Benjamin 2020 – Lösungen 1/8

Känguru der Mathematik 2020 Gruppe Benjamin (5. und 6. Schulstufe)

Österreich – 23. 3. 2020

– Lösungsvektor –

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24

A E D B C B B E E A C C E D B A B E B D D C E B

– 3 Punkte Beispiele –

Da in jeder Eckevier gleiche Figuren entstehen sollen, passt nur der Teil A.

(A) (B) (C) (D) (E)

Die Entfernung zwischen Atown und Btown muss immer gleich groß sein. 2 + 9 = 3 + 8 = 5 + 6 = 8 + 3 = 11 km. Beim Wegweiser E beträgt die Entfernung jedoch 9 + 4 = 13 km. Dieser Wegweiser ist daher falsch.

1. In jeder inneren Ecke sollen vier gleiche Figuren zusammenstoßen.

Welcher Teil fehlt im Bild?

(A) (B) (C) (D) (E)

2. Als Amira von Atown nach Betown spaziert, kommt sie an fünf Wegweisern vorbei. Einer dieser Wegweiser ist falsch. Welcher?

(A) (B) (C) (D) (E)

Benjamin 2020 – Lösungen 2/8

Wenn alle Farben vertauscht werden, wird weiß zu grau und grau zu weiß.

Da er für 6 Muffins 2 Eier benötigt, benötigt er für 24 Muffins die vierfache Menge Eier, also 8 Eier. Da die Eier in

Sechser-Packungen verkauft werden, benötigt er 2 Packungen.

Wenn Kim Ketten mit der Länge 5 aneinanderreiht, kann sie Ketten mit der Länge 10 und 15 erzeugen.

Wenn Kim Ketten mit der Länge 7 aneinanderreiht, kann sie eine Kette mit der Länge 14 erzeugen.

Wenn Kim Ketten mit der Länge 5 und 7 aneinanderreiht, kann sie eine Kette mit der Länge 12 erzeugen.

Eine Kette mit der Länge 13 kann nicht erzeugt werden.

Cindy färbt von außen nach innen. Sie beginnt mit blau, verwendet dann abwechselnd gelb,

rot, und dann wieder blau usw. Insgesamt verwendet sie die Farbe blau 3 Mal.

Die Farben rot und gelb können ausgetauscht werden – die Lösung bleibt gleich.

3. Das große Quadrat besteht aus kleinen weißen und grauen Quadraten. Wie sieht das große Quadrat

aus, wenn die Farben vertauscht werden?

(A) (B) (C) (D) (E)

4. Niko möchte für seine Geburtstagsparty 24 Muffins backen. Für sechs Muffins benötigt er zwei Eier. Die Eier werden in Sechser-Packungen verkauft. Wie viele Sechser-Packungen muss Niko kaufen?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 8

5. Kim hat einige Ketten mit den Längen 5 und 7. Indem Kim mehrere Ketten

aneinanderreiht, erhält sie Ketten verschiedener Längen. Welche Länge kann so eine Kette

nicht haben?

(A) 10 (B) 12 (C) 13 (D) 14 (E) 15

6. Cindy färbt jede Fläche des Musters entweder rot, blau oder gelb. Benachbarte Flächen

bemalt sie mit verschiedenen Farben. Cindy beginnt mit der äußersten Fläche und färbt

sie blau. Wie viele der Flächen werden nach Fertigstellung blau bemalt sein?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

v

Benjamin 2020 – Lösungen 3/8

Wenn Maria ein Blatt Papier in 5 Teile schneidet, erhöht sich die Anzahl ihrer Papierstücke um 4. Maria hat am Ende 22 Stück. 22 – 10 = 12. Maria hat also nun 12 Stück mehr als zu Beginn, das bedeutet, dass sie 12 : 4 = 3 Stück Papier zerschnitten hat.

Um sich zu treffen müssen sie entlang 16 geradliniger Streckenteile und 4 diagonaler Streckenteile spazieren.

Während sich die Katze 4 Felder geradlinig und ein Feld diagonal fortbewegt, bewegt sich der Hund 12 Felder

geradlinig und 3 Felder diagonal fort. Sie treffen sich somit im Punkt E.

– 4 Punkte Beispiele –

Die nachfolgenden Zeichnungen zeigen, wie man aus den beiden gegebenen Drahtteilen die Figuren A, B, C und D bilden kann, und dass dies bei der Figur E nicht möglich ist.

„Ich sage die Wahrheit.“ ist die richtige Lösung weil, die Elfe immer die Wahrheit sagt und der Kobold immer lügt

und somit nie die Wahrheit sagt.

