Kolmé hranoly - povrch a objem

Kolmé hranoly- povrch a objemMatematika – 7. ročník

Základní škola Jakuba Jana Ryby Rožmitál pod TřemšínemEfektivní výuka pro rozvoj potenciálu žáka

projekt v rámci Operačního programuVZDĚLÁVÁNÍ PRO KONKURENCESCHOPNOST

Obsah: Tělesa kolem nás Kvádr a krychle –

opakování (5) základní pojmy objem povrch síť

Kolmé hranoly (11) základní pojmy sítě

Povrch hranolu (20) odvození vzorce zápis trojboký s podstavou lichoběžník příklady na procvičení

Objem hranolu (27) odvození vzorce zápis trojboký s podstavou lichoběžník příklady na procvičení

Hmotnost tělesa (37) příklady na procvičení

Přehled vzorců

Vyhledej tělesa na obrázku

Tělesa kolem nás

Kvádr ABCDA´BĆ´D´ - základní pojmy (opakování)

8 vrcholů: A,B,C,D, A´,B´,C´,D´

6 stěn: 2 podstavy

dolní ABCD horní A´BĆ´D´

A

D C

a B

D´ C´

A´

b

c=v

a délka podstavné hranyb šířka podstavné hranyc = v výška kvádru

= délka bočních hran (vzdálenost podstav)

4 boční stěny ABBÁ´ DCC´D´ BCCÁ´ ADDÁ´ 12 hran

podstavné: AB, BC, CD, AD, A´B´, BĆ´,C´D´, A´D´

boční: AA´, BB´, CC´,DD´ 12 stěnových úhlopříček 4 tělesové úhlopříčky: AC´, BD´,

CA´, DB´

B´

Objem kvádru a krychle - opakování

Krychle

V = a.b.cV = a.b.c V = a.a.aV = a.a.a

Kvádr

1 cm1 cm33

V = 4.2.6V = 4.2.6V = 48 cmV = 48 cm33 V = 3.3.3V = 3.3.3

V = 27 cmV = 27 cm33 a = 4 cm

b = 2 cm

c = 6 cm

a = 3 cma = 3 cm

a = 3 cm

Krychle - opakování 8 vrcholů 6 stěn 12 hran

A

C

a B

D´ C´

A´ B´

a délka hrany krychle

a

a

objemV = a.a.aV = 2.2.2V = 8 cmV = 8 cm33

povrchS = 6.a.aS = 6.2.2S = 24 cmS = 24 cm22

stěnové úhlopříčky tělesové úhlopříčky

Vypočti objem a povrch, je-li a= 2 cm.

a a a

a

a

a

aD

objemV = a.b.cV = a.b.c

a=7,5 cmb=4 cm

c=v = 12 cm

a=7,5a=7,5

b=4 cm

b=4 cm b=4 cm

c=v = 12 cm12 cm

V = 7,5.4.12V = 360 cm3

povrchS = 2.(a.b + b.c + a.c)S = 2.(a.b + b.c + a.c)S = 2.(7,5.4+4.12+7,5.12)S = 2.(30+48+90)S = 336 cm2

síť

S=a.b

S=a.b

S=b.c S=b.cS=a.cS=a.c

Kvádr má rozměry 7,5 cm, 4 cm a 12 cm. Narýsuj síť, vypočti objem a povrch.

1. Pojmenuj toto těleso.2. Co tvoří povrch a jak ho vypočítáš?

Uveď vzorec.3. Jak vypočítáš objem? Uveď vzorec.

1.1. Krychle.Krychle.

2.2. 6 stěn tvaru 6 stěn tvaru čtverce.čtverce.

V = a.a.aV = a.a.a

S = 6.a.aS = 6.a.a



1.1. KvádrKvádr2.2. 6 stěn – 3 dvojice 6 stěn – 3 dvojice

různých obdélníků.různých obdélníků.

V = a.b.cV = a.b.c

S = 2.(a.b + b.c + a.c)S = 2.(a.b + b.c + a.c)

3.3. Vynásobíme všechny 3 rozměry.Vynásobíme všechny 3 rozměry.

Kolmé hranoly

podstavy hranolu jsou 2 shodné mnohoúhelníky

boční stěny jsou obdélníky nebo čtverce

výška = délka kterékoliv boční hrany

= těleso, které má 2 shodné podstavy a ostatní stěny (boční) jsou kolmé na obě podstavy.

