Komputerowa symulacja układów automatycznej regulacji w

KOMPUTEROWA SYMULACJAUKŁADÓW AUTOMATYCZNEJ REGULACJI

W SRODOWISKU MATLAB/Simulink

Barbara ŁYSAKOWSKA, Grzegorz MZYK

WROCŁAW 2005

OpiniodawcyStanisław BankaDanuta Rutkowska

KorektaAlina Kaczak

Opracowanie komputerowe w systemie LaTeXGrzegorz Mzyk

Oficyna Wydawnicza Politechniki WrocławskiejWybrzeze Wyspianskiego 27, 50-370 Wrocław

3

Spis rzeczy

1. Wprowadzenie 71.1. Zawartosc i struktura podrecznika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71.2. Istota i cele symulacji komputerowej . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2. Srodowisko programowe MATLAB — podstawy 112.1. Informacje wstepne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112.2. Srodowisko pakietu MATLAB . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

2.2.1. Linia polecen, komunikacja z systemem operacyjnym . . . . . . 122.2.2. Definiowanie i modyfikacja zmiennych, obszar roboczy . . . . . 122.2.3. Operacje na macierzach . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132.2.4. Funkcje algebry numerycznej w programie MATLAB . . . . . . 13

2.3. Tworzenie i uruchamianie M -skryptów . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142.4. Funkcje pakietu Control System Toolbox . . . . . . . . . . . . . . . . . 152.5. Nakładka graficzna Simulink . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

2.5.1. Edytor graficzny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172.5.2. Zródła sygnałów (Sources) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 202.5.3. Rejestratory sygnałów (Sinks) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212.5.4. Elementy i bloki liniowe z czasem ciagłym (Linear) . . . . . . . 212.5.5. Elementy nieliniowe (Nonlinear) . . . . . . . . . . . . . . . . . 222.5.6. Systemy z czasem dyskretnym (Discrete) . . . . . . . . . . . . 232.5.7. Widocznosc danych w programie MATLAB . . . . . . . . . . . 24

2.6. Korzystanie z funkcji HELP . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24

3. Charakterystyki czasowe obiektów z czasem ciagłym 253.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 253.2. Zakres tematyczny cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

3.2.1. Liniowe równanie rózniczkowe, transformacja Laplace’a . . . . 263.2.2. Opis liniowego systemu dynamicznego z czasem ciagłym w prze-

strzeni stanów, systemy wielowymiarowe . . . . . . . . . . . . . 273.2.3. Sterowalnosc, osiagalnosc i obserwowalnosc . . . . . . . . . . . 29

3.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 303.3.1. Wyznaczanie charakterystyk czasowych . . . . . . . . . . . . . 30

4

3.3.2. Identyfikacja parametrów typowych członów liniowych . . . . . 313.3.3. Numeryczny rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste . . . . 333.3.4. Testowanie sterowalnosci i obserwowalnosci systemu . . . . . . 333.3.5. Przykładowe odpowiedzi skokowe . . . . . . . . . . . . . . . . . 33

3.4. Przykłady praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 363.4.1. Ładowanie kondensatora w układach RC i CR . . . . . . . . . . 363.4.2. Zbiornik z ciecza . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 383.4.3. Termometr jako układ inercyjny pierwszego rzedu . . . . . . . 39

3.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

4. Systemy o złozonej strukturze i ich stabilnosc 414.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2. Zarys tematyczny cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42

4.2.1. Struktura szeregowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 424.2.2. Struktura równoległa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 434.2.3. Struktura szeregowo-równoległa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 444.2.4. Struktura ze sprzezeniem zwrotnym . . . . . . . . . . . . . . . 454.2.5. Badanie stabilnosci systemów ze sprzezeniem zwrotnym . . . . 484.2.6. Okreslanie stabilnosci systemów za pomoca MATLAB . . . . . 51

4.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.1. Detekcja rzedu inercyjnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.3.2. Detekcja rzedu astatyzmu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.3.3. Badanie stabilnosci układów złozonych . . . . . . . . . . . . . . 554.3.4. Struktury regulatorów P, PI i PID . . . . . . . . . . . . . . . . 584.3.5. Funkcje pakietu MATLAB do budowania struktur . . . . . . . 59

4.4. Przykład praktyczny — wzmacniacz operacyjny . . . . . . . . . . . . . 594.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

5. Charakterystyki czestotliwosciowe obiektów dynamicznych 635.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 635.2. Zakres tematyczny cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

5.2.1. Odpowiedz systemu liniowego na pobudzenie sinusoidalne . . . 635.2.2. Transmitancja widmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 655.2.3. Charakterystyki czestotliwosciowe . . . . . . . . . . . . . . . . 665.2.4. Zapas amplitudy i zapas fazy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67

5.3. Program cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 685.4. Komputerowe badanie charakterystyk . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68

5.4.1. Wyznaczanie charakterystyk amplitudowo-fazowych . . . . . . 685.4.2. Wyznaczanie charakterystyk Bodego . . . . . . . . . . . . . . . 705.4.3. Wyznaczanie gestosci widmowej mocy sygnału . . . . . . . . . 70

5.5. Przykład praktyczny — głowica radiowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72

5

6. Liniowe układy automatycznej regulacji z czasem ciagłym 756.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 756.2. Własnosci UAR w stanie ustalonym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

6.2.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 786.2.2. Program cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 826.2.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87

6.3. Kryteria jakosci regulacji — dobór nastaw . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 936.3.2. Program cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 976.3.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 996.3.4. Przyblizona analiza układów nieliniowych . . . . . . . . . . . . 102

6.4. Przykłady praktyczne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1086.4.1. Sterowanie reczne napełnianiem zbiornika . . . . . . . . . . . . 1086.4.2. Układ Automatycznej Regulacji Czestotliwosci . . . . . . . . . 109

7. Układy automatyki z czasem dyskretnym 1117.1. Wprowadzenie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

7.1.1. Równanie róznicowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1117.1.2. Transformacja Z . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1127.1.3. Transmitancja systemu z czasem dyskretnym . . . . . . . . . . 1137.1.4. Transmitancja widmowa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.1.5. Standardowe pobudzenia dyskretne . . . . . . . . . . . . . . . . 1147.1.6. Stabilnosc układów z czasem dyskretnym . . . . . . . . . . . . 1157.1.7. Ekstrapolator i impulsator . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1177.1.8. System pobudzany procesem losowym . . . . . . . . . . . . . . 1187.1.9. Identyfikacja liniowych systemów dynamicznych z czasem dys-

kretnym . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1197.2. Program cwiczenia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1237.3. Badania komputerowe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

7.3.1. Wyznaczanie odpowiedzi impulsowych, transformacja Z . . . . 1247.3.2. Identyfikacja . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1247.3.3. Przykładowe wyniki symulacji komputerowej . . . . . . . . . . 1267.3.4. Badanie stabilnosci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3.5. Systemy złozone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1267.3.6. Analiza korelacyjna procesu wyjsciowego . . . . . . . . . . . . . 129

7.4. Przykład praktyczny — filtracja dzwieku . . . . . . . . . . . . . . . . . 1297.5. Podsumowanie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129

Literatura 131

Indeks 133

6

7

1. Wprowadzenie

1.1. Zawartosc i struktura podrecznika

Podrecznik jest adresowany do osób studiujacych na kierunkach politech-nicznych zwiazanych z automatyka i robotyka, elektronika i telekomunikacjaoraz informatyka. Od czytelnika wymaga sie znajomosci podstaw automatykiw zakresie: transformacji Laplace’a, charakterystyk czasowych i czestotliwo-sciowych liniowych członów dynamicznych, kryteriów stabilnosci systemówliniowych, analizy układów ze sprzezeniem zwrotnym, własciwosci układówregulacji typu P, PI i PID, a takze transformacji Z oraz opisu i analizy sy-stemów z czasem dyskretnym. W celu uzupełnienia wiedzy teoretycznej zewskazanego zakresu, szczególnie polecana jest monografia [5]. Celem podrecz-nika jest pomoc w rozwinieciu umiejetnosci w zakresie zastosowania teoretycz-nych podstaw automatyki w zagadnieniach praktycznych przez komputerowasymulacje wybranych procesów dynamicznych. Aby rozwazania nie były pro-wadzone w oderwaniu od zjawisk rzeczywistych, zagadnienia teoretyczne saprzeplatane mniej formalnymi przykładami zastosowania teorii systemów li-niowych.

Ksiazka składa sie z szesciu rozdziałów. Kazdy z nich moze byc trakto-wany jako materiał dydaktyczny do jednego lub kilku cwiczen komputerowych(laboratoryjnych).

Rozdział 2 jest krótkim kursem obsługi srodowiska programowegoMATLAB, w zakresie analizy, symulacji i graficznej reprezentacji prostych sy-stemów automatyki. Pakiet ten wybrano ze wzgledu na prostote obsługi orazpowszechne zastosowanie w inzynierskich badaniach Układów AutomatycznejRegulacji (UAR). Rozdziały 3—6 poswiecone sa analizie systemów liniowychz czasem ciagłym, badaniu charakterystyk, analizie stabilnosci, nastawianiuregulatorów. Rozdział 7 dotyczy opisu i analizy stabilnosci liniowych prostychi złozonych systemów z czasem dyskretnym. Rozpatruje sie takze zagadnienie

8 1. Wprowadzenie

przejscia procesu losowego przez liniowy system dynamiczny oraz identyfikacjejego parametrów metoda najmniejszych kwadratów. Materiał do kazdego cwi-czenia rozpoczyna sie od obszernego wstepu teoretycznego. Nastepnie przed-stawiony jest plan badan, sposób ich realizacji komputerowej i przykładowewyniki eksperymentów. Podane sa równiez cwiczenia symulacyjne i oblicze-niowe oraz proste przykłady praktyczne z róznych dziedzin, np. fizyki, elek-troniki, mechaniki.

Autorzy pragna serdecznie podziekowac Panu prof. dr hab. inz. Zygmun-towi Hasiewiczowi, autorowi pierwszego zestawu cwiczen laboratoryjnychz Podstaw Automatyki, na bazie którego mogli rozwinac i udoskonalic ichzakres tematyczny, wprowadzajac jednoczesnie komputerowa implementacjew srodowisku MATLAB.

1.2. Istota i cele symulacji komputerowej

W celu podkreslenia znaczenia symulacji komputerowej rzeczywistych zja-wisk dynamicznych omówiono kolejne fazy projektowania układu automatycz-nej regulacji na przykładzie sterowania poziomem wody w jeziorze. Pierwszymkrokiem jest zdefiniowanie obiektu sterowania i ustalenie sygnału wyjsciowegoy(t) obiektu, jako celu sterowania, czyli takiej jego cechy fizycznej, która na-lezy sterowac. Okresla sie równiez sygnał wejsciowy u(t) — wielkosc fizycznamajaca zasadniczy wpływ na y(t), np. obiekt — jezioro z zapora na rzece,y(t) — poziom wody w jeziorze w chwili t, u(t) — połozenie zasuwy w zaporzew chwili t.

OBIEKT)(tu )(ty

)(tz

Rys. 1.1. Graficzna reprezentacja obiektu regulacji

Na obiekt oddziałuja równiez inne wielkosci z(t) — zwane zakłóceniami,trudne lub zbyt kosztowne w analizie, czesto o charakterze przypadkowym(np. opady deszczu, parowanie). Dla obiektu z rysunku 1.1 poszukuje siemozliwie najlepszej formuły matematycznej F (wzoru, funkcjonału) opisujacejzaleznosc y(t) od u(t)

y(t) ≈ F(u(t− τ)), gdzie τ = 0, ...,∞

1.2. Istota i cele symulacji komputerowej 9

Tabela 1.1. Wyniki do rankingu

Liczba dni: τ 7 14 21

Liczba punktów zawodnika A: uA 1 2 1

Liczba punktów zawodnika B: uB 1 1 2

Obiekt identyfikuje sie, korzystajac z teoretycznych praw fizyki oraz zgro-madzonych eksperymentalnie wartosci pomiarów u(t) i y(t). W pracy ograni-czamy sie do obiektów liniowych (spełniajacych zasade superpozycji), działa-jacych bez zakłócen z(t).

Zasada superpozycji mówi, ze w systemie liniowym odpowiedz na sumedwóch dowolnych pobudzen jest zawsze taka sama, jak suma odpowiedzi nakazde z tych pobudzen z osobna, tzn. jezeli system liniowy przetwarza

u1(t)→ y1(t) oraz u2(t)→ y2(t), to u1(t) + u2(t)→ y1(t) + y2(t).

Przykładowo, system całkujacy sygnał wejsciowy: y(t) =R t0 u(t)dt jest liniowy

(liniowosc całki) i dynamiczny (wyjscie zalezy od historii wejscia), system na-tomiast opisany równaniem y(t) = |u(t)| jest nieliniowy (kontrprzykład: dlau1(t) = 1(t) i u2(t) = −1(t), |u1(t) + u2(t)| = 0, a |u1(t)| + |u2(t)| = 2 · 1(t))i statyczny. W systemach liniowych F jest splotem sygnału wejsciowego u(t)z pewna funkcja wagowa k(t) — charakterystyka czasowa obiektu, która w tokudalszych rozwazan nad opisem układów automatyki nazwiemy odpowiedziaimpulsowa

y(t) =

Z ∞

0u(t− τ)k(τ)dτ .

Splot jest pojeciem kluczowym, a jego zrozumienie jest niezbedne w dal-szych badaniach. Wytłumaczymy jego dyskretna wersje na podstawie pro-stego systemu rankingu zawodników sportowych. Celem jest okreslenie, któryz dwóch zawodników (A czy B) jest aktualnie w lepszej formie, na podsta-wie ostatnio zdobytych wyników w zawodach. W tym celu ustala sie pewnafunkcje wagowa k(τ), preferujaca ostatnio zdobyte wyniki, np. k(τ) = 1

τ ,gdzie τ oznacza liczbe (całkowita) dni, które upłyneły od zdobycia punktówprzez danego zawodnika. Nastepnie dla kazdego zawodnika splata sie procesyzdobytych przez nich punktów uA i uB (patrz tabela) z wagami k(τ), tzn.

yA = 1 · 17+ 2 · 1

14+ 1 · 1

21, yB = 1 · 1

7+ 1 · 1

14+ 2 · 1

21.

Poniewaz yA > yB, przyjmuje sie, ze zawodnik A jest aktualnie lepszy.

10 1. Wprowadzenie

MODELOBIEKTU

)(tu )(ty

zadyA

)(tε-

Rys. 1.2. Symulowany Układ Automatycznej Regulacji (UAR)

Celem identyfikacji jest znalezienie charakterystyki k(τ) obiektu. Dalszebadania prowadzi sie nie na obiekcie rzeczywistym, lecz na modelu kompute-rowym otrzymanym w wyniku identyfikacji. Umozliwia to obnizenie kosztów,podnosi poziom bezpieczenstwa, przyspiesza badania. Sterowanie w układziezamknietym ma na celu takie ustawianie wejscia obiektu u(t), aby jego wyjsciey(t) mozliwie szybko i dokładnie przyjmowało zadana przez nas wartosc yzad.Regulacja automatyczna polega na wprowadzeniu elementu realizujacego algo-rytm A, który na podstawie róznicy ε(t) = yzad − y(t) wyznaczy odpowiedniesterowanie u(t) (tzw. sygnał regulacji). Element realizujacy algorytm stero-wania A bedziemy nazywac regulatorem, a cały zamkniety układ — UkłademAutomatycznej Regulacji (UAR). Wszystkie kolejne etapy wdrozenia stano-wia całosciowy proces symulacji komputerowej UAR, za pomoca przydatnegow obliczeniach technicznych srodowiska MATLAB. Układ Automatycznej Re-gulacji nazywamy liniowym, gdy zarówno obiekt, jak i regulator sa liniowe.Ostatni etap projektu (wdrozenie) wiaze sie z zainstalowaniem czujników,przetworników, odpowiednio zaprogramowanych sterowników mikroprocesoro-wych i elementów wykonawczych (np. siłowników) na rzeczywistym obiekcie.

11

2. Srodowisko programoweMATLAB — podstawy

2.1. Informacje wstepne

Niniejszy rozdział jest wprowadzeniem do programu MATLAB, w zakresiepotrzebnym do symulacji liniowych systemów dynamicznych z czasem ciagłymi z czasem dyskretnym. Jest niezbedna instrukcja, umozliwiajaca przeprowa-dzenie cwiczen laboratoryjnych z zakresu teoretycznych podstaw automatykina uczelniach technicznych. Proponowany plan cwiczen oraz dodatkowe infor-macje sa udostepnione na stronie WWW http://diuna.ict.pwr.wroc.pl/grmz.Zakłada sie nastepujace minimalne wymagania dotyczace sprzetu i oprogra-mowania komputerowego:

• pamiec RAM: 64MB lub wieksza;• system operacyjny: Windows 95/98 lub nowszy;

• zainstalowany MATLAB w wersji 5.2 (lub nowszej), z pakietem ControlSystem Toolbox oraz nakładka graficzna Simulink.

Działanie wszystkich symulacji i skryptów zostało takze przetestowanew programie MATLAB w wersji 6.5.

2.2. Srodowisko pakietu MATLAB

Pełna instalacja programu MATLAB (łacznie z Control System Toolboxi Simulink) znajduje sie w folderze c:\matlab i zajmuje około 400MB pamiecidyskowej dla wersji 5.2 oraz około 1GB dla wersji 6.5. Plikiem uruchomienio-wym jest c:\matlab\bin\matlab.exe (ikona na pulpicie).

12 2. Srodowisko programowe MATLAB — podstawy

2.2.1. Linia polecen, komunikacja z systemem operacyjnym

Uruchomienie c:\matlab\bin\matlab.exe powoduje otwarcie okna z liniapolecen (ang. command line), pokazanego na rysunku 2.1. Kazde polece-nie jest wykonywane po jego wpisaniu za znakiem zachety >> i nacisnieciuklawisza ENTER.

Rys. 2.1. Okno polecen

Do przykładowych polecen naleza:pwd — wyswietla aktualny katalog (ang. print working directory);cd nowykat — zmienia biezacy katalog na nowykat ;who — wyswietla liste wszystkich zmiennych zdefiniowanych w przestrzeni

roboczej;clear — czysci przestrzen robocza (wartosci i etykiety wszystkich zmiennych

zostaja wykasowane).Przestrzen robocza (wszystkie zmienne i ich wartosci, ang. WorkSpace)

mozna zapisac w pliku z rozszerzeniem *.mat, wydajac z menu /File pole-cenie /SaveWorkspaceAs. Analogicznie, mozliwe jest otwarcie zapamietanegosrodowiska poprzez wydanie polecenia /File/LoadWorkspace.

2.2.2. Definiowanie i modyfikacja zmiennych, obszar roboczy

Zdefiniowanie nowej zmiennej, lub modyfikacja juz istniejacej nastepujeprzez proste przypisanie jej wartosci, np. polecenie

x = 8; — definiuje zmienna o nazwie x (jesli wczesniej taka nie istniała)i nadaje jej wartosc 8, srednik na koncu wyłacza tzw. echo.

Aktualna wartosc zmiennej mozna odczytac wpisujac jej nazwe (bez sred-nika), czyli polecenie

x — powoduje wyswietlenie wartosci 8.Dla skalarów dostepne sa operatory: *, /, +, — i ^(potegowanie).

2.2. Srodowisko pakietu MATLAB 13

2.2.3. Operacje na macierzach

Nalezy miec swiadomosc, ze srodowisko MATLAB (skrót od ang. MatrixLaboratory) w całosci jest oparty na macierzach. Wszelkie sygnały (ich dys-kretne odpowiedniki) sa przechowywane własnie jako macierze (ewentualniewektory jako macierze jednokolumnowe). Macierz definiuje sie korzystajacz nawiasów kwadratowych [ ], znaku przecinka lub spacji, jako separatora ele-mentów w danym wierszu oraz srednika jako separatora wierszy, np. polecenie

definiujace macierz A postaci·1 23 4

¸wyglada nastepujaco

A=[1,2;3,4]Do poszczególnych elementów macierzy odwołujemy sie przez nawiasy okra-

głe, np.A(i,j)— oznacza element w i-tym wierszu i j-tej kolumnie macierzy A, moze

on stanowic tzw. lvalue, czyli oprócz wyswietlenia zawartosci komórki macie-rzy dopuszczalne jest przypisanie jej okreslonej wartosci, np.

A(1,2)=8Macierz mozna takze definiowac blokami, np. polecenieB=[A,A]

utworzy macierz B postaci·1 2 1 23 4 3 4

¸.

Sekwencje uporzadkowane (np. kolejne elementy ciagu arytmetycznego)uzyskuje sie przez konwencje zapisu wyrazenia macierzowego min:[krok]:max,np. symbol 1:3:10 oznacza wektor

£1 4 7 10

¤, a polecenie

C=[1:3;1:2:5] — definiuje macierz C postaci·1 2 31 3 5

¸.

W rozumieniu operacji macierzowych według Cauchy’ego dostepne sa ope-ratory *, +, — oraz ^. Natomiast mnozenie i dzielenie tablic (ang. array) wyko-nuje sie z uzyciem operatorów tablicowych .* (kropka-gwiazdka) i ./ (kropka-slash).

2.2.4. Funkcje algebry numerycznej w programie MATLAB

Przedstawiono nazwy najczesciej uzywanych procedur numerycznej alge-bry liniowej:

eye(n) — definiowanie macierzy jednostkowej o rozmiarach n× n;zeros(n,m) — definiowanie macierzy zerowej o rozmiarach n×m;ones(n,m) — definiowanie macierzy o rozmiarach n ×m zbudowanej z sa-

mych jedynek;


det(A) — obliczanie wyznacznika macierzy kwadratowej A;inv(A) — wyznaczanie macierzy odwrotnej do A: A−1; równowazna postac

polecenia to: A^(-1);trace(A) — obliczanie sladu macierzy A (sumy elementów na głównej prze-

katnej);lu(A) — wyznaczanie rozkładu LU (na iloczyn dwóch macierzy trójkatnych)

macierzy A;chol(A) — wyznaczanie rozkładu Cholesky’ego macierzy A (patrz np. [9]);svd(A) — wyznaczanie rozkładu wzgledem wartosci szczególnych macierzy

A (tzw. rozkład SVD, [9]);eig(A) — wyznaczanie wartosci własnych macierzy A;rand(n,m) — generacja macierzy losowej o rozmiarach n×m i elementach

z rozkładu jednostajnego U [0, 1];randn(n,m) — generacja macierzy losowej o rozmiarach n×m i elementach

z rozkładu normalnego N(0, 1);plot() — rysowanie wykresów na płaszczyznie;plot3 () — rysowanie wykresów trójwymiarowych;stem() — rysowanie przebiegów z czasem dyskretnym;roots() — numeryczne znajdowanie pierwiastków wielomianu;residue() — rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste;rlocus() — znajdowanie pierwiastków układu zamknietego.

2.3. Tworzenie i uruchamianie M -skryptów

Ciag polecen programu MATLAB mozna umiescic w osobnym pliku te-kstowym (skrypcie) z rozszerzeniem *.m. W tym celu nalezy wybrac z menu/File polecenie /New/M-file, co spowoduje otwarcie okna edytora pokazanegona rysunku 2.2. Dostepne sa oczywiscie instrukcje warunkowe (if ...) oraziteracyjne (while, for). Przykładowy skrypt moze miec postac:

%Sekwencyjne wypełnienie wektora liczbami losowymifor i=1:10

W(i)=i^2endZnak % słuzy do wstawiania komentarzy. Uruchomienie skryptu polega na

wybraniu z menu edytora /Tools, polecenia /Run. Gdy istnieje plik z rozsze-rzeniem *.mdl o tej samej nazwie, wówczas nastepuje jego otwarcie. Mozliwejest równiez uruchomienie przez wpisanie nazwy M-skryptu w linii polecenMATLAB. Wymaga to ustawienia odpowiedniej sciezki dostepu do zbioru

2.4. Funkcje pakietu Control System Toolbox 15

Rys. 2.2. Edytor skryptów tekstowych

dyskowego. Mozna to uczynic na dwa sposoby: korzystajac z polecenia cd,lub zapisujac sciezke w zbiorze dostepnych lokalizacji (menu /File/SetPath).

