Benko Zoltan Komivesne Tamas Ibolya Stankovics Eva - Kemiai Alapok

Szerkesztette:

BENK ZOLTN

rta:

BENK ZOLTN, KMVESN TAMS IBOLYA, STANKOVICS VA

Lektorlta:

IGAZ SAROLTA

KMIAI ALAPOK Egyetemi tananyag

2011

Budapesti Mszaki s Gazdasgtudomnyi Egyetem Vegyszmrnki s Biomrnki Kar Szervetlen s Analitikai Kmia Tanszk

COPYRIGHT: 2011-2016, Dr. Benk Zoltn, Kmvesn Tams Ibolya, Dr. Stankovics va, BME

Vegyszmrnki s Biomrnki Kar Szervetlen s Analitikai Kmia Tanszk

LEKTORLTA: Dr. Igaz Sarolta, OKKER Zrt.

KZREMKDTT: Fekete Csaba, Knczl Lszl

Creative Commons NonCommercial-NoDerivs 3.0 (CC BY-NC-ND 3.0)

A szerz nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllal szabadon msolhat, terjeszthet, megjelentethet s eladhat, de nem mdosthat.

TMOGATS:

Kszlt a TMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028 szm, Multidiszciplinris, modulrendszer, digitlis

tananyagfejleszts a vegyszmrnki, biomrnki s vegysz alapkpzsben cm projekt keretben.

KSZLT: a Typotex Kiad gondozsban

FELELS VEZET: Votisky Zsuzsa

AZ ELEKTRONIKUS KIADST ELKSZTETTE: Waizinger Jzsef

ISBN 978-963-279-479-2

KULCSSZAVAK:

ltalnos kmia, szervetlen kmia, szerves kmia, anyagszerkezet, kmiai reakcik, kmiai egyenslyok,

elektrokmia, matematikai s fizikai alapismeretek

SSZEFOGLALS:

A Kmiai alapok cm elektronikus tananyag 12 fejezetre tagoldik. Az els fejezet tartalmazza ksbbiek

megrtshez elengedhetetlenl szksges matematikai s fizikai fogalmakat, sszefggseket. Ezutn egy

igen terjedelmes ltalnos kmiai rsz kvetkezik, mely ismerteti az atomszerkezet, molekulaszerkezet

alapjait, a klnbz halmazllapotok s halmazllapot-vltozsok legfontosabb jellemzit. A

koncentrcikkal, oldatokkal s hg oldatok trvnyszersgeivel foglalkoz fejezetek nemcsak a

kzpiskolai tananyagot, hanem az egyetemek els flvben tantott ismereteket is trgyaljk. A Kmiai

reakcik cm fejezetben az Olvas megismerkedhet a kmiai egyenletek rendezsvel, a sztchiometria

alapjaival, a termokmia legfontosabb trvnyszersgeivel, valamint a reakcikinetika alapfogalmaival. A

Kmiai egyenslyok cm fejezet tbbek kztt trgyalja a homogn s heterogn fzis egyenslyokat, az

elektrolitegyenslyokat (pH-egyenslyok, komplexkpzdsi egyenslyok, oldhatsgi egyenslyok),

valamint a megoszlsi egyenslyokat. Az ltalnos kmival foglalkoz rszt az Elektrokmia cm fejezet

zrja. A jegyzet utols fejezetei rviden ismertetik a legfontosabb szervetlen s szerves kmiai ismereteket,

vgl az rdekld Olvas az utols fejezetben tallhat pldatr gyakorlfeladatain nllan ellenrizheti

felkszltsgt.

Tartalomjegyzk 3

Benk Zoltn, BME www.tankonyvtar.hu

TARTALOMJEGYZK

ELSZ .................................................................................................................................................. 5 1. MATEMATIKAI S FIZIKAI ALAPOK .......................................................................................... 6

1.1. Matematikai alapok ...................................................................................................................... 6 1.2. Fizikai alapismeretek .................................................................................................................. 33 1.3. A grg bc ............................................................................................................................. 43

2. AZ ATOMOK SZERKEZETE ......................................................................................................... 44 2.1. Az atommodellekrl dihjban .................................................................................................. 44 2.2. Az atomok felptse .................................................................................................................. 44 2.3. Az atomok elektronszerkezete .................................................................................................... 48 2.4. A kvantumszmok ...................................................................................................................... 56 2.5. Az elemek peridusos rendszere ................................................................................................ 57 2.6. Tulajdonsgok vltozsa a peridusos rendszerben ................................................................... 62 2.7. Gyakorlkrdsek, -feladatok: ................................................................................................... 73

3. KMIAI KTSEK S A MOLEKULK SZERKEZETE ............................................................ 75 3.1. Kmiai ktsek ........................................................................................................................... 75 3.2. A molekulk alakja ..................................................................................................................... 90

4. HALMAZOK, HALMAZLLAPOTOK ....................................................................................... 104 4.1. Alapfogalmak: elemek, vegyletek, keverkek ........................................................................ 104 4.2. Az anyagi halmazok csoportostsa .......................................................................................... 106 4.3. Halmazllapotok, halmazllapot-vltozsok ............................................................................ 106 4.4. Gyakorlkrdsek: .................................................................................................................... 129 4.5. Szmtsi feladatok gztrvnyekkel ....................................................................................... 130

5. KONCENTRCIK, OLDHATSG, TKRISTLYOSTS ................................................ 148 5.1. Trt-, illetve szzalkjelleg mennyisgek .............................................................................. 148 5.2. Koncentrci jelleg mennyisgek ........................................................................................... 149 5.3. A ppm- s ppb-koncentrcik: ................................................................................................. 150 5.4. A koncentrcik tszmtsa .................................................................................................... 151 5.5. Az oldhatsg ........................................................................................................................... 166 5.6. Mveletek oldatokkal ............................................................................................................... 168 5.7. Kristlyvizes sk ...................................................................................................................... 182 5.8. Gyakorlkrdsek: .................................................................................................................... 191

6. HG OLDATOK TRVNYEI ...................................................................................................... 193 6.1. A forrspont-emelkeds s fagyspontcskkens trvnye ..................................................... 193 6.2. A van t Hoff-faktor ................................................................................................................. 194 6.3. Az ozmzisnyoms ................................................................................................................... 197

7. KMIAI REAKCIK ..................................................................................................................... 208 7.1. Bevezets .................................................................................................................................. 208 7.2. A kmiai reakcik fajti ........................................................................................................... 209 7.3. Sav-bzis (protolitikus) reakcik, sav-bzis elmletek ............................................................ 212 7.4. Oxidcifok, redoxireakcik rendezse ................................................................................... 215 7.5. Sztchiometria .......................................................................................................................... 251 7.6. A kmiai reakcikat ksr hvltozsok Termokmia ........................................................ 272 7.7. A kmiai reakcik sebessge .................................................................................................... 292 7.8. Gyakorlkrdsek ..................................................................................................................... 305

8. KMIAI EGYENSLYOK ............................................................................................................ 310 8.1. A tmeghats trvnye s az egyenslyi lland ..................................................................... 310 8.2. A reakciegyenlet s az egyenslyi lland kapcsolata ........................................................... 321 8.3. Az egyensly eltolsa: a legkisebb knyszer elve .................................................................... 324 8.4. Homogn gzfzis reakcik ................................................................................................... 333 8.5. Heterogn fzis egyenslyok .................................................................................................. 344 8.6. Elektrolitegyenslyok ............................................................................................................... 350

4 Kmiai alapok


8.7. Megoszlsi egyenslyok ........................................................................................................... 502 9. ELEKTROKMIA .......................................................................................................................... 513

9.1. Bevezets .................................................................................................................................. 513 9.2. Az elektrdpotencil fggse a hmrsklettl, koncentrcitl s nyomstl ....................... 516 9.3. Galvnelemek ........................................................................................................................... 531 9.4. Koncentrcis elemek .............................................................................................................. 534 9.5. Az elektrdpotencilok s a redoxireakcik irnya .................................................................. 537 9.6. Az elektrdpotencilok s a kmiai egyenslyi lland kapcsolata ......................................... 542 9.7. Az elektrolzis ........................................................................................................................... 548 9.8. Elektrolitok vezetse ................................................................................................................ 564

10. A SZERVETLEN KMIA ALAPJAI ........................................................................................... 580 10.1. A szervetlen vegyletek csoportostsa .................................................................................. 580 10.2. Savak ...................................................................................................................................... 582 10.3. Bzisok ................................................................................................................................... 588 10.4. Sk .......................................................................................................................................... 590 10.5. Komplex vegyletek ............................................................................................................... 591 10.6. Elemek s vegyletek szisztematikus elnevezse .................................................................. 592 10.7. Gyakorlkrdsek ................................................................................................................... 596

11. SZERVES KMIA........................................................................................................................ 600 11.1. Bevezets ................................................................................................................................ 600 11.2. Alknok .................................................................................................................................. 616 11.3. Cikloalknok .......................................................................................................................... 621 11.4. Alknek .................................................................................................................................. 622 11.5. Alkinek ................................................................................................................................... 628 11.6. Aroms vegyletek ................................................................................................................. 631 11.7. Halogntartalm sznhidrognek ........................................................................................... 636 11.8. Alkoholok ............................................................................................................................... 639 11.9. Fenolok ................................................................................................................................... 644 11.10. terek ................................................................................................................................... 646 11.11. Aldehidek s ketonok ........................................................................................................... 648 11.12. Karbonsavak ......................................................................................................................... 653 11.13. szterek ................................................................................................................................ 661 11.14. Nitrovegyletek .................................................................................................................... 662 11.15. Aminok ................................................................................................................................. 664 11.16. Savamidok ............................................................................................................................ 667 11.17. Aminosavak .......................................................................................................................... 669 11.18. Fehrjk ................................................................................................................................ 674 11.19. Sznhidrtok ......................................................................................................................... 681 11.20. Heterociklusok ...................................................................................................................... 688 11.21. Nukleinsavak ........................................................................................................................ 690

12. PLDATR .................................................................................................................................. 693 12.1. Gztrvnyek .......................................................................................................................... 693 12.2. Koncentrcik ........................................................................................................................ 694 12.3. Hg oldatok trvnyei ............................................................................................................. 695 12.4. Sztchiometria ........................................................................................................................ 696 12.5. Termokmia ............................................................................................................................ 699 12.6. Kmiai egyenslyok ............................................................................................................... 700 12.7. Elektrolitegyenslyok ............................................................................................................. 701 12.8. Elektrokmia .......................................................................................................................... 703 12.9. Megoldsok ............................................................................................................................ 705

FELHASZNLT IRODALOM .......................................................................................................... 712 BRK, ANIMCIK, VIDEK JEGYZKE ............................................................................... 713

brk ............................................................................................................................................... 713 Animcik, videk .......................................................................................................................... 717

Elsz 5


ELSZ

A Kmiai alapok cm elektronikus jegyzet alapvet clja a vegysz, vegyszmrnki s biomrnki kmiaoktatshoz szksges elmleti alapok megteremtse, m haszonnal forgathatjk az rdekld kzpiskolsok is. A legfontosabb alapfogalmak ismertetse mellett igyeksznk bemutatni a fontosabb alkalmazsokat, gyakorlati ismereteket is, gy a jegyzet tbb szz rszletesen kidolgozott mintafeladattal, szmos videval s animcival segti az Olvast az anyag mlyebb megrtshez.

Ezen elektronikus tananyag 12 fejezetre tagoldik. Az els fejezet tartalmazza ksbbiek megrtshez elengedhetetlenl szksges matematikai s fizikai fogalmakat, sszefggseket. Ezutn egy igen terjedelmes ltalnos kmiai rsz kvetkezik, mely ismerteti az atomszerkezet, molekulaszerkezet alapjait, a klnbz halmazllapotok s halmazllapot-vltozsok legfontosabb jellemzit. A koncentrcikkal, oldatokkal s hg oldatok trvnyszersgeivel foglalkoz fejezetek nemcsak a kzpiskolai tananyagot, hanem az egyetemek els flvben tantott ismereteket is trgyaljk. A Kmiai reakcik cm fejezetben az Olvas megismerkedhet a kmiai egyenletek rendezsvel, a sztchiometria alapjaival, a termokmia legfontosabb trvnyszersgeivel, valamint a reakcikinetika alapfogalmaival. A Kmiai egyenslyok cm fejezet tbbek kztt trgyalja a homogn s heterogn fzis egyenslyokat, az elektrolitegyenslyokat (pH-egyenslyok, komplexkpzdsi egyenslyok, oldhatsgi egyenslyok), valamint a megoszlsi egyenslyokat. Az ltalnos kmival foglalkoz rszt az Elektrokmia cm fejezet zrja. A jegyzet utols fejezetei rviden ismertetik a legfontosabb szervetlen s szerves kmiai ismereteket, vgl az rdekld Olvas az utols fejezetben tallhat pldatr gyakorlfeladatain nllan ellenrizheti felkszltsgt.