Pravidelný hranol podstavy - pravidelné shodné mnohoúhelníky boční stěny - shodné obdélníky

Kolmý hranol

Trojboký kolmý hranol s podstavou

v

c

ab

abc

vA

C

B

A´

C´

B´ horní podstava

podstavy hranolu jsou 2 shodné pravoúhlé trojúhelníky ABC a A´BĆ´

vlastnosti kolmého hranolu:

výška = délka kterékoliv boční hrany

boční stěny tvoří 3 obdélníky = plášť

= těleso, které má 2 shodné podstavy a ostatní stěny (boční) jsou kolmé na obě podstavy.

kolmý hranol

dolní podstava

vv

Které z těles nepatří mezi kolmé hranoly?

12

34 5

67

8

9

10

11 1213 15

159 11

Pojmenuj těleso s touto sítí

čtyřboký hranol s podstavou kosodélníkčtyřboký hranol s podstavou kosodélník


pravidelný šestiboký hranolpravidelný šestiboký hranol


pravidelný trojboký hranol pravidelný trojboký hranol (podstava rovnostranný trojúhelník)(podstava rovnostranný trojúhelník)


čtyřboký hranol s podstavou pravoúhlý lichoběžníkčtyřboký hranol s podstavou pravoúhlý lichoběžník

Vypočti povrch kvádru jiným způsobem.

a=7,5 cmb=4 cm

c=v = 12 cm

a=7,5a=7,5

b=4 cm

b=4 cm b=4 cm

c=v = 12 cm

S = 2.(7,5.4) + 23.12S = 2.30+ 276S = 336 cm2

op=23 cm

plášť

podstava

podstava

povrch = obsah 2 podstav + obsah pláštěpovrch = obsah 2 podstav + obsah pláště

S = 2.(7,5.4+4.12+7,5.12)S = 2.(30+48+90)S = 336 cm2

Porovnej:

Využij sítě a vypočti obsah bočních stěn (4 obdélníků) najednou jako obsah velkého obdélníku, který tvoří plášť.

SSpp

vv

SSpp

Povrch pravidelného čtyřbokého hranolu, odvození vzorce na výpočet povrchu hranolů

Povrch = součet obsahů všech stěn (obsah sítě)a

a

S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl

SSplpl= o= opp.v.v S = 2.a.a + 4.a.vS = 2.a.a + 4.a.vSSplpl...... obsah pláště...... obsah pláště

SSpl pl = o= opp.v = 4.a.v.v = 4.a.v

SSpp

SSpp

a a aa

a

v

SSpp...... obsah podstavy...... obsah podstavy

v

Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláštěPovrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště

aSSp p =a.a=a.a

Povrch hranoluPovrch hranolu S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl

SSpp

SSplpl

SSplpl = o = opp.v.v

= obsah 2 podstav + obsah pláště= obsah 2 podstav + obsah pláště

SSpp...... obsah podstavy...... obsah podstavySSplpl...... obsah pláště (obvod ...... obsah pláště (obvod

podstavy vynásobíme podstavy vynásobíme výškou hranolu)výškou hranolu)

SSpp

SSpp

Spl

SSpp

SSpp

Spl

SSpp

SSpp

Spl

SSpp

SSpp

Spl

SSpp

SSpp Spl

Povrch trojbokého hranolu s podstavouPovrch hranolu = součet obsahů všech jeho stěn (obsah sítě).

S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl SSplpl = o = opp.v.v

Spl= (a+b+c).vS = a.b + (a+b+c).v

a

ab

b c

v

Sp= 2.ba

C´podstava

podstava

plášťv

c

ab

A

C

B

A´ B´

SSpp

SSpp

SSplpl= o= op.p.vv

Povrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláštěPovrch hranolu = obsah 2 podstav + obsah pláště

Vypočti povrch trojbokého hranolu s podstavou pravoúhlý trojúhelník o rozměrech a=3 cm, b=4 cm a c=5 cm. Výška tělesa je 6 cm.

v=6 cm

S = 2.SS = 2.Spp + S + SplplSSpl pl = o= opp.v.v

SSpp = a.b:2 = a.b:2

c=5 cm

a=3 cmb=4 cm a=3

a=3b=4

b=4 c=5

v=6

podstava

podstava

plášťSSplpl

Povrch trojbokého hranolu je 84 cm2.