2.4. Funkcje pakietu Control System Toolbox

Specjalistyczne zestawy dodatkowych funkcji systemuMATLAB umieszczo-ne sa w tzw. Toolbox -ach (ang. pudełka z narzedziami, nazywane przyborni-kami) sa dodatkowymi, specjalistycznymi zestawami funkcji MATLABa. Nie-które z nich nie sa zawarte w licencji podstawowej oprogramowania i nalezy jezakupic. Pakiet Control System Toolbox to dodatkowy, tematyczny przybornikfunkcji, dotyczacy analizy i sterowania systemów dynamicznych. Jego obsługanie wymaga zadnych dodatkowych umiejetnosci od uzytkownika w zakresie ob-sługi oprogramowania. Definiowanie systemu liniowego, którego transmitancjajest funkcja wymierna zmiennej zespolonej s, opiera sie na utworzeniu dwóchwektorów wierszowych, zawierajacych odpowiednio współczynniki wielomianulicznika i mianownika transmitancji. Definicje rozpoczyna sie od wpółczyn-nika przy najwyzszej potedze do wyrazu wolnego, np. systemowi całkujacemuo transmitancji 1/s odpowiadaja wektory [1] (licznik) i [1, 0] (mianownik).Odsyłamy takze do wzoru (3.10). Istnieje zestaw funkcji, które, na podstawiewspomnianych wektorów, komputerowo symuluja działanie systemu. Przykła-dem moze byc funkcja tf () (ang. transfer function — funkcja przejscia). Donajczesciej wykorzystywanych funkcji zawartych w pakiecie Control SystemToolbox naleza:

bode(sys) — wyznaczanie charakterystyk Bodego systemu sys;feedback(sys1,sys2 ) — tworzenie systemu złozonego (sys1 z ujemnym (do-

myslnie) sprzezeniem zwrotnym sys2 );


freqresp(sys,w) — wyznaczanie odpowiedzi systemu sys w dziedzinie czesto-tliwosci (Re(K(jω)),Im(K(jω))) dla wartosci pulsacji zadanych w wektorze w ;

gensig(typ,okres) — generacja standardowych sygnałów, np. dla ustawientyp=’sin’, okres=1 — funkcja generuje fale sinusoidalna o okresie 1s;

impulse(sys) — wyznaczanie odpowiedzi impulsowej systemu sys;kalman() — projektowanie filtru Kalmana;lsim(sys,u,t) — symulacja liniowego systemu sys przy dowolnym pobudze-

niu zawartym w wektorze u, (t — wektor czasu);ltiview(typ,sys) — wykreslanie charakterystyki typu typ (np. ’step’, ’impul-

se’, ’nyquist’ ) systemu sys;parallel(sys1,sys2 ) — połaczenie równoległe systemów sys1 i sys2 ;step(sys) — wyznaczanie odpowiedzi systemu sys na skok jednostkowy;series(sys1,sys2 ) — połaczenie szeregowe systemów sys1 i sys2 ;ss(A,B,C,D) — tworzenie systemu liniowego na podstawie opisu w prze-

strzeni stanów (ang. state space): x0 = Ax+Bu, y = Cx+Du;ss2tf (L,M ) — konwersja w kierunku odwrotnym do funkcji ss();tf (L,M ) — tworzenie systemu na podstawie wektorów współczynników tran-

smitancji, licznika L i mianownika M transmitancji operatorowej K(s);rlocus(L,M ) — przedstawienie na płaszczyznie (ReK(jω), ImK(jω)) pier-

wiastków układu zamknietego.Inne wazne polecenia MATLAB beda sukcesywnie podawane wraz z ko-

niecznoscia ich zastosowania w kolejnych M -plikach w dalszych rozdziałachpodrecznika.

2.5. Nakładka graficzna Simulink

Nakładka Simulink ułatwia tworzenie schematów graficznych połaczen mo-deli i ich reprezentacji graficznych oraz zwalnia uzytkownika w znacznym stop-niu ze znajomosci składni funkcji pakietu Control System Toolbox. Urucho-mienie nakładki odbywa sie poleceniem simulink, co powoduje otwarcie oknazawierajacego zbiór przyborników (rys. 2.3). Oprócz niego otwiera sie takze„czyste” okno edytora graficznego modeli (rys. 2.4).

Dostepne w Simulinku modele graficzne sa pogrupowane nastepujaco:• Sources — modele zródeł sygnałów (generatory);• Sinks — modele odbiorników sygnałów i urzadzen pomiarowych (rejestra-

torów);• Discrete — modele liniowych obiektów dynamicznych z czasem dyskret-

nym;

2.5. Nakładka graficzna Simulink 17

Rys. 2.3. Przyborniki nakładki graficznej Simulink

• Linear — modele liniowych obiektów dynamicznych z czasem ciagłym;• Nonlinear — statyczne elementy o charakterystykach nieliniowych

(równiez z histereza);• Connections — bloki wspomagajace konstruowanie skomplikowanych

struktur połaczen;• Blocksets&Toolboxes — dodatkowe bloki i biblioteki, ich zawartosc zalezy

od zainstalowanej wersji programu.

2.5.1. Edytor graficzny

Budowa graficznych schematów blokowych odbywa sie na zasadzie „prze-ciagania myszka” bloków z zasobników do okna edytora graficznego (rys. 2.4).Schemat (zbiór odpowiednio połaczonych generatorów, modeli obiektów i re-

Rys. 2.4. Graficzny edytor modeli (schematów blokowych symulacji)


jestratorów) mozna zapisac w pliku z rozszerzeniem *.mdl. Połaczenia mie-dzy poszczególnymi blokami nastepuja równiez przez „przeciaganie”. Wezłypołaczeniowe uzyskujemy, przytrzymujac klawisz Ctrl. Symulacje gotowegomodelu dynamicznego uruchamia sie poleceniem Ctrl+T (/Start w menu /Si-mulation). Okno ustawien parametrów symulacji (rys. 2.5) wywołuje sie po-leceniem Ctrl+E (/Parameters w menu /Simulation).

Rys. 2.5. Parametry symulacji komputerowej

Własciwosci i parametry elementów zawartych w schemacie zmienia siepo dwukrotnym kliknieciu na poszczególne obiekty schematu symulacji (patrzprzykłady na rys. 2.6—2.8).

Na rysunku 2.6 przedstawiono okno ustawien parametrów sygnału skoko-wego. Znaczenie ustawien jest nastepujace:

• Step time = 1 — moment, w którym nastepuje skok wartosci wyjsciowejbloku Step;

• Initial value = 0 — wartosc poczatkowa (przed skokiem);• Final value = 1 — wartosc koncowa (po skoku).Takie ustawienia powoduja zatem symulacje sygnału wejsciowego typu

1(t− 1), tzn. skoku jednostkowego z opóznieniem τ = 1.Na rysunku 2.7 parametrami sa współczynniki wielomianów licznika

i mianownika transmitancji symulowanego systemu z czasem ciagłym:


Rys. 2.6. Własciwosci bloku zródłowego sygnału skoku jednostkowego STEP

Rys. 2.7. Własciwosci bloku liniowego Transfer Function

• Numerator = [1] — licznik transmitancji, o postaci: 1;• Denominator = [1 2] — mianownik transmitancji, o postaci: s+ 2.Sygnał wyjsciowy obiektu trafia do bloku typu TO FILE (rys. 2.8),

w którym:• Filename — oznacza nazwe pliku dyskowego, do którego zostanie on

skierowany;• V ariable name — nazwa zmiennej, za pomoca której bedzie on w danym

pliku identyfikowany;• Sample time — czas próbkowania (−1: ustawienie domyslne).Zmienne zawarte w tym zbiorze (*.mat) mozna potem załadowac do ob-

szaru roboczego srodowiska MATLAB (patrz punkt 2.2.1.).


Rys. 2.8. Własciwosci rejestratora To File

2.5.2. Zródła sygnałów (Sources)

Ze wzgledu na cwiczenia laboratoryjne z podstaw automatyki najbardziejprzydatne sa nastepujace bloki generujace sygnały (rys. 2.9):

Rys. 2.9. Bloki generujace sygnały wejsciowe


pulse — impulsy Diraca [5];step — skok jednostkowy;ramp — sygnał liniowo narastajacy;sine wave — sinusoida o stałej amplitudzie i czestotliwosci;from file — sygnał (wektor) zawarty w wyspecyfikowanym pliku;random number — generator liczb pseudolosowych;from workspace — zródło danych oparte na zmiennej obszaru roboczego.

2.5.3. Rejestratory sygnałów (Sinks)

Wsród bloków rejestrujacych (rys. 2.10) wykorzystywac bedziemy nastepu-jace:

scope — rejestrator jednowymiarowy (w dziedzinie czasu);xy graph — rejestrator dwuwymiarowy na płaszczyznie XY;display — urzadzenie pomiarowe z wyswietlaczem cyfrowym;to file — zapis do pliku dyskowego;to workspace — zapis do nazwanej zmiennej w przestrzeni roboczej.

Rys. 2.10. Bloki odbiorcze — rejestrujace sygnały

2.5.4. Elementy i bloki liniowe z czasem ciagłym (Linear)

Sposród modeli zasobnika Linear (rys. 2.11), podstawowym układem au-tomatyki jest blok Tranfer Function opisany juz szczegółowo w punkcie 2.5.1,a takze bloki:


Gain — wzmacniacz liniowy (bezinercyjny), którego parametrem jest wzmoc-nienie;

Sum — wezeł sumacyjny o dowolnej liczbie wejsc i dowolnej kombinacjiznaków (np. ustawienie + + +− oznacza sumator czterowejsciowy z jednymwejsciem ujemnym (negatywnym));

Integrator — idealny (bezinercyjny) element całkujacy o transmitancji 1/s,(przypadek szczególny bloku Transfer Fcn);

State-Space — system liniowy o opisie w przestrzeni stanów;Derivative — idealny element rózniczkujacy (o transmitancji s).

Rys. 2.11. Modele liniowe z czasem ciagłym

2.5.5. Elementy nieliniowe (Nonlinear)

Mimo ze podrecznik opisuje systemy liniowe, to jednak ich analiza kompu-terowa moze w pewnych wypadkach wymagac znajomosci bloków o charakte-rystyce nieliniowej (np. technika kreslenia charakterystyk czestotliwosciowych,obiekty liniowe z regulatorami typu przekaznik dwupołozeniowy). W szczegól-nosci zasobnik Nonlinear (rys. 2.12) zawiera nastepujace bloki:

Transport Delay — opóznienie w dziedzinie czasu, z mozliwoscia ustawieniawarunku poczatkowego;


Fcn — realizacja dowolnej formuły matematycznej (domyslna nazwa syg-nału wejsciowego: u);

Matlab Fcn — realizacja dowolnej funkcji (skryptu) MATLABa.

Rys. 2.12. Modele nieliniowe

2.5.6. Systemy z czasem dyskretnym (Discrete)

Na rysunku 2.13 przedstawiono dostepne symulatory obiektów z czasemdyskretnym. Wsród nich nalezy wyróznic:

Unit Delay — dyskretny element opózniajacy;

Discrete-Time Integrator — dyskretny element całkujacy;

Discrete Filter — liniowy filtr autoregresyjny;

Discrete Transfer Fcn — element opisany za pomoca dowolnej transmitancjidyskretnej.


Rys. 2.13. Modele z czasem dyskretnym

2.5.7. Widocznosc danych w programie MATLAB

Wartosci wszystkich zmiennych załadowanych do srodowiska MATLAB sawidoczne w Simulinku, wartosci zas wszystkich zmiennych Simulinka sa wi-doczne w oknie sciezki polecen MATLAB.

2.6. Korzystanie z funkcji HELP

W przypadku nieznajomosci działania instrukcji, mozna uzyskac pomoc,przez wydanie w oknie głównym MATLAB polecenia help nazwa_funkcji lubkorzystac z lokalnych zbiorów w formacie HTML, wybierajac polecenie /Help-Desk z menu /Help.

25

3. Charakterystyki czasoweobiektów z czasem ciagłym

3.1. Wprowadzenie

W cwiczeniu bada sie odpowiedzi czasowe typowych pojedynczych lub sze-regowo połaczonych, liniowych układów dynamicznych z czasem ciagłym, nastandardowe pobudzenia typu: funkcja impulsowa (wywodzaca sie z impulsuDiraca), skok jednostkowy i sinusoida. Dla ustalonego typu funkcji wejscia(np. funkcji impulsowej) nalezy wyznaczyc odpowiedzi dla układów o trans-mitancjach ogólnej postaci

K(s) =L(s)

M(s), (3.1)

gdzie licznik i mianownik sa wielomianami zmiennej zespolonej s = α + jβo stopniach odpowiednio l i m (zakłada sie, ze l 6 m)

L(s) = blsl + ...+ b1s+ b0, M(s) = amsm + ...+ a1s+ a0.

Taki iloraz dwóch wielomianów nazywa sie funkcja wymierna zmiennej s. Wy-znaczenie odpowiedzi impulsowej bedzie polegało na rozkładzie Y (s) na sumeułamków prostych i obliczeniu odwrotnej transformaty Laplace’a. Otrzymanewyniki nalezy porównac z uzyskanymi z uzyciem pakietu MATLAB, a wyzna-czone odpowiedzi impulsowe k(t), odpowiadajace róznym K(s) — zilustrowacgraficznie. Na podstawie wykresów szacuje sie załozone w symulacji kom-puterowej parametry (zakładajac ich nieznajomosc), takie jak: stałe czasoweT , wzmocnienia k, opóznienia τ , wartosci pulsacji ω itp. Dla wejscia typuu(t) = sinωt mozna wyznaczyc wzmocnienie amplitudy i przesuniecie fazowew stanie ustalonym. Wyniki badan komputerowych porównuje sie z wynikamianalizy teoretycznej.

26 3. Charakterystyki czasowe obiektów z czasem ciagłym

3.2. Zakres tematyczny cwiczenia

3.2.1. Liniowe równanie rózniczkowe, transformacja Laplace’a

Jak powiedziano we wprowadzeniu, system liniowy splata sygnał wejsciowyz funkcja wagowa k(t) (odpowiedzia impulsowa). Jest ona odpowiedzia na im-puls Diraca, przy zerowych warunkach poczatkowych. Funkcja k(t) w pełnicharakteryzuje własciwosci systemu liniowego. Jest to konsekwencja bogactwainformacji, jaka daje nieskonczenie strome zbocze (skok wartosci) pobudzenia(i w konsewencji nieograniczone pasmo czestotliwosci sygnału). Sygnały ta-kie nazywa sie ustawicznie pobudzajacymi dowolnego rzedu. Nalezy do nichrówniez skok jednostkowy [15], [16].

Stacjonarne, liniowe układy dynamiczne z czasem ciagłym maja swoja re-prezentacje matematyczna w postaci liniowego równania rózniczkowego typuwejscie u — wyjscie y (SISO — single input — single output)

amdmy(t)

dtm+ am−1

dm−1y(t)dtm−1

+ ...+ a1dy(t)

dt+ a0y(t) (3.2)

= bldlu(t)

dtl+ bl−1

dl−1u(t)dtl−1

+ ...+ b1du(t)

dt+ b0u(t),

gdzie l 6 m. Liczbe m nazywa sie rzedem równania rózniczkowego (3.2) przyzałozeniu, ze am 6= 0. W cwiczeniu zakłada sie, ze

u(0−) = du(t)

dt/t=(0−) = ... =

dl−1u(t)dtl−1

/t=(0−) = 0.

Wartosci wyjscia systemu i jego kolejnych pochodnych w chwili t = 0 nazywasie warunkiem poczatkowym. Mówimy, ze jest on zerowy (ozn. WP = 0) jesli

y(0−) = dy(t)

dt/t=(0−) = ... =

dm−1y(t)dtm−1

/t=(0−) = 0. (3.3)

W teorii podstaw automatyki stosuje sie opis liniowego systemu dyna-micznego, reprezentujacy jego strukture, oparty na transmitancji operatorowejK(s). Opis ten (patrz rys. 3.1) otrzymuje sie przez zastosowanie transformatyLaplace’a do obu stron równania (3.2), zakładajac zerowy warunek poczat-kowy.

Transmitancja K(s) jest funkcja zmiennej zespolonej s = α + jβ i mapostac

K(s) , Y (s)

U(s)=

blsl + bl−1sl−1 + ...+ b1s+ b0

amsm + bm−1sm−1 + ...+ a1s+ a0. (3.4)

3.2. Zakres tematyczny cwiczenia 27

( ) ( )ˆu t U s= ( ) ( )ˆY s y t=( )K s

Rys. 3.1. Reprezentacja struktury układu automatyki

Transmitancja (3.4) umozliwia otrzymanie dynamicznego przebiegu wyjscia

y(t)b=Y (s) = K(s)U(s),jezeli znany jest przebieg sygnału wejsciowego u(t).Uwaga. Oznaczenie b= jest uproszczonym zapisem zarówno przejscia do trans-formaty Laplace’a, jak równiez przejscia do odwrotnej transformaty Lapla-ce’a, np. u(t)b=U(s) oznacza, ze U(s) = ${u(t)} oraz U(s)b=u(t), ze u(t) =$−1{U(s)}.

3.2.2. Opis liniowego systemu dynamicznego z czasem ciagłymw przestrzeni stanów, systemy wielowymiarowe

Zarówno sygnał wejsciowy, jak i wyjsciowy układu liniowego moga bycwielowymiarowe (MIMO — multiple input — multiple output)

u(t) =

u1(t)u2(t)...up(t)

, y(t) =

y1(t)y2(t)...yq(t)

.Duze znaczenie ma opis zachowania sie systemu liniowego z uzyciemtzw. zmiennych stanu x1(t), ..., xr(t) zawartych w wektorze stanu [5], [7], [14]

x(t) =

x1(t)x2(t)...xr(t)

.Wielkosci x1(t), ..., xr(t) maja najczesciej konkretne znaczenie fizyczne okre-slajace stan, w którym system sie znajduje (np. systemem moze byc lecacysamolot, x1(t) — wysokoscia, na jakiej sie znajduje, x2(t) — jego predkoscia,x3(t) — azymutem, x4(t) — poziomem paliwa w chwili t itp.).


System liniowy opisuje w przestrzeni stanów (ang. state space) układ rów-nan ½

x0(t) = Ax(t) +Bu(t)

y(t) = Cx(t) +Du(t)(3.5)

gdzieA jest stała macierza o wymiarach r×r, B iD — macierzami o wymiarachr × p, a C — macierza o wymiarach q × r.

Dla uproszczenia ograniczymy sie do układów scisle własciwych, czyli ta-kich, w których D = 0. System opisany układem równan (3.5) jest asympto-tycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie wartosci własne macierzyA leza wewnatrz okregu jednostkowego. Wtedy wektor Ax(t) jest w sensieeuklidesowym krótszy od wektora x(t) [9]. W przypadku skalarnym oznaczato A ∈ (−1, 1). Po zastosowaniu przekształcenia Laplace’a do równan (3.5),przy zerowych warunkach poczatkowych, otrzymuje sie zwiazek miedzy ma-cierza transmitancji K(s) systemu liniowego a macierzami A, B i C w opisiew przestrzeni stanów

K(s) = C(sI−A)−1B.Macierz K(s) ma wymiary q × p, a jej elementami sa funkcje wymierne

zmiennej zespolonej s

K(s) =

K1,1(s) K1,2(s) ... K1,p(s)K2,1(s) K2,2(s) ... ...... ... ... ...Kq,1(s) ... ... Kq,p(s)

. (3.6)

Przy zerowych warunkach poczatkowych zachodza zaleznosci

Y(s) = K(s)U(s); Yi(s) =

pXj=1

Ki,j(s)Uj(s); i = 1, 2, ..., q,

gdzie

U(s) =

U1(s)U2(s)...Up(s)

oraz Y(s) =

Y1(s)Y2(s)...Yq(s)

. (3.7)

Funkcja przejscia Ki,j(s) jest zatem transmitancja, okreslajaca wpływj-tego wejscia układu na i-te wyjscie.


3.2.3. Sterowalnosc, osiagalnosc i obserwowalnosc

Ze wzgledu na zachowanie sie układów dynamicznych w układach regulacjiautomatycznej najistotniejsze sa własciwosci sterowalnosci i obserwowalnosci.

Definicja 1. Układ nazywamy sterowalnym, jezeli istnieje ograniczone prze-działami ciagłe sterowanie u(t) przeprowadzajace ten układ z dowolnego stanupoczatkowego x(t0) do dowolnego stanu koncowego x(tk) w chwili t = tk,w skonczonym czasie, 0 6 tk − t0 6∞ [15].

Definicja 2. Układ nazywamy obserwowalnym, jezeli przy dowolnym sterowa-niu u(t) istnieje skonczona chwila tk, po której, na podstawie sygnałów (we-ktorowych) u(t) i y(t) w przedziale czasu od t0 do tk, mozna wyznaczyc stanukładu x(t0) w dowolnej chwili poczatkowej t0 [15].

Definicja 3. Układ nazywamy osiagalnym, jezeli dla dowolnego stanu doce-lowego xf istnieje skonczona chwila tf > 0 oraz sterowanie u(t) w przedziale[0, tf ] takie, ze gdy x(0) = 0, wówczas x(tf ) = xf [7].

Dane własciwosci maja zasadnicze znaczenie w teorii sterowania. Jezelistwierdzimy, ze system jest sterowalny, oznacza to, iz mozna skutecznie do-prowadzic go w skonczonym czasie do dowolnego stanu zadanego; sensownejest wówczas projektowanie układu sterowania. Jesli natomiast system jestobserwowalny, to na podstawie obserwacji jego sygnału wejsciowego i wyjsciaw skonczonym czasie, mozna ustalic jego stan poczatkowy, co z kolei decydujeo jego identyfikowalnosci. O sterowalnosci i obserwowalnosci systemu liniowegorozstrzygaja twierdzenia.

Twierdzenie 1. Układ jest sterowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz

S = [B, AB, A2B, ... An−1B] (3.8)

jest pełnego rzedu [15].

Twierdzenie 2. Układ jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz

W = [CT , CTAT , CTA2T, ... CTAn−1

T] (3.9)

jest pełnego rzedu [15].


3.3. Badania komputerowe

3.3.1. Wyznaczanie charakterystyk czasowych

W cwiczeniu nalezy obliczyc analitycznie, a nastepnie wyznaczyc kompu-terowo odpowiedzi impulsowe k(t), odpowiedzi skokowe λ(t) i (dodatkowo) napobudzenie typu u(t) = sinωt dla układów o transmitancjach:

K1(s) = k — proporcjonalny (bezinercyjny);

K2(s) =k

Ts+ 1— inercyjny pierwszego rzedu;

K3(s) =k

(T1s+ 1)(T2s+ 1)— inercyjny drugiego rzedu;

K4(s) =k

s2 + as+ b— oscylacyjny drugiego rzedu;

K5(s) =k

s(Ts+ 1)— całkujacy z inercja;

K6(s) =ks

Ts+ 1— rózniczkujacy z inercja;

K7(s) = e−sτ — opózniajacy;

K8(s) =ke−sτ

Ts+ 1— opózniajacy z inercja.

Przykładowy schemat do wykonania badan w Simulinku, przy pobudzeniuu(t) = 1(t), przedstawia rysunek 3.2. W celu uzyskania charakterystyk czaso-wych nie w formie graficznej, lecz w formie ciagów liczbowych, nalezy zamienicelementy rejestrujace typu Scope na rejestratory zmiennych do pliku (To File)lub do zmiennych w przestrzeni roboczej (To Workspace). Dla kazdego z symu-lowanych układów nalezy powtórzyc badanie przy zmianie jednego z paramet-rów (np. k, T, P, a...) w stosunku do układu oryginalnego oraz zaobserwowacwpływ poszczególnych parametrów na postac odpowiedzi skokowych.

Całosc badan nalezy powtórzyc dla pobudzenia u(t) = δ(t). W tym celunalezy zamienic blok Step na układ przyblizajacy delte Diraca, przedstawionyna rys. 3.3, stosujac układ rózniczkujacy i inercje o małej stałej czasowej d.Istnieje równiez gotowa funkcja MATLAB o nazwie impulse().

Przy wyznaczaniu odpowiedzi układów na pobudzenie sinusoidalne nalezyuzyc bloku zródłowego o nazwie SineWave, dostepnego w grupie Sources.

3.3. Badania komputerowe 31

Rys. 3.2. Badanie odpowiedzi róznych układów dynamicznych na skok jednostkowy

3.3.2. Identyfikacja parametrów typowych członów liniowych

Gdy mamy do dyspozycji komplet charakterystyk wyznaczonych w punkcie3.3.1, wówczas zakładamy, ze parametry systemów sa nieznane (np. uznajemy,ze charakterystyki pochodza z badan nad rzeczywistymi systemami). Znamyjedynie:

• postac odpowiedzi skokowej λ(t) lub impulsowej k(t);• strukture transmitancji, np. K(s) = k/(Ts+ 1);

nalezy wówczas wyznaczyc (zidentyfikowac) nieznane parametry systemu(np. k i T — rys. 3.4).

Identyfikacja parametrów polega na znalezieniu charakterystycznych punk-tów w odpowiedzi skokowej i impulsowej. Moze to czesto wymagac okresleniastycznej do danej charakterystyki. Proponuje sie nastepujace dwie metody:


Rys. 3.3. Generator impulsu Diraca

Rys. 3.4. Wyznaczanie parametrów elementu inercyjnego pierwszego rzedu

• metoda graficzna — polegajaca na wykresleniu charakterystyki w duzejskali, recznemu wykresleniu stycznej i znalezieniu odpowiednich punktów;

• metoda numeryczna — aby wyznaczyc styczna, np. do charakterystykiskokowej λ(t) w punkcie t0, odczytujemy z charakterystyki wyznaczonejw postaci numerycznej wartosci w dwóch punktach: t0 i t0 + ∆t. Nastep-nie obliczamy parametry m i c linii prostej y = mt + c przechodzacej przezpunkty (t0,λ(t0)) i (t0 +∆t,λ(t0 +∆t)). Ze wzgledu na definicje pochodnej,wartosc ∆t powinna byc mozliwie mała, bliska zeru. W praktyce musi onajednak przekraczac wartosc dokładnosci reprezentacji liczb w komputerze.

W przypadku niektórych systemów wyzszego rzedu istnieje potrzeba znale-zienia tzw. punktu przegiecia charakterystyki, nalezy w tym celu numeryczniezrózniczkowac te charakterystyke po czasie i znalezc chwile t0, w której na-stepuje zmiana znaku pochodnej.


3.3.3. Numeryczny rozkład funkcji wymiernej na ułamki proste

Srodowisko MATLAB umozliwia rozkład funkcji wymiernej na ułamki pro-ste (znajdowanie residuów). Niech w naszym przypadku

K(s) =2s3 + 5s2 + 3s+ 6

s3 + 6s2 + 11s+ 6. (3.10)

Skrypt dokonujacy rozkładu ma nastepujaca postac:licznik=[2 5 3 6];mianownik=[1 6 11 6];[r,p,k]=residue(licznik,mianownik)

Wynikami działania skryptu sa

r =

−6−43

p =

−3−2−1

k = 2;

co interpretuje sie nastepujaco

K(s) =−6s+ 3

+−4s+ 2

+3

s+ 1+ 2.

Umozliwia to natychmiastowe obliczenie odpowiedzi impulsowej

k(t) = −6e−3t +−4e−2t + 3e−t + 2δ(t).

