KOMBINATORYKA - fc.put.poznan.plfc.put.poznan.pl/materials/181-kombinatoryka-i.pdf · Matematyka Dyskretna . PRAWO SUMY Liczba sposobów na jakie można wybrać element należący

KOMBINATORYKA

OBIEKTY KOMBINATORYCZNE

MATEMATYKA DYSKRETNA (2014/2015)

dr hab. inż. Małgorzata Sterna

[email protected]

www.cs.put.poznan.pl/msterna/

TEORIA ZLICZANIA

Teoria zliczania – poszukiwanie odpowiedzi na pytanie „ile?” bez faktycznego zliczania.

Kombinatoryka – analiza problemów kombinatorycznych, dotyczących zbiorów skończonych.

Zliczaniu podlegają m.in. obiekty kombinatoryczne tj. :

wariacje z/bez powtórzeń,

permutacje z/bez powtórzeń,

kombinacje z/bez powtórzeń.

Podstawowe prawa teorii zliczania:

prawo sumy i iloczynu,

zasada włączania i wyłączania,

zasada szufladkowa Dirichleta,

zasada dwoistości.

© Małgorzata Sterna

2

Matematyka Dyskretna

PRAWO SUMY

Liczba sposobów na jakie można wybrać element należący do

jednego z dwóch rozłącznych zbiorów

jest równa sumie mocy tych zbiorów.

Dla zbiorów skończonych rozłącznych A i B (AB=):

|AB| = |A| + |B|.

Dla dowolnych zbiorów skończonych A i B:

|AB| = |A| + |B| - |AB|.

?An

1ii

Uogólnienie prawa sumy dla wielu zbiorów, to

zasada włączania/wyłączania:


3


PRAWO SUMY - PRZYKŁAD 1

grupa agentów składa się z 2 kobiet

© Małgorzata Sterna Matematyka Dyskretna

4

i 4 mężczyzn

na ile sposobów można wybrać agenta do realizacji zadania

specjalnego?

A= B= AB=

|AB| = |A| +|B| = 4 + 2 = 6

PRAWO SUMY - PRZYKŁAD 2

Ile jest liczb podzielnych przez 2 lub 3 w zbiorze {1, 2, ..., 100} ?

A - zbiór liczb podzielnych przez 2

|A|=100/2 =50

B – zbiór liczb podzielnych przez 3

|B|=100/3 =33

AB – zbiór liczb podzielnych przez 2 lub 3

AB

AB – zbiór liczb podzielnych przez 2 i 3

|AB|=100/6 =16

|AB| = |A| + |B| - |AB| = 50 + 33 – 16 = 67


5


PRAWO ILOCZYNU

Liczba sposobów na jakie można wybrać

uporządkowaną parę elementów

jest równa liczbie możliwości

na jakie można wybrać pierwszy element przemnożonej

przez liczbę możliwości na jakie można wybrać drugi element.

Dla pary zbiorów skończonych A i B:

|AB| = |A|·|B|.

Dla dowolnych zbiorów skończonych A1, ..., An:

|A1 ... An| = |A1|·... ·|An| = .

n

1ii |A|


6


PRAWO ILOCZYNU- PRZYKŁAD

grupa agentów składa się z 2 kobiet i 4 mężczyzn


7

na ile sposobów można wybrać zespół agentów,

który ma udawać parę małżeńską?

A= B=

|AB| = |A| ·|B| = 4 · 2 = 8

,

mężczyzna kobieta

WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI

k-wyrazową wariacją z powtórzeniami

z n-elementowego zbioru A nazywamy

każdy k-wyrazowy ciąg

mogących się powtarzać elementów tego zbioru

(kn lub k>n).

liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji z powtórzeniami ze

zbioru n-elementowego wynosi:

kn)k,n(V

liczba wariacji z powtórzeniami,

to liczba możliwych rozmieszczeń k rozróżnialnych elementów

w n rozróżnialnych pudełkach


8


WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD

grupa agentów składa się z 6 osób


9

1 2 3 4

raz do roku organizowane są zawody dla agentów

w 4 różnych dyscyplinach, w których liczy się tylko zwycięstwo

ile jest możliwych rozstrzygnięć zawodów?

kolejność osób ma znaczenie - oznacza dyscyplinę (ciąg)

jeden agent może wygrać w kilku dyscyplinach (powtórzenia)

wariacja z powtórzeniami

n=6 k=4

296 16)4,6(V 4 kn)k,n(V

WARIACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD


10

1 2 3 4

n=6 k=4

ciąg k elementów wybranych z n elementów

n=6 rozróżnialnych pudełek

k=4 rozróżnialnych elementów wrzucanych w dowolny sposób do pudełek

1 2 3 4

WARIACJA BEZ POWTÓRZEŃ

k-wyrazową wariacją bez powtórzeń

z n-elementowego zbioru A nazywamy

każdy k-wyrazowy ciąg

różnych elementów tego zbioru

(kn).