7. Maria hat 10 Blätter Papier. Sie schneidet einige davon in jeweils fünf Teile. Nun hat Maria insgesamt 22 Stück. Wie viele Blätter hat sie zerschnitten?

(A) 2 (B) 3 (C) 6 (D) 7 (E) 8

8. Ein Hund und eine Katze spazieren im Park entlang des Weges, der durch die dicke

schwarze Linie gekennzeichnet wird. Der Hund startet im Punkt P. Gleichzeitig startet

die Katze im Punkt Q. Der Hund spaziert dreimal so schnell wie die Katze. In welchem

Punkt treffen sie sich?

(A) in A (B) in B (C) in C (D) in D (E) in E

9. Georg hat zwei gleich geformte Drahtteile (siehe Abbildung).

Welche der folgenden Figuren kann Georg nicht bilden, wenn er beide Teile zusammenfügt?

(A) (B) (C) (D) (E)

10. Der Kobold lügt immer. Die Elfe sagt immer die Wahrheit. Welchen der folgenden Sätze können beide sagen, wenn sie sich treffen?

(A) Ich sage die Wahrheit. (B) Du sagst die Wahrheit. (C) Wir sagen beide die Wahrheit.

(D) Ich lüge immer. (E) Wir lügen beide.

Benjamin 2020 – Lösungen 4/8

Würfel A: Man sieht 9 dunkelgraue Würfel, sie hat aber nur 8.

Würfel B: Man sieht 11 weiße Würfel, sie hat aber nur 10.

Würfel D: Man sieht 9 dunkelgraue Würfel, sie hat aber nur 8.

Würfel E: Man sieht 10 hellgraue Würfel, sie hat aber nur 9.

Würfel C: Man sieht 9 hellgraue Würfel, 10 weiße Würfel und die restlichen 8 Würfel, die man nicht sehen kann,

müssen schwarz sein.

Heute ist der Vater 36 Jahre alt, und die Kinder sind 13 + 6 + 4 = 23 Jahre alt.

In 5 Jahren ist der Vater 41 Jahre alt, und die Kinder sind 18 + 11 + 9 = 38 Jahre alt.

In 6 Jahren ist der Vater 42 Jahre alt, und die Kinder sind 19 + 12 +10 = 41 Jahre alt.

In 7 Jahren in der Vater 43 Jahre alt, und die Kinder sind 20 + 13 + 11 = 44 Jahre alt. Der Vater kann also nach 7

Jahren erstmals überstimmt werden.

Sieht Elyse nach ihrer Rückkehr kopfüber hängend an die Höhlendecke sieht sie eigentlich . Zwischen

20:20 und 02:02 liegen 5 Stunden und 42 Minuten.

Der Kopf des Marienkäfers blickt zum Hund und der hintere Teil des Marienkäfers zeigt zur Maus. Das heißt, dass

sich auf den Flächen, die links und rechts vom Marienkäfer sind, Hund und Maus befinden, die sich also gegenüber

liegen.

11. Mary hat genau 10 weiße, 9 hellgraue und 8 dunkelgraue gleich große kleine Würfel. Sie klebt alle kleinen Würfel zu einem großen Würfel zusammen. Welchen der abgebildeten Würfel kann sie bauen?

(A) (B) (C) (D) (E)

12. Ein Vater wohnt mit seinen drei Kindern zusammen. Alle vier Familienmitglieder haben am selben Tag Geburtstag. Der Vater ist 36 Jahre alt, die Kinder sind 13, 6 und 4 Jahre alt. Wenn sie über etwas abstimmen, hat jedes der vier Familienmitglieder so viele Stimmen, wie es alt ist. Deshalb gewinnt der Vater jede Abstimmung.

Wie viele Jahre wird es noch dauern, bis die Kinder den Vater überstimmen können?

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 13 (E) 14

13. Die Fledermaus Elyse verlässt ihre Höhle, als eine Uhr an der Wand zeigt. Unmittelbar nach der Rückkehr hängt sich Elyse kopfüber an die Höhlendecke, sieht wieder die Uhr, und sieht wieder .

Wie lange war sie fort?

(A) 3 Stunden und 28 Minuten (B) 3 Stunden und 40 Minuten (C) 3 Stunden und 42 Minuten

(D) 4 Stunden und 18 Minuten (E) 5 Stunden und 42 Minuten

14. Amy klebt diese sechs Sticker auf die Seiten eines Würfels:

Die beiden Abbildungen zeigen diesen Würfel in zwei verschiedenen Lagen.

Welcher Sticker ist auf der Fläche, die sich gegenüber der Fläche mit der Maus befindet?

