Kompletterande formelsamling i

hållfasthetslära

Göran Wihlborg

LTH 2004

1

Spänningstillståndet i ett plan, vinkelätt mot en huvudspänningsriktning σ σ ϕ σ ϕ τ ϕ ϕϕ = + +x y xycos sin sin cos2 2 2

τσ σ

ϕ τ ϕϕ =−

+y xxy2

2 2sin cos

Huvudspänningar och huvudspänningsriktningar

σσ

σ σ σ στ1

2

2

2

2 2

UVW=+

±−F

HGIKJ +x y x y

xy

tan

tan

α σ στ

α σ στ

11

22

= −

= −

x

xy

x

xy

s s s s1 2+ = +x y

Maximala skjuvspänningen i planet är τ σ σmaxb gplanet

= −1 2

2

Maximala skjuvspänningen är τ σ σ σ σmax max

| |;

| |;

| |= −FHG

IKJ

1 2 1 2

2 2 2

2

Deformationstillståndet i ett plan, vinkelrätt mot en huvudspänningsriktning ε ε ϕ ε ϕ γ ϕ ϕξ = + +x y xycos sin sin cos2 2

γ ε ε ϕ γ ϕξη = − +( ) sin cosy x xy2 2

εεε ξγ

γ ξηξ η

ξ

ξη

x

xy

x

y

xy

x y

är töjningen av ett linjeelement i - riktningen

" " " " " i - riktningen

" " " " " i - riktningen

är skjuvningen av axelkorset , dvs minskningen av den

räta vinkeln mellan - och - riktningarna

är skjuvningen av axelkorset , dvs minskningen av den

räta vinkeln mellan - och - riktningarna

y

Huvudtöjningar och huvudtöjningsriktningar

εε

ε ε ε ε γ1

2

2 2

2 2 2

UVW=+

±−F

HGIKJ +FHGIKJ

x y x y xy

tan( )

tan( )

α ε εγ

α ε εγ

11

22

2

2

= −

= −

x

xy

x

xy

ε ε ε ε1 2+ = +x y

Maximala skjuvningen i planet är ( )maxγ ε εplanet = −1 2

3

Samband mellan spänningar och töjningar Hookes generaliserade lag

ε σ ν σ σ

εσ ν σ σ

ε σ ν σ σ

γτ

γτ

γ τ

xx

y z

yy

z x

zz

x y

xyxy

yzyz

zxzx

E E

E E

E E

G

G

G

= − +

= − +

= − +

=

=

=

( )

( )

( )

eller löst med avseende på spänningarna:

σν

ε νν

ε ε ε

σν

ε νν

ε ε ε

σν

ε νν

ε ε ε

τ γτ γτ γ

x x x y z

y y x y z

z z x y z

xy xy

yz yz

zx zx

E

E

E

G

G

G

=+

+−

+ +LNM

OQP

=+

+−

+ +LNM

OQP

=+

+−

+ +LNM

OQP

= ⋅

= ⋅= ⋅

1 1 2

1 1 2

1 1 2

( )

( )

( )

E är elasticitetsmodulen

G är skjuvmodulen GE=+2 1( )ν

ν är Poissons tal

4

Hookes lag vid plant spänningstillstånd En huvudspänning är noll. Välj koordinatsystemet så att denna huvudspänning är

Då gäller också att zσ

τ τ=

= =0

0

.

yz zx

ε σ ν σ

ε σ ν σ

γτ

x x y

y y x

xyxy

E

E

G

= − ⋅

= − ⋅

=

1

1

( )

( )

eller löst med avseende på spänningarna

σν

ε ν ε

σν

ε ν ε

τ γ

x x y

y y x

xy xy

E

E

G

=−

+ ⋅

=−

+ ⋅

= ⋅

1

1

2

2

( )

( )

Flythypoteser Skjuvspänningshypotesen σ σ σ σ σ σ σe = − − −max ; ;1 2 1 3 2 3c h Deviationsarbetshypotesen

σ σ σ σ σ σ σe = − + − + −1

2 1 22

2 32

3 12( ) ( ) ( )

Speciellt vid plant spänningstillstånd kan hypoteserna skrivas:

Skjuvspänningshypotesen σ σ σ σ σe = −max ; ;1 2 1 2c h

Deviationsarbetshypotesen σ σ σ σ σ τe x y x y xy= + − +2 2 3 2

5

Vridning

MP

PM

vv=

ω ωeffekten vid vinkelhastigheten är vridmomentet i en axel som överför

.