liczba wszystkich k-wyrazowych wariacji bez powtórzeń

ze zbioru n-elementowego wynosi:

V(n, k) = n·(n-1)·(n-2)·...·(n-k+1), dla kn

czyli

nk dla ,)!kn(

!n)k,n(V


11


WARIACJA BEZ POWTÓRZEŃ- PRZYKŁAD

grupa agentów składa się z 6 osób


12

pod koniec roku przydzielane są trzy nagrody dla najlepszych agentów

ile jest możliwych rozstrzygnięć konkursu?

kolejność osób ma znaczenie - oznacza zajęte miejsce (ciąg)

jeden agent może uzyskać tylko jedną nagrodę (brak powtórzeń)

wariacja bez powtórzeniami

n=6 k=3 1 2 3

)!kn(

!n)k,n(V

120

!3

!6

)!36(

!6)3,6(V

PERMUTACJA BEZ POWTÓRZEŃ

permutacją bez powtórzeń nazywamy

liniowe uporządkowanie

k rozróżnialnych elementów zbioru n-elementowego

(kn)

czyli

k-elementową wariację bez powtórzeń zbioru n-elementowego

liczba wszystkich k-wyrazowych permutacji bez powtórzeń zbioru

n-elementowego wynosi:

nk dla ,)!kn(

!n)k,n(V)k,n(P

!n!0

!n

)!nn(

!n)n,n(P

1!n

!n)0,n(P istnieje jedna permutacja pusta (k=0)

istnieje n! permutacji elementów zbioru (n=k)


13


PERMUTACJA BEZ POWTÓRZEŃ - PRZYKŁAD

Ile istnieje anagramów słowa KOMPUTER?

każdy anagram to liniowe uporządkowanie 8 różnych liter słowa

KOMPUTER

np. PUMTERKO, ERTUMPKO, ...

n = k = 8

P(8,8) = V(8,8) = 8! = 40 320


14


GENEROWANIE PERMUTACJI

1 2 3 4

1 2 4 3

)yxyx(y...yx...x kkllkl1k

n1n1

porządek leksykograficzny

1234

1243

1324

1342

1423

1432

2134

2134

2143

2314

2341

2413

2431

3124

3124

3142

3214

3241

3412

3421

4123

4123

4132

4213

4231

4312

4321


15



1 2 3 4

2 1 3 4

porządek antyleksykograficzny

1234

2134

1324

3124

2314

3214

1243

1243

2143

1423

4123

2413

4213

1342

1342

3142

1432

4132

3412

4312

2341

2341

3241

2431

4231

3421

4321

)yxyx(y...y'x...x llkl

kknk

n1n1


16



1 2 3 4

2 1 3 4

2 3 1 4

porządek o minimalnej liczbie transpozcji – kolejne permutacje otrzymywane są w wyniku zamiany pary elementów

1234

2134

2314

2341

3241

3214

3124

3124

1324

1342

3142

3412

3421

4321

4321

4312

4132

1432

1423

4123

4213

4213

4231

2431

2413

2143

1243


17


PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI

permutacją n-elementową z powtórzeniami zbioru A={a1,a2,...,ak},

w której element a1 powtarza się n1 razy, ...,

element ak powtarza się nk razy,

n1 + ... + nk = n,

nazywamy każdy ciąg n-wyrazowy, w którym

poszczególne elementy zbioru A powtarzają się

wskazaną liczbę razy

(kn lub k>n)

liczba takich n-elementowych permutacji z powtórzeniami wynosi:

k21k21

k21 n...nnn dla ,!n...!n!n

!n)n,...,n,n,n(P

można ją zapisać jako współczynnik wielomianowy

k21 n,...,n,n

n


18


PERMUTACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD

Ile jest różnych anagramów słowa „NONSENS”?

każdy anagram to ciąg elementów ze zbioru A={N, O, S, E}

np. OSNENNS, SNENNOS, ...

elementy powtarzają się: nN=3, nO=1, nS=2, nE=1 razy

n =nN+nO+nS+nE=7

420!1!2!1!3

!7)1,2,1,3,7(P)n,n,n,n,n(P ESON

420!1!2!1!3

!7

1 ,2 ,1 ,3

7)n,n,n,n,n(P ESON


19



P(n, n1, n2, ..., nk) to liczba:

n-elementowych permutacji z powtórzeniami elementów k typów,

rozmieszczeń n rozróżnialnych obiektów w k rozróżnialnych

pudełkach, takich że w i-tym pudełku znajduje się ni obiektów,

podziałów uporządkowanych zbioru.


