Kompleksna Analiza

Student:

Ivana S. Dini 197

Univerzitet u Niu

Mainski fakultet

Matematika 3

-Seminarski rad-

Predmetni

Dr. Predrag Rajkovi

Ni , 2014

Predmetni profesor:

Predrag Rajkovi

KOMPLEKSNA ANALIZA

1. Funkcije kompleksne promenljive

Neka je R skup realnih brojeva, a C skup kompleksnih brojeva.

Definicija 1. Ako je E R, preslikavanje f : E 7 C se naziva kompleksna funkcija realnepromenljive. Ako je E C, preslikavanje f : E 7 C se naziva kompleksna funkcija kompleksnepromenljive.

Za kompleksnu funkciju f realne promenljive t [a, b] datu sa f(t) = x(t) + iy(t) cesto se kaze daje zadata u parametarskom obliku. Na primer, f(t) = r cos t + ir sin t, t [0, 2pi), definise kruznicupoluprecnika r u kompleksnoj ravni.

Definicija 2. Pod okolinom tacke z0 u kompleksnoj ravni podrazumeva se skup svih tacaka z u ovojravni za koje je |z z0| < , gde je data pozitivna konstanta koja se zove poluprecnik okoline.

Definicija 3. Kriva odredena sa x = x(t) i y = y(t), tj. z = z(t) = x(t) + iy(t), gde su x i y realneneprekidne funkcije realne promenljive t na segmentu [a, b], zove se neprekidna kriva.

Definicija 4. Neprekidna kriva z = z(t), t [a, b], zove se Jordanova1 kriva ili prosta kriva akorazlicitim vrednostima t1, t2 [a, b] parametra t odgovaraju razlicite tacke z(t1), z(t2).

Jordanova kriva ne moze se svesti na tacku i ona nema visestrukih tacaka.

Definicija 5. Neprekidna kriva z = z(t), t [a, b], koje se od Jordanove krive razlikuje po tome stoje z(a) = z(b), naziva se zatvorena Jordanova kriva.

Definicija 6. Jordanova ili zatvorena Jordanova kriva x = x(t), y = y(t), t [a, b], naziva se glatkomako su izvodi x i y neprekidne funkcije na segmentu [a, b] i ako je na tom segmentu x(t)2 + y(t)2 > 0.

Za svaku zatvorenu Jordanovu krivu vazi sledeca teorema:

Teorema 1.1. Zatvorena Jordanova kriva deli ravan na dve otvorene oblasti i ona je njihovazajednicka granica. Jedna od ovih oblasti je ogranicena i zove se unutrasnja (u oznaci int ), a druga jeneogranicena i naziva se spoljasnja u odnosu na datu krivu (u oznaci ext ), tj. vazi

z-ravan = int ext.

Dokaz ove teoreme je veoma komplikovan. Jordanov dokaz (1887) nije bio besprekoran, cak ni u slucajupoligona. Korektan dokaz dao je tek 1905. americki matematicar Veblen.

Definicija 7. Oblast G je jednostruka (prosto) povezana u konacnoj z-ravni ako za svaku zatvorenuJordanovu krivu G vazi int G. Ostale oblasti su visestruko povezane.

1C. Jordan (1838-1922), francuski matematicar, cita se Zordan.

1

2 kompleksna analiza

Na slici 1.1 prikazane su, redom, jednostruko, dvostruko i trostruko povezane oblasti.

Slika 1.1

Visestruko povezana oblast moze se na razlicite nacine, pomocu zaseka pretvoriti u jednostruku oblast.Na slici 1.2 je prikazano kako se iz jedne cetvorostruko povezane oblasti dobija jednostruko povezanaoblast (pri obilazenju zaseci se ne mogu presecati).

Slika 1.2

2. Granicna vrednost i neprekidnost

Definicija 1. Kaze se da je A granicna vrednost funcije z 7 f(z) kada z a ako vazi

( > 0)(() > 0) (z) |z a| < () |f(z)A| < .

Granicna vrednost se standardno oznacava sa

limza

f(z) = A.

Za realne funkcije imali smo levu i desnu granicnu vrednost. U nekoj tacki a u kompleksnoj ravnipromenljiva z se moze priblizavati po bezbroj mnogo pravaca, sto znaci da se moze uvesti granicnavrednost u pravcu:

Definicija 2. Granicna vrednost kompleksne funkcije z 7 f(z), kada z a duz poluprave L sapocetkom u tacki a koja gradi ugao sa realnom osom (limes u pravcu), definise se sa

limza

zL

f(z) = lim0+

f(a+ ei) ( > 0).

Teorema 2.1. Za postojanje limza f(z) potrebno je, ali ne i dovoljno, da su svi limesi u pravcumedusobno jednaki. Ako postoji granicna vrednost funkcije, ona je jedinstvena.

izvod funkcije kompleksne promenljive 3

Granicne vrednosti funkcije vise promenljivih imaju iste osobine kao i funkcije realne promenljive.Neka je lim

zaf(z) = A i lim

zag(z) = B. Tada vaze jednakosti:

limza

(f(z) g(z)) = AB, lim

za(f(z)g(z)

)= AB,

limza

f(z)

g(z)=A

B, B 6= 0.

Neprekidnost funkcija kompleksne promenljive u tacki i u oblasti definisu se na isti nacin kao kodfunkcija realne promenljive. Na primer, funkcija z 7 f(z) je neprekidna u tacki a ako i samo ako je

limza

f(z) = f(a).

Ako je f(z) = u(x, y) + iv(x, y) neprekidna, tada su neprekidne i funkcije u i v. Naravno, vazi i obrnuto.

