Konformna preslikavaƬa Rimanovih prostora...Ako je r= ∞, funkcije imaju neprekidan parcijalni izvod, proizvoƩno visokog reda, po svim promenƩivim u nekoj okolini svake taqke

Univerzitet u Nixu

Prirodno-matematiqki fakultet

Departman za matematiku

Konformna preslikavaƬa Rimanovihprostora

Master rad

Mentor:

Prof. Dr. Mia Stankovi

Student:

Dragana Pavlovi

SADRЖAJ

1 Tenzorska analiza 5

1.1 Uvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.2 Invarijante, vektori i tenzori . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

1.3 Algebarske operacije sa tenzorima . . . . . . . . . . . . . . . . 10

1.4 Koeficijenti koneksije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.5 Kovarijantni izvod . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.6 Riqijev identitet i Rimanov tenzor . . . . . . . . . . . . . . . . 16

1.7 Krive i povrxi na mnogostrukostima . . . . . . . . . . . . . . . 18

1.8 Uslovi integrabilnosti . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2 Prostori Afine koneksije 27

2.1 Uvodni pojmovi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

2.2 Paralelno pomeraƬe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.3 Geodezijske linije prostora afine koneksije . . . . . . . . . . . 30

2.4 Afini prostori . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32

2.5 PreslikavaƬa diferencijabilnih mnogostrukosti . . . . . . . . 33

2.6 Afinorne strukture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

3 Rimanovi prostori 37

3.1 Osnovne definicije . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Duжina kontravarijantnog i kovarijantnog vektora . . . . . . . 39

3.3 Hiperpovrxi Rimanovog prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

3.4 Duжina luka krive . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43

3.5 Kristofelovi simboli . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44

3.6 Geodezijske linije Rimanovih prostora . . . . . . . . . . . . . . 45

3.7 Riqijev i Rimanov tenzor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46

3.8 Ajnxtajnov, rekurentan i lokalno Euklidov prostor.Skalarna

krivina . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

3.9 Povrxi Rimanovih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

3.10 Podprostori Rimanovih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . 50

3.11 Izometriqko preslikavaƬe Rimanovih prostora . . . . . . . . . 51

3

4 SADRЖAJ

4 Konformna preslikavaƬa 53

4.1 KretaƬe Rimanovih prostora . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2 Konformna preslikavaƬa Rimanovih prostora . . . . . . . . . . 534.3 Tenzor konformne krivine . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 544.4 Konformno Euklidovi (ravni) Rimanovi prostori . . . . . . . . 55

Deo 1

Tenzorska analiza

1.1 Uvod

Posmatrajmo realnu diferencijabilnu n-dimenzionalnu mnogostrukost

Xn klase Cr(r > 1). ƫegove elemente emo nazivati taqkama i oznaqavaemo

ih sa M , N , M1 itd. Svaka taqka mnogostrukosti Xn, kao xto je poznato,

pripada u krajƬem sluqaju jednoj Ƭegovoj koordinatnoj oblasti Ω. Neka

promenƩiva taqka M ∈ Ω ima u Ƭoj lokalne koordinate x1, x2, · · · , xn. One

mogu uzimati proizvoƩne vrednosti u nekoj oblasti D:

xk0 < xk < xk1 (k = 1, 2, · · · , n).

Kada je taqka M ∈ Ω fiksirana, nazvaemo ponekad oblast tipa D, ko-

joj pripadaju Ƭene koordinate, okolinom taqke M. U oblasti Ω ili u Ƭenom

preseku s drugom koordinatnom oblasti Ω′ uvek je mogu prelaz od jednog

lokalnog sistema koordinata x1, x2, · · · , xn na drugi x′1, x′2, · · · , x′n po for-

muli:

x′k = x′k(x1, x2, · · · , xn) (k = 1, 2, · · · , n), (1.1)

Funkcije x′1(x1, x2, · · · , xn), x′2(x1, x2, · · · , xn), · · · , x′n(x1, x2, · · · , xn) pri-

padaju klasi Cr, tj. imaju neprekidne parcijalne izvode po svim argumentima

do reda r zakƩuqno, a Ƭihov Jakobijan je razliqit od nule u svakoj taqki:

det

∥∥∥∥

∂x′k

∂xi

∥∥∥∥6= 0 (k = 1, 2, · · · , n). (1.2)

Posledica toga je, da je funkcija preslikavaƬa lokalnih sistema koor-

dinata u okolini svake taqke obostrano jednoznaqna, tj. invertibilna, pa

dozvoƩava ekvivalentno predstavƩaƬe u obliku funkcija

x′ = x′(x′1, x′2, · · · , x′n) (1.3)

5

6 1. Tenzorska analiza

definisanih u odnosu na prvobitne koordinate x1, x2, · · · , xn taqke M kao

funkcije novih koordinata x′1, x′2, · · · , x′n. U daƩem predstavƩaƬu, sisteme

lokalnih koordinata zvaemo dopustvim.

Ako je r = ∞, funkcije imaju neprekidan parcijalni izvod, proizvoƩno

visokog reda, po svim promenƩivim u nekoj okolini svake taqke. Pri r = ω

oni se po definiciji smatraju pravim i analitiqkim, tj. dopustivim u nekoj

okolini svake taqke predstavƩene u obliku konvergentnih stepenih redova.

Na daƩe, mi emo pretpostavƩati postojaƬe i neprekidnost svih tih

izvoda posmatranih funkcija, koje se koriste u argumentima, bez navoeƬa

svaki put posebno. Naxe istraжivaƬe bie po pravilu u pravoj diferencija-

bilnoj mnogostrukosti Xn konaqne klase Cr i to lokalno, tj. u nekoj okolini

Ƭegove proizvoƩne taqke.

Geometrijske, mehaniqke, fiziqke i mnoge druge osobine realnih tela,

procesa i pojava prilikom matematiqkih istraжivaƬa qesto opisuju upored-

nim sistemima N funkcija fA(A = 1, 2, · · · , N) od koordinata tekue taqke M

prave diferencijabilne mnogostrukosti Xn ili nekog Ƭenog podskupa defini-

sanim u svakom lokalnom sistemu koordinata i promenama u rezultatu svakog

preslikavaƬa oblika po definisanom pravilu, na primer,

f ′A(x′) = FA(x′; ∂x′; ∂2x′; · · · ; ∂px′; f). (1.4)

Svaka od takvih kolekcija funkcija naziva se poƩem geometrijskog objekta,

zadatim na Xn ili nekom Ƭegovom podskupu. Krae, poƩe geometrijskog ob-

jekta qexe emo zvati geometrijski objekat. Svaka od funkcija

f 1(x1, x2, · · · , xn), f 2(x1, x2, · · · , xn), · · · , fN(x1, x2, · · · , xn)

naziva se saglasno Ƭenom broju, komponentom geometrijskog objekta u sistemu

koordinata x1, x2, · · · , xn, a

f ′1(x′1, x′2, · · · , x′n), f ′2(x′1, x′2, · · · , x′n), · · · , f ′N(x′1, x′2, · · · , x′n)

u novom sistemu koordinata x′1, x′2, · · · , x′n u toj taqki M . Relacija (1.4)

naziva se zakon preslikavaƬa geometrijskog objekta pri izmeni sistema ko-

ordinata oblika (1.1). U fA(A = 1, 2, · · · , N) definisane su funkcije novih

koordinata x′(x′1, x′2, · · · , x′n), od kojih u indeksu argumenta prikazan samo

jedan predstavnik x′ bez broja. Te funkcije u opxtem sluqaju zavise od prvih,

drugih itd. do nekog reda p ukƩuqenih parcijalnih izvoda funkcije (1.1)

∂j1x′k =

∂x′k

∂xj1, ∂2j1j2x

′k =∂2x′k

∂xj1∂xj2, · · · , ∂nj1j2···jnx

′k =∂px′k

∂xj1∂xj2 · · · ∂xjp

(k, j1, j2, · · · , jp = 1, 2, · · · , n).

1.2. Invarijante, vektori i tenzori 7

Od svake grupe tih promenƩivih u FA jasno je prikazan samo jedan pred-

stavnik bez broja: ∂x′, ∂2x′, · · · , ∂px. Na kraju, FA zavisi od komponenta ge-

ometrijskog objekta f 1(x1, x2, · · · , xn), f 2(x1, x2, · · · , xn), · · · , fN (x1, x2, · · · , xn)u starom sistemu koordinata. U Ƭima kao i u izvodima funkcije (1.1) izlazne

koordinate x1, x2, · · · , xn taqke M pretpostavƩaju izraжavaƬe u saglasnosti

sa (1.3) za nove koordinate x′1, x′2, · · · , x′n. Pri tom, uslovi (1.4) moraju biti

ispuƬeƬeni u svakoj taqki M ∈ Xn, gde je definisan geometrijski objekat.

U zavisnosti od specifiqnosti zakona (1.4) definixe se i klasifikacija

geometrijskih objekata. Na primer, ako je funkcija FA linearno zavisna od

f 1(x), f 2(x), · · · , fN(x), geometrijski objekat se naziva linearnim. Kada FA

sadrжi parcijalne izvode funkcija (1.1) i (1.3) samo prvog reda, geometri-

jski objekat nazivamo objektom prvog reda, itd.

1.2 Invarijante, vektori i tenzori

Oqigledno je da je vrlo vaжno kada je geometrijski objekat invarijanta.

U svakom lokalnom sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn i x′1, x′2, · · · , x′n na Xn

on definixe jednu funkciju f(x1, x2, · · · , xn) i f(x′1, x′2, · · · , x′n) respektivno.

Zakon te promene pri promeni koordinata oblika (1.1) i (1.3) je:

f(x′1, x′2, .., x′n) = f(x1(x′1, x′2, .., x′n), x2(x′1, x′2, .., x′n), .., xn(x′1, x′2, .., x′n)).

Mi emo to krae zapisivati u obliku:

f ′(x′) = f(x(x′)), (1.5)

xto se jasno pokazuje samo po jednom predstavniku (bez broja) iz svake grupe

promenƩivih – prvobitnih i izvedenih koordinata taqke M .

Relacije (1.5) pokazuju, da invarijanta u svakoj datoj taqki M ∈ Xn u

svim dopustivim sistemima koordinata ima jednu i samo jednu brojnu vred-

nost. Iz te osobine i proizilazi termin invarijanta geometrijskog objekta

s funkcijom transformacije (1.5).

Nexto sloжeniji geometrijski objekat je kontravarijantni vektor. U

svakom sistemu koordinata na Xn on definixe kolekciju

λ1(x1, x2, · · · , xn), λ2(x1, x2, · · · , xn), · · · , λn(x1, x2, · · · , xn)

n realnih funkcija, uzetih u definisanom poretku, od koordinata tekue

taqke M u prvobitnom sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn i saglasno tome

λ′1(x′1, x′2, · · · , x′n), λ′2(x′1, x′2, · · · , x′n), · · · , λ′n(x′1, x′2, · · · , x′n)


u novom sistemu koordinata x′1, x′2, · · · , x′n i karakterixu se zakonom trans-

formacije:

λ′k(x′1, x′2, · · · , x′n) = λα(x1, x2, · · · , xn)∂αx′k(x1, x2, · · · , xn).

Taj zakon emo krae zapisivati obliku

λ′k(x′) = λα(x)∂αx′k(x) (k, α = 1, 2, · · · , n) (1.6)

ukazujui na jednog predstavnika (bez broja) iz svake grupe promenƩivih. U

poqetku u formuli (1.6) pri svakoj fiksnoj vrednosti broja k po indeksu

α implicira zbir od 1 do n, pa je zbog toga i znak sume Σ izostavƩen.

Sloжiemo se na daƩe da svaki termin koji sadrжi jedan indeks dvaput,

jedan u izloжiocu jedan u indeksu, znaqi zbir svih Ƭenih vrednosti od 1do n. Indeksi sumiraƬa, po pravilu, bie oznaqeni malim grqkim slovima

α, β, γ, · · · , α1, β1, γ1, · · · itd. da bi se razlikovali od ostalih, takozvanih

esencijalnih indeksa, koje emo oznaqavati malim latiniqnim slovima, na

primer, h, k, l, i, j itd. Na desnoj strani kao u (1.6) tako i u (1.4) x1, x2, · · · , xn,ukƩuqeni u λα(x), a takoe i u ∂αx

′k(x), pretpostavƩaju da su izrazi u sa-

glasnosti sa (1.3) kroz x′1, x′2, · · · , x′n.U odreenom smislu dvostrukog kontravarijantniog vektora pojavƩuje se

geometrijski objekat, koji nazivamo kovarijantni vektor. U svakom lokalnom

sistemu koordinata na Xn kovarijantni vektor takoe definixe kolekciju n

funkcija, uzetih u odreenom poretku, µ1, µ2, · · · , µn od koordinata tekue

taqke M , ali pravilo Ƭihovog prevoeƬa u rezultatu smene sistema koordi-

nata prema formulama (1.1), (1.3) imaju oblik

µ′i(x

′) = µα(x)∂′ixα (i, α = 1, 2, · · · , n). (1.7)

Sada su µ′i(x

′) – komponente kovarijantnog vektora u novom sistemu koor-

dinata, a µα(x) – u poqetnom koordinatnom sistemu u jednoj i samo jednoj

taqki M ∈ Xn. Prema ranije uvedenom oznaqavaƬu

∂ixα =

∂xα

∂x′i.

Kontravarijantni i kovarijantni vektor su specijalni sluqajevi opxteg

geometrijskog objekta–tenzora.

Tenzorom tipa (pq) nazivamo geometrijski objekat, definisan u svakom lokal-

nom sistemu koordinata na Xn familije funkcija

Si1i2···ipj1j2···jq

(x)

(svaki od indeksa i1, i2, · · · , ip; j1, j2, · · · , jq dobija nezavisno jedan od drugog

sve vrednosti od 1 do n) i promena pri prelazu iz jednog sistema koordinata

x1, x2, · · · , xn na drugi x′1, x′2, · · · , x′n po formulama (1.1), (1.3) po pravilu

S′i1i2···ipj1j2···jq

(x′) = Sα1α2···αp

β1β2···βq(x)∂α1x

′i1∂α2x′i2 · · · ∂αp

x′ip∂

′

j1xβ1∂

′

j2xβ2 · · · ∂′jqx

βq (1.8)

1.2. Invarijante, vektori i tenzori 9

Sada S′i1i2···ipj1j2···jq

(x′) – predstavƩa komponentu tenzora u sistemu koordinata

x′1, x′2, · · · , x′n, a Sα1α2···αp

β1β2···βq(x) – u sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn. Tenzor

tipa (pq) qesto nazivamo p–kontravarijantnim i q-kovarijantnim tenzorom.

ƫega emo krae oznaqavati S(pq). GorƬi indeksi kod S(pq) u (1.8) nazi-

vamo kontravarijantama, a doƬi–kovarijantama. Kako svaki od Ƭih dobija

nezavisno jedan od drugog sve vrednosti od 1 do n, tenzor tipa (pq) ima np+q

komponenti.

Oqigledno, (1.8) predstavƩa sam za sebe poseban sluqaj relacije (1.4)

za N = np+q i specijalnih uporednih komponenti posmatranog geometri-

jskog objekta. Kada je p = 1, q = 0, iz (1.8) mi dobijamo (1.6), a kada je

p = 0, q = 1 - adekvatno (1.7). Zato je kontravarijantni vektor tenzor

tipa (10), a kovarijantni vektor–tenzor tipa (01). U skladu s (1.8) usvojen je

takoe, jer je invarijanta, tenzor tipa (00). Lako se moжe videti, da veliqine

δhi =

1 za h = i,

0 za h 6= i(h, i = 1, 2, · · · , n),

koje nazvamo Kronekerovim simbolima, predstavƩaju tenzor tipa (11).

Iz (1.8) je oqigledno da na diferencijabilnoj mnogostrukosti Xn klase

Cr komponente tenzora (pq) su uopxteno govorei, funkcije uжe klase Cr−1.

Napomenimo, da smo definisali istovremeno i pojam poƩa geometrijskog

objekta, i posebno invarijante, kontrainvarijantnih i kovarijantnih vek-

tora, tenzorskog poƩa tipa (pq) na Xn ili nekom Ƭegovom podskupu, a takoe

pojam geometrijskog objekta u datoj taqki M0 iz Xn.

Tenzor (pq) za svako p i q naziva se nula tenzorom, ako su sve Ƭegove kom-

ponente jednake nuli (na celom Xn, na nekom Ƭegovom podskupu ili u datoj

taqki). Ako je tenzor S(pq) jednak nuli u jednom sistemu koordinata tada je on

jednak nuli i u svakom drugom sistemu koordinata i to je jedno od vaжnijih

svojstva tenzora.

S pojmovima tenzor i tenzorskih poƩa qesto se susreemo u geometriji,

mehanici, teorijskoj fizici,...