Ezton szeretnnk ksznetet mondani az brk, animcik s videk elksztsben nyjtott segtsgrt Knczl Lszlnak s Fekete Csabnak, valamint ksznet illeti Krmos Balzst s Vghelyi dmot, akik rtkes brkkal sznestettk a jegyzetet. Lelkiismeretes munkjukrt ksznettel tartozunk Benk Zoltnnnak, Hargittai Istvnnak s Szcs Jlinak, akik a jegyzet egyes fejezeteit tolvastk, s hasznos tancsaikkal segtettk munknkat. Szeretnnk ksznetet mondani Nyulszi Lszlnak, Kovcs Ilonnak s Szieberth Dnesnek az rtkes tancsokrt. Elismerssel mondunk ksznetet a knyv szakmai lektornak, Igaz Saroltnak a szmtalan hasznos javaslatrt s segtsgrt.

6 Kmiai alapok


1. MATEMATIKAI S FIZIKAI ALAPOK

Ebben a bevezet jelleg fejezetben az els flves Kmiai alapok s ltalnos kmia gyakorlat elsajttshoz szksges legfontosabb matematikai s fizikai sszefggseket vesszk sorra.

1.1. Matematikai alapok

1.1.1. A mrsek s szmtsok pontossga

A mrhet mennyisgeknek kt nagy csoportjt klnbztethetjk meg. Az egyik az gynevezett diszkrt vltozval lerhat mennyisg, melyeket pontosan szmszersteni tudunk. Ilyen pldul a darabszm, ismernk olyat, hogy egy darab alma vagy ngy darab alma, de nincs tl sok rtelme 2,54 darab almrl beszlni. A msik csoportba olyan mennyisgek tartoznak, melyek rtke folytonosan vltozhat, azaz nem csak adott egsz rtkeket vehet fel. Ilyen pldul a tmeg, a terlet, az ramerssg, az anyagmennyisg, s gy tovbb. Ezekre jellemz, hogy rtkk brmilyen nem felttlenl egsz rtket felvehet. Ennek van egy rendkvl fontos kvetkezmnye: az ilyen mennyisgek mrsekor elkvetett hiba befolysolja a mrs pontossgt. Vegynk egy egyszer pldt! Tmegmrsnl egyltaln nem mindegy, milyen fajta mrleget hasznlunk, hogy pldul tehermrsre hasznlatos mzsn, szemlymrlegen, konyhai mrlegen vagy a laboratrium analitikai mrlegn mrjk meg egy trgy tmegt. A klnbz mrlegeket klnfle mrshatrokra terveztk, s eltr pontossggal is rendelkeznek. Pldul mg egy mzsa

vagy egy szemlymrleg pontossga 0,1 kilogramm, addig egy analitikai mrleg pontossga

tbbnyire 0,0001 gramm vagy akr mg ennl kisebb is lehet. Mit is jelent ez a pontossg kifejezs?

Ha egy digitlis szemlymrleg pontossga 0,1 kilogramm, s a mrleg 76,4 kilogrammot mutat, akkor a tnyleges tmegrl annyit tudunk, hogy igen nagy valsznsggel a 76,3 kilogramm s 76,5 kilogramm kztt van. s ebbl az is kvetkezik, hogy 76,4 kilogrammnak ltjuk tmegnket akkor is, ha az 76,359 kilogramm vagy akr 76,432 kilogramm, mivel a mrleg nem kpes pontosabban kijelezni az rtket. Vegynk egy msik pldt! Egy seprnyl hossznak meghatrozst vgezzk, s ktfle mrszalag ll rendelkezsnkre: az egyiken centimter-beoszts van, a msikon a millimtereket is feltntettk, az elzt kisebb pontossgnak, az utbbit nagyobb pontossgnak tekintjk. A seprnyl hosszt egy nagyon pontos mrssel is megmrtk, s 168,314 centimternek addott. Ha megmrjk ezt a trgyat a millimter-beoszts mrszalaggal, millimter pontossggal ismerjk a trgy hosszt, mely 168 centimter s 3 millimter. Ha azonban a msik, centimter-beoszts mrszalaggal mrjk meg a seprnyelnk hosszt, csak a centimteregysgeket tudjuk leolvasni, ami esetnkben 168, esetleg szemre tudjuk becslni a harmad centimternyi tvolsgot. Ebben az esetben azonban nem adhatjuk meg a seprnyelnk hosszt 168,3 centimternek, mert a mrszalag beosztsa ezt nem teszi lehetv! A centimter pontossg mrszalaggal mrve a helyesen megadott mennyisg 168 centimter. Tegyk fel, hogy a fentebb emltett seprnyelet megmrjk a millimter-beoszts mrszalag segtsgvel, s hosszt egszen pontosan 168,3 centimternek olvassuk le, azaz szemre nem rzkelnk eltrst a millimteregysgben. Ilyenkor azonban nem adhatjuk meg a seprnyl hosszt az albbi alakban: 168,300 centimter, de mg gy sem: 168,30 centimter, mivel a mreszkz pontossga ezt nem teszi lehetv. A helyes megadsi md a kvetkez: 168,3 centimter! Akr laboratriumban dolgozunk, akr szmtsi feladatot oldunk meg, gyakran elfordul, hogy az adatok pontossgt is figyelembe kell vennnk. Ha mrst vgznk, ltalban ismerjk a mrs pontossgt, s ebbl meg tudjuk llaptani, milyen pontossggal clszer megadnunk az eredmnyt. Viszont a szmtsi feladatok is ltalban ksrleti eredmnyeken alapulnak, ezrt ott is fontos szem eltt tartani az eredmnyek pontossgt. A fentiek alapjn jelents klnbsg van pldul az 1,0 dm3 s az 1,0000 dm3 kztt. Az els esetben csak az els tizedesjegyben lehetnk biztosak, a valsgban lehet, hogy 1,02 dm3 vagy 0,98 dm3 az rtk. A msodik esetben azonban biztosak lehetnk abban, hogy ngy tizedesjegy pontossggal ismerjk az rtket! Termszetesen egy adott trfogatot nem csak

1. Matematikai s fizikai alapok 7


dm3-ben, hanem ms mrtkegysgben is megadhatunk, azaz 1,0000 dm3 megegyezik 1000,0 cm3-rel. Innen lthatjuk, hogy nem a tizedesjegyek szma szmt! Az rtkes jegy fogalmt a pontossg definilsra vezettk be. rtkes jegynek tekintjk a szm szmjegyeit, kivve az egynl kisebb szmok elejn tallhat nullt, illetve nullkat (azon nullkat, melyek csak a helyi rtket jelzik). Az 1,0 dm3 felrsban 2 rtkes jeggyel adtuk meg a pontossgot, az 1,0000 dm

3 esetn pedig 5 rtkes jegyrl beszlnk. Viszont a 0,02 dm3 esetn problmba

tkznk. Ebben az esetben az els kt nulla nem szmt rtkes jegynek, csupn a 2-es szmjegy. A legegyszerbb mdja az rtkes jegyek megllaptsnak, hogy a mennyisget trjuk norml alakba, s megllaptjuk, hogy hny szmjegyet tartalmaz a 10 megfelel hatvnya eltt ll szorz tnyez. A fenti pldban 0,02 dm3 = 2 102 dm3, azaz 1 rtkes jegy pontossggal ismerjk a trfogatot. Az rtkes jegyek megllaptsra az albbi szablyokat ismerjk: Az egynl kisebb szmokban az els nem zrus szmjegyet megelz nullk nem szmtanak

rtkes jegynek. Pldul 0,000060 g = 6,0 105 g, azaz kt rtkes jegyet tartalmaz. Brmely ms esetben (azaz ha van eltte nem zrus szmjegy) a nulla is rtkes jegynek szmt.

Pldul a 1,0000 dm3-ben 5 rtkes jegy tallhat. A nulltl eltr minden szmjegy rtkes jegynek szmt.

Fontos megjegyezni, hogy a mrtkegysgek tvltsa nem okozhat vltozst az rtkes jegyek szmban, azaz sem nem nvekedhet, sem nem cskkenhet az rtkes jegyek szma. gy pldul: 0,067060 km = 67,060 m = 6706,0 cm = 67060 mm = 6,7060 102 km, mint ltjuk, minden esetben 5 rtkes jegy a pontossg. Ha szmtsi feladatokat oldunk meg, szmolgpnkkel ltalban igen sok tizedes jegy pontossgra kpesek vagyunk meghatrozni az eredmnyeket. Azonban a sok-sok tizedes jegy megadsa gyakran teljesen felesleges. A kvetkezkben azt vizsgljuk meg, hogy egy szmtsi feladat megoldsa sorn milyen pontossggal clszer a szmtsokat elvgezni, s a vgeredmnyt megadni.

A szmtsok sorn clszer a lehet legpontosabban szmolni, mivel gy tudjuk lecskkenteni a kerektsekbl add hibkat. Ha rendelkezsre ll szmolgp, akkor rdemes az adatokat megtartani a szmolgpben, s azokkal szmolni tovbb. Ha a feladat vgre rtnk, a vgeredmny megadst a kvetkezkpp clszer vgezni: vizsgljuk meg a feladat szvegben tallhat adatok pontossgt, azaz llaptsuk meg, melyik hny rtkes jegyre van megadva. Ezutn meg kell llaptanunk, hogy melyik mennyisg tartalmazza a legkevesebb rtkes jegyet, azaz melyik van a legpontatlanabbul megadva. A szmtsok sorn csupn matematikai mveleteket vgznk, s gy nem tudunk javtani az eredmnyek pontossgn! Teht a vgeredmny pontossgt a legpontatlanabbul megadott kiindulsi adat pontossga szabja meg: a vgeredmnyt (legfeljebb) annyi rtkes jegy pontossgra adjuk meg, mint a legpontatlanabbul megadott kiindulsi adat rtkes jegyeinek szma! A szmolgp adatait a megfelel rtkes jegyekre kell kerektennk, azaz az 1, 2, 3 s 4 szmjegyeket lefel, az 5, 6, 7, 8 s 9 szmjegyeket pedig felfel kerektjk. Egy zrthelyi dolgozat esetn termszetesen a rszeredmnyeket sem clszer lejegyezni az sszes ltez tizedesjeggyel, ilyenkor is rdemes sszeren kerektennk a megfelel rtkes jegyre! Amennyiben az eredmny egy nagyon kicsi vagy nagyon nagy szm, mindenkpp rdemes normlalakban megadni az eredmnyt. Ennek tovbbi elnye, hogy az rtkes jegyek szmt is ellenrizni tudjuk!

1.1. plda:

Egy tglatest leinek hossza: a = 6,37 cm, b = 0,14570 m s c = 32,01 cm. Adjuk meg a tglatest trfogatt m3 egysgben!

Megolds:

rjuk t az sszes adatot mter mrtkegysgre, s llaptsuk meg, melyik hny rtkes jegyet tartalmaz!

a = 6,37 cm = 0,0637 m 3 rtkes jegy b = 0,14570 m 5 rtkes jegy c = 32,01 cm = 0,3201 m 4 rtkes jegy

8 Kmiai alapok


A tglatest trfogata:

V = a b c = (0,0637 m) (0,14570 m) (0,3201 m) = 0,00029708769 m3

Mivel igen kicsi szmrtkrl van sz, clszer trnunk normlalakra: V = 2,9708769 104 m3. Mint fentebb ismertettk, a vgeredmnyt szablyosan a legpontatlanabbul, azaz legkevesebb rtkes jeggyel megadott adat rtkes jegyire lehet megadni, azaz jelen esetben 3 rtkes jegynl tbbet nem rdemes megadunk. A vgeredmny helyes pontossgban megadva:

V = 2,97 104 m3.

