Kniga Numerichki Metodi

Voved 1

NUMERI^KI METODI

1. VOVED

Va`nost na numeri~kite metodi vo inènerstvoto Pove}eto problemi vo inènerskata analiza vklu~uvaat, (1) razvivawe matemati~ki model koj }e gi pretstavuva site va`ni karakteristiki na fizi~kiot sistem; (2) izveduvawe na ravenkite koi go opi{uvaat odnesuvaweto na modelot, so primena na fizi~kite zakoni kako {to se ravenkite za ramnoteà, Wutnovite zakoni za dvièweto, zakonite za odrùvawe na masata i energijata; (3) re{avawe na ravenkite na problemot; (4) interpretacija na re{enieto. Vo zavisnost od sistemot {to se analizira i od koristeniot matemati~ki model, ravenkite na problemot moè da bidat pretstaveni vo vid na sistem od linearni ili nelinearni algebarski ravenki, set od transcendentni ravenki, sistem od obi~ni ili parcijalni diferencijalni ravenki, sistem od homogeni ravenki so koi se opi{uva problemot na sopstveni vrednosti, ili ravenki koi vklu~uvaat integrali ili izvodi. Ako re{enieto moè da se pretstavi so matemati~ki izraz vo zatvorena forma, toa se narekuva analiti~ko re{enie. Analiti~ko re{enie e to~no re{enie, koe moè da se koristi za da se analizira odnesuvaweto na sistemot so promenlivi parametri. Nie moème ili ne moème da najdeme analiti~ko re{enie na ravenkite na problemot. Za àl, mnogu malku od prakti~nite sistemi imaat analiti~ko re{enie. Vo tie slu~ai se primenuvaat numeri~ki metodi. Numeri~kite re{enija ne moè da se pretstavat so matemati~ki izraz. Tie moè da se opredelat so soodveten tip iterativna presmetuva~ka postapka. Bidej}i numeri~kite metodi vklu~uvaat golem broj aritmeti~ki presmetuvawa, nivnata upotreba i popularnost se zgolemuva so razvitokot i dostapnosta na mo}nite i ne tolku skapi kompjuteri. Numeri~kite metodi moè da se koristat za nao|awe re{enija, duri, i na kompleksni inènerski problemi. Dodeka analiti~kite re{enija voobi~aeno baraat pove}e uprosteni pretpostavki za fizi~kiot sistem, za numeri~kite re{enija, tie ne se potrebni. Iako ovie metodi ne obezbeduvaat direkten prikaz na odnesuvaweto na simplificiraniot fizi~ki sistem, tie moè da se koristat za analiza na odnesuvaweto na realnite fizi~ki sistemi. Vo su{tina, numeri~kata analiza pretstavuva most pome|u aproksimativnite matemati~ki teorii i neposrednata primena na matematikata. Vo numeri~kite metodi, re{enieto na eden problem

2 Voved

NUMERI^KI METODI

koj e zadaden preku kone~ni brojni vrednosti se dobiva, isto taka, vo kone~ni brojni vrednosti, a ne vo op{ti vrednosti, kako {to e voobi~aeno vo klasi~nite metodi. Razvojot i primenata na ovie metodi se povrzani so potrebata od re{avawe sloèni problemi za koi re{enieto ne moè da se dobie eksplicitno. Toa se glavno dvodimenzionalnite i trodimenzionalnite problemi. Vo ponovo vreme, so pojavata i razvitokot na kompjuterite, numeri~kite metodi se primenuvaat i kaj poednostavnite, ednodimenzionalni problemi. Primena na numeri~kite metodi Primenata na numeri~kite metodi i na kompjuterite e dosta {iroka vo site oblasti od inènerstvoto: grade`ni{tvo, arhitekturata, lektrotehnikata, brodogradbata, vo avioindustrijata. Mnogu zna~aen pridones vo razvojot na ovie metodi imaat dadeno tokmu grade`nite inèneri. Vo grade`ni{tvoto, primenata na ovie metodi e pri proektiraweto na inènerskite objekti: brani, mostovi, soobra}ajnici, zgradi i dr. Na primer, za proektirawe na brani se primenuva metodot na kone~ni elementi, pri {to konstrukcijata na branata moè da se tretira ramninski, zaedno so podlogata i so okolnata karpesta masa. Vo dene{no vreme, so koristeweto na mo}ni kompjuteri, analizita se vr{i na prostoren model. Sli~no e i pri proektiraweto na tunelite, kade {to se zema vo predvid i vlijanieto na celata okolna sredina. Vo ponovo vreme s pove}e se gradat mostovi so golemi rasponi i so sloèn napre~en i nadolèn presek i za nivno proektirawe e neizbe`na primenata na numeri~kite metodi i na kompjuterite. Osobeno e va`na primenata na kompjuterskite metodi pri proektiraweto na soobra}ajnicite so site nivni pridru`ni objekti, koi pretstavuvaat inènerski dela vo koi se vloùvaat golemi finasiski sredstva. Pritoa, izborot na najpovolnata varijanta i ekonomi~noto proektirawe e od golema va`nost. Vo objektite od visokogradbata, primenata na kompjuterite i kaj nas pretstavuva standarden na~in na analiza i proektirawe. Goleminata na objektite, odnosno brojot na ravenkite {to treba da se re{avaat pri nivnata analiza, ne pretstavuva problem nitu ograni~uvawe. Nivnata analiza za kakvi i da bilo vlijanija, kako {to se na primer zemjotresite, so primena na kompjuterite, pretstavuva ednostavna i sekojdnevna rabota. So voveduvawe na grafikata i grafi~kite stanici vo kompjuterskata tehnika, se otvoraat {iroki mo`nosti za proektirawe na sekakvi inènerski i arhitektonski objekti. Celoto proektirawe i grafi~koto pretstavuvawe moè da se odvivaat so kompjuterska tehnika, bazirana na numeri~ki metodi i kompjuterski programi.

Voved 3

NUMERI^KI METODI

Zo{to gi izu~uvame numeri~kite metodi?

Numeri~kite metodi se ekstremno mo}ni alatki za re{avawe na razli~ni problemi. Tie se vo sostojba da se spravat so:

golemi sistemi ravenki, nelinearnosti, komplicirani geometrii, problemi koi e nevozmo`no da se re{at analiti~ki a ne se

retki vo inènerskata praktika. Kako takvi, numeri~kite metodi zna~itelno gi zajaknuvaat na{ite sposobnosti za re{avawe na problemite. Vo inènerskata praktika, ~esto se koristat dostapni komercijalni paketi, t.n. zatvoreni kutii, kompjuterski programi vo koi se vgradeni postapki bazirani na numeri~kite metodi. Inteligentnoto koristewe na ovie programi e bazirano vrz poznavaweto na bazi~nata teorija {to stoi zad numeri~kite metodi. Mnogu problemi ne moàt da se re{at so koristewe na vakvi gotovi programi, no ako gi poznavate i gi koristite numeri~kite metodi i ako ste ve{ti vo kompjuterskoto programirawe, }e bidete vo sostojba da izrabotite va{i sopstveni programi za re{avawe na nekoi problemi. Numeri~kite metodi se efikasni sredstva da nau~ite kako da gi koristite kompjuterite. Efekten na~in da nau~ite programirawe e da napravite (napi{ete) programa. Poradi toa {to numeri~kite metodi vo najgolem broj slu~ai se razvieni za primena na kompjuter, tie se idealni za taa cel. Osobeno se sposobni da gi ilustriraat mo}nosta i ograni~uvawata na kompjuterite. Koga uspe{no }e ja implementirate numeri~kata metoda na komjuter a potoa }e ja primenite i za re{avawe na drug nere{en problem, vo isto vreme, }e nau~ite da gi prepoznaete i da gi kontrolirate gre{kite pri aproksimaciite, koi se del od golemiot broj numeri~ki operacii. Numeri~kite metodi obezbeduvaat sredstva {to }e vi pomognat da go podobrite va{eto razbirawe na matematikata. Vo niv kompliciranite matemati~ki operacii se reducirani na osnovni matemati~ki operacii. Numeri~ka analiza e granka od primenetata matematka koja gi izu~uva metodite i algoritmite za opredeluvawe na aproksimativni (numeri~ki) re{enija na razli~ni matemati~ki problemi so koristewe na kone~na serija od aritmeti~ki i logi~ki operacii. Najgolem broj re{enija na numeri~kite problemi se bazirani vrz teorijata na linearnata algebra. Dobar numeri~ki metod gi poseduva slednive tri karakteristiki: to~nost - numeri~kata aproksimacija treba da bide {to e mo`no

poto~na,

4 Voved

NUMERI^KI METODI

robustnost - algoritamot treba dobro da re{ava mnogu problemi, konvergentnost - re{enieto da se pribliùva kon to~noto

re{enie, stabilnost- mala promena vo re{enieto pri mala promena na

podatocite, brzina - kolku {to presmetuvaweto e pobrzo tolku e podobar

metodot. êsto se slu~uva eden metod da bide pobrz dodeka drug e poto~en. Toa zna~i deka nitu eden metod ne e univerzalen i najdobar za site slu~ai. Uslovenost i stabilnost, doverba vo podatocite i gre{ki Dobro usloven matemati~ki problem e onoj pri koj re{enieto se menuva nezna~itelno pri mala promena na podatocite na problemot. Analogno na toa, za numeri~kiot algoritam postoi konceptot na numeri~ka stabilnost. Algoritamot za re{avawe na dobrousloven problem e numeri~ki stabilen, ako re{enieto se menuva za mala vrednost koga podatocite se menuvaat za mala vrednost. Toa zna~i deka gre{kite napraveni vo po~etokot, ponatamu, nema nekontrolirano da rastat i da se natrupuvaat. Vaèn del od numeri~kata analiza e i analizata na generiraweto i propagiraweto na gre{kite od zaokruùvawe pri presmetuvaweto. Vadeweto na dva pribli`no isti broja e lo{o uslovena operacija koja producira katastrofalni gre{ki. Doverba vo vleznite podatoci Koga nekoj podatok se koristi vo presmetuvaweto, mora da sme

sigurni deka toj moè da se upotrebi so doverba. Pri vizuelen pregled moè da procenime deka nekoja vrednost se

dviì vo odredeni granici (na pr. 58-59 km/h) ili pak }e kaème deka vrednosta iznesuva aproksimativno 59 km/h.

Zna~ajni cifri vo eden broj se onie koi moè da se koristat so doverba.

Brojot na zna~ajni cifri e ednakov na brojot na dadenite cifri plus edna proceneta cifra.

Na primer, sekoj od slednive broevi ima 3 zna~ajni cifri: 2,410; 2.41; 0.00241.

Zabunata moè da se izbegne pri koristewe na nau~na oznaka (scientific notation), na pr: 2.41h103 zna~i deka brojot ima tri zna~ajni cifri.

Sekoja matemati~ka operacija vo koja se koristi neprecizna cifra e neprecizna.

Voved 5

NUMERI^KI METODI

Tipovi gre[ki Kako gre{ka, pri procena ili pri opredeluvawe na nekoja vrednost od interes, moè da se definira otstapuvaweto od nejzinata nepoznata to~na vrednost. Gre{kite moè da se klasificiraat kako:

o nenumeri~ki gre{ki o numeri~ki gre{ki

Nenumeri~ki gre{ki moè da bidat:

gre{ki pri modeliraweto pome{uvaweto, pogre{en ~ekor neizvesnosti vo odnos na informaciite i podatocite.