(A) (B) (C) (D) (E)

Benjamin 2020 – Lösungen 5/8

Babsi hat nur zwei Freundinnen. Nur von der Zahl 5 gehen zwei

Verbindungsstrecken aus, weshalb Babsi 5 sein muss.

Da ihre Freundinnen Christina und Doro sind, müssen diese aus 1 oder 4 sein.

Von den verbleibenden Zahlen bleiben sind nur bei 3 vier Verbindungslinien,

deshalb muss Flora bei der Nummer 3 sein, da sie als einzig verbliebene vier

Freundinnen hat.

Alle Gefäße sind in Länge und Höhe gleich und unterscheiden sich nur in der Tiefe. Die Flüssigkeitsmengen sind

jedoch verschieden hoch, daher muss das Gefäß mit der größten Flüssigkeitshöhe die geringste Tiefe haben, da sich

in allen Gefäßen gleich viel Flüssigkeit befindet.

I: mittlere Flüssigkeitshöhe, deshalb mittlere Tiefe Antwortmöglichkeit: A

II: größte Flüssigkeitshöhe, deshalb kleinste Tiefe Antwortmöglichkeiten: A und B

III: geringste Flüssigkeitshöhe, deshalb größte Tiefe Antwortmöglichkeit: A

1

2 3 4 5

6

Babsi

Christina oder Doro

Doro oder

Christina

Flora

Anna oder Eli

Eli oder Anna

15. Die Abbildung zeigt, wie Anna, Babsi, Christina, Doro, Eli und Flora miteinander befreundet sind. Jede Zahl steht für eines der Mädchen und die Verbindungsstrecke zwischen zwei Zahlen zeigt, ob diese beiden Mädchen miteinander befreundet sind. Christina, Doro und Flora haben je vier Freundinnen.

Babsi ist nur mit Christina und Doro befreundet. Welche Zahl steht für Flora?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

16. Marie gießt in jedes von drei quaderförmigen Gefäßen gleich viel Flüssigkeit. Von vorne gesehen scheint jedes Gefäß die gleiche Größe zu haben, aber die Flüssigkeit steht in ihnen verschieden hoch. Welche der folgenden Abbildungen zeigt die drei Gefäße von oben?

(A) (B) (C) (D) (E)

Benjamin 2020 – Lösungen 6/8

– 5 Punkte Beispiele –

Magnus hat zu dem Zeitpunkt, als er die Hälfte der Spiele gewonnen hat und ein Drittel verloren hat, genau 5/6

der Spiele gespielt, da 1/2 + 1/3 = 5/6 ergibt. Daher verbleiben noch 1/6 der Spiele. Von diesen haben zwei unentschieden geendet. 2 ist aber 1/6 von 12, das bedeutet, dass zu diesem Zeitpunkt 12 Spiele gespielt wurden.

15 – 12 = 3. Es müssen daher noch 3 Spiele gespielt werden.

Das kleine Quadrat in der linken oberen Ecke hat die Länge: 28 – 22 = 6 cm. Das kleine Quadrat in der rechten oberen Ecke hat die Länge: 28 – 15 = 13 cm. Die Seite des großen Quadrats beträgt 28 cm.

28 – 6 – 13 = 9 cm. Das kleine Quadrat in der Mitte hat somit die Länge 9 cm. Die Strecke mit dem Fragezeichen kann somit errechnet werden: 28 – 9 = 19 cm.

Niki dreht zuerst drei Spielmarken um

Nach dem zweiten Spielzug sind alle weiß

Da es 4 Kugeln Vanille gibt und nur unterschiedliche Kombinationen vorkommen dürfen, muss jedes Vanilleeis eine andere Dekoration erhalten. Dasselbe gilt für die Kugeln der Sorte Schokolade und Zitrone. Für Mango bleibt nur mehr ein Schirm übrig. Nicht möglich ist Zitrone mit einer Waffel (siehe Tabelle).

17. Magnus muss 15 Spiele in einem Schachturnier spielen. Zu einem Zeitpunkt während des Turniers hat er die Hälfte der Spiele, die er gespielt hat, gewonnen und ein Drittel der Spiele verloren. Zwei Spiele endeten unentschieden.

Wie viele Spiele muss Magnus in dem Turnier noch spielen?

(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5 (E) 6

18.In ein großes Quadrat werden drei kleinere Quadrate eingezeichnet (siehe Abbildung). Wie lang ist die Strecke, die mit dem Fragezeichen markiert ist?