Osnovne operacija primenjene na neprekidne funkcije dovode opet do neprekidnih funkcija:

Teorema 2.2. Ako su funkcije f i g kompleksne promenljive z neprekidne u tacki z0, tada su funkcijef + g, f g, fg neprekidne u tacki z0. Ako je g(z0) 6= 0, tada je f/g neprekidna funkcija u tacki z0.

3. Izvod funkcije kompleksne promenljive

Definicija 1. Neka su: z 7 f(z) kompleksna funkcija definisana u oblasti G i L G poluprava sapocetnom tackom a koja zaklapa ugao sa pozitivnim smerom x-ose. Ako kolicnik

f(z) f(a)z a

tezi konacnoj i odredenoj granici kada z a duz L, kaze se da funkcija f ima izvod u tacki a u pravcu i ova granicna vrednost oznacava se sa f (a) ili sa

(f(a)

).

Ako se uvedu polarne koordinate (slika 3.1), tada je

z a = (cos+ i sin a) = cis.

Sada se izvod u pravcu moze definisati sa

f (a) = lim0+

f(a+ cis) f(a) cis

pod uslovom da ova granicna vrednost postoji.Slika 3.1

Definicija 2. Ako za kompleksnu funkciju f definisanu u oblasti G postoji konacna granicna vrednost

limza

a,zG

f(z) f(a)z a ,

kaze se da funkcija f ima izvod u tacki a ili da je diferencijabilna u tacki a. Ovaj izvod oznacava se saf (a).


Primer 3.1. Za funkciju z 7 f(z) = z imamo

f(z) f(a)z a =

z az a =

(cos i sin)(cos+ i sin)

.

Ako 0+, ovaj kolicnik prirastaja ima granicnu vrednost

(cos i sin)2 cis (2).

Dakle,

(z) = cis (2),tj. ovaj izvod u pravcu zavisi od u svakoj tacki z-ravni i prema tome, funkcija z 7 z nema izvod ni u jednojtacki z-ravni.

Primer 3.2. Za funkciju z 7 f(z) = zRe z je

f(z) f(a)z a =

zRe z aRe az a Re a+ a cos cis () ( 0+).

Ova granicna vrednost ne zavisi od samo ako je a = 0, ali iz ovog jos ne sleduje da funkcija ima izvod kadaz 0. Kako je

limz0

zRe z

z= lim

z0Re z = 0,

zakljucujemo da funkcija f zaista ima izvod u tacki z = 0.

Dakle, funkcija z 7 zRe z ima izvod samo u tacki z = 0.

Izvod kompleksne funkcije f u proizvoljnoj tacki mozemo predstaviti pomocu granicne vrednosti

f (z) = limz0

f(z + z) f(z)z

,

ukoliko ova postoji, dakle, na potpuno isti nacin kao kod izvoda realne funkcije x 7 f(x), s tim sto jeovde z = x+ iy.

4. Cauchy2-Riemannovi3 uslovi

Iz zahteva diferencijabilnosti funkcije f(z) u tacki z proisticu veoma vazni uslovi za realni i imaginarnideo te funkcije u okolini tacke (x, y). Ti uslovi su poznati kao Cauchy-Riemannovi uslovi (krace C-Ruslovi), koji ce biti formulisani u sledece dve teoreme.

Teorema 4.1 (Potrebni uslovi diferencijabilnosti). Da bi funkcija

z 7 f(z) = u(x, y) + iv(x, y)

bila diferencijabilna u tacki z = x+ iy = (x, y), potrebno je da u ovoj tacki postoje parcijalni izvodi

u

x,u

y,v

x,v

y,

2A. L. Cauchy (1789-1857), francuski matematicar, cita se Kosi.3B. Riemann (1826-1866), nemacki matematicar, cita se Riman.

cauchy-riemannovi uslovi 5

i da su ispunjeni Cauchy-Riemannovi uslovi

u

x=v

y,

u

y= v

x. (4.1)

Dokaz. Pretpostavimo da je f diferencijabilna funkcija u tacki z G. Tada granicna vrednost

f (z) = limz0

f(z + z) f(z)z

postoji, bez obzira na koji nacin tacka z + z ( G) tezi ka z kada z 0.Prema definiciji izvoda imamo

f (z) = limx0y0

u(x+ x, y + y) + iv(x+ x, y + y) u(x, y) iv(x, y)x+ iy

. (4.2)

Kako f (z) postoji, to granicna vrednost na desnoj strani(4.2) postoji sto obezbeduje postojanje parcijalnih izvoda funk-cija u i v. Istovremeno, njen izvod ne zavisi od pravca. Dabismo dosli do granicne vrednosti, pusticemo da z + z tezitacki z tako da izracunavanje bude sto prostije. Na slici 4.1 suprikazana dva pravca priblizavanja tacki z: 1 duz polupravesa pocetnom tackom z koja zaklapa ugao = 0 sa pozitivnimsmerom x-ose, i 2 duz poluprave sa pocetnom tackom z kojazaklapa ugao = pi/2 sa pozitivnim smerom x-ose.

Slika 4.1

Po pravcu 1 je z = x (tj. y = 0, x 0), te iz (4.2) imamo

(f(z)

)=0

= limx0

u(x+ x, y) u(x, y)x

+ i limx0

v(x+ x, y) v(x, y)x

,

tj. (f(z)

)=0

=u

x+ i

v

x. (4.3)

Po pravcu 2 je z = iy, (tj. x = 0, y 0), tako da iz (4.2) sleduje

(f(z)

)=pi/2

= limy0

u(x, y + y) u(x, y)iy

+ i limy0

v(x, y + y) v(x, y)iy

,

odakle je (f(z)

)=pi/2

= iuy

+v

y. (4.4)

Izjednacavanjem (4.3) i (4.4) (jer na osnovu pretpostavke postoji izvod u tacki z) dobijamo

u

x+ i

v

x=v

y iu

y.