Numeri~ki gre{ki se:

gre{ki od zaokruùvawe gre{ki od prekinuvawe na iterativniot proces gre{ki pri matemati~ki aproksimacii

Gre{ka ozna~ena so e moè da se definira kako:

e=xc-xt kade {to, xc e presmetana, a xt e to~na vrednost. Relativnata gre{ka se opredeluva kako:

er=(xc-xt)/xt= e/xt Relativnata gre{ka moè da se izrazi vo procenti:

%100x

xxet

tcr =

ili %100xxxabse

t

tcr =

Merewa i gre[ki Primer 1. Dolìnata na eden most e merena i iznesuva 9999cm, a dolìnata na eden bolt e izmerena i iznesuva 9cm. Ako to~nite vrednosti se 10000cm i 10cm, soodvetno, da se presmeta apsolutnata gre{ka i apsolutnata vrednost na relativnata gre{ka vo %, za sekoj slu~aj.

a) Apsolutna gre{ka:

Most: cm1100009999xxe tc ===

6 Voved

NUMERI^KI METODI

Bolt: cm1109xxe tc ===

b) Apsolutna vrednost na relativnata gre{ka vo %:

Most: %01,010010000100009999100

xxxe

t

tc ===

Bolt: %1010010109100

xxxe

t

tc === Vo realni situacii, to~noto re{enie ne e poznato. Vo toj slu~aj, za da se presmeta gre{kata, se koristi najdobrata procena na re{enieto koe, isto taka, e presmetano.

tii xxe = kade {to ei e gre{ka vo x, pri iteracijata i, a xi e presmetanata vrednost na x vo iteracijata i. Sli~no, gre{kata vo iteracijata i+1 e:

t1i1i xxe = ++ Promenata vo gre{kata ie mo`e da se presmeta kako:

i1itit1ii1ii xx)xx()xx(eee === +++ Iteracijata prodol`uva s dodeka ie ne stane pomalo od dadena tolerancija, vo koj slu~aj xi+1 }e bide dovolno blisku do xi. Analiti~ki vo sporedba so numeri~kite metodi Analiti~kite i numeri~kite pristapi se razlikuvaat spored algoritamot: analiti~koto presmetuvawe se primenuva pri re{avawe na

analiti~ki problemi aritmetikata so kone~ni razliki e osnova za numeri~kite

metodi. Prednosti i nedostatoci na analiti~kite metodi : 9 analiti~kite tehniki obezbeduvaat direktno re{enie i

rezultiraat vo egzaktno re{enie, ako takvo postoi;

Voved 7

NUMERI^KI METODI

9 analiti~kite metodi voobi~aeno baraat pomalku vreme za pronao|awe na re{enieto;

9 procedurata na analiti~koto re{enie stanuva zna~itelno pokompleksna koga }e se vovedat ograni~uvawa na vrednostite na nepoznatite vo problemot.

Prednosti i nedostatoci na numeri~kite metodi : 9 numeri~kite tehniki moè da se primenat za funkcii koi imaat

kompleksna struktura; 9 za numeri~kite metodi e potreben golem broj iteracii za da se

pribliàt kon to~noto re{enie; 9 re{enieto voobi~aeno ne e to~no i potrebno e da se obezbedi

po~etna procena na vrednostite na nepoznatite. Primer 2. Da se opredeli minimumot na dadenata funkcija, analiti~ki i numeri~ki:

2x3xy 2 += Analiti~ko re[enie

03x2dxdy == 5.1

23x ==

spored toa, 25.02)5.1(3)5.1(y 2min =+=

Numeri~ko re[enie Eden na~in na numeri~ko re{enie e funkcijata da se tabelira vo intervalot na vrednostite na x, so konstanten inkrement x, i na toj na~in da se opredeli vrednosta na x za koja y ima najmala vrednost. Na primer, ako e definiran intervalot od 1 do 2 i ako se odbere inkrement x=0.2, narednata tabela i grafikot pokaùvaat deka minimalnata vrednost na y se nao|a vo podintervalot 1.4< x < 1.6.

x y=x2-3x+2 1 0

1.2 -0.16

1.4 -0.24 1.6 -0.24 1.8 -0.16 2 0

}

8 Voved

NUMERI^KI METODI

Za da se podobri to~nosta na re{enieto, moè da se prebaruva vo intervalot 1.4 < x < 1.6, a inkrementot da se namali na 0.02 i da se povtori postapkata.

x y=x2-3x+2 1.4 -0.24 1.42 -0.2436 1.44 -0.2464 1.46 -0.2484 1.48 -0.2496 1.5 -0.25 ymin 1.52 -0.2496 1.54 -0.2484 1.56 -0.2464 1.58 -0.2436 1.6 -0.24

Karakteristiki na numeri~kite metodi Numeri~kite metodi gi imaat slednive karakteristiki: 1. procedurata na presmetuvaweto e iterativna, to~nosta na

procenetoto re{enie se podobruva so sekoja iteracija, 2. procedurata na presmetuvaweto obezbeduva samo aproksimacija

na to~noto (egzaktno), no nepoznato re{enie, 3. moè da bide potrebna po~etna procena na re{enieto, 4. presmetuvaweto e ednostavno, a algoritmite na procedurata

moè lesno da se programiraat, 5. vo nekoi slu~ai re{enieto moè da divergira od to~noto

re{enie. Primer 3. Kvadraten koren Ovoj primer ilustrira kako, so koristewe numeri~ki metodi, da se opredeli kvadraten koren od eden proizvolen realen broj.

y)y(f = Pri koristewe na kalkulator samo se vnesuva brojot y, a potoa se

pritiska kop~eto . Vo Excel, se koristi funkcijata SQRT. Numeri~ka postapka

Voved 9

NUMERI^KI METODI

Da pretpostavime po~etna vrednost xo za kvadratniot koren. Ovaa vrednost }e se razlikuva od to~nata vrednost na korenot za nekoe

x . Ako go znaeme x , toga{ moè da napi{eme: yxxo =+

So kvadrirawe od dvete strani, dobivame:

y)xx( 2o =+ ili,

y)x(xx2x 2o2o =++

Ako pretpostavime deka 2)x( e mnogu pomalo od x , toj ~len moème da go zanemarime, pa imame:

yxx2x o2o =+

o

2o

x2xyx =

Ovaa vrednost moè da se dodade na xo za da se dobie novo podobreno re{enie x. Zna~i, novata procena na to~noto re{enie e dadena so:

xxx o1 += ili vo op{ta forma:

ii1i xxx +=+ i

2i

i x2xyx =

Za ilustracija, da pretpostavime: y=150, ?y = Po~etna procena, xo=12 Prva iteracija:

0o1 xxx += 25,0

12212150

x2xyx

2

0

20

0 ===

25,1225,012x1 =+=

Vtora iteracija:

112 xxx += 00255,0

25,12225,12150

x2xyx

2

1

21

1 ===

24745,1200255,025,12x 2 ==

10 Voved

NUMERI^KI METODI

Treta iteracija:

223 xxx += 6

2

2

22

2 28598,124745,12224745,12150

x2xyx =

== 24744871,1228598,124745,12x 63 ==

To~no re{enie: 24744871,12y = , zna~i so 7 cifri, dovolni se 3 iteracii za da se dojde do to~noto re{enie. Primer 4. Koren na polinom Primerot ilustrira kako da se pristapi kon re{avaweto, pri nao|awe na eden koren na polinom so primena na numeri~kiot metod:

08x6x3x 23 =+ Delej}i gi dvete strani na ravenkata so x, dobivame:

0x86x3x 2 =+

Koristej}i go ~lenot x2, re{avame po x:

x86x3x +=

Prethodnata ravenka mo`e da se re{ava iterativno:

i

i1i x86x3x +=+

Ako se pretpostavi po~etno re{enie xo=2, toga{:

828427,2286)2(3

x86x3x

o

o1 =+=+= x1=2,828427, a vtorata iteracija dava:

414213,3828427,2

86828427,23x2 =+= Po tretata iteracija dobivame:

728202,3414213,3

86414213,33x 3 =+=

Voved 11

NUMERI^KI METODI

Rezultatite od drugite iteracii (vkupno 20) se prikaàni vo narednata tabela Evidentno e deka re{enieto konvergira kon to~noto re{enie 4.0, po 20 -tata iteracija:

i xi aps. gre{ka i xi aps. gre{ka 0 2 2.000000000000 1 2.828427125 1.171572875254 11 3.999618138 0.00038186232 2 3.414213562 0.585786437627 12 3.999832929 0.00016707053 3 3.728202642 0.271797358430 13 3.999926906 0.00007309446 4 3.877989404 0.122010596101 14 3.999968021 0.00003197904 5 3.946016161 0.053983838780 15 3.999986009 0.00001399087 6 3.976265497 0.023734503479 16 3.999993879 0.00000612101 7 3.989593764 0.010406236009 17 3.999997322 0.00000267794 8 3.995442980 0.004557020499 18 3.999998828 0.00000117160 9 3.998005481 0.001994518577 19 3.999999487 0.00000051258 10 3.999127241 0.000872759280 20 3.999999776 0.00000022425

Primena na Taylor-ovi redovi vo numeri~kite presmetuvawa Karakteristiki na Taylor-ovite redovi Razvivaweto na Tajlorovite redovi (Taylor series expansions) ima

golemo zna~ewe pri izu~uvaweto na numeri~kite metodi. Vo osnova, so Tajlorovite redovi se predviduva vrednosta na

funkcijata vo nekoja to~ka vo zavisnost od vrednosta na funkcijata i izvodite na funkcijata vo druga bliska to~ka.

Tajlorovite redovi voobi~aeno se koristat vo inènerskata analiza, za aproksimacija na funkcii koi nemaat zatvoreno re{enie.

Za nekoja funkcija f(x) koja zavisi samo od edna nezavisno promenliva x, vrednosta na funkcijata vo to~kata x0+h moè da se aproksimira so Tajlorovi redovi.

Tajlorovite redovi se izrazeni kako:

1n0)n(

n

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00 R)x(f!nh.....)x(f

!3h)x(f

!2h)x(hf)x(f)hx(f)x(f +++++++=+=

kade {to se: x0 - osnovna ili po~etna vrednost x - to~ka za koja se bara vrednosta na funkcijata h=x-x0 - rastojanija pome|u x0 i x, ili ~ekor n! - faktoriel od n; n!=n(n-1)(n-2)(n-3)1 f(x0) - vrednost na funkcijata vo po~etnata to~ka f(n)(x0) - vrednost na n-tiot izvod na funkcijata vo po~etnata to~ka

12 Voved

NUMERI^KI METODI

Ekspanzijata na Tajlorovite redovi mo`e da se izrazi vo kompaktna forma kako:

)x(f!k

h)hx(f 0k

n

0k

k

0 =+ = pritoa, 0! =1 po konvencija. Gornata ravenka e bazirana na pretpostavkata deka postojat kontinuirani izvodi na funkcijata vo intervalot koj gi vklu~uva to~kite od x0 do x. Red na aproksimacijata

Redot na aproksimacijata e definiran so redot na najvisokiot izvod koj e vklu~en vo aproksimacijata na funkcijata.