1.1.2. Alapvet matematikai sszefggsek

Egyenes arnyossg: kt mennyisg kztt egyenes arnyossg ll fenn, ha az egyik mennyisget valahnyszorosra vltoztatjuk, akkor a msik mennyisg is ugyanannyiszorosra vltozik.

Ha az egyenes arnyossgot fggvnyknt fejezzk ki, gy rhatjuk le: y = a x, ahol y s x a kt krdses mennyisg, a pedig egy lland. Ebbl a felrsbl ltszik, hogy kt mennyisg kztt akkor beszlhetnk egyenes arnyossgrl, ha a kt mennyisg arnya lland, jelen esetben ez megegyezik a-val. Grafikonban brzolva egy orign tmen egyenest kapunk:

1.1.2.1. bra: Az egyenes arnyossg

Az egyenes arnyossg fggvnye a lineris fggvnyek egy specilis esete: a tengelymetszet zrus, azaz az egyenesnek az orign kell tmennie.

Az egyenes arnyossgra szmtalan pldt tudunk a mindennapi letbl s a termszettudomnyokbl egyarnt. A fizikai s kmiai tartalm pldkkal a ksbbiekben ismerkednk meg rszletesen, azonban kvetkezzen egy igen egyszer plda. Ennek clja elssorban az, hogy megismerhessk a klnbz megoldsi mdszereket, hogy ki-ki maga eldnthesse, hogy melyiket alkalmazza knnyebben.

1.2. plda:

Ha 2 kilogramm rzglic 1800 forintba kerl, akkor mennyibe kerl 3 kilogramm rzglic?

Megolds:

A) Felrs egyenes arnyossggal, szvegesen:



Ha 2 kilogramm rzglic 1800 forint, akkor 3 kilogramm rzglic x forint.

Ezt tbbflekppen lehet megoldani: Felrhatjuk, hogy a mennyisgek arnya lland:

kg3

forintw

kg2

forint1800 .

Ebbl knnyedn megkapjuk, hogy w = 2700 forint. Egy msik megolds, ha az gynevezett keresztbeszorzst alkalmazzuk, melyet sok helyen tantanak kzpiskolkban, elssorban kmiarn:

Ha 2 kilogramm rzglic 1800 forint, akkor 3 kilogramm rzglic w forint.

Azaz 2 kg w forint = 3 kg 1800 forint, melybl egyszeren addik, hogy w = 2700 forint, hasonlan az elz megolds eredmnyhez.

B) Kiszmthatjuk az arnyossgi tnyezt az y = a x egyenlet alapjn: ez tulajdonkppen az 1 kilogramm rzglic ra:

kg

forint900

kg2

forint1800

tmeg

ra

gy az egysgrbl knnyedn megkaphatjuk a 3 kilogramm rzglicrt fizetend rat: w = a x = (900 forint / kg) (3 kg) = 2700 forint.

Fordtott arnyossg: ha az egyik mennyisget valahnyszorosra nveljk, a msik mennyisg ugyanannyiad rszre cskken.

Ha a fordtott arnyossgot fggvnyknt fejezzk ki, a kvetkezkpp rhatjuk fel: y = b / x, ahol y s x a kt krdses mennyisg, b pedig egy lland. Ebbl a felrsbl ltszik, hogy kt mennyisg kztt akkor beszlhetnk egyenes arnyossgrl, ha a kt mennyisg szorzata lland, jelen esetben ez megegyezik b-vel. Grafikonban brzolva egy gynevezett hiperbolt kapunk (amennyiben a negatv mennyisgekrl is van rtelme beszlni, a hiperbolnak van egy negatv tartomnyban tallhat szra is):

10 Kmiai alapok


1.1.2.2. bra: A fordtott arnyossg

Termszetesen fordtott arnyossgra is szmtalan pldt lehet tallni, melyekkel a ksbbiekben ismerkednk meg. Ismt egy igen egyszer plda:

1.3. plda:

Ktfle tisztasg rzglicot forgalmaz a vegyszerkeresked. A rosszabb minsg, tbb szennyezdst tartalmaz ra kilogrammonknt 1800 forint, m van egy tisztbb is, melynek ra 2400 forint kilogrammonknt. Hny kilogrammnyit tudunk venni a jobb minsg rzglic 12 kilogrammjnak rbl, ha azt rosszabb minsg rzglicra kltjk?

Megolds:

A) Arnyprral: Ha 2400 Ft/kg r rzglicbl 12 kg-ot tudunk venni, akkor az 1800 Ft/kg r rzglicbl z kg-ot tudunk venni.

Fordtott arnyossg esetn a mennyisgek szorzata lland:

(2400 Ft/kg) (12 kg) = (1800 Ft/kg) (z kg)

Ebbl z = 16 kilogramm.

B) Fggvnnyel: Mivel a fordtott arnyossg felrhat gy, hogy y = b / x, ebbl kvetkezik, hogy b = y x, teht b = (2400 Ft/kg) (12 kg) = 28 800 Ft, azaz ennyi a rendelkezsre ll pnzsszeg. Ebbl kiszmthat, hogy az olcsbb rzglicbl mennyit tudunk venni:

y = (28 800 Ft) / (1800 Ft/kg) = 16 kg.



Msodfok egyenlet megoldsa:

A msodfok egyenlet megoldkpletnek alkalmazshoz az egyenletet az albbi formra kell hozni:

a x2 + b x + c = 0.

Ekkor az a, b s c paramterek fggvnyben a msodfok egyenlet kt megoldsa:

a2

ca4bbx

2

1

s

a2

ca4bbx

2

2

.

A ngyzetgyk alatti kifejezst diszkriminnsnak nevezzk: D = b2 4 a c. A diszkriminns eljelbl kvetkeztethetnk arra, hogy hny vals megoldsa van a msodfok egyenletnek. Ha a diszkriminns pozitv, kt vals gykt kapunk, ha a diszkriminns negatv, nincsen vals megoldsa az egyenletnek. Abban az esetben, ha a diszkriminns rtke nulla, x1 s x2 gykk megegyeznek, azaz a msodfok egyenletnek egyetlen megoldsa van.

1.4. plda:

Oldjuk meg a kvetkez egyenletet!

(x 2) (x + 5) = 8 Megolds:

Elvgezve a szorzst: x2 2 x + 5 x 10 = 8. Nullra rendezve: x2 + 3 x 18 = 0.

Teht a = 1, b = 3 s c = 18. Behelyettestve a megoldkpletbe (itt a fenti kt kplet egy kzs kplett van sszeolvasztva):

2

93

2

813

12

)18(1433

a2

ca4bbx

22

2,1

,

azaz 2

93x1

s 6

2

93x 2

.

1.5. plda:


16 x2 104 x + 169 = 0

Megolds:

A nullra rendezett formbl a = 16, b = 104 s c = 169. Behelyettestve a megoldkpletbe:

4

13

32

0104

162

169164104104

a2

ca4bbx

22

2,1

.

Mivel az egyenlet diszkriminnsa (a ngyzetgyk alatt ll kifejezs: D = b2 4 a c) zrus, az

egyenlet kt gyke ugyanaz, teht egy megoldsa van az egyenletnek: 4

13x .

12 Kmiai alapok


sszegek s szorzatok felrsa:

Egy sszeg kifejtse:

n

1i

n21i a...aaa .

Egy szorzat kifejtse: m21

m

1i

i bbbb

.

Legfontosabb hatvnyozsi s gykvonsi azonossgok:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2

(a b) (a + b) = a2 b2

an bn = (ab)n

an : bn = (a : b)n (b 0)

an am = an + m

an : am = an m (a 0)

mnnmmn aaa

n

1

n aa (a 0, ha n pros),

mely alapjn a fenti hatvnyozsi azonossgok alkalmazhatak a gykvonsra is!

nm

mnn m aaa (a 0, ha n pros)

mnn mm n aaa (a 0, ha n vagy m pros)

Hatvnyozs gykvons logaritmus: Adott a kvetkez hatvny (legyen a s b is pozitv): c = ab

Ekkor c hatvnyrtkt gy kaphatjuk meg, ha az a hatvnyalapot a b hatvnykitevre emeljk. A hatvnyozsnak vagy kt megfordtott (gynevezett inverz) mvelete: a gykvons s a logaritmus. Ha az a hatvnyalap rtkt szeretnnk megkapni c s b ismeretben, akkor gykvonst kell

vgeznnk: a egyenl c b-edik gykvel: b ca .

Ha ismert az a hatvnyalap s c hatvnyrtk, a krdses b kitevt logaritmusszmtssal

kaphatjuk meg: clogb a .

Azaz az a-alap logaritmus c (logac) az a kitev, melyre a-t emelve ppen c-t kapjuk.

Logaritmusazonossgok: Legyen a, b s c pozitv:

babloga

loga (b c) = loga b + loga c

loga (b : c) = loga b loga c



loga (bc) = c (loga b).

ttrs logaritmusalapok kztt:

alog

blogblog

c

ca .

1.1.3. A hatvny-, gyk-, exponencilis s logaritmusfggvnyek

Hatvnyfggvnynek nevezzk a kvetkez alak fggvnyeket: f(x) = xn, ahol n egy pozitv egsz. A fggvny minden vals x-re rtelmezve van. Jellemzje, hogy pros fggvny, ha n pros, s pratlan fggvny, ha n pratlan, s ez utbbi esetben szigoran monoton nvekv. x = 0 helyen a hatvnyfggvny rtke 0.

1.1.3.1. bra: Hatvnyfggvnyek

A gykfggvnyek ltalnos alakja: n1

n xx)x(f , ahol n pozitv egsz szm.

rtelmezsi tartomny: ha n pros, minden nemnegatv x-re rtelmezve van, ha n pratlan, minden vals x-re rtelmezve van. A gykfggvnyek szigoran monoton nvekedk. A pratlan gykkitevj gykfggvnyek pratlanok.

14 Kmiai alapok


1.1.3.2. bra: Gykfggvnyek

Az exponencilis fggvny alakja: f(x) = ax, ahol a egy pozitv szm. A fggvny minden vals x esetn rtelmezve van. Amennyiben a > 1, a fggvny monoton nvekv, ha 0 < a < 1, akkor monoton cskken. Az exponencilis fggvny mindig a (0 ; 1) pontban metszi az y tengelyt. Egy-egy plda az exponencilis fggvnyekre:

1.1.3.3. bra: Exponencilis fggvnyek

A logaritmusfggvnyt a kvetkezkppen definilhatjuk: f(x) = loga x, ahol a egy pozitv szm. A fggvny csak pozitv x rtkekre van definilva. Amennyiben a > 0, a fggvny monoton nvekv, ha 0 < a < 1, a fggvny cskken. A logaritmusfggvny az x tengelyt mindig az (1 ; 0) pontban metszi.



1.1.3.4. bra: Logaritmusfggvnyek

1.1.4. Log-log diagramok s trsaik

A mrnki-kmiai gyakorlatban sok sszefggst hatvnyfggvnyknt jelenthetnk meg. A logaritmus egyik igen fontos alkalmazsa, hogy meg tudjuk vele llaptani egy hatvnyfggvny ismeretlen kitevjt:

1.6. plda:

Adott kt mrhet mennyisg, x s y, s tudjuk, hogy a kt mennyisg kztti sszefggs az albbi alak: y = xn. A mrseink sorn a kvetkez rtkprokat kapjuk:

x y

1,7 3,77

3,0 15,59

3,7 26,33

4,2 36,15

4,9 53,15

5,7 77,57

6,9 125,06

llaptsuk meg az n hatvnykitevt!