Odavde sleduju relacije (4.1).


Uslovi dati u teoremi 4.1 su samo potrebni, ali ne i dovoljni. U sledecoj teoremi se pokazuje da suCauchy-Riemannovi islovi dovoljni uz dopunski uslov da su funkcije (x, y) 7 u(x, y) i (x, y) 7 v(x, y),diferencijabilne u tacki (x, y). Drugim recima, dokazacemo sledece:

Teorema 4.2 (Dovoljni uslovi diferencijabilnosti). Ako su funkcije u(x, y) i v(x, y) difer-encijabilne u tacki (x, y) i zadovoljavaju Cauchy-Riemannove uslove (4.1), tada je funkcija f(z) =u(x, y) + iv(x, y) diferencijabilna u tacki z = x+ iy.

Vodeci racuna o C-R uslovima, izvod f moze se predstaviti u sledeca cetiri ekvivalentna nacina:

f (z) =u

x+ i

v

x=v

y iu

y=u

x iu

y=v

y+v

x.

C-R uslovi (4.1) se koriste pri ispitivanju razlicitih svojstava diferencijabilnih kompleksnih funkcija.

5. Analiticke funkcije

Definicija 1. Kaze se da je kompleksna funkcija z 7 f(z) analiticka u tacki a ako je ona diferencija-bilna u nekoj okolini tacke a.

Definicija 2. Kompleksna funkcija z 7 f(z) je analiticka u jednoj oblasti ako je analiticka u svakojtacki ove oblasti.

Primer 5.1. Na osnovu Primera 3.2 sledi da je funkcija z 7 zRe z diferencijabilna u tacki z = 0, ali nijeu toj tacki analiticka.

Definicija 3. Funkcija koja je analiticka u svim tackama konacne ravni (dakle, svuda izuzev u )naziva se cela funkcija.

Cele funkcije su, na primer, funkcije ez, sin z, cos z. Funkcija f(z) =z

(z 1)(z + 3)2 nije analitickasamo u tackama z = 1 i z = 3, koje nazivamo polovima funkcije. Za takvu funkciju kazemo da jemeromorfna (videti odeljak 12).

Za analiticke funkcije vaze sva pravila diferenciranja kao za funkcije realne promenljive, sto znaci davazi ista tablica izvoda, kao i pratece teoreme.

Definicija 4. Realna funkcija (x, y) 7 U(x, y) zove se harmonijska u oblasti G ako su za svako(x, y) G parcijalni izvodi

2U

x2i2U

y2neprekidni i ako je

2U

x2+2U

y2= 0. (5.1)

Jednacina (5.1) zove se Laplaceova parcijalna jednacina sa dve promenljive. Resenja jednacine (5.1)zovu se potencijalne funkcije ili logaritamski potencijali.

Jedno partikularno resenje jednacine (5.1) je

U(x, y) = log1

(x a)2 + (y b)2 ,

gde su a i b proizvoljne realne konstante.

elementarne funkcije 7

Teorema 5.1. Ako je funkcija z 7 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analiticka u oblasti G, funkcije u i v suharmonijske u istoj oblasti.

Dokaz. Koristicemo (bez dokaza) cinjenicu da su izvodi analiticke funkcije u tacki, takode analitickefunkcije u istoj tacki.

Neka je funkcija z 7 f(z) = u(x, y) + iv(x, y) analiticka u tacki z. Njen izvod

f (z) =u

x+ i

v

x, tj. f (z) =

v

y iu

y

je takode analiticka funkcija u istoj tacki, kao sto je navedeno.Drugi izvod f je takode analiticka funkcija u tacki z, te je

f (z) =2u

x2+ i

2v

x2, (5.2)

f (z) = 2u

y2 i

2v

y2. (5.3)

Kako su izvodi f , f , . . . neprekidne funkcije, isti ce biti slucaj i sa parcijalnim izvodima ma kog redafunkcije u i v.

Iz (5.2) i (5.3) izlazi2u

x2+2u

y2= 0 i

2v

x2+2v

y2= 0,

tj. u i v su resenja iste Laplaceove parcijalne jednacine (5.1). Ovim je zavrsen dokaz teoreme 5.1.

6. Elementarne funkcije

U ovom odeljku razmatramo neke elementarne kompleksne funkcije.

1 Potencijalna funkcija f(z) = zn (n prirodan broj) analiticka je u celoj ravni. Njen izvod jednakje (zn) = nzn1. Linearna kombinacija stepena 1, z, z2, . . . , zn je kompleksni polinom

P (z) = a0zn + a1z

n1 + + an1z + an

i on je takode analiticka funkcija za svako z.Ako su P i Q polinomi po z, funkcija f odredena sa f(z) = P (z)/Q(z), naziva se racionalna funkcija.

Ona je analiticka za svako z osim za vrednosti za koje je Q(z) = 0, tj. za polove racionalne funkcije f.

2 Koren. Za z = ei 6= 0, jednacina wn = z (n N) ima po w tacno n razlicitih korena odredenihformulom

wk = 1/n(cos

+ 2kpi

n+ i sin

+ 2kpi

n

)(k = 0, 1, . . . , n 1).

Ako z opisuje jednu konturu , svaki od korena wk menja se neprekidno.