3.3.4. Testowanie sterowalnosci i obserwowalnosci systemu

Nalezy zdefiniowac system liniowy z czasem ciagłym na podstawie współ-czynników znanej transmitancji K(s) i korzytajac z funkcji ss() przekształcicgo do opisu w przestrzeni stanów. Zbudowac odpowiednie macierze sterowal-nosci i obserwowalnosci podane w twierdzeniach 1 i 2. Za pomoca funkcji det()lub rank() okreslic ich rzedy.

3.3.5. Przykładowe odpowiedzi skokowe

Na rysunkach 3.5 i 3.6 przedstawiono uzyskana w MATLAB odpowiedzskokowa układu o transmitancji K(s) = 1

s2+as+1dla parametru a równego

odpowiednio 1 i −0, 1.


Rys. 3.5. Odpowiedz skokowa dla a = 1

Rys. 3.6. Odpowiedz skokowa dla a = −0, 1


Rys. 3.7. Odpowiedz skokowa układu o transmitancji KI(s)

Rys. 3.8. Odpowiedz skokowa układu o transmitancji KD(s)


Z kolei na rysunkach 3.7 i 3.8 przedstawiono odpowiedzi skokowe układucałkujacego z inercja

KI(s) =1

s(3s+ 1);

oraz układu rózniczkujacego z inercja

KD(s) =s

s+ 1.

3.4. Przykłady praktyczne

3.4.1. Ładowanie kondensatora w układach RC i CR

Jako przykład praktyczny opiszemy zjawisko ładowania kondensatorao pojemnosci C, ze zródła napiecia stałego U, przez rezystor R (rys. 3.9).

u(t) y(t)

R

C

Rys. 3.9. Czwórnik RC jako układ inercyjny pierwszego rzedu

Zakładamy, ze podanie napiecia wejsciowego U nastepuje w chwili t = 0

u(t) = U · 1(t)

oraz zerowy warunek poczatkowy, tzn. ze napiecie na kondensatorze y(t)w chwili t = 0 ma wartosc

y(0) = 0.

Opierajac sie na podstawowych prawach elektrotechniki (prad ładowania kon-densatora jest równy pradowi płynacemy przez rezystor — I prawo Kirchhoffa),otrzymujemy nastepujacy opis układu dynamicznego

Cd

dty(t) =

u(t)− y(t)R

, (3.11)

3.4. Przykłady praktyczne 37

który jest liniowym równaniem rózniczkowym pierwszego rzedu. Po przekształ-ceniu wzoru (3.11) do postaci

RCd

dty(t) + y(t) = u(t) (3.12)

i zastosowaniu do (3.12) obustronnej transformacji Laplace’a

Y (s)(RCs+ 1) = U(s),

otrzymujemy transmitancje systemu

K(s) =Y (s)

U(s)=

1

Ts+ 1,

gdzie T = RC. Układ z rysunku 3.9 zachowuje sie zatem jak człon inercyjnypierwszego rzedu, o stałej czasowej zaleznej od przyjetych wartosci rezystancjii pojemnosci. Jego charakterystyki czasowe mozna zatem z powodzeniem ba-dac nie na rzeczywistym układzie elektrycznym, lecz na modelu (patrzpunkt 3.3.1)

Y (s) =1

Ts+ 1U(s)

Na podstawie przebiegu napiecia na kondensatorze nie mozna zidentyfi-kowac wartosci pojemnosci C i rezystancji R, mozna jedynie okreslic ich ilo-czyn RC = T . Wzmocnienie układu w stanie ustalonym wynosi K(0) = 1,co oznacza, iz

limt→∞ y(t) = U.

W układzie przedstawionym na rysunku 3.10, sygnałem wyjsciowym jest na-piecie na rezystorze.

u(t) y(t)R

C

Rys. 3.10. Czwórnik CR jako rzeczywisty układ rózniczkujacy


Układ opisuje równanie

Cd

dtuc(t) =

y(t)

R,

gdzie uc(t) jest napieciem na kondensatorze, równym uc(t) = u(t)−y(t). Stad

C

µd

dtu(t)− d

dty(t)

¶=y(t)

R

i po zastosowaniu obustronnej transformacji Laplace’a

RC(sU(s)− sY (s)) = Y (s),jego transmitancja ma postac

K(s) = RCs1

RCs+ 1.

Czwórnik CR z rysunku 3.10 realizuje rózniczkowanie z inercja. Model układujest nastepujacy (patrz symulacje w 3.3.1.)

Y (s) =1

Tis

1

Ts+ 1U(s), gdzie Ti = T = RC.

3.4.2. Zbiornik z ciecza

Na rysunku 3.11 przedstawiono wyidealizowany układ napełniania pojem-nika o stałym przekroju poziomym p.

Jako sygnał wejsciowy u(t) traktujemy przepływ przez zawór. Jego jed-nostka niech bedzie [umaxm3/s], który w istocie okresla połozenie kurka, gdzieumax jest parametrem okreslajacym przepływ przez zawór przy jego całkowi-tym otwarciu, np. umax = 0, 001 oznacza maksymalny przepływ 1[dm3/s].Sygnałem wyjsciowym jest wysokosc poziomu cieczy. Warunkiem poczatko-wym jest poziom cieczy w zbiorniku w chwili t = 0. Niech bedzie on zerowy,tzn. y(0) = 0 (zbiornik pusty). Jest oczywiste, ze ilosc cieczy znajdujaca siew zbiorniku w chwili t jest równa ilosci cieczy, która przepłyneła przez zawórod chwili poczatkowej do chwili t, czyli

py(t) =

Z t

0u(t)dt,

a zatem

pY (s) =1

sU(s).


y(t)

u(t)

p

Rys. 3.11. Zbiornik z ciecza jako układ całkujacy

Stad

K(s) =Y (s)

U(s)=1

ps=

1

Tis, gdzie Ti = p

i układ ten jest układem całkujacym, gdzie p decyduje o szybkosci całkowa-nia, tzn. im wiekszy przekrój zbiornika, tym wolniejsze narastanie poziomucieczy. Liniowosc systemu rozpatrywanego w powyzszym przykładzie wynikaz tego, ze p = const. Nie nalezy jednak nabrac przekonania, iz rzeczywisteprocesy przepływu i gromadzenia cieczy przy prostej geometrii zbiorników saprocesami liniowymi. Nieliniowe zachowanie sie procesu moze wynikac chocbyz wystepowania odpływów (skonczona objetosc zbiorników).

3.4.3. Termometr jako układ inercyjny pierwszego rzedu

Niech wielkoscia wyjsciowa bedzie długosc słupka rteci y(t) w tradycyjnymtermometrze lekarskim. Jest ona proporcjonalna z pewnym współczynnikiemw (w ograniczonym zakresie) do temperatury rteci ϑHg(t)

y(t) = wϑHg(t).

W chwili t = 0 rtec znajduje sie w temperaturze pokojowej (np. ϑHg(0) =ϑpok = 20

◦C). Pobudzenie układu polega na umieszczeniu banki termometruw temperaturze ciała, np. ϑc = 36, 6 ◦C. Rtec nagrzewa sie zgodnie z za-sada, iz szybkosc zmian ϑHg(t) jest proporcjonalna do róznicy temperatur ϑc i


ϑHg(t) (poczatkowo szybko, pózniej coraz wolniej), co opisuje liniowe równanierózniczkowe pierwszego rzedu

dϑHg(t)

dt= T (ϑc − ϑHg(t)).

zatem

y(t) = yc(1− e−t/T ),

gdzie yc jest wskazaniem termometru w temperaturze rteci ϑHg(t) = ϑc („ko-niec pomiaru”), a stała czasowa T zalezy od konstrukcji termometru (np. ob-jetosci banki, grubosci szkła). Typowe wartosci stałej czasowej T termometrówlekarskich zawieraja sie w granicach od kilku do kilkudziesieciu sekund.

3.5. Podsumowanie

Celem badan przeprowadzonych w cwiczeniu było poznanie komputero-wych technik w zagadnieniach:

• identyfikacji struktury i parametrów liniowych systemów dynamicznychz czasem ciagłym na podstawie jego odpowiedzi czasowych (impulsowej k(t),skokowej λ(t) i na pobudzenie sinusoidalne);

• metod komputerowej symulacji systemów o zadanym opisie;• komputerowej weryfikacji własciwosci obserwowalnosci, sterowalnosci

i osiagalnosci systemów;• numerycznego rozkładu funkcji wymiernych na ułamki proste;• wyznaczania standardowych odpowiedzi czasowych obiektów.

41

4. Systemy o złozonejstrukturze i ich stabilnosc

4.1. Wprowadzenie

Rzeczywiste systemy czesto składaja sie z mniejszych, połaczonych i przezto współzaleznych, prostych obiektów. Dlatego istotna jest ich reprezentacja zapomoca modeli odzwierciedlajacych rzeczywiste struktury połaczen. Pojedyn-cze układy dynamiczne moga tworzyc struktury o róznym stopniu złozonosci.Najbardziej powszechne sa połaczenia szeregowe, równoległe, szeregowo-równo-ległe i ze sprzezeniem zwrotnym, majace podstawowe znaczenie przy tworze-niu bardziej złozonych struktur systemów. Stad wywodzi sie, fundamentalnyw automatyce, złozony system dynamiczny zwany Układem AutomatycznejRegulacji (UAR). Jest on złozona struktura szeregowa (najczesciej składajacasie z dwóch pojedynczych układów), zawierajaca dodatkowo petle ujemnegosprzezenia zwrotnego. Przez pojecie regulacja okresla sie sterowanie w układziezamknietym, który jest zdolny automatycznie kontrolowac swoje zachowaniei utrzymywac sie w okreslonym stanie, zwanym celem sterowania. Najczesciejcelem sterowania jest utrzymywanie (regulacja) wartosci wyjscia obiektu (sy-gnału y(t)) na tym samym poziomie jak sygnał zadajacy y0(t), zwany wejsciemodniesienia.

Intuicyjny opis struktury Układu Automatycznej Regulacji i funkcji peł-nionych przez jego elementy wprowadzono juz w rozdziale 1. Zainteresowanympolecane sa szczególnie prace [1] i [15].

Matematycznym opisem złozonej struktury systemu dynamicznego z cza-sem ciagłym jest transmitancja operatorowa, zwana transmitancja systemuzłozonego lub transmitancja wypadkowa (zastepcza).

42 4. Systemy o złozonej strukturze i ich stabilnosc

4.2. Zarys tematyczny cwiczenia

Rozwazmy pojedynczy liniowy układ dynamiczny (rys. 3.1), opisany trans-mitancja operatorowa

K(s) , Y (s)

U(s)=L(s)

M(s)(przy załozeniu realizowalnosci stL(s) 6 stM(s))

Z pojedynczych układów składa sie połaczenia szeregowe, równoległe orazszeregowo-równoległe.

4.2.1. Struktura szeregowa

Transmitancja szeregowego systemu złozonego (rys. 4.1) o wejsciu u(t) orazwyjsciu y(t) przy zerowym warunku poczatkowym

y(0−) = dy(t)

dt/t=(0−) = ... =

dpy(t)

dtp/t=(0−) = 0,

gdzie p = stM1(s) + stM2(s)− 1 jest nastepujaca:

K(s) , Y (s)

U(s)= K1(s) ·K2(s)

( ) ( )ˆu t U s= ( ) ( )ˆy t Y s=1( )K s 2 ( )K s

Rys. 4.1. Połaczenie szeregowe systemów

PrzykładPojedyncze systemy inercyjne wyzszego rzedu (m > 3) czesto aproksymuje

sie struktura szeregowego połaczenia układu inercyjnego pierwszego rzeduz układem opózniajacym o τ > 0 (rys. 4.2), czyli mozna aproksymowac

K(s) =k

(sT1 + 1)(sT2 + 1)...(sTm + 1)≈ k

Ts+ 1e−sτ ,

gdzie opóznienie τ oraz stała czasowa T , wyrazajace inercje układu, sa dobie-rane w sposób najlepiej przyblizajacy przebieg odpowiedzi układu inercyjnegom-tego rzedu (np. według reguły Padé [3]).

4.2. Zarys tematyczny cwiczenia 43

( )u t ( )y t

1k

sT +se τ−

Rys. 4.2. Układ przyblizajacy strukture elementu wieloinercyjnego modeleminercyjnym pierwszego rzedu z opóznieniem

4.2.2. Struktura równoległa

Transmitancja równoległego systemu złozonego (rys. 4.3) o wejsciu u(t)oraz wyjsciu y(t) jest nastepujaca:

K(s) , Y (s)

U(s)= K1(s) +K2(s).

( )u t 1 2( ) ( ) ( )y t y t y t= +1( )K s

2 ( )K s

+

+

1( )y t

2 ( )y t

Rys. 4.3. Połaczenie równoległe systemów

PrzykładTransmitancja opisujaca strukture idealnego regulatora PID ma postac

K∗PID(s) = k1 +k2s+ k3s.

Jest to zapis matematyczny nie uwzgledniajacy w sposób jawny współczyn-nika proporcjonalnosci kp, stałych Ti oraz Td, a takze inercyjnosci działaniarzeczywistych elementów rózniczkujacych i całkujacych w regulatorach PID(patrz przykł. w punkcie 4.2.3). Przez to uproszczenie transmitancja K∗PID(s)reprezentuje strukture równoległa (bez interakcji nastaw), przedstawiona narysunku 4.4.


( )u t ( )y t

1k+

+3k s⋅

21ks

+

Rys. 4.4. Struktura idealnego (bezinercyjnego) regulatora PID

4.2.3. Struktura szeregowo-równoległa

Strukture połaczenia szeregowo-równoległego przedstawiono na rysunku 4.5.

( )u t ( )y t1( )K s

2( )K s

3( )K s

+

+

Rys. 4.5. Połaczenie szeregowo-równoległe

Transmitancja takiego systemu złozonego jest postaci

K(s) , Y (s)

U(s)= K1(s) · (K2(s) +K3(s)) .

PrzykładUwzgledniwszy transmitancje operatorowa rzeczywistego regulatora PID

(jego mozliwa techniczna realizacje, z uwzglednieniem inercji „pasozytniczej”elementu rózniczkujacego, o stałej czasowej Tp) i po wyciagnieciu współczyn-nika proporcjonalnosci kp przed nawias, otrzymuje sie zapis

KPID(s) = kp

µ1 +

1

Tis+

Tds

Tps+ 1

¶,

co ilustruje struktura przedstawiona na rysunku 4.6. Bardziej złozona struk-tura regulatora wyodrebnia w sposób bezposredni trzy podstawowe parametry(tzw. nastawy) regulatora PID: kp — współczynnik wzmocnienia (lub tzw. za-kres proporcjonalnosci liczony jako 1

kp100%), Ti — stała całkowania (tzw. czas


zdwojenia), Td — stała rózniczkowania (tzw. czas wyprzedzenia). Zagadnienieto zostanie omówione szerzej w rozdziale 6, [1][12].

( )u t ( )y t

1+

+dT s⋅

1

iT s+

11pT s +

pk

Rys. 4.6. Rzeczywisty regulator PID

4.2.4. Struktura ze sprzezeniem zwrotnym

Układ Automatycznej Regulacji (UAR) jest najwazniejszym złozonym sy-stemem w automatyce, zamknietym za pomoca petli ujemnego sprzezeniazwrotnego. Jego struktura zapewnia regulacje sygnału wyjsciowego obiektu —y(t) i w konsekwencji sygnału wejsciowego na regulator, czyli sygnału błedu(tzw. uchyb ε(t) = y(t)−y0(t)). Strukture UAR przedstawiono na rysunku 4.7.

0 ( )y t ( )y t( )RK s ( )OK s

_

+

( )y t

( )tε ( )u t

Rys. 4.7. Schemat układu automatycznej regulacji (UAR)

Transmitancje KR(s) i KO(s) opisuja strukture regulatora oraz obiektu.Wymaga sie, aby sygnał wyjsciowy obiektu jak najszybciej i najdokładniejnadazał za wartoscia zadana (zadanym ustawieniem) y0(t). W praktyce naj-czesciej y0 jest w pewnych odcinkach czasu wartoscia stała. Tak wyglada pod-stawowe zadanie automatycznej regulacji, czyli sterowania obiektem w ukła-dzie zamknietym. Regulator jest najczesciej typu PID o znanej transmitancji,z mozliwoscia ustawienia parametrów kp, Ti i Td, natomiast transmitancjeobiektu KO(s) próbuje sie okreslac na podstawie pomiarów w wyniku pro-cesu identyfikacji, zakładajac, ze jest on rzeczywiscie liniowy i stacjonarny(współczynniki wielomianów L(s) i M(s) nie zmieniaja sie w czasie). Dlazapewnienia wymaganej wartosci sygnału y(t) jest ona nieustanie porówny-wana z wartoscia zadana y0(t) — załozonym celem sterowania. Idealna byłaby


sytuacja (niemozliwa do osiagniecia w praktyce), w której dla kazdego y0(t)zachodzi

y(t) = y0(t). (4.1)

Jest to niemozliwe z kilku powodów. Ze wzgledu na własnosci obiektu wy-maganie (4.1) moze w istocie oznaczac wymaganie nieskonczonych wartoscisterowan u(t). Pojawiaja sie takze zakłócenia odchylajace wartosci sygnałuwyjscia y(t) od pozadanej, docelowej wartosci y0(t) (sa to najczesciej zakłóce-nia addytywne, tzn. dodajace sie do wartosci wyjsciowej y(t)). Istota au-tomatycznej regulacji polega na tym, ze system nie stara sie ewentualnychzakłócen mierzyc (poznawac ich wartosci w kazdej chwili), tylko niweluje ichwpływ przez ciagłe porównywanie y(t) do y0(t). W ten sposób powstaje naj-wazniejszy sygnał systemu UAR — bład (uchyb) regulacji ε(t) = y0(t) − y(t).Z sygnału ε(t) korzysta regulator, którego podstawowym zadaniem jest wytwo-rzenie takiego sterowania u(t), aby utrzymywac uchyb ε(t) na jak najnizszympoziomie. W niniejszym rozdziale przedstawiono analize transmitancji zastep-czej KZ(s) systemu zamknietego, zwanego Układem Automatycznej Regulacji(UAR) (rys. 4.7).

Gdy system jest otwarty, czyli nie została utworzona petla ujemnego sprze-zenia zwrotnego, wówczas transformata uchybu E(s) (tzn. E(s) b= ε(t)) jesttozsama z wejsciem Y0(s), a transmitancje Kotw(s) oblicza sie jak dla systemuszeregowego

Kotw(s) =Y (s)

E(s)= KR(s)KO(s),

stad

Y (s) = KR(s)Ko(s)E(s) = Kotw(s)E(s). (4.2)

Po zamknieciu petli wzór (4.2) oczywiscie dalej obowiazuje, natomiasttransformata uchybu powstaje nastepujaco

E(s) = Y (s)− Y0(s),

stad

Y0(s) = E(s) + Y (s).


0( )y t ( )tε

( )RK s( )OK s

_

+

( )y t ( )u t

( )tε

Rys. 4.8. Układ Automatycznej Regulacji z sygnałem uchybu jako wyjsciem

Zamkniety Układ Automatycznej Regulacji ma transmitancje zastepczarówna ilorazowi transformat odpowiednich sygnałów wejsciowych i wyjscio-wych (WP = 0)

KZ(s) ,Y (s)

Y0(s)=

Kotw(s)E(s)

E(s) +Kotw(s)E(s)=

Kotw(s)

1 +Kotw(s). (4.3)

Postulat (4.1) oznacza zatem zadanie, aby

KZ(s) = 1, tzn. Kotw(s) =∞lub równowaznie, aby odpowiedz układu zamknietego na skok jednostkowywartosci zadanej była identyczna ze skokiem jednostkowym

λZ(t) = 1(t),

co w praktyce jest niemozliwe. Jakosc regulacji okresla sie zatem na podsta-wie przebiegu sygnału błedu ε(t). Im jest on „mniejszy”, tym lepiej. Powstajejednak problem jak porównac dwie funkcje (np. ε1(t) i ε2(t)). Kazda miare(funkcje o wartosciach nieujemnych, spełniajaca „warunek trójkata” [9]), którafunkcji czasu ε(t) przyporzadkowuje liczbe rzeczywista q (np. q =

R∞0 |ε(t)| dt),

nazywac bedziemy wskaznikiem jakosci regulacji. Ze wzgledu na istotnosc sy-gnału ε(t), schemat z rysunku 4.7 przedstawia sie w zmodyfikowanej graficznie(odwróconej) postaci (rys. 4.8) z sygnałem uchybu na wyjsciu UAR.

Przez traktowanie ε(t) jako wyjscia systemu złozonego, definiuje sietzw. transmitancje uchybowa:

KE(s) ,E(s)

Y0(s).

Jej znajomosc umozliwia wyznaczenie przebiegu czasowego błedu regulacji(czyli jego dynamiki), przy dowolnym przebiegu sygnału zadajacego

ε(t)b=E(s) = KE(s)Y0(s).


Wzór na transmitancje uchybowa KE(s), w zaleznosci od transmitancjiobiektu KO(s) i regulatora KR(s), otrzymuje sie nastepujaco

E(s) = Y0(s)− Y (s),Y (s) = KR(s)KO(s)E(s) = Kotw(s)E(s),

stad

KE(s) =E(s)

E(s) + Y (s)=

E(s)

E(s) +Kotw(s)E(s)=

1

1 +Kotw(s). (4.4)

Otrzymalismy inna transmitancje tego samego układu zamknietego, przeztraktowanie jako jego wyjscie — sygnał uchybu. Gdy znamy KE(s), moznaobliczyc sygnał błedu ε(t) wprost ze wzoru:

E(s) =1

1 +Kotw(s)Y0(s).

Nalezy zauwazyc, ze obie transmitancje układu zamknietego, KZ(s) orazKE(s), (inne, gdyz inne sygnały sa traktowane jako wyjsciowe) maja iden-tyczne mianowniki (patrz wzory (4.3) i (4.4)), co ma fundamentalne znaczeniew analizie stabilnosci Układu Automatycznej Regulacji.

4.2.5. Badanie stabilnosci systemów ze sprzezeniem zwrotnym

Podstawowa własciwoscia, jaka powinien spełniac kazdy system automa-tyki jest stabilnosc. Intuicyjne pojecie stabilnosci mówi, ze gdy podamy nawejscie systemu dowolny sygnał ograniczony, wówczas na jego wyjsciu y(t)otrzymamy równiez sygnał ograniczony (definicja według Laplace’a). Równo-wazna, formalna definicja stabilnosci jest nastepujaca:

Definicja 4. System nazywamy stabilnym (asymptotycznie), jesli przy dowol-nym warunku poczatkowym i zerowym pobudzeniu zachodzi:

limt→∞ y(t) = 0.

Dla systemu stabilnego Z ∞

0|k(t)| dt <∞,

a takze granica limt→∞ λ(t) istnieje i jest skonczona.


Do zasady tej nalezy podejsc nieco inaczej przy okreslaniu stabilnosci UAR.W tak złozonym systemie najwazniejszym sygnałem jest bład dynamiczny ε(t),a wiec to jego ograniczonosc bedzie przede wszystkim wymagana. Natomiastna wejscie całego UAR podaje sie sygnał zadajacy y0(t), którego wartosc okre-sla realizacje celu sterowania obiektem. W układach liniowych technicznierealizowalnych, gdzie podstawowym opisem struktury układu (prostego i zło-zonego) jest transmitancja operatorowa

K(s) , Y (s)

U(s)=L(s)

M(s)=

blsl + ...+ b1s+ b0

amsm + ...+ a1s+ a0,

musza byc spełnione nastepujace warunki:

am 6= 0, najczesciej am = 1,

l 6 m,

oraz wszystkie warunki poczatkowe zerowe.O stabilnosci systemu otwartego, jak i zamknietego decyduje mianownik

transmitancji zastepczej, odpowiednio Motw(s) i MZ(s). Zauwazmy dodat-kowo, ze poniewaz

KE(s) =1

1 +Kotw(s)=

1

1 + Lotw (s)Motw (s)

=Motw(s)

Lotw(s) +Motw(s),

wiec mianownik transmitancji kazdego systemu zamknietego jest su-ma licznika i mianownika transmitancji systemu otwartego.

PrzykładPo zamknieciu petli ujemnego sprzezenia zwrotnego w systemie o trans-

mitancji Kotw(s) = 1/(s + 1) mianownik transmitancji zastepczej ma postacMZ(s) = s+ 2.

Przyjmujemy M(s) = 0 i otrzymujemy tzw. równanie charakterystycznesystemu automatyki. Ma ono m rozwiazan (pierwiastków) zespolonych s1, ......, sm (sk = Re sk+j Im sk), gdzie m jest stopniem mianownika transmitancji.Pierwiastki mianownika M(s) nazywa sie czesto biegunami transmitancjiK(s).

Mozna zatem dokonac przekształcenia równania charakterystycznego

M(s) = amsm + ...+ a1s+ a0 = am(s− s1)(s− s2)...(s− sm) = 0.

Stabilnosc systemu (otwartego i zamknietego) jest scisle zwiazana z połoze-niem jego biegunów s1, ..., sm na płaszczyznie zespolonej (Re s, Im s).


O zwiazku miedzy transmitancja, a stabilnoscia systemu rozstrzygaja ponizszetwierdzenia [5]:

Twierdzenie 3 (stabilnosc). Liniowy system dynamiczny z czasem ciagłymjest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy wszystkie bieguny jegotransmitancji leza w lewej półpłaszczyznie płaszczyzny zespolonej (Re s, Im s),tzn. ich czesci rzeczywiste sa ujemne:

Re s1 < 0, Re s2 < 0, ... Re sm < 0. (4.5)

Twierdzenie 4 (granica stabilnosci). System jest na granicy stabilnosci wtedyi tylko wtedy, gdy

Re s1 6 0, Re s2 6 0, ... Re sm 6 0;

przy czym bieguny transmitancji, dla których zachodza równosci, sa co naj-wyzej jednokrotne.

Lemat 1. Jezeli sk = Re sk + j Im sk jest biegunem transmitancji K(s) (tzn.M(sk) = 0), to jego wartosc sprzezona s∗k = Re sk − j Im sk równiez jestbiegunem K(s).