Spl= (3+4+5).6Spl =12.6Spl = 72 cm2

Sp= 3.4:2Sp= 6 cm2

S = 2.6 + 72S = 84 cmS = 84 cm22

SSplpl = (a+b+c).v = (a+b+c).v

SSpp

SSpp

Př.:

Vypočti povrch čtyřbokého hranolu s podstavou lichoběžník (základna a=2,5 cm a c=1 cm, ramena b=d=1,5 cm a výška va=1,4 cm). Výška tělesa je 2,6 cm.


a=2,5 cm

S = 2.2,45 + 16,9 S = 4,9 + 16,9S = 21,8 cmS = 21,8 cm22 Povrch hranolu je 21,8 cm2.

c=1 cmb=1,5 cm

d=1,5 cmva=1,4 cm

podstava

v=2,6

a=2,5b=1,5 d=1,5c=1

SSplpl= (a+b+c+d).v= (a+b+c+d).vplášť

Sp = (a+c).vSp = (a+c).va a : 2: 2 SSpl pl = o= opp.v.vSpl= (2,5+1,5+1+1,5).2,6Spl =6,5.2,6Spl = 16,9 cm2

Sp= (2,5+1).1,4:2Sp= 4,9:2Sp= 2,45 cm2

Př.:

v=2,6 cmpodstava

Př.: Ptačí budka má tvar kolmého čtyřbokého hranolu s podstavou pravoúhlého lichoběžníku. Vypočítej povrch. Rozměry jsou uvedené na obrázku.


a=46 cm

S = 2.960 + 3144 S = 1920 + 3144S = 5064 cmS = 5064 cm22

Povrch budky je 50,64 dmPovrch budky je 50,64 dm22..

SSpp = (a+c).v = (a+c).va a : 2: 2

SSpl pl = o= opp.v.v

Spl= (46+27+34+24).24Spl =131.24Spl = 3 144 cm2

Sp= (46+34).24:2Sp= 80.24:2Sp= 1920:2 Sp= 960 cm2

b=27 cm

c=34 cmd=v=24 cm

d=24 cm

Slovní úlohy na procvičení1. Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a

jehož podstavou je kosočtverec s délkou strany 16 cm a výškou 8 cm.

2. Hranol má výšku 9 cm, jeho podstavou je rovnoramenný trojúhelník se základnou c = 16 cm, vc = 6 cm a délkou ramen a =b = 10 cm. Vypočti povrch hranolu.

3. Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je rovnoramenný lichoběžník s délkami základen 25 cm a 13 cm, délkou ramene 10 cm a výškou 8 cm.

S = 1600 cmS = 1600 cm22

Sp= 16.6:2Sp= 48 cm2

Spl= (16+10+10).9Spl =324 cm2

S = 2.48 + 324S = 420 cmS = 420 cm22

Sp= (25+13).8:2 Sp= 152 cm2

Spl= (25+13+10+10).21Spl =1218 cm2

S = 2.152 + 1218S = 1522 cmS = 1522 cm22

řešení

Vypočítej povrch hranolu, který má výšku 21 cm a jehož podstavou je kosočtverec s délkou strany 16 cm a výškou 8 cm.

va=8 cma=16 cm

v=21 cm



SSpp = a.v = a.vaa

Povrch hranolu je 1 600 cmPovrch hranolu je 1 600 cm22..

Spl= 4.16.21Spl =1 344 cm2

Sp= 16.8Sp= 128 cm2

S = 2.128 + 1344S = 256 cm2 S = 1600 cmS = 1600 cm22

SSplpl = 4.a.v = 4.a.v

zpět

1.

Objem hranolu

SSpp

SSpp

vv

V = SV = Spp . v . v SSpp = 4.3 + 4.2 = 4.3 + 4.2SSpp = 12 + 8 = 12 + 8 SSpp = 20 cm= 20 cm22 V = 20 cmV = 20 cm22 . 6 cm . 6 cm

V = 120 cmV = 120 cm33

a1 = 4 cmb2 = 2 cm

a2 = 4 cm

v1 = v2 = = 6 cm

b1 = 3 cm

V = VV = V11 + V + V22

V = 4.3.6 +4.2.6 V = 4.3.6 +4.2.6 V = 72 + 48V = 72 + 48V = 120 cmV = 120 cm33

1 cm1 cm33

Objem hranolu V = SV = Spp . v . v

SSpp

SSpp SSpp

SSpp

v v v v v v v v

v v

v v v .... výška v .... výška (délka boční hrany)(délka boční hrany)

- obsah podstavy vynásobíme výškou hranolu- obsah podstavy vynásobíme výškou hranolu

SSpp .... obsah .... obsah podstavypodstavy

SSppSSpp

Objem trojbokého hranolu

V = .vV = .v2.ba

a

v

b

s podstavou pravoúhlý trojúhelník

V = SV = Spp . v . v

V = .vV = .v2. ava

avva

s podstavou rovnoramenný trojúhelník

Vypočti objem trojbokého hranolu s tělesovou výškou v = 10 cm a s podstavou tvaru trojúhelníku se stranou a = 7 cm a příslušnou výškou va = 4,6 cm.