Zbog jednostavnosti, posmatrajmo slucaj kada je kontura kruznica. Razlikovacemo tri slucaja kojasu prikazana na slici 6.1 u specijalnom slucaju za n = 3 :

a) 0 ext Kada tacka z opise kruznicu , svaki od korena w0, w1, . . . , wn1 opise takode zatvorenu konturu:

0, 1, . . . , n1. Ove konture imaju isti oblik, ne seku se i njihove ose koje prolaze kroz koordinatni


pocetak pomerene su medusobno za ugao 2pi/n (videti sliku 6.1a za n = 3). Neprekidne funkcijew0, w1, . . . , wn1 nazivaju se grane ,,multiformne funkcije z 7 z1/n.

b) 0 int Kada z opise u pozitivnom smislu kruznicu , argument ima vrednost + 2pi. Kada tacka z opise

k puta uocenu konturu, argument uzima vrednost + 2kpi. Krajnja vrednost korena wk jednaka jepocetnoj vrednosti korena wk+1, sto znaci da konture koje opisu tacke w0, w1, . . . , wn1 obrazuju jednujedinstvenu zatvorenu konturu (slika 6.1b, n = 3). Tacka z = 0 u kojoj kao da se sjedinjuju sve granemultiformne funkcije z 7 z1/n zove se tacka granjanja ili algebarski kriticki singularitet.

c) 0 Ovo je granicni slucaj prethodno opisanog slucaja. Sve grane se sjedinjuju u koordinatnom pocetku

obrazujuci ,,listove istog oblika i pomerene medusobno za ugao 2pi/n (slika 6.1c, n = 3).

Slika 6.1 Grane korenske funkcije z 7 z1/3

3 Eksponencijalna funkcija z 7 ez definise se granicnom vrednoscu

ez = limn+

(1 +

z

n

)n.

Za niz zn =(1 +

z

n

)n(n N, z = x+ iy) dokazuje se

limn+

|zn| = limn+

((1 +

x

n

)2+y2

n2

)n/2= exp

{lim

n+n

2log

((1 +

x

n

)2+y2

n2

)}= ex

i

limn+

arg zn = limn+

n arctany/n

1 + x/n= y.

Na osnovu ovog jeez = ex+iy = ex eiy = ex(cos y + i sin y). (6.1)

elementarne funkcije 9

Koristeci (6.1) moze se dokazati sledeca teorema:

Teorema 6.1. Funkcija z 7 ez ima sledece osobine:1 Funkcija z 7 ez ima izvod (ez) = ez i analiticka je za svako z;2 Vazi adiciona formula ez1ez2 = ez1+z2 ;3 Funkcija z 7 ez se ne anulira ni za jedno z C;4 Za z = x (x realno) navedena definicija poklapa se sa eksponencijalnom funcijom x 7 ex u realnom

podrucju;

5 Funkcija z 7 ez je prosto periodicna sa osnovnim periodom 2pii.Osobine iz teoreme 6.1 lako se dokazuju koriscenjem relacije (6.1).

4 Trigonometrijske i hiperbolicke funkcije definisu se pomocu:

cos z =eiz + eiz

2, sin z =

eiz eiz2i

, tan z =sin z

cos z,

cosh z =ez + ez

2, sinh z =

ez ez2

, tanh z =sinh z

cosh z.

Na osnovu ovih definicija i osobina eksponencijalne funkcije zakljucujemo da su trigonometrijskefunkcije sin z i cos z periodicne sa osnovnim periodom 2pi, dok je funkcija tan z periodicna sa osnovnimperiodom pi. Hiperbolicke funkcije cosh z, sinh z i tanh z su takode periodicne sa osnovnim periodimaredom 2pii, 2pii i pii.

Primenom osobine 2 date u teoremi 6.1 jednostavno se izvode sledece formule:

sin(z1 z2) = sin z1 cos z2 cos z1 sin z1, cos(z1 z2) = cos z1 cos z2 sin z1 sin z1,sinh (z1 z2) = sinh z1cosh z2 cosh z1sinh z1, cosh (z1 z2) = cosh z1cosh z2 sinh z1sinh z1.

Vidimo da za trigonometrijske i hiperbolicke funkcije u kompleksnom domenu vaze iste adicione formulekao i one u realnoj analizi.

Iz definicionih formula lako se dobijaju i sledece jednakosti:

cos2 z + sin2 z = 1, cosh 2z sinh 2z = 1,sin iz = isinh z, cos iz = cosh z, sinh iz = i sin z, cosh iz = cos z.

Izvodi trigonometrijskih i hiperbolickih funkcija dati su istim formulama kao u realnom domenu:

(sin z) = cos z, (cos z) = sin z, (tan z) = 1cos2 z

,

(sinh z) = cosh z, (cosh z) = sinh z, (tanh z) =1

cosh 2z,

5 Logaritamska funkcija z 7 Log z dobija se kao resenje jednacine ew = z (z 6= 0).Neka je w = u+ iv i z = ei. Iz definicione jednakosti nalazimo

eu eiv = ei, odakle je eu = , tj. u = log i v = + 2kpi (k Z).

Prema tome, trazeno resenje ima oblik

w = u+ iv = log + i( + 2kpi) (k Z),


tj.Log z = log + i( + 2kpi) (k Z). (6.3)

Ako je = 0, tj. z = x > 0 je realan broj, iz (6.3) sledi

Logx = log x+ 2kpii (x > 0)

i za k = 0 dobijamo logaritam za osnovu e za realne pozitivne brojeve.

Ako je z realan i negativan broj, tada je = pi, te je

Log (x) = log x+ i(2k + 1)pi (x > 0).

S obzirom da je 2k + 1 6= 0, sledi da je logaritam negativnog broja kompleksan broj.Ako tacka z opise zatvorenu konturu koja ne sadrzi koordinatni pocetak, tada svaka vrednost wk =

log + i( + 2kpi) (k Z) logaritma Log z opise takode zatvorenu konturu. Kao i u slucaju korenskefunkcije, ovde imamo slucaj miltiformne funkcije, ali sa beskonacno mnogo grana. Funkcije wk = log +i( + 2kpi) nazivaju se grane ,,multiformne funkcije z 7 Log z.

