KMT/FPV – Fyzika pro přírodní vědy

7. přednáška, 10. 12. 2013

Jiří Kohout

Katedra matematiky, fyziky a technické výchovy, Fakulta pedagogická, Západočeská univerzita v Plzni

INFO – IMATRIKULACE + POIMATRIKULAČNÍ SETKÁNÍ

• lístky vyzvednout do 7.11. na sekretariátu KMT (paní Lukšíková, KL 241a)• imatrikulace dne 12. 11. v 8.30 (sraz 8.00), aula, Jungmannova 3

• Tradiční poimatrikulační setkání prváků – úterý 13. 11 od 18:00 v krčmě U Hejtmana, Purkyňova 25 (pořádá SKVAIP) Program: různé soutěže o ceny, možnost potkat se se studenty vyšších ročníků daného oboru apod.

Jste srdečně zváni

Vlastnosti tekutin, ideální kapalina, ideální plyn Tlak vnějších sil, Pascalův zákon Hydrostatický tlak, Torricelliho pokus, Archimedův zákon Proudění kapalin, viskozita Rovnice kontinuity, Bernoulliho rovnice Obtékání těles kapalinou

Obsah přednášky

Tekutiny (kapaliny a plyny) se výrazně odlišují vnitřní strukturou od pevných látek, na rozdíl od nich jsou kvůli nízké vnitřní potenciální energii (ve srovnání s kinetickou) tvarově nestálé, molekuly nezaujímají rovnovážné polohy

Kapaliny – jsou v podstatě nestlačitelné, tj. malý stálý objem, tvar je určen tvarem nádoby

Plyny – jsou stlačitelné, objem i tvar je dán tvarem nádoby

Poznámka – existuje ještě 4. skupenství – plazma (vysoce ionizovaný plyn) Ve vesmíru je drtivá většina hmoty v plazmatickém skupenství!

Tekutiny

Pevná látka- Epot > Ekin

Kapalina –

Epot ≈ Ekin

Plyn – Ekin < Epot

Pro zjednodušení zavádíme fyzikální abstrakce – ideální kapalina, ideální plyn

Ideální kapalina (IK) – (i) je dokonale nestlačitelná, (ii) má nulové vnitřní tření

Ideální plyn (IP) – (i) rozměry částic jsou zanedbatelné, (ii) částice na sebe mimo srážky silově nepůsobí,(iii) srážky jsou dokonale pružné

Výhoda IP, IK – jednoduchý matematický popis

Nevýhoda IP, IK – v řadě případů mimo realitu, např. popisovat med jako kapalinu bez vnitřního tření vede k nesmyslným výsledkům…

Dále se budeme věnovat v podstatě jen případu IK.

Ideální kapalina, ideální plyn

Hydrostatika se zabývá mechanickými vlastnosti kapalin nacházejících se v klidu. Základním veličinou je zde tlak (značíme p) definovaný jako síla na plochu. Tedy p= F/S. Jednotka tlaku je pascal (Pa). Rozměr Pa: p = F/S → Pa = N/m2 = kg*m*s-2/m2 = kg*m-1*s-2

Pozor, vždy musíme důsledně rozlišovat (a) tlak vyvolaný povrchovými silami (např. silou působící na píst v hydraulickém lisu) (b) tlak vyvolaný objemovými silami (např. tlak vyvolaný tíhovou silou působící na každou částici kapaliny)

Tlak 1

F

Píst – povrch S

Tlak p = F/S vyvolaný povrchovou vnější silou

Povrch dna S, hmotnost kapaliny m

Tlak p = FG/S =m*g/S vyvolaný objemovou tíhovou silou FG.

Uvažujme, že na píst o obsahu S působíme vnější povrchovou silou F, objemové síly ignorujeme.

Pascalův zákon: Tlak vyvolaný vnější povrchovou silou je ve všech místech kapaliny stejný!