Lemat 1 mówi, ze pierwiastki sa połozone symetrycznie wzgledem osi rze-czywistej Im s = 0 (sa parami sprzezone).

PrzykładGdy stopien mianownika wynosi m = 2, wtedy istnieja nastepujace mozli-

wosci połozenia biegunów:— dwa rózne bieguny rzeczywiste;— dwa równe bieguny rzeczywiste (mówimy „biegun o krotnosci dwa”);— dwa bieguny nie lezace na osi rzeczywistej, ale połozone symetrycznie,

tzn. jeden jest sprzezeniem drugiego.Bieguny transmitancji układów z czasem ciagłym, które nie sa rzeczywi-

ste, wprowadzaja oscylacje w odpowiedzi skokowej. Własnosci odpowiedziskokowej λ(t) w zaleznosci od połozenia biegunów dla przykładu zestawionow tabeli:

λ(t) s1, s2 ∈ R s1, s2 /∈ RRe s1 < 0 i Re s2 < 0 brak oscylacji, stabilnosc osylacje gasnaceRe s1 > 0 lub Re s2 > 0 brak oscylacji, λ(t)→∞ oscylacje niegasnace


Badanie stabilnosci układu opiera sie zatem na sprawdzeniu połozenia bie-gunów jego transmitancji. Analityczne rozwiazanie równania charakterystycz-nego M(s) = 0 jest mozliwe tylko przy m 6 4. Mozliwe jest jednak sprawdze-nie, czy warunek (4.5) jest spełniony, bez koniecznosci znajdowania s1, ..., sm.Do tego celu słuza tzw. kryteria stabilnosci, np. Routha—Hurwitza, Hur-witza, Michajłowa i Nyquista, które sa znane z literatury [1], [5], [7], [11], [15].Omówimy je wyłacznie w kontekscie przydatnosci w analizie numerycznej sro-dowiska MATLAB.

4.2.6. Okreslanie stabilnosci systemów za pomoca MATLAB

Za pomoca odpowiednich polecen MATLAB mozna okreslic numeryczniepołozenie wszystkich pierwiastków równania charakterystycznego MZ(s) = 0,czyli biegunów transmitancji KZ(s) układu regulacji automatycznej. Jest tosprawdzanie stabilnosci Układu Automatycznej Regulacji wprost z podstawo-wego twierdzenia o stabilnosci liniowych systemów ciagłych. W stosunku dometody bezposredniej, pewien postep wnosza kryteria algebraiczne badaniastabilnosci, stanowiace warunki nałozone na współczynniki równania charak-terystycznego. Mozna zauwazyc, ze w układzie regulacji bardzo istotne znacze-nie ma współczynnik wzmocnienia otwartego układu regulacji. Przedstawmytransmitancje układu otwartego w postaci

Kotw(s) = K ·K 0otw(s),

gdzie K jest liczba dodatnia okreslajaca wzmocnienie w petli układu regulacji(K = kpkO). Wtedy równanie charakterystyczne układu zamknietego moznazapisac jako

1 +K ·K 0otw(s) = 0, czyli K

0otw(s) = −

1

K.

Zaleznosc ta jest punktem wyjscia dla dwóch metod oceny własciwosciukładu zamknietego (w tym przede wszystkim jego stabilnosci): metody Ny-quista i metody linii pierwiastkowych.

Metoda Nyquista badania stabilnosci jest metoda czestotliwosciowa,przez co mozna ja sprawdzac doswiadczalnie (bez znajomosci parametrówtransmitancji systemu). W najprostszym i najczesciej spotykanym przypadku,kiedy układ otwarty jest stabilny, w celu oceny stabilnosci układu zamknie-tego wymagane jest tylko wykreslenie charakterystyki amplitudowo-fazowej(w skrócie: a—f) układu otwartego w układzie współrzednych (ReKotw(jω),ImKotw(jω)).


Charakterystyke te mozna wyznaczyc komputerowo poleceniem nyquist()w MATLAB. Wniosek z podstawowego kryterium stabilnosci Nyquista jestnastepujacy: układ zamkniety otrzymany z charakterystyki stabilnego układuotwartego jest stabilny wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka a—f układuotwartego nie obejmuje punktu (−1, j0). W przypadku gdy system otwartynie jest stabilny, odsyłamy do pełnego omówienia kryterium Nyquista w mono-grafii [5]. Zauwazmy, ze przyjecie Kotw(jω) = K ·K 0

otw(jω) powoduje dogodnainterpretacje wykresu Nyquista: charakterystyka a—f układu o transmitancjiK

0otw(jω) nie powinna obejmowac punktu −1/K. Interpretacje kryterium Ny-

quista przy załozeniu K0otw(jω) = −1/K przedstawiono na rys. 4.9.

Rys. 4.9. System zamkniety stabilny przy K = K1, niestabilny przy K = K2

Linia pierwiastkowa jest to miejsce geometryczne (na płaszczyznie ze-spolonej) pierwiastków równania charakterystycznego układu zamknietego re-gulacji, otrzymane przy uzmiennianiu jednego z parametrów (najczesciej współ-czynnika wzmocnienia) układu otwartego [14], [15]. Metoda ta nie jest obecniepowszechnie stosowana, chociaz daje wiele informacji o własciwosciach układu,poniewaz bieguny transmitancji okreslaja scisle zachowanie sie układu (rys.4.10). W MATLAB mozna łatwo przedstawic interpretacje krytycznego przy-padku kryterium Nyquista i linii pierwiastkowych, czyli okreslic parametryukładu zamknietego bedacego na granicy stabilnosci.


Rys. 4.10. Parametry zamknietego układu regulacji na granicy stabilnosci wedługkryterium Nyquista oraz kryterium linii pierwiastkowych


4.3.1. Detekcja rzedu inercyjnosci

Nalezy wyznaczyc odpowiedz skokowa systemu szeregowego (rys. 4.11a),złozonego z ustalonej liczby n elementów inercyjnych pierwszego rzedu:

Ki(s) =ki

Tis+ 1, (i = 1, ..., n).

Nastepnie wyznaczyc komputerowo odpowiedz skokowa systemu złozonego.Zakładamy, ze rzad inercyjnosci n systemu złozonego jest nieznany, korzystamyjedynie z jego odpowiedzi skokowej i wyznaczamy n. W tym celu mozna do-konac wielokrotnego komputerowego rózniczkowania sygnału odpowiedzi sko-kowej λ(t) i wykorzystac teoretyczna własciwosc [5],[15]

λ0(0) = λ(2)(0) = ... = λ(n−1)(0) = 0 oraz λ(n)(0) 6= 0.

Pierwsza, niezerujaca sie pochodna odpowiedzi skokowej w chwili t = 0,mówi o rzedzie inercyjnosci układu.


Rys. 4.11. Struktura szeregowa, równoległa i ze sprzezeniem zwrotnym

4.3.2. Detekcja rzedu astatyzmu

Detekcja rzedu astatyzmu polega na wyznaczeniu odpowiedzi skokowej sys-temu szeregowego złozonego z ustalonej liczby n elementów całkujacych

Kl(s) =1

Tls, (l = 1, ..., n).

Nastepnie wyznacza sie komputerowo odpowiedz skokowa systemu złozo-nego. Zakładamy, ze rzad astatyzmu n systemu złozonego jest nieznany, ko-rzystamy jedynie z jego odpowiedzi skokowej i wyznaczamy n. W tym celudokonujemy wielokrotnego komputerowego rózniczkowania sygnału λ(t) i wy-korzystujemy własciwosc [15]

λ0(t) = λ(2)(t) = ... = λ(n)(t) = 0 oraz λ(n+1)(t) 6= 0.


Nastepnym zadaniem bedzie utworzenie systemu o strukturze równoległo-szeregowej, zbudowanego z połaczonych równolegle dwóch gałezi, zawiera-jacych podsystemy astatyczne rzedów odpowiednio: n1 i n2. Nalezy zbadacrzad astatyzmu całego systemu złozonego.

4.3.3. Badanie stabilnosci układów złozonych

Korzystajac ze znanych kryteriów, zbadac stabilnosc układu drugiego rzedu

K(s) =k

as2 + bs+ c

Wyznaczyc zakresy wartosci parametrów a, b i c , dla których system jest:• stabilny;• oscylacyjny.Wszystkie mozliwosci zilustrowac wynikami symulacji komputerowych

(odpowiednimi charakterystykami skokowymi).Pierwiastki zespolone wielomianu dowolnego stopnia mozna wyznaczyc nu-

merycznie za pomoca funkcji MATLAB o nazwie roots(a), gdzie a jest wekto-rem zawierajacym współczynniki badanego wielomianu. Chodzi o połozeniepierwiastków równania charakterystycznegoM(s) = 0, lub MZ(s) = 0, na pła-szczyznie zespolonej.

Stabilnosc systemów ze sprzezeniem zwrotnymZa pomoca znanych kryteriów (np. Hurwitza, Nyquista) zbadac stabil-

nosc układu po zamknieciu petli ujemnego sprzezenia zwrotnego (rys. 4.11c).Proponowany obiekt:

Kotw(s) =k

(s+ 1)3.

Wyznaczyc transmitancje zastepcza systemu zamknietego oraz wykresy cha-rakterystyk czasowych, gdy system ten jest stabilny i niestabilny.

Po podstawieniu za s + 1 = w i rozwiazaniu ze wzgledu na w równaniacharakterystycznego układu zamknietego

w3 + k = 0,

otrzymujemy

w1 =3√kejπ, w2 =

3√kejπ/3, w3 =

3√ke−jπ/3,


czyli pierwiastki

s1 =3√kejπ − 1, s2 =

3√kejπ/3 − 1, s3 =

3√ke−jπ/3 − 1.

Połozenie biegunów transmitancji systemu zamknietego si przy k zmienia-jacym sie w zakresie 0, ...,∞ przedstawiono na rysunku 4.12.

Najlepiej jest oceniac stabilnosc UAR na podstawie stabilnosci układuotwartego o transmitancji Kotw(s) = KR(s)KO(s). Ocena opiera sie na spo-strzezeniu, ze w mianowniku transmitancji wszystkich typów układów zamknie-tych wystepuje wyrazenie 1 +Kotw(s). Po przyrównaniu do zera, zaleznosc:

1 +Kotw(s) = 0,

mozna uwazac za równanie charakterystyczne układu zamknietego. Stad wy-nika, ze wartosci zmiennej zespolonej s, dla których równanie to jest speł-nione, sa biegunami układu zamknietego. Nalezy zbadac, czy wszystkie tebieguny leza w lewej półpłaszczyznie zmiennej zespolonej s (za pomoca po-lecen MATLAB rlocus() oraz rlocfind() wystepujacych zawsze razem), ponie-waz wówczas zamkniety układ regulacji bedzie stabilny. Po napisaniu prostegoskryptu w MATLAB nalezy wykreslic na płaszczyznie (Re s, Im s) wszystkiebieguny układu zamknietego, a oprócz tego pokazac jego zachowanie i zapasbezpieczenstwa, przy zmianie parametrów układu. Dotyczy to przede wszyst-kim parametrów regulatora, poniewaz parametry obiektu (jego wzmocnienie,stałe czasowe i opóznienia) sa zazwyczaj ustalone. Pokazemy teraz kolejnyprzykład M -skryptu, który oblicza krytyczna wartosc współczynnika wzmoc-nienia regulatora proporcjonalnego kp,kryt. o transmitancji KR(s) = kp, dlaktórej układ bedzie na granicy stabilnosci (rys. 4.12).

%Obliczenie kp,kryt dla obiektu o transmitancji%K(s)=ko/(sT+1)^3 i regulatora%proporcjonalnego KR(s)=kpclear%DaneclcT1=10;T2=10;T3=10;k0=1;%Licznik i mianownik układu otwartegoL=k0;M1=[T1 1]; M2=[T2 1]; M3=[T3 1];M0=conv(M2,M1);M=conv(M0,M3);


rlocus(L,M);[K,bieguny]=rlocfind(L,M);k=round(K)MZ=[T1*T2*T3 T1*T2+T1*T3+T2*T3 T1+T2+T3 1+k];t=1:0.1:200;step(k,MZ,t);

Rys. 4.12. Połozenie biegunów transmitancji systemu zamknietego według kryteriumlinii pierwiastkowych

Polecenia MATLAB wprowadzone w tym skrypcie:conv(a,b) — iloczyn dwóch wielomianów;rlocus(L,M) — pokazuje pierwiastki równania M(s) + kpL(s) = 0

(1 + kpL(s)M(s) = 0) w zaleznosci od kp;

rlocfind(L,M) — pozwala wybrac współrzedne zadanego bieguna;round(A) — funkcja zaokraglajaca do najblizszej liczby całkowitej.Dwie ostatnie linie M -skryptu pozwalaja wykreslic odpowiedz skokowa

UAR, dla uprzednio wyliczonej krytycznej wartosci współczynnika wzmocnie-nia, który zaokraglony do liczby całkowitej wynosi kp,kryt = 8. W tym przy-padku odpowiedz skokowa bedzie wykresem oscylacji niegasnacych, którychokres Tosc mozna odczytac wprost z niego. Wartosc Tosc jest parametrem


potrzebnym do nastawiania bezpiecznego przebiegu stanów przejsciowych wUkładzie Automatycznej Regulacji (według jednej z reguł Zieglera—Nicholsa,mówimy o tym w punkcie 6.3).

PrzykładDany skrypt stanowi przykład symulacji systemu, który po zamknieciu jest

strukturalnie niestabilny.WUkładzie Automatycznej Regulacji (UAR), gdzieKR(s) = 1

sTi(regulator

typu I) oraz KO(s) = 10s(1+Ts)2

, T = 10, okreslic parametr Ti dla którego UARbedzie stabilny. Narysowac jego odpowiedz skokowa.

%DaneT=10;Ti= %parametr%Wspolczynniki transmitancji ukladu otwartegoL=10;M1=[0 1 0];M2=[0 Ti 0];M3=[T*T 2*T 1];M0=conv(M2,M1);M=conv(M0,M3);%Wspolczynniki transmitancji ukladu zamknietegoLZ=[0 0 0 0 10];MZ=[T*T+Ti 2*T*Ti Ti 0 10];t=1:100;step(LZ,MZ,t);grid

Nie mozna znalezc parametru regulatora Ti, dla którego system zamknietybyłby stabilny. Jest to spowodowane podwójnym zerowym biegunem, wystepu-jacym w transmitancji układu otwartego. Przykładowa odpowiedz skokowa(dla Ti = 10) przedstawiono na rysunku 4.13.

4.3.4. Struktury regulatorów P, PI i PID

Kolejnym zadaniem komputerowej symulacji jest obserwacja wpływu na-staw regulatorów typu P, PI i PID na ich odpowiedzi skokowe oraz wyjasnieniepotrzeby stosowania kazdej z gałezi regulatora w procesie regulacji.

4.4. Przykład praktyczny — wzmacniacz operacyjny 59

Rys. 4.13. Odpowiedz zamknietego układu niestabilnego (strukturalnie)

4.3.5. Funkcje pakietu MATLAB do budowania struktur

Do konstrukcji złozonych systemów automatyki mozna uzyc standardo-wych funkcji pakietu Control System Toolbox o nazwach series(), parallel()i feedback(). Skrypt tworzy wszystkie konfiguracje połaczen dwóch identycz-nych elementów prostych o transmitancjach K(s) = 1

s+1 .sys1=tf([1],[1 1]); sys2=tf([1],[1 1]);%%tworzenie systemu szeregowegosysser=series(s1,s2)%%tworzenie systemu równoległegosyspar=parallel(s1,s2)%%połaczenie systemu s1 z systemem s2 w petli sprzezenia zwrotnegosysfeed=feedback(s1,s2)

4.4. Przykład praktyczny — wzmacniacz operacyjny

Jako przykład zastosowania sprzezen zwrotnych w praktyce omówimy dzia-łanie typowego wzmacniacza operacyjnego, realizowanego np. przez powszech-nie znany hybrydowy układ scalony ULY7741.

Model idealnego wzmacniacza operacyjnego (rys. 4.15) posiada dwa wej-scia — pozytywne i przesuwajace faze o π i spełnia nastepujace postulaty:


Rys. 4.14. Struktura regulatorów P, PI i PID

• nieskonczone wzmocnienie K i liniowosc w pełnym zakresie wejscia;

• nieskonczone pasmo przenoszenia (brak inercji);• nieskonczona impedancja wejsciowa (zerowe prady wejsciowe);• zerowa impedancja wyjsciowa.W praktyce wymagania te sa ograniczone przez skonczone napiecie zasila-

nia, wystepowanie „pasozytniczych” pojemnosci w układzie i nieliniowa naturezjawisk opisujacych tranzystory. Układ z dołaczonymi rezystorami (rys. 4.16)mozna opisac nastepujaco

y(t) = ku(t)− k R1R1 +R2

y(t),

4.5. Podsumowanie 61

-

+

K

Rys. 4.15. Model wzmacniacza operacyjnego.

a wzmocnienie układu ma postac

y(t)

u(t)=

k

1 + k R1R1+R2

k≈∞=

R1 +R2R1

= 1 +R2R1.

-

+

R1

R2

u(t)y(t)

Rys. 4.16. Układ wzmacniacza o wzmocnieniu 1 +R2/R1

Wzmacniacz operacyjny jest zatem blokiem uniwersalnym, na bazie które-go, poprzez dobór prostych i tanich elementów sprzezenia zwrotnego, moznawpływac na własciwosci układu złozonego, tj. wzmocnienie, pasmo przenosze-nia itp. Zmieniajac wartosc R2, regulujemy wzmocnienie układu z rysunku4.16. Gdy natomiast stosujemy pojemnosci w petli sprzezenia zwrotnego,mozna równiez, na bazie wzmacniacza operacyjnego, skonstruowac elementyrózniczkujace lub całkujace. Analize takich przypadków pozostawiamy czytel-nikowi.

4.5. Podsumowanie

Cwiczenie miało na celu poznanie nastepujacych zagadnien zwiazanychz symulacja komputerowa systemów o złozonej strukturze:

• wyznaczanie operatorowych transmitancji zastepczych systemów o typo-wych strukturach połaczen;

• istota Układu Automatycznej Regulacji (UAR) i rózne konwencje jegoprzedstawiania;


• badanie stabilnosci systemów złozonych na podstawie typowych przykła-dów;

• komputerowa implementacja kryteriów stabilnosci systemów z czasemciagłym w srodowisku MATLAB;

• detekcja rzedu inercyjnosci i astatyzmu systemów złozonych;• budowa regulatorów P, PI i PID za pomoca standardowych obiektów

liniowych dostepnych w nakładce graficznej Simulink.

63

5. Charakterystykiczestotliwosciowe obiektówdynamicznych

5.1. Wprowadzenie

W rozdziale bada sie podstawowe układy liniowe w dziedzinie czestotliwo-sci. Utworzone charakterystyki amplitudowo-fazowe (a—f) i Bodego opisujajednoznacznie zachowanie i cechy dynamiczne tych układów. Analiza układóww dziedzinie czestotliwosci znajduje powszechne zastosowanie w teorii prze-twarzania sygnałów, przede wszystkim w zagadnieniach telekomunikacyjnych.

5.2. Zakres tematyczny cwiczenia

5.2.1. Odpowiedz systemu liniowego na pobudzenie sinusoidalne

Załózmy, ze system liniowy o transmitancji K(s) = L(s)/M(s) jest pobu-dzany sygnałem sinusoidalnym u(t) = sinωt o stałej pulsacji. TransformataLaplace’a jego odpowiedzi ma wtedy postac

Y (s) =L(s)

M(s)U(s) +

Q(s)

M(s)+W (s)

M(s), (5.1)

gdzie U(s) = ω/(s2+ω2), składnik Q(s)/M(s) jest zwiazany z typem sygnałuwejsciowego i wystepuje zawsze, natomiast W (s)/M(s) pochodzi od niezero-wego warunku poczatkowego. Zakładajac, ze zajmujemy sie systemem asymp-totycznie stabilnym i chcac wyznaczyc składowa ustalona wyjscia, niech waru-nek poczatkowy bedzie zerowyW (s) = 0. Rozkładamy dwa pierwsze składniki

64 5. Charakterystyki czestotliwosciowe obiektów dynamicznych

w (5.1) na ułamki proste

ω

s2 + ω2L(s)

M(s)+Q(s)

M(s)=

αs+ β

s2 + ω2+Q(s)

M(s)=(αs+ β)M(s) +Q(s)(s2 + ω2)

(s2 + ω2)M(s)(5.2)

i mnozymy skrajne strony równania (5.2) przez (s2 + ω2)M(s), otrzymujemy

ωL(s) + (s2 + ω2)Q(s) = (αs+ β)M(s) +Q(s)(s2 + ω2). (5.3)

Po podstawieniu teraz do równania (5.3) kolejno s = jω oraz s = −jω, otrzy-mujemy układ dwóch równan liniowych:(

ω L(jω)M(jω) = β + jωα

ω L(−jω)M(−jω) = β − jωα

z dwiema niewiadomymi α i β. Dodanie, a nastepnie odjecie tych równanstronami i skorzystanie z faktu, izK(jω)+K(−jω) = 2ReK(jω) orazK(jω)−K(−jω) = 2j ImK(jω) prowadzi do rozwiazania

α = ImK(jω); β = ωReK(jω);

stad

Yust(s) =ImK(jω) · s+ReK(jω) · ω

s2 + ω2= |K(jω)|

ImK(jω)|K(jω)| · s+ ReK(jω)

|K(jω)| · ωs2 + ω2

.

Odpowiedz asymptotycznie stabilnego systemu liniowego o transmitancjiK(s), pobudzanego sygnałem sinusoidalnym u(t) = sinωt, ma zatem w stanieustalonym postac

yust(t) = A sin(ωt+ ϕ), (5.4)

czyli jest równiez sinusoida, o pulsacji ω — identycznej jak pulsacja sygnału wej-sciowego. Wzmocnienie amplitudy A oraz wprowadzone przesuniecie fazoweϕ sa zalezne od ω, odpowiednio

A(ω) = |K(jω)| , (5.5)

ϕ(ω) = argK(jω).


5.2.2. Transmitancja widmowa

Funkcja zespolona K(jω) we wzorze (5.5) oznacza transmitancje widmowasystemu zdefiniowana nastepujaco

K(jω) , K(s)s=jω

Podobnie jak kazda liczbe zespolona transmitancje widmowa K(jω)moznaprzedstawic w róznych (wzajemnie równowaznych) postaciach, np.:

• algebraicznejK(jω) = ReK(jω) + j ImK(jω) = P (ω) + jQ(ω);

• wykładniczejK(jω) = |K(jω)| ej argK(jω) = A(ω)ejϕ(ω).

Zwiazek miedzy P (ω) i Q(ω) a A(ω) i ϕ(ω) jest nastepujacy [1]:

A(ω) =pP 2(ω) +Q2(ω);

ϕ(ω) = arctanQ(ω)

P (ω);

P (ω) = A(ω) cosϕ(ω);

Q(ω) = A(ω) sinϕ(ω).

Zaleznosc (5.4) okresla ceche charakterystyczna systemów liniowych, którew przeciwienstwie do systemów nieliniowych nie wprowadzaja tzw. wyzszychharmonicznych.

Odpowiedz (w stanie ustalonym) systemu liniowego na dowolna kombinacjeliniowa N sygnałów sinusoidalnych

u(t) =NXi=1

ai sin(ωit+ φi),

przy znajomosci transmitancji widmowej K(jω) uzyskuje sie wprost, jako

yust(t) =NXi=1

Aiai sin(ωit+ φi + ϕi),

gdzie Ai = |K(jωi)| oraz ϕi = argK(jωi). Fakt ten uzasadnia celowosc wy-znaczenia charakterystyki K(jω)w funkcji pulsacji ω ∈ [0,∞).


Rys. 5.1. Charakterystyka amplitudowo-fazowa systemu K(s) = 1s+1

5.2.3. Charakterystyki czestotliwosciowe

Juz na poczatku wystepuje techniczny problem zwiazany z graficzna pre-zentacja funkcji ω 7−→ K(jω). Poniewaz K(jω) jest zespolone, jej wykres lezyw przestrzeni trójwymiarowej o osiach (ω,ReK(jω), ImK(jω)).

Najczesciej spotykane sa dwie konwencje reprezentacji:

• Charakterystyka amplitudowo-fazowa (a-f) — rzut trójwymiarowej krzy-wej w przestrzeni (ω,ReK(jω), ImK(jω)), gdzie ω ∈ [0,∞), na płaszczyzne(ReK(jω), ImK(jω)). Zaleta takiej reprezentacji jest mozliwosc odczytaniaz wykresu zarówno modułu A, jak i argumentu ϕ transmitancji K(jω) sy-stemu. Przykładowa charakterystyke a-f przedstawiono na rysunku 5.1.Gdy nie znamy transmitancji K(s), wówczas tylko na podstawie współrzed-nych wybranego punktu P = (ReK(jω0), ImK(jω0)) na płaszczyznie niema mozliwosci ustalenia konkretnej pulsacji ω0, która ten punkt reprezen-tuje. Rozwiazaniem (nie zawsze satysfakcjonujacym) moze byc umieszczaniedodatkowych etykiet w wybranych punktach charakterystyki.

• Charakterystyki Bodego — wzmocnienie amplitudy A i przesuniecie fazyϕ w funkcji pulsacji ω przedstawiono na dwóch osobnych wykresach. Osieodcietych, reprezentujace pulsacje ω, sa przy tym wyskalowane logarytmicznie.Przedział odpowiadajacy 10-krotnemu wzrostowi pulsacji nazywa sie dekada.Wzmocnienie amplitudy wyraza sie w decybelach

W = 20 logA(ω), dB.


Ułatwia to wyznaczanie charakterystyk zastepczych przy analizie systemówpołaczonych szeregowo, przez proste sumowanie. Przykładowe charakterystykiBodego pokazano na rysunku 5.2.