Ako je glavna vrednost argumenta, tj. = arg z (pi < arg z pi), tada je

w = log |z|+ i(arg z + 2kpi) (z Z).

Glavni logaritam je funkcija z 7 log |z|+ i arg z i obelezava se z 7 log z. Ovaj logaritam se dobijastavljajuci k = 0. Na osnovu izlozenog imamo

Log z = log z + 2kpii (k Z).

Tacka z = 0 naziva se transcendentni logaritamski kriticki singularitet, a takode i tacka granjanja.

Izvod logaritamske fukcije dat je sa

(Log z) =1

z.

Svaka grana funkcije z 7 Log z u slucaju domena koji ne sadrzi tacku z = 0 je analiticka funkcija u ovomdomenu.

6 Opsta potencijalna funkcija z 7 z ( kompleksan broj) definise se pomocu jednakosti

z = eLog z.

Ako je = + i ( i realni brojevi) i z = ei, tada je

z = e(+i)(log +i(+2kpi)

)= e log (+2kpi)ei[(+2kpi)+ log ] (k Z).

Glavna vrednost multiformne funkcije z 7 z koja se dobija za k = 0 zove se glavna vrednostpotencijalne funkcije. Tacka z = 0 je transcendentni kriticki singularitet funkcije z 7 z ako nijeracionalan broj.

Primer 6.1. Izracunati u kompleksnom podrucju: a) ii; b) 21+i; c) 1

2; d) 22.

a) ii = eiLog i = ei(pii2

+2kpii) = epi22kpi (k Z).

Dakle, sve vrednosti izraza ii su realne. Glavna vrednost od ii je epi/2.

b) 21+i = e(1+i)Log 2 = e(1+i)(log 2+2kpii) = elog 22kpiei(log 2+2kpi) = elog 22kpi(cos(log 2) + i sin(log 2)

).

konformno preslikavanje 11

c) 1

2 = e

2Log 1 = ei2kpi

2 = cos(2kpi

2) + i sin(2kpi

2) (beskonacno mnogo vrednosti).Za k = 0 dobijamo glavnu vrednost 1.

d) 22 = e2Log 2 = e2(log 2+2kpii) = 4(cos 2kpii+ i sin 2kpii) = 4 (samo jedna vrednost).

7 Opsta eksponencijalna funkcija z 7 az, gde je a kompleksan broj, definise se na slican nacinkao i opsta potencijalna funkcija, tj.

az = ezLog a = ez(log |a|+i(arg a+2kpi)

).

Ova multiformna funkcija, takode, ima beskonacan broj grana.

8 Inverzne trigonometrijske funkcije definisu se na isti nacina kao u slucaju funkcija realnepromenljive.

Izvedimo, na primer, inverznu sinusnu funkciju. Resenje po w jednacine

z = sinw, tj. z =eiw eiw

2i

zovemo arkus sinus i obelezavamo sa Arcsin z. Ako u drugu jednakost uvedemo smenu eiw = t,dobijamo kvadratnu jednacinu t2 2izt 1 = 0, iz koje nalazimo eiw = iz 1 z2, odakle je

Arcsin z = iLog(iz

1 z2

).

Na ovaj nacin funkciju z 7 Arcsin z sveli smo na logaritamsku funkciju. To znaci da ova inverzna funkcijaima beskonacno mnogo grana.

Istim postupkom dobijamo inverzne trigonometrijske funkcije:

Arccos z = iLog(z

z2 1

),

Arctan z = i2Log

1 + iz

1 iz .

U oznacavanju ovih inverznih kompleksnih funkcija koristi se kao prvo slovo veliko A, slicno kao i kodfunkcije Log, da bismo naglasili da ove funkcije imaju beskonacan broj grana.

Inverzne hiperbolicke funkcije se definisu na potpuno isti nacin kao inverzne trigonometrijske funkcije.

Primer 6.2. Resimo jednacinu sin z = 2. Jasno je da ova jednacina nema smisla u realnom domenu, tepostavljena jednacina nema realnih korena. Primenjujuci formulu za Arcsin z direktno dobijamo

z = Arcsin 2 = iLog (5i

1 52)= iLog (5i 2i

6)= iLog

((5 2

6)ei(pi/2+2kpi)

)=pi

2+ 2kpi i

(log(5 2

6)).

7. Konformno preslikavanje

Geometrijska predstava analiticke funkcije u smislu predstave krive y = f(x) u realnom podrucju nepostoji. Medutim, ako se funkcija

x+ iy = z 7 w = f(z) = u(x, y) + iv(x, y)


definise kao preslikavanje tacaka iz oblasti Dz, koja pripada z-ravni, u oblast Dw, koja pripada w-ravni,tada se geometrijska predstava moze dati pomocu preslikavanja.

Neka se tacka a iz z-ravni transformacijom w = f(z) preslikava u tacku f(a). Pored toga, neka se lukl, kome pripada tacka a, preslika na luk L. Pretpostavimo da analiticka funkcija f ima u tacki a konacanizvod i da je f (a) 6= 0. Izvod funkcije f u tacki a definisan je sa

limza

f(z) f(a)z a = f

(a). (7.1)

Da bismo dali geometrijsko tumacenje ovog izvoda, posmatracemo njegov modul i argument. Iz (7.1) je

limza f(z) f(a)z a = limza |f(z) f(a)||z a| = |f (a)|.

Odavde je

|f (a)| |f(z) f(a)||z a|. (7.2)

Slika 7.1

Na osnovu ovakve predstave, zakljucujemo da je modul izvoda jednak kolicniku (ili odnosu) duzinatetiva |f(z) f(a)| i |z a| i to u granicnom slucaju kada z a. Zbog toga se |f (a)| moze nazvatikoeficijentom deformacije. Takode se koriste i nazivi koeficijent izduzenja ili koeficijent skracenja, zavisnood toga da li je |f (a)| vece ili manje od jedinice.