1.3 Algebarske operacije sa tenzorima

Za tenzore postoji nekoliko algebarskih operacija, koje kao rezultat daju

tenzore a meu osnovnim su tri: algebarsko slagaƬe, mnoжeƬe i kontrakcija.

a) Operacija algebarsko slagaƬe primeƬuje se na tenzore samo jednog tipa (pq)za svako p i q, i kao rezultat dobija se tenzor istog tipa. Ako su S i T tenzori

istog tipa (pq) na mnogostrukosti Xn, u svakoj taqki M , gde su definisani, i ako je

u proizvoƩnom sistemu koordinata

Ri1i2···ipj1j2···jq

(x) = Si1i2···ipj1j2···jq

(x) + eTi1i2···ipj1j2···jq

(x)

(i1, i2, · · · , ip; j1, j2, · · · , jq = 1, 2, · · · , n),(1.9)

gde je e = ±1, onda kaжemo da je tenzor R dobijen algebarskim slagaƬem tenzora

S i T . Iz (1.8) neposredno se vidi da tako definisani geometrijski objekat R

predstavƩa tenzor tipa (pq). Za e = +1 nazivamo ga sumom (zbirom) a za e = −1razlikom tenzora S(pq) i T (pq). Ponekad emo (1.9) krae zapisivati u obliku

R(pq) = S(pq) + eT (pq).

Uvedeno algebarsko slagaƬe dva tenzora oqigledno se proteжe na svaki konaqan

skup tenzora istog tipa.

Tenzori S(pq) i T (pq) su jednaki ako je Ƭihova razlika nula tenzor tj. ako je:


(x) = Ti1i2···ipj1j2···jq

(x) (1.10)

za sve vrednosti indeksa i1, i2, · · · , ip; j1, j2, · · · , jq, koji se meƬaju nezavisno jedan

od drugog od 1 do n.

Ukoliko tenzor u nuli ima invarjantni karakter u odnosu na izbor sistema ko-

ordinata, odnos dva tenzora je takoe svojstvo, koje ne zavisi od izbora sistema

koordinata.

Uz pomo algebarskog slagaƬa tenzora uvodimo operacije simetrizacije i

alternacije po dva istoimena indeksa, i operacija cikliraƬa po tri istoimena

indeksa.

Za tenzor S(pq) u svakom sistemu koordanata definixemo

Si1i2···ip(j1j2)j3···jq


(x) + Si1i2···ipj2j1j3···jq

(x), (1.11)

Si1i2···ip[j1j2]j3···jq


(x)− Si1i2···ipj2j1j3···jq

(x), (1.12)

za q > 1 i

Si1i2···ip(j1j2j3)j4···jq

(x) = Si1i2···ipj1j2j3j4···jq

(x) + Si1i2···ipj2j3j1j4···jq

(x) + Si1i2···ipj3j1j2j4···jq

(x) (1.13)

za q > 2.

1.3. Algebarske operacije sa tenzorima 11

Na osnovu (1.8) neposredno zakƩuqujemo da kompozicije (1.11), (1.12) i (1.13)

predstavƩaju tenzore tipa (pq). Prva od Ƭih daje rezultat simetriqnosti, a druga -

alternativnosti po prva dva kovarijantna indeksa i na kraju, trea - cikliqnost po

prva tri kovarijantna indeksa poqetnog tenzora S(pq). Te operacije za proizvoƩne

kovarijantne indekse su oblika:

Si1i2···ip...(j|...|k)...(x) = S

i1i2···ip...j...k...(x) + S

i1i2···ip...k...j...(x) (1.14)

Si1i2···ip...([j|...|k]...(x) = S

i1i2···ip...j...k...(x)− S

i1i2···ip...k...j...(x) (1.15)

Si1i2···ip...(j|...|k|...|l)...(x) = S

i1i2···ip...j...k...l...(x) + S

i1i2···ip...k...l...j...(x) + S

i1i2···ip...l...j...k...(x). (1.16)

Taqkama su oznaqeni indeksi po kojima se ne vrxi operacija simetrizacije, alter-

nacije tj. cikliraƬa. Indeksi po kojima se vrxe odgovarajue operacije odeƩeni

su vertikalnim crtama.

Na isti naqin se uvodi operacija simetriqnosti, alternativnosti i cikliqnosti

tenzora S(pq) za p > 1 i p > 2 respektivno po kontravarijantnim indeksima.

Razmatrane operacije uvode se za tenzore S(pq) ne samo za dva ili tri, kako smo

naveli, istoimena indeksa nego i za vei broj Ƭih na xta se neemo zadrжavati.

Kada operacija simetrizacije (1.14) tenzora S(pq) daje nula tenzor, imaemo

Si1i2···ip...j...k...(x) = −S

i1i2···ip...k...j...(x). (1.17)

Ovaj tenzor S(pq) zovemo kososimetriqnim po indeksima j i k. Kada je rezultat

alternativne operacije (1.15) za tenzor S(pq) nula tenzor, tj:

Si1i2···ip...j...k...(x) = S

i1i2···ip...k...j...(x), (1.18)

tada taj tenzor zovemo simetriqnim po j i k.

Na isti naqin uvodimo pojam simetrije i kososimetrije tenzora S(pq) po dva

kontravarijantna indeksa.

Svojstva simetrije i kososimetrije tenzora su invarijantni u odnosu na izbor

sistema koordinata u Xn.

b) Operacija mnoжeƬa uvodi se za svaka dva tenzora S(pq) i R(rt ) i kao rezultat

daje tenzor tipa (p+rq+t ).Neka u svakom dopustivom sistemu koordinata

Gi1i2···ipj1j2···jrk1k2···kql1l2···lt

(x) = Si1i2···ipk1k2···kq

(x) ·Rj1j2···jrl1l2···lt

(x) (1.19)

(i1, i2, · · · , ip; j1, j2, · · · , jr; k1, k2, · · · , kq; l1, l2, · · · , lt = 1, 2, · · · , n)


na osnovu (1.8) neposredno sledi da je geometrijski objekat (1.19) tenzor tipa (p+rq+t ),koji se naziva proizvod tenzora S(pq) na tenzor R(rt ). Krae (1.19) emo pisati u

obliku

G(p+rq+t ) = S(pq) ·R(rt ).

Sada, prirodno, ne iskƩuqujemo i sluqaj kada je p = q = 0 ili r = t = 0 ili qak

kada i svi imaju vrednost nula istovremeno.

Iz (1.19) se vidi da proizvod dva tenzora ne zavisi od poretka qinioca, no

obavezno, zavisi od poretka zapisanih indeksa u (1.19).

Na osnovu (1.19) oqigledno proistiqe pojam proizvoda svakog konaqnog skupa

tenzora proizvoƩnih tipova.

Za slagaƬe i proizvod tenzora vaжi distributivni zakon, koji moжemo zapisati

u obliku[S(pq) + eT (pq)

]R(rt ) = S(pq)R(

rt ) + eT (pq)R(

rt ). (1.20)

v) Operacija kontrakcije uvodi se za svaki tenzor tipa S(pq) za p, q > 0 i

rezultat je tenzor tipa (p−1q−1).

Neka je u svakom dopustivom sistemu koordinata

Li1i2···ipj1j2···jq

(x) = Sαi2···ipj1αj3···jq

(x) =n∑

α=1

Sαi2i3···ipj1αj3···jq

(x). (1.21)

Na osnovu (1.8) lako zakƩuqujemo da tako definisani geometrijski objekat pred-

stavƩa tenzor tipa (p−1q−1) koji zovemo rezultat kontrakcija poqetnog tenzora


(x) po prvom kontravarijantnom i drugom kovarijantnom indeksu.

Poqetni tenzor moжemo urediti po svaka dva raznoimena indeksa i dobiti tenzor

tipa (p−1q−1). Podjednako rezultat kontrakcije suxtinski zavisi od toga, po kakvim

indeksima je dobijeno. Na primer, kontrakcijom tenzora S(pq) po drugom (za p > 1)kontravarijantnom i posledƬem kovarijantnom indeksu, mi dobijamo

Ni1i3···ipj1j2···jq−1

(x) = Si1αi2···ipj1j2···jq−1α

(x). (1.22)

Naravno, u opxtem sluqaju tenzor N(p−1q−1) je razliqit od tenzora L(p−1

q−1), koji smo

dobili u (1.21).

TenzorN(p−1q−1) za p, q > 1 ponovo moжemo kontrakovati po raznoimenim indeksima

itd. U sluqaju p = q, (> 0) posle primene zaredom p puta operacije kontrakcije

dobijamo tenzor tipa (00), tj. invarijantu.

Operacije mnoжeƬa i kontrakcije qesto se primeƬuju u kombinaciji. Najpre

tenzor S(pq) pomnoжimo tenzorom R(rt ), kako je pokazano u (1.19), a zatim dobijeni

proizvod kontrakujemo po dva raznoimena indeksa, jedan koji pripada prvom qiniocu

a drugi - drugom, na primer, po j1 i k1. U rezultatu dobijamo tenzor

Si1i2···ipαk2···kq

(x)Rαj2···jrl1l2···lt

(x). (1.23)

1.3. Algebarske operacije sa tenzorima 13

Radi skraeƬa formula taj tenzor je dobijen iz tenzora Si1i2···ipk1k2···kq

(x) kontrakcijom

po k1 i j1 sa tenzorom Rj1j2···jrl1l2···lt

(x). Kontrakcija prvog tenzora sa drugim po indeksima

k1 i j1, a takoe i po indeksima i1 i l2 dobijamo tenzor

Sβi2···ipαk2···kq

(x)Rαj2···jrl1βl3···lt

(x) (1.24)

koji je tipa (p+r−2q+t−2 ).

Za r = q i t = p puna kontrakcija tenzora S(pq) sa tenzorom R(qp), na primer, je

oblika

Sβ1β2···βpα1α2···αq(x)R

α1α2···αq

β1β2···βp(x) (1.25)

gde kao i obiqno po svakom indeksu α1, α2, ..., αq; β1, β2, ..., βp nezavisno jedan od

drugog podrazumevamo sumiraƬe od 1 do n, i predstavƩa tenzor tipa (00), tj. invari-

jantu.

DefinisaƬe vixe algebarskih operacija nad tenzorima moжe se vrxiti na kona-

qnom skupu tenzora konaqan broj puta u proizvoƩnom poretku.

Skup svih kontravarijantnih vektora u svakoj taqki M diferencijabilne mno-

gostrukostiXn klase Cr (r > 1) qini n-dimenzionalni vektorski prostor nad poƩem

R realnih brojeva s uvedenim vixim operacijama algebarskog slagaƬa i mnoжeƬa

invarijanti (brojeva). ƫega zovemo tangentni prostor na Xn u taqki M i oz-

naqavamo ga sa Tm. Ako su λh11| , λh22| , · · · , λ

hqq| – proizvoƩni vektori iz TM , Ƭihov

proizvod

λh1h2···hq = λh11| λh22| · · ·λ

hqq| (1.26)

predstavƩa tenzor tipa (q0) u taqki M , koji se naziva prostim q-kovarijantni ten-

zor. Skup svih prostih tenzora tipa (q0) i sve Ƭihove mogue linearne kombinacije

nad R obrazuju vektorski prostor reda nq nad R, koji nazivamo tenzorki proizvod

stepena q prostora TM nad samim sobom i oznaqavamo sa:

TM(q) = TM ⊗ TM ⊗ TM ⊗ · · · ⊗ TM︸︷︷︸

q

. (1.27)

Skup svih kovarijantnih vektora u taqki M mnogostrukosti Xn takoe obrazuje

n-dimenzionalni vektorski prostor nad poƩem R realnih brojeva sa uvedenim ope-

racijama algebarskog slagaƬa i mnoжeƬa skalarom. On se oznaqava sa T ∗M i zove se

koƬugacija od TM . Proizvod

µk1k2···kp = µ1|k1µ2|k2 · · ·µp|kp (1.28)

p prizvoƩnih vektora µ1|k1 , µ2|k2 , · · · , µp|kp iz T ∗M obrazuje prosti tenzor tipa (0p) u

taqki M . Skup svih tih tenzora i svih moguih linearnih kombinacija nad R qini

tenzorski proizvod stepena p prostora T ∗M nad sobom


T ∗M(q) = T ∗

M ⊗ T ∗M ⊗ T ∗

M ⊗ · · · ⊗ T ∗M

︸︷︷︸

p

. (1.29)

Tenzorski proizvod

TM(q)⊗ T ∗M(p) (1.30)

po definiciji predstavƩa skup svih proizvoda razliqitih tenzora iz TM(q) i ten-

zora iz T ∗M(p) i svih moguih Ƭihovih linearnih kombinacija koje, prirodno, pred-

stavƩaju vektorski prostor nad R stepena nq+p. Svaki Ƭegov element je tenzor

tipa (pq). Svaki tenzor S(pq), zadat u taqki M prema (1.25), definixe linearno

preslikavaƬe tenzorskog proizvoda (1.30) na R:

TM(q)⊗ T ∗M(p)

S(pq)−→ R.

Nekada to svojstvo tenzora S(pq) proizilazi iz same Ƭegove definicije. Inaqe,

tenzorom S tipa (pq) u taqki M ∈ Xn nazivamo linearno preslikavaƬe tenzorskog

proizvoda (1.30) u poƩe realnih brojeva R.

1.4 Koeficijenti koneksije

U mnogim zadacima proizilazi neophodnost izuqavaƬa na diferencijabilnoj

mnogostrukostiXn i sloжenijih, geometrijskih objekata od tenzora. Jedan od takvih

je i objekat afine koneksije Γkij (k, i, j = 1, 2, · · · , n), koji se karakterixe sledeim

zakonom preslikavaƬa pri promeni sistema koordinata oblika (1.1), (1.3):

Γ′kij(x

′) =∂x′k

∂xα

(

Γαβγ(x)∂xβ

∂x′i∂xγ

∂x′j+

∂2xγ

∂x′i∂x′j

)

. (1.31)

Ovde su Γ′kij(x) komponente objekata afine koneksije u novom sistemu koordinata

x′1, x′2, · · · , x′n; ∂x′k

∂xl– parcijalni izvodi funkcije (1.1), ∂xh

∂x′i–parcijalni izvodi Ƭi-

hovih inverznih funkcija (1.3). S desne strane u (1.31) po α, β, γ, kao obiqno pod-

razumeva se sumiraƬe od 1 do n nezavisno jedan od drugog. Objekat koneksije na Xn

klase Cr, (r ≥ 2) u svakom daƩem izlagaƬu smatraemo simetriqnim, ako zadovo-

Ʃava uslove

Γkij(x) ≡ Γkji(x). (1.32)

Oni, kako je oqigledno iz (1.31), imaju invarijantni karakter u odnosu na izbor

sistema koordinata. U skladu sa (1.31) objekat afine koneksije je linearan ali ne

i ravnomeran geometrijski objekat drugog reda.

1.5. Kovarijantni izvod 15

1.5 Kovarijantni izvod

Na diferencijabilnoj mnogostrukosti Xn, na kojoj je definisan objekat afine

koneksije, uvodimo pojam kovarijantnog izvoda tenzorskog poƩa proizvoƩnog tipa (pq)na celoj Xn ili na nedegenerisanoj n-dimenzionalnoj oblasti. On predstavƩa novo

tenzorsko poƩe tipa (pq+1).Za tenzore tipa (01), tj. za kontravarijantni vektor, na primer λh(x), kovari-

jantni izvod po koneksiji Γkij , oznaqen sa λh,i u svakom sistemu koordinata

x1, x2, · · · , xn definixe se sledeom relacijom:

λh,i =∂λh(x)

∂xi+ Γhiα(x)λ

α(x) (h, i = 1, 2, · · · , n). (1.33)

Sada, kao i obiqno, pod α podrazumevamo sumiraƬe po svim vrednostima od 1 do n.

Iz funkcije transformacije (1.6) komponenta kontravarijantnog vektora i ob-

jekta afine koneksije (1.31) direktno sledi da kovarijantni izvod (1.33) kontrava-

rijantnog vektora predstavƩa tenzor tipa (11).U sluqaju poƩa tenzora tipa (01), tj. kovarijantnog vektora µj , kovarijantni

izvod µj,i po koneksiji Γkij , u proizvoƩnom sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn, defi-nisan je formulom

µj,i(x) =∂µj(x)

∂xi− Γiαij µα(x) (i, j = 1, 2, · · · , n). (1.34)

Kao posledica (1.7) i (1.31) je da kovarijantni izvod (1.34) kovarijantnog vektora

predstavƩa tenzor tipa (02).Za tenzorska poƩa bhj tipa (11) kovarijantni izvod po koneksiji Γ u svakom sistemu

koordinata po definiciji ima oblik:

bhj,i(x) =∂bhj (x)

∂xi+ Γhiα(x)b

αj (x)− Γαij(x)b

hα(x) (h, i, j = 1, 2, · · · , n). (1.35)

Iz (1.35) sledi da je kovarijantni izvod Kronekerovih simbola po svakoj koneksiji

takoe jednak nuli, tj.

δhi,k ≡ 0 (h, i, k = 1, 2, · · · , n).