20



A ROZMIESZENIE ELEMENTÓW W PUDEŁKACH

permutacja z powtórzeniami słowa NONSENS o długości 7 liter

to przydzielenie do 4 pudełek

odpowiadających literom {N, O, S, E}

pozycji w permutacji,

czyli numerów ze zbioru {1, ..., 7}

liczba przydzielonych danej literze pozycji musi być równa liczbie

liter danego rodzaju w analizowanym słowie

1 2 3 4 5 6 7

O S N E N N S

N O S E

5 3

6 1 7

2 4

420!1!2!1!3

!7)1,2,1,3,7(P)n,n,n,n,n(P ESON


21


PODZIAŁY ZBIORU

Podziałem zbioru niepustego S nazywamy

rodzinę niepustych rozłącznych podzbiorów S,

których suma wynosi S.

(liczbę podziałów zbioru opisują liczby Stirlinga drugiego rodzaju)

Podziałem uporządkowanym zbioru niepustego S

nazywamy ciąg (A1, A2, ...,Ak),

którego elementy A1, A2, ...,Ak

tworzą podział zbioru S.

Jeżeli zbiór S ma n elementów i jeśli n1 + ... + nk=n,

to liczba podziałów uporządkowanych (A1, A2, ..., Ak) tego zbioru,

takich że |Ai|=ni, dla i=1,...,k wynosi:

k21

k21k21 n...nnn dla ,

!n...!n!n

!n)n,...,n,n,n(P


22


PODZIAŁY ZBIORU - PRZYKŁAD

S={1,2,3,4,5,6,7,8}

podziały zbioru S, np.:

{1,4,3}, {2,5,6,7,8}

{1,5}, {2,4,7}, {3,6,8}

podziały uporządkowane zbioru S, np:

({1,4,3}, {2,5,6,7,8})

({2,5,6,7,8}, {1,4,3})

({1,5}, {2,4,7}, {3,6,8})

({1,5}, {3,6,8}, {2,4,7})

({2,4,7}, {1,5}, {3,6,8})


23


PRZYKŁAD

w celu wykonania zadania specjalnego agenci muszą dojechać

na miejsce akcji trzema pojazdami, w których powinny jechać

odpowiednio 2, 1 i 3 osoby

na ile sposobów agenci mogą dojechać na miejsce akcji?


24

n1=2 n2=1 n3=3

n=6 k=3

grupa agentów (zbiór) zostaje podzielona na podzbiory

(samochody)

samochody są rozróżnialne (uporządkowane)

uporządkowany podział zbioru

PRZYKŁAD



25

n1=2 n2=1 n3=3

n=6 k=3

, ,

A1 A2 A3

n1=2 n2=1 n3=3

!n!...n!n

!n

n...,...,,n,n

n

k21k21

60

!3!1!2

!6

PRZYKŁAD



26

n1=2 n2=1 n3=3

n=6 k=3

, ,

rozmieszczenie n=6 elementów w k=3 pudełkach

taki, że w poszczególnych pudełkach znajduje się

określona liczba elementów (n1=2, n2=1, n3=3)

PRZYKŁAD


27

n1=2 n2=1 n3=3

n=6 k=3

poszczególni agenci to pozycje permutacji n-elementowej

informacja którym samochodem jadą, to element permutacji

permutacja z powtórzeniami

n=6 elementów k=3 typów

powtarzających się określoną liczbę razy

GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZIAŁÓW ZBIORU

z podziału A1,...,Ak zbioru {1, ..., n-1}

można uzyskać podział A’1, ..., A’k’ zbioru {1,...,n}

w następujący sposób:

A1{n}, A2, ...., Ak

A1, A2{n}, ...., Ak

A1, A2, ...., Ak {n}

A1, A2, ...., Ak, {n}


28

GENEROWANIE PODZIAŁÓW ZBIORU - PRZYKŁAD

istnieje 15 podziałów zbioru {1,2,3,4}


29

{1}

{1,2} {1}{2}

{1}{2}{3} {1}{2,3} {1,3}{2}

{1,2,3} {1,2}{3}

{1,2,3,4}

{1,2,3}{4}

{1,2,4}{3}

{1,2}{3,4}

{1,2}{3}{4}

{1,3,4}{2}

{1,3}{2,4}

{1,3}{2}{4}

{1,4}{2,3}

{1}{2,3,4}

{1}{2,3}{4}

{1,4}{2}{3}

{1}{2,4}{3}

{1}{2}{3,4}

{1}{2}{3}{4}

liczba podziałów

jest określona

przez liczby Bella

KOMBINACJA BEZ POWTÓRZEŃ

kombinacją k-elementową bez powtórzeń

n-elementowego zbioru A

nazywamy każdy k-elementowy podzbiór zbioru A

(kn)

liczba wszystkich k-elementowych kombinacji bez powtórzeń



30

nk dla ,k

n

!k)!kn(

!n)k,n(C

)!kn(

!n

!k

1)k,n(P

!k

1)k,n(C

KOMBINACJA BEZ POWTÓRZEŃ - PRZYKŁAD

zadanie specjalne powinno wykonać 3 agentów

na ile sposobów można wybrać zespół do wykonania zadania?


31

kolejność osób nie ma znaczenia –

liczy się przynależność do zespołu (podzbiór)

agent może być wybrany tylko jednokrotnie (brak powtórzeń)

kombinacja bez powtórzeń

n=6 k=3

k

n)k,n(C 20

!3)!36(

!6

3

6)3,6(C

GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZBIORÓW ZBIORU

każdemu podzbiorowi Y

n-elementowego zbioru X={x1, ..., xn}, YX,

można przyporządkować liczbę binarną b1...bn o wartości

z zakresu od 0 do 2n-1, gdzie


32

Yx jesli ,1

Yx jesli ,0b

i

ii

generując wszystkie liczby binarne r, 0r2n-1,

można wyznaczyć wszystkie podzbiory zbioru n-elementowego X

GENEROWANIE WSZYSTKICH PODZBIORÓW ZBIORU - PRZYKŁAD


33

istnieje 23=8 podzbiorów zbioru {a,b,c}

generacja podzbiorów przez generowanie liczb binarnych

a b c

0 0 0

1 0 0 {a}

0 1 0 {b}

1 1 0 {a, b}

0 0 1 {c}

1 0 1 {a, c}

0 1 1 {b, c}

1 1 1 {a, b, c}

w oparciu o kod Grey’a

kolejne podzbiory

powstają przez

dodanie/odjęcie

pojedynczego elementu:

0

23-1=7

...

a b c

0 0 0

1 0 0 {a}

1 1 0 {a, b}

0 1 0 {b}

0 1 1 {b, c}

1 1 1 {a, b, c}

1 0 1 {a, c}

0 0 1 {c}

GENEROWANIE PODZBIORÓW K-ELEMENTOWYCH

podzbiorowi k-elementowemu zbioru A={1, 2, ..., n}

odpowiada pewien ciąg (i1, ..., ir, ..., ik), gdzie irA, 1rk.

w celu wygenerowania podzbiorów k-elementowych

należy wyznaczyć wszystkie ciągi o długości k

spośród n symboli

w porządku leksykograficznym


34

GENEROWANIE PODZBIORÓW K-ELEMENTOWYCH - PRZYKŁAD

liczba podzbiorów 4-elementowych zbioru 6-elementowego

A={1,2,3,4,5,6}:


35

15!2!4

!6

4

6

i1i2i3i4

1256

1345

1346

1356

1456

i1i2i3i4

2345

2346

2356

2456

3456

i1i2i3i4

1234

1235

1236

1245

1246

generacja podzbiorów przez generacje permutacji

4-elementowych ze zbioru 6 elementowego

w porządku leksykograficznym

KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI

zestaw k-elementów,

z których każdy należy do jednego z n-rodzajów elementów,

nazywamy k-elementową kombinacja z powtórzeniami

ze zbioru n-elementowego

(kn lub k>n)

liczba wszystkich k-elementowych kombinacji z powtórzeniami ze



36

1)!-(nk!

)!1kn(

k

1-kn)k,n(C

KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI

liczba C(n,k) określa liczbę:

k-elementowych kombinacji z powtórzeniami

ze zbioru n-elementowego,

rozmieszczeń k identycznych elementów w

n rozróżnialnych pudełkach

całkowitoliczbowych rozwiązań równania postaci:

x1+x2+...+xn=k, xi 0 dla 1 i n,


37

KOMBINACJA Z POWTÓRZENIAMI - PRZYKŁAD


38

w zawodach na najlepszego agenta rozgrywane są 4 konkursy, w

których zwycięzca otrzymuje nagrodę 1$

na ile sposobów może być rozdzielona pula nagród?