Megolds:

Az rtkprokat derkszg koordintarendszerben brzolva, a kvetkez grafikont kapjuk:

16 Kmiai alapok


1.1.4.1. bra: A kt vltoz kzti kapcsolat

A fenti brbl igen nehz megllaptani a hatvnykitevt. Mivel a kt vltoz (x s y) kztti kapcsolat hatvnyfggvnnyel rhat le, y = xn, pozitv x s y esetn loga y = loga x

n = n loga x. Ezrt vegyk az x s y rtkek 10-es alap logaritmust!

lg x lg y

0,2304 0,5761

0,4771 1,1928

0,5682 1,4205

0,6232 1,5581

0,6902 1,7255

0,7559 1,8897

0,8388 2,0971

A fenti rtkprokat szintn brzolhatjuk derkszg koordintarendszerben:

1.1.4.2. bra: A kt vltoz logaritmusa kzti kapcsolat



Mint lthat, az rtkek logaritmusa kztti kapcsolat mr egyenes arnyossggal rhat le, knnyen megllapthatjuk az egyenes meredeksgt (irnytangenst) is: n = 2,5. (Ezt akr a grafikonrl leolvasva, akr a megfelel logaritmusok hnyadosaknt megkaphatjuk.) Teht a keresett fggvnykapcsolat: y = x2,5. A mrnki gyakorlatban elterjedt az gynevezett log-log diagramok hasznlata is. Ekkor nem a logaritmusrtkeket brzoljuk a hagyomnyos beoszts tengelyeken, hanem a tnyleges rtkeket gynevezett logaritmikus beoszts tengelyeken brzoljuk:

1.1.4.3. bra: A kt vltoz kzti kapcsolat log-log diagramon brzolva

A mrt rtkeket (nem a logaritmusukat!) ilyen beoszts koordintarendszerben brzolva szintn egyenes arnyossgot kapunk. rdemes megfigyelni a segdrcsokat, ezek nem egyenl tvolsgban helyezkednek el egyms mellett! A fenti plda ltalnosthat, hasonl mdon nemcsak a hatvnyfggvnyek, hanem egyb fggvnykapcsolatok is felderthetek. Figyelem! Attl fggen, hogy milyen fggvnykapcsolat ll fenn x s y kztt, nem mindig log-log diagramot kell alkalmazni, gyakran elg csak az x vagy y vltozt logaritmusos beoszts tengelyen brzolni (lsd lentebb)! A teljessg ignye nlkl nhny plda:

y = f(x) = a xn, mely log-log diagramban lineris fggvnyt ad: lg y = lg a + n lg x

1.1.4.4. bra: Az y = f(x) = a xn fggvny

18 Kmiai alapok


y = f(x) = a 10bx, mely talakthat a kvetkez sszefggss:

lg y = lg(a 10bx) = lg a + lg 10bx = lg a + bx.

Ekkor az x vltoz fggvnyben (s nem lg x fggvnyben!) kell brzolni lg y-t, s a tengelymetszetbl megkapjuk lg a-t, melybl szmthat a, valamint az egyenes meredeksge megadja a b paramtert. A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineris lptk, mg az y tengely (ordinta) logaritmikus lptk.

1.1.4.5. bra: Az y = f(x) = a 10bx fggvny

A jobb oldali diagramon az x tengely (abszcissza) lineris lptk, mg az y tengely (ordinta) logaritmikus lptk. Az exponencilis fggvny paramtereit a meredeksgbl s tengelymetszetbl knnyen leolvashatjuk.

y = f(x) = a lg x. Ekkor egyszeren y-t brzoljuk lg x fggvnyben, s meghatrozhatjuk az ismeretlen a paramtert.

1.1.4.6. bra: Az y = f(x) = a lg x fggvny

Teht ebben az esetben az abszcissza (x tengely) lptke logaritmikus, mg az ordinta (y tengely) lptke lineris.

Ez a mdszer akkor is segtsgnkre lehet, ha nem ismerjk az sszefggst a kt mennyisg (x s y) kztt, viszont az brzolsbl remnykedhetnk, hogy az sszefggs nem tl bonyolult fggvnnyel rhat le. Ilyenkor rdemes kiprblni a fenti talaktsokat, s abban a szerencss esetben, ha az gy keletkezett transzformlt vltozk kztt lineris sszefggst kapunk, meg tudjuk hatrozni a szksges paramtereket.



1.1.5. Lineris interpolci s extrapolci

Mrsi eredmnyeket tartalmaz tblzatok hasznlata sorn gyakran elfordul, hogy egy olyan adatra van szksgnk, melyre ppen nincs mrsi eredmny. Erre egy egyszer plda (pldul y mennyisget mrjk x fggvnyben):

x y

0,0 12,0

5,0 16,0

10,0 20,0

Teht ismerjk y rtkt x = 0,0, x = 5,0 s x = 10,0 esetn. Tegyk fel, hogy neknk trtnetesen szksgnk van x = 7,0 esetn y rtkre! Ekkor tbb lehetsgnk van:

megmrjk ksrletileg x = 7,0 esetn y rtkt brzoljuk y-t x fggvnyben, s grafikusan prblunk kvetkeztetni y rtkre x = 7,0 esetn matematikai ton kiokoskodjuk y rtkt az x = 7,0 helyen.

Az els megoldsra gyakran nincs lehetsg, noha valsznleg az lenne a legpontosabb. A grafikus megolds ltalban hosszadalmas s a leolvass pontatlan, ezrt ltalban az gynevezett lineris interpolcit alkalmazzuk ilyen esetekben. Termszetesen ehhez az szksges, hogy a kt vizsglt vltoz kztt lineris sszefggs lljon fenn. A mdszer gyakran olyankor is alkalmazhat, ha a kt mennyisg kztt nem lineris az sszefggs, viszont igen j kzeltssel linerisnak tekinthet az adott tartomnyban, ezrt nem okoz tl nagy hibt az, ha linerisnak vesszk az sszefggst. Ezt termszetesen az adott problma jellege hatrozza meg, s csak bizonyos esetekben hasznlhat. Amennyiben kt mrsi pont kztti rtket szeretnnk meghatrozni, interpolcirl beszlnk (lsd fent). Ha a mrsi pontok alapjn egy olyan pontot szeretnnk meghatrozni, mely a mrsi tartomnyon kvl esik, azaz a fenti tblzat alapjn pldul x = 15,0 esetn szeretnnk meghatrozni y rtkt, extrapolcirl van sz. Figyelem! Mg az interpolci a linearits felttelezsvel helyes eredmnyt ad, az extrapolci gyakran vezet olyan eredmnyhez, mely nem felel meg a valsgnak. Ennek oka, hogy attl, hogy egy bizonyos tartomnyban joggal alkalmazhatunk lineris sszefggst, gyakran ms tartomnyokban mr nagy hibt okozhat a lineris viselkedstl val eltrs. Erre egy szemlletes pldt mutat az albbi bra:

1.1.5.1. bra: Az extrapolci hibi

20 Kmiai alapok


Mint lthat, az x = 40 50 tartomnyban az sszefggs linerisnak tekinthet, teht pldul az x = 42 vagy x = 46 pontokban viszonylag pontosan becslhetjk y rtkt. m ha az x = 40 s x = 50 pontok alapjn prblunk extrapollni x = 10 rtkre a piros szn egyenes alapjn (lineris fggvnyt felttelezve), igen nagy hibt kvetnk el! A lineris interpolcit legszemlletesebben egy plda alapjn rthetjk meg:

1.7. plda:

A magnzium-szulft vizes oldatnak a srsge s az oldat tmeg%-os sszettele kztt gyakorlatilag lineris az sszefggs. Az albbi tblzat klnbz tmeg%-os sszettel magnzium-szulft-oldatok srsgt tartalmazza 20 C hmrskleten. Becsljk meg lineris interpolcival a 11 tmeg%-os magnzium-szulft-oldat srsgt!

MgSO4-tartalom

(tmeg%) srsg (g/cm3)

6 1,0602

10 1,1034

14 1,1484

18 1,1955

Megolds:

Az els lps megkeresni, hogy mely pontok kztt clszer az interpolcit vgezni, azaz meg kell llaptani, mely mrsi pontok kz esik a krdses pont. A 11 tmeg%-os oldat a 10 s a 14 tmeg%-os oldat sszettele kz esik, teht ebben az intervallumban clszer a lineris interpolcit elvgezni. (Elvileg ugyan ms pontok kztt is tudnnk vgezni interpolcit, m a legszkebb intervallumot clszer kivlasztani, mert a linearits felttelezse itt a leghelytllbb.)

Lineris interpolci esetn az y mennyisget (a srsget) x mennyisg (a MgSO4-tartalom tmeg%-ban) fggvnyben a kvetkez sszefggssel rhatjuk le:

y = a x + b.

Az albbi diagramon lthatk a 10 tmeg%-os (x1) s a 14 tmeg%-os (x2) sszettelhez tartoz pontok (a megfelel srsgek rendre y1 s y2), illetve a krdses srsg (y) a 11 tmeg%-os pontban (melyet a vzszintes tengelyen x-nek rvidtettnk).

1.1.5.2. bra: Az oldat srsge a tmegszzalk fggvnyben



Teht az (x1; y1) s (x2; y2) pontok kz behzott egyenes meredeksge:

12

12

xx

yy

x

ya

.

Mivel a nvekmnyek (y s x) kztt egyenes arnyossg ll fenn, az a meredeksg ugyanakkora a 10 tmeg%-os (x1) s a 11 tmeg%-os (x) sszettel esetn is, mint ahogyan a kvetkez brn is lthat:

1.1.5.3. bra: A srsg szmtsa interpolcival

Azaz felrhat ismt, hogy y s x arnya lland, mghozz a fenti a rtk:

1

1

xx

yy

x

ya

.

Mivel az a meredeksg mindkt esetben ugyanakkora, felrhatjuk a kvetkez kifejezst:

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

x

ya

.

Ezt a kpletet rdemes megjegyezni, m ha nem megy olyan knnyedn, akkor a fenti gondolatmenettel brmikor igen knnyen eljuthatunk hozz. Mivel a fenti egyenletben csupn az y az ismeretlen, knnyen kifejezhet:

1112

121

12

121 y)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy

.

Behelyettestve a kpletbe x, x1, x2, y1 s y2 rtkt (mrtkegysgek nlkl):

1147,111465,11034,1)1011(1014

1034,11484,1y)xx(

xx

yyy 11

12

12

.

Teht a 11 tmeg%-os magnzium-szulft-oldat srsge 1,1147 g/cm3.

22 Kmiai alapok


Megjegyzs: ugyanehhez az eredmnyhez eljuthatunk kicsit ms ton is. Az albbi brn bejellt kt hromszg hasonl egymshoz, gy az oldalaik arnya is lland.

1.1.5.4. bra: Az interpolci szemlltetse hasonl hromszgekkel

1.8. plda:

Egy ksrlet sorn megmrtk egy ismeretlen magnzium-szulft oldat srsgt, mely 1,1600 g/cm3-nek addott. Lineris interpolci segtsgvel llaptsuk meg az oldat magnzium-szulft-tartalmt tmeg%-ban! A feladat megoldshoz hasznljuk az elz pldban megadott tblzatot!

Megolds:

A lineris sszefggs lehetsget terem arra, hogy a srsg (y) ismeretben az ismeretlen tmeg%-os sszettelt (x) is meghatrozhassuk. Mivel az 1,1600 g/cm3 srsg-rtk a 1,1484 s 1,1955 g/cm3 rtkek kztt tallhat, a 14 s 18 tmeg%-os sszettelhez tartoz pontok kzt kell interpollni. Az elz pldban megismert sszefggst kell alkalmaznunk:

1

1

12

12

xx

yy

xx

yy

.

Ebbl most x-et kell kifejeznnk x1, x2, y1, y2, s y fggvnyben:

112

121

12

1211 x

yy

xx)yy(x

yy

xx)yy(xx

.

Behelyettestve a megfelel rtkeket:

1598,14141484,11955,1

1418)1484,11600,1(x

yy

xx)yy(x 1

12

121

.

Teht az 1,1600 g/cm3 srsg magnzium-szulft-oldat krlbell 15 tmeg%-os. Mint emltettk, az extrapolci sorn mindig fokozott figyelemmel kell eljrni, mivel gyakran elfordul, hogy az extrapollt rtk nem j becslse a valdi rtknek. Kvetkezzen egy plda az extrapolcira:



1.9. plda:

A magnzium-szulft-oldatra bemutatott 6 s 10 tmeg%-os adatok alapjn extrapolljunk 0 tmeg%-os sszettelre!

Megolds:

Az elzekhez hasonlan, 6 tmeg%-os sszettelnl (x1) a srsg 1,0602 g/cm3, (y1), 10 tmeg%

(x2) esetn pedig 1,1034 g/cm3 (y2). A feladat megbecslni a srsget (y) 0 tmeg% (x) esetn.