Rys. 5.2. Charakterystyki Bodego systemu o transmitancji K(s) = 1/(s+ 1)

Mozna wykazac [5], ze wzmocnienie W systemu inercyjnego m-tego rzeduzmniejsza sie o 20m decybeli na dekade (własciwosc te obserwuje sie przy du-zych pulsacjach, przy których dominujace znaczenie ma składnik mianownikaK(jω) z najwyzsza potega ω). Wartosc W = 0dB (odpowiadajaca A = 1)jest granica miedzy wzmocnieniem a tłumieniem.

5.2.4. Zapas amplitudy i zapas fazy

Waznymi wielkosciami, stanowiacymi intuicyjna miare „odległosci” systemuod obszaru niestabilnosci po zamknieciu petli ujemnego sprzezenia zwrotnego,sa (rys. 5.3 i 5.4):

• zapas amplitudy (ang. Gm — gain margin) — odwrotnosc wzmocnienia|K(jωA)| dla pulsacji ωA, przy której argK(jωA) = −π;

• zapas fazy (ang. Pm — phase margin) — brakujace do π przesunieciefazowe: π − argK(jωF ) przy pulsacji ωF , dla której |K(jωF )| = 1.

Na rysynku 5.3 przedstawiono przykład ilustrujacy wynik działania funkcjiMATLAB margin(), zastosowanej do wyznaczenia zapasu amplitudy i fazydla systemu o transmitancji K(s) = 3

(s+1)3 . Na rysunku 5.4 zobrazowano tewielkosci na charakterystyce amplitudowo-fazowej.


Rys. 5.3. Zapas amplitudy i zapas fazy (charakterystyka Bodego)

5.3. Program cwiczenia

W cwiczeniu nalezy wyznaczyc charakterystyki czestotliwosciowe syste-mów wymienionych w punkcie 3.3. Na podstawie charakterystyk amplitudowo-fazowych i charakterystyk Bodego dokonac próby detekcji rzedu inercyjnoscii oszacowania parametrów systemu. Wyznaczyc zapas amplitudy i fazy syste-mów. Dla systemów o oscylacyjnej odpowiedzi skokowej zaobserwowac zjawi-sko rezonansu. Zbadac zaleznosc czestotliwosci rezonansowej od parametrówsystemu.

5.4. Komputerowe badanie charakterystyk

5.4.1. Wyznaczanie charakterystyk amplitudowo-fazowych

Istnieja dwa sposoby wykreslenia charakterystyki amplitudowo-fazowej sys-temu o transmitancji K(s) za pomoca programu MATLAB.

Pierwszy sposób wymaga znajomosci (wyprowadzenia) postaci analitycz-nej (wzoru) czesci rzeczywistej i urojonej K(jω). Przykładowo, dla systemu

5.4. Komputerowe badanie charakterystyk 69

Rys. 5.4. Zapas amplitudy i zapas fazy (charakterystyka a—f)

inercyjnego pierwszego rzedu o transmitancji K(s) = k/(Ts+1) otrzymujemy

K(jω) =k

1 + jωT=

k (1− jωT )(1 + jωT ) (1− jωT ) ;

a zatem

ReK(jω) =k

1 + ω2T 2oraz ImK(jω) =

−kωT1 + ω2T 2

. (5.6)

Metoda opiera sie na zbudowaniu bloków realizujacych formuły (5.6) i wy-sterowanie ich przez dowolna zmienna MATLAB (symulujaca rózne wartosciω), zmieniajaca sie w zakresie 0, ...,∞ (np. przebieg liniowo narastajacy, ang.Ramp). Na rysunku 5.5 przyjeto k = 1 i T = 1. Etykieta u jest domyslnanazwa sygnału wejsciowego bloku nieliniowego typu Fcn.

Wartosci wyjsciowe bloków, wyznaczajace czesc rzeczywista i urojona, re-jestrowane sa na rejestratorze dwuwymiarowym XYGraph.

Drugi sposób — bardziej uniwersalny — opiera sie na uzyciu funkcji fre-qresp() i nie wymaga zadnych wstepnych obliczen symbolicznych, co w wy-padku bardziej złozonych systemówmoze byc trudne. Podano przykład skryptuwyznaczajacego charakterystyke amplitudowo-fazowa systemu o transmitancjiK(s) = k/(s+ 1)3.


Rys. 5.5. Wyznaczanie charakterystyk amplitudowo-fazowych przy znajomoscipostaci analitycznej ReK(jω) i ImK(jω)

k=4;sys=tf([k],[1 3 3 1]); %zdefiniowanie systemu liniowegow=0:0.01:10; %wartosci pulsacji dla których nalezy wyznaczyc K(jw)r=freqresp(sys,w); %wyznaczenie K(jw) systemu przy pulsacjach wfor i=1:1001 %zabieg techniczny (konwersja)rr(i)=r(1,1,i); end; %zabieg techniczny (konwersja)plot(rr,’rx’); %rysowanie ch-ki (czerwone krzyzyki)grid on; %siatka skalujaca na wykresiehold on; %mozliwosc umieszczenia wielu wykresów w jednym oknie

Przykładowe charakterystyki amplitudowo-fazowe systemów przedstawiajarysunki 5.6 i 5.7.

5.4.2. Wyznaczanie charakterystyk Bodego

Do kreslenia pary charakterystyk Bodego słuzy funkcja bode(). Przykładjej uzycia dla systemu o transmitancji K(s) = 1

s2+as+1przedstawia skrypt.

a=1;sys=tf([1],[1 a 1]); %zdefiniowanie systemu liniowegobode(sys)

5.4.3. Wyznaczanie gestosci widmowej mocy sygnału

W nowszych wersjach pakietu MATLAB mozliwa jest analiza gestosci wid-mowej mocy sygnału. Słuzy do tego blok Power Spectral Density zasobnikaSimulink Extras (pod warunkiem jego zainstalowania) w nakładce Simulink.

5.4. Komputerowe badanie charakterystyk 71

Rys. 5.6. Charakterystyka a-f systemu K(s) = k(s+1)3 przy k = 4 i k = 8

Rys. 5.7. Charakterystyka amplitudowo-fazowa systemu o transmitancjiK(s) = 1

Ts+1 dla stałych czasowych T = 1 (krzyzyki) oraz T = 10 (kółka)


5.5. Przykład praktyczny — głowica radiowa

Zbadamy zachowanie sie, w stanie ustalonym, czwórnika złozonego z trzechelementów liniowych — rezystora o rezystancji R, kondensatora o pojemnosciC i cewki o indukcyjnosci L (rys. 5.8), pobudzanego napieciem wejsciowymu(t) = sinωt.

u(t) y(t)

R

L C

Rys. 5.8. Układ RLC

Reaktancje rezystora, kondensatora i cewki wynosza odpowiednio:

XR(ω) = R,

XC(ω) =1

jωC,

XL(ω) = jωL.

Zastepcza reaktancja połaczonych równolegle L i C ma postac

XLC(ω) =XL(ω)XC(ω)

XL(ω) +XC(ω)=

LC

j(ωL− 1ωC )

.

Wzmocnienie amplitudy A = |K(jω)| całego układu (czwórnika) zalezyzatem od pulsacji w nastepujacy sposób

A =|XLC(ω)|

|R+XLC(ω)| ,

a poniewaz wartosc XLC(ω) jest czysto urojona, to A 6 1. Wartosc maksy-malna wzmocnienia amplitudy (Amax = 1) jest osiagana, gdy |XLC(ω)| =∞.Sytuacja taka wystepuje wówczas, gdy

ωL =1

ωC,

5.5. Przykład praktyczny — głowica radiowa 73

czyli przy pulsacji (tzw. rezonansowej) sygnału wejsciowego

ωrez =1√LC

.

Na podstawie praw elektrotechniki

L =z2µp

loraz C =

εS

d,

stwierdzamy, ze wartosc pulsacji rezonansowej ωrez zalezy od liczby zwojów in-dukcyjnosci z, przenikalnosci magnetycznej rdzenia cewki µ, rozmiarów rdze-nia — przekroju p i długosci l, a takze odległosci i powierzchni okładek konden-satora S i d oraz stałej elektrycznej ε izolatora, który je rozdziela. W stanieustalonym układ RLC pełni wiec role filtru srodkowozaporowego, co jest wyko-rzystywane we wszelkiego rodzaju głowicach radiowych. Zmiana pojemnosciC lub indukcyjnosci L umozliwia dostrajanie sie do róznych czestotliwoscinadajników. Rezystancja obciazenia wyjscia tego układu wynosi ∞. Pomijasie rezystancje cewki.

74

75

6. Liniowe układyautomatycznej regulacjiz czasem ciagłym

6.1. Wprowadzenie

Układ Automatycznej Regulacji (UAR) jest podstawowym systemem auto-matyki i składa sie z obiektu regulacji i regulatora, o transmitancjach odpowie-dnio KO(s) i KR(s). Jego struktura, przedstawiona w rozdziale 4, umozliwiapowstanie uchybu regulacji ε(t) = y0(t) − y(t), jako sygnału wejscia na regu-lator. Transmitancja regulatora KR(s) zawsze podlega wyborowi, natomiasttransmitancja obiektu KO(s) jest ustalona i moze byc nieznana (nalezy jawówczas okreslic w procesie identyfikacji). Po zdjeciu charakterystyki czaso-wej rzeczywistego obiektu, klasyfikuje sie go do jednej z opisanych kategorii.Liniowe układy regulacji mozna podzielic na dwa typy:

• z obiektami o cechach inercyjnych wysokiego rzedu;• z obiektami o cechach całkujacych z inercja (astatycznych).Rózne cechy dynamiczne obu typów obiektów regulacji nalezy zidentyfi-

kowac w oddzielnym postepowaniu, ale ich znajomosc jest bardzo wazna, po-niewaz wymagaja innych algorytmów doboru nastaw (zwanych w literaturzepierwsza i druga metoda Zieglera—Nicholsa) [14]. Transmitancja inercyjnegoobiektu rzeczywistego rzedu m ≥ 3 ma postac

KO1(s) =k

(T1s+ 1)(T2s+ 1)...(Tms+ 1).

W celu ustalenia algorytmu regulacji takim obiektem buduje sie jego mo-del uproszczony (aproksymujacy). Inercyjnosc wysokiego i nieznanego rzedum > 3 aproksymuje sie układem opózniajacym o τ , połaczonym szeregowo

76 6. Liniowe układy automatycznej regulacji z czasem ciagłym

z elementem inercyjnym pierwszego rzedu o wzmocnieniu k i stałej czasowejTZ (mozna to zrobic według tzw. reguły Padé [3]). Transmitancja układuprzyblizonego ma postac

K(1)apr(s) =

ke−sτ

TZs+ 1.

Wazny jest równiez dodatkowy parametr a (rys. 6.1), stosowany w dobo-rze nastaw regulatorów (co zostanie przedstawione pózniej). Charakterystykaskokowa λ(t) obiektu rzeczywistego moze zostac wykreslona w wyniku symu-lacji komputerowej. W ten sposób otrzymamy parametry zastepcze (τ , TZ , a)transmitancji aproksymujacej obiekt, które wejda do algorytmu regulacji i re-guł doboru odpowiednich regulatorów oraz ich nastaw [3].

Rys. 6.1. Wyznaczanie parametrów τ , TZ i a na podstawie odpowiedzi skokowejukładu inercyjnego

W praktyce, bardzo czesto obiekt inercyjny współpracuje z elementem cał-kujacym, którym moze byc np. silnik wykonawczy. Transmitancja operato-rowa idealnego elementu całkujacego ma postac K(s) = k/s. Dołaczenie wy-konawczego elementu całkujacego do obiektu inercyjnego powoduje, ze tworzysie połaczenie szeregowe i całosc ma własciwosci całkujace (biegun transmi-tancji w punkcie s = 0). Transmitancja tak powstałego rzeczywistego obiektu

6.1. Wprowadzenie 77

Rys. 6.2. Wyznaczanie parametrów τ , TZ i a na podstawie odpowiedzi skokowejukładu całkujacego z inercja

całkujacego z inercja, jako drugiego typu obiektów, moze byc nastepujaca

KO2(s) =k

s(T1s+ 1)(T2s+ 1)...(Tms+ 1).

Pojedynczy zerowy biegun transmitancji swiadczy o pojedynczym elemen-cie całkujacym (wielokrotne bieguny zerowe najczesciej wprowadzaja struktu-ralna niestabilnosc do układu). Dodatkowo, inercyjnosc obiektu nie powinnabyc wysokiego rzedu (m 6 3). W tym przypadku przyjmuje sie model apro-ksymujacy o transmitancji zastepczej

K(2)apr(s) =

ke−sτ

s,

gdzie k = 1/TZ .Aby uzyskac parametry zastepcze (aproksymujace) takiego obiektu, które

wejda do algorytmu regulacji, trzeba równiez je zidentyfikowac w procesiekomputerowej symulacji jego odpowiedzi λ(t) na skok jednostkowy. Metodewyznaczania parametrów τ i TZ ilustruje rysunek 6.2.

W przypadku aproksymacji obiektów z cechami całkujacymi wyznacza sierówniez dodatkowy parametr a (liczony bezwzglednie), który ma duze znacze-


Tabela 6.1. Zgrubne nastawy regulatorów

Typ regulatora kp Ti TdP 1/a — —PI 0, 9/a 3τ —PID 1, 2/a 2τ τ/2

nie w procesie ustalania orientacyjnych wartosci nastaw regulatorów w Ukła-dzie Automatycznej Regulacji (nie precyzuja one zadnego kryterium jakosciregulacji). Orientacyjne wartosci nastaw parametrów regulatorów dla układuz obiektem inercyjnym i obiektem całkujacym przedstawiono w tabeli 6.1 [3].

Parametry nastaw regulatorów z tabeli 6.1 sa obliczane w wyniku oszaco-wania graficznych przebiegów odpowiedzi skokowych typowych obiektów re-gulacji i moga słuzyc tylko do orientacyjnych, wstepnych pomiarów. W lite-raturze znane sa algorytmy regulacji oparte na szacunkach doswiadczalnychi obliczeniach symbolicznych lub numerycznych. Wszystkie algorytmy regula-cji wywodza sie jednak z inzynierskich (doswiadczalnych) reguł doboru nastawzaproponowanych przez Zieglera i Nicholsa (1942 r. i lata pózniejsze), znanychpod nazwa I i II metody Zieglera—Nicholsa [14].

6.2. Własnosci UAR w stanie ustalonym

6.2.1. Wprowadzenie

W pracy systemu automatycznej regulacji, przy ustalonym wejsciowym sy-gnale zadajacym y0(t) = 1(t), dokładnosc regulacji okreslaja: wielkosci usta-lone uchybów i uchyby przejsciowe (dynamiczne). Uchyb dynamiczny okresladokładnosc regulacji systemu w stanie przejsciowym, jego wartosc poczatkowaoznaczymy jako

εp , limt→0 ε(t),

natomiast uchyb ustalony oblicza sie z zaleznosci

εust , limt→∞ ε(t).

W stabilnym Układzie Automatycznej Regulacji, dla sygnału zadajacegoy0(t) = 1(t) te granice istnieja. Oznacza to, ze w stabilnym układzie mo-zna badac wielkosc błedu w stanie ustalonym i bedzie on zawsze ograniczony.Od jego wielkosci zalezy jeden z podstawowych warunków jakosci regulacji.Całosciowo, jakosc regulacji mozna oceniac na podstawie trzech warunków [5]

6.2. Własnosci UAR w stanie ustalonym 79

• zapasu stabilnosci;• małej wartosci uchybu w stanie ustalonym;• duzej szybkosci regulacji.Podane warunki wnosza zwykle przeciwstawne wymagania i przyjmuje sie

rozwiazania kompromisowe.Aby badac komputerowo przebieg sygnału błedu ε(t), nalezy przede wszy-

stkim utworzyc odpowiedni układ z sygnałem ε(t) jako jego sygnałem wyj-sciowym (rys. 6.3). W rezultacie powstanie specjalna transmitancja układuzamknietego, zwana transmitancja uchybowa (mówilismy o tym równiezw rozdz. 4):

KE(s) ,E(s)

Y0(s)=

1

1 +Kotw(s),

gdzie Kotw(s) = KR(s)KO(s).

0( )Y s ( )E s

( )RK s( )OK s

_

+

( )Y s ( )U s

( )E s

otwarcie UAR

Rys. 6.3. Układ Automatycznej Regulacji z sygnałem uchybu ε(t) — jako wyjsciem

Z transmitancji uchybowej KE(s) wyprowadza sie sygnał błedu E(s)b=ε(t),którego rózne przebiegi czasowe mozna ogladac na wykresach programu MA-TLAB/Simulink. Obliczmy wartosc εust przy załozeniu, ze y0(t) = 1(t),a takze wybrany został regulator KR(s) (okreslone sa parametry (kp, Ti, Td)),oraz znana jest postac transmitancji systemu otwartego Kotw(s). Na podsta-wie twierdzenia Abela [5]

εust , limt→∞ ε(t) = lim

s→0 sE(s) = lims→0 sKE(s)Y0(s) = lims→0 s1

1 +KR(s)KO(s)Y0(s).

Postuluje sie, aby

|εust| < εmax <∞,gdzie εmax jest skonczone, moze nia byc np. wartosc |εust| , która wystapiłabyw układzie zamknietym bez regulatora [4]. Jak widac z zaleznosci, wielkoscεust zalezy od parametrów regulatora i wejsciowego sygnału zadajacego y0(t),


przy czym transmitancja KO(s) jest stała. Jesli załozymy, ze y0(t) = 1(t),to o jakosci regulacji w stanie ustalonym bedzie decydowac transmitancjaKotw(s) = KR(s)KO(s), czyli struktura całego bloku połaczenia szeregowego.

Regulacja statyczna i astatycznaUkład Automatycznej Regulacji (UAR), w którym Kotw(s) nie ma bieguna

w punkcie s = 0 nazywamy statycznym [5], [15]. Jesli ponadto układ otwartyjest stabilny, to jego wzmocnienie w stanie ustalonym wynosi Kotw(0). Rozu-mowanie takie prowadzi do wniosku, ze otwarty system regulacji (statycznej )nie ma własciwosci całkujacych, natomiast po zamknieciu sygnał błedu w sta-nie ustalonym εust bedzie rózny od zera. Wynika to z nastepujacej własciwosci:

Jesli y0(t) = 1(t), to w statycznym, stabilnym UAR

εust = limt→∞ ε(t) =

1

1 +Kotw(0)6= 0.

Przypomnijmy dla porzadku, czym jest pojecie wzmocnienia w stanie ustalo-nym, poniewaz jego wartosc decyduje o cechach układu regulacji.

Definicja 5. Jesli granica limt→∞ λ(t) istnieje, to nazywamy ja wzmocnie-niem układu w stanie ustalonym.

Wzmocnienie w stanie ustalonym jest obliczane w naszym przypadku tylkodla systemu otwartego. Wyprowadzimy je wprost z definicji, pamietajac, zewejsciem jest y0(t), a wyjsciem — sygnał y(t)

limt→∞ y(t) = lim

s→0 sY (s) = lims→0 sKotw(s)Y0(s) =

= lims→0 sKotw(s)

1

s= lims→0Kotw(s) = Kotw(0)

Rozwazymy teraz przypadek regulacji astatycznej. Załózmy, ze Kotw(s)ma pojedynczy biegun w punkcie s = 0. Układ otwarty jest wiec niestabilny(lub na granicy stabilnosci [5]). Gdy zerowych biegunów jest wiecej, to ichliczba okresla tzw. rzad astatyzmu [15]. Astatyczny Układ AutomatycznejRegulacji nie ma charakterystyki statycznej, a ma nastepujaca własciwosc:

Jesli y0(t) = 1(t), to w astatycznym, stabilnym UAR

εust = limt→∞ ε(t) = 0.


Mozna to łatwo wykazac z twierdzenia Abela [5], poniewaz

limt→∞ ε(t) = lim

s→0 sE(s) = lims→0 sKE(s)Y0(s) = lims→0 sKE(s)1

s=

= lims→0KE(s) = lims→0

1

1 +Kotw(s)=

·1

1 +∞¸= 0.

W rozwazanym przypadkuKotw(0) =∞, poniewaz zawiera zerowy biegun.Stad układ astatyczny automatycznej regulacji (oczywiscie jezeli jest stabilny)zapewnia zerowy bład regulacji w stanie ustalonym. Jest to pozadana cecharegulacji układu. Nalezy jednak pamietac, ze w takim systemie, po otwarciupetli sprzezenia zwrotnego, jest on niestabilny. Poza tym mozna wykazac, zenp. astatyzm rzedu drugiego, tzn. podwójny biegun transmitancji Kotw(s)najczesciej powoduje niestabilnosc strukturalna systemu zamknietego (systemzamkniety jest niestabilny niezaleznie od nastaw regulatora i zmian parame-trów). Swiadczy o tym podany przykład.

PrzykładNiech transmitancja układu otwartego ma postacKotw(s) = k

s2(Ts+1). Zba-

dac, czy po zamknieciu petli ujemnego sprzezenia zwrotnego bedzie on sta-bilny. Mianownik transmitancji systemu zamknietego ma postac

MZ(s) = Lotw(s) +Motw(s) = Ts3 + s2 + k,

Na podstawie warunku koniecznego stabilnosci według kryterium Hurwitza(tzw. twierdzenia o współczynnikach) system zamkniety nie jest stabilny, nie-zaleznie od parametrów T i k, gdyz wielomianMZ(s) ma zerowy współczynnikprzy pierwszej potedze s. Stabilnosc systemu zamknietego mozna tez rozstrzy-gnac za pomoca znanego kryterium Nyquista, na podstawie przebiegu cha-rakterystyki amplitudowo-fazowej układu otwartego. Obliczmy dla naszegoprzykładu transmitancje widmowa Kotw(jω) = P (ω) + jQ(ω).

Kotw(s)|s=jω = Kotw(jω) = −kω2(1 + ω2T 2)

+ jkT

ω(1 + ω2T 2)

Mozna teraz oszacowac przebieg charakterystyki amplitudowo-fazowej dlapulsacji ω ∈ [0,∞)

P (ω) → −∞ oraz Q(ω)→∞, gdy ω → 0;

P (ω) → 0 oraz Q(ω)→ 0, gdy ω →∞.


Z oszacowania przebiegu charakterystyki amplitudowo-fazowej wynika, zezawsze bedzie obejmowała punkt (−1, j0) (patrz rys. 6.4), poniewaz zawszeprzebiega nad ujemna czescia osi P (ω). Niezaleznie zatem od parametrówT i k system zamkniety jest niestabilny.

Rys. 6.4. Charakterystyka amplitudowo-fazowa układu otwartego — systemzamkniety niestabilny

6.2.2. Program cwiczenia

W cwiczeniu bedziemy badac przebiegi sygnału błedu w stanie ustalonymεust, w systemie regulacji o róznych transmitancjach obiektu KO(s) i regu-latorach typu P, I oraz PI. Regulator PID, ze swoja czescia rózniczkujacaw transmitancji, nie ma wpływu na wielkosc sygnału εust. Wazna jest róznicaw działaniu regulujacym regulatorów P oraz I, a takze połaczenie ich zaletw działaniu regulatora PI. Jak wiemy, istnienie εust zalezy od tego, czy układjest stabilny, a wiec stabilnosc układu zamknietego nalezy sprawdzic w pierw-szym punkcie cwiczenia. Natomiast to, czy εust bedzie wynosiło zero lub bedzieliczba rózna od zera zalezy od tego, czy układ otwarty ma cechy statyzmu lubastatyzmu. Decyduje o tym nastepujaca własciwosc [5], wynikajaca z postacimianownika transmitancji uchybowej KE(s):

Niech y0(t) = 1(t). Granica limt→∞ ε(t) istnieje wtedy i tylko wtedy, gdysystem regulacji jest stabilny.


System regulacji jest stabilny, jesli jego równanie charakterystyczneMZ(s) = 0 spełnia warunki któregos ze znanych kryteriów stabilnosci dlaukładów zamknietych. Z poprzedniego rozdziału wiemy, ze istnieja układyregulacji statycznej i astatycznej. Decyduje o tym struktura układu otwartego

Kotw(s) = KR(s)KO(s).

Według Pełczewskiego [15], o cechach statyzmu lub astatyzmu układu mówisie zawsze wzgledem zewnetrznego sygnału zadajacego y0(t), który najczesciejwynosi y0(t) = 1(t). Taki rodzaj regulacji automatycznej jest regulacja stało-wartosciowa i jej zadaniem jest utrzymanie wyjscia obiektu y(t) jak najblizejwartosci sygnału zadajacego y0(t), dla kazdej chwili. Mozna jednak równiezbadac działanie układów tzw. regulacji nadaznej, gdy sygnał zadajacy y0(t)jest funkcja czasu, np. w postaci wielomianu [15]:

y0(t) = A0 +A1t+A2t2 + ...+Art

r.

Jest to typ regulacji programowej (nadaznej), w której regulator ma speł-nic zadanie realizacji programu nadazania wyjscia obiektu y(t) za zmieniajacasie w czasie wartoscia sygnału zadajacego y0(t). W programie cwiczenia roz-patrzymy oba te przypadki regulacji, dla dwóch rodzajów obiektów: obiektutypu inercyjnego (o stopniu ≤ 3) oraz obiektu typu całkujacego (z inercja).

Na poczatek załozymy, ze wejsciowy sygnał zadajacy y0(t) = 1(t). Jakopierwszy rozwazymy przypadek, gdy obiekt jest typu inercyjnego, a regulatorproporcjonalny typu P. Dlatego transmitancja układu otwartego nie ma bie-gunów równych zeru, mamy wiec do czynienia z regulacja statyczna. Mozemyteraz obliczyc bład εust w tym przypadku i wykazac, ze εust 6= 0.

Przykład 1Dane sa: KO(s) = k

Ts+1 ; KR(s) = kp; y0(t) = 1(t).