kolejność osób nie ma znaczenie ponieważ nagroda jest taka

sama w każdym konkursie

jeden agent może wygrać w kilku konkursach (powtórzenia)

kombinacja z powtórzeniami

1$ 1$ 1$ 1$

n=6 k=4

k

1kn)k,n(C 126

4

9

4

146)4,6(C

uporządkowanie

elementów jest

istotne

powtórzenia

elementów są

dopuszczalne

obiekt

kombinatoryczny

liczba

obiektów

kombinatorycznych

0k,nn)k,n(V k

nk0)!kn(

!n)k,n(P)k,n(V

0k,nk

1kn)k,n(C

nk0k

n)k,n(C

+ - wariacja

(permutacja) bez

powtórzeń

+

+

wariacja z

powtórzeniami

- - kombinacja bez

powtórzeń

-

+

kombinacja z

powtórzeniami


39


k elementów n pudełek obiekt

kombinatoryczny

liczba

obiektów

kombinatorycznych

0k,nn)k,n(V k

0k,nk

1kn)k,n(C

identyczne rozróżnialne

rozróżnialne rozróżnialne

rozróżnialne identyczne

identyczne identyczne

kombinacja z

powtórzeniami

wariacja z

powtórzeniami

liczby Stirlinga 2-

giego rodzaju

podziały liczb

całkowitych

?

?


40


ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Zliczanie obiektów kombinatorycznych

(wariacji, permutacji, kombinacji, ...)

umożliwia określanie prawdopodobieństwa zdarzeń.

Każdy obiekt kombinatoryczny można interpretować jako

zdarzenie elementarne - .

Zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych

(obiektów kombinatorycznych danego typu)

tworzy przestrzeń zdarzeń elementarnych - .

Zdarzenie E,

to podzbiór zbioru , E.


41

ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA

w klasycznym rachunku prawdopodobieństwa zakłada się, że:

zdarzenia elementarne są rozłączne,

i równie prawdopodobne,


42

E)E(P

1})({P)P( oraz 1

)(P

zliczając:

wszystkie zdarzenia elementarne i

zdarzenia elementarne wspierające dane zdarzenie E

możemy wyznaczyć prawdopodobieństwo zdarzenia E - P(E).

wówczas prawdopodobieństwo zdarzenia E, P(E), wynosi:

ZLICZANIE A RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA - PRZYKŁAD

Jakie jest prawdopodobieństwo otrzymania fulla w pierwszym

rozdaniu?

pojedyncze rozdanie, to wybór 5 kart z talii 52 kart


43

960 598 2!47!5

!52

5

52

10

2

A

5

A

wszystkie możliwe rozdania tworzą przestrzeń

liczba możliwych rozdań, to liczba

podzbiorów 5-elementowych ze zbioru 52 elementowego

kombinacji bez powtórzeń


aby określić prawdopodobieństwo wystąpienia fulla należy

zliczyć liczbę rozdań będących fullami |E|

full jest zbiorem kart 2 typów (po 2 i 3 karty)


44

10

10

A

A

A

liczba fulli wynika z liczby

typów fulli – par typów kart

pokolorowań kart – pokolorowań kart danego typu


liczba typów fulli

parę kart 2 typów (10, A)

wybieramy spośród 13 typów kart {A,K,D,J,10,9,8,7,6,5,4,3,2}

wybór jest ciągiem dwóch różnych elementów

czyli wariacją bez powtórzeń


45

10

10

A

A

A

10

A

n=13

k=2 )!kn(

!n

)!213(

!13

!11

!13 1213 156

10

A


każdy z 156 typów fulli należy pokolorować

liczba pokolorowań dla każdego typu fulla

kolorując kartę dokonujemy wyboru 2 lub 3 kolorów

spośród 4 {,,,}

wybór jest podzbiorem 2 lub 3 różnych elementów

czyli kombinacją bez powtórzeń


46

10

10

A

A

A

n=4

k=2

n=4

k=3

k

n

2

4

!2!2

!4 6

k

n

3

4

!1!3

!4 4

z prawa iloczynu liczbę pokolorowań należy wymnożyć

liczba pokolorowań wynosi 6·4 =24



47

10

10

A

A

A

2

4

3

4

)!213(

!13

= 2 599 960 10

2

A

5

A

5

52

= 3 744

prawdopodobieństwo otrzymania fulla wynosi

00144,0

2599960

3744E)E(P

E

Documents

KOMBINATORYKA - fc.put.poznan.plfc.put.poznan.pl/materials/181-kombinatoryka-i.pdf · Matematyka Dyskretna . PRAWO SUMY Liczba sposobów na jakie można wybrać element należący