Kombinatorika i vjerojatnostMaterijali za nastavu iz Statistike

Kristina Krulic Himmelreich i Ksenija Smoljak

2012/13

1 / 1

Kombinatorika

Kombinatorika je grana matematike koja se bavi prebrojavanjemkonacnih skupova.

Primjer

Koliko ima prirodnih brojeva manjih od 20 koji su ili parni ili prosti?

Primjer

Ekipni susreti u stolnom tenisu igraju se tako da svaki igrac iz jedne ekipeigra protiv svakog igraca druge ekipe. Ako se svaka ekipa sastoji od triigraca, koliki je ukupni broj igara?

2 / 1

Kartezijev umnozak skupova

Neka su A,B neprazni skupovi. Kartezijev umnozak skupova A i B je skupA× B ciji su elementi uredeni parovi (a, b), pri cemu je a ∈ A, b ∈ B.Pisemo A× B = (a, b) : a ∈ A, b ∈ B.

Broj elemenata Kartezijeva umnoska: Ako skup A ima p elemenata, askup B t elemenata, onda Kartezijev umnozak A× B ima p · t elemenata.Pisemo k(A× B) = k(A) · k(B).

Neka su S1, S2, . . . ,Sk neprazni skupovi. Kartezijev umnozak tih skupovaje skup S1 × S2 × · · · × Sk ciji su elementi uredene k-torke (s1, s2, . . . , sk)takve da je si ∈ Si , i = 1, . . . , k.

3 / 1

Princip uzastopnog prebrojavanja

Primjer

Koliko postoji razlicitih cetveroznamenkastih brojeva?

Princip uzastopnog prebrojavanja Ako element s1 iz skupa S1 mozemoizabrati na n1 nacina, nakon toga (bez obzira koji smo element vecizabrali) element s2 iz skupa S2 na n2 nacina, zatim element s3 iz skupa S3na n3 nacina itd., onda je ukupan broj nacina izbora niza s1, s2, . . . , skjednak N = n1 · n2 · · · · · nk .

4 / 1

Varijacije s ponavljanjem

Neka je S = a1, a2, . . . , an zadani skup. Biramo k elemenata skupa Spazeci na njihov poredak s time da se elementi mogu ponavljati. Rijec je obroju elemenata u Kartezijevom umnosku k istovjetnih skupova. Njihovbroj je nk .

Primjer

Jedan test ima 20 pitanja na koje se odgovara sa DA ili NE. Koliko jemogucnosti popunjavanja testa?

Primjer

Sportska prognoza ima 13 redaka. U svakom retku treba prekriziti jedanod tri znaka: 0,1 ili 2. Na koliko se nacina to moze uciniti?

5 / 1

Varijacije bez ponavljanja

Uredena k-torka razlicitih elemenata istog skupa S = a1, a2, . . . , annaziva se varijacija k-tog razreda u skupu od n elemenata (k ≤ n).Broj varijacija N = n · (n − 1) · · · · · (n − k + 1).(prvi element biramo na n nacina, nakon toga drugi mozemo odabrati nan − 1 nacin jer mora biti razlicit od prvog...)

Primjer

Na koliko se razlicitih nacina moze podijeliti 4 razlicita poklona izmedu 4osobe?

6 / 1

Zadaci

1. Koliko razlicitih telefonskih brojeva postoji ako su brojevisesteroznamenkasti, a prva znamenka nije jednaka nuli?

2. Koliko ima troznamenkastih brojeva cije su sve znamenke razlicite?

3. Koliko ima peteroznamenkastih brojeva cije su proizvoljne dvijesusjedne znamenke razlicite?

4. Koliko se razlicitih registracijskih plocica moze sastaviti ako svakasadrzi 3 slova pa onda 2 znamenke? (uzimamo u obzir 22 slovaabecede)

7 / 1

Zadaci

5. Satnicar treba staviti u satnicu jedan sat matematike svaki radni danu tjednu. Ako razred ima ponedjeljkom i cetvrtkom 7 sati, utorkom isrijedom 6, a petkom 5 na koliko se nacina to moze uciniti?Izracunajte na koliko se nacina moze staviti jedan sat matematike uraspored svaki radni dan u tjednu ako matematika ne moze biti 1. satponedjeljkom i zadnja 2 sata petkom?