Aproksimacija od prv red (dva ~lena)

)x(hf)x(f)hx(f 0)1(

00 +=+ Aproksimacija od vtor red (tri ~lena)

)x(f!2

h)x(hf)x(f)hx(f 0)2(

2

0)1(

00 ++=+ Aproksimacija od treti red (~etiri ~lena)

)x(f!3

h)x(f!2


3

0)2(

2

0)1(

00 +++=+ Primer 5. Da se poka`e razvivaweto na dadenata funkcija vo Tajlorov red:

f(x)= x5 - 3x3 + 8

x x

f(x)

h

x0

Voved 13

NUMERI^KI METODI

Po~etna vrednost x0=3. Da se razvijat serii za h=0.2; 0.4; 0.6 do 4.0. Pritoa, da se zemat 2,3,4,5 i 6 ~lena od Tajlorovata formula. Rezultatite da se sporedat so to~nite re{enija za sekoj poseben slu~aj.

f(x0)=f(3)= 35 - 3*33 + 8 = 170 Funkcijata gi ima slednive izvodi i vrednosti na izvodite vo po~etnata to~ka x0=3:

0)3(f0)x(f120)3(f120)x(f360)3(fx120)x(f522)3(f18x60)x(f486)3(fx18x20)x(f324)3(fx9x5)x(f

)6()6(

)5()5(

)4()4(

)3(2)3(

)2(3)2(

)1(24)1(

============

)x(f!6

h)x(f!5

h)x(f!4

h)x(f!3

h)x(f!2


6

0)5(

5

0)4(

4

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00 ++++++=+

!5h120

!4h360

!3h522

!2h486h324170)hx(f)x(f

5432

0 +++++=+= Vo narednata tabela se dadeni vrednostite na funkcijata f(x0+h), za razli~ni vrednosti na h, a so zemawe razli~en broj ~lenovi od formulata:

14 Voved

NUMERI^KI METODI

Ekspanzija na Tajlorovi serii za polinom od V red

0

2000

4000

6000

8000

10000

12000

14000

16000

18000

3 4 5 6 7

2 ~lena

3 ~lena

4 ~lena

5 ~lena

6 ~lena

to~navredn

x h f(x0+h)

2 ~lena 3 ~lena 4 ~lena 5 ~lena 6 ~lena to~no

3.2 0.2 234.8 244.52 245.216 245.240 245.24032 245.240323.4 0.4 299.6 338.48 344.048 344.432 344.44224 344.442243.6 0.6 364.4 451.88 470.672 472.616 472.69376 472.693763.8 0.8 429.2 584.72 629.264 635.408 635.73568 635.735684 1 494 737 824.000 839.000 840.00000 840.00000

4.2 1.2 558.8 908.72 1059.056 1090.160 1092.64832 1092.648324.4 1.4 623.6 1099.88 1338.608 1396.232 1401.61024 1401.610244.6 1.6 688.4 1310.48 1666.832 1765.136 1775.62176 1775.621764.8 1.8 753.2 1540.52 2047.904 2205.368 2224.26368 2224.263685 2 818 1790 2486.000 2726.000 2758.00000 2758.00000

5.2 2.2 882.8 2058.92 2985.296 3336.680 3388.21632 3388.216325.4 2.4 947.6 2347.28 3549.968 4047.632 4127.25824 4127.258245.6 2.6 1012.4 2655.08 4184.192 4869.656 4988.46976 4988.469765.8 2.8 1077.2 2982.32 4892.144 5814.128 5986.23168 5986.231686 3 1142 3329 5678.000 6893.000 7136.00000 7136.00000

6.2 3.2 1206.8 3695.12 6545.936 8118.800 8454.34432 8454.344326.4 3.4 1271.6 4080.68 7500.128 9504.632 9958.98624 9958.986246.6 3.6 1336.4 4485.68 8544.752 11064.176 11668.83776 11668.837766.8 3.8 1401.2 4910.12 9683.984 12811.688 13604.03968 13604.039687 4 1466 5354 10922.000 14762.000 15786.00000 15786.00000

Voved 15

NUMERI^KI METODI

Slednive serii, mo`e da se koristat za procena na soodvetnite funkcii vo sekoja to~ka x, koristej}i ja po~etnata vrednost x0=0 i ~ekor h:

=++++=

=+=

+=+=

=+++++=

=

=

=

+

=

0k

k32

0k

k2k

42

0k

1k2k

53

0k

kk32x

x....xxx1x1

1

)!k2(x)1(.......

!4x

!2x1)xcos(

)!1k2(x)1(.......

!5x

!3xx)xsin(

!kx

!kx.......

!3x

!2xx1e

Primer 6. Da se poka`e deka razvivaweto na eksponencijalnata funkcija ex, vo Tajlorov red e:

!kx.......

!3x

!2xx1e

k32x +++++=

koga x=x0=0 kako po~etna to~ka i h kako inkrement. Da se razvijat seriite za h=0.1; 0.2; 0.3,.... do 1.0. Da se nacrtaat rezultatite i da se sporedat so to~nata vrednost za sekoj poseben slu~aj.

100)n(

n

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00 R)x(f!nh.....)x(f

!3h)x(f

!2h)x(hf)x(f)hx(f +++++++=+

f(x)=ex

1ee)x(f

.......1ee)x(f

1ee)x(f

0x0

)n(

0x0

)2(

0x0

)1(

0

0

0

===

======

x0 = 0 x = x0+h = 0+h = h Po definicija, h=x-x0 = x-0 = x h=x f(0)=e0=1

Spored toa, !n

h....!2

hh1)h(f)x(fn2

++++==

ili !n

x....!2

xx1)h(f)x(fn2

++++==

16 Voved

NUMERI^KI METODI

x h f(x0+h)

1 ~len 2 ~lena 3 ~lena to~na vredn.

0.1 0.1 1.00000 1.1000 1.105 1.105171 0.2 0.2 1.00000 1.2000 1.220 1.221403 0.3 0.3 1.00000 1.3000 1.345 1.349859 0.4 0.4 1.00000 1.4000 1.480 1.491825 0.5 0.5 1.00000 1.5000 1.625 1.648721 0.6 0.6 1.00000 1.6000 1.780 1.822119 0.7 0.7 1.00000 1.7000 1.945 2.013753 0.8 0.8 1.00000 1.8000 2.120 2.225541 0.9 0.9 1.00000 1.9000 2.305 2.459603

1 1 1.00000 2.0000 2.500 2.718282 Primer 7 Prosta greda e natovarena so ramnomerno raspredelen tovar q. Uklonot na gredata, ili vertikalnoto pomestuvawe od dejstvoto na tovarot vo sekoja to~ka po dol`inata na gredata, mo`e da se presmeta spored izrazot:

)xLLx2x(EI24

qy 334 += Da se razvie vo Tajlorov red funkcijata y(x), so zemawe tri ~lena, ako e zadadeno: q=20 kN/m; L=8,0 m; E=3.16*107 kN/m2; I=0.0054 m4; x0=2.0 m; h=1.0; h=2; h=3; h=4; Da se tabeliraat, da se nacrtaat rezultatite i da se sporedat so to~noto re{enie.

)x(y!2

h)x('hy)x(y)hx(y 0''

2

000 ++=+ Funkcijata gi ima slednive izvodi i vrednosti na izvodite vo po~etnata to~ka x0=2:

y(x0) =y(2)= -20*(x4-16*x3+64*8*x)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.004454

q

L x

Voved 17

NUMERI^KI METODI

y(x0) =y'(2)= -20*(4x3-16*3*x2+64*8)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.0017

y(x0)=y''(2)= -20*(12x2-16*6*x)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.0007

2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y

2

+=+ h=1.0; y(2+h)=y(2+1)=y(3)=-0.004454 - 0.0017*1.0 + 0.0007*(1.0)2/2= -0.0058

h=2.0; y(2+h)=y(2+2)=y(4)=-0.004454 - 0.0017*2.0 + 0.0007*(2.0)2/2= -0.00645

h=3.0; y(2+h)=y(2+3)=y(5)=-0.004454 - 0.0017*3.0 + 0.0007*(3.0)2/2= -0.0064

h=4.0; y(2+h)=y(2+4)=y(6)=-0.004454 - 0.0017*4.0 + 0.0007*(4.0)2/2= -0.00565

x h y yto~no aps.

Gre{ka 2 0 -0.00445 -0.00445 0.00000 3 1 -0.0058 -0.00579 -0.00002 4 2 -0.00645 -0.00625 -0.00020 5 3 -0.0064 -0.00579 -0.00062 6 4 -0.00565 -0.00445 -0.00120

Sporedba na to~no i aproksimativno re{enie

-0.008

-0.006

-0.004

-0.002

00 2 4 6 8

Primer 8. Za prethodniot primer na prosta greda tovarena so tovar q, da se izvr{i aproksimacija od treti i ~etvrti red, na vrednosta na funkcijata na vertikalnoto pomestuvawe y, za x0=2m, so razvivawe na Tajlorovi redovi i so zemawe 4 i 5 ~lena od formulata. Re{enijata da se sporedat so to~noto re{enie dadeno so formulata:

yT

18 Voved

NUMERI^KI METODI

)xLLx2x(EI24

qy 334 += Tajlorov red so 5 ~lena:

)x(y!4

h)x(y!3

h)x(y!2

h)x(hy)x(y)hx(y 0)4(

4

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00 ++++=+

y(x0) =y(2)= -20*(x4-16*x3+64*8*x)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.004454

y(x0) =y'(2)= -20*(4x3-16*3*x2+64*8)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.0017

y(x0)=y''(2)= -20*(12x2-16*6*x)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.0007

y(x0)=y''(2)= -20*(24x-16*6)/(24*3.16*107*0.0054)= 0.00023

yIV(x0)= yIV (2)= -20*(24)/(24*3.16*107*0.0054)= -0.00012 Aproksimacija od treti red (4 ~lena od redot):

!6h00023.0

2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y

)x(y!3

h)x(y!2

h)x(hy)x(y)hx(y

32

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00

++=+

+++=+

Aproksimacija od ~etvrti red (5 ~lena od redot):

24h00012.0

!6h00023.0

2h0007.0h0017.0004454.0)h2(y

)x(y!4

h)x(y!3

h)x(y!2

h)x(hy)x(y)hx(y

432

0)4(

4

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00

++=+

++++=+

x h y4 y5 yto~no aps. e4 aps. e5 2 0 -0.004454 -0.004454 -0.004454 0.000000 0.000000 3 1 -0.005782 -0.005787 -0.005787 -0.000005 0.000000 4 2 -0.006173 -0.006251 -0.006251 -0.000078 0.000000 5 3 -0.005392 -0.005787 -0.005787 -0.000395 0.000000 6 4 -0.003204 -0.004454 -0.004454 -0.001250 0.000000

q

L x

Voved 19

NUMERI^KI METODI

Aproksimacija od treti i ~etvrti red

-0.007000

-0.006000

-0.005000

-0.004000

-0.003000

-0.002000

-0.001000

0.0000000 1 2 3 4 5 6 7

x (m)

y(m

) y4y5yto~no

Aproksimacija od vtori, treti i ~etvrti red

-0.007000

-0.006000

-0.005000

-0.004000

-0.003000

-0.002000

-0.001000

0.0000000 1 2 3 4 5 6 7

x (m)

y(m

)

y4y5yto~noy3

Od grafikot se gleda deka aproksimacijata od IV red se poklopuva so to~noto re{enie a to go poka`uvaat i gre{kite vo poslednata kolona od prethodnata tabela.

20 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

2. INTERPOLACIJA Neka e dadena tabela na vrednostite na funcijata f(x) za argumenti x koi moàt da bidat na ednakvi ili na proizvolni rastojanija. Vo inènerskata praktika, pri problemite povrzani so eksperimentalni ispituvawa, vakviot tabelaren na~in na pretstavuvawe na podatocite e redovna pojava. êsto pati se bara da se opredeli vrednosta na funkcijata f(x) za argumentot x koj ne se nao|a vo tabelata ili, pak, da se opredeli vrednosta na argumentot za dadena vrednost na f(x). Vo slu~aite koga funkcijata f(x) e dadena so analiti~ki izraz (duri i koga e taa dosta ednostavna), kako i pri dadeni podatoci od eksperimentite, za re{avawe na gorespomenatata zada~a, naj~esto se koristat tabeliranite vrednosti. Toa zna~i deka niz tabeliranite vrednosti se provlekuva nekoja funkcija koja e ednostavna za presmetuvawe. Ako vrednosta na argumentot za koj se bara vrednosta na funkcijata e vo oblasta na tabeliranite argumenti, metodot se vika interpolacija, a ako e nadvor od taa oblast, toga{ se raboti za ekstrapolacija. Naj~esto se koristat dva tipa interpolacii, grafi~ka i polinomna. Grafi~ka interpolacija Pri upotrebata na ovoj metod, tabeliranite podatoci se crtaat na milimetarska hartija i niz niv se provlekuva kriva koja minuva niz site to~ki. Za opredelena vrednost na argumentot se ot~ituva soodvetnata vrednost na krivata koja ja pretstavuva baranata vrednost na funkcijata. Ovoj metod ima nedostatoci vo smisla na ograni~ena to~nost pri nanesuvaweto i ~itaweto na podatocite (obi~no 0,1 %), kako i pri povlekuvaweto na krivata niz tabeliranite vrednosti. Grafi~kiot metod e pogoden ako podatocite se dobieni od grafici, dodeka vo drugite slu~ai se koristi polinomnata interpolacija koja e mnogu pogodna pri koristeweto na kompjuterite. Polinomna interpolacija Ovde problemot moè da se podeli na dva dela: nao|awe priblièn izraz na funkcijata f(x) koja e zadadena samo

so tablica od vrednosti

Interpolacija 21

NUMERI^KI METODI

presmetuvawe na pribli`nata vrednost na funkcijata f(x) za baraniot argument koj ne se nao|a vo tabelata.