U opxtem sluqaju, tenzorsko poƩe S tipa (pq) kovarijantnog izvoda po koneksiji Γ,koji emo mi kao i ranije oznaqavati zapetom, u proizvoƩnom sistemu koordinata

x1, x2, · · · , xn, definisano je sledeom formulom:

Si1i2···ipj1j2···jq ,k

(x) = ∂kSi1i2···ipj1j2···jq

(x) +

+ Γi1kα(x)Sαi2···ipj1j2···jq

(x) + · · ·+ Γipkα(x)S

i1i2···ip−1α

j1j2···jq(x)−

− Γβkj1(x)Si1i2···ipβj2···jq

(x)− · · · − Γβkjq(x)Si1i2···ipj1j2···jq−1

(x) (1.36)


(i1, · · · , ip; j1, · · · , jq; k = 1, 2, · · · , n).

Posledica (1.8) i (1.31) je da je Si1i2···ipj1j2···jq ,k

(x) tenzor tipa (pq+1).

Na kraju, kovarijantni izvod poƩa invarijanti f(x), definixe se na sledei

naqin:

f,k(x) = ∂kf(x). (1.37)

To je tenzor tipa (01), tj. kovarijantni i pri tom i gradijentni vektor.

Uvedimo jox i qesto primeƬivani kovarijantni izvod S ′λ(pq) tenzorskog poƩa S(pq)

u pravcu vektora λ stavƩajui

S ′λ(pq) = S(pq),αλ

α,

ili preciznije

S′i1i2···ipλj1j2···jq

= Si1i2···ipj1j2···jq ,α

λα. (1.38)

U saglasnosti s pravilima tenzorske algebre primeujemo da S ′λ(pq) predstavƩa

tenzor tipa (pq).Kovarijantno diferenciraƬe sume i proizvoda dva tenzora dobija se po istim

pravilima kao i parcijalno diferenciraƬe:

[S(pq) + eT (pq)

]

,k= S(pq),k + eT (pq),k,

[S(pq)R(

rt )]

,k= S(pq),kR(

rt ) + S(pq)R(

rt ),k.

(1.39)

DaƩe, operacije kontrakcije i kovarijantnog diferenciraƬa se mogu zameniti (kada

u operaciji kontrakcije indeks diferenciraƬa ne uqestvuje), na primer u saglas-

nosti sa (1.21)[

Sαi2···ipj1αj3···jq

(x)]

,k= S

αi2···ipj1α···jq ,k

. (1.40)

1.6 Riqijev identitet i Rimanov tenzor

Ukoliko je kovarijantni izvod λh,k kontravarijantnog vektora λh tenzor tipa (11),Ƭega moжemo kovarijantno diferencirati po koneksiji Γ, tj. razmatrati geometrij-

ski objekat[λh,k(x)

]

,i= λh,ki(x),

koji je tenzor tipa (12) i zovemo ga drugi kovarijantni izvod po koneksiji Γ od po-

qetnog kontravarijantnog vektora (uzeto prvo po xk, a zatim po xi). Pri tome je Xn

klase Cr (r > 2) sa vektorskim poƩem λh klase C2 i objektom koneksije Γ. Klasa C1

nam je potrebna u Riqijevom identitetu

λh,ki(x)− λh,lk(x) = −λα(x)Rh.αkl(x) (1.41)

1.6. Riqijev identitet i Rimanov tenzor 17

i predstavƩa tenzorsko izraжavaƬe uslova nezavisnosti vrednosti drugih neprekid-

nih parcijalnih izvoda od poretka diferenciraƬa:

∂2kiλh(x)− ∂2lkλ

h(x) ≡ 0.

U (1.41) je

Rh.ijk = ∂jΓ

hik(x) + Γαik(x)Γ

hjα(x)− ∂kΓ

hij(x)− Γαij(x)Γ

hkα(x) (1.42)

i nazivaju se Rimanovi simboli objekata koneksije Γ. Iz jednaqine (1.31)

preslikavaƬa objekata koneksije sledi da oni obrazuju tenzor tipa (13) na Xn.

Taj tenzor zovemo Rimanov tenzor koneksije Γ.Analogno pojmu drugog kovarijantnog izvoda vektora po koneksiji Γ uvodimo

drugi kovarijantni izvod tenzora Si1i2···ipj1j2···jq ,k

(x) relacijom

[

Si1i2···ipj1j2···jq ,k

(x)]

,l= S

i1i2···ipj1j2···jq ,kl

(x). (1.43)

U diferencijabilnoj mnogostrukosti Xn klase Cr(r > 2) za tenzorsko poƩe S(pq)klase C2 s objektom koneksije Γ klase C1 vaжi Riqijev identitet :

Si1i2···ipj1j2···jq ,ki

(x)− Si1i2···ipj1j2···jq ,lk

(x) =

= −Sαi2···ipj1j2···jq

(x)Ri1.αki(x)− · · · − S

i1i2···ip−1α

j1j2···jq(x)R

ip.αki(x) +

+ Si1i2···ipβj2···jq

(x)Rβ.j1ki

(x) + · · ·+ Si1i2···ipj1j2···jq−1β

(x)Rβ.jqki

(x). (1.44)

On predstavƩa tenzorski uslov nezavisnosti vrednosti drugih neprekidnih par-

cijalnih izvoda komponenti tenzorskog poƩa S(pq) od poredka diferenciraƬa:

∂2klSi1i2···ipj1j2···jq

(x)− ∂2lkSi1i2···ipj1j2···jq

(x) ≡ 0. (1.45)

U skladu sa svojom definicijom Rimanov tenzor (1.42) ima svojstvo kososime-

triqnosti po dva posledƬa kovarijantna indeksa, tj.

Rh.ijk(x) +Rh

.ikj(x) ≡ 0. (1.46)

Takoe za Ƭega vaжi jednakost:

Rh.(ijk)(x) = Rh

.ijk(x) +Rh.jki(x) +Rh

.kij(x) ≡ 0. (1.47)

Inaqe, rezultat cikliraƬa Rimanovog tenzora po kovarijantnim indeksima

identiqki je jednak nuli.

Za Rimanov tenzor (1.42) objekata afine koneksije Γ klase C2 uporedo s alge-

barskim identitetima (1.46) i (1.47) vaжi i diferencijalni Biankijev identitet:

Rh.i(jk,l)(x) = Rh

.ijk,l(x) +Rh.ikl,j(x) +Rh

.ilj,k(x) ≡ 0. (1.48)

Ovde je Rh.ijk,l kovarijantni izvod Rimanovog tenzora koneksije Γ po toj koneksiji.


1.7 Krive i povrxi na mnogostrukostima

Krivom L realne diferencijabilne mnogostrukosti Xn (klase Cr) u parame-

tarskom predstavƩaƬu nazivamo jednodimenzionalnu podmnogostrukost, definisanu

u svakom lokalnom sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn jednaqinama

x1(t), x2(t), · · · , xn(t) (T0 < t < T1; h = 1, 2, · · · , n). (1.49)

Ovde su x1(t), x2(t), · · · , xn(t) realne funkcije jedne promenƩive t, koju nazivamo

lokalnim parametrom krive. PretpostavƩa se da pripadaju klasi Cr. Izvodi tih

funkcija po t

dxh

dt= λh(t) (1.50)

su komponente tangentnog vektora krive u svakoj Ƭenoj taqki.

U rezultatu transformacije oblika (1.1) lokalnog sistema koordinata na Xn,

parametarske jednaqine krive L meƬaju se po pravilu:

x′h = x′h(t) = x′h(x(t)). (1.51)

Odavde sledi da je dx′h

dt= ∂x′h

∂xαdxα

dt, tj.

λ′h =∂x′h

∂xαλα. (1.52)

To govori o tome da je tangentni vektor krive ujedno i kontravarijantni vektor

u Xn. ZakƩuqujemo da on pripada tangenti na Xn u svakoj Ƭenoj taqki M prostora

TM . Oqigledno, kroz svaku taqku M iz λn moжemo provui krivu L, koja u toj

taqki kao tangentni vektor ima unapred zadati vektor iz TM . Zato se TM poklapa

sa skupom tangenti u taqki M vektora na svim krivama u Xn.

Kriva Lp, definisana u Xn, predstavƩena u sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn

jednaqinama

xh = ch (h 6= p), xp = t, (1.53)

gde je p proizvoƩan fiksirani broj od 1 do n, a ch neka konstanta, naziva se koordi-

natnom linijom xp. ƫen tangentni vektor u svakoj taqki M definixe se formulom

(1.52) oblika

λhp| = δhp . (1.54)

Prema tome λ11| = 1, λ21| = · · · = λn1| = 0; λ22| = 1, λ12| = λ32| = · · · = λn2| = 0 itd. su

tangentni vektori koordinatnih linija x1, x2... u svakoj taqki M . Oni obrazuju u

Ƭoj bazu tangentnog prostora TM .

Parametar t krive L u parametarskom predstavƩaƬu (1.49) je dopustiv trans-

formacijama oblika

t = t(τ), (1.55)

1.7. Krive i povrxi na mnogostrukostima 19

gde realna funkcija t = t(τ) ima neprekidne izvode do reda r, pri qemu je dtdτ

6= 0.Jednaqine krive L nakon prelaska na novi parametar τ prema (1.55) su oblika:

xh = xh(τ) ≡ xh(t(τ)). (1.56)

Za tangentni vektor λh krive L pri novoj parametrizaciji dobijamo relaciju

λh =dt

dτλh. (1.57)

Neka je u dopustivoj oblasti D mnogostrukosti Xn, koja se odnosi na sistem

koordinata x1, x2, · · · , xn, zadato poƩe kontravarijantnog vektora

λh(x1, x2, · · · , xn) 6= 0 klase Cr−1(r > 1). Tada svako rexeƬe oblika (1.49)

sistema obiqnih diferencijalnih jednaqina

dxh

dt= λh(x1, x2, · · · , xn) (1.58)

predstavƩa trajektoriju ili liniju toka vektorskog poƩa λh. Pri tom, kroz svaku

taqku M0 ∈ D sa koordinatama x10, x20, · · · , x

n0 prolazi jedna i samo jedna trajek-

torija. Ona je odreena iz jednaqina (1.58) kao rexeƬe saglasno poqetnim vrednos-

tima

xh0 = xh(t0). (1.59)

Skup svih trajektorija vektorskog poƩa λh obrazuje u oblasti D krivolinijsku

kongruenciju.

Povrx Sm dimenzije m < n mnogostrukosti Xn u parametarskom predstavl-

jaƬu nazivamo m–dimenzionalna podmnogostrukost, definisana u svakom lokalnom

sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn jednaqinama

xh = xh(xh(u1, u2, · · · , um)) (h = 1, 2, · · · , n). (1.60)

Sada su xh(u1, u2, · · · , um) realne funkcije klase Cr od m realnih promenƩivih

xh(u1, u2, · · · , um) koje nazivamo parametrima, pri qemu je

rang

∥∥∥∥

∂xh

∂up

∥∥∥∥= m (h = 1, 2, · · · , n; p = 1, 2, · · · ,m). (1.61)

Pri tome se u1, u2, · · · , um meƬaju u nekojm–dimenzionalnoj oblasti Um i nazivamo

ih unutraxƬim koordinatama taqaka povrxi Sm. Vrednosti funkcije (1.60) pred-

stavƩaju koordinate taqaka Sm u mnogostrukosti Xn, kojoj pripada ta povrx. Kada

je n−m = 1, povrx Sm zovemo hiperpovrx.

Kriva L na povrxi Sm, zadata u parametarskom obliku (1.60), definisana je

unutraxƬim jednaqinama:

up = up(t) (T0 < t < T1; p = 1, 2, · · · ,m). (1.62)


S obzirom na desnu stranu, realne funkcije jedne realne promenƩive t– parametra

krive, pripadaju klasi Cr. Parametarsko predstavƩaƬe (1.49) za tu krivu L mi

dobijamo iz (1.60) na osnovu (1.62), u obliku

xh = xh(t) = xh(u1(t), u2(t), · · · , um(t)). (1.63)

Odavde nalazimo tangentni vektor krive L:

dxh

dt= λh =

∂xh(u)

∂upξp (1.64)

pri qemu je ξp = dup

dti nosi naziv unutraxƬa komponenta tangentnog vektora krive.

Skup vektora λh, tangentnog vektora krive na povrxi, koji prolazi kroz datu taqku

M(u1, u2, · · · , um), po definiciji qini tangentnu povrx Em na Sm u taqki M . Iz

(1.64) sledi, da ona predstavƩa linearnu obvojnicu nezavisnih, po uslovu (1.61),

vektora λhp| = ∂xh(u)∂up

, (p = 1, 2, · · · ,m), tangenti na koordinatnim linijama

u1, u2, · · · , um povrxi Sm u svakoj Ƭenoj taqki M .

Opxtom m–dimenzionalnom povrxi u Xn nazivamo Ƭegovu realnu podmnogostru-

kost, obrazovanu skupom svih taqaka qije koordinate zadovoƩavaju n−m nezavisnih

jednaqina

Fσ(x1, x2, · · · , xn) = 0 (σ = 1, 2, · · · , n−m). (1.65)

Pri tom funkcije F1(x1, x2, · · · , xn), F2(x

1, x2, · · · , xn), · · · , Fn−m(x1, x2, · · · , xn) su

invarijante u Xn i

rang

∥∥∥∥

∂Fσ(x)

∂xk

∥∥∥∥= n−m. (1.66)

Kada je n−m = 1 i (1.62) sadrжi samo jednu jednaqinu, onda se Ƭima definixe

opxa hiperpovrx u Xn.

Na osnovu teoreme postojaƬa neprekidnih funkcija kao posledicu (1.66) iz (1.65)

dobijamo jednaqine oblika (1.60). Obrnuto, iz (1.60) na osnovu teoreme postojaƬa in-

verznih funkcija proizilaze jednaqine oblika (1.65). Zato s lokalne taqke gledixta

(1.60) i (1.65) postoje razliqiti oblici jednaqina u Xn jedne i samo jedne geometri-

jske slike – m-dimenzionalne povrxi Sm.

Kriva L u parametarskom predstavƩaƬu (1.49) pripada opxtoj povrxi Sm, ako

vaжi

Fσ(x1(t), x2(t), · · · , xn(t)) ≡ 0 (σ = 1, 2, · · · , n−m)

identiqki u odnosu na t. DiferenciraƬem po t dobijamo

∂Fσ(x)

∂xαλα = 0, (1.67)

gde je λh = dxh

dt– tangentni vektor krive L. Skup vektoraXn, tangentnih po svim kri-

vama na opxtoj povrxi Sm, koji prolazi kroz datu taqku M , obrazuje tangentnu ra-

van Em povrxi Sm u taqki M . Ukoliko uslovi (1.67) nisu samo potrebni nego i do-

voƩni da bi vektor λh pripadao tangentnoj ravni Em povrxi Sm, to jednaqine (1.67)

1.7. Krive i povrxi na mnogostrukostima 21

imaju m linearno nezavisnih rexeƬa λh1|, λh2|, · · · , λ

hm|, a Em predstavƩa

Ƭihovu linearnu obvojnicu.

Ako (1.60) predstavƩa parametarsko predstavƩaƬe opxte povrxi Sm, zadate

jednaqinama (1.65), to iz (1.67) na osnovu (1.64) i posledice proizvoƩnosti ξp,

dobija se da je

∂Fσ(x)∂xα

λαp| = 0, (1.68)

(p = 1, 2, · · · ,m; σ = 1, 2, · · · , n−m; α = 1, 2, · · · , n).

Neka je u prostoru Xn (ili u nekoj Ƭegovoj neodreenoj oblasti D) definisana

m-dimenziona raspodela Em. To znaqi da u svakoj taqki M iz Xn (ili oblasti

D) zadat m-dimenzionalni vektorski prostor Em pripada, prirodno, tangentnom

prostoru TM .

Pretpostavimo da su λhp|(x1, x2, · · · , xn) (p = 1, 2, · · · ,m) bazni vektori raspo-

dele Em u svakoj taqki M sa lokalnim koordinatama x1, x2, · · · , xn. Ti vektori

saqiƬavaju raspodelnu klasu Cr−1 (r > 1).Raspodelu Em λhp|(x) zovemo holonomnost, ako za Ƭu postoji familija

m–dimenzionalnih povrxi Σm, tangentnih ravni koje se u svakoj taqki M pokla-

paju sa ravni raspodele Em. Pri tom pretpostavimo da kroz svaku taqku M oblasti

definisanosti m–raspodele Em prolazi, u krajƬoj meri, jedna povrx te familije.