Důsledek: hydraulická zařízení (lis, zvedák apod.) – malou silou F1 působící na malý píst obsahu S1 můžeme vyvolat mnohem větší sílu F2 působící na velký píst obsahu S2

F1/S1 = F2/S2

Tlak povrchových sil, Pascalův zákon

S1 S2F1

F2

p = konst. → F1/S1 = F2/S2 → F2 = F1*S1/S2

Nyní uvažujme tlak u dna vyvolaný tíhovou silou FG (objemová síla) působící na kapalinu o hmotnosti m (hustota ρ) umístěnou v nádobě tvaru kvádru s povrchem dna S.

p = FG/S = m*g/S = V*ρ*g/S = S*h*ρ*g/S= h*ρ*g

Hydrostatický tlak tedy závisí na hustotě kapaliny, výšce hladiny a na tíhovém zrychlení.

Výpočet pro tvar kvádru, platí však hydrostatické paradoxon: Hydrostatický tlak nezávisí na tvaru nádoby (ve skutečnosti nejde o žádný paradox, je to důsledek rovnic mechaniky kapalin!)

Tlaková síla na dno: F = p*S = S*h*ρ*g.

Hydrostatický tlak

h

F

h

SF

S

ρ

ρ

p

p

p = h*ρ*g

Příklad: Stanovte tlakové síly působící na stěny akvária tvaru kvádru o hraně a = 50 cm, které je kompletně naplněno vodou o hustotě ρ = 1000 kg/m3. Tíhové zrychlení berte jako g = 10 m*s-2

Řešení: Tlakovou sílu na dno určíme snadno jako F1 = p1*S = a*ρ*g*S = a*ρ*g*a2 = a3*ρ*g = 0,53*1000*10 = 1250 N.

Horší je to s tlakovou silou F2 na boční stěny (vzhledem k symetrii bude na všechny stejná). Tlak se v závislosti na hloubce h pod hladinou spojitě mění. U dna je hloubka a, u hladiny je 0. Proto vezmeme průměrnou hodnotu a/2 a spočteme: F2 = p2*S = a/2*ρ*g*S = a/2*ρ*g*a2 = a3/2*ρ*g = 0,53/2*1000*10 = 625 N.

Hydrostatický tlak 2

a

F1S = a2

ρ

p1 = a*ρ*g

p2 = a/2* ρ*g

p1

a/2p2

Poznámka: Zprůměrování hloubek bylo možné pouze díky krychlovému tvaru nádoby!!

Pokus umožňující určit hodnotu atmosférického tlaku. Umístíme trubičku do nádoby se rtutí a uvidíme, ze rtuť v trubičce vystoupá do výšky h nad hladinu v nádobě. U hladiny v nádobě se musí rovnat hydrostatický tlak rtuti h*ρ*g atmosférickému tlaku pa (nahoře v trubičce je prakticky vakuum) → z výšky h určíme atmosférický tlak.

Proč rtuť?? Má vysokou hustotu (ρ = 13600 kg*m-

3). Pro rtuť je pak výška h při pa = 100 kPa zhruba 76 cm, pro vodu by byla 10 m!!). Atmosférický tlak závisí na výšce nad zemí, s výškou klesá zhruba podle tzv. barometrické formule: pa = p0*e-ρ*g*h/k*T (e – Eulerovo číslo, zhruba 2,71, p0 tlak v nulové výšce)

Torricelliho pokus

h

ρ

vakuum

pa = h*ρ*g

pa

V nádobě s kapalinou máme homogenní těleso tvaru krychle o hraně a. Horní podstava je h1 pod hladinou, dolní poté h2 pod hladinou. Na všechny stěny působí tlakové síly, ty z boku se však díky stejné velikosti a opačnému směru vyruší. Tlaková síla F2 je však větší než tlaková síla F1, jejich rozdílem je vztlaková síla Fvz, která působí směrem vzhůru!

Pro její velikost platí: Fvz = F2 - F1 = p2*a2-p1*a2 =

(h2*ρ*g-h1*ρ*g)*a2 = (h2-h1)*ρ*g *a2 = a*a2* ρ*g =

V*ρ*g.

Výpočet jsme provedli pro těleso tvaru kvádru, složitěji lze ukázat, že platí i pro jiné tvary!