εust = limt→∞ ε(t) = lim

s→0 sE(s) =

= lims→0 sKE(s)

1

s= lims→0KE(s) =

= lims→0

1

1 + kpk

Ts+1

=1

1 + kpk6= 0.

Obliczymy teraz wartosc εust w przypadku tego samego obiektu inercyjnegooraz regulatora typu PI.



Ts+1 ; KR(s) = kp(1 +1Tis); y0(t) = 1(t).


s→0 sE(s) = lims→0 sKE(s)1

s= lims→0KE(s) =

= lims→0

1

1 + kp(1 +1Tis) kTs+1

= lims→0

1

1 +kkpTis+kkpTTis2+Tis

=

=

"1

1 +kkp0

#=

·1

1 +∞¸= 0.

Poniewaz w transmitancji układu otwartego wystapił pojedynczy biegunzerowy, pochodzacy od regulatora PI, stad UAR realizuje regulacje astatyczna,czego efektem jest zerowanie sie błedu w stanie ustalonym.

W dalszym ciagu w przypadku tej samej ustalonej wartosci sygnału zada-jacego y0(t) = 1(t) zbadamy zachowanie układu regulacji, gdy obiekt jest typucałkujacego, a regulator typu P oraz typu PI.


s(Ts+1) ; KR(s) = kp; y0(t) = 1(t).


s→0 sE(s) = lims→0KE(s) =

= lims→0

1

1 +kpk

s(Ts+1)

=

"1

1 +kpk0

#= 0

W transmitancji układu otwartego wystapił równiez pojedynczy biegun ze-rowy, lecz pochodzacy od transmitancji obiektu. Mamy do czynienia z regu-lacja astatyczna, a bład w stanie ustalonym wynosi zero.


s(Ts+1) ; KR(s) = kp(1 +1Tis); y0(t) = 1(t).


s→0 sE(s) = lims→0 sKE(s)1

s= lims→0KE(s) =

= lims→0

1

1 + kp(1 +1Tis) ks(Ts+1)

= lims→0

1

1 +Tiskp+kpTis

ks(Ts+1)

=

= lims→0

1

1 +Tiskkp+kkps2Ti(Ts+1)

=

"1

1 +kkp0

#= 0


W transmitancji układu otwartego wystapił podwójny biegun zerowy, jedenz nich od obiektu całkujacego, a drugi od całkujacych cech regulatora PI.Pamietajac o tym, ze wejsciowy sygnał zadajacy układu jest skokiem jednost-kowym, otrzymujemy zerowa wartosc błedu w stanie ustalonym, podobnie jakdla układu regulacji z regulatorem typu P, gdzie obiekt równiez miał cechycałkujace.

Podsumujemy teraz wszystkie rezultaty badan zachowania układu w stanieustalonym, gdy wejsciowy sygnał zadajacy jest funkcja skoku jednostkowego.Statyczne lub astatyczne cechy regulacji zaleza, jak wiemy, od transmitancjiukładu otwartego. Uogólnimy zapis tej transmitancji do nastepujacej postaci:

Kotw(s) =Lotw(s)

Motw(s)=

Lotw(s)

shNotw(s),

przy czym Lotw(s) i Notw(s) sa wielomianami zmiennej s majacymi niezerowewyrazy wolne, a h jest nazywane rzedem astatyzmu. Gdy zatem h = 0,wówczas transmitancja Kotw(s) = Lotw(s)/Notw(s) nie ma biegunów równychzeru. Transmitancja taka prezentuje układ statyczny wzgledem sygnału zada-jacego. Mozna wyciagnac nastepujace wnioski:

Wniosek 1. Gdy sygnał zadajacy jest „stały” (y0(t) = 1(t)), wówczasw statycznym stabilnym układzie regulacji (h = 0) uchyb, przy t → ∞, dazydo niezerowej wartosci ustalonej, εust 6= 0.

Wniosek 2. Gdy sygnał zadajacy jest „stały” (y0(t) = 1(t)), wówczasw astatycznym stabilnym układzie regulacji (h > 0) uchyb, przy t→∞, dazydo zera, εust = 0.

Zerowe bieguny w transmitancji Kotw(s), decydujace o cechach astatyzmuukładu regulacji, moga pochodzic od transmitancji obiektu, od regulatora lubod obydwu z nich. Rozwazmy teraz przypadek, gdy wejsciowy sygnał zadajacyjest funkcja czasu w postaci wielomianu [15]:

y0(t) = A0 +A1t+A2t2 + ...+Art

r

Jezeli r > 1, to w układzie statycznym (h = 0), uchyb ε(t)→∞, przy t→∞.Ilustruje to przykład 5.

Przykład 5Dane sa: y0(t) = t · 1(t), KO(s) = 1

Ts+1 ; KR(s) = kp.


s→0 sE(s) = lims→0 sKE(s)Y0(s) =

= lims→0 s

1

1 + kp1

Ts+1

1

s2= lims→0

1

s(1 +kp

Ts+1)=

·1

0 · (1 + kp)¸=∞


Przykład 5 potwierdza, ze układ nie potrafi nadazyc za sygnałemy0(t) = t · 1(t), nie daje on takze gwarancji ograniczonego uchybu. Nie moznawiec mówic o układzie stabilizacji. Natomiast w układzie regulacji astatycznej(h > 0) moga wystepowac nastepujace przypadki:

• limt→∞ ε(t) = 0, gdy h > r;• limt→∞ ε(t) = εust 6= 0, gdy h = r;• limt→∞ ε(t) =∞, gdy h < r.Ich ilustracja sa dwa nastepne przykłady.

Przykład 6Dane sa: y0(t) = t · 1(t), KO(s) = 1

s(Ts+1) ; KR(s) = kp(1 +1Tis).


s→0 sE(s) = lims→0 sKE(s)Y0(s) =

= lims→0 s

1

1 + 1s(Ts+1)kp(1 +

1Tis)

1

s2= lims→0

1

s(1 +kpTis+kps(Ts+1)Tis

)=

= lims→0

1

s+kpTis+kp(Ts+1)Tis

=

"1

0 +kp0

#= 0

W przykładzie 6 rzad astatyzmu regulacji h = 2 przewyzsza stopien wielo-mianowej zmiennosci wejscia (r = 1), dlatego bład w stanie ustalonym jestrówny zeru — system regulacji nadaza za wejsciowym sygnałem odniesienia(co potwierdza przypadek pierwszy).

Przykład 7Dane sa: y0(t) = t2 · 1(t), KO(s) = 1

s(Ts+1) ; KR(s) = kp(1 +1Tis).


s→0 sE(s) = lims→0 sKE(s)Y0(s) = lims→0 sKE(s)2

s3=

= lims→0

2

s2³1 + k

s(Ts+1)kp(1 +1Tis)´ = lim

s→02

s2 +kkpTis+kkpTi(Ts+1)

=

=

"2

0 +kkpTi

#=2Tikkp

6= 0

W przykładzie 7 rzad astatyzmu jest taki sam jak parametr r, h = r = 2,bład w stanie ustalonym jest pewna stała, wynikajaca z parametrów układuotwartego, co potwierdza przypadek drugi (h = r).

Na podstawie obliczen, wynikajacych z zastosowania twierdzenia Abelao wartosci granicznej ([5]) wnioskujemy, ze astatyzm układu regulacji wzgledem


sygnału zadajacego moze wystepowac wtedy, gdy w układzie sa człony całku-jace. Zaleznie od relacji rzedu astatyzmu układu otwartego wzgledem stopniawielomianu sygnału zadajacego y0(t), bład ustalony εust zamknietego układuregulacji moze wynosic zero lub byc pewna stała. Jej wielkosc, jak wiemy zprzykładu 7, zalezy od parametrów obiektu i regulatora. Mozemy wiec nate wielkosc wpływac, zmieniajac parametry regulatora i poprawiajac przez tojakosc regulacji. Podwyzszanie rzedu astatyzmu regulatora moze byc dobrymsposobem na likwidacje uchybu ustalonego, czyli poprawe jakosci regulacji.Sposób ten ma jednak zasadnicza wade, polegajaca na tym, ze moze spowodo-wac utrate stabilnosci układu, doprowadzajac do niestabilnosci strukturalnej,czyli niezaleznej od wartosci któregokolwiek z parametrów regulatora i obiektu.Problem taki przedstawiono w przykładzie z rozdziału 4.

Zadanie jakie stoi przed układem regulacji, w którym wejsciowy sygnał za-dajacy jest funkcja wielomianowa, polega na tym, aby wyjscie obiektu nadazałoza zmieniajaca sie wartoscia y0(t). Mówimy wówczas o systemie nadaznym, wktórym zadanie regulacji jest nazywane regulacja programowa. Istnieja jednakprzykłady regulacji programowej takie, ze εust →∞, gdy t→∞. Wystapi onna przykład wtedy, gdy w układzie z regulatorem P i obiektem z cechami cał-kujacymi, na wejscie podamy sygnał zadajacy y0(t) = t2 ·1(t). Mimo ze układotwarty jest astatyczny (h = 1, biegun zerowy pochodzacy od obiektu), to pozamknieciu wyjscie obiektu nie nadaza za wejsciowym sygnałem zadajacym.Jest to przypadek, w którym nie mozna mówic o procesie regulacji w UAR.Nie wystarczy jakakolwiek zmiana parametrów regulatora, ani obiektu. Abyprzywrócic zdolnosci regulacyjne (εust < ∞), nalezy zmienic sygnał zadajacyy0(t) lub strukture układu otwartego Kotw(s).

6.2.3. Badania komputerowe

Badania komputerowe umozliwiaja wykonanie wszystkich niezbednych sy-mulacji zachowania układu w stanie ustalonym, co bedziemy oceniac od stronyprzebiegów sygnału błedu regulacji ε(t) po „odpowiednio” długim czasie. Tenczas, liczony jako limt→∞ ε(t), oznacza, ze po jego upływie w UAR zanikajawszystkie dynamiczne procesy przejsciowe i staje sie on układem statycznym,zapewniajacym realizacje celu regulacji, którym jest maksymalne zblizenie sie(i ustalenie) wartosci wyjscia obiektu y(t) na poziomie sygnału zadajacego y0().W programie cwiczenia jest wiele przykładów, których wyniki mozna umiescicw tabelach zbiorczych (na koncu tego rozdziału). Przedstawimy obecnie re-alizacje komputerowa niektórych z nich, w postaci schematów blokowych Si-mulink oraz M -skryptów MATLAB. W ten sposób nalezy postepowac, az do


wykonania symulacji komputerowych wraz z wykresami przebiegów sygnałuε(t) dla wszystkich przypadków z tabeli 6.1. Z wykresów przebiegów sygnałuε(t) mozna zauwazyc jak wygladaja stany ustalone dla róznych konfugura-cji struktury UAR. Oprócz tego nalezy obliczyc εust teoretycznie, korzystajacz podstawowego wzoru εust = limt→∞ ε(t), czyli wszystkie granice, korzystajacze wzoru ε(t)b=E(s) = KE(s)Y0(s).

Cwiczenie 1a. Przyjmujemy: k = 1, kp = 1, T = 1. Schemat do badanwykonany w Simulink przedstawiono na rysunku 6.5.

Rys. 6.5. Regulacja typu P z obiektem inercyjnym

Rys. 6.6. Przebieg błedu regulacji (ilustracja do cwiczenia 1a)

Uzyskany przebieg błedu regulacji przedstawiono na rysunku 6.6. Bład tenustala sie na niezerowej wartosci: limt→∞ ε(t) = 0, 5.


Cwiczenie 1b. Przyjmujemy: k = 1, kp = 1, T = 1, Ti = 0.5. Schematdo badan wykonany w Simulink przedstawiono na rysunku 6.7.

Rys. 6.7. Regulacja PI z obiektem inercyjnym

Uzyskany przebieg błedu regulacji przedstawiono na rysunku 6.8. Bład tendazy do zera dzieki całkujacym własciwosciom regulatora.

Rys. 6.8. Przebieg błedu regulacji (ilustracja do cwiczenia 1b)

Cwiczenie 2a. Przyjmujemy: k = 1, kp = 1, T = 1. Schemat do badanwykonany w Simulink przedstawiono na rysunku 6.9.

Uzyskany przebieg błedu regulacji przedstawia rysunek 6.10, przyrost y0(t)jest zbyt szybki (rzad r = 2), aby układ regulacji mógł za nim nadazyc (h = 1),zatem limt→∞ ε(t) =∞.


Rys. 6.9. Regulacja P z obiektem całkujacym i wejsciem y(t) = t2 · 1(t)

Rys. 6.10. Wyjscie obiektu i sygnał zadajacy (ilustracja do cwiczenia 2a)

Cwiczenie 2b. Przyjmujemy: k = 1, kp = 1, T = 1 i Ti = 0, 5.Schemat do badan wykonany w Simulink przedstawiono na rysunku 6.11.Uzyskany przebieg błedu regulacji przedstawiono na rysunku 6.12.

Komputerowa symulacja układów regulacji pozwala badac przebiegi sy-gnałów błedu regulacji ε(t) (i jednoczesnie przebiegi wyjscia obiektu y(t)), dlastanów ustalonych, aby stwierdzic, czy układ ma cechy regulacji statycznej,astatycznej, lub tez czy sygnał y(t) nadaza za programowo zmieniajacym siesygnałem zadajacym y0(t). Standardowym sygnałem wejsciowym badanychUAR jest skok jednostkowy, czyli y0(t) = 1(t). Przede wszystkim od para-metrów przyjetego regulatora zalezy jakosc regulacji, oceniana na podstawietrzech wymagan: stabilnosci, wielkosci błedu w stanie ustalonym i dynamiki


Rys. 6.11. Regulacja PI z obiektem całkujacym

Rys. 6.12. Przebieg błedu regulacji (ilustracja do cwiczenia 2b)

zmniejszania sie błedu. Z tak przyjetymi parametrami jakosci regulacji najle-piej „daje sobie rade” regulator PID, co jest wnioskiem oczywistym. Ciekawerówniez bedzie sprawdzenie, jak wybrany regulator w UAR potrafi nadazacza programowo zmieniajacym sie sygnałem zadajacym y0(t) i minimalizowacbład regulacji ε(t). Tutaj równiez regulatory o bardziej złozonej strukturzelepiej realizuja zadanie regulacji nadaznej. Lepsza realizacja zadania regula-cji automatycznej w stanie ustalonym oznacza ograniczona (mozliwie mała)wartosc εust w przypadku regulacji statycznej lub εust = 0 w przypadku re-gulacji astatycznej. Gdy limt→∞ ε(t) = ∞ układ regulacji nie spełnia swegozadania i nalezy zmienic strukture regulatora i dostroic jego parametry. Wy-niki symulacji nalezy umiescic w dwóch tabelach zbiorczych (tab. 6.2 i 6.3).


Tabela 6.2. Regulacja stałowartosciowa

Typ regulatora: P PI P PITyp obiektu: całk. z iner. całk. z iner. iner. 3-rz. iner. 3-rz.y0(t) = 1(t) 1(t) 1(t) 1(t)

εust = ... ... ... ...

Tabela 6.3. Regulacja nadazna, r = 1, 2...

Typ regulatora: P PI P PITyp obiektu: całk. z iner. całk. z iner. iner. 3-rz. iner. 3-rz.y0(t) = tr · 1(t) tr · 1(t) tr · 1(t) tr · 1(t)εust = ... ... ... ...

Na koniec podamy dwa dodatkowe przykłady, ciekawe od strony modyfikacjipostaci wzoru na transmitancje układu zamknietego KZ(s).

PrzykładWyznaczanie odpowiedzi układu na sygnał y0(t) = t1(t)b=1/s2 = Y0(s).Niech Kotw(s) = 1

s(s+1) , wtedy KZ(s) =Y (s)Y0(s)

= 1s2+s+1

, zatem

Y (s) = KZ(s) · 1s2=

1

s3 + s2 + s· 1s

Odpowiedz układu na przebieg liniowo narastajacy jest wiec równowaznaodpowiedzi skokowej systemu o transmitancji 1

s3+s2+s. Skrypt jest zatem na-

stepujacynum=[0 0 0 1];den=[1 1 1 0];t=0:0.1:10;y=step(num,den,t);plot(t,y,’x’);gridxlabel(’t sec’);ylabel(’Odpowiedz na sygnał liniowo narastajacy’);

PrzykładJezeli KZ(s) zawiera czesc rózniczkujaca, np.

KZ(s) =10s+ 4

s2 + 4s+ 4

6.3. Kryteria jakosci regulacji — dobór nastaw 93

(wyraz 10s), to zwieksza sie dynamika stanu przejsciowego. Jednak dziejesie to kosztem duzego przeregulowania widocznego w odpowiedzi na skok jed-nostkowy. W ponizszym przykładzie przeregulowanie wynosi powyzej 200%(rys. 6.13):

num=[0 10 4];den=[1 4 4];t=0:0.1:10;step(num,den,t) %efekt duzego przeregulowania

Rys. 6.13. Efekt przeregulowania w układzie z rózniczkowaniem

6.3. Kryteria jakosci regulacji — dobór nastaw

6.3.1. Wprowadzenie

Jednym z najbardziej newralgicznych stanów w pracy układu jest tzw.stan przejsciowy, wystepujacy w chwili uruchomienia systemu. Jest on obser-wowany najczesciej jako duza wartosc sygnału błedu w chwili t = 0, a liczonynastepujaco

εp , limt→0 ε(t).


Poniewaz moze to byc stan niebezpieczny dla obiektu regulacji (np.w układach napieciowych, w których wystapia przejsciowe oscylacje sinuso-idalne w chwili t = 0 moze powstac tzw. „przepiecie” wynoszace U

√2, czyli

napiecie o ponad 40% wieksze od napiecia nominalnego U), wiec szczegól-nie w tym momencie wazny jest algorytm regulacji. W celu ochrony układuprzed zniszczeniem stosuje sie rózne techniki, takie jak np. „powolne” zmianywartosci zadanej, ograniczenie akcji rózniczkujacych regulatora, rózniczkowa-nie sygnału wyjsciowego, a nie uchybu itp. Parametry regulatorów muszabyc tak dobrane, aby zapewnic szybka i bezpieczna prace całego układu odchwili t = 0, az do jego osiagniecia stanu ustalonego, gdy zanikna w nimprocesy przejsciowe. Własciwy dobór nastaw regulatorów P, PI i PID, czyliparametrów kp, Ti i Td zapewni stabilna prace (bez przeregulowan) kazdegoz układów regulacji automatycznej, a przede wszystkim odpowiednia jakoscregulacji, która bedziemy oceniac na podstawie wybranych kryteriów jakosci.Wybór kryteriów jakosci regulacji jest dostosowany do potrzeb zachowaniasystemu. Zachowanie systemu bedziemy oceniac na podstawie przebiegu sy-gnału błedu ε(t) oraz specjalnie konstruowanych kryteriów jakosci regulacji,z których najbardziej znane i stosowane sa tzw. całkowe wskazniki jakosci re-gulacji [12]. Sposród tych kryteriów wybierzemy całke z kwadratu uchybu,oznaczona nastepujaco

ISE =

Z T

0ε2(t)dt, Integrated Square Error ;

gdzie górna granica T jest czasem skonczonym, wybranym w sposób arbitralnypo to, aby było mozliwe numeryczne wyznaczenie całki.

Sposród kryteriów nie wymagajacych dodatkowych obliczen, a pozwala-jacych oceniac jakosc regulacji bezposrednio z przebiegu ε(t) najpopularniejszesa dwa kryteria odcinkowe:

— czas regulacji, czyli czas po którym bład ε(t) jest odpowiednio bliskiεust. Inaczej jest on zwany „reguła stopu”

tr : |ε(t)− εust| 6 δ, t > tr, δ = 5%(εp − εust),

gdzie εp oznacza uchyb w chwili t = 0.

— przeregulowanie, okreslane dla systemów oscylacyjnych, jako

κ =¯ε2ε1

¯· 100%


Wartosci obu tych kryteriów ocenia sie graficznie z wykresu przebiegu ε(t)(rys. 6.14), przy załozonym standardowym sygnale zadajacym y0(t) = 1(t).

Rys. 6.14. Oszacowanie przeregulowania na podstawie przebiegu uchybu

Wazna rzecza przy obliczaniu wartosci dwóch podanych kryteriów „grafi-cznych” jest zapewnienie, aby bład w stanie ustalonym εust był zerowy

εust = 0.

Jesli układ jest typu statycznego, co oznacza, ze εust > 0, mozna było tewartosc odjac. Oznacza to, ze w ocenie dwóch ostatnich kryteriów jakosciregulacji bierzemy pod uwage bład dynamiczny

ε(t) = ε(t)− εust,

a wartosc εust = limt→∞ ε(t) nalezy obliczyc i podstawic do wzoru na ε(t).Otrzymalismy w ten sposób trzy kryteria oceny jakosci regulacji w systemie

UAR, badajac jego zachowanie w stanie przejsciowym. Sa to nastepujacekryteria jakosci regulacji:

1) czas regulacji tr;2) przeregulowanie κ;3) całka z kwadratu uchybu ISE.Im mniejsze wartosci osiagaja podane wskazniki, tym lepsza jest jakosc

regulacji. W zadaniu regulacji automatycznej nalezy przede wszystkim ustalic


typ obiektu i zidentyfikowac jego transmitancje KO(s), jesli nie jest a prioriznana. Przypomnijmy z rozdziału 4, ze obiekty automatyki dzielimy na dwatypy, dajace sie z powodzeniem aproksymowac jedna z transmitancji zastep-czych:

1) Obiekty inercyjne, np.

KO(s) =ke−sτ

Ts+ 1;

2) Obiekty całkujace, np.

KO(s) =ke−sτ

s=e−sτ

sT; k =

1

T.

Sposób uzyskiwania parametrów k, T, τ w procesie aproksymacji rzeczywi-stych odpowiedzi skokowych obu typów obiektów został równiez zapropono-wany w rozdziale 4. Wyrózniamy wiec dwa typy obiektów o znanych opisach:typ inercyjny (statyczny) i typ całkujacy (astatyczny). W drugim przypadku,gdy opis jest nieznany i nalezy go zidentyfikowac, mozna to stosunkowo prostoprzeprowadzic w procesie równiez opisanym wczesniej.

Drugim podstawowym problemem regulacji ciagłej jest dobór nastaw re-gulatorów tworzacych UAR, majac do wyboru regulator P, PI oraz PID, gdzietransmitancja regulatora ma postac

KR(s) = kp(1 +1

Tis+ Tds).

W literaturze istnieja algorytmy doboru nastaw regulatorów według Zieglera—Nicholsa. Sa to opracowane doswiadczalnie, sugerowane ustawienia wielkosciwzmocnienia kp, czasu całkowania Ti oraz czasu rózniczkowania Td na podsta-wie zdejmowanych charakterystyk funkcji przejscia (transfer function) obiektu.W wyniku wielu eksperymentów powstały dwie podstawowe metody Zieglera—Nicholsa, rozwijane i modyfikowane w latach pózniejszych.

Pierwsza metoda Zieglera—NicholsaNalezy eksperymentalnie zdjac odpowiedz rzeczywistego obiektu na po-

budzenie skokiem jednostkowym. Jesli obiekt nie zawiera elementu (elemen-tów) całkujacego, ani dominujacych biegunów zespolonych (co wprowadziłobyoscylacje), wówczas odpowiedz na skok jednostkowy ma kształt litery S. Jakwiemy z rozdziału 4 tego typu krzywa aproksymujemy do postaci opisanejtransmitancja K(s) = ke−sτ

Ts+1 . Ziegler i Nichols zaproponowali w tym przy-padku dobór parametrów w UAR z regulatorem P, PI lub PID według danychz tabeli 6.4, [14].


Tabela 6.4. Nastawy według I metody Zieglera—Nicholsa

Typ regulatora kp Ti TdP T/τ ∞ 0

PI 0, 9T/τ τ/0, 3 0

PID 1, 2T/τ 2τ 0.5τ

Tabela 6.5. Nastawy według II metody Zieglera—Nicholsa

Typ regulatora kp Ti TdP 0, 5kP,kryt ∞ 0

PI 0, 45kP,kryt Tosc/1, 2 0

PID 0, 6kP,kryt Tosc/2 Tosc/8

Druga metoda Zieglera—NicholsaZakładamy nieznajomosc tranmitancji obiektu KO(s). W układzie usta-

wiamy regulator tylko na działanie proporcjonalne, tj. KR(s) = kp (Ti = 0,Td = 0), a nastepnie (o ile to mozliwe) zwiekszamy parametr kp od 0 do war-tosci krytycznej kP,kryt, przy której układ zamkniety znajduje sie na granicystabilnosci, tzn. na wyjsciu obiektu obserwuje sie oscylacje niegasnace (me-tody tej nie mozna zastosowac, gdy charakterystyka wyjscia obiektu nie mozeosiagnac przebiegu oscylacji niegasnacych dla dowolnego kp). W ten sposóbmozna doswiadczalnie (np. z wykresu) sciagnac okres oscylacji niegasnacychTosc, pamietajac dla jakiego wzmocnienia krytycznego kP,kryt one wystapiły.Doswiadczalny dobór parametrów regulatorów zaproponowano w tabeli 6.5[3], [12], [14].

Zauwazmy, ze gdy znamy model matematyczny obiektu (znana jest trans-mitancja KO(s)), wówczas mozemy zastosowac metode rozmieszczenia pier-wiastków (rlocus()), w celu znalezienia wartosci wzmocnienia krytycznegokP,kryt oraz pulsacji oscylacji niegasnacych ωkryt, gdzie Tosc = 2π

ωkryt. War-

tosci te mozna znalezc w punktach przeciecia linii pierwiastków z osia urojonajω. Oczywiscie, gdy linie pierwiastków nie przecinaja osi jω, metody tej niemozna zastosowac.