Ako povrx Sm familije Σm, m– raspodele Emλhp|(x

1, x2, · · · , xn) жelimo da

predstavimo u opxoj formi (1.65), onda iz (1.69) sledi da svaka od funkcija Fσ mora

zadovaƩavati sisteme linearnih homogenih jednaqina

ZpF ≡ λαp|(x1, x2, · · · , xn)

∂F

∂xα= 0, (p = 1, 2, · · · ,m). (1.69)

Holonomnost raspodele Em postoji ako i samo ako taj sistem sadrжi n − m

nezavisnih rexeƬa Fσ(x1, x2, · · · , xn). Ovo je mogue samo u sluqaju kada je sistem

(1.69) potpun, tj. kada komutator

[ZqZp]F = Zq(ZqF )− Zp(ZqF )

svaka dva linearno uniformna diferencijabilna operatora definixe taj sistem i

predstavƩa linearnu kombinaciju tih operatora:

[ZqZp]F = Gsqp(x)ZsF ) (p, q, s = 1, 2, · · · ,m). (1.70)

Iz (1.69) na osnovu definicije komutatora sledi

[ZqZp]F = (λβq|(x)∂βλ

αp|(x)− λ

β

p|(x)∂βλαq|(x))

∂F

∂xα.

Lako je uoqiti da parcijalne izvode vektora λhp|(x) sada moжemo zameniti Ƭihovim

kovarijantnim izvodima po svakoj simetriqnoj afinoj koneksiji Γhij(x). Zato se

uslovi (1.70) mogu ekvivalentno predstaviti u obliku

λβ

q|(x)λhp|,β(x)− λ

β

p|(x)λhq|,β(x)) = Gs

qp(x)λhs|(x). (1.71)


Ovde je zapetom, kao i obiqno, oznaqeno kovarijantno diferenciraƬe po koneksiji Γ.Tako (1.71) predstavƩa potreban i dovoƩan uslov holonomnostim-raspodele Em

s baznim vektorima λhp|(x). Ako je sistem diferencijalnih jednaqina (1.69) potpuno

saglasan i ima n − m nezavisnih rexeƬa Fσ(x), one definixu familiju Σm koja

obavija povrx Sm, opxtim jednaqinama

Fσ(x1, x2, · · · , xn) = cσ (σ = 1, 2, · · · , n−m). (1.72)

Ovde je cσ–proizvoƩna konstanta koja predstavƩa parametar familije Σm. Pri

svakom Ƭenom konkretnom izboru (iz neke oblasti izmene), sistemom jednaqina (1.72)

odreena je jedinstvena povrxi Sm familije Σm u formi (1.65).

1.8 Uslovi integrabilnosti

U realnoj diferencijabilnoj mnogostrukosti Xn klase Cω, u odnosu na lokalni

sistem koordinata x1, x2, · · · , xn, razmotrimo sistem diferencijalnih jednaqina

prvog reda Koxijevog tipa :

∂kuA = ΦA

k (x1, x2, · · · , xn; y1, y2, · · · , yN) (1.73)

(k = 1, 2, · · · , n; A = 1, 2, · · · , N).

Ovde su y1, y2, · · · , yN–traжene funkcije klase Cω nezavisnih promenƩivih

x1, x2, · · · , xn; ∂kyA = ∂yA

∂xk. Funkcije ΦA

k su definisane u nekoj oblasti ∆realne diferencijabilne mnogostrukosti Qn+N , pomenutog proizvoda Xn na real-

noj diferencijabilnoj mnogostrukosti YN , u odnosu na lokalni sistem koordinata

y1, y2, · · · , yN , i pripadaju klasi Cω.

Oqigledno, sistem (1.73) u okolini date oblasti ∆ taqke P0 s koordinatama

xh0 , xA0 ima u klasi Cω najvixe jedno rexeƬe oblika

yA = yA(x1, x2, · · · , xn), (1.74)

i zadovoƩava poqetne Koxijeve vrednosti

yA(x10, x20, · · · , x

n0 ) = yA0 . (1.75)

Oqigledno je da za svako rexeƬe (1.74) sistema (1.73) moraju biti zadovoƩeni sledei

uslovi

∂2klyA(x)− ∂2lky

A(x) ≡ 0, (1.76)

ili u skladu sa (1.73)

∂l(ΦAk (x; y))− ∂k(Φ

Al (x; y)) = 0.

Ukoliko ΦAk (x; y) zavisi od x1, x2, · · · , xn neposredno, kao posledica zavisnosti od

y1, y2, · · · , yN ti uslovi dobijaju oblik

∂lΦAk (x; y) + ∂BΦ

Ak (x; y)∂ly

B − ∂kΦAl (x; y)− ∂BΦ

Al (x; y)∂ky

B = 0,

1.8. Uslovi integrabilnosti 23

ili na osnovu (1.73)

∂lΦAk (x; y) + ∂BΦ

Ak (x; y)Φ

Al (x; y)− ∂kΦ

Bl (x; y)− ∂BΦ

Al (x; y)Φ

Bk (x; y) = 0. (1.77)

Sada je ∂lΨBk =

∂ΨBk

∂xl, ∂BΨ

Ak =

∂ΨAk

∂yB(po B izvodimo sumiraƬe od 1 do N).

Za svako rexeƬe (1.74) sistema jednaqina (1.73) ispuƬeni su uslovi (1.77) iden-

tiqno u odnosu na x1, x2, · · · , xn. Posebno, ako rexeƬe (1.74) odgovara poqetnim

uslovima (1.75), u taqki P0 uslovi (1.77) moraju biti po neophodnosti saglasni.

Takoe uslovi (1.77) definixu se samo jednaqinama sistema (1.73). One se nazivaju

uslovi integrabilnosti sistema (1.73).

Primetimo, da funkcije y1, y2, · · · , yN moraju zadovoƩavati jednaqine

F p(x1, x2, · · · , xn; y1, y2, · · · , yN) = 0 (p = 1, 2, · · · ,m). (1.78)

Pri tom levi izvodi predstavƩaju realne funkcije klase Cω u oblasti ∆. Kolek-

cija jednaqina (1.73) i (1.78) obrazuje, takozvanu familiju sistema Koxijevog tipa.

Za Ƭihovo nalaжeƬe, jednaqine (1.77) i (1.78), koje krae oznaqavamo (B), posma-

traemo zajedno.

DiferenciraƬem svake od jednaqina sistema (B) po x′ i nalaжeƬem sistema jed-

naqina (1.73) prema uslovima (1.77), dobijamo takozvani diferencijalni produжetak

(B1). DiferenciraƬem (B1), analogno , dobijamo Ƭihove produжetke (B2), koje su

u stvari drugi diferencijalni produжeci uslova (B), itd. Taj proces nas dovodi

do niza (B1),(B2),· · · ,(Bλ) (gde je λ = 1, 2, · · · ), diferencijalnih produжeƬa uslova

(B). Svi oni obrazuju konaqan skup jednaqina meusobno nezavisnih promenƩivih

x1, x2, · · · , xn i traжenih funkcija y1, y2, · · · , yN , koje su izraжene pomou funkcija

ΨAk (x; y) i F

p(x; y) i Ƭihovih parcijalnih izvoda po svim promenƩivim do reda λ+1i λ respektivno.

Teorema 1.8.1. Sistem jednaqina (1.73) i (1.78) Koxijevog tipa, u okolini

taqkeM0(xh0), ima jedinstveno rexeƬe (1.74), saglasno s poqetnim vrednostima

(1.75), ako i samo ako u taqki P0(xh0 , y

A0 ) ispuƬava uslove (B),(B1),(B2),· · · ,(Bν),

gde je ν-najmaƬi broj pri kojem (Bν+1) postoji, kao posledica kolekcije svih

prethodnih produжeƬa.

Primetimo, da (B) raqunamo kao produжeƬe nultog reda: (B0) =(B). Na kraju,

za taqku P0 se pretpostavƩa da pripada opxtoj povrxi u Qn+N , odreenoj siste-

mom jednaqina (B),(B1),(B2),· · · ,(Bν). Prema teoremi sistem jednaqina (1.73), za

koji su uslovi (B) ispuƬeni u svakoj taqki oblasti ∆, tj. identiqki u odnosu

na x1, x2, · · · , xn; y1, y2, · · · , yN . Takav sistem ima jedinstveno rexeƬe za sve po-

qetne Koxijeve vrednosti (1.75) u okolini svake taqke M0(xh0) koju nazivamo pot-

puno integrabilnom. Prisutno je vixe teorema koje se odnose na sisteme jednaqina


prvog reda Koxijevog tipa u kovarijantnim izvodima za tenzorska poƩa na difer-

encijabilnoj mnogostrukosti po koneksiji. Neka je data realna diferencijabilna

mnogostrukost Xn klase Cω sa afinom koneksijom Γ, u odnosu na lokalni sistem

koordinata x1, x2, · · · , xn. Razmotrimo na Xn sistem Koxijevog tipa diferenci-

jalnih jednaqina prvog reda i kovarijantnih izvoda po koneksiji Γ u odnosu na m

nepoznatih tenzorskih poƩa Yσ

i1i2...ipσj1j2...jqσ

(σ = 1, 2, ...,m) tipa(pσqσ

)respektivno:

Yσ

i1i2...ipσj1j2...jqσ ,k

= Φσ

i1i2...ipσj1j2...jqσk

(x;Y1, Y2, · · · , Y

m) (A)

(i1, i2, · · · , ipσ ; j1, j2, · · · , jqσ ; k = 1, 2, · · · , n).

Na desnoj strani sistema (A) Φ predstavƩaju tenzorske funkcije (poƩa) tipa(pσqσ+1

), konstruisane odreenim obrascem uz pomo konaqnog broja algebarskih ten-

zorskih operacija iz nekih tenzorskih poƩa Yσ

s uqexem,

prirodno, i drugih tenzorskih poƩa, zadatim na Xn. (Na primer Rimanovih ten-

zora koneksije Γ i Ƭegovih kovarijantnih izvoda po toj koneksiji).

DiferenciraƬem jednaqina (A) kovarijantno po xl (l = 1, 2, · · · , n) u odnosu

na koneksiju Γ, dobijamoYσ

i1i2...ipσj1j2...jqσ ,kl

= Φi1i2...ipσj1j2...jqσk,l

.

Odatle posle izmene po k, l i na osnovu Riqijeve relacije (1.44) sledi

−Yσ


Ri1.αkl − · · · − Y

σ

i1i2...ipσ−1

j1j2...jqσRipσ.αkl +

+Yσ


Rβ.j1kl

+ · · ·+ Yσ

i1i2...ipσj1j2...jqσ−1β

Rβ.jqσkl

=

= Φσ

i1i2...ipσj1j2...jqσk,l

− Φσ

i1i2...ipσj1j2...jqσ l,k

· (1.79)

U kovarijanim izvodima tenzora Φσ

na desnoj strani koji su izraжeni po pravil-

ima kovarijantnog diferenciraƬa algebarskih tenzorskih kompozicija, proistiqu

kovarijantni izvodi tenzora Yσ. Oni moraju biti odgovarajue zamene saglasne jed-

naqinama (A) s tenzorima Φσ. Na kraju (1.79) postaju algebarske tenzorske jednaqine

koje u odnosu na tenzore Yσ

s poznatim (tenzorskim) koeficijentima, predstavƩaju

uslove integrabilnosti sistema (A). U tom smislu emo ih na takav naqin

razmatrati i nadaƩe.

Tako se (1.79) pojavƩuju kao uslovi integrabilnosti sistema (A).

Neka uporedo s jednaqinama (A) diferencijalnog karaktera, na poqetne

tenzore budu nametnuti jox neki tenzorski uslovi oblika:

Fν

i1i2...irνj1j2...jsν

(x;Y1, Y2, · · · , Y

m) = 0 (ν = 1, 2, · · · , t) (1.80)

gde su Fν–tenzori tipa

(rνsν

)respektivno, dobijeni pomou konaqnog broja

algebarskih tenzorskih operacija koje proistiqu iz poqetnih tenzora Yσ

s

uqexem i drugih tenzora, i smatraju se izvestnim.

1.8. Uslovi integrabilnosti 25

Kolekcija jednaqina (A) i (1.80) qini kombinaciju tenzorskog sistema

Koxijevog tipa. Za Ƭeno nalaжeƬe, uslove (1.79) i (1.80), koje smo krae

oznaqili sa (B), razmatraemo zajedno. DiferenciraƬem uslova (B) kovari-

jantno po koneksiji Γ i promenom kovarijantnih izvoda relativno nepoznatih

tenzora Yσ

saglasno jednaqinama (A), dobijamo Ƭihovo prvo diferencijalno

produжeƬe (B1). Postupajui analogno sa (B1), dobijamo drugo diferenci-

jalno produжeƬe (B2) itd. U rezultatu dolazimo do niza diferencijanih

produжeƬa (B0) = (B), (B1), (B2),...,(Bλ), (λ = 1, 2, · · · ). Svi su oni tenzori

algebarskih jednaqina u odnosu na poqetne tenzore s poznatim koeficijen-

tima.

Teorema 1.8.2. Pomexani sistem jednaqina (A) i (1.80) ima jedinstveno re-

xeƬe

Yσ


= Yσ


(x1, x2, · · · , xn)

u nekoj okolini taqke M0(xk0), saglasno sa poqetnim vrednostima

Yσ


(x10, x20, · · · , x

n0 ) =

0

Yσ


(1.81)

ako i samo ako su u taqki M0 ispuƬeni uslovi (B0), (B1),(B2),...(Bν), gde je

ν–najmaƬi, pri kojem je (Bν+1) posledica kolekcije svih prethodnih produжeƬa.

Sada mi priridno smatramo da su za poqetne vrednosti ispuƬeni uslovi

analogni datim uslovima u prethodnoj teoremi.

Kada su za sistem (A) uslovi (B) ispuƬeni identiqki u odnosu na

x1, x2, · · · , xn i komponente nepoznatih tenzorskih poƩa, onda je on potpuno

integrabilan i ima rexeƬe za sve poqetne vrednosti (1.81) u okolini svake

taqke M0.

Deo 2

Prostori Afine koneksije

2.1 Uvodni pojmovi

Prostorom An n merne afine koneksije nazivamo realnu diferencijabilnu

mnogostrukost Xn klase Cr, u kojoj je definisan objekat afine koneksije Γ. To

znaqi, da je u svakom lokalnom sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn na Xn zadata

familija funkcija Γkij(x1, x2, · · · , xn) koja zadovoƩava uslove (1.32) koji se

meƬaju pri svakoj transformaciji koordinata oblika (1.1), (1.3) prema (1.31)

ili xto je isto

∂xk

∂x′αΓ′αij (x

′) =∂2xk

∂x′i∂x′j+ Γkβγ(x)

∂xβ

∂x′i∂xγ

∂x′j(2.1)

(i, j, k, α, β, γ = 1, 2, · · · , n).

Rimanov tenzor koneksije Γ, koji je odreen formulama (1.42), naziva se

Rimanovim tenzorom ili tenzorom krivine prostora An. Rezultat kontrak-

cije Rimanovog tenzora Rh.ijk(x) prostora An po kontravarijantnom i posled-

Ƭem kovarijantnom indeksu oznaqavamo sa Rij(x):

Rij(x) = Rα.ijα(x) (i, j = 1, 2, · · · , n) (2.2)

U saglasnosti sa zakonima tenzorske algebre on predstavƩa tenzor tipa(02

),

koji se naziva Riqijev tenzor prostora An. Uz uslove

Rij(x) ≡ Rji(x) (2.3)

prostor An nazivamo ekviafinim. Na osnovu (1.46) i (1.47) taj uslov je ekvi-

valentan sledeem:

Rα.αji ≡ 0.

27

28 2. Prostori Afine koneksije

U prostoru afine koneksije An po pravilu uvodimo kovarijantni difere-

ncijabilni tenzor u odnosu na objekte koneksije. Na toj osnovi u An konstru-

isana je invarijantna teorija paralelnog prenoxeƬa vektora i tenzora niz

datu krivu.

2.2 Paralelno pomeraƬe

PoƩe kontravarijantnog vektora ϕh(t) definisano na krivoj L, zadatoj u

parametarskom obliku (1.49), zove se paralelnim duж Ƭe u prostoru An, ako

je

ϕh,αλα ≡

dϕh

dt+ Γhαβ(x)λ

αϕβ = 0 (h, α, β = 1, 2, · · · , n). (2.4)

Sada je λh– tangentni vektor krive L; Γ(x) – objekat koneksije An, u kompo-

nenti koja zameƬuje funkcije (1.49) parametra t. Pri tom (2.4) moraju imati

relativno identiqan t karakter. Lako je videti, da kao posledica (2.1) svo-

jstvo paralelnosti vektorskog poƩa ϕh(t) niz krivu L je invarijanto u odnosu

na izbor sistema koordinata u prostoru An i parametra t na krivoj. Po for-

mulaciji (2.4) izraжavaju potrebu jednakosti nule i kovarijantnog izvoda

vektorskog poƩa ϕh(t) u pravcu tangentnog vektora λh krive L (ili niz Ƭu).

Oqigledno, ako su vektorska poƩa ϕh(t) i ξh(t) paralelna u An niz jednu

istu krivu L, to je i poƩe vektora aϕh(t) + bξh(t), za prizvoƩne konstante a

i b, takoe paralelno niz L.