6. Skolska knjiznica sadrzi 28 knjiga iz matematike, 16 iz fizike, 10 izkemije i 15 iz biologije. Na koliko nacina ucenik moze uzeti po jednuknjigu iz ta cetiri predmeta?

7. Test na razredbenom postupku ima 40 zadataka. Pristupnik u svakomzadatku moze zaokruziti jedan od 5 ponudenih odgovora ili ostavitizadatak neodgovorenim. Na koliko se razlicitih nacina mozeodgovoriti na zadani test?

8 / 1

Zadaci

8. Koliko se peteroznamenkastih brojeva moze zapisati znamenkama 0,1, 2, 3, 4, 5, 6 ako se nula ne smije naci na prvom, niti naposljednjem mjestu, a sve znamenke moraju biti razlicite?

9. Koliko dijagonala ima n-terokut?

10. Na koliko se nacina moze podijeliti zlatna, srebrna i broncana medaljaizmedu 8 natjecatelja?

11. Koliko sesteroznamenkastih brojeva postoji kojima je:

a) prva znamenka paran brojb) druga i posljednja znamenka neparan broj?

12. Koliko razlicitih peteroznamenkastih brojeva postoji koji:

a) ne sadrze znamenku 1b) sadrze tocno jednu znamenku 1c) sadrze barem jednu znamenku 1?

9 / 1

Permutacije

Permutacija skupa S = a1, a2, . . . , an od n razlicitih elemenata jeuredena n-torka njegovih clanova.Broj razlicitih permutacija s n elemenata oznacavamo sa Pn.

Pn = n · (n − 1) · (n − 2) · · · · · 2 · 1 = n!

(prvi element mozemo izabrati na n nacina, drugi element mozemo nakontoga izabrati na n − 1 nacina,. . . ,posljednji element mozemo izabrati samona jedan nacin jer je jedini preostao)

10 / 1

Primjeri

Primjer

Neka je S = 1, 2, 3. Koliko ima permutacija tog skupa i koje su topermutacije?

Primjer

Koliko se razlicitih (smislenih i besmislenih) rijeci moze sastaviti od svihslova rijeci POVIJEST ako

a) slova mozemo postavljati po volji

b) suglasnici dolaze na prvo, trece, peto, sedmo i osmo mjesto (kao i upocetnoj rijeci)?

11 / 1

Primjeri

Primjer

Na koliko se nacina deset razlicitih predmeta moze podijeliti izmedu 10osoba?

Primjer

Na jednu predstavu dolazi pet bracnih parova. Na koliko razlicitih nacinaoni mogu sjesti na 10 stolica u istom redu ako

a) mogu sjediti po svojoj volji

b) svaki bracni par mora sjediti jedan do drugoga

c) jedna do druge ne smiju sjediti dvije osobe istog spola?

12 / 1

Permutacije s ponavljanjem

Neka u nizu s1, s2, . . . , sn postoji prva skupina od k1 identicnih elemenata,druga skupina od k2 identicnih elemenata,. . . ,r -ta skupina od kr identicnihelemenata, k1 + k2 + · · ·+ kr = n.Bilo koji razmjestaj elemenata takva niza nazivamo permutacijom sponavljanjem.

Njihov ukupni broj oznacavamo Pk1,...,krn =

n!

k1! · k2! · · · · · kr !

13 / 1

Primjeri

Primjer

Koliko se razlicitih rijeci moze napisati od slova rijeci MATEMATIKA?

Primjer

Koliko 8-znamenkastih brojeva mozemo napisati pomocu brojeva 1, 1, 1,3, 3, 3, 7, 7?

14 / 1

Kombinacije

U mnogim problemima prebrojavanja poredak izabranih elemenata nijebitan.Na koliko se nacina moze izvuci k elemenata iz skupa S od n elemenata nepazeci na njihov poredak?Oznacimo taj broj sa C k

n .C kn je jednak broju razlicitih podskupova s k elemenata uzetih iz skupa S

od n elemenata. Svaki podskup od k razlicitih elemenata skupa Snazivamo kombinacijom u skupu S .Broj razlicitih kombinacija jednak je C k

n =(nk

)= n!

k!·(n−k)! .