Posmatrajmo sada argument izvoda u granicnom slucaju. Imamo

arg

(limza

f(z) f(a)z a

)= lim

zaarg

(f(z) f(a)

z a)

= arg f (a)

= limza

arg(f(z) f(a)) lim

zaarg (z a) = .

(7.3)

Ovoi je geometrijska predstava argumenta prvog izvoda.Posmatrajmo u ravni z dva glatka luka l1 i l2 koji se seku u tacki a i dva preslikana luka L1 i L2 u

w-ravni koji se seku u tacki f(a). Primenom jednakosti (7.3) dobijamo

1 1 = arg f (a), 2 2 = arg f (a),

odakle je2 1 = 2 1.


Slika 7.2

Ovim smo dokazali sledecu teoremu:

Teorema 7.1. Preslikavanje pomocu analiticke funkcije z 7 f(z) ima osobinu da zadrzava uglove povelicini i smeru u svakoj tacki u kojoj je f (z) 6= 0.

Na osnovu prethodnog mozemo zakljuciti da svako preslikavanje koje se vrsi pomocu jedne analitickefunkcije f ima osobine:

1 zadrzavanje (nepromenljivost) uglova;

2 nezavisnost (od pravca) koeficijenta deformacije za fiksnu tacku.

Pretpostavlja se da je f (a) 6= 0 u fiksnoj tacki a.

Definicija 1. Preslikavanje koje ima dve navedene osobine zove se konformno preslikavanje.

Osnovni problem konformnog preslikavanja

Kod konformnog preslikavanja se daje neka oblast Dz u z-ravni, zatim analiticka funkcija z 7 f(z), itrazi se oblast Dw u w-ravni na koju se preslikava Dz pomocu funkcije f .

Postoji i inverzni problem: Data je oblast Dw i funkcija f1, inverzna funkciji f . Ovaj problem je

analogan konformnom preslikavanju u gornjem slucaju.

Osnovni problem konformnog preslikavanja, koji je vrlo cest u primenama, glasi: Ako su date dveoblasti Dz i Dw, odrediti analiticku funkciju kojom se jedna od tih oblasti preslikava na drugu.

Ovaj problem je neresiv u opstem slucaju.

Bilinearna transformacija

Definicija 1. Bilinearna (ili Mobiusova4) transformacija je

z 7 w(z) = az + bcz + d

(ad bc 6= 0), (7.4)

gde su a, b, c, d kompleksni brojevi.

Izraz (7.4) se moze prikazati u obliku czw az+ dw b = 0, odakle se vidi da je ovo linearna funkcijaposebno po z i posebno po w i to je razlog za ime bilinearna transformacija.

Kada je ad bc = 0 i cd 6= 0, tada je w = const.4A. F. Mobius (1790-1863), nemacki matematicar, cita se Mebijus.


Ako je c = 0, tada je

w =a

dz +

b

d(linearna transformacija).

Iz (7.4) sleduje

z =dw + bcw a , (7.5)

Ovo je takode bilinearna transformacija koja ne degenerise u konstantu jer je (a)(d)bc = adbc 6= 0.Na osnovu (7.4) i (7.5), za c 6= 0 imamo rezultat:1 Pomocu transformacije (7.4) sve tacke konacne z-ravni preslikavaju se na tacke konacne w-ravni;

tacka z = dc

preslikava se u tacku w = ;2 Pomocu transformacije (7.5) sve tacke konacne w-ravni preslikavaju se na tacke konacne z-ravni;

tacka w =a

cpreslikava se u tacku z = .

Na osnovu izlozenog zakljucujemo da je bilinearnom transformacijom (7.4) izmedu prosirene z-ravni iprosirene w-ravni uspostavljena biunivoka korespondencija.

Moze se dokazati sledece tvrdenje:

Teorema 7.2. Bilinearnom transformacijom (7.4) krugovi i prave z-ravni preslikavaju se u krugove iprave w-ravni. Pri tome, krug se moze preslikati u pravu i obrnuto.

Bez dokaza navodimo da se krug |z z0| = r iz z-ravni preslikava pomocu (7.4) u pravu ako ovaj krugprolazi kroz tacku d/c, tj. kroz pol bilinearne transformacije (7.4) (videti sledeci primer).

Primer 7.1. Pomocu bilinearne transformacije w =z + 1

z 1 krug |z 2| = 1 preslikava se u pravu jer ovajkrug prolazi kroz tacku z = 1 koja predstavlja pol bilinearne transformacije. Tacka z = 3 koja pripada krugupreslikava se u tacku w(3) = (3 + 1)/(3 1) = 2. Tangenta na krug u tacki z = 3 gradi prav ugao sa realnomosom, tako da na osnovu osobine o nepromenljivosti uglova pri konformnom preslikavanju prava u w-ravni jeupravna na realnu osu i prolazi kroz tacku w = 2. Prema tome, dati krug se preslikava na pravu Re z = 2, stoje prikazano na slici 7.3.

Slika 7.3

Primer 7.2. Transformacijom z 7 w(z) = i zi+ z

preslikati oblast {z |Re z 0 Im z 0} (prvikvadrant).

Iz date transformacije resavanjem po z nalazimo

z = iw 1w + 1

, (7.6)

odakle je

Re z =1

2(z + z) =

1

2

(iw 1w + 1

+ iw 1w + 1

)=

2Imw

ww + w + w + 1.