DaƩe, uzeemo taqku M0 krive L, koja odgovara vrednostima parametra

t0, i vektor paralelan niz Ƭu vektorskog poƩa ϕh(t) u toj taqki ϕh0(t) =ϕh(t0). Tada za vektor poƩa ϕh(t) , uzet u svakoj drugoj Ƭenoj taqki, na

primer M1, odgovarajuoj vrednostima parametra t1, ϕh1(t) = ϕh(t1), usvajamo

naziv rezultat paralelnog prenosa vektora ϕh0(t) u An niz krivu L iz taqke

M0 u taqku M1.

Oqigledno u prostoru An svaki vektor ϕh0(t), zadat u nekoj taqki M0(t0)date krive L mogue je, i to jedinstveno, preneti paralelno niz L u svaku

drugu (koja je blizu Ƭe) taqku M1(t1). U jednom delu sistem obiqnih difer-

encijalnih jednaqina (2.4) u odnosu na ϕh u okolini taqke M0(t0) u pros-

toru An klase Cr (r > 2) ima jedinstveno rexeƬe ϕh(t), saglasno poqetnim

Koxijevim vrednostima ϕh(t0) = ϕh0 .

Odatle, vektor ϕh1 = ϕh(t1), koji se javƩa kao rezultat paralelnog preno-

xeƬa vektora ϕh0 iz taqke M0 u taqku M1, odreen je jednoznaqno.

U opxtem sluqaju rezultat paralelnog prenoxeƬa vektora iz jedne taqke

prostora An u drugu Ƭegovu taqku jako zavisi od putaƬe. Inaqe pri para-

lelnom prenoxeƬu vektora ϕh0 iz taqke M0 u An ka M1 niz jednu krivu L mi

dobijamo u M1 jedan vektor ϕh1 , pri paralelnom prenoxeƬu ϕh0 iz M0 u M1

niz drugu krivu L mi dobijamo u M1, uopxteno govorei, drugi vektor ϕh1 .

2.2. Paralelno pomeraƬe 29

Takoe postoje specijalni prostori afine koneksije An, u kojima ima

poƩa kontravarijantnih vektora, koji poseduju svojsta takozvanog apsolutnog

paralelizma. Vektorsko poƩe ϕh(x1, x2, · · · , xn) je odreeno u nekoj oblasti

D, ako je ono paralelno u An niz svaku krivu L, koja pripada toj oblasti.

Iz (2.4) proistiqe, da potrebni i dovoƩni uslovi apsolutne paralelnosti

vektorskog poƩa imaju oblik:

ϕh.i(x) ≡∂ϕh(x)

∂xi+ Γhiα(x)ϕ

α(x) ≡ 0 (h, i = 1, 2, · · · .., n). (2.5)

Analogno uslovima

µi,αλα ≡

dµi

dt− Γαβiµβλ

α ≡ 0 (2.6)

uvodi se pojam paralelnosti niz krivu L, zadatoj u parametarskom obliku

(1.49), u prostoru An poƩa kovarijantnog vektora µi(t) i paralelnog preno-

xeƬa kovarijantnog vektora µi0iz taqkeM0 u taqkuM niz krivu L. One imaju

invarijantni karakter u odnosu na izbor sistema koordinata u prostoru Ani parametra t na krivoj L, a takoe ukazuju na vixe svojstva u sluqaju kon-

travarijantnih vektora.

Uslovi apsolutne paralelnosti poƩa kovarijantnog vektora

µi(x1, x2, · · · , xn) u prostoru An imaju oblik

µi,j(x) ≡∂µi(x)

∂xj− Γαji(x)µα(x) ≡ 0. (2.7)

Na kraju, uslovima

Si1i2...ipj1j2...jq ,α

λα =dS

i1i2...ipj1j2...jq

(t)

dt+ λβ(Γi1βαS

αi2...ipj1j2...jq

(t) + · · ·+ ΓipβαS

i1i2...ip−1α

j1j2...jq(t)−

−Γαβj1Si1i2...ipαj2...jq

(t)− · · · − ΓαβjqSi1i2...ipj1j2...jq−1α

(t)) = 0 (2.8)

u An uvodimo pojam paralelnosti duж krive L (date u obliku (1.49)) poƩa ten-

zora S(t) proizvoƩnog tipa(p

q

). On je invarijantan u odnosu na izbor sistema

koordinata u An i parametra t na krivoj L. Sliqno kao i u sluqaju vektora,

uz pomo uslova (2.8) definisano je paralelno prenoxeƬe tenzora S0

(p

q

)niz

krivu L iz taqke M0 u svaku drugu (blisku) taqku M1, uvodi se pojam i dobi-

jaju se uslovi apsolutne paralelnosti tenzorskog poƩa Si1i2...ipj1j2...jq

(x1, x2, · · · , xn),koji imaju oblik

Si1i2...ipj1j2...jq ,k

(x) ≡ 0. (2.9)

S leve strane je kovarijantni izvod tenzorskog poƩa u prostoru An (vidi

(1.36)). Uostalom, apsolutno paralelni tenzori neretko se prema (2.9)

nazivaju kovarijantno konstantni.


Prostore afine koneksije An nazivamo lokalno simetriqnim, ako je

Rimanov tenzor u Ƭemu apsolutno paralelan. Na taj naqin, simetriqni pros-

tori An se karakterixu uslovima

Rhijk,l(x) ≡ 0, (2.10)

budui da tenzori imaju invarijantni karakter u odnosu na izbor sistema

koordinata.

2.3 Geodezijske linije prostora afine koneksije

Opxtiji je pojam rekurentnog vektorskog ili tenzorskog poƩa niz krivu

u prostoru afine koneksije An.

Vektorsko poƩe ϕh(t) nazivamo rekurentnim niz krivu L (zadatom u obliku

(1.49)), ako su u svakoj Ƭenoj taqki ispuƬeni uslovi

ϕh.αλα = ρϕh (h = 1, 2, · · · , n). (2.11)

Ovde je ρ(t) – neka invarijanta, a leva strana predstavƩa kovarijantni izvod

vektorskog poƩa ϕh(t) u pravcu vektora λh(t), tangentnog na krivu L. Taj

izvod u saglasnosti sa (1.38) je odreen u (2.4). Oqigledno, svojstvo rekurent-

nosti vektorskog poƩa ϕh(t) niz krivu L je invarijantan u odnosu na izbor

sistema koordinata u An, parametra t na krivu i zamene tog vektorskog poƩa

poƩem koje je kolinearno s Ƭim ϕh = σ(t)ϕh(t).Kriva L (zadata uobliku (1.49)) prostora afine koneksije An naziva se

geodezijskom linijom tog prostora, ako je tangentno vektorsko poƩe λh(t) te

krive rekurentno niz Ƭu, tj. ako zadovoƩava uslove

λh.αλα = ρλh (h = 1, 2, · · · , n). (2.12)

U saglasnosti sa (2.4) oni imaju oblik

dλh(t)

dt+ Γhαβ(x)λ

α(t)λβ(t) = ρ(t)λh(t) (2.13)

ili, kako je λh = dxh

dt,

d2xh

dt2+ Γhαβ(x)

dxα

dt

dxβ

dt= ρ(t)

dxh

dt. (2.14)

Tako je kriva L geodezijska linija prostora An onda i samo onda kada

funkcije (1.49) zadovoƩavaju u Ƭoj jednaqine (2.14) za neko ρ(t). Na osnovu

reqenog L predstavƩa geodezijsku liniju prostora An i ne zavisi ni od izb-

ora sistema koordinata u tom prostoru ni pak od izbora parametra t na Ƭoj.

2.3. Geodezijske linije prostora afine koneksije 31

Meutim znaqeƬe invarijante ρ(t) u rezultatu transformacije oblika (1.55)

parametra t meƬa se kako se meƬaju, po formulama (1.57), tangentni vektori

krive. Zato u prostoru An za svaku geodezijsku liniju L uvek je mogue po

zakonu (1.55) prei od poqetnog parametra t na novi parametar τ , pri kojem

za tangentni vektor λh(τ) umesto (2.12) vaжe sledei uslovi

λh.αλα ≡ 0.

Takav parametar geodezijske linije naziva se kanoniqkim. U saglasnosti

sa (2.4), posledƬi uslov oznaqava da je tangentni vektor λh geodezijske linije,

zadat sa kanoniqkim parametrom, paralelan niz Ƭu.

Tako, funkcije

xh = xh(τ) (h = 1, 2, · · · , n), (2.15)

gde dxh

dτ= λh 6= 0, koje definixu geodezijsku liniju L prostora An, zadatoj sa

kanoniqkim parametrom τ ispuƬavaju uslove

d2xh

dτ 2+ Γhαβ(x)

dxα

dτ

dxβ

dτ= 0 (h, α, β = 1, 2, · · · , n). (2.16)

One predstavƩaju sistem obiqnih diferencijalnih jednaqina drugog reda

Koxijevog tipa. Na osnovu poznate teoreme iz diferencijalnih jednaqina za

sve poqetne Koxijeve vrednosti

xh(τ0) = xh0 ,dxh

dτ(τ0) = λh0

u prostoru An klase Cr (r > 2) taj sistem ima jedinstveno rexeƬe. Zato

u svakom prostoru afine koneksije An (navedene klase) kroz svaku Ƭegovu

taqku M0(xh0) u svakom pravcu λh0 ∈ TM0 moжe se povui jedna i samo jedna

geodezijska linija.

U prostorima afine koneksije An moжe biti konstruisana teorija krivina

krivih. U saglasnosti sa Ƭom za krivu L iz An u opxem sluqaju u svakoj taqki

u definisanom poretku javƩa se n − 1 krivina: k1, k2, · · · , kn−1. Ako je neka

od krivina za krivu L identiqki jednaka nuli, to identiqki jednake nuli i

sve sledee krivine te krive. Krive istog prostora afine koneksije An, kod

kojih je identiqki jednaka nuli samo prva krivina k1, su samo geodezijske

linije. Zato geodezijske linije u geometriji prostora afine koneksije imaju

znaqeƬe sliqno kao i prave u Euklidovom prostoru.

U prostorima afine koneksije i za tenzorska poƩa proizvoƩnog tipa

moжemo uvesti pojam rekurentnosti. Tenzorsko poƩe S(pq) naziva se rekurent-

nim niz krivu L u prostoru An, ako u svakoj taqki te krive zadovoƩava jed-

naqine

Si1i2...ipj1j2...jq ,α

λα = ρSi1i2...ipj1j2...jq

,

(i1, i2, · · · , ip; j1, j2, · · · , jq; α = 1, 2, · · · , n).(2.17)


Tenzorsko poƩe S(pq) nazivamo apsolutno rekurentnim, ako je ono rekure-

ntno niz svaku krivu prostora An. Potrebni i dovoƩni uslovi apsolutne

rekurentnosti tenzorskog poƩa S(pq) su oblika

Si1i2...ipj1j2...jq ,k

(x) = ρk(x)Si1i2...ipj1j2...jq

(x). (2.18)

Ako je Rimanov tenzor prostora An apsolutno rekurentan u Ƭemu, tj. ako

vaжi

Rh.ijk,l(x) = ρiR

h.ijk(x) (2.19)

onda je i An rekurentan.

2.4 Afini prostori

Prostor afine koneksije An nazivamo (lokalno) ravnim ili afinim, ako

u nekoj okolini D svake Ƭegove taqke moжe biti izabran sistem koordinata

y1, y2, · · · , yn, koji nazivamo afinim, u odnosu na koji u toj okolini objekat

koneksije An identiqki teжi nuli:

Γhij(y) ≡ 0 (h, i, j = 1, 2, · · · , n). (2.20)

Za ravni prostor afine koneksije An u afinom sistemu koordinata iz

(2.20) na osnovu (1.42) sledi da Rh.ijk(y) ≡ 0. Takoe teжƬa tenzora ka nuli je

qiƬenica, invarijanta u odnosu na izbor sistema koordinata. Kao posledica,

za ravni prostora An, u bilo kakvom sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn bili

zadati, mi dobijamo

Rh.ijk(x) ≡ 0 (h, i, j, k = 1, 2, · · · , n). (2.21)

Iz (2.1) nije texko uoqiti da su uslovi (2.21) ne samo potrebni ve i

dovoƩni da bi prostor An bio lokalno ravan.

Za ravni prostor An, u odnosu na afine koordinate, iz jednaqina oblika

(2.16) prema (2.20) dobijamo

yh(τ) = yh0 + (τ − τ0)λh0 ,

gde je yh0 = yh(τ0),dyh

dτ(τ0) = λh0 . To znaqi da su geoezijske linije ravnog

prostora An prave. Preciznije moжemo videti da krive ravnog prostora, za

koje je druga krivina k2 identiqki jednaka nuli, su krive koje leжe samo u

dvodimenzionalnim ravnima.

2.5. PreslikavaƬa diferencijabilnih mnogostrukosti 33

2.5 PreslikavaƬa diferencijabilnih mnogostrukosti

Razmotrimo (lokalno) uzajamno jednoznaqno preslikavaƬe f n-dimenzione

diferencijabilne mnogostrukosti Xn klase Cr na diferencijabilnu

mnogostrukost Xn iste klase. Neka za proizvoƩnu taqku M ∈ Xn pri pres-

likavaƬu f postoji taqka M ∈ Xn : M → M . PreslikavaƬe Xn na Xn

indukuje definisano preslikavaƬe tangentnih prostora na datim mnogostru-

kostima u odgovarajuim taqkama. Nazivamo ga diferencijal preslikavaƬa f

i oznaqavamo sa df : TM → TM ili TMdf→ TM .

Ako taqka M ima u prostoru Xn lokalne koordinate x1, x2, · · · , xn, a Ƭoj

odgovarajua taqka M pri preslikavaƬu f ima u Xn lokalne koordinate

x1, x2, · · · , xn, to emo pretpostaviti da je

xh = fh(x1, x2, · · · , xn) (h = 1, 2, · · · , n), (2.22)

gde funkcije fh(x1, x2, · · · , xn) pripadaju klasi Cr (r > 2) i

det

∥∥∥∥∥

∂fh

∂xk

∥∥∥∥∥6= 0.

Pri tim uslovima za funkcije (2.22) u okolini svake taqke postoje inverzne

funkcije

xk = fk(x1, x2, · · · , xn) (2.23)

iste klase.

Kriva L iz Xn, zadata u parametarskom obliku jednaqinama (1.49), pri

preslikavaƬu f definisanim sistemom funkcija (2.22), prelazi u krivu L iz

Xn, qije parametarsko predstavƩaƬe dobijamo u obliku

xh = xh(t) = fh(x(t)). (2.24)

Odavde sledi da je dxh

dt= ∂f

h

∂xαxα

dt, tj.

λh=∂f

h

∂xαλα, (2.25)

gde λh ∈ TM i on je tangentni vektor krive L u taqki M , a λh∈ TM tangentni

vektor L u M . Vektor λhsmatra se odgovarajuim vektoru λh pri preslika-

vaƬu f . Ukoliko λh moжemo posmatrati kao proizvoƩni vektor prostora TM ,

jednaqine (2.25) definixu preslikavaƬe TM na TM , indukovano preslika-

vaƬem Xnf→ Xn i nazivamo ga Ƭegovim diferencijalom λh

df→ λ

h. Prema

uslovima det∥∥∥∂f

h

∂xk

∥∥∥ 6= 0 to predstavƩaƬe je uzajamno jednoznaqno.


Ako u Xn od poqetnog sistema koordinata x1, x2, · · · , xn preemo na novi po

formulama (2.23) to posle te, odgovarajue po preslikavaƬu f taqke M ∈ Xn

i M ∈ Xn, imae iste koordiate: M(x1, x2, · · · , xn)f→ M(x1, x2, · · · , xn). In-

aqe preslikavaƬa Xnf→ Xn e postojati po principu jednakosti koordinata

odgovarajuih taqaka. U tom sluqaju moжemo rei da su Xn i Xn pridruжeni

u opxtem, po preslikavaƬu f , sistemu koordinata. Tako, sada jednaqine (2.22)

dobijaju oblik xh = xh, a iz (2.25) sledi da je λh= λh, tj. preslikavaƬe

TMdf→ TM e postojati po principu jednakosti komponenti odgovarajuih

vektora.

Neka je sada, na Xn definisana afina koneksija Γ, a na Xn–afina konek-

sija Γ, mi emo posmatrati preslikavaƬe f prostora afine koneksije An na

prostor afine koneksije An. PreslikavaƬe Anf→ An naziva se afinim, ako

Ƭegov diferencijal df svake paralele niz svaku krivu l u An vektorsko poƩe

ϕh prevodi u paralelu niz odgovarajuu u An krivu L vektorskog poƩa ϕh.

Iz te definicije nije texko izvesti zakƩuqak o tome da je preslikavaƬe Anna An, definisano u lokalnim koordinatama jednaqinama (2.22) ili (2.23),

afino ako i samo ako meu objektima koneksije postoji sledea zavisnost:

∂fh

∂xαΓα

ij(x) = Γhαβ(x)∂fα

∂xi

∂β

∂xj+

∂2fh

∂xi∂xj.