Ismtelten clszer egy brt kszteni a megoldshoz:

1.1.5.5. bra: Plda a lineris extrapolcira

Az elz feladatok megoldshoz hasonlan felrhatjuk az egyes pontokat sszekt egyenesek meredeksgt, s a kt meredeksgnek meg kell egyeznie:

12

12

1

1

xx

yy

xx

yy

x

ya

.

Kifejezve y-t x fggvnyben:

1112

1211

12

121

12

121 y)xx(

xx

yyyy)xx(

xx

yyy)xx(

xx

yyyy

.

rdemes megfigyelni, hogy a kapott kifejezs ugyanaz, mint amit az interpolcinl kaptunk! Behelyettestve az rtkeket:

9954,00602,1)60(610

0602,11034,1y)xx(

xx

yyy 11

12

12

.

A desztilllt vz srsge 4 C-on 1,000 gramm/cm3, 20 C-on pedig 0,998 gramm/cm3, gy az extrapolcival kapott 0,9954 gramm/cm3 rtk igen jl kzelti a valdi rtket. Ebbl arra kvetkeztethetnk, hogy a magnzium-szulft-oldat srsge s sszettele kztti sszefggs igen jl kzelthet lineris fggvnnyel.

24 Kmiai alapok


1.1.6. Egyenletek kzelt megoldsa itercis ton

Gyakran elfordul, hogy egy egyenlet megoldsra nem ismernk megfelel kpletet, st nem ritka, hogy egy egyenletet csak kzeltleg tudunk megoldani. Ebben a rszben bemutatunk egy egyszer mdszert, melynek segtsgvel knnyen megoldhatunk klnfle egyenleteket.

1.10. plda:

Oldjuk meg kzeltleg a kvetkez egyenletet!

0xlgx

Megolds:

Az egyenletet a pozitv szmok halmazn kell megoldanunk. Hozzuk az egyenletet a kvetkez formra!

x = f(x)

Erre kt lehetsgnk van, azaz:

A) xlgx

x10x xA 10)x(f

B) xlgx

22 )x(lg)xlg(x xlg)x(f 2B .

Ezutn prbljuk megoldani az egyenletet az A) illetve B) ton! Vegynk egy kiindulsi x0 rtket, pldul x0 = 0,5, ezutn x0 rtkt behelyettestjk az egyenlet jobb oldaln ll kifejezsbe, melynek eredmnye x1 = f(x0) lesz. Ezutn x1-et behelyettestjk a jobb oldali kifejezsbe, s megkapjuk x2 = f(x1) rtkt, majd ezt ismt behelyettestjk az egyenlet jobb oldalba, s gy tovbb. Ha az egyenlet megoldhat ezzel a mdszerrel, azt kell tapasztalnunk, hogy az egymst kvet x0, x1 = f(x0), x2 = f(x1), x3 = f(x2), , xi+1 = f(xi), rtkeknek kzelednik kell a megoldshoz, mely gy tetszleges pontossggal kiszmthat. Most nzzk ezt meg az adott pldn:

A)

x0 = 0,5 x0 = 0,5000

x1 = 5000,0x

1010 0 x1 0,1363

x2 = 1963,0x

1010 1 x2 0,3605

x3 = 3605,0x

1010 2 x3 0,2509

x4 = 2509,0x

1010 3 x4 0,3156

x5 = 3156,0x

1010 4 x5 0,2743

x6 = 2743,0x

1010 5 x6 0,2994

x7 = 2994,0x

1010 6 x7 0,2837

x8 = 2837,0x

1010 7 x8 0,2933



x9 = 2933,0x

1010 8 x9 0,2873

x10 = 2873,0x

1010 9 x10 0,2910

x11 = 2910,0x

1010 10 x11 0,2887

x12 = 2887,0x

1010 11 x12 0,2902

x13 = 2902,0x

1010 12 x13 0,2893

x14 = 2893,0x

1010 13 x14 0,2898

x15 = 2898,0x

1010 14 x15 0,2895

x16 = 2895,0x

1010 15 x16 0,2897

x17 = 2897,0x

1010 16 x17 0,2896

x18 = 2896,0x

1010 17 x18 0,2896

x19 = 2896,0x

1010 18 x19 0,2896

Mint ltjuk, az eredmnyek egy adott rtkhez kzeltenek, s ez az rtk ppen az egyenlet megoldsa!

1.1.6.1. bra: Az eredmnyek konvergencija

Az eredmnyekbl szpen ltszik, hogy minl tbbszr vgezzk el a behelyettestst, egyre pontosabban kapjuk meg az egyenlet eredmnyt. Ha kt tizedesjegy pontossggal szeretnnk megoldani az egyenletet, akkor elg csak a 8. lpsig folytatni, ha az eredmnyre hrom tizedesjegy pontossgra vagyunk kvncsiak, a 14. lpsig kell folytatnunk az itercis eljrst. Az egyenlet pontos megoldsa ht rtkes jegy pontossggal: 0,2896232. Megjegyzend, hogy a mdszer gyorsasga termszetesen fgg a kiindulsi x0 rtk kivlasztstl. Az eljrst grafikusan az albbi animci segtsgvel szemlltethetjk:

26 Kmiai alapok


1.1.6.1. animci: Az iterci

1.1.6.2. bra: Az itercis eljrs szemlltetse

B)

Az elzekhez hasonlan legyen a kiindulsi rtk x0 = 0,5! x0 = 0,5 x0 0,5000

x1 = (lg x0)2 = (lg 0,5000)2 x1 0,0906

x2 = (lg x1)2 = (lg 0,0906)2 x2 1,0874

x3 = (lg x2)2 = (lg 1,0874)2 x3 0,0013

x4 = (lg x3)2 = (lg 0,0013)2 x4 8,2837

x5 = (lg x4)2 = (lg 8,2837)2 x5 0,8431

x6 = (lg x5)2 = (lg 0,8431)2 x6 0,0055

x7 = (lg x6)2 = (lg 0,0055)2 x7 5,1090

x8 = (lg x7)2 = (lg 5,1090)2 x8 0,5017

x9 = (lg x8)2 = (lg 0,5017)

2 x9 0,0897

x10 = (lg x9)2 = (lg 0,0897)2 x10 1,0965

x11 = (lg x10)2 = (lg 1,0965)2 x11 0,0016

x12 = (lg x11)2 = (lg 0,0016)2 x12 7,8140



x13 = (lg x12)2 = (lg 7,8140)2 x13 0,7972

x14 = (lg x12)2 = (lg 0,7972)2 x14 0,0097

x15 = (lg x14)2 = (lg 0,0097)2 x15 4,0555

x16 = (lg x15)2 = (lg 4,0555)2 x16 0,3697

x17 = (lg x16)2 = (lg 0,3797)2 x17 0,1867

x18 = (lg x17)2 = (lg 0,1867)2 x18 0,5311

Mint ahogyan a fenti rtkeket brzolva lthatjuk, az eredmnyek nem tartanak egy adott rtkhez.

1.1.6.3. bra: A nem megfelel fggvnykapcsolat kvetkezmnye

A feladatot gy a B) ton nem tudjuk megoldani, a megolds csak az A) ton lehetsges. Annak magyarzathoz, hogy mirt csak az egyik ton jutottunk el a vgeredmnyhez, felsbb matematikai eszkzk is szksgesek, ezrt ezzel a krdssel itt nem foglalkozunk rszletesen. Amennyiben egy talaktsi md nem vezet megoldshoz, rdemes megprblni az itercis eljrst a fggvny inverzvel is!

1.11. plda:


x3 + 4 x2 1 = 0

Megolds:

Egy harmadfok fggvnynek egy, kett vagy hrom gyke lehetsges. A g(x) = x3 + 4 x2 1 fggvnyt brzolva a kvetkez grafikont kapjuk:

28 Kmiai alapok


1.1.6.4. bra: A g(x) = x3 + 4 x2 1 fggvny

Mint a fenti brbl lthat, a g(x) fggvnynek hrom zruspontja van, gy a g(x) = 0 egyenletnek hrom megoldsa van. A grafikus megoldsbl annyit megllapthatunk, hogy egy gyk x = 4 krnyezetben, egy msik x = 0,5 krnyezetben, mg a harmadik x = 0,5 krnyezetben tallhat. Az itercis eljrshoz x = f(x) alakra kell hozni az egyenletet. Erre tbb lehetsg is van:

A)

3 2x41x

Az elz feladat megoldsnak mintjra vegynk egy kiindulsi x0 rtket, pldul x0=10 (brmely ms szm is lehetne)! Az iterci els 32 lpsnek xn rtke a lpsszm fggvnyben a kvetkez tblzatban tallhat:

n xn n xn n xn

0 10,0000 11 3,9848 22 3,9361

1 7,3619 12 3,9688 23 3,9359

2 5,9981 13 3,9580 24 3,9357

3 5,2282 14 3,9507 25 3,9356

4 4,7671 15 3,9458 26 3,9356

5 4,4798 16 3,9424 27 3,9355

6 4,2958 17 3,9402 28 3,9355

7 4,1758 18 3,9387 29 3,9355

8 4,0966 19 3,9376 30 3,9355

9 4,0439 20 3,9369 31 3,9355

10 4,0085 21 3,9364 32 3,9354

Mint lthat, az xn rtkek sorozata viszonylag lassan kzelt a megoldshoz. Az itercis eljrst folytatva a megolds ht rtkes jegy pontossggal: 3,935432.



B)

3x1

4

1x

Az iterlst teht elvgezhetjk a pozitv s a negatv eljel kifejezssel is. Mivel a ngyzetgyk alatti kifejezsnek nemnegatvnak kell lennie, teljeslnie kell, hogy 1 x3 0, azaz x3 1, mely teljesl, ha x 1. Teht az iterlst olyan kiindulsi rtkkel rdemes kezdeni, mely nem nagyobb, mint 1.

A pozitv eljel kifejezssel vgezve az iterlst, ha x0 = 1, akkor az eredmnyek sorozata:

n xn n xn n xn

0 1,000000 4 0,473732 8 0,472835

1 0,000000 5 0,472674 9 0,472834

2 0,500000 6 0,472862 10 0,472834

3 0,467707 7 0,472829 11 0,472834

Az eljrs ebben az esetben igen gyorsan kzelt egy adott rtkhez, s az eredmny: x = 0,472834.

Ha az itercit a negatv eljel kifejezssel vgezzk, a kvetkez sorozatot kapjuk, ha x0 = 1:

n xn n xn n xn

0 1,000000 5 0,537118 10 0,537401

1 0,000000 6 0,537345 11 0,537402

2 0,500000 7 0,537390 12 0,537402

3 0,530330 8 0,537399 13 0,537402

4 0,535993 9 0,537401 14 0,537402

Az eredmnyt ismt igen gyorsan megkapjuk, ennek rtke: 0,537402.

Teht a harmadfok egyenlet megoldsai:

x1 = 3,9354,

x2 = 0,4728,

x3 = 0,5374.

1.1.7. Skidomok kerlete s terlete

Az albbiakban a legfontosabb skidomok kerletnek (K) s terletnek (T) szmtsra alkalmas sszefggseket mutatjuk be: Hromszg:

cbaK ,

2

sinba

2

maT a

,

a, b s c a hromszg oldalai, ma az a oldalhoz tartoz magassg, pedig az a s b oldal ltal bezrt szg. Trapz:

dcbaK ,

30 Kmiai alapok


m2

caT

,

a s c a trapz prhuzamos oldalai, m a kt prhuzamos oldal kztti tvolsg, azaz a trapz magassga, c s d a trapz szrai. Paralelogramma:

)ba(2K ,

sinbambmaT ba ,

a s b a paralelogramma oldalai, ma az a oldalhoz tartoz magassg, mb az a oldalhoz tartoz magassg, pedig az a s b oldal ltal bezrt szg. Tglalap:

)ba(2K ,

baT ,

a s b a tglalap oldalai. Ngyzet:

a4K ,

2aT ,

a a ngyzet oldala. Deltoid:

)ba(2K ,

fe2

1T ,

a s b a deltoid oldalai, e s f a deltoid tli. Rombusz:

a4K ,

sinamaT 2a ,

a a rombusz oldala, ma a magassga, pedig a rombusz kt egyms melletti oldala ltal bezrt szg. Kr:

dr2K ,

22 d4

1rT ,

r a kr sugara, d a kr tmrje.