Archimedův zákon 1

F2

F1 h2

h1

a

p2

p1

a = h2 – h1

Pokud není ponořeno celé těleso, ale pouze určitá jeho část, musíme do vztahu pro vztllaovou sílu dosadit pouze objem ponořené části.

Uvědomíme si, že pro tíhu kapaliny vytlačené těleso platí vztah FG = m*g = Vponor*ρ*g a můžeme zformulovat Archimedův zákon:

Těleso ponořené do kapaliny je nadlehčováno vztlakovou silou, rovnající se tíze kapaliny stejného objemu jako je ponořená část tělesa.

Poznámka: Archimedův zákon platí i pro plyny, hustota plynu je však zpravidla tak malá, že vztlaková síla může být zanedbána (ne vždy!)

Archimedův zákon 2

Fvz

ρ

ρ

Fvz = V*ρ*gVponor

Fvz = Vponor*ρ*g

Fvz

FG

FGρt –hustota tělesa

FG = m*g = V*ρt *g

Jak se bude těleso chovat v tíhovém poli v kapalině v závislosti na hustotě kapaliny ρ a hustotě tělesa ρt? Jsou 3 možnosti:

a) ρ < ρt → FG = V*ρt*g > Fvz = V*ρ*g → těleso klesá ke dnu

b) ρ = ρt → FG = V*ρt*g = Fvz = V*ρ*g → těleso bude celé ponořené, neklesne však ke dnu (hraniční případ)

c) ρ > ρt → FG = V*ρt*g < Fvz = V*ρ*g → část tělesa se vynoří. Jaká část zůstane ponořena?

FG = Fvz → V*ρt*g = Vponor* ρ*g → Vponor = V*ρt/ρ.

Příklad: Jaká část ledovce (hustota ledu ρl = 917 kg/m3) je pod hladinou v mořské vodě o hustotě ρv = 1030 kg/m3 ?

Řešení: Použitím vztahu Vponor = V*ρl/ρv dostáváme V ponor ≈ 0,89 V. Tj téměř 90% ledu je pod hladinou, pouze zhruba desetina nad ní (špička ledovce)

Archimedův zákon 3

U reálné kapaliny vždycky existuje vnitřní tření, které vzniká kvůli vzájemnému silovému působení částic během proudění

Vyšší vnitřní tření → pomalejší proudění

Fyzikální veličina popisující vnitřní tření – viskozita. Rozlišujeme dynamickou viskozitu η a kinematickou viskozitu μ = η/ρ, kde ρ je hustota kapaliny.

Viskozita s rostoucí teplotou kapaliny klesá!

Popis reálných kapalin je matematicky velmi náročný, proto se budeme omezovat na případ ideální kapaliny (= nestlačitelné kapaliny s nulovou viskozitou)

Viskozita

Na rozdíl od hydrostatiky se zabývá pohybem kapalin, tedy prouděním. Zajímá se o rychlost proudění případně energii kapaliny.Rozlišujeme proudění a) stacionární (rychlost se nemění v čase) b) nestacionární (rychlost se mění v čase).

Důležitější je však rozdělení na a) laminární proudění – proudnice jsou navzájem rovnoběžné, nejsou víry b) turbulentní (vírové) proudění –dochází ke vzniku vírů.

Přechod od laminárního k turbulentímu proudění nastává při zvýšení rychlosti, závisí však i na průměru trubice d a kinematické viskozitě μ. Přechod popisuje tzv. Reynoldsovo číslo Re = v*d/ μ, turbulentní proudění nastává zhruba pro Re > 4000

Hydrodynamika – typy proudění

Laminární proudění

turbulentní proudění

Pozn. vzhledem k viskozitě není rychlost stejná!!

Při proudění kapaliny zavádíme veličinu objemový tok QV udávající, jaký objem protekl za jednotku času. Pro výpočet platí QV= S*v, jednotka je proto m2*m*s-1 = m3*s-1

Pro ideální kapalinu (je nestlačitelná) platí, že objemový tok v různých průřezech trubice musí být stálý (kapalina se nemůže nikam ztratit, jde o přímý důsledek zákona zachování hmotnosti!)

