I

B

II

B

III

A

IV

A

V

A

VI

A

VII

A

VIII

A

1 H He










Oszlopok
















tekinthető






































magneacuteziumot is












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He













Nemesfeacutemek




vaacuteltoznak



















joacuted 52Te 12760 53I 12690)































1

2

3

4

5

6

7

ATOMSUGAacuteR
















1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 H He












Nem ismert




















1 IF 3 IF3 5 IF5 7 IF7












1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

1 1 0

2 1 2 3 4 3 2 1 0

3 1 2 3 4 5 6 5 0

4 1 2 3 4 5 6 4 3 4 2 2 2 3 4 5 6 5 2

5 1 2 3 4 5 6 6 6 6 4 3 2 3 4 5 6 7 6

6 1 2 4 5 6 7 6 6 6 5 2 3 4 5 6 7 6

7 1 2

3 4 4 3 3 3 3 3 4 3 3 3 3 3 3

3 4 5 6 6 6 4 4 4 4 4 4 4 4 4







szaacutema




az oszlopban







[ns2 (nminus1)d4] 6









1 3









eseteacuten







tartalmaz)








vagy NO3minus


keletkezik


keletkezik





2minus)






2minus




































23 peacutelda


a) kalcium

b) gallium

c) oxigeacuten

d) antimon

e) hidrogeacuten

Megoldaacutes















felvesz 3 elektront







H rarr H+ + eminus




Peacuteldaacuteul

O2minus oxid

As3minus arzenid

Hminus hidrid
















szaacutema


















14 (IVA) oszlop 4 4 (4)












leacutetre


X rarr X+ + eminus

















1

2

3

4

5

6

7






hozzunk leacutetre













egeacutesz k-ra)







Xminus

rarr X + eminus



felveacutetele)





Jele EN






























heacuteliumban







1

2

3

4

5

6

7










koumlzoumltt





b atomsugaacuter




























oktettelv
























2minus PO4

3minus SO4

2minus stb









































stb





EN(H) = 21])










H Cl() ()


















































Cs 00 32 Cs 16 48

F 32 00 F 48 80




kapjuk













(BrF) polaacuteris




















elektronszerkezete














CH H

H

H

CH H

H

H







































| N equiv N |




atomot












E(C=C) = 610 kJmol























koumlteacutesnek


















N Nx

y

zpz

py

px









energiaacutejuacute
































N B

H

HH F

FF






B

F

FF

F









monoxid molekula


C O




C O









polaacuteris











C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H







jeleniacuteti meg)



C

CC

C

CC H

H

H

H

H

H

31 peacutelda



b) viacutez (H2O)







Megoldaacutes



H Cl





HO

H







C C

H

H H

H




C CH H





OCO







OS

O





keacutenatomhoz

OS

O

O





N

H

HH

H




























O

H

H

H O

H

H

O H

()

()

()

()

()

()

()

()

()


























Diszperzioacutes

(London-)





koumlteacutes








+minus



















a viacutez (H2O)


c metaacuten (CH4)

d joacuted (I2)



g argon (Ar)

























A

X

X

XAX szoumlg










C CH H




(360deg)

B

F

FF



















H

O


H

O

H


H

O

H





O C O



O C O























vagy polaacuteris





n = 2 m = 0 AX2E0






Peacutelda CO2 BeF2

n = 3 m = 0 AX3E0










2minus BO33minus

n = 4 m = 0 AX4E0








2minus

n = 5 m = 0 AX5E0



















piramisos

n = 6 m = 0 AX6E0







n = 7 m = 0 AX7E0









nevezzuumlk


apolaacuteris

Peacutelda IF7

n = 8 m = 0 AX8E0




elforgatjuk






n = 2 m = 1 AX2E1










n = 2 m = 2 AX2E2







Peacutelda H2O H2S

n = 2 m = 3 AX2E3














n = 3 m = 1 AX3E1







Peacutelda NH3 PF3

n = 3 m = 2 AX3E2







Peacutelda ClF3

n = 4 m = 1 AX4E1







nevezik)


Peacutelda SF4

n = 4 m = 2 AX4E2






Peacutelda XeF4

n = 5 m = 1 AX5E1





Peacutelda BrF5

n = 6 m = 1 AX6E1





Peacutelda XeF6


n m Keacuteplet

Elektronpaacuterok


koumlzponti atom

koumlruumll

Molekula


Polaritaacutes

(ha AminusX

koumlteacutes

polaacuteris)

Peacutelda





V-alakuacute X

A

X

polaacuteris SO2




V-alakuacute X

A

X

polaacuteris H2O



AX X

XAX 180deg

apolaacuteris XeF2


planaacuteris X

A

X

X

XAX 120deg

apolaacuteris BF3


piramis A

XX

X

polaacuteris NH3



X

AX X

polaacuteris BrF3


tetraeacutederes

szabaacutelyos

tetraeacutederes

X

A

XX

X

XAX 1095deg

apolaacuteris CH4



A

X X

XX

polaacuteris SF4


AX

X X

X

XAX 90deg

apolaacuteris XeF4


bipiramis

trigonaacutelis

bipiramis

X AX

X

X

X

apolaacuteris PF5



XAX 120deg

XAXrsquo 90deg


piramis

A

X

X X

X

X

polaacuteris BrF5


AX

X X

X

X

X

XAX 90deg

apolaacuteris SF6


bipiramis

pentagonaacutelis

piramis

XX

X

X X

A

X

polaacuteris XeF6


bipiramis

pentagonaacutelis

bipiramis

XX

X

X XA

X

X

XAX 72deg

XAXrsquo 90deg

apolaacuteris IF7


antiprizma

tetragonaacutelis

antiprizma

X XA

XX X

XX

X

















a2 = b

2 + b



2 α middot

2

1=







3

1









α

1

1

120deg

α1

a

b

b

A

B

C

D




8

3

11

2

a =

3

22 asymp 1633
















C C

H

H H

H







C CH H



1

1

90deg arsquo

Documents

KÉMIAI ALAPOK - tankonyvtar.hu · COPYRIGHT: 2011-2016, Dr. Benkő Zoltán, Kőmívesné Tamás Ibolya, Dr. Stankovics Éva, BME Vegyészmérnöki és Biomérnöki Kar Szervetlen