Hromszg

cbaK 2

sinba

2

maT a

Trapz

dcbaK m2

caT

Paralelogramma

)ba(2K sinbambmaT ba

Tglalap

)ba(2K baT

Ngyzet

a4K 2aT

Deltoid

)ba(2K fe

2

1T

Rombusz

a4K sinamaT 2a

Kr

dr2K 22 d

4

1rT

1.1.8. Testek felszne s trfogata

Az albbiakban a legfontosabb testek felsznnek (A) s trfogatnak (V) szmtsra alkalmas sszefggseket mutatjuk be: Tglatest:

)acbcab(2A ,

32 Kmiai alapok


cbaV ,.

a, b s c a tglatest lei. Kocka:

2a6A ,

3aV ,

a a kocka le. Egyenes krhenger:

)hr(r2hr2r2A 2 ,

hd4

1hrV 22 ,

r az alapkr sugara, d az alapkr tmrje, h a henger magassga. Gmb:

22 dr4A ,

33 d6

1r

3

4V ,

r a gmb sugara, d a gmb tmrje.

Tglatest

)acbcab(2A cbaV

Kocka

2a6A 3aV

Egyenes

krhenger

)hr(r2hr2r2A 2 hd4

1hrV 22

Gmb

22 dr4A 33 d

6

1r

3

4V



1.2. Fizikai alapismeretek

1.2.1. SI-alapmennyisgek, mrtkegysgeik s gyakori jellseik

Hosszsg Jele: (longitudo, hosszsg), s (tvolsg, t)

Mrtkegysge: mter ( metrum latin / metron grg, mrtk), rvidtse: m.

Tmeg Jele: m (massa)

Mrtkegysge: kilogramm ( kilo + gramma grg, kis tmeg), rvidtse: kg. Id Jele: t (tempus)

Mrtkegysge: msodperc vagy szekundum ( secunda latin, kis rsz), rvidtse: s.

ramerssg Jele: I (intensitas)

Mrtkegysge: amper ( Andr-Marie Ampre), rvidtse: A.

Hmrsklet Jele: T (temperare)

Mrtkegysge: kelvin ( William Thomson Kelvin), rvidtse: K.

Anyagmennyisg Jele: n (numerus)

Mrtkegysge: ml ( mole, a nmet Molekl rvidtse alapjn), jele: mol.

Fnyerssg Jele: Iv (intensitas, visual)

Mrtkegysge: kandela ( candela latin, gyertya), rvidtse: cd.

1.2.2. SI kiegszt mennyisgek, mrtkegysgeik s gyakori jellseik:

Skszg Jele:

Mrtkegysge: radin ( radius latin, sugr), rvidtse: rad.

Trszg Jele: Iv (intensitas, visual)

Mrtkegysge: szteradin ( stereos grg + radius latin, tr + sugr), rvidtse: sr.

A kmiai szempontbl fontos szrmaztatott mennyisgeket s mrtkegysgeit a ksbbiek sorn trgyaljuk.

34 Kmiai alapok


Prefixumok

A mrtkegysgek trtrszeit s tbbszrseit az egysg neve el illesztett egy-egy szorzt jelent, az albb felsorolt prefixumok egyikvel kpezzk.

yotta- Y 1024

deci- d 101

zetta- Z 1021 centi- c 102

exa- E 1018 milli- m 103

peta- P 1015 mikro- 106

tera- T 1012 nano- n 109

giga- G 109 piko- p 1012

mega- M 106 femto- f 1015

kilo- K 103 atto- a 1018

hekto- H 102 zepto- z 1021

deka- Da 101 yocto- y 1024

1.2.3. Mechanika

Srsg: a tmeg s a trfogat hnyadosa.

Jele: vagy d ( density angol)

V

md

Mrtkegysge: kg/m3 (kgm3), de hasznlhatjuk mg a kvetkez mrtkegysgeket is: g/cm3 (gcm3), kg/dm3 (kgdm3), stb. 1 g/cm3 = 1 kg/dm3 = 1 000 kg/m3. Gzok srsge esetn (mivel ez ltalban 3 nagysgrenddel kisebb, mint a folyadkok s szilrd anyagok) gyakran hasznljuk a g/dm3 = kg/m3 mrtkegysget.

Sebessg: a megtett t s az t megttelhez szksges id hnyadosa. Megklnbztetnk pillanatnyi s tlagos sebessget.

Jele: v ( velocitas latin)

t

sv

Mrtkegysge: 1 m/s = 1 ms1 = 0,001 km / (1/3600 h) = 3,6 km/h = 3,6 kmh1.

Gyorsuls: idegysgre es sebessgvltozs, a sebessg vltozsnak gyorsasga.

Jele: a ( accelerare latin)

t

va

Mrtkegysge: 1 m/s2 = 1 m s2.

Er: testek kztti klcsnhats mrtke. (Azt a fizikai hatst, mely egy test mozgsllapott vagy alakjt megvltoztatja, erhatsnak nevezzk, ennek a hatsnak a mrtke az er.) Az er egyik defincija szerint a tmeg s a gyorsuls szorzata.

Jele: F ( force angol)

amF

Mrtkegysge: N (newton). 1 N = 1 kgm/s2 = 1 kgms2.



Nyoms: az er s a fellet hnyadosa.

Jele: p ( pressure angol)

A

Fp

Mrtkegysge: Pa (pascal). 1 Pa = 1 N/m2 = 1 (kgm/s2)/m2 = 1 kg/(ms2) = 1 kgm1s2.

Folyadkok hidrosztatikai nyomsa: egy folyadkoszlop slybl add nyomst a kvetkez kifejezs adja meg:

hgdp

d: a folyadk srsge, h: a folyadkoszlop magassga, g: a gravitcis gyorsuls (rtke: 9,81 m/s2).

1.2.3.1. bra: A folyadkok hidrosztatikai nyomsa

A fenti kplet kzvetlenl addik a nyoms defincijbl, azaz a folyadk slya osztva a folyadk felletvel. (Sly: a tmeg s a gravitcis gyorsuls szorzata, az az er, mely hzza a felfggesztst vagy nyomja az altmasztst.)

hgdA

gAhd

A

gVd

A

gm

A

Fp

Teht egy folyadk nyomsa fggetlen attl, hogy a folyadk mekkora felleten gyakorol nyomst az edny aljra, az csak a folyadk srsgtl s a folyadkoszlop magassgtl fgg.

A gzok nyomsa a gzmolekulknak az edny falval trtn tkzsekbl addik. A pascal mellett gzok esetn tovbbi mrtkegysgeket is szoks hasznlni:

Bar:

1 bar = 105 Pa

Higanymillimter vagy torr: 1 mm magassg higanyoszlop nyomsa (a lgnyoms mrsre gyakran hasznlunk U-csves manomtert, melyben a higanyoszlopok magassgnak klnbsgt mrjk). Mivel a higany srsge 13 578 kg/m3, 1 mm magas higanyoszlop nyomsa:

p = d g h = 13 578 kg/m3 9,81 m/s2 0,001 m = 133,2 Pa, azaz 1 Hgmm = 1 torr = 133,2 Pa.

h

36 Kmiai alapok


Fizikai atmoszfra: a norml lgkri nyoms rtke, azaz

1 atm = 101 325 Pa.

A folyadkok s gzok mechanikjval kapcsolatban rdemes megjegyezni kt fontos trvnyt is:

Pascal trvnye: egy nyugv folyadkban a nyoms cskkens nlkl minden irnyban gyengtetlenl tovbbterjed.

Arkhimdsz trvnye: a folyadkba vagy gzba merl testre hat felhajter megegyezik a test ltal kiszortott folyadk vagy gz slyval. Kpletben kifejezve:

VgdF ,

ahol F a felhajter, d a folyadk vagy gz srsge, g a gravitcis gyorsuls (rtke: 9,81 m/s2), V a test trfogata.

Munka: az ernek az elmozduls irnyba es komponensnek s az elmozdulsnak a szorzata.

Jele: W ( work angol)

sFW s

1.2.3.2. bra: A munka

Fs az er elmozduls irnyba es komponense, s az elmozduls

Mrtkegysge: J (joule), 1 J = 1 Nm = 1 kgm/s2m = 1 kgm2/s2 = 1 kgm2s2.

Energia: a munkavgz kpessg. Az energia eltrolt munka, mely megfelel krlmnyek kztt munkv alakthat. Az energia klnfle formkban jelenik meg, pldul beszlhetnk mechanikai (mozgsi, helyzeti,), termikus, elektromos, stb. Az energia a rendszer egy llapott rja le, a munka pedig az llapotok kztti vltozst.

Jele: E ( energy angol) Mrtkegysge: ugyanaz, mint a munknak: J (joule), 1 J = 1 Nm = 1 kgm2s2.

Teljestmny: a munka s az munkavgzs idtartamnak hnyadosa, egysgnyi id alatt vgzett munka, a munkavgzs sebessge.

Jele: P ( power angol)

t

WP

Mrtkegysge: W (watt), 1 W = 1 J/s = 1 (kgm2/s2)/s = 1 kgm2/s3 = 1 kgm2s3.

s

F

Fs



Hatsfok: a hasznos munka s az sszes befektetett munka hnyadosa, vagy mskppen a hasznos teljestmny s az sszes befektetett teljestmny hnyadosa. Jele:

h

W

W

h

P

P

Wh: hasznos munka, W: befektetett munka, Ph: hasznos teljestmny, P: befektetett teljestmny. Dimenzimentes szm, rtke: 0 1.

1.2.4. Elektromossgtan

Tlts: az elemi tltsnek valahnyszorosa.

Jele: Q

Mrtkegysge: C (coulomb). 1 C = 1 As Az elektron tltse q = 1,6021019 C. Az elektoron tltst negatvnak a protont pedig pozitvnak tekintjk. Coulomb trvnye: kt pontszer tlts kztt hat er egyenesen arnyos a tltsekkel, s fordtottan arnyos a tltsek kztti tvolsg ngyzetvel. Kt azonos eljel tlts (+,+ illetve ,) kztt taszt, mag kt ellenttes eljel tlts (+,) kztt vonz elektrosztatikus klcsnhats jn ltre.

2

21

r

QQkF

F: er, Q1 s Q2 tlts, r: a kt tlts kztti tvolsg, k: arnyossgi tnyez, melynek rtke 8,99 109 Nm2/C2.

1.2.4.1. bra: Coulomb trvnye

ramerssg: az idegysg alatt thaladt tltsek mennyisge.

Jele: I ( intensitas angol)

t

QI

Q: thaladt tlts, t: id. Mrtkegysge: A (amper). 1 A = 1 C/s = 1 Cs1.

38 Kmiai alapok


Feszltsg: a munka s a tlts hnyadosa. A feszltsg megadja, hogy mennyi munkt vgez a mez egysgnyi tltsen, mg a tlts az egyik pontbl elmozdul a msikba. Jele: U

Q

WU

Q: tlts, W: a Q tlts egyik pontbl a msikba juttatshoz szksges munka. Mrtkegysge: V (volt). 1 V = 1 J/C = 1 kgm2/s2/(As) = 1 kgm2/(As3) = 1 kgm2A1s3.

Ellenlls: egy elektromos krben egy fogyasztn es feszltsg s a rajta tmen ramerssg hnyadosa.

Jele: R ( resistance angol)

I

UR

Mrtkegysge: (ohm). 1 = 1 V/A = 1 kgm2/(As3)/s = 1 kgm2A2s3

Ohm trvnye: egy fogyasztra kapcsolt feszltsg s a rajta thalad ramerssg kztt egyenes arnyossg figyelhet meg.

Fajlagos ellenlls: egysgnyi hossz s egysgnyi keresztmetszet tmr anyag ellenllsa. Egy adott vezetkdarab ellenllsa egyenes arnyos a vezetk hosszval, fordtottan annak keresztmetszetvel, s az arnyossgi tnyez a fajlagos ellenlls.