För maximala vridskjuvspänningen gällermaxτ v

τ vv

vv

M

WWmax är vridmotståndet (se tabell).=

För förvridningsvinkeln mellan axelns ändytor gällerϕ

ϕ = M L

GK KLv

är vridstyvhetens tvärsnittsfaktor (se tabell). är axellängden.

Tvärsnitt Wv K

Tunnväggigt cirkulärt slutet tvärsnitt med konstant vägg-tjocklek

πd t2

2

πd t3

4

Tjockväggigt cirkulärt slutet tvärsnitt

π d d

dy i

y

4 4

16

−FH IK

π d dy i4 4

32

−FH IK

Massivt cirkulärt tvärsnitt

πd 3

16

πd 4

32

Massivt liksidigt triangulärt tvärsnitt

s3

20

3

804s

Massivt rektangulärt tvärsnitt

η2

2hb

η33hb

2η och 3η bestäms ur diagram

Öppna tvärsnitt, sammansatta av smala rektanglar

b h

bi i3

3∑

max

b hi i

3

3∑

2Atmin

4 2A

dstz

Slutet tunnväggigt rörtvärsnitt av godtycklig form med variabel väggtjocklek A är den av medelomkretsen

omslutna arean

ct2

3 ct3

3 Öppet tunnväggigt rör-

tvärsnitt av godtycklig form med konstant väggtjocklek c är medelomkretsens längd

Vridmotståndet Wv och vridstyvhetens tvärsnittsfaktor K

6

Balkböjning Positiva definitioner på belastningsintensitet, tvärkraft och böjande moment.

För balkens totala belastning Q, riktad uppåt, gäller Q q dxL

= z0

dT

dxq

dM

dxTb

= −

=

R

S||

T||

7

Böjspänningar

är neutralplanets krökningsradie.

är yttröghetsmomentet kring -axeln.by

y

zE

Mz I y

I

σ ρρ

σ

=

=

För maximala böjspänningen σ b i ett snitt gäller

är böjmotståndet.bb b

b

MW

Wσ =

För Wb gäller

max

är största avståndet från neutralplanet till yttersta fibern.yb

IW e z

e= =

Allmänt om yttröghetsmoment

Yttröghetsmomentet kring - axeln

Yttröghetsmomentet kring - axeln

Deviationsmomentet kring axelkorset

x I y dA

y I x dA

xy D xy dA

x

y

xy

=

=

=

zzz

2

2

8

Steiners sats För yttröghetsmomentet Ix1

kring en axel parallell med en axel genom tyngdpunkten gäller

I I a Ax x1

2= + A är tvärsnittsarean.

a är avståndet mellan axlarna. För tröghetsradien i gäller

iI

A=

Böjskjuvspänningar i symmetriska balktvärsnitt

zxz

y z

T S

I bτ ⋅=

⋅

T är tvärkraften.

zS är statiska momentet kring y-axeln för den del av sektionen som är belägen ovanför snittet (streckade ytan i figuren).

yI är yttröghetsmomentet kring y-axeln för hela snittet.

zb är spänningsupptagande bredden i snittet.

max

2tan

är en konstant som beror av tvärsnittsytans form.

xy xzz

y

b

T

A

τ τ α

µτ µ

= −

=

9

Elastiska linjen För neutralplanets krökningsradie ρ gäller

1

ρ= M

EIb

I är tvärsnittsytans tröghetsmoment kring böjningsaxeln. Elastiska linjens differentialekvation är bEIw M′′ = −

Sammansatt belastning Balk utsatt för böjande moment och normalkraft

bx

y

M Nz

I Aσ = +

Reologiska modeller Byggelement: Elastiskt σ ε= ⋅E

Visköst σ η ε= ⋅ Räknelagar

I Vid seriekoppling av två element är totala töjningen lika med summan av elemen-tens töjningar. Båda elementen är härvid belastade med samma spänning.

II Vid parallellkoppling av två element är den totala spänning som belastar parallell-

kopplingen lika med summan av elementens spänningar. Båda elementen är härvid utsatta för samma töjning.