15 / 1

Primjeri

Primjer

Na koliko se nacina u igri LOTO moze izvuci 7 brojeva i jedan dopunskibroj od 39 zadanih?

Primjer

Kosarkaski tim raspolaze s 3 centra, 4 krila i 5 branica. Igru zapocinjejedan centar, dva krila i dva branica. Na koliko nacina trener moze izabratipocetnu petorku?

16 / 1

Primjeri

Primjer

Na zaslonu racunala pojavljuju se brojevi zapisani sa 8 znamenaka (amogu pocinjati s nulama). Koliko razlicitih brojeva postoji koji

a) sadrze tocno tri znamenke 5

b) sadrze tri znamenke 5, tri znamenke 2 i dvije znamenke 7

c) sadrze tocno tri jednake znamenke (preostalih 5 medusobno surazlicite)?

17 / 1

Primjeri

Primjer

Snop se sastoji od 52 karte i to 13 karata razlicite jakosti u svakoj od 4boje. Na koliko se nacina mogu odabrati:

a) dvije karte iste boje

b) dvije karte razlicitih boja

c) dvije karte iste jakosti

d) dvije karte razlicitih jakosti?

18 / 1

Vjerojatnost

Oznake:elementarni dogadaji: ω1, ω2, ω3, . . .Skup svih elementarnih dogadaja Ω = ω1, ω2, ω3, . . . Dogadaj je podskup skupa Ω. Dogadaje oznacavamo velikim slovima npr.A, B, C ,. . .

Ω je i sam dogadaj, on se ostvaruje pri svakom ishodu pokusa. Stoga ganazivamo siguran dogadaj. Njegova suprotnost je nemoguc dogadaj(oznaka: ∅).

19 / 1

Vjerojatnost

Primjer

Novcic je bacen tri puta. U svakom bacanju biljezimo je li se pojavilopismo (P) ili glava (G). Odredimo Ω, elementarne dogadaje, te nekolikodogadaja vezanih uz ovaj pokus.

Rjesenje:Elementarnih dogadaja ima 8 (= 23). To su:ω1 = GGG , ω2 = GGP, ω3 = GPG , ω4 = PGG ,ω5 = GPP, ω6 = PGP, ω7 = PPG , ω8 = PPPΩ = ω1, ω2, ω3, . . . , ω8Ukupan broj dogadaja vezanih uz ovaj pokus je 28 = 256.

20 / 1

Vjerojatnost

Primjer

Novcic je bacen tri puta. U svakom bacanju biljezimo je li se pojavilopismo (P) ili glava (G). Odredimo Ω, elementarne dogadaje, te nekolikodogadaja vezanih uz ovaj pokus.

Rjesenje:Elementarnih dogadaja ima 8 (= 23). To su:ω1 = GGG , ω2 = GGP, ω3 = GPG , ω4 = PGG ,ω5 = GPP, ω6 = PGP, ω7 = PPG , ω8 = PPPΩ = ω1, ω2, ω3, . . . , ω8Ukupan broj dogadaja vezanih uz ovaj pokus je 28 = 256.

20 / 1

Vjerojatnost

ω1 = GGG , ω2 = GGP, ω3 = GPG , ω4 = PGG ,ω5 = GPP, ω6 = PGP, ω7 = PPG , ω8 = PPP

Primjeri dogadaja vezanih uz pokus su:A = pismo se pojavilo u prvom bacanju

= ω4, ω6, ω7, ω8

B = glava se pojavila dvaput

= ω1, ω2, ω3, ω4

C = pojavilo se barem jedno pismo i barem jedna glava

= ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, ω7

21 / 1

Vjerojatnost

ω1 = GGG , ω2 = GGP, ω3 = GPG , ω4 = PGG ,ω5 = GPP, ω6 = PGP, ω7 = PPG , ω8 = PPP

Primjeri dogadaja vezanih uz pokus su:A = pismo se pojavilo u prvom bacanju = ω4, ω6, ω7, ω8B = glava se pojavila dvaput = ω1, ω2, ω3, ω4C = pojavilo se barem jedno pismo i barem jedna glava= ω2, ω3, ω4, ω5, ω6, ω7

21 / 1

Primjer

Na putu kretanja automobila su dva semafora. Ako registriramo samocrveni (C) i zeleni (Z) svjetlosni signal semafora, konstruirajte prostorelementarnih dogadaja, a zatim opisite slijedece dogadaje:

D1 ≡ automobil se zaustavio (zbog semafora)

D2 ≡ automobil se tocno dva puta zaustavio

D3 ≡ automobil se barem jednom zaustavio.