6.3.2. Program cwiczenia

I metoda Zieglera—Nicholsa1. Wyznaczyc komputerowo odpowiedz skokowa obiektu typu wieloinercyj-

nego i aproksymowac go za pomoca transmitancji K(s) = ke−sτsTZ+1

. Zidentyfiko-wac parametry τ , T , a i k (patrz rys. 6.1).


2. Wyznaczyc komputerowo odpowiedz skokowa obiektu typu całkujacegoi aproksymowac go za pomoca transmitancji K(s) = ke−sτ

s = e−sτTs . Okreslic

parametry τ , T , a i k (patrz rys. 6.2).Obiekty obu typów identyfikuje sie na podstawie ich odpowiedzi skoko-

wej. Z ustalonych parametrów aproksymacji τ , T , a i k dobrac ustawieniaw Układzie Automatycznej Regulacji (rys. 6.15):

• z regulatorem P o transmitancji KR(s) = kp;• z regulatorem PI o transmitancji KR(s) = kp(1 + 1

Tis);

• z regulatorem PID o transmitancji KR(s) = kp(1 + 1Tis+ Tds);

W badaniach zakładamy zawsze ten sam wejsciowy sygnał zadajacyy0(t) = 1(t).

0 ( )y t ( )y t( )RK s ( )OK s

_

+

( )y t

( )tε ( )u t

Rys. 6.15. Model układu automatycznej regulacji

3. Skorzystac z I tabeli doboru nastaw regulatorów wg Zieglera—Nicholsai wykreslic przebiegi y(t), y0(t) i ε(t). Dla kazdego typu układu (z regulatoramiP, PI i PID) wybrac kryteria jakosci regulacji: ISE, tr i κ. Skonstruowacdodatkowy miernik kryterium całkowego (jak na rys. 6.17).

4. Wartosci kryteriów jakosci regulacji dla nastaw według Zieglera—Nicholsaprzedstawic w tabeli zbiorczej:

P PI PIDtr, s

κ, %ISE, −

Poniewaz nastawy doboru regulatorów według Zieglera—Nicholsa sa orien-tacyjne i daja zawsze zbyt wielkie przeregulowanie (dopuszczalne to ok. 25%),nalezy samodzielnie poprawic wyniki zamieszczone w tabeli (poniewaz te kry-teria sa minimalizowane, wiec — zmniejszyc). Odkryc zaleznosci, np. takiegdzie w stosunku do nastaw Zieglera—Nicholsa mozna:

— zmniejszac kP — co daje mniejsze przeregulowanie;— zmniejszac Ti — dla szybszego osiagniecia zerowego uchybu;— zwiekszac Td — dla poprawienia dynamiki spadku błedu.


II metoda Zieglera—NicholsaZiegler i Nichols jako pierwsi zauwazyli, ze transmitancje zasadniczej wiek-

szosci obiektów regulacji sa typu wieloinercyjnego (kształt litery S odpowiedziskokowej). W tej metodzie nie znajduja zastosowania obiekty typu całkujacegoz inercja, poza tym zakładamy, ze matematyczny model transmitancji obiektuKO(s) jest znany. Znajdowanie bezpiecznych dla obiektu nastaw regulatorównalezy rozpoczac od regulatora typu P, z wejsciowym sygnałem zadajacymy0(t) = 1(t).

— Doprowadzic układ na granice stabilnosci, z wykresu ε(t) odczytac Tosc— okres oscylacji niegasnacych.

— Stwierdzic dla jakiego kP nastapiły oscylacje niegasnace i zapamietac tenparametr jako kP,kryt.

— Z tabeli nastaw regulatorów według Zieglera-Nicholsa wybrac odpowie-dnie (bezpieczne) wartosci kP , Ti i Td w zaleznosci od wybranego typu regu-latora. Napisac odpowiednie M-skrypty w MATLAB dla nastaw regulatorów,według Zieglera—Nicholsa. Opracowac tabele zbiorcza wartosci kryteriów ja-kosci regulacji. Zaproponowac lepsze parametry regulacji (np. Pessena, Kupf-muellera [1], [11]).

6.3.3. Badania komputerowe

W cwiczeniu nalezy przeprowadzic eksperyment doboru wybranych pa-rametrów regulatorów w układzie z zadanym typem obiektu, stosujac I i IImetode Zieglera—Nicholsa. Zbadac stany nieustalone systemu pod katem ob-serwacji przejsciowych przebiegów dynamicznych sygnału błedu ε(t).

Zaprojektujmy efektywny układ regulacji dla obiektu o transmitancji

KO(s) =1

(Ts+ 1)3.

Dla uproszczenia prezentacji przyjmijmy T = 1. Analize rozpoczynamy odznalezienia wzmocnienia krytycznego kp,kryt i okresu oscylacji niegasnacychTosc, gdy obiekt z regulatorem typu P jest na granicy stabilnosci. Po prostychprzekształceniach algebraicznych otrzymuje sie

Kotw(jω) = Potw(ω) + jQotw(ω) =

=kp(1− 3ω2T 2)

(1− 3ω2T 2)2 + ω2T 2(3− ω2T 2)2+

+j−kpωT (3− ω2T 2)

(1− 3ω2T 2)2 + ω2T 2(3− ω2T 2)2


Rys. 6.16. Schematy symulacji układów automatycznej regulacji

Według kryterium Nyquista, charakteryka a—f układu otwartego, bedacego nagranicy stabilnosci, przechodzi przez punkt (−1, j0). Przyrównujemy czescurojona do zera, Q(ω) = 0, i wnioskujemy, ze ωosc =

√3, czyli

Tosc =2π√3≈ 3.63.

Przyrównujemy natomiast czesc rzeczywista do −1, czyli rozwiazujemyrównanie ReKotw(jω) = −1, i otrzymujemy

kP,kryt = 8.

Wzmocnienie krytyczne mozna takze wyznaczyc np. z kryterium Hurwitza,biorac pod uwage, ze:

Mz(s) = Lotw(s) +Motw(s) = kp + (s+ 1)3.


Rys. 6.17. Pomiar całkowych wskazników jakosci regulacji

Macierz Hurwitza ma postac

H3 =

3 kP + 1 01 3 00 3 kP + 1

,co prowadzi do wymagania ∆2 = 9− (kP + 1) > 0, czyli kP < 8. Znalezieniemiejsc zerowych wielomianu licznika Q(ω) moze byc niemozliwe analitycznie(np. gdy stopien wielomianu jest wiekszy niz 3). Nalezy wówczas znalezc jenumerycznie. W naszym przypadku licznikQ(ω) = a3ω3 + a2ω2 + a1ω + a0,gdzie a3 = −kP = −8, a2 = 0, a1 = −3kP = −24 i a0 = 0. Nalezy zatemwywołac funkcje MATLAB

roots(—8,0,—24,0).

Uzyskane za pomoca reguły Zieglera—Nicholsa doswiadczalne nastawy re-gulatora PID wynosza odpowiednio

kP = 4, 8 Ti = 1, 32 Td = 0, 32

Dalej przedstawiamy skrypt konstruujacy Układ Automatycznej Regulacjii kreslacy przebiegi y(t) i ε(t) przy załozonych ustawieniach regulatora PID:

Regulator=tf([2.03 6.34 4.8],[1.32 0]);Obiekt=tf([1],[1 3 3 1]);SysOtw=series(Regulator,Obiekt)UAR=feedback(SysOtw,1);y=step(UAR);


e=1—y;plot(y);hold on;grid on;plot(e);

Wynik działania skryptu przedstawiono na rysunku 6.18.

Rys. 6.18. Odpowiedz układu z regulatorem PID na skok jednostkowy dla nastawwedług Zieglera—Nicholsa

Z wykresów mozna odczytac, ze zaprogramowany układ realizuje regulacjetypu astatycznego (bład w stanie ustalonym przy wejsciu y0(t) = 1(t) wynosizero). Graficzne odcinkowe kryteria jakosci regulacji wynosza: κ = 60%,tr = 150 s, sa to wiec wartosci zbyt duze i mozna je próbowac poprawic,stosujac np. parametry algorytmu Pessena. Kryterium całkowe ISE wymagazbudowania specjalnego „miernika wartosci kryterium”, jak np. na rys. 6.17(o czym mówilismy wczesniej).

6.3.4. Przyblizona analiza układów nieliniowych

W zasadniczej wiekszosci rzeczywistych układów regulacji pojawiaja siezjawiska natury nieliniowej, wynikajace np. z wystepowania nasycen, luzów,


ograniczonych pojemnosci zbiorników itp. W ogólnym przypadku nieliniowyelement dynamiczny opisuje nieliniowe równanie rózniczkowe postaci

F (y(n), y(n−1), .., y, x(m−1), ..., x, t) = 0.

Układ nieliniowy pobudzony sygnałem sinusoidalnym sinωt, w przeciwien-stwie do układu liniowego, daje na wyjsciu dodatkowe składowe harmoniczne oinnych (wyzszych) pulsacjach niz pulsacja podstawowa ω. Przykładowy sche-mat badan w Simulink ilustrujacych te ceche przedstawiono na rysunku 6.19.

Rys. 6.19. Obserwacja widm procesów wyjsciowych elementów nieliniowych

Analiza systemów zawierajacych elementy nieliniowe jest przez to znacznietrudniejsza niz analiza systemów liniowych. W szczególnosci nie ma zastoso-wania transformacja Laplace’a oraz ograniczone znaczenie maja odpowiedziskokowe i impulsowe (amplituda pobudzenia ma wpływ na charakter (kształt)odpowiedzi ). W rozdziale tym ograniczymy sie do analizy układów regulacji,w których regulator jest statyczny i stacjonarny, tzn. jego charakterystyka jestpo prostu funkcja nieliniowa

y = f(u).

Połaczenie szeregowe elementów o charakterystykach f1(u) i f2(u) realizujefunkcje f2(f1(u)), natomiast połaczenie równoległe — funkcje f1(u) + f2(u).Bardziej złozone struktury połaczen (np. z dodatnim sprzezeniem zwrotnym)


moga prowadzic do niejednoznacznej charakterystyki zastepczej (tzw. histe-rezy) [18].

Przykład praktyczny. Powszechnie stosowanymi regulatorami nielinio-wymi sa zawory termostatyczne w grzejnikach CO. Ich charakterystyka mapostac z rysunku 6.20.

Rys. 6.20. Charakterystyka statyczna termostatu

Sygnał wyjsciowy regulatora termostatycznego u — połozenie zaworu do-pływu ciepłej wody. Wielkoscia sterowana y(t) (wyjsciem obiektu) jest rzeczy-wista temperatura w pomieszczeniu w chwili t, sygnałem zas zadajacym y0(t)— połozenie nastawnika na termostacie (temperatura zadana). Podsumowujacmozemy ustalic, ze

u =

½1 (zawór otwarty), gdy y(t) < y0(t) (jest za zimno);0 (zawór zamkniety), gdy y(t) ≥ y0(t) (jest wystarczajaco ciepło).

Metoda funkcji opisujacej polega na przyblizeniu elementu nielinio-wego jego opisem liniowym, a nastepnie zastosowaniu znanych narzedzi ana-lizy systemów liniowych do badania stabilnosci i wyznaczania charakterystyk.Uzyskane wyniki sa zatem przyblizone. Podejscie takie usprawiedliwiaja dwaczynniki:


— obiekt moze miec charakter dolnoprzepustowy i tłumic wyzsze czestotli-wosci (harmoniczne) produkowane przez regulator;

— charakterystyka statyczna elementu nieliniowego moze byc bliska liniiprostej.

Wyjscie nieliniowego elementu statycznego pobudzonego sygnałem

u(t) = A sinωt

jest okresowa funkcja niesinusoidalna i mozna ja rozwinac w szereg Fouriera

y(t) = a0 +∞Xk=0

(bk sin kωt+ ck cos kωt),

gdzie a0, bk i ck sa stałymi współczynnikami, zaleznym od charakterystyki nieli-niowej i amplitudy A sygnału wejsciowego. Zakładajac, ze element nieliniowymoze byc dostatecznie dokładnie reprezentowany przez główna harmonicznasygnału (o oryginalnej pulsacji ω)

y1(t) = b1 sinωt+ c1 cosωt ≈ y(t)

traktujemy element nieliniowy, tak jak element liniowy o „transmitancji” zwa-nej funkcja opisujaca

J(s) =Y1(s)

U(s)=b1 + jc1A

.

Współczynniki b1 i c1 dla elementu statycznego bez histerezy zaleza je-dynie od amplitudy A sygnału wejsciowego i rodzaju charakterystyki nielinio-wej, dlatego dalej funkcje opisujaca, dla konkretnej charakterystyki nieliniowej,oznaczac bedziemy jako J(A) (zestawienia funkcji opisujacych najbardziej zna-nych elementów nieliniowych dokonano w monografiach [1], [17] i skrypcie [18],a takze w tabeli 6.6). Układ z nieliniowym regulatorem i liniowym obiektemprzedstawiono na rysunku 6.21.

0( )y t ( )y t( )OK s

_

+

( )y t

( )tε ( )u t)(AJ

Rys. 6.21. UAR z regulatorem nieliniowym


Tabela 6.6. Funkcje opisujace popularnych elementów nieliniowych

Charakterystyka f(x) Funkcja opisujaca dla x(t) = A sinωt

f(x) = max {kx,B} J(A) = 2kπ

µarcsin B

Ak +BAk

³1− ¡ BAk¢2´ 12¶

f(x) =

½B, dla x > 0−B, dla x < 0 J(A) = 4B

πA

f(x) =

0, dla |x| < aB, dla x > a−B, dla x < −a

J(A) = 4BπA

³1− ¡ aA¢2´ 12

Równanie charakterystyczne układu zlinearyzowanego ma postac

1 + J(A)KO(jω) = 0,

cykl graniczny opisuje zatem równanie

KO(jω) = − 1

J(A).

Krzywa na płaszczyznie zespolonej o współrzednych (Re[− 1J(A) ], Im[− 1

J(A) ])

okresla granice miedzy stabilnoscia i niestabilnoscia systemu (odpowiednikpunktu (−1, j0) w kryterium Nyquista). Punkty przeciecia krzywych KO(jω)i − 1

J(A) na płaszyznie a—f okreslaja tzw. punkty pracy UAR, w których pow-staja drgania harmoniczne (sinusoidalne).

Przykład [18]Niech w układzie regulacji z rysunku 6.21 obiekt ma transmitancjeKO(s) =1

s(s+1)(s+1) , regulator zas jest przekaznikiem dwupołozeniowym o charaktery-styce

u = B · sgn(ε).Mozna pokazac, ze funkcja opisujaca takiego regulatora ma postac

(patrz [18])

J(A) =4B

πA.

Rozwiazanie układu równania zespolonego

− 1

J(A)= KO(jω),


poprzez porównanie czesci rzeczywistych i urojonych jego obu stron prowadzido rozwiazania

ω = 1 i A =2B

π.

W układzie powstana wiec drgania okresowe o amplitudzie A = 2B/πi pulsacji ω = 1. Schemat do badan nieliniowego układu i uzyskany przebieg(dla B = 1) pokazano na rysunkach 6.22 i 6.23.

Rys. 6.22. Układ z przekaznikiem dwupołozeniowym

Rys. 6.23. Przebieg wyjscia obiektu y(t) (gdzie A ≈ 2/π, ω ≈ 1)


6.4. Przykłady praktyczne

6.4.1. Sterowanie reczne napełnianiem zbiornika

Dla ułatwienia zrozumienia formalnego opisu struktury UAR podajemyprosty przykład napełnania zbiornika ciecza.

Y(t)

u(t)

p

Yo(t)

e(t)

Rys. 6.24. Napełnianie zbiornika — regulacja reczna

Wyrózniamy nastepujace elementy Układu Automatycznej Regulacji:

— obiekt — zbiornik o przekroju p i zawór o regulowanej przepustowosci u;

— wejscie obiektu — połozenie zaworu u(t) w chwili t (przepływ, m3/s);

— wyjscie obiektu — aktualny poziom cieczy (w chwili t);

— regulator — człowiek sterujacy zaworem (wielkoscia u(t)) na podstawieinformacji o ilosci wolnej przestrzeni w zbiorniku e(t);

— cel sterowania — jak najszybsze i najdokładniejsze napełnienie zbiornikado pełna (do poziomu Y0).

człowiek0Y ( )Y t

zbiornik_

+

( )Y t

( )e t ( )u t

Rys. 6.25. Schemat formalny układu regulacji recznej

W niniejszym podreczniku rozpatruje sie Liniowe Układy Regulacji Au-tomatycznej, tzn. człowieka zastepuje automat o opisie liniowym.


6.4.2. Układ Automatycznej Regulacji Czestotliwosci

Na rysunku 6.26 przedstawiono realizacje głowicy TV z układem stabilizu-jacym czestotliwosc.

Rys. 6.26. Głowica telewizyjna z układem automatycznej regulacji czestotliwosci(ARCz)

Głowica ma nastepujace bloki funkcjonalne:• Przestrajany obwód wejciowy LC sprzegajacy głowice z antena i wstepnie

selekcjonujacy odbierane sygnały (L1, C2,C6, D1).•Wzmacniacz wysokiej czestotliwoscicz (T1) z filtrem pasmowym LC (L2,

C8, C9, D2 oraz L3 C15, C16, D3, C14 szeregowo z C17).• Mieszacz (T2) z filtrem wyjciowym 10,7 MHz (L5, C21).• Heterodyna, której czestotliwosc drgan kontrolowana jest przez przestra-

jany obwód LC (L4, C19, C20, pojemnosc D9 układu ARCz w szeregu z C24).Za pomoca petli ujemnego sprzezenia zwrotnego sygnał wyjsciowy po od-

filtrowaniu jest podawany na wejscie UARCz wpływa na wartosc pojemnoscidiody D9 i stabilizuje czestotliwosc.

110

111

7. Układy automatykiz czasem dyskretnym

7.1. Wprowadzenie

Liniowe układy automatyki z czasem dyskretnym wymagaja wprowadzeniaosobnego aparatu matematycznego, opartego na tzw. transformacie Z [6].Podstawowy opis struktury systemów otwartych i zamknietych stanowi tutajtransmitancja dyskretna K(z).

7.1.1. Równanie róznicowe

Liniowy system dynamiczny z czasem dyskretnym opisuje tzw. równanieróznicowe postaci

amyn + am−1yn−1 + ...+ a0yn−m = blun−m+l + ...+ b0un−m, (7.1)

zakłada sie przy tym

a0 6= 0, am 6= 0 i bl 6= 0.

Liczbem nazywamy rzedem równania róznicowego. Dla systemów przyczy-nowych (rzeczywistych) zachodzi warunek

l 6 m.

W przeciwnym razie wyjscie y musiałoby zalezec od przyszłych wartosciwejscia u. Pobudzenie jest sygnałem rozpoczynajacym sie w chwili n = 0, tzn.

un = 0, dla n < 0. (7.2)

112 7. Układy automatyki z czasem dyskretnym

Do rozwiazania równania (7.1) (czyli znalezienia {yn}) nie wystarcza zna-jomosc procesu {un}, konieczna jest jeszcze znajomosc wyjscia w m chwilachpoprzedzajacych chwile n = 0

y−1, y−2, ..., y−m. (7.3)

Wartosci w (7.3) nazywamy warunkiem poczatkowym.

7.1.2. Transformacja ZTransformacja Z przyporzadkowuje nieskonczonemu ciagowi {xn} o war-

tosciach rzeczywistych funkcje zespolona zmiennej zespolonej z

{xn} 7−→ X(z)

zdefiniowana nastepujaco

Z ({xn}) = X(z) def=∞Xn=0

xnz−n.

Transformacja Z jest narzedziem, które ułatwia rozwiazanie równania rózni-cowego (7.1), tzn. wyznaczenie ciagu {yn} przy danym pobudzeniu {un} i da-nym warunku poczatkowym y−1, y−2, ..., y−m. Z tego wzgledu najistotniejszajest własciwosc o transformacie ciagu {xn} opóznionego o k

Z ({xn−k}) = z−kX(z) + z−k+1x−1 + ...+ z−1x−k+1 + x−k;np. Z ({xn−2}) = z−2X(z) + z−1x−1 + x−2.

Do innych istotnych własciwosci transformacji Z naleza:— rózniczkowanie wzgledem z

nxn∧= −z d

dzX(z);

— zmiana skali zmiennej z

λ−nxn∧= X(λz);

— transformata sumy szeregu

nXi=0

xi∧=

z

z − 1X(z);


— transformata splotunXi=0

xn−iyi∧= X(z)Y (z).

Symbol ∧= uzywany jest przy przejsciu od ciagu do odpowiadajacej mutransformaty Z i odwrotnie (podobnie jak przy transformacie Laplace’a).

7.1.3. Transmitancja systemu z czasem dyskretnym

Zastosowanie transformaty Z do równania róznicowego (7.1), z wykorzysta-niem własciwosci (7.2), prowadzi do równania

α(z−1)Y (z)− V (z−1) = β(z−1)U(z),

gdzie α(z−1) i β(z−1) sa wielomianami zmiennej z−1, zawierajacymi w swymopisie parametry systemu

α(z−1) = am + am−1z−1 + ...+ a0z−m,β(z−1) = blz

−m+l + ...+ b0z−m,

natomiast

V (z−1) = wm−1 + wm−2z−1 + ...+ w0z−m+1

jest pewnym wielomianem o współczynnikach zaleznych od warunku poczatko-wego. Transmitancja systemu z czasem dyskretnym nazywamy zespolonafunkcje wymierna postaci

K(z) , β(z−1)α(z−1)

=blz

l + ...+ b0z

amzm + am−1zm−1 + ...+ a0zozn=

L(z)

M(z).

Opis systemu w dziedzinie zmiennej zespolonej z jest wiec nastepujacy

Y (z) = K(z)U(z) +V (z−1)α(z−1)

, (7.4)

gdzie dla zerowego warunku poczatkowego

y−1 = y−2 = ... = y−m = 0,

zachodzi

V (z−1) = 0,

czyli odpowiedz systemu z czasem dyskretnym okresla zaleznosc

Y (z) = K(z)U(z).


7.1.4. Transmitancja widmowa

Odpowiedz liniowego systemu dynamicznego z czasem dyskretnym na po-budzenie sinusoidalne un = sinωn w stanie ustalonym (gdy n → ∞) jestpostaci

yn ≈ A(ω) sin (ωn+ ϕ(ω)) ,

gdzie

A(ω) =¯K(ejω)

¯,

ϕ(ω) = argK(ejω),

a funkcja zespolona pulsacji ω

K(ejω)def= K(z)|z=jω

jest nazywana transmitancja widmowa systemu dyskretnego.

7.1.5. Standardowe pobudzenia dyskretne

Do standardowych pobudzen systemów z czasem dyskretnym naleza:— delta dyskretna Kroneckera

δn =

½1, dla n = 00, dla n 6= 0 , Z({δn}) = 1;

— dyskretny skok jednostkowy

1n =

½1, dla n > 00, dla n < 0

, Z({1n}) = z

z − 1 .

Odpowiedz systemu na pobudzenie δn i 1n, przy zerowych warunkachpoczatkowych, nazywa sie odpowiednio odpowiedzia impulsowa {kn} i skokowa{λn} systemu. W pełni charakteryzuja one własciwosci dyskretnego systemuliniowego. Korzystajac z własciwosci o transformacie splotu, na podstawie(7.4) otrzymujemy

yn =∞Xi=0

kiun−i +Z−1µV (z−1)α(z−1)

¶,


gdzie

{ki} = Z−1(K(z)).

Przy zerowym warunku poczatkowym zatem

yn =∞Xi=0

kiun−i. (7.5)

Kazdy dyskretny system liniowy mozna opisac wzorem postaci (7.5),w którym, w przeciwienstwie do równania róznicowego (7.1), nie wystepuja poprawej stronie wartosci wyjscia w chwilach poprzednich, wystepuje natomiastnieskonczona liczba składników. Podobnie jak dla systemów z czasem ciagłym,dyskretny system liniowy splata sygnał wejsciowy ze swoja odpowiedzia im-pulsowa. Oczywiscie, przy pobudzeniu systemu delta dyskretna {un} = {δn}i zerowym warunku poczatkowym, na wyjsciu obserwujemy jego odpowiedzimpulsowa {yn} = {kn}.

7.1.6. Stabilnosc układów z czasem dyskretnym

Pojecie stabilnosci układu z czasem dyskretnym odpowiada definicji stabil-nosci układu z czasem ciagłym. System dyskretny nazywamy stabilnym, jesliprzy dowolnym warunku poczatkowym i zerowym pobudzeniu {un} = 0

limn→∞ yn = 0. (7.6)

Równowaznym warunkiem koniecznym i wystarczajacym stabilnosci jest

∞Xn=0

|kn| <∞, (7.7)

stad oczywiscie musi zachodzic

limn→∞ kn = 0

oraz istniec granica

limn→∞λn = lim

n→∞

nXi=0

ki.


W systemie stabilnym, przy zerowym warunku poczatkowym, dla kazdegoograniczonego pobudzenia |un| < umax < ∞, jego odpowiedz jest równiezograniczona, czyli

|yn| < ymax = umax∞Xn=0

|kn| <∞.

Badanie stabilnosci opiera sie na okresleniu połozenia biegunów transmi-tancji systemu dyskretnego, czyli m zespolonych pierwiastków z1, ..., zm rów-nania

M(z) = 0,

gdzie

M(z) = amzm + am−1zm−1 + ...+ a0z = am · (z − z1) · ... · (z − zm).

System jest stabilny, jesli wszystkie pierwiastki jego transmitancji leza wewnetrzu okregu jednostkowego, tzn. gdy zachodzi warunek

|z1| < 1, |z2| < 1, ..., |zm| < 1. (7.8)

Jedna z technik weryfikacji warunku (7.8) jest podstawienie ([5])

z =w + 1

w − 1 ,

dla którego spełnione sa trzy warunki:• w lezy w lewej półpłaszczyznie zmiennej zespolonej w, co odpowiada

Rew < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy z lezy wewnatrz okregu jednostkowego, tj.|z| < 1;

• w lezy w prawej półpłaszczyznie zmiennej zespolonej w, co odpowiadaRew < 0 wtedy i tylko wtedy, gdy z lezy na zewnatrz okregu jednostkowego,tj. |z| > 1;

• w lezy na osi urojonej płaszczyzny w, co odpowiada Rew = 0 wtedyi tylko wtedy, gdy z lezy na okregu jednostkowym, tj. |z| = 1.