10

Tryckkärlsberäkningar enligt SS-EN 13445 Tunnväggiga sfäriska tryckkärl för inre tryck Minsta erforderliga godstjockleken e i mm för ett sfäriskt kärl med inre övertryck beräknas ur

alternativt 4 4

i eP D P De e

f z P f z P

⋅ ⋅= =⋅ − ⋅ +

Di och De är inner- respektive ytterdiameter i mm P är beräkningstryck i N/mm2 (övertryck), vilket alltså är det högsta övertryck som kan

förekomma i kärlet f nominellt tillåten i spänning i N/mm2 för det aktuella materialet, vid den högsta temperatur

t som materialet kommer att utsättas för. Exempel på beräkning av f:

p0,2 / m/20

p1,0/ p1,0 / m/

- för icke-austenitiska stål min ;

med brottförlängning A<30 % 1,5 2,4

- för austenitiska stål max ;min ;

med brottförlängning A>35 % 1,5 1, 2 3

t

t t t

R Rf

R R Rf

=

=

där RpX/t är förlängningsgränsen med X % resttöjning vid temperaturen t och Rm/t är brottgränsen vid t °C

z är styrkefaktorn, vilken anger styrkeförhållandet mellan svetsen och grundmaterialet vid en svetsfog.

För beräkning av den nominella godstjocklek som materialet i tryckkärlet minst måste ha, skall den minsta erforderliga godstjockleken e ökas med korrosionstillägget c och tillverkningstoleransen δe, dvs n,min ee e c δ= + +

Då materialets nominella godstjocklek en är känd görs spänningsberäkningar i kärlet med det som kallas för beräkningstjockleken ea. a n ee e c δ= − −

Beräkningstrycket kan bestämmas ur

amax

m

4 f z eP

D

⋅ ⋅=

där Dm är medeldiametern i kärlet. Giltighetsområdet för formlerna är e0,16e D≤

11

Tunnväggiga cylindriska mantlar för inre tryck Minsta erforderliga godstjockleken beräknas (med beteckningar enligt tidigare) ur:

alternativt 2 2

i eP D P De e

f z P f z P

⋅ ⋅= =⋅ − ⋅ +

. Beräkningstrycket beräknas ur

amax

m

2 f z eP

D

⋅ ⋅=

Giltighetsområdet är e0,16e D≤

12

Skruvförband Sambandet mellan moment och kraft i en skruv

MFd

vm= +

2 1tan( )α ρ

Mv är åtdragningsmomentet

F är kraften i skruven dm är gängans medeldiameter α är gängans stigningsvinkel

tancos

ρ µβ1 =

β är gängans halva profilvinkel (för M- och UN-gängor är β=30° ) µ är friktionskoefficienten i gängan

Kraftspelet mellan skruv och omgivning

F F Fk

k kbb

b f

= ++0

F F Fk

k ktf

b f

= −+0

F0 är förspänningskraften i skruven

Fb är maximala kraften i skruven

Ft är tätningskraften mellan fläns och underlag då

förbandet belastas med yttre last

F är den yttre lasten på varje skruvförband

13

Skruvfjädrar Maximala skjuvspänningen τ max och deformationen δ för en skruvfjäder beror på trådtvär-

snittets form, lindningens medeldiameter D, antalet fjädervarv z och kraften F.

Cirkulärt trådtvärsnitt

τ απ

δmax = =8 83

3

4

FD

d

FD z

Gd

d är trådens diameter α är formfaktorn enligt Bodelind-Perssons tabellsamling

Rektangulärt trådtvärsnitt

τ βmax ,= Fr

bhb g1 5

δ γ= FD z

Gh b

3

2 2

14

Kritiska varvtal Utan hänsyn till axelmassan är kritiska vinkelhastigheten

ω kr

k

m=

En slät axel med massan ma och utan punktmassor har en lägsta kritiska vinkelhastighet som beror på infästningen: a) ena ändpunkten har momentinspänt lager

ω kra

a

EI

m L= 3 52 3,

b) båda ändpunkterna har momentfria lager

ω πkra

a

EI

m L= 2

3

c) båda ändpunkterna har momentinspända lager

ω kra

a

EI

m L= 22 4 3,

Dunkerleys formel för lägsta kritiska vinkelhastigheten ω kr för en axel med n st punktmassor med hänsyn också tagen till axelmassan

1 1 12 2

12ω ω ωkr kri

n

kri a

= +=∑

där

ω kri

ii

k

m=

är egenvinkelhastigheten för massan i när enbart denna massa finns i systemet.

15