Uporeujui dobijenu zavisnost sa (2.1) vidimo da dva prostora afine konek-

sije An i An, dopuxtaju afino preslikavaƬe jedan na drugi, i predstavƩaju

po definiciji jedan i samo jedan prostor (razmatran u razliqitim sistemima

koordinata). Za te prostore, u opxtem sluqaju, prema preslikavaƬu f sis-

tema koordinata dobijamo

Γh

ij(x) = Γhij(x). (2.26)

Takvo pridruжivaƬe Anf→ An je afino ako i samo ako se, u opxtem sluqaju,

po pridruжivaƬu sistema koordinata odgovarajuim taqkama, istoimene kom-

ponente objekta koneksije tih prostora podudaraju.

Afino pridruжivaƬe prostora afine koneksije An na sebe zovemo afino

kretaƬe.

2.6. Afinorne strukture 35

2.6 Afinorne strukture

Za realnu diferencijabilnu mnogostrukost Xn klase Cr po definiciji

smatramo da je snabdevena afinornom strukturom, ako je na Ƭoj zadato poƩe

F tenzora tipa(11

). U svakom lokalnom sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn na

Xn Ƭegove komponente F hi (h, i = 1, 2, · · · , n) su definisane funkcijama klase

Cr−1 koordinata tekuih taqaka: F hi = F h

i (x1, x2, · · · , xn). Afinorna struk-

tura F hi na Xn naziva se integrabilna (lokalno), ako u nekoj neodreenoj

okolini D svake Ƭegove taqke postoji takav sistem koordinata y1, y2, · · · , yn,u odnosu na koji su sve komponente F h

i u oblasti D konstante. Oqigledno, u

tom sluqaju afinorna struktura F hi , putem prelaza na kanoniqki sistem ko-

ordinata, moжe biti prevedena u normalnu жordanovu formu u svim taqkama

oblasti D istovremeno. Sigurno je da su potrebni i dovoƩni uslovi lokalne

integrabilnosti afinorne strukture F hi , postojaƬe simetriqne afine konek-

sije Γ na Xn, u odnosu na koju je ta struktura apsolutno paralelna, tj. zado-

voƩava uslove

F hi,j(x) ≡ 0. (2.27)

Smatramo da jeXn snabdevena e-strukturom, ako je na Ƭoj zadata afinorna

struktura F hi , za koju u svakoj taqki vaжi:

F hαF

αi = eδhi (h, i = 1, 2, · · · , n) (2.28)

gde e = 1,−1 ili 0. Kada je e = 1, kaжemo da Xn ima strukturu skoro

proizvoda; kada je e = −1, Xn zovemo skoro kompleksnom mnogostrukoxu; kada

je e = 0–skoro tangencijalnom. Uporedo sa (2.28) potreban i dovoƩan uslov

lokalne integrabilnosti e-strukture jeste identiqka jednakost nuli Ƭenih

Neenhesovih tenzora

Nhij = F α

i (∂jFhα − ∂αF

hj )− FH

j (∂iFhα − ∂αF

hi ) (2.29)

(h, i, j = 1, 2, · · · , n)

Lako uoqavamo, da parcijalne izvode sada moжemo zameniti kovarijantnim

izvodima po svakoj koneksiji.

Deo 3

Rimanovi prostori

3.1 Osnovne definicije

Rimanovim prostorom Vn nazivamo realnu diferencijabilnu mnogostru-

kost Xn klase Cr u kojem je odreeno poƩe dvaput kovarijantnog simetriqnog

nesvojstvenog tenzora gij, nazivamo metriqkim tenzorom prostora. U svakom

lokalnom sistemu koordinata na Xn Ƭegove komponente su funkcije klase Cr−1

od koordinata x1, x2, · · · , xn tekue taqke M ∈ Xn, i zadovoƩavaju jednaqine

gij(x1, x2, · · · , xn) ≡ gji(x

1, x2, · · · , xn), g = det‖gij(x)‖ 6= 0 (3.1)

(i, j = 1, 2, · · · , n).

Pri prelazu na svaki drugi sistem koordinata prema (1.1),(1.3) komponente

tenzora gij meƬaju se u saglasnosti sa (1.8) na sledei naqin:

g′ij(x′) = gαβ(x)

∂xα

∂x′i∂xβ

∂x′j. (3.2)

Diferencijalna kvadratna forma

I = gαβ(x)dxαdxβ (3.3)

naziva se osnovna metriqka forma Rimanovog prostora Vn. Na osnovu pravila

tenzorske algebre sledi da je ona invarijantna u odnosu na izbor sistema ko-

ordinata u Xn. Za osnovnu metriqku formu (3.3) prostora Vn neemo ubudue

zahtevati dodatna ograniqeƬa. Izuzetak su specijalni sluqajevi koje emo

posebno razmatrati.

Ukoliko je g 6= 0, za matricu ‖gij(x)‖ u svakoj taqki Vn postoji inverzna

matrica. ƫene elemente oznaqavamo sa gij(x). Oni su na osnovu (3.1) takoe

simetriqni (gij = gji) i u saglasnosti sa definicijom zadovoƩavaju uslove

giα(x)gαk(x) = δki (k, i− 1, 2, · · · , n) (3.4)

37

38 3. Rimanovi prostori

gde su δki Kronekerovi simboli. Iz (3.2) proistiqe, da funkcije gij(x) obrazujutenzorsko poƩe tipa (20). Na osnovu toga, pri zameni sistema koordinata

prema pravilu (1.1),(1.3) one se transformixu kao:

g′ij(x′) = gαβ(x)∂x′i

∂xα∂x′j

∂xβ. (3.5)

Uz pomo tenzora gij u Rimanovom prostoru Vn za proizvoƩan tenzor S(pq)(q > 0) sledeim izrazima uvodi se operacija podizaƬa indeksa:

Si1i2...ipk

j1j2...jt−1jt+1...jq= S

i1i2...ipj1j2...jt−1αjt+1...jq

gαk (3.6)

(i1, i2, · · · , ip; j1, j2, · · · , jq; α = 1, 2, · · · , n).

Sada kao i obiqno po α vrximo sumiraƬe po svim vrednostima od 1 do

n. Prema tome operacija podizaƬa indeksa je kompozicija proizvoda i kon-

trakcije. Zato ona ima tenzorski karakter i predstavƩa tenzor tipa(p+1q−1

).

Moжemo rei da tenzor tipa(p+1q−1

), koji stoji na levoj strani (3.6), dobi-

jen iz poqetnog tenzora S(pq) podizaƬem u Vn Ƭegovog indeksa jt. Podignuti

indeks (mi smo ga oznaqili sa k) moжemo staviti na svako mesto, gde je pre-

poruqƩivo (mi smo ga postavili na posledƬe mesto), na vrhu, kao da je on

kontravarijantan. Na mestu podignutog indeksa qexe stavƩamo taqku. Na

kraju se vrlo qesto za podignuti indeks slaжe to oznaqavaƬe (tj. umesto k

staviti jt).

Preciznije se uz pomo metriqkog tenzora gij u Rimanovom prostoru Vndefinixe operacija spuxtaƬa indeksa kod proizvoƩnog tenzora T (st) (s > 0)

Ti1...iν−1·iν+1...isj1j2...jtl

= Ti1...iν−1αiν+1...isj1j2...jt

gαi. (3.7)

Operacije spuxtaƬa i podizaƬa indeksa su uzajamno suprotne. Tako, ako u

(3.6) indeks k spustimo i postavimo nakon spuxtaƬa na mesto taqke (oznaqenu

sa jt), to dobijamo krajƬi tenzor Si1i2...ipj1j2...jq

. Na primer, operacija podizaƬa u

Vn indeksa kod konvarijantnog vektora µi dovodi nas do kontravarijantnog

vektora:

µk = µαgαk.

SpuxtaƬem sada indeksa k, na osnovu (3.4), dobijamo vektor

µi = µβgβi.

Zato moжemo smatrati µk kao kontravarijantni vektor, saglasan kovarijant-

nom vektoru µi, i obrnuto. Ponekad moжemo rei, da µk i µi su kontravari-

jantne i kovarijantne komponente jednog te istog vektora u Rimanovom pros-

toru Vn.

3.2. Duжina kontravarijantnog i kovarijantnog vektora 39

3.2 Duжina kontravarijantnog i kovarijantnog vek-

tora

Uz pomo metriqkog tenzora gij u prostoru Vn uvodi se pojam duжine λ

kontravarijantnog vektora λh. U svakoj taqki M(x) ∈ Vn ona je odreena u

obliku

λ2 = egαβ(x)λα(x)λβ(x), (3.8)

gde je e = ±1 i bira se tako da desna strana bude pozitivna. Tada je

λ =√

egαβ(x)λα(x)λβ(x),

pri qemu sada imamo u vidu aritmetiqko znaqeƬe kvadratnog korena. Na os-

novu zakona tenzorske algebre duжina kontravarijantnog vektora predstavƩa

invarijantu.

Ako za svaki vektor λh ( 6= 0) u Vn Ƭegova duжina λ > 0, to Vn nazivamo

prostorom sa znakovnom metrikom. U takvom prostoru vektor λh i Ƭegova

duжina λ mogu biti jednaki nuli samo istovremeno, tj. iz λ = 0 sledi λh = 0i obratno.

Kada metrika Rimanovog prostora nije odreenog znaka, u Ƭemu uvek pos-

toje vektori λh, koji su razliqiti od nule, ali qija je duжina jednaka nuli:

gαβ(x)λα(x)λβ(x) = 0 (λh 6= 0). (3.9)

Takvi vektori nazivaju se izotropnim (u taqki, na celom Vn ili na nekom

Ƭegovom podskupu).

Vrlo qesto u formuli (3.8), definisani kvadrat duжine kontravarijantnog

vektora e se ne uvodi. Tada se metrika Vn naziva pozitivno odreena, ako je

gαβλαλβ > 0 za svaki vektor λh 6= 0, i negativno odreena ako je gαβλ

αλβ < 0za λh 6= 0. Duжina vektora

λ =√

gαβλαλβ

u prvom sluqaju je uvek realna, u drugom–qisto imaginarna, a u treem

(izotropna) jednaka nuli.

PretpostavƩajui da je vektor λh razliqit od nule i neizotropan, stavimo

λh =1

√

egαβλαλβλh.

Oqigledno, λh je takoe kontravarijantni vektor (kolinearan poqetnom). Iz

(3.8) sledi, da λ2 = 1, tj. vektor λh je jediniqni:

gαβ(x)λα(x)λβ(x) = e.


Mera ugla meu dva neizotropna vektora λh1| i λk2| u Rimanovom prostoru

Vn, uslovno oznaqavamo kao cos(λh1|, λh2|) uvodi se na sledei naqin:

cos(λh1|, λh2|) =

gαβλα1|λ

β

2|√

e1gαβλα1|λ

β

1|

√

e2gαβλα2|λ

β

2|

(3.10)

Oqigledno, da je ta mera invarijantna u odnosu na izbor sistema koordinata

u Vn i zamene datih vektora drugim, koji su kolinearni s Ƭima.

U Rimanovom prostoru sa metrikom odreenog znaka na osnovu nejednakosti

Koxi–BuƬakovskog je |cos(λ1|, λ2|)| ≤ 1. Ako metrika Vn nije odreenog znaka,

to cos(λ1|, λ2|) po modulu za jedne vektore ne premaxuje jedinicu, a za druge

je vei od jedinice. Zato je uvedena funkcija cos(λ1|, λ2|) uopxteƬe klasiqne

trigonometrijske funkcije.

Kada bi jedan od vektora λh1| ili λh2| bio izotropan, veliqina ugla izmeu

Ƭih se ne odreuje. No, ako bi vektori bili λh1| ( 6= 0) i λh1| ( 6= 0), nalaжeƬem

gαβ(x)λα1|(x)λ

β

2|(x) = 0 (3.11)

uvodimo pojam Ƭihove ortogonalnosti u taqki M(x) prostora Vn. U saglas-

nosti sa (3.9) izotropni vektor ortogonalan je samom sebi.

DaƩe, duжinom µ kovarijantnog vektora µl u prostoru Vn naziva se duжina

Ƭemu odgovarajueg kontravarijantnog vektora. Lako uoqavamo da se Ƭen

kvadrat izraжava formulom

µ2 = egαβ(x)µα(x)λβ(x). (3.12)

Kosinus ugla izmeu dva kovarijantna vektora µ1|l i µ2|k uzima vrednost

kosinusa ugla izmeu odgovarajuih kontravarijantnih vektora. Vektori µ1|l

i µ2|k su ortogonalni ako su ortogonalni Ƭihovi odgovarajui kontravari-

jantni vektori. Vektori µ1|l i µ2|k su ortogonalni ako vaжi:

gαβ(x)µ1|α(x)µ2|β(x) = 0. (3.13)

Na kraju, kosinus ugla izmeu kontravarijantnog vektora λh i kovarijantnog

vektora µk definixe se kao kosinus ugla izmeu kontravarijantnog vektora λh

i kontravarijantnog vektora µl, odgovarajuem poqetnom vektoru µk. Analogno

vektori λh i µk su ortogonalni, ako su ortogonalni vektori λh i µl. Uslovi

ortogonalnosti su oblika

λα(x)µα(x) = 0. (3.14)

U prostoru Vn ugao izmeu dve krive L1 i L2 u taqki preseka M je ugao

izmeu Ƭihovih tangentnih vektora λh1| i λh2| u toj taqki preseka krivih L1 i L2.

3.3. Hiperpovrxi Rimanovog prostora 41

Krive L1 i L2 su po definiciji ortogonalne u taqki M , ako su vektori λh1| i

λh2| ortogonalni. Na primer, kada L1 i L2 predstavƩaju koordinatne linije

x1 i x2 prostora Vn, saglasno (1.54), λh1| = δh1 , λh2| = δh2i iz (3.11) sledi da je

g12 = 0. Prema tome dobijamo uslove

gij(x) = 0 (i 6= j)

koji su potrebni i dovoƩni, da bi u taqki M(x) ∈ Vn bile ortogonalne koor-

dinatne linije xi i xj.

3.3 Hiperpovrxi Rimanovog prostora

Posmatrajmo sada opxtu hiperpovrx Rimanovog prostora Vn, zadatu jednaqi-

nom oblika (1.65):

F1(x1, x2, · · · , xn) = 0. (3.15)

Za svaki tangentni vektor λh na Ƭenu hiperpovrx En−1 ispuƬeni su uslovi

(1.67), tj.∂F1(x)

∂xαλα = 0

U saglasnosti sa (3.14), to znaqi da je gradijentni vektor µ1|i = ∂F1(x)∂xi

ortogonalan na λh ili (po definiciji) na tangentnu hiperpovrx En−1 ka

hiperpovrxi u datoj taqki na Ƭoj. Zato µ1|i zovemo vektor normale na hiper-

povrx (3.15) u svakoj Ƭenoj taqki.

Dve hiperpovrxi prostora Vn nazivaju se ortogonalnim u taqki Ƭihovog

preseka M , ako su ortogonalni Ƭihovi vektori normale u M . Ako je jedna od

hiperpovrxi data jednaqinom (3.15), a druga analogno jednaqinom

F2(x1, x2, · · · , xn) = 0,

to uslovi Ƭihove ortogonalnosti imaju oblik (3.13) za µ1|i =∂F1

∂xi, µ2|i =

∂F2

∂xj.

Kada je prva od Ƭih koordinata hiperpovrxi x1, a druga koordinata hiper-

povrxi x2, onda je F1 ≡ x1− c1, F2 ≡ x ≡ x2− c2, gde su c1 i c2 neke konstante.

Zato µ1|i = δ1i , µ2|j = δ2j i uslovi (3.13) oznaqavaju da je g12 = 0.Preciznije za svako i i j jednakost

gij(x) = 0, (i 6= j) (3.16)

je potreban i dovoƩan uslov da bi u taqki M(x) koordinatne hiperpovrxi xi

i xj, koje prolaze kroz Ƭu, bile ortogonalne.