72/1

v=10 cm

va=4,6 cma=7 cm

V = 7.2,3 . 10V = 161 cm3


V = .vV = .v2. ava

V = . 1026,4.7

Objem trojbokého hranolu je 161 cmObjem trojbokého hranolu je 161 cm33..

Kůň potřebuje za rok 42 q sena. K jeho uskladnění je potřeba asi 80 m3 prostoru. Vešlo by se seno na půdu pod sedlovou střechou, která je široká 5 m a od podlahy k hřebenu měří 4 m. Domek je dlouhý 15 m.

v=15 mva=4 m

a=5 m

V = 10.15V = 150 m3


V = .vV = .v2. ava

V = .1524.5

Na půdu se vejde seno pro koně, protože objem půdy Na půdu se vejde seno pro koně, protože objem půdy je 150 mje 150 m33..

Objem čtyřbokého hranolu s podstavou lichoběžník

V = SV = Spp . v . va

v

va

c

vc

a

va

V = . vV = . v

2

. avca

a

c

va

v

Kolik litrů vody se vejde do nádrže na dešťovou vodu znázorněnou na obrázku?

80 cm

60 cm

1,5 m

50 cm

PS 56/5

V = . 15

2

5.68

V = 35 .15

V = 525 dm3

V = 525 lV = 525 l

Do nádrže se vejde 525 litrů vody.Do nádrže se vejde 525 litrů vody.

V = . v

2

. avca


Slovní úlohy na procvičení

1. Vypočítej objem hranolu, který má výšku 2 dm a jehož podstavou je lichoběžník s délkami základen 2,3 m a 1,7 m a výškou 0,8 m.

2. Hranol má výšku 4 dm, jeho podstavou je rovnoběžník s délkou strany 30 cm a výškou k této straně 20 cm. Vypočti objem hranolu.

3. Přes zaplavovanou oblast povede cesta po náspu. Násep bude dlouhý 1,5 km a bude mít v příčném řezu tvar rovno-ramenného lichoběžníku s délkami základen 12 m a 8 m a výškou 2 m. Vypočítej objem materiálu potřebného ke stavbě náspu.

V = (2,3+1,7).0,8:2.0,2V = 1,6.0,2V =V = 0,32 m0,32 m33 = 320 dm = 320 dm33

V = 3.2.4V =V = 24 dm24 dm33

V = (12+8).2:2.1500V = 20.1500V =V = 30 000 m30 000 m33

řešení -1.příklad



Vypočítej povrch (v dm2) a objem (v litrech) pravidelného čtyřbokého hranolu s tělesovou výškou v = 12 cm a s podstavou tvaru kosočtverce s délkou strany a = 10 cm a výškou k ní příslušnou va = 9,4 cm.

va=9,4 cma=10 cm

v=12 cm

73/3

V = 1128 cm3 = 1,128 dm1,128 dm33

V = a.va.vV = 10.9,4.12



SSpp = a.v = a.vaa

Povrch hranolu je 6,68 dmPovrch hranolu je 6,68 dm22 a objem 1,128 a objem 1,128 litrů.litrů.

Spl= 4.10.12Spl =480 cm2

Sp= 10.9,4Sp= 94 cm2

S = 2.94 + 480S = 668 cm2 S = 6,68 dmS = 6,68 dm22

SSplpl = 4.a.v = 4.a.v



3.3. Obsah podstavy vynásobíme výškou tělesa.Obsah podstavy vynásobíme výškou tělesa.


V = SV = Spp . v . v V = .vV = .v2. ava

1.1. Trojboký kolmý hranol.Trojboký kolmý hranol.

2.2. Obsah 2 podstav a pláště.Obsah 2 podstav a pláště.

Hmotnost tělesa objem tělesa vynásobíme hustotou látky

tělesa

m = V . m = V . ρρ

m .... hmotnost tělesa

V ..... objem tělesa

ρ ..... hustota látky tělesa

Slovní úlohy na procvičení1. Skleněná tabule výlohy o rozměrech 120 cm, 140 cm a

tloušťce skla 5 mm se rozbila. Jakou hmotnost mají střepy, když hustota skla ρ = 2 600 kg/m3?