Najednostavna formulacija na prviot del od problemot e slednava: vo opredelen interval dadeni se n+1 to~ki, x0,x1,.....xn (koi se vikaat jazli na interpolacijata), kako i vrednostite na nekoja fukcija f(x) vo tie to~ki, taka {to:

f(x0)=y0; f(x1)=y1 f(x2)=y2; ....... f(xn)=yn Treba da se opredeli funkcijata (x) koja se sovpa|a so funkcijata f(x) vo dadenite to~ki, odnosno minuva niz to~kite (x0,y0), (x1,y1),....... (xn,yn). Niz ovie to~ki moè da se provle~at bezbroj krivi. Za da bide zada~ata ednozna~na namesto proizvolna funkcija (x) se bara polinom P(x), so stepen ne pogolem od n taka {to: P(x0)=y0; P(x1)=y1 P(x2)=y2; ....... P(xn)=yn. To~kite so apscisi x0,x1,.....xn se vikaat jazli na interpolacijata, rastojanieto pome|u dva sosedni jazli se vika ~ekor na interpolacijata, a P(x) e interpolacionen polinom. Ako interpolacijata se vr{i so polinom od prv stepen, se raboti za linearna interpolacija, a ako polinomot e od vtor stepen, za kvadratna interpolacija, it.n.

x y f(x) 0 -3 -3 1 0.7 0.7 2 3.8 3.8 3 6.3 6.3 4 8.2 8.2 5 9.5 9.5 -3 xarg= 0.55 -0.89075

xarg= 3.25 6.83125

Linearna interpolacija Pri interpolacijata moè da se postavi zada~a, da se opredeli vrednosta na f (x) za argument x koj ne se nao|a vo tabelata, a leì pome|u argumentite xk i xk+1. Geometriski, linearnata interpolacija zna~i deka funkcijata f(x) treba da se zameni so pravata {to minuva niz to~kite (xk,yk) i (xk+1,yk+1).

Interpolacija

-0.89075

6.83125

-4

-2

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5 6

x

y

f(x)

22 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

Sl. 1 Linearna interpolacija Vrednosta na f(x)=y koja odgovara na argumentot x lesno se dobiva od sli~nosta na triagolnicite CCA i BBA na slika 1:

k1k

k1k

k

kxxyy

xxyy

=

++

od kade {to sledi:

)yy(xx

xxyy k1kk1k

kk

+= ++

Lagran`ova interpolacija Vo mnogu slu~ai linearnata interpolacija ne mo`e da ja dade baranata to~nost, poradi {to e potrebno da se koristi interpolacionen polinom od povisok red. Ako se dadeni n+1 to~ki (x0,y0), (x1,y1),....... (xn,yn), postaveni na razli~ni me|usebni rastojanija, toga{, za da go dobieme polinomot P(x)=a0+a1x+ +a1x2......anxn koj minuva niz niv, vo nego treba da gi zamenime posledovatelno site to~ki, pri {to }e dobieme sistem linearni ravenki po nepoznatite koeficienti a0,a1......an.

nnnn10n

n1n1101

n0n0100

xa............xaay..

xa.............xaayxa.............xaay

++=

++=++=

Ovoj sistem ima edinstveno re{enie so koe se opredeluvaat baranite koeficienti na polinomot P(x). So ogled na toa deka ovoj na~in bara obemni matemati~ki operacii, polinomot P(x) }e go opredelime na drug na~in.

C

A

B

(x) f(x)

xk xk+1

yk

y

yk+1

x

y

C B kxx

x

kyy k1k yy +

k1k xx +

Interpolacija 23

NUMERI^KI METODI

Najprvo }e opredelime polinom Lk(x), takov {to: Lk(xm)=0 za km i Lk(xm)=1 za k=m Ovie uslovi moàt da se napi{at vo oblik:

=01

)x(L kmmk

kade {to km e Kronekerov simbol. Bidej}i baraniot polinom ima vrednosti nuli vo to~kite so argumenti x0,x1, x2.... xk-1, xk+1....xn, toj ima oblik:

)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(C)x(L n1k1k10kk = + kade {to Ck pretstavuva koeficient. Ako vo ovaa formula stavime x=xk , vrednosta na polinomot Lk(x) treba da bide ednakva na edinica.

1)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(C nk1kk1kk1k0kk = + od kade {to dobivame:

)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(1C

nk1kk1kk1k0kk = +

Ako ovaa ravenka ja zamenime vo izrazot za Lk(x), }e dobieme:

)xx).......(xx)(xx().........xx)(xx()xx).......(xx)(xx().........xx)(xx(

)x(Lnk1kk1kk1k0k

n1k1k10k

=+

+

kade {to k=1,2,.......n Izrazot za Lk(x) pretstavuva n krivi koi za x=xk imaat vrednost 1, a vo drugite jazolni to~ki imaat vrednost nula. Koga se ve}e opredeleni ovie polinomi Lk(x), koi se vikaat Lagranòvi polinomi, baraniot interpolacionen polinom go dobiva sledniov oblik:

=+++==n

1kkknn221100 )x(Ly)x(Ly).......x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P

Ova e interpolaciona formula na Lagran`. Taa lesno moè da se interpretira so pomo{ na narednata slika, na koja e ilustriran

za k=m za km

24 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

slu~ajot za n=4. Sekoj polinom Lk(x) moè da se razgleduva kako influentna linija, so ordinati edinica vo to~kite x=xk i nula vo to~kite x=xm za mk. Sumata na influentnite linii, pomnoèni so soodvetnite ordinati yk, go dava Lagranòviot interpolacionen polinom pretstaven so poslednata ravenka.

Sl. 2 Lagranòvi polinomi za n=4 (prikaàni se samo polinomite

L0(x), L1(x) i L2(x)) Ovoj polinom za ilustracijata na slika 2, se dobiva vo oblik:

)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P 4433221100 ++++= Za slu~aj n=1, Lagranòviot interpolacionen polinom minuva niz dve to~ki i pretstavuva linearna interpolacija.

)x(Ly)x(Ly)x(P 1100 += Polinomite L0(x) i L1(x) se:

01

01 xx

xx)x(L

= ; 10

10 xx

xx)x(L =

01

01

10

10 xx

xxyxxxxy)x(P

+=

Ako ovaa ravenka se sredi, se dobiva:

y0 y1 y2 y3 yn

x0 x1 x2 x3 xn

1

1

L0(x)

L1(x)

1 L2(x)

Interpolacija 25

NUMERI^KI METODI

)yy(xxxx

y

xxxx

yxxxx

yyxxxx

yxx

xxxxyy

xxxx

y)1xx

xx(yyyy

xxxx

yxx

xxy)x(P

0101

00

01

01

01

000

01

01

10

10100

01

01

10

10000

01

01

10

10

+=

=+

=+

++=

=+

+=++

=

{to e identi~no so prethodno dobienata ravenka za linearna interpolacija. Za n=2 (zemame 3 to~ki od tabelata) imame kvadratna interpolacija i polinomot e:

)xx)(xx()xx)(xx(y

)xx)(xx()xx)(xx(y

)xx)(xx()xx)(xx(y)x(P

1202

102

2101

201

2010

210

++

=

Primer 1. Tabli~no e zadadena nekoja funkcija. Koristej}i ja formulata za linearna interpolacija, da se interpolira vrednosta na funkcijata za x=2.2.

Primer 2. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz dadenite to~ki:

k 0 1 2 3 xk 0,0 1,0 2,0 4,0 yk 1,0 1,0 2,0 5,0

x 2 2,3 2,5 y 5,848 6,127 6,3 034,6y

)0,22,2(0,23,2848,5127,6848,5y

)yy(xx

xxyy k1kk1k

kk

=

+=

+= +

+

k k+1

2,2x =

26 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

5y;)24)(14)(04()2x)(1x)(0x(

)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx()x(L

2y;)42)(12)(02()4x)(1x)(0x(

)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(

)x(L

1y;)41)(21)(01()4x)(2x)(0x(

)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx()x(L

1y;)40)(20)(10()4x)(2x)(1x(

)xx)(xx)(xx()xx)(xx)(xx(

)x(L

3231303

2103

2321202

3102

1312101

3201

0302010

3210

==

=

==

=

==

=

==

=

So zamena na ovie izrazi vo Lagran`oviot interpolacionen polinom od III red, se dobiva funkcijata so koja e aproksimirana tabli~no zadadenata funkcija: Primer 3. Dadena e slednava tabela:

k 0 1 2 3 xk 1,0 2,0 5,0 9,0 yk 1,0 3,0 6,0 10,0

Da se interpolira vrednosta na funkcijata so polinom od treti red za x=6,0.

625,656510

456)

75(3

831)0,6(P

10y;565)0,6(L;

)59)(29)(19()56)(26)(16()x(L

6y;45)0,6(L;

)95)(25)(15()96)(26)(16()x(L

3y;75)0,6(L;

)92)(52)(12()96)(56)(16()x(L

1y;83)0,6(L;

)91)(51)(21()96)(56)(26()x(L

333

222

111

000

=+++=

===

===

===

===

)12x8x9x(121)x(P

)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(Ly)x(P

23

33221100

++=+++=

Interpolacija 27

NUMERI^KI METODI

Obratna interpolacija Se postavuva obratna zada~a: dadeni se vrednostite za f(x), f(xk)=yk, vo to~kite x0,x1,.....,xn. Za dadeno y* se bara x*, za koja e zadovoleno f(x*)=y* (obi~no y*yk kade {to k=0,1,....,n). Zada~ata se sveduva na opredeluvawe interpolacionen polinom P(y) za inverznata funkcija (y) na f(x). t.e. se odreduva P(y) taka {to P(yk)=xk; k=0,1,....,n. (zabele{ka: koga xk se na ekvidistantni rastojanija, soodvetnite vrednosti yk, obi~no, ne se rasporedeni na isti rastojanija, pa zatoa se koristi interpolacionata formula na Lagran`). Primer 4. Zadadena e funkcijata y=f(x) so tabela 1. Da se najde za koja vrednost na x se dobiva y=3,7 . Tabela 1

k 0 1 2 x 1,1 1,4 1,6 y 3,0 4,06 5,0

Se formira nova tabela (tabela 2) vo koja x i y si gi menuvaat mestata. Koristej}i ja ovaa tabela, barame kolku e yn(xn=3,7). Se smeta deka funkcijata f(x) e strogo monotona vo razgleduvaniot interval, pa zada~ata }e ima edinstveno re{enie. Za da ne gi menuvame oznakite vo interpolacionata formula, xn i yn gi razgleduvame kako x i y na nekoja nova funcija. Se primenuva Lagranòvata interpolaciona formula za kvadratna interpolacija (bidej}i se dadeni 3 to~ki vo tabelata), zna~i za n=2, vo koja zamenuvame x=3,7.