Napisite suprotne dogadaje dogadajima D1,D2 i D3.

22 / 1

Prikazivanje dogadaja

Uobicajeno je dogadaje prikazivati Euler-Vennovim dijagramima. Sigurandogadaj Ω skiciramo obicno u obliku nekog pravokutnika.

Ponovimo:

Operacije sa skupovima:

A ∪ B = x : x ∈ A ∨ x ∈ B (unija skupova)

A ∩ B = x : x ∈ A ∧ x ∈ B (presjek skupova)

A \ B = x : x ∈ A ∧ x /∈ B (razlika skupova)

A = Ac = Ω \ A za A ⊂ Ω (komplement skupa)

23 / 1

Uspredivanje dogadaja

Kazemo da dogadaj A povlaci dogadaj B ako realizacija dogadaja Apovlaci realizaciju dogadaja B. To znaci da B sadrzi sve elementarnedogadaje koji ulaze u A. Pisemo: A ⊆ BGovorimo jos: A je specijalni slucaj dogadaja B, A je sadrzan u B.

Primjer

Bacamo dvije kocke. Oznacimo dogadaje:

A = oba broja su manja od 3B = zbroj brojeva na kockama je manji od 6

Vrijedi: A⇒ B jer je zbroj brojeva koji su manji od 3 sigurno manjii od 6.Obrat nije ispunjen, jer zbroj brojeva moze bit manji od 6 i kad jednakocka padne na 1, a druga na 4. Tad se ostvario dogadaj B, ali ne i A.

24 / 1

Uspredivanje dogadaja

Ukoliko vrijedi A ⊂ B i B ⊂ A, onda kazemo da su A i B ekvivalentnidogadaji i pisemo A = B. Ekvivalentni dogadaji se sastoje od istihelementarnih dogadaja.

Dogadaji A i B su disjunktni ako se istovremeno ne mogu ostvariti i jedani drugi. Kazemo da se A i B medusobno iskljucuju.

Primjer

Bacamo kocku. Neka je

A = pao je paran brojB = pao je broj 5

Tada su A i B disjunktni.

25 / 1

Algebra dogadaja

Familiju svih dogadaja koji se pojavljuju u nekom pokusu oznacavat cemosa F i zvati algebra dogadaja (na dogadajima cemo moci raditi operacijenalik na algebarske).Unija dogadaja - dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvario barem jedan oddogadaja A, B, oznaka: A ∪ B ili A + B

Presjek dogadaja - dogadaj koji se ostvaruje ako su se ostvarila obadogadaja A i B, oznaka: A ∩ B ili AB

Razlika dogadaja - dogadaj koji se ostvaruje ako se ostvari dogadaj A, ada se ne ostvari dogadaj B, oznaka: A \ B ili A− B

Komplement ili suprotni dogadaj dogadaja A je dogadaj Ω \ A, oznaka:A ili Ac

26 / 1

Svojstva vjerojatnosti

Vjerojatnost je preslikavanje P : F → [0, 1] definirano na algebri dogadajaF , koje ima svojstva:

1) P(Ω) = 1, P(∅) = 0 (normiranost)

2) ako je A ⊆ B, onda vrijedi P(A) ≤ P(B) (monotonost)

3) ako su A i B disjunktni dogadaji (A ∩ B = ∅), onda jeP(A + B) = P(A) + P(B) (aditivnost).

Broj P(A) nazivamo vjerojatnost dogadaja A.