Rovnice kontinuity: QV = konst. → S1*v1 = S2*v2

Pokud tedy zmenšíme, průřez zvětší se rychlost (viz zahradní hadice apod.)

Rovnice kontinuity

S1

S2

v2v1 S1*v1 = S2*v2

Rychlost v průřezu uvažujeme všude stejnou, protože jde o IK (tj. nulové vnitřní tření)

Zákon zachování mechanické energie pro proudění ideální kapaliny (viz 4. přednáška) – obecně zahrnuje kinetickou energii Ekin = ½*m*v2, potenciální energii Epot = m*g*h a tlakovou energii Etl = p*V. Součet musí být konstantní.

Bernoulliho rovnice je zpravidla ve tvaru po vydělení objemem V:

½*ρ*v2 + ρ*g*h + p = konst. Pro vodorovnou trubici (tj- stálá potenciální tíhová

energie máme: ½*ρ*v2 + p = konst. (tj. růst rychlosti vede ke snížení tlaku!)

Pro reálnou kapalinu rovnice neplatí kvůli přítomnosti vnitřního tření (stejně jako neplatí ZZME pro volný pád, když počítáme odpor vzduchu – přeměna na vnitřní energii!)

Bernoulliho rovnice

h2

h1

v1

v2

p1

p2

½*ρ*v12 + ρ*g*h1 +p1 =

½*ρ*v22 + ρ*g*h2 + p2

Uvažujeme nádobu průřezu S1, z jejíhož dna vytéká kapalina otvorem velikosti S2. Jaká je výtoková rychlost v?

Užitím rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice dostáváme (případ IK)

vztah v = √2*g*h/(1-S22/S1

2)

Pokud je S2 << S1 (tj. velmi malý otvor), získáváme Torricelliho vztah: v = √2*g*h (stejný vzorec jako pro dopadovou rychlost při volném pádu bez odporu z výšky h)

Integrálem lze určit dobu výtoku.

Výtok kapaliny otvorem

S2

S1

v

RK: S1*v1 = S2*v

BR: ½*ρ*v12 + ρ*g*h+ pa =

½*ρ*v2 + pa, řešením soustavy: v = √2*g*h/(1-S2

2/S12)

ρ

pa – atmosférický tlak

h

v1

Při obtékání nehybného tělesa kapalinou nebo pohybu tělesa v kapalině vzniká odporová síla. Její velikost je dána pro laminární proudění Stokesovým vzorcem Fod = 6*π*r*v*η (r – poloměr koule, v relativní rychlost tělesa a

kapaliny, η dynamická viskozita) Pro turbulentní proudění platí Newtonův

vzorec Fod = ½*C*S*ρ*v2

(C je koeficient daný tvarem tělesa, je určován zpravidla experimentálně)

Obtékání těles kapalinou

v ρ

S – průřez tělesa

Odporové síly:

Stokes (laminární proudění):

Fod = 6*π*r*v*η

Newton (turb. proudění):

Fod = ½*C*S*ρ*v2

Fod

Shrnutí hodiny Vědět, jaké vlastnosti má ideální kapalina Umět rozlišovat mezi tlakem vyvolaným vnějšími silami a objemovými silami, vědět, pro které z nich platí Pascalův zákon, vědět,

co Pascalův zákon znamená Vědět, jak se spočte hydrostatický tlak v hloubce h pod hladinou Vědět, proč se u Torricelliho pokusu používá rtuť a ne voda Na základě znalosti Archimedova zákona umět určit, co se stane po ponoření tělesa dané hustoty do kapaliny dané hustoty

(včetně určení toho, jaká část objemu případně zůstane ponořená) Vědět, co rozhoduje o tom, zda proudění bude laminární či turbulentní (viz vztah pro Reynoldsovo číslo) Vědět, důsledkem jakých fundamentálních zákonů zachování jsou rovnice kontinuity a Bernoulliho rovnice Znát Torricelliho vzorec a vědět, že jeho tvar je formálně shodný jako dopadová rychlost tělesa při volném pádu bez odporu

prostředí.

Příští přednáška – 17. 12. 2013 Téma: Závěrečné opakování

Děkuji vám za pozornost!!