Odavde je Re z 0 Imwww + w + w + 1

0 Imw 0 jer za w 6= 1 vazi ww + w + w + 1 =(w + 1)(w + 1) = |w + 1|2 > 0. Dalje, iz (7.6) imamo

Im z =1

2i(z z) = 1

2i

(iw 1w + 1

i w 1w + 1

)= ww 1

ww + w + w + 1.

Prema tome, Im z 0 (ww 1) 0 |w| 1.Dakle, transformacija w = (iz)/(i+z) preslikava datu oblast na poludisk {w | |w| 1 Imw 0}, videti

sliku 7.4.

Slika 7.4

Neki vazni slucajevi konformnog preslikavanja

1 Preslikavanje z 7 w(z) = z2Neka je z = ei. Kako je z 7 z2 = (ei)2 = 2ei2, zakljucujemo da se jedna tacka z-ravni preslikava

u tacku w-ravni ciji je modul jednak kvadratu modula originala i argument je dva puta veci. Na primer,isecak kruga |z| = ciji je centralni ugao preslikava se u kruzni isecak poluprecnika 2 sa centralnimuglom 2 (0 pi), kao sto je prikazano na slici 7.5a.

Slika 7.5 Preslikavanje funkcijom w = z2


Mreza koordinatnih linija x = p i y = q (p, q 6= 0 realni brojevi) preslikava se u dve familije ortogonalnihparabola (slika 7.5b.). Kako je w = u+ iv = z2 = (z + iy)2 = x2 y2 + i2xy, imamo

u = x2 y2, v = 2xy.

Eliminacijom x iz sistema u = x2 q2, v = 2xq i y iz sistema u = p2 y2, v = 2py, dobijamo jednacinefamilija ortogonalnih parabola

u = p2 v2

4p2, u =

v2

4q2 q2.

Zize ovih parabola su u koordinatnom pocetku. Takode, primecujemo da se prave y = q i y = qpreslikavaju u istu parabolu, sto proistice iz jednakosti (z)2 = z2.

Primer 7.3. Preslikati disk |z a| = a sa z 7 z2.Ako jednacinu kruznice posmatranog diska napisemo u obliku

z = a(1 + ei) (0 < 2pi),

dobijamo

w = u+ iv = a2(1 + ei

)2= a2

(e2i + 2ei + 1),

odakle je

u = 2a2 cos (1 + cos ), v = 2a2 sin (1 + cos ).

Kako je (u2 + v2)1/2 = 2a2(1 + cos ) i v/u = tan , uvodeci polarne koordinate u = cos, v = sin,dolazimo do jednacine

= 2a2(1 + cos)

u polarnim koodinatama. Ovo je jednacina krive (kardioide) na koju se preslikava krug |z a| = a iz z-ravni.Unutrasnost diska D preslikava se u unutrasnjost kardioide D, kao sto je prikazano na slici 7.6.

Slika 7.6 Preslikavanje diska funkcijom w = z2


3 Preslikavanje z 7 w(z) = ez

Kako jew = |w|eiarg w = ez = ex+iy = exeiy,

nalazimo da je|w| = = ex i argw = y.

Zbog toga se traka {z| < x < +, 0 < y < pi} preslikava u poluravan v = Imw > 0, jer se argw = ymenja od 0 do pi, dok se |w| = ex menja od 0 do + (slika 7.7a).

Pri preslikavanju jedne polovine ove pruge za koju je x < 0, imamo da se argw = y opet menja od 0do pi, a |w| = ex od 0 do 1. Na taj nacin dobija se oblast

{w||w| < 1, Imw > 0},

tj. jedinicni polukrug u gornjoj poluravni (slika 7.7b).

Pravougaonik JKLM sa slike 7.7c preslikava se u oblast koja se nalazi izmedu dva koncentricnapolukruga. S obzirom da je tacka J u oblasti x < 0, poluprecnik manjeg polukruga manji je od 1, dok jepoluprecnik veceg polukruga veci od 1 jer je tacka K u poluravni x > 0.

Slika 7.7 Preslikavanje z 7 ez


8. Kompleksna integracija

Definicija 1. Ako su u i v R-integrabilne funkcije realne promenljive t na segmentu [a, b] (integrabil-nost u Riemannovom smislu), integral funkcije t 7 f(t) = u(t)+iv(t) u granicama od do (, [a, b])je

f(t)dt =

u(t)dt+ i

v(t)dt. (8.1)

Za funkciju f kazemo da je R-integrabilna.

Navodimo neke osobine R-integrabilne funkcije:

1

f(t)dt =

f(t)dt.

2

f(t)dt =

f(t)dt ( je kompleksna konstanta).

3

( nk=1

fk(t))dt =

nk=1

fk(t)dt.

4 b

a

f(t)dt

b

a

|f(t)|dt (a < b).

5 Ako je t 7 f(t) = u(t) + iv(t) R-integrabilna funkcija na segmentu [a, b], isti je slucaj safunkcijom

t 7 |f(t)| =u(t)2 + v(t)2.

Definicija 2. Neka je f kompleksna funkcija kompleksne promenljive z i glatka kriva cija jejednacina z = z(t) = x(t) + iy(t) (a t b). Neka je funkcija f definisana i neprekidna na . Tada je

f(z)dz =

ba

f(z(t)

)z(t)dt (8.2)

i

|f(z)||dz| =b

a

|f(z(t))||z(t)|dt. (8.3)Integral (8.2) moze se razloziti na realni i imaginarni deo na sledeci nacin:

f(z)dz =

(u(x, y) + iv(x, y)

)dz =

u(x, y)dx v(x, y)dy + i

v(x, y)dx+ u(x, y)dy. (8.4)

Neke osobine integrala su:

1

f(z)dz =

f(z)dz.