0 ≤ P(A) ≤ 1, za sve dogadaje A

za svaki dogadaj A vrijedi P(A) = 1− P(A), gdje je A komplement(suprotni dogadaj) od A

za bilo koja dva dogadaja A i B vrijediP(A + B) = P(A) + P(B)− P(AB)

27 / 1

Konacni vjerojatnosni prostor

Vjerojatnosni prostor Ω koji ima samo konacno mnogo elementarnihdogadaja nazivamo konacni vjerojatnostni prostor.Ω = ω1, . . . , ωnDogadaj je svaki podskup od Ω.Vjerojatnost bilo kojeg dogadaja mozemo odrediti ako znamo vjerojatnostielementarnih dogadaja, tj. ako znamo brojevep1 = P(ω1), . . . , pn = P(ωn).Ovi brojevi imaju svojstvo p1 > 0, . . . , pn > 0, p1 + · · ·+ pn = 1.Neka je A ∈ F bilo koji dogadaj. On se sastoji od nekoliko elementarnihdogadaja: A = ωi1 , ωi2 , . . . , ωim. Vjerojatnost dogadaja A racunamo takoda zbrojimo vjerojatnosti tih elementarnih dogadajaP(A) = pi1 + pi2 + · · ·+ pim .

28 / 1

Klasicni vjerojatnosni prostor

Promatramo pokus koji ima konacno mnogo ishoda i u kojem je razumnopretpostaviti da su svi elementarni dogadaji jednako vjerojatni.Neka je Ω = ω1, . . . , ωn skup svih elementarnih dogadaja i p1, . . . , pnpripadne vjerojatnosti. Kako su svi ti brojevi jednaki, a njihov je zbroj 1,vrijedi pi = P(ωi) = 1

n , i = 1, . . . , n.Ovakav vjerojatnosni prostor nazivamo klasicni vjerojatnosni prostor.Neka je A bilo koji dogadaj. Da bismo izracunali vjerojatnost dogadaja A,dovoljno nam je samo znati koliko on elementarnih dogadaja sadrzi. Ako jeA = ωi1 , . . . , ωim, onda je P(A) = pi1 + · · ·+ pim = m

n .(n je broj svih mogucih ishoda, a m je broj svih povoljnih ishoda)

29 / 1

U klasicnom vjerojatnosnom prostoru vjerojatnost dogadaja racuna seformulom

P(A) =m

n=

broj povoljnih ishoda

broj mogucih ishoda

De Morganovi zakoni

P(A · B) = P(A + B)

P(A + B) = P(A · B)

30 / 1

Zadaci

Zadatak

Neka su A i B dogadaji za koje vrijedi

P(A) = 0.4,P(B) = 0.5,P(AB) = 0.2.

Odredite

P(A + B),P(A),P(B),P(A · B),P(A + B),P(A · B),P(A · B).

Zadatak

Za dogadaje A i B vrijedi A ∪ B = Ω. Ako je P(A) = 0.6 i P(B) = 0.7,kolika je vjerojatnost P(A · B)?

31 / 1

Zadaci

Zadatak

Bacamo malo neobicnu kocku, koja na svojim stranama ima zapisanebrojeve 2, 3, 3, 4, 4, 6. Kolika je vjerojatnost sljedecih dogadaja?

A = pojavio se paran brojB = pojavio se broj veci od 2C = pojavio se broj 5

32 / 1

Zadaci

Zadatak

Bacamo dvije ispravne kocke. Kolike su vjerojatnosti sljedecih dogadaja?

A = pojavile su se dvije sesticeB = pojavila se jedna jedinica i jedna dvojkaC = pojavila su se dva jednaka brojaD = zbroj brojeva jednak je 5E = pojavio se broj veci od 2

33 / 1

Zadaci

Zadatak

U kutiji se nalazi 10 kuglica, 6 plavih i 4 crvene. Biramo na srecu trikuglice. Odredimo vjerojatnosti sljedecih dogadaja:

A = sve su tri kuglice plaveB = sve su tri kuglice iste bojeC = dvije kuglice su plave, jedna je crvena

34 / 1

Geometrijska vjerojatnost

Neka je Ω ograniceni podskup ravnine i m(Ω) njegova povrsina, a Apodskup od Ω. Kazemo da biramo tocku na srecu unutar skupa Ω, ako jevjerojatnost da ona bude izabrana unutar podskupa A jednaka

P(A) =m(A)

m(Ω).

Ovako definiranu vjerojatnost nazivamo geometrijska vjerojatnost.