Zna~i, za x*=1,3051 f(x*)=3,7. Moè da se postavi zada~a za opredeluvawe koren na nekoja tabli~no zadadena funkcija. Pritoa moè da se primeni obratnata Lagranòva interpolacija i da se opredeli za koja vrednost na argumentot funkcijata ima vrednost ednakva na nula.

y=0, x=?

x

y f(x)

Tabela 2 k 0 1 2 xn 3,0 4,06 5,0 yn 1,1 1,4 1,6

3051,1y

6,1)06,45)(35(

)06,47,3)(37,3(4,1)506,4)(306,4(

)57,3)(37,3(1,1)53)(06,43(

)57,3)(06,47,3(y

)7,3(Ly)7,3(Ly)7,3(Ly)x(Py 221100

==

++

=++==

28 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

Kone~ni razliki Neka e dadena diskretna funkcija, odnosno kone~no mnoèstvo na argumenti xk i soodvetnite vrednosti na funkcijata f(xk)=yk, pri {to argumentite se na ednakvi me|usebni rastojanija xk+1-xk=h. Razlikite na vrednostite yk se ozna~uvaat so yk=yk+1-yk i se vikaat prvi razliki ili kone~ni razliki od I red. Razlikite pak od prvite kone~ni razliki se obeleùvaat so: 2yk= (yk)= yk+1- yk= (yk+2-yk+1)- (yk+1-yk)= yk+2-yk+1- yk+1+yk= yk+2-2yk+1+yk 2yk= yk+2-2yk+1+yk i se vikaat kone~ni razliki od II red. Voop{to, kone~nite razliki od n-ti red se definiraat so: nyk= n1 yk+1- n1 yk Koristej}i razli~ni mnoèstva na to~ki, kone~nite razliki vo to~ka moè da se izrazat na tri na~ina: kone~ni razliki nazad, kone~ni razliki napred i centralni kone~ni razliki. Kone~ni razliki nazad To~kite {to se koristat za izrazuvawe na kone~nite razliki se vo red koj se namaluva vo odnos na to~kata {to se razgleduva. Na primer, za 5 to~ki: prva razlika yn=yn-yn-1

yn-1=yn-1-yn-2 yn-2=yn-2-yn-3 yn-3=yn-3-yn-4 yn-4=yn-4-yn-5 vtora razlika 2yn= yn- yn-1= (yn-yn-1) (yn-1-yn-2)= yn-2yn-1+yn-2 2yn-1= yn-1- yn-2= (yn-1-yn-2) (yn-2-yn-3)= yn-1-2yn-2+yn-3

x0 x1 x2 xn

y0 y1 y2 yn

Interpolacija 29

NUMERI^KI METODI

2yn-2= yn-2- yn-3= (yn-2-yn-3) (yn-3-yn-4)= yn-2-2yn-3+yn-4 2yn-3= yn-3- yn-4= (yn-3-yn-4) (yn-4-yn-5)= yn-3-2yn-4+yn-5 treta razlika: 3yn= 2yn- 2yn-1= (yn-2yn-1+yn-2)-(yn-1-2yn-2+yn-3)= yn-3yn-1+3yn-2 -yn-3 3yn-1= 2yn-1- 2yn-2= (yn-1-2yn-2+yn-3)-(yn-2-2yn-3+yn-4)= yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4 3yn-2= 2yn-2- 2yn-3= (yn-2-2yn-3+yn-4)-(yn-3-2yn-4+yn-5)= yn-2-3yn-3+3yn-4 -yn-5 ~etvrta razlika: 4yn= 3yn-3yn-1=(yn-3yn-1+3yn-2 -yn-3)-(yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4)= =yn-4yn-1+6yn-2 -4yn-3+yn-4 4yn-1= 3yn-1- 3yn-2= (yn-1-3yn-2+3yn-3 -yn-4)-(yn-2-3yn-3+3yn-4 -yn-5)= =yn-1-4yn-2+6yn-3 -4yn-4+yn-5 petta razlika: 5yn = 4yn-4yn-1=(yn-4yn-1+6yn-2 -4yn-3+yn-4)-( yn-1-4yn-2+6yn-3 -4yn-4+yn-5) = yn-5yn-1+10yn-2 -10yn-3+5yn-4 -yn-5 Op{tiot izraz za razlikite e daden vo narednata tabela. Na levata strana na tabelata se dadeni kone~nite razliki, a na desnata strana koeficientite so koi se mno`at soodvetnite kone~ni razliki. Razlikite yn,.....,5yn se dobivaat so sumirawe na proizvodite na koeficientite po ovie razliki ili na soodvetnite ordinati yn, yn-1.....,yn-5.

y 2y 3y 4y 5y yn 2yn 3yn 4yn 5yn yn-5 -1

yn-4 yn-4 2yn-3 1 5

yn-3 3yn-2 yn-3 2yn-2 4yn-1 -1 -4 -10

yn-2 3yn-1 5yn yn-2 2yn-1 4yn 1 3 6 10

yn-1 3yn yn-1 2yn -1 -2 -3 -4 -5

yn yn 1 1 1 1 1

30 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

Kone~ni razliki napred To~kite {to se koristat za izrazuvawe na kone~nite razliki se vo red koj se zgolemuva vo odnos na to~kata {to se razgleduva. Tabelarnata forma na ovie razliki e dadena na slednata slika. y 2y 3y 4y 5y yn 2yn 3yn 4yn 5yn yn -1 1 -1 1 -1

yn yn+1 2yn 1 -2 3 -4 5 yn+1 3yn yn+2 2yn+1 4yn 1 -3 6 -10 yn+2 3yn+1 5yn yn+3 2yn+2 4yn+1 1 -4 10 yn+3 3yn+2 yn+4 2yn+3 1 -5 yn+4 yn+5 1 Centralni razliki Koga to~kite se simetri~no postaveni vo odnos na to~kata n, imame centralni razliki. Neka se poznati vrednostite na funkcijata f(x) vo to~kite n-5, n-4, n-3, n-2, n-1, n, n+1, n+2, n+3, n+4, n+5, koi se na ednakvi me|usebni rastojanija h, kako i vrednostite na ovaa funkcija vo sredinite na intervalite h:

h h h h h h h h h h

n-5 n-4 n-3 n-2 n-1 n n+1 n+2 n+3 n+4 n+5 n-9/2 n-7/2 n-5/2 n-3/2 n-1/2 n +1/2 n+3/2 n+5/2 n+7/2 n+9/2

Interpolacija 31

NUMERI^KI METODI

Centralnite kone~ni razliki se izveduvaat od razlikite na to~kite n+1 i n-1. Na primer: prva razlika yn=( yn+1- yn-1)/2=-0.5 yn-1+0.5 yn+1 vtora razlika yn+1/2= yn+1- yn yn-1/2 = yn- yn-1 2yn = yn+1/2- yn-1/2=(yn+1- yn)- (yn- yn-1)= yn-1-2yn+yn+1 treta razlika 2yn+1= yn-2yn+1+yn+2 2yn-1 = yn-2-2yn-1+yn 3yn =(2yn+1- 2yn-1)/2=((yn-2yn+1+yn+2)- (yn-2-2yn+1+yn))/2=(-yn-2+2yn-1- -2yn+1+ yn+2)/2 = - 0.5 yn-2+ yn-1- yn+1+0.5 yn+2 Kone~nite razliki koi se prethodno izvedeni, mnogu ~esto se koristat za interpolacionite formuli na Wutn, za interpolacija vo intervalot desno od to~kata x0 i levo od to~kata xn. Wutnovi interpolacioni polinomi Wutnov polinom za interpolacija napred

Ili so zamenata u=(x-x0)/h odnosno x=x0+hu ovoj polinom dobiva forma:

Primer 1. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz ~etiri dadeni to~ki.

k 0 1 2 3 xk 4 6 8 10 yk 1 3 8 20

)xx)......(xx()xx(h!ny

.......)xx()xx(h!2y

)xx(h!1

yy)x(P

1n10n0

n

1020

2

00

0

+

+++

+=

)1nu)....(2u()1u(u!ny

....)2u()1u(u!3y

)1u(u!2y

u!1y

y)x(P

0n

03

02

00

+

+++

++=

32 Interpolacija

NUMERI^KI METODI

Za da go opredelime polinomot prethodno ja formirame tabelata na kone~ni razliki napred.

y0 y0

y1 2y0 y1 3y0

y2 2y1 y2

y3 Zaokru`enite brojki gi zamenuvame vo Wutnoviot polinom:

Po sreduvawe na izrazot, se dobiva;

Wutnov interpolacionen polinom za interpolacija nazad

Ili vo druga forma:

Primer 2. Da se opredeli polinom od tret stepen koj minuva niz dadeni to~ki.

k -3 -2 -1 0 xk 4 6 8 10 yk 1 3 8 20

Tabelata na kone~nite razliki nazad e:

k x y y 2y 3y0 0 4 1

2 1 6 3 3 5 4 2 8 8 7 12 3 10 20

)8x)(6x()4x(2123

4)6x()4x(212

3)4x(21

21)x(P 32 +++=

458.9x197.5x125.1x0833.0)240x142x27x2(241)x(P 2323 +=+=

)xx)......(xx()xx(h!ny

.......)xx()xx(h!2y

)xx(hy

y)x(P

1n10n0

n

1020

2

00

0

+

++++=

)1nu)......(2u)(1u(uh!ny

.......)2u)(1u(u!3y

)1u(u!2y

u!1y

y)x(P

n0

n

03

02

00

++++

++++++

++=

Interpolacija 33

NUMERI^KI METODI

So sreduvawe se dobiva istiot polinom od treti red kako i so Wutnovata interpolaciona formula napred.

P(x)=0.0833 x3 - 1.125x2 + 5.917x - 9.458

y-3 y-2

y-2 2y-1 y-1 3y0

y-1 2y0 y0

y0

k x y y 2y 3y0

-3 4 1 2

-2 6 3 3 5 4

-1 8 8 7 12 0 10 20

)6x)(8x()10x(2123

4)8x()10x(212

7)10x(2

1220)x(P 32 +++=

y = 0.0833x3 - 1.125x2 + 5.9167x - 10

0

5

10

15

20

25

0 2 4 6 8 10 12

34 Pribli`no diferencirawe

NUMERI^KI METODI

3. PRIBLI@NO DIFERENCIRAWE Pri re{avaweto na prakti~ni zada~i od inènerstvoto, ~esto se postavuva zada~a da se opredelat izvodi na funkcijata f(x) koja e zadadena grafi~ki ili so tabela na vrednosti vo nekolku to~ki. Isto taka, vo slu~ai koga funkcijata e zadadena vo matemati~ka forma so sloèn analiti~ki izraz, poradi toa {to neposrednoto diferencirawe e sloèno, se pristapuva kon numeri~ko diferencirawe. Osnovnata definicija za diferenciraweto e:

i od nea podocna }e se dobijat nekolku formuli za numeri~ko diferencirawe. Grafi~ko diferencirawe

Poznato e deka izvodot na nekoja funkcija vo nekoja to~ka x , koja e grafi~ki pretstavena, moè da se interpretira kako naklon na tangentata na funkcijata vo taa to~ka.

y'( x )=[(x2)-y(x1)]/(x2- x1)

y'( x )=tg Postapkata za grafi~ko diferencirawe e sledna: se crta grafik na

funkcijata i vo to~kata so abscisa x se povlekuva tangenta na krivata. Paralelno so tangentata se povlekuva prava koja ja se~e krivata vo to~kite (x1,y1) i (x2,y2), preku koi se opredeluva tangensot na agolot {to tangentata go zaklopuva so oskata x.

To~nosta na grafi~koto diferencirawe e ograni~ena so to~nosta so koja moè da se ~ita grafikot i so to~nosta na povlekuvaweto na tangentata.

12

12

12

12'

xxyy

xx)x(y)x(y)x(y

==

h)x(y)hx(ylim)x(y

0h

' +=

x

x x1 x2

Pribli`no diferencirawe 35

NUMERI^KI METODI

Diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki Pri re{avawe na inènerski problemi, ~esto e potrebno numeri~ki da se procenat vrednostite na izvodite na nekoja funkcija. Pritoa postojat dva pristapa: funkcijata e poznata no izvodite ne moè da bidat presmetani

analiti~ki funkcijata e zadadena tabli~no, a izvodite se presmetuvaat

analiti~ki, so diferencirawe na interpoliranata funkcija koja pribli`no ja pretstavuva stvarnata funkcija.