Jele:

A

R

R: ellenlls, A: keresztmetszet, . Mrtkegysge: m2/m = 1 m, viszont a fajlagos ellenllsnak tbb ms elterjed mrtkegysge is ismert, attl fggen, hogy milyen mrtkegysgben mrjk a keresztmetszetet s a hosszt:

1 m = 1 m2/m = 106 mm2/m; 1 m = 102 cm2/cm = 102 cm

Ez utbbi mrtkegysget ltalban oldatok fajlagos ellenllsa esetn hasznljuk.

Ered ellenlls: soros kapcsolsnl: az ered ellenlls az n darab sorba kapcsolt ellenllsok rtknek sszege.

n

1i

in21e RRRRR

prhuzamos kapcsolsnl: az ered ellenlls reciproka az n darab prhuzamosan kapcsolt ellenllsok rtknek sszege.

n

1i in21

e

n

1i in21e

R

1

1

R

1

R

1

R

1

1R

R

1

R

1

R

1

R

1

R

1



Az elektromos ramkr: elektromotoros er, kapocsfeszltsg, bels ellenlls, rvidzrsi ram

Ha egy ramforrson nagy bels ellenlls feszltsgmrvel megmrjk a feszltsget, az ramforrs elektromotoros erejt (ms nven forrsfeszltsgt, jele U0) kapjuk eredmnyl. Ilyenkor az ramforrs terheletlen, azaz a teljes feszltsg az ramforrson esik. Azonban ha egy fogyasztval terheljk az ramforrst, az ramforrson mrt feszltsg mr nem egyezik meg az elektromotoros ervel, hanem annl kisebb lesz. Ezt a feszltsget kapocsfeszltsgnek nevezzk (a terhelt ramforrs kapcsain mrt feszltsg). A jelensg oka, hogy az ramkrben foly ram az ramforrson is tfolyik. A tltsek mozgsval szemben azonban az ramforrsnak is van ellenllsa, ezt bels ellenllsnak nevezzk.

1.2.4.2. bra: A bels ellenlls szemlltetse

Az ramkrben mrhet ramerssget (I) a fogyaszt kls ellenllsa (Rk) s az ramforrs bels ellenllsa (Rb) hatrozza meg:

)RR(IU bk0 bk

0

RR

UI

.

A kapocsfeszltsg az ramforrs kapcsain mrhet feszltsg, azaz

b0kk RIURIU .

A kapocsfeszltsget az ramerssg fggvnyben brzolva a kvetkez diagramot kapjuk:

1.2.4.3. bra: A kapocsfeszltsg az ramerssg fggvnyben

U0

Uk

RbRk

+

I

40 Kmiai alapok


Ha egy elhanyagolhat ellenlls vezetdarabbal sszektjk az ramforrs kivezetseit, a kapocsfeszltsg zrus s az ilyenkor mrhet ramerssg a rvidzrsi ram:

b

00

R

UI .

Mint ahogyan a fenti diagramon is lthat a rvidzrsi ram ramerssg maximumt adja meg.

Egyenram munkja: az ramerssg, a feszltsg s az id szorzata, m az ellenlls segtsgvel tbb ms mdon is meghatrozhat.

tUIW

I: ramerssg, U: feszltsg, t: az elektromos munkavgzs ideje. Mrtkegysge a tbbi munkhoz hasonlan joule.

A munka knnyen addik a feszltsg s a tltsmennyisg defincijbl:

Q

WU tIUQUW .

Az ellenlls segtsgvel a kvetkez kpletek addnak:

tR

UtU

R

UtUIW

2

, illetve tRIt)RI(ItUIW 2 .

Elektromos teljestmny: az elektromos teljestmny az ramerssg s a feszltsg szorzataknt addik. Az ellenlls bevezetsvel ismt tovbbi sszefggseket kaphatunk.

RIR

UUIW 2

2

Az elektromos teljestmny mrtkegysge a watt. A fenti sszefggsek kzvetlenl addnak az elektromos munka kpleteibl (a teljestmny munka s a munkavgzs idejnek hnyadosa).

1.2.5. Htan

Hmrskleti sklk: a hmrsklet meghatrozsra tbb klnbz sklt hasznlhatunk. A sklk nagy rszt tapasztalati ton alaktottk ki, mghozz egy kivlasztott als s fels hmrskleti rtk kztt, meghatrozott szm egyenletes sklaosztst alkalmazva. Itt csak a gyakorlati szempontbl legfontosabb kt sklt trgyaljuk: Celsius-skla: a vz norml lgkri nyomson mrt olvads- s forrspontja kztti klnbsg szzadrszt tekintjk 1 C-nak (1 Celsius-foknak). Celsius-skln mrve a vz olvadspontja 0 C, mg forrspontja 100 C norml lgkri nyomson. Abszolt hmrskleti vagy Kelvin-skla: a lptke megegyezik a Celsius-sklval, azaz 1 C = 1 K (kelvin), viszont a kiindulpontja 273,15 C. Az abszolt nulla fokon, azaz 0 K hmrskleten a molekulk mr nem vgeznek rezgst. Ksrletileg az abszolt nulla fok megkzelthet, m nem rhet el. A kelvin mrtkegysg utn nem runk fokot, s a K jellst is kerljk! ttrs a Celsius-fok s a kelvin kztt:

15,273]C[T]K[T .



Hkapacits: megadja, hogy mennyi ht kell kzlni a rendszerrel, hogy annak hmrsklete egysgnyivel emelkedjen, vagy mennyi ht kell elvonni a rendszerbl, hogy annak hmrsklete egysgnyivel cskkenjen. Jele: C.

T

QC

Q: hmennyisg, T: hmrsklet-vltozs. Mrtkegysge: 1 J/K. 1 J/K = 1 J/C = 1 kgm2s2K1, de mivel itt hmrskletklnbsgrl vagy sz, termszetesen a Celsius-fokot is hasznlhatunk kelvin helyett. Fajlagos hkapacits vagy fajh: megadja, hogy mennyi ht kell kzlni egysgnyi tmeg anyaggal ahhoz, hogy a hmrsklete egysgnyivel megemelkedjen. Jele: c.

Tm

Qc

Q: hmennyisg, m: tmeg, T: hmrsklet-vltozs. Mrtkegysge: 1 J/(kgK). 1 J/(kgK) = 103 J/(gK) = 1 m2s2K1. 1 kJ/(kgK) = 1 J/(gK)

Molris hkapacits vagy mlh: megadja, hogy mennyi ht kell kzlni egysgnyi anyagmennyisg anyaggal ahhoz, hogy a hmrsklete egysgnyivel megemelkedjen. Jele: cm.

Tn

Qcm

Q: hmennyisg, n: anyagmennyisg, T: hmrsklet-vltozs. Mrtkegysge: 1 J/(molK). 1 Jmol1K1 = 1 kgm2s2mol1K1. Megklnbztetnk lland nyomson s lland hmrskleten rtelmezett fajlagos, illetve molris hkapacitst. Ennek legnagyobb jelentsge gzok esetn van, mivel ezeknek jelents a htgulsa. Megjegyzend, hogy az lland nyomson mrt hkapacitsokat hasznljuk leginkbb, mivel a gyakorlatban a hkzls is lland (gyakran lgkri) nyomson trtnik.

A htguls trvnyszersgei Lineris vagy vonalas htgulsi egytthat: egysgnyi hmrskletemels hatsra bekvetkez relatv hossznvekeds. Jele:

TT

12

1

: hossznvekeds, 1: kiindulsi hossz, 2: megnvekedett hossz, T: hmrsklet-nvekeds. Mrtkegysge: K1 vagy C1

A trgy hossza a melegts utn: )T1(12

Trfogati vagy kbs htgulsi egytthat: egysgnyi hmrskletemels hatsra bekvetkez relatv trfogat-nvekeds (V/V1). Jele:

TV

VV

TV

V 12

1

V: trfogat-nvekeds, V1: kiindulsi trfogat, V2: megnvekedett trfogat, T: hmrsklet-nvekeds. Mrtkegysge: K1 vagy C1

42 Kmiai alapok


A gzok trfogati htgulsi egytthatja gyakorlatilag teljesen fggetlen az anyagi minsgtl, s rtke: = 1/273,15 K1 A trfogati s lineris htgulsi egytthat kztti kapcsolat: 3 . Ennek igazolsa a kvetkezkpp trtnhet egy kocka alak trgy esetn:

)TT3T31(V)T1()]T1([V 3322133

13

12 .

Mivel rtke igen kicsi, a ngyzetes s kbs tagok sokkal kisebb nagysgrendek, mint a lineris tag, gy elhanyagolhatak.

1.2.6. Fnytan

A fny hullmhossza, frekvencija s sebessge kztti sszefggs, a fny energija A fny, mint az elektromgneses hullmok ltalban, szinusz fggvnnyel rhat le:

1.2.6.1. bra: A fny mint hullm

A peridusid (T) egy teljes szinuszhullm megttelhez szksges id (pldul kt egymst kvet maximum kztt eltelt id). A frekvencia a peridusid reciproka, s azt mutatja meg, hogy egy idegysg alatt hny hullmot tesz meg a fny. Mskpp gy szmthatjuk ki, hogy a peridusok szmt elosztjuk az ezen peridusok megttelhez szksges idvel. Jele: (egybknt rezgseknl a frekvencit szoks f-fel is jellni.)

t

N

T

1

T: peridusid, N: peridusok szma, t: id. Mrtkegysge: Hz (herz). 1 Hz = 1/s = 1 s1.

A fny sebessge vkuumban fggetlen a fny frekvencijtl, rtke kb. 300 000 km/s (=3108 m/s).

A fny hullmhossza egy peridus alatt megtett tvolsg:

Jele:



1.2.6.2. bra: A fny hullmhossza

A fnysebessg, a frekvencia s hullmhossz kztti sszefggs:

c .

A fny energija egyenesen arnyos a fny frekvencijval s az arnyossgi tnyez az gynevezett Planck-lland. A fny energija fordtottan arnyos a fny hullmhosszval.

c

hhE

h: Planck-lland. rtke: h = 6,626 1034 Js.

1.3. A grg bc

alfa ita r

bta kappa szigma

gamma lambda tau

delta m pszilon

epszilon n f

zta ksz kh

ta omikron psz

thta p omega

44 Kmiai alapok


2. AZ ATOMOK SZERKEZETE

2.1. Az atommodellekrl dihjban

Dalton-fle atommodell: az elemek azonos atomokbl plnek fel, a vegyletek klnbz elemek atomjaibl llnak.

Thomson-fle atommodell (mazsols puding): az atomban egyenletesen oszlik el a jelents tmeg, pozitv tlts rsze, s ebben mozognak a sokkal kisebb tmeg negatv tlts rszecskk.

Rutherford-fle atommodell: az atommag s az elektronok azonostsa. A kis tmeg elektronok a nagy tmeg atommag krl keringenek.

Borh-fle atommodell: az elektronok adott sugar krplykon keringenek.

Sommerfeld-fle atommodell: az elektronok adott sugar, ellipszis alak plykon keringenek.

Schrdinger-fle atommodell: az elektronok csak bizonyos valsznsggel tallhatk meg egy adott trrszben, pontos helyzetket nem lehet megadni.

2.2. Az atomok felptse

Atom: atommagbl s elektronburokbl felpl semleges rszecske.

Az atommagban pozitv tlts protonok s semleges neutronok tallhatak (egyetlen kivtel a hidrognatom, melyben nem tallhat neutron, csak proton). A protonokat s neutronokat mint elemi rszecskket egyttesen nukleonoknak nevezzk.

Az atomot alkot elemi rszecskk tmege s tltse:

Rszecske neve Tmeg Tlts Relatv tmeg

Relatv tlts

Atommag Proton (p+) 1,672 1027 kg 1,6021 1019 C 1835,5 +1

Neutron (n0) 1,674 1027 kg 0 1837,7 0

Elektronburok Elektron (e) 9,109 1031 kg 1,6021 1019 C 1 1

Mint lthat a fenti tblzatbl, a proton s a neutron tmege kzeltleg megegyezik, az elektron tmege pedig ezeknl nagysgrendekkel kisebb (mintegy 1840-ed rsze a proton vagy a neutron tmegnek). A neutron semleges, a proton s az elektron tltse abszolt rtkben megegyezik, m eljelk ellenttes.