Zadatak

Unutar intervala [0, 1] biraju se na srecu dva broja x i y . Odreditevjerojatnost dogadaja A = (x , y) : x > y, B = (x , y) : x + y < 3

2

35 / 1

Uvjetna vjerojatnost

Uvjetna vjerojatnost dogadaja A, ako je poznato da se ostvario dogadajB takav da je P(B) > 0, je broj P(A|B) definiran s:

P(A|B) :=P(AB)

P(B)

Zadatak

U kutiji se nalazi 6 bijelih i 4 crne kuglice. Kolika je vjerojatnost da ceprve dvije kuglice koje izvucemo biti bijele?

36 / 1

Zadaci

Zadatak

U kutiji se nalazi 6 bijelih i 4 crne kuglice. Izvlacimo jednu po jednu dvijekuglice.

1. Kolika je vjerojatnost da ce druga kuglica biti bijela ako je prvakuglica bila bijela?

2. Kolika je ta vjerojatnost ako je prva kuglica bila crna?

Izracunajte obje vjerojatnosti u sljedece dvije situacije:

a) prva se kuglica nakon izvlacenja ne vraca u kutiju

b) prva se kuglica nakon izvlacenja vraca u kutiju

Zadatak

Dva broja x i y biramo na srecu unutar intervala [0, 2]. Kolika jevjerojatnost da je x > 1 ako je poznato da vrijedi x + y > 2?

37 / 1

Nezavisni dogadaji

Dogadaji A i B su nezavisni ako vrijedi P(A|B) = P(A) iliP(B|A) = P(B).Nuzan i dovoljan uvjet za nezavisnost je da bude:

P(AB) = P(A) · P(B)

Primjer

Bacamo dvije kocke. Kolika je vjerojatnost da broj na prvoj kocki budeparan, a na drugoj kocki manji od 3?

Primjer

Proizvodnja nekog proizvoda organizirana je na traci koja se sastoji od ndijelova, od kojih svaki radi neovisno o ostalima. Ako barem jedan oddijelova prestane s radom, prestaje i cjelina. Vjerojatnost da j-ti dio neceotkazati tijekom dana jednaka je rj . Kolika je vjerojatnost da ce citavatraka raditi isprvno u tom danu?

38 / 1

Formula potpune vjerojatnosti. Bayesova formula

Formula potpune vjerojatnostiNeka je

⋃ni=1Hi = Ω i Hi ∩Hj = ∅, ∀i 6= j . Za svaki dogadaj A ⊂ Ω vrijedi

P(A) =n∑

i=1

P(Hi ) · P(A|Hi )

Bayesova formula

P(Hi |A) =P(Hi ) · P(A|Hi )∑nj=1 P(Hj) · P(A|Hj)

39 / 1

Zadaci

Zadatak

U prvoj kutiji nalaze se 3 crvene i 2 plave kuglice, a u drugoj 4 crvene i 2plave. Odaberemo na srecu jednu kuglicu iz prve kutije i prebacimo je udrugu. Kolika je vjerojatnost da ce kuglica nakon toga izvucena na srecu izdruge kutije biti plava?

Zadatak

Ptica slijece u slucajno izabrano gnijezdo od ukupno tri gnijezda koja su jojna raspolaganju. Svako gnijezdo sadrzi dva jaja i to: u prvom gnijezdu suoba jaja zdrava, u drugom je jedno zdravo i jedan mucak, a u trecem suoba jaja mucka. Nadite vjerojatnost da ptica sjedi na mucku. Ako je sjelana mucak, kolika je vjerojatnost da sjedi u drugom gnijezdu?

40 / 1

Zadaci

Zadatak

U dvije od tri jednake pregrade nalaze se 2 crne i 2 bijele kuglice, a utrecoj 1 crna i 5 bijelih. Iz slucajno odabrane pregrade izvucena je bijelakuglica. Kolika je vjerojatnost da je ona izvucena iz trece pregrade?

Zadatak

U tvornici se proizvode proizvodi X i Y . Poznato je da se proizvodi 25%losih proizvoda X i 10% losih prozivoda Y .Proizvodi Y iznose 60%ukupne proizvodnje. Ako se nasumce uzme los proizvod, kolika jevjerojatnost da je to prozivod Y ?

41 / 1