2

f(z)dz =

f(z)dz ( je kompleksna konstanta).

kompleksna integracija 19

3

( nk=1

fk(z))dz =

nk=1

fk(z)dz.

4

f(z)dz =r

k=1

k

f(z)dz ( =r

k=1

k).

5

f(z)dz

|f(z)||dz| (Darbouxova5 nejednakost).

Dokazimo Darbouxovu nejednakost 5. Primenom osobine 4 za kompleksan integral realne promen-ljiive, iz (8.2) se dobija

f(z)dz

=

ba

f(z(t)

)z(t)dt

b

a

|f(z(t))z(t)|dt =b

a

|f(z(t))||z(t)|dt =

|f(z)||dz|.

Ako je maxz

|f(z)| = M (M pozitivna konstanta), tada iz 5 sleduje

f(z)dz

M

|dz| = ML,

gde je L duzina luka krive .

Primer 8.1. Smenom z a = reit ( dz = rieitdt) imamo

J =

|za|=r

1

z adz =2pi0

rieit

reitdt =

2pi0

idt = 2pii.

Navedenom smenom integral |za|=r

(z a)ndz (n ceo broj 6= 1),

postaje2pi0

irn+1ei(n+1)tdt =

[irn+1

i(n+ 1)ei(n+1)t

]2pi0

= 0.

Primer 8.2. Izracunati

C

zdz od z = 0 do z = 4 + 2i duz krive C date pomocu z = z(t) = t2 + it.

Dati integral je jednak C

(x iy)(dx+ idy) =C

xdx+ ydy + i

C

xdy ydx.

Parametarske jednacine krive C su x = x(t) = t2, y = y(t) = t za t [0, 2]. Tada linijski integral postaje2

t=0

[t2(2tdt) + tdt

]+ i

2t=0

[t2dt t(2tdt)] =

20

(2t3 + t)dt+ i

20

(t2)dt = 10 8i3.

5G. Darboux (1842-1917), francuski matematicar, cita se Darbu.


9. Cauchy-Goursatova teorema

Integrali analitickih funkcija imaju svojstva integrala totalnog diferencijala. Cauchy je 1825. for-mulisao sledecu teoremu:

Teorema 9.1 (Osnovna Cauchyeva teorema). Ako je f analiticka funkcija u jednostruko poveza-noj oblasti G, i ako je njen prvi izvod f neprekidan u G, tada je

f(z)dz = 0,

gde je ( G) zatvorena kontura.Dokaz. Ako na integrale koji se pojavljuju na desnoj strani formule (8.4) primenimo Green6-

Riemannovu formulu

(P (x, y)dx+Q(x, y)dy

)=

int

(Q(x, y)x

P (x, y)y

)dxdy,

dobijamo

f(z)dz =

G

(vx

vy

)dxdy + i

G

(u

x vy

)dxdy.

(G je oblast ogranicena konturom ). Primenom Cauchy-Riemannovih uslova na podintegralne funkcijevidimo da su oba integala na desnoj strani jednaka nuli, pa je

f(z)dz = 0.

U Cauchyevom dokazu ove teoreme bitna je pretpostavka o neprekidnosti izvoda funkcije f (da biGreen-Riemannova formula mogla da se primeni). Medutim, francuski matematicar Goursat dokazaoje 1884. godine da ova teorema vazi pod slabijim ogranicenjima za funkciju f. Naime, dovoljno jepretpostaviti da je funkcija f analiticka u jednostruko povezanoj oblasti G.

Cauchyeva teorema, uz izmene koje je dao Goursat, obicno se naziva Cauchy-Goursatova teo-rema.

Cauchy-Goursatova teorema moze se primeniti na visestruko povezanu oblast G. Granica oblasti Gje tada slozena kontura

= +0 1 n .Ona se sastoji od spoljne zatvorene konture 0 po kojoj se tacka krece u pozitivnom smislu i od unutrasnihzatvorenih kontura 1, . . . , n po kojima se tacka krece u suprotnom smislu. Drugim recima, kada setacka krece po , oblast G ostaje sleva.

U cilju ilustracije posmatajmo dvostruko povezanu oblast prikazanu na slici 9.1. Pomocu duzi ab i cddvostruko povezana oblast moze se podeliti na dve jednostruko povezane oblasti: kontura jedne od njihje K1 = adcba, a druge K2 = dabcd.

6G. Green (1793-1841), engleski matematicar, cita se Grin.

cauchy-goursatova teorema 21

Slika 9.1

Na osnovu Cauchy-Goursatove teoreme jeK1

f(z)dz = 0,

K2

f(z)dz = 0.

Odavde izlazi

K1

+

K2

= 0 tako da jedno za drugim imamo

ad

+

dc

+

cb

+

ba

+

da

+

ab

+

bc

+

cd

= 0,

+

0

f(z)dz +

1

f(z)dz = 0,

+

0

f(z)dz =

+

1

f(z)dz. (9.1)

U slucaju trostruko povezane oblasti imamo+

0

f(z)dz =

+

1

f(z)dz +

+

2

f(z)dz.

Produzujuci tako, dolazi se do sledece teoreme:

Teorema 9.3 (Stav o ekvivalenciji putanja). Ako je f funkcija definisana u oblasti 0 int0 ianaliticka u (n+ 1)-struko povezanoj oblasti G, tada je

f(z)dz = 0, tj.

0

f(z)dz =

nk=1

k

f(z)dz.

Formula (9.1) omogucava izracunavanje nekih integrala izborom pogodne konture. Tako u primeru5.5 vrednost integrala ce biti ista ako se mesto kruga uzme proizvoljna kontura koja obuhvata tacku a.Navedena formula kao i teorema 9.3 bice primenjeni u daljem izlaganju.

Documents

Kompleksna Analiza