Razmotrimo sada u prostoru Vn jednoparametarsku familiju hiperpovrxi,

zadatu jednaqinama oblika (1.72)

F (x1, x2, · · · , xn) = c

(∂F

∂xi6= 0

)

. (3.17)


Neka pri zameni parametra familije c kroz svaku taqku prostora Vn (ili

nekoj neodreenoj oblastiD) prolazi jedna i samo jedna hiperpovrx te famil-

ije. Pri tom µi(x) = ∂F (x)∂xi

je vektor normale u svakoj taqki M(x) ∈ Vnkoji prolazi kroz Ƭenu hiperpovrx familije (3.17). Tada e i svaki vektor

νi = θ(x)µi(x) (θ 6= 0), koji je kolinearan vektoru µi(x), biti normalan na

tu hiperpovrx u taqki M(x). Linije toka vektorskog poƩa νj = να(x)gαj(x),

tj. integralne krive sistema diferencijalnih jednaqina oblika (1.58)

dxh

dt= νh(x)

bie obvojnice poƩa normala ili otogonalne trajektorije date jednopara-

metarske familije hiperpovrxi. Po definiciji, to znaqi da je kongruencija

generisana vektorskim poƩem νh(x) normalna. Tako generisna vektorskim

poƩem νh(x) 6= 0 kongruencija je normalna u Vn ako i samo ako je Ƭemu

odgovarajui kovarijantni vektor νi(x) = giα(x)να(x) iz tog vektorskog poƩa

kolinearan gradijentnom vektoru µi(x) 6= 0.Ako su n jednoparametarskih familija hiperpovrxi prostora Vn

F (h)(x1, x2, · · · , xn) = ch (h = 1, 2, · · · , n) (3.18)

nezavisne, tj. det∥∥∥∂F (h)(x)∂xk

∥∥∥ 6= 0, u parovima ortogonalne i ako kroz svaku

taqkuM prostora Vn (ili Ƭegove oblasti D) prolazi jedna hiperpovrx svake

od datih familija, tada po definiciji, (3.18) obrazuju u Vn n–ortogonalni

sistem. Posle transformacija poqetnih sistema koordinata prema zakonu

yh = F (h)(x1, x2, · · · , xn)

hiperpovrxi (3.18), u odnosu na novi sistem koordinata, postae koordi-

natne. Kako su oni po uslovima u svakoj taqki u parovima ortogonalni, u

saglasnosti sa (3.16) imaemo da je gij(y) ≡ 0, (i 6= j). ZakƩuqujemo da je u

svakoj taqki M i gij(y) ≡ 0, (i 6= j). Zato u sistemu koordinata y1, y2, · · · , yn

osnovna metriqka forma (3.3) prostora Vn u svakoj taqki te oblasti, gde je

ona uvedena, daje rezultat u dijagonalnom obliku

I = gαα(y)(dyα)2, (3.19)

gde je kao i obiqno po α oznaqena suma od 1 do n.

Za n > 3 samo u specijalnim Rimanovim prostorima postoji n–ortogonalnih

sistema hiperpovrxi.

3.4. Duжina luka krive 43

3.4 Duжina luka krive

Za krivu L prostora Vn, zadatu u parametarskom obliku (1.49), uz pomo os-

novne metriqke forme (3.3) definixe se kvadrat diferencijala duжine luka,

na sledei naqin:

ds2 = egαβ(x(t))dxα(t)dxβ(t). (3.20)

Odatle duжina s luka

M0M1 krive L, s poqetkom u taqkiM0 odgovarajuoj

vrednosti parametra t0 i s krajem u taqkiM1, odgovarajuoj vrednosti parame-

tra t1 (t1 > t0), kao posledica relacije (1.50), izraжena je u obliku

s =

M0M1 =

t1∫

t0

√

egαβ(x(t))λα(t)λβ(t)dt

Sada, kao i ranije e = ±1 i biramo tako da potkoreni izraz bude pozitivan.

Na osnovu toga je duжina luka svake krive, za koju je gαβλαλβ 6= 0, uvek

pozitivna.

Ako je za krivu L na nekom intervalu promena parametra t

gαβλαλβ ≡ 0,

to krivu na tom delu nazivamo izotopna.

Neka za neizotopnu krivu L vaжi

s =

t∫

t0

√

egαβ(x(t))λα(t)λβ(t)dt, (3.21)

gde su t0 i t promenƩive koje odreuju duжinu s sa poqetkom u taqkiM0 i kra-

jem u M(t) kao funkciju parametra t. Iz (3.21) sledi, da dsdt

=√

egαβλαλβ > 0,pa za tu funkciju postoji inverzna funkcija

t = t(s), (3.22)

pri qemu dtds

6= 0. Zato prema (3.22), na krivoj L mogu je prelaz od poqetnog

parametra t na duжinu luka s, nakon kojeg jednaqina krive ima oblik (1.56),

tj.

xh = xh(s). (3.23)

Pri tom u saglasnosti sa (1.57) je

dxh

ds= λh(s) =

λh√

egαβλαλβ.

Odatle sledi da je

gαβ(x(s))λα(s)λβ(s) ≡ e. (3.24)


Samim tim nalazimo, da za neizotropnu krivu L u odnosu na duжinu luka

krive kao parametra, tangentni vektor je jediniqni. Oqigledno da vaжi i

obrnuto tvreƬe.

Rezimirajmo, uvedeni pojam duжine luka krive u Rimanovom prostoru Vn je

invarijantan kako u odnosu na izbor sistema koordinata u tom prostoru, tako

i u odnosu na izbor parametra na krivoj. Prvo sledi iz invarijantnosti u

odnosu na izbor sistema koordinata osnovne metriqke forme (3.3) Rimanovog

prostora, a drugo – iz invarijantnosti integrala u odnosu na izbor nezavisne

promenƩive.

3.5 Kristofelovi simboli

U Rimanovom prostoru Vn u svakom lokalnom sistemu koordinata

x1, x2, · · · , xn metriqkim tenzorom gij(x) po formulama

Γhij(x) ≡ Γij,α(x)gαh(x), (3.25)

Γij,α(x) ≡1

2

(∂gik(x)

∂xj+∂gjk(x)

∂xi−∂gij(x)

∂xk

)

(3.26)

(h, i, j, k = 1, 2, · · · , n)

definixe se simetriqni objekat afine koneksije. Veliqine Γij,k zovemo

Kristofelovi simboli prvog reda, a Γij–drugog reda, uvedenim iz tenzora gij.

Iz (3.2) i (3.5) neposredno sledi da funkcije (3.25), pri promeni sistema ko-

ordinata oblika (1.1),(1.3), prevode se po zakonu (2.1) u komponente objekta

koneksije.

Na taj naqin, svaki Rimanov prostor Vn je prostor afine koneksije An.

Obrnuto tvreƬe ne vaжi u tom smislu da komponente objekta koneksije pros-

tora An u opxtem sluqaju nisu Kristofelovi simboli, uvedeni iz nekog ten-

zora gij.

Uz pomo objekta koneksije (3.25) u Rimanovom prostoru Vn, kao i u svakom

drugom prostoru afine koneksije, uvodimo kovarijantno diferenciraƬe vek-

tora i tenzora. Kao posledica toga u Ƭemu imaju smisao i znaqeƬe uvedeni

u delu 2, pojam i uslovi paralelnosti niz krivu, rekurentnosti, apsolutne

paralelnosti i rekurentnosti kontravarijantnih i kovarijantnih vektora a

takoe i tenzora proizvoƩnog tipa. Pri tom neposredno zakƩuqujemo da kao

posledica (3.25) i (3.26) metriqki tenzor Rimanovog prostora je kovarijantno

stalan u odnosu na iz Ƭega uvedenu koneksiju:

gij,k ≡∂gij(x)

∂xk− Γαki(x)gαj(x)− Γαkj(x)gαi(x) ≡ 0. (3.27)

3.6. Geodezijske linije Rimanovih prostora 45

Vaжi i obrnuto tvreƬe: ako odnosno simetriqna koneksija Γhij(x) dvaput

kovarijantni simetriqni tenzor gij(x) zadovoƩava uslove (3.27), to ta konek-

sija definixe tenzor gij(x) po formulama (3.25), (3.26), tj. ona je u stvari

Rimanova koneksija.

U Rimanovom prostoru paralelni prenos vektora duж krive zajedno sa

svojstvima, navedenim u prethodnom paragrafu, ima i sledea svojstva:

a) pri paralelnom prenoxeƬu vektora ϕh(t) niz krivu Ƭegova duжina se

quva, tj. za vektor, vaжe uslovi(2.4),

gαβ(x(t))ϕα(t)ϕβ(t) = const;

b) ugao izmeu dve paralele niz jednu istu krivu i vektori ϕh(t) i ψh(t)se ne meƬaju tj.

gαβ(x(t))ϕα(t)ψβ(t) = const.

U Rimanovom prostoru Vn oquvan je pojam i uslovi (2.11) rekurentnosti vek-

torskog poƩa duж krive, a takoe pojam geodezijske linije i jednaqina geode-

zijskih linija (2.13) u sluqaju proizvoƩnog parametra i (2.16) u sluqaju

kanoniqkog parametra τ . Pri tom za geodezijsku liniju, u odnosu na kanon-

iqki parametar, tj. zadatoj u obliku (2.15), iz uslova (2.16) na osnovu svo-

jstva a) paralelnog prenoxeƬa vektora sledi da je

gαβ(x(τ))λα(τ)λβ(τ) = const.

Zato za neizotropne geodezijske linije iz (3.21) proistiqe, da s = aτ + b, gde

a 6= 0 i b–neka konstanta. ZakƩuqujemo, τ = cs + d za neke konstante c 6= 0i d. Samim tim duжina luka neizotropne geodezijske krive Rimanovog pros-

tora je Ƭen kanoniqki parametar, a opxi kanoniqki parametar predstavƩa

linearnu funkciju duжine luka. U sluqaju izotropne geodezijske linije kod

Ƭe ne postoji duжina luka, ali postoji kanoniqki parametar kao i kod svake

geodezijske linije prostora afine koneksije.

3.6 Geodezijske linije Rimanovih prostora

U Rimanovom prostoru Vn, kao i u svakom prostoru afine koneksije, za

svaku Ƭegovu taqku M0(xh0) u svakom pravcu λh0 moжemo provui jedinstvenu

geodezijsku liniju. U prostoru afine koneksije geodezijske linije, kako je

naglaxeno u Delu 2, su desne krive. U Rimanovom prostoru sa znakovnom

metrikom, zajedno s tom, geodezijske linije su jox lokalno najkrae. Qin-

jenica je da u Vn kroz svake dve date ”bliske” taqke M0 i M1 moжemo provui

razliqite krive L1, L2 itd. Pri tom duжina luka

M0M1 krive L1 imae jedno

znaqeƬe, duжina luka

M0M1 krive L2 imae drugo znaqeƬe itd. NajmaƬi od

Ƭih moжe biti samo duжina luka

M0M1 geodezijske krive L, sjediƬujui


taqke M0 i M1. To sledi xto u prostoru Vn uslovi (2.16) predstavƩaju jed-

naqine Ojlera varijacionog pretstavƩaƬa za funkcije

Λ =

√

egαβ(x)dxα

dτ

dxβ

dτ.

Geodezijske linije, u saglasnosti sa ukazanim svojstvima, imaju vaжnu

ulogu ne samo u geometriji nego i u mehanici, teorijskoj fizici. Poznato je

da na osnovu principa najmaƬeg broja Jakobijana trajektorija kretaƬa konz-

ervativne skleronomne kontrakcije sistema su geodezijske linije Rimanovog

prostora Vn, qija osnovna metriqka forma (3.3) definixe kinetiqki energet-

ski sistem. DaƩe, u saglasnosti s prvim ƫutnovim zakonom trjektorije

slobodnih qestica koje se kreu u gravitacionom poƩu, i linije kretaƬa

u nekoherentnoj teqnosti su geodezijske linije Rimanovog prostora, osnovna

metriqka forma koja definixe uopxteni ƫutnov sistem potencija gravita-

cionog poƩa.

3.7 Riqijev i Rimanov tenzor

Konstrukcija koneksije (3.25) tenzora (1.42) i (2.2) nazivaju se respek-

tivno Rimanovi i Riqijevi tenzori Rimanovog prostora Vn. Pri tom za

Riqijev tenzor prostora Vn su uvek ispuƬeni uslovi (2.3), tj. svaki Ri-

manov prostor je ekviafin. Uz pomo operacije spuxtaƬa kontravarijantnog

indeksa Rimanovog tenzora u prostoru Vn uvodi se tenzor krivine:

Rhijk(x) ≡ ghαRα.ijk (h, i, j, k = 1, 2, · · · , n). (3.28)

Uporedo s navedenim relacijama iz (1.46) i (1.47) jednaqinama algebarskog

karaktera, on zadovoƩava i sledee uslove:

Rhijk(x) +Rihjk(x) ≡ 0,

Rhijk(x)−Rhijk(x) ≡ 0.(3.29)

Prvi od Ƭih oznaqava kosu simetriju tenzora krivine po prva dva indeksa

i proistiqe iz (3.27) na osnovu Riqijeve relacije (1.44), a drugo – Ƭegovu

simetriju po prvom i drugom paru indeksa. Na kraju, za tenzore krivina Ri-

manovoh prostora Vn, prema (3.27), ostaju vaжee Bijankijeve relacije (1.48).

(3.28) nazivamo Rimanovim simbolima drugog reda prostora Vn.

3.8. Ajnxtajnov, rekurentan i lokalno Euklidov prostor.Skalarna krivina47

3.8 Ajnxtajnov, rekurentan i lokalno

Euklidov prostor. Skalarna krivina

Rimanov prostor Vn naziva se Ajnxtajnov prostor, ako zadovoƩava jed-

naqine

Rij(x) = ρ(x)gij(x).

Kontrakcijom obe strane sa gij(x) po i i j na osnovu (3.4), dobijamo ρ = R(x)n

,

pri qemu je

R(x) ≡ gαβ(x)Rαβ(x), (3.30)

a R(x) nazivamo skalarna krivina prostora Vn i predstavƩa invarijantu. Na

osnovu (3.30) sledi

Rij(x) =R(x)

ngij(x). (3.31)

Kao u sluqaju prostora afine koneksije, Rimanov prostor Vn naziva se

simetriqan ili rekurentan, ako Ƭegov Rimanov tenzor (ili krivina) zadovo-

Ʃava uslove (2.10) ili (2.19) respektivno. Pri tom u Rimanovim prostorima

vektor rekurentnosti ρi(x) po potrebi je gradijentni vektor tj. ρi(x) = ∂iρ(x).Rimanov prostor Vn naziva se (lokalno) svodƩiv, ako u nekoj okolini D

svake taqke M moжe biti izabran takav sistem koordinata y1, y2, · · · , yn, u

odnosu na koji osnovna metriqka forma (3.3) ima oblik

I = gpq(yr)dypdyq + gσµ(y

ν)dyσdyµ (3.32)

(p, q, r = 1, 2, · · · ,m; σ, µ, ν = m+ 1,m+ 2, · · · , n).

Sada gpq pretpostavƩaju zavisnost samo od y1, y2, · · · , ym, a gσµ–samo od

ym+1, ym+2, · · · , yn. Samim tim svodƩiv Rimanov prostor Vn prema defini-

ciji predstavƩa proizvod Rimanovih prostora1

Vm (koji se odnosi na koordi-

nate y1, y2, · · · , ym) s osnovnom metriqkom formom gpq(yr)dypdyq i Rimanovog

prostora2

V n−m (u odnosu na koordinate ym+1, ym+2, · · · , yn) s metriqkom for-

mom gσµ(yν)dyσdyµ. Rimanov prostor Vn je svodƩiv onda i samo onda ako u

Ƭemu postoji simetriqni tenzor aij(x) 6= cgij (za konstantu c) tipa (02), kojizadovoƩava uslove

aiα(x)aα.j(x) ≡ aij,(x) aij,k(x) ≡ 0 (3.33)

gde je akj (x) = gkβaβj(x).

Dakle, (3.33) predstavƩaju invarijantnu u odnosu na izbor sistema ko-

ordinata potrebnih i dovoƩnih za znak svodƩivosti Rimanovih prostora.

Odatle sledi da je Rimanov prostor Vn, u kojem postoji neizotropni apso-

lutno paralelni vektor µi(x) 6= 0 svodƩiv.


Pri tim uslovima u Vn postoji jediniqni, kolinearan vektoru µi(x), apso-

lutno paralelni u Vn vektor µi, tj. onaj za koji vaжi

µα(x)µα(x) = e (e± 1), µi,j(x) ≡ 0.

Uslovi (3.33) su ispuƬeni za tenzor aij = eµiµj.

Rimanov prostor Vn, koji nije svodƩiv naziva se (lokalno) nesvodƩiv.

Rimanov prostor Vn je lokalno Euklidov, ako u nekoj nedegenerisanoj okolini

D svake taqke M moжe biti izabran takav sistem koordinata y1, y2, · · · , yn

koji nazivamo Dekartovim u kojem osnovna metriqka forma (3.3) ima oblik

I = e1(dy1)2 + e2(dy

2)2 + · · ·+ en(dyn)2, (3.34)

gde su e1, e2, · · · , en jednaki plus ili minus jedan. Zato da bi Rimanov pros-

tor Vn bio Euklidov, potrebno je i dovoƩno da Ƭegov Rimanov tenzor (ili

tenzor krivine) bude identiqki jednak nuli, tj. da su ispuƬeni uslovi (2.21)

odnosno

Rhijk(x) ≡ 0.

Ti uslovi, budui tenzori, invarijantni su u odnosu na izbor sistema koor-

dinata x1, x2, · · · , xn u prostoru Vn i imaju unutraxƬi karakter. Zato na daƩe

unutraxƬim zvaemo takva svojstva Rimanovog prostora, koji izraжavaju

Ƭegov metriqki tenzor.