Vo prviot pristap, ako funkcijata e poznata a izvodot ne moè da

se presmeta analiti~ki, istiot moè da se proceni kako:

x)x(f)xx(f

x)x(f

dxdy

+=

Zna~i, za da ja presmetame vrednosta na prviot izvod vo to~ka x, f(x), potrebno e da ja presmetame vrednosta na funkcijata vo dve to~ki, x i x+x, i nivnata razlika da se podeli so ~ekorot x. Ovoj pristap e poznat kako diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki napred. Izvodot moè da se presmeta i so kone~ni razliki nazad:

x)xx(f)x(f

x)x(f

dxdy

=

Isto taka, izvodot moè da se presmeta i so kone~ni razliki na vrednostite vo to~kite koi se na rastojanie 2x.

x2)xx(f)xx(f

x2)x(f

dxdy

+=

Za mnogu funkcii so pove}e promenlivi, metodot so dvoen ~ekor moè da se dobijat poto~ni rezultati otkolku so kone~nite razliki napred ili nazad. Primer 1. Podatocite dadeni vo narednata tabela pretstavuvaat vrednosti na tretiot stepen od brojot x. Da se aproksimira vrednosta na prviot izvod za x=2, koristej}i kone~ni razliki napred, nazad i {ema na kone~ni razliki so dvoen ~ekor. Rezultatot da se sporedi so to~noto re{enie.

x 0 1 2 3 4 f(x)=x3 0 1 8 27 64


NUMERI^KI METODI

- Kone~ni razliki napred

191

1923827

x)x(f)xx(f

x)2(f ==

=+=

- Kone~ni razliki nazad:

717

1218

x)xx(f)x(f

x)2(f ==

==

- Metod so dvoen ~ekor:

132

2613127

x2)xx(f)xx(f

x2)2(f ==

=+=

- To~na vrednost:

1223dx

)2(df

x3dx

)x(df)x('f

x)x(f

2

2

3

==

===

- Sporedba na rezultatite so to~noto re{enie:

x k. r.

napredk. r.

nazaddvoen ~ekor

to~no

f(2) 19 7 13 12 %gre{ka 58.33 41.67 8 /

Primer 2. Da se opredeli polinom od vtor red koj pominuva niz dadenite to~ki, a potoa, koristej}i go toj polinom, da se aproksimira prviot izvod na tabli~no zadadenata funkcija za x=2. Re{enieto da se sporedi so rezultatite od primer 1 i so to~noto re{enie.

x 1 2 3 f(x) 1 8 27

Polinom od II red vo forma:

2210 xaxaa)x(P ++=

Nepoznati se tri koeficienti na polinomot, zna~i potrebno e da sostavime i da re{ime sistem od 3 ravenki so 3 nepoznati. Sistemot


NUMERI^KI METODI

}e go sostavime od uslovot polinomot da pominuva niz dadenite to~ki, odnosno:

2i2i10i xaxaa)x(P ++=

210

2210

2020100

aaa1

1a1aa1

xaxaa)x(P

++=++=++=

210

2210

2121101

a4a2a8

2a2aa8

xaxaa)x(P

++=++=++=

210

2210

2222102

a9a3a27

3a3aa27

xaxaa)x(P

++=++=

++=

Sistemot ravenki od koj }e gi opredelime nepoznatite koeficienti na polinomot a1, a2 i a3, e:

27a9a3a8a4a2a

1aaa

210

210

210

=++=++

=++

Vo matri~na forma mo`e da se napi{e:

=

2781

aaa

931421111

2

1

0

Re{enie so inverzna matrica na sistemot ravenki:

=

2781

931421111

aaa 1

2

1

0

=

=

6116

2781

5.015.05.145.2

133

aaa

2

1

0

Polinomot od II red koj pominuva niz dadenite tri to~ki e: 2

2 x6x116)x(P += Prviot izvod za x=2 }e go opredelime so direktno diferencirawe na polinomot P2(x).

13112421211)2('Px1211)x('P

==+=+=


NUMERI^KI METODI

- Sporedba na rezultatite so to~noto re{enie:

Tabelata na kone~ni razliki, isto taka, moè da se koristi za opredeluvawe vrednosti na izvodi na tabli~no zadadena funkcija. Na primer, vo narednata tabela na kone~ni razliki, kolonata f

moè da se koristi za procena na vrednosta na prviot izvod vo nekoja to~ka,

Isto taka, vrednostite vo kolonata 2f moè da se koristat za opredeluvawe na vtoriot izvod na tabli~no zadadenata funkcija vo nekoja to~ka, itn.

Tabela na kone~ni razliki

x f(x) f 2f x f(x) f(x)= f(x+x)- f(x) x+x f(x+x) 2f(x)= f(x+x)- f(x) f(x+x)= f(x+2x)-

f(x+x)

x+2x f(x+2x) 2f(x+x)= f(x+2x)- f(x+x)

f(x+2x)= f(x+3x)- f(x+2x)

x+3x f(x+3x) 2f(x+2x)= f(x+3x)- f(x+2x)

f(x+3x)= f(x+4x)- f(x+3x)

x+4x f(x+4x) 2f(x+3x)= f(x+4x)- f(x+3x)

f(x+4x)= f(x+5x)- f(x+4x)

x+5x f(x+5x) . . . .

Za da se opredeli prviot izvod vo to~kata x, se koristi kone~nata razlika f(x); toa e kone~na razlika od I red, a se nao|a vo redot pod dadenata vrednost za x. Na toj na~in se opredeluva izvodot so kone~ni razliki napred.

x k. r. napred

k. r. nazad

dvoen ~ekor

polinom od II red

to~no

f(2) 19 7 13 13 12 %gre{ka 58.33 41.67 8.33 8.33 /


NUMERI^KI METODI

So koristewe na kone~nite razliki koi se nao|aat vo redot nad dadenata vrednost na x, se opredeluva izvodot so kone~ni razliki nazad.

Prose~nata vrednost od ovie dve kone~ni razliki se koristi za opredeluvawe na prviot izvod po metodot so dvoen ~ekor.

Na sli~en na~in se opredluvaat vrednostite za vtoriot izvod, pri {to se koristat vrednostite od kolonata 2f.

Primer 3. Za dadeniot set na podatoci, da se proceni vrednsta na prviot izvod za x=11, so koristewe tabela na kone~ni razliki po metodite napred, nazad i so dvoen ~ekor. Isto taka, da se opredeli vrednosta na vtoriot izvod za x=11 so kone~ni razliki napred.

x 10 11 12 12 14 f(x) 1000 1331 1728 2197 2744

Tabela na kone~ni razliki: So kone~ni razliki napred, za x=11 se zema kone~nata razlika

f=397 koja se nao|a vo redot pod redot x=11. Spored toa, vrednsta na prviot izvod }e bide:

3971011

397x

fx

)11(f 1i ===

+

So kone~ni razliki nazad, za x=11 se zema kone~nata razlika f=331 koja se nao|a vo redot nad redot x=11. Vrednosta na prviot izvod }e bide:

x f(x) f 2f 3f 4f 10 1000 331 11 1331 66 397 6 12 1728 72 0 469 6 13 2197 78 547 14 2744


NUMERI^KI METODI

3311011

331xf

x)11(f i ==

=

So kone~ni razliki so dvoen ~ekor, za x=11 se zema srednata

vrednost od prethodnite dve kone~ni razliki, pa izvodot }e bide:

3642

397331x2

ffx2

)11(f 1ii =+=+=

+ Vrednosta na vtoriot izvod za x=11 po metodot kone~ni razliki

napred }e go procenime so kone~nata razlika od II red 2fi+1 66

166

)1011(66

)x(f

x)11(f

2221i

2

2

2

====

+

To~no re{enie Ako gi pogledneme vrednostite od tabelata, }e zabele`ime deka toa e funkcijata f(x)=x3. Spored toa, vtoriot izvod }e bide:

66116)11(''fx6)x(''f;x3)x('f

x)x(f2

3

====

=

So kone~ni razliki e dobieno to~no re{enie. Numeri~ko diferencirawe so koristewe na Tajlorovi redovi Osnovnite ravenki za diferencirawe so kone~ni razliki napred i nazad proizleguvaat od ekspanzijata na Tajlorovi serii:

1n0)n(

n

0)3(

3

0)2(

2

0)1(

00

R)x(f!n

h

.....)x(f!3

h)x(f!2

h)x(hf)x(f)hx(f

+++

+++++=+

kade {to: x=x0+h; h=x-x0=x Vo toj slu~aj, Tajlorovata serija mo`e da se zapi{e kako:

.......!3)x(

x)x(f

!2)x(

x)x(fx

x)x(f)x(f)xx(f

3

3

32

2

2

++

+=+


NUMERI^KI METODI

Ako Tajlorovata serijata ja prekineme po vtoriot ~len, }e ja dobiveme formulata za diferencirawe so pomo{ na kone~ni razliki:

x)x(f)xx(f

x)x(f

)x(f)xx(fxx

)x(f

xx

)x(f)x(f)xx(f

+=

+=

+=+

Poslednata ravenka dobiena preku Tajlorovata serija e navistina aproksimacija od prv red na formulata za opredeluvawe prv izvod so pomo{ na kone~ni razliki napred. Ako ja prekineme Tajlorovata serija po tretiot ~len (~lenot so vtor izvod), }e dobieme:

!2)x(

x)x(fx

x)x(f)x(f)xx(f

2

2

2

++=+

Ovaa ravenka mo`e da se zapi{e kako:

!2)x(

x)x(f)x(f)xx(fx

x)x(f 2

2

2

+=

ili:

x!2)x(

x)x(f

x)x(f)xx(f

x)x(f 2

2

2

+=

2x

x)x(f

x)x(f)xx(f

x)x(f

2

2

+=

.........1

Poslednata ravenka e aproksimacija od vtor red na formulata za opredeluvawe na prviot izvod vo to~ka x. Kako {to gledame, za ovaa aproksimacija e potrebno poznavawe na vrednosta na vtoriot izvod na funkcijata vo to~ka x. Potreben ni e izraz za opredeluvawe na vtoriot izvod. Ako f(x) e prviot izvod na f(x) vo to~kata x, toga{ aproksimacijata za vtoriot izvod so kone~ni razliki napred e dadena so:

x)x('f)xx('f

x)x(f

2

2

+=


NUMERI^KI METODI

x)x(f)xx(f)x('f

x)xx(f)x2x(f)xx('f

+=

++=+

Aproksimacija od I red na vtoriot izvod }e bide:

xx

)x(f)xx(fx

)xx(f)x2x(f

x)x('f)xx('f

x)x(f

2

2

+++

=+=

22

2

22

2

)x()x(f)xx(f2)x2x(f

x)x(f

)x()x(f)xx(f)xx(f)x2x(f

x)x(f

+++=

++++=

Poslednata ravenka ja zamenuvame vo ravenkata 1 i ja dobivame aproksimacijata od II red na prviot izvod:

x2)x(f3)xx(f4)x2x(f

x)x(f

x2)x(f)xx(f2)x2x(f)x(f2)xx(f2

x)x(f

2x

)x()x(f)xx(f2)x2x(f

x)x(f)xx(f

x)x(f

2x

x)x(f

x)x(f)xx(f

x)x(f

2

2

2

2

+++=

++++=

+++

+=

=

+=

Zna~i, vtora aproksimacija na prviot izvod so kone~ni razliki napred, dobiena so Tajlorovata serija e slednava formula:

x2)x(f3)xx(f4)x2x(f

x)x(f

+++=


NUMERI^KI METODI

Na sli~en na~in mo`e da se dobie i formula za aproksimacija od vtor red na vtoriot izvod, izvedena od ekspanzijata na Tajlorovata serija. Ponatamu se dadeni i drugi formuli izvedeni od Tajlorovata serija, za prva i za aproksimacija od vtor red na prviot i na vtoriot izvod, so kone~ni razliki napred, nazad i so dvoen ~ekor. Aproksimacija na vrednosti za prviot izvod vo to~ka x Kone~ni razliki napred:

- aproksimacija od prv red

x)x(f)xx(f

x)x(f

+=

- aproksimacija od vtor red

x2)x(f3)xx(f4)x2x(f

x)x(f

+++=

Kone~ni razliki nazad:


x)xx(f)x(f

x)x(f

=


x2)x2x(f)xx(f4)x(f3

x)x(f

+=

So dvoen ~ekor:


x2)xx(f)xx(f

x)x(f

+=


x12)x2x(f)xx(f8)xx(f8)x2x(f

x)x(f

++++=


NUMERI^KI METODI

Aproksimacija na vrednosti za vtoriot izvod vo to~ka x Kone~ni razliki napred:


22

2

)x()x(f)xx(f2)x2x(f

x)x(f

+++=


22

2

)x()x(f2)xx(f5)x2x(f4)x3x(f

x)x(f

+++++=

Kone~ni razliki nazad:


22

2

)x()x2x(f)xx(f2)x(f

x)x(f

+=


22

2

)x()x3x(f)x2x(4)xx(f5)x(f2

x)x(f

+=

So dvoen ~ekor:


22

2

)x()xx(f)x(f2)xx(f

x)x(f

++=


22

2

)x(12)x2x(f)xx(f16)x(f30)xx(f16)x2x(f

x)x(f

+++=


NUMERI^KI METODI

Primer 4. Dadeni se podatoci za temperaturata na vozduhot T i pritisokot na zasitenata parea es. Koristej}i aproksimacija od II red na prviot izvod, so kone~ni razliki napred, nazad i so dvoen ~ekor, da se proceni vrednosta na gradientot na funkcijata es , pri T=22 C0. So kone~ni razliki napred:

0S

SSSS

C/Hgmm185.12

)82.19(3)05.21(437.22x

)22(e)1(2

)22(e3)23(e4)24(ex

)22(ex2

)x(f3)xx(f4)x2x(fx

)x(f

=+=

+=

+++=

So kone~ni razliki nazad:

0S

SSSS

C/Hgmm195.12

)53.17()65.18(4)82.19(3x

)22(e)1(2

)20(e)21(e4)22(e3x

)22(ex2

)x2x(f)xx(f4)x(f3x

)x(f

=+=

+=

+=

So kone~ni razliki so dvoen ~ekor:

0S

SSSSS

C/Hgmm1966.1)1(12

)53.17()65.18(8)05.21(8)37.22(x

)22(e)1(12

)20(e)21(e8)23(e8)24(ex

)22(ex12

)x2x(f)xx(f8)xx(f8)x2x(fx

)x(f

=++=

++=

++++=

Zna~i, pri T na vozduhot 22C0 , gradientot na krivata na pritisokot na zasitenata parea iznesuva 1.1966 mm Hg/C0.

to~ka T(C0) eS(mm Hg) x-2x 20 17.53 x-x 21 18.65

x 22 19.82 x+x 23 21.05

x+2x 24 22.37 x+3x 25 23.75


NUMERI^KI METODI

Numeri~ko diferencirawe po metodot na sekanta Prethodno dadenite aproksimacii na prviot izvod dobieni so ekspanzija na Tajlorovi serii, poznati se i kako formuli za diferencirawe po metodot na sekanta:

Prvata formula e aproksimacija od I red na prviot izvod so kone~ni razliki napred, vtorata e dobiena so kone~ni razliki nazad, a tretata so centralni kone~ni razliki ili so kone~ni razliki so dvoen ~ekor. Interpretacija na ovie formuli e dadena na slednava slika:

Ravenkata 1) koristi to~ka koja se nao|a desno od dadenata to~ka kade {to se bara izvodot na funkcijata, i naklonot e definiran so linijata AC. Ravenkata 2) koristi to~ka koja se nao|a levo od dadenata to~ka kade {to se bara izvodot na funkcijata, i naklonot e definiran so linijata AB. Kako {to moè da se vidi od prethodnata slika, i za dvete aproksimacii ne moè da se kaè deka se zadovolitelno to~ni, odnosno postoi golema razlika pome|u naklonot na tangentata (linijata t), i liniite AC i AB. Podobra aproksimacija se dobiva primenuvaj}i ja ravenkata 3), pri koja naklonot e definiran so linijata BC (sekanta) i e najpriblièn so naklonot na tangentata t, {to moè da se zabeleì od slikata. Izrazite za kone~nite razliki moè da se opredelat: 1) geometriski, pri {to naklonot na tangentata se zamenuva so

naklonot na tetivata 2) so pomo{ na interpolacionite polinomi.

h2)hx(y)hx(y)x(y)3

h)hx(y)x(y)x(y)2

h)x(y)hx(y)x(y)1

'

'

'

+

+

h h

xhx hx +

C

B A

t


NUMERI^KI METODI

Pri ramnomerno raspredeleni jazli na interpolacijata mo`e da se primenuvaat slednive izrazi za numeri~ko diferencirawe.

Koga h0, to~kite se zgusnuvaat i aproksimaciite se stremat kon izvodite na funkcijata vo jazlite, i to~nosta se zgolemuva so namaluvawe na ~ekorot. Primer 5. Dadena e funkcijata y=sinx. Da se aproksimira vrednosta y i y za x=/8, koristej}i gi kone~nite razliki od prv i od vtor red, so ~ekor h=/16.

i i-2 i-1 i i+1 i+2 i+3 x 0 /16 2/16 3/16 4/16 5/16 y 0 0.195090 0.382683 0.555570 0.707106 0.831469

To~no re{enie: y=sinx; y=cosx ; y(/8)=cos(/8)=0.9238795

tangenta

tetiva

h h i-1 i i+1

x y

11i1i'

i h2yy

xyu =

+

hyy'y

hyy'y

h'y'y

u

1ii2/)1i(

i1i2/)1i(

2/)1i(2/)1i(''i

++

+

=

=

332i1i1i2i

i h2yy2y2y'''y ++= ++

0.91795450.1950903)5555702.0(

162

1h2

yyy 1i1i1'i =

= +

442i1ii1i2i

iIV

hyy4y6y4yy ++= ++

221ii1i

1iii1i

i hyy2y

hhyy

hyy

''y +=

= ++


NUMERI^KI METODI

To~no re{enie: y=sinx; y=cosx ; y=-sinx ; y(/8)=-sin(/8)=-0.3826834 Numeri~ko diferencirawe so pomo{ na Wutnoviot interpolacionen polinom Za opredeluvawe na izvodite na edna funkcija, koja e opredelena so vrednostite f(x0)=y0; f(x1)=y1 f(x2)=y2; ....... f(xn)=yn, vo to~kite xn , (n=1,2,...,n) mo`e da se koristi Wutnoviot interpolacionen polinom P(x). Ovde treba da se naglasi deka, pri opredeluvawe na vrednostite na f(x), treba da se koristat jazolni to~ki na dovolno mali rastojanija za f(x) pome|u niv da nema golem broj ekstremi. Vo sprotivno, mo`e da se slu~i razlikata pome|u P(x) i f(x) da bide mala, a razlikata pome|u nivnite izvodi da e mnogu golema.

odnosno:

kade {to u=(x-xo)/h. ; du/dx=1/h

P(x)

f(x)

x0 x1 x2 xn

)1nu)....(2u()1u(u!ny

......)2u()1u(u!3y

)1u(u!2y

u!1y

y)x(P

0n

03

02

00

+

+++

++=

)u6u11u6u(24y

)u2u3u(6y

)uu(2y

uyy)x(y 23404

2303

202

00 ++++++=

3814552.0-0.1950903)0.3826834*25555702.0()

16(

1h

yy2yy

2

21ii1i

2''i

=+=

=+ +


NUMERI^KI METODI

Imaj}i predvid deka:

Ako funkcijata f(x) e diferencijabilna vo razgleduvaniot interval i se menuva nezna~itelno, a polinomot P(x) dobro ja aproksimira funkcijata f(x), toga{ moè da se smeta deka i P(x) dobro ja aproksimira f (x). Pri nao|awe na vrednosta na izvodot na nekoja funkcija vo to~ka x*, za x0 treba da se odbere to~ka vo tablicata koja e najbliska i se nao|a pred x*. Vo slu~aj koga treba da se presmeta izvodot vo nekoj od jazlite na interpolacijata, toga{ formulite se uprostuvaat. Bidej}i sekoja tabli~na vrednost moè da se izbere za po~etna, moè da stavime deka x=x0, pa imame:

u=(x-x0)/h=(x0-x0)/h=0 a od toa:

Primer 6. tabli~no e zadadena nekoja funkcija so ~ekor h=0.1. Znaej}i deka taa e diferencijabilna vo dadeniot interval, da se presmetaat vrednostite na prviot izvod za x=3.5 i za x=3.57.

i x y(x)=log(x) y 2y 0 3.5 0.5441 0.0122 -0.0003 1 3.6 0.5563 0.0119 -0.0003 2 3.7 0.5682 0.0116 -0.0003 3 3.8 0.5798 0.0113

dudy

h1

dxdu

dudy

dxdy ==

......]y[h1)x(y

.....]2

)3u2(yy[h1)x('''y

.....]12

)11u18u6(y)1u(yy[h1)x(''y

.....]12

)3u11u9u2(y6

)2u6u3(y)21u(yy[

h1)x('y

04

4IV

04

03

3

2

04

03

02

2

23

04

2

03

02

0

+=

++=

++++=

++++++=

.....]y61y

21y[

h1)x('y

....]y65y

1211yy[

h1)x(''y

....]y51y

41y

31y

21y[

h1)x('y

03

02

01

05

04

03

02

20

05

04

03

02

00

++=

++=

+++=


NUMERI^KI METODI

4 3.9 0.5911 Za f (3.57) ja koristime formulata:

Koga se bara izvod na nekoja funkcija za vrednost na argumentot {to se nao|a nazad vo dadenata tabela, toga{ se primenuva interpolacionata formula na Wutn za interpolacija nazad. Primer 7. Tabelarno se dadeni vrednostite na funkcijata

y(x)= x za 7 argumenti so ~ekor h=0.05.

i x y(x)= x y 2y 3y 0 1.00 1.00000 0.02470 -0.00059 0.00005 1 1.05 1.02470 0.02411 -0.00054 0.00004 2 1.10 1.04881 0.02357 -0.00050 0.00002 3 1.15 1.07238 0.02307 -0.00048 0.00003 4 1.20 1.09544 0.02259 -0.00045 5 1.25 1.11803 0.02214 6 1.30 1.14017

Da se opredelat izvodite vo to~ka k=0, odnosno x0=1.0, so pomo{ na formulite za diferencirawe dobieni od Wutnoviot interpolacionen polinom napred:

4.0]00005.0[05.01)0.1('''y

256.0]00005.000059.0[05.01)0.1(''y

50024.0]000017.0000295.002470.0[05.01)0.1('y

3

2

==

==

=++=

1235.0)]0003.0(210122.0[

1.01)5.3('y

]y21y[

h1)5.3('f 0

20

==

=

1214.0)]0003.0(2

17.020122.0[1.0

1)57.3('y

7.01.0/)5.357.3(u

....]y6

2u6u3y2

1u2y[h1)x('f 0

32

02

0

====

++++=


NUMERI^KI METODI

To~nite rezultati se :

Od primerot se zaklu~uva deka gre{kite se zna~itelni. Metodite za numeri~ko diferencirawe se zasnovani vrz zamena na izvodite na nekoja funkcija so koli~nici na kone~ni razliki. Vsu{nost, se pravi matemati~ka aproksimacija, odnosno zamena na izvodite du/dx, koi pretstavuvaat odnos na beskrajno mali golemini so odnos na dve kone~ni golemini y/x (ova se vsu{nost podeleni razliki, bidej}i prirastot na ordinatite na funkcijata se podeleni so prirastot na abscisite).