2. Skleněný optický hranol je pravidelný trojboký hranol. Délka podstavné hrany je 3 cm a k ní příslušná výška 2,6 cm. Výška hranolu je 4 cm. Sklo, ze kterého je vyroben, má hustotu 3,6 g/cm3. Vypočti jeho hmotnost.

3. Betonový obrubník má dole šířku 20 cm, nahoře 15 cm a je vysoký 20 cm. Kolik si jich můžeme naložit na přívěsný vozík za auto, když vozík má nosnost 400 kg? (Hustota betonu je 2 100 kg/m3.)

PS 56/4

PS 57/7

řešení

řešení

řešení

Příklad 1

a=1,2 m

b=1,4 m

t=v=0,005 m

V = a.b.cV = a.b.c

V = 1,2.1,4.0,005

V = 0,0084 m3

Střepy mají hmotnost 21,84 kg.Střepy mají hmotnost 21,84 kg.

m = V . m = V . ρρ

m = 0,0084.2600m = 21,84 kgm = 21,84 kg

rozměry vyjádříme v m

Skleněná tabule výlohy o rozměrech 120 cm, 140 cm a tloušťce skla 5 mm se rozbila. Jakou hmotnost mají střepy, když hustota skla ρ = 2 600 kg/m3?

zpět

Skleněný optický hranol je pravidelný trojboký hranol. Délka podstavné hrany je 3 cm a k ní příslušná výška 2,6 cm. Výška hranolu je 4 cm. Sklo, ze kterého je vy-roben, má hustotu 3,6 g/cm3. Vypočti jeho hmotnost.

2,6 cm3 cm

3 cm4 cm

V = 3.1,3. 4

V = 15,6 cm3

Skleněný hranol má hmotnost 56,16 g.Skleněný hranol má hmotnost 56,16 g.

V = . v 2

. ava

V = .4

26,2.3

m = V . m = V . ρρ

m = 15,6 . 3,6

m = 56,16 gm = 56,16 g


PS 56/4

3 cm

Příklad 2

zpět

Příklad 3

20 cm20 cm

15 cm80 cm

V = 0,35 .0,1.0,8

V = 0,028 m3 x = 6 obrubníkůx = 6 obrubníků

Na přívěsný vozík můžeme naložit 6 obrubníků.Na přívěsný vozík můžeme naložit 6 obrubníků.

V = . v

2

. avca

V = .0,8

2

2,0.15,02,0

m = V . m = V . ρρm = 0,028 . 2100m = 58,8 kg

x = 400:58,8x = 6,8

PS 57/7

V = SV = Spp . v . v zpět

Betonový obrubník má dole šířku 20 cm, nahoře 15 cm a je vysoký 20 cm. Jeho délka je 80 cm. Kolik jich můžeme naložit na přívěsný vozík za auto, když vozík má nosnost 400 kg? (Hustota betonu je 2 100 kg/m33.)

Pravidelný čtyřboký hranol


SSpp

v v V = a.a.vV = a.a.v


SSpp= a.a= a.a

S = 2.a.a + 4.a.vS = 2.a.a + 4.a.v

v v

SSpp

SSplpl= o= opp.v.v

SSplpl= 4.a.v= 4.a.v

V = a.vV = a.vaa.v.v

S = 2.a.vS = 2.a.vaa + 4.a.v + 4.a.v

SSpp= a.v= a.vaa SSplpl= 4.a.v= 4.a.v

s podstavou čtverec

s podstavou kosočtverec

objem povrch

HranolyV = SV = Spp . v . v S = 2.SS = 2.Spp + S + Splpl

SSplpl= o= opp.v.v

SSplpl= (a+b+c).v= (a+b+c).v

S = (a+c).vS = (a+c).vaa + (a+b+c+d).v + (a+b+c+d).v

SSpp= = (a+c).v(a+c).va a : 2: 2

SSplpl= (a+b+c+d).v= (a+b+c+d).v

s podstavou trojúhelník

s podstavou lichoběžník

SSpp

v v

V = .vV = .v2. ava

V = .vV = .v

2

. avca

SSpp = = 2. ava

S = a.va + (a+b+c).vSSpp v v

objem povrch

Kolmé hranoly- povrch a objem: matematika 7. ročník ZŠ

Použitý software: držitel licence - ZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. Windows XP Professional MS Office učebnice matematiky pro 7. ročník Zoner - České kliparty 1, 2, 3

Autor: Mgr. Bohumila ZajíčkováZŠ J. J. Ryby v Rožmitále p.Tř. (www.zsrozmital.cz)

http://www.zsrozmital.cz/




Documents

Kolmé hranoly - povrch a objem