3.9 Povrxi Rimanovih prostora

U Rimanovom prostoru Vn razotrimo povrx Sm, koja je zadata u param-

etarskom obliku (1.60). Stavimo

gpq(u1, u2, · · · , um) = gαβ(x(u))

∂xα

∂up∂xβ

∂uq(p, q = 1, 2, · · · ,m) (3.35)

to bez texkoe moжemo zakƩuqiti da funkcije gpq u realnoj diferencijabil-

noj mnogostrukosti Um, u odnosu na lokalni sistem koordinata u1, u2, · · · , um,obrazuju simetriqni tenzor tipa (02). Neka taj tenzor gpq(u) ima znak razliqit

od nula. Uzimajui taj tenzor za metriqki, transformiximo Um u Rimanov

prostor Vn s osnovnom metriqkom formom

I = gpq(u)dupduq.

3.9. Povrxi Rimanovih prostora 49

U prostoru Vn za kvadrat diferencijala duжine luka ds2 krive L, zadate

na Sm jednaqinama (1.62), iz (3.21) na osnovu (1.63) dobijamo

ds2 = egαβ(x(u))∂xα

∂up∂xβ

∂uqdupduq

ili u saglasnosti s (3.35)

ds2 = egpq(u)dupduq ≡ ds2.

Odavde zakƩuqijemo da je ds2 jednako kvadratu diferencijala duжine luka

krive L u prostoru Vm. Duжina luka krive L ⊂ Sm u Vn poklapa se s Ƭenom

duжinom u Vm. Na osnovu (1.64) i (3.35) nije texko uoqiti da je ugao izmeu

svake dve krive L i L1 koje pripadaju Sm u prostoru Vn, jednak uglu izmeu

Ƭih u Vm. Zato se metrika na povrxi Sm, odreena tenzorom (3.35), naziva

indukovana metrika. Kriva L povrxi Sm, definisana na Ƭenim unutraxƬim

jednaqinama (1.62) naziva se geodezijskom linijom Sm, ako je ona geodezijska

linija u prostoru Vm. Lako uoqavamo da svaka geodezijska linija prostora

Vn koja pripada povrxi Sm, predstavƩa u stvari geodezijsku liniju Sm. Obr-

nuto tvreƬe u opxtem sluqaju ne vaжi. Povrx Sm Rimanovog prostora Vnnaziva se puna geodezijska povrx ako je svaka Ƭena geodezijska linija u isto

vreme i geodezijska linija Vn. Da bi povrx Sm, zadata u parametarskom ob-

liku (1.60), bila puno geodezijska u Vn, moraju biti ispuƬeni sledei uslovi

xhp,αxαq = Θs

pqxhs (p, q, s = 1, 2, · · · ,m) (3.36)

gde su xhp =∂xh(u)∂up

–bazni vektori poƩa Em tangentnih ravni povrxi Sm,

xhp,αxαq ≡ ∂qx

hp + Γhαβ(x)x

αpx

βq ,

a Γhij(x)–Kristofelovi simboli u Vn. Uslovi (3.36) su ne samo potrebni ve

i dovoƩni. Po tome su ti uslovi invarijantni u odnosu na izbor baznih

vektora poƩa Em tangetnih ravni povrxi Sm. Geometrijski oni oznaqavaju

da svaka tangentna ravan povrxi Sm pri Ƭenom paralelnom prenoxeƬu u Vnniz svaku krivu L ⊂ Sm ostaje tangentna na povrxi.

Povrx Sm ⊂ Vn naziva se geodezijska u taqki M ∈ Sm, ako svaka geodez-

ijska linija L povrxi Sm, provuqena kroz taqku M , je geodezijska linija

objediƬueg prostora Vn (u nekoj okolini taqke M).


3.10 Podprostori Rimanovih prostora

Rimanov prostor Vm sa simetriqnim tenzorom gpq(u1, u2, · · · , um) naziva se

podprostorom Rimanovog prostora Vn sa metriqkim tenzorom gij(x1, x2, · · · , xn),

ako u Vn postoji povrx Sm indukovana metrikom koja se poklapa s metrikom

Vm. Svaki Rimanov prostor Vm, kod kojeg je metriqki tenzor gpq (p, q =1, 2, · · · ,m) dovoƩno regularan, je podprostor Euklidovog prostora, dimen-

zije ne vee odm(m+1)

2. Zato u delu osnovna metriqka forma prostora V2

moжemo uvek razmatrati kao prva kvadratna forma dvomerne povrxi S2 u

tromernom Euklidovom prostoru. Gausova krivina K povrxi S2, oqigledno,

definixe se kroz koeficijente Ƭene prve kvadratne forme po formuli.

K =R1212

g11g22 − g212,

gde je R1212–odgovarajui Rimanov simbol prvog reda, izvedeni iz tenzora

gpq(u1; u2). Na osnovu tih relacija za Rimanov prostor Vn s metriqkim ten-

zorom gij(x) uvodi se pojam krivine K u datoj taqki M(x) za dati dvodimen-

zioni pravac E2 ili sekcionu krivinu. ƫega nazivamo Gausova krivina dvodi-

menzione povrxi S2 ⊂ Vn, geodezijske u taqki M(x) i tangentnoj u toj taqki

datog dvomernog pravca E2 s baznim vektorima λh1| i λh2| (h = 1, 2, · · · , n), sa

indukovanom metrikom. Iz prethodnog sledi da

K =Rαβγδλ

α1|λ

β

2|λγ

1|λδ2|

(gαγ(x)gβδ(x)− gαδ(x)gβγ(x))λα1|λβ

2|λγ

1|λδ2|

, (3.37)

gde su Rhijk(x)– Rimanovi simboli prvog reda u taqki M(x) po α, β, γ, δ kao

obiqno realni i linearno nezavisni izvodi sumiraƬa od 1 do n. Kako data

definicija, tako i formula (3.37) govori o tome da k ne zavisi od izbora

sistema koordinata u Vn, niti pak od izbora baznih vektora λh1| i λh2| dvodi-

menzionalnog pravca E2.

Rimanov prostor Vn po definiciji ima u taqki M(x) konstantnu krivinu,

ako za svaka dva dvomerna pravca E2 u toj taqki sekciona krivina ima jedno

i samo jedno znaqeƬe. Iz (3.37) proistiqe, da potrebni i dovoƩni uslovi za

to imaju oblik:

Rhijk(x) = K(x)(ghj(x)gik(x)− ghk(x)gij(x)) (3.38)

(h, i, j, k = 1, 2, · · · , n).

Ako je u svakoj taqki M(x) ∈ Vn krivina stalna, iz (3.38) za n > 2 na

osnovu Bijankijeve relacije (1.48) sledi da K(x) = const. U tom sluqaju Vnnazivamo prostorom konstantne krivine. Pa prema tome, za n > 2, ispuƬeni

uslovi (3.38) u svakoj taqki su potrebni i dovoƩni da bi Vn bio prostor

3.11. Izometriqko preslikavaƬe Rimanovih prostora 51

konstantne krivine. Kontrakcijom (3.16) ghk po h i k, a zatim gij po i i j,

dobijamo

Rij(x) =K

1− ngij(x), K =

R

n(1− n). (3.39)

Dakle prostori konstantne krivine po neophodnosti predstavƩaju Ajnxta-

jnove prostore .

Sigurno je, da postoje Rimanovi prostori Vn (n > 2) svake konstantne

krivine K (L.P.Зzenhart [1]). Za K = 0 to su Euklidovi prostori, za

K > 0 – neeuklidovi Rimanovi prostori (eliptiqki), za K < 0 – neeuklidovi

prostori Lobaqevskog (hiperboliqki).

3.11 Izometriqko preslikavaƬe Rimanovih prostora

PreslikavaƬe Rimanovog prostora Vn na Rimanov prostor V n naziva se

izometriqkim, ako pri tom preslikavaƬu quva duжina svakog luka svake

krive, a takoe i ugao izmeu svake dve krive. Ako su gij(x) i gij(x) –

komponente metriqkih tenzora Vn i V n u sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn

i x1, x2, · · · , xn respektivno, to preslikavaƬe Vn na V n prema (2.22),(2.23)

bie izometriqko ako i samo ako vaжi

gij(x) ≡ gαβ(x)∂fα

∂xi∂fβ

∂xj. (3.40)

Uporeujui te uslove sa (3.2), vidimo da Rimanovi prostori Vn i V n, koji

dopuxtaju izometriqko preslikavaƬe jedan na drugi predstavƩaju po defini-

ciji jedan te isti prostor, koji posmatramo u razliqitim sistemima koor-

dinata. Odatle u opxtem sluqaju prema izometriqkom preslikavaƬu sistema

koordinata imamo:

gij(x) ≡ gij(x).

Deo 4

Konformna preslikavaƬa

4.1 KretaƬe Rimanovih prostora

Izometrijsko preslikavaƬe Rimanovog prostora Vn na sebe naziva se Ƭe-

govim kretaƬem.

Kako Rimanovi prostori predstavƩaju specijalni afini prostor konek-

sije za Ƭih mogu biti razmatrana afina presikavaƬa (deo 2). U saglasnosti

sa (2.26) preslikavaƬe Rimanovog prostora Vn na Rimanov prostor V n je

afino, ako su u zajedniqkom po preslikavaƬu sistemu koordinata

Kristofelovi simboli drugog reda tih prostora identiqki jednaki.

4.2 Konformna preslikavaƬa Rimanovih prostora

Interesantna klasa preslikavaƬa Rimanovih prostora su konformna

preslikavaƬa. Ona se karakterixu time da u zajedniqkom po preslikavaƬu

sistemu koordinata x1, x2, · · · , xn meu metriqkim tenzorima gij(x) i gij(x)prostora Vn i V n vaжi zavisnost

gij(x) = e2ψ(x)gij(x) (i, j = 1, 2, · · · , n), (4.1)

gde je ψ(x1, x2, · · · , xn) – neka invarijanta. Odatle vidimo da pri konformnom

preslikavaƬu uglovi meu vektorima su oquvani, a duжine odgovarajuih

vektora proporcionalne, pri qemu koeficijent proporcionalnosti zavisi

samo od taqke. Tim geometrijskim svojstvima se u potpunosti karakterixe

konformno preslikavaƬe jednog Rimanovog prostora Vn na drugi V n. Iz (4.1)

proistiqe sledea zavisnost meu Kristofelovim simbolima drugog reda

prostora V n i Vn:

Γh

ij(x) = Γhij(x) + ψi(x)δhj + ψj(x)δ

hi − ψh(x)gij(x) (h, i, j = 1, 2, · · · , n) (4.2)

53

54 4. Konformna preslikavaƬa

ovde su ψi =∂ψ(x)∂xi

, ψh = ghαψα, δhj – Kronekerovi simboli.

Ako ψi(x) ≡ 0, to je e2ψ = const, gij(x) = cgij(x) i tada konformno pres-

likavaƬe Vn na V n nazivamo trivijalnim. Ono je prema (4.2) oqigledno i

afino. Zato su interesantna samo netrivijelna konformna preslikavaƬa, za

koje je ψi(x) 6≡ 0

4.3 Tenzor konformne krivine

Za Rimanov tenzor (1.42) prostora V n iz (4.2) dobijamo

Rh

.ijk = Rh.ijk + δhkψ

hij − δhj ψ

hik + ψhkgij − ψhj gik + (δhkgij − δhj )∆iψ, (4.3)

gde je

ψij = ψi,j − ψiψj, ψhk = ghαψαk, ∆iψ = gαβψαψβ,

a zapeta – znak kovarijantnog diferenciraƬa u Vn. Kontrakcijom (4.3) po h

i k nalazimo

Rij = Rij + (n− 2)ψij + [∆2ψ + (n− 2)∆1ψ]gij, (4.4)

gde su ∆2ψ = gαβψα,β; Rij i Rij – Riqijevi tenzori (2.2) prostora V n i Vn.

Neka su, kao i obiqno, gij i gij elementi inverznih matrica za ‖gij‖ i ‖gij‖respektivno. Iz (4.1) proistiqe sledea zavisnost meu Ƭima:

gij = e−2ψgij

Zato kontrakcija (4.4) od gij kako po i tako i po j daje

e2ψR = R + 2(n− 1)∆2ψ + (n− 1)(n− 2)∆1ψ,

gde su R i R – skalarne krivine prostora Vn i V n. Nakon zamene u (4.4)

izraжenog ∆2ψ iz pterhodne relacije uz n > 2 dobijamo

P ij = Pij + ψij +1

2∆1ψgij, (4.5)

gde je

Pij ≡1

n− 2

(

Rij −1

2(n− 1)Rgij

)

. (4.6)

Analogno u V n izraжavamo P ij. Nakon iskƩuqeƬa tenzora ψij iz (4.3) uz

pomo (4.5) dobijamo

Ch

ijk(x) ≡ Chijk(x), (4.7)

gde je

Chijk = Rh

,ijk + δhj Pik − δhkPij + P hj gik − P h

k gij, (4.8)

analogno definisani u V n tenzor Ch

ijk. Tenzor Chijk naziva se tenzorom kon-

formne krivine prostora Vn. Uslovi (4.7) nam daju da je tenzor konformne

krivine invarijantan u odosu na konformna preslikavaƬa.

4.4. Konformno Euklidovi (ravni) Rimanovi prostori 55

4.4 Konformno Euklidovi (ravni) Rimanovi prostori

Rimanov prostor Vn, u kome je dopustivo konformno preslikavaƬe na Eu-

klidov prostor V n, naziva se konformno Euklidov (konformno ravan) pros-

tor. Sigurno je da je svaki dvomerni Rimanov prostor konformno ravan. Iz

(4.6),(4.7) i (4.8) sledi da za konformne Euklidove prostore vaжi

Chijk ≡ 0 (4.9)

Za n > 3 uslovi (4.9) ne samo da su potrebni ve su i dovoƩni da bi Vnbio konformno Euklidov. Taj tenzorski uslov znaqi invarijantnost u odnosu

na izbor sistema koordinata i nosi unutraxƬi karakter tj. izraжava se na

kraju krajeva samo kroz metriqki tenzor prostora Vn.

Kada je n = 3 uslovi (4.9) su ispuƬeni u svakom prostoru. Da bi V3 bio

konformno ravan, potrbno je i dovoƩno, da tenzor (4.6) zadovoƩava u Ƭemu

uslove

Pij,k − Pik,j ≡ 0

Lako je uoqiti, da su Rimanovi prostori konstantne krivine ravni. Tada

su konformne Ajnxtajnove ravni Vn (n > 2) prostori konstantne krivine.

56 4. Konformna preslikavaƬa

Literatura

[1] L. P. Ajzenhart, Rimanova geometrija, Gos. izd. inostr. liter. Moskva,

1948 (na ruskom).

[2] T. P. Aneli, Tenzorski raqun, ”Nauqna kƬiga” Beograd, 1987.

[3] B. A. Dubrovin, S. P. Novikov, A. T. Fomenko, Moderna geometrija,

Moskva ”Nauka”, 1979 (na ruskom).

[4] A. Einstein, The meaning of relativity, 4th edit., Princeton, 1953.

[5] L. P. Eisenhart, Non-Riemannian geometry, New York, 1927.

[6] L. P. Eisenhart, Generalized Riemannian spaces I, Proc. Nat. Acad. Sci. USA,37, 1951, 311-315.

[7] I. Ivanova-Karatopraklieva, Diferencialna geometrija, Sofijanski

universitet, 1989 (na bugarskom).

[8] V.F.Kagan, Osnovi teorije povrxi II, T. I. Ogiz, Moskva-Leningrad,

1948 (na ruskom).

[9] V.F.Kagan, Podprojektivni prostori, M.Fizmatgiz, 1961 (na ruskom).

[10] S. M. Minqi, Generalisani Rimanovi prostori, Doktorska disertacija,

N. Sad, 1975.

[11] S. M. Minqi, ƨ. S. Velimirovi, Tenzorski raqun, Univerzitet u

Nuxu, Nix, 2009.

[12] M. Prvanovi, Konformne i projektivne transformacije generalisanih

Riemanovih prostora u smislu T. Takasu-a, GodixƬak Fil. fak. u Novom

Sadu kƬ. III (1958), 265–272.

[13] N. Puxi, On geodesic lines of metric semi-symmetric connection on Rie-

mannian and hyperbolic Kaehlerian spaces, Novi Sad J. Math., 29, 3, 1999,291–299.

57

58 LITERATURA

[14] P. K. Raxevski, Rimanova geometrija i tenzorska analiza, Moskva, 1967,

(na ruskom).

[15] N. S. Sinjukov, Geodeziqeskie otobraжenija Rimanovih prostranstv,

Moskva ”Nauka”, 1979 (na ruskom).

[16] P. A. Xirokov, Tenzornoe isqislenie, Algebra tenzorov.-Kazan, 1961.

[17] T. Thomas, On the projective Geometry of paths, Mat. Acad. Sci, USA, 11,

1925, 198-203.

[18] K. Yano, On comlex conformal connections, Kodai Math. Sem. Rep., 26,

1975, 137–151.

Documents

Konformna preslikavaƬa Rimanovih prostora...Ako je r= ∞, funkcije imaju neprekidan parcijalni izvod, proizvoƩno visokog reda, po svim promenƩivim u nekoj okolini svake taqke