375.0)0.1('''y25.0)0.1(''y

5.0)0.1('yx)x(y

==

==

52 Numeri~ka integracija

NUMERI^KI METODI

4. NUMERI^KA INTEGRACIJA Za razlika od numeri~koto diferencirawe, pri koe ne sekoga{ moè da se dobijat rezultati so prifatliva to~nost, numeri~kata integracija moè da se sprovede do sekakva barana to~nost. Toa e i pri~ina za golemata primena na ovaa postapka vo site oblasti na mehanikata, posebno koga algoritmot se izveduva kompjuterski. Ovde podetalno }e se zadrìme na numeri~kite formuli za integracija, dobieni so koristewe na interpolacionite polinomi, kako i na Gausovata integracija. Pri sproveduvaweto na postapkata treba da se ima predvid fizikalnata smisla na opredeleniot liniski i povr{inski integral, a toa e deka tie pretstavuvaat povr{ina, odnosno volumen pod krivata vo dadeni granici.

Re{avaweto na opredeleniot integral b

adx)x(f so formalnite

metodi ~esto e te{ko i nevozmo`no, duri i koga f(x) e funkcija so relativno ednostavna analiti~ka forma. Za vakvi slu~ai, kako i za nekoi poop{ti slu~ai na integracija pri koi se dostapni samo nekolku slu~ajni vrednosti na f(x) za vrednosti na argumentot xi, i=0,1,....n, potrebni se drugi metodi. O~igledna alternativa e da se najde funkcija g(x) koja e ednostavna i pogodna aproksimacija na f(x) i ednostavna za integrirawe. Vo toj slu~aj moè da se napi{e:

b

adx)x(f

b

adx)x(g

Za sre}a, prethodno dadenite interpolacioni polinomi davaat adekvatni aproksimacii i se lesno integrabilni. Vakvite karakteristiki se glavna pri~ina za golemata primena na interpolacionite polinomi vo numeri~kata matematika.

P4(x) f(x)

x

y

x0 x1 x2 x3 x4

x

Numeri~ka integracija 53

NUMERI^KI METODI

Gornata slika ja ilustrira aproksimacijata na funkcijata f(x) so polinom P4(x), koj to~no gi pretstavuva vrednostite na f(x) vo jazlite

x0,x1,x2,x3,x4. To~nata vrednost na 40

x

xdx)x(f e dadena so povr{inata pod

krivata, pretstavena so polna linija f(x), a bidej}i aproksimacijata

40

x

x4 dx)x(P e dadena so povr{inata pod isprekinatata linija P4(x),

zabeleùvame deka, ako razlikata pome|u ovie dve funkcii: x= f(x) - P4(x) se razlikuva po znak vo razli~nite segmenti od intervalot x0 do x4 vo koj se integrira ({to e voobi~aen slu~aj), toga{ vkupnata gre{ka pri integracijata moè da bide mala, odnosno:

= 40

4

0

4

0

x

x4

x

x

x

xdx)x(Pdx)x(fdx)x( ,

duri i vo slu~aj koga P4(x), vo site to~ki dovolno dobro ne ja aproksimira f(x). Pozitivnite gre{ki vo eden segment se poni{tuvaat so negativnite gre{ki vo drugite segmenti. Metodite za integracija {to voobi~aeno se koristat moè da se podelat na dve grupi: Wutn-Kotesovi formuli za integracija so ekvidistantni jazolni

to~ki Gausovi kvadraturni formuli za jazli na neednakvi rastojanija. Integracionite formuli so ednakvi intervali moè da se generiraat so integrirawe na eden od op{tite interpolacioni polinomi. Bidej}i f(x) e poznata samo so vrednostite vo jazolnite to~ki ednakvo raspredeleni so ~ekor h, logi~en izbor za polinomna prezentacija e onoj dobien so forma na kone~ni razliki (napred, nazad ili centralni) Formuli dobieni od Wutnoviot interpolacionen polinom So integrirawe na Wutnoviot interpolacionen polinom za interpolacija napred vo granicite od x0 do xn, se dobivaat pove}e formuli za numeri~ka integracija.

Ovde }e bidat izvedeni samo tri, a za drugite }e bidat dadeni potrebnite koeficienti.

)1nu)....(2u()1u(u!ny

......)2u()1u(u!3y

)1u(u!2y

u!1y

y)x(P

0n

03

02

00

+

+++

++=


NUMERI^KI METODI

a) 10

x

x1 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na linearna

funkcija od x0 do x1. P1(x)=y0+y0.u x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x1 u=1 Poslednata formula e osnovna formula na trapeznoto pravilo za numeri~ka integracija.

b) 20

x

x2 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na kvadratna

funkcija od x0 do x2. P1(x)=y0+y0.u+2y0.u(u-1)/2 x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x2 u=2 Ovaa formula e poznata kako osnovna formula na Simpsonovoto pravilo za numeri~ka integracija.

)yy(2h

2yyy2h)

2yyy(hdx)x(P

yyy

)2yy(h)

2uyuy(h

du)uyy(hdu)u(Phdx)x(P

0101001

0

x

x

010

00

2

00

1

000

1

0

x

x

1

0

1

0

+=+=+==

+=+=

=+==

1 0

2 0

)yy4y(3h

)3

yy4y(h

3y

3y2

3y

y2y2y2[hdx)x(P

yy2yy;yyy

)3y

y2y2(h)]2

u3

u(2y

2uyuy[h

du)]1u(u2y

uyy[hdu)u(Phdx)x(P

210

210210010

x

x

21002

010

02

00

230

22

00

2

0

02

00

2

0

x

x

2

0

2

0

++=

=++=+++=+==

++=++=

=++==


NUMERI^KI METODI

v) 30

x

x3 dx)x(P Ovoj izraz pretstavuva integracija na kubna funkcija

od x0 do x3. P3(x)=y0+y0.u+2y0.u(u-1)/2+3y0.u(u-1)(u-2)/6 x=x0+h.u; dx=h .du; za x=xo u=0 za x=x3 u=3 Integracijata spored ovie tri formuli e ilustrirana na slednava slika: a) b) v) Rezultatite od integracijata za polinomi od povisok red se vo

forma: Koeficientite vo integracionata formula za n=1 do n=8 se dadeni vo slednava tabela.

3 0

)yy3y3y(8h3dx)x(P

)8y3

4y9

y29y3(h

)]2

u3

u34

u(6y

)2

u3

u(2y

2uyuy[h

du)]2u)(1u(u23

y)1u(u

2y

uyy[h

du)u(Phdx)x(P

3210

x

x

03

02

00

2340

3230

22

00

3

0

03

02

00

3

0

x

x

3

0

3

0

+++=

+++=

++++=

=+++=

==

itn

x0 x1 h

x0 x1 x2 h h

x0 x1 x2 x3 h h h

)yc..........ycyc(Chdx)x(P nn110x

x0

n

0

++ =


NUMERI^KI METODI

Trapezno pravilo Ako osnovnata ravenka dobiena so integrirawe na linearna funkcija ja primenime na site intervali na funkcijata, }e ja dobieme formulata za numeri~ka integracija so pomo{ na trapeznoto pravilo. So pove}ekratno koristewe na osnovnate formula na trapeznoto pravilo ja dobivame formulata za numeri~ka integracija na funkcijata P(x) vo grancite x[x0,xn], so pomo{ na trapeznoto pravilo.

Simpsonovo pravilo Ova e naj~esto upotrebuvana formula za numeri~ka integracija. Taa se dobiva primenuvaj}i ja formulata dobiena pod b) so integrirawe na kvadratna funkcija vo intrevalite [x0- x2], [x2- x4] itn.

n C c0 c1 c2 c3 c4 c5 c6 c7 c8 1 1/2 1 1 2 1/3 1 4 1 3 3/8 1 3 3 1 4 2/45 7 32 12 32 7 6 1/140 41 216 27 272 27 216 41 8 4/14175 989 5888 -928 10496 -4540 10496 -928 5888 989

x0 x1 x2 x3 h h h

y0 y1 y2 y3 yn-1 yn

xn-1 xn x

y

h

)yy2.........y2y2y(2hdx)x(P

)yy(2h.........)yy(

2h)yy(

2h)yy(

2hdx)x(P

n1n210

x

x

n1n322101

x

x

n

0

n

0

+++++=

++++++++=


NUMERI^KI METODI

Treba da se naglasi deka intervalite se ednakvi i nivniot broj e paren, a brojot na to~kite e neparen.

Primer 1. Da se presmeta integralot 1

4.0

x

dxxe

so pomo{ na trapeznoto

pravilo, so ~ekor h=0.1.

k xk exk yk=exk/xk 0 0.4 1.4918 3.7295 1 0.5 1.6487 3.2954 2 0.6 1.8221 3.0368 3 0.7 2.0138 2.8734 4 0.8 2.2255 2.7819 5 0.9 2.4596 2.7288 6 1.0 2.7183 2.7183

7163.14y5

1k =

x

y

x0 x1 x2 x3 x4 xn-2 xn-1 xn

y0 y1 y2 y3 y4 yn-2 yn-1 yn

)yy4y2.........y4y2y4y(3hdx)x(P

)yy4y(3h.....)yy4y(

3h)yy4y(

3hdx)x(P

nn2n3210

x

x

n1n2n432210

x

x

n

0

n

0

+++++++=

+++++++++=


NUMERI^KI METODI

79402.1)7183.27163.1427295.3(1.021)yy2y(1.0

21

]y)yyyyy(2y[h21dx

xe

6

5

1k0

6543210

1

4.0

x

=++=++=

=++++++=

Primer 2. Integralot od primer 1 da se presmeta so Simpsonovata formula.

78919.1]7183.28178.528976.847295.3[31.0

]y)yy(2)yyy(4y[31.0

]yy4y2y4y2y4y[3hdx

xe

6425310

6543210

1

4.0

x

=+++=

=++++++=

=++++++=

Primer 3. Da se presmeta 2/

0dx)xsin( , koristej}i gi vrednostite na

funkcijata dadeni vo tabelata. Pritoa da se koristi: a) op{tata integraciona formula dobiena od Wutnoviot

interpolacionen polinom b) trapeznoto pravilo v) Simpsonovoto pravilo

x 0 /12 2/12 3/12 4/12 5/12 6/12 Sin(x) 0 0.25882 0.5 0.70711 0.86603 0.96593 1.00 Dobienite rezultati da se sporedat so to~noto re{enie koe iznesuva 1.00. a) So primena na ravenkata dobiena od Wutnoviot interpolacionen

polinom za n=6:

1.0000041.0)410.965932160.8660327

0.707112720.5270.25882

=+++++++= 2160.041(121401dx)xsin(

2/

0


NUMERI^KI METODI

b) Primena na trapeznoto pravilo:

994285.059578.71309.0

]0.1)96593.086603.070711.05.025882.0(20[122

1dx)xsin(2/

0

==

=++++++=

v) So primena na Simpsonovata formula

00003.14595.11087266.0

]0.1)86603.05.0(2)96593.070711.025882.0(40[123

1dx)xsin(2/

0

==

=++++++=

Od rezultatite se gleda deka najto~na e integracijata sprovedena so ravenkata pod a). Gausova formula za numeri~ka integracija (Gausova kvadratura) Metodite za numeri~ka integracija {to bea prethodno dadeni (trapezno i Simpsonovo pravilo) se bazirani na vrednostite na funkcijata vo to~ki koi se na ednakvo rastojanie. Konsekventno na toa, lokacijata na krajnite to~ki koi se koristat vo ovie ravenki e fiksna. Na primer, trapeznoto pravilo e bazirano na opredeluvawe na povr{inata pod pravata linija koja gi povrzuva vrednostite na funkcijata vo krajnite to~ki na intervalot na integracijata. Trapeznoto pravilo mo`e da se izrazi:

+= ba 2

)a(f)b(f)ab(dx)x(fI

a b x

f(x)

f(b) f(a)

Povr{ina=2

)a(f)b(f)ab( +

60 Numeri~k

Documents

Kniga Numerichki Metodi