Komputeralgebra Rendszerek - ELTE

TARTALOMJEGYZÉK Az egzakt aritmetika Valós számok Algebrai számok Komplex számok

Komputeralgebra RendszerekSzámkezelés

Czirbusz SándorELTE IK, Komputeralgebra Tanszék

2014. február 14.

TARTALOMJEGYZÉK 1 of 52


TARTALOMJEGYZÉK1 TARTALOMJEGYZÉK

2 Az egzakt aritmetika„Bignum” aritmetikaNéhány szó a típusokrólEgészekRacionális számokA köztes tárrobbanás

3 Valós számokA MAPLE valósaiA SAGE valósai

4 Algebrai számokAlgebrai számok a MAPLE -benAlgebrai számok a SAGE -ben

5 Komplex számokKomplex számok a MAPLE -benKomplex számok a SAGE -ben

TARTALOMJEGYZÉK 2 of 52


„BIGNUM” ARITMETIKA

A komputeralgebra rendszerek az aktuálisan használtmatematikai struktúrában pontosan számolnak; ez atetszoleges pontosságú aritmetika, vagy többszöröspontosságú aritmetika.

A begépelt számról. esetleg kifejezésrol a forma alapjánazonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak.

A muveleteket az adott struktúrában hajtják végre(figyelembe véve a tartalmazási relációkat).Az eredmény a legbovebb alkalmazott struktúrában apontos eredmény

1Ez a MAPLE esetén többnyire egész-, racionális-, vagy komplex számlehet,vagy efölötti polinomSAGE esetén egész- vagy racionális szám, vagy a szimbolikus gyuru egyeleme

Az egzakt aritmetika 3 of 52




A begépelt számról. esetleg kifejezésrol a forma alapjánazonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak.A muveleteket az adott struktúrában hajtják végre(figyelembe véve a tartalmazási relációkat).

Az eredmény a legbovebb alkalmazott struktúrában apontos eredmény






A begépelt számról. esetleg kifejezésrol a forma alapjánazonnal eldöntik, mely struktúrába 1 tartoznak.A muveleteket az adott struktúrában hajtják végre(figyelembe véve a tartalmazási relációkat).Az eredmény a legbovebb alkalmazott struktúrában apontos eredmény




NÉHÁNY SZÓ A TÍPUSOKRÓL

A nem-szimbolikus nyelvek típusai a számítógépesmegvalósíthatóság alapján modellezik a típusokat, nemtükrözik egyértelmuen a matematikai „hovatartozását”egy objektumnak.

A komputeralgebra rendszerek a matematikai tipizálásthasználják, ezért a típusok mindig algebra struktúrák, éshalamzok, illetve az ezekkel végzett muveletekeredménystruktúrái, halmazai.



NÉHÁNY SZÓ A TÍPUSOKRÓL

A nem-szimbolikus nyelvek típusai a számítógépesmegvalósíthatóság alapján modellezik a típusokat, nemtükrözik egyértelmuen a matematikai „hovatartozását”egy objektumnak.A komputeralgebra rendszerek a matematikai tipizálásthasználják, ezért a típusok mindig algebra struktúrák, éshalamzok, illetve az ezekkel végzett muveletekeredménystruktúrái, halmazai.



EGÉSZEK I

A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMPill. MPIR (az elozo forkja).

A reprezentáció helyiértékes, nem bináris.Automatikusan felismert típus.Muveletek: az alapmuveletek közül az osztás lehetracionális.



EGÉSZEK I

A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMPill. MPIR (az elozo forkja).A reprezentáció helyiértékes, nem bináris.

Automatikusan felismert típus.Muveletek: az alapmuveletek közül az osztás lehetracionális.



EGÉSZEK I

A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMPill. MPIR (az elozo forkja).A reprezentáció helyiértékes, nem bináris.Automatikusan felismert típus.

Muveletek: az alapmuveletek közül az osztás lehetracionális.



EGÉSZEK I

A MAPLE és a SAGE is szabad könyvtárat használ: GMPill. MPIR (az elozo forkja).A reprezentáció helyiértékes, nem bináris.Automatikusan felismert típus.Muveletek: az alapmuveletek közül az osztás lehetracionális.



EGÉSZEK II

A MAPLE egészei

Dinamikus adatvektorint± n i0 i1 . . . in

Kis egészek: egy szóbanA számrendszer alapszáma: 10000.

A SAGE egészeiA ZZ tartomány elemei, objektumként is kezelhetok.



EGÉSZEK II

A MAPLE egészeiDinamikus adatvektor

int± n i0 i1 . . . in

Kis egészek: egy szóbanA számrendszer alapszáma: 10000.




EGÉSZEK II


int± n i0 i1 . . . inKis egészek: egy szóban

A számrendszer alapszáma: 10000.




EGÉSZEK II


int± n i0 i1 . . . inKis egészek: egy szóbanA számrendszer alapszáma: 10000.