Rendszm: az atomban tallhat protonok szma. Jele: Z

Tmegszm: az atommagban tallhat protonok s neutronok szmnak az sszege. Jele: A

Neutronszm: tmegszmbl levonva a protonok szmt, azaz a tmegszm s a rendszm klnbsge. Jele: N

N = Z A.

2. Az atomok szerkezete 45


(Kmiai) elemeknek nevezzk az azonos rendszmmal rendelkez atomokbl felpl anyagokat. Az elemeket vegyjelkkel szoktuk azonostani. A vegyjel eltt a tmegszmot s a rendszmot is feltntethetjk, ilyenkor rendszerint a bal fels indexbe a tmegszmot, a bal als indexbe a rendszmot rjuk:

EAZ

Nuklid: azonos rendszm s tmegszm atommagokat tartalmaz atomok sszessge.

Izotp: egy elem izotpjainak nevezzk azonos rendszmmal, m klnbz tmegszmmal rendelkez atomjait. (Egy elem klnbz neutronszm nuklidjai.)

Relatv atomtmeg: megmutatja, hogy az adott atom tmege hnyszorosa egy C126 -atom

tmegnek 1/12-ed rsznl.

Anyagmennyisg: 1 ml az anyagmennyisge 6,022 1023 darab rszecsknek.

Avogadro-szm: egy ml rszecske darabszma. rtke 6,022 1023 / mol.

A relatv atomtmeg megadja 1 ml elem tmegt, az adott elem 6,022 1023 darab atomjnak ssztmegt.

Egy elemek legnagyobb rsze tbbfle izotp elegye, a termszetes gyakorisgukbl addik a relatv atomtmeg. A relatv atomtmeg kiszmtsnl az egyes izotpok atomtmegt a termszetes gyakorisgukkal slyozzuk.

Tiszta elem: olyan elem, mely (a termszetben) csak egyetlen stabil izotpjval fordul el. Pldul: foszfor (P), alumnium (Al), fluor (F), ntrium (Na), mangn (Mn), jd (I) stb.

(Az rdekldk kedvrt megemltjk, hogy egy izotp atomtmege szm szerint nem azonos tkletesen az izotp tmegszmval [mely mindig egsz szm]. Ennek hrom oka van: egyrszt a protonok s neutronok tmege nem teljesen azonos lsd fentebb , msrszrl az atomtmeg tartalmazza az elektronok tmegt is, harmadrszt az atommag keletkezsekor felszabadul hatalmas energia tmegcskkenst okoz lsd relativitselmlet. J kzeltssel azonban egy izotp

tmegszma s az atomtmege megegyezik. A C126 -izotp esetben azonban a tmegszm s az

atomtmeg pontosan megegyezik.)

A stabil izotppal rendelkez elemek rendszmt (Z), vegyjelt, relatv atomtmegt (Ar), termszetben megtallhat stabil izotpjaik tmegszmt (A) s neutronszmt (N) az albbi tblzat tartalmazza:

Z Vegyjel Ar A N A N A N A N A N

1 H 1,00794(7) 1 0 2 1

2 He 4,002602(2) 3 1 4 2

3 Li 6,941(2) 6 3 7 4

4 Be 9,012182(3) 9 5

5 B 10,811(7) 10 5 11 6

6 C 12,0107(8) 12 6 13 7

7 N 14,0067(2) 14 7 15 8

8 O 15,9994(3) 16 8 17 9 18 10

vegyjel

tmegszm

rendszm

46 Kmiai alapok


9 F 18,9984032(5) 19 10

10 Ne 20,1797(6) 20 10 21 11 22 12

11 Na 22,98976928(2) 23 12

12 Mg 24,3050(6) 24 12 25 13 26 14

13 Al 26,9815386(8) 27 14

14 Si 28,0855(3) 28 14 29 15 30 16

15 P 30,973762(2) 31 16

16 S 32,065(5) 32 16 33 17 34 18 36 20

17 Cl 35,453(2) 35 18 37 20

18 Ar 39,948(1) 36 18 38 20 40 22

19 K 39,0983(1) 39 20 41 22

20 Ca 40,078(4) 40 20 42 22 43 23 44 24

21 Sc 44,955912(6) 45 24

22 Ti 47,867(1) 46 24 47 25 48 26 49 27 50 28

23 V 50,9415(1) 51 28

24 Cr 51,9961(6) 52 28 53 29 54 30

25 Mn 54,938045(5) 55 30

26 Fe 55,845(2) 56 30 57 31 58 32

27 Co 58,933195(5) 59 32

28 Ni 58,6934(4) 58 30 60 32 61 33 62 34 64 36

29 Cu 63,546(3) 63 34 65 36

30 Zn 65,38(2) 64 34 66 37 67 38 68 38 70 40

31 Ga 69,723(1) 69 38 71 40

32 Ge 72,64(1) 70 38 72 40 73 41 74 42

33 As 74,92160(2) 75 42

34 Se 78,96(3) 74 40 76 42 77 43 78 44 80 46

35 Br 79,904(1) 79 44 81 46

36

Kr

83,798(2)

78 42 80 44 82 46 83 47 84 48

86 50

37 Rb 85,4678(3) 85 48

38 Sr 87,62(1) 84 46 86 48 87 49 88 50

39 Y 88,90585(2) 89 50

40 Zr 91,224(2) 90 50 91 51 92 52

41 Nb 92,90638(2) 93 52

42

Mo

95,96(2)

92 50 94 52 95 53 96 54 97 55

98 56

43 Tc 98,9063

44

Ru

101,07(2)

96 52 98 54 99 55 100 56 101 57

102 58 104 60

45 Rh 102,90550(2) 103 58

46

Pd

106,42(1)

102 56 104 58 105 59 106 60 108 62

110 64

47 Ag 107,8682(2) 107 60 109 62

48 Cd 112,411(8) 110 62 111 63 112 64

49 In 114,818(3) 113 64

50

Sn

118,710(7)

112 62 114 64 115 65 116 66 117 67

118 68 119 69 120 70 122 72 124 74

51 Sb 121,760(1) 121 70 123 72

52 Te 127,60(3) 122 70 124 72 125 73 126 74

53 I 126,90447(3) 127 74

54

Xe

131,293(6)

124 70 126 72 128 74 129 75 130 76

131 77 132 78 134 80 136 82



55 Cs 132,9054519(2) 133 78

56

Ba

137,327(7)

130 74 132 76 134 78 135 79 136 80

137 81 138 82

57 La 138,90547(7) 139 82

58 Ce 140,116(1) 136 78 138 80 140 82

59 Pr 140,90765(2) 141 82

60 Nd 144,242(3) 142 82 143 83 145 85 146 86 148 88

61 Pm 146,9151

62 Sm 150,36(2) 144 82 150 88 152 90 154 92

63 Eu 151,964(1) 153 90

64 Gd 157,25(3) 154 90 155 91 156 92 157 93 158 94

65 Tb 158,92535(2) 159 94

66

Dy

162,500(1)

158 92 160 94 161 95 162 96 163 97

164 98

67 Ho 164,93032(2) 165 98

68 Er 167,259(3) 166 98 167 101 168 100 170 102

69 Tm 168,93421(2) 169 100

70

Yb

173,054(5)

170 100 171 101 172 102 173 103 174 104

176 106

71 Lu 174,9668(1) 175 104

72 Hf 178,49(2) 176 104 177 105 178 106 179 107 180 108

73 Ta 180,9479(1) 181 108

74 W 183,84(1) 182 108 183 109 184 110

75 Re 186,207(1) 185 110

76 Os 190,23(3) 187 111 188 112 189 113 190 114

77 Ir 192,217(3) 191 114 193 116

78 Pt 195,084(9) 192 114 194 116 195 117 196 118

79 Au 196,966569(4) 197 118

80

Hg

200,59(2) 196 116 198 118 199 119 200 120 201 121

202 122 204 124

81 Tl 204,3833(2) 203 122 205 124

82 Pb 207,2(1) 206 124 207 125 208 126

83 Bi 208,98040(1) 209 126

A klnbz izotpok gyakorlatilag tkletesen azonos kmiai tulajdonsggal rendelkeznek. A legnagyobb klnbsg fizikai tulajdonsgokban a hidrogn hrom izotpja kztt van (itt egyetlen proton mellett egy vagy kt neutron viszonylag nagyobb eltrst okoz): 1H: prcium (99,98%) 2H: deutrium (0,02%), ltalban a jellse: D 3H: trcium (radioaktv), ltalban a jellse: T.

Radioaktivits: a nem stabil atommagok spontn bomlsa. A radioaktv bomlst nagy energij sugrzs ksri. A nem stabil magokat szoks radioaktv magoknak is nevezni. A radioaktivits kmiai mdszerekkel teht az elektronszerkezeten keresztl nem befolysolhat.

48 Kmiai alapok


2.3. Az atomok elektronszerkezete

Az elemek kmiai tulajdonsgait az elektronszerkezetk hatrozza meg, a kmiai vltozsok az atommagra nincsenek hatssal. Az elektronok szma megegyezik a rendszmmal, mely az adott elemre jellemz, gy a klnbz elemek vrhatan klnbz kmiai tulajdonsgokkal rendelkeznek. Az elektronok az atomokban atomplykon helyezkednek el.

Atomplya: az a trrsz, ahol az elektron 90%-os valsznsggel megtallhat. Az elektron a tr brmely trrszben megtallhat valamilyen valsznsggel, az atomplya nem jelent les hatrt, inkbb valsznsgi jelleg. Az atomplykat egy szm s egy bet kombincijval szoktuk jellni, pldul 1s, 2px, 3dxy stb A plykat trben brzolhatjuk gy, hogy megjelentjk azt a felletet, mellyel hatrolt trrszben az elektron megtallsnak valsznsge 90%-os. A klnfle plyk alakjt megfigyelhetjk az albbi brn:

s-plya p-plya d-plya f-plya

2.3.1. bra: Klnbz atomplyk alakja

A plyk egyik fontos jellemzje a csomskok szma. Csomsknak nevezzk azt a skot, mely keresztlmegy az atommagon s benne az elektron megtallsi valsznsge zrus. Mint lthat, az s-plynak nincsen csomskja, a p-plyknak egy csomskja van, a d-plyknak kt csomskja van s gy tovbb.

Az elektronburok felplse Mint a korbbiakban is emltettk, az elemek kmiai tulajdonsgait az elektronburok felptse, az elektronszerkezet hatrozza meg. Ezrt rendkvl fontos az elektronszerkezet felplst viszonylag rszletesen trgyalnunk. Az ltalnos kmia ezen rsze viszonylag bonyolult, viszont a fontos alapfogalmak elsajttsa utn rdekes trvnyszersgeket ismernk majd meg!

Vegynk egy tetszleges atommagot, s kzeltsnk hozz egy elektront! Az elektron a legalacsonyabb energij atomplyra kerl, s ezt energiafelszabaduls ksri. (Megjegyzend, hogy a felszabadul energia nem vehet fel brmilyen rtket.) A legalacsonyabb energij plyt 1s plynak nevezzk. Egy msodik elektron, kzeltve az gy keletkezett egyelektronos rendszerhez, szintn egy atomplyra kerlt, melyet ismt energiafelszabaduls ksr. A msodik elektron az elshz hasonlan az 1s plyra kerl, s az energiafelszabaduls is megegyezik az els elektron ktdsnl tapasztalttal. Ha ehhez a ktelektronos rendszerhez egy jabb elektront adunk, az mr nem kerlhet a legalacsonyabb energij 1s plyra, mivel az atomplykon maximlisan kt elektron foglalhat helyet! (Most ezt fogadjuk el tnyknt, a kiegszt anyagknt trgyaland ltalnosan megfogalmazott Pauli-elv kvetkezmnye.) A harmadik elektron gy a 2s plyra kerl. Egy negyedik elektront mg mindig el tudunk helyezni a 2s plyn, m az tdik elektronnak mr az egyik 2p plyra kell kerlnie (mivel plynknt maximum kt elektron foglalhat helyet). Mg mieltt tlzottan belebonyoldnnk a plyk szmozsba s sorrendjbe, rdemes sszefoglalnunk a fentieket:



Energiaminimumra trekvs: az elektron mindig a legalacsonyabb energij plyra kerl. Egy plyra maxi

Documents

Benko Zoltan Komivesne Tamas Ibolya Stankovics Eva - Kemiai Alapok