(A) 17 cm (B) 17,5 cm (C) 18 cm (D) 18,5 cm (E) 19 cm

19. Niki spielt mit neun Spielmarken, von denen jede eine schwarze und eine weiße Seite hat. Zu Beginn liegen vier Spielmarken mit der schwarzen Seite nach oben. Pro Spielzug dreht Niki drei Spielmarken um. Wie viele Spielzüge muss Niki mindestens machen, damit alle mit der gleichen Farbe nach oben zu liegen kommen?

(A) 1 (B) 2 (C) 3 (D) 4 (E) 5

V v V

v v v

v v v v

20. Zehn Personen kaufen je eine Kugel Eis. Zusammen bestellen sie vier Kugeln Vanille,

drei Kugeln Schokolade, zwei Kugeln Zitrone und eine Kugel Mango. Jede Kugel

wird dekoriert. Von den zehn Kugeln werden vier mit Schirmen, drei mit Kirschen,

zwei mit Waffeln und eine mit Schokochips dekoriert. Jeder bekommt eine

unterschiedliche Kombination. Welche der folgenden Kombinationen kommt darunter nicht vor?

(A) Schokolade mit einer Kirsche (B) Mango mit einem Schirm (C) Vanille mit einem Schirm

(D) Zitrone mit einer Waffel (E) Vanille mit Schokochips

Benjamin 2020 – Lösungen 7/8

Die Einerstelle einer „netten“ dreistelligen Zahl kann nicht 8 oder 9 sein, denn dann würde sie wie folgt aussehen: **8 oder **9. Bei solchen Zahlen wäre die Summe der Hunderter- und Einerstelle mindestens 9 und die Zehnerstelle kann nicht größer sein. Der Wert der Einerstelle kann somit höchstens 7 sein. Somit ergeben sich diese 8 „netten“ aufeinanderfolgenden Zahlen: 190, 191, 192, 193, 194, 195, 196, 197. Andere Kombinationen, bei denen die Zehnerstelle nicht 9 ist, liefern weniger aufeinanderfolgende „nette“ Zahlen. Nur beim Objekt C gilt folgendes: Es sind zwei schwarze Linien auf der unteren Fläche miteinander verbunden, es geht nur eine schwarze Linie nach oben. Angehängt ist dann eine weitere schwarze Linie auf der oberen Fläche, gefolgt von einer schwarzen Linie die wieder zur unteren Fläche führt. In der untersten Schicht In der mittleren Schicht

hat man insgesamt 12 hat man insgesamt 4 Berührungspunkte. Berührungsunkte. Zwischen den Ebenen hat jede Kugel 4 weitere Berührungspunkte. In der mittleren Ebene befinden sich 4 Kugeln in der obersten Ebene befindet sich 1 Kugel. Somit gibt er 5 * 4 = 20 weitere Berührungspunkte. 12 + 4+ 20 = 36 Berührungspunkte.

Vanille Vanille Vanille Vanille Schoko Schoko Schoko Zitrone Zitrone Mango

Schirm x x x x

Kirsche x x x

Waffel x x

Schoko x

21. Eine dreistellige Zahl heißt „nett”, wenn die Zehnerstelle größer als die Summe der Hunderter- und Einerstelle ist. Wie groß ist die größte Anzahl aufeinanderfolgender dreistelliger netter Zahlen?

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 (E) 9

22.Wie sieht das Objekt aus, wenn es von oben betrachtet wird?

(A) (B) (C) (D) (E)

23. Don baut eine Pyramide aus gleich großen Kugeln. Die Basis besteht, so wie im Bild zu sehen ist, aus 3 × 3 Kugeln. Die mittlere Schicht besteht aus 2 × 2 Kugeln, und an der Spitze befindet sich eine Kugel. An den Stellen, wo sich zwei Kugeln berühren, verwendet Don einen Tropfen Klebstoff. Wie viele Tropfen Klebstoff benötigt Don?

(A) 20 (B) 24 (C) 28 (D) 32 (E) 36

Benjamin 2020 – Lösungen 8/8

Da er alle Inseln genau einmal besuchen muss, gibt er nur eine einzelne Möglichkeit. Siehe Bild.

24. Die Figur zeigt eine Landkarte mit einigen Inseln und den Brücken, die sie verbinden. Ein Postmann soll jede Insel genau einmal besuchen. Er beginnt bei der Insel, die mit „Start” gekennzeichnet ist, und würde gerne bei der Insel mit „Ende” seine Tour beenden. Soeben hat er die schwarze Insel in der Mitte der Landkarte erreicht. In welche Richtung sollte er seine Tour fortsetzen, um seine Route zu beenden?

(A) indem er nach Norden geht (B) indem er nach Osten geht (C) indem er nach Süden geht

(D) indem er nach Westen geht (E) Es gibt keinen solchen Weg.

Start

Ende