EGÉSZEK II


int± n i0 i1 . . . inKis egészek: egy szóbanA számrendszer alapszáma: 10000.




EGÉSZEK III

Alapveto számelméleti függvények:lnko, bovített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex,isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime )

maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //)prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor)

A SAGE függvényei a számok objektum-tulajdonságaként isalkalmazható.



EGÉSZEK III

Alapveto számelméleti függvények:lnko, bovített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex,isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime )maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //)

prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor)A SAGE függvényei a számok objektum-tulajdonságaként isalkalmazható.



EGÉSZEK III

Alapveto számelméleti függvények:lnko, bovített lnko, prímtesztelés( igcd, igcdex,isprime,illetve gcd, xgcd, is_prime )maradékos osztás (iquo, irem illetve %, //)prímfaktorizáció (ifactor, ifactors,illetve factor)




EGÉSZEK III





EGÉSZEK III





RACIONÁLIS SZÁMOK I

Ha az egészek ábrázolása adott, a CAS-ok a racionálisszámokat ugyanúgy ábrázolják:

rac. rac. rac.

int int intint

R ^�?

Az „összenyilazás” a MAPLE jellegzetessége



RACIONÁLIS SZÁMOK II

Mind a MAPLE mind a SAGE automatikus egyszerusítéstvégez: a számláló és a nevezo lnko-jával osztja a számlálótés a nevezot

A számláló és a nevezo hasonló nevu függvényekkel különkezelheto: numer(), denom()



RACIONÁLIS SZÁMOK II

Mind a MAPLE mind a SAGE automatikus egyszerusítéstvégez: a számláló és a nevezo lnko-jával osztja a számlálótés a nevezotA számláló és a nevezo hasonló nevu függvényekkel különkezelheto: numer(), denom()



A KÖZTES TÁRROBBANÁS

Az egzakt aritmetika következménye a köztes tárrobbanás:1 Nem-szimbolikus rendszerben tárolhatatlan:

353515131

+3835

3444319=

123025814305209890789

.

(A számláló és a nevezo relatív prím)

2 Amikor a közbülso számítás a lényeg:

5151

+35449

+45209203397

=459670440113790113203

=13.

A legnagyobb közös osztót mindenképpen kiszámításaés az automatikus egyszerusítés mindig megtörténik.





353515131

+3835

3444319=

123025814305209890789

.

(A számláló és a nevezo relatív prím)2 Amikor a közbülso számítás a lényeg:

5151

+35449

+45209203397

=459670440113790113203

=13.






353515131

+3835

3444319=

123025814305209890789

.


5151

+35449

+45209203397

=459670440113790113203

=13.






353515131

+3835

3444319=

123025814305209890789

.


5151

+35449

+45209203397

=459670440113790113203

=13.




LEBEGOPONTOS ÉS HARDWARE LEBEGOPONTOS

SZÁMOK

Belso ábrázolás adatvektora:

FLOAT mantissza karakterisztika

A kitevo kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájávalLebegobontos szám megadása: 0.000001, 0.1 ∗ 10−5,Float(10,−7)evalf(...), convert(...)

interface(displayprecision=n): kijelzésipontosság, n = 1 az alaphelyzetA evalhf procedúra - HW lebegopontos aritmetika, agrafika használja. Az eredményeket duplapontosan adja,(Digits=15)

Valós számok 29 of 52



SZÁMOK


FLOAT mantissza karakterisztikaA kitevo kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájával

Lebegobontos szám megadása: 0.000001, 0.1 ∗ 10−5,Float(10,−7)evalf(...), convert(...)





SZÁMOK


FLOAT mantissza karakterisztikaA kitevo kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájávalLebegobontos szám megadása: 0.000001, 0.1 ∗ 10−5,Float(10,−7)

evalf(...), convert(...)





SZÁMOK


FLOAT mantissza karakterisztikaA kitevo kezelése a C egyszeres pontosságú artimetikájávalLebegobontos szám megadása: 0.000001, 0.1 ∗ 10−5,Float(10,−7)evalf(...), convert(...)





SZÁMOK



interface(displayprecision=n): kijelzésipontosság, n = 1 az alaphelyzet

A evalhf procedúra - HW lebegopontos aritmetika, agrafika használja. Az eredményeket duplapontosan adja,(Digits=15)




SZÁMOK






TETSZOLEGES- ÉS DUPLA PONTOSSÁGÚ

LEBEGOPONTOS SZÁMOK

Tetszoleges pontosságú számok

Ez felel meg a MAPLE lebegopontosnakA RR gyuru elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú,gyurudefinícióval ez módosíthatóKonverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterkéntaz értékes jegyeket és a pontosságot

Dupla pontos számok

A hardware-lebegopontosnak felel meg, az RDF-gyuru aszülo-objektum.A pontosság 15 bit.