Metoda postepowania podczas sprawdzania stabilnosci układów dyskret-nych jest dwuetapowa:

1) Sprawdzic, czy M(1)?6= 0;

2) Sprawdzic czy wszystkie pierwiastki w1, w2, ..., wm równania

(w − 1)mMµw + 1

w − 1¶= 0


maja ujemne czesci rzeczywiste

Rew1?< 0,Rew2

?< 0, ...,Rewm

?< 0,

stosujac powszechnie znane kryteria stabilnosci dla systemów z czasem cia-głym.

Istnieja takze kryteria stabilnosci przeznaczone specjalnie dla systemówz czasem dyskretnym, np. kryterium Jury’ego [5], [6].

Niech A bedzie macierza kwadratowa. Jej kolejne macierze wewnetrzneotrzymuje sie przez skreslenie pierwszego i ostatniego wiersza oraz pierwszeji ostatniej kolumny, az do uzyskania macierzy o wymiarach 1 × 1 lub 2 × 2.Definuje sie podmacierze trójkatne

bA =am am−1 ... ... a2

am ... ... ...... ... ...

am am−1am

oraz

eA =

a0a0 a1

... ... ...a0 ... ... ...

a0 a1 ... ... am−2

Kryterium Jury’ego. System jest asymptotycznie stabilny wtedy i tylko

wtedy, gdy M(1) > 0, (−1)mM(−1) > 0 oraz wyznacznik i wszystkie podwy-znaczniki macierzy bA + eA i bA − eA sa dodatnie. Zaleta kryterium Jury’egow aspekcie metod komputerowych, jest mozliwosc jego szybkiej implementacjiw MATLAB.

7.1.7. Ekstrapolator i impulsator

Obiekt ciagły sterowany przez impulsator ([5]) o okresie T jest systememdyskretnym, a jego transmitancje wyznaczamy nastepujaco

K(s)L−1=⇒ k(t) =⇒ {k(nT )} = {kn} =⇒ Z({kn}) =⇒ K(z).

W przypadku systemu ciagłego sterowanego impulsatorem z ekstrapolato-rem postepujemy według schematu

1

sK(s)

L−1=⇒ λ(t) =⇒ {λ(nT )} = {λn} =⇒ z − 1

zZ({kn}) =⇒ K(z).


7.1.8. System pobudzany procesem losowym

Niech {un} bedzie stacjonarnym dyskretnym białym szumem o zerowejwartosci oczekiwanej

µu = Eun = 0.

Funkcja autokorelacji dyskretnego białego szumu o zerowej wartosci ocze-kiwanej jest definiowana nastepujaco

Ru(τ) = Eunun−τ =½

σ2u, dla τ = 00, dla τ 6= 0 ,

gdzie σ2u = Ru(0) jest jego wariancja. Wtedy

µy = Eyn = E

( ∞Xi=0

kiuk−i

)= µu

∞Xi=0

ki

i jesli µu = 0, to równiez µy = 0. Gdy µy = 0, autokorelacja wyjscia wyrazasie nastepujaco

Ry(τ) = Eynyn+τ = E

∞Xi=0

kiuk−i∞Xj=0

kjuk+τ−j

= σ2u

∞Xi=0

kiki+τ , (7.9)

w szczególnosci

σ2y = Ry(0) = σ2u

∞Xi=0

k2i .

Wprost z zaleznosci (7.7) i (7.9) wynika, ze dla systemów asymptotyczniestabilnych, pobudzanych białym szumem, ma ona własciwosc

limτ→∞Ry(τ) = 0.

Jesli odpowiedz impulsowa jest skonczona, tzn.

ki = 0, dla i > P,

to równiez

Ry(τ) = 0, dla τ > P.

Mozna takze pokazac, ze dla systemu asymptotycznie stabilnego, pobudza-nego losowym procesem skorelowanym, zachodzi zaleznosc

limτ→∞Ru(τ) = 0 =⇒ lim

τ→∞Ry(τ) = 0.


7.1.9. Identyfikacja liniowych systemów dynamicznych z czasemdyskretnym

Podobnie jak w przypadku systemów z czasem ciagłym, powstaje pytanie,jak na podstawie pomiarów wejscia i wyjscia rzeczywistego obiektu, okreslicjego parametry w matematycznym opisie.

Rozpatrzmy problem estymacji parametrów α1, ...,αn i β0, ...,βm stacjo-narnego, asymptotycznie stabilnego, liniowego systemu dynamicznego z cza-sem dyskretnym [16]. Obiekt taki, o wejsciu u i wyjsciu x, opisuje równanieróznicowe postaci

xk + α1xk−1 + ...+ αnxk−n = β0uk + β1uk−1 + ...+ βmuk−m, (7.10)

gdzie wartosci rzedów n i m sa znane.Po wprowadzeniu operatora q = z−1 przesuwajacego wstecz (tzn. qxk =

xk−1, q2xk = xk−2 itd.) oraz wielomianów

A(q) = 1 + α1q + α2q2 + ...+ αnq

n,

B(q) = β0 + β1q + ...+ βmqm,

równanie (7.10) upraszcza sie do postaci

A(q)xk = B(q)uk → xk =B(q)

A(q)uk.

Identyfikacja w warunkach bez zakłócen pomiarowych

Po wprowadzeniu wektora (kolumnowego) poszukiwanych parametrów

θ = (α1,α2, ...,αn,β0,β1, ...,βm)T

oraz uogólnionych wektorów wejsc (tzw. regresorów)

rk = (−xk−1,−xk−2, ...,−xk−n, uk, uk−1, ..., uk−m)T ,

otrzymujemy

xk = rTk θ.

Nieznane parametry zawarte w wektorze θ identyfikuje sie na podstawiepar pomiarów (uk, xk). Dla k = 1, ..., N zapiszmy pomiary w nastepujacej


macierzy RN i wektorze kolumnowym XN

RN =

rT1rT2::rTN

, XN =

x1x2::xN

.Uzyskujemy macierzowe równanie pomiarów

XN = RNθ, (7.11)

równowazne układowi N równan postaci (7.10) dla k = 1, ...,N . Mnozymylewostronnie obie strony równania (7.11) przez RTN i otrzymujemy

RTNXN = RTNRNθ, (θ — niewiadome), (7.12)

gdzie RTNRN jest macierza kwadratowa, której liczba wierszy i kolumn jestrówna liczbie poszukiwanych parametrów (dim θ).

Aby układ ten miał jednoznaczne rozwiazanie, macierz RTNRN musi bycodwracalna, tzn.

detRTNRN 6= 0innymi słowy, aby

rankRN = dim θ.

Warunkiem koniecznym nieosobliwosci macierzy RTNRN jest, aby liczbapomiarów była co najmniej równa liczbie poszukiwanych parametrówm+n+1

N ≥ dim θ. (7.13)

Warunek (7.13) nie jest oczywiscie wystarczajacy. Jako kontrprzykład pro-ponujemy czytelnikowi analize sytuacji, w której uk = const.

Wynika z tego, ze aby wyznaczenie parametrów systemu było mozliwe,nalezy go pobudzic odpowiednio bogatym sygnałem (tzw. sygnałem ustawicz-nie pobudzajacym, [16]). Przykładem sygnału ustawicznie pobudzajacego jestproces i.i.d. (biały szum). W przypadku, gdy RTNRN jest macierza odwra-calna, mozemy pomnozyc lewostronnie (7.12) przez (RTNRN )

−1, by uzyskacwzór na poszukiwane parametry

θ = (RTNRN )−1RTNXN .


Identyfikacja w obecnosci zakłócen pomiarowych

Niech teraz, dodatkowo, do prawdziwego wyjscia obiektu xk dodaja sieprzypadowe zakłócenia εk o zerowej wartosci oczekiwanej Eεk = 0, skonczonejwariancji varεk < ∞, niezalezne od procesu wejsciowego uk. Wykonujemypomiary i gromadzimy teraz pary (uk, yk), gdzie yk = xk + εk.

Innymi słowy, pomiar wyjscia jest obarczony przypadkowym błedem,a wartosci idealne xk sa niedostepne. Celem identyfikacji jest estymacja we-ktora parametrów θ = (α1,α2, ...,αn,β0,β1, ...,βm)

T na podstawie pomiarówwe—wy {(uk, yk)}Nk=1.

Zapisujemy

xk = yk − εk =B(q)

A(q)uk / ·A(q)

i otrzymujemy równanie róznicowe o zmiennych y i u

A(q)yk = B(q)uk + zk.

Przypomina to wzór (7.10), z ta jednak róznica, ze wystepuje tutaj zakłócenie

zk = A(q)εk = εk + α1εk−1 + α2εk−2 + ...+ αnεk−n,

które nie jest szumem białym, gdyz jego autokorelacja dla |τ | ≤ n wynosi

Ezkzk−τ 6= 0.

Po wprowadzeniu rzeczywistego regresora

φk = (−yk−1,−yk−2, ...,−yk−n, uk, uk−1, ..., uk−m)T

oraz macierzy uogólnionych wejsc, wektora wyjsc i zakłócen

ΦN =

φT1φT2::

φTN

, YN =

y1y2::yN

, ZN =

z1z2::zN

,równanie pomiarów przyjmuje postac

YN = ΦNθ + ZN ,


gdzie θ jest niewiadomym wektorem stałych parametrów, a ZN — nieznanymzakłóceniem losowym.

Zbyt duza liczba nieznanych wartosci uniemozliwia wyliczenie θ. Zauwa-zmy takze, ze układ równan z pominieciem zakłócen

YN = ΦNθ, (7.14)

jest w ogólnosci układem sprzecznym. Poszukuje sie zatem takich wartosci pa-rametrów, przy których odległosc miedzy wektorami po lewej i prawej stronierównania (7.14) jest najmniejsza. Metodologia taka prowadzi do estymatorametoda najmniejszych kwadratów [16], który przy odwracalnosci macie-rzy ΦTNΦN ma postac

bθ = (ΦTNΦN )−1ΦTNYN ,a bład estymacji wynosi

∆ = bθ − θ = (ΦTNΦN )−1ΦTNYN − θ =

= (ΦTNΦN)−1ΦTNΦNθ + (Φ

TNΦN)

−1ΦTNZN − θ =

= (1

NΦTNΦN)

−1 1NΦTNZN .

Poniewaz proces wyjsciowy jest ergodyczny (jako wyjscie obiektu asymp-totycznie stabilnego pobudzanego białym szumem [16]), wiec czynnik

1

NΦTNZN → Eφkzk = E

−yk−1:

−yk−nukuk−1:

uk−m

zk

z prawdopodobienstwem 1, gdyN →∞. Skorelowanie procesu {zk} powoduje,ze Eφkzk 6= 0 i estymator najmniejszych kwadratów, zastosowany do identyfi-kacji parametrów systemu dynamicznego, moze nie byc estymatorem zgodnym.Zwiekszanie liczby pomiarów nie doprowadzi nas do prawdziwych wartosciparametrów. W celu pokonania tej trudnosci, stosuje sie techniki oparte nafiltracji zakłócen lub tzw. metode zmiennych instrumentalnych ([16]).

7.2. Program cwiczenia 123

Matoda uogólnionych najmniejszych kwadratów — filtracja Kalmana

Poniewaz macierz kowariancji zakłócen

cov(ZN) = EZNZTN

jest dodatnio okreslona, podlega ona tzw. twierdzeniu o faktoryzacji, któremówi o mozliwosci znalezienia takiej nieosobliwej macierzy P (tzw. pierwia-stka macierzy cov(ZN )), ze

cov(ZN) = P · PT .

Mnozymy lewostronnie równanie pomiarów przez P−1

P−1YN = P−1ΦNθ + P−1ZN

i oznaczamy Y N = P−1YN , ΦN = P−1ΦN , ZN = P−1ZN , otrzymujemywówczas równanie

Y N = ΦNθ + ZN

Łatwo mozna pokazac (np. [16]), ze

EZNZTN = I (I — macierz jednostkowa),

a zatem elementy ZN tworza dyskretny biały szum. Uogólniony estymatorparametrów metoda najmniejszych kwadratów ma postac

[θGLS = (ΦTNΦN)

−1ΦTNY N . (7.15)

Jest on estymatorem najlepszym sposród wszystkich estymatorów linio-wych, gdyz w tej klasie cechuje go minimalna macierz kowariancji. Stosowaniewzoru (7.15) wymaga jednak jednoczesnego (naprzemiennego) modelowaniabudowy korelacyjnej zakłócen. Kilka przykładowych metod wykorzystujacychfiltracje zakłócen prezentuje praca [16].

7.2. Program cwiczenia

Cwiczenie laboratoryjne składa sie z nastepujacych etapów:• symulacja prostych systemów dyskretnych, komputerowe wyznaczenie

charakterystyk czasowych i porównanie ich z wynikami teoretycznymi;


• badanie stabilnosci i zastepczej transmitancji dyskretnej systemów złozo-nych, w tym Układu Automatycznej Regulacji;

• analiza korelacyjna procesu wyjsciowego przy pobudzeniu układu białymszumem losowym;

• identyfikacja parametrów liniowego systemu dyskretnego metoda naj-mniejszych kwadratów, na podstawie symulowanych pomiarów wejscia i wy-jscia.


7.3.1. Wyznaczanie odpowiedzi impulsowych, transformacja ZObliczyc transformate Z najczesciej spotykanych ciagów, tj. δn, 1n, n,

n2, n3, an, sinωn, cosωn, n sinωn, itp. Zamodelowac w Simulink uzyskanew ten sposób funkcje wymierne zmiennej z i zasymulowac dyskretna delteKroneckera, wydajac odpowiednie polecenie MATLAB

>>u=[0,1,2,3,4,5,6,7,8,9;1,0,0,0,0,0,0,0,0,0]’W pierwszej kolumnie macierzy u znajduja sie etykiety czasowe, w drugiej —wartosci sygnału. Przykładowy schemat układu do badania odpowiedzi impul-sowych prostych systemów dyskretnych przedstawiono na rysunku 7.1.

7.3.2. Identyfikacja

Dokonac symulacji systemu typu FIR (o skonczonej odpowiedzi impulso-wej, ang. Finite Impulse Response), tzn. takiego, w którym

A(q) = 1.

Zbadac eksperymentalnie asymptotyczne własnosci estymatora najmniej-szych kwadratów. Badania powtórzyc dla systemu typu IIR (o nieskonczo-nej odpowiedzi impulsowej, ang. Infinite Impulse Response). PrzykładowyM -skrypt do symulacji, a nastepnie identyfikacji parametrów elementu FIRw przypadku braku zakłócen, przedstawiono ponizej:

N=20; %liczba pomiarowa=[1 1 1]; %parametry obiektu: y(k)=1*u(k)+1*u(k-1)+1*u(k-2);d=size(a,2); %rzad ruchomej sredniejR=zeros(N,d); %uogolniona macierz wejscX=zeros(N,1); %wektor pomiarow wyjscu=rand(N+d-1,1); %proces wejsciowy


Rys. 7.1. Badanie odpowiedzi róznych układów na impuls dyskretny

for i=1:Nfor j=1:dR(i,j)=u(i+d-j,1);X(i,1)=X(i,1)+a(j)*u(i+d-j,1);

end;end;oszac=inv(R’*R)*R’*X %oszacowanie wektora parametrow a

Wynik działania skryptu jest nastepujacy:>>oszac=>> 1.00000>> 1.00000>> 1.00000

Pokazuje on odpowiedz impulsowa symulowanego systemu.


7.3.3. Przykładowe wyniki symulacji komputerowej

Na rysunkach 7.2 i 7.3 przedstawiono uzyskane w MATLAB i wykresloneza pomoca funkcji stem(), wyjscie systemu o transmitancji

K(z) =z

z − 12

,

pobudzonego sygnałem {δn−5} i odpowiednio {1n−5}.Na rysunku 7.4 pokazano odpowiedz systemu o transmitancji

KZ(z) =z sin 10

z2 − 2z cos 10 + 1 b=sin 10nna pobudzenie {δn−5} .

7.3.4. Badanie stabilnosci

Stosujac znane kryteria, zbadac stabilnosc nastepujacych systemów:• opisanego równaniem róznicowym

yk = ayk−1 + uk;

• o transmitancji

K(z) =1

z2 + az + 1;

• o transmitancji

K(z) =1

az2 + z + 1;

w zaleznosci od parametru a.Dokonac komputerowej symulacji odpowiedzi systemów na skok jednost-

kowy.

7.3.5. Systemy złozone

Wybrane dwa proste systemy dyskretne połaczyc szeregowo, a nastepnierównolegle. Wyznaczyc analitycznie charakterystyki czasowe systemów złozo-nych i Dyskretnego Układu Automatycznej Regulacji — DUAR. Porównac jez wynikami badan komputerowych. Badania powtórzyc dla układu ze sprzeze-niem zwrotnym (np. z rys. 7.5).


Rys. 7.2. Odpowiedz impulsowa elementu autoregresyjnego pierwszego rzedu

Rys. 7.3. Odpowiedz na skok dyskretny


Rys. 7.4. Odpowiedz systemu typu „dyskretna sinusoida”

Rys. 7.5. (a) System ze sprzezeniem zwrotnym; (b) badanie autokorelacji wyjsciasystemu pobudzanego procesem losowym

7.4. Przykład praktyczny — filtracja dzwieku 129

7.3.6. Analiza korelacyjna procesu wyjsciowego

Dla wybranej transmitancji systemu wyznaczyc odpowiedz impulsowa. Na-stepnie zasymulowac proces wejsciowy typu „biały szum” o rozkładzie jed-nostajnym, znanej postaci u ∼ U [−c, c] (c — znane). Obliczyc analityczniewartosc oczekiwana, wariancje i funkcje autokorelacji procesu wyjsciowego.Zbudowac układ z rysunku 7.5b zawierajacy generator liczb pseudolosowycho rozkładzie jednostajnym. Proces wyjsciowy {yk} poddac analizie korelacyj-nej za pomoca skryptu:

%––––––––––skrypt komputerowy[c_y,lags] = xcorr(y,10,’coeff ’);stem(lags,c_y)%––––––––––

Porównac wynik analizy teoretycznej i symulacji komputerowej.

7.4. Przykład praktyczny — filtracja dzwieku

Podstawowe prawo teorii informacji mówi [10], ze aby sygnał z czasemciagłym s(t) o ograniczonym (z góry) przez fg pasmie czestotliwosci móc jed-noznacznie (dokładnie) odtworzyc z pomiarów {sn} w dyskretnych chwilachczasu, nalezy go próbkowac z czestotliwoscia fp równa co najmniej

fp = 2fg.

W zastosowaniach audiowizualnych Windows (pliki typu wav) przyjmuje sienp. zakres słyszalnosci fg = 22 kHz. Pobiera sie zatem 44 tys. próbek w ciagusekundy. Sygnał dzwiekowy jest przechowywany w formie cyfrowej {sn} (ciagliczb), co ma wiele zalet, np.: odpornosc na zakłócenia, mozliwosc szybkiegokopiowania, czy efektywna kompresje (pliki typu mp3 ). Nowoczesna dziedzinazastosowan jest przetwarzanie sygnału na poziomie jego reprezentacji cyfrowej.Cyfrowa filtracja dzwieku polega na transferze sygnału {sn} przez odpowie-dnio zaprojektowany liniowy obiekt dynamiczny i odtworzeniu na podstawietak otrzymanego ciagu {s0n} — sygnału wyfiltrowanego s0(t) z czasem ciagłym.

7.5. Podsumowanie

Celem badan prowadzonych w cwiczeniu było poznanie komputerowychtechnik w zagadnieniach:


— wyznaczaniu standardowych odpowiedzi czasowych systemów dyskret-nych;

— identyfikacji parametrów liniowych systemów dynamicznych z czasemdyskretnym przy wystepowaniu zakłócen losowych na wyjsciu;

— badaniu stabilnosci systemów dyskretnych;— wyznaczaniu funkcji autokorelacji procesu wyjsciowego obiektu pobudza-

nego białym szumem.Szybki wzrost wydolnosci obliczeniowej komputerów, spowodował w ostat-

nich latach burzliwy rozwój teorii cyfrowego przetwarzania sygnałów, a zwła-szcza: projektowania filtrów cyfrowych i analogowych, efektywnych metodobliczania transformat itp. W konsekwencji wyniki analizy systemów dyskret-nych znajduja powszechne zastosowanie w wielu dziedzinach, przede wszyst-kim w telekomunikacji i medycynie. Zainteresowanym czytelnikom szczególniejest polecana, w celu poszerzenia wiadomosci z tego zakresu, monografia [10].

W nowoczesnych rozwiazaniach zwiazanych z modelowaniem systemów rze-czywistych, przedstawiony we wprowadzeniu system o ogólnym opisie

y(t) ≈ F(u(t− τ)), gdzie τ = 0...∞

aproksymuje sie strukturami połaczen liniowych obiektów dynamicznych i nie-liniowych obiektów statycznych (tzw. strukturami blokowymi). Do najpo-pularniejszych modeli blokowo-zorientowanych naleza połaczenia kaskadowefiltrów liniowych i statycznych nieliniowosci, tzw. systemy Hammersteinai Wienera. Zastosowanie takich struktur umozliwia jednoczesne modelowa-nie nieliniowej natury zjawiska i jego dynamiki.

131

Literatura

[1] Amborski K., Marusak A., Teoria sterowania w cwiczeniach, PWN, War-szawa, 1978.

[2] Brzózka J., Cwiczenia z automatyki w Matlabie i Simulinku, Wydawnic-two Mikom, Warszawa, 1997.

[3] Brzózka J., Regulatory i układy automatyki, Wydawnictwo Mikom, War-szawa, 2004

[4] Findeisen W., Technika regulacji automatycznej, PWN, Warszawa, 1969.

[5] Greblicki W., Teoretyczne podstawy automatyki, Oficyna Wydawnicza Po-litechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2001.

[6] Jury E., Przekształcenie Z i jego zastosowania, WNT, Warszawa, 1970.

[7] Kaczorek T., Teoria sterowania i systemów, PWN, Warszawa, 1999.

[8] Kasprzyk J., Identyfikacja procesów, Wydawnictwo Politechniki Slaskiej,Gliwice, 2002.

[9] Kiełbasinski A., Schwetlick H., Numeryczna algebra liniowa: wprowadze-nie do obliczen zautomatyzowanych, WNT, Warszawa, 1994.

[10] Kwiatkowski W., Wstep do cyfrowego przetwarzania sygnałów, WojskowaAkademia Techniczna, Warszawa, 2003.

[11] Mazurek J., Vogt H., Zydanowicz W., Podstawy automatyki, Oficyna Wy-dawnicza Politechniki Warszawskiej, Warszawa, 2002.

[12] Mikulski J., Podstawy automatyki — liniowe układy regulacji, Wydawnic-two Politechniki Slaskiej, Gliwice, 2001.

[13] Mrozek B., Mrozek Z., Matlab i Simulink. Poradnik uzytkownika, Wy-dawnictwo Helion, Gliwice, 2004.

[14] Ogata K., Modern control engineering, 4th Edition, Prentice-Hall, NewJersey, 2002.

132 Literatura

[15] Pełczewski W., Teoria sterowania. Ciagłe stacjonarne układy liniowe,WNT, Warszawa, 1980.

[16] Söderström T., Stoica P., Identyfikacja systemów, WNT, Warszwa, 1997.

[17] Thaler G. J., Pastel M. P., Nieliniowe układy automatycznego sterowania— analiza i projektowanie, WNT, Warszawa, 1965.

[18] Wiszniewski A. i in., Podstawy automatyki. Cwiczenia laboratoryjne, Ofi-cyna Wydawnicza Politechniki Wrocławskiej, Wrocław, 2000.

[19] Zalewski A., Cegieła R., Matlab — obliczenia numeryczne i ich zastosowa-nia, Wydawnictwo Nakom, Poznan, 1997.

[20] Zuchowski A., Metoda doboru nastaw regulatora PID uwzgledniajaca po-stulowany zapas stabilnosci modułu i fazy, Pomiary Automatyka Kontrola,str. 11—13, Nr 1/2004.

[21] Materiały pomocnicze na stronie http://diuna.ict.pwr.wroc.pl/grmz.

Indeks

Astatyzm UAR, 80Autokorelacja, 118

Charakterystyka amplitudowo-fazowa,66

Charakterystyka Bodego, 66Charakterystyka czasowa, 25Czas regulacji, 95

DUAR — dyskretny UAR, 126

Funkcja opisujaca, 104

Identyfikacja, 31Identyfikacja systemu dyskretnego,

119ISE — całkowy bład kwadratowy, 94

Kryterium Hurwitza, 51Kryterium Jury’ego, 117Kryterium Nyquista, 51

Linie pierwiastkowe, 52Losowe pobudzenie, 118

M-skrypt, 14MATLAB, 11Metoda najmniejszych kwadratów,

122Metody Zieglera—Nicholsa, 96

Nadaznosc UAR, 83Nieliniowy UAR, 105

Obserwowalnosc, 29Odpowiedz impulsowa, 30Odpowiedz skokowa, 30Osiagalnosc, 29

Przeregulowanie, 93Przestrzen stanów, 27

Równanie róznicowe, 111Równanie rózniczkowe, 26

Simulink, 16Splot, 9Stabilnosc, 48Stabilnosc systemu dyskretnego, 115Statyzm UAR, 80Sterowalnosc, 29

Transmitancja operatorowa, 25Transmitancja widmowa, 65

UAR — układ automatycznej regu-lacji, 45

Zasada superpozycji, 9Zapas amplitudy, 69Zapas fazy, 69

133

Documents

Komputerowa symulacja układów automatycznej regulacji w