Tetszoleges pontosságú számokEz felel meg a MAPLE lebegopontosnak

A RR gyuru elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú,gyurudefinícióval ez módosíthatóKonverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterkéntaz értékes jegyeket és a pontosságot







Tetszoleges pontosságú számokEz felel meg a MAPLE lebegopontosnakA RR gyuru elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú,gyurudefinícióval ez módosítható

Konverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterkéntaz értékes jegyeket és a pontosságot







Tetszoleges pontosságú számokEz felel meg a MAPLE lebegopontosnakA RR gyuru elemei, alapértelmezetten 53-bites pontosságú,gyurudefinícióval ez módosíthatóKonverzió a.n(), a SAGE megkülönbözteti paraméterkéntaz értékes jegyeket és a pontosságot















Dupla pontos számokA hardware-lebegopontosnak felel meg, az RDF-gyuru aszülo-objektum.

A pontosság 15 bit.






Dupla pontos számokA hardware-lebegopontosnak felel meg, az RDF-gyuru aszülo-objektum.A pontosság 15 bit.



ALGEBRAI SZÁMOK A MAPLE -BEN I

nem alapveto adattípus

Ábrázolás: a RootOf procedúra segítségével

Példa

alpha:= RootOf(x^7-2):simplify(alpha^7);

2

Az α értékkel ugyanúgy dolgozhatunk ezután, mint másértékkel.

Algebrai számok 42 of 52




ALGEBRAI SZÁMOK A SAGE-BEN I

A megvalósításban itt már komoly különbség van a kétrendszer között. A SAGE -ben a racionális számkör azalapértelmezett, de a többi szám-struktúrában explicitedefiniálni kell a Q testbovítését.

Példa:

K.<a> = NumberField(x^7-2)a^7

2

Innentol kezdve a K testet is használhatjuk, az összesa + 1, 2 ∗ a alakú kifejezés e test eleme.



KOMPLEX SZÁMOK A MAPLE -BEN

Az i helyett I-t használEz felülírható: például j-reinterface(imaginaryunit=j)

Megadás literálként a+b·I, vagy konstruktorralComplex(a,b).Az alapveto adatok Re(), Im(), conjugate(),abs(),argument().Komplex elojel: csgn().A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóvalállítható.Különbözo kiértékelo függvények: evalc szimbolikusankezeli a komplex számot, evalf, evalhf a valós éskomplex részt lebegopontosan.

Komplex számok 45 of 52




Megadás literálként a+b·I, vagy konstruktorralComplex(a,b).

Az alapveto adatok Re(), Im(), conjugate(),abs(),argument().Komplex elojel: csgn().A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóvalállítható.Különbözo kiértékelo függvények: evalc szimbolikusankezeli a komplex számot, evalf, evalhf a valós éskomplex részt lebegopontosan.





Megadás literálként a+b·I, vagy konstruktorralComplex(a,b).Az alapveto adatok Re(), Im(), conjugate(),abs(),argument().

Komplex elojel: csgn().A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóvalállítható.Különbözo kiértékelo függvények: evalc szimbolikusankezeli a komplex számot, evalf, evalhf a valós éskomplex részt lebegopontosan.





Megadás literálként a+b·I, vagy konstruktorralComplex(a,b).Az alapveto adatok Re(), Im(), conjugate(),abs(),argument().Komplex elojel: csgn().

A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóvalállítható.Különbözo kiértékelo függvények: evalc szimbolikusankezeli a komplex számot, evalf, evalhf a valós éskomplex részt lebegopontosan.





Megadás literálként a+b·I, vagy konstruktorralComplex(a,b).Az alapveto adatok Re(), Im(), conjugate(),abs(),argument().Komplex elojel: csgn().A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóvalállítható.

Különbözo kiértékelo függvények: evalc szimbolikusankezeli a komplex számot, evalf, evalhf a valós éskomplex részt lebegopontosan.





Megadás literálként a+b·I, vagy konstruktorralComplex(a,b).Az alapveto adatok Re(), Im(), conjugate(),abs(),argument().Komplex elojel: csgn().A csgn(0) érték a _Envsignum0 környezeti változóvalállítható.Különbözo kiértékelo függvények: evalc szimbolikusankezeli a komplex számot, evalf, evalhf a valós éskomplex részt lebegopontosan.



KOMPLEX SZÁMOK A SAGE -BEN I

A szigorú algebrai felépítés miatt az RR bovítése aComplexField avagy CC test, így konkrét értékekkel kellszámolni:Példa:

a = CC(12 + i); a12.0000000000000 + 1.00000000000000*I

A komplex számról információk: a.abs(), a.arg(),a.imag(), a.real(), a.conjugate().Ugyanúgy, mint a valós számokban, definiálhatók akomplex dupla-pontosnak is.



KOMPLEX SZÁMOK A SAGE -BEN II

A Sage szimbolikus gyuruje fölött szimbolikusan isszámolhatunk komplexekkel

a = 1 + i; aSymbolic Ring

a.imag()1

a*a.conjugate()2

A függvények ugyanazok, minden muvelet ugyanúgytörténik.


Documents

Komputeralgebra Rendszerek - ELTE